Естествени числа (N). Прости и съставни числа. Деление, кратно. Най-голям общ делител, най-малко общо кратно. „Цели числа. признаци за делимост. GCD и LCM изваждане. minuend - subtrahend = разлика
Набор от естествени числа = (1, 2, 3…). Тоест множеството от естествени числа е множеството от всички положителни числа. Операциите събиране, умножение, изваждане и деление са определени върху естествени числа. Резултатът от събиране, умножение и изваждане на две естествени числа е цяло число. И резултатът от разделянето на две естествени числа може да бъде или цяло число, или дробно число.
Например: 20: 4 = 5 - резултатът от деленето е цяло число.
20: 3 \u003d 6 2/3 - резултатът от делението е дробно число.
За естествено число n се казва, че се дели на естествено число m, ако резултатът от деленето е цяло число. В този случай числото m се нарича делител на числото n, а числото n се нарича кратно на числото m.
В първия пример 20 се дели на 4, 4 е делител на 20, 20 е кратно на 4.
Във втория пример числото 20 не се дели на числото 3, така че не може да става дума за делители и кратни.
Число n се нарича просто, ако няма делители, различни от себе си и единица. Примери за прости числа: 2, 7, 11, 97 и т.н.
Число n се нарича съставно, ако има делители, различни от себе си и единица.
Всяко естествено число може да бъде разложено на произведение от прости числа и това разлагане е уникално до порядъка на факторите. Например: 36=2 2 3 3 = 2 3 2 3 = 3 2 3 2 - всички тези разширения се различават само по реда на факторите.
Най-големият общ делител на две числа m и n е най-голямото естествено число, което е делител както на m, така и на n. Например за числата 34 и 85 най-големият общ делител е 17.
Най-малкото общо кратно на две числа m и n е най-малкото естествено число, което е кратно както на m, така и на n. Например за числата 15 и 4 най-малкото общо кратно би било 60.
Естествено число, делимо на две прости числа, също се дели на тяхното произведение. Например, ако числото се дели на 2 и 3, то също се дели на 6 = 23, ако на 11 и на 7, тогава на 77.
Пример: числото 6930 се дели на 11 - 6930: 11 = 630 и се дели на 7 - 6930: 7 = 990. Спокойно можем да кажем, че това число също се дели на 77. Нека проверим: 6930 \u003d 7 u003d 90.
Алгоритъм за разлагане на числото n на прости множители:
1. Намерете най-малкия прост делител на n (различен от 1) - a1.
2. Разделете числото n на a1, означете частното с n1.
3. n=a1 n1.
4. Правим същата операция с n1, докато получим просто число.
Пример: Разлагане на числото 17 136 в прости фактори
1. Най-малкият прост делител, различен от 1, е 2.
2. 17 136: 2 = 8 568;
3. 17 136 = 8 568 2.
4. Най-малкият прост делител на 8568 е 2.
5. 8 568: 2 = 4284;
6. 17 136 = 4284 2 2.
7. Най-малкият прост делител на 4284 е 2.
8. 4284: 2 = 2142;
9. 17 136 = 2142 2 2 2.
10. Най-малкият прост делител на 2142 е 2.
11. 2142: 2 = 1071;
12. 17 136 = 1071 2 2 2 2.
13. Най-малкият прост делител на 1071 е 3.
14. 1071: 3 = 357;
15. 17 136 = 357 3 2 2 2 2.
16. Най-малкият прост делител на 357 е 3.
17. 357: 3 = 119;
18. 17 136 = 119 3 3 2 2 2 2.
19. Най-малкият прост делител на 119 е 7.
20. 119: 7 = 17;
21. 17 е просто число, така че 17 136 = 17 7 3 3 2 2 2 2.
Получихме разлагане на числото 17 136 на прости множители.
общо кратно на естествените числааибе число, кратно на всяко от дадените числа.
Най-малкият брой от всички общи кратни аи бНаречен най-малкото общо кратно на тези числа.
Най-малко общо кратно на числата аи бнека означим K( а, б).
Например, две числа 12 и 18 са общи кратни: 36, 72, 108, 144, 180 и т.н. Числото 36 е най-малкото общо кратно на числата 12 и 18. Можете да напишете: K (12, 18) \u003d 36.
За най-малкото общо кратно следните твърдения са верни:
1. Най-малко общо кратно на числата аи б
2. Най-малко общо кратно на числата аи бне по-малко от по-голямото от дадените числа, т.е. ако а >б, след това K( а, б) ≥ а.
3. Всяко общо кратно на числата аи бсе дели на тяхното най-малко общо кратно.
Най-голям общ делител
Общ делител на естествени числа a ибе числото, което е делител на всяко от дадените числа.
Най-голямото число от всички общи делители на числата аи бсе нарича най-голям общ делител на дадените числа.
Най-голям общ делител на числата аи бнека означим D( а, б).
Например за числата 12 и 18 общите делители са числата: 1, 2, 3, 6. Числото 6 е 12 и 18. Можете да напишете: D(12, 18) = 6.
Числото 1 е общ делител на произволни две естествени числа аи б. Ако тези числа нямат други общи делители, тогава D( а, б) = 1 и числата аи бНаречен взаимно проста.
Например числата 14 и 15 са взаимно прости, тъй като D(14, 15) = 1.
За най-големия общ делител са верни следните твърдения:
1. Най-голям общ делител на числата аи бвинаги съществува и е уникален.
2. Най-голям общ делител на числата аи бне надвишава най-малкото от дадените числа, т.е. ако а< б, тогава д(а, б) ≤ а.
3. Най-голям общ делител на числата аи бсе дели на всеки общ делител на тези числа.
Най-голямото общо кратно на числата аи би техният най-голям общ делител са свързани: произведението на най-малкото общо кратно и най-големия общ делител на числата аи бе равно на произведението на тези числа, т.е. К( а, б)Д( а, б) = а· б.
Последиците следват от това твърдение:
а) Най-малкото общо кратно на две относително прости числа е равно на произведението на тези числа, т.е. Д( а, б) = 1 => K( а, б) = а· б;
Например, за да намерите най-малкото общо кратно на числата 14 и 15, е достатъчно да ги умножите, тъй като D(14, 15) = 1.
б) адели се на произведението на взаимно прости числа ми н, необходимо и достатъчно е той да се дели на м, и нататък н.
Това твърдение е знак за делимост на числа, което може да бъде представено като произведение на две взаимно прости числа.
в) Коефициентите, получени чрез разделяне на две дадени числа на техния най-голям общ делител, са взаимно прости числа.
Това свойство може да се използва при проверка на правилността на намерения най-голям общ делител на дадени числа. Например, нека проверим дали числото 12 е най-големият общ делител на числата 24 и 36. За да направите това, според последното твърдение, разделяме 24 и 36 на 12. Получаваме съответно числата 2 и 3, които са взаимно прости. Следователно D(24, 36)=12.
Задача 32.Формулирайте и докажете теста за делимост на 6.
Решение хсе дели на 6, необходимо е и достатъчно е да се дели на 2 и 3.
Нека номерът хсе дели на 6. Тогава от факта, че х 6 и 62, следва, че х 2. И от факта, че х 6 и 63, следва, че х 3. Доказахме, че за да може едно число да се дели на 6, то трябва да се дели на 2 и 3.
Нека покажем достатъчността на това условие. Защото х 2 и х 3, тогава х- общото кратно на числата 2 и 3. Всяко общо кратно на числата се дели на най-малкото им кратно, което означава хК(2;3).
Тъй като D(2, 3)=1, то K(2, 3)=2 3=6. следователно, х 6.
Задача 33.Формулирайте при 12, 15 и 60.
Решение. За да получите естествено число хсе дели на 12, необходимо е и достатъчно е да се дели на 3 и 4.
За да получите естествено число хсе дели на 15, необходимо е и достатъчно е да се дели на 3 и 5.
За да получите естествено число хсе дели на 60, необходимо е и достатъчно е да се дели на 4, 3 и 5.
Задача 34.Намерете числа аи б, ако K( а, б)=75, а· б=375.
Решение.Използвайки формулата K( а, б)Д( а, б)=а· б, намираме най-големия общ делител на желаните числа аи б:
Д( а, б) === 5.
Тогава желаните числа могат да бъдат представени като а= 5Р, б= 5q, където стри q стри 5 qв равенство a b= 275. Вземете 5 стр·5 q=375 или стр· q=15. Решаваме полученото уравнение с две променливи чрез подбор: намираме двойки взаимно прости числа, чието произведение е равно на 15. Има две такива двойки: (3, 5) и (1, 15). Следователно, желаните числа аи бтова са: 15 и 25 или 5 и 75.
Задача 35.Намерете числа аи б, ако е известно, че D( а, б) = 7 и а· б= 1470.
Решение. Тъй като D( а, б) = 7, тогава желаните числа могат да бъдат представени като а= 7Р, б= 7q, където стри qса относително прости числа. Заместващи изрази 5 Ри 5 qв равенство a b = 1470. След това 7 стр 7 q= 1470 или стр· q= 30. Решаваме полученото уравнение с две променливи чрез подбор: намираме двойки взаимно прости числа, чието произведение е равно на 30. Има четири такива двойки: (1, 30), (2, 15), (3, 10) , (5, 6). Следователно, желаните числа аи бтова са: 7 и 210, 14 и 105, 21 и 70, 35 и 42.
Задача 36.Намерете числа аи б, ако е известно, че D( а, б) = 3 и а:б= 17:14.
Решение. Защото а:б= 17:14, тогава а= 17Ри б= 14стр, където Р- най-голям общ делител на числата аи б. следователно, а= 17 3 = 51, б= 14 3 = 42.
Проблем 37.Намерете числа аи б, ако е известно, че K( а, б) = 180, а:б= 4:5.
Решение. Защото а: б=4:5, тогава а=4Ри б=5Р, където Р- най-голям общ делител на числата аи б. Тогава Р 180=4 Р·5 Р. Където Р=9. следователно, a= 36 и б=45.
Проблем 38.Намерете числа аи б, ако е известно, че D( а, б)=5, K( а, б)=105.
Решение. Тъй като D( а, б) К( а, б) = а· б, тогава а· б= 5 105 = 525. Освен това желаните числа могат да бъдат представени като а= 5Ри б= 5q, където стри qса относително прости числа. Заместващи изрази 5 Ри 5 qв равенство а· б= 525. Тогава 5 стр·5 q=525 или стр· q=21. Откриваме двойки взаимно прости числа, чието произведение е равно на 21. Има две такива двойки: (1, 21) и (3, 7). Следователно, желаните числа аи бтова са: 5 и 105, 15 и 35.
Задача 39.Докажете, че числото н(2н+ 1)(7н+ 1) се дели на 6 за всяко естествено н.
Решение. Числото 6 е съставно, може да се представи като произведение на две взаимно прости числа: 6 = 2 3. Ако докажем, че дадено число се дели на 2 и 3, тогава въз основа на теста за делимост на съставно число можем да заключим, че то се дели на 6.
За да докаже, че номерът н(2н+ 1)(7н+ 1) се дели на 2, има две възможности за разглеждане:
1) нсе дели на 2, т.е. н= 2к. След това продуктът н(2н+ 1)(7н+ 1) ще изглежда така: 2 к(4к+ 1)(14к+ 1). Този продукт се дели на 2, т.к първият фактор се дели на 2;
2) нне се дели на 2, т.е. н= 2к+ 1. След това продуктът н(2н+ 1 )(7н+ 1) ще изглежда така: (2 к+ 1)(4к+ 3)(14к+ 8). Този продукт се дели на 2, т.к последният фактор се дели на 2.
За да докаже, че работата н(2н+ 1)(7н+ 1) се дели на 3, трябва да се имат предвид три възможности:
1) нсе дели на 3, т.е. н= 3к. След това продуктът н(2н+ 1)(7н+ 1) ще изглежда така: 3 к(6к+ 1)(21к+ 1). Този продукт се дели на 3, т.к първият фактор се дели на 3;
2) нкогато се раздели на 3, остатъкът е 1, т.е. н= 3к+ 1. След това продуктът н(2н+ 1)(7н+ 1) ще изглежда така: (3 к+ 1)(6к+ 3)(21к+ 8). Този продукт се дели на 3, т.к вторият фактор се дели на 3;
3) нкогато се раздели на 3, той дава остатък от 2, т.е. н= 3к+ 2. След това продуктът н(2н+ 1)(7н+ 1) ще изглежда така: (3 к+ 2)(6к+ 5)(21к+ 15). Този продукт се дели на 3, т.к последният фактор се дели на 3.
И така, доказано е, че продуктът н(2н+ 1)(7н+ 1) се дели на 2 и 3. Значи се дели на 6.
Упражнения за самостоятелна работа
1. Дадени са две числа: 50 и 75. Запишете множеството:
а) делители на числото 50; б) делители на числото 75; в) общи делители на тези числа.
Кой е най-големият общ делител на 50 и 75?
2. Числото 375 общо кратно ли е на числата: а) 125 и 75; б) 85 и 15?
3. Намерете числа аи б, ако е известно, че K( а, б) = 105, а· б= 525.
4. Намерете числа аи б, ако е известно, че D( а, б) = 7, а· б= 294.
5. Намерете числа аи б, ако е известно, че D( а, б) = 5, а:б= 13:8.
6. Намерете числа аи б, ако е известно, че K( а, б) = 224, а:б= 7:8.
7. Намерете числа аи б, ако е известно, че D( а, б) = 3, K( а; б) = 915.
8. Докажете теста за делимост на 15.
9. От множеството числа 1032, 2964, 5604, 8910, 7008 изпишете тези, които се делят на 12.
10. Формулирайте признаци за делимост на 18, 36, 45, 75.
Ключови думи от синопсиса:Цели числа. Аритметични операции върху естествени числа. Делимост на естествени числа. Прости и съставни числа. Разлагане на естествено число на прости множители. Признаци за делимост на 2, 3, 5, 9, 4, 25, 10, 11. Най-големият общ делител (НКО), както и най-малкото общо кратно (НКО). Деление с остатък.
Цели числаса числа, които се използват за броене на обекти - 1, 2, 3, 4 , ... Но номерът 0 не е естествено!
Множеството естествени числа е н. Записване "3 ∈ N"означава, че числото три принадлежи към множеството естествени числа, а нотацията "0 ∉ N"означава, че числото нула не принадлежи на това множество.
Десетична бройна система- позиционна бройна система, базирана на 10 .
Аритметични операции върху естествени числа
За естествени числа са дефинирани следните действия: събиране, изваждане, умножение, деление,степенуване, извличане на корен. Първите четири стъпки са аритметика.
Тогава нека a, b и c са естествени числа
1. ДОБАВЯНЕ. Срок + Срок = Сума
Допълнителни свойства
1. Комутатив a + b = b + a.
2. Комбинативно a + (b + c) \u003d (a + b) + c.
3. a + 0= 0 + a = a.
2. ИЗВАДВАНЕ. Намалено - извадено = разлика
свойства на изваждане
1. Изваждане на сумата от числото a - (b + c) \u003d a - b - c.
2. Изваждане на число от сумата (a + b) - c \u003d a + (b - c); (a + b) - c \u003d (a - c) + b.
3. а - 0 = а.
4. a - a \u003d 0.
3. УМНОЖЕНИЕ. Множител * Множител = Продукт
Свойства за умножение
1. Комутатив a * b \u003d b * a.
2. Комбинативно a * (b * c) \u003d (a * b) * c.
3. 1 * a = a * 1 = a.
4. 0 * a = a * 0 = 0.
5. Разпределение (a + b) * c \u003d ac + bc; (a - b) * c \u003d ac - bc.
4. РАЗДЕЛЕНИЕ. Дивидент: делител = коефициент
разделителни свойства
1. а: 1 = а.
2. а: а = 1. Не можете да разделите на нула!
3. 0: а=0.
Процедура
1. Преди всичко действия в скоби.
2. След това умножение, деление.
3. И само в края на събиране, изваждане.
Делимост на естествени числа. Прости и съставни числа.
Делител на естествено число асе нарича естественото число, с което аразделено без остатък. номер 1 е делител на произволно естествено число.
Естественото число се нарича простосамо ако има дведелител: единица и самото число. Например числата 2, 3, 11, 23 са прости числа.
Извиква се число с повече от два делителя композитен. Например числата 4, 8, 15, 27 са съставни числа.
знак за делимост върши работаняколко числа: ако поне един от факторите се дели на някакво число, тогава продуктът също се дели на това число. Работете 24 15 77 разделена на 12 , тъй като факторът на това число 24 разделена на 12 .
Знак за делимост на сбора (разлика)числа: ако всеки член се дели на някакво число, тогава цялата сума се дели на това число. Ако a:bи c:b, тогава (а + в): б. И ако a:b, а ° Сне се дели на б, тогава a+cне се дели на число б.
Ако a:cи c:b, тогава a:b. Въз основа на факта, че 72:24 и 24:12, заключаваме, че 72:12.
Представянето на число като продукт на степени на прости числа се нарича разлагане на число на прости множители.
Основна теорема на аритметиката: всяко естествено число (освен 1 ) или е просто, или може да бъде разложено на прости множители само по един начин.
При декомпозиране на число на прости множители се използват знаци за делимост и се използва обозначението „колона”.В този случай делителят се намира вдясно от вертикалната лента, а частното се записва под делимото.
Например задачата: разложете число на прости множители 330 . Решение:
Признаци на делимост по 2, 5, 3, 9, 10, 4, 25 и 11.
Има признаци на делимост на 6, 15, 45 и т.н., тоест в числа, чието произведение може да бъде разложено на множители 2, 3, 5, 9 и 10 .
Най-голям общ делител
Нарича се най-голямото естествено число, на което всяко от двете дадени естествени числа се дели най-голям общ делителтези числа ( GCD). Например, gcd (10; 25) = 5; и GCD (18; 24) = 6; GCD (7; 21) = 1.
Ако най-големият общ делител на две естествени числа е 1 , тогава тези числа се наричат взаимно проста.
Алгоритъм за намиране на най-големия общ делител(GCD)
GCD често се използва при проблеми. Например 155 тетрадки и 62 химикалки бяха разделени поравно между учениците от един и същи клас. Колко ученици има в този клас?
Решение: Намирането на броя на учениците в този клас се свежда до намиране на най-големия общ делител на числата 155 и 62, тъй като тетрадките и химикалките са разделени по равно. 155 = 531; 62 = 231. GCD (155; 62) = 31.
Отговор: 31 ученици в класа.
Най-малко общо кратно
Множество на естествено число ае естествено число, което се дели на абез следа. Например номер 8 има кратни: 8, 16, 24, 32 , … Всяко естествено число има безкрайно много кратни.
Най-малко общо кратно(LCM) е най-малкото естествено число, което е кратно на тези числа.
Алгоритъмът за намиране на най-малкото общо кратно ( НОК):
LCM също често се използва при проблеми. Например двама колоездачи тръгнаха едновременно на велосипедната писта в една и съща посока. Единият прави кръг за 1 мин, а другият за 45 s. Колко най-малко минути след началото на движението ще се срещнат в началото?
Решение: Броят минути, след които те се срещат отново в началото, трябва да се дели на 1 минута, както и на 45 с. За 1 мин = 60 с. Тоест, необходимо е да се намери LCM (45; 60). 45 = 325; 60 = 22 3 5. NOC (45; 60) = 22 32 5 = 4 9 5 = 180. В резултат на това се оказва, че колоездачите ще се срещнат на старта след 180 s = 3 min.
Отговор: 3 мин.
Деление с остатък
Ако е естествено число ане се дели на естествено число б, тогава можете да направите деление с остатък. В този случай се извиква полученото частно непълен. Правилното равенство е:
a = b n + r,
където а- делимо б- разделител, н- непълно коефициент, r- остатък. Например, нека дивидентът бъде 243 , разделител - 4 , тогава 243: 4 = 60 (остатък 3). Тоест a \u003d 243, b \u003d 4, n \u003d 60, r = 3, тогава 243 = 60 4 + 3 .
Числа, които се делят на 2 без следа, се наричат дори: a = 2n,н ∈ Н.
Останалите числа се извикват странно: b = 2n + 1,н ∈ Н.
Това е синопсис по темата. „Цели числа. Признаци на делимост». За да продължите, изберете следващите стъпки:
- Преминете към следващото резюме:
