Антидеривативен и интегрален. Неопределен интеграл, неговите свойства и изчисление. Антидеривативен и неопределен интеграл Резюме и презентация за урока неопределен интеграл
Аношина О.В.
семинар за бакалаври [Печат на Министерството на образованието на Руската федерация] / В.С.
Шипачев; изд. А. Н. Тихонов. - 8-мо издание, Rev. и добавете. Москва: Юрайт, 2015. - 447 с.
2. Шипачев В. С. Висша математика. Пълен курс: урок
за акад. бакалавърска степен [Grif UMO] / В. С. Шипачев; изд. А.
Н. Тихонова. - 4-то издание, Rev. и добавете. - Москва: Юрайт, 2015. - 608
от
3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Висша математика
в упражнения и задачи. [Текст] / P.E. Данко, А.Г. Попов, Т. Я.
Кожевников. В 14:00 - М.: Висше училище, 2007. - 304 + 415c.
Тест. Изпълнява се в съответствие с:
Задачи и насоки за изпълнение на тестове
в дисциплината „ПРИЛОЖНА МАТЕМАТИКА“, Екатеринбург, FGAOU
ВО „Руски държавен професионален и педагогически
Университет “, 2016 - 30-те години.
Изберете опцията за тест от последната цифра на числото
книга с оценки.
2.
Изпит
антидеривативна функция f x, дефинирана на
някакъв интервал, ако F x f x за
всеки х от този интервал.
Например функцията cos x е
антидеривата на функцията sin x, тъй като
cos x sin x. Очевидно е, че ако F x е антидериватът
функция f x, тогава F x C, където C е някаква константа, също е
антидеривативна функция f x.
Ако F x е антидериват
функция f x, тогава всяка функция на формата
Ф x F x C също е
антидеривативна функция f x и всяка
антидериватът е представим в тази форма. Определение. Цялостта на всички
антидеривати на функцията f x,
идентифицирани при някои
се нарича интервал
неопределен интеграл от
функция f x на този интервал и
обозначен f x dx. Ако F x е някакъв антидериват на функцията
f x, след това напишете f x dx F x C, въпреки че
по-правилно би било да се напише f x dx F x C.
Според установената традиция ще пишем
f x dx F x C.
По този начин, един и същ символ
f x dx ще означава като всички
множеството антидеривати на функцията f x,
и всеки елемент от този набор.
интегрантът, а неговият диференциал е субинтегралният израз. Наистина ли:
1. (f (x) dx) (F (x) C) F (x) f (x);
2.d f (x) dx (f (x) dx) dx f (x) dx.
диференциал непрекъснато (x)
диференцируема функция е равна на
тази функция до константа:
d (x) (x) dx (x) C,
тъй като (x) е антидериват за (x).
антидеривати, след това функцията f1 x f 2 x
също има антидериват, и
f1 x f 2 x dx f1 x dx f 2 x dx;
5. Kf x dx K f x dx;
6.f x dx f x C;
7.f x x dx F x C.
а 1
х
2.x a dx
С, (а 1).
а 1
dx
3. ln x C.
х
х
а
4.a x dx
° С.
в a
5.e x dx e x C.
6. sin xdx cos x C.
7. cos xdx sin x C.
dx
8,2 ctgx C.
грях х
dx
9,2 tgx C.
cos x
dx
arctgx C.
10.
2
1 х
dx
arcsin x C.
1 х 2
dx
1
х
12,2 2 арктан С.
а
а
а х
13.
14.
15.
dx
a2 x2
х
arcsin C ..
а
dx
1
x a
ln
° С
2
2
2а х а
x a
dx
1
а х
a 2 x 2 2a ln a x C.
dx
16.
x2 a
ln x x 2 a C.
17.shxdx chx C.
18.chxdx shx C.
19.
20.
dx
ch 2 x thx C.
dx
cthx C.
2
ш х
свойства: 1
1.dx d (брадва)
а
1
2. dx d (ос b),
а
1 2
3.xdx dx,
2
1 3
2
4.x dx dx.
3
Решение. В таблицата на интегралите намираме
cos xdx sin x C.
Ние трансформираме този интеграл в табличен,
възползвайки се от факта, че d ax adx.
Тогава:
d 5 x 1
\u003d cos 5 xd 5 x \u003d
cos 5xdx cos 5 x
5
5
1
\u003d грях 5 х C.
5
3x x 1 dx.
Решение. Тъй като под интегралния знак
тогава се намира сумата от четири термина
разшири интеграла в сумата от четири
интеграли:
2
3
2
3
2
3
х
3
х
х
1
dx
х
dx
3
х
dx xdx dx.
x3
x4 x2
3
х С
3
4
2
използвайте следните свойства
интеграли:
Ако f x dx F x C, тогава
f x b dx F x b C.
Ако f x dx F x C, тогава
1
f ax b dx F ax b C.
а
1
6
2
3
х
dx
2
3
х
° С
.
3 6
5
Следните интеграли са взети по метода на интегриране по части:
а) x n sin xdx, където n 1,2 ... k;
б) x n e x dx, където n 1,2 ... k;
в) x n arctgxdx, където n 0, 1, 2, ... k. ;
г) x n ln xdx, където n 0, 1, 2, ... k.
Когато изчислявате интеграли а) и б), въведете
n 1
нотация: x n u, след това du nx dx и, например
sin xdx dv, след това v cos x.
Когато се изчисляват интегралите в), г) се обозначава с u функцията
arctgx, ln x, а за dv вземете x n dx.
Решение.
u x, du dx
=
x cos xdx
dv cos xdx, v sin x
x sin x sin xdx x sin x cos x C.
x ln xdx
dx
u ln x, du
х
x2
dv xdx, v
2
x2
x 2 dx
ln x
=
2
2 x
x2
1
x2
1 x2
ln x xdx
ln x
° С.
=
2
2
2
2 2
директно изберете антидеривата
за f x не можем, но знаем това
тя съществува. Често можете да намерите
антидериват, въвеждане на нова променлива,
според формулата
f x dx f t t dt, където x t и t - нови
променлива
брадва b
dx,
x px q
съдържащ квадратен трином в
знаменател на интегранта
изрази. Взема се и такъв интеграл
метод на променлива промяна,
предварително подчертаване в
знаменателят е пълен квадрат.
2
dx
.
x 4x 5
Решение. Преобразуване x 2 4 x 5,
2
избиране на пълен квадрат съгласно формулата a b 2 a 2 2ab b 2.
Тогава получаваме:
x2 4x 5 x2 2 x 2 4 4 5
x 2 2 2 x 4 1 x 2 2 1
х 2 т
dx
dx
dt
x t 2
2
2
2
x 2 1 dx dt
x 4x 5
t 1
arctgt C arctg x 2 C.
1 х
1 х
2
dx
tdt
1 т
2
x t, x t 2,
dx 2tdt
2
t2
1 т
2
dt
1 т
1 т
d (t 2 1)
т
2
1
2
2tdt
2
dt
ln (t 1) 2 dt 2
2
1 т
ln (t 2 1) 2t 2arctgt C
2
ln (x 1) 2 x 2arctg x C.
1 t 2 1
1 т
2
dt
проблемът за намиране на площта на криволинейна
трапец.
Нека бъде даден някакъв интервал
непрекъсната функция y f (x) 0
Задача:
Начертайте графиката му и намерете F областта на фигурата,
ограничена от тази крива, от две прави линии x \u003d a и x
\u003d b, а отдолу - сегмент на оста на абсцисата между точките
x \u003d a и x \u003d b. Извиква се цифрата aABb
извит трапец
f (x) dx
Под определен интеграл
а
на дадена непрекъсната функция f (x) на
този сегмент е разбран
съответното нарастване от него
антидериват, т.е.
F (b) F (a) F (x) /
б
а
Числата a и b са границите на интегриране,
- интервалът на интегриране.
стойности на антидеривативното интегриране
функции за горна и долна граница
интеграция.
Представяме обозначението за разликата
б
F (b) F (a) F (x) / a
б
f (x) dx F (b) F (a)
а
Формула на Нютон-Лайбниц.
обозначаването на променливата на интеграция, т.е.
б
б
а
а
f (x) dx f (t) dt
където x и t са всякакви букви.
2) Определен интеграл със същото
отвън
интеграцията е нула
а
f (x) dx F (a) F (a) 0
а 3) При смяна на границите на интеграция
определен интеграл обръща знак
б
а
f (x) dx F (b) F (a) F (a) F (b) f (x) dx
а
б
(свойство на адитивност)
4) Ако интервалът е разделен на краен брой
частични интервали, след това определен интеграл,
взета през интервала е равна на сумата на определени
интеграли, поети през всичките му частични интервали.
б
° С
б
f (x) dx f (x) dx
° С
а
а
f (x) dx 5) Постоянен множител може да бъде изваден
за знака на определен интеграл.
6) Определен интеграл от алгебричен
суми от краен брой непрекъснати
функции е равно на една и съща алгебрична
сумата от определени интеграли от тях
функции.
неразделна.
б
f (x) dx f (t) (t) dt
а
a (), b (), (t)
Където
за t [; ], функциите (t) и (t) са непрекъснато включени;
5
Пример:
1
=
x 1dx
=
x 1 5
t 0 4
х 1 т
dt dx
4
0
3
2
t dt t 2
3
4
0
2
2
16
1
t t 40 4 2 0
5
3
3
3
3
Определение. Нека функцията f (x) бъде дефинирана на
безкраен интервал, където b< + . Если
съществува
б
лим
f (x) dx,
б
а
тогава тази граница се нарича неправилна
интеграл от функцията f (x) на интервала
}
Основна литература
1. Шипачев В. С. Висша математика. Основен курс: учебник исеминар за бакалаври [Печат на Министерството на образованието на Руската федерация] / В.С.
Шипачев; изд. А. Н. Тихонов. - 8-мо издание, Rev. и добавете. Москва: Юрайт, 2015. - 447 с.
2. Шипачев В. С. Висша математика. Пълен курс: урок
за акад. бакалавърска степен [Grif UMO] / В. С. Шипачев; изд. А.
Н. Тихонова. - 4-то издание, Rev. и добавете. - Москва: Юрайт, 2015. - 608
от
3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Висша математика
в упражнения и задачи. [Текст] / P.E. Данко, А.Г. Попов, Т. Я.
Кожевников. В 14:00 - М.: Висше училище, 2007. - 304 + 415c.
Отчитане
1.Тест. Изпълнява се в съответствие с:
Задачи и насоки за изпълнение на тестове
в дисциплината „ПРИЛОЖНА МАТЕМАТИКА“, Екатеринбург, FGAOU
ВО „Руски държавен професионален и педагогически
Университет “, 2016 - 30-те години.
Изберете опцията за тест от последната цифра на числото
книга с оценки.
2.
Изпит
Неопределен интеграл, неговите свойства и изчисление Антидеривативен и неопределен интеграл
Определение. Извиква се функцията F xантидеривативна функция f x, дефинирана на
някакъв интервал, ако F x f x за
всеки х от този интервал.
Например функцията cos x е
антидеривата на функцията sin x, тъй като
cos x sin x. Очевидно е, че ако F x е антидериватът
функция f x, тогава F x C, където C е някаква константа, също е
антидеривативна функция f x.
Ако F x е антидериват
функция f x, тогава всяка функция на формата
Ф x F x C също е
антидеривативна функция f x и всяка
антидериватът е представим в тази форма. Определение. Цялостта на всички
антидеривати на функцията f x,
идентифицирани при някои
се нарича интервал
неопределен интеграл от
функция f x на този интервал и
обозначен f x dx. Ако F x е някакъв антидериват на функцията
f x, след това напишете f x dx F x C, въпреки че
по-правилно би било да се напише f x dx F x C.
Според установената традиция ще пишем
f x dx F x C.
По този начин, един и същ символ
f x dx ще означава като всички
множеството антидеривати на функцията f x,
и всеки елемент от този набор.
Интегрални свойства
Производната на неопределения интеграл еинтегрантът, а неговият диференциал е субинтегралният израз. Наистина ли:
1. (f (x) dx) (F (x) C) F (x) f (x);
2.d f (x) dx (f (x) dx) dx f (x) dx.
Интегрални свойства
3. Неопределен интеграл надиференциал непрекъснато (x)
диференцируема функция е равна на
тази функция до константа:
d (x) (x) dx (x) C,
тъй като (x) е антидериват за (x).
Интегрални свойства
4. Ако функциите f1 x и f 2 x иматантидеривати, след това функцията f1 x f 2 x
също има антидериват, и
f1 x f 2 x dx f1 x dx f 2 x dx;
5. Kf x dx K f x dx;
6.f x dx f x C;
7.f x x dx F x C.
1.dx x C.
а 1
х
2.x a dx
С, (а 1).
а 1
dx
3. ln x C.
х
х
а
4.a x dx
° С.
в a
5.e x dx e x C.
6. sin xdx cos x C.
7. cos xdx sin x C.
dx
8,2 ctgx C.
грях х
dx
9,2 tgx C.
cos x
dx
arctgx C.
10.
2
1 х
Неопределена интегрална таблица
11.dx
arcsin x C.
1 х 2
dx
1
х
12,2 2 арктан С.
а
а
а х
13.
14.
15.
dx
a2 x2
х
arcsin C ..
а
dx
1
x a
ln
° С
2
2
2а х а
x a
dx
1
а х
a 2 x 2 2a ln a x C.
dx
16.
x2 a
ln x x 2 a C.
17.shxdx chx C.
18.chxdx shx C.
19.
20.
dx
ch 2 x thx C.
dx
cthx C.
2
ш х
Диференциални свойства
При интегриране е удобно да се използвасвойства: 1
1.dx d (брадва)
а
1
2. dx d (ос b),
а
1 2
3.xdx dx,
2
1 3
2
4.x dx dx.
3
Примери за
Пример. Оценете cos 5xdx.Решение. В таблицата на интегралите намираме
cos xdx sin x C.
Ние трансформираме този интеграл в табличен,
възползвайки се от факта, че d ax adx.
Тогава:
d 5 x 1
\u003d cos 5 xd 5 x \u003d
cos 5xdx cos 5 x
5
5
1
\u003d грях 5 х C.
5
Примери за
Пример. Изчислете x3x x 1 dx.
Решение. Тъй като под интегралния знак
тогава се намира сумата от четири термина
разшири интеграла в сумата от четири
интеграли:
2
3
2
3
2
3
х
3
х
х
1
dx
х
dx
3
х
dx xdx dx.
x3
x4 x2
3
х С
3
4
2
Променлива независимост
При изчисляване на интеграли е удобноизползвайте следните свойства
интеграли:
Ако f x dx F x C, тогава
f x b dx F x b C.
Ако f x dx F x C, тогава
1
f ax b dx F ax b C.
а
Пример
Нека изчислим1
6
2
3
х
dx
2
3
х
° С
.
3 6
5
Методи на интеграция Интеграция по части
Този метод се основава на формулата udv uv vdu.Следните интеграли са взети по метода на интегриране по части:
а) x n sin xdx, където n 1,2 ... k;
б) x n e x dx, където n 1,2 ... k;
в) x n arctgxdx, където n 0, 1, 2, ... k. ;
г) x n ln xdx, където n 0, 1, 2, ... k.
Когато изчислявате интеграли а) и б), въведете
n 1
нотация: x n u, след това du nx dx и, например
sin xdx dv, след това v cos x.
Когато се изчисляват интегралите в), г) се обозначава с u функцията
arctgx, ln x, а за dv вземете x n dx.
Примери за
Пример. Оценете x cos xdx.Решение.
u x, du dx
=
x cos xdx
dv cos xdx, v sin x
x sin x sin xdx x sin x cos x C.
Примери за
Пример. Изчислиx ln xdx
dx
u ln x, du
х
x2
dv xdx, v
2
x2
x 2 dx
ln x
=
2
2 x
x2
1
x2
1 x2
ln x xdx
ln x
° С.
=
2
2
2
2 2
Метод на променлива промяна
Нека се изисква да се намери f x dx идиректно изберете антидеривата
за f x не можем, но знаем това
тя съществува. Често можете да намерите
антидериват, въвеждане на нова променлива,
според формулата
f x dx f t t dt, където x t и t - нови
променлива
Интегриране на функции, съдържащи квадратен трином
Помислете за интегралабрадва b
dx,
x px q
съдържащ квадратен трином в
знаменател на интегранта
изрази. Взема се и такъв интеграл
метод на променлива промяна,
предварително подчертаване в
знаменателят е пълен квадрат.
2
Пример
Изчислиdx
.
x 4x 5
Решение. Преобразуване x 2 4 x 5,
2
избиране на пълен квадрат съгласно формулата a b 2 a 2 2ab b 2.
Тогава получаваме:
x2 4x 5 x2 2 x 2 4 4 5
x 2 2 2 x 4 1 x 2 2 1
х 2 т
dx
dx
dt
x t 2
2
2
2
x 2 1 dx dt
x 4x 5
t 1
arctgt C arctg x 2 C.
Пример
Да намеря1 х
1 х
2
dx
tdt
1 т
2
x t, x t 2,
dx 2tdt
2
t2
1 т
2
dt
1 т
1 т
d (t 2 1)
т
2
1
2
2tdt
2
dt
ln (t 1) 2 dt 2
2
1 т
ln (t 2 1) 2t 2arctgt C
2
ln (x 1) 2 x 2arctg x C.
1 t 2 1
1 т
2
dt
Определен интеграл, основните му свойства. Формула на Нютон-Лайбниц. Някои интегрални приложения.
Концепцията за определен интеграл се ръководи отпроблемът за намиране на площта на криволинейна
трапец.
Нека бъде даден някакъв интервал
непрекъсната функция y f (x) 0
Задача:
Начертайте графиката му и намерете F областта на фигурата,
ограничена от тази крива, от две прави линии x \u003d a и x
\u003d b, а отдолу - сегмент на оста на абсцисата между точките
x \u003d a и x \u003d b. Извиква се цифрата aABb
извит трапец
Определение
бf (x) dx
Под определен интеграл
а
на дадена непрекъсната функция f (x) на
този сегмент е разбран
съответното нарастване от него
антидериват, т.е.
F (b) F (a) F (x) /
б
а
Числата a и b са границите на интегриране,
- интервалът на интегриране.
Правило:
Определеният интеграл е равен на разликатастойности на антидеривативното интегриране
функции за горна и долна граница
интеграция.
Представяме обозначението за разликата
б
F (b) F (a) F (x) / a
б
f (x) dx F (b) F (a)
а
Формула на Нютон-Лайбниц.
Основни свойства на определен интеграл.
1) Стойността на определения интеграл не зависи отобозначаването на променливата на интеграция, т.е.
б
б
а
а
f (x) dx f (t) dt
където x и t са всякакви букви.
2) Определен интеграл със същото
отвън
интеграцията е нула
а
f (x) dx F (a) F (a) 0
а 3) При смяна на границите на интеграция
определен интеграл обръща знак
б
а
f (x) dx F (b) F (a) F (a) F (b) f (x) dx
а
б
(свойство на адитивност)
4) Ако интервалът е разделен на краен брой
частични интервали, след това определен интеграл,
взета през интервала е равна на сумата на определени
интеграли, поети през всичките му частични интервали.
б
° С
б
f (x) dx f (x) dx
° С
а
а
f (x) dx 5) Постоянен множител може да бъде изваден
за знака на определен интеграл.
6) Определен интеграл от алгебричен
суми от краен брой непрекъснати
функции е равно на една и съща алгебрична
сумата от определени интеграли от тях
функции.
3. Промяна на променлива в определен интеграл.
3. Замяна на променлива в конкретнанеразделна.
б
f (x) dx f (t) (t) dt
а
a (), b (), (t)
Където
за t [; ], функциите (t) и (t) са непрекъснато включени;
5
Пример:
1
=
x 1dx
=
x 1 5
t 0 4
х 1 т
dt dx
4
0
3
2
t dt t 2
3
4
0
2
2
16
1
t t 40 4 2 0
5
3
3
3
3
Неправилни интеграли.
Неправилни интеграли.Определение. Нека функцията f (x) бъде дефинирана на
безкраен интервал, където b< + . Если
съществува
б
лим
f (x) dx,
б
а
тогава тази граница се нарича неправилна
интеграл от функцията f (x) на интервала
}
