Производна на функция, указана имплицитно.
Производна на параметрично дефинирана функция

В тази статия ще разгледаме още две типични задачи, които често се срещат в контролните по висша математика. За да усвоите успешно материала, трябва да можете да намирате производни поне на средно ниво. Можете да се научите да намирате производни практически от нулата в два основни урока и Производна на сложна функция. Ако уменията ви за разграничаване са наред, тогава да тръгваме.

Производна на функция, указана имплицитно

Или накратко, производната на неявна функция. Какво е неявна функция? Нека първо си спомним самата дефиниция на функция на една променлива:

Функция с единична променливае правило, според което всяка стойност на независимата променлива съответства на една и само една стойност на функцията.

Променливата се извиква независима променливаили аргумент.
Променливата се извиква зависима променливаили функция .

Досега разгледахме функциите, дефинирани в изричноформа. Какво означава? Нека проведем дебрифинг, като използваме конкретни примери.

Помислете за функцията

Виждаме, че отляво имаме самотен „играч“, а отдясно - само "Х". Тоест функцията изричноизразено чрез независимата променлива.

Нека да разгледаме друга функция:

Това е мястото, където променливите се смесват. освен това невъзможно по никакъв начинизразете "Y" само чрез "X". Какви са тези методи? Прехвърляне на членове от част в част със смяна на знака, преместване извън скоби, хвърляне на множители според правилото за пропорцията и т.н. Препишете равенството и се опитайте да изразите изрично „y“: . Можете да въртите уравнението с часове, но няма да успеете.

Нека ви представя: – пример неявна функция.

В хода на математическия анализ беше доказано, че неявната функция съществува(обаче не винаги), има графика (точно като „нормална“ функция). Неявната функция е абсолютно същата съществувапърва производна, втора производна и т.н. Както се казва, всички права на сексуалните малцинства се спазват.

И в този урок ще научим как да намираме производната на функция, зададена имплицитно. Не е толкова трудно! Всички правила за диференциране и таблицата с производни на елементарни функции остават в сила. Разликата е в един особен момент, който ще разгледаме в момента.

Да, и ще ви кажа добрата новина - задачите, разгледани по-долу, се изпълняват по доста строг и ясен алгоритъм без камък пред три песни.

Пример 1

1) На първия етап прикрепяме щрихи към двете части:

2) Използваме правилата за линейност на производната (първите две правила от урока Как да намерим производната? Примери за решения):

3) Директна диференциация.
Как да ги разграничим е напълно ясно. Какво да правим там, където има „игри“ под ударите?

- до степен на позор, производната на функция е равна на нейната производна: .

Как да разграничим
Тук имаме сложна функция. Защо? Изглежда, че под синуса има само една буква "Y". Но факт е, че има само една буква "y" - САМОТО Е ФУНКЦИЯ(вижте определението в началото на урока). По този начин синусът е външна функция и е вътрешна функция. Използваме правилото за диференциране на сложна функция :

Ние диференцираме продукта според обичайното правило :

Моля, имайте предвид, че – също е сложна функция, всяка „игра със звънци и свирки“ е сложна функция:

Самото решение трябва да изглежда така:

Ако има скоби, разгънете ги:

4) От лявата страна събираме термините, които съдържат „Y“ с просто число. Преместете всичко останало от дясната страна:

5) От лявата страна изваждаме производната извън скоби:

6) И според правилото за пропорцията, пускаме тези скоби в знаменателя на дясната страна:

Производното е намерено. Готов.

Интересно е да се отбележи, че всяка функция може да бъде пренаписана имплицитно. Например функцията може да се пренапише така: . И го разграничете с помощта на току-що обсъдения алгоритъм. Всъщност изразите „имплицитна функция“ и „имплицитна функция“ се различават по един семантичен нюанс. Фразата „имплицитно определена функция“ е по-обща и правилна, – тази функция е посочена имплицитно, но тук можете да изразите „играта“ и да представите функцията изрично. Думите "имплицитна функция" по-често означават "класическа" имплицитна функция, когато "играта" не може да бъде изразена.

Трябва също да се отбележи, че едно „имплицитно уравнение" може имплицитно да укаже две или дори повече функции наведнъж, например уравнението на окръжност имплицитно дефинира функциите , , които дефинират полукръгове. Но в рамките на тази статия ние няма да правя специална разлика между термини и нюанси, това беше просто информация за общо развитие.

Второ решение

внимание!Можете да се запознаете с втория метод само ако знаете как да намерите уверено частични производни. Моля, начинаещи и манекени по смятане не четете и прескочете тази точка, иначе в главата ти ще е пълна бъркотия.

Нека намерим производната на неявната функция, използвайки втория метод.

Преместваме всички термини в лявата страна:

И разгледайте функция от две променливи:

Тогава нашата производна може да се намери с помощта на формулата
Нека намерим частните производни:

По този начин:

Второто решение ви позволява да извършите проверка. Но не е препоръчително те да пишат окончателния вариант на заданието, тъй като частичните производни се усвояват по-късно и ученик, изучаващ темата „Производна на функция на една променлива“, все още не трябва да знае частични производни.

Нека да разгледаме още няколко примера.

Пример 2

Намерете производната на функция, дадена имплицитно

Добавете щрихи към двете части:

Използваме правила за линейност:

Намиране на производни:

Отваряне на всички скоби:

Преместваме всички термини с в лявата страна, останалите в дясната страна:

Окончателен отговор:

Пример 3

Намерете производната на функция, дадена имплицитно

Пълно решение и примерен дизайн в края на урока.

Не е необичайно след диференциране да се появят дроби. В такива случаи трябва да се отървете от дроби. Нека разгледаме още два примера.

Пример 4

Намерете производната на функция, дадена имплицитно

Ограждаме двете части под щрихи и използваме правилото за линейност:

Диференцирайте с помощта на правилото за диференциране на сложна функция и правилото за диференциране на частните :

Разширяване на скобите:

Сега трябва да се отървем от дробта. Това може да стане по-късно, но е по-рационално да го направите веднага. Знаменателят на дробта съдържа . Умножете На . В детайли ще изглежда така:

Понякога след диференциране се появяват 2-3 фракции. Ако имаме друга дроб, например, тогава операцията ще трябва да се повтори - умножение всеки член на всяка частНа

От лявата страна го поставяме извън скоби:

Окончателен отговор:

Пример 5

Намерете производната на функция, дадена имплицитно

Това е пример, който можете да решите сами. Единственото нещо е, че преди да се отървете от фракцията, първо ще трябва да се отървете от триетажната структура на самата фракция. Пълно решение и отговор в края на урока.

Производна на параметрично дефинирана функция

Нека не подчертаваме, всичко в този параграф също е доста просто. Можете да запишете общата формула за параметрично дефинирана функция, но за да стане ясно, веднага ще запиша конкретен пример. В параметрична форма функцията се дава от две уравнения: . Често уравненията се записват не във къдрави скоби, а последователно: , .

Променливата се нарича параметъри може да приема стойности от „минус безкрайност“ до „плюс безкрайност“. Помислете например за стойността и я заменете в двете уравнения: . Или казано по човешки: „ако x е равно на четири, тогава y е равно на едно“. Можете да маркирате точка в координатната равнина и тази точка ще съответства на стойността на параметъра. По същия начин можете да намерите точка за всяка стойност на параметъра „te“. Що се отнася до „обикновена“ функция, за американските индианци на параметрично дефинирана функция, всички права също се спазват: можете да построите графика, да намерите производни и т.н. Между другото, ако трябва да начертаете графика на параметрично дефинирана функция, можете да използвате моята програма.

В най-простите случаи е възможно функцията да се представи явно. Нека изразим параметъра от първото уравнение: – и го заместете във второто уравнение: . Резултатът е обикновена кубична функция.

В по-тежки случаи този трик не работи. Но това няма значение, защото има формула за намиране на производната на параметрична функция:

Намираме производната на „играта по отношение на променливата te“:

Всички правила за диференциране и таблицата на производните са валидни, естествено, за буквата, така че, няма новост в процеса на намиране на производни. Просто заменете мислено всички „X“ в таблицата с буквата „Te“.

Намираме производната на „x по отношение на променливата te“:

Сега всичко, което остава, е да заменим намерените производни в нашата формула:

Готов. Производната, подобно на самата функция, също зависи от параметъра.

Що се отнася до нотацията, вместо да се записва във формулата, може просто да се напише без долен индекс, тъй като това е „обикновена“ производна „по отношение на X“. Но в литературата винаги има вариант, така че няма да се отклонявам от стандарта.

Пример 6

Използваме формулата

В такъв случай:

По този начин:

Особеност на намирането на производната на параметрична функция е фактът, че на всяка стъпка е полезно резултатът да се опрости колкото е възможно повече. И така, в разглеждания пример, когато го намерих, отворих скобите под корена (въпреки че може и да не съм направил това). Има голям шанс при заместване във формулата много неща да се редуцират добре. Въпреки че, разбира се, има примери с тромави отговори.

Пример 7

Намерете производната на функция, зададена параметрично

Това е пример, който можете да решите сами.

В статията Най-прости типови задачи с производниразгледахме примери, в които трябваше да намерим втората производна на функция. За параметрично дефинирана функция можете също да намерите втората производна и тя се намира по следната формула: . Съвсем очевидно е, че за да намерите втората производна, първо трябва да намерите първата производна.

Пример 8

Намерете първата и втората производни на функция, дадена параметрично

Първо, нека намерим първата производна.
Използваме формулата

В такъв случай:

Много често при решаване на практически задачи (например във висшата геодезия или аналитична фотограметрия) се появяват сложни функции на няколко променливи, т.е. x, y, z една функция f(x,y,z) ) сами по себе си са функции на нови променливи U, V, W ).

Това например се случва при движение от фиксирана координатна система Oxyz в мобилната система О 0 UVW и обратно. В същото време е важно да се знаят всички частични производни по отношение на „фиксираните“ - „стари“ и „движещи се“ - „нови“ променливи, тъй като тези частични производни обикновено характеризират позицията на обект в тези координатни системи и по-специално засягат съответствието на въздушните снимки с реален обект. В такива случаи се прилагат следните формули:

Тоест, дадена е сложна функция T три "нови" променливи U, V, W чрез три "стари" променливи x, y, z, Тогава:

Коментирайте. Възможно е да има вариации в броя на променливите. Например: ако

По-специално, ако z = f(xy), y = y(x) , тогава получаваме така наречената формула за „обща производна“:

Същата формула за „общата производна“ в случай на:

ще приеме формата:

Възможни са и други варианти на формули (1.27) - (1.32).

Забележка: формулата „обща производна“ се използва в курса по физика, раздел „Хидродинамика“, когато се извежда основната система от уравнения за движение на флуид.

Пример 1.10. дадени:

Съгласно (1.31):

§7 Частични производни на неявно дадена функция на няколко променливи

Както е известно, имплицитно определена функция на една променлива се дефинира, както следва: функцията на независимата променлива х се нарича имплицитно, ако е дадено от уравнение, което не е решено по отношение на г :

Пример 1.11.

Уравнението

имплицитно определя две функции:

И уравнението

не посочва никаква функция.

Теорема 1.2 (съществуване на неявна функция).

Нека функцията z =f(x,y) и неговите частични производни е" х И е" г определени и непрекъснати в някакъв квартал U M0 точки М 0 (х 0 г 0 ) . Освен това, f(x 0 ,г 0 )=0 И f"(x 0 ,г 0 )≠0 , тогава уравнение (1.33) определя в околността U M0 неявна функция y=y(x) , непрекъсната и диференцируема в определен интервал д центриран в точка х 0 , и y(x 0 )=y 0 .

Няма доказателство.

От теорема 1.2 следва, че на този интервал д :

тоест има идентичност в

където „общата“ производна се намира съгласно (1.31)

Тоест (1.35) дава формула за намиране на производната на имплицитно дадена функция на една променлива х .

Неявна функция на две или повече променливи се дефинира по подобен начин.

Например, ако в някаква област V пространство Oxyz важи следното уравнение:

след това при някои условия на функцията Е той имплицитно дефинира функция

Освен това, по аналогия с (1.35), неговите частни производни се намират, както следва:

Пример 1.12. Ако приемем, че уравнението

имплицитно дефинира функция

намирам z" х , z" г .

следователно, съгласно (1.37), получаваме отговора.

§8 Частични производни от втори и по-високи разряди

Определение 1.9 Частични производни от втори порядък на функция z=z(x,y) се определят, както следва:

Те бяха четирима. Освен това при определени условия на функциите z(x,y) важи равенството:

Коментирайте. Частичните производни от втори ред също могат да бъдат обозначени както следва:

Определение 1.10 Частичните производни от трети ред са осем (2 3).

Ще се научим да намираме производни на функции, зададени имплицитно, т.е. определени с определени уравнения, свързващи променливи хИ г. Примери за неявно посочени функции:

Производни на функции, посочени неявно, или производни на неявни функции, се намират доста лесно. Сега нека да разгледаме съответното правило и пример и след това да разберем защо е необходимо това като цяло.

За да намерите производната на функция, посочена имплицитно, трябва да разграничите двете страни на уравнението по отношение на x. Членовете, в които присъства само X, ще се превърнат в обичайната производна на функцията от X. И термините с играта трябва да се диференцират с помощта на правилото за диференциране на сложна функция, тъй като играта е функция на X. Казано съвсем просто, получената производна на члена с x трябва да доведе до: производната на функцията от y, умножена по производната от y. Например, производната на термин ще бъде написана като , производната на термин ще бъде написана като . След това от всичко това трябва да изразите този „удар на играта“ и желаната производна на имплицитно посочената функция ще бъде получена. Нека да разгледаме това с пример.

Пример 1.

Решение. Разграничаваме двете страни на уравнението по отношение на x, като приемаме, че i е функция на x:

От тук получаваме производната, която се изисква в задачата:

Сега нещо за двусмисленото свойство на функциите, посочени имплицитно, и защо са необходими специални правила за тяхното диференциране. В някои случаи можете да се уверите, че заместването на израза по отношение на x в дадено уравнение (вижте примерите по-горе) вместо в играта, води до факта, че това уравнение се превръща в идентичност. Така. Горното уравнение имплицитно дефинира следните функции:

След като заместим израза за играта на квадрат през x в оригиналното уравнение, получаваме идентичността:

Изразите, които заместихме, бяха получени чрез решаване на уравнението за играта.

Ако трябваше да диференцираме съответната изрична функция

тогава ще получим отговора както в пример 1 - от функция, указана имплицитно:

Но не всяка функция, указана имплицитно, може да бъде представена във формата г = f(х) . Така например неявно посочените функции

не се изразяват чрез елементарни функции, тоест тези уравнения не могат да бъдат разрешени по отношение на играта. Следователно има правило за диференциране на функция, посочена имплицитно, което вече сме проучили и ще прилагаме последователно в други примери.

Пример 2.Намерете производната на функция, дадена имплицитно:

Изразяваме простото число и - на изхода - производната на имплицитно посочената функция:

Пример 3.Намерете производната на функция, дадена имплицитно:

Решение. Разграничаваме двете страни на уравнението по отношение на x:

Пример 4.Намерете производната на функция, дадена имплицитно:

Решение. Разграничаваме двете страни на уравнението по отношение на x:

Изразяваме и получаваме производната:

Пример 5.Намерете производната на функция, дадена имплицитно:

Решение. Преместваме членовете от дясната страна на уравнението в лявата страна и оставяме нула отдясно. Разграничаваме двете страни на уравнението по отношение на x.

Както е известно, неявно дадена функция на една променлива се дефинира по следния начин: функцията y на независимата променлива x се нарича неявна, ако е дадена от уравнение, което не е разрешено по отношение на y:

Пример 1.11.

Уравнението

имплицитно определя две функции:

И уравнението

не посочва никаква функция.

Теорема 1.2 (съществуване на неявна функция).

Нека функцията z =f(x,y) и нейните частни производни f"x и f"y са дефинирани и непрекъснати в някаква околност UM0 на точката M0(x0y0). В допълнение, f(x0,y0)=0 и f"(x0,y0)≠0, тогава уравнение (1.33) дефинира в околността на UM0 неявна функция y= y(x), непрекъсната и диференцируема в някакъв интервал D с център в точка x0 и y(x0)=y0.

Няма доказателство.

От теорема 1.2 следва, че на този интервал D:

тоест има идентичност в

където „общата“ производна се намира съгласно (1.31)

Тоест, (1.35) дава формула за намиране на производната на имплицитно дадена функция на една променлива x.

Неявна функция на две или повече променливи се дефинира по подобен начин.

Например, ако в някакъв регион V на пространството Oxyz уравнението е валидно:

тогава при определени условия върху функцията F той неявно дефинира функцията

Освен това, по аналогия с (1.35), неговите частни производни се намират, както следва:

Пример 1.12. Ако приемем, че уравнението

имплицитно дефинира функция

намерете z"x, z"y.

следователно, съгласно (1.37), получаваме отговора.

11. Използване на частни производни в геометрията.

12. Екстремуми на функция на две променливи.

Концепциите за максимум, минимум и екстремум на функция на две променливи са подобни на съответните концепции на функция на една независима променлива (вижте раздел 25.4).

Нека функцията z = ƒ(x;y) е дефинирана в някаква област D, точка N(x0;y0) О D.

Точка (x0;y0) се нарича максимална точка на функцията z=ƒ(x;y), ако има d-околност на точката (x0;y0), така че за всяка точка (x;y), различна от (xo;yo), от тази околност е в сила неравенството ƒ(x;y).<ƒ(хо;уо).

А Минималната точка на функцията се определя по подобен начин: за всички точки (x; y), различни от (x0; y0), от d-околността на точката (xo; yo) е в сила следното неравенство: ƒ(x ; y)>ƒ(x0; y0).

На фигура 210: N1 е максималната точка, а N2 е минималната точка на функцията z=ƒ(x;y).

Стойността на функцията в точката на максимум (минимум) се нарича максимум (минимум) на функцията. Максимумът и минимумът на една функция се наричат нейни екстремуми.

Обърнете внимание, че по дефиниция екстремната точка на функцията се намира вътре в областта на дефиниция на функцията; максимумът и минимумът имат локален (локален) характер: стойността на функцията в точка (x0; y0) се сравнява с нейните стойности в точки, достатъчно близки до (x0; y0). В регион D една функция може да има няколко екстремума или нито един.

46.2. Необходими и достатъчни условия за екстремум

Нека разгледаме условията за съществуване на екстремум на функция.

Теорема 46.1 (необходими условия за екстремум). Ако в точка N(x0;y0) диференцируемата функция z=ƒ(x;y) има екстремум, то нейните частни производни в тази точка са равни на нула: ƒ"x(x0;y0)=0, ƒ" y(x0;y0 )=0.

Нека поправим една от променливите. Нека поставим например y=y0. Тогава получаваме функция ƒ(x;y0)=φ(x) на една променлива, която има екстремум при x = x0. Следователно, съгласно необходимото условие за екстремума на функция на една променлива (вижте раздел 25.4), φ"(x0) = 0, т.е. ƒ"x(x0;y0)=0.

По подобен начин може да се покаже, че ƒ"y(x0;y0) = 0.

Геометрично, равенствата ƒ"x(x0;y0)=0 и ƒ"y(x0;y0)=0 означават, че в екстремната точка на функцията z=ƒ(x;y) допирателната равнина към повърхността, представляваща функция ƒ(x;y) ), е успоредна на равнината Oxy, тъй като уравнението на допирателната равнина е z=z0 (виж формула (45.2)).

З Забележка. Една функция може да има екстремум в точки, където поне една от частните производни не съществува. Например функцията има максимум в точка O(0;0) (виж Фиг. 211), но няма частични производни в тази точка.

Точката, в която частните производни от първи ред на функцията z ≈ ƒ(x; y) са равни на нула, т.е. f"x=0, f"y=0, се нарича стационарна точка на функцията z.

Стационарни точки и точки, в които не съществува поне една частична производна, се наричат критични точки.

В критични точки функцията може или не може да има екстремум. Равенството на частните производни на нула е необходимо, но не достатъчно условие за съществуването на екстремум. Да разгледаме например функцията z = xy. За него точката O(0; 0) е критична (при нея z"x=y и z"y - x се нулира). Функцията z=xy обаче няма екстремум в нея, тъй като в достатъчно малка околност на точката O(0; 0) има точки, за които z>0 (точки от първа и трета четвърт) и z< 0 (точки II и IV четвертей).

По този начин, за да се намерят екстремуми на функция в дадена област, е необходимо всяка критична точка на функцията да бъде подложена на допълнително изследване.

Теорема 46.2 (достатъчно условие за екстремум). Нека функцията ƒ(x;y) в стационарна точка (xo; y) и някои от нейните околности имат непрекъснати частни производни до втори ред включително. Нека изчислим в точката (x0;y0) стойностите A=f""xx(x0;y0), B=ƒ""xy(x0;y0), C=ƒ""yy(x0;y0) . Нека обозначим

1. ако Δ > 0, тогава функцията ƒ(x;y) в точката (x0;y0) има екстремум: максимум, ако A< 0; минимум, если А > 0;

2. ако Δ< 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) экстремума не имеет.

В случай на Δ = 0 може да има или да няма екстремум в точката (x0;y0). Необходими са повече изследвания.

ЗАДАЧИ

Пример.Намерете интервалите на нарастваща и намаляваща функция. Решение.Първата стъпка е намиране на областта на дефиниция на функция. В нашия пример изразът в знаменателя не трябва да отива на нула, следователно, . Нека да преминем към производната функция: За да определим интервалите на нарастване и намаляване на функция въз основа на достатъчен критерий, ние решаваме неравенства в областта на дефиниция. Нека използваме обобщение на интервалния метод. Единственият истински корен на числителя е х = 2, а знаменателят отива на нула при х = 0. Тези точки разделят дефиниционната област на интервали, в които производната на функцията запазва своя знак. Нека отбележим тези точки на числовата ос. Условно означаваме с плюсове и минуси интервалите, при които производната е положителна или отрицателна. Стрелките по-долу схематично показват нарастването или намаляването на функцията на съответния интервал. По този начин, И . В точката х = 2функцията е дефинирана и непрекъсната, така че трябва да се добави както към нарастващия, така и към намаляващия интервал. В точката х = 0функцията не е дефинирана, така че не включваме тази точка в необходимите интервали. Представяме графика на функцията, за да сравним резултатите, получени с нея. Отговор:функцията се увеличава с , намалява на интервала (0; 2] .

Примери.

Задайте интервалите на изпъкналост и вдлъбнатост на крива г = 2 – х 2 .

Ще намерим г"" и определете къде втората производна е положителна и къде е отрицателна. г" = –2х, г"" = –2 < 0 на (–∞; +∞), следовательно, функция всюду выпукла.

г = д х. защото г"" = д x > 0 за всяко х, тогава кривата е вдлъбната навсякъде.

г = х 3 . защото г"" = 6х, Че г"" < 0 при х < 0 и г"" > 0 при х> 0. Следователно, когато х < 0 кривая выпукла, а при х> 0 е вдлъбнат.

4. Дадена е функцията z=x^2-y^2+5x+4y, вектор l=3i-4j и точка A(3,2). Намерете dz/dl (доколкото разбирам, производната на функцията по посока на вектора), gradz(A), |gradz(A)|. Нека намерим частните производни: z(по отношение на x)=2x+5 z(по отношение на y)=-2y+4 Нека намерим стойностите на производните в точка A(3,2): z(с по отношение на x)(3,2)=2*3+ 5=11 z(по y)(3,2)=-2*2+4=0 Откъдето gradz(A)=(11,0)= 11i |gradz(A)|=sqrt(11^2+0 ^2)=11 Производна на функцията z по посока на вектора l: dz/dl=z(in x)*cosa+z(in y) *cosb, a, b-ъгли на вектора l спрямо координатните оси. cosa=lx/|l|, cosb=ly/|l|, |l|=sqrt(lx^2+ly^2) lx=3, ly=-4, |l|=5. cosa=3/5, cosb=(-4)/5. dz/dl=11*3/5+0*(-4)/5=6,6.

Функция Z= f(x; y) се нарича неявна, ако е дадена от уравнението F(x,y,z)=0 неразрешено по отношение на Z. Нека намерим частните производни на функцията Z, дадена имплицитно. За да направим това, замествайки функцията f(x;y) в уравнението вместо Z, получаваме идентичността F(x,y, f(x,y))=0. Частните производни на функция, идентично равна на нула по отношение на x и y, също са равни на нула.

F(x,y, f (x, y)) =
=0 (счита се за константа)

F(x,y, f (x, y)) =
=0 (xсчитана за константа)

Където
И

Пример: Намерете частните производни на функцията Z, дадена от уравнението
.

Тук F(x,y,z)=
;
;
;
. Съгласно дадените по-горе формули имаме:

Производна по посока

Нека е дадена функция на две променливи Z= f(x; y) в определена близост на точката M (x,y). Помислете за някаква посока, определена от единичния вектор
, Където
(виж снимката).

На права линия, минаваща в тази посока през точка M, вземаме точка M 1 (
), така че дължината
segmentMM 1 е равно на
. Приращението на функцията f(M) се определя от връзката, където
свързани с връзки. Ограничение на съотношението при
ще се нарича производна на функцията
в точката
към и да бъдат определени .

Ако функцията Z е диференцируема в точката
, тогава неговото нарастване в тази точка, като се вземат предвид отношенията за
може да се запише в следната форма.

разделяйки двете части на

и преминаване до границата при
получаваме формула за производната на функцията Z= f(x; y) по посока:

Градиент

Да разгледаме функция на три променливи
диференцируеми в даден момент
.

Градиентът на тази функция
в точка M е вектор, чиито координати са съответно равни на частните производни
в този момент. За да посочите градиент, използвайте символа
.
=
.

.Градиентът показва посоката на най-бързия растеж на функцията в дадена точка.

Тъй като единичният вектор има координати (
), тогава производната по посока за случая на функция на три променливи се записва във формата, т.е. има формулата за скаларното произведение на векторите И
. Нека пренапишем последната формула, както следва:

, Където - ъгъл между вектор И
. Тъй като
, тогава следва, че производната на функцията по посока приема максималната стойност при =0, т.е. когато посоката на векторите И
съвпада. При което
Тоест всъщност градиентът на функция характеризира посоката и големината на максималната скорост на нарастване на тази функция в дадена точка.

Екстремум на функция на две променливи

Понятията max, min, екстремум на функция на две променливи са подобни на съответните понятия на функция на една променлива. Нека функцията Z= f(x; y) е дефинирана в някаква област D и т.н. M
принадлежи към тази област. Точка М
се нарича максимална точка на функцията Z= f(x; y), ако има такава δ-околност на точката
, че за всяка точка от тази околност неравенството
. Точката min се определя по подобен начин, само знакът за неравенство ще се промени
. Стойността на функцията в точката max(min) се нарича максимум (минимум). Максимумът и минимумът на функцията се наричат екстремуми.

Необходими и достатъчни условия за екстремум

Теорема:(Необходими условия за екстремум). Ако в точка М
диференцируемата функция Z= f(x; y) има екстремум, тогава нейните частни производни в тази точка са равни на нула:
,
.

Доказателство:След като фиксираме една от променливите x или y, ние трансформираме Z = f(x; y) във функция на една променлива, за чийто екстремум трябва да бъдат изпълнени горните условия. Геометрични равенства
И
означава, че в точката на екстремума на функцията Z= f(x; y), допирателната равнина към повърхността, представляваща функцията f(x,y)=Z, е успоредна на равнината OXY, тъй като уравнението на допирателната равнина е Z = Z 0. Точката, в която частните производни от първи ред на функцията Z = f (x; y) са равни на нула, т.е.
,
, се наричат стационарна точка на функцията. Една функция може да има екстремум в точки, където поне една от частните производни не съществува. Например Z=|-
| има max в точка O(0,0), но няма производни в тази точка.

Наричат се стационарни точки и точки, в които не съществува поне една частна производна критични точки.В критични точки функцията може или не може да има екстремум. Равенството на частните производни на нула е необходимо, но не достатъчно условие за съществуването на екстремум. Например, когато Z=xy, точка O(0,0) е критична. Функцията Z=xy обаче няма екстремум в себе си. (Тъй като в квартали I и III Z>0, а във II и IV квартал – Z<0). Таким образом для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо подвергнуть каждую критическую точку функции дополнительному исследованию.

Теорема: (Достатъчно условие за екстремуми). Пуснете в неподвижна точка
и в определена близост функцията f(x; y) има непрекъснати частни производни до 2-ри ред включително. Нека изчислим в точката
стойности
,
И
. Нека обозначим