متوازي الأضلاع في المشاكل. كيفية إيجاد مساحة متوازي الأضلاع ، المثلث ، شبه المنحرف. كيفية حساب مساحة متوازي الأضلاع

منطقة هندسية- خاصية عددية لشكل هندسي يوضح حجم هذا الشكل (جزء من السطح يحده محيط مغلق من هذا الشكل). يتم التعبير عن حجم المنطقة بعدد الوحدات المربعة الموجودة فيها.

صيغ منطقة المثلث

1. صيغة مساحة المثلث للجانب والارتفاع
   مساحة المثلثيساوي نصف حاصل ضرب طول ضلع في المثلث وطول الارتفاع المرسوم على هذا الجانب
   
2. صيغة مساحة المثلث بمعلومية ثلاثة أضلاع ونصف قطر الدائرة المحصورة
   
3. صيغة مساحة المثلث بمعلومية ثلاثة أضلاع ونصف قطر الدائرة المحيطية
   مساحة المثلثيساوي حاصل ضرب نصف محيط المثلث ونصف قطر الدائرة المحيطية.
   
حيث S هي مساحة المثلث ،
- أطوال أضلاع المثلث ،
- ارتفاع المثلث ،
- الزاوية بين الجانبين و ،
- نصف قطر الدائرة المنقوشة ،
R - نصف قطر الدائرة المحددة ،

صيغ منطقة مربعة

1. صيغة مساحة المربع بمعلومية طول الضلع
   مساحة مربعةيساوي مربع طول ضلعها.
2. صيغة مساحة المربع بمعلومية طول القطر
   مساحة مربعةيساوي نصف مربع طول قطره.
   

   S =	1	2
   	2

حيث S هي مساحة المربع ،
هو طول ضلع المربع ،
هو طول قطر المربع.

صيغة منطقة المستطيل

منطقة المستطيليساوي حاصل ضرب طولي ضلعيه المجاورين

حيث S هي مساحة المستطيل ،
هي أطوال جانبي المستطيل.

صيغ مساحة متوازي الأضلاع

1. صيغة مساحة متوازي الأضلاع لطول الضلع والارتفاع
   منطقة متوازي الأضلاع
2. صيغة مساحة متوازي الأضلاع بمعلومية ضلعين والزاوية بينهما
   منطقة متوازي الأضلاعيساوي حاصل ضرب أطوال أضلاعه مضروبًا في جيب الزاوية بينهما.
   

   أ ب sinα

حيث S هي مساحة متوازي الأضلاع ،
هي أطوال جانبي متوازي الأضلاع ،
هو ارتفاع متوازي الأضلاع ،
هي الزاوية بين جانبي متوازي الأضلاع.

صيغ مساحة المعين

1. صيغة مساحة المعين مع إعطاء طول الضلع والارتفاع
   منطقة المعينيساوي حاصل ضرب طول ضلعها وطول الارتفاع المخفض لهذا الجانب.
2. صيغة مساحة المعين بمعلومية طول الضلع والزاوية
   منطقة المعينيساوي حاصل ضرب مربع طول ضلعها وجيب الزاوية بين جانبي المعين.
3. صيغة مساحة المعين من أطوال أقطارها
   منطقة المعينيساوي نصف حاصل ضرب أطوال قطريها.
حيث S هي منطقة المعين ،
- طول جانب المعين ،
- طول ارتفاع المعين ،
- الزاوية بين جانبي المعين ،
1 ، 2 - أطوال الأقطار.

صيغ منطقة شبه منحرف

1. صيغة هيرون لشبه منحرف

   حيث S هي مساحة شبه منحرف ،
   - طول قواعد شبه المنحرف ،
   - طول جوانب شبه منحرف ،
   

متوازي الاضلاعشكل رباعي أضلاعه متوازية.

في هذا الشكل ، الأضلاع والزوايا المتقابلة متساوية. تتقاطع أقطار متوازي الأضلاع عند نقطة واحدة وتشطره. تسمح لك صيغ مساحة متوازي الأضلاع بالعثور على القيمة من خلال الجوانب والارتفاع والأقطار. يمكن أيضًا تمثيل متوازي الأضلاع في حالات خاصة. تعتبر مستطيل ومربع ومعين.
أولًا ، دعنا نفكر في مثال لحساب مساحة متوازي الأضلاع بالارتفاع والضلع الذي تنزل إليه.

تعتبر هذه القضية كلاسيكية ولا تتطلب مزيدًا من التحقيق. من الأفضل مراعاة صيغة حساب المساحة من خلال الجانبين والزاوية بينهما. يتم استخدام نفس الطريقة في الحساب. إذا أعطيت الأضلاع والزاوية بينهما ، فسيتم حساب المساحة على النحو التالي:

لنفترض أن متوازي أضلاع أضلاعه أ = 4 سم ، ب = 6 سم ، والزاوية بينهما هي α = 30 درجة. لنجد المنطقة:

مساحة متوازي الأضلاع بدلالة الأقطار

تسمح لك صيغة مساحة متوازي الأضلاع بدلالة الأقطار بإيجاد القيمة بسرعة.
لإجراء العمليات الحسابية ، تحتاج إلى قيمة الزاوية الواقعة بين الأقطار.

ضع في اعتبارك مثال لحساب مساحة متوازي الأضلاع من خلال الأقطار. دع متوازي أضلاع بقطري D = 7 سم ، د = 5 سم ، والزاوية بينهما هي α = 30 °. استبدل البيانات الموجودة في الصيغة:

أعطانا مثال لحساب مساحة متوازي الأضلاع من خلال القطر نتيجة ممتازة - 8.75.

بمعرفة صيغة مساحة متوازي الأضلاع بدلالة القطر ، يمكنك حل العديد من المسائل المثيرة للاهتمام. دعونا نلقي نظرة على واحد منهم.

مهمة:يعطي متوازي أضلاع بمساحة 92 مترًا مربعًا. انظر النقطة F تقع في منتصف جانبها قبل الميلاد. لنجد مساحة شبه المنحرف ADFB ، والتي تقع في متوازي الأضلاع. لنبدأ برسم كل شيء حصلنا عليه وفقًا للشروط.
دعنا نصل إلى الحل:

وفقًا لظروفنا ، آه \ u003d 92 ، وبالتالي ، فإن مساحة شبه المنحرف لدينا ستكون مساوية لـ

قبل أن نتعلم كيفية إيجاد مساحة متوازي الأضلاع ، علينا أن نتذكر ما هو متوازي الأضلاع وما يسمى بارتفاعه. متوازي الأضلاع هو شكل رباعي الأضلاع المتقابلة متوازية (تقع على خطوط متوازية). يُطلق على العمود العمودي المرسوم من نقطة عشوائية على الجانب المقابل للخط الذي يحتوي على هذا الجانب ارتفاع متوازي الأضلاع.

المربع والمستطيل والمعين هي حالات خاصة لمتوازي الأضلاع.

يشار إلى مساحة متوازي الأضلاع (S).

صيغ لإيجاد مساحة متوازي الأضلاع

S = a * h ، حيث a هي القاعدة ، h هو الارتفاع المرسوم للقاعدة.

S = a * b * sinα ، حيث a و b هما القاعدتان ، و α هي الزاوية بين القاعدتين a و b.

S \ u003d p * r ، حيث p هو نصف المحيط ، r هو نصف قطر الدائرة المدرجة في متوازي الأضلاع.

مساحة متوازي الأضلاع المكونة من المتجهين أ و ب تساوي معامل حاصل ضرب المتجهات المعينة ، وهي:

ضع في اعتبارك المثال رقم 1: تم إعطاء متوازي أضلاع ، ضلعه 7 سم ، والارتفاع 3 سم. كيفية إيجاد مساحة متوازي الأضلاع ، نحتاج إلى صيغة للحل.

إذن S = 7x3. S = 21. الجواب: 21 سم 2.

تأمل في المثال رقم 2: القاعدتان 6 و 7 سم ، والزاوية بين القاعدتين 60 درجة. كيف تجد مساحة متوازي الأضلاع؟ الصيغة المستخدمة لحل:

وهكذا ، نجد أولًا جيب الزاوية. جيب 60 \ u003d 0.5 ، على التوالي S \ u003d 6 * 7 * 0.5 \ u003d 21 الإجابة: 21 سم 2.

آمل أن تساعدك هذه الأمثلة في حل المشكلات. وتذكر أن الشيء الرئيسي هو معرفة الصيغ والانتباه

ما هو متوازي الاضلاع؟ متوازي الأضلاع هو شكل رباعي الأضلاع المتقابلة متوازية.

1. يتم حساب مساحة متوازي الأضلاع بالصيغة التالية:

\ [\ LARGE S = a \ cdot h_ (a) \]

أين:
أ هو جانب متوازي الأضلاع ،
h a هو الارتفاع المرسوم على هذا الجانب.

2. إذا كان طول ضلعين متجاورين من متوازي الأضلاع والزاوية بينهما معروفين ، فإن مساحة متوازي الأضلاع تُحسب بالصيغة التالية:

\ [\ LARGE S = a \ cdot b \ cdot sin (\ alpha) \]

3. إذا تم إعطاء أقطار متوازي الأضلاع وكانت الزاوية بينهما معروفة ، فإن مساحة متوازي الأضلاع تُحسب بالصيغة:

\ [\ LARGE S = \ frac (1) (2) \ cdot d_ (1) \ cdot d_ (2) \ cdot sin (\ alpha) \]

خصائص متوازي الأضلاع

في متوازي الأضلاع ، الأضلاع المتقابلة متساوية: \ (AB = CD \) ، \ (BC = AD \)

في متوازي الأضلاع ، الزوايا المقابلة هي: \ (\ الزاوية أ = \ الزاوية ج \) ، \ (\ الزاوية ب = \ الزاوية د \)

يتم تقسيم أقطار متوازي الأضلاع عند نقطة التقاطع \ (AO = OC \) ، \ (BO = OD \)

قطري متوازي الأضلاع يقسمه إلى مثلثين متساويين.

مجموع زوايا متوازي الأضلاع المجاورة لأحد أضلاعه يساوي 180 درجة:

\ (\ الزاوية أ + \ الزاوية ب = 180 ^ (س) \) ، \ (\ الزاوية ب + \ الزاوية ج = 180 ^ (س) \)

\ (\ الزاوية C + \ الزاوية د = 180 ^ (س) \) ، \ (\ الزاوية د + \ الزاوية أ = 180 ^ (س) \)

ترتبط أقطار وجوانب متوازي الأضلاع بالعلاقة التالية:

\ (d_ (1) ^ (2) + d_ (2) ^ 2 = 2a ^ (2) + 2b ^ (2) \)

في متوازي الأضلاع ، الزاوية بين الارتفاعات تساوي زاويتها الحادة: \ (\ زاوية ك ب ح = \ زاوية أ \).

منصفات الزوايا المتاخمة لجانب واحد من متوازي الأضلاع متعامدة بشكل متبادل.

منصف زاويتين متقابلتين في متوازي أضلاع متوازية.

ميزات متوازي الأضلاع

الرباعي هو متوازي أضلاع إذا:

\ (AB = CD \) و \ (AB || CD \)

\ (AB = CD \) و \ (BC = AD \)

\ (AO = OC \) و \ (BO = OD \)

\ (\ الزاوية أ = \ الزاوية ج \) و \ (\ الزاوية ب = \ الزاوية د \)

تم تعطيل جافا سكريبت في المتصفح الخاص بك.
يجب تمكين عناصر تحكم ActiveX لإجراء العمليات الحسابية!

كما هو الحال في الهندسة الإقليدية ، فإن النقطة والخط المستقيم هما العنصران الرئيسيان في نظرية المستويات ، لذا فإن متوازي الأضلاع هو أحد الأشكال الرئيسية للأشكال الرباعية المحدبة. منه ، مثل خيوط الكرة ، تتدفق مفاهيم "المستطيل" و "المربع" و "المعين" والكميات الهندسية الأخرى.

في تواصل مع

تعريف متوازي الأضلاع

رباعي محدبيتكون من مقاطع ، كل زوج منها متوازي ، يُعرف في الهندسة باسم متوازي الأضلاع.

شكل متوازي الأضلاع الكلاسيكي هو الشكل الرباعي ABCD. تسمى الأضلاع القواعد (AB و BC و CD و AD) ، والعمودي المرسوم من أي رأس إلى الجانب المقابل من هذا الرأس يسمى الارتفاع (BE و BF) ، والخطان AC و BD هما الأقطار.

انتباه!المربع والمعين والمستطيل هي حالات خاصة لمتوازي الأضلاع.

الجوانب والزوايا: ميزات النسبة

الخصائص الرئيسية ، بشكل عام ، محددة سلفا بالتسمية نفسها، تم إثباتها من خلال النظرية. هذه الخصائص هي كما يلي:

1. الجوانب المعاكسة متطابقة في أزواج.
2. الزوايا المقابلة لبعضها البعض متساوية في أزواج.

الإثبات: ضع في اعتبارك ∆ABC و ADC ، والتي يتم الحصول عليها بقسمة الرباعي ABCD على الخط AC. ∠BCA = ∠CAD و ∠BAC = ∠ACD ، نظرًا لأن AC مشترك بينهما (الزوايا الرأسية لـ BC || AD و AB || CD ، على التوالي). يتبع من هذا: ∆ABC = ∆ADC (المعيار الثاني لتساوي المثلثات).

تتوافق الأجزاء AB و BC في ∆ABC في أزواج مع الأسطر CD و AD في ADC ، مما يعني أنها متطابقة: AB = CD ، BC = AD. وبالتالي ، فإن ∠B يتوافق مع ∠D وهما متساويان. بما أن ∠A = ∠BAC + ∠CAD ، ∠C = ∠BCA + ∠ACD ، والتي هي أيضًا متطابقة في أزواج ، ثم ∠A = C. تم إثبات الملكية.

خصائص قطري الشكل

الميزة الأساسيةخطوط متوازي الأضلاع هذه: نقطة التقاطع تقسمها.

الإثبات: لنفترض أن m E هي نقطة تقاطع الأقطار AC و BD للشكل ABCD. إنهم يشكلون مثلثين متناسبين - ∆ABE و ∆CDE.

AB = CD لأنهما معاكسان. وفقًا للأسطر والقطع ، ∠ABE = ∠CDE و ∠BAE = ∠DCE.

وفقًا للعلامة الثانية للمساواة ، ∆ABE = ∆CDE. هذا يعني أن العناصر ∆ABE و ∆CDE هي: AE = CE ، BE = DE ، علاوة على ذلك ، فهي أجزاء متناسبة من AC و BD. تم إثبات الملكية.

ملامح الزوايا المجاورة

مجموع الزوايا في الجانبين المتجاورين 180 درجة، لأنها تقع على نفس الجانب من الخطوط المتوازية والقاطع. للرباعي ABCD:

∠A + ∠B = ∠C + ∠D = A + ∠D = ∠B + C = 180º

خصائص المنصف:

1. ، يتم إسقاطها على جانب واحد ، تكون متعامدة ؛
2. الرؤوس المتقابلة لها منصفات متوازية ؛
3. سيكون المثلث الناتج عن رسم المنصف متساوي الساقين.

تحديد السمات المميزة لمتوازي الأضلاع بواسطة النظرية

تتبع ملامح هذا الشكل من نظريته الرئيسية ، والتي تنص على ما يلي: يعتبر الرباعي متوازي الأضلاعفي حالة تقاطع أقطارها ، وهذه النقطة تقسمهم إلى أجزاء متساوية.

إثبات: دع الخطين AC و BD للرباع ABCD يتقاطعان في t. E. بما أن ∠AED = ∠BEC و AE + CE = AC BE + DE = BD ، إذن ∆AED = ∆BEC (من خلال العلامة الأولى للمساواة بين المثلثات). وهذا هو ، ∠EAD = ∠ECB. وهي أيضًا زوايا العبور الداخلية للقاطع AC للخطين AD و BC. وهكذا ، من خلال تعريف التوازي - AD || قبل الميلاد. يتم أيضًا اشتقاق خاصية مماثلة للخطين BC و CD. لقد تم إثبات النظرية.

حساب مساحة الشكل

مساحة هذا الرقم وجدت بعدة طرقواحدة من أبسطها: ضرب الارتفاع والقاعدة التي رسمها.

الإثبات: ارسم العمودين BE و CF من الرؤوس B و C. ∆ABE و ∆DCF متساويان منذ AB = CD و BE = CF. ABCD تساوي المستطيل EBCF ، لأنها تتكون أيضًا من أرقام متناسبة: S ABE و S EBCD ، وكذلك S DCF و S EBCD. ويترتب على ذلك أن مساحة هذا الشكل الهندسي هي نفسها مساحة المستطيل:

S ABCD = S EBCF = BE × BC = BE × AD.

لتحديد الصيغة العامة لمساحة متوازي الأضلاع ، نشير إلى الارتفاع كـ هبوالجانب ب. على التوالى:

طرق أخرى للعثور على المنطقة

حسابات المنطقة من خلال جانبي متوازي الأضلاع والزاوية، التي يشكلونها ، هي الطريقة الثانية المعروفة.

,

Spr-ma - المنطقة ؛

أ و ب هي جوانبها

α - الزاوية بين الجزأين أ و ب.

تعتمد هذه الطريقة عمليًا على الطريقة الأولى ، ولكن في حالة عدم معرفتها. يقطع دائمًا مثلثًا قائمًا يتم العثور على معلماته من خلال المتطابقات المثلثية ، أي. نحصل على تحويل النسبة. في معادلة الطريقة الأولى ، نستبدل الارتفاع بهذا المنتج ونحصل على دليل على صحة هذه الصيغة.

من خلال أقطار متوازي الأضلاع والزاوية ،التي قاموا بإنشائها عند تقاطعها ، يمكنك أيضًا العثور على المنطقة.

إثبات: يتقاطع AC و BD من أربعة مثلثات: ABE و BEC و CDE و AED. مجموعهم يساوي مساحة هذا الرباعي.

يمكن العثور على مساحة كل من هذه من التعبير ، حيث أ = BE ، ب = AE ، ∠γ = AEB. منذ ذلك الحين ، يتم استخدام قيمة واحدة للجيب في الحسابات. إنه . نظرًا لأن AE + CE = AC = d 1 و BE + DE = BD = d 2 ، فإن صيغة المنطقة تقلل إلى:

.

التطبيق في الجبر المتجه

وجدت ميزات الأجزاء المكونة لهذا الرباعي تطبيقًا في الجبر المتجه ، وهي: إضافة متجهين. تنص قاعدة متوازي الأضلاع على ذلك إذا أعطيت نواقلولاتكون خطية متداخلة ، فإن مجموعها سيكون مساويًا لقطر هذا الشكل ، الذي تتوافق قواعده مع هذه المتجهات.

الدليل: من البداية المختارة بشكل تعسفي - أي. - نبني نواقل و. بعد ذلك ، نقوم ببناء متوازي الأضلاع OASV ، حيث يكون المقطعان OA و OB من الجانبين. وبالتالي ، فإن نظام التشغيل يقع على المتجه أو المجموع.

صيغ لحساب معلمات متوازي الأضلاع

يتم تقديم الهويات وفقًا للشروط التالية:

1. أ و ب ، α - الجانبين والزاوية بينهما ؛
2. د 1 و د 2 ، γ - أقطار وعند نقطة تقاطعهم ؛
3. h a و h b - الارتفاعات المنخفضة إلى الجانبين a و b ؛

معامل	معادلة
إيجاد الجانبين
على طول الأقطار وجيب الزاوية بينهما
قطريا وجانبية
من خلال الارتفاع والرأس المعاكس
إيجاد أطوال الأقطار
على الجانبين وحجم القمة بينهما
على طول الجانبين وأحد الأقطار	 خاتمة يتم استخدام متوازي الأضلاع ، باعتباره أحد الأشكال الرئيسية للهندسة ، في الحياة ، على سبيل المثال ، في البناء عند حساب مساحة الموقع أو القياسات الأخرى. لذلك ، يمكن أن تكون المعرفة حول السمات المميزة وطرق حساب المعلمات المختلفة مفيدة في أي وقت في الحياة.