Корен квадратен от 2100. Как да намерим ръчно корен квадратен от число. Примери за изчисляване на корен

Е, като се има предвид, че този много квадратен корен е продукт на същото число (тоест b \u003d a), тогава квадратният корен от сто ще бъде 10 (100 \u003d 10).

Трябва да се отбележи, че числото 100 може да бъде представено като произведение от 25 и 4. И след това изчислете корен квадратен от 25 и 4. 5 и 2. Умножаваме и също получаваме 10.

Когато в училище току-що започнахме да изучаваме тази тема, корен квадратен от 100, вероятно беше един от най-лесните за разбиране и изчисления. Обикновено гледах четен (!) брой нули и веднага изчислявах кое число, умножено по себе си, дава цифрата под корен квадратен. Например, ако беше 10 000, тогава квадратният корен от това число щеше да бъде сто (100x100 = 10000). Ако в броя под кв. коренът е шест нули, тогава отговорът ще съдържа три нули. и т.н.

В този случай на фигурата има само две нули, което означава, че е имало две десетки. Така, квадратният корен от 100 е 10.Ние проверяваме: 10x10 = 100

Да изчисля корен квадратенможе да се използва по няколко начина.

1) Вземете калкулатор или смартфон/таблет/компютър с инсталирана програма за изчисляване, въведете числото 100 и щракнете върху иконата на корен квадратен, която изглежда така:

2) Познайте таблицата с квадратите на числата до 100=25*4.

3) По метод на разделяне.

4) Чрез метода на разлагане на основни фактори 100=10*10.

Теоретично, ако направите всичко правилно, ще получите резултат 10.

Иконата за корен квадратен се нарича корен и изглежда така.

А квадратният корен от 100 е лесен за извличане, ако знаете квадратите на числата. 10 x 10 = 100. Така че квадратният корен от 100, следвайки определението за квадратен корен, е 10.

Вероятно всеки ученик знае, че числото 100 е произведение от 10 на 10.

Тъй като квадратният корен е число, което, когато се умножи по себе си, датите са радикален израз, тогава квадратният корен от сто ще бъде равен на числото 10.

Ако сте забравили, че 100=10*10, тогава можете да използвате свойствата на корените:

корен квадратен от 100 = корен квадратен от (25*4) = корен квадратен от 25 * корен квадратен от 4.

Всеки знае, че 5 * 5 = 25 и 2 * 2 = 4. Следователно квадратният корен от 100 = 5 * 2 = 10.

Е, ако и това не знаете, тогава можете да използвате калкулатор или таблици на Excel, те имат специална формула, наречена КОРЕН. Ето как изглежда всичко нагледно:



Сега с помощта на калкулатор е много лесно да се изчисли корен квадратен от всяко число.

Можете да извлечете корен квадратен от числото 100 устно. В крайна сметка е известно, че привеждането на числото x на квадрат е числото x, умножено по числото x.

Ако 10 10 = 100, тогава квадратният корен от 100 е 10.

Отговор на въпроса: 10 .

Квадратният корен в математиката се обозначава с конвенционален символ.

Корен квадратен от a е неотрицателно число, чийто квадрат е a. Тъй като 10^2=100, квадратният корен от 100 е 10.

Има числа, чийто корен е много лесен за запомняне. За мен например 25 - коренът ще бъде 5, тъй като 5 * 5 = 25, 625 - коренът от 25, тъй като 25 * 25 = 625.

Към такива числа отнасям и числото 100 - коренът ще бъде 10, проверяваме 10 * 10 = 100. Толкова правилно.

Корен квадратен от сто? изглежда ще е 10

Трудно мога да си представя, че човек ще влезе в интернет за този отговор, но ако си представим, че е напълно несъбран и невнимателен, тогава давам отговор Корен квадратен от 100 е 10, както и -10. В много източници е написано така.



Корен квадратен от 100 има две стойности 10 и -10. Тези, които не вярват, могат да бъдат проверени чрез умножение.

За да извлечете корен квадратен без калкулатор, трябва да прибегнете до разлагане на числото под корена на най-малките множители и да започнете от тук. Така че за числото сто:

И съответно от тук веднага става ясно, че корен квадратен от сто за нас ще бъде точно 10.

Трябваше да си спомня правилото, което запомних от училище:

Въпреки че извличането на корен от 100 е най-простото нещо, което не изисква използването на калкулатори, тъй като е вкоренено в паметта за цял живот. Числото 100 се получава чрез умножаване на 10 по 10 и следователно числото 10 и ще бъде корен от сто.

Когато решават различни задачи от курса по математика и физика, учениците и студентите често се сблъскват с необходимостта да извлекат корени от втора, трета или n-та степен. Разбира се, през века информационни технологииНяма да е трудно да се реши такъв проблем с помощта на калкулатор. Има обаче ситуации, когато е невъзможно да се използва електронен асистент.

Например, на много изпити е забранено да носите електроника. Освен това калкулаторът може да не е под ръка. В такива случаи е полезно да знаете поне някои методи за ръчно изчисляване на радикали.

Извличане на корен квадратен с помощта на таблицата с квадрати

Един от най-простите начини за изчисляване на корени е да с помощта на специална таблица. Какво е това и как да го използвате правилно?

С помощта на таблицата можете да намерите квадрата на всяко число от 10 до 99. В същото време редовете на таблицата съдържат стойности на десетки, а колоните съдържат стойности на единици. Клетката в пресечната точка на ред и колона съдържа квадрат на двуцифрено число. За да изчислите квадрата на 63, трябва да намерите ред със стойност 6 и колона със стойност 3. В пресечната точка намираме клетка с номер 3969.

Тъй като извличането на корена е операция, обратна на повдигането на квадрат, за да извършите това действие, трябва да направите обратното: първо да намерите клетката с числото, чийто радикал искате да изчислите, след това да определите отговора от стойностите на колоната и реда. Като пример, разгледайте изчислението на корен квадратен от 169.

Намираме клетка с това число в таблицата, хоризонтално определяме десетиците - 1, вертикално намираме единиците - 3. Отговор: √169 = 13.

По същия начин можете да изчислите корените на кубичната и n-та степен, като използвате подходящите таблици.

Предимството на метода е неговата простота и липсата на допълнителни изчисления. Недостатъците са очевидни: методът може да се използва само за ограничен диапазон от числа (числото, за което се намира коренът, трябва да бъде между 100 и 9801). Освен това няма да работи, ако даденото число не е в таблицата.

Разлагане на прости множители

Ако таблицата с квадрати не е под ръка или с нейна помощ е невъзможно да се намери коренът, можете да опитате разложи числото под корена на прости множители. Простите множители са тези, които могат да бъдат разделени изцяло (без остатък) само на себе си или на единица. Примери за това са 2, 3, 5, 7, 11, 13 и т.н.

Помислете за изчислението на корена, като използвате примера √576. Нека го разложим на прости множители. Получаваме следния резултат: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². Използвайки основното свойство на корените √a² = a, ние се отърваваме от корените и квадратите, след което изчисляваме отговора: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​= 24.

Какво да направите, ако някой от факторите няма собствена двойка? Например, разгледайте изчислението на √54. След факторизиране получаваме резултата в следната форма: Неотстранимата част може да се остави под корена. За повечето задачи по геометрия и алгебра такъв отговор ще се счита за окончателен. Но ако има нужда от изчисляване на приблизителни стойности, можете да използвате методите, които ще бъдат обсъдени по-късно.

Методът на Херон

Какво да направите, когато трябва да знаете поне приблизително какъв е извлеченият корен (ако е невъзможно да получите цяло число)? Бърз и доста точен резултат се получава чрез прилагане на метода Heron.. Същността му се състои в използването на приблизителна формула:

√R = √a + (R - a) / 2√a,

където R е числото, чийто корен трябва да се изчисли, а е най-близкото число, чиято коренна стойност е известна.

Нека да видим как методът работи на практика и да преценим колко е точен. Нека изчислим на какво е равно √111. Най-близкото число до 111, чийто корен е известен, е 121. Така R = 111, a = 121. Заменете стойностите във формулата:

√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.

Сега нека проверим точността на метода:

10,55² = 111,3025.

Грешката на метода е приблизително 0,3. Ако трябва да се подобри точността на метода, можете да повторите стъпките, описани по-рано:

√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

Нека проверим точността на изчислението:

10,536² = 111,0073.

След многократно прилагане на формулата грешката стана съвсем незначителна.

Изчисляване на корен чрез деление в колона

Този метод за намиране на стойността на квадратния корен е малко по-сложен от предишните. Той обаче е най-точният сред другите методи за изчисление без калкулатор..

Да кажем, че трябва да намерите квадратния корен с точност до 4 знака след десетичната запетая. Нека анализираме алгоритъма за изчисление, използвайки примера на произволно число 1308.1912.

1. Разделете листа хартия на 2 части с вертикална линия и след това нарисувайте друга линия от нея вдясно, малко под горния ръб. Записваме числото от лявата страна, като го разделяме на групи от 2 цифри, като се движим вдясно и вляво от десетичната запетая. Първата цифра отляво може да бъде без двойка. Ако знакът липсва от дясната страна на числото, тогава трябва да се добави 0. В нашия случай получаваме 13 08.19 12.
2. Нека изберем най-много голямо число, чийто квадрат ще бъде по-малък или равен на първата група цифри. В нашия случай това е 3. Нека го напишем горе вдясно; 3 е първата цифра от резултата. Долу вдясно посочваме 3 × 3 = 9; това ще е необходимо за последващи изчисления. Извадете 9 от 13 в колона, получаваме остатъка 4.
3. Нека добавим следващата двойка числа към остатъка 4; получаваме 408.
4. Умножете числото горе вдясно по 2 и го напишете долу вдясно, като към него добавите _ x _ =. Получаваме 6_ x _ =.
5. Вместо тирета, трябва да замените същото число, по-малко или равно на 408. Получаваме 66 × 6 \u003d 396. Нека напишем 6 горе вдясно, тъй като това е втората цифра на резултата. Извадете 396 от 408, получаваме 12.
6. Нека повторим стъпки 3-6. Тъй като пренесените числа са в дробната част на числото, е необходимо да поставите десетична запетая горе вдясно след 6. Нека напишем удвоения резултат с тирета: 72_ x _ =. Подходящо число би било 1: 721 × 1 = 721. Нека го запишем като отговор. Нека извадим 1219 - 721 = 498.
7. Нека изпълним последователността от действия, дадени в предходния параграф, още три пъти, за да получим необходимия брой десетични знаци. Ако няма достатъчно знаци за по-нататъшни изчисления, към текущото число отляво трябва да се добавят две нули.

В резултат на това получаваме отговора: √1308.1912 ≈ 36.1689. Ако проверите действието с калкулатор, можете да се уверите, че всички знаци са определени правилно.

Побитово изчисляване на стойността на корен квадратен

Методът е с висока точност. Освен това е доста разбираемо и не изисква запомняне на формули или сложен алгоритъм от действия, тъй като същността на метода е да изберете правилния резултат.

Нека извлечем корена от числото 781. Нека разгледаме подробно последователността от действия.

1. Разберете коя цифра от квадратния корен ще бъде най-високата. За целта нека повдигнем на квадрат 0, 10, 100, 1000 и т.н. и да разберем между кое от тях се намира числото на корена. Получаваме това 10²< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
2. Нека вземем стойността на десетките. За да направим това, ще се редуваме да повдигаме на степен 10, 20, ..., 90, докато получим число, по-голямо от 781. В нашия случай получаваме 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900. Стойността на резултата n ще бъде в рамките на 20< n <30.
3. Подобно на предишната стъпка се избира стойността на единицата. Алтернативно поставяме на квадрат 21,22, ..., 29: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28² = 784. Получаваме, че 27< n < 28.
4. Всяка следваща цифра (десети, стотни и т.н.) се изчислява по същия начин, както е показано по-горе. Изчисленията се извършват до постигане на необходимата точност.

Видео

От видеото ще научите как да извличате квадратни корени без да използвате калкулатор.

Сред многото знания, които са признак за грамотност, на първо място е азбуката. Следващият, същият „знаков” елемент, са уменията събиране-умножение и съседните на тях, но обратни по смисъл аритметични операции изваждане-деление. Уменията, научени в далечното училищно детство, служат вярно ден и нощ: телевизия, вестник, SMS, И навсякъде, където четем, пишем, броим, събираме, изваждаме, умножаваме. И кажете ми, често ли ви се е налагало да пускате корени в живота, освен в страната? Например, такава забавна задача, като корен квадратен от числото 12345 ... Има ли още барут в колбите с барут? можем ли да го направим Да, няма нищо по-лесно! Къде ми е калкулаторът ... И без него, ръка за ръка, слаб?

Първо, нека изясним какво е това - корен квадратен от число. Най-общо казано, "да извлечеш корен от число" означава да извършиш аритметична операция, противоположна на повдигането на степен - тук имаш единството на противоположностите в житейското приложение. да кажем, че квадратът е умножение на число само по себе си, т.е. както са учили в училище, X * X = A или в друга нотация X2 = A, и с думи - „X на квадрат е равно на A“. Тогава обратната задача звучи така: корен квадратен от числото A е числото X, което, повдигнато на квадрат, е равно на A.

Извличане на корен квадратен

От училищния курс по аритметика са известни методи за изчисляване "в колона", които помагат да се извършват всякакви изчисления с помощта на първите четири аритметични операции. Уви ... За квадратни, а не само квадратни, корени на такива алгоритми не съществуват. И в този случай как да извадя корен квадратен без калкулатор? Въз основа на дефиницията на квадратния корен има само едно заключение - необходимо е да се избере стойността на резултата чрез последователно изброяване на числа, чийто квадрат се доближава до стойността на коренния израз. Само и всичко! Преди да е минал час или два, може да се изчисли с помощта на добре познатия метод за умножение в „колона“, всеки квадратен корен. Ако имате умения, няколко минути са достатъчни за това. Дори не съвсем напреднал потребител на калкулатор или компютър го прави с един замах - напредък.

Но сериозно, изчисляването на квадратния корен често се извършва с помощта на техниката "артилерийска вилица": първо, те вземат число, чийто квадрат приблизително съответства на коренния израз. По-добре е "нашият квадрат" да е малко по-малък от този израз. След това те коригират числото според собственото си разбиране на уменията, например, умножават по две и ... го повдигат отново на квадрат. Ако резултатът е по-голям от числото под корена, последователно коригиране на първоначалното число, постепенно приближаване към неговия "колега" под корена. Както можете да видите - без калкулатор, само възможност за броене "в колона". Разбира се, има много научно обосновани и оптимизирани алгоритми за изчисляване на корен квадратен, но за "домашна употреба" горната техника дава 100% увереност в резултата.

Да, почти забравих, за да потвърдим повишената си грамотност, изчисляваме корен квадратен от посоченото по-рано число 12345. Правим го стъпка по стъпка:

1. Вземете, чисто интуитивно, X=100. Нека изчислим: X * X = 10000. Интуицията е отгоре - резултатът е по-малък от 12345.

2. Да опитаме, също чисто интуитивно, X = 120. След това: X * X = 14400. И отново, с интуиция, редът - резултатът е повече от 12345.

3. По-горе се получава „вилица“ от 100 и 120. Нека изберем нови числа - 110 и 115. Получаваме съответно 12100 и 13225 - вилицата се стеснява.

4. Пробваме на "може би" X = 111. Получаваме X * X = 12321. Това число вече е доста близо до 12345. В съответствие с необходимата точност, „монтажът“ може да бъде продължен или спрян при получения резултат. Това е всичко. Както обещахме - всичко е много просто и без калкулатор.

Малко история...

Дори питагорейците, ученици на школата и последователи на Питагор, са се сетили да използват квадратни корени, 800 г. пр.н.е. и точно там се "натъкна" на нови открития в областта на числата. И откъде дойде?

1. Решението на задачата с извличането на корена дава резултата под формата на числа от нов клас. Те бяха наречени ирационални, с други думи, "неразумни", защото. не са записани като цяло число. Най-класическият пример от този вид е корен квадратен от 2. Този случай съответства на изчисляването на диагонала на квадрат със страна равна на 1 - ето го, влиянието на Питагорейската школа. Оказа се, че в триъгълник с много специфичен единичен размер на страните, хипотенузата има размер, който се изразява с число, което "няма край". Така се появи в математиката

2. Известно е, че Оказа се, че тази математическа операция съдържа още една уловка - извличайки корена, ние не знаем какъв квадрат на кое число, положително или отрицателно, е коренът на израза. Тази несигурност, двойният резултат от една операция, е записана.

Изследването на проблемите, свързани с това явление, се превърна в направление в математиката, наречено теория на комплексната променлива, което е от голямо практическо значение в математическата физика.

Любопитно е, че обозначението на корена - радикал - е използвано в неговата "Универсална аритметика" от същия вездесъщ И. Нютон, а точно съвременната форма на писане на корена е известна от 1690 г. от книгата на французина Рол "Наръчник по алгебра ".

Погледнах отново чинията ... И да тръгваме!

Нека започнем с едно просто:

Чакай малко. това, което означава, че можем да го напишем така:

Схванах го? Ето следващия за вас:

Корените на получените числа не са точно извлечени? Не се притеснявайте, ето няколко примера:

Но какво ще стане, ако няма два множителя, а повече? Същото! Формулата за умножение на корен работи с произволен брой фактори:

Вече напълно независими:

Отговори:Много добре! Съгласете се, всичко е много лесно, основното е да знаете таблицата за умножение!

Коренно деление

Разбрахме умножението на корените, сега нека да преминем към свойството на делението.

Нека ви напомня, че формулата най-общо изглежда така:

И това означава, че коренът на частното е равен на частното на корените.

Е, нека да разгледаме примерите:

Това е цялата наука. И ето един пример:

Всичко не е толкова гладко, колкото в първия пример, но както виждате, няма нищо сложно.

Ами ако изразът изглежда така:

Просто трябва да приложите формулата в обратен ред:

И ето един пример:

Можете също да видите този израз:

Всичко е същото, само тук трябва да запомните как да превеждате дроби (ако не си спомняте, погледнете темата и се върнете!). Спомняте ли си? Сега решаваме!

Сигурен съм, че сте се справили с всичко, всичко, сега нека се опитаме да изградим корени в степен.

степенуване

Какво се случва, ако квадратният корен се повдигне на квадрат? Просто е, запомнете значението на корен квадратен от число – това е число, чийто корен квадратен е равен на.

И така, ако повдигнем на квадрат число, чийто квадратен корен е равен, тогава какво получаваме?

Добре, разбира се, !

Нека да разгледаме примери:

Всичко е просто, нали? А ако коренът е в различна степен? Всичко е наред!

Придържайте се към същата логика и запомнете свойствата и възможните действия със силите.

Прочетете теорията по темата "" и всичко ще ви стане пределно ясно.

Например, ето един израз:

В този пример степента е четна, но какво ще стане, ако е нечетна? Отново приложете свойствата на мощността и факторизирайте всичко:

С това всичко изглежда ясно, но как да извлечете корена от число в степен? Ето например това:

Доста просто, нали? Ами ако степента е по-голяма от две? Следваме същата логика, използвайки свойствата на степените:

Е, всичко ясно ли е? След това решете вашите собствени примери:

А ето и отговорите:

Въведение под знака на корена

Какво просто не сме се научили да правим с корените! Остава само да практикувате въвеждането на числото под знака на корена!

Съвсем лесно е!

Да кажем, че имаме номер

Какво можем да направим с него? Е, разбира се, скрийте тройката под корена, като помните, че тройката е корен квадратен от!

Защо ни трябва? Да, само за да разширим нашите възможности при решаване на примери:

Как ви харесва това свойство на корените? Прави живота много по-лесен? За мен е така! само трябва да помним, че можем да въвеждаме само положителни числа под знака за квадратен корен.

Опитайте сами този пример:
успяхте ли Да видим какво трябва да получите:

Много добре! Успяхте да въведете число под знака корен! Нека да преминем към нещо също толкова важно - помислете как да сравнявате числа, съдържащи квадратен корен!

Сравнение на корена

Защо трябва да се научим да сравняваме числа, съдържащи квадратен корен?

Много просто. Често в големи и дълги изрази, срещани на изпита, получаваме ирационален отговор (сещате ли се какъв е? Вече говорихме за това днес!)

Трябва да поставим получените отговори на координатната линия, например, за да определим кой интервал е подходящ за решаване на уравнението. И тук възниква проблемът: на изпита няма калкулатор, а без него как да си представим кое число е по-голямо и кое по-малко? Това е!

Например, определете кое е по-голямо: или?

Няма да кажете веднага. Добре, нека използваме анализираното свойство за добавяне на число под знака за корен?

След това напред:

Е, очевидно, колкото по-голямо е числото под знака на корена, толкова по-голям е самият корен!

Тези. ако означава.

От това твърдо заключаваме, че И никой няма да ни убеди в обратното!

Извличане на корени от големи числа

Преди това въведохме фактор под знака на корена, но как да го извадим? Просто трябва да го разложите и да извлечете извлеченото!

Възможно е да се отиде по друг начин и да се разложи на други фактори:

Не е лошо, нали? Всеки от тези подходи е правилен, решете как се чувствате комфортно.

Факторингът е много полезен при решаването на такива нестандартни задачи като тази:

Ние не се страхуваме, ние действаме! Разлагаме всеки фактор под корена на отделни фактори:

А сега опитайте сами (без калкулатор! Няма да е на изпита):

това ли е краят Ние не спираме на половината път!

Това е всичко, не е толкова страшно, нали?

Се случи? Браво, прав си!

Сега опитайте този пример:

И един пример е труден орех, така че не можете веднага да разберете как да подходите към него. Но ние, разбира се, сме в зъбите.

Е, нека започнем с факторизирането, става ли? Веднага отбелязваме, че можете да разделите число на (припомнете си знаците за делимост):

А сега опитайте сами (отново без калкулатор!):

Е, проработи ли? Браво, прав си!

Обобщаване

1. Корен квадратен (аритметичен корен квадратен) от неотрицателно число е неотрицателно число, чийто квадрат е равен.
   .
2. Ако просто вземем корен квадратен от нещо, винаги получаваме един неотрицателен резултат.
3. Свойства на аритметичен корен:
4. Когато сравнявате квадратни корени, трябва да се помни, че колкото по-голямо е числото под знака на корена, толкова по-голям е самият корен.

Как ви харесва квадратният корен? Всичко е ясно?

Опитахме се да ви обясним без вода всичко, което трябва да знаете на изпита за корен квадратен.

Твой ред е. Пишете ни дали тази тема е трудна за вас или не.

Научихте ли нещо ново или вече всичко беше толкова ясно.

Пишете в коментарите и успех на изпитите!

Доста често, когато решаваме задачи, се сблъскваме с големи числа, от които трябва да извлечем Корен квадратен. Много ученици решават, че това е грешка и започват да решават целия пример. В никакъв случай не трябва да се прави това! Има две причини за това:

1. Корените на големи числа се срещат в проблеми. Особено в текста;
2. Има алгоритъм, по който тези корени се разглеждат почти устно.

Днес ще разгледаме този алгоритъм. Може би някои неща ще ви се сторят неразбираеми. Но ако обърнете внимание на този урок, ще получите най-мощното оръжие срещу квадратни корени.

Така че алгоритъмът:

1. Ограничете желания корен отгоре и отдолу до кратни на 10. Така ще намалим обхвата на търсене до 10 числа;
2. От тези 10 числа отсейте тези, които определено не могат да бъдат корени. В резултат на това ще останат 1-2 номера;
3. На квадрат тези 1-2 числа. Този от тях, чийто квадрат е равен на първоначалното число, ще бъде коренът.

Преди прилагането на този алгоритъм да работи на практика, нека разгледаме всяка отделна стъпка.

Roots ограничение

Първо, трябва да разберем между кои числа се намира нашият корен. Много е желателно числата да са кратни на десет:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Получаваме поредица от числа:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Какво ни дават тези числа? Просто е: получаваме граници. Вземете например числото 1296. То се намира между 900 и 1600. Следователно неговият корен не може да бъде по-малък от 30 и по-голям от 40:

[Надпис на фигура]

Същото е с всяко друго число, от което можете да намерите корен квадратен. Например 3364:

[Надпис на фигура]

Така, вместо неразбираемо число, получаваме много специфичен диапазон, в който се намира оригиналният корен. За да стесните допълнително обхвата на търсенето, преминете към втората стъпка.

Премахване на очевидно излишни числа

И така, имаме 10 числа - кандидати за корен. Получихме ги много бързо, без сложно мислене и умножение в колона. Време е да продължиш напред.

Вярвате или не, сега ще намалим броя на кандидатстващите номера до две - и отново без никакви сложни изчисления! Достатъчно е да знаете специалното правило. Ето го:

Последната цифра на квадрата зависи само от последната цифра оригинален номер.

С други думи, достатъчно е да погледнем последната цифра на квадрата - и веднага ще разберем къде завършва оригиналното число.

Има само 10 цифри, които могат да бъдат на последно място. Нека се опитаме да разберем в какво се превръщат, когато са на квадрат. Разгледайте таблицата:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

Тази таблица е още една стъпка към изчисляване на корена. Както можете да видите, числата във втория ред се оказаха симетрични по отношение на петицата. Например:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Както можете да видите, последната цифра е една и съща и в двата случая. И това означава, че например коренът на 3364 задължително завършва на 2 или 8. От друга страна, помним ограничението от предишния параграф. Получаваме:

[Надпис на фигура]

Червените квадрати показват, че все още не знаем тази цифра. Но в края на краищата коренът се намира между 50 и 60, на който има само две числа, завършващи на 2 и 8:

[Надпис на фигура]

Това е всичко! От всички възможни корени оставихме само два варианта! И това е в най-трудния случай, защото последната цифра може да бъде 5 или 0. И тогава единственият кандидат за корените ще остане!

Окончателни изчисления

И така, остават ни 2 кандидатски номера. Как да разберете кой е коренът? Отговорът е очевиден: повдигнете на квадрат двете числа. Този, който е повдигнат на квадрат, ще даде оригиналното число и ще бъде коренът.

Например за числото 3364 намерихме две кандидат-числа: 52 и 58. Нека ги повдигнем на квадрат:

52 2 \u003d (50 +2) 2 \u003d 2500 + 2 50 2 + 4 \u003d 2704;
58 2 \u003d (60 - 2) 2 \u003d 3600 - 2 60 2 + 4 \u003d 3364.

Това е всичко! Оказа се, че коренът е 58! В същото време, за да опростя изчисленията, използвах формулата на квадратите на сбора и разликата. Благодарение на това дори не е нужно да умножавате числата в колона! Това е друго ниво на оптимизация на изчисленията, но, разбира се, е напълно незадължително :)

Примери за изчисляване на корен

Теорията е добра, разбира се. Но нека го тестваме на практика.

[Надпис на фигура]

Първо, нека разберем между кои числа се намира числото 576:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Сега нека да разгледаме последното число. Равно е на 6. Кога става това? Само ако коренът завършва на 4 или 6. Получаваме две числа:

Остава да поставите на квадрат всяко число и да го сравните с оригинала:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Страхотен! Първият квадрат се оказа равен на първоначалното число. Така че това е коренът.

Задача. Изчислете корен квадратен:

[Надпис на фигура]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Нека да разгледаме последното число:

1369 → 9;
33; 37.

Нека го повдигнем на квадрат:

33 2 \u003d (30 + 3) 2 \u003d 900 + 2 30 3 + 9 \u003d 1089 ≠ 1369;
37 2 \u003d (40 - 3) 2 \u003d 1600 - 2 40 3 + 9 \u003d 1369.

Ето отговора: 37.

Задача. Изчислете корен квадратен:

[Надпис на фигура]

Ограничаваме броя:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Нека да разгледаме последното число:

2704 → 4;
52; 58.

Нека го повдигнем на квадрат:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Получихме отговора: 52. Второто число вече няма да е необходимо да се повдига на квадрат.

Задача. Изчислете корен квадратен:

[Надпис на фигура]

Ограничаваме броя:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Нека да разгледаме последното число:

4225 → 5;
65.

Както можете да видите, след втората стъпка остава само една опция: 65. Това е желаният корен. Но нека все пак го повдигнем на квадрат и проверим:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Всичко е точно. Записваме отговора.

Заключение

Уви, не по-добре. Нека да разгледаме причините. Има две от тях:

• Забранено е използването на калкулатори на всеки нормален изпит по математика, било то GIA или Единния държавен изпит. А за носенето на калкулатор в класната стая лесно могат да бъдат изгонени от изпита.
• Не бъдете като глупавите американци. Които не са като корените - не могат да събират две прости числа. А при вида на дроби обикновено изпадат в истерия.