Успоредник в задачи. Как да намерим площта на успоредник, триъгълник, трапец Как да изчислим площта на успоредник

Площ на геометрична фигура- числена характеристика на геометрична фигура, показваща размера на тази фигура (част от повърхността, ограничена от затворения контур на тази фигура). Размерът на площта се изразява чрез броя на квадратните единици, съдържащи се в нея.

Формули за площ на триъгълник

1. Формула за площта на триъгълник по страна и височина
   Площ на триъгълникравно на половината от произведението на дължината на страна на триъгълник и дължината на надморската височина, начертана към тази страна
   
2. Формула за площта на триъгълник, базирана на три страни и радиуса на описаната окръжност
   
3. Формула за площта на триъгълник, базирана на трите страни и радиуса на вписаната окръжност
   Площ на триъгълнике равно на произведението от полупериметъра на триъгълника и радиуса на вписаната окръжност.
   
където S е площта на триъгълника,
- дължини на страните на триъгълника,
- височина на триъгълника,
- ъгълът между страните и,
- радиус на вписаната окръжност,
R - радиус на описаната окръжност,

Формули за квадратна площ

1. Формула за площта на квадрат по дължината на страната
   Квадратна площравен на квадрата на дължината на неговата страна.
2. Формула за площта на квадрат по дължината на диагонала
   Квадратна площравен на половината от квадрата на дължината на неговия диагонал.
   

   S=	1	2
   	2

където S е площта на квадрата,
- дължина на страната на квадрата,
- дължина на диагонала на квадрата.

Формула за площ на правоъгълник

Площ на правоъгълникравно на произведението на дължините на двете му съседни страни

където S е площта на правоъгълника,
- дължини на страните на правоъгълника.

Формули за площ на успоредник

1. Формула за площта на успоредник въз основа на дължината на страната и височината
   Площ на успоредник
2. Формула за площта на успоредник, базирана на две страни и ъгъл между тях
   Площ на успореднике равно на произведението от дължините на страните му, умножени по синуса на ъгъла между тях.
   

   a b sin α

където S е площта на успоредника,
- дължини на страните на успоредника,
- дължина на височината на паралелограма,
- ъгълът между страните на успоредника.

Формули за площта на ромба

1. Формула за площта на ромб въз основа на дължината и височината на страната
   Площ на ромбравно на произведението на дължината на неговата страна и дължината на височината, спусната до тази страна.
2. Формула за площта на ромб въз основа на дължината на страната и ъгъла
   Площ на ромбе равно на произведението на квадрата на дължината на неговата страна и синуса на ъгъла между страните на ромба.
3. Формула за площта на ромб въз основа на дължините на неговите диагонали
   Площ на ромбравен на половината от произведението на дължините на неговите диагонали.
където S е площта на ромба,
- дължина на страната на ромба,
- дължина на височината на ромба,
- ъгълът между страните на ромба,
1, 2 - дължини на диагонали.

Формули за площ на трапец

1. Формула на Херон за трапец

   Където S е площта на трапеца,
   - дължини на основите на трапеца,
   - дължини на страните на трапеца,
   

Успореднике четириъгълник, чиито страни са успоредни по две.

На тази фигура противоположните страни и ъгли са равни един на друг. Диагоналите на успоредник се пресичат в една точка и го разполовяват. Формулите за площта на паралелограма ви позволяват да намерите стойността, като използвате страните, височината и диагоналите. В специални случаи може да се представи и успоредник. Те се считат за правоъгълник, квадрат и ромб.
Първо, нека да разгледаме пример за изчисляване на площта на успоредник по височина и страната, на която е спуснат.

Този случай се счита за класически и не изисква допълнително разследване. По-добре е да разгледате формулата за изчисляване на площта през две страни и ъгъла между тях. Същият метод се използва при изчисленията. Ако са дадени страните и ъгълът между тях, тогава площта се изчислява, както следва:

Да предположим, че ни е даден успоредник със страни a = 4 см, b = 6 см. Ъгълът между тях е α = 30°. Да намерим областта:

Площ на успоредник през диагонали

Формулата за площта на паралелограма с помощта на диагонали ви позволява бързо да намерите стойността.
За изчисления ще ви е необходим размерът на ъгъла, разположен между диагоналите.

Нека разгледаме пример за изчисляване на площта на успоредник с помощта на диагонали. Нека е даден успоредник с диагонали D = 7 см, d = 5 см. Ъгълът между тях е α = 30°. Нека заместим данните във формулата:

Пример за изчисляване на площта на успоредник през диагонала ни даде отличен резултат - 8,75.

Познавайки формулата за площта на успоредник през диагонала, можете да решите много интересни задачи. Нека разгледаме един от тях.

Задача:Даден е успоредник с площ 92 квадратни метра. вижте Точка F се намира в средата на неговата страна BC. Нека намерим площта на трапеца ADFB, който ще лежи в нашия успоредник. Първо, нека нарисуваме всичко, което получихме според условията.
Да стигнем до решението:

Според нашите условия ah =92 и съответно площта на нашия трапец ще бъде равна на

Преди да научим как да намерим площта на успоредник, трябва да си спомним какво е успоредник и какво се нарича неговата височина. Успоредникът е четириъгълник, чиито срещуположни страни са по двойки успоредни (лежат на успоредни прави). Перпендикуляр, прекаран от произволна точка на противоположната страна към права, съдържаща тази страна, се нарича височина на успоредник.

Квадрат, правоъгълник и ромб са специални случаи на успоредник.

Площта на успоредник се обозначава като (S).

Формули за намиране на площта на успоредник

S=a*h, където a е основата, h е височината, която е начертана към основата.

S=a*b*sinα, където a и b са основите, а α е ъгълът между основите a и b.

S =p*r, където p е полупериметърът, r е радиусът на окръжността, която е вписана в успоредника.

Площта на успоредника, образувана от векторите a и b, е равна на модула на произведението на дадените вектори, а именно:

Нека разгледаме пример № 1: Даден е успоредник, чиято страна е 7 см, а височината е 3 см. Как да намерим площта на успоредник, имаме нужда от формула за решението.

Така S= 7x3. S=21. Отговор: 21 см 2.

Разгледайте пример № 2: Дадени основи са 6 и 7 cm, както и даден ъгъл между основите от 60 градуса. Как да намерите площта на успоредник? Формула, използвана за решаване:

Така първо намираме синуса на ъгъла. Синус 60 = 0,5, съответно S = 6*7*0,5=21 Отговор: 21 cm 2.

Надявам се, че тези примери ще ви помогнат при решаването на проблеми. И не забравяйте, че основното е познаването на формулите и вниманието

Какво е успоредник? Успоредникът е четириъгълник, чиито противоположни страни са успоредни по двойки.

1. Площта на паралелограма се изчислява по формулата:

\[ \ГОЛЯМО S = a \cdot h_(a)\]

Където:
a е страната на успоредника,
h a – височина, изтеглена от тази страна.

2. Ако са известни дължините на две съседни страни на успоредник и ъгълът между тях, тогава площта на успоредника се изчислява по формулата:

\[ \LARGE S = a \cdot b \cdot sin(\alpha) \]

3. Ако са дадени диагоналите на паралелограма и ъгълът между тях е известен, тогава площта на успоредника се изчислява по формулата:

\[ \LARGE S = \frac(1)(2) \cdot d_(1) \cdot d_(2) \cdot sin(\alpha) \]

Свойства на успоредник

В успоредник противоположните страни са равни: \(AB = CD\), \(BC = AD\)

В успоредник срещуположните ъгли са равни: \(\ъгъл A = \ъгъл C\), \(\ъгъл B = \ъгъл D\)

Диагоналите на успоредник в пресечната точка са разделени наполовина \(AO = OC\) , \(BO = OD\)

Диагоналът на успоредника го разделя на два равни триъгълника.

Сумата от ъглите на успоредник, съседни на едната страна, е 180 o:

\(\ъгъл A + \ъгъл B = 180^(o)\), \(\ъгъл B + \ъгъл C = 180^(o)\)

\(\ъгъл C + \ъгъл D = 180^(o)\), \(\ъгъл D + \ъгъл A = 180^(o)\)

Диагоналите и страните на успоредник са свързани със следната връзка:

\(d_(1)^(2) + d_(2)^2 = 2a^(2) + 2b^(2) \)

В успоредник ъгълът между височините е равен на неговия остър ъгъл: \(\ъгъл K B H =\ъгъл A\) .

Симетралите на ъглите, съседни на едната страна на успоредник, са взаимно перпендикулярни.

Симетралите на два срещуположни ъгъла на успоредник са успоредни.

Признаци на успоредник

Четириъгълникът ще бъде успоредник, ако:

\(AB = CD\) и \(AB || CD\)

\(AB = CD\) и \(BC = AD\)

\(AO = OC\) и \(BO = OD\)

\(\ъгъл A = \ъгъл C\) и \(\ъгъл B = \ъгъл D\)

Javascript е деактивиран във вашия браузър.
За да извършвате изчисления, трябва да активирате ActiveX контролите!

Точно както в евклидовата геометрия точка и права линия са основните елементи на теорията на равнините, така и успоредникът е една от ключовите фигури на изпъкналите четириъгълници. От него, като нишки от топка, текат понятията "правоъгълник", "квадрат", "ромб" и други геометрични величини.

Във връзка с

Дефиниция на успоредник

изпъкнал четириъгълник,състоящ се от сегменти, всяка двойка от които е успоредна, е известен в геометрията като успоредник.

Как изглежда класическият успоредник е изобразен с четириъгълник ABCD. Страните се наричат ​​основи (AB, BC, CD и AD), перпендикулярът, изтеглен от всеки връх към страната, противоположна на този връх, се нарича височина (BE и BF), правите AC и BD се наричат ​​диагонали.

внимание!Квадрат, ромб и правоъгълник са специални случаи на успоредник.

Страни и ъгли: характеристики на връзката

Ключови свойства, като цяло, предопределено от самото обозначение, те се доказват от теоремата. Тези характеристики са както следва:

1. Страните, които са противоположни, са еднакви по двойки.
2. Ъглите един срещу друг са равни по двойки.

Доказателство: Да разгледаме ∆ABC и ∆ADC, които се получават чрез разделяне на четириъгълника ABCD с правата AC. ∠BCA=∠CAD и ∠BAC=∠ACD, тъй като AC е общ за тях (вертикални ъгли съответно за BC||AD и AB||CD). От това следва: ∆ABC = ∆ADC (вторият знак за равенство на триъгълниците).

Отсечките AB и BC в ∆ABC съответстват по двойки на правите CD и AD в ∆ADC, което означава, че те са еднакви: AB = CD, BC = AD. Така ∠B съответства на ∠D и те са равни. Тъй като ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, които също са идентични по двойки, тогава ∠A = ∠C. Имотът е доказан.

Характеристики на диагоналите на фигура

Основна характеристикана тези прави на успоредник: точката на пресичане ги разделя наполовина.

Доказателство: Нека i.e е пресечната точка на диагоналите AC и BD на фигурата ABCD. Те образуват два съизмерими триъгълника - ∆ABE и ∆CDE.

AB=CD, тъй като те са противоположни. Според прави и секущи, ∠ABE = ∠CDE и ∠BAE = ∠DCE.

По втория критерий за равенство ∆ABE = ∆CDE. Това означава, че елементите ∆ABE и ∆CDE: AE = CE, BE = DE и в същото време са пропорционални части на AC и BD. Имотът е доказан.

Характеристики на съседни ъгли

Съседните страни имат сбор от ъгли, равен на 180°, тъй като те лежат от една и съща страна на успоредни прави и напречна. За четириъгълник ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Свойства на ъглополовящата:

1. , спуснати на една страна, са перпендикулярни;
2. срещуположните върхове имат успоредни ъглополовящи;
3. триъгълникът, получен чрез начертаване на ъглополовяща, ще бъде равнобедрен.

Определяне на характеристиките на успоредник с помощта на теоремата

Характеристиките на тази фигура следват от нейната основна теорема, която гласи следното: четириъгълник се счита за успоредникв случай, че неговите диагонали се пресичат и тази точка ги разделя на равни сегменти.

Доказателство: нека правите AC и BD на четириъгълника ABCD се пресичат в т.е. Тъй като ∠AED = ∠BEC, и AE+CE=AC BE+DE=BD, то ∆AED = ∆BEC (по първия критерий за равенство на триъгълниците). Тоест ∠EAD = ∠ECB. Те са и вътрешните напречни ъгли на секущата AC за прави AD и BC. Така, по дефиниция на паралелизъм - AD || пр.н.е. Подобно свойство на правите BC и CD също е изведено. Теоремата е доказана.

Изчисляване на площта на фигура

Площта на тази фигура открити по няколко методаедин от най-простите: умножаване на височината и основата, към която е начертана.

Доказателство: начертайте перпендикуляри BE и CF от върховете B и C. ∆ABE и ∆DCF са равни, тъй като AB = CD и BE = CF. ABCD е равен по размер на правоъгълника EBCF, тъй като те се състоят от съизмерими фигури: S ABE и S EBCD, както и S DCF и S EBCD. От това следва, че площта на тази геометрична фигура е същата като тази на правоъгълник:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

За да определим общата формула за площта на паралелограма, нека обозначим височината като hb, а отстрани - b. Съответно:

Други начини за намиране на площ

Изчисления на площ през страните на успоредника и ъгъла, който образуват, е вторият известен метод.

,

Спр-ма - площ;

a и b са неговите страни

α е ъгълът между сегментите a и b.

Този метод практически се основава на първия, но в случай, че е неизвестен. винаги отрязва правоъгълен триъгълник, чиито параметри се намират чрез тригонометрични идентичности, т.е. Трансформирайки отношението, получаваме . В уравнението на първия метод заместваме височината с този продукт и получаваме доказателство за валидността на тази формула.

През диагоналите на успоредника и ъгъла,които те създават, когато се пресичат, можете също да намерите областта.

Доказателство: AC и BD се пресичат и образуват четири триъгълника: ABE, BEC, CDE и AED. Тяхната сума е равна на площта на този четириъгълник.

Площта на всеки от тези ∆ може да се намери чрез израза , където a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Тъй като , изчисленията използват една синусова стойност. Това е . Тъй като AE+CE=AC= d 1 и BE+DE=BD= d 2, формулата за площ се редуцира до:

.

Приложение във векторната алгебра

Характеристиките на съставните части на този четириъгълник са намерили приложение във векторната алгебра, а именно добавянето на два вектора. Правилото на успоредника гласи това ако са дадени векториИНеса колинеарни, тогава тяхната сума ще бъде равна на диагонала на тази фигура, чиито основи съответстват на тези вектори.

Доказателство: от произволно избрано начало – т.е. - конструиране на вектори и . След това конструираме успоредник OASV, където сегментите OA и OB са страни. По този начин OS лежи върху вектора или сумата.

Формули за изчисляване на параметрите на успоредник

Идентичностите се дават при следните условия:

1. a и b, α - страни и ъгълът между тях;
2. d 1 и d 2, γ - диагонали и в точката на тяхното пресичане;
3. h a и h b - височини, спуснати до страни a и b;

Параметър	Формула
Намиране на страните
по диагоналите и косинуса на ъгъла между тях
по диагонали и страни
през височината и срещуположния връх
Намиране на дължината на диагоналите
отстрани и размера на върха между тях
по страните и един от диагоналите	 Заключение Паралелограмът, като една от ключовите фигури на геометрията, се използва в живота, например в строителството при изчисляване на площта на обект или други измервания. Следователно знанията за отличителните характеристики и методите за изчисляване на различните му параметри могат да бъдат полезни по всяко време в живота.