ماذا يحدث للأسس عند ضرب الأعداد. خصائص الدرجات: الصيغ ، البراهين ، الأمثلة. درجة مع قاعدة سلبية
يتم تقديم مفهوم الشهادة في الرياضيات في وقت مبكر من الصف السابع في درس الجبر. وفي المستقبل ، طوال فترة دراسة الرياضيات ، يتم استخدام هذا المفهوم بنشاط في أشكاله المختلفة. الدرجات العلمية موضوع صعب إلى حد ما ، يتطلب حفظ القيم والقدرة على العد بشكل صحيح وسريع. من أجل الحصول على درجات في الرياضيات بشكل أسرع وأفضل ، توصلوا إلى خصائص الشهادة. إنها تساعد في تقليل العمليات الحسابية الكبيرة ، لتحويل مثال ضخم إلى رقم واحد إلى حد ما. لا توجد الكثير من الخصائص ، وكلها سهلة التذكر وتطبيقها في الممارسة العملية. لذلك ، يناقش المقال الخصائص الرئيسية للدرجة ، وكذلك مكان تطبيقها.
خصائص الدرجة
سننظر في 12 خاصية من الدرجة ، بما في ذلك خصائص قوى لها نفس الأساس ، ونعطي مثالاً لكل خاصية. ستساعدك كل خاصية من هذه الخصائص في حل المشكلات باستخدام الدرجات بشكل أسرع ، بالإضافة إلى توفيرك من العديد من الأخطاء الحسابية.
الملكية الأولى.
غالبًا ما ينسى الكثير من الناس هذه الخاصية ، ويرتكبون أخطاء ، ويمثلون رقمًا إلى درجة الصفر على أنه صفر.
الملكية الثانية.
الملكية الثالثة.
يجب أن نتذكر أنه لا يمكن استخدام هذه الخاصية إلا عند ضرب الأرقام ، فهي لا تعمل مع المجموع! ويجب ألا ننسى أن هذه الخصائص والخصائص التالية تنطبق فقط على قوى لها نفس القاعدة.
الملكية الرابعة.
إذا تم رفع الرقم الموجود في المقام إلى أس سالب ، فعند الطرح ، يتم أخذ درجة المقام بين قوسين لتحل محل العلامة بشكل صحيح في حسابات أخرى.
الخاصية تعمل فقط عند القسمة وليس عند الطرح!
العقار الخامس.
العقار السادس.
يمكن أيضًا تطبيق هذه الخاصية في الاتجاه المعاكس. الوحدة المقسومة على رقم إلى حد ما هي ذلك الرقم إلى أس سالب.
الملكية السابعة.
لا يمكن تطبيق هذه الخاصية على المجموع والفرق! عند رفع مجموع أو فرق إلى أس ، يتم استخدام صيغ الضرب المختصرة ، وليس خصائص القوة.
العقار الثامن.
العقار التاسع.
تعمل هذه الخاصية مع أي درجة كسرية ببسط يساوي واحدًا ، وستكون الصيغة هي نفسها ، فقط درجة الجذر ستتغير اعتمادًا على مقام الدرجة.
أيضًا ، غالبًا ما تستخدم هذه الخاصية بترتيب عكسي. يمكن تمثيل جذر أي قوة لرقم على أنه هذا الرقم مرفوعًا إلى أس واحد مقسومًا على قوة الجذر. هذه الخاصية مفيدة للغاية في الحالات التي لا يتم فيها استخراج جذر الرقم.
العقار العاشر.
لا تعمل هذه الخاصية مع الجذر التربيعي والدرجة الثانية فقط. إذا كانت درجة الجذر ودرجة رفع هذا الجذر هي نفسها ، فستكون الإجابة تعبيرًا جذريًا.
العقار الحادي عشر.
يجب أن تكون قادرًا على رؤية هذه الخاصية في الوقت المناسب عند حلها لتنقذ نفسك من العمليات الحسابية الضخمة.
العقار الثاني عشر.
ستلتقي بك كل خاصية من هذه الخصائص أكثر من مرة في المهام ، ويمكن تقديمها في شكلها النقي ، أو قد تتطلب بعض التحولات واستخدام الصيغ الأخرى. لذلك ، بالنسبة للحل الصحيح ، لا يكفي معرفة الخصائص فقط ، فأنت بحاجة إلى ممارسة بقية المعرفة الرياضية وربطها.
تطبيق الدرجات وخصائصها
يتم استخدامها بنشاط في الجبر والهندسة. للدرجات في الرياضيات مكان منفصل ومهم. بمساعدتهم ، يتم حل المعادلات الأسية وعدم المساواة ، وكذلك القوى غالبًا ما تعقد المعادلات والأمثلة المتعلقة بأقسام أخرى من الرياضيات. تساعد الأسس على تجنب العمليات الحسابية الكبيرة والطويلة ، فمن السهل تقليل وحساب الأس. ولكن للعمل مع قوى كبيرة ، أو مع قوى أعداد كبيرة ، فأنت بحاجة إلى معرفة ليس فقط خصائص الدرجة ، ولكن أيضًا العمل بكفاءة مع القواعد ، لتكون قادرًا على تحليلها من أجل تسهيل مهمتك. للراحة ، يجب أن تعرف أيضًا معنى الأعداد المرفوعة إلى قوة. سيؤدي ذلك إلى تقليل وقتك في الحل من خلال التخلص من الحاجة إلى حسابات طويلة.
يلعب مفهوم الدرجة دورًا خاصًا في اللوغاريتمات. لأن اللوغاريتم ، في جوهره ، هو قوة الرقم.
صيغ الضرب المختصرة هي مثال آخر على استخدام القوى. لا يمكنهم استخدام خصائص الدرجات ، فهي تتحلل وفقًا لقواعد خاصة ، ولكن في كل صيغة ضرب مختصرة توجد درجات ثابتة.
تُستخدم الدرجات العلمية أيضًا بنشاط في الفيزياء وعلوم الكمبيوتر. تتم جميع الترجمات إلى نظام SI باستخدام الدرجات ، وفي المستقبل ، عند حل المشكلات ، يتم تطبيق خصائص الدرجة. في علوم الكمبيوتر ، يتم استخدام قوى الرقمين بشكل نشط ، لتسهيل عملية العد وتبسيط تصور الأرقام. يتم إجراء المزيد من الحسابات حول تحويلات وحدات القياس أو حسابات المشكلات ، تمامًا كما هو الحال في الفيزياء ، باستخدام خصائص الدرجة.
تعتبر الدرجات مفيدة أيضًا في علم الفلك ، حيث نادرًا ما تجد استخدام خصائص الدرجة ، ولكن الدرجات نفسها تُستخدم بنشاط لتقصير تسجيل الكميات والمسافات المختلفة.
تستخدم الدرجات أيضًا في الحياة اليومية ، عند حساب المساحات والأحجام والمسافات.
بمساعدة الدرجات ، تتم كتابة القيم الكبيرة جدًا والصغيرة جدًا في أي مجال من مجالات العلوم.
المعادلات الأسية وعدم المساواة
تحتل خصائص الدرجة مكانًا خاصًا على وجه التحديد في المعادلات الأسية وعدم المساواة. هذه المهام شائعة جدًا ، سواء في الدورة المدرسية أو في الامتحانات. يتم حل كل منهم من خلال تطبيق خصائص الدرجة. المجهول دائمًا في الدرجة نفسها ، لذلك ، مع معرفة جميع الخصائص ، لن يكون من الصعب حل مثل هذه المعادلة أو عدم المساواة.
الجمع والطرح للقوى
من الواضح أنه يمكن إضافة الأعداد ذات الأسس مثل الكميات الأخرى ، بإضافتهم واحدة تلو الأخرى بعلاماتهم.
إذن ، مجموع a 3 و b 2 هو a 3 + b 2.
مجموع a 3 - b n و h 5 -d 4 هو a 3 - b n + h 5 - d 4.
احتمال نفس القوى من نفس المتغيراتيمكن إضافتها أو طرحها.
إذن ، مجموع 2a 2 و 3a 2 هو 5a 2.
من الواضح أيضًا أننا إذا أخذنا مربعين a ، أو ثلاثة مربعات a ، أو خمسة مربعات a.
لكن درجات متغيرات مختلفةو بدرجات مختلفة متغيرات متطابقة، يجب إضافتها عن طريق إضافتها إلى علاماتها.
إذن ، مجموع a 2 و a 3 هو مجموع a 2 + a 3.
من الواضح أن مربع a ومكعب a لا يمثلان ضعف مربع a بل ضعف مكعب a.
مجموع أ 3 ب ن و 3 أ 5 ب 6 هو أ 3 ب ن + 3 أ 5 ب 6.
الطرحيتم تنفيذ الصلاحيات بنفس طريقة الجمع ، باستثناء أنه يجب تغيير علامات المطروح وفقًا لذلك.
أو:
2 أ 4 - (-6 أ 4) = 8 أ 4
3 س 2 ب 6 - 4 س 2 ب 6 \ u003d -h 2 ب 6
5 (أ - ح) 6-2 (أ - ح) 6 = 3 (أ - ح) 6
مضاعفة القوة
يمكن ضرب الأعداد التي لها قوى مثل الكميات الأخرى بكتابتها واحدة تلو الأخرى ، مع أو بدون علامة الضرب بينهما.
إذن ، نتيجة ضرب a 3 في b 2 هي a 3 b 2 أو aaabb.
أو:
س -3 ⋅ أ م = أ م × -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
أ 2 ب 3 ص 2 ⋅ أ 3 ب 2 ص = أ 2 ب 3 ص 2 أ 3 ب 2 ص
يمكن ترتيب النتيجة في المثال الأخير بإضافة نفس المتغيرات.
سيأخذ التعبير الصورة: أ 5 ب 5 ص 3.
من خلال مقارنة عدة أرقام (متغيرات) مع قوى ، يمكننا أن نرى أنه إذا تم ضرب أي رقمين ، فإن النتيجة هي رقم (متغير) بقوة تساوي مجموعدرجات الشروط.
إذن ، a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5.
هنا 5 هي قوة ناتج الضرب ، يساوي 2 + 3 ، مجموع قوى الحدود.
إذن ، أ ن. أ م = أ م + ن.
بالنسبة إلى n ، يتم أخذ a كعامل يساوي عدد مرات قوة n ؛
و م ، تؤخذ كعامل بقدر ما تساوي الدرجة م ؛
لذا، يمكن ضرب الأسس التي لها نفس الأسس بجمع الأسس.
إذن ، أ 2. أ 6 = أ 2 + 6 = أ 8. و x 3 .x 2 .x = x 3 + 2 + 1 = x 6.
أو:
4 أ ن ⋅ 2 أ ن = 8 أ 2 ن
ب 2 ص 3 ⋅ ب 4 ص = ب 6 ص 4
(ب + ح - ص) ن ⋅ (ب + ح - ص) = (ب + ح - ص) ن + 1
اضرب (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
الجواب: × 4 - ص 4.
اضرب (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
هذه القاعدة صحيحة أيضًا بالنسبة للأعداد التي يكون الأسس فيها - نفي.
1. إذن ، أ -2. أ -3 = أ -5. يمكن كتابة هذا كـ (1 / aa]. (1 / aaa) = 1 / aaaaa.
2. y-n .y-m = y-n-m.
3. a -n .a m = a m-n.
إذا تم ضرب a + b في a - b ، فستكون النتيجة أ 2 - ب 2: أي
نتيجة ضرب مجموع أو فرق رقمين تساوي مجموع أو فرق مربعاتهما.
إذا كان مجموع وفرق رقمين مرفوعين إلى ميدان، ستكون النتيجة مساوية لمجموع أو فرق هذه الأرقام في الرابعالدرجة العلمية.
إذن (أ - ص) (أ + ص) = أ 2 - ص 2.
(أ 2 - ص 2) ⋅ (أ 2 + ص 2) = أ 4 - ص 4.
(أ 4 - ص 4) ⋅ (أ 4 + ص 4) = أ 8 - ص 8.
تقسيم الدرجات
يمكن تقسيم الأعداد ذات القوى مثل الأعداد الأخرى عن طريق طرحها من المقسوم عليه أو وضعها في صورة كسر.
إذن ، a 3 b 2 على b 2 يساوي a 3.
تبدو كتابة 5 على 3 مثل $ \ frac $. لكن هذا يساوي 2. في سلسلة من الأرقام
أ +4 ، أ +3 ، أ +2 ، أ +1 ، أ 0 ، أ -1 ، أ -2 ، أ -3 ، أ -4.
يمكن قسمة أي رقم على آخر ، ويساوي الأس فرقمؤشرات الأرقام القابلة للقسمة.
عند قسمة القوى التي لها نفس الأساس ، يتم طرح الأسس..
إذن ، ص 3: ص 2 = ص 3-2 = ص 1. وهذا يعني ، $ \ frac = y $.
و أ ن + 1: أ = أ ن + 1-1 = أ ن. وهذا يعني ، $ \ frac = a ^ n $.
أو:
y2m: ym = ym
8 أ ن + م: 4 أ م = 2 أ ن
12 (ب + ص) ن: 3 (ب + ص) 3 = 4 (ب + ص) ن -3
القاعدة صالحة أيضًا للأرقام ذات نفيقيم الدرجة.
نتيجة قسمة a -5 على -3 هي a -2.
أيضًا ، $ \ frac: \ frac = \ frac. \ frac = \ frac = \ frac $.
h 2: h -1 = h 2 + 1 = h 3 أو $ h ^ 2: \ frac = h ^ 2. \ frac = h ^ 3 $
من الضروري إتقان عمليات الضرب والقسمة بشكل جيد للغاية ، حيث أن مثل هذه العمليات تستخدم على نطاق واسع في الجبر.
أمثلة لحل أمثلة مع كسور تحتوي على أعداد ذات قوى
1. تقليل الأسس في $ \ frac $ Answer: $ \ frac $.
2. أنقص الأسس في $ \ frac $. الإجابة: $ \ frac $ أو 2x.
3. اختصر الأسس a 2 / a 3 و -3 / a -4 وأحضر قاسمًا مشتركًا.
a 2 .a -4 هو -2 أول بسط.
a 3 .a -3 هو 0 = 1 ، البسط الثاني.
a 3 .a -4 هو a -1 ، البسط المشترك.
بعد التبسيط: أ -2 / أ -1 و 1 / أ -1.
4. اختصر الأس 2 أ 4/5 أ 3 و 2 / أ 4 وأدخل المقام المشترك.
الجواب: 2 أ 3/5 أ 7 و 5 أ 5/5 أ 7 أو 2 أ 3/5 أ 2 و 5/5 أ 2.
5. اضرب (أ 3 + ب) / ب 4 ب (أ - ب) / 3.
6. اضرب (أ 5 + 1) / س 2 ب (ب 2-1) / (س + أ).
7. اضرب b 4 / a -2 ب h -3 / x و a n / y -3.
8. قسّم 4 / y 3 على 3 / y 2. الجواب: أ / ص.
خصائص الدرجة
نذكرك بأننا نفهم في هذا الدرس خصائص الدرجةمع المؤشرات الطبيعية والصفر. ستتم مناقشة الدرجات ذات المؤشرات المنطقية وخصائصها في دروس الصف الثامن.
الأس ذو الأس الطبيعي له العديد من الخصائص المهمة التي تسمح لك بتبسيط العمليات الحسابية في أمثلة الأس.
خاصية # 1
نتاج القوى
عند ضرب الأسس بنفس الأساس ، يبقى الأساس بدون تغيير ويتم إضافة الأس.
a m a n \ u003d a m + n ، حيث "a" هو أي رقم ، و "m" ، "n" هي أي أرقام طبيعية.
تؤثر خاصية الصلاحيات هذه أيضًا على نتاج ثلاث قوى أو أكثر.
- تبسيط التعبير.
ب ب 2 ب 3 ب 4 ب 5 = ب 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = ب 15 - تقديم كدرجة.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17 - تقديم كدرجة.
(0.8) 3 (0.8) 12 = (0.8) 3 + 12 = (0.8) 15 - اكتب حاصل القسمة كقوة
(2 ب) 5: (2 ب) 3 = (2 ب) 5 - 3 = (2 ب) 2 - احسب.
يرجى ملاحظة أنه في الخاصية المشار إليها كان الأمر يتعلق فقط بمضاعفة القوى بنفس الأسس.. لا ينطبق على إضافتهم.
لا يمكنك استبدال المجموع (3 3 + 3 2) بـ 3 5. هذا أمر مفهوم إذا
احسب (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 و 3 5 = 243
الخاصية # 2
الدرجات الخاصة
عند قسمة القوى على نفس الأساس ، تظل القاعدة دون تغيير ، ويتم طرح أس المقسوم عليه من أس المقسوم.
11 3 - 2 4 2 - 1 = 4 11 = 44
مثال. حل المعادلة. نستخدم خاصية الدرجات الجزئية.
3 8: ر = 3 4
الجواب: ر = ٣ ٤ = ٨١
باستخدام الخاصيتين رقم 1 ورقم 2 ، يمكنك بسهولة تبسيط التعبيرات وإجراء العمليات الحسابية.
مثال. تبسيط التعبير.
4 5 م + 6 4 م + 2: 4 4 م + 3 = 4 5 م + 6 + م + 2: 4 4 م + 3 = 4 6 م + 8 - 4 م - 3 = 4 2 م + 5
مثال. أوجد قيمة تعبير باستخدام خصائص الدرجة.
2 11 − 5 = 2 6 = 64
يرجى ملاحظة أن العقار 2 تعامل فقط مع تقسيم السلطات بنفس القواعد.
لا يمكنك استبدال الفرق (4 3 −4 2) بـ 4 1. هذا مفهوم إذا قمت بحساب (4 3 −4 2) = (64-16) = 48 ، و 4 1 = 4
الخاصية # 3
الأس
عند رفع قوة إلى قوة ، فإن قاعدة الأس تظل كما هي ، ويتم مضاعفة الأسس.
(أ ن) م \ u003d أ ن م ، حيث "أ" هو أي رقم ، و "م" ، "ن" أي أرقام طبيعية.
نذكرك أنه يمكن تمثيل حاصل القسمة في صورة كسر. لذلك ، سوف نتناول موضوع رفع الكسر إلى قوة بمزيد من التفاصيل في الصفحة التالية.
كيفية مضاعفة القوى
كيف نضاعف القوى؟ أي القوى يمكن أن تتضاعف وأيها لا يمكن؟ كيف تضرب رقمًا في قوة؟
في الجبر يمكنك إيجاد ناتج القوى في حالتين:
1) إذا كانت الدرجات لها نفس الأساس ؛
2) إذا كانت الدرجات لها نفس المؤشرات.
عند ضرب الأسس بنفس الأساس ، يجب أن تظل القاعدة كما هي ، ويجب إضافة الأس:
عند ضرب الدرجات بنفس المؤشرات ، يمكن إخراج المؤشر الإجمالي من الأقواس:
فكر في كيفية مضاعفة القوى ، مع أمثلة محددة.
لا تتم كتابة الوحدة في الأس ، ولكن عند ضرب الدرجات ، فإنها تأخذ في الاعتبار:
عند الضرب ، يمكن أن يكون عدد الدرجات أيًا. يجب أن نتذكر أنه لا يمكنك كتابة علامة الضرب قبل الحرف:
في التعبيرات ، يتم تنفيذ الأس أولاً.
إذا كنت بحاجة إلى ضرب رقم في قوة ، فيجب عليك أولاً إجراء الأس ، وبعد ذلك فقط - الضرب:
ضرب الأسس بنفس الأساس
هذا الفيديو التعليمي متاح عن طريق الاشتراك
هل لديك اشتراك بالفعل؟ ليأتي
في هذا الدرس ، سوف نتعلم كيفية ضرب الأسس التي لها نفس الأساس. أولاً ، نتذكر تعريف الدرجة ونصوغ نظرية حول صحة المساواة . ثم نعطي أمثلة لتطبيقه على أرقام محددة ونثبت ذلك. سنطبق أيضًا النظرية لحل المشكلات المختلفة.
الموضوع: الدرجة بمؤشر طبيعي وخصائصه
درس: ضرب الأسس بنفس الأسس (صيغة)
1. التعريفات الأساسية
التعاريف الأساسية:
ن- الأس ،
— ن- القوة رقم.
2. بيان النظرية 1
نظرية 1.لأي رقم أوأي طبيعي نو كالمساواة صحيحة:
بمعنى آخر: إذا أ- أي رقم نو كالأعداد الطبيعية ، إذن:
ومن هنا القاعدة 1:
3. شرح المهام
خاتمة:أكدت حالات خاصة صحة النظرية رقم 1. دعونا نثبت ذلك في الحالة العامة ، أي لأي حالة أوأي طبيعي نو ك.
4. إثبات النظرية 1
إعطاء رقم أ- أي؛ أعداد نو ك-طبيعي >> صفة. إثبات:
يعتمد الإثبات على تعريف الدرجة.
5. حل الأمثلة باستخدام النظرية 1
مثال 1:تقديم كدرجة.
لحل الأمثلة التالية ، نستخدم النظرية 1.
ز) 
6. تعميم النظرية 1
هنا تعميم:
7. حل الأمثلة باستخدام تعميم النظرية 1
8. حل المشكلات المختلفة باستخدام النظرية 1
المثال 2:احسب (يمكنك استخدام جدول الدرجات الأساسية).
أ) 
(حسب الجدول)
ب) 
المثال 3:اكتب كقوة ذات الأساس 2.
أ) 
المثال 4:حدد علامة الرقم:
، أ -سالب لأن الأس عند -13 فردي.
المثال 5:استبدل () بقوة بقاعدة ص:
لدينا ، هذا هو.
9. تلخيص
1. Dorofeev G.V. ، Suvorova S.B. ، Bunimovich E.A. وآخرون. الجبر 7. الطبعة السادسة. م: التنوير. 2010
1. مساعد مدرسة (المصدر).
1. التعبير عن الدرجة العلمية:
أ ب ج د هـ) 
3. اكتب كقوة ذات الأساس 2:
4. تحديد علامة الرقم:
أ) 
5. استبدل () بقوة رقم بأساس ص:
أ) ص 4 () = ص 15 ؛ ب) () ص 5 = ص 6
عمليات الضرب والقسمة للقوى التي لها نفس الأسس
في هذا الدرس ، سوف ندرس ضرب الأسس بنفس الأسس. أولًا ، لنتذكر التعريفات والنظريات الأساسية حول ضرب وقسمة القوى بنفس الأسس ورفع قوة إلى أس. ثم نقوم بصياغة وإثبات نظريات حول الضرب والقسمة للقوى بنفس الأسس. وبعد ذلك ، بمساعدتهم ، سنحل عددًا من المشكلات النموذجية.
تذكير بالتعاريف الأساسية والنظريات
هنا أ- قاعدة الدرجة
— ن- القوة رقم.
نظرية 1.لأي رقم أوأي طبيعي نو كالمساواة صحيحة:
عند ضرب الأسس بنفس الأساس ، تتم إضافة الأس ، وتبقى القاعدة بدون تغيير.
نظرية 2.لأي رقم أوأي طبيعي نو ك،مثل ذلك ن > كالمساواة صحيحة:
عند قسمة القوى التي لها نفس الأساس ، يتم طرح الأسس ، وتبقى القاعدة بدون تغيير.
نظرية 3.لأي رقم أوأي طبيعي نو كالمساواة صحيحة:
كانت جميع النظريات المذكورة أعلاه حول القوى التي لها نفس الشيء أسباب، سيأخذ هذا الدرس بعين الاعتبار الدرجات بنفس الطريقة المؤشرات.
أمثلة على ضرب الأسس بنفس الأسس
تأمل الأمثلة التالية:
دعنا نكتب التعبيرات لتحديد الدرجة.
خاتمة:من الأمثلة يمكنك أن ترى ذلك 
، ولكن هذا لا يزال بحاجة إلى إثبات. نصوغ النظرية ونثبتها في الحالة العامة ، أي لأي حالة أو بوأي طبيعي ن.
بيان وإثبات النظرية 4
لأية أرقام أو بوأي طبيعي نالمساواة صحيحة:
دليل - إثباتنظرية 4 .
حسب تعريف الدرجة:
لذا فقد أثبتنا ذلك .
لضرب الأسس بنفس الأس ، يكفي ضرب الأسس وترك الأس دون تغيير.
بيان وإثبات النظرية 5
نصوغ نظرية لقسمة الأسس نفسها.
لأي رقم أو ب() وأي طبيعي نالمساواة صحيحة:
دليل - إثباتنظرية 5 .
دعنا نكتب و حسب تعريف الدرجة:
بيان النظريات في الكلمات
لذا فقد أثبتنا ذلك.
لقسمة الدرجات التي لها نفس الأس على بعضها البعض ، يكفي قسمة قاعدة على أخرى ، وترك الأس دون تغيير.
حل المشكلات النموذجية باستخدام نظرية 4
مثال 1:التعبير كمنتج للقوى.
لحل الأمثلة التالية ، نستخدم نظرية 4.
لحل المثال التالي ، استرجع الصيغ:
تعميم النظرية 4
تعميم النظرية 4:
حل الأمثلة باستخدام النظرية المعممة 4
استمر في حل المشكلات النموذجية
المثال 2:اكتب كدرجة المنتج.
المثال 3:اكتب كقوة أس 2.
أمثلة حسابية
المثال 4:احسب بالطريقة الأكثر عقلانية.
2. Merzlyak A.G. ، Polonsky V.B. ، Yakir MS الجبر 7. M: VENTANA-GRAF
3. Kolyagin Yu.M.، Tkacheva M.V.، Fedorova N.E. وغيرها الجبر 7 م: التربية والتعليم. 2006
2. مساعد مدرسة (المصدر).
1. التقديم كنتاج قوى:
أ) ؛ ب) ؛ في) ؛ ز) ؛
2. اكتب درجة المنتج:
3. اكتب في شكل درجة بمؤشر 2:
4. احسب بأكثر الطرق عقلانية.
درس في الرياضيات حول موضوع "الضرب وتقسيم القوى".
الأقسام:الرياضيات
الهدف التربوي:
مهام:
وحدات نشاط العقيدة:تحديد الدرجة بمؤشر طبيعي ؛ مكونات الدرجة تعريف الخاص ؛ قانون الضرب الترابطي.
I. تنظيم مظاهرة لإتقان المعرفة الموجودة من قبل الطلاب. (الخطوة 1)
أ) تحديث المعرفة:
2) صياغة تعريف الدرجة بمؤشر طبيعي.
أ n \ u003d a a a ... a (n مرة)
ب ك \ u003d ب ب ب ب أ ... ب (مرات ك) برر إجابتك.
ثانيًا. تنظيم التقييم الذاتي للمتدرب حسب درجة امتلاكه للخبرة ذات العلاقة. (الخطوة 2)
اختبار الفحص الذاتي: (العمل الفردي في نسختين.)
A1) عبر عن المنتج 7 7 7 7 x x x كقوة:
أ 2) يعبر عن الدرجة (-3) 3 × 2 كمنتج
A3) احسب: -2 3 2 + 4 5 3
أحدد عدد المهام في الاختبار وفقًا لإعداد مستوى الفصل.
بالنسبة للاختبار ، أعطي مفتاحًا للاختبار الذاتي. المعايير: اجتياز الفشل.
ثالثا. مهمة تعليمية وعملية (الخطوة 3) + الخطوة 4. (سيقوم الطلاب أنفسهم بصياغة الخصائص)
في سياق حل المشكلات 1) و 2) ، يقترح الطلاب حلاً ، وأنا ، كمدرس ، أنظم فصلًا لإيجاد طريقة لتبسيط القوى عند الضرب بنفس الأسس.
المعلم: ابتكر طريقة لتبسيط الأسس عند الضرب بنفس الأساس.
يظهر إدخال على الكتلة:
تمت صياغة موضوع الدرس. مضاعفة القوى.
المعلم: ابتكر قاعدة لتقسيم الدرجات بنفس الأسس.
الاستدلال: ما هو العمل الذي يتحقق من التقسيم؟ أ 5: أ 3 =؟ أن أ 2 أ 3 = أ 5
أعود للمخطط - الكتلة وأكمل المدخل - .. عند القسمة ، اطرح وأضف موضوع الدرس. ... وتقسيم الدرجات.
رابعا. التواصل مع الطلاب بحدود المعرفة (كحد أدنى وكحد أقصى).
المعلم: مهمة الحد الأدنى لدرس اليوم هي تعلم كيفية تطبيق خواص الضرب والقسمة بنفس الأسس ، والحد الأقصى: تطبيق الضرب والقسمة معًا.
اكتب على السبوره : أ م أ ن = أ م + ن ؛ أ م: أ ن = أ م ن
خامسا تنظيم دراسة المواد الجديدة. (الخطوة 5)
أ) حسب الكتاب المدرسي: رقم 403 (أ ، ج ، هـ) مهام ذات صياغة مختلفة
رقم 404 (أ ، هـ ، و) عمل مستقل ، ثم أقوم بتنظيم فحص متبادل ، أعطي المفاتيح.
ب) لأي قيمة من m تحمل المساواة؟ أ 16 م \ u003d 32 ؛ × ح × 14 = × 28 ؛ × 8 (*) = × 14
المهمة: ابتكر أمثلة مماثلة للقسمة.
ج) رقم 417 (أ) ورقم 418 (أ) مصائد للطلاب: x 3 x n \ u003d x 3n؛ 3 4 3 2 = 9 6 ؛ أ 16: أ 8 \ u003d أ 2.
السادس. تلخيص ما تم تعلمه ، إجراء عمل تشخيصي (الذي يشجع الطلاب ، وليس المعلمين ، على دراسة هذا الموضوع) (الخطوة 6)
عمل التشخيص.
اختبار(ضع المفاتيح في الجزء الخلفي من الاختبار).
خيارات المهمة: تقديم حاصل القسمة × 15: × 3 كدرجة ؛ تمثل كقوة للمنتج (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 ؛ التي م هي المساواة أ 16 أ م = أ 32 صحيح ؛ أوجد قيمة التعبير h 0: h 2 مع h = 0.2 ؛ احسب قيمة التعبير (5 2 5 0): 5 2.
ملخص الدرس. انعكاس.أقسم الفصل إلى مجموعتين.
ابحث عن حجج المجموعة الأولى: لصالح معرفة خصائص الدرجة ، والمجموعة الثانية - الحجج التي ستقول أنه يمكنك الاستغناء عن الخصائص. نستمع إلى جميع الإجابات ونستخلص النتائج. في الدروس اللاحقة ، يمكنك تقديم بيانات إحصائية وتسمية نموذج التقييم "لا يناسب ذهني!"
سابعا. الواجب المنزلي.
مرجع التاريخ. ما هي الأرقام التي تسمى أرقام فيرما.
ص 19. # 403 ، # 408 ، # 417
كتب مستخدمة:
خصائص الدرجات والتركيبات والبراهين والأمثلة.
بعد تحديد درجة الرقم ، من المنطقي التحدث عنها خصائص الدرجة. في هذه المقالة ، سنعطي الخصائص الأساسية لدرجة الرقم ، بينما نتطرق إلى جميع الأسس الممكنة. سنقدم هنا أدلة على جميع خصائص الدرجة ، ونبين أيضًا كيفية تطبيق هذه الخصائص عند حل الأمثلة.
التنقل في الصفحة.
خصائص الدرجات مع المؤشرات الطبيعية
بتعريف قوة ذات أس طبيعي ، فإن قوة a n هي حاصل ضرب n عوامل ، كل منها يساوي a. بناءً على هذا التعريف ، وباستخدام خصائص مضاعفة العدد الحقيقي، يمكننا الحصول على ما يلي وتبريره خواص الدرجة مع الأس الطبيعي:
- إذا كانت a> 0 ، فإن n> 0 لأي n طبيعي ؛
- إذا كانت a = 0 ، فعندئذٍ a n = 0 ؛
- إذا كانت 2 م> 0 ، إذا كانت 2 م 1 ن ؛
- إذا كانت m و n أعدادًا طبيعية مثل m> n ، فعندئذٍ بالنسبة إلى 0m n ، وبالنسبة لـ a> 0 ، فإن المتباينة a m> a n تكون صحيحة.
- أ م أ ن \ u003d أ م + ن ؛
- أ م: أ ن = أ م − ن ؛
- (أ ب) ن = أ ن ب ن ؛
- (أ: ب) ن = أ ن: ب ن ؛
- (أ م) ن = أ م ن ؛
- إذا كان n عددًا صحيحًا موجبًا ، فإن a و b عددان موجبان ، و a n n و a n> b n ؛
- إذا كانت m و n عددًا صحيحًا ، و m> n ، إذن بالنسبة إلى 0m n ، وبالنسبة إلى a> 1 ، يتم استيفاء المتباينة a m> a n.
نلاحظ على الفور أن جميع المساواة المكتوبة مطابقفي ظل الظروف المحددة ، ويمكن تبادل الأجزاء اليمنى واليسرى. على سبيل المثال ، الخاصية الرئيسية للكسر a m a n = a m + n with تبسيط التعابيرغالبًا ما تستخدم في الشكل أ م + ن = أ م أ ن.
الآن دعونا نلقي نظرة على كل منهم بالتفصيل.
لنبدأ بخاصية حاصل ضرب قوتين لهما نفس الأسس ، وهو ما يسمى الخاصية الرئيسية للدرجة: لأي رقم حقيقي a وأي عدد طبيعي m و n ، فإن المساواة a m · a n = a m + n صحيحة.
دعونا نثبت الخاصية الرئيسية للدرجة. من خلال تعريف الدرجة ذات الأس الطبيعي ، يمكن كتابة حاصل ضرب حاصل ضرب القوى التي لها نفس أسس الشكل a m a n 
. نظرًا لخصائص الضرب ، يمكن كتابة التعبير الناتج كـ 
، وهذا المنتج هو قوة الأس الطبيعي m + n ، أي a m + n. هذا يكمل الدليل.
دعونا نعطي مثالا يؤكد الخاصية الرئيسية للدرجة. لنأخذ الدرجات بنفس الأسس 2 والقوى الطبيعية 2 و 3 ، وفقًا للخاصية الرئيسية للدرجة ، يمكننا كتابة المساواة 2 2 · 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5. دعونا نتحقق من صحتها ، والتي نحسب لها قيم التعابير 2 2 · 2 3 و 2 5. بأداء الأُس ، لدينا 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 و 2 5 = 2 2 2 2 2 = 32 ، نظرًا لأننا نحصل على قيم متساوية ، ثم المساواة 2 2 2 3 = 2 5 صحيح ، ويؤكد الخاصية الرئيسية للدرجة.
يمكن تعميم الخاصية الرئيسية لدرجة ما بناءً على خصائص الضرب على حاصل ضرب ثلاث قوى أو أكثر لها نفس الأسس والأسس الطبيعية. لذلك بالنسبة لأي عدد k من الأعداد الطبيعية n 1، n 2،…، n k فإن المساواة a n 1 a n 2 a n k = a n 1 + n 2 +… + n k صحيحة.
على سبيل المثال ، (2.1) 3 (2.1) 3 (2.1) 4 (2.1) 7 = (2.1) 3 + 3 + 4 + 7 = (2.1) 17.
يمكنك الانتقال إلى الخاصية التالية للدرجات بمؤشر طبيعي - ملكية جزئية لها نفس الأسس: لأي عدد حقيقي غير صفري a والأرقام الطبيعية التعسفية m و n التي تفي بالشرط m> n ، فإن المساواة a m: a n = a m − n صحيحة.
قبل تقديم دليل على هذه الخاصية ، دعونا نناقش معنى الشروط الإضافية في الصياغة. الشرط a ≠ 0 ضروري لتجنب القسمة على الصفر ، لأن 0 n = 0 ، وعندما تعرفنا على القسمة ، اتفقنا على أنه من المستحيل القسمة على الصفر. تم إدخال الشرط m> n حتى لا نتجاوز الأسس الطبيعية. في الواقع ، بالنسبة إلى m> n ، يكون الأس a m − n عددًا طبيعيًا ، وإلا فسيكون إما صفرًا (والذي يحدث عندما m − n) أو رقمًا سالبًا (يحدث عندما m m − n a n = a (m n) + n = a m من المساواة التي تم الحصول عليها a m − n a n = a m ومن علاقة الضرب بالقسمة يترتب على ذلك أن m − n هي قوة جزئية لـ m و a n وهذا يثبت خاصية قوى جزئية لها نفس الأسس.
لنأخذ مثالا. لنأخذ درجتين مع نفس الأسس والأساسيين الطبيعيين 5 و 2 ، فإن الخاصية المدروسة للدرجة تتوافق مع المساواة π 5: π 2 = π 5−3 = π 3.
فكر الآن خاصية درجة المنتج: الدرجة الطبيعية n لحاصل ضرب أي عددين حقيقيين a و b تساوي حاصل ضرب الدرجتين a n و b n ، أي (a b) n = a n b n.
في الواقع ، من خلال تعريف الدرجة ذات الأس الطبيعي ، لدينا 
. يمكن إعادة كتابة المنتج الأخير ، بناءً على خصائص الضرب ، كـ 
، وهو ما يساوي a n b n.
هذا مثال: 
.
تمتد هذه الخاصية إلى درجة حاصل ضرب ثلاثة عوامل أو أكثر. أي أن خاصية الدرجة الطبيعية n لحاصل ضرب عوامل k تتم كتابتها على النحو التالي (a 1 · a 2 · ... · a k) n = a 1 n · a 2 n · ... · a k n.
من أجل الوضوح ، نعرض هذه الخاصية بمثال. لدينا حاصل ضرب ثلاثة عوامل مرفوعًا للقوة الأسية 7.
الخاصية التالية هي الملكية الطبيعية: حاصل قسمة الأعداد الحقيقية a و b ، b 0 أس الطبيعي n يساوي حاصل قسمة القوى a n و b n ، أي (a: b) n = a n: b n.
يمكن إجراء الإثبات باستخدام الخاصية السابقة. إذن (أ: ب) ن ب ن = ((أ: ب) ب) ن = أ ن ، ومن المساواة (أ: ب) ن ب ن = أ ن يتبع ذلك (أ: ب) ن حاصل قسمة أ ن إلى ب ن.
دعنا نكتب هذه الخاصية باستخدام مثال أرقام محددة: 
.
الآن دعونا نسمع صوت خاصية الأُس: لأي عدد حقيقي a وأي عدد طبيعي m و n ، فإن قوة a m أس n تساوي قوة a مع الأس m · n ، أي (a m) n = a m · n.
على سبيل المثال ، (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6.
إن إثبات ملكية القوة بدرجة ما هو سلسلة المساواة التالية: 
.
يمكن تمديد الممتلكات المدروسة إلى درجة داخل درجة ضمن الدرجة ، وما إلى ذلك. على سبيل المثال ، لأي أعداد طبيعية p ، q ، r ، و s ، المساواة 
. لمزيد من الوضوح ، دعنا نعطي مثالاً بأرقام محددة: (((5،2) 3) 2) 5 = (5،2) 3 + 2 + 5 = (5،2) 10.
يبقى الخوض في خصائص مقارنة الدرجات مع الأس الطبيعي.
نبدأ بإثبات خاصية المقارنة بين الصفر والقوة بأس طبيعي.
أولاً ، دعنا نبرر ذلك n> 0 لأي a> 0.
حاصل ضرب عددين موجبين هو رقم موجب ، على النحو التالي من تعريف الضرب. تسمح لنا هذه الحقيقة وخصائص الضرب بتأكيد أن نتيجة ضرب أي عدد من الأعداد الموجبة ستكون أيضًا رقمًا موجبًا. وقوة a ذات الأس الطبيعي n هي ، بحكم التعريف ، حاصل ضرب عوامل n ، كل منها يساوي a. تسمح لنا هذه الحجج بتأكيد أنه بالنسبة لأي أساس موجب ، فإن درجة a n هي رقم موجب. بحكم الخاصية المثبتة 3 5> 0 ، (0.00201) 2> 0 و 
.
من الواضح تمامًا أنه لأي n طبيعي بـ a = 0 درجة a n تساوي صفرًا. في الواقع ، 0 n = 0 · 0 ·… · 0 = 0. على سبيل المثال ، 0 3 = 0 و 762 = 0.
دعنا ننتقل إلى القواعد السلبية.
لنبدأ بالحالة عندما يكون الأس عددًا زوجيًا ، نشير إليه على أنه 2 م ، حيث م هو عدد طبيعي. ثم 
. وفقًا لقاعدة ضرب الأعداد السالبة ، فإن كل منتج من حاصل الضرب بالصيغة a a يساوي حاصل ضرب الوحدات النمطية للرقمين a و a ، مما يعني أنه رقم موجب. لذلك ، سيكون المنتج إيجابيًا أيضًا. 
ودرجة 2 م. فيما يلي أمثلة: (6) 4> 0 ، (−2،2) 12> 0 و.
أخيرًا ، عندما يكون أساس a عددًا سالبًا ويكون الأس عددًا فرديًا 2 م − 1 ، إذن 
. جميع المنتجات أ · أ هي أرقام موجبة ، وحاصل ضرب هذه الأرقام الموجبة موجب أيضًا ، وضربها في العدد السالب المتبقي ينتج رقمًا سالبًا. بموجب هذه الخاصية ، (−5) 3 17 n n هو حاصل ضرب الجزأين الأيمن والأيسر من n متباينات حقيقية a خصائص المتباينات ، يتم إثبات عدم المساواة بالشكل أ ن ن. على سبيل المثال ، بسبب هذه الخاصية ، فإن عدم المساواة 3 7 7 و 
.
يبقى إثبات آخر الخصائص المدرجة للقوى ذات الأسس الطبيعية. دعونا نصيغها. من الدرجتين ذات المؤشرات الطبيعية ونفس القواعد الإيجابية أقل من واحدة ، تكون الدرجة أكبر ، ويكون مؤشرها أقل ؛ ومن درجتين بمؤشرات طبيعية ونفس الأسس أكبر من واحدة ، تكون الدرجة التي يكون مؤشرها أكبر. ننتقل إلى إثبات هذه الخاصية.
دعنا نثبت ذلك لـ m> n و 0m n. للقيام بذلك ، نكتب الفرق أ م - أ ن ونقارنه بصفر. سيأخذ الفرق المكتوب بعد إخراج n من الأقواس الشكل a n · (a m n −1). الناتج الناتج يكون سالبًا كناتج رقم موجب a n ورقم سالب a m − n −1 (a n موجب كقوة طبيعية لعدد موجب ، والفرق a m − n −1 سالب ، نظرًا لأن m − n > 0 بسبب الحالة الأولية m> n ، ومن هنا يتبع ذلك أنه بالنسبة إلى 0m − n فهو أقل من واحد). لذلك ، a m - a n m n ، الذي كان يجب إثباته. على سبيل المثال ، نعطي المتباينة الصحيحة.
يبقى إثبات الجزء الثاني من الممتلكات. دعنا نثبت أنه بالنسبة إلى m> n و a> 1 ، فإن a m> a n يكون صحيحًا. الفرق a m −a n بعد إخراج n من الأقواس يأخذ الشكل a n · (a m n −1). هذا المنتج موجب ، نظرًا لأن درجة a n هي رقم موجب بالنسبة إلى> 1 ، والفرق a m n −1 هو رقم موجب ، نظرًا لأن m − n> 0 بسبب الحالة الأولية ، وبالنسبة لـ a> 1 ، درجة م − ن أكبر من واحد. لذلك ، a m - a n> 0 و a m> a n ، الذي كان يجب إثباته. يتم توضيح هذه الخاصية من خلال المتباينة 3 7> 3 2.
خصائص الدرجات مع الأس الصحيح
نظرًا لأن الأعداد الصحيحة الموجبة هي أعداد طبيعية ، فإن جميع خصائص القوى ذات الأس الصحيح الموجب تتطابق تمامًا مع خصائص القوى ذات الأسس الطبيعية المدرجة والمثبتة في الفقرة السابقة.
لقد حددنا درجة ذات أس صحيح سالب ، وكذلك درجة بأس صفر ، بحيث تظل جميع خصائص الدرجات ذات الأس الطبيعي المعبر عنها بالمساواة صالحة. لذلك ، فإن كل هذه الخصائص صالحة لكل من الأس صفر والأسس السالبة ، بينما ، بالطبع ، قواعد الدرجات غير صفرية.
لذلك ، بالنسبة لأي أعداد حقيقية وغير صفرية ، a و b ، وكذلك أي أعداد صحيحة m و n ، فإن ما يلي صحيح خصائص الدرجات مع الأس الصحيح:
بالنسبة إلى a = 0 ، فإن الأسس a m و a n تكون منطقية فقط عندما يكون كل من m و n عددًا صحيحًا موجبًا ، أي أعداد طبيعية. وبالتالي ، فإن الخصائص المكتوبة للتو صالحة أيضًا للحالات التي تكون فيها a = 0 والأرقام m و n أعداد صحيحة موجبة.
ليس من الصعب إثبات كل من هذه الخصائص ، لذلك يكفي استخدام تعريفات الدرجة مع الأس الطبيعي والصحيح ، وكذلك خصائص الأفعال ذات الأعداد الحقيقية. كمثال ، دعنا نثبت أن خاصية القوة تنطبق على الأعداد الصحيحة الموجبة والأعداد الصحيحة غير الموجبة. للقيام بذلك ، نحتاج إلى إظهار أنه إذا كانت p تساوي صفرًا أو عددًا طبيعيًا و q تساوي صفرًا أو رقمًا طبيعيًا ، فإن المساواة (a p) q = a p q ، (a - p) q = a (−p) q ، (أ ع) −q = أ * (q) و (أ ص) −q = أ (p) (−q). دعنا نقوم به.
للإيجابية p و q ، تم إثبات المساواة (a p) q = a p · q في القسم الفرعي السابق. إذا كان p = 0 ، إذن لدينا (a 0) q = 1 q = 1 و a 0 q = a 0 = 1 ، حيث (a 0) q = a 0 q. وبالمثل ، إذا كانت q = 0 ، فعندئذٍ (a p) 0 = 1 و a p 0 = a 0 = 1 ، من أين (a p) 0 = a p 0. إذا كان كل من p = 0 و q = 0 ، إذن (أ 0) 0 = 1 0 = 1 و 0 0 = أ 0 = 1 ، ومن أين (أ 0) 0 = أ 0 0.
دعنا الآن نثبت أن (a −p) q = a (−p) q. بتعريف الدرجة ذات الأس الصحيح السالب ، إذن 
. من خلال خاصية حاصل القسمة في الدرجة ، لدينا 
. بما أن 1 ص = 1 · 1 · ... · 1 = 1 ثم. التعبير الأخير هو ، بحكم التعريف ، قوة من الشكل a - (p q) ، والتي ، بحكم قواعد الضرب ، يمكن كتابتها كـ a (−p) q.
بصورة مماثلة 
.
و 
.
وفقًا لنفس المبدأ ، يمكن للمرء أن يثبت جميع الخصائص الأخرى لدرجة ما باستخدام الأس الصحيح ، مكتوبًا في شكل مساواة.
في ما قبل الأخير للخصائص المسجلة ، يجدر بنا أن نركز على إثبات عدم المساواة a −n> b −n ، وهذا صحيح بالنسبة لأي عدد صحيح سالب −n وأي موجب a و b يكون فيه الشرط a . نكتب ونحول الفرق بين الجزأين الأيمن والأيسر من هذه المتباينة: 
. منذ الشرط أ إذن ، n n ، b n - a n> 0. المنتج a n · b n موجب أيضًا باعتباره حاصل ضرب الأعداد الموجبة a n و b n. ثم يكون الكسر الناتج موجبًا باعتباره حاصل قسمة الأعداد الموجبة b n - a n و a n b n. ومن هنا ، من أين أ n> ب n ، والذي كان يجب إثباته.
يتم إثبات الخاصية الأخيرة للدرجات ذات الأس الصحيح بنفس طريقة إثبات الخاصية المماثلة للدرجات ذات الأس الطبيعي.
خصائص القوى ذات الأسس المنطقية
لقد حددنا الدرجة بأس كسري من خلال توسيع خصائص الدرجة مع الأس الصحيح لها. بمعنى آخر ، الدرجات ذات الأسس الكسرية لها نفس خصائص الدرجات ذات الأسس الصحيحة. يسمى:
- لمنتج القوى التي لها نفس القاعدة
من أجل a> 0 ، و if ، ثم لـ a≥0 ؛ - ملكية جزئية لها نفس الأسس
ل> 0 ؛ - خاصية المنتج الجزئي
لـ a> 0 و b> 0 ، و if و ، ثم لـ a≥0 و (أو) b≥0 ؛ - خاصية حاصل القسمة إلى قوة كسرية
من أجل a> 0 و b> 0 ، وإذا ، ثم لـ a≥0 و b> 0 ؛ - درجة الملكية في الدرجة
من أجل a> 0 ، و if ، ثم لـ a≥0 ؛ - خاصية مقارنة القوى مع الأسس المنطقية المتساوية: لأي أعداد موجبة أ وب ، أ 0 المتباينة a p p صالحة ، و p p> b p؛
- خاصية مقارنة القوى مع الأسس المنطقية والأسس المتساوية: للأعداد النسبية p و q ، p> q لـ 0p q ، وبالنسبة لـ a> 0 ، المتباينة a p> a q.
- أ ف أ ف = أ ف + ف ؛
- أ ع: أ س = أ ف − س ؛
- (أ ب) ع = أ ف ب ع ؛
- (أ: ب) ع = أ ف: ب ع ؛
- (أ ع) س = أ ف ف ؛
- لأية أعداد موجبة أ وب ، أ 0 المتباينة a p p صالحة ، و p p> b p؛
- للأعداد غير النسبية p و q ، p> q لـ 0p q ، وبالنسبة لـ a> 0 المتباينة a p> a q.
يعتمد إثبات خصائص الدرجات ذات الأسس الكسرية على تعريف الدرجة ذات الأس الكسري ، وعلى خصائص الجذر الحسابي للدرجة التاسعة ، وعلى خصائص الدرجة ذات الأس الصحيح. دعونا نعطي الدليل.
من خلال تعريف الدرجة ذات الأس الكسري ، ثم 
. تسمح لنا خصائص الجذر الحسابي بكتابة المعادلات التالية. علاوة على ذلك ، باستخدام خاصية الدرجة مع الأس الصحيح ، نحصل ، من هنا ، من خلال تعريف الدرجة ذات الأس الكسري ، على 
، ويمكن تحويل أس الدرجة التي تم الحصول عليها على النحو التالي:. هذا يكمل الدليل.
تم إثبات الخاصية الثانية للقوى ذات الأسس الكسرية بنفس الطريقة تمامًا: 
يتم إثبات باقي المساواة من خلال مبادئ مماثلة: 
ننتقل إلى إثبات العقار التالي. دعنا نثبت أنه لأي موجب أ وب ، أ 0 المتباينة a p p صالحة ، و p p> b p. نكتب العدد المنطقي p بالصورة m / n ، حيث m عدد صحيح و n عدد طبيعي. الشروط p 0 في هذه الحالة ستكون معادلة للظروف m 0 ، على التوالي. لم> 0 وأنا م. من هذه المتباينة ، من خلال خاصية الجذور ، لدينا ، وبما أن a و b رقمان موجبان ، إذن ، بناءً على تعريف الدرجة ذات الأس الكسري ، يمكن إعادة كتابة المتباينة الناتجة ، أي ، a p p.
وبالمثل ، عندما تكون m m> b m ، أي ، و a p> b p.
يبقى إثبات آخر العقارات المدرجة. دعنا نثبت أنه بالنسبة للأعداد المنطقية p و q ، p> q لـ 0p q ، وبالنسبة لـ a> 0 فإن المتباينة a p> a q. يمكننا دائمًا تقليل العددين المنطقيين p و q إلى مقام مشترك ، ولنحصل على كسرين عاديين ، وحيث m 1 و m 2 عددان صحيحان ، و n عدد طبيعي. في هذه الحالة ، سيتوافق الشرط p> q مع الشرط m 1> m 2 ، والذي يتبع قاعدة مقارنة الكسور العادية بنفس القواسم. ثم ، من خلال خاصية المقارنة بين القوى التي لها نفس الأسس والأسس الطبيعية ، بالنسبة لـ 0 م 1 م 2 ، ولأ> 1 ، المتباينة أ م 1> أ م 2. يمكن إعادة كتابة هذه التفاوتات من حيث خصائص الجذور ، على التوالي ، كـ 
و 
. ويتيح لنا تعريف الدرجة ذات الأس المنطقي أن نمرر إلى المتباينات وعلى التوالي. من هنا نستخلص النتيجة النهائية: بالنسبة إلى p> q و 0p q ، وبالنسبة إلى a> 0 ، فإن المتباينة a p> a q.
خصائص الدرجات ذات الأس غير المنطقية
من كيفية تعريف الدرجة ذات الأس غير المنطقي ، يمكننا أن نستنتج أن لها كل خصائص الدرجات ذات الأسس المنطقية. لذلك بالنسبة لأي أ> 0 ، ب> 0 وأرقام غير منطقية p و q ، فإن ما يلي صحيح خواص الدرجات ذات الأس غير المنطقية:
من هذا يمكننا أن نستنتج أن الأسس الحقيقية p و q لـ a> 0 لها نفس الخصائص.
- الجبر - الصف العاشر. المعادلات المثلثية درس وعرض حول موضوع: "حل أبسط المعادلات المثلثية" مواد إضافية أعزائي المستخدمين ، لا تنسوا أن تتركوا تعليقاتكم وملاحظاتكم واقتراحاتكم! جميع المواد [...]
- تم فتح باب المنافسة على منصب "SELLER - CONSULTANT": المسؤوليات: بيع الهواتف المحمولة وملحقاتها لخدمة الاتصالات المتنقلة لمشتركي Beeline و Tele2 و MTS لخطط التعرفة والخدمات من Beeline و Tele2 و MTS Consulting [...]
- متوازي السطوح للصيغة A متوازي السطوح هو متعدد السطوح ذو 6 أوجه ، كل منها متوازي أضلاع. متوازي المستطيلات هو متوازي المستطيلات كل وجه مستطيل. أي خط متوازي يتميز بـ 3 [...]
- جمعية حماية حقوق المستهلك Astana من أجل الحصول على رمز PIN للوصول إلى هذا المستند على موقعنا على الويب ، أرسل رسالة نصية قصيرة تحتوي على zan إلى عدد مشتركي مشغلي GSM (Activ ، Kcell ، Beeline ، NEO ، Tele2) بإرسال رسالة نصية قصيرة إلى الغرفة ، [...]
- تهجئة Н و НН في أجزاء مختلفة من الكلام 2. قم بتسمية الاستثناءات من هذه القواعد. 3. كيفية التمييز بين الصفة اللفظية واللاحقة -n- من النعت بـ [...]
- اعتماد قانون بشأن منازل Kin ، اعتماد قانون اتحادي بشأن التخصيص المجاني لقطعة أرض لكل مواطن في الاتحاد الروسي أو عائلة من المواطنين الذين يرغبون في تطوير Kin's Homestead وفقًا للشروط التالية: 1. الأرض هي مخصصة لـ [...]
- فحص GOSTEKHNADZOR لمنطقة بريانسك إيصال دفع رسوم الدولة (تنزيل -12.2 كيلوبايت) طلبات التسجيل للأفراد (تنزيل -12 كيلوبايت) طلبات التسجيل للكيانات القانونية (تنزيل -11.4 كيلوبايت) 1. عند تسجيل سيارة جديدة: 1. التطبيق 2. جواز السفر [...]
- لم نلعب بطولات 1x1 لفترة طويلة. وقد حان الوقت لاستئناف هذا التقليد. حتى نتمكن من تنظيم سلم ودورات منفصلة للاعبين 1v1 ، نقترح استخدام ملفات تعريف فريقك على الموقع. طرح أو إضافة نقاط للألعاب في المباريات [...]
تحدثنا سابقًا عن ماهية قوة الرقم. لها خصائص معينة مفيدة في حل المشكلات: إنها وجميع الأسس المحتملة التي سنحللها في هذه المقالة. سنشرح أيضًا بأمثلة كيف يمكن إثباتها وتطبيقها بشكل صحيح في الممارسة العملية.
دعونا نتذكر مفهوم الدرجة ذات الأس الطبيعي الذي صاغناه سابقًا: هذا هو نتاج العدد التاسع من العوامل ، كل منها يساوي a. نحتاج أيضًا إلى تذكر كيفية ضرب الأعداد الحقيقية بشكل صحيح. كل هذا سيساعدنا على صياغة الخصائص التالية للحصول على درجة بمؤشر طبيعي:
التعريف 1
1. الخاصية الرئيسية للدرجة: أ م أ ن = أ م + ن
يمكن تعميمها على: a n 1 · a n 2 · ... · a n k = a n 1 + n 2 +… + n k.
2. خاصية خارج القسمة للقوى التي لها نفس الأساس: a m: a n = a m - n
3. خاصية درجة المنتج: (أ ب) ن = أ ن ب ن
يمكن أن تمتد المساواة إلى: (أ 1 أ 2 ... أ ك) ن = أ 1 ن أ 2 ن ... أ ك ن
4. خاصية الدرجة الطبيعية: (أ: ب) ن = أ ن: ب ن
5. نرفع الأس للقوة: (أ م) ن = أ م ن ،
يمكن تعميمها على: (((a n 1) n 2)…) n k = a n 1 n 2 ... n k
6. قارن الدرجة بصفر:
- إذا كانت a> 0 ، فعند أي n طبيعي ، سيكون n أكبر من صفر ؛
- عندما يساوي أ ن يساوي صفرًا ؛
- ل< 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;
- ل< 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет меньше нуля.
7. المساواة أ ن< b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.
8. المتباينة a m> a n ستكون صحيحة بشرط أن m و n عددان طبيعيان ، m أكبر من n و a أكبر من صفر وليس أقل من واحد.
نتيجة لذلك ، حصلنا على عدة مساواة. إذا استوفيت جميع الشروط المذكورة أعلاه ، فستكون متطابقة. لكل من المساواة ، على سبيل المثال ، بالنسبة للخاصية الرئيسية ، يمكنك تبديل الجزأين الأيمن والأيسر: a m · a n = a m + n - مثل a m + n = a m · a n. في هذه الصيغة ، يتم استخدامه غالبًا عند تبسيط التعبيرات.
1. لنبدأ بالخاصية الرئيسية للدرجة: المساواة a m · a n = a m + n ستكون صحيحة لأي m و n طبيعي و a حقيقي. كيف تثبت هذا البيان؟
سيسمح لنا التعريف الأساسي للقوى ذات الأسس الطبيعية بتحويل المساواة إلى منتج من العوامل. سنحصل على إدخال مثل هذا:
يمكن تقصير هذا إلى 
(أذكر الخصائص الأساسية للضرب). نتيجة لذلك ، حصلنا على درجة الرقم أ مع الأس الطبيعي m + n. وبالتالي ، فإن m + n ، مما يعني أنه قد تم إثبات الخاصية الرئيسية للدرجة.
لنأخذ مثالًا ملموسًا لإثبات ذلك.
مثال 1
إذن لدينا قوتان للأساس 2. مؤشراتهم الطبيعية هي 2 و 3 على التوالي. حصلنا على المساواة: 2 2 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 دعونا نحسب القيم للتحقق من صحة هذه المساواة.
لنقم بالعمليات الحسابية اللازمة: 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 و 2 5 = 2 2 2 2 2 = 32
نتيجة لذلك ، حصلنا على: 2 2 2 3 = 2 5. تم إثبات الملكية.
نظرًا لخصائص الضرب ، يمكننا تعميم الخاصية من خلال صياغتها في صورة ثلاث قوى أو أكثر ، والتي تكون الأسس أعدادًا طبيعية ، والأسس هي نفسها. إذا أشرنا إلى عدد الأعداد الطبيعية n 1 و n 2 وما إلى ذلك بالحرف k ، نحصل على المساواة الصحيحة:
أ ن 1 أ ن 2 ... أ ن ك = أ ن 1 + ن 2 + ... + ن ك.
مثال 2
2. بعد ذلك ، نحتاج إلى إثبات الخاصية التالية ، والتي تسمى خاصية خارج القسمة وهي متأصلة في القوى التي لها نفس الأسس: هذه هي المساواة a m: a n = a m - n ، وهي صالحة لأي m و n طبيعيين (و m أكبر من n)) وأي غير صفري حقيقي أ.
بادئ ذي بدء ، دعونا نشرح ما هو بالضبط معنى الشروط المذكورة في الصياغة. إذا أخذنا صفرًا ، فسنحصل في النهاية على قسمة على صفر ، وهو ما لا يمكن القيام به (بعد كل شيء ، 0 ن = 0). شرط أن يكون العدد m أكبر من n ضروري حتى نتمكن من البقاء ضمن الأس الطبيعي: بطرح n من m ، نحصل على عدد طبيعي. إذا لم يتم استيفاء الشرط ، فسنحصل على رقم سالب أو صفر ، ومرة أخرى سنتجاوز دراسة الدرجات ذات المؤشرات الطبيعية.
الآن يمكننا الانتقال إلى البرهان. من ما سبق دراسته ، نتذكر الخصائص الأساسية للكسور ونصوغ المساواة على النحو التالي:
أ م - ن أ ن = أ (م - ن) + ن = أ م
ومنه يمكننا أن نستنتج: أ م - ن أ ن = أ م
تذكر العلاقة بين القسمة والضرب. ويترتب على ذلك أن m - n هو خارج قسمة القوى a m و a n. هذا هو إثبات ملكية الدرجة الثانية.
مثال 3
استبدل أرقامًا محددة من أجل الوضوح في المؤشرات ، وقم بالإشارة إلى قاعدة الدرجة π: π 5: π 2 = π 5 - 3 = π 3
3. بعد ذلك ، سنقوم بتحليل خاصية درجة المنتج: (أ · ب) ن = أ ن · ب ن لأي حقيقي أ وب ون طبيعي.
وفقًا للتعريف الأساسي للدرجة ذات الأس الطبيعي ، يمكننا إعادة صياغة المساواة على النحو التالي:
تذكر خصائص الضرب ، نكتب: 
. وهذا يعني نفس معنى a n · b n.
مثال 4
2 3 - 4 2 5 4 = 2 3 4 - 4 2 5 4
إذا كان لدينا ثلاثة عوامل أو أكثر ، فإن هذه الخاصية تنطبق أيضًا على هذه الحالة. نقدم الترميز k لعدد العوامل ونكتب:
(أ 1 أ 2 ... أ ك) ن = أ 1 ن أ 2 ن ... أ ك ن
مثال 5
بأرقام محددة ، نحصل على المساواة الصحيحة التالية: (2 (- 2 ، 3) أ) 7 = 2 7 (- 2 ، 3) 7 أ
4. بعد ذلك ، سنحاول إثبات خاصية خارج القسمة: (أ: ب) ن = أ ن: ب ن لأي حقيقي أ وب إذا كان ب لا يساوي 0 ون هو عدد طبيعي.
للإثبات ، يمكننا استخدام خاصية الدرجة السابقة. إذا (أ: ب) ن ب ن = ((أ: ب) ب) ن = أ ن و (أ: ب) ن ب ن = أ ن ، فإن (أ: ب) ن هو حاصل قسمة أ ن على ب ن.
مثال 6
دعونا نحسب المثال: 3 1 2: - 0. 5 3 = 3 1 2 3: (- 0 ، 5) 3
مثال 7
لنبدأ على الفور بمثال: (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6
والآن نقوم بصياغة سلسلة من المساواة التي ستثبت لنا صحة المساواة: 
إذا كان لدينا درجات من الدرجات في المثال ، فهذه الخاصية تنطبق عليهم أيضًا. إذا كان لدينا أي أعداد طبيعية p ، q ، r ، s ، فسيكون ذلك صحيحًا:
أ ف ف ص ص = أ ف ف ص ص
المثال 8
دعنا نضيف التفاصيل: (((5، 2) 3) 2) 5 = (5، 2) 3 2 5 = (5، 2) 30
6. خاصية أخرى للدرجات ذات الأس الطبيعي والتي نحتاج إلى إثباتها وهي خاصية المقارنة.
أولًا ، لنقارن الأس بصفر. لماذا ن> 0 بشرط أن يكون a أكبر من 0؟
إذا ضربنا رقمًا موجبًا في آخر ، فسنحصل أيضًا على رقم موجب. بمعرفة هذه الحقيقة ، يمكننا القول أن هذا لا يعتمد على عدد العوامل - نتيجة ضرب أي عدد من الأرقام الموجبة هي رقم موجب. وما هي الدرجة إن لم تكن نتيجة ضرب الأعداد؟ إذن ، بالنسبة لأي قوة a n ذات أساس موجب وأس طبيعي ، سيكون هذا صحيحًا.
المثال 9
3 5> 0 ، (0 ، 00201) 2> 0 و 34 9 13 51> 0
من الواضح أيضًا أن القوة التي أساسها صفر هي نفسها صفر. مهما كانت القوة التي نرفعها صفرًا ، فإنها تظل صفراً.
المثال 10
0 3 = 0 و 0762 = 0
إذا كان أساس الدرجة عددًا سالبًا ، فإن الإثبات يكون أكثر تعقيدًا بعض الشيء ، حيث يصبح مفهوم الأس الزوجي / الفردي مهمًا. لنبدأ بالحالة عندما يكون الأس زوجيًا ونشير إليه بمقدار 2 · م ، حيث م هو عدد طبيعي.
لنتذكر كيفية ضرب الأرقام السالبة بشكل صحيح: حاصل الضرب أ · أ يساوي حاصل ضرب الوحدات ، وبالتالي ، سيكون رقمًا موجبًا. ثم 
كما أن الدرجة a 2 · m موجبة.
المثال 11
على سبيل المثال ، (- 6) 4> 0 ، (- 2 ، 2) 12> 0 و - 2 9 6> 0
ماذا لو كان الأس ذو الأساس السالب عددًا فرديًا؟ دعنا نشير إليها 2 م - 1.
ثم 
جميع حاصل الضرب a ، وفقًا لخصائص الضرب ، موجب وكذلك حاصل ضربهم. لكن إذا ضربناه في العدد الوحيد المتبقي أ ، فإن النتيجة النهائية ستكون سالبة.
ثم نحصل على: (- 5) 3< 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0
كيف تثبت ذلك؟
أ< b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a < b . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и a n < b n .
المثال 12
على سبيل المثال ، المتباينات صحيحة: 3 7< (2 , 2) 7 и 3 5 11 124 > (0 , 75) 124
8. يبقى لنا إثبات الخاصية الأخيرة: إذا كانت لدينا درجتان ، قواعدهما متماثلة وموجبة ، والأسس أعداد طبيعية ، فإن إحداها أكبر ، وأسسها أقل ؛ ومن درجتين بمؤشرات طبيعية ونفس الأسس أكبر من واحدة ، تكون الدرجة التي يكون مؤشرها أكبر.
دعنا نثبت هذه التأكيدات.
أولا علينا التأكد من أن a م< a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n
نأخذ n من الأقواس ، وبعد ذلك سيأخذ الاختلاف بيننا الشكل a n · (am - n - 1). ستكون نتيجتها سالبة (لأن نتيجة ضرب رقم موجب في سالب واحد تكون سالبة). في الواقع ، وفقًا للشروط الأولية ، m - n> 0 ، ثم m - n - 1 سالب ، والعامل الأول موجب ، مثل أي قوة طبيعية ذات قاعدة موجبة.
اتضح أن م - أ ن< 0 и a m < a n . Свойство доказано.
يبقى إثبات الجزء الثاني من العبارة التي تمت صياغتها أعلاه: a m> a صحيح لـ m> n و a> 1. نشير إلى الاختلاف ونأخذ n من الأقواس: (a m - n - 1) ، وتعطي قوة n مع أكبر من واحد نتيجة إيجابية ؛ وسيظهر الاختلاف نفسه أيضًا ليكون موجبًا بسبب الظروف الأولية ، وبالنسبة إلى> 1 تكون درجة m - n أكبر من واحد. اتضح أن a m - a n> 0 و a m> a n ، وهو ما نحتاج إلى إثباته.
المثال 13
مثال بأرقام محددة: 3 7> 3 2
الخصائص الأساسية للدرجات ذات الأس الصحيح
بالنسبة للدرجات ذات الأس الصحيح الموجب ، ستكون الخصائص متشابهة ، لأن الأعداد الصحيحة الموجبة طبيعية ، مما يعني أن جميع المساواة التي تم إثباتها أعلاه صالحة أيضًا لها. كما أنها مناسبة للحالات التي تكون فيها الأسس سالبة أو تساوي الصفر (بشرط أن تكون قاعدة الدرجة نفسها غير صفرية).
وبالتالي ، فإن خصائص القوى هي نفسها لأي قاعدة أ و ب (بشرط أن تكون هذه الأرقام حقيقية ولا تساوي 0) وأي أسس م و ن (بشرط أن تكون أعدادًا صحيحة). نكتبها بإيجاز في شكل صيغ:
التعريف 2
1. أ م أ ن = أ م + ن
2. أ م: أ ن = أ م - ن
3. (أ ب) ن = أ ن ب ن
4. (أ: ب) ن = أ ن: ب ن
5. (ص) ن = أ م ن
6. أ ن< b n и a − n >ب - ن مع عدد صحيح موجب ن ، موجب أ وب ، أ< b
7. أ م< a n , при условии целых m и n , m >ن و 0< a < 1 , при a >1 أ م> أ ن.
إذا كانت قاعدة الدرجة تساوي صفرًا ، فإن المدخلات a m و a n تكون منطقية فقط في حالة m و n الطبيعية والإيجابية. نتيجة لذلك ، نجد أن الصيغ أعلاه مناسبة أيضًا للحالات ذات الدرجة ذات القاعدة الصفرية ، إذا تم استيفاء جميع الشروط الأخرى.
البراهين على هذه الخصائص في هذه الحالة بسيطة. سنحتاج إلى تذكر الدرجة ذات الأس الطبيعي والصحيح ، بالإضافة إلى خصائص الأفعال ذات الأعداد الحقيقية.
دعونا نحلل خاصية الدرجة في الدرجة ونثبت أنها صحيحة لكل من الأعداد الصحيحة الموجبة والأعداد الصحيحة غير الموجبة. نبدأ بإثبات المساواة (a p) q = a p q، (a - p) q = a (- p) q، (a p) - q = a p (- q) و (a - p) - q = a (- ع) (−q)
الشروط: p = 0 أو العدد الطبيعي ؛ ف - بالمثل.
إذا كانت قيم p و q أكبر من 0 ، فسنحصل على (a p) q = a p · q. لقد أثبتنا بالفعل مساواة مماثلة من قبل. إذا كانت p = 0 ثم:
(أ 0) س = 1 س = 1 أ 0 س = أ 0 = 1
لذلك ، (أ 0) س = أ 0 س
بالنسبة إلى q = 0 ، كل شيء متماثل تمامًا:
(أ ع) 0 = 1 أ ص 0 = أ 0 = 1
النتيجة: (أ ع) 0 = أ ف 0.
إذا كان كلا المؤشرين صفرًا ، (أ 0) 0 = 1 0 = 1 و 0 0 = أ 0 = 1 ، إذن (أ 0) 0 = أ 0 0.
استرجع خاصية حاصل القسمة في القوة المثبتة أعلاه واكتب:
1 أ ف س = 1 س أ ف ف س
إذا كان 1 p = 1 1… 1 = 1 و a p q = a p q ، إذن 1 q a p q = 1 a p q
يمكننا تحويل هذا الترميز بحكم قواعد الضرب الأساسية إلى a (- p) · q.
أيضًا: أ ف - ف = 1 (أ ع) س = 1 أ ف ف = أ - (ف ف) = أ ف (- ف).
AND (a - p) - q = 1 a p - q = (a p) q = a p q = a (- p) (- q)
يمكن إثبات الخصائص المتبقية للدرجة بطريقة مماثلة عن طريق تحويل التفاوتات الموجودة. لن نتطرق إلى هذا بالتفصيل ، بل سنشير فقط إلى النقاط الصعبة.
إثبات الخاصية قبل الأخيرة: تذكر أن a - n> b - n صحيحة لأي قيم صحيحة سالبة لـ n وأي موجب a و b ، بشرط أن يكون a أقل من b.
ثم يمكن تحويل عدم المساواة على النحو التالي:
1 أ ن> 1 ب ن
نكتب الجزأين الأيمن والأيسر كفرق ونجري التحولات اللازمة:
1 أ ن - 1 ب ن = ب ن - أ ن أ ن ب ن
تذكر أنه في الشرط أ أقل من ب ، إذن ، وفقًا لتعريف الدرجة ذات الأس الطبيعي: - أ ن< b n , в итоге: b n − a n > 0 .
a n · b n يصبح عددًا موجبًا لأن عوامله موجبة. نتيجة لذلك ، لدينا كسر b n - a n a n · b n والذي يعطي في النهاية أيضًا نتيجة موجبة. ومن ثم 1 أ ن> 1 ب ن من أين أ - ن> ب - ن ، وهو ما كان علينا إثباته.
تم إثبات الخاصية الأخيرة للدرجات ذات الأس الصحيح بشكل مشابه لخاصية الدرجات ذات الأس الطبيعي.
الخصائص الأساسية للدرجات ذات الأسس المنطقية
في المقالات السابقة ، ناقشنا ماهية الدرجة ذات الأس المنطقي (الكسري). خصائصها هي نفس خصائص الدرجات مع الأس الصحيح. دعنا نكتب:
التعريف 3
1. a m 1 n 1 a m 2 n 2 = a m 1 n 1 + m 2 n 2 لـ a> 0 ، وإذا كان m 1 n 1> 0 و m 2 n 2> 0 ، إذن لـ a 0 (قوى خاصية المنتج بنفس القاعدة).
2. a m 1 n 1: b m 2 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2 إذا كانت a> 0 (خاصية خارج القسمة).
3. a b m n = a m n b m n لـ a> 0 و b> 0 ، وإذا كانت m 1 n 1> 0 و m 2 n 2> 0 ، إذن لـ a 0 و (أو) b ≥ 0 (خاصية المنتج في درجة كسرية).
4. a: b m n \ u003d a m n: b m n لـ a> 0 و b> 0 ، وإذا كان m n> 0 ، ثم لـ a ≥ 0 و b> 0 (خاصية حاصل القسمة لقوة كسرية).
5. a m 1 n 1 m 2 n 2 \ u003d am 1 n 1 m 2 n 2 for a> 0 ، وإذا كان m 1 n 1> 0 و m 2 n 2> 0 ، ثم لـ ≥ 0 (خاصية الدرجة في درجات).
6.ap< b p при условии любых положительных a и b , a < b и рациональном p при p >0 ؛ إذا ص< 0 - a p >ب p (خاصية مقارنة الدرجات مع الأسس المنطقية المتساوية).
7.ap< a q при условии рациональных чисел p и q , p >ف في 0< a < 1 ; если a >0 - أ ف> أ ف
لإثبات هذه الأحكام ، علينا أن نتذكر الدرجة ذات الأس الكسري ، وما هي خصائص الجذر الحسابي للدرجة n ، وما هي خصائص الدرجة ذات الأس الصحيح. دعونا نلقي نظرة على كل خاصية.
وفقًا لما هي الدرجة ذات الأس الكسري ، نحصل على:
a m 1 n 1 \ u003d am 1 n 1 and a m 2 n 2 \ u003d am 2 n 2 ، لذلك ، a m 1 n 1 a m 2 n 2 \ u003d am 1 n 1 a m 2 n 2
ستسمح لنا خصائص الجذر باشتقاق المساواة:
أ م 1 م 2 ن 1 ن 2 أ م 2 م 1 ن 2 ن 1 = أ م 1 ن 2 أ م 2 ن 1 ن 1 ن 2
من هذا نحصل على: a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2
دعنا نتحول:
أ م 1 ن 2 أ م 2 ن 1 ن 1 ن 2 = أ م 1 ن 2 + م 2 ن 1 ن 1 ن 2
يمكن كتابة الأس على النحو التالي:
م 1 ن 2 + م 2 ن 1 ن 1 ن 2 = م 1 ن 2 ن 1 ن 2 + م 2 ن 1 ن 1 ن 2 = م 1 ن 1 + م 2 ن 2
هذا هو الدليل. تم إثبات الخاصية الثانية بنفس الطريقة تمامًا. دعنا نكتب سلسلة المساواة:
أ م 1 ن 1: أ م 2 ن 2 = أ م 1 ن 1: أ م 2 ن 2 = أ م 1 ن 2: أ م 2 ن 1 ن 1 ن 2 = = أ م 1 ن 2 - م 2 ن 1 ن 1 ن 2 = أ م 1 ن 2 - م 2 ن 1 ن 1 ن 2 = أ م 1 ن 2 ن 1 ن 2 - م 2 ن 1 ن 1 ن 2 = أ م 1 ن 1 - م 2 ن 2
اثباتات التكافؤات المتبقية:
أ ب م ن = (أ ب) م ن = أ م ب م ن = أ م ن ب م ن = أ م ن ب م ن ؛ (أ: ب) م ن = (أ: ب) م ن = أ م: ب م ن = = أ م ن: ب م ن = أ م ن: ب م ن ؛ أ م 1 ن 1 م 2 ن 2 = أ م 1 ن 1 م 2 ن 2 = أ م 1 ن 1 م 2 ن 2 = = أ م 1 م 2 ن 1 ن 2 = أ م 1 م 2 ن 1 ن 2 = = أ م 1 م 2 ن 2 ن 1 = أ م 1 م 2 ن 2 ن 1 = أ م 1 ن 1 م 2 ن 2
الخاصية التالية: دعنا نثبت أنه لأي قيمتين لـ a و b أكبر من 0 ، إذا كانت a أقل من b ، فسيتم تنفيذ a p< b p , а для p больше 0 - a p >بي بي
لنمثل العدد الكسري p بالصيغة m n. في هذه الحالة ، م عدد صحيح ، ن عدد طبيعي. ثم الشروط ص< 0 и p >0 سوف يمتد إلى م< 0 и m >0. بالنسبة إلى m> 0 و a< b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .
نستخدم خاصية الجذور ونشتق: أ م ن< b m n
مع الأخذ في الاعتبار إيجابية القيمتين a و b ، نعيد كتابة المتباينة في صورة a m n< b m n . Оно эквивалентно a p < b p .
بنفس الطريقة ، بالنسبة لـ m< 0 имеем a a m >b m ، نحصل على a m n> b m n لذا a m n> b m n و a p> b p.
يبقى لنا إثبات الملكية الأخيرة. دعنا نثبت أنه بالنسبة للأعداد المنطقية p و q ، p> q عند 0< a < 1 a p < a q , а при a >0 سيكون صحيحًا a p> a q.
يمكن اختزال الأعداد النسبية p و q إلى مقام مشترك والحصول على الكسور m 1 n و m 2 n
هنا م 1 و م 2 عددان صحيحان ، و ن عدد طبيعي. إذا كانت p> q ، إذن m 1> m 2 (مع مراعاة قاعدة مقارنة الكسور). ثم عند 0< a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a >1 - عدم المساواة أ 1 م> أ 2 م.
يمكن إعادة كتابتها بالشكل التالي:
أ م 1 ن< a m 2 n a m 1 n >أ م 2 ن
ثم يمكنك إجراء التحولات والحصول على نتيجة لذلك:
أ م 1 ن< a m 2 n a m 1 n >أ م 2 ن
للتلخيص: من أجل p> q و 0< a < 1 верно a p < a q , а при a >0 - أ ف> أ ف.
الخصائص الأساسية للدرجات ذات الأس غير المنطقية
يمكن تمديد جميع الخصائص الموصوفة أعلاه والتي تمتلكها درجة مع الأسس المنطقية إلى هذه الدرجة. يأتي هذا من تعريفه ذاته ، الذي قدمناه في إحدى المقالات السابقة. دعونا نصيغ هذه الخصائص بإيجاز (الشروط: أ> 0 ، ب> 0 ، المؤشرات p و q هي أرقام غير منطقية):
التعريف 4
1. أ ف أ س = أ ف + ف
2. أ ف: أ ف = أ ف - ف
3. (أ ب) ع = أ ف ب ص
4. (أ: ب) ع = أ ف: ب ص
5. (أ ع) س = أ ف ف ف
6.ap< b p верно при любых положительных a и b , если a < b и p – иррациональное число больше 0 ; если p меньше 0 , то a p >بي بي
7.ap< a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a >0 ، ثم p> a q.
وبالتالي ، فإن جميع القوى التي يكون أسها p و q أعدادًا حقيقية ، بشرط أن يكون a> 0 ، لها نفس الخصائص.
إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter
إذا لم ننتبه إلى الدرجة الثامنة فماذا نرى هنا؟ دعونا نلقي نظرة على برنامج الصف السابع. لذلك تذكر؟ هذه هي صيغة الضرب المختصرة وهي فرق المربعات! نحن نحصل:
نحن ننظر بعناية إلى المقام. يشبه إلى حد كبير أحد عوامل البسط ، لكن ما الخطأ؟ ترتيب خاطئ للشروط. إذا تم تبديلها ، يمكن تطبيق القاعدة.
ولكن كيف نفعل ذلك؟ اتضح أنه سهل للغاية: الدرجة المتساوية للمقام تساعدنا هنا.
لقد غيرت المصطلحات أماكنها بطريقة سحرية. تنطبق هذه "الظاهرة" على أي تعبير بدرجة متساوية: يمكننا تغيير الإشارات الموجودة بين قوسين بحرية.
لكن من المهم أن تتذكر: كل العلامات تتغير في نفس الوقت!
دعنا نعود إلى المثال:
ومرة أخرى الصيغة:
كلنقوم بتسمية الأعداد الطبيعية وأضدادها (أي مأخوذة بعلامة "") والرقم.
عدد صحيح موجب، ولا يختلف عن الطبيعي ، فكل شيء يبدو بالضبط كما في القسم السابق.
الآن دعونا نلقي نظرة على الحالات الجديدة. لنبدأ بمؤشر يساوي.
أي عدد أس صفر يساوي واحدًا:
كالعادة نسأل أنفسنا: لماذا هذا؟
ضع في اعتبارك بعض القوة مع القاعدة. خذ على سبيل المثال واضرب في:
لذلك ، قمنا بضرب الرقم في ، وحصلنا على نفس الرقم كما كان -. ما هو الرقم الذي يجب ضربه حتى لا يتغير شيء؟ هذا صحيح ، على. وسائل.
يمكننا أن نفعل الشيء نفسه مع رقم عشوائي:
لنكرر القاعدة:
أي عدد أس صفر يساوي واحدًا.
لكن هناك استثناءات للعديد من القواعد. وهنا يوجد أيضًا - هذا رقم (كأساس).
من ناحية أخرى ، يجب أن تكون مساوية لأي درجة - بغض النظر عن مقدار ضرب الصفر في نفسه ، ستظل تحصل على صفر ، وهذا واضح. لكن من ناحية أخرى ، مثل أي رقم لدرجة الصفر ، يجب أن يكون متساويًا. إذن ما هي حقيقة هذا؟ قرر علماء الرياضيات عدم التورط ورفضوا رفع الصفر إلى الصفر. أي أنه لا يمكننا الآن القسمة على الصفر فحسب ، بل نرفعها أيضًا إلى أس صفر.
لنذهب أبعد من ذلك. بالإضافة إلى الأعداد والأرقام الطبيعية ، تتضمن الأعداد الصحيحة أرقامًا سالبة. لفهم ماهية الدرجة السالبة ، دعنا نفعل نفس الشيء كما في المرة السابقة: نضرب بعض الأعداد العادية في نفس الدرجة في درجة سالبة:
من هنا يسهل بالفعل التعبير عن المطلوب:
الآن نوسع القاعدة الناتجة إلى درجة تعسفية:
لذلك ، دعونا نصيغ القاعدة:
الرقم مرفوعًا إلى أس سالب هو مقلوب العدد نفسه إلى أس موجب. و لكن في نفس الوقت لا يمكن أن تكون القاعدة فارغة:(لأنه من المستحيل القسمة).
دعونا نلخص:
أنا لم يتم تعريف التعبير في حالة. اذا ثم.
ثانيًا. أي عدد أس صفر يساوي واحدًا:.
ثالثا. الرقم الذي لا يساوي صفرًا إلى أس سالب هو معكوس نفس العدد لقوة موجبة:.
مهام الحل المستقل:
حسنًا ، كالعادة ، أمثلة لحل مستقل:
تحليل المهام للحل المستقل:
أعلم ، أعلم ، الأرقام مخيفة ، لكن في الامتحان عليك أن تكون مستعدًا لأي شيء! حل هذه الأمثلة أو حلل حلها إذا لم تتمكن من حلها وسوف تتعلم كيفية التعامل معها بسهولة في الامتحان!
دعنا نواصل توسيع نطاق الأعداد "المناسبة" كأسس.
فكر الآن أرقام نسبية.ما تسمى الأرقام المنطقية؟
الجواب: كل ما يمكن تمثيله في صورة كسر وأين وأعداد صحيحة.
لفهم ما هو "درجة جزئية"لنفكر في كسر:
لنرفع كلا طرفي المعادلة إلى قوة:
الآن تذكر القاعدة "درجة إلى درجة":
ما هو الرقم الذي يجب رفعه للحصول على قوة؟
هذه الصيغة هي تعريف جذر الدرجة.
اسمحوا لي أن أذكركم: جذر القوة ال () لرقم () هو الرقم الذي ، عند رفعه إلى أس ، يكون مساويًا.
أي أن جذر الدرجة هو العملية العكسية للأس:.
لقد أتضح أن. من الواضح أنه يمكن تمديد هذه الحالة الخاصة:.
الآن أضف البسط: ما هو؟ من السهل الحصول على الإجابة من خلال قاعدة القوة إلى السلطة:
لكن هل يمكن أن تكون القاعدة أي رقم؟ بعد كل شيء ، لا يمكن استخراج الجذر من جميع الأرقام.
لا أحد!
تذكر القاعدة: أي عدد مرفوع لقوة زوجية هو رقم موجب. أي أنه من المستحيل استخلاص جذور الدرجة الزوجية من الأعداد السالبة!
وهذا يعني أن مثل هذه الأعداد لا يمكن رفعها إلى قوة كسرية ذات مقام زوجي ، أي أن التعبير لا معنى له.
ماذا عن التعبير؟
ولكن هنا تنشأ مشكلة.
يمكن تمثيل الرقم ككسور أخرى ، على سبيل المثال ، أو.
واتضح أنه موجود ولكنه غير موجود ، وهذان مجرد سجلين مختلفين من نفس الرقم.
أو مثال آخر: مرة واحدة ، يمكنك كتابته. ولكن بمجرد أن نكتب المؤشر بطريقة مختلفة ، فإننا نواجه مشكلة مرة أخرى: (أي ، حصلنا على نتيجة مختلفة تمامًا!).
لتجنب مثل هذه المفارقات ، خذ بعين الاعتبار فقط الأس الأساسي الموجب مع الأس الكسري.
حتى إذا:
- - عدد طبيعي؛
- هو عدد صحيح
أمثلة:
القوى ذات الأس المنطقي مفيدة جدًا في تحويل التعبيرات ذات الجذور ، على سبيل المثال:
5 أمثلة على الممارسة
تحليل 5 أمثلة للتدريب
1. لا تنس الخصائص المعتادة للدرجات:
2.. وهنا نتذكر أننا نسينا أن نتعلم جدول الدرجات:
بعد كل شيء - هذا أو. تم العثور على الحل تلقائيًا:.
حسنًا ، الآن - الأصعب. الآن سوف نحلل درجة مع الأس غير المنطقي.
جميع قواعد وخصائص الدرجات هنا هي نفسها تمامًا مثل الدرجات ذات الأس المنطقي ، باستثناء
في الواقع ، بحكم التعريف ، الأعداد غير المنطقية هي أرقام لا يمكن تمثيلها ككسر ، حيث تكون أعدادًا صحيحة (أي أن الأعداد غير المنطقية كلها أرقام حقيقية باستثناء الأرقام المنطقية).
عند دراسة الدرجات العلمية بمؤشر طبيعي وعدد صحيح وعقلاني ، في كل مرة نكوّن "صورة" معينة أو "تشبيه" أو وصف بمصطلحات مألوفة أكثر.
على سبيل المثال ، الأس الطبيعي هو عدد مضروب في نفسه عدة مرات ؛
...صفر قوة- هذا ، كما كان ، رقم مضروب في نفسه مرة واحدة ، أي أنه لم يبدأ بعد في التكاثر ، مما يعني أن الرقم نفسه لم يظهر حتى الآن - وبالتالي ، فإن النتيجة ليست سوى "إعداد معين لـ" رقم "، أي رقم ؛
...الأس الصحيح السالب- يبدو الأمر كما لو حدثت "عملية عكسية" معينة ، أي أن الرقم لم يضرب بنفسه ، بل تم تقسيمه.
بالمناسبة ، في العلم ، غالبًا ما يتم استخدام الدرجة ذات الأس المعقد ، أي أن الأس ليس حتى عددًا حقيقيًا.
لكن في المدرسة ، لا نفكر في مثل هذه الصعوبات ؛ ستتاح لك الفرصة لفهم هذه المفاهيم الجديدة في المعهد.
أين نحن متأكدون من أنك ستذهب! (إذا تعلمت كيفية حل مثل هذه الأمثلة :))
علي سبيل المثال:
تقرر لنفسك:
تحليل الحلول:
1. لنبدأ بالقاعدة المعتادة بالفعل لرفع درجة إلى درجة ما:
الآن انظر إلى النتيجة. هل يذكرك بأي شيء؟ نتذكر صيغة الضرب المختصر لفرق المربعات:
في هذه الحالة،
لقد أتضح أن:
إجابه: .
2. نضع الكسور في الأسس على نفس الصيغة: إما كلاهما عشري أو كلاهما عادي. نحصل على سبيل المثال:
الجواب: 16
3. لا يوجد شيء خاص ، فنحن نطبق الخصائص المعتادة للدرجات:
مستوى متقدم
تعريف الدرجة
الدرجة هي تعبير عن النموذج: حيث:
- — قاعدة الدرجة
- - الأس.
الدرجة مع الأس الطبيعي (ن = 1 ، 2 ، 3 ، ...)
رفع رقم إلى القوة الطبيعية n يعني ضرب الرقم في نفسه مرات:
قوة مع الأس الصحيح (0 ، ± 1 ، ± 2 ، ...)
إذا كان الأس عدد صحيح موجبرقم:
الانتصاب إلى الصفر السلطة:
التعبير غير محدد ، لأنه ، من ناحية ، هو هذا إلى أي درجة ، ومن ناحية أخرى ، أي رقم إلى الدرجة ال هو هذا.
إذا كان الأس عدد صحيح سلبيرقم:
(لأنه من المستحيل القسمة).
مرة أخرى حول القيم الخالية: لم يتم تعريف التعبير في الحالة. اذا ثم.
أمثلة:
درجة مع الأس المنطقي
- - عدد طبيعي؛
- هو عدد صحيح
أمثلة:
خصائص الدرجة
لتسهيل حل المشكلات ، دعنا نحاول أن نفهم: من أين أتت هذه الخصائص؟ دعونا نثبت لهم.
دعونا نرى: ما هو و؟
الدير:
لذلك ، على الجانب الأيمن من هذا التعبير ، يتم الحصول على المنتج التالي:
لكن بحكم التعريف ، هذه قوة لرقم له أس ، أي:
Q.E.D.
مثال : تبسيط التعبير.
قرار : .
مثال : تبسيط التعبير.
قرار : من المهم أن نلاحظ ذلك في حكمنا بالضرورةيجب أن يكون لها نفس الأساس. لذلك ، نجمع الدرجات مع القاعدة ، لكنها تظل عاملاً منفصلاً:
ملاحظة مهمة أخرى: هذه القاعدة - فقط لمنتجات القوى!
لا يجب أن أكتب ذلك تحت أي ظرف من الظروف.
تمامًا كما هو الحال مع الخاصية السابقة ، دعنا ننتقل إلى تعريف الدرجة:
دعنا نعيد ترتيبه هكذا:
اتضح أن التعبير يضرب في نفسه مرة واحدة ، أي وفقًا للتعريف ، هذه هي القوة رقم -th:
في الواقع ، يمكن أن يسمى هذا "تصحيح المؤشر". لكن لا يمكنك القيام بذلك إجمالاً :!
لنتذكر معادلات الضرب المختصر: كم مرة أردنا أن نكتب؟ لكن هذا ليس صحيحًا حقًا.
قوة ذات قاعدة سالبة.
حتى هذه النقطة ، ناقشنا فقط ما يجب أن يكون مؤشرالدرجة العلمية. لكن ماذا يجب أن يكون الأساس؟ بدرجات من طبيعي >> صفة مؤشر قد يكون الأساس أي رقم .
في الواقع ، يمكننا ضرب أي رقم في بعضنا البعض ، سواء كانت موجبة أو سالبة أو زوجية. دعونا نفكر في أي علامات ("" أو "") سيكون لها درجات من الأرقام الموجبة والسالبة؟
على سبيل المثال ، هل سيكون الرقم موجبًا أم سالبًا؟ لكن؟ ؟
في الحالة الأولى ، يكون كل شيء واضحًا: بغض النظر عن عدد الأرقام الموجبة التي نضربها مع بعضنا البعض ، ستكون النتيجة موجبة.
لكن السلبية أكثر إثارة للاهتمام. بعد كل شيء ، نتذكر قاعدة بسيطة من الصف السادس: "ناقص ضرب سالب يعطي زائد". هذا هو ، أو. لكن إذا ضربنا في () ، نحصل على -.
وهكذا إلى ما لا نهاية: مع كل عملية ضرب لاحقة ، ستتغير العلامة. يمكنك صياغة هذه القواعد البسيطة:
- حتى فيدرجة - رقم إيجابي.
- رفع الرقم السالب إلى غريبدرجة - رقم نفي.
- الرقم الموجب لأي قوة هو رقم موجب.
- صفر إلى أي قوة يساوي صفرًا.
حدد لنفسك العلامة التي ستحملها التعبيرات التالية:
| 1. | 2. | 3. |
| 4. | 5. | 6. |
هل تستطيع فعلها؟ ها هي الإجابات:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
في الأمثلة الأربعة الأولى ، آمل أن يكون كل شيء واضحًا؟ نحن ببساطة ننظر إلى الأساس والأس ، ونطبق القاعدة المناسبة.
في المثال 5) ، كل شيء ليس مخيفًا كما يبدو: لا يهم ما تساوي القاعدة - الدرجة متساوية ، مما يعني أن النتيجة ستكون دائمًا إيجابية. حسنًا ، إلا عندما تكون القاعدة صفرًا. القاعدة ليست هي نفسها ، أليس كذلك؟ من الواضح لا ، منذ (لأن).
المثال 6) لم يعد بهذه البساطة. هنا تحتاج إلى معرفة أيهما أقل: أو؟ إذا تذكرت ذلك ، يتضح ذلك ، مما يعني أن القاعدة أقل من الصفر. أي أننا نطبق القاعدة 2: ستكون النتيجة سلبية.
ومرة أخرى نستخدم تعريف الدرجة:
كل شيء كالمعتاد - نكتب تعريف الدرجات ونقسمها إلى بعضها البعض ، ونقسمها إلى أزواج ونحصل على:
قبل تحليل القاعدة الأخيرة ، دعنا نحل بعض الأمثلة.
احسب قيم التعبيرات:
حلول :
إذا لم ننتبه إلى الدرجة الثامنة فماذا نرى هنا؟ دعونا نلقي نظرة على برنامج الصف السابع. لذلك تذكر؟ هذه هي صيغة الضرب المختصرة وهي فرق المربعات!
نحن نحصل:
نحن ننظر بعناية إلى المقام. يشبه إلى حد كبير أحد عوامل البسط ، لكن ما الخطأ؟ ترتيب خاطئ للشروط. إذا تم عكسها ، يمكن تطبيق القاعدة 3. ولكن كيف نفعل ذلك؟ اتضح أنه سهل للغاية: الدرجة المتساوية للمقام تساعدنا هنا.
إذا قمت بضربها ، فلن يتغير شيء ، أليس كذلك؟ لكن الآن يبدو كالتالي:
لقد غيرت المصطلحات أماكنها بطريقة سحرية. تنطبق هذه "الظاهرة" على أي تعبير بدرجة متساوية: يمكننا تغيير الإشارات الموجودة بين قوسين بحرية. لكن من المهم أن تتذكر: كل العلامات تتغير في نفس الوقت!لا يمكن الاستعاضة عنه بتغيير واحد مرفوض لنا فقط!
دعنا نعود إلى المثال:
ومرة أخرى الصيغة:
حتى الآن القاعدة الأخيرة:
كيف سنثبت ذلك؟ بالطبع كالعادة: لنوسع مفهوم الدرجة ونبسط:
حسنًا ، لنفتح الأقواس الآن. كم عدد الحروف سيكون هناك؟ مرات بالمضاعفات - كيف تبدو؟ هذا ليس سوى تعريف العملية عمليه الضرب: المجموع تبين أن هناك مضاعفات. وهذا يعني ، بحكم التعريف ، قوة رقم مع أس:
مثال:
درجة مع الأس غير المنطقي
بالإضافة إلى المعلومات حول درجات المستوى المتوسط ، سنقوم بتحليل الدرجة بمؤشر غير منطقي. جميع قواعد وخصائص الدرجات هنا هي نفسها تمامًا بالنسبة لدرجة ذات أس عقلاني ، باستثناء - بعد كل شيء ، بحكم التعريف ، الأرقام غير المنطقية هي أرقام لا يمكن تمثيلها على أنها كسر ، أين وأعداد صحيحة (أي ، الأعداد غير المنطقية كلها أرقام حقيقية باستثناء الأرقام المنطقية).
عند دراسة الدرجات العلمية بمؤشر طبيعي وعدد صحيح وعقلاني ، في كل مرة نكوّن "صورة" معينة أو "تشبيه" أو وصف بمصطلحات مألوفة أكثر. على سبيل المثال ، الأس الطبيعي هو عدد مضروب في نفسه عدة مرات ؛ الرقم إلى درجة الصفر هو ، كما كان ، عددًا مضروبًا في نفسه مرة واحدة ، أي أنه لم يبدأ بعد في التكاثر ، مما يعني أن الرقم نفسه لم يظهر حتى الآن - وبالتالي ، فإن النتيجة ليست سوى بعض "إعداد رقم" ، أي رقم ؛ درجة ذات مؤشر سلبي صحيح - يبدو الأمر كما لو حدثت "عملية عكسية" معينة ، أي أن الرقم لم يُضرب في نفسه ، ولكن تم تقسيمه.
من الصعب للغاية تخيل درجة ذات أس غير منطقي (تمامًا كما يصعب تخيل مساحة رباعية الأبعاد). بدلاً من ذلك ، إنه كائن رياضي بحت ابتكره علماء الرياضيات لتوسيع مفهوم الدرجة ليشمل مساحة الأرقام بأكملها.
بالمناسبة ، في العلم ، غالبًا ما يتم استخدام الدرجة ذات الأس المعقد ، أي أن الأس ليس حتى عددًا حقيقيًا. لكن في المدرسة ، لا نفكر في مثل هذه الصعوبات ؛ ستتاح لك الفرصة لفهم هذه المفاهيم الجديدة في المعهد.
إذن ماذا سنفعل إذا رأينا أسًا غير منطقي؟ نحن نبذل قصارى جهدنا للتخلص منه! :)
علي سبيل المثال:
تقرر لنفسك:
| 1) | 2) | 3) |
الإجابات:
- تذكر الفرق في صيغة المربعات. إجابه: .
- نحضر الكسور إلى نفس الشكل: إما كلا الكسور العشرية أو كلاهما عادي. نحصل على سبيل المثال:.
- لا يوجد شيء مميز ، فنحن نطبق الخصائص المعتادة للدرجات:
ملخص القسم والصيغة الأساسية
الدرجة العلميةيسمى تعبير عن النموذج: ، حيث:
الدرجة مع الأس الصحيح
الدرجة ، الأس هو عدد طبيعي (أي عدد صحيح وموجب).
درجة مع الأس المنطقي
الدرجة التي يكون مؤشرها أرقامًا سالبة وجزئية.
درجة مع الأس غير المنطقي
الأس الذي يكون أسه كسرًا عشريًا لا نهائيًا أو جذرًا.
خصائص الدرجة
ميزات الدرجات.
- رفع الرقم السالب إلى حتى فيدرجة - رقم إيجابي.
- رفع الرقم السالب إلى غريبدرجة - رقم نفي.
- الرقم الموجب لأي قوة هو رقم موجب.
- الصفر يساوي أي قوة.
- أي عدد أس صفر يساوي.
الآن لديك كلمة ...
كيف تحب المقال؟ اسمحوا لي أن أعرف في التعليقات أدناه إذا كنت تحب ذلك أم لا.
أخبرنا عن تجربتك مع خصائص الطاقة.
ربما لديك أسئلة. او اقتراحات.
اكتب في التعليقات.
ونتمنى لك التوفيق في امتحاناتك!
الدرجة واحدة من الخصائص الرئيسية في الجبر ، وفي الواقع في جميع الرياضيات ، هي الدرجة العلمية. بالطبع ، في القرن الحادي والعشرين ، يمكن إجراء جميع العمليات الحسابية باستخدام آلة حاسبة عبر الإنترنت ، ولكن من الأفضل أن تتعلم كيفية القيام بذلك بنفسك لتنمية العقول.
في هذه المقالة ، سننظر في أهم القضايا المتعلقة بهذا التعريف. وبالتحديد ، سوف نفهم ماهيتها بشكل عام وما هي وظائفها الرئيسية ، وما هي الخصائص الموجودة في الرياضيات.
لنلقِ نظرة على أمثلة لشكل العملية الحسابية ، ما هي الصيغ الأساسية. سنقوم بتحليل الأنواع الرئيسية للكميات وكيف تختلف عن الوظائف الأخرى.
سوف نفهم كيفية حل المشاكل المختلفة باستخدام هذه القيمة. سنوضح بأمثلة كيفية رفع درجة الصفر ، غير المنطقي ، السلبي ، إلخ.
حاسبة الأُس على الإنترنت
ما هي درجة الرقم
ما المقصود بعبارة "رفع رقم إلى قوة"؟
الدرجة n للعدد a هي حاصل ضرب عوامل المقدار a n مرة على التوالي.
رياضيا يبدو كالتالي:
أ ن = أ * أ * أ * ... أ ن.
علي سبيل المثال:
- 2 3 = 2 في الخطوة الثالثة. = 2 * 2 * 2 = 8 ؛
- 4 2 = 4 خطوة. اثنان = 4 * 4 = 16 ؛
- 5 4 = 5 خطوة. أربعة = 5 * 5 * 5 * 5 = 625 ؛
- 10 5 \ u003d 10 في 5 خطوات. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000 ؛
- 10 4 \ u003d 10 في 4 خطوات. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.
يوجد أدناه جدول المربعات والمكعبات من 1 إلى 10.
جدول الدرجات من 1 إلى 10
فيما يلي نتائج رفع الأعداد الطبيعية إلى قوى موجبة - "من 1 إلى 100".
| الفصل لو | الصف الثاني | الصف 3RD |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 8 |
| 3 | 9 | 27 |
| 4 | 16 | 64 |
| 5 | 25 | 125 |
| 6 | 36 | 216 |
| 7 | 49 | 343 |
| 8 | 64 | 512 |
| 9 | 81 | 279 |
| 10 | 100 | 1000 |
خصائص الدرجة
ما هي خاصية هذه الوظيفة الرياضية؟ دعونا نلقي نظرة على الخصائص الأساسية.
أنشأ العلماء ما يلي العلامات المميزة لجميع الدرجات:
- أ ن * أ م = (أ) (ن + م) ؛
- أ ن: أ م = (أ) (ن م) ؛
- (أ ب) م = (أ) (ب * م).
دعنا نتحقق من الأمثلة:
2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. ومن ناحية أخرى 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.
بالمثل: 2 3: 2 2 = 8/4 = 2. خلاف ذلك 2 3-2 = 2 1 = 2.
(2 3) 2 = 8 2 = 64. ماذا لو كانت مختلفة؟ 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.
كما ترى ، تعمل القواعد.
ولكن كيف تكون مع الجمع والطرح؟ كل شيء بسيط. يتم تنفيذ الأس الأول ، وبعد ذلك فقط يتم الجمع والطرح.
لنلقِ نظرة على الأمثلة:
- 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
- 5 2-3 2 = 25-9 = 16
لكن في هذه الحالة ، يجب عليك أولاً حساب الإضافة ، نظرًا لوجود إجراءات بين قوسين: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.
كيف تنتج الحسابات في الحالات الأكثر تعقيدًا؟ الترتيب هو نفسه:
- إذا كانت هناك أقواس ، فأنت بحاجة إلى البدء بها ؛
- ثم الأس.
- ثم إجراء عمليات الضرب والقسمة ؛
- بعد الجمع والطرح.
هناك خصائص محددة لا تميز جميع الدرجات:
- سيتم كتابة جذر الدرجة n من الرقم a إلى الدرجة m على النحو التالي: a m / n.
- عند رفع الكسر إلى أس: يخضع كل من البسط ومقامه لهذا الإجراء.
- عند رفع حاصل ضرب أعداد مختلفة إلى أس ، فإن التعبير سوف يتوافق مع حاصل ضرب هذه الأرقام لقوة معينة. وهذا هو: (أ * ب) ن = أ ن * ب ن.
- عند رفع رقم إلى قوة سالبة ، تحتاج إلى قسمة 1 على رقم في نفس الخطوة ، ولكن بعلامة "+".
- إذا كان مقام الكسر في قوة سالبة ، فسيكون هذا المقدار مساويًا لحاصل ضرب البسط والمقام في قوة موجبة.
- أي عدد أس 0 = 1 وإلى الخطوة. 1 = لنفسه.
هذه القواعد مهمة في الحالات الفردية ، سننظر فيها بمزيد من التفصيل أدناه.
الدرجة مع الأس السالب
ماذا تفعل بالدرجة السالبة أي عندما يكون المؤشر سالبًا؟
بناءً على الخصائص 4 و 5(انظر النقطة أعلاه) اتضح:
أ (- n) \ u003d 1 / A n ، 5 (-2) \ u003d 1/5 2 \ u003d 1/25.
والعكس صحيح:
1 / A (- n) \ u003d A n ، 1/2 (-3) \ u003d 2 3 \ u003d 8.
ماذا لو كان كسرًا؟
(أ / ب) (- ن) = (ب / أ) ن ، (3/5) (-2) = (5/3) 2 = 25/9.
درجة بمؤشر طبيعي
يُفهم على أنه درجة ذات أسس تساوي الأعداد الصحيحة.
أشياء للذكرى:
أ 0 = 1 ، 1 0 = 1 ؛ 2 0 = 1 ؛ 3.15 0 = 1 ؛ (-4) 0 = 1 ... إلخ.
أ 1 = أ ، 1 1 = 1 ؛ 2 1 = 2 ؛ 3 1 = 3… الخ.
أيضًا ، إذا كانت (-a) 2 n +2 ، n = 0 ، 1 ، 2 ... فإن النتيجة ستكون بعلامة "+". إذا تم رفع رقم سالب إلى قوة فردية ، فالعكس صحيح.
الخصائص العامة ، وجميع الميزات المحددة الموضحة أعلاه ، هي أيضًا سمات مميزة لها.
درجة كسرية
يمكن كتابة هذا الرأي كمخطط: م / ن. يُقرأ على النحو التالي: جذر الدرجة n من الرقم A إلى أس m.
باستخدام المؤشر الكسري ، يمكنك فعل أي شيء: التقليل ، التحلل إلى أجزاء ، الرفع إلى درجة أخرى ، إلخ.
درجة مع الأس غير المنطقي
اجعل α عددًا غير نسبي و А ˃ 0.
لفهم جوهر الدرجة بمثل هذا المؤشر ، لنلقِ نظرة على الحالات المختلفة المحتملة:
- أ \ u003d 1. ستكون النتيجة 1. نظرًا لوجود بديهية - 1 يساوي واحدًا في جميع القوى ؛
А r 1 А α ˂ А r 2، r 1 r 2 أرقام منطقية ؛
- 0˂А˂1.
في هذه الحالة ، والعكس صحيح: А r 2 А А α А r 1 بنفس الشروط كما في الفقرة الثانية.
على سبيل المثال ، الأس هو الرقم π.إنه عقلاني.
ص 1 - في هذه الحالة يساوي 3 ؛
ص 2 - تساوي 4.
ثم بالنسبة إلى أ = 1 ، 1 π = 1.
أ = 2 ، ثم 2 3 ˂ 2 π 4 2 ، 8 ˂ 2 π 16.
أ = 1/2 ، ثم (½) 4 (½) π ˂ (½) 3 ، 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.
تتميز هذه الدرجات بجميع العمليات الرياضية والخصائص المحددة الموضحة أعلاه.
خاتمة
دعونا نلخص - ما هي هذه القيم ، ما هي مزايا هذه الوظائف؟ بالطبع ، أولاً وقبل كل شيء ، يبسطون حياة علماء الرياضيات والمبرمجين عند حل الأمثلة ، لأنهم يسمحون بتقليل العمليات الحسابية وتقليل الخوارزميات وتنظيم البيانات وغير ذلك الكثير.
في أي مكان آخر يمكن أن تكون هذه المعرفة مفيدة؟ في أي تخصص عملي: الطب ، الصيدلة ، طب الأسنان ، البناء ، التكنولوجيا ، الهندسة ، التصميم ، إلخ.
