O'rtacha arifmetikni qanday aniqlash mumkin. Raqamlarning o'rta arifmetik qiymati nima. O'rtacha arifmetik uning mohiyatini to'liqroq ochib beradigan va hisoblashni soddalashtiradigan bir qator xususiyatlarga ega.
O'rtachaning eng keng tarqalgan turi o'rtacha arifmetikdir.
Oddiy arifmetik o'rtacha
Oddiy arifmetik o'rtacha - bu ma'lumotlardagi berilgan xususiyatning umumiy hajmi ushbu to'plamga kiritilgan barcha birliklar o'rtasida teng taqsimlanganligini aniqlashda o'rtacha atama. Shunday qilib, bir xodimga to'g'ri keladigan o'rtacha yillik ishlab chiqarish hajmi, agar mahsulotning butun hajmi tashkilotning barcha xodimlari o'rtasida teng taqsimlangan bo'lsa, har bir xodimga tushadigan mahsulot miqdori. O'rtacha arifmetik oddiy qiymat quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:
Oddiy arifmetik o'rtacha- Xususiyatning individual qiymatlari yig'indisining agregatdagi xususiyatlar soniga nisbatiga teng
1-misol... 6 ishchidan iborat jamoa oyiga 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 ming rubl oladi.
O'rtacha ish haqini toping
Yechim: (3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 ming rubl.
O'rtacha arifmetik og'irlik
Agar ma'lumotlar to'plamining hajmi katta bo'lsa va taqsimot qatorini ifodalasa, u holda o'rtacha og'irlikdagi arifmetik hisoblanadi. Mahsulot birligining o'rtacha tortilgan bahosi shunday aniqlanadi: ishlab chiqarishning umumiy qiymati (uning miqdori mahsulot birligi narxiga yig'indisi) ishlab chiqarishning umumiy hajmiga bo'linadi.
Buni quyidagi formula shaklida ifodalaymiz:
O'rtacha arifmetik og'irlik- nisbatga (xususiyat qiymatining ko‘paytmasining ma’lum xususiyatning takrorlanish chastotasiga) nisbatiga (barcha xususiyatlar chastotalari yig‘indisiga) tengdir.U o‘rganilayotgan populyatsiyaning variantlari bo‘lganda qo‘llaniladi. teng bo'lmagan miqdorda sodir bo'ladi.
2-misol... Sex ishchisining o'rtacha oylik ish haqini toping
O'rtacha ish haqini umumiy ish haqini ishchilarning umumiy soniga bo'lish yo'li bilan olish mumkin:
Javob: 3,35 ming rubl.
Intervalli qatorlar uchun o'rtacha arifmetik
Intervalli o'zgaruvchan qator uchun o'rtacha arifmetikni hisoblashda, avvalo, yuqori va pastki chegaralarning yarim yig'indisi sifatida har bir interval uchun o'rtacha, so'ngra - butun qatorning o'rtacha qiymatini aniqlang. Ochiq intervallar bo'lsa, pastki yoki yuqori intervalning qiymati ularga qo'shni bo'lgan intervallarning kattaligi bilan belgilanadi.
Intervalli seriyalardan hisoblangan o'rtachalar taxminiydir.
3-misol... Kechki o'quvchilarning o'rtacha yoshini aniqlang.
Intervalli seriyalardan hisoblangan o'rtachalar taxminiydir. Ularning yaqinlashish darajasi oraliq ichidagi populyatsiya birliklarining haqiqiy taqsimoti qanchalik bir xil bo'lishiga bog'liq.
O'rtacha ko'rsatkichlarni hisoblashda og'irlik sifatida nafaqat mutlaq, balki nisbiy qiymatlar (chastota) ham ishlatilishi mumkin:
O'rtacha arifmetik uning mohiyatini to'liqroq ochib beradigan va hisoblashni soddalashtiradigan bir qator xususiyatlarga ega:
1. Chastotalar yig'indisi bo'yicha o'rtacha ko'paytma har doim chastotalar bo'yicha variantning mahsuloti yig'indisiga teng bo'ladi, ya'ni.
2. O‘zgaruvchan miqdorlar yig‘indisining o‘rta arifmetik qiymati shu miqdorlarning o‘rta arifmetik yig‘indisiga teng:
3. Atributning individual qiymatlarining o'rtacha qiymatdan chetlanishining algebraik yig'indisi nolga teng.
6-7-sinflar uchun matematika dasturiga o‘rtacha arifmetik va geometrik o‘rtacha mavzu kiritilgan. Paragrafni tushunish juda oson bo'lganligi sababli, u tezda o'tib ketadi va o'quv yilining oxiriga kelib talabalar uni unutishadi. Ammo USE dan o'tish uchun, shuningdek, xalqaro SAT imtihonlarini topshirish uchun asosiy statistika bo'yicha bilim kerak. Va kundalik hayotda rivojlangan analitik fikrlash hech qachon zarar qilmaydi.
Raqamlarning o'rtacha arifmetik va geometrik o'rtasini qanday hisoblash mumkin
Aytaylik, bir qator raqamlar bor: 11, 4 va 3. O'rtacha arifmetik barcha sonlar yig'indisi berilgan sonlar soniga bo'linadi. Ya'ni, 11, 4, 3 raqamlari holatida javob 6. 6 qanday olinadi?
Yechish: (11 + 4 + 3) / 3 = 6
Maxrajda sonlar soniga teng bo'lgan raqam bo'lishi kerak, ularning o'rtachasi topilishi kerak. Yig'indi 3 ga bo'linadi, chunki uchta shart mavjud.
Endi biz geometrik o'rtacha bilan shug'ullanishimiz kerak. Aytaylik, bir qator raqamlar bor: 4, 2 va 8.
Raqamlarning geometrik o‘rtachasi ildiz ostidagi barcha berilgan sonlarning ko‘paytmasi bo‘lib, shu sonlar soniga teng quvvatga ega bo‘ladi.Ya’ni 4, 2 va 8 sonlarida javob 4 bo‘ladi. Mana shunday bo‘ldi. :
Yechish: ∛ (4 × 2 × 8) = 4
Ikkala holatda ham to'liq javoblar olindi, chunki misol uchun maxsus raqamlar olingan. Bu har doim ham shunday emas. Ko'pgina hollarda, javob yumaloq bo'lishi yoki ildiz ostida qoldirilishi kerak. Masalan, 11, 7 va 20 raqamlari uchun o'rtacha arifmetik ≈ 12,67, geometrik o'rtacha ∛1540 ga teng. Va 6 va 5 raqamlari uchun javoblar mos ravishda 5,5 va √30 bo'ladi.
Arifmetik o'rtacha geometrik o'rtachaga teng bo'lishi mumkinmi?
Albatta mumkin. Ammo faqat ikkita holatda. Agar faqat bir yoki noldan iborat bo'lgan raqamlar qatori mavjud bo'lsa. Shunisi e'tiborga loyiqki, javob ularning soniga bog'liq emas.
Birlar bilan isbotlash: (1 + 1 + 1) / 3 = 3/3 = 1 (o'rtacha arifmetik).
∛ (1 × 1 × 1) = ∛1 = 1 (geometrik o'rtacha).
Nollar bilan isbotlash: (0 + 0) / 2 = 0 (o'rtacha arifmetik).
√ (0 × 0) = 0 (geometrik o'rtacha).
Boshqa variant yo'q va bo'lishi ham mumkin emas.
Nafaqat turli xil matematika fanlarida, balki kundalik hayotda ham biror narsaning o'rtacha qiymatini hisoblash kerak bo'lgan holatlar mavjud. Masalan, bozorda bodringning o'rtacha narxi, bolaning o'rtacha bo'yi, mehmonxonada joylashtirishning o'rtacha narxi va boshqalar.
Bularning barchasi uzoq vaqtdan beri ixtiro qilingan ilmiy nomi- "o'rta arifmetik". Ushbu ko'rsatkich statistikada natijalarni umumlashtirish uchun faol qo'llaniladi. Masalan, bolalar tug'ilishining o'rtacha yoshi, erkaklar va ayollar o'rtasidagi o'limning o'rtacha yoshi, mintaqalarda va umuman Rossiyada o'rtacha ish haqi.
Masalan, pensiya yoshini oshirish to‘g‘risidagi qonunni qabul qilishda davlat organlari mamlakatimizdagi o‘limning o‘rtacha yoshidan endigina kelib chiqdi.
Keling, bu ko'rsatkich nima ekanligini aniqlaylik.
Arifmetik o'rtacha barcha mavjud qiymatlarning o'rtacha... Uni hisoblash uchun operatsiyada ishtirok etgan barcha raqamlarni jamlash, so'ngra ularning umumiy soniga bo'lish kerak.
Misol uchun, 2017 yilda turli yoshdagi bolalar to'liq o'rta ta'lim oldilar: 16, 17 va 18 yosh. Arifmetik o'rtacha barcha yoshdagilar yig'indisi uchga bo'lingan holda hisoblanadi. Umuman olganda, 11-sinfni tugatgan bolaning o'rtacha yoshi 17 yoshni tashkil etdi.
Ushbu misol uchta bolaning misolidan foydalangan holda ibtidoiy hisobni ko'rsatadi. Aslida, siz mavjud bo'lgan barcha ma'lumotlarni umumlashtirishingiz kerak. Ya'ni, agar biz beshta bola haqida gapiradigan bo'lsak, unda biz ularning yoshini umumlashtiramiz, masalan, 17 + 17 + 18 + 16 + 17 va natijani beshga bo'lamiz.
Xuddi shunday, har qanday operatsiya uchun har qanday arifmetik o'rtacha hisoblanadi. Ya'ni, agar siz, masalan, 2017 yilda birinchi farzandini dunyoga keltirgan onalarning o'rtacha yoshini hisoblashingiz kerak bo'lsa, unda siz birinchi navbatda barcha yosh ko'rsatkichlarini jamlashingiz va keyin ota-onalarning umumiy soniga bo'lishingiz kerak.
Ya'ni, umumiy ma'noda formulani quyidagicha ifodalash mumkin:
O'rtacha arifmetik = ( barcha mavjud qiymatlar yig'indisi) / operatsiyada ishtirok etadigan qiymatlarning umumiy soni.
Shunday qilib, hisoblash juda oddiy, hatto maktab o'quvchilari uchun ham. Qiyinchiliklar faqat operatsiyada ishtirok etayotgan respondentlarning ko'pligi sababli paydo bo'lishi mumkin.
O'rtacha ekanligini tushunish muhimdir shunchaki raqam emas... Bu ko'p yillar davomida real dunyoda amalda qo'llanilgan maxsus jismoniy ma'noga ega.
O'rtacha arifmetik qiymatni faqat qog'ozda, daftarda yoki kompyuter dasturlarida ishlatish noto'g'ri bo'ladi. Aks holda, siz juda ko'p ma'nosiz va oddiygina haqiqiy bo'lmagan qiymatlarni olishingiz mumkin.
Aslida, bir nechta o'rtacha ko'rsatkichlar mavjud. Biroq, har bir holatda, ulardan faqat bittasi to'g'ri. Har bir operatsiyada siz faqat kerakli o'rtacha qiymatdan foydalanishingiz kerak, aks holda katta xatoga yo'l qo'yiladi.
Amaliyotda o'rtacha ko'rsatkichlarning qanday turlari qo'llaniladi? Eng keng tarqalgan o'rtacha ko'rsatkichlar:
- O'rta arifmetik;
- Geometrik o'rtacha;
- Harmonik o'rtacha.
Bu qadriyatlar eng ko'p qo'llaniladi, ham kundalik hayotda, ham fanlarda. Ko'pincha, albatta, birinchi ko'rsatkich hisoblanadi.
Ko'pincha bu ko'rsatkich haqiqiy sharoitda noto'g'ri ishlatiladi va hisoblab chiqiladi. Nima uchun bu sodir bo'lmoqda? Darhaqiqat, o'rtacha arifmetikning asosi katta sonlar qonunini qo'llashdir. Bundan tashqari, mos yozuvlar qiymati odatda aniqlanadi degan taxmin ham qo'llaniladi.
Bu degani, atrofida bir qator qiymatlarda ifodalangan, bor eng keng tarqalgan og'ish har qanday yo'nalishda. Ya'ni. Ko'proq yoki kamroq. Misol uchun, 8,8,9,8,9,8,8 raqamlar qatorida og'ish pastga qarab bo'ladi, chunki sakkizta ko'proq. Va ketma-ketlikda: 17,17, 20,20,20,20,20, og'ish, aksincha, yuqoriga qarab bo'ladi, chunki bu holda yana "yigirmata" bor.
Biroq, aksariyat hollarda, bunday og'ishlar kichik va odatda ehtimoli teng. Muammoning mohiyati shundan iboratki, biznesda, haqiqiy hayotda bo'lgani kabi, amalda normal taqsimot juda kam uchraydi.
Ya'ni, masalan, bitta mijozga xizmat ko'rsatish vaqti, mijoz ushbu xizmatni olishi kutilayotgan vaqt, ular uchun shartnoma tuzadigan miqdor, bozor ulushi, daromadning o'sishi va boshqalar ko'rsatkichlar bo'lmagan ko'rsatkichlardir. teng va normal taqsimlanadi. Ba'zi hollarda ularni o'rtacha arifmetik yordamida o'rtacha hisoblash maqsadga muvofiq emas. Chunki bu noto'g'ri bo'lar edi.
Amalda normal taqsimotni ko'pincha mavjudligida topish mumkin katta miqdordagi qiymatlar, yuzlab va minglardan boshlanadi. Misol uchun, yirik kompaniyaning texnik yordamiga qo'ng'iroqlar soni qog'ozda ham, haqiqatda ham normal taqsimlanishi mumkin.
Biroq, faqat miqdor etarli bo'lmaydi, chunki har bir aniq vaziyatda siz kuzatib borishingiz va kuzatishingiz kerak to'g'ri taqsimlash... Bu oxir-oqibat arifmetik o'rtacha qiymatini to'g'ri hisoblashning yagona yo'li.
O'rtacha arifmetikni qanday topish mumkinligi haqidagi savol nafaqat talabalar orasida, balki turli yoshdagi odamlarda ham paydo bo'ladi. Ba'zan biz shoshilinch ravishda o'rtacha arifmetikni topishimiz kerak va biz buni qanday qilishni eslay olmaymiz. Keyin biz o'zimizga kerakli ma'lumotlarni topishga harakat qilib, matematika bo'yicha maktab darsliklarini varaqlay boshlaymiz. Lekin bu juda oddiy!
Bir nechta raqamlarning o'rtacha arifmetik qiymatini topish uchun ularni qo'shing. Shundan so'ng, olingan miqdorni shartlar soniga bo'lish kerak.
Aniqroq bo'lishi uchun keling, bir misol yordamida raqamlarning o'rtacha arifmetik qiymatini qanday topishni aniqlaymiz: 78, 115, 121 va 224. Birinchidan, biz ushbu raqamlarni qo'shishimiz kerak: 78 + 115 + 121 + 224 = 538. Endi olingan miqdor, ya'ni. 538 ni atamalar soniga bo'lish kerak: 538: 4 = 134,5. Demak, bu sonlarning o‘rtacha arifmetik qiymati 134,5 ga teng.
Bir nechta raqamlarning o'rtacha arifmetik qiymati: Excel yordamida toping
Excel yordamida o'rtacha arifmetikni topish juda oson. Ushbu dastur sizga ko'p vaqt talab qiladigan hisob-kitoblardan va shunga mos ravishda xatolardan qochish imkonini beradi. Bir nechta raqamlarning o'rtacha arifmetik qiymatini topish uchun ularni bitta ustunga yozish kerak. Keyin ushbu ustunni tanlang va Tez kirish asboblar panelida yig'indi (?) belgisini va O'rtacha yorlig'ini tanlang. Bu raqamlarning o'rtacha arifmetik qiymati belgilangan ustunning pastki qismida ko'rinadi.
O'rtacha arifmetik - berilgan ma'lumotlar massivining o'rtacha qiymatini ko'rsatadigan statistik ko'rsatkich. Bunday ko'rsatkich kasr sifatida hisoblanadi, uning numeratorida massivning barcha qiymatlari yig'indisi va maxrajda - ularning soni. O'rtacha arifmetik koeffitsient uy xo'jaligi hisob-kitoblarida qo'llaniladi.
Koeffitsientning ma'nosi
O'rtacha arifmetik ma'lumotlarni taqqoslash va maqbul qiymatni hisoblash uchun elementar ko'rsatkichdir. Misol uchun, turli do'konlarda ma'lum bir ishlab chiqaruvchidan bir quti pivo sotiladi. Ammo bir do'konda 67 rubl, boshqasida - 70 rubl, uchinchisida - 65 rubl, oxirgisida - 62 rubl. Narxlarning juda katta o'sishi, shuning uchun xaridor mahsulotni sotib olayotganda o'z xarajatlarini solishtirishi uchun qutining o'rtacha narxiga qiziqadi. Shaharda bir quti pivo o'rtacha narxga ega:
O'rtacha narx = (67 + 70 + 65 + 62) / 4 = 66 rubl.
O'rtacha narxni bilib, mahsulotni qaerdan sotib olish foydali ekanligini va qaerdan ortiqcha to'lash kerakligini aniqlash oson.
Bir hil ma'lumotlar to'plami tahlil qilinadigan hollarda statistik hisob-kitoblarda o'rtacha arifmetik ko'rsatkich doimiy ravishda qo'llaniladi. Yuqoridagi misolda bu bitta markali pivoning bir qutisining narxi. Biroq, biz turli ishlab chiqaruvchilarning pivo narxini yoki pivo va limonad narxini taqqoslay olmaymiz, chunki bu holda qiymatlar diapazoni kattaroq bo'ladi, o'rtacha narx noaniq va ishonchsiz bo'ladi va hisob-kitoblarning ma'nosi. multfilmli "kasalxonadagi o'rtacha harorat" ga buzilgan bo'ladi. Geterogen bo'lmagan ma'lumotlar to'plamlarini hisoblash uchun har bir qiymat tortilganda o'rtacha arifmetik og'irlikdan foydalaniladi.
O'rtacha arifmetik qiymatni hisoblash
Hisoblash formulasi juda oddiy:
P = (a1 + a2 + ... an) / n,
bu yerda an - miqdorning qiymati, n - qiymatlarning umumiy soni.
Ushbu ko'rsatkich nima uchun ishlatilishi mumkin? Birinchi va eng aniq dastur bu statistika. Deyarli har bir statistik tadqiqot o'rtacha arifmetik qiymatdan foydalanadi. Bu Rossiyada turmush qurishning o'rtacha yoshi, fan bo'yicha o'quvchining o'rtacha bahosi yoki kuniga o'rtacha oziq-ovqat sarfi bo'lishi mumkin. Yuqorida muhokama qilinganidek, og'irliklarsiz o'rtacha hisoblash g'alati yoki absurd qiymatlarni keltirib chiqarishi mumkin.
Misol uchun, Rossiya Federatsiyasi Prezidenti statistik ma'lumotlarga ko'ra, rossiyalikning o'rtacha ish haqi 27 ming rublni tashkil etishi haqida bayonot berdi. Rossiya aholisining aksariyati uchun maoshning bunday darajasi bema'ni tuyuldi. Hisoblashda bir tomondan oligarxlar, sanoat korxonalari rahbarlari, yirik bankirlarning daromadlari, ikkinchi tomondan o‘qituvchilar, farroshlar va sotuvchilarning maoshlarini hisobga olsak, ajabmas. Hatto bitta mutaxassislik bo'yicha o'rtacha ish haqi, masalan, buxgalter, Moskva, Kostroma va Yekaterinburgda sezilarli farqlarga ega bo'ladi.
Turli xil ma'lumotlar uchun o'rtacha qiymatlarni qanday hisoblash mumkin
Ish haqi to'lash holatlarida har bir qiymatning og'irligini hisobga olish muhimdir. Bu shuni anglatadiki, oligarxlar va bankirlarning maoshlari, masalan, 0,00001, sotuvchilarning maoshlari esa 0,12 og'irlikni oladi. Bu shiftdagi raqamlar, ammo ular rus jamiyatida oligarxlar va sotuvchilarning tarqalishini taxminan ko'rsatadi.
Shunday qilib, heterojen ma'lumotlar to'plamida o'rtacha yoki o'rtacha qiymatni hisoblash uchun arifmetik o'rtacha qiymatdan foydalanish kerak. Aks holda, siz Rossiyada o'rtacha ish haqini 27 000 rubl darajasida olasiz. Agar siz matematika bo'yicha o'rtacha ballingizni yoki tanlangan xokkeychi tomonidan kiritilgan o'rtacha gollar sonini bilmoqchi bo'lsangiz, u holda o'rtacha arifmetik kalkulyator siz uchun.
Bizning dasturimiz o'rtacha arifmetikni hisoblash uchun oddiy va qulay kalkulyatordir. Hisob-kitoblarni amalga oshirish uchun siz faqat parametr qiymatlarini kiritishingiz kerak.
Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik
O'rtacha ballni hisoblash
Ko'pgina o'qituvchilar fanning yillik bahosini aniqlash uchun o'rtacha arifmetik usuldan foydalanadilar. Faraz qilaylik, bola matematikadan quyidagi chorak baholarni oladi: 3, 3, 5, 4. O‘qituvchi unga qanday yillik baho qo‘yadi? Keling, kalkulyatordan foydalanamiz va o'rtacha arifmetikni hisoblaymiz. Birinchidan, tegishli maydonlar sonini tanlang va paydo bo'lgan hujayralarga ball qiymatlarini kiriting:
(3 + 3 + 5 + 4) / 4 = 3,75
O'qituvchi qiymatni talaba foydasiga yaxlitlaydi va talaba bir yilda to'rtta mustahkam ball oladi.
Ovqatlangan konfetlarni hisoblash
Keling, o'rtacha arifmetikning bema'niligini ko'rsatamiz. Tasavvur qilaylik, Masha va Vovada 10 ta shirinlik bor edi. Masha 8 ta konfet yedi, Vova esa atigi 2. Har bir bola o'rtacha nechta konfet iste'mol qildi? Kalkulyator yordamida bolalar o'rtacha hisobda 5 ta konfet iste'mol qilganini hisoblash oson, bu haqiqatga va sog'lom fikrga mutlaqo ziddir. Ushbu misol ma'noli ma'lumotlar to'plamini hisoblash uchun o'rtacha arifmetik ahamiyatga ega ekanligini ko'rsatadi.
Xulosa
O'rtacha arifmetik qiymatni hisoblash ko'plab ilmiy sohalarda keng qo'llaniladi. Bu ko'rsatkich nafaqat statistik hisob-kitoblarda, balki fizika, mexanika, iqtisod, tibbiyot yoki moliya sohasida ham mashhur. Kalkulyatorlarimizdan o'rtacha arifmetik masalalarni echishda yordamchi sifatida foydalaning.
