Формулирайте дефиницията на корен от квадратно уравнение. Корени на квадратно уравнение. Решаване на непълни квадратни уравнения

Просто. Според формули и ясни, прости правила. На първия етап

е необходимо да се приведе даденото уравнение в стандартен вид, т.е. да гледам:

Ако уравнението вече ви е дадено в тази форма, не е нужно да правите първата стъпка. Най -важното е правилно

определя всички коефициенти, а, би ° С.

Формула за намиране на корените на квадратно уравнение.

Изразява се под коренния знак дискриминанта ... Както можете да видите, за да намерим x, ние

използвайте само a, b и c. Тези. коефициенти от квадратно уравнение... Просто внимателно заменете

смисъл a, b и cв тази формула и пребройте. Заменете с от технитезнаци!

Например, в уравнението:

а =1; б = 3; ° С = -4.

Заменете стойностите и напишете:

Примерът е почти решен:

Това е отговорът.

Най -честите грешки са объркване със знакови знаци. а, би с... По -скоро със замяната

отрицателни стойности във формулата за изчисляване на корените. Тук подробна нотация на формулата спестява

с конкретни номера. Ако имате изчислителни проблеми, направете го!

Да предположим, че трябва да решите този пример:

Тук а = -6; б = -5; ° С = -1

Рисуваме всичко подробно, внимателно, без да пропускаме нищо с всички знаци и скоби:

Квадратните уравнения често изглеждат малко по -различни. Например, така:

Засега вземете под внимание най -добрите практики, които драстично ще намалят грешките.

Първо приемане... Не бъдете мързеливи преди това решение на квадратното уравнениеприведете го в стандартна форма.

Какво означава това?

Да речем, след някои трансформации, получавате следното уравнение:

Не бързайте да пишете кореновата формула! Почти сигурно ще смесите шансовете. a, b и c.

Изградете правилно примера. Първо X е на квадрат, след това без квадрата, след което свободният член. Като този:

Освободете се от минуса. Как? Трябва да умножите цялото уравнение с -1. Получаваме:

Но сега можете спокойно да запишете формулата за корените, да изчислите дискриминанта и да попълните примера.

Направи го сам. Трябва да имате корени 2 и -1.

Прием на втория.Проверете корените! От Теоремата на Виета.

За решаване на дадените квадратни уравнения, т.е. ако коефициентът

x 2 + bx + c = 0,

тогаваx 1 x 2 = c

x 1 + x 2 = -б

За пълно квадратно уравнение, в което а ≠ 1:

x 2 +бx +° С=0,

разделете цялото уравнение на а:

→ →

където x 1и х 2 - корените на уравнението.

Приемна трета... Ако имате дробни коефициенти в уравнението си, отървете се от дробите! Умножете

уравнение за общ знаменател.

Изход. Практически съвети:

1. Преди да решим, довеждаме квадратното уравнение до стандартната форма, изграждаме го надясно.

2. Ако има отрицателен коефициент пред x в квадрата, ние го елиминираме, като умножим общата сума

уравнения с -1.

3. Ако коефициентите са дробни, елиминираме дробите, като умножим цялото уравнение със съответните

фактор.

4. Ако x на квадрат е чисто, коефициентът при него е равен на единица, решението може лесно да се провери чрез

Видео урок 2: Решаване на квадратни уравнения

Лекция: Квадратни уравнения

Уравнението

Уравнението- това е някакво равенство, в изразите на което има променлива.

Решете уравнението- означава да се намери такова число вместо променлива, която да го доведе до правилното равенство.

Уравнението може да има едно решение, няколко решения или изобщо да няма решение.

За да се реши всяко уравнение, то трябва да бъде опростено доколкото е възможно до формата:

Линейно: a * x = b;

Квадрат: a * x 2 + b * x + c = 0.

Тоест, всяко уравнение трябва да се преобразува в стандартен формуляр, преди да се реши.

Всяко уравнение може да бъде решено по два начина: аналитичен и графичен.

На графиката решението на уравнението се счита за точките, в които графиката пресича оста OX.

Квадратни уравнения

Уравнението може да се нарече квадрат, ако, когато се опрости, то приеме формата:

a * x 2 + b * x + c = 0.

При което а, б, вса коефициентите на уравнението, които се различават от нулата. А "NS"- корен от уравнението. Смята се, че квадратното уравнение има два корена или може изобщо да няма решение. Получените корени може да са същите.

"а"е коефициентът пред квадратния корен.

"b"- застава пред неизвестното в първа степен.

"с"е свободният член на уравнението.

Ако например имаме уравнение от вида:

2x 2 -5x + 3 = 0

В него "2" е коефициентът в най-високия член на уравнението, "-5" е вторият коефициент, а "3" е свободният член.

Решаване на квадратно уравнение

Има много начини за решаване на квадратно уравнение. В училищния курс по математика обаче решението се изучава съгласно теоремата на Виета, както и с помощта на дискриминанта.

Дискриминационно решение:

Когато решавате по този метод, е необходимо да изчислите дискриминанта, като използвате формулата:

Ако по време на изчисленията получите, че дискриминантът е по -малък от нула, това означава, че това уравнение няма решения.

Ако дискриминантът е нула, тогава уравнението има две идентични решения. В този случай полиномът може да бъде свит чрез съкратената формула за умножение до квадрата на сумата или разликата. След това го решете като линейно уравнение. Или използвайте формулата:

Ако дискриминантът е по -голям от нула, тогава трябва да използвате следния метод:

Теоремата на Виета

Ако уравнението е намалено, тоест коефициентът на водещия член е равен на единица, тогава можете да използвате Теоремата на Виета.

Така че, да предположим, че уравнението е:

Корените на уравнението се намират, както следва:

Непълно квадратно уравнение

Има няколко варианта за получаване на непълно квадратно уравнение, чиято форма зависи от наличието на коефициенти.

1. Ако вторият и третият коефициенти са нула (b = 0, c = 0), тогава квадратното уравнение ще бъде:

Това уравнение ще има уникално решение. Равенството ще бъде вярно само ако има нула като решение на уравнението.

Напомняме ви, че пълното квадратно уравнение е уравнение от вида:

Решаването на пълни квадратни уравнения е малко по -трудно (само малко) от дадените.

Помня, всяко квадратно уравнение може да бъде решено с помощта на дискриминанта!

Дори непълно.

Останалите методи ще ви помогнат да направите това по -бързо, но ако имате проблеми с квадратните уравнения, първо научете решението с помощта на дискриминанта.

1. Решаване на квадратни уравнения с помощта на дискриминанта.

Решаването на квадратни уравнения по този начин е много просто, основното е да запомните последователността на действията и няколко формули.

Ако, тогава уравнението има 2 корена. Трябва да обърнете специално внимание на стъпка 2.

Дискриминантът D ни казва броя на корените в уравнението.

• Ако, тогава формулата в стъпка ще бъде намалена до. По този начин уравнението ще има целия корен.
• Ако, тогава няма да можем да извлечем корена от дискриминанта на стъпката. Това показва, че уравнението няма корени.

Нека се обърнем към геометричния смисъл на квадратното уравнение.

Графиката на функциите е парабола:

Нека се върнем към нашите уравнения и ще разгледаме някои примери.

Пример 9

Решете уравнението

Етап 1пропуснете.

Стъпка 2.

Откриваме дискриминанта:

Така че уравнението има два корена.

Стъпка 3.

Отговор:

Пример 10

Решете уравнението

Следователно уравнението е представено в стандартна форма Етап 1пропуснете.

Стъпка 2.

Откриваме дискриминанта:

Така че уравнението има един корен.

Отговор:

Пример 11

Решете уравнението

Следователно уравнението е представено в стандартна форма Етап 1пропуснете.

Стъпка 2.

Откриваме дискриминанта:

Следователно няма да можем да извлечем корена от дискриминанта. Няма корени на уравнението.

Сега знаем как да запишем правилно тези отговори.

Отговор:Без корени

2. Решаване на квадратни уравнения с помощта на теоремата на Виета

Ако си спомняте, тогава има този тип уравнения, които се наричат ​​редуцирани (когато коефициентът a е равен):

Такива уравнения са много лесни за решаване, като се използва теоремата на Виета:

Сума от корени даденоквадратното уравнение е равно, а произведението на корените е равно на.

Просто трябва да изберете двойка числа, чието произведение е равно на свободния член на уравнението, а сумата е вторият коефициент, взет с противоположния знак.

Пример 12

Решете уравнението

Това уравнение е подходящо за решаване с помощта на теоремата на Виета, тъй като ...

Сумата от корените на уравнението е равна, т.е. получаваме първото уравнение:

И продуктът е равен на:

Нека съставим и решим системата:

• и. Сумата е равна;
• и. Сумата е равна;
• и. Сумата е равна.

и са решението на системата:

Отговор: ; .

Пример 13

Решете уравнението

Отговор:

Пример 14

Решете уравнението

Уравнението се намалява, което означава:

Отговор:

КВАДРАТНИ УРАВНЕНИЯ. СРЕДНО НИВО

Какво е квадратно уравнение?

С други думи, квадратното уравнение е уравнение на формата, където е неизвестното, има някои числа, освен това.

Числото се нарича най -голямото или първи коефициентиквадратно уравнение, - втори коефициент, а - безплатен член.

Защото ако, уравнението веднага ще стане линейно, защото изчезва.

Освен това и може да бъде равно на нула. В този стол уравнението се нарича непълна.

Ако всички условия са налице, тоест уравнението - завършен.

Методи за решаване на непълни квадратни уравнения

Като начало ще анализираме методите за решаване на непълни квадратни уравнения - те са по -прости.

Могат да се разграничат следните типове уравнения:

I., в това уравнение коефициентът и прихващането са равни.

II. , в това уравнение коефициентът е.

III. , в това уравнение свободният член е равен на.

Сега нека разгледаме решение за всеки от тези подтипове.

Очевидно това уравнение винаги има само един корен:

Числото на квадрат не може да бъде отрицателно, защото когато умножите две отрицателни или две положителни числа, резултатът винаги ще бъде положително число. Ето защо:

ако, тогава уравнението няма решения;

ако имаме два корена

Тези формули не трябва да се запомнят. Основното, което трябва да запомните, е, че не може да бъде по -малко.

Примери за решаване на квадратни уравнения

Пример 15

Отговор:

Никога не забравяйте отрицателните корени!

Пример 16

Квадратът на число не може да бъде отрицателен, което означава, че уравнението

без корени.

За да запишем накратко, че проблемът няма решения, използваме иконата на празен набор.

Отговор:

Пример 17

И така, това уравнение има два корена: и.

Отговор:

Издърпайте общия фактор от скобите:

Продуктът е равен на нула, ако поне един от множителите е равен на нула. Това означава, че уравнението има решение, когато:

Така че това квадратно уравнение има два корена: и.

Пример:

Решете уравнението.

Решение:

Факторизирайте лявата страна на уравнението и намерете корените:

Отговор:

Методи за решаване на пълни квадратни уравнения

1. Дискриминационен

Решаването на квадратни уравнения по този начин е лесно, основното е да запомните последователността на действията и няколко формули. Не забравяйте, че всяко квадратно уравнение може да бъде решено с помощта на дискриминанта! Дори непълно.

Забелязали ли сте корена на дискриминанта в кореновата формула?

Но дискриминантът може да бъде отрицателен.

Какво да правя?

Необходимо е да се обърне специално внимание на стъпка 2. Дискриминантът ни показва броя на корените на уравнението.

• Ако, тогава уравнението има корен:
• Ако, тогава уравнението има същия корен, но всъщност един корен:

  Такива корени се наричат ​​двойни корени.

• Ако, тогава коренът на дискриминанта не се извлича. Това показва, че уравнението няма корени.

Защо има различен брой корени?

Нека се обърнем към геометричния смисъл на квадратното уравнение. Графиката на функциите е парабола:

В специалния случай, който е квадратно уравнение ,.

А това означава, че корените на квадратното уравнение са пресечните точки с оста на абсцисата (оста).

Параболата може изобщо да не пресича оста или да я пресича в една (когато върхът на параболата лежи върху оста) или две точки.

В допълнение, коефициентът е отговорен за посоката на клоните на параболата. Ако, тогава клоните на параболата са насочени нагоре, а ако - тогава надолу.

4 примера за решаване на квадратни уравнения

Пример 18

Отговор:

Пример 19

Отговор: .

Пример 20

Отговор:

Пример 21

Така че няма решения.

Отговор: .

2. Теорема на Виета

Използването на теоремата на Виета е много лесно.

Просто имате нужда Вдигнитакава двойка числа, чието произведение е равно на свободния член на уравнението, а сумата е вторият коефициент, взет с противоположния знак.

Важно е да запомните, че теоремата на Виета може да се приложи само в редуцирани квадратни уравнения ().

Нека разгледаме няколко примера:

Пример 22

Решете уравнението.

Решение:

Това уравнение е подходящо за решаване с помощта на теоремата на Виета, тъй като ... Други коефициенти :; ...

Сумата от корените на уравнението е:

И продуктът е равен на:

Нека вземем такива двойки числа, чието произведение е равно, и проверим дали тяхната сума е равна:

• и. Сумата е равна;
• и. Сумата е равна;
• и. Сумата е равна.

и са решението на системата:

По този начин и са корените на нашето уравнение.

Отговор: ; ...

Пример 23

Решение:

Нека изберете такива двойки числа, които дават в продукта, и след това проверете дали тяхната сума е равна:

и: добавете.

и: сумата е дадена. За да получите, достатъчно е само да промените признаците на предполагаемите корени: и в края на краищата работата.

Отговор:

Пример 24

Решение:

Свободният член на уравнението е отрицателен, което означава, че произведението на корените е отрицателно число. Това е възможно само ако един от корените е отрицателен, а другият е положителен. Следователно сумата от корените е разликата в техните модули.

Нека да изберем такива двойки числа, които дават в продукта и чиято разлика е равна на:

и: разликата им е равна - не пасва;

и: - не пасва;

и: - не пасва;

и: - пасва. Остава само да запомним, че един от корените е отрицателен. Тъй като сумата им трябва да е равна, коренът трябва да е отрицателен по абсолютна стойност :. Проверяваме:

Отговор:

Пример 25

Решете уравнението.

Решение:

Уравнението се намалява, което означава:

Свободният термин е отрицателен, което означава, че продуктът на корените е отрицателен. И това е възможно само когато единият корен от уравнението е отрицателен, а другият е положителен.

Нека изберете такива двойки числа, чието произведение е равно, и след това определете кои корени трябва да имат отрицателен знак:

Очевидно само корените и са подходящи за първото условие:

Отговор:

Пример 26

Решете уравнението.

Решение:

Уравнението се намалява, което означава:

Сумата от корените е отрицателна, което означава, че поне един от корените е отрицателен. Но тъй като продуктът им е положителен, тогава двата корена са със знак минус.

Нека изберете такива двойки числа, чието произведение е равно на:

Очевидно числата и са корените.

Отговор:

Съгласете се, много е удобно да излезете с корени устно, вместо да броите този гаден дискриминатор.

Опитайте се да използвате теоремата на Виета възможно най -често!

Но теоремата на Виета е необходима, за да се улесни и ускори намирането на корени.

За да го използвате изгодно, трябва да доведете действията до автоматизъм. И за това вземете решение за още пет примера.

Но не изневерявайте: не можете да използвате дискриминанта! Само теоремата на Виета!

5 примера за теоремата на Виета за самостоятелна работа

Пример 27

Задача 1. ((x) ^ (2)) - 8x + 12 = 0

Според теоремата на Виета:

Както обикновено, започваме подбора с парче:

Не е подходящо, тъй като сумата;

: сумата е това, от което се нуждаете.

Отговор: ; ...

Пример 28

Задача 2.

И отново нашата любима теорема на Виета: сумата трябва да се получи, но продуктът е равен.

Но тъй като не трябва да има, но ние променяме знаците на корените: и (общо).

Отговор: ; ...

Пример 29

Задача 3.

Хм ... Къде е това?

Необходимо е да прехвърлите всички условия в една част:

Сумата от корените е равна на продукта.

Така че спри! Уравнението не е дадено.

Но теоремата на Виета е приложима само в горните уравнения.

Така че първо трябва да внесете уравнението.

Ако не можете да го представите, прекратете това начинание и го разрешете по друг начин (например чрез дискриминанта).

Нека ви напомня, че да се донесе квадратно уравнение означава да се направи водещият коефициент равен на:

Тогава сумата от корените е равна, а продуктът.

Тук е лесно да се вземе: в края на краищата - просто число (съжалявам за тавтологията).

Отговор: ; ...

Пример 30

Задача 4.

Свободният срок е отрицателен.

Какво толкова специално има в него?

И фактът, че корените ще бъдат с различни знаци.

И сега, по време на избора, ние проверяваме не сумата от корените, а разликата в техните модули: тази разлика е равна, но произведението.

И така, корените са равни и, но един от тях е с минус.

Теоремата на Виета ни казва, че сумата от корените е равна на втория коефициент с противоположен знак, т.е.

Това означава, че по -малкият корен ще има минус: и от.

Отговор: ; ...

Пример 31

Задача 5.

Какво е първото нещо, което трябва да направите?

Точно така, дайте уравнението:

Отново: избираме факторите на броя и тяхната разлика трябва да бъде:

Корените са равни и, но един от тях е с минус. Който? Тяхната сума трябва да бъде равна, което означава, че с минус ще има по -голям корен.

Отговор: ; ...

Обобщавайте

1. Теоремата на Виета се използва само в дадените квадратни уравнения.
2. Използвайки теоремата на Vieta, можете да намерите корените чрез подбор, устно.
3. Ако уравнението не е дадено или няма подходяща двойка свободни терминови множители, тогава няма цели корени и трябва да го решите по друг начин (например чрез дискриминанта).

3. Метод за избор на пълен квадрат

Ако всички термини, съдържащи неизвестното, са представени под формата на термини от съкратените формули за умножение - квадратът на сумата или разликата - тогава след промяна на променливите уравнението може да бъде представено като непълно квадратно уравнение от типа.

Например:

Пример 32

Решете уравнението :.

Решение:

Отговор:

Пример 33

Решете уравнението :.

Решение:

Отговор:

Като цяло трансформацията ще изглежда така:

Това предполага: .

Не прилича ли на нищо?

Това е дискриминант! Точно така, имаме дискриминационната формула.

КВАДРАТНИ УРАВНЕНИЯ. КРАТКО ЗА ОСНОВНОТО

Квадратно уравнениее уравнение от вида, където е неизвестното, са коефициентите на квадратното уравнение, е свободният член.

Пълно квадратно уравнение- уравнение, при което коефициентите не са равни на нула.

Намалено квадратно уравнение- уравнение, в което коефициентът, т.е.

Непълно квадратно уравнение- уравнение, в което коефициентът или или свободният член c са равни на нула:

• ако коефициентът, уравнението има формата :,
• ако свободният член, уравнението има формата :,
• ако и, уравнението има формата :.

1. Алгоритъм за решаване на непълни квадратни уравнения

1.1. Непълно квадратно уравнение на вида, където ,:

1) Нека изразим неизвестното :,

2) Проверете знака на израза:

• ако, тогава уравнението няма решения,
• ако, тогава уравнението има два корена.

1.2. Непълно квадратно уравнение на вида, където ,:

1) Издърпайте общия фактор от скобите :,

2) Произведението е равно на нула, ако поне един от множителите е равен на нула. Следователно уравнението има два корена:

1.3. Непълно квадратно уравнение на формата, където:

Това уравнение винаги има само един корен :.

2. Алгоритъм за решаване на пълни квадратни уравнения от вида където

2.1. Дискриминационно решение

1) Нека приведем уравнението в стандартния вид :,

2) Изчисляваме дискриминанта по формулата :, която показва броя на корените на уравнението:

3) Намерете корените на уравнението:

• ако, тогава уравнението има корени, които се намират по формулата:
• ако, тогава уравнението има корен, който се намира по формулата:
• ако, тогава уравнението няма корени.

2.2. Решение, използващо теоремата на Виета

Сумата от корените на редуцираното квадратно уравнение (уравнения от вида, където) е равна, а произведението на корените е равно, т.е. , а.

2.3. Цялостно квадратно решение

Формули за корените на квадратно уравнение. Разглеждат се случаите на реални, множествени и сложни корени. Разлагане на квадратен трином. Геометрична интерпретация. Примери за определяне на корени и факторинг.

Съдържание

Вижте също: Решаване на квадратни уравнения онлайн

Основни формули

Помислете за квадратно уравнение:
(1) .
Квадратични корени(1) се определят по формулите:
; .
Тези формули могат да се комбинират по следния начин:
.
Когато корените на квадратното уравнение са известни, тогава полиномът от втора степен може да бъде представен като продукт на фактори (факторизирани):
.

Освен това приемаме, че това са реални числа.
Обмисли квадратен дискриминант:
.
Ако дискриминантът е положителен, тогава квадратното уравнение (1) има два различни реални корена:
; .
Тогава факторизацията на квадратния трином е:
.
Ако дискриминантът е нула, тогава квадратното уравнение (1) има два множествени (равни) реални корена:
.
Факторизация:
.
Ако дискриминантът е отрицателен, тогава квадратното уравнение (1) има два сложни спрегнати корена:
;
.
Ето една въображаема единица ,;
и - реални и въображаеми части от корените:
; .
Тогава

.

Графична интерпретация

Ако начертаете функцията
,
която е парабола, тогава точките на пресичане на графиката с оста ще бъдат корените на уравнението
.
Когато графиката пресича оста на абсцисата (оста) в две точки ().
Когато графиката докосне оста на абсцисата в една точка ().
Когато графиката не пресича оста на абсцисата ().

Полезни квадратни уравнения

(е.1) ;
(е.2) ;
(е.3) .

Извеждане на формулата за корените на квадратно уравнение

Извършваме трансформации и прилагаме формули (f.1) и (f.3):




,
където
; .

И така, имаме формула за полином от втора степен под формата:
.
Оттук се вижда, че уравнението

извършено при
и .
Тоест те са корените на квадратното уравнение
.

Примери за определяне на корените на квадратно уравнение

Пример 1

(1.1) .

.
Сравнявайки с нашето уравнение (1.1), намираме стойностите на коефициентите:
.
Откриваме дискриминанта:
.
Тъй като дискриминантът е положителен, уравнението има два реални корена:
;
;
.

От това получаваме факторизацията на квадратния триномиал:

.

Графика на функциите y = 2 x 2 + 7 x + 3пресича оста на абсцисата в две точки.

Нека начертаем функцията
.
Графиката на тази функция е парабола. Той пресича оста на абсцисата (ос) в две точки:
и .
Тези точки са корените на първоначалното уравнение (1.1).

;
;
.

Пример 2

Намерете корените на квадратно уравнение:
(2.1) .

Нека напишем квадратното уравнение в общ вид:
.
Сравнявайки с първоначалното уравнение (2.1), намираме стойностите на коефициентите:
.
Откриваме дискриминанта:
.
Тъй като дискриминантът е нула, уравнението има два множествени (равни) корена:
;
.

Тогава факторизацията на тринома е:
.

Графика на функциите y = x 2 - 4 x + 4докосва оста на абсцисата в една точка.

Нека начертаем функцията
.
Графиката на тази функция е парабола. Той докосва оста на абсцисата (оста) в една точка:
.
Тази точка е коренът на първоначалното уравнение (2.1). Тъй като този корен влиза във факторизацията два пъти:
,
тогава такъв корен обикновено се нарича множествен. Тоест те вярват, че има два равни корена:
.

;
.

Пример 3

Намерете корените на квадратно уравнение:
(3.1) .

Нека напишем квадратното уравнение в общ вид:
(1) .
Пренаписваме първоначалното уравнение (3.1):
.
Сравнявайки с (1), намираме стойностите на коефициентите:
.
Откриваме дискриминанта:
.
Дискриминантът е отрицателен ,. Следователно няма валидни корени.

Могат да се намерят сложни корени:
;
;
.

Тогава


.

Графиката на функцията не пресича оста на абсцисата. Няма валидни корени.

Нека начертаем функцията
.
Графиката на тази функция е парабола. Не пресича оста на абсцисата (оста). Следователно няма валидни корени.

Няма валидни корени. Сложни корени:
;
;
.

Вижте също:

», Тоест уравнения от първа степен. В този урок ще анализираме това, което се нарича квадратно уравнениеи как да го решим.

Това, което се нарича квадратно уравнение

Важно!

Степента на уравнението се определя от най -голямата степен, в която неизвестното стои.

Ако максималната мощност, в която неизвестното стои, е "2", тогава имате квадратно уравнение пред себе си.

Примери за квадратни уравнения

• 5x 2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0,25x = 0
• x 2 - 8 = 0

Важно! Общият изглед на квадратното уравнение изглежда така:

A x 2 + b x + c = 0

"A", "b" и "c" са дадени числа.

• "А" - първият или най -значимият коефициент;
• "B" е вторият коефициент;
• "C" е безплатен член.

За да намерите "a", "b" и "c", трябва да сравните уравнението си с общата форма на квадратното уравнение "ax 2 + bx + c = 0".

Нека се опитаме да дефинираме коефициентите "a", "b" и "c" в квадратни уравнения.

5x 2 - 14x + 17 = 0 −7x 2 - 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Уравнението	Коефициенти
а = 5 b = −14 c = 17
a = −7 b = −13 c = 8

1

3

= 0

• a = −1
• b = 1
• c =

  1

  3

x 2 + 0,25x = 0

• а = 1
• b = 0,25
• c = 0

x 2 - 8 = 0

• а = 1
• b = 0
• c = −8

Как да решим квадратни уравнения

За разлика от линейните уравнения, за решаване на квадратни уравнения, специален формула за намиране на корени.

Помня!

За да решите квадратно уравнение, трябва:

• приведем квадратното уравнение в общия вид "ax 2 + bx + c = 0". Тоест само „0“ трябва да остане от дясната страна;
• използвайте формула за корени:

Нека вземем пример за това как да използваме формула за намиране на корените на квадратно уравнение. Нека решим квадратното уравнение.

X 2 - 3x - 4 = 0

Уравнението "x 2 - 3x - 4 = 0" вече е редуцирано до общата форма "ax 2 + bx + c = 0" и не изисква допълнителни опростявания. За да го разрешим, просто трябва да кандидатстваме формулата за намиране на корените на квадратно уравнение.

Нека определим коефициентите "a", "b" и "c" за това уравнение.

x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =

С негова помощ всяко квадратно уравнение се решава.

Във формулата "x 1; 2 =" радикалният израз често се заменя
"B 2 - 4ac" с буквата "D" и се нарича дискриминант. Концепцията за дискриминант е разгледана по -подробно в урока „Какво е дискриминант“.

Помислете за друг пример за квадратно уравнение.

x 2 + 9 + x = 7x

Доста е трудно да се определят коефициентите "a", "b" и "c" в тази форма. Нека първо приведем уравнението в общата форма "ax 2 + bx + c = 0".

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x - 7x = 0
x 2 + 9 - 6x = 0
x 2 - 6x + 9 = 0

Сега можете да използвате кореновата формула.

X 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x =

6

2

x = 3
Отговор: x = 3

Има моменти, когато няма корени в квадратните уравнения. Тази ситуация възниква, когато под корена във формулата се намери отрицателно число.