حل المقارنات من الدرجة الأولى. حل المقارنات وتطبيقاتها. قابلية القسمة ومقارنات الوحدات

محتوى.

مقدمة

§1. مقارنة مودولو

§2. خصائص المقارنة

1. خصائص المقارنة المستقلة عن الوحدة النمطية
2. خصائص المقارنات المعتمدة على الوحدة

§3. نظام الخصم

1. نظام كامل للخصومات
2. انخفاض نظام الخصومات

§4. نظرية أويلر وفيرما

1. وظيفة أويلر
2. نظرية أويلر وفيرما

الفصل 2. نظرية المقارنات مع المتغير

§1. المفاهيم الأساسية المتعلقة بحل المقارنات

1. جذور المقارنات
2. معادلة المقارنات
3. نظرية ويلسون

§2. مقارنات من الدرجة الأولى وحلولها

1. طريقة الاختيار
2. طرق أويلر
3. طريقة خوارزمية إقليدس
4. طريقة الكسر المستمر

§3. أنظمة المقارنات من الدرجة الأولى مع مجهول

§4. شعبة مقارنات الدرجات العليا

§5. الجذور والمؤشرات المضادة

1. ترتيب فئة الخصم
2. الجذور البدائية modulo prime
3. مؤشرات الوحدة الأولية

الفصل 3. تطبيق نظرية المقارنات

§1. علامات قابلية القسمة

§2. التحقق من نتائج العمليات الحسابية

§3. تحويل الكسر العادي إلى كسر نهائي

كسر منهجي عشري

خاتمة

الأدب

مقدمة

غالبًا ما يتعين علينا في حياتنا التعامل مع الأعداد الصحيحة والمشكلات المتعلقة بها. في هذه الأطروحة أتناول نظرية مقارنة الأعداد الصحيحة.

عددان صحيحان الفرق بينهما هو مضاعف لعدد طبيعي معينم تسمى قابلة للمقارنة في المعاملم.

كلمة "وحدة" تأتي من المعامل اللاتيني، والذي يعني باللغة الروسية "القياس"، "الحجم".

عادةً ما تتم كتابة العبارة "a قابلة للمقارنة بـ b modulo m" على النحو aب (mod m) ويسمى المقارنة.

تمت صياغة تعريف المقارنة في كتاب K. Gauss "الدراسات الحسابية". بدأت طباعة هذا العمل المكتوب باللغة اللاتينية في عام 1797، لكن الكتاب لم يُنشر إلا في عام 1801 نظرًا لحقيقة أن عملية الطباعة في ذلك الوقت كانت كثيفة العمالة وطويلة للغاية. القسم الأول من كتاب غاوس يسمى: "في مقارنة الأعداد بشكل عام".

تعتبر المقارنات ملائمة جدًا للاستخدام في الحالات التي يكفي فيها معرفة أرقام بحثية دقيقة لمضاعفات رقم معين.

على سبيل المثال، إذا كنا مهتمين بالرقم الذي ينتهي به مكعب العدد الصحيح، فيكفي أن نعرف مضاعفات العدد 10 فقط ويمكننا استخدام المقارنات بمعامل 10.

الغرض من هذا العمل هو النظر في نظرية المقارنات ودراسة الطرق الأساسية لحل المقارنات مع المجهولات، وكذلك دراسة تطبيق نظرية المقارنات على الرياضيات المدرسية.

تتكون الرسالة من ثلاثة فصول، كل فصل مقسم إلى فقرات، والفقرات إلى فقرات.

ويتناول الفصل الأول القضايا العامة لنظرية المقارنات. نحن هنا نتناول مفهوم المقارنة المعيارية، وخصائص المقارنات، والنظام الكامل والمختزل للمخلفات، ووظيفة أويلر، ونظرية أويلر وفيرمات.

أما الفصل الثاني فقد خصص لنظرية المقارنات مع المجهول. يوضح المفاهيم الأساسية المرتبطة بحل المقارنات، ويدرس طرق حل المقارنات من الدرجة الأولى (طريقة الاختيار، طريقة أويلر، طريقة الخوارزمية الإقليدية، طريقة الكسور المستمرة، استخدام المؤشرات)، أنظمة المقارنات من الدرجة الأولى مع مجهول واحد، ومقارنات الدرجات العليا، وما إلى ذلك.

أما الفصل الثالث فيحتوي على بعض تطبيقات نظرية الأعداد في الرياضيات المدرسية. تؤخذ في الاعتبار علامات قابلية القسمة، والتحقق من نتائج الإجراءات، وتحويل الكسور العادية إلى كسور عشرية منتظمة.

يكون عرض المادة النظرية مصحوبًا بعدد كبير من الأمثلة التي تكشف جوهر المفاهيم والتعاريف المقدمة.

الفصل 1. أسئلة عامة في نظرية المقارنات

§1. مقارنة مودولو

اجعل z عبارة عن حلقة من الأعداد الصحيحة، وm عبارة عن عدد صحيح ثابت، وm·z هي مجموعة الأعداد الصحيحة التي هي مضاعفات m.

التعريف 1. يقال إن العددين الصحيحين a وb يمكن مقارنتهما بمعامل m إذا قسمت m على a-b.

إذا كان الرقمان a وb قابلين للمقارنة، فاكتب aب (نموذج م).

الحالة أ b (mod m) يعني أن a-b قابل للقسمة على m.

أ ب (mod m)↔(a-b) m

دعونا نحدد أن وحدة علاقة المقارنة m تتزامن مع وحدة علاقة المقارنة (-m) (القسمة على m تعادل القسمة على –m). ولذلك، دون فقدان العمومية، يمكننا أن نفترض أن m>0.

أمثلة.

نظرية. (علامة على قابلية مقارنة الأعداد الروحية modulo m): عددان صحيحان a وb قابلان للمقارنة modulo m إذا وفقط إذا كان a وb لهما نفس البقايا عند القسمة على m.

دليل.

اجعل الباقي عند قسمة a و b على m متساويين، أي a=mq₁+r،(1)

ب=mq₂+ص، (2)

حيث 0 ≥r≥m.

بطرح (2) من (1)، نحصل على a-b= m(q₁- q₂)، أي a-bم أو ب (نموذج م).

وعلى العكس من ذلك، اسمحوا أ ب (نموذج م). وهذا يعني أن أ-بم أو أ-ب=ط، ت ض (3)

قسمة ب على م؛ نحصل على b=mq+r في (3)، سيكون لدينا a=m(q+t)+r، أي عند قسمة a على m، يتم الحصول على نفس الباقي كما هو الحال عند قسمة b على m.

أمثلة.

5=4·(-2)+3

23=4·5+3

24=3·8+0

10=3·3+1

التعريف 2. يُطلق على الرقمين أو أكثر الذين يعطيون بواقي متماثلة عند القسمة على m بواقي متساوية أو معامل قابل للمقارنة.

أمثلة.

لدينا: 2m+1-(m+1)²= 2m+1 - m²-2m-1=- m²، و(- m²) مقسومة على m => مقارنتنا صحيحة.

1. أثبت أن المقارنات التالية خاطئة:

إذا كانت الأرقام قابلة للمقارنة modulo m، فإنها تحتوي على نفس gcd معها.

لدينا: 4=2·2، 10=2·5، 25=5·5

GCD(4,10) = 2، GCD(25,10) = 5، وبالتالي فإن مقارنتنا غير صحيحة.

§2. خصائص المقارنة

1. خصائص المقارنات المستقلة عن الوحدة.

العديد من خصائص المقارنات تشبه خصائص المساواة.

أ) الانعكاسية: أأ (mod m) (أي عدد صحيحأ قابلة للمقارنة مع نفسها modulo m)؛

ب) التماثل: إذا أب (mod m)، ثم b a (mod m)؛

ج) العبور: إذا أ b (mod m)، وb مع (mod m)، ثم a مع (mod m).

دليل.

حسب الشرط م/(أ-ب) وم/ (ج-د). ولذلك، m/(a-b)+(c-d)، m/(a+c)-(b+d) => a+cب + د (وزارة الدفاع م).

أمثلة.

أوجد الباقي عند القسمةفي 13.

الحل: -1 (النمط 13) و1 (النمط 13)، ثم (-1)+1 0 (mod 13)، أي باقي القسمةبحلول 13 هو 0.

أ-ج-د (مودم).

دليل.

حسب الشرط م/(أ-ب) وم/(ج-د). وبالتالي، m/(a-b)-(c-d)، m/(a-c)-(b-d) => (a-c)ب-د (وزارة الدفاع م).

1. (نتيجة للخصائص 1، 2، 3). يمكنك إضافة نفس العدد الصحيح إلى كلا الجانبين من المقارنة.

دليل.

دع أ b (mod m) و k هو أي عدد صحيح. بواسطة خاصية الانعكاسية

k=k (mod m)، ووفقًا للخاصيتين 2 و3 لدينا a+kب + ك (وزارة الدفاع م).

أ·ج·د (وزارة الدفاع م).

دليل.

حسب الحالة، a-b є mz، c-d є mz. لذلك a·c-b·d = (a·c - b·c)+(b·c- b·d)=(a-b)·c+b·(c-d) є mz، أي a·c· د (وزارة الدفاع م).

عاقبة. يمكن رفع كلا طرفي المقارنة إلى نفس القوة الصحيحة غير السالبة: إذا أb (mod m) وs عدد صحيح غير سالب، ثم aق ب ق (وزارة الدفاع م).

أمثلة.

الحل: من الواضح 13 1 (الوضع 3)

2 -1 (الوضع 3)

5-1 (موديل 3) إذن

- · 1-1 0 (الوضع 13)

إجابة: والباقي المطلوب هو صفر، وA يقبل القسمة على 3.

حل:

دعونا نثبت أن 1+ 0(mod13) أو 1+0(mod 13)

1+ =1+ 1+ =

منذ 27 1 (النموذج 13)، ثم 1+1+1·3+1·9 (النموذج 13).

إلخ.

3. أوجد الباقي عند القسمة على باقي الرقمفي 24.

لدينا: 1 (موديل 24)، إذن

1 (موديل 24)

بإضافة 55 إلى طرفي المقارنة، نحصل على:

(موديل 24).

لدينا: (موديل 24)، لذلك

(mod 24) لأي k є N.

لذلك (موديل 24). منذ (-8)16(mod 24)، والباقي المطلوب هو 16.

1. يمكن ضرب طرفي المقارنة بنفس العدد الصحيح.

2. خصائص المقارنات حسب الوحدة النمطية.

دليل.

منذ a b (mod t)، ثم (a - b) t، ومنذ t n ، ثم بسبب متعدية علاقة القسمة(أ - ب ن)، أي أ ب (نموذج ن).

مثال.

أوجد الباقي عند قسمة 196 على 7.

حل:

مع العلم أن 196= يمكننا أن نكتب 196(موديل 14). دعونا نستخدم الخاصية السابقة، 14 7، نحصل على 196 (mod 7)، أي 196 7.

1. يمكن ضرب طرفي المقارنة والمعامل بنفس العدد الصحيح الموجب.

دليل.

دع ب (mod t ) و c هو عدد صحيح موجب. ثم a-b = mt وac-bc=mtc، أو acقبل الميلاد (وزارة الدفاع مولودية).

مثال.

تحديد ما إذا كانت قيمة التعبيرعدد صحيح.

حل:

دعونا نمثل الكسور في شكل مقارنات: 4(الوضع 3)

1 (موديل 9)

31 (موديل 27)

دعونا نضيف هذه المقارنات مصطلحًا بعد مصطلح (الخاصية 2)، نحصل على 124(mod 27) نرى أن 124 ليس عددًا صحيحًا يقبل القسمة على 27، ومن هنا جاء معنى التعبيرهو أيضا ليس عددا صحيحا.

1. يمكن تقسيم كلا طرفي المقارنة على العامل المشترك بينهما إذا كان أوليًا للمعامل.

دليل.

إذا كاليفورنيا cb (mod m)، أي m/c(a-b) والرقممع coprime إلى m, (c,m)=1, ثم m يقسم a-b. لذلك،أ ب (تعديل ر).

مثال.

60 9 (mod 17) وبعد قسمة طرفي المقارنة على 3 نحصل على:

20 (موديل 17).

بشكل عام، من المستحيل تقسيم طرفي المقارنة على رقم لا يتطابق مع المعامل، لأنه بعد القسمة قد يتم الحصول على أرقام لا يمكن مقارنتها فيما يتعلق بمعامل معين.

مثال.

8 (النمط 4)، ولكن 2 (النمط 4).

1. يمكن تقسيم طرفي المقارنة والمعامل على المقسوم المشترك لهما.

دليل.

إذا كا كيلو بايت (mod km)، ثم k (a-b) مقسومًا على km. وبالتالي فإن a-b قابل للقسمة على m، أيأ ب (تعديل ر).

دليل.

دع P (x) = c 0 x n + c 1 x n-1 + ... + c n-1 x+ c n. حسب الشرط أ ب (تعديل ر)، إذن

أ ك ب ك (mod m) لـ k = 0، 1، 2، …،n. ضرب كلا الجانبين من مقارنات n+1 الناتجة بـ cن-ك نحصل على :

ج ن-ك أ ك ج ن-ك ب ك (mod m)، حيث k = 0، 1، 2، …،n.

وبجمع المقارنات الأخيرة نحصل على: P (a)ف (ب) (تعديل م). إذا كان a (mod m) و c i d i (mod m)، 0 ≥ ​​i ≥n، إذن

(مود م). وبالتالي، في مقارنة modulo m، يمكن استبدال المصطلحات والعوامل الفردية بأرقام modulo m قابلة للمقارنة.

وفي الوقت نفسه، يجب الانتباه إلى حقيقة أن الأسس الموجودة في المقارنات لا يمكن استبدالها بهذه الطريقة: من

أ ن ج (مود م) و ن k(mod m) لا يتبع ذلك أك ق (وزارة الدفاع م).

يحتوي العقار 11 على عدد من التطبيقات المهمة. على وجه الخصوص، بمساعدتها، من الممكن إعطاء مبرر نظري لعلامات القسمة. للتوضيح، على سبيل المثال، سنعطي اشتقاق اختبار القسمة على 3.

مثال.

يمكن تمثيل كل عدد طبيعي N كرقم نظامي: N = a 0 10 ن + أ 1 10 ن-1 + ... + أ ن-1 10 + أ ن .

النظر في كثير الحدود f(x) = أ 0 x n + أ 1 x n-1 + ... + أ n-1 x+a n . لأن

10 1 (mod 3)، ثم حسب الخاصية 10 f (10)و (1) (تعديل 3) أو

N = أ 0 10 ن + أ 1 10 ن-1 + ... + أ ن-1 10 + أ ن أ 1 + أ 2 +…+ أ ن-1 + أ ن (mod 3)، أي لكي يكون N قابلاً للقسمة على 3، فمن الضروري والكافي أن يكون مجموع أرقام هذا الرقم قابلاً للقسمة على 3.

§3. أنظمة الخصم

1. نظام كامل للخصومات.

الأعداد المتبقية المتساوية، أو ما هو نفس الشيء، قابلة للمقارنة modulo m، تشكل فئة من الأرقام modulo m.

ويترتب على هذا التعريف أن جميع الأرقام في الفئة تتوافق مع نفس الباقي r، وسنحصل على جميع الأرقام في الفئة إذا، في النموذج mq+r، جعلنا q تمر عبر جميع الأعداد الصحيحة.

وفقًا لذلك، مع قيم m المختلفة لـ r، لدينا فئات m من الأرقام modulo m.

يُطلق على أي عدد من الفئة اسم وحدة البقايا m فيما يتعلق بجميع أرقام نفس الفئة. تسمى البقايا التي تم الحصول عليها عند q=0، والتي تساوي الباقي r، بأصغر بقايا غير سالبة.

يُطلق على البقايا ρ، الأصغر في القيمة المطلقة، البقايا الأصغر على الإطلاق.

من الواضح أنه بالنسبة لـ r لدينا ρ=r؛ في ص> لدينا ρ=r-m; أخيرًا، إذا كان m زوجيًا وr=، فيمكن أخذ أي من الرقمين على أنه ρو -م= - .

دعونا نختار من كل فئة من وحدات المخلفاتت رقم واحد في كل مرة. نحن نحصلالأعداد الصحيحة: × 1،…، × م. تسمى المجموعة (x 1,..., x t). نظام كامل للخصومات modulo م.

نظرًا لأن كل فئة تحتوي على عدد لا حصر له من المخلفات، فمن الممكن تكوين عدد لا حصر له من أنظمة كاملة مختلفة من المخلفات لوحدة نمطية معينة m، كل منها يحتوي علىر الخصومات.

مثال.

تجميع عدة أنظمة كاملة للاستقطاعات moduloت = 5. لدينا فئات: 0، 1، 2، 3، 4.

0 = {... -10, -5,0, 5, 10,…}

1= {... -9, -4, 1, 6, 11,…}

لنقم بإنشاء عدة أنظمة كاملة للخصم، مع أخذ خصم واحد من كل فئة:

0, 1, 2, 3, 4

5, 6, 2, 8, 9

10, -9, -8, -7, -6

5, -4, -3, -2, -1

إلخ.

الأكثر شيوعا:

1. نظام كامل لأقل المخلفات غير السلبية: 0، 1، ر -1 في المثال أعلاه: 0، 1، 2، 3، 4. نظام البقايا هذا سهل الإنشاء: تحتاج إلى كتابة جميع البقايا غير السالبة التي تم الحصول عليها عند القسمة على m.
2. نظام كامل من المخلفات الأقل إيجابية(يتم أخذ أصغر خصم إيجابي من كل فئة):

1، 2، …، م. في مثالنا: 1، 2، 3، 4، 5.

1. نظام كامل من الحد الأدنى من الخصومات على الاطلاق.في حالة m الفردية، يتم تمثيل أصغر البقايا المطلقة جنبًا إلى جنب.

- ,…, -1, 0, 1,…, ,

وفي حالة حتى م، أحد الصفين

1, …, -1, 0, 1,…, ,

, …, -1, 0, 1, …, .

في المثال الموضح: -2، -1، 0، 1، 2.

دعونا الآن نفكر في الخصائص الأساسية للنظام الكامل للمخلفات.

النظرية 1 . أي مجموعة من الأعداد الصحيحة m:

س ل، س 2،…، س م (1)

modulo m الذي لا يضاهى بشكل زوجي، يشكل نظامًا كاملاً من المخلفات modulo m.

دليل.

1. ينتمي كل رقم من الأرقام الموجودة في المجموعة (1) إلى فئة معينة.
2. أي رقمين x i و x j من (1) لا يمكن مقارنتها ببعضها البعض، أي أنها تنتمي إلى طبقات مختلفة.
3. هناك أرقام m في (1)، أي نفس العدد الموجود في فئات moduloت.

× 1، × 2،…، × ر - نظام كامل للخصومات modulo م.

النظرية 2. دع (أ، م) = 1، ب - عدد صحيح تعسفي؛ ثم إذا× 1، × 2،…، × ر هو نظام كامل من المخلفات modulo م، ثم جمع أرقام الفأس 1 + ب، الفأس 2 + ب،…، الفأس م + b هو أيضًا نظام كامل من المخلفات modulo m.

دليل.

دعونا نفكر

الفأس 1 + ب، الفأس 2 + ب،…، الفأس م + ب (2)

1. ينتمي كل رقم من الأرقام الموجودة في المجموعة (2) إلى فئة معينة.
2. أي رقمين ax i +b و ax j + b من (2) لا يقارن بعضهم ببعض، أي أنهم ينتمون إلى فئات مختلفة.

بل لو كان في (2) عددان هكذا

الفأس ط + ب الفأس ي + ب (mod m)، (i = j)، فسنحصل على ذلكالفأس ط الفأس ي (وزارة الدفاع ر). منذ (أ، ر) = 1، فإن خاصية المقارنات يمكن أن تقلل كلا جزأين المقارنة بمقدارأ . نحصل على x i x j (mod m).

حسب الشرط x i x j (mod t) في (i = j) منذ x 1، × 2، ...، × م - نظام كامل للخصومات.

1. مجموعة الأرقام (2) تحتوي علىت الأرقام، أي أن هناك العديد من الفئات modulo m.

إذن، الفأس 1 + ب، الفأس 2 + ب،...، الفأس م + ب - نظام كامل للمخلفات modulo m.

مثال.

دع م = 10، أ = 3، ب = 4.

لنأخذ نظامًا كاملاً من المخلفات modulo 10، على سبيل المثال: 0، 1، 2،...، 9. لنؤلف أرقامًا من النموذجالفأس + ب. نحصل على: 4، 7، 10، 13، 16، 19، 22، 25، 28، 31. مجموعة الأرقام الناتجة هي نظام كامل من المخلفات modulo 10.

1. نظام الاستقطاعات المعطى.

دعونا نثبت النظرية التالية.

النظرية 1.

الأرقام من نفس الفئة المتبقية modulo m لها نفس القاسم المشترك الأكبر مع m: ifأ ب (mod m)، ثم (a، m) = (b، m).

دليل.

دع ب (مودم م). ثم أ = ب + طن متري، حيث تي є ض. ويترتب على هذه المساواة أن (أ،ر) = (ب، ر).

في الواقع، لتكن δ قاسمًا مشتركًا لـ a وm، ثم aδ، م δ. بما أن أ = ب + طن متري، ثم ب=أ-طن، وبالتالي بδ. ولذلك فإن أي قاسم مشترك للعددين a وm هو قاسم مشترك للعددين m وb.

على العكس من ذلك، إذا كان m δ و b δ، فإن a = b +mt يقبل القسمة على δ، وبالتالي فإن أي قاسم مشترك لـ m وb هو قاسم مشترك لـ a وm. لقد تم إثبات النظرية.

التعريف 1. القاسم المشترك الأكبرر وأي رقم أ من هذه الفئة من الخصومات من قبلت يسمى القاسم المشترك الأكبرت وهذه الفئة من الخصومات.

التعريف 2. فئة البقايا أ modulo t دعا coprime إلى المعاملم ، إذا كان القاسم المشترك الأكبرأ و ر يساوي 1 (أي إذام وأي رقم من هي coprime).

مثال.

دع ر = 6. تتكون فئة البقايا 2 من الأرقام (...، -10، -4، 2، 8، 14، ...). القاسم المشترك الأكبر لأي من هذه الأرقام والمعامل 6 هو 2. وبالتالي، (2، 6) = 2. القاسم المشترك الأكبر لأي رقم من الفئة 5 والمعامل 6 هو 1. ومن ثم، فإن الفئة 5 هي أولية للمعامل 6 .

دعونا نختار رقمًا واحدًا من كل فئة من المخلفات التي تكون أولية مع modulo m. نحصل على نظام الخصومات الذي يعد جزءًا من نظام الخصومات الكامل. يسمونهاانخفاض نظام المخلفات modulo م.

التعريف 3. مجموعة من المخلفات modulo m، مأخوذة من كل كوبريم معت تسمى فئة المخلفات لهذه الوحدة بنظام مخفض للمخلفات.

من التعريف 3 يتبع طريقة للحصول على النظام المخفض لبقايا moduloت: من الضروري تدوين نظام كامل من المخلفات وإزالة جميع المخلفات التي لا تحتوي على coprime مع m. المجموعة المتبقية من الخصومات هي نظام الخصومات المخفض. من الواضح أنه يمكن تكوين عدد لا حصر له من أنظمة المخلفات modulo m.

إذا أخذنا كنظام أولي النظام الكامل للبقايا الأقل غير السالبة أو الأقل على الإطلاق، فإننا باستخدام الطريقة المشار إليها نحصل، على التوالي، على نظام مخفض للبقايا الأقل غير السالبة أو الأقل على الإطلاق modulo m.

مثال.

إذا كان ت = 8، ثم 1، 3، 5، 7 هو النظام المخفض لأقل المخلفات غير السالبة، 1، 3، -3، -1- النظام المخفض للخصومات الأقل على الإطلاق.

النظرية 2.

يترك عدد الفئات coprime إلى m يساوي k.ثم أي مجموعة من الأعداد الصحيحة k

modulo m الذي لا يضاهى بشكل زوجي وcoprime إلى m، هو نظام مخفض من المخلفات modulo m.

دليل

أ) كل رقم في المجتمع (1) ينتمي إلى فئة معينة.

1. جميع الأرقام من (1) غير قابلة للمقارنة في المعاملتي، أي أنهم ينتمون إلى فئات مختلفة modulo m.
2. كل رقم من (1) هو أولي معتي، أي أن كل هذه الأرقام تنتمي إلى فئات مختلفة من coprime إلى modulo m.
3. المجموع (1) متاحك الأرقام، أي ما يجب أن يحتوي عليه النظام المخفض للوحدات المتبقية m.

لذلك مجموعة الأرقام(1) - نظام مخفض للخصومات moduloت.

§4. وظيفة أويلر.

نظريات أويلر وفيرما.

1. وظيفة أويلر.

دعونا نشير بـ φ(ت) عدد فئات المخلفات modulo m coprime إلى m، أي عدد عناصر النظام المخفض للمخلفات moduloر. الدالة φ (ر) هو رقمي. يسمونهاوظيفة أويلر.

دعونا نختار كممثلين لفئات بقايا moduloأرقام t 1، ...، t - 1، t ثم φ (t) - عدد هذه الأرقام coprime معر وبعبارة أخرى، φ (ر) - عدد الأرقام الموجبة التي لا تتجاوز m والأعداد الأولية نسبيًا لـ m.

أمثلة.

1. دع ر = 9. يتكون النظام الكامل لوحدات المخلفات 9 من الأرقام 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9. من بينها، الأرقام 1،2،4، 5، 7، 8 هي أرقام أولية إلى 9. وبما أن عدد هذه الأرقام هو 6، فإن φ (9) = 6.
2. دع ر = 12. يتكون النظام الكامل للبقايا من الأرقام 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، 10، 11، 12. ومن هذه الأرقام، 1، 5، 7، 11 هي coprime إلى 12. . هذا يعنى

φ(12) = 4.

في ر = 1، يتكون النظام الكامل للبقايا من فئة واحدة 1. القاسم الطبيعي المشترك للأرقام 1 و 1 هو 1، (1، 1) = 1. وعلى هذا الأساس، نفترض φ(1) = 1.

دعنا ننتقل إلى حساب دالة أويلر.

1) إذا كان ر = ص هو عدد أولي، ثم φ(ع) = ع-1.

دليل.

الخصومات 1، 2، ...، ع-1 وهي فقط أولية نسبيًا بعدد أولير. ولذلك φ (ر) = ص - 1.

2) إذا كان t = p k - قوة اوليةع، ثم

φ(ر) = (ص - 1) . (1)

دليل.

نظام كامل للخصومات moduloر = ص ك مكون من أرقام 1،...،ص ك - 1، ص ك المقسومات الطبيعيةت هي درجاتر. ولذلك الرقم أقد يكون له قاسم مشترك مع m غير 1, فقط في حالة متىأمقسمة علىر.لكن من بين الأرقام 1, ... , صك -1 علىرالأرقام فقط قابلة للقسمةص، 2ع، ...، ص2 ، ... رل, عددها متساويرل: ع = صك-1. وهذا يعني أنهم coprime معر = صلاستراحةرل- رك-1= صك ل(ع-١)أعداد. وهذا يثبت ذلك

φ (رل) = صك-1(ص-١).

نظرية1.

دالة أويلر مضاعفة، أي أنه بالنسبة للأعداد الأولية نسبيًا m وn لدينا φ (mn) = φ(m) φ (n).

دليل.

يتم تحقيق المطلب الأول في تعريف الدالة الضربية بطريقة تافهة: يتم تعريف دالة أويلر لجميع الأعداد الطبيعية، و φ (1) = 1. نحن بحاجة فقط إلى إظهار ذلك إذايكتبأرقام كوبريم، ثم

φ (ن)= φ (ت) φ (ع).(2)

دعونا نرتب النظام الكامل للاستقطاعات modulotpمثلصXت -المصفوفات

1 2 ت

ر +1 ر +2 2 طن

………………………………

(ف -1) ر+1 (ف -1) م+2 الجمعة

بسبب التوصأولية نسبيًا، ثم العددXبالمثل فقط معtpثم وفقط عندماXبالمثل فقط معتوXبالمثل فقط معص. لكن العددكم+ربالمثل فقط معتإذا وفقط إذاربالمثل فقط معت.لذلك، توجد أرقام coprime إلى m في تلك الأعمدة التيريمر عبر النظام المخفض لبقايا moduloت.عدد هذه الأعمدة يساوي φ(ت).يعرض كل عمود النظام الكامل للاستقطاعات moduloص.من هذه الاستقطاعات φ(ف)كوبريم معص.وهذا يعني أن العدد الإجمالي للأرقام الأولية نسبيًا ومعهاتومع ن، يساوي φ(ت)φ(ن)

(φ (ت)الأعمدة، في كل منها يتم أخذ φ(ف)أعداد). هذه الأرقام، وهم فقط، هم من يشتركون فيهاإلخ.وهذا يثبت ذلك

φ (ن)= φ (ت) φ (ع).

أمثلة.

№1 . أثبت صحة المعادلات التالية

φ(4ن) =

دليل.

№2 . حل المعادلة

حل:لأن(م)=، الذي - التي= ، إنه=600, =75, =3·، ثم س-1=1، س=2،

ص-1=2، ص=3

الجواب: س=2، ص=3

يمكننا حساب قيمة دالة أويلر(م)، معرفة التمثيل القانوني للرقم م:

م=.

بسبب التعدد(م) لدينا:

(م)=.

لكن حسب الصيغة (1) نجد ذلك

-1)، وبالتالي

(3)

يمكن إعادة كتابة المساواة (3) على النحو التالي:

بسبب ال=م إذن(4)

الصيغة (3) أو، وهي نفسها، (4) هي ما نبحث عنه.

أمثلة.

№1 . ما هو المبلغ؟

حل:,

, =18 (1- ) (1- =18 ، ثم= 1+1+2+2+6+6=18.

№2 . استنادا إلى خصائص دالة عدد أويلر، أثبت أنه في تسلسل الأعداد الطبيعية هناك مجموعة لا حصر لها من الأعداد الأولية.

حل:بافتراض أن عدد الأعداد الأولية هو مجموعة محدودة، فإننا نفترض ذلك- أكبر عدد أولي ودع a=هو حاصل ضرب جميع الأعداد الأولية، بناءً على إحدى خصائص دالة أرقام أويلر

منذ ≥، إذن a هو رقم مركب، ولكن بما أن تمثيله القانوني يحتوي على جميع الأعداد الأولية، إذن=1. لدينا:

=1 ,

وهو أمر مستحيل، وبذلك ثبت أن مجموعة الأعداد الأولية لا نهائية.

№3 .حل المعادلةحيث س=و=2.

حل:نستخدم خاصية دالة أويلر العددية،

,

وبشرط=2.

دعونا نعرب من=2 ، نحن نحصل، بدل في

:

(1+ -1=120, =11 =>

ثم س=، س=11·13=143.

إجابة:س= 143

2. نظرية أويلر وفيرما.

تلعب نظرية أويلر دورًا مهمًا في نظرية المقارنات.

نظرية أويلر.

إذا كان العدد الصحيح a هو coprime إلى m، إذن

(1)

دليل.يترك

(2)

يوجد نظام مخفض للمخلفات modulo m.

لوأهو عدد صحيح coprime إلى m، إذن

(3)

في n يعطون نفس البقايا.

الصيغ المكافئة: أ و ب قابلة للمقارنة في المعاملن إذا كان اختلافهم أ - بقابل للقسمة على n، أو إذا كان من الممكن تمثيل a على أنه أ = ب + كن ، أين ك- بعض الأعداد الصحيحة. على سبيل المثال: 32 و−10 قابلان للمقارنة مع الوحدة 7، منذ ذلك الحين

تتم كتابة العبارة "a و b هما modulo n قابلان للمقارنة" على النحو التالي:

خصائص المساواة Modulo

علاقة المقارنة modulo لها الخصائص

أي عددين صحيحين أو بوحدة قابلة للمقارنة 1.

من أجل الأرقام أو بكانت قابلة للمقارنة في المعامل نفلا بد ويكفي أن يكون اختلافهما قابلا للقسمة ن.

إذا كانت الأرقام وقابلة للمقارنة في المعامل ن، ثم مجموعها و، وكذلك المنتجات وتكون أيضًا قابلة للمقارنة في المعامل ن.

إذا كانت الأرقام أو بقابلة للمقارنة في المعامل نثم درجاتهم أ كو ب كقابلة للمقارنة أيضًا في المعامل نتحت أي طبيعي ك.

إذا كانت الأرقام أو بقابلة للمقارنة في المعامل ن، و نمقسمة على م، الذي - التي أو بقابلة للمقارنة في المعامل م.

من أجل الأرقام أو بكانت قابلة للمقارنة في المعامل ن، مقدمة في شكل تحليلها القانوني إلى عوامل بسيطة ص أنا

ضرورية وكافية لذلك

علاقة المقارنة هي علاقة تكافؤ ولها العديد من خصائص المساواة العادية. على سبيل المثال، يمكن إضافتها وضربها: إذا

ومع ذلك، لا يمكن عمومًا تقسيم المقارنات على بعضها البعض أو على أرقام أخرى. مثال: ومع ذلك، بالتقليل بمقدار 2، نحصل على مقارنة خاطئة: . قواعد الاختصار للمقارنات هي كما يلي.

لا يمكنك أيضًا إجراء عمليات على المقارنات إذا كانت معاملاتها غير متطابقة.

خصائص أخرى:

التعريفات ذات الصلة

فئات الخصم

مجموعة جميع الأرقام القابلة للمقارنة أ modulo نمُسَمًّى فئة الخصم أ modulo ن ، ويشار إليه عادة [ أ] نأو . وبالتالي فإن المقارنة تعادل المساواة بين الطبقات المتبقية [أ] ن = [ب] ن .

منذ مقارنة modulo نهي علاقة تكافؤ على مجموعة الأعداد الصحيحة، ثم وحدات الفئات المتبقية نتمثل فئات التكافؤ. عددهم متساوي ن. مجموعة جميع فئات البقايا modulo نيُشار إليه بـ أو.

عمليات الجمع والضرب عن طريق إحداث العمليات المقابلة في المجموعة:

[أ] ن + [ب] ن = [أ + ب] ن

فيما يتعلق بهذه العمليات، فإن المجموعة عبارة عن حلقة محدودة، وإذا نبسيط - مجال محدود.

أنظمة الخصم

يتيح لك نظام البقايا إجراء عمليات حسابية على مجموعة محدودة من الأرقام دون تجاوز حدودها. نظام كامل للخصومات modulo n هي أي مجموعة من الأعداد الصحيحة n التي لا تضاهى modulo n. عادة، يتم أخذ أصغر المخلفات غير السالبة كنظام كامل من المخلفات modulo n

0,1,...,ن − 1

أو أصغر الخصومات المطلقة التي تتكون من أرقام

,

في حالة غريبة نوالأرقام

في حالة حتى ن .

حل المقارنات

مقارنات من الدرجة الأولى

في نظرية الأعداد والتشفير ومجالات العلوم الأخرى، غالبًا ما تنشأ مشكلة إيجاد حلول لمقارنات من الدرجة الأولى للنموذج:

يبدأ حل هذه المقارنة بحساب GCD (أ، م)=د. في هذه الحالة هناك حالتان محتملتان:

• لو بليست متعددة د، فالمقارنة ليس لها حلول.
• لو بعديد د، فإن المقارنة لها حل فريد من نوعه م / دأو ما هو نفسه، دحلول مودولو م. في هذه الحالة، نتيجة لتقليل المقارنة الأصلية بنسبة دالمقارنة هي:

أين أ 1 = أ / د , ب 1 = ب / د و م 1 = م / د هي الأعداد الصحيحة، و أ 1 و م 1 أولية نسبيًا. ولذلك الرقم أ 1 يمكن أن يكون مقلوب modulo م 1، أي العثور على مثل هذا الرقم ج، ذلك (وبعبارة أخرى،). الآن تم العثور على الحل بضرب المقارنة الناتجة بـ ج:

الحساب العملي للقيمة جيمكن تنفيذها بطرق مختلفة: باستخدام نظرية أويلر، وخوارزمية إقليدس، ونظرية الكسور المستمرة (انظر الخوارزمية)، وما إلى ذلك. على وجه الخصوص، تتيح لك نظرية أويلر كتابة القيمة جمثل:

مثال

للمقارنة لدينا د= 2، لذا فإن المقارنة لها حلان في modulo 22. لنستبدل 26 بـ 4، مقارنة بـ modulo 22، ثم نقوم بتقليل جميع الأرقام الثلاثة بمقدار 2:

نظرًا لأن 2 هو coprime إلى modulo 11، فيمكننا تقليل الجانبين الأيسر والأيمن بمقدار 2. ونتيجة لذلك، نحصل على حل واحد modulo 11: ، أي ما يعادل حلين modulo 22: .

مقارنات من الدرجة الثانية

حل المقارنات من الدرجة الثانية يتلخص في معرفة ما إذا كان رقم معين هو بقايا تربيعية (باستخدام قانون المعاملة بالمثل من الدرجة الثانية) ومن ثم حساب معدل الجذر التربيعي.

قصة

تنص نظرية الباقي الصينية، المعروفة منذ قرون عديدة (في اللغة الرياضية الحديثة)، على أن معامل حلقة البقايا هو حاصل ضرب عدة أرقام أولية

النظر في مقارنة النموذج س 2 ≡أ(عصري صأ)، حيث ص- رقم فردي بسيط. وكما هو مبين في الفقرة 4 من الفقرة 4، يمكن إيجاد حل هذه المقارنة عن طريق حل المقارنة س 2 ≡أ(عصري ص). علاوة على ذلك، المقارنة س 2 ≡أ(عصري صα) سيكون له حلان إذا أهو معامل البقايا التربيعية ص.

مثال:

حل المقارنة التربيعية س 2 ≡86 (مود 125).

125 = 5 3, 5 هو عدد أولي. دعونا نتحقق مما إذا كان الرقم 86 هو معامل مربع 5.

المقارنة الأصلية لديها حلين.

دعونا نجد حلا للمقارنة س 2 ≡86 (الوضع 5).

س 2 ≡1(الوضع 5).

يمكن حل هذه المقارنة بالطريقة الموضحة في الفقرة السابقة، لكننا سنستخدم حقيقة أن الجذر التربيعي لـ 1 مودولو هو ±1، والمقارنة لها حلان بالضبط. وبالتالي، فإن الحل لمودولو المقارنة 5 هو

س≡±1(mod 5) أو غير ذلك، س=±(1+5 ر 1).

لنعوض بالحل الناتج في وحدة المقارنة 5 2 =25:

س 2 ≡86 (موديل 25)

س 2 ≡11 (موديل 25)

(1+5ر 1) 2 ≡11 (موديل 25)

1+10ر 1 +25ر 1 2 ≡11(الوضع 25)

10ر 1 ≡10 (موديل 25)

2ر 1 ≡2 (الوضع 5)

ر 1 ≡1(mod 5)، أو ما هو نفسه، ر 1 =1+5ر 2 .

ثم الحل لمودولو المقارنة 25 هو س=±(1+5(1+5 ر 2))=±(6+25 ر 2). لنعوض بالحل الناتج في وحدة المقارنة 5 3 =125:

س 2 ≡86 (موديل 125)

(6+25ر 2) 2 ≡86 (موديل 125)

36+12·25 ر 2 +625ر 2 2 ≡86 (موديل 125)

12·25 ر 2 ≡50 (موديل 125)

12ر 2 ≡2 (الوضع 5)

2ر 2 ≡2 (الوضع 5)

ر 2 ≡1(الوضع 5)، أو ر 2 =1+5ر 3 .

ثم الحل لمودولو المقارنة 125 هو س=±(6+25(1+5 ر 3))=±(31+125 ر 3).

إجابة: س≡±31 (موديل 125).

دعونا الآن نفكر في مقارنة النموذج س 2 ≡أ(الوضع 2 α). مثل هذه المقارنة لا تحتوي دائمًا على حلين. لمثل هذه الوحدة الحالات التالية ممكنة:

1) α=1. ثم المقارنة لها حل فقط عندما أ≡1(mod 2)، والحل هو س≡1(mod 2) (حل واحد).

2) α=2. المقارنة لها حلول فقط عندما أ≡1(mod 4)، والحل هو س≡±1(mod 4) (حلان).

3) α≥3. المقارنة لها حلول فقط عندما أ≡1(mod 8)، وسيكون هناك أربعة حلول من هذا القبيل. مقارنة س 2 ≡أ(mod 2 α) لـ α≥3 يتم حلها بنفس طريقة مقارنات النموذج س 2 ≡أ(عصري صα)، فقط الحلول modulo 8 هي الحل الأولي: س≡±1(الوضع 8) و س≡±3(الوضع 8). يجب مقارنتها بـ modulo 16، ثم modulo 32، وما إلى ذلك حتى modulo 2 α.

مثال:

حل المقارنة س 2 ≡33 (موديل 64)

64=2 6 . دعونا نتحقق مما إذا كانت المقارنة الأصلية لها حل. 33≡1(mod 8)، مما يعني أن المقارنة بها 4 حلول.

Modulo 8 هذه الحلول ستكون: س≡±1(الوضع 8) و س≡±3(mod 8)، والتي يمكن تمثيلها كـ س=±(1+4 ر 1). لنستبدل هذا التعبير بوحدة المقارنة 16

س 2 ≡33 (موديل 16)

(1+4ر 1) 2 ≡1 (الوضع 16)

1+8ر 1 +16ر 1 2 ≡1(الوضع 16)

8ر 1 ≡0 (نموذج 16)

ر 1 ≡0 (الوضع 2)

ثم الحل سوف يأخذ النموذج س=±(1+4 ر 1)=±(1+4(0+2 ر 2))=±(1+8 ر 2). دعنا نستبدل الحل الناتج في وحدة المقارنة 32:

س 2 ≡33 (موديل 32)

(1+8ر 2) 2 ≡1 (موديل 32)

1+16ر 2 +64ر 2 2 ≡1(الوضع 32)

16ر 2 ≡0 (موديل 32)

ر 2 ≡0 (الوضع 2)

ثم الحل سوف يأخذ النموذج س=±(1+8 ر 2) =±(1+8(0+2ر 3)) =±(1+16 ر 3). دعنا نستبدل الحل الناتج في وحدة المقارنة 64:

س 2 ≡33 (موديل 64)

(1+16ر 3) 2 ≡33 (موديل 64)

1+32ر 3 +256ر 3 2 ≡33 (موديل 64)

32ر 3 ≡32 (موديل 64)

ر 3 ≡1 (الوضع 2)

ثم الحل سوف يأخذ النموذج س=±(1+16 ر 3) =±(1+16(1+2ر 4)) =±(17+32 ر 4). إذن، modulo 64، المقارنة الأصلية لها أربعة حلول: س≡±17(mod 64)ط س≡±49 (موديل 64).

الآن دعونا نلقي نظرة على المقارنة العامة: س 2 ≡أ(عصري م), (أ,م)=1, - التوسع الكنسي للوحدة م. وفقا للنظرية من الفقرة 4 من §4، فإن هذه المقارنة تعادل النظام

إذا كانت كل مقارنة لهذا النظام قابلة للحل، فإن النظام بأكمله قابل للحل. وبعد إيجاد الحل لكل مقارنة من هذا النظام، سنحصل على نظام مقارنات من الدرجة الأولى، وحله باستخدام نظرية الباقي الصينية، سنحصل على حل للمقارنة الأصلية. علاوة على ذلك، فإن عدد الحلول المختلفة للمقارنة الأصلية (إذا كانت قابلة للحل) هو 2 ك، إذا كانت α=1، 2 ك+1 إذا α=2، 2 ك+2 إذا α≥3.

مثال:

حل المقارنة س 2 ≡4 (موديل 21).

المقارنة مع واحد غير معروف سيشبه

أين . لو أ ن لا يقبل القسمة على م، وهذا ما يسمى درجةمقارنات.

بالقرارالمقارنة هي أي عدد صحيح س 0 , لأي منهم

لو X 0 يرضي المقارنة، إذن، وفقًا لخاصية 9 مقارنات، يمكن مقارنة جميع الأعداد الصحيحة بـ س 0 modulo م. ولذلك، فإن جميع حلول المقارنة تنتمي إلى نفس معامل فئة البقايا ت، سنعتبره أحد الحلول. وبالتالي، فإن المقارنة لها عدد من الحلول بقدر ما توجد عناصر النظام الكامل للبقايا التي تلبيها.

تسمى المقارنات التي تتطابق مجموعات حلولها مقابل.

2.2.1 مقارنات الدرجة الأولى

مقارنة من الدرجة الأولى مع شخص مجهول Xيشبه

(2.2)

نظرية 2.4. ولكي يكون للمقارنة حل واحد على الأقل، فمن الضروري والكافي أن يكون العدد ب مقسوما على GCD( أ, م).

دليل.أولا نثبت الضرورة. يترك د = جي سي دي( أ, م) و X 0 - حل المقارنة. ثم ، أي الفرق أوه 0 − ب مقسمة على ت.لذلك هناك مثل هذا العدد الصحيح س, ماذا أوه 0 − ب = كم. من هنا ب= اه 0 − كم. ومنذ ذلك الحين د, كمقسوم مشترك، يقسم الأرقام أو تي،ثم يتم تقسيم المطرح والمطروح على د, وبالتالي ب مقسمة على د.

الآن دعونا نثبت الكفاية. يترك د- القاسم المشترك الأكبر للأعداد أو تي،و ب مقسمة على د. ثم، من خلال تعريف القسمة، توجد الأعداد الصحيحة التالية أ 1 , ب 1 ، ت 1 , ماذا .

باستخدام الخوارزمية الإقليدية الموسعة، نجد تمثيلاً خطيًا للرقم 1 = gcd( أ 1 , م 1 ):

بالنسبة للبعض س 0 , ذ 0 . دعونا نضرب طرفي المساواة الأخيرة في ب 1 د:

أو ما هو نفسه،

,

هذا هو الحل للمقارنة. □

مثال 2.10. المقارنة 9 X= 6 (mod 12) لديه حل نظرًا لأن gcd(9, 12) = 3 و6 يقبل القسمة على 3. □

مثال 2.11. مقارنة 6x= 9 (mod 12) ليس له حلول، لأن gcd(6, 12) = 6، و9 لا يقبل القسمة على 6. □

نظرية 2.5. دع المقارنة (2.2) تكون قابلة للحل و د = جي سي دي( أ, م). ثم تتكون مجموعة حلول المقارنة (2.2) من د فئات بقايا modulo تي،وهي إذا X 0 - أحد الحلول ثم جميع الحلول الأخرى

دليل.يترك X 0 - حل المقارنة (2.2) أي و , . لذلك هناك شيء من هذا القبيل س، ماذا أوه 0 − ب = كم. الآن استبدال المساواة الأخيرة بدلا من X 0 حل تعسفي للنموذج، حيث نحصل على التعبير

, قابلة للقسمة على م. □

مثال 2.12. المقارنة 9 Xيحتوي =6 (mod 12) على ثلاثة حلول بالضبط، نظرًا لأن gcd(9, 12)=3. هذه الحلول: X 0 = 2، × 0 + 4 = 6، X 0 + 2∙4=10.□

مثال 2.13. المقارنة 11 X=2 (mod 15) لديه حل فريد X 0 = 7، بما أن GCD(11,15)=1.□

سنوضح لك كيفية حل مقارنات الدرجة الأولى. بدون فقدان العمومية، سنفترض أن GCD( أ, ر) = 1. ثم يمكن البحث عن حل المقارنة (2.2) مثلا باستخدام الخوارزمية الإقليدية. في الواقع، باستخدام الخوارزمية الإقليدية الموسعة، فإننا نمثل الرقم 1 كمجموعة خطية من الأرقام أو ت:

دعونا نضرب طرفي هذه المساواة في ب, نحن نحصل: ب = abq + com.mrb, أين abq - ب = - com.mrb, إنه أ ∙ (بكيل) = ب(عصري م) و بكيل- حل المقارنة (2.2).

الحل الآخر هو استخدام نظرية أويلر. مرة أخرى نعتقد أن GCD(a, ت)= 1. نطبق نظرية أويلر: . اضرب طرفي المقارنة بـ ب: . إعادة كتابة التعبير الأخير كـ نحصل على أن هذا هو الحل للمقارنة (2.2).

دعونا الآن GCD( أ, م) = د>1. ثم أ = أرد, م = مرد, حيث جي سي دي( أ 1 , م 1) = 1. وبالإضافة إلى ذلك، فمن الضروري ب = ب 1 د, لكي تكون المقارنة قابلة للحل. لو X 0 - حل المقارنة أ 1 س = ب 1 (عصري م 1)، والوحيد، منذ GCD( أ 1 , م 1) = 1 إذن X 0 سيكون الحل والمقارنة أ 1 وجه ضاحك = ديسيبل 1 (عصري م 1), أي المقارنة الأصلية (2.2). استراحة د- تم العثور على 1 حلول من خلال النظرية 2.5.

مقارنة الأرقام modulo

إعداد: إيرينا زوتيكوفا

ماو "المدرسة الثانوية رقم 6"

الفئة: 10 "أ"

المشرف العلمي: زيلتوفا أولغا نيكولاييفنا

تامبوف

2016

• مشكلة
• الهدف من المشروع
• فرضية
• أهداف المشروع وخطة تحقيقها
• المقارنات وخصائصها
• أمثلة على المشاكل وحلولها
• المواقع والأدب المستخدمة

مشكلة:

نادرًا ما يستخدم معظم الطلاب المقارنة المعيارية للأرقام لحل المهام غير القياسية والأولمبياد.

الهدف من المشروع:

أظهر كيف يمكنك حل المهام غير القياسية والأولمبياد من خلال مقارنة أرقام modulo.

فرضية:

إن الدراسة الأعمق لموضوع "مقارنة الأرقام النموذجية" ستساعد الطلاب على حل بعض المهام غير القياسية والأولمبياد.

أهداف المشروع وخطة تحقيقها:

1. ادرس بالتفصيل موضوع "مقارنة الأرقام النموذجية".

2. حل العديد من المهام غير القياسية والأولمبياد باستخدام المقارنة المعيارية للأرقام.

3.إنشاء مذكرة للطلاب حول موضوع "مقارنة الأعداد النموذجية".

4. إجراء درس حول موضوع "مقارنة الأعداد النموذجية" في الصف 10 أ.

5. إعطاء الواجب المنزلي للفصل حول موضوع "المقارنة حسب الوحدة".

6. قارن الوقت اللازم لإنجاز المهمة قبل وبعد دراسة موضوع "المقارنة بالوحدة النمطية".

7. استخلاص النتائج.

قبل البدء في دراسة موضوع "مقارنة وحدات الأرقام" بالتفصيل، قررت مقارنة كيفية تقديمها في الكتب المدرسية المختلفة.

• الجبر وبداية التحليل الرياضي. مستوى متقدم. الصف العاشر (يوم كولياجين وآخرون)
• الرياضيات: الجبر، الوظائف، تحليل البيانات. الصف السابع (إل جي بيترسون وآخرون)
• الجبر وبداية التحليل الرياضي. مستوى الملف الشخصي. الصف العاشر (إي بي نيلين وآخرون)
• الجبر وبداية التحليل الرياضي. مستوى الملف الشخصي. الصف العاشر (جي كيه مورافين وآخرون)

كما اكتشفت، فإن بعض الكتب المدرسية لا تلمس هذا الموضوع، على الرغم من المستوى المتقدم. ويتم تقديم الموضوع بطريقة أكثر وضوحًا ويمكن الوصول إليها في الكتاب المدرسي لـ L. G. Peterson (الفصل: مقدمة لنظرية القسمة)، لذلك دعونا نحاول فهم "مقارنة الأرقام المعيارية"، بالاعتماد على النظرية من هذا الكتاب المدرسي.

المقارنات وخصائصها.

تعريف: إذا كان هناك عددان صحيحان a وb لهما نفس الباقي عند قسمتهما على عدد صحيح m (m>0)، فإنهما يقولان ذلكa و b هما معاملان قابلان للمقارنة m، واكتب:

نظرية: إذا وفقط إذا كان الفرق بين a وb يقبل القسمة على m.

ملكيات:

1. انعكاسية المقارنات.أي رقم a يمكن مقارنته بنفسه modulo m (m>0; a,m عبارة عن أعداد صحيحة).
2. مقارنات متماثلة.إذا كان الرقم a مشابهًا للرقم b modulo m، فإن الرقم b يكون مشابهًا للرقم a modulo نفسه (m>0؛ a,b,m هي أعداد صحيحة).
3. انتقالية المقارنات.إذا كان الرقم a قابل للمقارنة مع الرقم b modulo m، والرقم b قابل للمقارنة مع الرقم c modulo نفس المعامل، فإن الرقم a قابل للمقارنة مع الرقم c modulo m (m>0; a,b,c ، م هي أعداد صحيحة).
4. إذا كان الرقم a مشابهًا للرقم b modulo m، فإن الرقم aن قابلة للمقارنة بالرقم بن modulo m(m>0; a,b,m-أعداد صحيحة؛ n-عدد طبيعي).

أمثلة على المشاكل وحلولها.

1. ابحث عن الرقم الأخير من الرقم 3 999 .

حل:

لأن الرقم الأخير من العدد هو الباقي عند قسمته على 10

3 999 =3 3 *3 996 =3 3 *(3 4 ) 249 =7*81 249 7(mod 10)

(لأن 34=81 1(mod 10);81 ن 1(mod10) (حسب الملكية))

الجواب: 7.

2.أثبت أن 2 4ن -1 يقبل القسمة على 15 بدون باقي. (فيزيتك 2012)

حل:

لأن 16 1 (مود 15)، إذن

16ن-1 0(mod 15) (حسب الخاصية)؛ 16ن= (2 4) ن

2 4 ن -1 0 (موديل 15)

3.اثبت ذلك 12 2ن+1 +11 ن+2 يقبل القسمة على 133 بدون باقي

حل:

12 2ن+1 =12*144 ن 12*11 ن (موديل 133) (حسب الملكية)

12 2ن+1 +11 ن+2 =12*11 ن +11 ن *121=11 ن *(12+121) =11 ن *133

الرقم (11ن *133) القسمة على 133 بدون الباقي، إذن (12 2ن+1 +11 ن+2 ) يقبل القسمة على 133 بدون باقي.

4. أوجد باقي العدد 2 مقسومًا على 15 2015 .

حل:

منذ 16 1 (mod 15)، إذن

2 2015 8 (موديل 15)

الجواب:8.

5. أوجد باقي القسمة على الرقم 17 2 2015. (فيزيتك 2015)

حل:

2 2015 =2 3 *2 2012 =8*16 503

منذ 16-1(mod 17) إذن

2 2015 -8 (موديل 15)

8 9 (موديل 17)

الجواب:9.

6.أثبت أن الرقم هو 11 100 -1 يقبل القسمة على 100 بدون باقي. (فيزيتك 2015)

حل:

11 100 =121 50

121 50 21 50 (موديل 100) (حسب الملكية)

21 50 =441 25

441 25 41 25 (موديل 100) (حسب الملكية)

41 25 =41*1681 12

1681 12 (-19) 12 (موديل 100) (حسب الملكية)

41*(-19) 12 =41*361 6

361 6 (-39) 6 (موديل 100)(حسب الملكية)

41*(-39) 6 =41*1521 3

1521 3 21 3 (mod100) (حسب الملكية)

41*21 3 =41*21*441

441 41(mod 100) (حسب الملكية)

21*41 2 =21*1681

1681 -19(mod 100) (حسب الملكية)

21*(-19)=-399

399 1(mod 100) (حسب الملكية)

إذن 11 100 1 (موديل 100)

11 100 -1 0(mod 100) (حسب الملكية)

7. تم إعطاء ثلاثة أرقام: 1771،1935،2222. أوجد عددًا يكون باقي الأعداد الثلاثة عند القسمة عليه متساويًا. (الصحة والبيئة 2016)

حل:

ليكن العدد المجهول مساويًا لـ إذن

2222 1935(الوضع أ); 1935 1771 (موديل أ) ؛ 2222 1771 (الوضع أ)

2222-1935 0(مودا) (حسب الملكية)؛ 1935-17710(مودا) (حسب الملكية)؛ 2222-17710(مودا) (حسب الملكية)

287 0(الوضع أ); 164 0(الوضع أ); 451 0 (الوضع أ)

287-164 0(مودا) (حسب الملكية)؛ 451-2870(الوضع)(حسب الملكية)

123 0(الوضع أ); 164 0 (الوضع أ)

164-123 0(mod a) (حسب الخاصية)

41

أولمبياد الصحة والسلامة والبيئة 2016