To'g'ri chiziq. Parallel chiziqlar. Asosiy tushunchalar. Ikki chiziqning parallellik belgilari. Parallel chiziqlarning xossalari Ikki chiziq parallelligining birinchi belgisi
Ikki chiziqning parallelligini teorema asosida isbotlash mumkin, unga ko'ra bir chiziqqa nisbatan chizilgan ikkita perpendikulyar parallel bo'ladi. Parallel chiziqlarning ma'lum belgilari bor - ularning uchtasi bor va biz ularning barchasini aniqroq ko'rib chiqamiz.
Parallelizmning birinchi belgisi
Chiziqlar parallel bo'ladi, agar ularning uchinchi chizig'ining kesishmasida bo'ylab yotadigan hosil bo'lgan ichki burchaklar teng bo'lsa.
Faraz qilaylik, AB va CD chiziqlarning EF to‘g‘ri chiziq bilan kesishgan joyida /1 va /2 burchaklar hosil bo‘ldi. Ular teng, chunki EF to'g'ri chiziq qolgan ikkita to'g'ri chiziqqa nisbatan bir xil qiyalikda o'tadi. Chiziqlarning kesishmasida biz Ki L nuqtalarini qo'yamiz - bizda EF sekantining segmenti bor. Biz uning o'rtasini topamiz va O nuqtani qo'yamiz (189-rasm).
AB to'g'rida O nuqtadan perpendikulyar tushiramiz. Uni OM deb ataymiz. Perpendikulyarni CD chiziq bilan kesishguncha davom ettiramiz. Natijada, dastlabki AB chizig'i MN ga qat'iy perpendikulyar bo'lib, CD _ | _ MN degan ma'noni anglatadi, lekin bu bayonot isbotlashni talab qiladi. Perpendikulyar va kesishish chizig'ini chizish natijasida biz ikkita uchburchak hosil qildik. Ulardan biri MENING, ikkinchisi NOK. Keling, ularni batafsil ko'rib chiqaylik. Parallel chiziqlar belgilari 7-sinf
Bu uchburchaklar tengdir, chunki teorema shartlariga muvofiq /1 = /2, uchburchaklar qurilishiga muvofiq esa OK tomoni = OL tomoni. Burchak MOL =/NOK, chunki bular vertikal burchaklardir. Bundan kelib chiqadiki, uchburchaklardan birining tomoni va unga tutashgan ikkita burchagi mos ravishda boshqa uchburchakning yon tomoniga va unga tutashgan ikkita burchagiga teng. Shunday qilib, MOL uchburchagi \u003d NOK uchburchagi va shuning uchun LMO burchagi \u003d KNO burchagi, lekin biz bilamizki, / LMO to'g'ri, ya'ni KNO mos keladigan burchak ham to'g'ri. Ya'ni, AB to'g'ri va CD to'g'ri chiziq MN to'g'riga perpendikulyar ekanligini isbotlashga muvaffaq bo'ldik. Ya'ni, AB va CD bir-biriga parallel. Buni isbotlashimiz kerak edi. Parallel chiziqlarning qolgan belgilarini (7-sinf) ko'rib chiqamiz, ular isbotlash yo'li bilan birinchi belgidan farq qiladi.
Parallelizmning ikkinchi belgisi
Chiziqlar parallelligining ikkinchi belgisiga ko'ra, AB va CD parallel to'g'ri chiziqning EF chizig'i bilan kesishishi jarayonida olingan burchaklar teng bo'lishini isbotlashimiz kerak. Shunday qilib, ikkita chiziqning parallellik belgilari, ham birinchi, ham ikkinchisi, uchinchi chiziq bilan kesishganda olingan burchaklarning tengligiga asoslanadi. Biz /3 = /2, burchak esa 1 = /3 deb faraz qilamiz, chunki u unga vertikaldir. Shunday qilib, va /2 burchak 1 ga teng bo'ladi, ammo shuni hisobga olish kerakki, 1 burchak va 2 burchak ham ichki, o'zaro faoliyat burchaklardir. Shuning uchun biz o'z bilimlarimizni qo'llashimiz kerak, ya'ni ikkita segment parallel bo'ladi, agar ularning uchinchi chiziq bilan kesishmasida hosil bo'lgan, o'zaro faoliyat burchaklar teng bo'lsa. Shunday qilib, biz AB || ekanligini aniqladik CD.
Ikki perpendikulyar bir to'g'ri chiziqqa parallel bo'lishi sharti bilan tegishli teoremaga ko'ra parallel chiziqlarning belgisi aniq bo'lishini isbotlashga muvaffaq bo'ldik.
Parallelizmning uchinchi belgisi
Parallelizmning uchinchi mezoni ham mavjud bo'lib, bu bir tomonlama ichki burchaklar yig'indisi orqali isbotlanadi. Chiziqlarning parallellik belgisining bunday isboti, agar ular uchinchi chiziq bilan kesishganda, olingan bir tomonlama ichki burchaklar yig'indisi 2d ga teng bo'lsa, ikkita chiziq parallel bo'ladi degan xulosaga kelishga imkon beradi. 192-rasmga qarang.
Ushbu maqola parallel chiziqlar va parallel chiziqlar haqida. Birinchidan, tekislikdagi va fazodagi parallel chiziqlarning ta'rifi beriladi, yozuvlari kiritiladi, parallel chiziqlarga misollar va grafik tasvirlar keltiriladi. Keyinchalik to'g'ri chiziqlarning parallellik belgilari va shartlari tahlil qilinadi. Xulosa qilib aytganda, tekislik va uch o'lchovli fazodagi to'rtburchaklar koordinatalar tizimidagi to'g'ri chiziqning ba'zi tenglamalari bilan berilgan to'g'ri chiziqlar parallelligini isbotlashning tipik muammolari uchun echimlar ko'rsatilgan.
Sahifani navigatsiya qilish.
Parallel chiziqlar - asosiy ma'lumotlar.
Ta'rif.
Tekislikdagi ikkita chiziq deyiladi parallel agar ularda umumiy fikrlar bo'lmasa.
Ta'rif.
Uch o'lchamdagi ikkita chiziq deyiladi parallel agar ular bir tekislikda yotsa va umumiy nuqtalari bo'lmasa.
E'tibor bering, kosmosdagi parallel chiziqlar ta'rifidagi "agar ular bir tekislikda yotsa" bandi juda muhimdir. Keling, ushbu fikrga aniqlik kiritaylik: uch o'lchamli fazodagi umumiy nuqtalarga ega bo'lmagan va bir tekislikda yotmaydigan ikkita to'g'ri chiziq parallel emas, balki qiyshaygan.
Bu erda parallel chiziqlarga misollar keltiramiz. Daftar varag'ining qarama-qarshi qirralari parallel chiziqlarda yotadi. Uyning devorining tekisligi shift va zaminning tekisliklarini kesib o'tadigan to'g'ri chiziqlar parallel. Tekis yerdagi temir yo'llarni parallel chiziqlar sifatida ham tasavvur qilish mumkin.
Parallel chiziqlarni belgilash uchun "" belgisi ishlatiladi. Ya'ni, agar a va b chiziqlar parallel bo'lsa, unda siz qisqacha a b yozishingiz mumkin.
E'tibor bering, agar a va b to'g'ri chiziq parallel bo'lsa, u holda a to'g'ri chiziq b to'g'riga parallel, shuningdek b chiziq a chiziqqa parallel deb aytishimiz mumkin.
Tekislikdagi parallel chiziqlarni o'rganishda muhim rol o'ynaydigan gapni aytaylik: berilgan to'g'rida yotmaydigan nuqta orqali unga parallel bo'lgan yagona chiziq o'tadi. Bu fikr fakt sifatida qabul qilinadi (uni planimetriyaning ma'lum aksiomalari asosida isbotlab bo'lmaydi) va u parallel chiziqlar aksiomasi deb ataladi.
Kosmosdagi holat uchun teorema to'g'ri: ma'lum bir to'g'rida yotmaydigan fazoning istalgan nuqtasi orqali berilgan chiziqqa parallel bitta chiziq o'tadi. Bu teoremani yuqorida keltirilgan parallel chiziqlar aksiomasi yordamida osonlik bilan isbotlash mumkin (uning isbotini 10-11-sinflar uchun geometriya darsligidan topishingiz mumkin, adabiyotlar ro‘yxatida maqola oxirida keltirilgan).
Kosmosdagi holat uchun teorema to'g'ri: ma'lum bir to'g'rida yotmaydigan fazoning istalgan nuqtasi orqali berilgan chiziqqa parallel bitta chiziq o'tadi. Bu teorema yuqorida keltirilgan parallel chiziqlar aksiomasi yordamida osonlik bilan isbotlanadi.
Chiziqlar parallelligi - parallellik belgilari va shartlari.
Parallel chiziqlar belgisi parallel chiziqlar uchun etarli shart, ya'ni bajarilishi parallel chiziqlarni kafolatlaydigan shunday shartdir. Boshqacha qilib aytganda, bu shartning bajarilishi chiziqlar parallel ekanligini ko'rsatish uchun etarli.
Tekislikda va uch o'lchamli fazoda parallel chiziqlar uchun zarur va etarli shartlar ham mavjud.
“Paralel chiziqlar uchun zarur va yetarli shart” iborasining ma’nosini tushuntirib beramiz.
Biz allaqachon parallel chiziqlar uchun etarli shartni ko'rib chiqdik. Va "parallel chiziqlar uchun zarur shart" nima? "Zarur" nomi bilan bu shartning bajarilishi chiziqlar parallel bo'lishi uchun zarur ekanligi aniq. Boshqacha qilib aytganda, agar parallel chiziqlar uchun zarur shart bajarilmasa, u holda chiziqlar parallel emas. Shunday qilib, chiziqlar parallel bo'lishi uchun zarur va etarli shart shart bo'lib, uning bajarilishi parallel chiziqlar uchun ham zarur, ham etarli. Ya'ni, bir tomondan, bu parallel chiziqlarning belgisi bo'lsa, boshqa tomondan, bu parallel chiziqlarga ega bo'lgan xususiyatdir.
Chiziqlar parallel bo'lishi uchun zarur va etarli shartni aytishdan oldin, bir nechta yordamchi ta'riflarni esga olish maqsadga muvofiqdir.
ajratuvchi chiziq berilgan ikkita to‘g‘ri kelmaydigan chiziqning har birini kesib o‘tuvchi chiziq.
Sekantning ikkita chizig'ining kesishmasida sakkizta joylashtirilmagan hosil bo'ladi. Deb atalmish ko'ndalang yotish, mos keladigan Va bir tomonlama burchaklar. Keling, ularni rasmda ko'rsatamiz.
Teorema.
Agar tekislikdagi ikkita to'g'ri chiziq sekant bilan kesishsa, ularning parallelligi uchun ko'ndalang yotgan burchaklar teng bo'lishi yoki mos burchaklar teng bo'lishi yoki bir tomonlama burchaklar yig'indisi 180 gradusga teng bo'lishi zarur va etarlidir. .
Keling, tekislikdagi parallel chiziqlar uchun ushbu zarur va etarli shartning grafik tasvirini ko'rsatamiz.
Parallel chiziqlar uchun bu shartlarning isbotini 7-9-sinflar uchun geometriya darsliklarida topishingiz mumkin.
E'tibor bering, bu shartlar uch o'lchovli fazoda ham qo'llanilishi mumkin - asosiysi, ikkita chiziq va sekant bir tekislikda yotadi.
Bu erda ko'pincha chiziqlar parallelligini isbotlashda qo'llaniladigan yana bir nechta teoremalar mavjud.
Teorema.
Agar tekislikdagi ikkita chiziq uchinchi chiziqqa parallel bo'lsa, ular parallel bo'ladi. Bu xususiyatning isboti parallel chiziqlar aksiomasidan kelib chiqadi.
Uch o'lchovli fazoda parallel chiziqlar uchun ham xuddi shunday holat mavjud.
Teorema.
Agar fazodagi ikkita chiziq uchinchi chiziqqa parallel bo'lsa, ular parallel bo'ladi. Bu xususiyatning isboti 10-sinfda geometriya darslarida ko'rib chiqiladi.
Ovozli teoremalarni tasvirlab beraylik.
Tekislikdagi chiziqlar parallelligini isbotlash imkonini beruvchi yana bir teorema keltiraylik.
Teorema.
Agar tekislikdagi ikkita chiziq uchinchi chiziqqa perpendikulyar bo'lsa, ular parallel bo'ladi.
Kosmosdagi chiziqlar uchun ham xuddi shunday teorema mavjud.
Teorema.
Agar uch o'lchamli fazodagi ikkita chiziq bir tekislikka perpendikulyar bo'lsa, ular parallel bo'ladi.
Keling, ushbu teoremalarga mos keladigan rasmlarni chizamiz.
Yuqorida ifodalangan barcha teoremalar, belgilar va zarur va yetarli shartlar toʻgʻri chiziqlar parallelligini geometriya usullari bilan isbotlash uchun toʻliq mos keladi. Ya'ni, berilgan ikkita to'g'ri chiziqning parallelligini isbotlash uchun ularning uchinchi chiziqqa parallel ekanligini ko'rsatish yoki kesishgan burchaklarning tengligini ko'rsatish va hokazo. Ushbu masalalarning ko'pchiligi o'rta maktabda geometriya darslarida hal qilinadi. Ammo shuni ta'kidlash kerakki, ko'p hollarda tekislikdagi yoki uch o'lchovli fazodagi chiziqlar parallelligini isbotlash uchun koordinatalar usulidan foydalanish qulay. To'g'ri to'rtburchaklar koordinatalar tizimida berilgan chiziqlar parallelligi uchun zarur va etarli shartlarni tuzamiz.
To'g'ri to'rtburchak koordinatalar sistemasidagi chiziqlar parallelligi.
Maqolaning ushbu qismida biz shakllantiramiz parallel chiziqlar uchun zarur va etarli shartlar to'rtburchaklar koordinatalar tizimida, bu chiziqlarni aniqlaydigan tenglamalar turiga qarab va biz tipik masalalarning batafsil echimlarini ham beramiz.
Keling, to'rtburchaklar koordinata tizimidagi tekislikdagi ikkita chiziqning parallellik shartidan boshlaylik Oxy . Uning isboti chiziqning yo'naltiruvchi vektorini aniqlashga va chiziqning tekislikdagi normal vektorini aniqlashga asoslangan.
Teorema.
Bir tekislikda bir-biriga mos kelmaydigan ikkita toʻgʻri chiziq parallel boʻlishi uchun bu toʻgʻri chiziqlarning yoʻnalish vektorlari kollinear yoki bu toʻgʻri chiziqning normal vektorlari kollinear boʻlishi yoki bitta chiziqning yoʻnalish vektori normalga perpendikulyar boʻlishi zarur va yetarlidir. ikkinchi qator vektori.
Shubhasiz, tekislikdagi ikkita chiziqning parallellik sharti (chiziqlarning yo'nalish vektorlari yoki chiziqlarning normal vektorlari) yoki (bir chiziqning yo'nalish vektori va ikkinchi chiziqning normal vektori) ga kamayadi. Shunday qilib, agar va a va b chiziqlarning yo'nalish vektorlari bo'lsa va 
Va 
mos ravishda a va b chiziqlarning normal vektorlari bo'lsa, u holda a va b parallel chiziqlar uchun zarur va etarli shart quyidagicha yozilishi mumkin. 
, yoki 
, yoki , bu yerda t qandaydir haqiqiy son. O'z navbatida a va b to'g'ri chiziqlarning yo'naltiruvchi va (yoki) normal vektorlarining koordinatalari to'g'ri chiziqlarning ma'lum tenglamalaridan topiladi.
Xususan, tekislikdagi Oksi to'rtburchaklar koordinata sistemasidagi a chiziq shakl chizig'ining umumiy tenglamasini aniqlasa. 
, va to'g'ri chiziq b - 
, u holda bu chiziqlarning normal vektorlari mos ravishda koordinatalariga ega va a va b chiziqlarning parallellik sharti quyidagicha yoziladi.
Agar to'g'ri chiziq a shaklning qiyalik koeffitsienti bilan to'g'ri chiziq tenglamasiga mos kelsa 
. Shuning uchun, agar to'g'ri to'rtburchaklar koordinata tizimidagi tekislikdagi to'g'ri chiziqlar parallel bo'lsa va qiyalik koeffitsientli to'g'ri chiziqlar tenglamalari bilan berilishi mumkin bo'lsa, u holda chiziqlarning qiyalik koeffitsientlari teng bo'ladi. Va aksincha: agar to'g'ri to'rtburchaklar koordinata tizimidagi tekislikdagi bir-biriga to'g'ri kelmaydigan to'g'ri chiziqlar qiyalik koeffitsientlari teng bo'lgan to'g'ri chiziq tenglamalari bilan berilishi mumkin bo'lsa, unda bunday to'g'ri chiziqlar parallel bo'ladi.
To'g'ri to'rtburchaklar koordinata sistemasidagi a va b to'g'ri chiziq tekisligidagi chiziqning kanonik tenglamalarini aniqlasa. 
Va 
, yoki shakl tekisligidagi to'g'ri chiziqning parametrik tenglamalari 
Va 
mos ravishda, u holda bu chiziqlarning yo'nalish vektorlari koordinatalariga va ga ega bo'ladi va a va b chiziqlar uchun parallellik sharti quyidagicha yoziladi.
Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.
Misol.
Chiziqlar parallelmi? 
Va ?
Yechim.
To'g'ri chiziq tenglamasini segmentlarda to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi shaklida qayta yozamiz: 
. Endi bu to'g'ri chiziqning normal vektori ekanligi aniq , va to'g'ri chiziqning normal vektori. Bu vektorlar kollinear emas, chunki t tengligi ( 
). Binobarin, tekislikdagi chiziqlar parallelligi uchun zarur va yetarli shart bajarilmaydi, shuning uchun berilgan chiziqlar parallel emas.
Javob:
Yo'q, chiziqlar parallel emas.
Misol.
Chiziqlar va parallellar bormi?
Yechim.
To'g'ri chiziqning kanonik tenglamasini qiyalikli to'g'ri chiziq tenglamasiga keltiramiz: . Shubhasiz, va chiziqlar tenglamalari bir xil emas (bu holda berilgan chiziqlar bir xil bo'ladi) va chiziqlarning qiyaliklari teng, shuning uchun dastlabki chiziqlar parallel.
Ikkinchi yechim.
Birinchidan, asl chiziqlar bir-biriga mos kelmasligini ko'rsatamiz: chiziqning istalgan nuqtasini oling, masalan, (0, 1) , bu nuqtaning koordinatalari chiziq tenglamasini qanoatlantirmaydi, shuning uchun chiziqlar bir-biriga mos kelmaydi. Endi bu chiziqlarning parallellik shartining bajarilishini tekshiramiz. Chiziqning normal vektori vektor, yo'nalish vektori esa vektordir. Keling, hisoblab chiqamiz va: 
. Binobarin, va vektorlari perpendikulyar, ya’ni berilgan chiziqlar parallelligi uchun zarur va yetarli shart bajariladi. Shunday qilib, chiziqlar parallel.
Javob:
Berilgan chiziqlar parallel.
Uch o'lchovli fazoda to'g'ri to'rtburchak koordinatalar tizimidagi chiziqlar parallelligini isbotlash uchun quyidagi zarur va etarli shart qo'llaniladi.
Teorema.
Uch o'lchovli fazoda to'g'ri kelmaydigan chiziqlar parallel bo'lishi uchun ularning yo'nalish vektorlari kollinear bo'lishi zarur va etarli.
Shunday qilib, agar uch o'lchamli fazodagi to'rtburchaklar koordinatalar tizimidagi chiziqlar tenglamalari ma'lum bo'lsa va siz bu chiziqlar parallel yoki parallel emasmi degan savolga javob berishingiz kerak bo'lsa, unda siz ushbu chiziqlarning yo'nalish vektorlarining koordinatalarini topib, tekshirishingiz kerak. yo'nalish vektorlarining kollinearlik shartining bajarilishi. Boshqacha aytganda, agar 
Va 
- to'g'ri chiziqlarning yo'nalish vektorlari berilgan chiziqlar koordinatalariga ega va . Chunki 
, Bu. Shunday qilib, fazoda ikkita chiziq parallel bo'lishi uchun zarur va etarli shart bajariladi. Bu chiziqlar parallelligini isbotlaydi 
Va 
.
Adabiyotlar ro'yxati.
- Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometriya. 7-9-sinflar: ta’lim muassasalari uchun darslik.
- Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometriya. O'rta maktabning 10-11-sinflari uchun darslik.
- Pogorelov A.V., Geometriya. Ta'lim muassasalarining 7-11-sinflari uchun darslik.
- Bugrov Ya.S., Nikolskiy S.M. Oliy matematika. Birinchi jild: Chiziqli algebra va analitik geometriya elementlari.
- Ilyin V.A., Poznyak E.G. Analitik geometriya.
Sinf: 2
Darsning maqsadi:
- 2 chiziqning parallelligi tushunchasini shakllantirish, parallel chiziqlarning birinchi belgisini ko'rib chiqish;
- muammolarni hal qilishda belgini qo'llash qobiliyatini rivojlantirish.
Vazifalar:
- Tarbiyaviy: o`rganilgan materialni takrorlash va mustahkamlash, 2 chiziq parallellik tushunchasini shakllantirish, 2 chiziq parallelligining 1-belgisini isbotlash.
- Ta'limiy: daftarda qaydlarni aniq yuritish va chizmalarni qurish qoidalariga rioya qilish qobiliyatini rivojlantirish.
- Rivojlantiruvchi vazifalar: mantiqiy fikrlashni, xotirani, diqqatni rivojlantirish.
Dars jihozlari:
- multimedia proyektori;
- ekran, taqdimotlar;
- chizish asboblari.
Darslar davomida
I. Tashkiliy moment.
Salomlashish, darsga tayyorgarlikni tekshirish.
II. Faol UPDga tayyorgarlik.
1-bosqich.
Geometriyaning birinchi darsida biz 2 ta chiziqning tekislikdagi nisbiy holatini ko'rib chiqdik.
Savol. Ikki chiziqning nechta umumiy nuqtasi bo'lishi mumkin?
Javob. Ikki chiziq bitta umumiy nuqtaga ega bo'lishi yoki bir nechta umumiy nuqtaga ega bo'lmasligi mumkin.
Savol. Agar bitta umumiy nuqta bo'lsa, ikkita chiziq bir-biriga nisbatan qanday joylashadi?
Javob. Agar chiziqlar bitta umumiy nuqtaga ega bo'lsa, ular kesishadi
Savol. Agar umumiy nuqtalari bo'lmasa, 2 ta chiziq bir-biriga nisbatan qanday joylashgan?
Javob. Bunday holda, chiziqlar kesishmaydi.
2-bosqich.
Oxirgi darsda sizga hayotimizda va tabiatda kesishmaydigan chiziqlar bilan uchrashadigan taqdimot qilish vazifasi berildi. Endi biz ushbu taqdimotlarni ko'rib chiqamiz va ulardan eng yaxshisini tanlaymiz. (Hakamlar hay'ati tarkibiga aqli pastligi sababli o'z taqdimotlarini yaratish qiyin bo'lgan talabalar kirdi.)
Talabalar tomonidan tayyorlangan taqdimotlarni ko'rish: "Tabiat va hayotdagi chiziqlar parallelligi" va ulardan eng yaxshisini tanlash.
III. Faol UPD (yangi materialni tushuntirish).
1-bosqich.
1-rasm
Ta'rif. Tekislikdagi kesishmaydigan ikkita chiziq parallel deyiladi.
Ushbu jadvalda tekislikda 2 ta parallel chiziqni joylashtirishning turli holatlari ko'rsatilgan.
Qaysi segmentlar parallel bo'lishini ko'rib chiqing.
2-rasm
1) Agar a chiziq b ga parallel bo'lsa, AB va CD segmentlari ham parallel bo'ladi.
2) To'g'ri chiziqqa parallel bo'lgan chiziq segmenti bo'lishi mumkin. Demak, MN segmenti a chiziqqa parallel.
3-rasm
3) AB segmenti h nuriga parallel. H nuri k nuriga parallel.
4) Agar a chiziq c to‘g‘riga perpendikulyar, b to‘g‘risi esa c to‘g‘riga perpendikulyar bo‘lsa, a va b to‘g‘ri chiziq parallel bo‘ladi.
2-bosqich.
Ikki parallel va ko'ndalang chiziqdan hosil bo'lgan burchaklar.
4-rasm
Ikki parallel chiziq uchinchi chiziqni ikkita nuqtada kesib o'tadi. Bunday holda, rasmda raqamlar bilan ko'rsatilgan sakkizta burchak hosil bo'ladi.
Ushbu burchaklarning ba'zi juftlari maxsus nomlarga ega (4-rasmga qarang).
Mavjud uchta belgi, ikkita chiziqning parallelligi bu burchaklar bilan bog'liq. Ushbu darsda biz ko'rib chiqamiz birinchi belgisi.
3-bosqich.
Keling, ushbu xususiyatni isbotlash uchun zarur bo'lgan materialni takrorlaymiz.
5-rasm
Savol. 5-rasmda ko'rsatilgan burchaklarning nomlari qanday?
Javob. AOC va COB burchaklari qo'shni deyiladi.
Savol. Qanday burchaklar qo'shni deyiladi? Ta'rif bering.
Javob. Ikki burchak qo'shni deyiladi, agar ularning bir tomoni umumiy bo'lsa, qolgan ikkitasi bir-birining kengaytmasi bo'lsa.
Savol. Qo'shni burchaklarning xususiyatlari qanday?
Javob. Qo'shni burchaklar 180 gradusgacha qo'shiladi.
AOC + COB = 180 °
Savol. 1 va 2 burchaklar nima deyiladi?
Javob. 1 va 2 burchaklar vertikal deyiladi.
Savol. Vertikal burchaklarning xossalari qanday?
Javob. Vertikal burchaklar bir-biriga teng.
4-bosqich.
Parallelizmning birinchi belgisini isbotlash.
Teorema. Agar ikkita to'g'ri chiziqning kesishmasida yotqizilgan burchaklar teng bo'lsa, u holda chiziqlar parallel bo'ladi.
6-rasm
Berilgan: a va b to'g'ri
AB - sekant
1 =
2
Isbot qiling: a//b.
1-holat.
7-rasm
Agar 1 va 2 to'g'ri chiziqlar bo'lsa, u holda a AB ga perpendikulyar, b esa AB ga perpendikulyar bo'lsa, a//b.
2-chi holat.
8-rasm
1 va 2 to'g'ri chiziq bo'lmagan holatni ko'rib chiqaylik.AB segmentini O nuqta bilan yarmiga bo'lamiz.
Savol. AO va OB segmentlarining uzunligi qancha bo'ladi?
Javob. AO va OB segmentlari uzunligi teng.
1) O nuqtadan a chiziqqa perpendikulyar chizamiz, OH a ga perpendikulyar.
Savol. 3-burchak qanday bo'ladi?
Javob. 3-burchak to'g'ri bo'ladi.
2) b to'g'ri chiziqdagi A nuqtadan AH 1 = BH segmentini kompas bilan chetga qo'yamiz.
3) OH 1 segmentini chizamiz.
Savol. Isbot natijasida qanday uchburchaklar hosil bo'ldi?
Javob. Uchburchak ONV va uchburchak OH 1 A.
Keling, ular teng ekanligini isbotlaylik.
Savol. Teorema gipotezasiga ko'ra qanday burchaklar teng?
Javob. 1-burchak 2-burchakka teng.
Savol. Qurilishda qaysi tomonlar teng.
Javob. AO = OB va AN 1 = VN
Savol. Uchburchaklar nimaga asoslanib mos keladi?
Javob. Ikki tomonda uchburchaklar teng va ular orasidagi burchak (uchburchaklar tengligining birinchi belgisi).
Savol. Kongruent uchburchaklar qanday xususiyatga ega?
Javob. Teng uchburchaklar teng tomonlarga qarama-qarshi teng burchaklarga ega.
Savol. Qaysi burchaklar teng bo'ladi?
Javob.
5 =
6,
3 =
4.
Savol. 5 va 6 qanday nomlanadi?
Javob. Bu burchaklar vertikal deyiladi.
Bundan kelib chiqadiki: H 1, O, H nuqtalar bitta to'g'ri chiziqda yotadi.
Chunki 3 to'g'ri va 3 = 4, keyin 4 to'g'ri.
Savol. Agar 3 va 4 burchaklar to'g'ri bo'lsa, a va b chiziqlar HH 1 to'g'riga nisbatan qanday bo'ladi?
Javob. a va b chiziqlar HH 1 ga perpendikulyar.
Savol. Bitta to'g'ri chiziqqa ikkita perpendikulyar haqida nima deyish mumkin?
Javob. Bir chiziqning ikkita perpendikulyarlari parallel.
Shunday qilib, a//b. Teorema isbotlangan.
Endi men barcha dalillarni boshidan takrorlayman va siz meni diqqat bilan tinglaysiz va eslash uchun hamma narsani tushunishga harakat qilasiz.
IV. Yangi materialni birlashtirish.
Turli darajadagi intellektga ega bo'lgan guruhlarda ishlash, so'ngra ekranda va doskada tekshirish. Doskada 3 nafar talaba ishlaydi (har bir guruhdan bittadan).
№1 (intellektual rivojlanish darajasi past bo'lgan talabalar uchun).
Berilgan: a va b to'g'ri
c - sekant
1 = 37°
7 = 143 °
Isbot qiling: a//b.
Yechim.
7 = 6 (vertikal) 6 = 143 °
1 + 4 = 180° (qoʻshni) 4 =180° – 37° = 143°
4 \u003d 6 \u003d 143 ° va ular ko'ndalang yotadi a//b 5 \u003d 48 °, 3 va 5 o'zaro burchaklardir, ular a//b ga teng.
11-rasm
V. Darsning qisqacha mazmuni.
Dars natijasi 1-8-rasmlar yordamida amalga oshiriladi.
Talabalarning darsdagi faolligi baholanadi (har bir talaba tegishli kulgich oladi).
Uy vazifasi: o'rgatish - 52-53-betlar; 186-sonli (b, c) hal qiling.
Parallellik geometriyada juda foydali xususiyatdir. Haqiqiy hayotda parallel tomonlar har qanday ko'zni quvontiradigan chiroyli, nosimmetrik narsalarni yaratishga imkon beradi, shuning uchun geometriya har doim bu parallelizmni tekshirish usullariga muhtoj edi. Biz ushbu maqolada parallel chiziqlarning belgilari haqida gapiramiz.
Parallelizmning ta'rifi
Keling, ikkita chiziqning parallellik belgilarini isbotlash uchun bilishingiz kerak bo'lgan ta'riflarni ajratib ko'rsatamiz.
Agar kesishish nuqtalari bo'lmasa, chiziqlar parallel deyiladi. Bundan tashqari, eritmalarda parallel chiziqlar odatda sekant chiziq bilan birga boradi.
Sekant chiziq ikkala parallel chiziqni kesib o'tuvchi chiziqdir. Bunday holda, yotgan, mos keladigan va bir tomonlama burchaklar ko'ndalang shakllanadi. 1 va 4 burchak juftlari bo'ylab yotgan bo'ladi; 2 va 3; 8 va 6; 7 va 5. Tegishli 7 va 2 bo'ladi; 1 va 6; 8 va 4; 3 va 5.
Bir tomonlama 1 va 2; 7 va 6; 8 va 5; 3 va 4.
To'g'ri formatlanganda, u yoziladi: "Ikki parallel chiziq a va b va sekant c bo'lgan o'zaro faoliyat burchaklar", chunki ikkita parallel chiziq uchun cheksiz sonli sekant bo'lishi mumkin, shuning uchun siz qaysi sekantni nazarda tutayotganingizni ko'rsatishingiz kerak.
Shuningdek, isbotlash uchun bizga uchburchakning tashqi burchagi haqidagi teorema kerak bo'lib, u uchburchakning tashqi burchagi unga qo'shni bo'lmagan uchburchakning ikki burchagi yig'indisiga teng ekanligini bildiradi.
belgilar
Parallel chiziqlarning barcha belgilari burchaklarning xossalari va uchburchakning tashqi burchagi haqidagi teoremani bilish bilan bog'liq.
Xususiyat 1
Agar kesishgan burchaklar teng bo'lsa, ikkita chiziq parallel bo'ladi.
A va b sekantli ikkita chiziqni ko'rib chiqing. Ko'ndalang yotgan burchaklar 1 va 4 teng. Chiziqlar parallel emas deb faraz qiling. Bu shuni anglatadiki, chiziqlar kesishadi va kesishish nuqtasi M bo'lishi kerak. Keyin tashqi burchak 1 ga teng bo'lgan uchburchak AVM hosil bo'ladi. Tashqi burchak 4 burchaklar yig'indisiga teng bo'lishi kerak va unga ko'ra unga qo'shni bo'lmagan AVM uchburchakning tashqi burchagi haqidagi teorema. Ammo keyin ma'lum bo'ladiki, 1-burchak 4-burchakdan katta va bu masala shartiga zid, ya'ni M nuqta mavjud emas, chiziqlar kesishmaydi, ya'ni ular parallel.
Guruch. 1. Isbot uchun chizma.
Xususiyat 2
Tegishli sekant burchaklar teng bo'lsa, ikkita chiziq parallel bo'ladi.
A va b sekantli ikkita chiziqni ko'rib chiqing. Tegishli burchaklar 7 va 2 teng. 3-burchakka e'tibor qarataylik. 7-burchak uchun vertikal. Demak, 7 va 3 burchaklar teng. Demak, 3 va 2 burchaklar ham teng, chunki<7=<2 и <7=<3. А угол 3 и угол 2 являются накрест лежащими. Следовательно, прямые параллельны, что и требовалось доказать.
Guruch. 2. Isbot uchun chizma.
Xususiyat 3
Agar bir tomonlama burchaklar yig'indisi 180 daraja bo'lsa, ikkita chiziq parallel bo'ladi.
Guruch. 3. Isbot uchun chizma.
A va b sekantli ikkita chiziqni ko'rib chiqing. 1 va 2 bir tomonlama burchaklarning yig'indisi 180 ga teng. Keling, 1 va 7 burchaklarga e'tibor beraylik. Ular qo'shni. Ya'ni:
$$<1+<7=180$$
$$<1+<2=180$$
Birinchi ifodadan ikkinchisini ayiring:
$$(<1+<7)-(<1+<2)=180-180$$
$$(<1+<7)-(<1+<2)=0$$
$$<1+<7-<1-<2=0$$
$$<7-<2=0$$
$<7=<2$ - а они являются соответственными. Значит, прямые параллельны.
Biz nimani o'rgandik?
Biz uchinchi chiziq bilan parallel chiziqlarni kesishda qanday burchaklar olinishini batafsil tahlil qildik, chiziqlar parallelligining uchta belgisini isbotini aniqladik va batafsil bayon qildik.
Mavzu viktorina
Maqola reytingi
O'rtacha reyting: 4.1. Qabul qilingan umumiy baholar: 220.
1. Parallelizmning birinchi belgisi.
Agar ikkita to'g'ri chiziqning uchinchisi bilan kesishgan joyida bo'ylab yotadigan ichki burchaklar teng bo'lsa, bu chiziqlar parallel bo'ladi.
AB va CD chiziqlari EF va ∠1 = ∠2 chiziq bilan kesishsin. O nuqtani olaylik - EF sekantining KL segmentining o'rtasi (rasm).
O nuqtadan AB to‘g‘riga perpendikulyar OMni tushirib, CD, AB ⊥ MN to‘g‘ri chiziq bilan kesishguncha davom ettiramiz. CD ⊥ MN ni ham isbotlaylik.
Buning uchun ikkita uchburchakni ko'rib chiqing: MOE va NOK. Bu uchburchaklar bir-biriga teng. Haqiqatan ham: teorema gipotezasi bo'yicha ∠1 = ∠2; OK = OL - qurilish bo'yicha;
Vertikal burchaklar sifatida ∠MOL = ∠NOK. Shunday qilib, bir uchburchakning yon tomoni va unga tutashgan ikkita burchagi mos ravishda boshqa uchburchakning yon tomoniga va unga tutashgan ikkita burchagiga teng; shuning uchun DMOL = NOK, demak, ∠LMO = ∠KNO,
lekin ∠LMO to'g'ridan-to'g'ri, shuning uchun ∠KNO ham to'g'ridan-to'g'ri. Shunday qilib, AB va CD chiziqlar bir xil MN to'g'risiga perpendikulyar, shuning uchun ular parallel bo'lib, isbotlanishi kerak edi.
Eslatma. MOL uchburchakni O nuqta atrofida 180° ga aylantirish orqali MO va CD chiziqlarning kesishishini aniqlash mumkin.
2. Parallelizmning ikkinchi belgisi.
Keling, AB va CD to'g'ri chiziq parallel yoki yo'qligini ko'rib chiqaylik, agar ularning uchinchi EF chizig'ining kesishmasida mos burchaklar teng bo'lsa.
Ba'zi mos burchaklar teng bo'lsin, masalan ∠ 3 = ∠2 (rasm);
∠3 = ∠1 vertikal burchaklar sifatida; shuning uchun ∠2 ∠1 ga teng bo'ladi. Ammo 2 va 1 burchaklar ichki ko'ndalang burchaklardir va biz allaqachon bilamizki, agar ikkita chiziqning uchdan bir qismi kesishmasida ichki ko'ndalang yotgan burchaklar teng bo'lsa, u holda bu chiziqlar parallel. Shuning uchun, AB || CD.
Agar uchinchisining ikkita chizig'ining kesishmasida mos burchaklar teng bo'lsa, bu ikki chiziq parallel bo'ladi.
Chizgich va chizilgan uchburchak yordamida parallel chiziqlarni qurish shu xususiyatga asoslanadi. Bu quyidagicha amalga oshiriladi.
Rasmda ko'rsatilganidek, o'lchagichga uchburchakni biriktiramiz. Biz uchburchakni uning bir tomoni o'lchagich bo'ylab siljishi uchun harakatlantiramiz va uchburchakning boshqa tomoni bo'ylab bir nechta to'g'ri chiziqlar chizamiz. Bu chiziqlar parallel bo'ladi.
3. Parallelizmning uchinchi belgisi.
Bilamizki, ikkita AB va CD toʻgʻrining uchinchi chiziq bilan kesishgan joyida har qanday ichki bir tomonlama burchaklar yigʻindisi 2 ga teng. d(yoki 180 °). Bu holda AB va CD chiziqlar parallel bo'ladimi (rasm).
∠1 va ∠2 bir tomonlama ichki burchaklar bo'lsin va 2 ga teng bo'lsin d.
Lekin ∠3 + ∠2 = 2 d qo'shni burchaklar sifatida. Demak, ∠1 + ∠2 = ∠3+ ∠2.
Demak, ∠1 = ∠3 va bu ichki burchaklar ko'ndalang. Shuning uchun AB || CD.
Ikki chiziqning uchdan bir qismining kesishmasida ichki bir tomonlama burchaklar yig'indisi teng bo'ladi. 2 d (yoki 180 °), keyin ikkita chiziq parallel bo'ladi.
Parallel chiziqlarning belgilari:
1. Agar ikkita to'g'ri chiziqning uchdan bir qismi kesishmasida ichki ko'ndalang yotuvchi burchaklar teng bo'lsa, bu chiziqlar parallel bo'ladi.2. Agar uchinchisining ikkita chizig'ining kesishmasida mos burchaklar teng bo'lsa, bu ikki chiziq parallel bo'ladi.
3. Agar uchinchisining ikkita chizig'ining kesishmasida ichki bir tomonlama burchaklarning yig'indisi 180 ° bo'lsa, bu ikki chiziq parallel bo'ladi.
4. Agar ikkita chiziq uchinchi chiziqqa parallel bo'lsa, u holda ular bir-biriga parallel.
5. Agar ikkita chiziq uchinchi chiziqqa perpendikulyar bo'lsa, u holda ular bir-biriga parallel.
Evklidning parallellik aksiomasi
Vazifa. AB chiziqdan tashqarida olingan M nuqta orqali AB to‘g‘riga parallel chiziq o‘tkazing.
Chiziqlarning parallellik belgilari bo'yicha isbotlangan teoremalardan foydalanib, bu muammoni turli yo'llar bilan hal qilish mumkin,
Yechim. 1-s o s o b (199-rasm).
MN⊥AB chizamiz va M nuqta orqali CD⊥MN chizamiz;
biz CD⊥MN va AB⊥MN ni olamiz.
Teoremaga asoslanib («Agar ikkita to‘g‘ri chiziq bir xil to‘g‘rilikka perpendikulyar bo‘lsa, ular parallel bo‘ladi.») SD || AB.
2-s p o s o b (200-rasm).
AB ni istalgan a burchak ostida kesib o'tuvchi MK ni o'tkazamiz va M nuqta orqali a burchakka teng MK to'g'ri chiziq bilan EMK burchak hosil qiluvchi EF to'g'ri chiziqni o'tkazamiz. () teoremasi asosida EF || degan xulosaga kelamiz AB.
Bu masalani hal qilib, AB chiziqdan tashqarida olingan har qanday M nuqta orqali unga parallel chiziq chizish mumkinligini isbotlangan deb hisoblashimiz mumkin. Savol tug'iladi, berilgan chiziqqa parallel va berilgan nuqtadan o'tuvchi nechta chiziq mavjud bo'lishi mumkin?
Qurilish amaliyoti bizga faqat bitta chiziq bor deb taxmin qilish imkonini beradi, chunki diqqat bilan chizilgan chizma bilan bir xil nuqta orqali turli yo'llar bilan chizilgan chiziqlar bir xil chiziqqa parallel ravishda birlashadi.
Nazariy jihatdan bu savolga javob Evklid parallelizmi aksiomasi deb ataladi; u quyidagicha tuzilgan:
Berilgan chiziqdan tashqarida olingan nuqta orqali bu chiziqqa parallel ravishda faqat bitta chiziq o'tkazish mumkin.
201 chizmada O nuqta orqali AB to'g'ri chiziqqa parallel SK to'g'ri chiziq o'tkaziladi.
O nuqtadan oʻtuvchi boshqa har qanday chiziq endi AB toʻgʻrisiga parallel boʻlmaydi, balki uni kesib oʻtadi.
Evklid o'zining "Elementlar" asarida qabul qilgan, berilgan to'g'ridan-to'g'ri chiziqdan tashqarida olingan nuqta orqali tekislikda bu chiziqqa parallel ravishda faqat bitta chiziq o'tkazish mumkin, degan aksioma deyiladi. Evklidning parallellik aksiomasi.
Evkliddan keyin ikki ming yildan ko'proq vaqt davomida ko'plab matematiklar ushbu matematik taklifni isbotlashga harakat qilishdi, ammo ularning urinishlari doimo muvaffaqiyatsiz bo'ldi. Faqat 1826 yilda buyuk rus olimi, Qozon universiteti professori Nikolay Ivanovich Lobachevskiy Evklidning boshqa barcha aksiomalaridan foydalangan holda, bu matematik taklifni isbotlab bo'lmasligini, uni haqiqatan ham aksioma sifatida qabul qilish kerakligini isbotladi. N. I. Lobachevskiy yangi geometriya yaratdi, u Evklid geometriyasidan farqli ravishda Lobachevskiy geometriyasi deb ataldi.
