Funktsiyaning hosilasi. F x hosilaviy funktsiyaga misollar bilan batafsil nazariya

Agar siz ta'rifga amal qilsangiz, u holda nuqtadagi funktsiyaning hosilasi D funktsiyasi o'sishining nisbati chegarasi bo'ladi. y argument ortishiga D x:

Hamma narsa aniq ko'rinadi. Ammo, masalan, funktsiyaning hosilasini hisoblash uchun ushbu formuladan foydalanib ko'ring f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x gunoh x. Agar siz hamma narsani ta'rif bo'yicha qilsangiz, bir necha sahifali hisob-kitoblardan so'ng siz shunchaki uxlab qolasiz. Shuning uchun oddiyroq va samaraliroq usullar mavjud.

Boshlash uchun shuni ta'kidlaymizki, biz turli xil funktsiyalardan elementar funktsiyalar deb ataladigan narsalarni ajrata olamiz. Bu nisbatan sodda iboralar bo'lib, ularning hosilalari uzoq vaqtdan beri hisoblab chiqilgan va jadvalga kiritilgan. Bunday funktsiyalarni eslab qolish juda oson - ularning hosilalari bilan birga.

Elementar funksiyalarning hosilalari

Elementar funktsiyalar quyida keltirilganlarning barchasi. Bu funktsiyalarning hosilalari yoddan ma'lum bo'lishi kerak. Bundan tashqari, ularni yodlash unchalik qiyin emas - shuning uchun ular oddiy.

Demak, elementar funksiyalarning hosilalari:

Ism	Funktsiya	Hosil
Doimiy	f(x) = C, C ∈ R	0 (ha, nol!)
Ratsional darajali quvvat	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinus	f(x) = gunoh x	cos x
Kosinus	f(x) = cos x	− gunoh x(minus sinus)
Tangent	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Kotangent	f(x) = ctg x	− 1/sin 2 x
Tabiiy logarifm	f(x) = jurnal x	1/x
Ixtiyoriy logarifm	f(x) = jurnal a x	1/(x ln a)
Eksponensial funktsiya	f(x) = e x	e x(hech narsa o'zgarmadi)

Agar elementar funktsiya ixtiyoriy doimiyga ko'paytirilsa, yangi funktsiyaning hosilasi ham osonlik bilan hisoblanadi:

(C · f)’ = C · f ’.

Umuman, konstantalarni hosila belgisidan chiqarish mumkin. Masalan:

(2x 3)’ = 2 · ( x 3)’ = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Shubhasiz, elementar funktsiyalarni bir-biriga qo'shish, ko'paytirish, bo'lish - va yana ko'p narsalar. Shunday qilib, yangi funktsiyalar paydo bo'ladi, ular endi ayniqsa elementar emas, balki ma'lum qoidalarga muvofiq farqlanadi. Ushbu qoidalar quyida muhokama qilinadi.

Yig'indi va ayirmaning hosilasi

Funktsiyalar berilsin f(x) Va g(x), hosilalari bizga ma'lum. Misol uchun, siz yuqorida muhokama qilingan elementar funktsiyalarni olishingiz mumkin. Keyin ushbu funktsiyalarning yig'indisi va farqining hosilasini topishingiz mumkin:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Demak, ikki funktsiya yig‘indisining (farqining) hosilasi hosilalarning yig‘indisiga (farqiga) teng. Ko'proq shartlar bo'lishi mumkin. Masalan, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Qat'iy aytganda, algebrada "ayirish" tushunchasi yo'q. "Salbiy element" tushunchasi mavjud. Shuning uchun farq f − g summa sifatida qayta yozilishi mumkin f+ (−1) g, va keyin faqat bitta formula qoladi - yig'indining hosilasi.

f(x) = x 2 + sin x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funktsiya f(x) ikkita elementar funktsiyaning yig'indisidir, shuning uchun:

f ’(x) = (x 2 + gunoh x)’ = (x 2)' + (gunoh x)’ = 2x+ cos x;

Funktsiya uchun biz ham xuddi shunday fikr yuritamiz g(x). Faqat uchta atama mavjud (algebra nuqtai nazaridan):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Javob:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Mahsulotning hosilasi

Matematika mantiqiy fandir, shuning uchun ko'p odamlar yig'indining hosilasi hosilalarning yig'indisiga teng bo'lsa, mahsulotning hosilasi deb hisoblashadi. zarba berish">hosilalar ko'paytmasiga teng. Lekin jingalak! Mahsulotning hosilasi butunlay boshqa formula yordamida hisoblanadi. Ya'ni:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formula oddiy, lekin u ko'pincha unutiladi. Va nafaqat maktab o'quvchilari, balki talabalar ham. Natijada noto'g'ri hal qilingan muammolar.

Vazifa. Funksiyalarning hosilalarini toping: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Funktsiya f(x) ikkita elementar funktsiyaning mahsulotidir, shuning uchun hamma narsa oddiy:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3) 'cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (− gunoh x) = x 2 (3cos x − x gunoh x)

Funktsiya g(x) birinchi multiplikator biroz murakkabroq, lekin umumiy sxema o'zgarmaydi. Shubhasiz, funktsiyaning birinchi omili g(x) koʻphad va uning hosilasi yigʻindining hosilasidir. Bizda ... bor:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)’ · e x + (x 2 + 7x− 7) · ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Javob:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x gunoh x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

E'tibor bering, oxirgi bosqichda hosila faktorlarga ajratiladi. Rasmiy ravishda buni qilish shart emas, lekin ko'pchilik lotinlar o'z-o'zidan hisoblanmaydi, lekin funktsiyani tekshirish uchun. Bu shuni anglatadiki, keyinchalik hosila nolga tenglashtiriladi, uning belgilari aniqlanadi va hokazo. Bunday holda, ifoda faktorlarga ajratilgan bo'lishi yaxshiroqdir.

Agar ikkita funktsiya mavjud bo'lsa f(x) Va g(x), va g(x) Bizni qiziqtirgan to‘plamda ≠ 0 bo‘lsa, biz yangi funksiyani belgilashimiz mumkin h(x) = f(x)/g(x). Bunday funktsiya uchun hosilani ham topishingiz mumkin:

Zaif emas, a? Minus qaerdan paydo bo'ldi? Nima uchun g 2? Va shunga o'xshash! Bu eng murakkab formulalardan biri - siz uni shishasiz aniqlay olmaysiz. Shuning uchun uni aniq misollar bilan o'rganish yaxshiroqdir.

Vazifa. Funksiyalarning hosilalarini toping:

Har bir kasrning soni va maxraji elementar funktsiyalarni o'z ichiga oladi, shuning uchun bizga kerak bo'lgan yagona narsa qismning hosilasi formulasi:

An'anaga ko'ra, keling, raqamni faktorlarga ajratamiz - bu javobni sezilarli darajada soddalashtiradi:

Murakkab funktsiya yarim kilometr uzunlikdagi formula bo'lishi shart emas. Masalan, funktsiyani olish kifoya f(x) = gunoh x va o'zgaruvchini almashtiring x, aytaylik, yoqilgan x 2 + ln x. Bu amalga oshadi f(x) = gunoh ( x 2 + ln x) - bu murakkab funktsiya. Uning lotin ham bor, lekin uni yuqorida muhokama qilingan qoidalar yordamida topish mumkin bo'lmaydi.

Nima qilishim kerak? Bunday hollarda murakkab funktsiyaning hosilasi uchun o'zgaruvchi va formulani almashtirish yordam beradi:

f ’(x) = f ’(t) · t', Agar x bilan almashtiriladi t(x).

Qoidaga ko'ra, ushbu formulani tushunish bilan bog'liq vaziyat, qismning hosilasiga qaraganda ancha achinarli. Shuning uchun, uni har bir bosqichning batafsil tavsifi bilan aniq misollar yordamida tushuntirish yaxshiroqdir.

Vazifa. Funksiyalarning hosilalarini toping: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = gunoh ( x 2 + ln x)

E'tibor bering, agar funktsiyada bo'lsa f(x) ifoda oʻrniga 2 x+ 3 oson bo'ladi x, keyin elementar funktsiyani olamiz f(x) = e x. Shuning uchun biz almashtirishni amalga oshiramiz: 2 bo'lsin x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Murakkab funktsiyaning hosilasini quyidagi formula yordamida qidiramiz:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Va endi - diqqat! Biz teskari almashtirishni amalga oshiramiz: t = 2x+ 3. Biz quyidagilarni olamiz:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Endi funksiyani ko'rib chiqamiz g(x). Shubhasiz, uni almashtirish kerak x 2 + ln x = t. Bizda ... bor:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (gunoh t)’ · t' = cos t · t ’

Orqaga almashtirish: t = x 2 + ln x. Keyin:

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)’ = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

Ana xolos! Oxirgi ifodadan ko'rinib turibdiki, butun muammo hosila yig'indisini hisoblashga qisqartirildi.

Javob:
f ’(x) = 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) chunki ( x 2 + ln x).

Ko'pincha darslarimda "hosil" atamasi o'rniga "bosh" so'zini ishlataman. Misol uchun, yig'indining zarbasi zarbalar yig'indisiga teng. Bu aniqroqmi? Xo'sh, bu yaxshi.

Shunday qilib, lotinni hisoblash yuqorida muhokama qilingan qoidalarga muvofiq, xuddi shu zarbalardan xalos bo'lishga tushadi. Yakuniy misol sifatida, keling, ratsional ko'rsatkich bilan hosila darajaga qaytaylik:

(x n)’ = n · x n − 1

Buni rolda kam odam biladi n kasr son bo'lishi mumkin. Masalan, ildiz x 0,5. Ildiz ostida biror narsa bor bo'lsa-chi? Shunga qaramay, natijada murakkab funktsiya bo'ladi - ular test va imtihonlarda bunday konstruktsiyalarni berishni yaxshi ko'radilar.

Vazifa. Funktsiyaning hosilasini toping:

Birinchidan, ildizni ratsional darajali daraja sifatida qayta yozamiz:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Endi biz almashtiramiz: ruxsat bering x 2 + 8x − 7 = t. Biz hosilani formuladan foydalanib topamiz:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)’ · t’ = 0,5 · t−0,5 · t ’.

Keling, teskari almashtirishni qilaylik: t = x 2 + 8x− 7. Bizda:

f ’(x) = 0,5 · ( x 2 + 8x− 7) −0,5 · ( x 2 + 8x− 7)’ = 0,5 · (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Nihoyat, ildizlarga qayting:

Hosil

Matematik funktsiyaning hosilasini hisoblash (differentsiatsiya) oliy matematikani yechishda juda keng tarqalgan muammodir. Oddiy (elementar) matematik funktsiyalar uchun bu juda oddiy masala, chunki elementar funktsiyalar uchun hosilalar jadvallari uzoq vaqtdan beri tuzilgan va ularga osongina kirish mumkin. Biroq, murakkab matematik funktsiyaning hosilasini topish arzimas ish emas va ko'pincha katta kuch va vaqtni talab qiladi.

Onlaynda lotin toping

Bizning onlayn xizmatimiz sizga ma'nosiz uzoq hisob-kitoblardan xalos bo'lishga imkon beradi va lotinni onlayn toping bir lahzada. Bundan tashqari, veb-saytda joylashgan bizning xizmatimizdan foydalanish www.sayt, hisoblashingiz mumkin onlayn hosila elementar funksiyadan ham, analitik yechimga ega bo‘lmagan juda murakkab funksiyadan ham. Saytimizning boshqalarga nisbatan asosiy afzalliklari quyidagilardan iborat: 1) hosilani hisoblash uchun matematik funktsiyani kiritish usuliga qat'iy talablar yo'q (masalan, sinus x funksiyasini kiritishda uni sin x yoki sin sifatida kiritishingiz mumkin). (x) yoki sin[x] va boshqalar d.); 2) onlayn lotin hisoblash rejimda bir zumda sodir bo'ladi onlayn va mutlaqo tekinga; 3) funksiyaning hosilasini topishga imkon beramiz har qanday buyurtma, lotinning tartibini o'zgartirish juda oson va tushunarli; 4) biz sizga deyarli har qanday matematik funktsiyaning hosilasini, hatto boshqa xizmatlar tomonidan yechilmaydigan juda murakkablarini ham topishga imkon beramiz. Berilgan javob har doim to'g'ri va xatolarni o'z ichiga olmaydi.

Bizning serverimizdan foydalanish sizga 1) hosilani siz uchun onlayn hisoblash imkonini beradi, bunda xato yoki matn terish xatosiga yo'l qo'yishingiz mumkin bo'lgan vaqt va zerikarli hisob-kitoblarni yo'q qiladi; 2) agar siz matematik funktsiyaning hosilasini o'zingiz hisoblasangiz, biz sizga olingan natijani bizning xizmatimiz hisob-kitoblari bilan solishtirish va yechimning to'g'ri ekanligiga ishonch hosil qilish yoki kirib kelgan xatoni topish imkoniyatini beramiz; 3) oddiy funksiyalarning hosilalari jadvallarini ishlatish o'rniga bizning xizmatimizdan foydalaning, bu erda kerakli funktsiyani topish uchun ko'pincha vaqt kerak bo'ladi.

Sizga kerak bo'lgan yagona narsa lotinni onlayn toping- bizning xizmatimizdan foydalanish

(\large\bf funktsiyaning hosilasi)

Funktsiyani ko'rib chiqing y=f(x), intervalda ko'rsatilgan (a, b). Mayli x- intervalning istalgan sobit nuqtasi (a, b), A Dx- qiymatga ega bo'lgan ixtiyoriy raqam x+Dx intervalga ham tegishli (a, b). Bu raqam Dx argument ortishi deb ataladi.

Ta'rif. Funktsiyaning o'sishi y=f(x) nuqtada x, argument o'sishiga mos keladi Dx, raqamga qo'ng'iroq qilaylik

Dy = f(x+Dx) - f(x).

Biz bunga ishonamiz Dx ≠ 0. Berilgan belgilangan nuqtada ko'rib chiqing x bu nuqtadagi funktsiya o'sishining mos keladigan argument o'sishiga nisbati Dx

Bu munosabatni farq munosabati deb ataymiz. Qiymatidan beri x biz sobit deb hisoblaymiz, farq nisbati argumentning funktsiyasidir Dx. Bu funksiya barcha argument qiymatlari uchun aniqlanadi Dx, nuqtaning etarlicha kichik mahallasiga tegishli Dx=0, nuqtaning o'zi bundan mustasno Dx=0. Shunday qilib, biz belgilangan funktsiyaning chegarasi mavjudligi haqidagi savolni ko'rib chiqishga haqlimiz Dx → 0.

Ta'rif. Funktsiyaning hosilasi y=f(x) ma'lum bir belgilangan nuqtada x chegarasi deb ataladi Dx → 0 farq nisbati, ya'ni

Agar bu chegara mavjud bo'lsa.

Belgilanish. y'(x) yoki f'(x).

Hosilning geometrik ma'nosi: Funktsiyaning hosilasi f(x) ayni paytda x eksa orasidagi burchakning tangensiga teng ho'kiz va tegishli nuqtada ushbu funktsiya grafigiga teginish:

f'(x 0) = \tga.

Hosilning mexanik ma'nosi: Yo'lning vaqtga nisbatan hosilasi nuqtaning to'g'ri chiziqli harakati tezligiga teng:

Chiziqga teguvchi tenglama y=f(x) nuqtada M 0 (x 0 ,y 0) shaklni oladi

y-y 0 = f'(x 0) (x-x 0).

Qaysidir nuqtada egri chiziqning normali xuddi shu nuqtadagi tangensga perpendikulyar hisoblanadi. Agar f'(x 0)≠ 0, keyin normalning chiziqqa tenglamasi y=f(x) nuqtada M 0 (x 0 ,y 0) shunday yozilgan:

Funksiyaning differentsialligi tushunchasi

Funktsiyaga ruxsat bering y=f(x) ma'lum bir oraliqda aniqlanadi (a, b), x- bu oraliqdan ba'zi sobit argument qiymati, Dx- argumentning qiymati argumentning har qanday o'sishi x+Dx ∈ (a, b).

Ta'rif. Funktsiya y=f(x) berilgan nuqtada differentsiallanuvchi deb ataladi x, agar ortib borsa dy nuqtada bu funktsiya x, argument o'sishiga mos keladi Dx, shaklida ifodalanishi mumkin

Dy = A Dx +aDx,

Qayerda A- ba'zi bir raqamdan mustaqil Dx, A α - argument funktsiyasi Dx da cheksiz kichik bo'lgan Dx→ 0.

Ikki cheksiz kichik funktsiyaning mahsuloti bo'lgani uchun adx dan yuqori tartibli cheksiz kichikdir Dx(3 ta cheksiz kichik funktsiyaning xossasi), u holda yozishimiz mumkin:

Dy = A Dx +o(Dx).

Teorema. Funktsiyani bajarish uchun y=f(x) ma'lum bir nuqtada farqlanishi mumkin edi x, bu nuqtada uning cheklangan hosilasi bo'lishi zarur va etarli. Qayerda A=f′(x), ya'ni

Dy = f'(x) Dx +o(Dx).

Hosilni topish operatsiyasi odatda differentsiallash deb ataladi.

Teorema. Agar funktsiya y=f(x) x, keyin bu nuqtada uzluksiz bo'ladi.

Izoh. Funksiyaning uzluksizligidan y=f(x) ayni paytda x, umuman olganda, funksiyaning differentsialligi kuzatilmaydi f(x) ayni paytda. Masalan, funktsiya y=|x|- bir nuqtada uzluksiz x=0, lekin hosilasi yo'q.

Differensial funksiya haqida tushuncha

Ta'rif. Funktsional differentsial y=f(x) bu funktsiyaning hosilasi va mustaqil o'zgaruvchining o'sish ko'paytmasi deyiladi x:

dy = y′ Dx, df(x) = f′(x) Dx.

Funktsiya uchun y=x olamiz dy=dx=x′Dx = 1· Dx= Dx, ya'ni dx=Dx- mustaqil o'zgaruvchining differensialligi ushbu o'zgaruvchining o'sishiga teng.

Shunday qilib, biz yozishimiz mumkin

dy = y′ dx, df(x) = f′(x) dx

Differensial dy va oshirish dy funktsiyalari y=f(x) ayni paytda x, ikkalasi ham bir xil argument o'sishiga mos keladi Dx, umuman olganda, bir-biriga teng emas.

Differensialning geometrik ma'nosi: Argument oshirilganda funksiyaning differensialligi ushbu funksiya grafigiga teginish ordinatasining ortishiga teng. Dx.

Farqlash qoidalari

Teorema. Funktsiyalarning har biri bo'lsa u(x) Va v(x) ma'lum bir nuqtada farqlanadi x, so'ngra bu funktsiyalarning yig'indisi, farqi, mahsuloti va qismi (ko'rsatkich bo'lsa v(x)≠ 0) bu nuqtada ham farqlanadi va formulalar quyidagilarni o'z ichiga oladi:

Murakkab funktsiyani ko'rib chiqing y=f(ph(x))≡ F(x), Qayerda y=f(u), u=ph(x). Ushbu holatda u chaqirdi oraliq argument, x - mustaqil o'zgaruvchi.

Teorema. Agar y=f(u) Va u=ph(x) argumentlarining differensiallanuvchi funksiyalari, keyin esa kompleks funksiyaning hosilasi y=f(ph(x)) mavjud va bu funktsiyaning oraliq argumentga nisbatan mahsulotiga va mustaqil o'zgaruvchiga nisbatan oraliq argumentning hosilasiga teng, ya'ni.

Izoh. Uch funktsiyaning superpozitsiyasi bo'lgan murakkab funktsiya uchun y=F(f(ph(x))), farqlash qoidasi shaklga ega

y' x = y' u u' v v' x,

funktsiyalari qayerda v=ph(x), u=f(v) Va y=F(u)- ularning argumentlarining differentsial funksiyalari.

Teorema. Funktsiyaga ruxsat bering y=f(x) oshadi (yoki kamayadi) va nuqtaning ba'zi qo'shnilarida uzluksizdir x 0. Bundan tashqari, ushbu funktsiya ko'rsatilgan nuqtada differentsial bo'lsin x 0 va bu nuqtada uning hosilasi f'(x 0) ≠ 0. Keyin tegishli nuqtaning ba'zi mahallalarida y 0 =f(x 0) uchun teskarisi aniqlanadi y=f(x) funktsiyasi x=f -1 (y), va ko'rsatilgan teskari funktsiya mos keladigan nuqtada differentsiallanadi y 0 =f(x 0) va bu nuqtada uning hosilasi uchun y formula haqiqiydir

Hosilalar jadvali

Birinchi differentsial shaklining o'zgarmasligi

Kompleks funktsiyaning differentsialini ko'rib chiqamiz. Agar y=f(x), x=ph(t)- ularning argumentlarining funktsiyalari differentsial bo'ladi, keyin funktsiyaning hosilasi y=f(ph(t)) formula bilan ifodalanadi

y' t = y' x x' t.

A-prior dy=y′ t dt, keyin olamiz

dy = y′ t dt = y′ x · x′ t dt = y′ x (x′ t dt) = y′ x dx,

dy = y' x dx.

Shunday qilib, biz isbotladik

Funktsiyaning birinchi differentsial shaklining o'zgarmaslik xususiyati: argument bo'lganda bo'lgani kabi x mustaqil o'zgaruvchidir va argument bo'lgan holatda x o'zi yangi o'zgaruvchining differentsial funksiyasi, differentsialdir dy funktsiyalari y=f(x) bu funksiya hosilasining argumentning differentsialiga ko‘paytirilganiga teng dx.

Differensialni taxminiy hisoblarda qo'llash

Differensial ekanligini ko'rsatdik dy funktsiyalari y=f(x), umuman olganda, o'sishga teng emas dy bu funksiya. Biroq, kichiklikning yuqori tartibidagi cheksiz kichik funktsiyagacha Dx, taxminiy tenglik amal qiladi

Dy ≈ dy.

Nisbatan bu tenglik tengligining nisbiy xatosi deyiladi. Chunki Dy-dy=o(Dx), keyin bu tenglikning nisbiy xatosi kamayishi bilan kerakli darajada kichik bo'ladi |Dx|.

Shuni hisobga olib Dy=f(x+d x)-f(x), dy=f'(x)Dx, olamiz f(x+d x)-f(x) ≈ f′(x)Dx yoki

f(x+d x) ≈ f(x) + f'(x)Dx.

Bu taxminiy tenglik xato bilan ruxsat beradi o(Dx) funktsiyasini almashtiring f(x) nuqtaning kichik bir mahallasida x(masalan, kichik qiymatlar uchun Dx) argumentning chiziqli funksiyasi Dx, o'ng tomonda turgan.

Yuqori tartibli hosilalar

Ta'rif. Funktsiyaning ikkinchi hosilasi (yoki ikkinchi tartibli hosilasi). y=f(x) birinchi hosilasining hosilasi deyiladi.

Funktsiyaning ikkinchi hosilasi uchun belgi y=f(x):

Ikkinchi hosilaning mexanik ma'nosi. Agar funktsiya y=f(x) to'g'ri chiziqdagi moddiy nuqtaning harakat qonunini, keyin ikkinchi hosilani tasvirlaydi f″(x) harakatlanuvchi nuqtaning vaqt momentidagi tezlanishiga teng x.

Uchinchi va to'rtinchi hosilalar xuddi shunday aniqlanadi.

Ta'rif. n th lotin (yoki hosila n-chi tartib) funktsiyalari y=f(x) uning hosilasi deyiladi n-1 th hosilasi:

y (n) =(y (n-1))′, f (n) (x)=(f (n-1) (x))′.

Belgilar: y″', y IV, y V va hokazo.

Funktsiyaning hosilasini topish jarayoni deyiladi farqlash. Hosilni matematik tahlil jarayonida bir qancha masalalarda topish kerak. Masalan, funksiya grafigining ekstremum nuqtalari va burilish nuqtalarini topishda.

Qanday topish mumkin?

Funktsiyaning hosilasini topish uchun elementar funksiyalarning hosilalari jadvalini bilish va asosiy differentsiallash qoidalarini qo'llash kerak:

1. Konstantani hosila belgisidan tashqariga ko'chirish: $$ (Cu)" = C(u)" $$
2. Funktsiyalar yig'indisi/farqining hosilasi: $$ (u \pm v)" = (u)" \pm (v)" $$
3. Ikki funktsiyaning hosilasi: $$ (u \cdot v)" = u"v + uv" $$
4. Kasr hosilasi: $$ \bigg (\frac(u)(v) \bigg)" = \frac(u"v - uv"))(v^2) $$
5. Murakkab funktsiyaning hosilasi: $$ (f(g(x))" = f"(g(x)) \cdot g"(x) $$

Yechimlarga misollar

1-misol

$ y = x^3 - 2x^2 + 7x - 1 $ funksiyaning hosilasini toping.

Yechim

Funktsiyalar yig'indisi/farqining hosilasi hosilalarning yig'indisi/farqiga teng: $$ y" = (x^3 - 2x^2 + 7x - 1)" = (x^3)" - (2x^2)" + (7x)" - (1)" = $$ $ (x^p)" = px^(p-1) $ quvvat funksiyasining hosilasi qoidasidan foydalanib, bizda: $$ y" = 3x^(3-1) - 2 \cdot 2 x^(2-1) + 7 - 0 = 3x^2 - 4x + 7 $$ Shuningdek, doimiyning hosilasi nolga teng ekanligi hisobga olindi. Agar muammoingizni hal qila olmasangiz, uni bizga yuboring. Biz batafsil yechimni taqdim etamiz. Hisoblash jarayonini ko'rishingiz va ma'lumot olishingiz mumkin. Bu sizga o'qituvchingizdan o'z vaqtida baho olishingizga yordam beradi!

Javob

$$y" = 3x^2 - 4x + 7 $$

Hosilalarni hisoblash- differensial hisoblashdagi eng muhim operatsiyalardan biri. Quyida oddiy funksiyalarning hosilalarini topish jadvali keltirilgan. Murakkab farqlash qoidalari uchun boshqa darslarga qarang:

• Ko‘rsatkichli va logarifmik funksiyalarning hosilalari jadvali

Berilgan formulalardan mos yozuvlar qiymatlari sifatida foydalaning. Ular differentsial tenglamalar va muammolarni hal qilishda yordam beradi. Rasmda, oddiy funktsiyalarning hosilalari jadvalida, lotinni foydalanish uchun tushunarli shaklda topishning asosiy holatlarining "aldash varag'i" mavjud, uning yonida har bir holat uchun tushuntirishlar mavjud.

Oddiy funksiyalarning hosilalari

1. Sonning hosilasi nolga teng
s´ = 0
Misol:
5´ = 0

Tushuntirish:
Hosila funktsiya argumenti o'zgarganda uning qiymati o'zgarishi tezligini ko'rsatadi. Raqam hech qanday sharoitda hech qanday tarzda o'zgarmasligi sababli, uning o'zgarish tezligi doimo nolga teng.

2. O‘zgaruvchining hosilasi birga teng
x´ = 1

Tushuntirish:
(x) argumentining har bir ortishi bilan funksiyaning qiymati (hisoblash natijasi) bir xil miqdorga ortadi. Shunday qilib, y = x funksiya qiymatining o'zgarish tezligi argument qiymatining o'zgarish tezligiga to'liq tengdir.

3. O‘zgaruvchi va omilning hosilasi shu ko‘rsatkichga teng
sx´ = s
Misol:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Tushuntirish:
Bunday holda, har safar funktsiya argumenti o'zgarganda ( X) uning qiymati (y) ga ortadi Bilan bir marta. Shunday qilib, argumentning o'zgarish tezligiga nisbatan funktsiya qiymatining o'zgarish tezligi qiymatga to'liq tengdir. Bilan.

Bundan kelib chiqadi
(cx + b)" = c
ya’ni y=kx+b chiziqli funksiyaning differensiali (k) chiziqning qiyaligiga teng.

4. O'zgaruvchining modul hosilasi bu o'zgaruvchining moduliga bo'lgan qismiga teng
|x|"= x / |x| x ≠ 0 bo'lishi sharti bilan
Tushuntirish:
O'zgaruvchining hosilasi (2-formulaga qarang) birlikka teng bo'lganligi sababli, modul hosilasi faqat boshlang'ich nuqtani kesib o'tishda funktsiyaning o'zgarish tezligining qiymati teskari tomonga o'zgarishi bilan farqlanadi (grafik chizishga harakat qiling). y = |x| funksiyasini aniqlang va o'zingiz ko'ring. Bu aynan qanday qiymat va x / |x| ifodasini qaytaradi. x qachon< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - bitta. Ya'ni, x o'zgaruvchisining manfiy qiymatlari uchun, argumentning har bir ortishi bilan, funktsiyaning qiymati aynan bir xil qiymatga kamayadi va ijobiy qiymatlar uchun, aksincha, ortadi, lekin aynan bir xil qiymatga. .

5. O‘zgaruvchining quvvatga hosilasi bu quvvat sonining ko'paytmasiga va o'zgaruvchining bittaga kamaytirilgan quvvatiga teng
(x c)"= cx c-1, x c va cx c-1 aniqlangan va c ≠ 0 bo'lishi sharti bilan
Misol:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Formulani eslab qolish uchun:
O'zgaruvchining darajasini omil sifatida pastga siljiting va keyin darajani bittaga kamaytiring. Misol uchun, x 2 uchun - ikkitasi x dan oldinda edi, keyin esa kamaytirilgan quvvat (2-1 = 1) bizga oddiygina 2x berdi. Xuddi shu narsa x 3 uchun sodir bo'ldi - biz uchlikni "pastga siljitamiz", uni bittaga kamaytiramiz va kub o'rniga bizda kvadrat, ya'ni 3x 2 bor. Bir oz "ilmiy" lekin eslab qolish juda oson.

6.Kasr hosilasi 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Misol:
Chunki kasrni salbiy kuchga ko'tarish sifatida ifodalash mumkin
(1/x)" = (x -1)", keyin hosilalar jadvalining 5-qoidasidan formulani qo'llashingiz mumkin.
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2

7. Kasr hosilasi ixtiyoriy darajadagi o'zgaruvchan bilan maxrajda
(1 / x c)" = - c / x c+1
Misol:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. Ildizning hosilasi(kvadrat ildiz ostidagi o'zgaruvchining hosilasi)
(√x)" = 1 / (2√x) yoki 1/2 x -1/2
Misol:
(√x)" = (x 1/2)" 5-qoidadagi formulani qo'llashingiz mumkinligini anglatadi
(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)

9. Ixtiyoriy daraja ildizi ostidagi o'zgaruvchining hosilasi
(n √x)" = 1 / (n n √x n-1)