To'liq kvadratni tanlash usuli qanday. Ko‘phadlarni faktoring. To'liq kvadrat tanlash usuli. Usullarning kombinatsiyasi. Sun'iy hisoblagichni aylantirish usuli

Yuqorida aytib o'tganimdek, integral hisobda kasrni integrallash uchun qulay formula mavjud emas. Va shuning uchun qayg'uli tendentsiya kuzatiladi: kasr qanchalik "murakkab" bo'lsa, undan integral topish shunchalik qiyin bo'ladi. Shu munosabat bilan siz turli xil hiyla-nayranglarga murojaat qilishingiz kerak, men hozir sizga aytib beraman. O'qitilgan kitobxonlar darhol foyda olishlari mumkin Mundarija:

• Eng oddiy kasrlar uchun differensial belgini yig'ish usuli

Sun'iy hisoblagichni aylantirish usuli

1-misol

Aytgancha, ko'rib chiqilayotgan integralni o'zgaruvchan usulini o'zgartirish orqali hal qilish mumkin, ammo yechim uzoqroq yoziladi.

2-misol

Noaniq integralni toping. Tekshirib ko'r.

Bu o'z-o'zidan hal qilish uchun misol. Shuni ta'kidlash kerakki, o'zgaruvchini o'zgartirish usuli bu erda endi ishlamaydi.

Diqqat, muhim! 1,2-sonli misollar odatiy va umumiydir.... Xususan, bunday integrallar ko'pincha boshqa integrallarni echish jarayonida, xususan, irratsional funktsiyalarni (ildizlarni) integrallashda paydo bo'ladi.

Ko'rib chiqilgan texnika bu holatda ham ishlaydi agar sonning eng yuqori darajasi maxrajning eng yuqori darajasidan katta bo'lsa.

3-misol

Noaniq integralni toping. Tekshirib ko'r.

Numeratorni olishni boshlaymiz.

Numeratorni tanlash algoritmi quyidagicha:

1) Numeratorda men tartibga solishim kerak, lekin u erda. Nima qilish kerak? Men uni qavs ichiga qo'yaman va : ga ko'paytiraman.

2) Endi men bu qavslarni ochmoqchiman, nima bo'ladi? ... Hmm ... allaqachon yaxshiroq, lekin birinchi navbatda hisoblagichda ikkitasi yo'q. Nima qilish kerak? Siz ko'paytirishingiz kerak:

3) Qavslarni yana kengaytiring:. Va bu erda birinchi muvaffaqiyat! To'g'ri chiqdi! Ammo muammo shundaki, qo'shimcha atama paydo bo'ldi. Nima qilish kerak? Ifoda o'zgarmasligi uchun men konstruktsiyamga xuddi shunday qo'shishim kerak:
... Hayot osonlashdi. Numeratorda yana tartibga solish mumkin emasmi?

4) Siz qila olasiz. Urinish: ... Ikkinchi atama qavslarini kengaytiring:
... Kechirasiz, lekin menda avvalgi qadam bor edi, yo'q. Nima qilish kerak? Ikkinchi shartni quyidagicha ko'paytirish kerak:

5) Yana, tekshirish uchun men ikkinchi muddatdagi qavslarni kengaytiraman:
... Endi hammasi joyida: 3-bandning yakuniy qurilishidan olingan! Ammo yana kichik bir "lekin" qo'shimcha atama paydo bo'ldi, bu mening ifodamga qo'shishim kerakligini anglatadi:

Agar hamma narsa to'g'ri bajarilgan bo'lsa, unda biz barcha qavslarni kengaytirganimizda, biz integralning asl numeratorini olishimiz kerak. Biz tekshiramiz:
Yaxshi.

Shunday qilib:

Tayyor. Oxirgi muddatda funktsiyani differentsial ostida olib kelish usulini qo'lladim.

Agar javobning hosilasini topib, ifodani umumiy maxrajga keltirsak, u holda aynan asl integrasiyani olamiz. Yig'indiga ajratishning ko'rib chiqilgan usuli ifodani umumiy maxrajga olib keladigan teskari harakatdan boshqa narsa emas.

Bunday misollarda hisoblagichni tanlash algoritmi eng yaxshi qoralama ustida amalga oshiriladi. Ba'zi ko'nikmalar bilan u aqliy jihatdan ishlaydi. Men 11-darajali moslamani bajarganimda rekord vaqtni eslayman va hisoblagichning kengayishi deyarli ikkita Verd chizig'ini oldi.

4-misol

Noaniq integralni toping. Tekshirib ko'r.

Bu o'z-o'zidan hal qilish uchun misol.

Eng oddiy kasrlar uchun differensial belgini yig'ish usuli

Biz kasrlarning keyingi turini ko'rib chiqishga o'tamiz.
,,, (koeffitsientlar va nolga teng emas).

Darhaqiqat, arksinus va arktangensli bir nechta holatlar darsda allaqachon o'tib ketgan Noaniq integralda o'zgaruvchilarni o'zgartirish usuli... Bunday misollar funktsiyani differentsial belgisi ostida olib kelish va jadval yordamida keyingi integrallash usuli bilan yechiladi. Bu erda uzoq va yuqori logarifmlarga ega bo'lgan yana bir nechta odatiy misollar:

5-misol

6-misol

Bu erda integrallar jadvalini olish va qaysi formulalar bilan kuzatish tavsiya etiladi Qanaqasiga transformatsiya amalga oshiriladi. Eslatma, qanday va nima uchun kvadratlar bu misollarda ta'kidlangan. Xususan, 6-misolda birinchi navbatda maxrajni shaklda ifodalash kerak , keyin uni differensial belgi ostiga keltiring. Va bularning barchasi standart jadval formulasidan foydalanish uchun bajarilishi kerak .

Nimani tomosha qilish kerak, №# 7,8 misollarni mustaqil ravishda hal qilishga harakat qiling, ayniqsa ular juda qisqa:

7-misol

8-misol

Noaniq integralni toping:

Agar siz ushbu misollarni ham tekshira olsangiz, unda katta hurmat - sizning farqlash qobiliyatingiz eng yaxshisidir.

To'liq kvadrat tanlash usuli

Shaklning integrallari, (koeffitsientlar va nolga teng emas) yechiladi to'liq kvadratni tanlash usuli bilan, bu allaqachon darsda ko'rsatilgan Grafiklarning geometrik o'zgarishlari.

Aslida, bunday integrallar biz ko'rib chiqqan to'rtta jadvalli integraldan biriga qisqaradi. Va bunga qisqartirilgan ko'paytirish uchun tanish formulalar yordamida erishiladi:

Ushbu yo'nalishda formulalar qo'llaniladi, ya'ni usulning g'oyasi maxrajdagi ifodalarni sun'iy ravishda tartibga solish va keyin ularni mos ravishda o'zgartirishdir.

9-misol

Noaniq integralni toping

Bu erda eng oddiy misol muddatli - birlik koeffitsienti bilan(ba'zi raqam yoki minus emas).

Biz maxrajga qaraymiz, bu erda hamma narsa aniq bir ishga tushadi. Keling, denominatorni aylantirishni boshlaylik:

Shubhasiz, siz 4 qo'shishingiz kerak. Va ifoda o'zgarmasligi uchun - bir xil to'rtta va ayirma:

Endi siz formulani qo'llashingiz mumkin:

Konvertatsiya tugagandan so'ng DOIM teskari harakatni bajarish tavsiya etiladi: hamma narsa yaxshi, hech qanday xatolik yo'q.

Ko'rib chiqilayotgan misolning yakuniy dizayni quyidagicha ko'rinishi kerak:

Tayyor. Differensial belgi ostida "erkin" kompleks funktsiyani jamlash: printsipial jihatdan uni e'tiborsiz qoldirish mumkin

10-misol

Noaniq integralni toping:

Bu o'z-o'zidan hal qilish uchun misol, javob o'quv qo'llanmaning oxirida.

11-misol

Noaniq integralni toping:

Uning oldida minus bo'lsa, nima qilish kerak? Bunday holda, siz minusni qavslar tashqarisiga qo'yishingiz va shartlarni bizga kerak bo'lgan tartibda joylashtirishingiz kerak:. Doimiy(bu holda "ikki") Teginmang!

Endi qavs ichida bittasini qo'shing. Ifodani tahlil qilib, biz qavs orqasida bitta bo'lishi kerak degan xulosaga keldik - qo'shing:

Mana biz formulani oldik, amal qilamiz:

DOIM biz loyihani tekshiramiz:
, bu tasdiqlanishi kerak edi.

Misolning yakuniy tartibi quyidagicha ko'rinadi:

Vazifani murakkablashtirish

12-misol

Noaniq integralni toping:

Bu erda, atama bilan, endi birlik koeffitsienti emas, balki "besh".

(1) Agar uchun doimiy topilsa, uni darhol qavsdan chiqaramiz.

(2) Umuman olganda, bu konstanta sizning oyoqlaringiz ostiga tushmasligi uchun har doim integraldan tashqarida olish yaxshiroqdir.

(3) Shubhasiz, hamma narsa formulaga tushiriladi. Bu atamani tushunish kerak, ya'ni "ikki" ni olish uchun

(4) Ha,. Shunday qilib, biz ifodaga qo'shamiz va bir xil kasrni ayiramiz.

(5) Endi to'liq kvadratni tanlang. Umumiy holatda, siz ham hisoblashingiz kerak, ammo bu erda bizda uzun logarifm uchun formula mavjud , va harakatni amalga oshirishning ma'nosi yo'q, nima uchun - bu biroz quyida aniq bo'ladi.

(6) Aslida, siz formulani qo'llashingiz mumkin , faqat "x" o'rniga bizda mavjud, bu jadvalli integralning haqiqiyligini inkor etmaydi. To'g'ridan-to'g'ri aytganda, bir qadam tashlab qo'yilgan - integratsiyadan oldin funktsiya differentsial belgisi ostida joylashtirilishi kerak edi: lekin, men ko'p marta ta'kidlaganimdek, bu ko'pincha e'tiborsiz qoldiriladi.

(7) Ildiz ostidagi javobda barcha qavslarni orqaga kengaytirish tavsiya etiladi:

Qattiqmi? Bu hali integral hisoblashning eng qiyin qismi emas. Garchi ko'rib chiqilayotgan misollar unchalik murakkab emas, chunki ular yaxshi hisoblash texnikasini talab qiladi.

13-misol

Noaniq integralni toping:

Bu o'z-o'zidan hal qilish uchun misol. Javob dars oxirida.

Maxrajda ildizlari bo'lgan integrallar mavjud bo'lib, ular almashtirishdan foydalanib, ko'rib chiqilayotgan turdagi integrallarga kamaytiradi, siz ular haqida maqolada o'qishingiz mumkin. Kompleks integrallar, lekin u yuqori malakali talabalar uchun mo'ljallangan.

Differensial belgi ostidagi raqamni qo'shish

Bu darsning yakuniy qismi, ammo bu turdagi integrallar juda keng tarqalgan! Agar charchoq to'plangan bo'lsa, ertaga uni o'qish yaxshiroqmi? ;)

Biz ko'rib chiqadigan integrallar oldingi bo'limning integrallariga o'xshaydi, ular quyidagi shaklga ega: yoki (koeffitsientlar va nolga teng emas).

Ya'ni, biz hisoblagichda chiziqli funktsiyaga egamiz. Bunday integrallarni qanday yechish mumkin?

Ushbu darsda biz ko'phadni omillarga ajratishning ilgari o'rganilgan barcha usullarini eslaymiz va ularni qo'llash misollarini ko'rib chiqamiz, bundan tashqari, biz yangi usulni - to'liq kvadratni olish usulini o'rganamiz va uni yechishda qanday qo'llashni o'rganamiz. turli muammolar.

Mavzu:Ko‘phadlarni faktoring

Dars:Ko‘phadlarni faktoring. To'liq kvadrat tanlash usuli. Usullarning kombinatsiyasi

Oldin o'rganilgan ko'phadni omillarga ajratishning asosiy usullarini eslaylik:

Qavslar ichidan umumiy omilni olish usuli, ya'ni ko'phadning barcha shartlarida mavjud bo'lgan shunday ko'rsatkich. Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik:

Eslatib o'tamiz, monomial darajalar va raqamlarning mahsulotidir. Bizning misolimizda ikkala a'zo ham umumiy, bir xil elementlarga ega.

Shunday qilib, qavs ichidan umumiy omilni chiqaramiz:

;

Eslatib o'tamiz, ko'paytirgichni qavs bilan ko'paytirish orqali siz ayirishning to'g'riligini tekshirishingiz mumkin.

Guruhlash usuli. Ko'phadda umumiy omilni chiqarish har doim ham mumkin emas. Bunday holda, siz uning a'zolarini guruhlarga bo'lishingiz kerak, shunda har bir guruhda siz umumiy omilni ajratib olishingiz va uni sindirishga harakat qilishingiz kerak, shunda guruhlardagi omillarni chiqarib tashlaganingizdan so'ng, butun ifoda uchun umumiy omil paydo bo'ladi va kengaytirishni davom ettirish mumkin. Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik:

Keling, birinchi atamani mos ravishda to'rtinchi, ikkinchisini beshinchi va uchinchini oltinchi bilan guruhlaymiz:

Keling, umumiy omillarni guruhlarga ajratamiz:

Ifoda umumiy omilga ega. Keling, chiqaramiz:

Qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini qo'llash. Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik:

;

Keling, iborani batafsil yozamiz:

Shubhasiz, bizning oldimizda farq kvadratining formulasi bor, chunki ikkita ifodaning kvadratlari yig'indisi mavjud va undan ularning ikkilangan mahsuloti ayiriladi. Keling, formula bo'yicha yiqilib tushamiz:

Bugun biz yana bir usulni o'rganamiz - to'liq kvadratni tanlash usuli. U yig'indining kvadrati va ayirma kvadratining formulalariga asoslanadi. Keling, ularni eslaylik:

Yig'indi kvadratining formulasi (farq);

Bu formulalarning o‘ziga xosligi shundaki, ularda ikkita ifodaning kvadratlari va ularning ikkilangan ko‘paytmasi mavjud. Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik:

Keling, ifodani yozamiz:

Shunday qilib, birinchi ifoda bu, ikkinchisi esa.

Yig'indi yoki ayirma kvadratining formulasini tuzish uchun ifodalarning qo'sh ko'paytmasi etarli emas. Uni qo'shish va ayirish kerak:

Keling, yig'indining to'liq kvadratini yig'amiz:

Olingan ifodani o'zgartiramiz:

Biz kvadratlar farqi uchun formulani qo'llaymiz, eslaymizki, ikkita ifodaning kvadratlari orasidagi farq mahsulot va ularning farqi bo'yicha yig'indi:

Demak, bu usul, eng avvalo, kvadratda joylashgan a va b ifodalarni aniqlash, ya’ni bu misoldagi ifodalarning qaysi kvadratlari borligini aniqlash zarurligidan iborat. Shundan so'ng, siz ikkilangan mahsulot mavjudligini tekshirishingiz kerak va agar u yo'q bo'lsa, uni qo'shing va olib tashlang, misolning ma'nosi bundan o'zgarmaydi, lekin polinomni kvadrat uchun formulalar yordamida faktorlarga ajratish mumkin. yig'indisi yoki kvadratlarning farqi va farqi, agar bunday imkoniyat mavjud bo'lsa.

Keling, misollarni echishga o'tamiz.

1-misol - faktorlarga ajratish:

Kvadratli ifodalarni topamiz:

Keling, ularning ikki barobar mahsuloti qanday bo'lishi kerakligini yozamiz:

Mahsulotni ikki marta qo'shish va ayirish:

Keling, yig'indining to'liq kvadratini yig'amiz va shunga o'xshashlarni beramiz:

Keling, kvadratlar farqining formulasini yozamiz:

2-misol – tenglamani yeching:

;

Tenglamaning chap tomonida trinomial mavjud. Biz buni hisobga olishimiz kerak. Farqning kvadrati uchun formuladan foydalanamiz:

Bizda birinchi ifodaning kvadrati va ikkilangan ko'paytma bor, ikkinchi ifodaning kvadrati yo'q, uni qo'shing va ayiring:

Keling, to'liq kvadratni katlaylik va shunga o'xshash shartlarni beramiz:

Kvadratlar farqi uchun formulani qo'llaymiz:

Demak, bizda tenglama bor

Faktorlardan kamida bittasi nolga teng bo'lsagina mahsulot nolga teng ekanligini bilamiz. Shu asosda biz tenglamalarni tuzamiz:

Birinchi tenglamani yechamiz:

Ikkinchi tenglamani yechamiz:

Javob: yoki

;

Biz avvalgi misolga o'xshash tarzda harakat qilamiz - farqning kvadratini tanlang.

Ta'rif

2 x 2 + 3 x + 5 ko'rinishdagi ifodalar kvadrat uchlik deyiladi. Umumiy holatda kvadrat trinom a x 2 + b x + c ko'rinishdagi ifodadir, bu erda a, b, c a, b, c ixtiyoriy sonlar va a ≠ 0.

X 2 - 4 x + 5 kvadrat trinomialni ko'rib chiqing. Buni quyidagi shaklda yozamiz: x 2 - 2 · 2 · x + 5. Ushbu ifodaga 2 2 ni qo'shib, 2 2 ni ayirish natijasida hosil bo'ladi: x 2 - 2 2 x + 2 2 - 2 2 + 5. E'tibor bering, x 2 - 2 2 x + 2 2 = (x - 2) 2, shuning uchun x 2 - 4 x + 5 = (x - 2) 2 - 4 + 5 = (x - 2) 2 + 1 ... Biz qilgan transformatsiya deyiladi "Kvadrat trinomialdan to'liq kvadratni tanlash".

9 x 2 + 3 x + 1 trinomial kvadratdan kvadratni to'ldiring.

9 x 2 = (3 x) 2, `3x = 2 * 1/2 * 3x` ekanligini unutmang. Keyin `9x ^ 2 + 3x + 1 = (3x) ^ 2 + 2 * 1/2 * 3x + 1`. Olingan `(1/2) ^ 2` ifodasini qo'shing va ayirib oling, biz olamiz

`((3x) ^ 2 + 2 * 1/2 * 3x + (1/2) ^ 2) + 1- (1/2) ^ 2 = (3x + 1/2) ^ 2 + 3/4`.

Keling, to'liq kvadratni kvadrat uch a'zodan ajratish usuli kvadrat trinomialni koeffitsientlarga ajratish uchun qanday qo'llanilishini ko'rsatamiz.

Kvadrat trinomial 4 x 2 - 12 x + 5ni ko'paytiring.

Kvadrat trinomialdan to‘liq kvadrat ajrating: 2 x 2 - 2 2 x 3 + 3 2 - 3 2 + 5 = 2 x - 3 2 - 4 = (2 x - 3) 2 - 2 2. Endi biz a 2 - b 2 = (a - b) (a + b) formulasini qo'llaymiz, biz quyidagilarni olamiz: (2 x - 3 - 2) (2 x - 3 + 2) = (2 x - 5) (2) x - 1).

9 x 2 + 12 x + 5 - uch muddatli kvadratni ko'paytiring.

9 x 2 + 12 x + 5 = - 9 x 2 - 12 x + 5. Endi e'tibor bering, 9 x 2 = 3 x 2, - 12 x = - 2 · 3 x · 2.

9 x 2 - 12 x ifodasiga 2 2 atamasini qo'shsak, biz quyidagilarni olamiz:

3 x 2 - 2 3 x 2 + 2 2 - 2 2 + 5 = - 3 x - 2 2 - 4 + 5 = 3 x - 2 2 + 4 + 5 = - 3 x - 2 2 + 9 = 3 2 - 3 x - 2 2.

Biz kvadratlar farqi uchun formulani qo'llaymiz, bizda:

9 x 2 + 12 x + 5 = 3 - 3 x - 2 3 + (3 x - 2) = (5 - 3 x) (3 x + 1).

3 x 2 - 14 x - 5 bo'lgan uch muddatli kvadratni ko'paytiring.

Biz 3 x 2 ifodasini qandaydir ifodaning kvadrati sifatida tasvirlay olmaymiz, chunki biz buni maktabda hali o‘rganmaganmiz. Siz buni keyinroq bajarasiz va 4-topshiriqda biz kvadrat ildizlarni o'rganamiz. Keling, berilgan kvadrat trinomialni qanday qilib faktorlarga ajratish mumkinligini ko'rsatamiz:

`3x ^ 2-14x-5 = 3 (x ^ 2-14 / 3 x-5/3) = 3 (x ^ 2-2 * 7/3 x + (7/3) ^ 2- (7/3) ) ^ 2-5 / 3) = `

`= 3 ((x-7/3) ^ 2-49 / 9-5 / 3) = 3 ((x-7/3) ^ 2-64 / 9) = 3 ((x-7/3) ^ 2-8 / 3) ^ 2) = `

`= 3 (x-7 / 3-8 / 3) (x-7/3 + 8/3) = 3 (x-5) (x + 1/3) = (x-5) (3x + 1) `.

Keling, kvadrat trinomialning eng katta yoki eng kichik qiymatlarini topish uchun to'liq kvadratni tanlash usuli qanday ishlatilishini ko'rsatamiz.
X 2 - x + 3 kvadrat trinomialni ko'rib chiqing. To'liq kvadratni tanlang:

`(x) ^ 2-2 * x * 1/2 + (1/2) ^ 2- (1/2) ^ 2 + 3 = (x-1/2) ^ 2 + 11/4`. Esda tutingki, `x = 1/2` uchun kvadrat trinomialning qiymati` 11/4`, `x! = 1/2` uchun esa` 11/4` qiymatiga musbat son qo`shiladi, shuning uchun biz `11/4` dan kattaroq sonni olamiz. Shunday qilib, kvadrat trinomialning eng kichik qiymati `11/4` va u` x = 1/2` bo'lganda olinadi.

Eng katta kvadrat trinomialni toping - 16 2 + 8 x + 6.

Kvadrat uchlik kvadratdan to‘ldiring: - 16 x 2 + 8 x + 6 = - 4 x 2 - 2 4 x 1 + 1 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 + 7.

`x = 1/4` bilan kvadrat trinomialning qiymati 7 ga teng, ` x! = 1/4` bilan esa 7 raqamidan musbat son ayiriladi, ya'ni biz 7 dan kichik sonni olamiz. Shunday qilib, 7 raqami kvadrat trinomialning eng katta qiymati bo'lib, u `x = 1/4` bo'lganda olinadi.

`(x ^ 2 + 2x-15) / (x ^ 2-6x + 9)` kasrning soni va maxrajini ko'paytiring va bu kasrni bekor qiling.

X 2 - 6 x + 9 = x - 3 2 kasrning maxrajiga e'tibor bering. Kvadrat trinomialdan to'liq kvadratni olish usuli yordamida kasrning payini ko'paytiraylik. x 2 + 2 x - 15 = x 2 + 2 x 1 + 1 - 1 - 15 = x + 1 2 - 16 = x + 1 2 - 4 2 = = (x + 1 + 4) (x + 1 - 4) ) = (x + 5) (x - 3).

Bu kasr (x - 3) ga qisqartirilgandan keyin `((x + 5) (x-3)) / (x-3) ^ 2` ko'rinishiga keltirildi, biz` (x + 5) / (x-3) ni olamiz. ) `.

X 4 - 13 x 2 + 36 ko'phadni ko'paytiring.

Ushbu ko'phadga to'liq kvadrat tanlash usulini qo'llaymiz. `x ^ 4-13x ^ 2 + 36 = (x ^ 2) ^ 2-2 * x ^ 2 * 13/2 + (13/2) ^ 2- (13/2) ^ 2 + 36 = (x ^ 2-13 / 2) ^ 2-169 / 4 + 36 = (x ^ 2-13 / 2) ^ 2-25 / 4 = `

Ushbu protsedurani bajarish qobiliyati matematikaning ko'plab mavzularida juda zarur kvadrat trinomialbolta 2 + bx + c ... Eng keng tarqalgan:

1) Parabolalarni chizish y= bolta 2 + bx+ c;

2) Kvadrat uch a’zo uchun ko‘p topshiriqlarni yechish (kvadrat tenglamalar va tengsizliklar, parametrli masalalar va boshqalar);

3) Kvadrat trinomialni o'z ichiga olgan ba'zi funktsiyalar bilan ishlash, shuningdek, ikkinchi tartibli egri chiziqlar bilan ishlash (talabalar uchun).

Qisqasi, foydali narsa! Siz eng yaxshi beshlikka ariza topshiryapsizmi? Keyin o'zlashtiring!)

Kvadrat trinomda binomning toʻliq kvadratini tanlash nimani anglatadi?

Bu vazifa dastlabki kvadrat trinomialni ushbu shakl yordamida o'zgartirish kerakligini anglatadi:

Raqam a chapda nima, o'ngda nima - bir xil... X kvadrat koeffitsienti. Shuning uchun u ko'rsatilgan bitta harf... O'ng qavs kvadratiga ko'paytiriladi. Qavslarning o'zida ushbu mavzuda muhokama qilinadigan binomial o'tiradi. Sof x va sonning yig'indisi m... Ha, iltimos, diqqat qiling toza x! Bu muhim.

Lekin harflar m va n o'ngda - ba'zilari yangi raqamlar. O'zgarishlarimiz natijasida nimaga erishamiz. Ular ijobiy, salbiy, butun, kasr bo'lishi mumkin - har xil! Quyidagi misollarda o'zingiz ko'rasiz. Bu raqamlar bog'liq koeffitsientlardana, bvac... Ularning o'ziga xos umumiy formulalari mavjud. Juda og'ir, kasrlar bilan. Shuning uchun, men ularni hozir va shu erda bermayman. Nega sizning yorqin ongingizga qo'shimcha axlat kerak? Ha, va bu qiziq emas. Keling, ijodiy ishlaylik.)

Siz nimani bilishingiz va tushunishingiz kerak?

Avvalo, siz yoddan bilishingiz kerak. Ulardan kamida ikkitasi - summaning kvadrati va kvadrat farq.

Mana bulari:

Bu juft formulalarsiz - hech qayerda. Nafaqat bu darsda, balki umuman boshqa deyarli barcha matematikada. Maslahat aniqmi?)

Ammo bu erda faqat mexanik yodlangan formulalar etarli emas. Siz hali ham malakali bo'lishingiz kerak Ushbu formulalarni qo'llay olish... Va to'g'ridan-to'g'ri emas, balki chapdan o'ngga, aksincha, o'ngdan chapga... Bular. yig'indi/farqning kvadratini asl kvadrat trinomial bilan hal qila olish... Bu shuni anglatadiki, siz bunday turdagi tenglikni osongina, avtomatik ravishda tan olishingiz kerak:

x 2 +4 x+4 = (x+2) 2

x 2 -10 x+25 = (x-5) 2

x 2 + x+0,25 = (x+0,5) 2

Bu foydali mahoratsiz ham qilolmaysiz... Shunday qilib, agar sizda bu oddiy narsalar bilan bog'liq muammolar bo'lsa, unda ushbu sahifani yoping. Bu yerda siz uchun hali erta.) Birinchidan, yuqoridagi havolaga o'ting. U siz uchun!

Oh, siz uzoq vaqtdan beri mavzuda bo'ldingizmi? Yaxshi! Keyin o'qing.)

Shunday qilib:

Kvadrat trinomialda binomning to'liq kvadratini qanday tanlash mumkin?

Oddiydan boshlaylik, albatta.

1-darajali. X da koeffitsienti2 1 ga teng

Bu minimal qo'shimcha o'zgarishlarni talab qiladigan eng oddiy holat.

Masalan, kvadrat trinomial berilgan:

X 2 + 4x + 6

Tashqi tomondan, ifoda yig'indining kvadratiga juda o'xshaydi. Bilamizki, yig'indining kvadrati birinchi va ikkinchi ifodalarning sof kvadratlarini o'z ichiga oladi ( a 2 va b 2 ), shuningdek, ikki barobar ko'p mahsulot 2 ab aynan mana shu ifodalar.

Xo'sh, bizda allaqachon sof shaklda birinchi ifodaning kvadrati mavjud. Bu X 2 ... Aslida, bu darajadagi misollarning soddaligi aynan shu erda. Ikkinchi ifodaning kvadratini olishingiz kerak b 2 ... Bular. toping b... Va maslahat bo'lib xizmat qiladi birinchi darajali x bilan ifoda, ya'ni. 4x... Oxirida 4x sifatida ifodalanishi mumkin ikki tomonlama mahsulot ikkilik uchun x. Mana bunday:

4 x = 2 ́ X 2

Shunday qilib, agar 2 ab= 2x· 2 va a= x, keyin b=2 ... Siz yozishingiz mumkin:

X 2 + 4x + 6 = x 2 +2 ́ X2 + 2 2 ….

Shunday qilib BIZ Men .. moqchiman. Lekin! Matematika Men bizning harakatlarimizdan asl ifodaning mohiyatini xohlayman o'zgarmagan... Bu shunday ishlaydi. Biz ikki barobar ko'p mahsulotga qo'shdik 2 2 Shunday qilib, asl ifodani o'zgartiradi. Shunday qilib, matematikani xafa qilmaslik uchun bu 2 2 o'sha erda va olib ketish... Mana bunday:

… = X 2 +2 ́ X 2 + 2 2 -2 2 ….

Deyarli hammasi. Dastlabki uch muddatga muvofiq, faqat 6 qo'shish qoladi. Oltita hech qaerga ketgani yo'q! Biz yozamiz:

= X 2 +2 ́ X2 + 2 2 - 2 2 +6 = …

Endi birinchi uchta atama sof (yoki -) beradi to'la) kvadrat binom x+2 ... Yoki (x+2) 2 ... Biz erishmoqchi bo'lgan narsamiz.) Men hatto dangasa bo'lmayman va qavs qo'ymayman:

… = (X 2 +2 ́ X2 + 2 2 ) - 2 2 +6 =…

Qavslar iboraning mohiyatini o'zgartirmaydi, lekin ular nima, qanday va nima uchun aniq taklif qiladi. Ushbu uchta shartni formuladan foydalanib to'liq kvadratga katlamak, qolgan quyruqni raqamlar bilan hisoblash qoladi -2 2 +6 (2 bo'ladi) va yozing:

X 2 + 4x + 6 = (x+2) 2 +2

Hamma narsa. Biz ajratib ko'rsatdi qavslar kvadrati (x+2) 2 asl kvadrat trinomialdan X 2 + 4x + 6... Uni summaga aylantirdi to'liq kvadrat binom (x+2) 2 va ba'zi bir doimiy son (ikki). Va endi men o'zgarishlarimizning butun zanjirini ixcham shaklda yozaman. Aniqlik uchun.

Va bu hammasi.) Bu to'liq kvadratni tanlash tartibining butun nuqtasi.

Aytgancha, bu erda qanday raqamlar bor m va n? Ha. Ularning har biri ikkitaga teng: m=2, n=2 ... Tanlov paytida shunday bo'ldi.

Yana bir misol:

Binomning to'liq kvadratini tanlang:

X 2 -6x + 8

Va yana, birinchi qarashda - x bilan atama. Biz 6x ni x va uchlarning qo'sh ko'paytmasiga aylantiramiz. Ikki martadan oldin - minus. Shuning uchun biz tanlaymiz kvadrat farq... Biz (to'liq kvadrat olish uchun) qo'shamiz va kvadratdagi uchtasini darhol ayiramiz (kompensatsiya qilish uchun), ya'ni. 9. Xo'sh, sakkiztasini unutmaylik. Biz olamiz:

Bu yerda m=-3 va n=-1 ... Ikkalasi ham salbiy.

Siz printsipni tushunasizmi? Keyin navbat ustaga keldi va umumiy algoritm... Hammasi bir xil, lekin harflar orqali... Shunday qilib, oldimizda kvadrat trinomial mavjud x 2 + bx+ c (a=1) ... Biz nima qilyapmiz:

bx b /2 :

b Bilan.

Aniqmi? Birinchi ikkita misol juda oddiy, butun sonlar bilan. Tanishuv uchun. Transformatsiyalar jarayonida fraksiyalar paydo bo'lganda yomonroq. Bu erda asosiy narsa qo'rqmaslikdir! Va qo'rqmaslik uchun siz kasrlar bilan harakatlarni bilishingiz kerak, ha ...) Lekin bu erda beshinchi daraja, shunday emasmi? Biz vazifani murakkablashtiramiz.

Faraz qilaylik, quyidagi uchta atama berilgan:

X 2 + x + 1

Ushbu uchlikdagi summaning kvadratini qanday tashkil qilish kerak? Hammasi joyida! Xuddi shunday... Biz nuqtama-nuqta ishlaymiz.

1. Birinchi darajali x bilan atamaga qaraymiz ( bx) va uni x ning qo'sh ko'paytmasiga aylantiringb /2 .

Bizning X atamasi shunchaki X. Nima bo `pti? Qanday qilib yolg'iz X ga aylantirishimiz mumkin ikki tomonlama mahsulot? Bu juda oddiy! To'g'ridan-to'g'ri ko'rsatmalarga muvofiq. Mana bunday:

Raqam b asl atamada - 1. Anavi, b/2 kasr bo'lib chiqadi. Yarim. 1/2. Ha mayli. Kichik emas.)

2. Ikki marta ko'paytirilgan mahsulotga qo'shing va darhol sonning kvadratini ayiring b/ 2. To'liq kvadratni to'ldirish uchun - qo'shamiz. Biz olib ketamiz - kompensatsiya uchun. Oxirida bepul muddat qo'shing Bilan.

Davom etamiz:

3. Dastlabki uchta atama mos keladigan formula bo'yicha yig'indi / farq kvadratiga yig'iladi. Tashqarida qolgan ifoda raqamlar bilan ehtiyotkorlik bilan hisoblanadi.

Birinchi uchta atamani qavslar bilan ajrating. Buni ajratish shart emas, albatta. Bu faqat o'zgarishlarimiz qulayligi va ravshanligi uchun qilingan. Endi siz yig'indining to'liq kvadrati qavs ichida joylashganligini aniq ko'rishingiz mumkin (x+1/2) 2 ... Va yig'indi kvadratidan tashqarida qolgan hamma narsa (agar hisoblasangiz) +3/4 beradi. To'g'ridan-to'g'ri tugatish:

Javob:

Bu yerda m=1/2 , a n=3/4 ... Kasr sonlar. Bo'lib turadi. Menda shunday uch a'zo bor ...

Texnologiya shunday. Tushundingizmi? Keyingi bosqichga o'tishim mumkinmi?)

2-darajali. X 2 da koeffitsient 1 ga teng emas - nima qilish kerak?

Bu ko'proq umumiy holat a = 1... Hisoblash miqdori, albatta, ortib bormoqda. Bu xafa qiladi, ha ... Lekin umumiy yechim yo'nalishi odatda bir xil bo'lib qoladi. Unga faqat bitta yangi qadam qo'shiladi. Bu quvontiradi.)

Hozircha hech qanday kasrlar va boshqa tuzoqlarsiz zararsiz ishni ko'rib chiqing. Masalan:

2 x 2 -4 x+6

O'rtada minus bor. Shunday qilib, biz farqni kvadratga moslashtiramiz. Ammo x kvadratidagi koeffitsient ikkiga teng. Va bittasi bilan ishlash osonroq. Sof x bilan. Nima qilish kerak? Qavs ichidan mana shu ikkitasini chiqaramiz! Xalaqit bermaslik uchun. Bizning huquqimiz bor! Biz olamiz:

2(x 2 -2 x+3)

Mana bunday. Endi qavs ichida uchta atama - allaqachon bilan toza x kvadrat! 1-darajali algoritm talab qilganidek.. Va endi bu yangi trinomial bilan eski isbotlangan sxema bo'yicha ishlash allaqachon mumkin. Shunday qilib, biz harakat qilamiz. Keling, uni alohida yozamiz va uni o'zgartiramiz:

x 2 -2 x+3 = x 2 -2 ·x1 + 1 2 -1 2 +3 = (x 2 -2 ·x1 + 1 2 ) -1 2 +3 = (x-1) 2 +2

Jangning yarmi tugadi. Olingan ifodani qavslar ichiga kiritish va ularni orqaga kengaytirish qoladi. Bu shunday bo'ladi:

2(x 2 -2 x+3) = 2((x-1) 2 +2) = 2(x-1) 2 +4

Tayyor!

Javob:

2 x 2 -4 x+6 = 2( x -1) 2 +4

Biz boshga tuzatamiz:

Agar x kvadratidagi koeffitsient birga teng bo'lmasa, biz bu koeffitsientni qavsdan chiqaramiz. Qavslar ichida qolgan uch muddat bilan biz odatdagi algoritmga muvofiq ishlaymiz a= 1. Undagi to'liq kvadratni tanlab, natijani joyiga qo'yamiz va tashqi qavslarni orqaga ochamiz.

Va agar b va c koeffitsientlari to'liq a ga bo'linmasa? Bu eng keng tarqalgan va ayni paytda eng yomon holat. Keyin faqat kasrlar, ha ... Hech narsa qilish kerak emas. Masalan:

3 x 2 +2 x-5

Hammasi bir xil, biz uchlikni qavslar tashqarisiga yuboramiz, biz olamiz:

Afsuski, ikkalasi ham, beshi ham uchtaga to'liq bo'linmaydi, shuning uchun yangi (kamaytirilgan) uch muddatning koeffitsientlari - kasr... Mayli, hammasi joyida. Biz to'g'ridan-to'g'ri kasrlar bilan ishlaymiz: ikki x ning uchdan bir qismini aylantiring ikki barobar x ning hosilasi bitta uchinchidan, uchdan birining kvadratini qo'shing (ya'ni 1/9), ayiring, 5/3 ni olib tashlang ...

Umuman olganda, siz fikrni tushunasiz!

Qaror qabul qiling, nima allaqachon mavjud. Siz bilan yakunlashingiz kerak:

Va yana bir rake. Ko'pgina talabalar musbat butun va hatto kasr koeffitsientlari bilan dag'allik bilan shug'ullanishadi, lekin salbiy ko'rsatkichlarga yopishib olishadi. Masalan:

- x 2 +2 x-3

Oldin minus bilan nima qilish kerakx 2 ? Yig'indi / farq kvadrati formulasida har bir ortiqcha kerak ... Savol yo'q! Hammasi bir xil... Biz bu minusni qavs ichidan chiqaramiz. Bular. minus bir... Mana bunday:

- x 2 +2 x-3 = -(x 2 -2 x+3) = (-1) (x 2 -2 x+3)

Va bu hammasi. Va qavs ichida uch atama bilan - yana o'ralgan yo'l bo'ylab.

x 2 -2 x+3 = (x 2 -2 x+1) -1+3 = (x-1) 2 +2

Minusni hisobga olgan holda jami:

- x 2 +2 x-3 = -((x-1) 2 +2) = -(x-1) 2 -2

Ana xolos. Nima? Minusni qavs ichiga qanday qo'yishni bilmayapsizmi? Xo'sh, bu ettinchi sinfning boshlang'ich algebrasi uchun savol, kvadrat trinomlar uchun emas ...

Esingizda bo'lsin: salbiy koeffitsient bilan ishlash a tabiatan ijobiy bilan ishlash bilan bir xil. Biz salbiyni olib tashlaymiz a qavslar tashqarisida, keyin esa - barcha qoidalarga muvofiq.

Nima uchun to'liq kvadratni tanlash imkoniyatiga ega bo'lishingiz kerak?

Birinchi foydali narsa parabolalarni tez va xatosiz chizishdir!

Masalan, shunday vazifa:

Funksiya grafigini tuzing:y=- x 2 +2 x+3

Nima qilamiz? Ballar bo'yicha qurilsinmi? Albatta mumkin. Uzoq yo'l bo'ylab kichik qadamlar bilan. Juda ahmoq va qiziq emas ...

Avvalo shuni eslatib o'tamanki, qurilish paytida har qanday parabola, biz har doim unga standart savollar to'plamini taqdim etamiz. Ulardan ikkitasi bor. Aynan:

1) Parabola shoxlari qayerga yo'naltirilgan?

2) Yuqori qaysi nuqtada?

Filiallarning yo'nalishi bilan hamma narsa to'g'ridan-to'g'ri asl ifodadan aniq. Filiallar yo'naltiriladi pastga, chunki oldingi koeffitsientx 2 - salbiy. Minus bir. X kvadrat oldidan minus har doim parabolani aylantiradi.

Ammo tepaning joylashuvi bilan hamma narsa unchalik aniq emas. Albatta, uning abscissasini koeffitsientlar orqali hisoblashning umumiy formulasi mavjud a va b.

Bunisi:

Ammo bu formulani hamma ham eslayvermaydi, oh, hamma ham emas... Esda tutganlarning 50 foizi esa tekis yerda qoqilib, oddiy arifmetikada (odatda o‘yinni hisoblashda) ming‘irlaydi. Bu uyat, to'g'rimi?)

Endi siz har qanday parabolaning tepasining koordinatalarini qanday topishni o'rganasiz. ongda bir daqiqada! Ham x, ham y. Bir zarbada va hech qanday formulalarsiz. Qanaqasiga? To'liq kvadratni tanlash orqali!

Shunday qilib, keling, ifodamizdagi to'liq kvadratni tanlaymiz. Biz olamiz:

y = -x 2 +2 x+3 = -(x-1) 2 +4

Kim funktsiyalar haqida umumiy ma'lumotni yaxshi bilgan va mavzuni yaxshi o'zlashtirgan " funktsiya grafigini o'zgartirish ", u bizning kerakli parabola oddiy paraboladan olinganligini osongina aniqlaydi y= x 2 uchta transformatsiyadan foydalanish. Bu:

1) Filiallarning yo'nalishini o'zgartirish.

Bu qavslar kvadrati oldidagi minus belgisi bilan ko'rsatilgan ( a = -1). Bu bo'lgandi y= x 2 , bo'ldi y=- x 2 .

Konvertatsiya: f ( x ) -> - f ( x ) .

2) Parabolaning parallel tarjimasi y = - x 2 x da 1 birlik O‘NG.

Oraliq jadval shunday chiqadi y = - (x-1 ) 2 .

Konvertatsiya: - f ( x ) -> - f ( x + m ) (m = -1).

Nima uchun qavs ichida minus bo'lsa-da, chapga emas, o'ngga siljish? Bu grafik transformatsiyalar nazariyasi. Bu alohida mavzu.

Va nihoyat,

3) Parallel uzatish parabolalar y = - ( x -1) 2 o'yin bo'yicha 4 birlik UP.

Bu oxirgi parabola y = - (x-1) 2 +4 .

Konvertatsiya: - f ( x + m ) -> - f ( x + m )+ n (n = + 4)

Endi biz transformatsiya zanjirimizga qaraymiz va bu haqda o'ylaymiz: parabolaning uchi qayerga siljiydiy= x 2 ? (0; 0) nuqtada edi, birinchi o'zgartirishdan keyin cho'qqi hech qaerga siljimadi (parabola hozirgina aylantirildi), ikkinchidan keyin - x ga +1 ga, uchinchidan keyin - o'yin bo'yicha +4. Umumiy cho'qqi nuqtaga tegdi (1; 4) ... Bu butun sir!

Rasm quyidagicha bo'ladi:

Darhaqiqat, aynan shuning uchun men sizning e'tiboringizni raqamlarga qaratganman. m va n to'liq kvadratni tanlash jarayonida olingan. Negaligini bilmadingizmi? Ha. Gap shundaki, nuqta koordinatalari bilan (- m ; n ) Har doim parabolaning tepasi y = a ( x + m ) 2 + n ... Biz faqat o'zgartirilgan uchlikdagi raqamlarga qaraymiz va ongda Biz to'g'ri javob beramiz, tepa qayerda. Qulay, to'g'rimi?)

Parabolalarni chizish - birinchi navbatda. Keling, ikkinchisiga o'tamiz.

Ikkinchi foydali narsa - kvadrat tenglamalar va tengsizliklarni echish.

Ha ha! To'liq kvadratni tanlash ko'p hollarda bo'lib chiqadi ancha tez va samaraliroq bunday vazifalarni hal qilishning an'anaviy usullari. Shubha? Arzimaydi! Mana sizga vazifa:

Tengsizlikni yeching:

x 2 +4 x+5 > 0

O'rgandingizmi? Ha! Bu klassik kvadrat tengsizlik ... Bunday barcha tengsizliklar standart algoritm yordamida yechiladi. Buning uchun bizga kerak:

1) Tengsizlikdan standart shakldagi tenglama tuzing va uni yeching, ildizlarini toping.

2) X o'qini chizing va tenglamaning ildizlarini nuqta bilan belgilang.

3) Parabolani asl iboraga ko‘ra chizing.

4) Rasmdagi +/- maydonlarini aniqlang. Dastlabki tengsizlikka qarab kerakli maydonlarni tanlang va javobni yozing.

Aslida, bu butun jarayon zerikarli, ha ...) Va bundan tashqari, bu har doim ham sizni ushbu misol kabi nostandart vaziyatlarda xatolardan qutqarmaydi. Keling, avval shablonni sinab ko'raylikmi?

Shunday qilib, biz birinchi nuqtani bajaramiz. Tengsizlikdan tenglama tuzamiz:

x 2 +4 x+5 = 0

Standart kvadrat tenglama, hiyla yo'q. Biz qaror qilamiz! Biz diskriminantni ko'rib chiqamiz:

D = b 2 -4 ac = 4 2 - 4∙1∙5 = -4

Aynan o'sha vaqtlar! Va diskriminant salbiy! Tenglamaning ildizi yo'q! Va eksa ustida chizish uchun hech narsa yo'q ... Nima qilish kerak?

Bu erda ba'zilar asl tengsizlik degan xulosaga kelishlari mumkin yechimlari ham yo‘q... Bu halokatli aldanish, ha ... Lekin to'liq kvadratni tanlab, bu tengsizlikka to'g'ri javobni yarim daqiqada berish mumkin! Shubha? Xo'sh, siz vaqtni kuzatib borishingiz mumkin.

Shunday qilib, biz ifodada to'liq kvadratni tanlaymiz. Biz olamiz:

x 2 +4 x+5 = (x+2) 2 +1

Dastlabki tengsizlik endi quyidagicha ko'rinadi:

(x+2) 2 +1 > 0

Va endi, hech narsani hal qilmasdan yoki o'zgartirmasdan, oddiy mantiqni yoqamiz va aniqlaymiz: agar biron bir ifodaning kvadrati (qiymati aniq salbiy bo'lmagan!) yana bitta qo'shing, oxirida qanday raqamni olamiz? Ha! Qattiq ijobiy!

Endi tengsizlikni ko'rib chiqamiz:

(x+2) 2 +1 > 0

Biz yozuvni matematik tildan rus tiliga tarjima qilamiz: uning ostida x qat'iy ijobiy ifoda qat'iy bo'ladi Ko'proq tirnalganmi? Taxmin qilmadingizmi? Ha! Har qanday bilan!

Mana javob: x - har qanday raqam.

Endi algoritmga qaytaylik. Shunga qaramay, mohiyatni tushunish va oddiy eslab qolish boshqa narsalardir.)

Algoritmning mohiyati shundan iboratki, biz standart tengsizlikning chap tomonidan parabola yasaymiz va uning X o'qidan yuqorida va pastda joylashgan joyiga qaraymiz. Bular. chap tomonda ijobiy qiymatlar, bu erda salbiy.

Agar chap tomonimizdan parabola yasasak:

y =x 2 +4 x+5

Va biz uning grafigini chizamiz, keyin buni ko'ramiz hammasi butun parabola X o'qi ustida o'tadi. Rasm quyidagicha ko'rinadi:

Parabola qiyshiq, ha... Shuning uchun u sxematik. Lekin shu bilan birga, bizga kerak bo'lgan hamma narsa rasmda ko'rinadi. Parabolaning X o'qi bilan kesishish nuqtalari yo'q, o'yinning nol qiymati yo'q. Va, albatta, salbiy qiymatlar ham yo'q. Bu butun X o'qini butunlay soya qilish orqali ko'rsatiladi. Aytgancha, men bu erda Y o'qini va cho'qqining koordinatalarini biron bir sababga ko'ra tasvirladim. Parabola cho'qqisining koordinatalarini (-2; 1) va o'zgartirilgan ifodamizni solishtiring!

y =x 2 +4 x+5 = ( x +2) 2 +1

Sizga u qanday yoqdi? Ha! Bizning holatda m=2 va n=1 ... Demak, parabolaning uchi koordinatalariga ega: (- m; n) = (-2; 1) ... Hammasi mantiqiy.)

Boshqa vazifa:

Tenglamani yeching:

x 2 +4 x+3 = 0

Oddiy kvadrat tenglama. Siz eski uslubda hal qilishingiz mumkin. Siz o'ta olasiz. Xohlaganingdek. Matematika bunga qarshi emas.)

Biz ildizlarni olamiz: x 1 =-3 x 2 =-1

Va agar na bir, na boshqa yo'l ... esimda yo'qmi? Xo'sh, deuce siz uchun do'stona tarzda porlaydi, lekin ... Shunday bo'lsin, men sizni qutqaraman! Men sizga ba'zi kvadrat tenglamalarni faqat ettinchi sinf usullari bilan qanday yechish mumkinligini ko'rsataman. Yana to'liq kvadratni tanlang!)

x 2 +4 x+3 = (x+2) 2 -1

Va endi biz hosil bo'lgan ifodani quyidagicha tasvirlaymiz ... kvadratchalar farqi! Ha, ha, yettinchi sinfda bittasi bor:

a 2 -b 2 = (a-b) (a + b)

Rolda a qavslar chiqib turadi(x+2) , va rolda b- bitta. Biz olamiz:

(x+2) 2 -1 = (x+2) 2 -1 2 = ((x+2)-1)((x+2)+1) = (x+1)(x+3)

Bu kengaytmani kvadrat uch a’zo o‘rniga tenglamaga kiritamiz:

(x+1)(x+3)=0

Faktorlarning mahsuloti nolga teng ekanligini aniqlash qoladi keyin va faqat keyin, ularning har biri nolga teng bo'lganda. Shunday qilib, biz (ongda!) Har bir qavsni nolga tenglashtiramiz.

Biz olamiz: x 1 =-3 x 2 =-1

Ana xolos. Xuddi shu ikki ildiz. Bu aqlli hiyla. Diskriminantga qo'shimcha ravishda.)

Aytgancha, diskriminant va kvadrat tenglamaning ildizlari uchun umumiy formula haqida:

Mening darsimda ushbu og'ir formulaning kelib chiqishi chiqarib tashlandi. Keraksiz kabi. Lekin bu yerda u tegishli.) Qanday qilib bilmoqchimisiz bu formula chiqadi? Diskriminant iborasi qayerdan kelgan va aynan nima uchunb 2 -4ac, va boshqacha emasmi? Shunga qaramay, nima sodir bo'layotganini to'liq tushunish har qanday harf va belgilarni o'ylamasdan yozishdan ko'ra foydaliroqdir, shunday emasmi?)

Uchinchi foydali narsa - kvadrat tenglamaning ildizlari uchun formulani chiqarish.

Qani boshladik! Biz umumiy shaklda kvadrat trinomialni olamiz bolta 2 + bx+ c va… biz to'liq kvadratni tanlashni boshlaymiz! Ha to'g'ridan-to'g'ri harflar orqali! Arifmetika bor edi, endi - algebra.) Birinchidan, odatdagidek, biz harfni bajaramiz a qavslar tashqarisida va boshqa barcha koeffitsientlar ga bo'linadi a:

Mana bunday. Bu mutlaqo qonuniy konvertatsiya: a nolga teng emas, va siz unga bo'lishingiz mumkin. Va yana biz odatiy algoritm bo'yicha qavslar bilan ishlaymiz: x bilan atamadan biz qo'sh mahsulot hosil qilamiz, ikkinchi raqamning kvadratini qo'shamiz / ayitamiz ...

Hammasi bir xil, lekin harflar bilan.) O'zingiz tugatishga harakat qiling! Sog'lom!)

Barcha o'zgarishlardan so'ng siz quyidagilarni olishingiz kerak:

Va nega biz zararsiz trinomialdan bunday uyumlarni qurishimiz kerak - so'rayapsizmi? Hech narsa, endi qiziqarli bo'ladi! Va endi, albatta, biz bu narsani tenglashtiramiz nolga:

Biz uni oddiy tenglama sifatida hal qilamiz, biz barcha qoidalarga muvofiq ishlaymiz, faqat harflar bilan... Biz boshlang'ichni qilamiz:

1) Katta kasrni o'ngga siljiting. O'tkazishda biz ortiqchani minusga o'zgartiramiz. Kasrning o'zi oldida minus chizmaslik uchun men hisoblagichdagi barcha belgilarni o'zgartiraman. Chap tomonda raqam bor edi4ac-b 2 , va transferdan keyin aylanadi -( 4ac-b 2 ) , ya'ni. b 2 -4 ac. Tanish narsa, sizningcha, shunday emasmi? Ha! Diskriminant, u eng ko'p ...) Bu shunday bo'ladi:

2) Qavslar kvadratini koeffitsientdan tozalaymiz. Biz ikkala qismni "ga ajratamiz" a". Chapda, qavslar oldida, harf a yo'qoladi va o'ngda katta kasrning maxrajiga kirib, uni aylantiradi 4 a 2 .

Bu tenglik paydo bo'ladi:

Bu siz uchun noto'g'ri bo'ldimi? Unda "" mavzusi siz uchun. Shoshilinch ravishda u erga boring!

Keyingi qadam ildizni chiqarib oling... Bizni X qiziqtiradi, shunday emasmi? Va X kvadrat ostida o'tiradi ... Biz, albatta, ildizlarni olish qoidalariga ko'ra chiqarib tashlaymiz. Chiqarishdan so'ng siz quyidagilarni olasiz:

Chap tomonda yig'indining kvadrati joylashgan yo'qoladi va bu miqdorning o'zi qoladi. Qaysi talab qilinadi.) Lekin o'ng tomonda paydo bo'ladi ortiqcha / minus... Bizning katta rulonimiz uchun, uning qo'rqinchli ko'rinishiga qaramay, shunday faqat bir raqam... Kasr son. Koeffitsientga bog'liq a, b, c... Shu bilan birga, bu kasrning numeratorining ildizi chiroyli tarzda ajratilmagan, ikki ifoda o'rtasida farq mavjud. Va bu erda maxrajning ildizi 4 a 2 juda o'z-o'zidan olinadigan! Bu oddiy bo'lib chiqadi 2 a.

To'ldirish uchun "Qiziqarli" savol: iboradan ildizni ajratib olish huquqim bormi? 4 a2, javob bering faqat 2a? Axir, qazib olish qoidasi kvadrat ildiz modul belgisini qo'yish majburiyatini oladi, ya'ni.2 | a | !

Nega modul belgisini o'tkazib yuborganimni o'ylab ko'ring. Juda foydali. Maslahat: javob belgida ortiqcha / minus kasrdan oldin.)

Faqat mayda-chuyda narsalar qoldi. Biz chap tomonda toza X bilan ta'minlaymiz. Buning uchun kichik kasrni o'ngga siljiting. Belgining o'zgarishi bilan qalampir aniq bo'ladi. Sizga shuni eslatib o'tamanki, kasrdagi belgi har qanday joyda va har qanday tarzda o'zgartirilishi mumkin. Biz kasrdan oldin o'zgartirishni xohlaymiz, biz uni maxrajda, hisoblagichda xohlaymiz. Men belgini o'zgartiraman hisoblagichda... Bu bo'lgandi + b, bo'ldi – b... E'tiroz bo'lmaydi degan umiddaman?) Transferdan keyin shunday bo'ladi:

Bir xil maxrajlarga ega bo'lgan ikkita kasr qo'shing va (nihoyat!):

Xo'sh? Nima deyishim mumkin? Qoyil!)

Foydali to'rtinchi narsa - talabalar uchun eslatma!

Va endi biz muammosiz maktabdan universitetga o'tamiz. Ishoning yoki ishonmang, oliy matematikada to'liq kvadratni tanlash ham kerak!

Masalan, shunday vazifa:

Noaniq integralni toping:

Qayerdan boshlash kerak? To'g'ridan-to'g'ri dastur aylanmaydi. Faqat to'liq kvadratni tanlash saqlaydi, ha ...)

To'liq kvadratni qanday tanlashni bilmagan har bir kishi bu oddiy misolda abadiy qoladi. Va kim biladi, u ajratadi va oladi:

x 2 +4 x+8 = (x+2) 2 +4

Va endi integral (biliganlar uchun) bitta chap bilan olinadi!

Ajoyib, shunday emasmi? Va bu nafaqat integrallar! Men allaqachon analitik geometriya haqida jimman, u bilan ikkinchi tartibli egri chiziqlar – ellips, giperbola, parabola va aylana.

Masalan:

Tenglama bilan berilgan egri chiziq turini aniqlang:

x 2 + y 2 -6 x-8 y+16 = 0

To'liq kvadratni tanlash imkoniyati bo'lmasa, vazifani hal qilib bo'lmaydi, ha ... Lekin misol hech qaerda oson emas! Mavzuda bo'lganlar uchun, albatta.

A'zolarni X va o'yin bilan qoziqlarga guruhlang va har bir o'zgaruvchi uchun to'liq kvadratlarni tanlang. Bu shunday bo'ladi:

(x 2 -6x) + (y 2 -8 y) = -16

(x 2 -6x + 9) -9 + (y 2 -8 y+16)-16 = -16

(x-3) 2 + (y-4) 2 = 9

(x-3) 2 + (y-4) 2 = 3 2

Xo'sh, qanday? Qanday hayvon ekanligini bilib oldingizmi?) Xo'sh, albatta! Radiusli aylana - bu (3; 4) nuqtada joylashgan uchlik.

Va bu hammasi.) Foydali narsa - bu to'liq kvadratni tanlash!)