Tekislikda 2 nuqta orqali to'g'ri chiziq tenglamasi. Berilgan ikkita nuqta orqali o'tadigan to'g'ri chiziq tenglamasi: misollar, echimlar. Normal tenglama

Evklid geometriyasidagi to'g'ri chiziqning xususiyatlari.

Siz har qanday nuqtadan cheksiz ko'p to'g'ri chiziqlarni chizishingiz mumkin.

Bitta to'g'ri chiziq har qanday ikkita mos kelmaydigan nuqta orqali tortilishi mumkin.

Samolyotda ikkita mos kelmaydigan to'g'ri chiziqlar bitta nuqtada kesishadi yoki bo'ladi

parallel (oldingisidan keyingi).

3D makonda uchta variant mavjud o'zaro kelishuv ikkita to'g'ri chiziq:

• to'g'ri chiziqlar kesishadi;

• to'g'ri chiziqlar parallel;

• to'g'ri chiziqlar kesishadi.

To'g'riga chiziq - birinchi tartibning algebraik egri: Karteziya koordinatalari tizimida, to'g'ri chiziq

tekislikda birinchi darajali tenglama berilgan (chiziqli tenglama).

Chiziqning umumiy tenglamasi.

Ta'rif... Tekislikdagi har qanday to'g'ri chiziq birinchi tartibli tenglama bilan berilishi mumkin

Ax + Wu + C \u003d 0,

doimiy bilan A, B bir vaqtning o'zida nolga teng emas. Ushbu birinchi tartibli tenglama deyiladi umumiy

to'g'ri chiziq tenglamasi Konstantalarning qiymatlariga bog'liq A, B va FROM quyidagi maxsus holatlar mumkin:

. C \u003d 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - to'g'ri chiziq kelib chiqishi orqali o'tadi

. A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (By + C \u003d 0)- o'qga parallel bo'lgan to'g'ri chiziq Oh

. B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C \u003d 0) - o'qga parallel bo'lgan to'g'ri chiziq OU

. B \u003d C \u003d 0, A ≠ 0 - to'g'ri chiziq eksa bilan mos keladi OU

. A \u003d C \u003d 0, B ≠ 0 - to'g'ri chiziq eksa bilan mos keladi Oh

To'g'ri chiziqning tenglamasi har qanday berilganiga qarab, turli shakllarda berilishi mumkin

dastlabki shartlar.

To'g'ri chiziqni nuqta va normal vektor bo'ylab tenglashtirish.

Ta'rif... Kartezian to'rtburchaklar koordinatalar tizimida (A, B) komponentlari bo'lgan vektor

tenglama bilan berilgan to'g'ri chiziqqa perpendikulyar

Ax + Wu + C \u003d 0.

Misol... Nuqtadan o'tgan to'g'ri chiziq tenglamasini toping A (1, 2) vektorga perpendikulyar (3, -1).

Qaror... A \u003d 3 va B \u003d -1 nuqtalarda to'g'ri chiziqning tenglamasini tuzamiz: 3x - y + C \u003d 0. S koeffitsientini topish uchun

olingan ifoda A nuqtaning koordinatalarini o'zgartiring

C \u003d -1. Jami: talab qilingan tenglama: 3x - y - 1 \u003d 0.

Ikki nuqta orqali o'tadigan to'g'ri chiziq tenglamasi.

Kosmosda ikkita nuqta berilsin M 1 (x 1, y 1, z 1)va M2 (x 2, y 2, z 2), keyin to'g'ri chiziq tenglamasi,

quyidagi nuqtalardan o'tib:

Agar denominatorlardan biri nolga teng bo'lsa, tegishli hisoblagich nolga tenglashtirilishi kerak. Ustida

tekislik, yuqorida yozilgan to'g'ri chiziq tenglamasi soddalashtirilgan

agar a x 1 ≠ x 2 va x \u003d x 1 , agar a x 1 \u003d x 2 .

Fraksiya \u003d k chaqirdi qiyalik to'g'riga.

Misol... A (1, 2) va B (3, 4) nuqtalardan o'tgan to'g'ri chiziqning tenglamasini toping.

Qaror... Yuqoridagi formulani qo'llagan holda biz quyidagilarga erishamiz:

Nuqtalar va qiyaliklar bo'yicha to'g'ri chiziq tenglamasi.

Agar to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi bo'lsa Ax + Wu + C \u003d 0 shaklga keltiring:

tayinlang , keyin olingan tenglama deyiladi

to'g'ri chiziqning k qiyalik bilan tenglamasi.

Nuqta va yo'nalish vektori bo'yicha to'g'ri chiziq tenglamasi.

Oddiy vektor orqali to'g'ri chiziqning tenglamasini ko'rib chiqqan paragrafga o'xshashlik bilan siz vazifani kiritishingiz mumkin

to'g'ri chiziqning nuqta va yo'nalishi bo'yicha vektor orqali

Ta'rif... Har bir nolinchi vektor (a 1, a 2)uning tarkibiy qismlari shartni qondiradi

Aa 1 + Vaa 2 \u003d 0 chaqirdi to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektori.

Ax + Wu + C \u003d 0.

Misol... Vektor (1, -1) va A (1, 2) nuqtadan o'tgan to'g'ri chiziqning tenglamasini toping.

Qaror... Istalgan to'g'ri chiziqning tenglamasi quyidagicha izlanadi: Ax + By + C \u003d 0. Ta'rifga ko'ra,

koeffitsientlar quyidagi shartlarga javob berishi kerak:

1 * A + (-1) * B \u003d 0, ya'ni. A \u003d B

Keyin to'g'ri chiziqning tenglamasi quyidagicha bo'ladi: Ax + Ay + C \u003d 0, yoki x + y + C / A \u003d 0.

da x \u003d 1, y \u003d 2biz olamiz C / A \u003d -3, ya’ni zarur tenglama:

x + y - 3 \u003d 0

Segmentlardagi to'g'ri chiziq tenglamasi.

Agar Ax + Vy + C \u003d 0 C ≠ 0 to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasida, -C ga bo'lsak, quyidagini olamiz:

yoki qayerda

Koeffitsientlarning geometrik ma'nosi shundaki, a koeffitsienti kesishish nuqtasining koordinatasidir

o'q bilan tekis Oh va b - to'g'ri chiziqning eksa bilan kesishish nuqtasining koordinatasi OU.

Misol... To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi berilgan x - y + 1 \u003d 0.Ushbu to'g'ri chiziqning tenglamalarini segmentlardan toping.

C \u003d 1, a \u003d -1, b \u003d 1.

To'g'ri chiziqning normal tenglamasi.

Agar tenglamaning ikkala tomoni bo'lsa Ax + Wu + C \u003d 0 songa bo'ling deb nomlanadi

normallashtiruvchi omil, keyin olamiz

xcosφ + ysinφ - p \u003d 0 -normal chiziq tenglamasi.

Normallashtiruvchi omilning ± belgisi shunday tanlanishi kerak m * C< 0.

r - boshidan to'g'ri chiziqqa tushgan perpendikulyar uzunlik,

va φ - o'qning ijobiy yo'nalishi bilan bu perpendikulyar hosil bo'lgan burchak Oh.

Misol... Chiziqning umumiy tenglamasi berilgan 12x - 5y - 65 \u003d 0... Turli xil tenglamalarni yozish uchun talab qilinadi

bu to'g'ri chiziq.

Ushbu chiziqning segmentlardagi tenglamasi:

Nishab bilan bu chiziqning tenglamasi: (5 ga bo'ling)

To'g'ri chiziq tenglamasi:

cos φ \u003d 12/13; gunoh φ \u003d -5/13; p \u003d 5.

Shuni ta'kidlash kerakki, har qanday to'g'ri chiziq segmentlarda tenglama bilan ifodalanishi mumkin emas, masalan, to'g'ri chiziqlar,

o'qlarga parallel yoki kelib chiqishi orqali.

To'g'ri tekisliklar orasidagi burchak.

Ta'rif... Agar ikkita satr berilgan bo'lsa y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2 , keyin bu chiziqlar orasidagi o'tkir burchak

sifatida belgilanadi

Agar ikkita to'g'ri chiziq parallel bo'lsa k 1 \u003d k 2... Ikkita to'g'ri chiziqlar perpendikulyar,

agar a k 1 \u003d -1 / k 2 .

Teorema.

To'g'ridan-to'g'ri Ax + Wu + C \u003d 0va A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 koeffitsientlar mutanosib bo'lganda parallel bo'ladi

A 1 \u003d λA, V 1 \u003d λV... Agar ham S 1 \u003d λS, keyin to'g'ri chiziqlar bir-biriga to'g'ri keladi. Ikki chiziqning kesishish nuqtasi koordinatalari

ushbu to'g'ri chiziqlarning tenglamalari tizimiga yechim sifatida topiladi.

Berilgan nuqta orqali berilgan to'g'ri chiziqqa perpendikulyar bo'lgan to'g'ri chiziq tenglamasi.

Ta'rif... Nuqtadan chiziq M 1 (x 1, y 1) va chiziqqa perpendikulyar y \u003d kx + b

quyidagi tenglama bilan ifodalanadi:

Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa.

Teorema... Agar nuqta berilgan bo'lsa M (x 0, y 0), to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa Ax + Wu + C \u003d 0sifatida belgilangan:

Dalillar... Nuqtasini aytaylik M 1 (x 1, y 1) - perpendikulyar asos bazadan tushdi Mberilgan uchun

to'g'ri chiziq. Keyin nuqtalar orasidagi masofa Mva M 1:

(1)

Koordinatalar x 1 va 1 da tenglamalar sistemasini yechimi sifatida topish mumkin:

Tizimning ikkinchi tenglamasi - berilgan 0 nuqtadan perpendikulyar bo'lgan to'g'ri chiziqning tenglamasi

berilgan to'g'ri chiziq. Agar tizimning birinchi tenglamasini quyidagi shaklga o'zgartirsak:

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 0 bilan 0 + C \u003d 0,

keyin, hal qilish, biz olamiz:

Ushbu iboralarni (1) tenglamaga almashtirsak, topamiz:

Teorema isbotlangan.

Chiziq M 1 (x 1; y 1) va M 2 (x 2; y 2) nuqtalardan o'tsin. M 1 nuqtadan o'tgan to'g'ri chiziqning tenglamasi y-y 1 \u003d shaklga ega k (x - x 1), (10.6)

qayerda k - hali noma'lum koeffitsient.

To'g'ri chiziq M 2 (x 2 y 2) nuqtadan o'tganligi sababli, bu nuqta koordinatalari (10.6) tenglamani qondirishi kerak: y 2 -y 1 \u003d k (x 2 -x 1).

Bu erda biz topilgan qiymatni almashtirishni topamiz k (10.6) tenglamaga M 1 va M 2 nuqtalardan o'tgan to'g'ri chiziq tenglamasini olamiz:

Ushbu tenglamada x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2 deb taxmin qilinadi

Agar x 1 \u003d x 2 bo'lsa, u holda M 1 (x 1, y I) va M 2 (x 2, y 2) nuqtalardan o'tgan to'g'ri chiziq ordinat o'qiga parallel bo'ladi. Uning tenglamasi shaklga ega x \u003d x 1 .

Agar y 2 \u003d y I bo'lsa, u holda to'g'ri chiziqning tenglamasi y \u003d y 1 deb yozilishi mumkin, M 1 M 2 to'g'ri chiziq absissa o'qiga parallel.

Segmentlardagi to'g'ri chiziq tenglamasi

To'g'ri chiziq Ox o'qini M 1 (a; 0) nuqtada, Oy o'qi esa M 2 (0; b) nuqtada kesishsin. Tenglama quyidagicha bo'ladi:
o'sha.
... Ushbu tenglama deyiladi segmentlardan to'g'ri chiziq tenglamasini, chunki a va b raqamlari koordinata o'qlarida to'g'ri chiziq bilan qanday kesmalar kesilganligini ko'rsatadi.

Berilgan vektorga perpendikulyar berilgan nuqtadan o'tgan to'g'ri chiziq tenglamasi

Berilgan nol bo'lmagan vektorga perpendikulyar bo'lgan n ((O; y o)) nuqtadan o'tadigan to'g'ri chiziq tenglamasini topaylik.

To'g'ri chiziqda ixtiyoriy M (x; y) nuqtani oling va M 0 M (x - x 0; y - y o) vektorini ko'rib chiqing (1-rasmga qarang). N va M o M vektorlari perpendikulyar bo'lganligi sababli, ularning skalyar mahsuloti nolga teng: ya'ni

A (x - xo) + B (y - yo) \u003d 0. (10.8)

(10.8) tenglama deyiladi berilgan vektorga perpendikulyar berilgan nuqtadan o'tgan to'g'ri chiziq tenglamasi .

To'g'ri chiziqqa perpendikulyar bo'lgan n \u003d (A; B) vektor normal deb ataladi chiziqning normal vektori .

(10.8) tenglamani quyidagicha yozish mumkin Ax + Wu + C \u003d 0 , (10.9)

bu erda A va B normal vektorning koordinatalari, C \u003d -A o o - Vu o - erkin atama. Tenglama (10.9) to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi (2-rasmga qarang).

1-rasm 2-rasm

Chiziqning kanonik tenglamalari

,

Qayerda
- to'g'ri chiziq o'tadigan nuqta koordinatalari va
- yo'nalish vektori.

Ikkinchi tartibli egri doiralar

Doira - bu deyilgan nuqtadan teng bo'lgan tekislikning barcha nuqtalarining yig'indisi, u markaz deyiladi.

Radius doirasining kanonik tenglamasi R nuqtada markazlashtirilgan
:

Xususan, agar payning markazi kelib chiqishi bilan mos kelsa, tenglama quyidagicha bo'ladi:

Ellips

Ellips - tekislikdagi nuqtalar to'plami, ularning har biri berilgan ikkita nuqtaga bo'lgan masofalar yig'indisi va fokus deyiladi, ular doimiydir
fokuslar orasidagi masofadan katta
.

Fokuslari Ox o'qida joylashgan va fokuslar orasidagi koordinatalarning kelib chiqishi ellipsning kanonik tenglamasi quyidagi shaklga ega.
r dea yarim asosiy o'qning uzunligi;b - yarim o'qning uzunligi (2-rasm).

Ellips parametrlari bilan o'zaro bog'liqlik
va nisbati bilan ifodalanadi:

(4)

Eksantriklik ellipsoraliq masofaning nisbati deyiladi2c asosiy o'qiga2a:

Direktorlar ushbu o'qdan bir-biridan uzoq bo'lgan Oy o'qiga parallel bo'lgan to'g'ri chiziqlar deyiladi. Directrix tenglamalari:
.

Agar ellips tenglamasida bo'lsa
, keyin ellipsning fokuslari Oy o'qida.

Shunday qilib,

Ikkita nuqta berilsin M 1 (x 1, y 1) va M 2 (x 2, y 2)... To'g'ri chiziqning tenglamasini (5) formada yozamiz, bu erda k hali noma'lum koeffitsient:

Nuqtadan beri M 2berilgan to'g'ri chiziqqa tegishli bo'lsa, uning koordinatalari (5) tenglamani qanoatlantiradi:. Bundan kelib chiqib, uni (5) tenglamaga almashtirib, biz quyidagi tenglamani olamiz:

Agar a ushbu tenglamani yodlash uchun qulayroq shaklda qayta yozish mumkin:

(6)

Misol.M 1 (1.2) va M 2 (-2.3) nuqtalardan o'tgan to'g'ri chiziq tenglamasini yozing.

Qaror. ... Mutanosiblik xususiyatidan foydalanib va \u200b\u200bkerakli o'zgarishlarni amalga oshirib, biz to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasini olamiz:

Ikki to'g'ri chiziq orasidagi burchak

Ikkita qatorni ko'rib chiqaylik l 1 va l 2:

l 1:, va

l 2: , ,

φ - ular orasidagi burchak (). 4-rasmda ko'rsatilgan :.

Shu yerdan , yoki

Formuladan (7) foydalanib, to'g'ri chiziqlar orasidagi burchaklardan birini aniqlash mumkin. Ikkinchi burchak.

Misol... Ikkita to'g'ri chiziq y \u003d 2x + 3 va y \u003d -3x + 2 tenglamalar bilan berilgan. bu chiziqlar orasidagi burchakni toping.

Qaror... Tenglamalardan ko'rinib turibdiki, k 1 \u003d 2, va k 2 \u003d -3. ushbu qiymatlarni (7) formulaga almashtirsak, topamiz

... Shunday qilib, bu chiziqlar orasidagi burchak tengdir.

Ikki chiziqning parallelligi va perpendikulyarligi shartlari

Agar to'g'ri bo'lsa l 1 va l 2 parallel bo'ladi φ=0 va tgφ \u003d 0... bu (7) formuladan kelib chiqadiki, bu qayerdan k 2 \u003d k 1... Shunday qilib, ikkita to'g'ri chiziqning parallelligi uchun shart bu ularning yon bag'irlarining tengligi.

Agar to'g'ri bo'lsa l 1 va l 2 keyin perpendikulyar bo'ladi φ \u003d π / 2, a 2 \u003d π / 2 + a 1. ... Shunday qilib, ikkita to'g'ri chiziqning perpendikulyarligi sharti shundaki, ularning yonbag'irlari kattalikda o'zaro va teskari tomonda.

Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa

Teorema. Agar M (x 0, y 0) nuqta berilgan bo'lsa, Ax + Vy + C \u003d 0 to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa quyidagicha aniqlanadi.

Dalillar. M 1 nuqtadan (x 1, y 1) M nuqtadan berilgan chiziqqa tushgan perpendikulyar asos bo'lsin. Keyin M va M 1 nuqtalari orasidagi masofa:

X 1 va y 1 koordinatalarini tenglamalar sistemasi yechimi sifatida topish mumkin:

Tizimning ikkinchi tenglamasi bu berilgan to'g'ri chiziqqa perpendikulyar berilgan M 0 nuqtadan o'tgan to'g'ri chiziqning tenglamasidir.

Agar tizimning birinchi tenglamasini quyidagi shaklga o'zgartirsak:

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 0 bilan 0 + C \u003d 0,

keyin, hal qilish, biz olamiz:

Ushbu iboralarni (1) tenglamaga almashtirsak, topamiz:

Teorema isbotlangan.

Misol. To'g'ri chiziqlar orasidagi burchakni aniqlang: y \u003d -3x + 7; y \u003d 2x + 1.

k 1 \u003d -3; k 2 \u003d 2 tgj \u003d; j \u003d p / 4.

Misol. 3x - 5y + 7 \u003d 0 va 10x + 6y - 3 \u003d 0 to'g'ri chiziqlar perpendikulyar ekanligini isbotlang.

Biz topamiz: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1, shuning uchun to'g'ri chiziqlar perpendikulyar.

Misol. A (0; 1), B (6; 5), C (12; -1) uchburchaklar uchlari berilgan. S tekisligidan olingan balandlikning tenglamasini toping.

AB tomon tenglamasini topamiz:; 4x \u003d 6y - 6;

2x - 3y + 3 \u003d 0;

Kerakli balandlik tenglamasi: Ax + By + C \u003d 0 yoki y \u003d kx + b.

k \u003d. Keyin y \u003d. Chunki balandlik C nuqtadan o'tadi, keyin uning koordinatalari berilgan tenglamani qondiradi: qayerdan b \u003d 17. Jami:.

Javob: 3x + 2y - 34 \u003d 0.

Nuqtadan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa bir nuqtadan to'g'ri chiziqqa tushgan perpendikulyar uzunlikka qarab aniqlanadi.

Agar chiziq proektsion tekislikka parallel bo'lsa (h | | P 1), keyin nuqtadan masofani aniqlash uchun VA to'g'ri h nuqtadan perpendikulyar tushirish kerak VA gorizontal holatidadir h.

To'g'ri chiziq umumiy pozitsiyani egallaganida yanada murakkab bir misolni ko'rib chiqamiz. Nuqtadan masofani aniqlash kerak bo'lsin M to'g'ri va umumiy holat.

Aniqlash vazifasi parallel chiziqlar orasidagi masofa oldingisiga o'xshash tarzda hal qilindi. Bir satrda bir nuqta olinadi, undan perpendikulyar boshqa chiziqqa tushiriladi. Perpendikulyar uzunlik parallel chiziqlar orasidagi masofaga teng.

Ikkinchi tartib egri chizig'i hozirgi Kartezian koordinatalariga nisbatan ikkinchi darajali tenglama bilan aniqlangan chiziq deyiladi. Umuman olganda, Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F \u003d 0,

bu erda A, B, C, D, E, F haqiqiy sonlar va kamida A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0 raqamlaridan biri.

Davra

Doira markazi Tekislikdagi nuqta lokusi C (a, b) nuqtadan tengdir.

Doira quyidagi tenglama bilan berilgan:

Bu erda x, y - aylananing ixtiyoriy nuqtasining koordinatalari, R - aylananing radiusi.

Aylanma tenglama

1. x, y harfi yo'q

2. x 2 va y 2 da teng koeffitsientlar

Ellips

Ellips tekislikdagi nuqtalar lokusi deyiladi, ularning har birining masofa yig'indisi ushbu tekislikning berilgan ikkita nuqtasidan fokus (doimiy qiymat) deb ataladi.

Kanonik ellips tenglamasi:

X va y ellipsga tegishli.

a - ellipsning yarim katta o'qi

b - ellipsning yarim kichik o'qi

Ellipsda OX va OY simmetriyasining 2 o'qi mavjud. Ellipsning simmetriya o'qlari - bu uning o'qlari, ularning kesishish nuqtasi ellipsning markazi. Fokuslar joylashgan o'q deyiladi fokus o'qi... Ellipsning o'qlar bilan kesishish nuqtasi ellipsning uchi.

Siqish (cho'zish) nisbati: ε \u003d s / a - ekssentriklik (ellipsning shaklini tavsiflaydi), u qanchalik kichik bo'lsa, ellips fokus o'qi bo'ylab cho'zilib ketadi.

Agar ellipsning markazlari S (a, β) markazida bo'lmasa

Giperbola

Giperbola tekislikdagi nuqtalar lokusi deyiladi. mutlaq qiymat Ushbu tekislikning berilgan ikkita nuqtasidan har biri fokus deb ataladigan masofalar farqi noldan boshqa doimiy qiymatdir.

Kanonik giperbola tenglamasi

Giperbola simmetriyaning 2 o'qiga ega:

a - haqiqiy simmetriya yarimaksisi

b - xayoliy simmetriya yarim o'qi

Giperbola assimptotlari:

Parabola

Parabola F nuqtadan mos keladigan tekislikda joylashgan nuqtalar lokusi deyiladi, fokus va berilgan to'g'ri chiziq deyiladi, to'g'ridan-to'g'ri yo'nalish deyiladi.

Parabolaning kanonik tenglamasi:

Y 2 \u003d 2px, bu erda p - fokusdan Directtriksgacha bo'lgan masofa (parabola parametr)

Agar parabola cho'qqisi C (a, β) bo'lsa, u holda parabola tenglamasi (y-β) 2 \u003d 2p (x-a)

Agar fokus o'qi ordinata o'qi sifatida olingan bo'lsa, u holda parabola tenglamasi quyidagicha bo'ladi: x 2 \u003d 2qu

Ikkita nuqta berilsin M(X1 ,Bor1) va N(X2, y2). Ushbu nuqtalardan o'tgan to'g'ri chiziqning tenglamasini topaylik.

Ushbu chiziq nuqta orqali o'tganligi sababli M, (1.13) formula bo'yicha uning tenglamasi shaklga ega

Bor – Y1 = K(X - x1),

Qayerda K - noma'lum qiyalik.

Ushbu koeffitsientning qiymati qidirilayotgan chiziq nuqtadan o'tishi sharti bilan aniqlanadi Nva shuning uchun uning koordinatalari (1.13) tenglamani qondiradi.

Y2 – Y1 = K(X2 – X1),

Ushbu chiziqning qiyalik burchagini topishingiz mumkin:

,

Yoki konversiyadan keyin

(1.14)

Formula (1.14) aniqlaydi Ikki nuqta orqali o'tadigan to'g'ri chiziq tenglamasi M(X1, Y1) va N(X2, Y2).

Maxsus holatda, ballar M(A, 0), N(0, B), VA ¹ 0, B ¹ 0, koordinata o'qlariga yoting, (1.14) tenglama sodda shaklni oladi

Tenglama (1.15) chaqirdi Segmentlardagi to'g'ri chiziq tenglamasi, bu yerda VA va B oqlari to'g'ri chiziq bilan kesilgan segmentlarni belgilang (1.6-rasm).

1.6-rasm

Misol 1.10. Nuqtalar orqali to'g'ri chiziqni tenglashtiring M(1, 2) va B(3, –1).

. (1.14) ga ko'ra, qidirilayotgan chiziqning tenglamasi shaklga ega

2(Y – 2) = -3(X – 1).

Barcha shartlarni chap tomonga o'tkazib, biz nihoyat kerakli tenglamani olamiz

3X + 2Y – 7 = 0.

1.11-misol. Nuqta orqali to'g'ri chiziqni tenglashtiring M(2, 1) va chiziqlarning kesishish nuqtasi X+ Y -1 = 0, X - y+ 2 = 0.

. Berilgan tenglamalarni birgalikda echib, to'g'ri chiziqlarning kesishish nuqtasi koordinatalarini topamiz

Agar bu tenglamalarni atamaga qo'shsak, 2 ga teng bo'lamiz X + 1 \u003d 0, qayerdan. Topilgan qiymatni har qanday tenglamaga almashtirib, ordenatning qiymatini topamiz Bor:

Endi (2, 1) va: nuqtalardan o'tgan to'g'ri chiziq tenglamasini yozamiz.

yoki.

Demak, yoki –5 ( Y – 1) = X – 2.

Va nihoyat, biz qidirilayotgan chiziqning tenglamasini formada olamiz X + 5Y – 7 = 0.

1.12-misol. Nuqtalardan o'tgan to'g'ri chiziqning tenglamasini toping M(2,1) va N(2,3).

(1.14) formuladan foydalanib, tenglamani olamiz

Buning ma'nosi yo'q, chunki ikkinchi denominator nolga teng. Muammo bayonidan ko'rinib turibdiki, ikkala nuqta ham abssissalar bir xil qiymatga ega. Demak, qidirilayotgan chiziq o'qga parallel OY va uning tenglamasi quyidagicha: x = 2.

Izoh . Agar (1.14) formulaga binoan to'g'ri chiziq tenglamasini yozganda, denominatorlardan biri nolga aylansa, kerakli tenglamani nolga tenglashtirish orqali kerakli tenglamani olish mumkin.

Samolyotda to'g'ri chiziqni aniqlashning boshqa usullarini ko'rib chiqing.

1. Nol bo'lmagan vektor berilgan chiziqqa perpendikulyar bo'lsin Lva nuqta M0(X0, Y0) bu to'g'ri chiziqda yotadi (1.7-rasm).

1.7-rasm

Biz belgilaymiz M(X, Y) chiziqdagi ixtiyoriy nuqta L... Vektorli va Ortogonal. Ushbu vektorlar uchun ortogonallik shartlaridan foydalanib, ikkalasini ham olamiz VA(X – X0) + B(Y – Y0) = 0.

Nuqtadan o'tgan to'g'ri chiziq tenglamasini oldik M0 vektorga perpendikulyar. Ushbu vektor deyiladi Oddiy vektor to'g'ri L... Olingan tenglamani quyidagicha yozish mumkin

Oh + Vu + FROM \u003d 0, qayerda FROM = –(VAX0 + Muallif:0), (1.16),

Qayerda VA va IN- normal vektorning koordinatalari.

Parametrik shaklda to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasini olamiz.

2. Tekislikdagi to'g'ri chiziq quyidagicha ko'rsatilishi mumkin: nol bo'lmagan vektor berilgan tekislikka parallel bo'lsin L va nuqta M0(X0, Y0) bu to'g'ri chiziqda yotadi. Yana o'zboshimchalik bilan nuqta oling M(X, y) to'g'ri chiziqda (1.8-rasm).

1.8-rasm

Vektorli va to'qnashuv.

Ushbu vektorlar uchun bir-biriga yaqinlik holatini yozamiz:, qaerda T - parametr deb ataladigan ixtiyoriy raqam. Keling, bu tenglikni koordinatalarda yozaylik:

Ushbu tenglamalar deyiladi Parametrik tenglamalar To'g'riga... Ushbu tenglamalardan parametrni chiqarib tashlaymiz T:

Ushbu tenglamalar boshqa shaklda yozilishi mumkin

. (1.18)

Olingan tenglama deyiladi Chiziqning kanonik tenglamasi... Vektor deyiladi To'g'ri chiziqning yo'nalish vektori .

Izoh . Agar chiziq uchun normal vektor bo'lsa, buni ko'rish oson L, keyin uning yo'nalishi vektori vektor bo'lishi mumkin, chunki, ya'ni.

1.13-misol. Nuqtadan o'tgan to'g'ri chiziqning tenglamasini yozing M0 (1, 1) 3 to'g'ri chiziqqa parallel X + 2Bor– 8 = 0.

Qaror . Vektor berilgan va istalgan to'g'ri chiziqlar uchun normal vektordir. Nuqtadan o'tgan to'g'ri chiziq tenglamasidan foydalanamiz M0 berilgan normal vektor bilan 3 ( X –1) + 2(Bor - 1) \u003d 0 yoki 3 X + 2y - 5 \u003d 0. Kerakli to'g'ri chiziqning tenglamasi olingan.