Единични точки на функция и тяхната класификация. Изолирани единични точки. Остатъци и формули за тяхното изчисляване

Модели, описани от системи от две автономни диференциални уравнения.

фазова равнина. Фазов портрет. изоклинен метод. главни изоклини. Стабилност в стабилно състояние. Линейни системи. Типове ключови точки: възел, седло, фокус, център. Пример: химични реакции от първи ред.

Най-интересните резултати за качественото моделиране на свойствата на биологичните системи са получени върху модели на две диференциални уравнения, които позволяват качествено изследване с помощта на метода фазова равнина. Да разгледаме система от две автономни обикновени диференциални уравнения от общ вид

(4.1)

P(x,y), Q(x,y)- непрекъснати функции, дефинирани в някаква област гЕвклидова равнина ( x,y- декартови координати) и имащи в тази област непрекъснати производни от ред не по-нисък от първия.

регион гможе да бъде неограничен или ограничен. Ако променливи x, yимат специфично биологично значение (концентрации на вещества, изобилие от видове), най-често площта ге положителният квадрант на дясната полуравнина:

0 £ х< ¥ ,0 £ г< ¥ .

Концентрациите на веществата или изобилието от видове също могат да бъдат ограничени отгоре от обема на съда или от площта на местообитанието. Тогава диапазонът от променливи има формата:

0 £ х< x 0 , 0 £ г< y 0 .

Променливи x, yпромяна във времето в съответствие със системата от уравнения (4.1), така че всяко състояние на системата съответства на двойка стойности на променливи ( x, y).

Обратно, за всяка двойка променливи ( x, y) съответства на определено състояние на системата.

Помислете за равнина с координатни оси, върху която са нанесени стойностите на променливите x,y. Всяка точка Мтази равнина съответства на определено състояние на системата. Такава равнина се нарича фазова равнина и изобразява съвкупността от всички състояния на системата. Точката M(x, y) се нарича изобразяваща или представяща точка.

Нека в първоначалния момент t=t 0 представлява координати на точката М 0 (х(т 0),y(т 0)). Във всеки следващ момент от времето тизобразяващата точка ще се движи според промените в стойностите на променливите х(т),y(т). Набор от точки М(х(т), y(t)) на фазовата равнина, позицията на която съответства на състоянията на системата в процеса на промяна на променливите във времето x(t), y(t)съгласно уравнения (4.1), се нарича фазова траектория.

Наборът от фазови траектории за различни начални стойности на променливите дава лесно видим "портрет" на системата. Сграда фазов портретви позволява да правите заключения за естеството на промените в променливите x, yбез да познава аналитичните решения на оригиналната система от уравнения(4.1).

За да се изобрази фазов портрет, е необходимо да се построи векторно поле от посоки за траекториите на системата във всяка точка от фазовата равнина. Чрез посочване на увеличениед t>0,получаваме съответните увеличения д хи д гот изрази:

д x=P(x,y)д т,

д y=Q(x,y)д т.

векторна посока dy/dxв точка ( x, y) зависи от знака на функциите P(x, y), Q(x, y)и може да се даде от таблица:

P(x,y)>0,Q(x,y)>0
P(x,y)<0,Q(x,y)<0
P(x,y)>0,Q(x,y)<0
P(x,y)<0,Q(x,y)>0

.(4.2)

Решение на това уравнение y=y(x, c), или имплицитно Ф(x,y)=c,където се константа на интегриране, дава семейството от интегрални криви на уравнение (4.2) - фазови траекториисистема (4.1) на равнината x, y.

Изоклинен метод

За конструиране на фазов портрет се използва изоклинен метод -на фазовата равнина се начертават линии, които пресичат интегралните криви под един определен ъгъл. Уравнението на изоклина е лесно да се получи от (4.2). Нека сложим

където НО– определена константа. смисъл НОпредставлява тангенса на наклона на допирателната към фазовата траектория и може да приема стойности от -¥ до + ¥ . Замяна вместо dy/dxв (4.2) количеството НОполучаваме уравнението на изоклина:

.(4.3)

Уравнение (4.3) определя във всяка точка от равнината единствената допирателна към съответната интегрална крива, с изключение на точката, където P(x,y)= 0, Q (x,y) = 0 , при което посоката на допирателната става неопределена, тъй като стойността на производната става неопределена:

.

Тази точка е пресечната точка на всички изоклини - специална точка.Той едновременно премахва производните по време на променливите хи г.

По този начин, в особената точка, скоростта на промяна на променливите са равни на нула. Следователно, сингулярната точка на диференциалните уравнения на фазовите траектории (4.2) съответства на стационарно състояние на системата(4.1), а координатите му са стационарните стойности на променливите x, y.

Особен интерес представляват основни изоклини:

dy/dx=0, P(x,y)=0 – изоклина на хоризонтални допирателни и

dy/dx=¥ , Q(x,y)=0 – изоклина на вертикалните допирателни.

Чрез построяване на главните изоклини и намиране на пресечната точка (x,y), чиито координати отговарят на условията:

така ще намерим пресечната точка на всички изоклини на фазовата равнина, в която посоката на допирателните към фазовите траектории е неопределена. Това е - единична точка, което съответства стационарно състояние на системата(фиг. 4.2).

Системата (4.1) има толкова стационарни състояния, колкото има пресечни точки на главните изоклини във фазовата равнина.

Всяка фазова траектория съответства на набор от движения на динамична система, преминаващи през едни и същи състояния и различаващи се едно от друго само от началото на времевата референтна стойност.

Ако условията на теоремата на Коши са изпълнени, то през всяка точка от пространството x, y, tпреминава през една интегрална крива. Същото е вярно, благодарение на автономността, за фазовите траектории: уникална фазова траектория минава през всяка точка от фазовата равнина.

Стабилност в стабилно състояние

Нека системата е в равновесие.

Тогава представителната точка се намира в една от единичните точки на системата, в която по дефиниция:

.

Дали една единствена точка е стабилна или не се определя от това дали представителната точка напуска или не с малко отклонение от стационарното състояние. Приложено към система от две уравнения, определението за стабилност в езикад, дкакто следва.

Равновесното състояние е стабилно, ако за дадена област на отклонения от равновесното състояние (д )може да се посочи площ д (д ), заобикалящ състоянието на равновесие и притежаващ свойството, че няма траектория, която започва вътре в региона д , никога няма да стигне до границата д . (фиг. 4.4)

За голям клас системи - груби системи – естеството на поведението на което не се променя с малка промяна във вида на уравненията, информация за вида на поведението в близост до стационарното състояние може да се получи чрез изучаване не на оригиналното, а на опростеното линеаризиранисистема.

Линейни системи.

Да разгледаме система от две линейни уравнения:

.(4.4)

Тук а, б, в, г- константи, x, y- Декартови координати във фазовата равнина.

Общото решение ще се търси във формата:

.(4.5)

Заместете тези изрази в (4.4) и намалете с д л т:

(4.6)

Алгебрична система от уравнения (4.6) с неизвестни А, Бима ненулево решение само ако неговият детерминант, съставен от коефициентите на неизвестните, е равен на нула:

.

Разширявайки тази детерминанта, получаваме характеристичното уравнение на системата:

.(4.7)

Решението на това уравнение дава стойностите на индикаторал 1,2 , при които са възможни ненулеви стойности за Аи Брешения на уравнение (4.6). Тези стойности са

.(4.8)

Ако радикалният израз е отрицателен, тогавал 1,2 комплексно спрегнати числа. Да приемем, че и двата корена на уравнение (4.7) имат реални части, различни от нула и че няма множество корени. Тогава общото решение на системата (4.4) може да се представи като линейна комбинация от експоненти с експонентил 1 , л 2 :

(4.9)

За да анализираме естеството на възможните траектории на системата във фазовата равнина, използваме линейна хомогенна координатна трансформация,което ще доведе системата до канонична форма:

,(4.10)

което позволява по-удобно представяне във фазовата равнина в сравнение с оригиналната система (4.4). Нека представим нови координатиξ , η по формулите:

(4.1)

От курса на линейната алгебра е известно, че ако реалните части не са равни на нулал 1 , л 2 оригиналната система (4.4) с помощта на трансформации (4.11) винаги може да се трансформира в каноничната форма (4.10) и може да се изследва нейното поведение във фазовата равнинаξ , η . Помислете за различните случаи, които могат да се появят тук.

Корени λ 1 , λ 2 – валиден и със същия знак

В този случай коефициентите на трансформация са реални, движим се от реалната равнинаx,yкъм реалната равнина ξ, η. Разделяйки второто от уравненията (4.10) на първото, получаваме:

.(4.12)

Интегрирайки това уравнение, намираме:

Къде .(4.13)

Нека се съгласим да разбираме с λ 2 коренът на характеристичното уравнение с голям модул, което не нарушава общостта на нашите разсъждения. Тогава, тъй като в разглеждания случай корените λ 1 , λ2 – валидни и със същия знак,а>1 , и имаме работа с интегрални криви от параболичен тип.

Всички интегрални криви (с изключение на оста η , което съответства на ) докосване в началото на оста ξ, което също е интегрална крива на уравнение (4.11). Началото на координатите е единична точка.

Нека сега да открием посоката на движение на представителната точка по фазовите траектории. Ако λ 1, λ 2 са отрицателни, тогава, както се вижда от уравнения (4.10), |ξ|, |η| намаляват с времето. Представящата точка се приближава до началото, но никога не го достига. В противен случай това би противоречило на теоремата на Коши, която гласи, че само една фазова траектория минава през всяка точка от фазовата равнина.

Такава единична точка, през която минават интегрални криви, точно като семейство параболи преминава през началото, се нарича възел (фиг. 4.5)

Състояние на равновесие от тип възел при λ 1, λ 2 < 0 е стабилна според Ляпунов, тъй като представящата точка се движи по всички интегрални криви към началото на координатите. Това е стабилен възел. Ако λ 1, λ 2 > 0, тогава |ξ|, |η| нараства с времето и представителната точка се отдалечава от началото. В този случай единствената точка– нестабилен възел .

На фазовата равнина x, y общият качествен характер на поведението на интегралните криви ще се запази, но допирателните към интегралните криви няма да съвпадат с координатните оси. Ъгълът на наклон на тези допирателни ще се определя от съотношението на коефициентите α , β , γ , δ в уравнения (4.11).

Корени λ 1 , λ 2 са валидни и имат различни знаци.

Преобразуване откоординати x,y до координати ξ, η отново истински. Уравненията за каноничните променливи отново имат вида (4.10), но сега знаците λ 1, λ 2 различен. Уравнението на фазовата траектория има формата:

Къде , (4.14)

Интегрирайки (4.14), намираме

(4.15)

Това е уравнението дефинира семейство от криви от хиперболичен тип, където и двете координатни осиса асимптотите (при а=1 ще имаме семейство от равнобедрени хиперболи). Координатните оси също са интегрални криви в този случай– това ще бъдат единствените интегрални криви, минаващи през началото. Всекиот които се състои от три фазови траектории: на две движения към състояние на равновесие (или далеч от състояние на равновесие) и от състояние на равновесие. Всички други интегрални криви– са хиперболи, които не минават през началото (фиг. 4.6) Тази единствена точка се нарича "седло ». Линиите на нивото в близост до седловината на планината се държат като фазови траектории в близост до седловината.

Нека разгледаме естеството на движението на представителната точка по фазови траектории в близост до равновесното състояние. Нека напримерλ 1 >0 , λ 2<0 . След това представителната точка, поставена върху оста ξ , ще се отдалечи от началото и ще се постави върху оста η – ще се приближава за неопределено време към началото на координатите, без да го достигне за крайно време. Където и представящата точка е в началния момент (с изключение на сингулярната точка и точките от асимптотата η =0), в крайна сметка ще се отдалечи от равновесното състояние, дори ако в началото се движи по една от интегралните криви към единична точка.

Очевидно е, че особената точка от тип седло е винаги нестабилна . Само при специално избрани начални условия на асимптотатаη =0 системата ще се приближи до състояние на равновесие. Това обаче не противоречи на твърдението, че системата е нестабилна. Ако броиш, че всички начални състояния на системата във фазовата равнина са еднакво вероятни, тогава вероятността за такова начално състояние, което съответства на движение в посокада се особената точка е равна на нула. Следователно всяко реално движение ще изведе системата от състоянието на равновесие.Връщам се към координатитеx,y,получаваме същата качествена картина на естеството на движението на траекториите около началото.

Границата между разглежданите случаи на възел и седло е случаяткога един от характерните показатели, напр λ 1 , изчезва, което се случва, когато детерминантата на системата- изразяване adbc=0(виж формула 4.8 ). В този случай коефициентите на десните страни на уравнения (4.4) са пропорционални един на друг:

и системата има за своите равновесни състояния всички точки от правата:

Останалите интегрални криви са семейство от успоредни линии с наклон , по който представителните точки или се приближават до равновесното състояние, или се отдалечават от него, в зависимост от знака на втория корен на характеристичното уравнение λ 2 = а+г.(фиг.4. 7 ) В този случай координатите на равновесното състояние зависят от началната стойност на променливите.

Корени λ 1 , λ 2 – комплексконюгирани

В този случай, наистинахи гние ще имат сложни конюгати ξ , η (4.10) . Въпреки това, чрез въвеждане на още една междинна трансформация, в този случай също е възможно да се сведе разглеждането до реална линейна хомогенна трансформация. Нека сложим:

(4.16)

където а, б,и u, v – реални стойности. Може да се покаже, че трансформацията отx,yда се u, v е, според нашите предположения, реален, линеен, хомогенен с ненулев детерминант. Поради уравненията(4.10, 4.16) имаме:

където

(4.17)

Разделяне на второто от уравненията на първото, получаваме:

което е по-лесно за интегриране, ако преминем към полярната координатна система (г, φ ) . След замянаполучаваме от къде:

.(4.18)

По този начин във фазовата равнинаu, vимаме работа със семейство логаритмични спирали, всяка от които имаасимптотична точка в началото.Единична точка, която е асимптотична точка на всички интегрални криви, имащи формата на спирали, вложен приятел вприятел, обади се фокус ( фиг.4.8 ) .

Нека разгледаме естеството на движението на представящата точка по фазовите траектории. Умножаване на първото от уравненията (4.17) поu, а вторият към vи като добавим, получаваме:

Където

Нека бъде а 1 < 0 (а 1 = Reλ ) . След това представящата точка непрекъснато се приближава към началото, без да го достига за крайно време. Това означава, че фазовите траектории са усукани спирали и съответстват на затихващи трептенияпроменливи. Това е - постоянен фокус .

В случай на стабилен фокус, както в случая на стабилен възел, е изпълнено не само условието на Ляпунов, но и по-строго изискване. А именно, за всякакви първоначални отклонения, системата в крайна сметка ще се върне възможно най-близо до равновесното положение. Такава стабилност, при която първоначалните отклонения не само не се увеличават, но се разпадат, стремейки се към нула, се нарича абсолютна стабилност .

Ако във формулата (4.18) а 1 >0 , тогава представящата точка се отдалечава от началото и ние си имаме работа нестабилен фокус . При движение от самолетu, vкъм фазовата равнинах, гспиралите също ще останат спирали, но ще се деформират.

Помислете сега за случая, когатоа 1 =0 . Фазови траектории на самолетаu, vще има кръгове който в самолетаx,yподходящи елипси:

По този начин приа 1=0 през специална точкаx= 0,y= 0 не минава интегрална крива. Такава изолирана особена точка, близо до която интегралните криви са затворени криви, по-специално елипси, вградени една в друга и обхващащи особената точка, се нарича център.

По този начин са възможни шест вида равновесие в зависимост от естеството на корените на характеристичното уравнение (4.7). Изглед на фазовите траектории в равнината x, yза тези шест случая е показано на фиг. 4.9.

Ориз. 4.9.Видове фазови портрети в околността на стационарно състояние за системата от линейни уравнения (4.4).

Петте типа равновесни състояния са груби, тяхната природа не се променя при достатъчно малки промени в десните страни на уравненията (4.4). В този случай промените трябва да са малки не само в десните страни, но и в техните производни от първи ред. Шестото състояние на равновесие - центъра - не е грубо. При малки промени в параметрите на дясната страна на уравненията той преминава в стабилен или нестабилен фокус.

Бифуркационна диаграма

Нека въведем обозначението:

. (4.11)

Тогава характеристичното уравнение може да се запише във вида:

. (4.12)

Да разгледаме равнина с правоъгълни декартови координати с , д и маркирайте върху него областите, съответстващи на един или друг тип състояние на равновесие, което се определя от естеството на корените на характеристичното уравнение

.(4.13)

Условието за стабилност на равновесното състояние ще бъде наличието на отрицателна реална част от yл 1 и л 2 . Необходимо и достатъчно условие за това е изпълнението на неравенстватас > 0, д > 0 . На диаграмата (4.15) това условие съответства на точките, разположени в първата четвърт на равнината на параметрите. Единствената точка ще бъде фокусът, акол 1 и л 2 комплекс. Това условие съответства на онези точки от равнината, за които , тези. точки между два клона на параболас 2 = 4 д. Точки на полуос с = 0, д>0, съответстват на равновесни състояния от тип център. по същия начин,л 1 и л 2 - валидни, но различни знаци, т.е. единична точка ще бъде седло, ако д<0, и т.н. В резултат на това получаваме диаграма на разделяне на параметърната равнина с, д, в региони, съответстващи на различни видове равновесни състояния.

Ориз. 4.10.Бифуркационна диаграма

за системата от линейни уравнения 4.4

Ако коефициентите на линейната система а, б, в, гзависят от някакъв параметър, тогава когато този параметър се промени, стойностите също ще се променятс , д . При преминаване през границите естеството на фазовия портрет се променя качествено. Следователно такива граници се наричат ​​бифуркационни граници – от противоположните страни на границата системата има два топологично различни фазови портрета и съответно два различни типа поведение.

Диаграмата показва как могат да се осъществят такива промени. Ако изключим специални случаи - произхода на координатите - тогава е лесно да се види, че седлото може да влезе във възел, стабилен или нестабилен при пресичане на оста y. Стабилен възел може или да се премести в седло, или към стабилен фокус и т.н. Имайте предвид, че преходите стабилен възел-стабилен фокус и нестабилен възел-нестабилен фокус не са бифуркационни, тъй като топологията на фазовото пространство не се променя в този случай. Ще говорим по-подробно за топологията на фазовото пространство и бифуркационните преходи в Лекция 6.

При бифуркационните преходи се променя естеството на стабилността на единичната точка. Например, стабилен фокус през центъра може да се превърне в нестабилен фокус. Тази бифуркация се нарича Бифуркация Андронов-Хопфпо имената на учените, които го изучават. С тази бифуркация в нелинейните системи се ражда пределен цикъл и системата става самоосцилираща (виж лекция 8).

Пример. Система от линейни химични реакции

Вещество хвлива отвън с постоянна скорост, превръща се в вещество Y и със скорост, пропорционална на концентрацията на веществото Й, се изважда от реакционната сфера. Всички реакции са от първи ред, с изключение на притока на материя отвън, който има нулев ред. Схемата на реакцията изглежда така:

(4.14)

и се описва със системата от уравнения:

(4.15)

Получаваме стационарни концентрации, като приравняваме дясната страна към нула:

.(4.16)

Помислете за фазовия портрет на системата. Нека разделим второто уравнение на системата (4.16) на първото. Получаваме:

.(4.17)

Уравнение (4.17) определя поведението на променливите във фазовата равнина. Нека построим фазов портрет на тази система. Първо, начертаваме основните изоклини във фазовата равнина. Уравнение на изоклина на вертикалните допирателни:

Уравнение за изоклина на хоризонталните допирателни:

Единствената точка (неподвижно състояние) лежи в пресечната точка на главните изоклини.

Сега нека определим под какъв ъгъл координатните оси пресичат интегралните криви.

Ако x= 0, тогава .

По този начин допирателната на наклона на допирателната към интегралните криви y=y(x),пресичане на оста y х=0, е отрицателно в горната полуравнина (припомнете си, че променливите x, yимат стойности на концентрация и затова се интересуваме само от горния десен квадрант на фазовата равнина). В този случай стойността на тангенса на ъгъла на наклон на допирателната нараства с разстоянието от началото.

Помислете за оста y= 0. В пресечната точка на тази ос интегралните криви се описват с уравнението

В тангенсът на наклона на интегралните криви, пресичащи оста на абсцисата, е положителен и нараства от нула до безкрайност с увеличаване х.

В .

След това, с по-нататъшно увеличение, тангенсът на наклона намалява по абсолютна стойност, остава отрицателен и клони към -1 при х ® ¥ . Познавайки посоката на допирателните към интегралните криви по главните изоклини и по координатните оси, е лесно да се изгради цялата картина на фазовите траектории.

Естеството на стабилността на сингулярната точка ще бъде установено по метода на Ляпунов. Характеристичният детерминант на системата има формата:

.

Разширявайки детерминанта, получаваме характеристичното уравнение на системата: , т.е. и двата корена на характеристичното уравнение са отрицателни. Следователно стационарното състояние на системата е стабилен възел. В същото време концентрацията на веществото хклони към стационарно състояние винаги монотонно, концентрацията на веществото Y може да премине през min или max. Осцилаторните режими в такава система са невъзможни.

Нека бъде zq - сингулярна точка на функцията f(z), т.с. f(z)но е аналитичен в този момент (в частност, може да не е дефиниран в него). Ако има такъв пробит квартал на точката zq (т.е. множеството O z - zq f(z) е псевдоним, тогава зоНаречен изолирана единична точкафункции f(z).Това определение е запазено и в случая zn =оо, ако йодът е пробит квартал на точка zq = oo разбират множеството z >аз - появата на някакъв кръг с център в началото. С други думи, единствената точка zq се казва, че е изолиран, ако съществува квартал на тази точка, в който има други особени точки, различни от zq Навсякъде по-долу разглеждаме само единични точки от еднозначен символ (функцията f(z)се приема за уникален).

В зависимост от поведението на функцията f(z)в z -> zqИма три вида единични точки. Изолирана единична точка zq функции f(z)Наречен:

1) подвижна единична точкаако има краен предел

2) полюсако има ограничение

3) съществен момент,ако f(z) няма нито краен, нито безкраен лимит за z-> zq.

ПРИМЕР 26.1. Нека покажем, че и трите типа особени точки са реализирани. Обмисли е(z)= точка zq = 0 е изолиран

единична точка на тази функция. Използвайки формула (22.12), получаваме разширението

от което следва, че съществува lim fi(z)= 1. Следователно zq = 0 е

е подвижна особена точка на функцията fi(z).

Функция f'j(z) =--- има стълб в точка зо= 1, защото

2 r" Х

Помислете сега за функцията )z(z)= e 1 ^ r и покажете, че zo = O е съществена единична точка на тази функция. При стремеж zдо нула по реалната ос, лявата и дясната граница на функцията f (z)различни: lim с 1 / 1 = 0,лим с 1 /* =операционна система. Това предполага,

x->0-0 x->0+0

Какво f:i(z)няма нито краен, нито безкраен лимит за 2 -> О, т.е. zq = 0 е по същество сингулярна точка на тази функция. (Обърнете внимание, че докато точката клони z-iyдо нула на функцията на въображаемата ос

изобщо няма ограничение.)

Разбира се, има и неизолирани единични точки. Например. функцията има полюси в точки z n = -, П= ±1, ±2,...

следователно, Zq = 0 е неизолирана особена точка на тази функция: във всяка (произволно малка) околност на тази точка има други особени точки личен лекар.

Нека бъде зо-крайна изолирана особена точка на функция f(z).Тогава f(z)е подобно в някаква пробита махала 0 Zo на точката зотази околност може да се разглежда като пръстен с вътрешен радиус r = 0. По теорема 25.1 в разглежданата окръжност функцията f(z)може да се разшири в серия на Лоран (25.2). Ще покажем, че поведението на функцията за 2 -> zq (т.е. типът на особената точка зо)зависи от формата на основната част на разлагането (25.2); това обстоятелство обяснява произхода на термина “основна част”.

ТЕОРЕМА 2G.2. Изолирана особена точка zo на функция f(z) е отстранима, ако и само ако разширението на Лорап в пробита околност на тази точка има oid

тези. се състои само от правилната част, и всички коефициенти на основната част са равни на куршума.

Доказателство. 1. Нека зое подвижна единична точка. Нека докажем, че разширението на Лоран на функцията f(z)има вида (26.1). Тъй като единствената точка зоотстраним, тогава има краен лимит lim f(z) = A.следователно, f(z)ограничена в някаква пробита околия 0 z - zq на точката зо,тези. )(z) за всички zот този квартал. Вземете всякакви Р. U р /?| и използвайте формулите (25.3) за коефициентите от реда на Лоран:

За коефициентите на основната част от разширението n =- 1,-2,... За такива стойности Пние имаме p~n-e 0 в Р-> 0. Тъй като стойността Ртогава може да бъде избран произволно малък г-н~"може да бъде произволно малък. Тъй като |c t,| ^ Mr~nи cn не зависят от p, тогава cn = 0 за и= - 1, -2,..., което трябваше да се докаже.

2. Нека сега приемем, че разширението на Лоран има вида (26.1). Ред (26.1) е степенен ред и. следователно, се сближава не само в пробитите, но и в целия квартал z-zq включително точката zo;нейното количество S(z)е аналитичен за z и S(z) = )(z)при 0 z - зоР.Следователно има краен лимит lim )(z)\u003d Pm 5 (r) \u003d 5 (r) - Следователно, сингулярната точка zq

Z->Zo Z-*Zo

разполагаем. Теоремата е доказана.

Коментирайте. От доказателството на теоремата следва, че в пробита окръжност 0 z - zo на подвижна особена точка, функцията f(z)съвпада с функцията S(r), която е аналитична в цялата околност z - зо . Следователно, ако поставим /(th) = S(zq), след това, без да променя стойностите на функцията f(z)във всяка точка от пробитата околия правим тази функция аналитична по r, т.е. „премахнете“ функцията. Това обяснява термина „отстраняема сингулярност“. Естествено е такива точки да се разглеждат като правилни, а не като единични точки на функцията f(z).

Помислете например за функцията

В пример 26.1 беше показано, че Pm (n) = 1. т.е. единична точка

zq = 0 може да се премахне. Поставяйки /i(0) = 1, по този начин елиминираме сингулярността и получаваме функция, която е аналитична в точката zq = 0 (и в цялата равнина C).

Нека сега да характеризираме полюсите в термините на разширенията на Лоран.

Теорема 26.3. Изолирана особена точка Zo на функция f(z) е полюс тогава и само ако, когато главната част от разширението на Лоран с център Zq има само краен брой различни

от нулеви коефициенти с n:

Доказателство. 1. Нека zq - полюс, т.е. lim /( z) = оо.

Нека докажем, че разширението на Лоран на функцията f(z)има формата (2G.2). Тъй като лим f(z)= оо. тогава има пробит околност на точката

ки zq при което f(z)е аналитичен и няма нули. След това функцията g(z) = 1 /f(z)също ще бъде аналитичен в този пробит квартал, а lim g(z)= 0. Следователно, Zoе за еднократна употреба *-? *0

единична точка на функцията g(z).Нека предефинираме g(z)в точката зо, поставяне g(zo)= 0. Тогава g(z)става аналитичен в цялата околност на (непробитата) точка z 0 ,и z0ще бъде нейната изолирана нула. Означете с нкратност (порядък) на тази нула. Както беше показано в §23, в съседство на точката zq функция g(z)представимо във формата (виж (23.2))

и (z$) е 0 и y>(z)е аналитичен в някои околности на точката зо-Като ip(z)непрекъснато в точка зои g>(zo) F 0" тогава ip(z)също няма нули в някой квартал на тази точка. Следователно функция 1 /-p(z)също ще бъде аналитичен в този квартал и следователно се разширява в него в серия на Тейлър:

Отваряйки скобите и променяйки обозначенията на коефициентите, записваме последното разширение във формата

където c_jv = 1>о е 0. По този начин основната част от разширението на Лоран на f(r) съдържа само краен брой членове; стигнахме до изискваното равенство (26.2).

2. Нека в пробита околност на точка тифункция )(z)е представено от разширението на Лоран (26.2) (в по-разширена форма, виж (26.3)), чиято основна част съдържа само краен брой термини, и с-д" е 0. Трябва да докажем това Zq - функционален полюс f(z).Умножаване на равенството (26.3) по (Г - г o) iV , получаваме функцията

Редът в (26.4) е степенен ред, сближаващ се към аналитична функция не само в пробитата, но и в цялата околност на точката Zq. Следователно, функцията h(z)става аналитичен в този квартал, ако го разширим в th чрез задаване h(zo)= s_dg е 0. Тогава

Така точката o е полюс и теорема 26.3 е доказана.

Кратност (порядък) на нулевата функция g(z)= 1//(r) се извиква полюсен редфункция /(r). Ако Н-тогава редът на полюса е th g(z)= (r - Zo)N ip(z),и (върви) Ф 0 и, както е показано в първата част от доказателството на теорема 26.3, разширението на f(r) има формата (26.3), където c_/v е 0. Обратно, ако f(r) се разширява в редицата (26.3) и e-z F 0, тогава

т.с. Н-реда на полюса на функцията f(r). По този начин, реда на полюса zq на функцията/(G) е равно на броя на водещия ненулев коефициент на основната част от разширението на Лоран в пробитата окръжност на точката zq(т.е. равно на такова число Н,какво s_dg е 0 и sp= 0 при П > Н).

Нека докажем следното твърдение, което е удобно) за приложения.

Следствие 26.4. Точката zq е полюс от порядък N на художествената литература/(G) ако и само ако/(G) представляват във формата

където h(z) е аналитична функция в околност на точкати и h(zo) f 0.

Доказателство. Функция cp(z) = l/h(z)е аналитичен в някаква околност на точка r. Условието на следствие 26.4 е еквивалентно на следното:

Така zq - кратност нула нфункции g(z).и оттук полюсът за множественост нфункции /(2).

II пример 26.5. Намерете изолирани особени точки на функция и определят вида им.

D e u c tio n. Точките, в които (з 2 + 1 )(z+ H) 2 = 0. Ако z 2 L- 1 = 0 след това 2 = ±rако (з 4- H) 2 = 0, тогава z= -3. Следователно функцията има три особени точки z= r, 22 = -r, З3 = - 3. Помислете z:

G -полюс от първи ред (използвахме следствие 26.4). По подобен начин може да се докаже, че 22 = -iсъщо полюс от първи порядък. За 2 часа имаме:

Нека преминем към разглеждането на по същество единични точки.

Теорема 26.6. Изолирана особена точка zq на функция f(z) е по същество сингулярна, ако и само ако основната част от разширението на Лоран с център в zq има безкрайно много различни от. нула, коефициенти с п.

Доказателство. Теорема 26.6 следва директно от теореми 26.2 и 26.3. Наистина, ако точката zq е по същество единична, тогава основната част от разширението на Лоран не може да отсъства или да съдържа краен брой термини (в противен случай точката Zq ще бъде или сваляем, или стълб). Следователно броят на термините в основната част трябва да бъде безкраен.

Обратно, ако основната част съдържа безкрайно много членове, тогава Zq не може да бъде нито подвижна точка, нито полюс. Следователно тази точка е по същество единична.

Съгласно дефиницията, една по същество единична точка се характеризира с факта, че функцията f(2) няма нито краен, нито безкраен предел за z ->zq По-пълна представа за това колко неправилно е поведението на функция в съседство на по същество единична точка се дава от следната теорема.

Теорема 26.7 (теорема на Сохочки). Ако zq е по същество сингулярен, тогава точката на функцията f(z), след това за всяко комплексно число L, включително A =оо, има последователност от точки z n, така че z n -> zo и lim f(zn) = НО.

n->os

Доказателство. Помислете първо за случая А =оо В първата част от доказателството на теорема 2G.2 установихме, че ако f(z)е ограничен в някаква пробита околност на точката r0, тогава всички коефициенти c, n = - 1, - 2,... от основната част са равни на нула (и следователно сингулярността в th е отстранима). Тъй като, по предположение, r е по същество сингулярна точка, функцията /(r) е неограничена във всяка пробита околност на точката r. Да вземем някаква тясна окръжност 0 Z, така че f(zi) > 1 (ако |/(r)| z - zo R/2 има точка z-2 , където |/(dd)| > 2 и др.: в пробитата махала О 71. Очевидно е, че rn -e go и lim /(r«) = oo. Така, в случай A = oo, теорема 26.7

доказано.

Нека сега А еоо Да приемем първо, че има пробит квартал 0

= -уу---- ще бъде аналитичен в този пробит квартал и следователно,

/(G) - НО

следователно, r е изолирана особена точка на функцията Φ(r). Да покажем. че r0 е по същество сингулярна точка на Φ(r). Нека е грешно. Тогава съществува лимит lim Φ(r), краен или безкраен. Защото

/(r) = A + , тогава съществува и Hsh /(r), което противоречи на условието

F(g) ~ :-*z 0

поглед върху теоремата. Така r0 е по същество сингулярна точка на функцията Φ(r). Съгласно доказаното по-горе съществува поредица от точки r n такава, че r n o и lim Φ(r n) = oo. Оттук

Доказахме изискваното твърдение при допускането, че f(r) Ф Ав някаква пробита околност на точката r. Нека сега приемем, че това не е вярно, т.е. във всяка произволно малка пробита околност на точката th има такава точка G",че f(r") = A. Тогава за всяко Пв пробитата околия 0 f(z u) = L. Следователно, изискваното твърдение е вярно П-юо

във всички случаи и теорема 26.7 е доказана.

Съгласно (Сохотски) теорема 26.7, във всяка (произволно малка) пробита околност на по същество сингулярна точка функцията f(r) приема стойности, произволно близки до произволно число в разширената комплексна равнина C.

За изследване на изолирани особени точки често са полезни добре познатите разширения на Тейлър на основни елементарни функции.

ПРИМЕР 2G.8. Определете вида на сингулярната точка zq = 0 за функцията

Решено и д. Разширяваме числителя и знаменателя в ред на Тейлър по степени на r. Заместваме в (22.11) 3 zвместо r и изваждане на 1, получаваме

Използвайки (22.12), получаваме разширението на знаменателя:

Редовете в тези разширения се сближават в цялата комплексна равнина €. Ние имаме

и /2(2) са аналогични в околност на точката zo = 0 (и дори в цялата равнина) и /2(20) Ф 0, тогава h(z)също е аналитична в някаква околност на точката gF 0. Съгласно следствие 26.4, точката Zo = 0 е полюсът на поръчката N = 4.

II пример 26.9. Намиране на сингулярни точки на функция f(z)= sin j - и определете вида им.

P e in e и e. Функцията има единствена крайна единствена точка zq = 1. В други точки от C функцията w =--- аналитични; оттук функцията грех wще бъде аналитичен.

Замествайки в разширението на синуса (22.12) - вместо r, получаваме

Получихме разширението на функцията sin в ред на Лоран в пробита околност на точка 20 = 1. Тъй като полученото разширение съдържа безкрайно много членове с отрицателни степени (r - 1), то zq = 1 е съществена сингулярна точка (в този случай разширението на Лоран се състои само от основната част, а правилната част отсъства).

Обърнете внимание, че в този случай също беше възможно да се установи естеството на сингулярността директно от определението, без да се прибягва до разширяване на серия. Всъщност има последователности (r") и (2"), които се сближават зо= 1 и така, че f(z" n)= 1, /(2") = 0 (посочете такива последователности сами). И така, f(z)няма ограничение кога z -> 1 и оттам точката zq - 1 е по същество единствено.

Нека представим концепцията за разширение на Лоран на функция в околност на точка Zq = 00 и разгледайте връзката между разширяването и естеството на сингулярността в тази точка. Обърнете внимание, че дефинициите на изолирана единична точка и нейният тип (отстранима, полюсна или по същество единична) се пренасят в случая zq = oc непроменено. Но теореми 26.2. 26.3 и 26.6, свързани с естеството на разширенията на Лоран, трябва да бъдат променени. Въпросът е, че членовете c n (z - 2о) стр. П= -1,-2,..., основната част, дефинираща "неправилността" на функцията близо до крайната точка Zq, тъй като 2 клони към oo, те ще се държат „правилно“ (клонят към 0). Напротив, членовете на редовната част с П= 1,2,... ще се стреми към oo; те определят естеството на сингулярността в Zq = oo. Следователно основната част от разширяването в квартала на oo ще бъдат термините с положителни сили P,и правилен - с отрицателен.

Нека представим нова променлива w = 12. Функция tv= 1/2, разширено така, че u(oo) = 0, едно към едно и конформно картографира квартала z > Rточки zq = 00 в околността на |w| wq = 0. Ако функцията f(z)анализи в пробит квартал Р z Zq = oc, тогава функцията G(w) = f(l/w)ще бъде аналитичен в жълтата махала 0 wo = 0. Тъй като за 2 -> oo ще има w-> 0, тогава

Така G(w)има в точката wq = 0 е сингулярност от същия тип като f(z)в точката Zq = 00. Нека разширим функцията G(w) в ред на Лоран в пробита околност на точката wo = 0:

Сумите от дясната страна на (26.5) представляват съответно правилната и основната част на разширението. Нека да преминем към променливата z,заместващ w = 1/z:

обозначаващи П\u003d -A *, 6 * \u003d 6_ " \u003d с пи забелязвайки това G(l/z) = f(z), получаваме

Разлагането (2G.G) се нарича Разлагане на Лоран на функцията f(z) в пробита околност на точката zq= оо. Извиква се първата сума в (2G.6). дясната част, а втората сума е Главна часттова разлагане. Тъй като тези суми съответстват на правилните и главни части на разширението (26.5), разширението (26.6) удовлетворява аналозите на теореми 26.2, 26.3 и 26.6. Следователно, следната теорема е аналог на теорема 26.2.

Теорема 26.10. Изолирана единична точкаZq - операционна система (функции/(G) е отстраняемо, ако и само ако разширението на Лоран в пробит квартал на тази точка има формата

т.с. се състои само от правилната част.

Поставяме /(oo) = co.Функцията, дефинирана от редицата (26.7), сближаващи се в околността z > Rточки 2o \u003d oc, наречени аналитичен в точка zо = оо. (Обърнете внимание, че тази дефиниция е еквивалентна на аналитичността на функцията G(w) в точката wo = 0.)

Пример 26.11. Изследвайте особената точка zq = oo на функцията

Тъй като границата е крайна, тогава zo = oo е подвижна особена точка на функцията f(r). Ако поставим /(oo) = lim Джей Зи)= 0, тогава f(z)ще стане

тик в точката Zo= ос. Нека покажем как да намерим съответното разширение (26.7). Да преминем към променливата w = 1 fz.Заместване z= 1 /?e, получаваме

(последното равенство е валидно в пробитата околност на точката ww = 0, но ще разширим дефиницията (7(0) = 0). Получената функция има единични точки w =±i, w =-1/3 и в точката Wq = 0 е аналитично. Функция за разширяване G(w)по степени w(както беше направено в пример 25.7) и заместване в получения степенен ред w = 1/zможе да се получи разширението (26.7) на функцията f(z).

Теорема 26.3 за случая зо= oo ще бъде пренаписано в следната форма.

Теорема 26.12. Изолирана единична точкавърви = ок функцията f(z) е полюс, ако и само ако е основната част от разширението на Лоран (26.6) има само краен брой ненулеви коефициентис":

Тук редът е редовната част, а полиномът в скоби е основната част от разширението. Множеството на полюса в oc се дефинира като кратност на полюса wq = 0 функции G(z).Лесно е да се види, че кратността на полюса съвпада с числото нв (26.8).

Q p | (i 2 + 1) (z + 3) 2

Задача. Покажете, че функцията f(z) =-- -- има вътре

точка zo = oo ред на полюса 3.

Теорема 26.6 за съществена сингулярна точка е пренаписана за случая зо= os почти дословно и ние не се спираме на него в подробности.

Редиците на Тейлър служат като ефективен инструмент за изучаване на функции, които са аналитични в окръжността zol. За да се изследват функции, които са аналитични в пръстеновидна област, се оказва, че е възможно да се конструират разширения в положителни и отрицателни степени (z - zq) на форма, която обобщава разширенията на Тейлър. Поредицата (1), разбирана като сбор от две серии, се нарича ред на Лоран. Ясно е, че областта на сближаване на ред (1) е общата част на областите на сближаване на всеки от редовете (2). Да я намерим. Площта на сближаване на първата серия е окръжност, чийто радиус се определя от формулата на Коши-Адамар Вътре в кръга на сближаване серия (3) се сближава до аналитична функция и във всяка окръжност с по-малък радиус тя се сближава абсолютно и равномерно. Вторият ред е степенен ред по отношение на променливата. Редът (5) се сближава в рамките на своя кръг на сходимост към аналитичната функция на комплексната променлива m-*oo и във всеки кръг с по-малък радиус се сближава абсолютно и равномерно, което означава, че областта на сближаване на редицата (4) е появата на окръжността - Ако тогава има обща област на сближаване на редовете (3) и (4) - кръгов пръстен, в който серия (1) се доближава до аналитична функция. Освен това във всеки пръстен той се сближава абсолютно и равномерно. Пример 1. Определяне на областта на сближаване на ред на Лоран Изолирани особени точки и тяхната класификация (z), която е еднозначна и аполитична в кръгов пръстен, може да бъде представена в този пръстен като сума от сходящ ред, чиито коефициенти Cn са еднозначно определени и изчислени по формулите, където 7p е окръжност с радиус m. Нека фиксираме произволна точка z вътре в пръстена R Изграждаме окръжности с центрове в точка r, чиито радиуси удовлетворяват неравенствата и разглеждаме нов пръстен Съгласно интегралната теорема на Коши за многократно свързана област имаме За всички точки £ по окръжността 7d* е изпълнено отношението de сумата от равномерно сходящия ред 1 1. Следователно дробът ^ може да бъде представен във vi- /" / По малко по-различен начин, за всички точки ξ на кръгът ir> имаме отношението Следователно дробът ^ може да бъде представен като сбор от равномерно сходящи ред във формули (10) и (12) са аналитични функции в кръгов пръстен. Следователно, според теоремата на Коши, стойностите на съответните интеграли не се променят, ако кръговете 7/r и 7r/ се заменят с която и да е окръжност. Това ни позволява да комбинираме формули (10) и (12). Замествайки интегралите от дясната страна на формула (8) с техните изрази съответно (9) и (11), получаваме желаното разширение. Тъй като z е произволно точка на пръстена, следва, че редът ( 14) се сближава до функцията f(z) навсякъде в този пръстен и във всеки пръстен редът се сближава до тази функция абсолютно и равномерно. Нека сега докажем, че декомпозицията на формата (6) е единствена. Да приемем, че се извършва още едно разлагане.Тогава навсякъде вътре в пръстена R имаме По окръжността редовете (15) се сближават равномерно. Умножете двете страни на равенството (където m е фиксирано цяло число и интегрирайте и двете серии член по член. В резултат получаваме от лявата страна, а от дясната страна - Csh. Така (4, \u003d St. Тъй като m е произволно число, тогава последният ред на равенство (6), чиито коефициенти се изчисляват по формули (7), се нарича ред на Лоран на функцията f(z) в пръстена 7) за коефициентите на реда на Лоран се използват рядко на практика, тъй като по правило изискват тромави изчисления.Обикновено, ако е възможно, се използват готови разширения на Тейлър на елементарни функции.Въз основа на уникалността на разширението всеки легитимен метод води до същия резултат. Пример 2 Помислете за разширенията в редицата на Лоран на функциите на различни области, като приемем, че Fuiscija /(z) има две особени точки: Следователно има три пръстенни области и с център в точката r = 0. във всяка от които функцията f(r) е аналитична: а) окръжността е външната част на окръжността (фиг. 27). Нека намерим разширенията на Лоран на функцията /(z) във всяка от тези области. Представяме /(z) като сума от елементарни дроби a) Връзка за преобразуване на кръг (16), както следва Използвайки формулата за сумата от членовете на геометрична прогресия, получаваме b) Пръстенът за функцията -z остава сходящ в този пръстен, тъй като серия (19) за функцията j^j за |z| > 1 се разминава. Следователно трансформираме функцията /(z) по следния начин: прилагайки отново формула (19), получаваме, че Тази серия се сближава за. Замествайки разложенията (18) и (21) във връзка (20), получаваме в) Външността на окръжността за функцията -z с |z| > 2 се разминава и серия (21) за функцията Нека представим функцията /(z) в следната форма: /<*> Използвайки формули (18) и (19), получаваме ИЛИ 1 Този пример показва, че за една и съща функция f(z) разширението на Лоран, най-общо казано, има различна форма за различни пръстени. Пример 3. Намерете разлагането на 8-те серии на Лоран на функцията Ред на Лоран Изолирани особени точки и тяхната класификация в пръстеновидната област A. Използваме представянето на функцията f (z) в следната форма: и трансформираме втория член, като използваме формула за сбора на членовете на геометрична прогресия, получаваме Замествайки намерените изрази с формулата (22), имаме пример 4. Разширете функцията в ред на Лоран в околността на тънък zq = 0. За всеки комплексен , имаме Нека Това разширение е валидно за всяка точка z Ф 0. В този случай пръстеновидната област е цялата комплексна равнина с една изхвърлена точка z - 0. Тази област може да бъде дефинирана от следната връзка: Тази функция е аналитична в областта От формули (13) за коефициентите на реда на Лоран, по същите разсъждения, както в предишния параграф, могат да се получат неравенствата на Kouiw. ако функцията f(z) е ограничена върху окръжност, където M е константа), тогава изолирани особени точки Точка zo се нарича изолирана сингулярна точка на функцията f(z), ако съществува пръстеновидна окръжност на точката ( това множество понякога се нарича още пробита околност на точка 2o), в която функцията f(z) е еднозначна и аналитична. В самата точка zo функцията или не е дефинирана, или не е еднозначна и аналитична. Различават се три типа особени точки в зависимост от поведението на функцията /(z) при приближаване до точката zo. Изолирана особена точка се нарича: 1) отстраняема, ако съществува краен 2) pmusach, ако 3) по същество сингулярна точка, ако функцията f(z) няма ограничение за Теорема 16. Изолирана особена точка z0 на функция f(z) е подвижна особена точка, ако и само ако Лорановото разширение на функцията f(z) в околност на точката zo не съдържа главна част, т.е. има формата Let zo - отстраняема особена точка. Тогава съществува едно ограничено и следователно функцията f(z) е ограничена в прокологична окръжност на точката r. Ние задаваме по силата на неравенствата на Коши Тъй като е възможно да се избере p като произволно малко, тогава всички коефициенти при отрицателните степени (z - 20) са равни на нула: Обратно, нека Лоран разширяването на функцията /(r) в съседство на точка zq съдържа само правилната част, т.е. има формата (23) и, следователно, е Тейлър. Лесно е да се види, че за z -* z0 функцията /(r) има гранична стойност: Теорема 17. Изолирана сингулярна точка zq на функцията f(z) е отстранима, ако и само ако функцията J(z) е ограничен в някаква пробита околност на точката zq, Zgmechai не. Нека r0 е подвижна особена точка на f(r). Ако приемем, че получаваме, че функцията f(r) е аналитична в някаква окръжност с център в точката th. Това определя името на точката - еднократна. Теорема 18. Изолирана сингулярна точка zq на функция f(z) е полюс, ако и само ако основната част от разширението на Лоран на функцията f(z) в съседство на точката съдържа крайно (и положително) число от ненулеви членове, т.е. има вида 4 Нека z0 е полюс. Оттогава съществува пробита околност на точката z0, в която функцията f(z) е аналитична и не е нула. Тогава в тази околност се дефинира аналитична функция и следователно точката zq е подвижна сингулярна точка (нула) на функцията или където h(z) е аналитична функция, h(z0) ∩ 0. е аналитична в квартал на точката zq, и следователно, откъдето получаваме, че Нека сега приемем, че функцията f(z) има декомпозиция от вида (24) в пробита околност на точката zo. Това означава, че в тази околност функцията f(z) е аналитична заедно с функцията. За функцията g(z) е валидно разширението, от което става ясно, че zq е подвижна особена точка на функцията g(z) и съществува. Тогава функцията клони към 0 - полюсът на функцията Има още една проста факт. Точката Zq е полюс на функцията f(z) тогава и само ако функцията g(z) = y може да бъде разширена до аналитична функция в съседство на точка zq чрез задаване на g(z0) = 0. Редът на полюса на функцията f(z) се нарича порядък на нула на функцията jfa. Теореми 16 и 18 предполагат следното твърдение. Теорема 19. Един изолиран сингулярен тънък е по същество сингулярен, ако и само ако главната част от разширението на Лоран в пробита околност на тази точка съдържа безкрайно много ненулеви членове. Пример 5. Сингулярната точка на функцията е zo = 0. Имаме серия на Лоран Изолирани особени точки и тяхната класификация. Следователно zo = 0 е подвижна особена точка. Разширението на функцията /(z) в ред на Лоран в близост до нулевата точка съдържа само правилната част: Пример7. f(z) = Сингулярната точка на функцията f(z) е zq = 0. Помислете за поведението на тази функция върху реалната и въображаемата ос: върху реалната ос при x 0, върху въображаемата ос Следователно нито е крайна, нито безкрайна граница f(z) при z -* 0 не съществува. Следователно точката r0 = 0 е по същество сингулярна точка на функцията f(z). Нека намерим разширението на Лоран на функцията f(z) в околност на нулевата точка. За всеки комплекс C сме задали. Тогава разширението на Лоран съдържа безкраен брой членове с отрицателни степени z.

Определение.Единствената точка на функцията се извиква изолиран, ако в някаква околност на тази точка е аналитична функция (т.е. аналитична в пръстена).

Класификацията на изолирани особени точки на функция е свързана с поведението на тази функция в околност на особена точка.

Определение.Точката се нарича разполагаем особена точка на функция, ако има краен лимит на тази функция в .

Пример 5Покажете, че функцията има отстранима сингулярност в точка.

Решение.Припомняйки първата забележителна граница, изчисляваме

Това означава, че дадената функция има отстраняема сингулярност в точката.

Задача 4.Покажете, че точката е отстраняема за .

Определение.Точката се нарича полюс функция , ако тази функция се увеличава неограничено за , т.е.

Нека обърнем внимание на връзката между понятията нула и полюс на аналитичната функция. Нека представим функцията като .

Ако точката е обикновена нула на функция, тогава функцията има прост полюс

Ако точката е нулев порядък за функцията, тогава за функцията това е полюсът поръчка.

Пример 6Покажете, че функцията има полюс от трети порядък в точка.

Решение.Ако приемем, получаваме. Тъй като сме склонни към нула, според всеки закон имаме . Тогава , а с него и самата функция се увеличава за неопределено време. Следователно, , тоест особената точка е полюс. За функция тази точка очевидно е тройна нула. Следователно за тази функция точката е полюс от трети порядък.

Задача 5.Покажете, че точката има прост полюс.

Определение.Точката се нарича по същество специален точка на функцията, ако в тази точка няма нито краен, нито безкраен предел на функцията (поведението на функцията не е дефинирано).

Позволявам е съществена особена точка на функцията . Тогава за всяко предварително зададено комплексно число има такава последователност от точки, сближаващи се към , по която стойностите клонят към: ( теорема на Сохочки).

Пример 7Покажете, че функция в точка има съществена сингулярност.

Решение.Разгледайте поведението на дадена функция в близост до точката. Защото по протежение на положителната част на реалната ос (т.е.) имаме и ; ако по протежение на отрицателната част на реалната ос (т.е.), тогава и . Така че няма ограничение за. По дефиниция функцията има съществена сингулярност в дадена точка.

Нека разгледаме поведението на функцията при нула от гледна точка на теоремата на Сохочки. Нека е всяко комплексно число, различно от нула и безкрайност.

От равенството намираме . Ако приемем , получаваме последователност от точки , . Очевидно,. Във всяка точка от тази последователност функцията е равна на , и следователно

Задача 6.Покажете, че функцията има съществена сингулярност в дадена точка.

Точка в безкрайност винаги се счита за специална за функцията. Точката се нарича изолирана особена точка на функция, ако тази функция няма други особени точки извън някакъв кръг с център в началото.

Класификацията на изолирани особени точки също може да бъде разширена до случая.

Пример 8Покажете, че функцията има двоен полюс в безкрайност.

Решение.Помислете за функцията , където е аналитична функция в съседство на точката , и . Това означава, че функцията има двойна нула в безкрайност, но тогава за функцията точката е двоен полюс.

Пример 9Покажете, че функцията има съществена сингулярност в безкрайността.

Решение.Подобен проблем е разгледан в пр.7. Разгледайте поведението на функция в околността на безкрайно далечна точка. За по положителната част на реалната ос и за по протежение на отрицателната част на реалната ос. Това означава, че няма ограничение на функцията в дадена точка и по силата на дефиницията тази точка е по същество единична.

От естеството на сингулярността на функция в дадена точка може да се съди Главна част Разширяване на Лоран в квартал на тази точка.

Теорема 1.За да бъде точката разполагаем особена точка на функцията , е необходимо и достатъчно, че съответното разширение на Лоран не съдържаше основната част.

Задача 6.Използвайки разширението на Тейлър на функцията в съседство на точката, покажете, че тя има отстраняема сингулярност на нула.

Теорема 2.За да бъде точката полюс функции , е необходимо и достатъчно, така че Главна част съответното разширение на Лоран съдържаше краен брой членове :

Номерът на най-високия отрицателен член определя реда на полюса.

В този случай функцията може да бъде представена като

където е функцията аналитична в точката, , е редът на полюса.

Пример 10Покажете, че функцията има прости полюси в точки.

Решение.Нека разгледаме една точка. Използваме разширението на Лоран на тази функция в близост до тази точка, получено в пример 2:

Тъй като най-високата (и единствена) отрицателна мощност в основната част на това разширение е равна на единица, точката е прост полюс на тази функция.

Този резултат можеше да се получи и по друг начин. Нека представим във формата и поставим - това е функция, която е аналитична в точката и . Следователно, поради (8) тази функция има прост полюс в точката.

Друг начин: разгледайте функция, която има проста нула в точката. Следователно в този момент той има обикновен полюс.

По същия начин, ако напишем функцията във формата , където е функция, която е аналитична в точката и , тогава веднага става ясно, че точката е прост полюс на функцията .

Задача 7.Покажете, че функцията има полюс от 2-ри ред в точката и полюс от 4-ти ред в точката.

Теорема 3.За да бъде точката по същество специален точка на функцията е необходимо и достатъчно, че Главна част Разширяване на Лоран в квартал на точката съдържаше безкраен брой членове .

Пример 11.Определете естеството на сингулярността в точката на функцията

Решение.В добре познатото разширение на косинуса поставяме вместо:

Следователно, разширението на Лоран в съседство на точка има формата

Тук правилната част е един термин. И основната част съдържа безкраен брой термини, така че точката е по същество единична.

Задача 8.Покажете, че в дадена точка функцията има съществена сингулярност.

Помислете за някаква функция и запишете нейното разширение на Лоран в точката:

Нека направим замяна, докато точката отива към точката. Сега, в съседство на точка в безкрайност, имаме

Остава да се въведе ново наименование. Получаваме

където е основната част и е редовната част от разширението на Лоран на функцията в околността на точката в безкрайността. По този начин, в разширението на Лоран на функция в съседство на точка, главната част е ред с положителни степени, докато правилната част е ред с отрицателни степени. Като се има предвид това

Въпреки това, горните критерии за определяне на естеството на сингулярността остават валидни за безкрайно далечна точка.

Пример 12.Открийте естеството на сингулярността на функцията в точката. , то в даден момент може да се окаже неизолиран.

Пример 15Функцията в безкрайно далечна точка има съществена сингулярност. Покажете, че точката за функцията не е изолирана особена точка.

Решение.Функцията има безкраен брой полюси в нулите на знаменателя, тоест в точките , . Тъй като , Тогава точката , във всяка околност на която има полюси , е граничната точка за полюсите.

единична точка

по математика.

1) Сингулярна точка на кривата, дадена от уравнението F ( x, y) = 0, - точка M 0 ( x 0 , y 0), в който и двете частни производни на функцията F ( x, y) изчезват:

Ако освен това не всички втори частни производни на функцията F ( x, y) в точката M 0 са равни на нула, тогава O. t. се нарича двойно. Ако заедно с изчезването на първите производни в точка M 0 всички втори производни изчезнат, но не всички трети производни са равни на нула, тогава O. t. се нарича тройна и т.н. При изучаване на структурата на крива близо до двойно O. t., важна роля играе знакът на израза

Ако Δ > 0, тогава O. t. се нарича изолиран; например кривата y 2 - x 4 + 4x 2= 0 началото е изолиран O. t. (вж ориз. един ). Ако Δ x 2 + y 2 + a 2) 2 - 4a 2 x 2 - a 4= 0 началото на координатите е възловата O. t. (вж ориз. 2 ). Ако Δ = 0, тогава кривата на O. t. е или изолирана, или се характеризира с факта, че различните клонове на кривата имат обща допирателна в тази точка, например: допирателна и образуват точка, като крива y 2 - x 3= 0 (вж ориз. 3 , а); б) куспид от 2-ри вид - различни разклонения на кривата са разположени от една и съща страна на общата допирателна, като крива (y - x 2)2 - х 5= 0 (вж ориз. 3 , б); в) точка на самоконтакт (за крива y 2 - x 4= 0 произход е точка на самоконтакт; (см. ориз. 3 , в). Наред с посочените О. т. има много други О. т. със специални имена; например, асимптотична точка е върхът на спирала с безкраен брой завои (виж фиг. ориз. 4 ), точка на прекъсване, ъглова точка и др.

2) Единична точка на диференциално уравнение е точка, в която и числителят, и знаменателят на дясната страна на диференциалното уравнение изчезват едновременно (вижте Диференциални уравнения)

където P и Q са непрекъснато диференцируеми функции. Ако приемем, че O. t. се намира в началото на координатите и използвайки формулата на Тейлър (виж формулата на Тейлър), можем да представим уравнение (1) във формата

където P 1 ( x, y) и Q 1 ( x, y) са безкрайно малки по отношение на

А именно, ако λ 1 ≠ λ 2 и λ 1 λ 2 > 0 или λ 1 = λ 2, тогава O. t. е възел; в него влизат всички интегрални криви, преминаващи през точки от достатъчно малка околност на възела. Ако λ 1 ≠ λ 2 и λ 1 λ 2 i β, α ≠ 0 и β ≠ 0, тогава O. t. е фокус; всички интегрални криви, преминаващи през точки в достатъчно малка околност на фокуса, са спирали с безкраен брой завои във всяка произволно малка околност на фокуса. Ако накрая λ 1,2 = ± иβ, β ≠ 0, то характерът на O. t. не се определя от линейни членове в разложения на P ( x, y) и Q ( x, y), както беше във всички горепосочени случаи; тук O. t. може да бъде фокус или център, или може да има по-сложен характер. В близост до центъра всички интегрални криви са затворени и съдържат центъра вътре в тях. Така например точката (0, 0) е възел за уравненията в" = 2u/x(λ 1 = 1, λ 2 = 2; вж ориз. 5 , а) и г" = u/x(λ 1 = λ 2 = 1; вж ориз. 5 , b), седло за уравнението y" = -y/x(λ 1 = -1, λ 2 = 1 ; см. ориз. 6 ), фокусът за уравнението y" =(х + у) / (х - у) (λ 1 = 1 - и, λ 2 = 1 + и; см. ориз. 7 ) и центъра на уравнението y" = -x / y(λ 1 = -i, λ 2 = и; см. ориз. осем ).

Ако x, y) и Q ( x, y) са аналитични, околността на O. t. от по-висок порядък може да бъде разделена на области: D 1 - запълнена с интегрални криви, като двата края влизат в O. t. (елиптични области), D 2 - изпълнена с интегрални криви, единият край, влизащ в O. t. (параболични области), и D 3 - области, ограничени от две интегрални криви, включени в O. t., между които има интегрални криви от типа на хиперболи (хиперболични области) (вж. ориз. девет ). Ако няма интегрални криви, влизащи в О. точка, тогава О. точката се нарича точка от стабилен тип. Околността на стабилен O. t. се състои от затворени интегрални криви, съдържащи O. t. вътре в себе си, между които са разположени спирали (виж фиг. ориз. десет ).

Изучаването на диференциални уравнения на О. т., тоест по същество изследване на поведението на семейства от интегрални криви в съседство на О. т. М. Ляпунов а, А. Поанкаре и др.).

3) Единствена точка на еднозначна аналитична функция е точка, в която аналитичността на функция е нарушена (вижте Аналитични функции). Ако има махала на О. т. а, свободен от други О. т., тогава точката асе нарича изолиран О. т. Ако ае изолирано O. t. и съществува крайно a се нарича подвижно O. t. е(а)= b, възможно е да се постигне аще стане обикновена точка от коригираната функция. Например, точка z= 0 е подвижно ОТ за функцията f 1 ( z) = е(z), ако z≠ 0 и е 1(0),=1, точка z= 0 е обикновена точка [ е 1 (z) е аналитичен в точката z= 0]. Ако а- изолирана О. т. и а се нарича полюс или несъществена особена точка на функцията е(z), ако серия на Лоран) функционира е(z) в квартал на изолиран О. т. не съдържа отрицателни сили z - a, ако а- сменяем О. т., съдържа краен брой отрицателни степени z - a, ако а- стълб (в този случай редът на стълба Рсе определя като най-високата степен на a - по същество единична точка. Например за функцията

p = 2, 3, …)

точка z= 0 е полюсът на реда Р, за функцията

точка z= 0 е съществена единична точка.

На границата на окръжността на сходимост на степенен ред трябва да има поне един O. m от функцията, представена вътре в тази окръжност от дадения степенен ред. Всички гранични точки от областта на съществуване на еднозначна аналитична функция (естествена граница) са гранични точки на тази функция. По този начин всички точки от единичната окръжност | z| = 1 са специални за функцията

За многозначна аналитична функция концепцията за "O. т." по-трудно. В допълнение към O. t., в отделни листове на римановата повърхност на функция (т.е. O. t. на еднозначни аналитични елементи), всяка точка на разклонение също е O. t. на функцията. Изолираните точки на разклонение на римановата повърхност (т.е. точки на разклонение, такива, че в някои от техните окръжности няма други O.t. функции в нито един лист) се класифицират, както следва. Ако a е изолирана точка на разклонение с краен порядък и съществува краен a, то се нарича критичен полюс. Ако ае изолирана точка на разклонение от безкраен порядък и a се нарича трансцендентално O. t. Всички други изолирани точки на разклонение се наричат ​​критични по същество сингулярни точки. Примери: точка z= 0 е обикновена критична точка на функцията f ( z) = дневник zи критична съществена единствена точка на функцията е (z) = дневник за грехове z.

Всяко O. t., с изключение на подвижния, е пречка за аналитичното продължение, т.е. аналитичното продължение по крива, преминаваща през неотстранима O. t., е невъзможно.

Голяма съветска енциклопедия. - М.: Съветска енциклопедия. 1969-1978 .

Вижте какво е "Специална точка" в други речници:

Точки тук. Вижте също единична точка (диференциални уравнения). Характеристика или сингулярност в математиката е точка, в която математически обект (обикновено функция) не е дефиниран или има неправилно поведение (например точка, в която ... ... Уикипедия

Аналитична функция е точка, в която се нарушават условията на аналитичност. Ако една аналитична функция f(z) е дефинирана в някаква околност на точка z0 навсякъде ... Физическа енциклопедия

Аналитична функция е точката, в която аналитичността на функция е нарушена... Голям енциклопедичен речник

единична точка- — [Я. Н. Лугински, М. С. Фези Жилинская, Ю. С. Кабиров. Английско-руски речник по електротехника и енергетика, Москва, 1999] Електротехнически теми, основни понятия EN единствена точка ... Наръчник за технически преводач

1) ОТ на аналитична функция f(z) е пречка за аналитичното продължение на елемент от функцията f(z) на комплексна променлива z по някакъв път в равнината на тази променлива. Нека аналитичната функция f(z) се дефинира от някои ... ... Математическа енциклопедия

Аналитична функция, точката, в която аналитичността на функцията е нарушена. * * * ЕДИНИЧНА ТОЧКА ЕДИНА ТОЧКА на аналитична функция, точка, в която аналитичността на функцията се нарушава ... енциклопедичен речник

единична точка- ypatingasis taškas statusas T sritis automatika atitikmenys: engl. единствена точка вок. единствено число Punkt, m рус. единствена точка, fpranc. точкова частица, m; точка singulier, m … Automatikos terminų žodynas