В книгата: Дни на студентската наука. Пролет - 2011. М.: Московски държавен университет по икономика, статистика и информатика, 2011. С. 135-139.

Авторите разглеждат практическото приложение на теорията на линейните диференциални уравнения за изучаване на икономически системи. Докладът анализира динамичните модели на Кейнс и Самуелсън-Хикс с намиране на равновесни състояния на икономическите системи.

Иванов А. И., Исаков И., Демин А. В. и др. Част 5. М.: Слово, 2012.

Наръчникът описва количествените методи за изследване на консумацията на кислород от човек по време на тестове с дозирана физическа активност, извършени в Държавния изследователски център на Руската федерация-IBMP RAS. Наръчникът е предназначен за учени, физиолози и лекари, работещи в областта на космическата, подводната и спортната медицина.

Михеев А. В. SPb.: Катедра за оперативен печат, Национален изследователски университет Висше училище по икономика - Санкт Петербург, 2012.

Тази колекция съдържа задачи за курса на диференциални уравнения, преподавани от автора в Икономическия факултет на Националния изследователски университет Висше училище по икономика - Санкт Петербург. В началото на всяка тема се дава кратко резюме на основните теоретични факти и се анализират примери за решения на типични проблеми. За студенти и слушатели на програми за висше професионално образование.

Конаков В.Д. ППИ. WP BRP. Издателство на Настоятелството на Механическия факултет на Московския държавен университет, 2012. № 2012.

Този учебник се базира на специален курс, избран от студента, прочетен от автора в Механико-математическия факултет на Московския държавен университет. М.В. Ломоносов през 2010-2012 академични години. Наръчникът запознава читателя с параметричния метод и неговия дискретен аналог, разработен наскоро от автора на ръководството и неговите колеги съавтори. Той обединява материали, които преди това се съдържаха само в редица статии в списанията. Без да се стреми към максимална универсалност на изложението, авторът се стреми да демонстрира възможностите на метода при доказване на локални гранични теореми за сближаването на веригите на Марков към дифузионен процес и при получаване на двустранни оценки от типа на Аронсън за някои дегенерирани дифузии.

Бр. 20. Ню Йорк: Springer, 2012.

Тази публикация е колекция от избрани статии от „Третата международна конференция по динамика на информационните системи“, проведена в Университета на Флорида, 16-18 февруари 2011 г. Целта на тази конференция беше да събере учени и инженери от индустрията, правителството и академичните среди. за да могат да обменят нови открития и резултати по въпроси, свързани с теорията и практиката на динамиката на информационната система Динамика на информационната система: Математическото откритие е съвременно изследване и е предназначено за студенти и изследователи, които се интересуват от най-новите открития в теорията на информацията и динамиката Учените от други дисциплини също могат да се възползват от прилагането на нови разработки в своите изследователски области.

Палвелев Р., Сергеев А. Г. Математически институт Труди. В.А. Институт Стеклов на РАН. 2012. Т. 277. С. 199-214.

Изследвана е адиабатната граница в хиперболичните уравнения на Ландау-Гинзбург. Тази граница се използва за установяване на съответствие между решенията на уравненията на Гинзбург-Ландау и адиабатни траектории в модулното пространство на статичните решения, наречени вихри. Мантън предложи евристичен адиабатичен принцип, постулирайки, че всяко решение на уравненията на Гинзбург-Ландау с достатъчно малка кинетична енергия може да бъде получено като смущение на някаква адиабатна траектория. Строго доказателство за този факт беше открито наскоро от първия автор

Даваме изрична формула за квазиизоморфизъм между оперите Hycomm (хомологията на модулното пространство на стабилни криви от род 0) и BV / Δ (коефициентът на хомотопията на операта на Баталин-Вилковиски от BV-оператора). С други думи, ние извличаме еквивалентност на Hycomm-алгебри и BV-алгебри, подсилени с хомотопия, която тривиализира BV-оператора. Тези формули са дадени в термините на графиките на Гивентал и са доказани по два различни начина. Едното доказателство използва дадено групово действие, а другото доказателство преминава през верига от явни формули за резолюции на Hycomm и BV. Вторият подход дава по-специално хомологично обяснение на действието на Givetal групата върху Hycomm-алгебри.

Под научно. под редакцията на А. Михайлов, кн. 14. М.: Социологически факултет на Московския държавен университет, 2012.

Статиите в тази колекция са написани въз основа на доклади, направени през 2011 г. във Факултета по социология на Московския държавен университет. М.В. Ломоносов на заседание на XIV интердисциплинарен годишен научен семинар „Математическо моделиране на социални процеси“ на име Герой на социалистическия труд академик А.А. Самара.

Изданието е предназначено за изследователи, преподаватели, студенти от университети и научни институции на Руската академия на науките, интересуващи се от проблемите, разработването и прилагането на методологията на математическото моделиране на социалните процеси.

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НАЦИОНАЛНО ИЗСЛЕДВАНЕ ЯДРЕН УНИВЕРСИТЕТ "МЕФИ" Т. И. Бухарова, В. Л. Каминин, А. Б. Костин, Д. С. Ткаченко Лекционен курс по обикновени диференциални уравнения като учебник за студенти от висши учебни заведения Москва 2011 UDC 517.9 BBK 22.161.6 B94 Бухарова Т.И., Каминин В.Л., Костин А.Б., Ткаченко Д.С. Курс лекции по обикновени диференциални уравнения: Учебник. - М.: NRNU MEPhI, 2011. - 228 с. Учебникът е базиран на лекционен курс, изнасян от авторите в Московския инженерно-физически институт в продължение на много години. Предназначен е за студенти от NRNU MEPhI от всички факултети, както и за студенти с напреднала математическа подготовка. Наръчникът е изготвен в рамките на Програмата за създаване и развитие на NRNU MEPhI. Рецензент: доктор по физ.-математика. Науки Н.А. Кудряшов. ISBN 978-5-7262-1400-9 © Национален изследователски ядрен университет MEPhI, 2011 Съдържание Предговор. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 5 I. Въведение в теорията на обикновените диференциални уравнения Основни понятия. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Проблем с Коши. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 6 6 11 II. Съществуване и уникалност на решение на задачата на Коши за уравнение от първи ред. Теорема за уникалност за OLE от първи ред. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Съществуване на решението на проблема на Коши за OÄE от първи ред. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Продължаване на решението за OÄE от първа поръчка. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... III. Задача на Коши за нормална система от n-ти ред Основни понятия и някои спомагателни свойства на векторни функции. ... ... ... Уникалност на решението на проблема Коши за нормална система. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ; ... Понятието метрично пространство. Принцип на дадените изображения. ... ... ... ... ... Теореми за съществуването и уникалността за решаване на задачата на Коши за нормални системи. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 14 14 23 34 38 38 43 44 48 IV. Някои класове обикновени диференциални уравнения, решени в уравнение на квадратури с разделими променливи. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Линейни OÄE от първа поръчка. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Хомогенни уравнения. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Уравнението на Вернули. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Уравнение в общите диференциали. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 55 55 58 63 64 65 V. 67 Уравнения от първи ред, които не са разрешени по отношение на производната Теорема за съществуването и уникалността на решението на DE, която не е разрешена по отношение на производната. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Специално решение. Кривата на дискриминанта. Обикалям. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Метод за въвеждане на параметър. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Уравнението на Лагран. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Уравнението на Клеро. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Vi. Системи на линейни ODE Основни понятия. Теорема за съществуването и уникалността на решението на задачата Хомогенни системи на линейни DE. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Определител на Воронски. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Интегрирани решения за хомогенна система. Преход към истински ÔСР. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Нехомогенни системи с линейни OÄE. Метод на изменение на константите. ... ... ... ... Хомогенни системи с линейни OÄE с постоянни коефициенти. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Експоненциална функция на матрицата. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 3 67 70 77 79 81 85 Коши 85. ... ... 87. ... ... 91. ... ... ... ... ... 96 97. ... ... сто . ... ... 111 Нехомогенни системи с линейна DE с постоянни коефициенти. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 116 VII. Линейни ODE от висок ред Редукция до система от линейни ODE. Теорема за съществуването и уникалността на решението на задачата на Коши. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Хомогенен линеен OÄE от висок ред. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Свойства на сложни решения на хомогенни линейни OÄE от висок ред. Преходът от сложен SSS към реален. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Нехомогенни линейни DE от висок ред. Метод на изменение на константите. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Хомогенни линейни OÄE от висок порядък с постоянни коефициенти. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Нехомогенен линеен ODE от висок ред с постоянни коефициенти. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 126 VIII. Теория на стабилността Основни понятия и определения, свързани със стабилността. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Устойчивост на решения на линейна система. ... ... ... ... ... Теореми за устойчивост на Ляпунов. ... ... ... ... ... ... ... ... ... Стабилност при първо приближение. ... ... ... ... ... ... Поведение на фазовите траектории близо до точката на почивка 162. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 126 128 136 139 142 150 162 168 172 182 187 IX. Първи интеграли на системи от ODE 198 Първи интеграли на автономни системи от обикновени диференциални уравнения 198 Полуавтономни системи на ODE. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 205 Симетрична нотация на OÄU системи. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 206 X. Частни диференциални уравнения от първи ред Хомогенни линейни диференциални уравнения за частични процеси от първи ред. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Квазилинейни частични диференциални уравнения от първи ред. ... ... ... Задачата на Коши за квазилинейно диференциално уравнение от първи ред от първи ред. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Библиография. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... -4-210. ... ... ... ... 210. ... ... ... ... 212. ... ... ... ... 216. ... ... ... ... 223. ... ... ... ... 227 ПРЕДГОВОР При подготовката на книгата авторите си поставят за цел да събират на едно място и да представят в достъпна форма информация по повечето въпроси, свързани с теорията на обикновените диференциални уравнения. Следователно, в допълнение към материала, включен в задължителната учебна програма на курса на обикновените диференциални уравнения, преподавани в NRNU MEPhI (и в други университети), наръчникът включва и допълнителни въпроси, които по правило нямат достатъчно време за лекции, но които ще бъдат полезни за по-добро разбиране предмет и ще бъде полезен на настоящите студенти в бъдещите им професионални дейности. Математически строги доказателства са дадени за всички твърдения на предложеното ръководство. Тези доказателства по правило не са оригинални, но всички те са преработени в съответствие със стила на представяне на математическите курсове в MEPhI. Според широко разпространеното мнение сред учителите и учените математическите дисциплини трябва да се изучават с пълни и подробни доказателства, като постепенно се преминава от просто към сложно. Авторите на това ръководство са на същото мнение. Теоретичната информация, дадена в книгата, е подкрепена от анализ на достатъчен брой примери, което, надяваме се, ще опрости изучаването на материала от читателя. Наръчникът е адресиран до университетски студенти с напреднала математическа подготовка, на първо място, студенти от NRNU MEPhI. В същото време ще бъде полезно и на всички, които се интересуват от теорията на диференциалните уравнения и използват този клон на математиката в работата си. -5- Глава I. Въведение в теорията на обикновените диференциални уравнения 1. 1. Основни понятия В цялото ръководство ha, bi ще означава всеки от множествата (a, b) ,, (a, b] ,, получаваме x0 2 Zx ln 4C + 3 u (t) v (t) dt5 Zx v (t) dt. Ln C 6 x0 x0 След потенциране на последното неравенство и прилагане на (2.3), имаме 2 x 3 Zx Z u (x) 6 C + u (t) v (t) dt 6 C exp 4 v (t) dt5 x0 x0 за всички x 2 [1, 1]. Оценете разликата jf (x, y2) f (x, y1) j \u003d sin x y1 y2 6 за всички (x , y) 2 G. По този начин f удовлетворява условието на Липшиц с L \u003d 1, всъщност дори с L \u003d sin 1 в y. Производната fy0 в точките (x, 0) 6 \u003d (0, 0) дори не съществува. Следната теорема, която е интересна сама по себе си, ще ни позволи да докажем уникалността на решението на задачата на Коши: Теорема 2.1 (За оценка за разликата на две решения) Нека G е област 2 в R и f (x, y) 2 CG и отговаря на условието на Липшиц в G. y с константа L. Ако y1, y2 са две решения на уравнението y 0 \u003d f (x, y) на интервал, тогава важи неравенството (оценка): jy2 (x) y1 (x) j 6 jy2 (x0) y1 (x0) j exp L (x x0) 6 y1 за всички x 2. -19- y2 Доказателство. По дефиниция 2.2 от решението на уравнение (2.1) получаваме, че 8 x 2 точки x, y1 (x) и x, y2 (x) 2 G. За всички t 2 имаме правилните равенства y10 (t) \u003d ft, y1 (t ) и y20 (t) \u003d ft, y2 (t), които интегрираме по t на интервала, където x 2. Интеграцията е законна, тъй като дясната и лявата страна са непрекъснати функции. Получаваме системата от равенства Zx y1 (x) y1 (x0) \u003d x0 Zx y2 (x) y2 (x0) \u003d f t, y1 (t) dt, f t, y2 (t) dt. x0 Изваждайки едното от другото, имаме jy1 (x) y2 (x) j \u003d y1 (x0) y2 (x0) + Zx hft, y1 (t) ift, y2 (t) dt 6 x0 Zx 6 y1 (x0) y2 ( x0) + ft, y1 (t) ft, y2 (t) dt 6 x0 Zx 6 y1 (x0) y2 (x0) + L y1 (t) y2 (t) dt. x0 Обозначаваме C \u003d y1 (x0) y2 (x0)\u003e 0, v (t) \u003d L\u003e 0, u (t) \u003d y1 (t) След това, от неравенството на Gronwall - Vellman, получаваме оценката: jy2 (x) y1 (x) j 6 jy2 (x0) y1 (x0) j exp L (x x0) y2 (t)\u003e 0. за всички x 2. Теоремата е доказана. Като следствие от доказаната теорема получаваме теорема за уникалност за решението на задачата на Коши (2. 1), (2.2). Следствие 1. Нека функцията f (x, y) 2 C G и удовлетвори в G условието на Липшиц в y, а функциите y1 (x) и y2 (x) са две решения на уравнение (2.1) на същия интервал и x0 2. Ако y1 (x0) \u003d y2 (x0), тогава y1 (x) y2 (x) включен. Доказателства. Нека разгледаме два случая. -20- 1. Нека x\u003e x0, тогава от теорема 2. 1 следва, че h i, което е y1 (x) y1 (x) y2 (x) 6 0 exp L (x x0), y2 (x) за x\u003e x0. 2. Нека x 6 x0, направим промяната t \u003d x, след това yi (x) \u003d yi (t) y ~ i (t) за i \u003d 1, 2. Тъй като x 2, тогава t 2 [x0, x1] и равенството y ~ 1 (x0) \u003d y ~ 2 (x0). Нека разберем кое уравнение удовлетворява y ~ i (t). Следващата верига от равенства е вярна: d y ~ i (t) \u003d dt d ~ yi (x) \u003d dx f x, yi (x) \u003d f (t, y ~ i (t)). Тук използвахме правилото за диференциране на сложна функция и факта, че yi (x) са решения на уравнение (2.1). Тъй като функцията f ~ (t, y) f (t, y) е непрекъсната и отговаря на условието на Липшиц в y, то по теорема 2.1 имаме, че y ~ 1 (t) y ~ 2 (t) на [x0, x1 ], т.е. y1 (x) y2 (x) на. Комбинирайки и двата разгледани случая, получаваме изявлението на следствието. Следствие 2. (върху непрекъсната зависимост от първоначалните данни) Нека функцията f (x, y) 2 CG и удовлетвори в G условието на Липшиц по отношение на y с константа L, а функциите y1 (x) и y2 (x) са решения на уравнение (2.1) дефиниран на. Î означаваме l \u003d x1 x0 и δ \u003d y1 (x0) y2 (x0). Тогава неравенството y1 (x) y2 (x) 6 δ eL l е вярно за 8 x 2. Доказателството следва непосредствено от теорема 2. 1. Неравенството от следствие 2 се нарича оценка на устойчивостта на решение от първоначалните данни. Значението му е, че ако при x \u003d x0 решенията са „близки“, то на краен сегмент те също са „близки“. Теорема 2.1 дава важна оценка за приложения за модула на разликата на две решения, а следствие 1 - уникалността на решението на задачата на Коши (2.1), (2.2). Съществуват и други достатъчни условия за уникалност, едно от които сега представяме. Както беше отбелязано по-горе, геометричната уникалност на решението на задачата на Коши означава, че не повече от една интегрална крива на уравнение (2.1) може да премине през точката (x0, y0) на областта G. Теорема 2.2 (Осгуд за уникалността). Нека функцията f (x, y) 2 CG и за 8 (x, y1), (x, y2) 2 G неравенството f (x, y1) f (x, y2) 6 6 ϕ jy1 y2 j, където ϕ ( u)\u003e 0 за u 2 (0, β], ϕ (u) е непрекъснат и Zβ du! +1, когато ε! 0+. Тогава през точката (x0, y0) на областта ϕ (u) ε G има най-много една интегрална крива (2.1). -21- Доказателство. Нека съществуват две решения y1 (x) и y2 (x) на уравнение (2.1), така че y1 (x0) \u003d y2 (x0) \u003d y0, означаваме z (x) \u003d y2 (x) y1 (x). dyi Тъй като \u003d f (x, yi), за i \u003d 1, 2, то равенството dx dz \u003d f (x, y2) f (x, y1) важи за z (x). dx dz \u003d f (x, y2) f (x, y1) jzj 6 ϕ jzj jzj, т.е. тогава z dx 1 d е неравенството jzj2 6 ϕ jzj jzj, от което за jzj 6 \u003d 0 следва 2 dx двойно неравенство: Zjz2 j Zx2 dx 6 x1 2 d jzj 6 2 jzjϕ jzj Zx2 dx, (2.5) x1 jz1 j където интегрирането се извършва през всеки интервал, на който z (x)\u003e 0 и zi \u003d z (xi), i \u003d 1, 2. По предположение, z (x) 6 0 и освен това е непрекъснат, така че има такъв сегмент, изберете го и го поправете. Помислете за множествата n o X1 \u003d x x< x1 и z(x) = 0 , n o X2 = x x > x2 и z (x) \u003d 0. Поне един от тези набори не е празен, тъй като z (x0) \u003d 0 и x0 62. Нека, например, X1 6 \u003d ∅, той е ограничен по-горе, следователно 9 α \u003d sup X1. Обърнете внимание, че z (α) \u003d 0, т.е. α 2 X1, тъй като приемаме, че z (α)\u003e 0, по силата на непрекъснатост, ще имаме z (x)\u003e 0 на някакъв интервал α δ1, α + δ1 и това противоречи на дефиницията α \u003d sup X1. От условието z (α) \u003d 0 следва, че α< x1 . По построению z(x) > 0 за всички x 2 (α, x2] и по силата на непрекъснатостта на z (x)! 0+ за x! Α + 0. Повтаряме разсъжденията при извеждането (2.5), интегрирайки върху сегмента [α + δ, x2], където x2 избрано по-горе и фиксирано, а δ 2 (0, x2 α) е произволно, получаваме неравенството: Zjz2 j Zx2 dx 6 α + δ d jzj2 6 2 jzjϕ jzj jz (α + δ) j Zx2 dx. α + δ В тази двойна неравенство нека оставим δ! 0+, тогава z (α + δ)! z (α) \u003d 0, от Zjz2 jd jzj2! +1, чрез условието за непрекъснатост на z (x), а след това интегралът 2 jzjϕ jzj от теоремата. jz (α + δ) j -22- Дясната страна на неравенството Rx2 dx \u003d x2 α δ 6 x2 α е ограничена от α + δ отгоре с крайна стойност, което е едновременно невъзможно. че под проблема на Коши (2.1), (2.2) имаме предвид следния проблем за намиране на функцията y (x): 0 y \u003d f (x, y), (x, y) 2 G, y (x0) \u003d y0, (x0, y0 ) 2 G, където f (x, y) 2 CG и (x0, y0) 2 G; G е домейн в R2. Лема 2. 2. Нека f (x, y) 2 CG. Тогава важат следните твърдения: 1 ) всяко повторно Решението ϕ (x) на уравнение (2.1) на интервала ha, bi удовлетворяващо (2.2) x0 2 ha, bi е решение на ha, bi на интегралното уравнение Zx y (x) \u003d y0 + f τ, y (τ) dτ ; (2.6) x0 2) ако ϕ (x) 2 C ha, bi е решение на интегралното уравнение (2.6) върху ha, bi, 1 където x0 2 ha, bi, тогава ϕ (x) 2 C ha, bi е решение на (2.1 ), (2.2). Доказателства. 1. Нека ϕ (x) е решение на (2.1), (2.2) на ha, bi. Тогава, чрез забележка 2.2, ϕ (x) 2 C ha, bi и 8 τ 2 ha, bi имаме равенството ϕ 0 (τ) \u003d f τ, ϕ (τ), интегрирайки от x0 до x, получаваме (за всеки x 2 ha , bi) Rx ϕ (x) ϕ (x0) \u003d f τ, ϕ (τ) dτ и ϕ (x0) \u003d y0, т.е. ϕ (x) е решение на (2.6). x0 2. Нека y \u003d ϕ (x) 2 C ha, bi е решение на (2.6). Тъй като f x, ϕ (x) е непрекъснат на ha, би по хипотеза, следва, че Zx ϕ (x) y0 + f τ, ϕ (τ) dτ 2 C 1 ha, bi x0 като интеграл с променлива горна граница на непрекъсната функция. Разграничавайки последното равенство по отношение на x, получаваме ϕ 0 (x) \u003d f x, ϕ (x) 8 x 2 ha, bi и, очевидно, ϕ (x0) \u003d y0, т.е. ϕ (x) е решение на проблема на Коши (2.1), (2.2). (Както обикновено, производната в края на сегмент се разбира като съответната едностранна производна.) -23- Забележка 2. 6. Лема 2. 2 се нарича лема за еквивалентността на задачата на Коши (2.1), (2.2) на интегралното уравнение (2.6). Ако докажем, че съществува решение на уравнение (2.6), тогава получаваме разрешимостта на задачата на Коши (2.1), (2.2). Този план е реализиран в следната теорема. Теорема 2.3 (Теорема за локално съществуване). Нека правоъгълникът P \u003d (x, y) 2 R2: jx x0 j 6 α, jy y0 j 6 β лежи изцяло в областта G на функцията f (x, y). Функцията f (x, y) 2 C G и удовлетворява условието на Липшиц по отношение на n y o в G с константа L. Î означава β M \u003d max f (x, y), h \u003d min α, M. Когато на интервала P съществува решение на проблема на Соши (2.1), (2.2). Доказателства. Нека установим съществуването на решение на интегралното уравнение (2.6) на интервал. За целта разгледайте следната последователност от функции: Zx y0 (x) \u003d y0, y1 (x) \u003d y0 + f τ, y0 (τ) dτ, ... x0 Zx yn (x) \u003d y0 + f τ, yn 1 (τ ) dτ и др. x0 1. Нека покажем, че 8 n 2 N функции yn (последователни приближения) са дефинирани, т.е. показваме, че за 8 x 2 неравенството yn (x) y0 6 β е валидно за всички n \u003d 1, 2 ,. ... ... Използваме метода на математическата индукция (MMI): а) основа на индукцията: n \u003d 1. Zx y1 (x) y0 \u003d f τ, y0 (τ) dτ 6 M0 x x0 6 M h 6 β, x0 където M0 \u003d max f (x , y0) за jx x 0 j 6 α, M0 6 M; б) предположението и стъпката на индукция. Нека неравенството е вярно за yn 1 (x), нека го докажем за yn (x): Zx yn (x) y0 \u003d f τ, yn 1 (τ) dτ 6 M x x0 И така, ако jx x0 j 6 h, тогава yn ( x) y0 6 β 8 n 2 N. -24- x0 6 M h 6 β. Нашата цел е да докажем сближаването на наследника на най-близкото 1 yk (x) k \u003d 0, за това е удобно да го представим под формата: yn \u003d y0 + n X yk 1 (x) \u003d y0 + y1 yk (x) y0 + y2 y1 +. ... ... + yn yn 1, k \u003d 1 т.е. поредици от частични суми от функционален ред. 2. Оценете условията на тази поредица, като докажете следните неравенства 8 n 2 N и 8 x 2: x0 jn yn (x) yn 1 6 M0 L 6 M0 Ln n! Нека приложим метода на математическа индукция: jx n 1 1 hn. н! (2.7) а) индукционна основа: n \u003d 1.y1 (x) x y 0 6 M0 x0 6 M0 h, доказано по-горе; б) предположението и стъпката на индукция. Нека неравенството е вярно за n, ние го показваме за n: Zx yn (x) yn 1 f τ, yn 1 (τ) \u003d f τ, yn 2 (τ) 1, до dτ 6 x0 Zx i yn 6 от условието на Липшиц 6 L h yn 1 2 dτ 6 x0 h Zx i 6 от индукционната хипотеза 6 L n 2 M0 L jτ x0 jn 1 dτ \u003d (n 1)! x0 M0 Ln 1 \u003d (n 1)! Zx jτ n 1 x0 j M0 Ln 1 jx x0 jn M0 L n 6 dτ \u003d (n 1)! n n! 1 x0 Rx Тук използвахме факта, че интегралът I \u003d jτ x0 за x\u003e x0 за x< x0 Rx I = (τ x0 Rx I = (x0 n 1 x0) τ)n 1 dτ = dτ = x0 (x (x0 x)n n Таким образом, неравенства (2.7) доказаны. -25- x0)n и n = jx x0 jn . n x0 jn 1 dτ : hn . 3. Рассмотрим тождество yn = y0 + ним функциональный ряд: y0 + 1 P n P yk (x) yk 1 (x) и связанный с k=1 yk 1 (x) . Частичные суммы это- yk (x) k=1 го ряда равны yn (x), поэтому, доказав его сходимость, получим сходимость 1 последовательности yk (x) k=0 . В силу неравенств (2.7) функциональный ряд мажорируется на отрезке k 1 P k 1 h числовым рядом M0 L . Этот числовой ряд сходится k! k=1 по признаку Даламбера, так как M0 Lk hk+1 k! ak+1 = ak (k + 1)! M0 L k 1 hk = h L ! 0, k+1 k ! 1. Тогда по признаку Вейерштрасса о равномерной сходимости функциональный 1 P ряд y0 + yk (x) yk 1 (x) сходится абсолютно и равномерно на отрезk=1 ке , следовательно и функциональная последовательность 1 yk (x) k=0 сходится равномерно на отрезке к некоторой функ- ции ϕ(x), а так как yn (x) 2 C , то и ϕ(x) 2 C как предел равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций. 4. Рассмотрим определение yn (x): Zx yn (x) = y0 + f τ, yn 1 (τ) dτ (2.8) x0 – это верное равенство при всех n 2 N и x 2 . У левой части равенства (2.8) существует предел при n ! 1, так как yn (x) ⇒ ϕ(x) на , поэтому и у правой части (2.8) тоже существует Rx предел (тот же самый). Покажем, что он равен функции y0 + f τ, ϕ(τ) dτ , x0 используя для этого следующий критерий равномерной сходимости функциональной последовательности: X yn (x) ⇒ ϕ(x) при n ! 1 () sup yn (x) y(x) ! 0 при n ! 1 . x2X X Напомним, что обозначение yn (x) ⇒ ϕ(x) при n ! 1 принято использовать для равномерной на множестве X сходимости функциональной последователь 1 ности yk (x) k=0 к функции ϕ(x). -26- Покажем, что y0 + Rx X f τ, yn 1 (τ) dτ ⇒ y0 + x0 здесь X = . Для этого рассмотрим f τ, yn 1 (τ) f τ, ϕ(τ) dτ 6 x2X x0 Zx h i yn 1 (τ) 6 по условию Липшица 6 sup L ϕ(τ) dτ 6 x2X x0 6 L h sup yn 1 (τ) ϕ(τ) ! 0 при n ! 1 τ 2X X в силу равномерной при n ! 1 сходимости yn (x) ⇒ ϕ(x). Таким образом, переходя к пределу в (2.8), получим при всех x 2 верное равенство Zx ϕ(x) = y0 + f τ, ϕ(τ) dτ, x0 в котором ϕ(x) 2 C . По доказанной выше лемме 2. 2 ϕ(x) – решение задачи Коши (2.1), (2.2). Теорема доказана. Замечание 2. 7. В теореме 2. 3 установлено существование решения на отрезке . По следствию 1 из теоремы 2. 1 это решение единственно в том смысле, что любое другое решение задачи Коши (2.1), (2.2), определенное на совпадает с ним на этом отрезке. Замечание 2. 8. Представим прямоугольник P в виде объединения двух (пересекающихся) прямоугольников P = P [ P + , (рис. 2. 3) где n P = (x, y) n P = (x, y) + x 2 ; x 2 ; -27- jy jy o y0 j 6 β , o y0 j 6 β . Рис. 2. 3. Объединение прямоугольников Обозначим f (x, y . M − = max − f (x, y , M + = max + P P Повторяя,с очевидными изменениями, доказательство теоремы 2. 3 отдель но для P + или P − , получим существование (и единственность) решения на отрезке n o β + + , где h = min α, M + или, соответственно, на , n o β − . Отметим, что при этом, вообще говоря, h+ 6= h− , а h h = min α, M − из теоремы 2. 3 есть минимум из h+ и h− . Замечание 2. 9. Существование решения задачи (2.1), (2.2) теоремой 2. 3 гарантируется лишь на некотором отрезке . В таком случае говорят, что теорема является локальной. Возникает вопрос: не является ли локальный характер теоремы 2. 3 следствием примененного метода ее доказательства? Может быть, используя другой метод доказательства, можно установить существование решения на всем отрезке , т.е. глобально, как это было со свойством единственности решения задачи Коши (2.1), (2.2)? Следующий пример показывает, что локальный характер теоремы 2. 3 связан с «существом» задачи, а не с методом ее доказательства. Пример 2. 1. Рассмотрим задачу Коши 0 y = −y 2 , (2.9) y(0) = 1 n o в прямоугольнике P = (x, y) jxj 6 2, jy − 1j 6 1 . Функция f (x, y) = −y 2 непрерывна в P и fy0 = −2y 2 C P , поэтому все условия тео1 β , α = и ремы 2. 3 выполнены, а M = max f (x, y) = 4. Тогда h = min P P M 4 -28- теорема 2. 3 гарантирует существование решения на отрезке 1 1 . Решим − , 4 4 эту задачу Коши, используя «разделение переменных»: − dy = dx y2 () y(x) = 1 . x+C 1 – решение задачи Коши (2.9). x+1 График решения представлен на рис. (2.4), из которого видно, что решение 1 при x < x = − покидает прямоугольник P , а при x 6 −1 даже не 2 существует. Подставляя x = 0, найдем C = 1 и y(x) = Рис. 2. 4. Локальный характер разрешимости задачи Коши В связи с этим возникает вопрос об условиях, обеспечивающих существование решения на всем отрезке . На приведенном примере мы видим, что решение покидает прямоугольник P , пересекая его «верхнее» основание, поэтому можно попробовать вместо прямоугольника P в теореме 2. 3 взять полосу: o n 2 A 6 x 6 B − 1 < y < +1 , A, B 2 R. Q = (x, y) 2 R Оказывается, что при этом решение существует на всем отрезке A, B , если f (x, y) удовлетворяет условию Липшица по переменной y в Q. А именно, имеет место следующая важная для приложений теорема. Теорема 2. 4. Пусть функция f (x, y) определена, непрерывна и удовлетворяет условию Липшица по y с константой L в полосе Q = (x, y) 2 R2: A 6 x 6 B, y 2 R , -29- где A, B 2 R. Òогда при любых начальных данных x0 2 , y0 2 R т.е. (x0 y0) 2 Q существует и притом единственное решение задачи Êоши (2.1), (2.2), определенное на всем . Доказательство. Áудем считать, что x0 2 (A, B). Проведем рассуждения по схеме теоремы 2. 3 отдельно для полосы o n + 2 x 2 y 2 R и Q = (x, y) 2 R n Q = (x, y) 2 R2 o x 2 y 2 R . + Если x0 = A или x0 = B, то один из этапов рассуждений (для Q или, соответственно, для Q) отсутствует. + Возьмем полосу Q и построим последовательные приближения yn+ (x), + как в теореме 2. 3. Поскольку Q не содержит ограничений на размер по y, то пункт 1) доказательства теоремы 2. 3 не проверяем. Далее, как в предыдущей теореме, от последовательности переходим к ряду с частичными суммами yn+ (x) = y0 + n X yk+ (x) yk+ 1 (x) , где x 2 . k=1 Повторяя рассуждения, доказываем оценку вида (2.7) x0 jn x0)n n 1 (B 6 M0 L 6 M0 L (2.10) n! n! при всех x 2 ; здесь M0 = max f (x, y0) при x 2 , откуда yn+ (x) yn+ 1 n 1 jx yn+ (x) как и выше в теореме 2. 3 получим, что ⇒ ϕ+ (x), n ! 1, причем ϕ+ (x) 2 C , ϕ+ (x) – решение интегрального уравнения (2.6) на . Возьмем полосу Q и построим последовательность yn (x). Действуя ана логично, получим, что 9 ϕ (x) 2 C , ϕ (x) – решение интегрального уравнения (2.6) на . Определим функцию ϕ(x) как «сшивку» по непрерывности ϕ+ и ϕ , т.е. + ϕ (x), при x 2 , ϕ(x) = ϕ (x), при x 2 . Отметим, что ϕ+ (x0) = ϕ (x0) = y0 и потому ϕ(x) 2 C . Функции ϕ (x) по построению удовлетворяют интегральному уравнению (2.6), т.е. Zx ϕ (x) = y0 + f τ, ϕ (τ) dτ, x0 -30- где x 2 для ϕ+ (x) и x 2 для ϕ (x), соответственно. Следовательно, при любом x 2 функция ϕ(x) удовлетворяет инте 1 гральному уравнению (2.6). Тогда по лемме 2. 2, ϕ(x) 2 C и является решением задачи Коши (2.1), (2.2). Теорема доказана. Из доказанной теоремы 2. 4 нетрудно получить следствие для интервала (A, B) (открытой полосы). Ñледствие. Пусть функция f (x, y) определена, непрерывна в открытой полосе Q = (x, y) 2 R2: x 2 (A, B), y 2 R , причем A и B 2 R могут быть символами 1 и +1 соответственно. Предположим, что f (x, y) удовлетворяет в полосе Q условию: 9 L(x) 2 C(A, B), такая, что 8 x 2 (A, B) и 8 y1 , y2 2 R выполняется неравенство f (x, y2) f (x, y1) 6 L(x) jy2 y1 j. Òогда при любых начальных данных x0 2 (A, B), y0 2 R т.е. (x0 y0) 2 Q существует и притом единственное решение задачи Êоши (2.1), (2.2), определенное на всем (A, B). Доказательство. Для любой полосы Q1 = (x, y) 2 R2: x 2 , y2R , где A1 > A, B1< B, лежащей строго внутри Q и содержащей (x0 , y0), справедлива теорема 2. 4, так как при доказательстве оценок вида (2.10), необходимых для обоснования равномерной на сходимости последовательности yn (x) , используются постоянные M0 = max f (x, y0) при x 2 и L = max L(x) x 2 . Эти постоянные не убывают при расширении (A, B). Возьмем последовательность расширяющихся отрезков , удовлетворяющих условиям B > Bk + 1\u003e Bk за всички k 2 N; 1) А< Ak+1 < Ak , 2) x0 2 при всех k 2 N; 3) Ak ! A, Bk ! B при k ! 1. Заметим сразу, что S = (A, B) и, более того, для любого x 2 (A, B) k найдется номер x 2 . N (x) 2 N, такой, что при всех -31- k > N държи Нека докажем това спомагателно твърдение за случая A, B 2 R (т.е. A и B са крайни; ако A \u003d 1 или B \u003d + 1, тогава по подобен начин). Вземете x A B x, произволно x 2 (A, B) и δ (x) \u003d min, δ (x)\u003e 0. За 2 2 числото δ от конвергенцията Ak! A и Bk! B получаваме, че 9 N1 (δ) 2 N: 8 k\u003e N1, A< Ak < A + δ < x, 9 N2 (δ) 2 N: 8 k > N2, x< B δ < Bk < B. Тогда для N = max N1 , N2 справедливо доказываемое свойство. Построим последовательность решений задачи Коши (2.1), (2.2) Yk (x), применяя теорему 2. 4 к соответствующему отрезку . Любые два из этих решений совпадают на общей области определения по следствию 1 из теоремы 2.1. Таким образом, два последовательных решения Yk (x) и Yk+1 (x) совпадают на , но Yk+1 (x) определено на более широком отрезке . Построим решение на всем (A, B). Возьмем и построим ϕ(x) – решение задачи (2.1), (2.2) на всем (по теореме 2. 4). Затем продолжим это решение на , . . . , . . . Получим, что решение ϕ(x) определено на всем (A, B). Докажем его единственность. Предположим, что существует решение ψ(x) задачи Коши (2.1), (2.2), также определенное на всем (A, B). Докажем, что ϕ(x) ψ(x) при любом x 2 (A, B). Пусть x – произвольная точка (A, B), найдется номер N (x) 2 N, такой, что x 2 при всех k > Н. Прилагайки следствие 1 в раздел 2.1 (т.е. теоремата за уникалността), получаваме, че ϕ (t) ψ (t) за всички t 2 и по-специално за t \u003d x. Тъй като x е произволна точка (A, B), се доказва уникалността на решението и заедно с това следствието. Забележка 2. 10. В доказаното следствие първо срещнахме концепцията за продължаване на решение на по-широк набор. Ще го разгледаме по-подробно в следващия раздел. Ето няколко примера. p Пример 2. 2. За уравнението y 0 \u003d ejxj x2 + y 2 разберете дали неговото решение съществува върху всички (A, B) \u003d (1, +1). Помислете за това уравнение в "лентата" Q \u003d R2, функцията p jxj f (x, y) \u003d e x2 + y 2 ∂f y \u003d ejxj p, fy0 6 ejxj \u003d L (x). ∂y x2 + y 2 Съгласно изявление 2. 1 от раздел 2.1, функцията f (x, y) удовлетворява условието на Липшиц по отношение на y с „константа“ L \u003d L (x), x е фиксирана. Тогава всички условия на следствието са изпълнени и за всички първоначални данни (x0, y0) 2 R2 съществува решение на проблема на Коши и освен това е уникално на (1, +1). Имайте предвид, че самото уравнение в квадратури не е решено, но приблизителните решения могат да бъдат конструирани числено. е дефиниран и непрекъснат в Q, -32- Пример 2. 3. За уравнението y 0 \u003d ex y 2 разберете дали съществуват решения, дефинирани на R. Ако отново разгледаме това уравнение в „лентата“ Q \u003d R2, където функцията ∂ ff (x, y) \u003d ex y 2 е дефиниран и непрекъснат, и \u003d 2yex, тогава можем да наблюдаваме ∂y, че състоянието на следствието е нарушено, а именно, няма непрекъсната функция L (x) такава, че f (x, y2) f (x, y1) 6 L (x) jy2 y1 j за всички y1, y2 2 R. Наистина, f (x, y2) f (x, y1) \u003d ex jy2 + y1 j jy2 y1 j и изразът jy2 + y1 j не е ограничено за y1, y2 2 R. Следователно следствието не е приложимо. Нека решим това уравнение чрез "разделяне на променливи", получаваме общото решение: "y (x) \u003d 0, y (x) \u003d 1. ex + C За определеност вземаме x0 \u003d 0, y0 2 R. Ако y0 \u003d 0, тогава y (x ) 0 е решението на задачата на Коши на R. 1 е решението на задачата на Коши За y0 2 [1, 0) ех е дефинирано за всички x 2 R, а за y0 2 (1, 1) [(0, +1) решението не е y0 + 1 може да продължи през точката x \u003d ln. По-точно, ако x\u003e 0, тогава y0 1 решението y (x) \u003d y0 +1 е дефинирано за x 2 (1, x) и ако x< 0 x e y0 y0 < 1 , то решение определено при x 2 (x , +1). В первом случае lim y(x) = +1, а во втором – lim y(x) = 1. Если y0 6= 0, то y(x) = x!x 0 y0 +1 y0 x!x +0 -33- Для наглядности нарисуем интегральные кривые при соответствующих значениях y0 (рис. 2. 5). Рис. 2. 5. Интегральные кривые уравнения y 0 = ex y 2 Таким образом, для задачи Коши 0 y = ex y 2 , y(0) = y0 имеем следующее: 1) если y0 2 [ 1, 0], то решение существует при всех x 2 R; y0 + 1 2) если y0 < 1, то решение существует лишь при x 2 ln ; +1 ; y0 y0 + 1 . 3) если y0 > 0, тогава решението съществува само за x 2 1; ln y0 Този пример показва, че доказаното по-горе ограничение върху нарастването на функцията f (x, y) в следствието от теорема 2.4 е от съществено значение за разширяването на решението върху цялото (A, B). По подобен начин се получават примери с функцията f (x, y) \u003d f1 (x) y 1 + ε за всяко ε\u003e 0; в дадения пример ε \u003d 1 се взема само за удобство на представянето. 2. 3. Разширение на решението за дефиниция на ODE от първи ред 2. 5. Помислете за уравнението y 0 \u003d f (x, y) и оставете y (x) да бъде неговото решение на ha, bi и Y (x) неговото решение на hA , Bi и ha, bi се съдържат в hA, Bi и Y (x) \u003d y (x) на ha, bi. Тогава Y (x) се нарича разширение на разтвора y (x) до hA, Bi, а y (x) се казва, че се разширява до hA, Bi. -34- В раздел 2.2 доказахме локална теорема за съществуване за решение на проблема на Коши (2.1), (2.2). При какви условия това решение може да продължи за по-широк период? Настоящият раздел е посветен на този въпрос. Основният му резултат е следният. Теорема 2.5 (относно продължаването на решението в ограничена затворена област). Нека функцията f (x, y) 2 CG и отговаря на условието на Липшиц по отношение на y в R2, а (x0, y0) е вътрешна точка на ограничена затворена област G G. След това, през точката (x0, y0), решението на уравнението y 0 \u003d f (x , y), удължен до ∂G от границата на домейна G, т.е. може да се разшири до отсечка, така че точките a, y (a) и b, y (b) да лежат върху ∂G. ∂f (x, y) е непрекъснат в ограничена, затворена, изпъкнала в y област G, тогава функцията f (x, y) удовлетворява в G условието на Липшиц в променливата y. Вижте следствието от изявление 2. 1 ∂f от раздел 2.1. Следователно тази теорема е валидна, ако е непрекъсната в ∂y G. Забележка 2. 11. Припомнете си, че ако е доказателство. Тъй като (x0, y0) е вътрешна точка на G, тогава има затворен правоъгълник № 2 P \u003d (x, y) 2 R x x0 6 α, y y0 6 β, който лежи изцяло в G. Тогава, от теорема 2.3 от т. .2.2 има h\u003e 0 такова, че на интервала съществува (и освен това уникално) решение y \u003d ϕ (x) на уравнението y 0 \u003d f (x, y). Нека първо продължим това решение вдясно до границата на домейна G, като разделим доказателството на отделни стъпки. 1. Помислете за множеството ER: за E \u003d α\u003e 0 разтворът y \u003d ϕ (x) се разширява, за да съществува решение y \u003d ϕ1 (x) на уравнението y 0 \u003d f (x, y), отговарящо на условията на Коши ϕ1 ~ b \u003d ϕ ~ b ... По този начин ϕ (x) и ϕ1 (x) са решения на сегмента ~ b h1, ~ b на едно уравнение, които съвпадат в точката x \u003d ~ b, следователно те съвпадат на целия сегмент ~ b h1, ~ b и, следователно, ϕ1 (x) е продължение на решението ϕ (x) от сегмента ~ b h1, ~ b до ~ b h1, ~ b + h1. Да разгледаме функцията ψ (x): ϕ (x), x 2 x0, ψ (x) \u003d ϕ1 (x), x 2 ~ b ~ b, h1, ~ b + h1 ~ b h1, x0 + α0 + h1, която е решение на уравнението y 0 \u003d f (x, y) и отговаря на условието на Коши ψ (x0) \u003d y0. Тогава числото α0 + h1 2 E и това противоречи на дефиницията на α0 \u003d sup E. Следователно случай 2 е невъзможен. По същия начин решението ϕ (x) се простира наляво, до сегмента, където точката е a, ϕ (a) 2 ∂G. Теоремата е напълно доказана. -37- Глава III. Задача на Коши за нормална система от n-ти ред 3. 1. Основни понятия и някои спомагателни свойства на вектор-функции В тази глава ще разгледаме нормална система от n-ти ред от вида 8\u003e t, y ,. ... ... , y y _ \u003d f 1 n 1 1\u003e,< y_ 2 = f2 t, y1 , . . . , yn , (3.1) . . . > \u003e: y_ \u003d f t, y ,. ... ... , y, n n 1 n където неизвестните (задължителни) са функциите y1 (t) ,. ... ... , yn (t), а функциите fi са известни, i \u003d 1, n, точката над функцията означава производната по отношение на t. Предполага се, че всички fi са дефинирани в областта G Rn + 1. Удобно е да се пише система (3.1) във векторна форма: y_ \u003d f (t, y), където y (t) y1 (t). ... ... , yn (t), f (t, y) f1 (t, y). ... ... , fn (t, y); няма да пишем стрелки при обозначаването на вектори за краткост. Тази нотация също ще бъде означена с (3.1). Нека точката t0, y10 ,. ... ... , yn0 лежи в G. Проблемът на Коши за (3.1) е да се намери решение ϕ (t) на система (3.1), отговарящо на условието: ϕ1 (t0) \u003d y10, ϕ2 (t0) \u003d y20, ..., ϕn (t0) \u003d yn0, (3.2) или във векторната форма ϕ (t0) \u003d y 0. Както е отбелязано в глава 1, решение на система (3.1) на интервала ha, bi се разбира като векторна функция ϕ (t) \u003d ϕ1 (t) ,. ... ... , ϕn (t), отговарящо на условията: 1) 8 t 2 ha, bi точката t, ϕ (t) лежи в G; 2) 8 t 2 ha, bi 9 d dt ϕ (t); 38 3) 8 t 2 ha, bi ϕ (t) удовлетворява (3.1). Ако такова решение допълнително удовлетворява (3.2), където t0 2 ha, bi, то то се нарича решение на проблема на Коши. Условия (3.2) се наричат \u200b\u200bначални условия или условия на Коши, а числата t0, y10 ,. ... ... , yn0 - данните на Коши (първоначални данни). В специалния случай, когато векторната функция f (t, y) (n + 1) на променливата зависи от y1 ,. ... ... , yn по линеен начин, т.е. има формата: f (t, y) \u003d A (t) y + g (t), където A (t) \u003d aij (t) - n n матрица, системата (3.1) се нарича линейна. В бъдеще ще са ни необходими свойствата на векторните функции, които ще представим тук за удобство на препратките. Правилата за събиране и умножение по число за вектори са известни от хода на линейната алгебра, тези основни операции се извършват координирано. n Ако въведем скаларното произведение x, y \u003d x1 y1 + в R. ... ... + xn yn, тогава получаваме евклидово пространство, което също ще бъде означено с Rn, с дължината s q n P на вектора jxj \u003d x, x \u003d x2k (или евклидовата норма). За скаларен k \u003d 1 продукт и дължина са валидни две основни неравенства: 1) 8 x, y 2 Rn 2) 8 x, y 2 Rn небе). x + y 6 x + y x, y 6 x (неравенство в триъгълника); y (Неравенство на Коши Ауняков - От хода на математическия анализ на втория семестър е известно, че сближаването на поредица от точки (вектори) в евклидово пространство (крайномерно) е еквивалентно на сближаването на поредици от координати на тези вектори, казват те, е равносилно на координационно сближаване. Това лесно следва от неравенствата 6: qp max x21 + ... + x2n \u003d jxj 6 n max xk.16k6n 16k6n Подобно на скаларния случай, деривата и интегралът на векторната функция са дефинирани и свойствата лесно се доказват с помощта на прехода към координати. Ето някои неравенства за векторни функции, които ще бъдат използвани по-долу. 1. За всяка векторна функция y (t) \u003d y1 (t) ,. ... ... , yn (t), интегрируемо (например непрекъснато) включено, неравенството Zb Zb y (t) dt 6 ay (t) dt a -39- (3.3) има или в координатна форма 0 Zb Zb y1 (t) dt, @ y2 (t) dt ,. ... ... , a 1 Zb a Zb q yn (t) dt A 6 y12 (t) +. ... ... yn2 (t) dt. a a Доказателство. Забележете първо, че неравенството не изключва случая b< a, для этого случая в правой части присутствует знак внешнего модуля. По определению, интеграл от вектор-функции – это предел интегральn P ных сумм στ (y) = y(ξk) tk при характеристике («мелкости») разбиения k=1 λ(τ) = max tk стремящейся к нулю. По условию στ ! k=1, N Rb y(t) dt , а по a неравенству треугольника получим στ 6 n X Zb y(ξk) tk ! k=1 при λ(τ) ! 0 y(t) dt, a (здесь мы для определенности считаем a < b). По теореме о переходе к пределу в неравенстве получим доказываемое. Случай b < a сводится к изученному, Rb Ra так как = . a b Аналоги теорем Ролля и Лагранжа отсутствуют для вектор-функций, однако можно получить оценку, напоминающую теорему Лагранжа. 2. Для любой вектор-функции x(t), непрерывно дифференцируемой на , имеет место оценка ¾приращения¿: x(b) x(a) 6 max x 0 (t) b a. (3.4) Доказательство. Неравенство (3.4) сразу получается из (3.3) при y(t) = x 0 (t). При доказательстве теоремы разрешимости для линейных систем нам понадобятся оценки с n n матрицами, которые мы сейчас и рассмотрим. 3. Пусть A(t) = aij (t) n n матрица, обозначим произведение Ax через y. Как оценить y через матрицу A и x ? Оказывается, справедливо неравенство Ax 6 A -40- 2 x, (3.5) где x = p jx1 j2 + . . . + jxn j2 , A 2 = n P ! 12 a2ij , а элементы матрицы i,j=1 A и координаты вектора x могут быть комплексными. Доказательство. Для любого i = 1, n, ai – i-я строка матрицы A, тогда: 2 2 2 yi = ai1 x1 + ai2 x2 + . . . + ain xn = ai , x 6 h i 2 6 по неравенству Коши-Áуняковского 6 jai j2 x = ! ! n n X X 2 2 aik xl = , k=1 суммируя эти неравенства по i = 1, n, имеем: 0 1 n X 2 2 2 aik A x = A y [имейл защитен] 2 2 l \u003d 1 2 x, k, i \u003d 1, откъдето следва (3.5). Определение 3. 1. Казваме, че векторна функция f (t, y) удовлетворява условието на Липшиц по отношение на векторна променлива y на множество G от променливи õ (t, y), ако 9 L\u003e 0, така че за всяко t, y , 2 t, y 2 G неравенството ft, y 2 ft, y 1 6 L y 2 y 1. Както в случая на функция от две променливи (вж. Предложение 2.1), достатъчно условие за свойството на Липшиц в „изпъкнала в у“ област G е, че частичните производни са ограничени. Нека дадем точно определение. Определение 3. 2. Областта G на променливите (t, y) се нарича изпъкнала 1 2 в y, ако за всякакви две точки t, y и t, y, лежащи в G, тя съдържа и целия сегмент, свързващ тези две точки, т.е. д. задайте n o t, y y \u003d y 1 + τ y 2 y 1, където τ 2. Изложение 3. 1. Ако областта G на променливи (t, y) е изпъкнала в y, а частичните производни ∂fi са непрекъснати и ограничени от константа l в G за ∂yj за всички i, j \u003d 1, n, тогава векторната функция ft, y удовлетворява в G условието на Липшиц по отношение на y с константата L \u003d n l. 1 2 Доказателство. Помислете за произволни точки t, y и t, y от G и 1 2 отсечката, която ги свързва, т.е. задайте t, y, където y \u003d y + τ y y1, t е фиксирано и τ 2. -41- Въвеждаме векторна функция на един скаларен аргумент g (τ) \u003d ft, y (τ), 2 1, след това g (1) g (0) \u003d ft, yft, y, а от друга страна - Z1 g (1) g (0) \u003d dg (τ) dτ \u003d dτ Z1 A (τ) dy (τ) dτ \u003d dτ 0 0 h \u003d поради y \u003d y 1 + τ y 2 yi 1 Z1 \u003d A (τ) y 2 y 1 dτ , 0 където A (τ) е матрица с елементи ∂fi, а ∂yj y2 y 1 е съответната колона. Тук използвахме правилото за диференциация на сложна функция, а именно за всички i \u003d 1, n, t - фиксирани, имаме: gi0 (τ) \u003d ∂fi ∂y1 ∂fi ∂y2 ∂fi ∂yn d fi t, y (τ) \u003d + + ... + \u003d dτ ∂y1 ∂τ ∂y2 ∂τ ∂yn ∂τ ∂fi ∂fi, ..., y2 y1. \u003d ∂y1 ∂yn Записвайки го в матрична форма, получаваме: 0 2 1 g (τ) \u003d A (τ) y y с n n матрица A (τ) \u003d aij (τ) ∂fi ∂yj. Използвайки оценката за интеграла (3.3) и неравенството (3.5), след заместването получаваме: ft, y 2 ft, y 1 Z1 \u003d g 0 (τ) dτ \u003d 0 Z1 6 A (τ) y 2 Z1 y1 A (τ) y 2 0 Z1 dτ 6 0 A (τ) A (τ) dτ y2 y1 6 y2 y1 6 nl 0 6 max A (τ), тъй като 2 y \u200b\u200b1 dτ 6 2 2 n P ∂fi \u003d i, j \u003d 1 ∂yj 2 y2 y1, 2 6 n2 l2 при 8 τ 2. Твърдението е доказано. -42- 3. 2. Уникалност на решението на задачата на Коши за нормална система Теорема 3. 1 (за оценката на разликата между две решения). Нека G е някаква област Rn + 1, а векторната функция f (x, y) е непрекъсната в G и удовлетворява условието на Липшиц по отношение на векторната променлива y на множеството G с константа L. Ако y 1, y 2 са две решения на нормалната система (3.1) y_ \u003d f (x, y) на интервал, тогава оценката y 2 (t) y 1 (t) 6 y 2 (t0) y 1 (t0) exp L (t t0) е валидна за всички t 2. Доказателството повтаря дословно, като се вземат предвид очевидните повторения, доказателството на теорема 2.1 в раздел 2.1. 2 От това е лесно да се получи теорема за уникалност и стабилност за решението по отношение на първоначалните данни. Следствие 3.1. Нека векторната функция f (t, y) е непрекъсната в областта G и отговаря на условието на Липшиц в y в G, а функциите y 1 (t) и y 2 (t) са две решения на нормалната система (3.1) на същия интервал, и t0 2. Ако y 1 (t0) \u003d y 2 (t0), тогава y 1 (t) y 2 (t) включено. Следствие 3.2. (за непрекъсната зависимост от първоначалните данни). Нека векторната функция f (t, y) е непрекъсната в областта G и удовлетворява в G условието на Липшиц в y с константа L\u003e 0, а векторните функции y 1 (t) и y 2 (t) са решения на нормалната система (3.1) дефиниран на. Тогава за 8 t 2 неравенството y 1 (t) е вярно, където δ \u003d y 1 (t0) y 2 (t0) и l \u003d t1 y 2 (t) 6 δ eL l, t0. Доказателството за последствията повтаря доказателството за следствия 2.1 и 2.2 дума по дума, като се вземат предвид очевидните преназначения. 2 Изследването на разрешимостта на задачата на Коши (3.1), (3.2), както в едномерния случай, се свежда до разтворимостта на интегрално уравнение (вектор). Лема 3. 1. Нека f (t, y) 2 C G; Rn 1. Когато са налице следните твърдения: 1) всяко решение ϕ (t) от уравнение (3.1) на интервала ha, bi удовлетворяващо (3.2) t0 2 ha, bi е непрекъснато решение на ha, bi 1 Чрез C G; H е обичайно да обозначава набора от всички непрекъснати функции в областта G със стойности в пространството H. Например, f (t, y) 2 C G; Rn компоненти), дефинирани на множеството G., е набор от всички непрекъснати векторни функции (с n -43- интегрално уравнение y (t) \u003d y 0 + Zt f τ, y (τ) dτ; (3.6) t0 2) ако векторът -функция ϕ (t) 2 C ha, bi е непрекъснато решение на интегралното уравнение (3.6) на ha, bi, където t0 2 ha, bi, тогава ϕ (t) има непрекъсната производна на ha, bi и е решение на (3.1), (3.2). Доказателства. 1. Нека 8 τ 2 ha, bi важи равенството dϕ (τ) \u003d f τ, ϕ (τ). След това, интегрирайки от t0 до t, като вземем предвид (3.2), получаваме dτ Rt 0 и получаваме, че ϕ (t) \u003d y + f τ, ϕ (τ) dτ, т.е. ϕ (t) удовлетворява уравнение (3.6). t0 2. Да предположим, че непрекъсната векторна функция ϕ (t) удовлетворява уравнение (3.6) на ha, bi, след това ft, ϕ (t) е непрекъсната на ha, bi от теоремата за непрекъснатостта за съставна функция и следователно дясната страна на (3.6) ( и следователно лявата страна) има непрекъсната производна по отношение на t на ha, bi. За t \u003d t0 от (3.6) ϕ (t0) \u003d y 0, т.е. ϕ (t) е решение на проблема на Коши (3.1), (3.2). Обърнете внимание, че както обикновено производната в края на сегмента (ако й принадлежи) означава еднопосочната производна на функцията. Лемата е доказана. Забележка 3. 1. Използвайки аналогията с едномерния случай (виж глава 2) и доказателствата, доказани по-горе, може да се докаже теоремата за съществуването и продължаването на решението на задачата на Коши чрез изграждане на итерационна последователност, сближаваща се към решението на интегралното уравнение (3.6) на някакъв интервал t0 h, t0 + h. Тук даваме още едно доказателство за съществуването (и уникалността) на теорема за решение, основано на принципа на картите за свиване. Правим това, за да запознаем читателя с по-модерни теоретични методи, които ще се използват в бъдеще, в курсове по интегрални уравнения и уравнения на математическата физика. За изпълнението на нашия план ще са необходими редица нови концепции и спомагателни изявления, които ще продължим да разглеждаме. 3. 3. Понятието метрично пространство. Принцип на картографиране на свиването Най-важната концепция за границата в математиката се основава на концепцията за „близост“ на точки, т.е. способността да се намери разстоянието между тях. На числовата ос разстоянието е модулът на разликата между две числа, на равнината е добре познатата формула за евклидово разстояние и т.н. Много факти за анализ не използват алгебричните свойства на елементите, а разчитат само на концепцията за разстояние между тях. Развитие на този подход, т.е. разпределението на "същество", свързано с понятието граница, води до понятието метрично пространство. -44- Определение 3. 3. Нека X е набор от произволен характер, а ρ (x, y) е реална функция от две променливи x, y 2 X, удовлетворяващи три аксиоми: 1) ρ (x, y)\u003e 0 8 x, y 2 X и ρ (x, y) \u003d 0 само за x \u003d y; 2) ρ (x, y) \u003d ρ (y, x) (аксиома на симетрията); 3) ρ (x, z) 6 ρ (x, y) + ρ (y, z) (неравенство в триъгълника). В този случай множеството X с дадена функция ρ (x, y) се нарича метрично пространство (ÌП), а функцията ρ (x, y): X X 7! R, удовлетворяващ 1) - 3) е метрика или разстояние. Ето няколко примера за метрични пространства. Пример 3. 1. Нека X \u003d R с разстояние ρ (x, y) \u003d x y, получаваме MP R. n o n xi 2 R, i \u003d 1, n е Пример 3. 2. Нека X \u003d R \u003d x1 ,. ... ... , xn множеството от подредени множества от n реални числа s n 2 P x \u003d x1 ,. ... ... , xn с разстояние ρ (x, y) \u003d xk yk, получаваме n1 k \u003d 1 n размерно евклидово пространство R. n Пример 3. 3. Нека X \u003d C a, b; R е множеството от всички непрекъснати на a, b функции със стойности в Rn, т.е. непрекъснати векторни функции, с разстояние ρ (f, g) \u003d max f (t) g (t), където f \u003d f (t) \u003d f1 (t) ,. ... ... , fn (t), t2 s n 2 P g \u003d g (t) g1 (t) ,. ... ... , gn (t), f g \u003d fk (t) gk (t). k \u003d 1 За примери 3. 1 –3. 3-те аксиоми на депутата се проверяват директно, оставяме това като упражнение за съвестния читател. Както обикновено, ако всяко естествено n е свързано с елемент xn 2 X, тогава казваме, че е дадена последователност от точки xn Ì X. Определение 3. 4. Последователност от точки xn на MP X се извиква към точка x 2 X, ако lim ρ xn x \u003d 0. n! 1 Определение 3. 5. Последователност xn се нарича основна, ако за произволно ε\u003e 0 съществува естествено число N (ε) такова, че за всички n\u003e N и m\u003e N неравенството ρ xn, xm< ε. Определение 3. 6. МП X называется полным (ПÌП), если любая его фундаментальная последовательность сходится к элементу этого пространства. -45- Полнота пространств из примеров 3. 1 и 3. 2 доказана в курсе математиче ского анализа. Докажем полноту пространства X = C a, b ; Rn из примера 3. 3. Пусть последовательность вектор-функций fn (t) фундаментальна в X. Это означает, что 8 ε > 0 9 N (ε) 2 N: 8m, n\u003e N \u003d) max fm (t) fn (t)< ε. Поэтому выполнены условия критерия Коши равномерной на a, b сходи мости функциональной последовательности, т.е. fn (t) ⇒ f (t) при n ! 1. Как известно, предел f (t) в этом случае – непрерывная функция. Докажем, что f (t) – это предел fn (t) в метрике пространства C a, b ; Rn . Из равномерной сходимости получим, что для любого ε > 0 има число N (ε) такова, че за всички n\u003e N и за всички t 2 a, b неравенството fn (t) f (t)< ε, а так как в левой части неравенства стоит непрерывная функция, то и max fn (t) f (t) < ε. Это и есть сходимость в C a, b ; Rn , следовательно, полнота установлена. В заключение приведем пример МП, не являющегося полным. Пример 3. 4. Пусть X = Q – множество рациональных чисел, а расстояние ρ(x, y) = x y – модуль разностиpдвух чисел. Если взять последовательность десятичных приближений числа 2 , т.е. x1 = 1; x2 = 1, 4; x3 = 1, 41; . . ., p то, как известно, lim xn = 2 62 Q. При этом данная последовательность n!1 сходится в R, значит она фундаментальна в R, а следовательно, она фундаментальна и в Q. Итак, последовательность фундаментальна в Q, но предела, лежащего в Q, не имеет. Пространство не является полным. Определение 3. 7. Пусть X – метрическое пространство. Отображение A: X 7! X называется сжимающим отображением или сжатием, если 9 α < 1 такое, что для любых двух точек x, y 2 X выполняется неравенство: ρ Ax, Ay 6 α ρ(x, y). (3.7) Определение 3. 8. Точка x 2 X называется неподвижной точкой отображения A: X 7! X, если Ax = x . Замечание 3. 2. Всякое сжимающее отображение является непрерывным, т.е. любую сходящуюся последовательность xn ! x, n ! 1, переводит в сходящуюся последовательность Axn ! Ax, n ! 1, а предел последовательности – в предел ее образа. Действительно, если A – сжимающий оператор, то положив в (3.7) X X y = xn ! x, n ! 1, получим, что Axn ! Ax, n ! 1. Теорема 3. 2 (Принцип сжимающих отображений). Пусть X полное метрическое пространство, а отображение A: X 7! X является сжатием. Òогда A имеет и притом единственную неподвижную точку. Доказательство этого фундаментального факта см. , . -46- Приведем обобщение теоремы 3. 2, часто встречающееся в приложениях. Теорема 3. 3 (Принцип сжимающих отображений). Пусть X полное метрическое пространство, а отображение A: X 7! X таково, что оператор B = Am с некоторым m 2 N является сжатием. Òогда A имеет и притом единственную неподвижную точку. Доказательство. При m = 1 получаем теорему 3. 2. Пусть m > 1. Помислете за B \u003d Am, B: X 7! X, B - компресия. По теорема 3.2 операторът B има уникална неподвижна точка x. Тъй като A и B комутират AB \u003d BA и тъй като Bx \u003d x, имаме B Ax \u003d A Bx \u003d Ax, т.е. y \u003d Ax също е фиксирана точка на B и тъй като такава точка е уникална по теорема 3.2, тогава y \u003d x или Ax \u003d x. Следователно x е фиксирана точка на оператора A. Нека докажем уникалността. Да предположим, че x ~ 2 X и A ~ x \u003d x ~, тогава m m 1 B x ~ \u003d A x ~ \u003d A x ~ \u003d. ... ... \u003d x ~, т.е. x ~ също е фиксирана точка за B, откъдето x ~ \u003d x. Теоремата е доказана. Специален случай на метрично пространство е нормирано линейно пространство. Ето точно определение. Определение 3. 9. Нека X е линейно пространство (реално или комплексно), върху което е дефинирана числова функция x, действаща от X до R и отговаряща на аксиомите: 1) 8 x 2 X, x\u003e 0 и x \u003d 0 само за x \u003d θ; 2) 8 x 2 X и за 8 λ 2 R (или C) 3) 8 x, y 2 X има псевдоним). x + y 6 x + y λx \u003d jλj x; (триъгълното неравенство - Тогава X се нарича нормирано пространство, x: X 7! R, удовлетворяващо 1) - 3), е нормата. и функция В нормализирано пространство можете да въведете разстоянието между елементите по формулата ρ x, y \u003d x y. Изпълнението на MP аксиомите се проверява лесно. Ако полученото метрично пространство е пълно, тогава съответното нормирано пространство се нарича Banach пространство. Често е възможно да се въведе нормата по различни начини в едно и също линейно пространство. В тази връзка възниква такава концепция. Определение 3. 10. Нека X е линейно пространство и u са две 1 2 норми, въведени върху него. Нормите и се наричат \u200b\u200bеквивалентни 1 2 норми, ако 9 C1\u003e 0 и C2\u003e 0: 8 x 2 X C1 x 1 6 x 2 6 C2 x 1. Забележка 3. 3. Ако и са две еквивалентни норми на X и 1 2, пространството X е пълно в една от тях, тогава е пълно и в другата норма. Това лесно произтича от факта, че последователността xn X, която е фундаментална по отношение, също е фундаментална по отношение и сближава до 1 2 същия елемент x 2 X. -47- Забележка 3. 4. Често теорема 3.2 (или 3.3) се прилага, когато затворената топка от това пространство се приема като пълно n пространство o Br (a) \u003d x 2 X ρ x, a 6 r, където r\u003e 0 и a 2 X са фиксирани. Обърнете внимание, че затворената топка в SMP сама по себе си е SMP със същото разстояние. Доказваме този факт на читателя като упражнение. Забележка 3. 5. По-горе установихме пълнотата на пространството от за n мярка 3. 3. Обърнете внимание, че в линейното пространство X \u003d C 0, T, R може да се въведе норма kxk \u003d max x (t), така че получената нормализирана да бъде Банан. На същия набор от непрекъснати векторни функции в пространството 0, T може да се въведе еквивалентна норма по формулата kxkα \u003d max e αt x (t) за всяко α 2 R. За α\u003e 0 еквивалентността следва от неравенствата e αT x (t) 6 e αt x (t) 6 x (t) за всички t 2 0, T, откъдето e αT kxk 6 kxkα 6 kxk. Ще използваме това свойство на еквивалентни норми, за да докажем теорема за уникалната разрешимост на задачата на Коши за линейни (нормални) системи. 3. 4. Теореми за съществуването и уникалността за решаване на задачата на Коши за нормални системи Да разгледаме задачата на Коши (3.1) - (3.2), където началните данни t0, y 0 2 G, G Rn + 1 е областта на дефиницията на векторната функция f (t, y ). В този раздел ще приемем, че G има - някаква n форма G \u003d a, b o, където областта е Rn, а топката BR (y 0) \u003d Теоремата е валидна. y 2 Rn y y0 6 R лежи изцяло в. Теорема 3. 4. Нека векторната функция f (t, y) 2 C G; Rn и 9 M\u003e 0 и L\u003e 0, така че условията 1) 8 (t, y) 2 G \u003d a, b f (t, y) 6 M са изпълнени; 2) 8 (t, y 1), (t, y 2) 2 G f t, y 2 f t, y 1 6 L y 2 y 1. Фиксираме числото δ 2 (0, 1) и оставяме t0 2 (a, b). Тогава R 1 δ 9 h \u003d min; ; t0 a; b t0\u003e 0 ML такова, че съществува и освен това уникално решение на проблема Êoshi (3.1), (3.2) y (t) на интервала Jh \u003d t0 h, t0 + h и y (t) y 0 6 R за всички t 2 Дж. -48- Доказателство. По лема 3.1 проблемът на Коши (3.1), (3.2) е еквивалентен на интегралното уравнение (3.6) на интервала, а оттам и на Jh, където h е избран по-горе. Да разгледаме банаховото пространство X \u003d C (Jh; Rn), множеството непрекъснати векторни функции x (t) на сегмента Jh с норма kxk \u003d max x (t) и да въведем затворен набор в X: t2Jh SR y 0 n 8 t 2 Jh \u003d y (t) 2 X y (t) n \u003d y (t) 2 X yy (t) o 0 6R \u003d o 0 y 6R е затворена топка в X. Оператор A, определен от правилото: Ay \u003d y 0 + Zt f τ , y (τ) dτ, t 2 Jh, t0 изпраща SR y 0 към себе си, тъй като y 0 \u003d max Ay Zt t2Jh f τ, y (τ) dτ 6 h \u200b\u200bM 6 R t0 по условие 1 от теоремата и дефиницията на h. Нека докажем, че A е оператор на свиване на SR. Да вземем 0 1 2 произволно и да изчислим стойността: y (t), y (t) 2 SR y Ay 2 Ay 1 \u003d max Zt h t2Jh f τ, y 2 (τ) ако τ, y 1 (τ) dτ 6 t0 Zt 6 max t2Jh f τ, y 2 (τ) f τ, y 1 (τ) dτ 6 t0 6h L y2 y1 \u003d q y2 y1, където q \u003d h L 6 1 δ< 1 по условию теоремы. Отметим (см. замечание 3.4), что замкнутый шар SR y 0 в банаховом пространстве X является ПМП. Поэтому применим принцип сжимающих отображений (теорема 3. 2), по которому существует единственное решение y(t) 2 X интегрального уравнения (3.6) на отрезке Jh = t0 h, t0 + h . Теорема доказана. Замечание 3. 6. Если t0 = a или t0 = b, то утверждение теоремы сохраняется с небольшими изменениями в формуле для h и отрезка Jh . Приведем эти изменения для случая t0 = a. В этом случае число h > 0 избираме според R формула h \u003d min M; 1L 5; b a и навсякъде трябва да вземем -49- Jh \u003d t0, t0 + h \u003d a, a + h като сегмент Jh. Всички останали условия на теоремата не се променят; нейното доказателство, като се вземат предвид преназначенията, R се запазва. За случая t0 \u003d b, аналогично, h \u003d min M; 1L 5; b a и Jh \u003d b h, b. n Забележка 3. 7. В теорема 3. 4 условието f (t, y) 2 C G; R, където G \u003d a, b D, може да се отслаби, като се замени с изискването за непрекъснатост на f (t, y) в променливата t за всеки y 2, като същевременно се запазят условия 1 и 2. Доказателството не се променя. Забележка 3. 8. Достатъчно е условията 1 и 2 от теорема 3.4 да са изпълнени 0 за всички t, y 2 a, b BR y и константите M и L зависят, най-общо казано, 0 от y и R. За по-строги ограничения върху векторната функция ft, y, подобно на теорема 2.4, важи теоремата за съществуването и уникалността за решение на задачата на Коши (3.1), (3.2) за целия интервал a, b. n Теорема 3. 5. Нека векторната функция fx, y 2 CG, R, където G \u003d a, b Rn, и съществува L\u003e 0, така че условието 8 t, y 1, t, y 2 2 G ft , y 2 ft, y 1 6 L y 2 y 1. Когато за всяко t0 2 и y 0 2 Rn на a, b съществува и освен това уникално решение на задачата ioshi (3.1), (3.2). Доказателства. Вземете произволни t0 2 и y 0 2 Rn и ги фиксирайте. Представяме множеството G \u003d a, b Rn под формата: G \u003d G [G +, където Rn, и G + \u003d t0, b Rn, като приемем, че t0 2 a, b, в противен случай един G \u003d a, t0 от етапите на доказателството ще отсъства. Нека извършим разсъжденията за лентата G +. На интервала t0, b задачата на Коши (3.1), (3.2) е еквивалентна на уравнение (3.6). Нека въведем интегралния оператор n A: X 7! X, където X \u003d C t0, b; R, по формулата Ay \u003d y 0 + Zt f τ, y (τ) dτ. t0 Тогава интегралното уравнение (3.6) може да бъде записано под формата на операторното уравнение Ay \u003d y. (3.8) Ако докажем, че операторното уравнение (3.8) има решение в SMP X, тогава получаваме разрешимостта на задачата на Коши на t0, b или на a, t0 за G. Ако това решение е уникално, то по силата на еквивалентността, решението на проблема Коши също ще бъде уникално. Даваме две доказателства за уникалната разтворимост на уравнението (3.8). Доказателство 1. Помислете за произволни векторни функции 1 2 n y, y 2 X \u003d C t0, b; R, тогава оценките са валидни за всякакви -50- t 2 t0, b Ay 2: Ay 1 Zt hf τ, y 2 (τ) \u003d 1 f τ, y (τ) i dτ 6 t0 Zt y 2 (τ) 6L y 1 (τ) dτ 6 L t t0 max y 2 (τ) y 1 (τ) 6 τ 2 t0 6L t t0 y2 y1. Спомнете си, че нормата в X се въвежда, както следва: kxk \u003d max x (τ). От полученото неравенство имаме: 2 2 Ay 2 1 Ay Zt hf τ, Ay 2 (τ) \u003d 1 i τ t0 dτ f τ, Ay (τ) dτ 6 t0 6 L2 Zt Ay 2 (τ) Ay 1 (τ ) dτ 6 L2 t0 Zt y2 y1 6 t0 6 L2 t t0 2! 2 y2 y1. Продължавайки този процес, можем да докажем чрез индукция, че 8 k 2 N Ak y 2 Ak y 1 6 L t t0 k! k y2 y1. Следователно, накрая, получаваме оценката Ak y 2 Ak y 1 \u003d max Ak y 2 L b t0 Ak y 1 6 L b t0 k! k y2 y1. k Тъй като α (k) \u003d! 0 за k! 1, тогава има k0 такива, k! че α (k0)< 1. Применим теорему 3. 3 с m = k0 , получим, что A имеет в X неподвижную точку, причем единственную. Доказательство 2. В банаховом пространстве X = C t0 , b ; Rn введем семейство эквивалентных норм, при α > 0 (вж. Забележка 3.5) по формулата: x α \u003d max e αt x (t). -51- Нека покажем, че е възможно да се избере α така, че операторът A в пространството X с норма за α\u003e L да се свива. Всъщност, α Ay 2 Ay 1 α Zt hf τ, y 2 (τ) αt \u003d max e 1 f τ, y (τ) i dτ 6 t0 6 max e αt Zt y 2 (τ) L y 1 (τ) dτ \u003d t0 \u003d L max e Zt αt e ατ y 2 (τ) eατ dτ 6 y 1 (τ) t0 6 L max e αt Zt eατ dτ max e ατ y 2 (τ) y 1 (τ) \u003d y2 α t0 \u003d L max e αt Тъй като α\u003e L, тогава q \u003d L α 1 1 αt e α e eαt0 L \u003d α α b t0 y 2 y1 y 1 α \u003d 1 e α b t0.< 1 и оператор A – сжимающий (например, с α = L). Таким образом, доказано, что существует и притом единственная вектор + функция ϕ (t) – решение Коши (3.1), (3.2) на t0 , b . задачи Rn задачу Коши сведем к предыдущей при Для полосы G = a, t0 помощи линейной замены τ = 2t0 t. В самом деле, для вектор-функция y(t) = y 2t0 τ = y~(t), задача Коши (3.1), (3.2) запишется в виде: y~(τ) = f (2t0 τ, y~(τ)) f~ (τ, y~(τ)) , y~(t0) = y 0 на отрезке τ 2 t0 , 2t0 a . Поэтому можно применить предыдущие рассуждения, взяв b = 2t0 a. Итак, существует и притом единственное решение задачи Коши y~(τ) на всем отрезке τ 2 t0 , 2t0 a и,следовательно, ϕ (t) = y~ 2t0 t – решение задачи Коши (3.1), (3.2) на a, t0 . Возьмем «сшивку» вектор-функций ϕ (t) и ϕ+ (t), т.е. вектор-функцию ϕ (t), при t 2 a, t0 ; ϕ(t) = ϕ+ (t), при t 2 t0 , b . d dτ Как при доказательстве теоремы 2.4, устанавливаем, что ϕ(t) – это решение задачи Коши (3.1), (3.2) на a, b . Единственность его следует из следствия 3.1. Теорема доказана. -52- Замечание 3.9. Утверждение 3. 1 дает достаточное условие того, что векторфункция f t, y в выпуклой по y области G удовлетворяет условию Лип∂fi шица. А именно, для этого достаточно, чтобы все частные производные ∂yj были непрерывны и ограничены некоторой константой в G. Аналогично следствию из теоремы 2.4 получаем такое утверждение для нормальных систем. Ñледствие 3.3. Пусть вектор-функция f (t, y) определена, непрерывна в открытой полосе o n n Q = (t, y) t 2 (A, B), y 2 R , причем A и B могут быть символами 1 и +1 соответственно. Предположим, что вектор-функция f (t, y) удовлетворяет в полосе Q условию: 9 L(t) 2 C(A, B) такая, что 8 t 2 (A, B) и 8 y 1 , y 2 2 Rn выполняется неравенство f t, y 2 f t, y 1 6 L(t) y 2 y 1 . Òогда при любых начальных данных t0 2 (A, B), y 0 2 Rn существует и притом единственное решение задачи Êоши (3.1), (3.2) на всем интервале (A, B). Доказательство проводится повторением соответствующих рассуждений из п. 2.2, оставляем его добросовестному читателю. В качестве других следствий из доказанной теоремы 3. 5 получим теорему о существовании и единственности решения задачи Коши для линейной системы. Речь идет о задаче нахождения вектор-функции y(t) = (y1 (t), . . . , yn (t)) из условий: d y(t) = A(t)y(t) + f 0 (t), t 2 a, b , (3.9) dt y(t0) = y 0 , (3.10) где A(t) = aij (t) – n n матрица, f 0 (t) – вектор-функция переменной t, t0 2 a, b , y 0 2 Rn – заданы. n 0 Теорема 3. 6. Пусть a (t) 2 C a, b , f (t) 2 C a, b ; R , ij t0 2 a, b , y 0 2 Rn заданы. Òогда существует и притом единственное решение задачи Êоши (3.9), (3.10) на всем отрезке a, b . Доказательство. Проверим, что для функции f t, y = A(t)y + f 0 (t) выполнены теоремы 3. 5. Во-первых, f t, y 2 C G; Rn , где условия G = a, b Rn , как сумма двух непрерывных функций. Во-вторых, (см. неравенство (3.5)): Ay 2 Ay 1 = A(t) y 2 y 1 6 A 2 y 2 y 1 6 L y 2 y 1 , -53- поскольку A n P 2 ! 21 aij (t) 2 – непрерывная на a, b функция. Тогда i,j=1 по теореме 3. 5 получим доказываемое утверждение. Теорема 3. 7. Пусть aij (t) 2 C (R), f 0 (t) 2 C (R; Rn) заданы. Òогда при любых начальных данных t0 2 R, y 0 2 Rn существует и притом единственное решение задачи Êоши (3.9), (3.10) на всей числовой прямой. Доказательство. Проверим, что выполнены все условия следствия из теоре мы 3. 5 с A = 1, B = +1. Вектор-функция f t, y = A(t)y + f 0 (t) непрерывна в полосе Q = R Rn как функция (n + 1) переменной. Кроме того, L(t) y 2 y 1 , f t, y 2 f t, y 1 6 A(t) 2 y 2 y 1 где L(t) – непрерывная по условию теоремы на A, B = 1, +1 функция. Таким образом, все условия следствия выполнены, и теорема доказана. -54- Глава IV. Некоторые классы обыкновенных дифференциальных уравнений, решаемых в квадратурах В ряде случаев дифференциальное уравнение может быть решено в квадратурах, т.е. для его решения может быть получена явная формула. В таких случаях методика решения, как правило, следующая. 1. Предполагая, что решение существует, находят формулу, по которой решение выражается. 2. Существование решения затем доказывается непосредственной проверкой, т.е. подстановкой найденной формулы в исходное уравнение. 3. Используя дополнительные данные, (например, задавая начальные данные Коши) выделяют конкретное решение. 4. 1. Уравнение с разделяющимися переменными В данном параграфе применим уже использовавшуюся выше методику для решения уравнений с разделяющимися переменными, т.е. уравнений вида y 0 (x) = f1 (x) f2 (y), Áудем предполагать, что f1 (x) 2 C (ha, bi) , x 2 ha, bi, f2 (y) 2 C (hc, di) , y 2 hc, di. (4.1) f2 (y) 6= 0 на hc, di а следовательно, в силу непрерывности функции f2 (y), она сохраняет знак на hc, di . Итак, предположим, что в окрестности U(x0) точки x0 2 ha, bi существует решение y = ϕ(x) уравнения (4.1). Тогда имеем тождество dy = f1 (x) f2 (y), dx y = ϕ(x), 55 x 2 U(x0). Но тогда равны дифференциалы dy = f1 (x) dx f2 (y) мы учли, что f2 (y) 6= 0 . Из равенства дифференциалов вытекает равенство первообразных с точностью до постоянного слагаемого: Z Z dy = f1 (x) dx + C. (4.2) f2 (y) После введения обозначений Z F2 (y) = Z dy , f2 (y) F1 (x) = f1 (x) dx, получаем равенство F2 (y) = F1 (x) + C. (4.3) Заметим, что F20 (y) = 1/f2 (y) 6= 0, поэтому к соотношению (4.3) можно применить теорему об обратной функции, в силу которой равенство (4.3) можно разрешить относительно y и получить формулу y(x) = F2 1 F1 (x) + C , (4.4) справедливую в окрестности точки x0 . Покажем, что равенство (4.4) дает решение уравнения (4.1) в окрестности точки x0 . Действительно, используя теорему о дифференцировании обратной функции и учитывая соотношение F10 (x) = f1 (x), получим y 0 (x) = dF2 1 (z) dz z=F1 (x)+C F10 (x) = 1 F20 (y) y=y(x) F10 (x) = f2 y(x) f1 (x), откуда следует, что функция y(x) из (4.4) является решением уравнения (4.1). Рассмотрим теперь задачу Коши для уравнения (4.1) с начальным условием y(x0) = y0 . (4.5) Формулу (4.2) можно записать в виде Zy dξ = f2 (ξ) Zx f1 (x) dx + C. x0 y0 Подставляя сюда начальное условие (4.5), находим, что C = 0, т.е. решение задачи Коши определяется из соотношения Zy y0 dξ = f2 (ξ) Zx f1 (x) dx. x0 -56- (4.6) Очевидно, оно определяется однозначно. Итак, общее решение уравнения (4.1) задается формулой (4.4), а решение задачи Коши (4.4), (4.5) находится из соотношения (4.6). Замечание 4. 1. Если f2 (y) = 0 при некоторых y = yj , (j = 1, 2, . . . , s), то, очевидно, решениями уравнения (4.1) являются также функции y(x) yj , j = 1, 2, . . . , s, что доказывается непосредственной подстановкой этих функций в уравнение (4.1). Замечание 4. 2. Для уравнения (4.1) общее решение определяем из соотношения F2 (y) F1 (x) = C. (4.7) Таким образом, левая часть соотношения (4.7) постоянна на каждом решении уравнения (4.1). Соотношения типа (4.7) можно записать и при решении других ОДУ. Такие соотношения принято называть интегралами (общими интегралами) соответствующего ОДУ. Дадим точное определение. Определение 4. 1. Рассмотрим уравнение y 0 (x) = f (x, y). (4.8) Соотношение (x, y) = C, (4.9) где (x, y) – функция класса C 1 , называется общим интегралом уравнения (4.8), если это соотношение не выполняется тождественно, но выполняется на каждом решении уравнения (4.8). При каждом конкретном значении C 2 R мы получаем частный интеграл. Общее решение уравнения (4.8) получается из общего интеграла (4.9) с использованием теоремы о неявной функции. Пример 4. 1. Рассмотрим уравнение x (4.10) y 0 (x) = y и начальное условие y(2) = 4. (4.11) Применяя для решения уравнения (4.10) описанный выше метод разделения переменныõ, получаем y dy = x dx, откуда находим общий интеграл для уравнения (4.10) y 2 x2 = C. Общее решение уравнения (4.10) запишется по формуле p y= C + x2 , а решение задачи Коши (4.10), (4.11) – по формуле p y = 12 + x2 . -57- 4. 2. Линейные ОДУ первого порядка Линейным ОДУ первого порядка называется уравнение y 0 (x) + p(x)y(x) = q(x), Если q(x) 6 Если q(x) x 2 ha, bi. (4.12) 0, то уравнение называется неоднородным. 0, то уравнение называется однородным: y 0 (x) + p(x)y(x) = 0. (4.120) Теорема 4. 1. 1) Если y1 (x), y2 (x) решения однородного уравнения (4.120), α, β произвольные числа, то функция y (x) αy1 (x) + βy2 (x) также является решением уравнения (4.120). 2) Для общего решения неоднородного уравнения (4.12) имеет место формула yон = yоо + yчн; (4.13) здесь yон общее решение неоднородного уравнения (4.12), yчн частное решение неоднородного уравнения (4.12), yоо общее решение однородного уравнения (4.120). Доказательство. Первое утверждение теоремы доказывается непосредственной проверкой: имеем y 0 αy10 + βy20 = αp(x)y1 βp(x)y2 = p(x) αy1 + βy2 = p(x)y . Докажем второе утверждение. Пусть y0 – произвольное решение уравнения (4.120), тогда y00 = p(x)y0 . C другой стороны, 0 yчн = p(x)yчн + q(x). Следовательно, 0 y0 + yчн = p(x) y0 + yчн + q(x), а значит y y0 + yчн является решением уравнения (4.12). Таким образом, формула (4.13) дает решение неоднородного уравнения (4.12). Покажем, что по этой формуле могут быть получены все решения уравнения (4.12). Действительно, пусть y^(x) – решение уравнения (4.12). Положим y~(x) = y^(x) yчн. Имеем y~ 0 (x) = y^ 0 (x) 0 yчн (x) = p(x)^ y (x) + q(x) + p(x)yчн (x) = p(x) y^(x) q(x) = yчн (x) = p(x)~ y (x). Таким образом, y~(x) – решение однородного уравнения (4.120), и мы имеем y^(x) = y~(x) + yчн, что соответствует формуле (4.13). Теорема доказана. -58- Ниже будем рассматривать задачи Коши для уравнений (4.12) и (4.120) с начальным условием y(x0) = y0 , x0 2 ha, bi. (4.14) Относительно функций p(x) и q(x) из (4.12) будем предполагать, что p(x), q(x) 2 C (ha, bi). Замечание 4. 3. Положим F (x, y) = p(x)y + q(x). Тогда в силу наложенных выше условий на p(x) и q(x) имеем F (x, y), ∂F (x, y) 2 C G , ∂y G = ha, bi R1 , а следовательно, для задачи Коши (4.12), (4.14) справедливы теоремы существования и единственности решения, доказанные в главе 2. В доказанных ниже теоремах 4. 2, 4. 3 будут получены явные формулы для решений уравнений (4.120) и (4.12) и будет показано, что эти решения существуют на всем промежутке ha, bi. Рассмотрим сначала однородное уравнение (4.120). Теорема 4. 2. утверждения: Пусть p(x) 2 C (ha, bi). Òогда справедливы следующие 1) любое решение уравнения (4.120) определено на всем промежутке ha, bi; 2) общее решение однородного уравнения (4.120) задается формулой y(x) = C e где C R p(x) dx , (4.15) произвольная константа; 3) решение задачи Êоши (4.120), (4.14) задается формулой Rx y(x) = y0 e x0 p(ξ) dξ . (4.16) Доказательство. Выведем формулу (4.15) в соответствии с данной в начале главы методикой. Прежде всего заметим, что функция y 0 является решением уравнения (4.120). Пусть y(x) – решение уравнения (4.120), причем y 6 0 на ha, bi. Тогда 9 x1 2 ha, bi такая, что y(x1) = y0 6= 0. Рассмотрим уравнение (4.120) в окрестности точки x1 . Это уравнение с разделяющимися переменными, причем y(x) 6= 0 в некоторой окрестности точки x1 . Тогда, следуя результатам предыдущего параграфа, получим явную формулу для решения Z dy = p(x) dx, ln y = p(x) dx + C, y -59- откуда R y(x) = C e p(x) dx , c 6= 0, что соответствует формуле (4.15). Áолее того, решение y 0 также задается формулой (4.15) при C = 0. Непосредственной подстановкой в уравнение (4.120) убеждаемся, что функция y(x), задаваемая по формуле (4.15) при любом C, является решением уравнения (4.120), причем на всем промежутке ha, bi. Покажем, что формула (4.15) задает общее решение уравнения (4.120). Действительно, пусть y^(x) – произвольное решение уравнения (4.120). Если y^(x) 6= 0 на ha, bi, то повторяя предыдущие рассуждения, получим, что эта функция задается формулой (4.15) при некотором C: именно, если y^(x0) = y^0 , то Rx p(ξ) dξ . y^(x) = y^0 e x0 Если же 9x1 2 ha, bi такая, что y^(x1) = 0, то задача Коши для уравнения (4.120) с начальным условием y(x1) = 0 имеет два решения y^(x) и y(x) 0. В силу замечания 4. 3 решение задачи Коши единственно, поэтому y^(x) 0, а следовательно, задается формулой (4.15) при C = 0. Итак, доказано, что общее решение уравнения (4.120) определено на всем ha, bi и задается формулой (4.15). Формула (4.16), очевидно, является частным случаем формулы (4.15), поэтому задаваемая ею функция y(x) является решением уравнения (4.120). Кроме того, x R0 p(ξ) dξ y(x0) = y0 e x0 = y0 , поэтому формула (4.16) действительно задает решение задачи Коши (4.120), (4.14). Теорема 4. 2 доказана. Рассмотрим теперь неоднородное уравнение (4.12). Теорема 4. 3. Пусть p(x), q(x) 2 C (ha, bi). Òогда справедливы следующие утверждения: 1) любое решение уравнения (4.12) определено на всем промежутке ha, bi; 2) общее решение неоднородного уравнения (4.12) задается формулой Z R R R p(x) dx p(x) dx q(x)e p(x) dx dx, (4.17) y(x) = Ce +e где C произвольная константа; 3) решение задачи Êоши (4.12), (4.14) задается формулой Rx y(x) = y0 e x0 Zx p(ξ) dξ + q(ξ)e x0 -60- Rx ξ p(θ) dθ dξ. (4.18) Доказательство. В соответствии с теоремой 4. 1 и формулой (4.13) yон = yоо + yчн требуется найти частное решение уравнения (4.12). Для его нахождения применим так называемый метод вариации произвольной постоянной. Суть этого метода заключается в следующем: берем формулу (4.15), заменяем в ней константу C на неизвестную функцию C(x) и ищем частное решение уравнения (4.12) в виде yчн (x) = C(x) e R p(x) dx . (4.19) Подставим yчн (x) из (4.19) в уравнение (4.12) и найдем C(x) так, чтобы это уравнение удовлетворялось. Имеем R R 0 yчн (x) = C 0 (x) e p(x) dx + C(x) e p(x) dx p(x) . Подставляя в (4.12), получим C 0 (x) e R p(x) dx + C(x) e R p(x) dx p(x) + C(x)p(x) e R p(x) dx = q(x), откуда R C 0 (x) = q(x) e p(x) dx . Интегрируя последнее соотношение и подставляя найденное C(x) в формулу (4.19), получим, что Z R R p(x) dx yчн (x) = e q(x) e p(x) dx dx. Кроме того, в силу теоремы 4. 2 R yоо = C e p(x) dx . Поэтому используя формулу (4.13) из теоремы 4. 1, получаем, что Z R R R p(x) dx p(x) dx y(x) = yоо + yчн = Ce +e q(x)e p(x) dx dx, что совпадает с формулой (4.17). Очевидно, что формула (4.17) задает решение на всем промежутке ha, bi. Наконец, решение задачи Коши (4.12), (4.14) задается формулой Rx y(x) = y0 e Rx p(ξ) dξ x0 +e p(θ) dθ Zx Rξ p(θ) dθ q(ξ)ex0 x0 dξ. (4.20) x0 Действительно, формула (4.20) является частным случаем формулы (4.17) при C = y0 , поэтому она задает решение уравнения (4.12). Кроме того, x R0 y(x0) = y0 e x0 x R0 p(ξ) dξ +e p(θ) dθ Zx0 Rξ q(ξ)e x0 x0 x0 -61- p(θ) dθ dξ = y0 , поэтому удовлетворяются начальные данные (4.14). Приведем формулу (4.20) к виду (4.18). Действительно, из (4.20) имеем Rx y(x) = y0 e Zx p(ξ) dξ + x0 Rξ q(ξ)e x p(θ) dθ Rx dξ = y0 e Zx p(ξ) dξ + x0 x0 Rx q(ξ)e p(θ) dθ dξ, ξ x0 что совпадает с формулой (4.18). Теорема 4. 3 доказана. Ñледствие(об оценке решения задачи Коши для линейной системы). x0 2 ha, bi, p(x), q(x) 2 C (ha, bi), причем p(x) 6 K, q(x) 6 M Пусть 8 x 2 ha, bi. Òогда для решения задачи Êоши (4.12), (4.14) справедлива оценка M Kjx x0 j Kjx x0 j y(x) 6 y0 e + e 1 . K (4.21) Доказательство. Пусть сначала x > x0. По силата на (4.18) имаме Rx Zx K dξ y (x) 6 y0 ex0 Rx K dθ M eξ + dξ \u003d y0 eK (x x0) Zx + M x0 \u003d y0 e K (x x0) eK (x ξ) dξ \u003d x0 M + K e K (x ξ) ξ \u003d x ξ \u003d x0 \u003d y0 e Kjx x0 j M Kjx + e K x0 j 1. Сега нека x< x0 . Тогда, аналогично, получаем x R0 y(x) 6 y0 e x K dξ Zx0 + Rξ M ex K dθ dξ = y0 eK(x0 x) Zx0 +M x = y0 e K(x0 eK(ξ x) dξ = x M x) eK(ξ + K x) ξ=x0 ξ=x M h K(x0 x) = y0 e + e K M Kjx Kjx x0 j e = y0 e + K i 1 = K(x0 x) x0 j Таким образом, оценка (4.21) справедлива 8 x 2 ha, bi. Пример 4. 2. Решим уравнение y = x2 . x Решаем сначала однородное уравнение: y0 y0 y = 0, x dy dx = , y x ln jyj = ln jxj + C, -62- y = C x. 1 . Решение неоднородного уравнения ищем методом вариации произвольной постоянной: y чн = C(x) x, Cx = x2 , x 0 C x+C 0 C = x, x2 C(x) = , 2 откуда x3 , 2 y чн = а общее решение исходного уравнения y =Cx+ x3 . 2 4. 3. Однородные уравнения Однородным уравнением называется уравнение вида y 0 y (x) = f , (x, y) 2 G, x (4.22) G – некоторая область в R2 . Áудем предполагать, что f (t) – непрерывная функция, x 6= 0 при (x, y) 2 G. Однородное уравнение заменой y = xz, где z(x) – новая искомая функция, сводится к уравнению с разделяющимися переменными. В силу данной замены имеем y 0 = xz 0 + z. Подставляя в уравнение (4.22), получим xz 0 + z = f (z), откуда z 0 (x) = 1 x f (z) z . (4.23) Уравнение (4.23) представляет собой частный случай уравнения с разделяющимися переменными, рассмотренного в п. 4.1. Пусть z = ϕ(x) – решение уравнения (4.23). Тогда функция y = xϕ(x) является решением исходного уравнения (4.22). Действительно, y 0 = xϕ 0 (x) + ϕ(x) = x 1 x f (ϕ(x)) ϕ(x) + ϕ(x) = xϕ(x) y(x) = f ϕ(x) = f =f . x x Пример 4. 3. Ðешим уравнение y0 = y x -63- ey/x . Положим y = zx. Тогда xz 0 + z = z откуда y(x) = 1 z e, x z0 = ez , dz dx = , e z = ln jzj + C, z e x z = ln ln Cx , c 6= 0, x ln ln Cx , c 6= 0. 4. 4. Уравнение Áернулли Уравнением Áернулли называется уравнение вида y 0 = a(x)y + b(x)y α , α 6= 0, α 6= 1 . x 2 ha, bi (4.24) При α = 0 или α = 1 получаем линейное уравнение, которое было рассмотрено в п. 4.2. Áудем предполагать, что a(x), b(x) 2 C (ha, bi). Замечание 4. 4. Если α > 0, тогава, очевидно, функцията y (x) 0 е решение на уравнение (4.24). За да решим уравнението на ernoulli (4.24) α 6 \u003d 0, α 6 \u003d 1, разделяме двете страни на уравнението на y α. При α\u003e 0 е необходимо да се вземе предвид, че поради забележка 4. 4, функцията y (x) 0 е решение на уравнение (4.24), което ще бъде загубено при такова разделение. Следователно в бъдеще ще трябва да се добави към общото решение. След разделяне получаваме отношението y α y 0 \u003d a (x) y 1 α + b (x). Въведете новата необходима функция z \u003d y 1 α, след това z 0 \u003d (1 следователно стигаме до уравнението за z z 0 \u003d (1 α) a (x) z + (1 α) y α) b (x). α y 0 и (4.25) Уравнение (4.25) е линейно уравнение. Такива уравнения са разгледани в раздел 4.2, където се получава обща формула на решението, поради което решението z (x) от уравнение (4.25) се записва под формата z (x) \u003d Ce R (α 1) a (x) dx + + (1 α ) e R (α 1) a (x) dx 1 Z b (x) e R (α 1) a (x) dx dx. (4.26) Тогава функцията y (x) \u003d z 1 α (x), където z (x) е дефинирана в (4.26), е решение на уравнението на ernoulli (4.24). -64- Освен това, както е посочено по-горе, за α\u003e 0 решението е и функцията y (x) 0. Пример 4. 4. Решете уравнението y 0 + 2y \u003d y 2 напр. (4.27) Разделете уравнение (4.27) на y 2 и направете промяната z \u003d получаваме линейно нехомогенно уравнение 1 y. В резултат z 0 + 2z \u003d напр. (4.28) Първо решаваме хомогенното уравнение: z 0 + 2z \u003d 0, dz \u003d 2dx, z ln jzj \u003d 2x + c, z \u003d Ce2x, C 2 R1. Търсим решението на нехомогенното уравнение (4.28) по метода на вариация на произволна константа: zпн \u003d C (x) e2x, C 0 e2x 2Ce2x + 2Ce2x \u003d ex, C 0 \u003d ex, C (x) \u003d ex, откъдето zпн \u003d ex и общото решение на уравнението (4.28) z (x) \u003d Ce2x + напр. Следователно решението на уравнението на Áernoulli (4.24) се записва под формата y (x) \u003d 1. ex + Ce2x В допълнение, решението на уравнение (4.24) е и функцията y (x) Загубихме това решение, когато разделихме това уравнение на y 2. 0. 4. 5. Уравнение в пълни диференциали Разглеждаме уравнението в диференциали M (x, y) dx + N (x, y) dy \u003d 0, (x, y) 2 G, (4.29) G е някаква област в R2. Такова уравнение се нарича уравнение в общия диференциал x, ако съществува функция F (x, y) 2 C 1 (G), наречена потенциал, такъв че dF (x, y) \u003d M (x, y) dx + N (x, y ) dy, (x, y) 2 G. За простота приемаме, че M (x, y), N (x, y) 2 C 1 (G) и домейнът G са просто свързани. При тези предположения в хода на математическия анализ (виж например) се доказва, че потенциалът F (x, y) за уравнение (4.29) съществува (т.е. (4.29) е уравнение в общите диференциали), ако и само ако Моят (x, y) \u003d Nx (x, y) -65- 8 (x, y) 2 G. Освен това, (x, Z y) F (x, y) \u003d M (x, y) dx + N (x, y) dy, (4.30) (x0, y0) където точка (x0, y0) е някаква фиксирана точка от G, (x, y) е текущата точка в G, а криволинейният интеграл се взема по всяка крива, свързваща точките (x0, y0) и (x, y) и лежи изцяло в областта G. Ако уравнението (4.29) е уравнението

Този курс на лекции се провежда в продължение на повече от 10 години за студенти по теоретична и приложна математика в Държавния университет в Далечния Изток. Съответства на стандарта от 2-ро поколение за тези специалитети. Препоръчва се за студенти и студенти от математически специалности.

Теорема на Коши за съществуването и уникалността на решение на задачата на Коши за уравнение от първи ред.
В този раздел, като налагаме определени ограничения от дясната страна на диференциално уравнение от първи ред, доказваме съществуването и уникалността на решението, определено от първоначалните данни (x0, y0). Първото доказателство за съществуването на решение на диференциални уравнения се дължи на Коши; доказателството по-долу е дадено от Picard; това се прави по метода на последователните приближения.

СЪДЪРЖАНИЕ
1. Уравнения от първи ред
1.0. Въведение
1.1. Разделими уравнения
1.2. Хомогенни уравнения
1.3. Обобщени хомогенни уравнения
1.4. Линейни уравнения от първи ред и сведени до тях
1.5. Уравнението на Бернули
1.6. Уравнение на Рикати
1.7. Общо диференциално уравнение
1.8. Интегриращ фактор. Най-простите случаи за намиране на интегриращия фактор
1.9. Уравненията не са разрешени за производната
1.10. Теорема на Коши за съществуването и уникалността на решение на задачата на Коши за уравнение от първи ред
1.11. Специални точки
1.12. Специални решения
2. Уравнения от по-високи порядъци
2.1. Основни понятия и определения
2.2. Видове уравнения от n-порядък, разрешими чрез квадратури
2.3. Междинни интеграли. Уравнения, допускащи намаляване на поръчките
3. Линейни диференциални уравнения от n-ти ред
3.1. Основни понятия
3.2. Линейни хомогенни диференциални уравнения от n-ти ред
3.3. Намаляване на реда на линейно хомогенно уравнение
3.4. Нехомогенни линейни уравнения
3.5. Намаляване на реда в линейно нехомогенно уравнение
4. Линейни уравнения с постоянни коефициенти
4.1. Хомогенно линейно уравнение с постоянни коефициенти
4.2. Нехомогенни линейни уравнения с постоянни коефициенти
4.3. Линейни уравнения от втори ред с трептящи решения
4.4. Интегриране по степенни серии
5. Линейни системи
5.1. Нехомогенни и хомогенни системи. Някои свойства на решенията на линейни системи
5.2. Необходими и достатъчни условия за линейна независимост на решенията на линейна хомогенна система
5.3. Съществуването на фундаментална матрица. Изграждане на общо решение на линейна хомогенна система
5.4. Изграждане на целия набор от основни матрици на линейна хомогенна система
5.5. Нехомогенни системи. Изграждане на общо решение чрез метода на вариация на произволни константи
5.6. Линейни хомогенни системи с постоянни коефициенти
5.7. Някои сведения от теорията на функциите на матриците
5.8. Изграждане на основната матрица на система от линейни еднородни уравнения с постоянни коефициенти в общия случай
5.9. Теорема за съществуването и теореми за функционални свойства на решения на нормални системи от диференциални уравнения от първи ред
6. Елементи на теорията за стабилността
6.1
6.2. Най-простите видове точки за почивка
7. Частични диференциални уравнения от 1-ви ред
7.1. Линейно хомогенно диференциално уравнение в частни случаи от 1-ви ред
7.2. Нехомогенно линейно диференциално уравнение за частни процеси от първи ред
7.3. Система от две диференциални уравнения в частни части с 1 неизвестна функция
7.4. Уравнението на Пфаф
8. Варианти на контролни задачи
8.1. Изпитна работа No1
8.2. Изпитна работа No2
8.3. Изпитна работа No3
8.4. Изпитна работа No4
8.5. Изпитна работа No5
8.6. Изпитна работа No6
8.7. Изпитна работа No7
8.8. Изпитна работа No8.

Изтеглете безплатно електронната книга в удобен формат, гледайте и четете:
Изтеглете книгата Курс лекции по обикновени диференциални уравнения, Shepeleva R.P., 2006 - fileskachat.com, бързо и безплатно изтегляне.

Изтеглете pdf
По-долу можете да закупите тази книга на най-добрата цена с отстъпка с доставка в цяла Русия.

„ЛЕКЦИИ ПО ОБИКНОВНИ ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ ЧАСТ 1. ЕЛЕМЕНТИ НА ОБЩАТА ТЕОРИЯ В учебника са изложени разпоредбите, които са в основата на теорията на обикновените диференциални уравнения: ...“

-- [ Страница 1 ] --

А. Е. Мамонтов

ЛЕКЦИИ ПО ОБИКНОВЕН

ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ

ЕЛЕМЕНТИ НА ОБЩА ТЕОРИЯ

Урокът излага разпоредбите, които съставляват

основата на теорията на обикновените диференциални уравнения: концепцията за решенията, тяхното съществуване, уникалност,

зависимост от параметрите. Също така (в § 3) се обръща известно внимание на „явното“ решение на някои класове уравнения. Наръчникът е предназначен за задълбочено изучаване на курса "Диференциални уравнения" от студенти, обучаващи се в Математическия факултет на Новосибирския държавен педагогически университет.

UDC 517.91 ББК В161.61 Предговор Учебникът е предназначен за студенти от Математическия факултет на Новосибирския държавен педагогически университет, които желаят да изучават задължителния курс "Диференциални уравнения" в разширен обем. На читателите се предлагат основните концепции и резултати, които формират основата на теорията на обикновените диференциални уравнения: концепции за решения, теореми за тяхното съществуване, уникалност, зависимост от параметри. Описаният материал е представен под формата на логически неразделен текст в §§ 1, 2, 4, 5. Също така (в § 3, който стои донякъде отделно и временно прекъсва основната нишка на курса), накратко са разгледани най-популярните методи за „изрично“ намиране на решения на някои класове уравнения. При първото четене § 3 може да бъде пропуснат, без съществено увреждане на логическата структура на курса.

Важна роля играят упражненията, включени в голям брой в текста. На читателя силно се препоръчва да ги решава „горещи по следите“, което гарантира усвояването на материала и ще послужи като тест. Освен това доста често тези упражнения запълват логическата структура, тоест без да ги решават, не всички предложения ще бъдат строго доказани.

В квадратни скоби в средата на текста има забележки, които имат ролята на коментари (разширени или странични обяснения). В лексикален план тези фрагменти прекъсват основния текст (тоест за последователно четене те трябва да бъдат „игнорирани“), но те все пак са необходими като обяснения. С други думи, тези фрагменти трябва да се възприемат така, сякаш са извадени на полетата.

Текстът съдържа отделно класифицирани „бележки за учителя“ - те могат да бъдат пропуснати при четене от ученици, но са полезни за учителя, който ще използва наръчника, например, когато изнася лекции - те помагат за по-доброто разбиране на логиката на курса и посочват посоката на възможните подобрения (разширения) на курса ... Усвояването на тези забележки от учениците обаче може само да бъде приветствано.

Подобна роля играе и „разсъждението за обучителя“ - те предоставят в изключително кратка форма доказателство за някои от предложенията, предлагани на читателя като упражнения.

Най-често срещаните (ключови) термини се използват под формата на съкращения, списък на които е даден в края за удобство. В текста има и списък с математически обозначения, но не свързани с най-често срещаните (и / или недвусмислено разбрани в литературата).

Символът означава края на доказателството, изложението на изявлението, забележките и т.н. (където е необходимо да се избегне объркване).

Формулите се номерират независимо във всеки параграф. При позоваване на част от формулата се използват индекси, например (2) 3 означава 3-та част на формулата (2) (части от формулата се считат за фрагменти, разделени с типографско пространство, а от логически позиции - с куп „и“).

Това ръководство не може напълно да замести задълбочено изучаване на предмета, което изисква независими упражнения и четене на допълнителна литература, например тази, изброена в края на ръководството. Авторът обаче се опита да представи основните положения на теорията в доста лаконична форма, подходяща за лекционен курс. В тази връзка трябва да се отбележи, че при четене на лекционен курс по този наръчник са необходими около 10 лекции.

Планира се издаването на още 2 части (томове), като се продължи това ръководство и по този начин завърши цикълът от лекции по темата „обикновени диференциални уравнения“: част 2 (линейни уравнения), част 3 (по-нататъшна теория на нелинейните уравнения, уравнения на частичните диференциали от първи ред).

§ 1. Въведение Диференциално уравнение (DE) е отношение на формата u1 u1 un, висши производни F y, u (y), ..., \u003d 0, y1 y2 yk (1) където y \u003d (y1, ..., yk) Rk са независими променливи, а u \u003d u (y) са неизвестни функции1, u \u003d (u1, ..., un). По този начин (1) съдържа n неизвестни, така че са необходими n уравнения, т.е. F \u003d (F1, ..., Fn), така че (1) е, най-общо казано, система от n уравнения. Ако има една неизвестна функция (n \u003d 1), тогава уравнението (1) е скаларно (едно уравнение).

И така, функцията (ите) F е (са) дадена и се търси u. Ако k \u003d 1, тогава (1) се нарича ODE, в противен случай се нарича PDE. Вторият случай е предмет на специален курс за ПФИ, очертан в поредица от уроци със същото име. В тази поредица от уроци (състоящи се от 3 части-тома), ние ще изучаваме само ODE, с изключение на последния параграф на последната част (том), в който започваме да изучаваме някои специални случаи на PDE.

2u u Пример. 2 \u003d 0 е PDE.

y1 y Неизвестните стойности на u могат да бъдат реални или сложни, което е незначително, тъй като този момент се отнася само до формата на писане на уравнения: всяка сложна нотация може да се превърне в реална, разделяйки реалната и въображаемата части (но, разбира се, удвояване на броя на уравненията и неизвестни) и обратно, в някои случаи е удобно да се премине към сложна нотация.

du d2v dv 2 \u003d uv; u3 \u003d 2. Това е система от 2 ODE Пример.

dy dy dy за 2 неизвестни функции в независимата променлива y.

Ако k \u003d 1 (ODE), тогава се използва "прав" символ d / dy.

u (y) du Пример. exp (sin z) dz е ODE, тъй като има пример. \u003d u (u (y)) за n \u003d 1 не е диференциално уравнение, а функционално диференциално уравнение.

Това не е DE, а интегро-диференциално уравнение, ние няма да изучаваме такива уравнения. Уравнението (2) обаче може лесно да бъде намалено до ODE:

Упражнение. Намалете (2) до ODE.

Но като цяло интегралните уравнения са по-сложен обект (той е частично проучен в хода на функционалния анализ), въпреки че, както ще видим по-долу, с тяхна помощ се получават някои резултати за ODE.

DE възникват както от вътрешно-математически нужди (например в диференциалната геометрия), така и от приложения (исторически за първи път, а сега главно във физиката). Най-простият DE е "основният проблем на диференциалното смятане" за възстановяване на функция от нейната производна: \u003d h (y). Както е известно от анализа, неговото решение има формата u (y) \u003d + h (s) ds. По-общите DE изискват специални методи за решаването му. Както обаче ще видим по-долу, практически всички методи за решаване на ODE "в изрична форма" по същество се свеждат до посочения тривиален случай.

В приложенията ODE най-често възникват, когато описват процесите, развиващи се във времето, така че ролята на независима променлива обикновено се играе от времето t.

по този начин, смисълът на ODE в такива приложения е да опише промяната в параметрите на системата във времето. Следователно, когато се изгражда обща теория на ODE, е удобно да се обозначи независимата променлива с t (и да се нарече време с всички произтичащи от това терминологични последици) и неизвестната функция (и) - чрез x \u003d (x1, ..., xn). По този начин общият изглед на ODE (ODE системата) е както следва:

където F \u003d (F1, ..., Fn) е система от n ODE за n функции x, а ако n \u003d 1, тогава един ODE за 1 функция x.

Нещо повече, x \u003d x (t), t R и x, най-общо казано, са комплексни (това е за удобство, тъй като тогава някои системи са написани по-компактно).

Казва се, че системата (3) е от порядък m по отношение на функцията xm.

Производните се наричат \u200b\u200bстарши, а останалите (включително xm \u003d себе си) се наричат \u200b\u200bниски. Ако всички m \u003d, тогава те просто казват, че редът на системата е равен.

Вярно е, че числото m често се нарича ред на системата, което също е естествено, както ще стане ясно по-долу.

Ще разгледаме въпроса за необходимостта от изучаване на ODE и техните приложения, за да бъде достатъчно обоснован от други дисциплини (диференциална геометрия, математически анализ, теоретична механика и др.) И е частично разгледан в хода на практически упражнения за решаване на задачи (например от проблемна книга). В този курс ще се занимаем изключително с математическото изучаване на системи от формата (3), което предполага отговор на следните въпроси:

1. какво означава „решаване” на уравнението (системата) (3);

2. как да го направя;

3. какви свойства имат тези решения, как да ги изследваме.

Въпрос 1 не е толкова очевиден, колкото изглежда - вижте по-долу. Отбележете веднага, че всяка система (3) може да бъде сведена до система от първи ред, обозначавайки долните производни като нови неизвестни функции. Най-лесният начин да обясните тази процедура е с пример:

от 5 уравнения за 5 неизвестни. Лесно е да се разбере, че (4) и (5) са еквивалентни в смисъл, че решението на един от тях (след съответното преназначение) е решението на другото. В този случай е необходимо само да се постави въпросът за гладкостта на решенията - ще направим това допълнително, когато срещнем ODE от по-висок ред (т.е. не първата).

Но сега е ясно, че е достатъчно да се изучават само ODE от първи ред, докато други могат да се изискват само за удобство на нотирането (това положение понякога ще възникне в нашия случай).

Засега нека се ограничим до ODE от първи ред

dimx \u003d dimF \u003d n.

Изследването на уравнение (система) (6) е неудобно поради факта, че не е разрешено по отношение на производни dx / dt. Както е известно от анализа (от теоремата за имплицитната функция), при определени условия на F, уравнение (6) може да бъде решено по отношение на dx / dt и написано във формата, където е дадено f: Rn + 1 Rn, а x: R Rn е желаното. Те казват, че (7) е ODE, разрешен по отношение на деривати (нормален ODE). При преминаване от (6) в (7) естествено могат да възникнат трудности:

Пример. Уравнението exp (x) \u003d 0 не може да бъде записано под формата (7) и изобщо няма решения, т.е. exp няма нули дори в комплексната равнина.

Пример. Уравнението x 2 + x2 \u003d 1 при разделителна способност се записва като две нормални ODE x \u003d ± 1 x2. Трябва да решите всеки от тях и след това да интерпретирате резултата.

Коментирайте. При намаляване на (3) до (6) може да възникне сложност, ако (3) има 0 ред в някаква функция или част от функциите (т.е. това е функционално диференциално уравнение). Но тогава тези функции трябва да бъдат елиминирани чрез теоремата за неявната функция.

Пример. x \u003d y, xy \u003d 1 x \u003d 1 / x. Намерете x от получения ODE и след това y от функционалното уравнение.

Но във всеки случай проблемът за прехода от (6) към (7) по-скоро принадлежи към областта на математическия анализ, отколкото към DE, и ние няма да се занимаваме с него. Въпреки това, при решаването на ODE от формата (6) могат да възникнат моменти, които са интересни от гледна точка на ODE, така че този въпрос е подходящо да се проучи при решаване на проблеми (както се прави например в) и той ще бъде леко засегнат в § 3. Но в останалата част от курса ще се занимават само с нормални системи и уравнения. Така че, помислете за ODE (система от ODE) (7). Нека го запишем 1 път в компонентна форма:

Понятието "решаване (7)" (и като цяло всяко DE) отдавна се разбира като търсене на "изрична формула" за решение (т.е. под формата на елементарни функции, техните антидеривати или специални функции и т.н.), без акцент върху гладкостта на решението и интервала на неговото дефиниране. Съвременното състояние на теорията за ODE и други клонове на математиката (и природните науки като цяло) показва, че този подход е незадоволителен, макар и само защото частта от ODE, които се поддават на такава „явна интеграция“, е изключително малка (дори за най-простите ODE x \u003d f (t) известно е, че решението в елементарните функции е рядко, въпреки че има "изрична формула").

Пример. Уравнението x \u003d t2 + x2, въпреки изключителната си простота, няма решения в елементарни функции (и дори „тук няма формула“).

И въпреки че е полезно да се знаят онези класове ODE, за които е възможна „изричната“ конструкция на решението (по същия начин, както е полезно да може да се „броят интеграли“, когато е възможно, въпреки че това е изключително рядко). В това отношение са характерни следните термини: „интегриране ODE "," ODE интеграл "(остарели аналози на съвременните концепции" решаване на ODE "," ODE решение "), които отразяват старите концепции на решението. Как да разберем съвременните термини, сега ще обясним.

и този въпрос ще бъде разгледан в § 3 (както и традиционно му се обръща голямо внимание при решаване на задачи в практическите занятия), но не трябва да се очаква някаква универсалност от този подход. Като правило под процеса на решаване (7) имаме предвид напълно различни стъпки.

Трябва да се изясни коя функция x \u003d x (t) може да се нарече решение (7).

На първо място, отбелязваме, че ясната формулировка на концепцията за решение е невъзможна без уточняване на множеството, върху което е дефинирано, макар и само защото решението е функция, а всяка функция (според определението на училището) е закон, който сравнява всеки елемент от множество (наречен домейн на дефиницията на тази функция) някакъв елемент от друг набор (стойности на функциите). По този начин да се говори за функция, без да се посочва нейният обхват, по дефиниция е абсурдно. Аналитичните функции (в по-широк смисъл - елементарни) служат тук като „изключение“ (подвеждащо) поради посочените по-долу причини (и някои други), но в случая на DE такива свободи са неприемливи.

и като цяло, без да се посочват наборите от дефиниции на всички функции, участващи в (7). Както ще стане ясно от следващото, препоръчително е да се свърже твърдо концепцията за решение с множеството от неговата дефиниция и да се счита, че решенията са различни, ако множествата от техните дефиниции са различни, дори ако решенията съвпадат в пресечната точка на тези множества.

Най-често в конкретни ситуации това означава, че ако решенията се конструират под формата на елементарни функции, така че 2 решения имат "една и съща формула", тогава все още е необходимо да се изясни дали съвпаденията, върху които са написани тези формули. Объркването, което преобладаваше в този брой дълго време, беше простимо, стига да се разглеждаха решения под формата на елементарни функции, тъй като аналитичните функции недвусмислено се простират на по-широки интервали.

Пример. x1 (t) \u003d et on (0,2) и x2 (t) \u003d et on (1,3) са различни решения на уравнението x \u003d x.

В този случай е естествено да се вземе отворен интервал (може би безкраен) като набор от дефиниции за всяко решение, тъй като този набор трябва да бъде:

1.отворете, така че във всеки момент да има смисъл да се говори за производно (двустранно);

2. свързани, така че решението да не се разпада на несвързани парчета (в този случай е по-удобно да се говори за няколко решения) - вижте предишния пример.

По този начин, решението (7) е двойка (, (a, b)), където a b + е дефинирано на (a, b).

Бележка за учителя. В някои учебници е разрешено да се включват краищата на сегмент в областта на дефиницията на решение, но това е неподходящо с оглед на факта, че това само усложнява представянето, но не осигурява реално обобщение (вж. § 4).

За да се улесни разбирането на по-нататъшните разсъждения, е полезно да се използва геометричната интерпретация (7). В пространството Rn + 1 \u003d ((t, x)) във всяка точка (t, x), където е дефинирано f, можем да разгледаме вектора f (t, x). Ако изградим в това пространство графиката на решение (7) (тя се нарича интегрална крива на система (7)), тогава тя се състои от точки от формата (t, x (t)). Когато t (a, b) се промени, тази точка се движи по IC. Допирателната към IC в точката (t, x (t)) има формата (1, x (t)) \u003d (1, f (t, x (t))). По този начин IK са тези и само онези криви в пространството Rn + 1, които във всяка точка (t, x) имат допирателна успоредна на вектора (1, f (t, x)). На тази идея т.нар. изоклинен метод за приблизителна конструкция на IC, който се използва при показване на графиките на разтвори на специфични ODE (вж.

напр.). Например, за n \u003d 1, нашата конструкция означава следното: във всяка точка на IR неговият наклон към оста t има свойството tg \u003d f (t, x). Естествено е да се приеме, че като вземем всяка точка от множеството на дефиницията на f, можем да изтеглим IC чрез нея. Тази идея ще бъде строго обоснована по-долу. Засега ни липсва строга формулировка на гладкостта на решенията - това ще бъде направено по-долу.

Сега е необходимо да се прецизира множеството B, на което е дефинирано f. Естествено е да вземете този набор:

1. отворен (така че IC може да бъде изграден в близост до всяка точка от B), 2. свързан (в противен случай всички свързани части могат да се разглеждат отделно - все едно, IC (като графика на непрекъсната функция) не може да прескача от едно парче на друго, така че на това няма да повлияе на общото търсене на решения).

Ще разгледаме само класически решения (7), т.е. такива, че самият x и неговият x са непрекъснати на (a, b). Тогава е естествено да се изисква f C (B). По-нататък това изискване винаги ще бъде разбрано от нас. И така, най-накрая получаваме определението. Нека B Rn + 1 е област, f C (B).

Двойка (, (a, b)), ab +, дефинирана на (a, b), се нарича решение на (7), ако C (a, b), за всяко t (a, b) точката (t, (t) ) B и (t) съществува и (t) \u003d f (t, (t)) (след това автоматично C 1 (a, b)).

Геометрично е ясно, че (7) ще има много решения (което е лесно да се разбере графично), тъй като ако извършваме коефициенти на интелигентност, започвайки от точки на формата (t0, x0), където t0 е фиксирано, тогава ще получим различни коефициенти на интелигентност. В допълнение, промяната на интервала за определяне на решението ще даде различно решение, според нашата дефиниция.

Пример. x \u003d 0. Решение: x \u003d \u003d const Rn. Ако обаче изберем малко t0 и фиксираме стойността x0 на решението в точката t0: x (t0) \u003d x0, тогава стойността се определя еднозначно: \u003d x0, т.е. решението е уникално до избора на интервала (a, b) t0.

Наличието на „безличен“ набор от решения е неудобно за работа с тях2 - по-удобно е да ги „изброите“, както следва: добавете допълнителни условия към (7), така че да изберете единично (в определен смисъл) решение, и след това, като сортирате тези условия, работете с всяко решение поотделно (геометрично може да има едно решение (IC), но има много парчета - ще се справим с това неудобство по-късно).

Определение. Проблемът за (7) е (7) с допълнителни условия.

По същество вече сме измислили най-простия проблем - това е проблемът на Коши: (7) с условия на формата (данни на Коши, първоначални данни):

От гледна точка на приложенията, този проблем е естествен: например, ако (7) описва промяната в някои параметри x с времето t, тогава (8) означава, че в определен (начален) момент от време стойността на параметрите е известна. Необходимо е да се проучат и други проблеми, за това ще говорим по-късно, но засега ще се съсредоточим върху проблема Коши. Естествено, този проблем има смисъл за (t0, x0) B. Съответно, решение на проблем (7), (8) е решение (7) (по смисъла на определението, дадено по-горе) такова, че t0 (a, b), и (8).

Непосредствената ни задача е да докажем съществуването на решение на задачата на Коши (7), (8), а за определен допълнителен пример - квадратно уравнение, е по-добре да напишем x1 \u003d ..., x2 \u003d ..., отколкото x \u003d b / 2 ± ...

предположения за f - и неговата уникалност в определен смисъл.

Коментирайте. Трябва да изясним концепцията за нормата на вектор и матрица (въпреки че матрици ще ни трябват само в Част 2). Поради факта, че всички норми са еквивалентни в ограничено пространство, изборът на конкретна норма няма значение, ако се интересуваме само от оценки, а не от точни стойности. Например за вектори можете да използвате | x | p \u003d (| xi | p) 1 / p, p е сегментът Peano (Picard). Да разгледаме конуса K \u003d (| x x0 | F | t t0 |) и неговата пресечена част K1 \u003d K (t IP). Ясно е, че само K1 C.

Теорема. (Peano). Нека се изпълнят изискванията за f в задача (1), посочени в дефиницията на решението, т.е.:

f C (B), където B е домейн в Rn + 1. Тогава за всички (t0, x0) B съществува решение на проблем (1) на Int (IP).

Доказателства. Нека дефинираме произволно (0, T0] и конструираме така наречената Ойлерова полилиния със стъпка, а именно: това е полилиния в Rn + 1, в която всяка връзка има проекция върху оста t на дължината, първата връзка вдясно започва в точката (t0, x0) и е такъв, че dx / dt \u003d f (t0, x0) върху него; десният край на тази връзка (t1, x1) служи като ляв край за втория, при който dx / dt \u003d f (t1, x1) и т.н., и подобно на лявата. Получената прекъсната линия определя линейна функция на парчета x \u003d (t). Докато t IP, прекъснатата линия остава в K1 (и още повече в C, а оттам и в B), така че конструкцията е правилна - за това, всъщност, направихме спомагателна конструкция преди теоремата.

Всъщност, навсякъде, с изключение на точките на прекъсване, съществува и тогава (s) (t) \u003d (z) dz, където произволни стойности на производната се вземат в точките на прекъсване.

Освен това (придвижване по прекъснатата линия чрез индукция) | (t) x0 | F | t t0 |.

По този начин, за функцията IP:

2. е равнопрекъснат, тъй като Липшиц:

Тук читателят трябва, ако е необходимо, да освежи знанията си за такива понятия и резултати като: равномерност, еднородна конвергенция, теорема на Арзела-Асколи и др.

Според теоремата на Arzela-Ascoli има последователност k 0, такава че k е на IP, където C (IP). По конструкция (t0) \u003d x0, така че остава да проверим, че ще докажем това за s t.

Упражнение. Помислете за s t по подобен начин.

Нека зададем 0 и намерим 0, така че за всички (t1, x1), (t2, x2) C да е вярно Това може да се направи с оглед на равномерната непрекъснатост на f на компактния набор C. Нека намерим m N, така че Fix t Int (IP) и вземем всяко Int (IP) такъв, че tst +. Тогава за всички z имаме | k (z) k (t) | F; следователно, с оглед на (4) | k (z) (t) | 2F.

Обърнете внимание, че k (z) \u003d k (z) \u003d f (z, k (z)), където z е абсцисата на лявата крайна точка на полилинейния сегмент, съдържащ точката (z, k (z)). Но точката (z, k (z)) попада в цилиндъра с параметри (, 2F), изградена върху точката (t, (t)) (всъщност дори в пресечения конус - вижте фигурата, но сега няма значение), така с оглед на (3) получаваме | k (z) f (t, (t)) |. За прекъсната линия имаме, както беше споменато по-горе, формулата At k това ще даде (2).

Коментирайте. Нека f C 1 (B). Тогава решението, дефинирано на (a, b), ще бъде от клас C 2 (a, b). Всъщност на (a, b) имаме: съществува f (t, x (t)) \u003d ft (t, x (t)) + (t, x (t)) x (t) (тук е матрицата на Якоби ) е непрекъсната функция. Знаете мамят, има и 2 C (a, b). Гладкостта на разтвора може да бъде допълнително увеличена, ако f е гладка. Ако f е аналитично, тогава може да се докаже съществуването и уникалността на аналитично решение (това е така наречената теорема на Коши), въпреки че това не следва от предходните разсъждения!

Тук е необходимо да се помни какво представлява аналитичната функция. Да не се бърка с функция, представена от степенна серия (това е само представяне на аналитична функция на, най-общо казано, част от нейната област на дефиниция)!

Коментирайте. За дадено (t0, x0) може да се опита да увеличи T0 чрез промяна на T и R. Това обаче по правило не е толкова важно, тъй като съществуват специални методи за изследване на максималния интервал на съществуване на решение (вж. § 4).

Теоремата на Пиано не казва нищо за уникалността на решението. В нашето разбиране за решение, то винаги не е уникално, тъй като ако има решение, тогава неговите ограничения за по-тесни интервали ще бъдат други решения. Ще разгледаме тази точка по-подробно по-късно (в § 4), но засега под уникалност имаме предвид съвпадението на всякакви две решения в пресечната точка на интервалите от тяхното определение. Дори в този смисъл теоремата на Пиано не казва нищо за уникалността, което не е случайно, тъй като уникалността не може да бъде гарантирана при нейните условия.

Пример. n \u003d 1, f (x) \u003d 2 | x |. Задачата на Коши има тривиално решение: x1 0, а освен това x2 (t) \u003d t | t |. От тези две решения може да бъде съставено цяло 2-параметърно семейство решения:

където + (безкрайните стойности означават отсъствието на съответния клон). Ако разглеждаме цялото R като област на всички тези решения, тогава все още има безкрайно много от тях.

Имайте предвид, че ако приложим доказателството на теоремата на Пиано по отношение на прекъснатите линии на Ойлер в този проблем, тогава ще получим само нулевото решение. От друга страна, ако на всяка стъпка в процеса на конструиране на многоъгълни линии на Euler се допуска малка грешка, тогава дори след като параметърът на грешката има тенденция към нула, всички решения остават. По този начин теоремата на Пиано и многоъгълните линии на Ойлер са естествени като метод за конструиране на решения и са тясно свързани с числените методи.

Неприятността, наблюдавана в примера, се дължи на факта, че функцията f не е гладка по x. Оказва се, че ако наложим допълнителни изисквания за редовността на f в x, тогава може да се осигури уникалност и тази стъпка е необходима в определен смисъл (виж по-долу).

Нека си припомним някои концепции от анализа. Функция (скаларна или векторна) g се нарича Hölder с експонента (0, 1] на множеството, ако in е вярно от условието на Липшиц. За 1 това е възможно само за постоянни функции. Функция, дефинирана на интервал (където изборът на 0 е несъществен), се нарича модул на непрекъснатост, ако се казва, че g отговаря в обобщеното условие на Hölder с модул, ако в този случай се нарича модул на непрекъснатост на g в.

Може да се покаже, че всеки модул на непрекъснатост е модулът на непрекъснатост на някаква непрекъсната функция.

За нас е важен обратният факт, а именно: всяка непрекъсната функция на компактен набор има свой модул на непрекъснатост, т.е. удовлетворява (5) с някои. Нека го докажем. Спомнете си, че ако е компактен и g C (), тогава g непременно е равномерно непрекъснат, т.е.

\u003d (): | x y | \u003d | g (x) g (y) |. Оказва се, че това е еквивалентно на условие (5) с някои. В действителност, ако съществува, тогава е достатъчно да се конструира модул на непрекъснатост, такъв че (()), и след това за | x y | \u003d \u003d () получаваме Тъй като (и) са произволни, тогава x и y могат да бъдат всякакви.

И обратно, ако (5) е вярно, тогава е достатъчно да се намери такова, че (()), а след това за | x y | \u003d () получаваме Остава да се обосноват логическите преходи:

За монотонен и, е достатъчно да се вземат обратни функции, но в общия случай е необходимо да се използва т.нар. обобщени обратни функции. Тяхното съществуване изисква отделно доказателство, което ние няма да дадем, а просто идея (полезно е да придружим четенето със снимки):

за всяко F дефинираме F (x) \u003d min F (y), F (x) \u003d max F (y) - това са монотонни функции и имат обратни. Във F е лесно да се провери дали x x F (F (x)), (F) 1 (F (x)) x, F ((F) 1 (x)) x.

Най-добрият модул на непрекъснатост е линеен (условие на Липшиц). Това са "почти диференцируеми" функции. Необходими са известни усилия, за да се даде строг смисъл на последното изявление и ние се ограничаваме само до две забележки:

1. Строго погледнато, не всяка функция на Липшиц е диференцируема, тъй като примерът показва g (x) \u003d | x | върху R;

2. но диференцируемостта предполага свойството на Липшиц, както показва следващото твърдение. Всяка функция g, имаща всички M на изпъкнало множество, отговаря на условието на Липшиц върху нея.

[Засега разгледайте скаларните функции g за краткост.] Доказателство. За всички x, y имаме Ясно е, че това твърдение важи и за векторните функции.

Коментирайте. Ако f \u003d f (t, x) (най-общо казано, векторна функция), тогава можем да въведем понятието „f е Липшиц в x“, тоест | f (t, x) f (t, y) | C | xy |, и също докажете, че ако D е изпъкнала в x за всички t, тогава за f да е Липшиц по отношение на x в D, е достатъчно да има производни на f по отношение на x, ограничени В изявлението ние получихме оценката | g (x) g (y) | през | x y |. За n \u003d 1 това обикновено се прави по формулата на крайни приращения: g (x) g (y) \u003d g (z) (xy) (ако g е векторна функция, тогава z е различна за всеки компонент). За n 1 е удобно да се използва следният аналог на тази формула:

Лема. (Адамард). Нека f C (D) (най-общо казано, векторна функция), където D (t \u003d t) е изпъкнала за всяко t и f (t, x) f (t, y) \u003d A (t, x, y) (xy), където A е непрекъсната правоъгълна матрица.

Доказателства. За всяко фиксирано t, приложете изчислението от доказателството. Изявление за \u003d D (t \u003d t), g \u003d fk. Получаваме необходимото представяне с A (t, x, y) \u003d A наистина е непрекъснато.

Нека се върнем към въпроса за уникалността на решението на проблема (1).

Нека поставим въпроса по следния начин: какъв трябва да бъде модулът на непрекъснатост на f по отношение на x, за да бъде решението (1) уникално в смисъл, че 2 решения, дефинирани на един интервал, съвпадат? Отговорът се дава от следната теорема:

Теорема. (Осгуд). Нека при условията на теоремата на Пеано е модулът на непрекъснатост на f по отношение на x в B, тоест функцията в неравенството удовлетворява условието (можем да приемем C). Тогава задача (1) не може да има две различни решения, дефинирани на един и същ интервал на формата (t0 a, t0 + b).

Сравнете с горния пример за уникалност.

Лема. Ако z C 1 (,), тогава за всички (,):

1. в точките, където z \u003d 0, съществува | z | и || z | | | z |;

2. в точките, където z \u003d 0, има едностранни производни | z | ±, и || z | ± | \u003d | z | (по-специално, ако z \u003d 0, тогава | z | \u003d 0 съществува).

Пример. n \u003d 1, z (t) \u003d t. В точката t \u003d 0 производната на | z | не съществува, но има еднопосочни производни.

Доказателства. (Леми). В тези точки, където z \u003d 0, ако z · z em: съществува | z | \u003d, и || z | | | z |. В тези точки t, където z (t) \u003d 0, имаме:

Случай 1: z (t) \u003d 0. Тогава получаваме съществуването на | z | (t) \u003d 0.

Случай 2: z (t) \u003d 0. Тогава за +0 или 0, z (t +) | | z (t) | чийто модул е \u200b\u200bравен на | z (t) |.

По предположение F F 1 (0,), F 0, F, F (+0) \u003d +. Нека z1,2 са две решения на (1), дефинирани на (t0, t0 +). Поставяме z \u003d z1 z2. Ние имаме:

Да предположим, че има t1 (за да бъде определено, t1 t0) такова, че z (t1) \u003d 0. Наборът A \u003d (t t1 | z (t) \u003d 0) не е празен (t0 A) и е ограничен по-горе. Следователно той има горна граница t1. По конструкция z \u003d 0 на (, t1) и тъй като z е непрекъснато, имаме z () \u003d 0.

По лема, | z | C 1 (, t1) и на този интервал | z | | z | (| z |), така че интегрирането по (t, t1) (където t (, t1)) дава F (| z (t) |) F (| z (t1) |) t1 t. При t + 0 получаваме противоречие.

Следствие 1. Ако при условията на теоремата на Пеано f е Липшиц в x в B, тогава задача (1) има уникално решение в смисъла, описан в теоремата на Осгуд, тъй като в този случай () \u003d C удовлетворява (7).

Следствие 2. Ако при условията на теоремата на Пиано C (B), тогава решението (1), дефинирано на Int (IP), е уникално.

Лема. Всяко решение (1), дефинирано за IP, трябва да отговаря на оценката | x | \u003d | f (t, x) | F, а графиката му е в K1 и още повече в C.

Доказателства. Да предположим, че има t1 IP такъв, че (t, x (t)) C. За определеност нека t1 t0. Тогава има t2 (t0, t1], така че | x (t) x0 | \u003d R. Подобно на аргументите в доказателството на теоремата на Осгуд, можем да приемем, че t2 е най-лявата такава точка, но имаме (t, x (t)) C, така че | f (t, x (t)) | F и следователно (t, x (t)) K1, което противоречи | x (t2) x0 | \u003d R. Така че ) C на целия IP и след това (повтаряйки изчисленията) (t, x (t)) K1.

Доказателства. (Следствие 2). C е компактен набор f, получаваме, че f е Lipschitz в x в C, където графиките на всички решения лежат с оглед на лема. По следствие 1 получаваме необходимото.

Коментирайте. Условие (7) означава, че условието на Липшиц за f не може да бъде значително отслабено. Например, състоянието на Hölder с 1 вече не е валидно. Подходящи са само модули на непрекъснатост, близки до линейните - като "най-лошия":

Упражнение. (достатъчно трудно). Докажете, че ако удовлетворява (7), тогава има 1 удовлетворяващо (7) такова, че 1 / е на нула.

В общия случай не е необходимо да се изисква точно нещо от модула на непрекъснатост на f по отношение на x за уникалност - възможни са различни специални случаи, например:

Изявление. Ако при условията на теоремата на Пеано, тогава всякакви 2 решения на (1), дефинирани от From (9), е ясно, че x C 1 (a, b) и след това диференцирането (9) дава (1) 1 и (1) 2 е очевидно ...

За разлика от (1), за (9) е естествено да се конструира решение върху затворен сегмент.

Пикар предложи следния метод на последователни приближения за решаване (1) \u003d (9). Обозначаваме x0 (t) x0 и по-нататък чрез индукция. (Коши-Пикар). Да предположим, че при условията на теоремата на Пеано функцията f е Lipschitz в x във всеки компактен набор K от областта B, изпъкнала в x, т.е.

Тогава за всеки (t0, x0) B проблемът на Коши (1) (известен още като (9)) има уникално решение за Int (IP) и xk x за IP, където xk са дефинирани в (10).

Коментирайте. Ясно е, че теоремата остава валидна, ако условие (11) се замени с C (B), тъй като това условие предполага (11).

Бележка за учителя. Всъщност не са необходими всички компактни комплекти, изпъкнали в x, а само цилиндри, но формулирането се прави точно по този начин, тъй като в § 5 се изискват по-общи компактни комплекти и освен това с тази формулировка забележката изглежда най-естествена.

Доказателства. Ние произволно избираме (t0, x0) B и правим същата спомагателна конструкция, както преди теоремата на Peano. Нека докажем чрез индукция, че всички xk са дефинирани и непрекъснати на IP, а техните графики лежат в K1 и още повече в C. Това е очевидно за x0. Ако това е вярно за xk1, тогава от (10) става ясно, че xk е дефиниран и непрекъснат за IP и това е членството на K1.

Сега доказваме чрез индукция оценката за IP:

(C е компактен изпъкнал в x в B и L (C) е дефиниран за него). За k \u003d 0 това е вече доказаната оценка (t, x1 (t)) K1. Ако (12) е вярно за k: \u003d k 1, то от (10) имаме, както се изисква. По този начин поредицата се мажоризира върху IP от сближаваща се числова поредица и следователно (това се нарича теорема на Weierstrass) се сближава равномерно по IP към някаква функция x C (IP). Но това означава и xk x на IP. След това в (10) на IP преминаваме до границата и получаваме (9) на IP, а оттам (1) на Int (IP).

Уникалността веднага се получава от следствие 1 от теоремата на Осгуд, но е полезно да се докаже по друг начин, като се използва само уравнение (9). Нека има 2 решения x1,2 на задача (1) (т.е. (9)) на Int (IP). Както е посочено по-горе, тогава техните графики задължително трябва да лежат в K1 и още повече в C. Нека t I1 \u003d (t0, t0 +), където е някакво положително число. Тогава \u003d 1 / (2L (C)). Тогава \u003d 0. По този начин x1 \u003d x2 на I1.

Бележка за учителя. Има и доказателство за уникалност с помощта на лемата на Gronwall, тя е още по-естествена, тъй като работи веднага в глобален мащаб, но засега лемата на Gronwall не е много удобна, тъй като е трудно да я възприемем адекватно до линейни ODE.

Коментирайте. Последното доказателство за уникалност е поучително, тъй като за пореден път показва в различна светлина как локалната уникалност води до глобална уникалност (което не е вярно за съществуването).

Упражнение. Докажете уникалността на всички IP едновременно, аргументирайки се с противоречие, както в доказателството на теоремата на Осгуд.

Важен специален случай (1) са линейните ODE, т.е. тези, при които стойността f (t, x) е линейна по x:

В този случай, за да попадне в условията на общата теория, трябва да се изисква По този начин, в този случай, B е ивица и условието на Lipschitz (и дори диференцируемост) по отношение на x се изпълнява автоматично: за всички t (a, b), x, y Rn имаме | f (t, x) f (t, y) | \u003d | A (t) (x y) | | A (t) | | (X y) |.

Ако временно изберем компактен набор (a, b), тогава върху него получаваме | f (t, x) f (t, y) | L | (x y) |, където L \u003d max | A |.

Теоремите на Пеано и Осгуд или Коши-Пикар предполагат уникалната разрешимост на задача (13) върху някакъв интервал (Пеано-Пикар), съдържащ t0. Освен това решението на този интервал е границата на последователните приближения на Пикар.

Упражнение. Намерете този интервал.

Но се оказва, че в този случай всички тези резултати могат да се докажат незабавно в световен мащаб, т.е. на всички (а, б):

Теорема. Нека (14) е вярно. Тогава задача (13) има уникално решение за (a, b); освен това последователните приближения на Picard се сближават равномерно към него на всеки компактен набор (a, b).

Доказателства. Отново, както в TK-P, ние конструираме решение на интегралното уравнение (9), използвайки последователни приближения, използвайки формула (10). Но сега не е нужно да проверяваме състоянието на графиката, удряща конуса и цилиндъра, тъй като.

f е дефиниран за всички x, стига t (a, b). Необходимо е само да се провери дали всички xk са дефинирани и непрекъснати на (a, b), което е очевидно по индукция.

Вместо (12), сега показваме подобна оценка на формата, където N е някакво число в зависимост от избора. Първата индукционна стъпка за тази оценка е различна (тъй като тя не е свързана с K1): за k \u003d 0 | x1 (t) x0 | N поради непрекъснатостта на x1, а следващите стъпки са подобни на (12).

Възможно е да не се описва това, тъй като е очевидно, но е възможно Отново забелязваме xk x on и x е решение на съответната (10) on. Но като направихме това, ние изградихме решение за всички (a, b), тъй като изборът на компакт е произволен. Уникалността следва от теоремите на Осгуд или Коши-Пикар (и разсъжденията по-горе за глобалната уникалност).

Коментирайте. Както бе споменато по-горе, TC-P формално е излишен поради наличието на теореми на Peano и Osgood, но е полезен по 3 причини - той е:

1. позволява да свържете проблема на Коши за ODE с интегрално уравнение;

2. предлага конструктивен метод на последователни приближения;

3. улеснява доказването на глобално съществуване на линейни ODE.

[въпреки че последното може да се изведе и от разсъжденията в § 4.] В следващото най-често ще се позоваваме на него.

Пример. x \u003d x, x (0) \u003d 1. Последователни приближения k Следователно, x (t) \u003d e е решение на първоначалния проблем за цялото R.

Най-често един ред няма да работи, но остава известна конструктивност. Можете също така да оцените грешката x xk (вижте).

Коментирайте. От теоремите на Peano, Osgood и Cauchy-Picard е лесно да се получат съответните теореми за ODE от по-висок ред.

Упражнение. Формулирайте концепциите на задачата на Коши, решенията на системата и задачата на Коши, всички теореми за ODE от по-висок ред, като използвате редукцията до системи от първи ред, представени в § 1.

Нарушавайки до известна степен логиката на курса, но с цел по-добро усвояване и обосноваване на методите за решаване на задачи в практическите занятия, временно прекъсваме представянето на общата теория и се справяме с техническия проблем за „изричното решение на ODE“.

§ 3. Някои методи за интегриране Така че, разгледайте скаларното уравнение \u003d f (t, x). Dt Най-простият частен случай, който сме се научили да интегрираме, е т.нар. ERP, т.е.уравнение, в което f (t, x) \u003d a (t) b (x). Официалният подход за интегриране на ERP е да се "отделят" променливите t и x (оттук и името): \u003d a (t) dt и след това да се вземе интегралът:

x \u003d B (A (t)). Тази формална аргументация съдържа няколко точки, които изискват обосновка.

1. Деление на b (x). Приемаме, че f е непрекъснато, така че A C (,), b C (,), т.е. B е правоъгълник (,) (,)(най-общо казано, безкрайно). Множествата (b (x) 0) и (b (x) 0) са отворени и следователно са крайни или преброими множества от интервали. Между тези интервали има точки или сегменти, където b \u003d 0. Ако b (x0) \u003d 0, тогава проблемът на Коши има решение x x0. Може би това решение не е уникално, тогава в неговата област на дефиниция има интервали, където b (x (t)) \u003d 0, но тогава то може да бъде разделено на b (x (t)) от тях. Мимоходом забележете, че на тези интервали функцията B е монотонна и следователно можем да вземем B 1. Но ако b (x0) \u003d 0, тогава b (x (t)) \u003d 0 в близост до t0 и процедурата е законна. По този начин описаната процедура трябва, най-общо казано, да се прилага при разделяне на областта на дефиниция на решение на части.

2. Интегриране на лявата и дясната страна за различни променливи.

Метод I. Да предположим, че искаме да намерим решение на проблема Kod (t) wi (1) x \u003d (t). Имаме: \u003d a (t) b ((t)), откъдето - получихме строго същата формула.

Метод II. Уравнението е т.нар. симетрична нотация на оригиналния ODE, т.е. такава, която не посочва коя променлива е независима и коя зависи. Такава форма има смисъл именно в случай на едно разглеждано уравнение от първи ред с оглед на теоремата за инвариантността на формата на първия диференциал.

Тук е уместно да разберем по-подробно концепцията за диференциал, илюстрирайки го с примера на равнината ((t, x)), кривите върху нея, възникващите ограничения, степени на свобода, параметър на кривата.

По този начин уравнение (2) свързва диференциалите t и x по дължината на IC. Тогава интегрирането на уравнение (2) по начина, показан в началото, е напълно законно - това означава, ако искате, интегриране върху която и да е променлива, избрана като независима.

В метод I показахме това, като избрахме t като независима променлива. Сега нека покажем това, като изберем параметъра s по IK като независима променлива (тъй като това по-ясно показва равенството на t и x). Нека стойността s \u003d s0 съответства на точката (t0, x0).

Тогава имаме: \u003d a (t (s)) t (s) ds, което след като дава Тук трябва да се съсредоточим върху универсалността на симетричните нотации, например: кръг не се пише нито като x (t), нито като t (x), а като x (s), t (s).

Някои други ODE от първия ред се свеждат до ERP, което може да се види при решаване на проблеми (например при използване на книга с проблеми).

Друг важен случай е линейният ODE:

Метод I. Вариацията е постоянна.

това е специален случай на по-общ подход, който ще бъде обсъден в част 2. Въпросът е, че намирането на решение в специална форма намалява реда на уравнението.

Нека решим първо т.нар. еднородно уравнение:

По силата на уникалността или x 0, или навсякъде x \u003d 0. В последния случай (нека, за определеност, x 0), получаваме, че (4) дава всички решения на (3) 0 (включително нула и отрицателни).

Формула (4) съдържа произволна константа C1.

Методът на вариация на константа е, че решението (3) C1 (t) \u003d C0 + Структурата ORNU \u003d CRNU + OPROU е видима (както при алгебричните линейни системи) (повече за това в Част 2).

Ако искаме да разрешим задачата на Коши x (t0) \u003d x0, тогава трябва да намерим C0 от данните на Коши - лесно можем да получим C0 \u003d x0.

Метод II. Нека намерим IM, тоест такава функция v, по която трябва да умножим (3) (написана така, че всички неизвестни да бъдат събрани от лявата страна: xa (t) x \u003d b (t)), така че от лявата страна да получим производната на някои удобна комбинация.

Имаме: vx vax \u003d (vx), ако v \u003d av, т.е. (такова уравнение по начин, (3) е еквивалентно на уравнение, което вече е лесно разрешимо и дава (5). Ако проблемът на Коши е решен, тогава в (6) е удобно незабавно вземете определен интеграл Някои други се свеждат до линейни ODE (3), както може да се види при решаване на задачи (например с помощта на книга с проблеми). Важният случай на линейни ODE (незабавно за всеки n) ще бъде разгледан по-подробно в Част 2.

И двете разгледани ситуации са специални случаи на т.нар. UPD. Помислете за ODE от първи ред (за n \u003d 1) в симетрична форма:

Както вече споменахме, (7) определя IC в равнината (t, x), без да посочва коя променлива се счита за независима.

Ако умножим (7) по произволна функция M (t, x), тогава получаваме еквивалентна форма на писане на същото уравнение:

По този начин същият ODE има много симетрични записи. Сред тях специална роля играят т.нар. нотация в общи диференциали, името на UPD е жалко, тъй като това свойство не е уравнение, а формата на неговото обозначение, тоест такава, че лявата страна на (7) е равна на dF (t, x) с някои F.

Ясно е, че (7) е UPD, ако и само ако A \u003d Ft, B \u003d Fx с някои F. Както е известно от анализа, за последното е необходимо и достатъчно. Ние не обосноваваме строго технически аспекти, например гладкостта на всички функции. Факт е, че § играе второстепенна роля - изобщо не е необходим за други части на курса и не бих искал да изразходвам прекомерни усилия за подробното му представяне.

По този начин, ако (9) е изпълнено, тогава има F (той е уникален до адитивна константа) такъв, че (7) може да бъде пренаписан като dF (t, x) \u003d 0 (по IR), т.е.

F (t, x) \u003d const по IC, т.е. IC са линиите на нивото на функцията F. Установяваме, че интегрирането на UPD е тривиален проблем, тъй като търсенето на F над A и B, удовлетворяващо (9), не е трудно. Ако (9) не е удовлетворено, тогава трябва да намерите т.нар. IM M (t, x) е такъв, че (8) е UPD, за което е необходимо и достатъчно, за да се изпълни аналогът (9), който има формата:

Както следва от теорията за PDE от първи ред (която ще обсъдим в част 3), уравнение (10) винаги има решение, така че има IM. По този начин всяко уравнение на формата (7) има запис под формата на UPD и следователно позволява "изрично" интегриране. Но тези аргументи не дават конструктивен метод в общия случай, тъй като за решението на (10), най-общо казано, се изисква решението (7), което търсим. Независимо от това, съществуват редица методи за търсене на ИМ, които традиционно се разглеждат в практически часове (вж. Например).

Обърнете внимание, че горните методи за решаване на ERP и линейни ODE са специален случай на идеологията на IM.

Всъщност URS dx / dt \u003d a (t) b (x), написана в симетричната форма dx \u003d a (t) b (x) dt, се решава чрез умножаване по IM 1 / b (x), тъй като след това се превръща в UPD dx / b (x) \u003d a (t) dt, т.е. dB (x) \u003d dA (t). Линейното уравнение dx / dt \u003d a (t) x + b (t), написано в симетричната форма dx a (t) xdt b (t) dt, се решава чрез умножаване по MI, почти всички методи за решаване на ODE "в изрична форма"

(с изключение на големия блок, свързан с линейни системи) са, че с помощта на специални методи за намаляване на реда и промяна на променливите те се свеждат до ODE от първи ред, които след това се намаляват до UPD и се решават чрез прилагане на основната теорема за диференциалното смятане: dF \u003d 0 F \u003d const. Въпросът за намаляване на реда обикновено се включва в хода на практическото обучение (вж. Например).

Нека кажем няколко думи за ODE от първи ред, които не са разрешени по отношение на производната:

Както бе споменато в раздел 1, човек може да се опита да реши (11) по отношение на x и да получи нормална форма, но това не винаги е препоръчително. Често е по-удобно да решавате (11) директно.

Помислете за пространството ((t, x, p)), където p \u003d x временно се счита за независима променлива. Тогава (11) дефинира в това пространство повърхност (F (t, x, p) \u003d 0), която може да се запише параметрично:

Полезно е да запомните какво означава това, например като използвате сферата в R3.

Търсените решения ще съответстват на кривите на тази повърхност: t \u003d s, x \u003d x (s), p \u003d x (s) - една степен на свобода се губи, тъй като решенията имат връзка dx \u003d pdt. Нека напишем тази връзка по отношение на параметри на повърхността (12): gu du + gv dv \u003d h (fudu + fv dv), т.е.

По този начин търсените решения съответстват на криви на повърхността (12), в които параметрите са свързани чрез уравнение (13). Последният е ODE в симетрична форма, която може да бъде решена.

Случай I. Ако в някаква област (gu hfu) \u003d 0, тогава (12), тогава t \u003d f ((v), v), x \u003d g ((v), v) дава параметрично обозначение на необходимите криви в равнината ( (t, x)) (т.е. проецираме върху тази равнина, тъй като не се нуждаем от p).

Дело II. По същия начин, ако (gv hfv) \u003d 0.

Дело III. В някои точки едновременно gu hfu \u003d gv hfv \u003d 0. Тук се изисква отделен анализ, дали този набор отговаря на някои решения (те тогава се наричат \u200b\u200bспециални).

Пример. Уравнението на Клеро x \u003d tx + x 2. Имаме:

x \u003d tp + p2. Нека параметризираме тази повърхност: t \u003d u, p \u003d v, x \u003d uv + v 2. Уравнение (13) приема формата (u + 2v) dv \u003d 0.

Случай I. Не е изпълнено.

Дело II. u + 2v \u003d 0, след това dv \u003d 0, т.е. v \u003d C \u003d const.

Следователно, t \u003d u, x \u003d Cu + C 2 е параметричен запис на IC.

Лесно е да го напишем изрично x \u003d Ct + C 2.

Дело III. u + 2v \u003d 0, т.е. v \u003d u / 2. Това означава, че t \u003d u, x \u003d u2 / 4 е параметричен запис на „кандидата за IC“.

За да проверим дали това наистина е IK, го пишем изрично x \u003d t2 / 4. Оказа се (специално) решение.

Упражнение. Докажете, че специалното решение се отнася за всички останали.

Това е общ факт - графиката на всяко конкретно решение е обвивката на семейството на всички други решения. Това е основата за друга дефиниция на специално решение точно като плик (вж.).

Упражнение. Докажете, че за по-общо уравнение на Клеро x \u003d tx (x) с изпъкнала функция, единичното решение има формата x \u003d (t), където е трансформацията на Лежандър, т.е. \u003d () 1, или (t) \u003d max (tv (v)). По същия начин за уравнението x \u003d tx + (x).

Коментирайте. Съдържанието на § 3 е описано по-подробно и по-точно в учебника.

Бележка за учителя. Когато четете лекционен курс, може да е полезно да разширите § 3, като му придадете по-строга форма.

Сега нека се върнем към основния контур на курса, продължавайки презентацията, започната в §§ 1, 2.

§ 4. Глобална разрешимост на проблема на Коши В § 2 доказахме локалното съществуване на решение на проблема на Коши, тоест само на някакъв интервал, съдържащ точката t0.

При някои допълнителни предположения за f, ние също доказахме уникалността на решението, разбирайки го като съвпадение на две решения, дефинирани на един и същ интервал. Ако f е линейно по x, получаваме глобално съществуване, т.е. на целия интервал, където коефициентите на уравнението (системата) са дефинирани и непрекъснати. Както показва обаче опитът да се приложи общата теория към линейна система, интервалът на Пеано-Пикар, най-общо казано, е по-малък от този, върху който може да се изгради решение. Възникват естествени въпроси:

1. Как да определим максималния интервал, на който може да се твърди съществуването на решение (1)?

2. Съвпада ли този интервал винаги с максимума, при който дясната страна (1) 1 все още има смисъл?

3. Как точно да формулираме концепцията за уникалност на решението, без резерви относно интервала на неговото дефиниране?

Фактът, че отговорът на въпрос 2 обикновено е отрицателен (или по-скоро изисква голямо внимание), е посочен от следния пример. x \u003d x2, x (0) \u003d x0. Ако x0 \u003d 0, тогава x 0 - няма други решения от теоремата на Осгуд. Ако x0 \u003d 0, тогава решаваме да направим чертеж полезен). Интервалът на съществуване на решение не може да бъде по-голям от (, 1 / x0) или (1 / x0, +), съответно, за x0 0 и x0 0 (вторият клон на хиперболата няма нищо общо с решението! - това е типична грешка на учениците). На пръв поглед нищо в първоначалния проблем „не предвещава такъв резултат“. В § 4 ще намерим обяснение на това явление.

Примерът на уравнението x \u003d t2 + x2 разкрива типична грешка на ученика относно интервала на съществуване на решение. Тук фактът, че "уравнението е дефинирано навсякъде" изобщо не означава продължаване на решението за цялата линия. Това е ясно дори от чисто ежедневна гледна точка, например, във връзка със законовите закони и процесите, развиващи се по тях: дори ако законът не предписва изрично прекратяването на съществуването на която и да е компания през 2015 г., това не означава, че тази компания няма да фалира до тази година. по вътрешни причини (макар и да действа в рамките на закона).

За да се отговори на въпроси 1-3 (и дори да се формулират ясно), е необходимо понятието за непрекъснато решение. Ние (както се договорихме по-горе) ще разгледаме решенията на уравнение (1) 1 като двойки (, (tl (), tr ())).

Определение. Разтворът (, (tl (), tr ())) е продължение на разтвора (, (tl (), tr ())), ако (tl (), tr ()) (tl (), tr ()) и | (tl (), tr ()) \u003d.

Определение. Решение (, (tl (), tr ())) не може да се разширява, ако няма нетривиални (т.е. различни от него) разширения. (вижте примера по-горе).

Ясно е, че именно NR са тези, които представляват особена стойност и в техните термини е необходимо да се докаже съществуването и уникалността. Възниква естествен въпрос - винаги ли е възможно да се изгради ИС въз основа на някакво локално решение или на проблема Коши? Оказва се, да. За да разберем това, нека представим следните понятия:

Определение. Набор от решения ((, (tl (), tr ()))) е последователен, ако някои 2 решения от този набор съвпадат в пресечната точка на интервалите от тяхното определение.

Определение. Последователен набор от решения се нарича максимум, ако е невъзможно да се добави друго решение към него, така че новият набор да е последователен и да съдържа нови точки в обединението на домейните на решенията.

Ясно е, че конструкцията на INN е еквивалентна на конструкцията на IS, а именно:

1. Ако има IS, тогава всеки INN, който го съдържа, може да бъде само набор от негови ограничения.

Упражнение. Проверете.

2. Ако има INN, тогава IS (, (t, t +)) се конструира, както следва:

put (t) \u003d (t), където е всеки елемент от INN, дефиниран в този момент. Очевидно такава функция ще бъде уникално определена за всички (t, t +) (уникалността следва от последователността на колекцията) и във всяка точка тя съвпада с всички елементи на INN, дефинирани в този момент. За всяко t (t, t +) има някакво определено в него, а оттам и в неговия квартал, и тъй като в този квартал има решение (1) 1, то - също. По този начин има решение (1) 1 за всички (t, t +). Той не може да се разширява, тъй като в противен случай към INN може да се добави нетривиално продължение, въпреки неговата максималност.

Изграждането на INN на задача (1) в общия случай (при условията на теоремата на Пиано), когато няма локална уникалност, е възможно (виж,), но по-скоро тромаво - то се основава на поетапно приложение на теоремата на Пино с долна граница за дължината на интервала на продължаване. По този начин HP винаги съществува. Ще оправдаем това само в случая, когато има локална уникалност, тогава конструкцията на INN (а следователно и NR) е тривиална. Например за определеност ще действаме в рамките на TC-P.

Теорема. Нека условията TK-P бъдат изпълнени в областта B Rn + 1. Тогава за всеки (t0, x0) B проблем (1) има уникален IS.

Доказателства. Помислете за набора от всички решения на проблем (1) (той не е празен от TK-P). Той образува INN - последователен поради местната уникалност и максимален поради факта, че това е съвкупността от всички решения на проблема на Коши като цяло. Това означава, че HP съществува. Той е уникален поради местната уникалност.

Ако се изисква да се изгради ИС въз основа на съществуващото локално решение (1) 1 (а не на проблема на Коши), тогава този проблем, при наличието на локална уникалност, се свежда до проблема на Коши: трябва да изберете която и да е точка на съществуващата ИК и да разгледате съответния проблем на Коши. MS на този проблем ще бъде продължение на оригиналното решение поради уникалност. Ако няма уникалност, продължаването на даденото решение се извършва съгласно процедурата, посочена по-горе.

Коментирайте. NR не може да бъде удължен в краищата на интервала от съществуването му (независимо от условието за уникалност), така че да е решение и в крайните точки. За да се обоснове, е необходимо да се изясни какво се разбира под решението на ODE в краищата на сегмента:

1. Подход 1. Нека под решението (1) 1 на интервал имаме предвид функция, която удовлетворява уравнението в краищата в смисъл на едностранна производна. Тогава възможността за посоченото разширение на дефиницията на решение, например, в десния край на интервала на неговото съществуване (t, t +] означава, че IC има крайна точка вътре в B и C 1 (t, t +]. Но след като е решила задачата на Коши x (t +) \u003d (t +) за (1) и намирането на неговото решение, получаваме, че за дясната крайна точка t + (в точката t + и двете едностранни производни съществуват и са равни на f (t +, (t +)), което означава, че има обикновена производна), т.е. беше HP.

2. Подход 2. Ако под решението на (1) 1 на сегмент имаме предвид функция, която е непрекъсната само в краищата, но такава, че краищата на IK лежат в B (дори ако уравнението не е необходимо да се изпълнява в краищата), тогава ще се получи същото разсъждение, само по отношение на съответното интегрално уравнение (виж подробности).

По този начин, веднага се ограничавайки само до отворени интервали като набори от дефиниции на решения, ние не нарушихме общото (а само избягвахме излишно бъркане с едностранни производни и т.н.).

В резултат на това отговорихме на въпрос 3, поставен в началото на раздел 4: ако условието за уникалност (например Осгуд или Коши-Пикар) е изпълнено, се наблюдава уникалността на ИС на решението на проблема Коши. Ако условието за уникалност бъде нарушено, тогава може да има много ИС на проблема Коши, всеки със свой собствен интервал на съществуване. Всяко решение (1) (или само (1) 1) може да бъде продължено към HP.

За да се отговори на въпроси 1, 2, е необходимо да се разгледа не променливата t поотделно, а поведението на IC в пространството Rn + 1. На въпроса как IC се държи "близо до краищата", той отговаря. Имайте предвид, че интервалът на съществуване има краища, но IC може да не ги има (краят на IC в B винаги не съществува - вижте забележка по-горе, но краят може да не съществува на Б - виж по-долу).

Теорема. (относно напускането на компакта).

ние го формулираме при условията на локална уникалност, но това не е необходимо - вижте, там TPK е формулиран като критерий за NR.

При условията на TK-P, графиката на всяко NR уравнение (1) 1 оставя всеки компактен набор K B, т.е. K B (t, t +): (t, (t)) K при t.

Пример. K \u003d ((t, x) B | ((t, x), B)).

Коментирайте. По този начин IC NR близо до t ± се приближава до B: ((t, (t)), B) 0 при t t ± - процесът на продължаване на разтвора не може да бъде прекратен строго вътре в B.

положително, тук е полезно като упражнение да се докаже, че разстоянието между несвързани затворени множества, едно от които е компактно, е положително.

Доказателства. Поправяме K B. Вземете произволни 0 (0, (K, B)). Ако B \u003d Rn + 1, тогава по дефиниция приемаме (K, B) \u003d +. Множеството K1 \u003d ((t, x) | ((t, x), K) 0/2) също е компактно в B, така че съществува F \u003d max | f |. Нека изберем числата T и R достатъчно малки, така че всеки цилиндър от формата Например, е достатъчно да вземем T 2 + R2 2/4. Тогава задачата на Коши за формата има TC-P решение на интервала, не по-тесен от (t T0, t + T0), където T0 \u003d min (T, R / F) за всички (t, x) K.

Сега можем да вземем \u003d като необходимия сегмент. Всъщност е необходимо да се покаже, че ако (t, (t)) K, тогава t + T0 t t + T0. Нека покажем например второто неравенство. Решението на проблема на Коши (2) с x \u003d (t) съществува вдясно поне до точката t + T0, но е HP на същия проблем, който поради уникалност е продължение, следователно t + T0 t +.

По този начин графиката на HP винаги „достига B“, така че обхватът на съществуването на HP зависи от геометрията на IC.

Например:

Изявление. Нека B \u003d (a, b) Rn (интервалът е краен или безкраен), f удовлетворява условията на TK-P в B, е IS на задача (1) с t0 (a, b). Тогава или t + \u003d b или | (t) | + за t t + (и по подобен начин за t).

Доказателства. Така че нека t + b, след това t + +.

Помислете за компактен набор K \u003d B B. За всеки R + според TPK има (R) t + такъв, че за t ((R), t +) точката (t, (t)) K. Но тъй като t t +, това е възможно само след акаунт | (t) | R. Но това също означава | (t) | + за t t +.

В този конкретен случай виждаме, че ако f е дефинирано "за всички x", тогава интервалът на съществуване на IS може да бъде по-малък от максимално възможния (a, b) само поради тенденцията на IS да се приближава към краищата на интервала (t, t +) (като цяло дело - до границата Б).

Упражнение. Генерализирайте последното изявление за случая, когато B \u003d (a, b), където Rn е произволен домейн.

Коментирайте. Трябва да се разбере, че | (t) | + не означава никакво k (t).

По този начин ние отговорихме на Въпрос 2 (вж. Примера в началото на раздел 4): IC достига B, но проекцията му върху оста t може да не достигне до краищата на проекцията на B върху оста t. Остава въпрос 1 - има ли някакви признаци, по които, без да се решава ODE, може да се прецени възможността за продължаване на решението до „възможно най-широкия интервал“? Знаем, че за линейни ODE това разширение винаги е възможно, но в Примера в началото на § 4 това е невъзможно.

Нека първо разгледаме, за илюстрация, частен случай на URS за n \u003d 1:

конвергенцията на неправилния интеграл h (s) ds (неподходящ поради \u003d + или поради особеността на h в дадена точка) не зависи от избора на (,). Следователно, по-нататък просто ще напишем h (s) ds, когато става въпрос за конвергенция или дивергенция на този интеграл.

това може да се направи вече в теоремата на Осгуд и в свързаните с него твърдения.

Изявление. Нека a C (,), b C (, +), и двете функции са положителни на техните интервали. Нека проблемът на Коши (където t0 (,), x0) има IS x \u003d x (t) на интервала (t, t +) (,). Тогава:

Последствие. Ако a \u003d 1, \u003d +, тогава t + \u003d + Доказателство. (Твърдения). Имайте предвид, че x се увеличава монотонно.

Упражнение. Докажи.

Следователно има x (t +) \u003d lim x (t) +. Имаме случай 1. t +, x (t +) + - е невъзможно от TPK, тъй като x е IS.

И двата интеграла са или крайни, или безкрайни.

Упражнение. Попълнете доказателството.

Обосновка за учителя. В резултат получаваме това в случай 3: a (s) ds +, а в случай 4 (ако изобщо е реализирано) същото.

По този начин, за най-простите ODE за n \u003d 1 от формата x \u003d f (x), разширяемостта на решенията се определя от co.

автономни) уравнения вижте Част 3.

Пример. За f (x) \u003d x, 1 (по-специално линейният случай \u003d 1) и f (x) \u003d x ln x, можем да гарантираме продължаването на (положителните) решения на +. За f (x) \u003d x и f (x) \u003d x ln x при 1, решенията се „унищожават за ограничено време“.

Като цяло ситуацията се определя от много фактори и не е толкова проста, но значението на „скоростта на нарастване на f по x“ остава. За n 1 е трудно да се формулират критерии за разширяемост, но съществуват достатъчно условия. По правило те се уреждат с помощта на т.нар. априорни оценки на решенията.

Определение. Нека h C (,), h 0. Казва се, че за решения на някои ODE, AO | x (t) | h (t) на (,), ако някое решение на този ODE удовлетворява тази оценка за онази част от интервала (,), където е дефинирано (т.е. не се приема, че решенията са задължително дефинирани на целия интервал (,)).

Но се оказва, че наличието на AO гарантира, че решенията въпреки това ще бъдат определени на целия (,) (и следователно ще удовлетворят оценката на целия интервал), така че априорната оценка се превръща в задна:

Теорема. Нека задачата на Коши (1) удовлетворява условията TK-P и за нейните решения има AO на интервала (,) с малко h C (,) и криволинейния цилиндър (| x | h (t), t (,)) B Тогава NR (1) се дефинира за всички (,) (и следователно удовлетворява AO).

Доказателства. Нека докажем, че t + (t е подобно). Да кажем t +. Да разгледаме компактен набор K \u003d (| x | h (t), t) B. Според TPK, при t t +, точката на графиката (t, x (t)) оставя K, което е невъзможно поради AO.

По този начин, за да се докаже разширяемостта на решението до някакъв интервал, е достатъчно да се изчисли официално решението през целия необходим интервал.

Аналогия: измеримостта на функция според Лебег и формалната оценка на интеграла предполагат реалното съществуване на интеграла.

Ето няколко примера за ситуации как работи тази логика. Нека започнем с илюстрация на горната теза за „растежа на f в x е доста бавен“.

Изявление. Нека B \u003d (,) Rn, f отговарят на условията на TK-P в B, | f (t, x) | a (t) b (| x |), където a и b отговарят на условията на предходното изявление с \u003d 0 и \u003d +. Тогава IS на проблем (1) съществува на (,) за всички t0 (,), x0 Rn.

Лема. Ако и са непрекъснати, (t0) (t0); за t t Доказателство. Имайте предвид, че в съседство на (t0, t0 +): ако (t0) (t0), това веднага е очевидно, а в противен случай (ако (t0) \u003d (t0) \u003d 0) имаме (t0) \u003d g (t0, 0) (t0), което отново дава необходимото.

Сега да предположим, че има t1 t0 такова, че (t1). Чрез очевидни разсъждения можем да намерим (t1) t2 (t0, t1], така че (t2) \u003d (t2), и на (t0, t2), но тогава в точката t2 имаме \u003d, - противоречие.

g е произволно и всъщност ви трябва само C и където и да е \u003d, там. Но за да не си чукаме главите, ще го разгледаме като в лема. Тук има строго неравенство, но нелинейно ODE, а има и т.нар.

Бележка за учителя. Неравенствата от този вид, както в лема, се наричат \u200b\u200bнеравенства от типа Чаплигин (NP). Лесно е да се види, че в лема условието за уникалност не е било необходимо, така че такова "строго NP" е вярно и в рамките на теоремата на Пеано. "Слаб НЧ" очевидно е погрешен без уникалност, тъй като равенството е частен случай на слабо неравенство. И накрая, "нестриктният NP" е верен в рамките на условието за уникалност, но е възможно да се докаже само локално - чрез IM

Доказателства. (Твърдения). Нека докажем, че t + \u003d (t \u003d подобно). Да предположим, че t +, след това от изявлението по-горе | x (t) | + за t t +, така че можем да приемем x \u003d 0 включено. Ако докажем AO | x | h on) (топката е затворена за удобство).

Задачата на Коши x (0) \u003d 0 има уникална IS x \u003d 0 на R.

Нека посочим достатъчно условие на f, при което съществуването на IS на R + може да бъде гарантирано за всички достатъчно малки x0 \u003d x (0). За целта приемете, че (4) има т.нар. функцията Ляпунов, т.е. такава функция V, че:

1. VC1 (B (0, R));

2.sgnV (x) \u003d sgn | x |;

Нека проверим изпълнението на условия A и B:

А. Помислете за проблема на Коши, където | x1 | R / 2. Нека да конструираме цилиндър B \u003d R B (0, R) - областта на дефиниция на функцията f, където тя е ограничена и от клас C 1, така че да съществува F \u003d max | f |. Според TK-P има решение за (5), дефинирано на интервала (t1 T0, t1 + T0), където T0 \u003d min (T, R / (2F)). Избирайки достатъчно голям T, може да се постигне T0 \u003d R / (2F). Важно е T0 да не зависи от избора на (t1, x1), стига | x1 | R / 2.

Б. Докато решението (5) е дефинирано и остава в топката B (0, R), можем да извършим следните разсъждения. Ние имаме:

V (x (t)) \u003d f (x (t)) V (x (t)) 0, т.е. V (x (t)) V (x1) M (r) \u003d max V (y) ... Ясно е, че m и M не са намаляващи, непрекъснати | r са прекъснати при нула, m (0) \u003d M (0) \u003d 0 и извън нулата са положителни. Следователно има R 0 такъв, че M (R) m (R / 2). Ако | x1 | R, след това V (x (t)) V (x1) M (R) m (R / 2), откъдето | x (t) | R / 2. Имайте предвид, че R R / 2.

Сега можем да формулираме теорема, която от гл. A, B извежда глобалното съществуване на решения (4):

Теорема. Ако (4) има функция на Ляпунов в B (0, R), тогава за всички x0 B (0, R) (където R е дефиниран по-горе), HP на проблема на Коши x (t0) \u003d x0 за система (4) (с всеки t0) дефинирани преди +.

Доказателства. По силата на т. А, решението може да бъде конструирано на, където t1 \u003d t0 + T0 / 2. Това решение се намира в B (0, R) и ние прилагаме елемент B, така че | x (t1) | R / 2. Прилагаме отново елемент А и получаваме решение на, където t2 \u003d t1 + T0 / 2, т.е. сега решението е надградено. Прилагаме точка B към това решение и получаваме | x (t2) | R / 2 и т. Н. В преброим брой стъпки получаваме решение в § 5. Зависимост на решенията за ODE от Разгледайте проблема на Коши, където Rk. Ако за някои, t0 (), x0 () този проблем на Коши има HP, тогава е x (t,). Възниква въпросът: как да се изследва зависимостта на х от? Този въпрос е важен поради различни приложения (и ще възникне особено в част 3), една от които (макар и може би не най-важната) е приблизително решение за ODE.

Пример. Помислете за проблема на Коши Неговата HP съществува и е уникална, както следва от TK-P, но е невъзможно да се изрази в елементарни функции. Как тогава да се изследват неговите свойства? Един от начините е следният: имайте предвид, че (2) е "близо" до проблема y \u003d y, y (0) \u003d 1, чието решение е лесно да се намери: y (t) \u003d et. Можем да приемем, че x (t) y (t) \u003d et. Тази идея е ясно формулирана по следния начин: разгледайте проблема At \u003d 1/100 това е (2), а при \u003d 0 това е проблемът за y. Ако докажем, че x \u003d x (t,) е непрекъснато в (в определен смисъл), тогава получаваме, че x (t,) y (t) при 0, а това означава x (t, 1/100) y ( t) \u003d ет.

Вярно, остава неясно колко близо е x до y, но доказателството за непрекъснатостта на x in е първата необходима стъпка, без която е невъзможно да се продължи напред.

По същия начин е полезно да се изследва зависимостта от параметрите в първоначалните данни. Както ще видим по-късно, тази зависимост може лесно да бъде сведена до зависимост от параметър в дясната част на уравнението, така че засега ще се ограничим до проблем от вида Нека f C (D), където D е област в Rn + k + 1; f е Lipschitz в x във всеки компактен набор от D изпъкнал в x (например C (D) е достатъчен). Поправяме (t0, x0). Поставяме M \u003d Rk | (t0, x0,) D е съвкупността от допустими (за които проблем (4) има смисъл). Имайте предвид, че M е отворен. Ще приемем, че (t0, x0) са избрани така, че M \u003d. Според TK-P за всички M съществува уникален IS на проблем (4) - функцията x \u003d (t,), дефинирана на интервала t (t (), t + ()).

Строго погледнато, тъй като това зависи от много променливи, е необходимо да напишете (4), както следва:

където (5) 1 важи за множеството G \u003d ((t,) | M, t (t (), t + ())). Разликата между знаците d / dt и / t обаче е чисто психологическа (тяхното използване зависи от една и съща психологическа концепция за „фиксиране“). По този начин множеството G е естествен максимален набор от дефиницията на функция и въпросът за приемствеността трябва да се изследва точно върху G.

Нуждаем се от спомагателен резултат:

Лема. (Гронвала). Нека функцията C, 0 удовлетворява оценката за всички t. Тогава за всички е вярно. Бележка за учителя. Когато изнасяте лекция, не е нужно да запомняте тази формула предварително, а оставяте място и я записвате след заключението.

Но оставете тази формула на видно място, тъй като тя ще е необходима в ToNZ.

h \u003d A + B Ah + B, откъдето получаваме необходимото.

Значението на тази лема: диференциално уравнение и неравенство, връзката между тях, интегрално уравнение и неравенство, връзката между всички тях, диференциални и интегрални леми на Гронуол и връзката между тях.

Коментирайте. Възможно е да се докаже тази лема при по-общи предположения за, A и B, но ние все още не се нуждаем от това, но ще бъде направено в курса по MFM (например, лесно е да се види, че не сме използвали приемствеността на A и B и т.н.).

Сега сме готови да посочим ясно резултата:

Теорема. (ToHZ) Съгласно предположенията за f и в обозначенията, въведени по-горе, можем да твърдим, че G е отворено и C (G).

Коментирайте. Ясно е, че множеството M, най-общо казано, не е свързано, така че G също може да бъде изключено.

Бележка за учителя. Ако обаче включим (t0, x0) в броя на параметрите, тогава връзката ще бъде - това се прави през.

Доказателства. Нека (t,) G. Необходимо е да се докаже, че:

Нека, за определеност, t t0. Имаме: M, така че (t,) се дефинира на (t (), t + ()) t, t0, а оттам и на някакъв интервал, такъв че t точката (t, (t,),) преминава през компактна крива D (паралелна хиперплани (\u003d 0)). Това означава, че набор от дефиниции на видове трябва да се пази постоянно пред очите ви!

също е компактен в D за достатъчно малки a и b (изпъкнал в x), така че функцията f е Lipschitz в x:

[Тази оценка трябва да се държи постоянно пред очите ви! ] и е равномерно непрекъснат във всички променливи и дори повече | f (t, x, 1) f (t, x, 2) | (| 12 |), (t, x, 1), (t, x, 2).

[Тази оценка трябва да се държи постоянно пред очите ви! ] Помислете за произволен 1 такъв, че | 1 | b и съответното решение (t, 1). Множеството (\u003d 1) е компактно в D (\u003d 1), а за t \u003d t0 точката (t, (t, 1), 1) \u003d (t0, x0, 1) \u003d (t0, (t0,), 1) (\u003d 1) и според TPK при t t + (1) точката (t, (t, 1), 1) напуска (\u003d 1). Нека t2 t0 (t2 t + (1)) е първата стойност, към която преминава споменатата точка.

По конструкция, t2 (t0, t1]. Нашата задача е да покажем, че t2 \u003d t1 при допълнителни ограничения върху. Нека сега t3. Имаме (за всички такива t3 всички използвани по-долу количества са дефинирани от конструкцията):

(t3, 1) (t3,) \u003d f (t, (t, 1), 1) f (t, (t,),) dt, Нека се опитаме да докажем, че тази стойност е по-малка от a в абсолютна стойност.

където интегрантът се изчислява, както следва:

± f (t, (t,),), но не и ± f (t, (t,),), тъй като разликата | (t, 1) (t,) | все още няма оценка, така че (t, (t, 1),) е неясно, но за | 1 | е и (t, (t,), 1) е известно.

така че накрая | (t3, 1) (t3,) | K | (t, 1) (t,) | + (| 1 |) dt.

По този начин функцията (t3) \u003d | (t3, 1) (t3,) | (това е непрекъсната функция) удовлетворява условията на лемата на Gronwall с A (s) K 0, B (s) (| 1 |), T \u003d t2, \u003d 0, така че тази лема дава [Тази оценка трябва да се държи пред очите ви през цялото време! ] ако вземем | 1 | 1 (t1). Ще приемем, че 1 (t1) b. Всички наши разсъждения са правилни за всички t3.

По този начин, при този избор от 1, когато t3 \u003d t2, въпреки това | (t2, 1) (t2,) | a, а също | 1 | б. Следователно, (t2, (t2, 1), 1) е възможно само поради факта, че t2 \u003d t1. Но това, по-специално, означава, че (t, 1) се дефинира върху целия интервал, т.е. t1 t + (1), и всички точки от формата (t, 1) G, ако t, | 1 | 1 (t1).

Тоест, въпреки че t + зависи от, но сегментът остава вляво от t + () за достатъчно близо до. На фигурата съществуването на числа t4 t0 и 2 (t4) е показано по подобен начин за t t0. Ако t t0, тогава точката (t,) B (, 1) G, подобно на t t0, и ако t \u003d t0, тогава са приложими и двата случая, така че (t0,) B (, 3) G, където 3 \u003d min (12). Важно е, че за фиксирана (t,) може да се намери t1 (t,), така че t1 t 0 (или, съответно, t4), и 1 (t1) \u003d 1 (t,) 0 (или, съответно, 2), така че изборът 0 \u003d 0 (t,) е ясно (тъй като в получената цилиндрична околност може да се впише топка).

всъщност е доказано по-фино свойство: ако IS е дефиниран на определен интервал, тогава всички IS с достатъчно близки параметри са дефинирани върху него (т.е.

всички малко възмутени от HP). И обратно, това свойство следва от отвореността на G, както ще бъде показано по-долу, така че това са еквивалентни формулировки.

По този начин доказахме т. 1.

Ако се намираме в посочения цилиндър в пространството, тогава оценката е вярна за | 1 | 4 (, t,). В същото време | (t3,) (t,) | за | t3 t | 5 (, t,) с оглед на приемствеността в t. В резултат на това за (t3, 1) B ((t,),) имаме | (t3, 1) (t,) |, където \u003d min (4, 5). Това е стр. 2.

"Министерство на образованието и науката на Руската федерация Федерална държавна бюджетна образователна институция за висше професионално образование ДЪРЖАВЕН УНИВЕРСИТЕТ НА УПРАВЛЕНИЕТО Институт за обучение на научни, педагогически и научни кадри. ПРОГРАМА ЗА ВХОДНИ ИЗПИТВАНИЯ ПО СПЕЦИАЛНА ДИСЦИПЛИНА НА СОЦИОЛОГИЯТА НА УПРАВЛЕНИЕ МОСКВА - 2014 МЕДИЦИНСКА ОРГАНИЗАЦИЯ. приемни изпити за аспирантура в ... "

"Амурски държавен университет, Катедра по психология и педагогика ОБРАЗОВАТЕЛНО-МЕТОДОЛОГИЧЕН КОМПЛЕКС НА ДИСЦИПЛИНАТА КОНСУЛТАТИВНА ПСИХОЛОГИЯ Основна образователна програма в посока на бакалавър 030300.62 Психология Благовещенск 2012 UMKd разработена Разгледана и препоръчана на заседание на Катедрата по психология и педагогика Протокол ..."

"Автомобилна индустрия) Омск - 2009 3 Федерална агенция за образование GOU VPO Сибирска държавна автомобилна и магистрална академия (SibADI) Департамент по инженерна педагогика МЕТОДОЛОГИЧНИ УКАЗАНИЯ за изучаване на дисциплината Педагогически технологии за студенти от специалност 050501 - Професионално обучение (автомобили и автомобили ..."

«Серия Образователна книга G.S. Розенберг, FN Ryanskiy ТЕОРЕТИЧНА И ПРИКЛАДНА ЕКОЛОГИЯ Учебник Препоръчан от Образователно-методическата асоциация за класическо университетско образование на Руската федерация като учебник за студенти от висши учебни заведения по екологични специалности 2-ро издание Нижневартовск Издателство Нижневартовск педагогически институт 2005 BBK 28.080.1я73 Р64 Рецензенти: Доктор по биол. Науки, професор В. И. Попченко (Институт по екология ... "

"МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НА РУСКАТА ФЕДЕРАЦИЯ Федерална държавна бюджетна образователна институция за висше професионално образование КРАСНОЯРСКИ ДЪРЖАВЕН ПЕДАГОГИЧЕН УНИВЕРСИТЕТ. В.П. Астафиева Е.М. Антипова МАЛКА ПРАКТИКА ПО БОТАНИКА Електронно издание КРАСНОЯРСК 2013 LBC 28.5 А 721 Рецензенти: Василиев А.Н., доктор на биологичните науки, професор на КДПУ им. В.П. Астафиева; Ямских Г.Ю., доктор на геоложките науки, професор на Сибирския федерален университет Третякова И.Н., доктор на биологичните науки, професор, водещ служител на Института по горите ... "

„Министерство на образованието и науката на Руската федерация Федерална държавна образователна бюджетна институция за висше професионално образование Амурски държавен университет Департамент по психология и педагогика ОБРАЗОВАТЕЛНО-МЕТОДОЛОГИЧЕН КОМПЛЕКС НА ДИСЦИПЛИНАТА НА ОСНОВАТА НА ПЕДИАТРИКАТА И ХИГИЕНАТА Основна образователна програма в посока обучение 050400.62 Психологическо и педагогическо образование 2012 Благовес на заседание на Катедрата по психология и ... "

«Проверка на задачи с подробен отговор Държавно (окончателно) удостоверяване на завършилите 9-ти клас образователни институции (в нова форма) 2013 ГЕОГРАФИЯ Москва 2013 Автор-съставител: Амбарцумова Е.М. Повишаване на обективността на резултатите от държавното (окончателно) сертифициране на възпитаници на 9 паралелки на образователни институции (в ... "

„Практически препоръки за използване на справочно и информационно и методическо съдържание за преподаване на руски език като държавен език на Руската федерация. Практически препоръки са адресирани до учителите по руски език (включително като чужд език). Съдържание: Практически препоръки и насоки за подбора на 1. съдържанието на материала за образователни и образователни сесии, посветени на проблемите на функционирането на руския език като държавен език ... "

EV MURYUKINA РАЗВИТИЕ НА КРИТИЧНО МИСЛЕНИЕ И МЕДИЙНА КОМПЕТЕНТНОСТ НА СТУДЕНТИТЕ В ПРОЦЕСА НА АНАЛИЗ НА ПРЕСАТА учебник за университети Таганрог 2008 2 Muryukina E.V. Развитие на критичното мислене и медийната компетентност на учениците в процеса на анализ на пресата. Учебник за университети. Таганрог: НП Център за развитие на личността, 2008.298 с. Учебникът изследва развитието на критичното мислене и медийната компетентност на учениците в процеса на медийно образование. От пресата днес ... "

"ОТНОСНО. П. Головченко ЗА ФОРМИРАНЕТО НА ЧОВЕШКАТА ФИЗИЧЕСКА ДЕЙНОСТ Част II P ED AG OGIK A DVI GAT ELN OY ДЕЙНОСТ VN OSTI 3 Образователна публикация Олег Петрович Головченко ФОРМИРАНЕ НА ЧОВЕШКАТА ФИЗИЧЕСКА ДЕЙНОСТ Учебник Част II Педагогика на физическата активност Под редакцията на Н. ... Косенкова Д.В.Смоляк и С.В. Потапова *** Подписано за печат на 23.11. Формат 60 x 90 / 1/16. Хартия за писане Times Headset Оперативен метод на печат Conv. и т.н. .... "

ДЪРЖАВНА ОБРАЗОВАТЕЛНА ИНСТИТУЦИЯ ЗА ВИСШЕ ПРОФЕСИОНАЛНО ОБРАЗОВАНИЕ ДЪРЖАВЕН УНИВЕРСИТЕТ КАЗАН ИМЕННО СЛЕД В И. УЛЯНОВА-ЛЕНИНА Електронни библиотеки на научни и образователни ресурси. Учебно помагало Абросимов А.Г. Лазарева Ю.И. Казан 2008 Електронни библиотеки на научни и образователни ресурси. Учебно ръководство в посока Електронни образователни ресурси. - Казан: KSU, 2008. Учебното помагало се публикува с решение ... "

«МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО НА РУСКАТА ФЕДЕРАЦИЯ Държавна образователна институция за висше професионално образование Оренбургски държавен университет Акбулак клон Департамент по педагогика В.А. ТЕТСКОВА МЕТОДОЛОГИЯ НА ПРЕПОДАВАНЕТО НА ИЗКУСТВО В НАЧАЛНОТО УЧИЛИЩЕ НА ОБЩО ОБРАЗОВАТЕЛНО УЧИЛИЩЕ МЕТОДИЧНИ УКАЗАНИЯ Препоръчано за публикуване от Редакционно-издателския съвет на Държавната образователна институция за висше професионално образование Оренбургски държавен университет ... "

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НА РУСКАТА ФЕДЕРАЦИЯ МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО НА СТАВРОПОЛСКА ОБЛАСТ ДЪРЖАВНО ОБРАЗОВАТЕЛНО УЧРЕЖДЕНИЕ НА ВИСШЕ ПРОФЕСИОНАЛНО ОБРАЗОВАНИЕ ДЪРЖАВНА ИНСТИТУЦИЯ СТАВРОПОЛ Н. Джегутанова ДЕТСКА ЛИТЕРАТУРА НА ДЪРЖАВИТЕ НА УЧЕБНО-МЕТОДОЛОГИЧЕСКИ КОМПЛЕКС ДЪРЖАВЕН ЕЗИК Ставропол 2010 1 Публикувано с решение на УДК 82.0 на Редакционно-издателския съвет на ББК 83.3 (0) ГОУ ВПО Ставрополски държавен педагогически институт Рецензенти: ... "

"РЕГЛАМЕНТИ за новата система за оценка на качеството на вътрешноучилищното образование MBOU Kamyshinskaya средно училище 1. Общи разпоредби 1.1. Наредбата за вътрешно-училищната система за оценка на качеството на образованието (наричана по-нататък наредбата) установява единни изисквания за прилагане на вътрешно-училищната система за оценка на качеството на образованието (наричана по-нататък SHSOCO) в общинската бюджетна образователна институция на средното училище в Камишин (наричана по-долу училището). 1.2. Практическото изпълнение на SHSOCO е изградено в съответствие с ... "

„МИНИСТЕРСТВО НА ЗДРАВЕОПАЗВАНЕТО НА РЕПУБЛИКА УЗБЕКИСТАН ТАШКЕНТ МЕДИЦИНСКА АКАДЕМИЯ ОТДЕЛ НА ОПЕРАТОРИ НА ЗДРАВЕОПАЗВАНЕ С ОДОБРЕНА КЛИНИЧНА АЛЕРГОЛОГИЯ Заместник-ректор по учебната дейност проф. О. Р. Тешаев _ 2012 ПРЕПОРЪКИ ЗА СЪСТАВ НА ПРЕПОДАВАНЕ И МЕТОДИЧНИ РАЗВИТИЯ ЗА ПРАКТИЧЕСКИ УПРАЖНЕНИЯ НА ОБЕДИНЕНА МЕТОДОЛОГИЧНА СИСТЕМА Методически указания за преподаватели от медицински университети Ташкент - 2012 МИНИСТЕРСТВО НА ЗДРАВЕОПАЗВАНЕТО НА РЕСПУБЛИКА ЦЕНТЪР ЗА МЕДИЦИНСКО РАЗВИТИЕ

"Федерална агенция за образование Горно-Алтайски държавен университет А. П. Макошев ПОЛИТИЧЕСКА ГЕОГРАФИЯ И ГЕОПОЛИТИКА Учебно ръководство Горно-Алтайск РИО на Горно-Алтайския държавен университет 2006 г. Публикувано с решение на Редакционно-издателския съвет на Държавен университет Горно-Алтай. Макошев АП ПОЛИТИЧЕСКИ ГЕОГРАФИЯ И ГЕОПОЛИТИКА. Учебно ръководство. - Горно-Алтайск: РИО ГАГУ, 2006.-103 с. Учебното помагало е разработено в съответствие с образователната ... "

„А.В. Новицкая, Л.И. Николаева ШКОЛА НА БЪДЕЩАТА СЪВРЕМЕННА ОБРАЗОВАТЕЛНА ПРОГРАМА Етапи от живота КЛАС 1 МЕТОДОЛОГИЧНО РЪКОВОДСТВО ЗА УЧИТЕЛИ НА ЕЛЕМЕНТАРНИ КЛАСОВИ Москва 2009 UDC 371 (075.8) LBC 74.00 N 68 Защита на авторските права е законна, изисква се позоваване на авторите. Новицкая А.В., Николаева Л.И. Н 68 Съвременна образователна програма Етапи от живота. - М.: Авваллон, 2009. - 176 с. ISBN 978 5 94989 141 4 Тази брошура е адресирана предимно до учители, но несъмнено за нейната информация ... "

„Учебно-методически комплекс РУСКИ БИЗНЕС ЗАКОН 030500 - Юриспруденция Москва 2013 Автор - съставител на Катедра Гражданскоправни дисциплини Рецензент - Учебно-методическият комплекс се разглежда и одобрява на заседание на Катедрата по гражданскоправни дисциплини Протокол № от _2013. Руското търговско право: образователно и методическо ... "

"А. А. Ямашкин В. В. Руженков Ал. А. Ямашкин ГЕОГРАФИЯ НА РЕПУБЛИКА МОРДОВИЯ Учебник САРАНСКИ ИЗДАТЕЛСТВО НА МОРДОВСКИ УНИВЕРСИТЕТ 2004 УДК 91 (075) (470.345) BBK D9 (2R351-6Mo) Ya549 Рецензенти: Катедра по физическа география, Воронежски държавен педагогически университет; Доктор по географски науки, професор А. М. Носонов; учител на училищен комплекс № 39 от Саранск А. В. Леонтьев Публикуван с решение на образователно-методическия съвет на факултета по доуниверситетско обучение и средно ... "

Александър Викторович Абросимов Дата на раждане: 16 ноември 1948 г. (1948 г. 11 16) Място на раждане: Куйбишев Дата на смъртта ... Уикипедия

I Уравнения на диференциални уравнения, съдържащи желаните функции, техните производни от различни подреждания и независими променливи. Теорията на Д. при. възникна в края на 17 век. повлиян от нуждите на механиката и други природни науки, ... ... Велика съветска енциклопедия

Обикновените диференциални уравнения (ODE) е диференциално уравнение на формата, където е неизвестна функция (евентуално векторна функция, а след това, като правило, и векторна функция със стойности в пространството със същото измерение; в тази ... ... Уикипедия

Уикипедия има статии за други хора с това фамилно име, вижте Юдович. Виктор Йосифович Юдович Дата на раждане: 4 октомври 1934 г. (1934 г. 10 04) Място на раждане: Тбилиси, СССР Дата на смъртта ... Уикипедия

Диференциал - (Диференциал) Диференциална дефиниция, функционален диференциал, заключване на диференциала Информация за диференциална дефиниция, функционален диференциал, блокировка на диференциала Съдържание Съдържание математика Неформално описание ... ... Енциклопедия за инвеститори

Едно от основните понятия в теорията на уравненията на частните диференциали. Ролята на X се проявява в съществените свойства на тези уравнения, като локални свойства на решенията, разрешимост на различни проблеми, тяхната коректност и др. Нека ... ... Енциклопедия по математика

Уравнение, в което неизвестното е функция на една независима променлива и това уравнение включва не само самата неизвестна функция, но и нейните производни от различни порядъци. Терминът диференциални уравнения е предложен от Г. ... ... Енциклопедия по математика

Треногин Владилен Александрович В. А. Треногин на лекция в MISiS Дата на раждане ... Уикипедия

Треногин, Владилен Александрович Треногин Владилен Александрович В. А. Треногин на лекция в MISiS Дата на раждане: 1931 (1931) ... Уикипедия

Гаусово уравнение, линейно обикновено диференциално уравнение от втори ред или, в самостоятелна форма, променливи и параметри в общия случай могат да приемат всякакви сложни стойности. След заместване се получава намалената форма ... ... Енциклопедия по математика