Формула за обратна матрица от втори ред. Обратна матрица и нейните свойства. Избор на първоначално приближение

Подобно на обратните в много свойства.

Енциклопедичен YouTube

1 / 5

✪ Обратна матрица (2 начина за намиране)

✪ Как да намерим обратна матрица - bezbotvy

✪ Обратна матрица №1

✪ Решаване на система от уравнения с помощта на обратния матричен метод - безботви

✪ Обратна матрица

Субтитри

Свойства на обратната матрица

• det A − 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), където det (\displaystyle \ \det )обозначава детерминанта.
• (A B) − 1 = B − 1 A − 1 (\displaystyle \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1))за две квадратни обратими матрици A (\displaystyle A)и B (\displaystyle B).
• (A T) − 1 = (A − 1) T (\displaystyle \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T)), където (. .) T (\displaystyle (...)^(T))обозначава транспонираната матрица.
• (k A) − 1 = k − 1 A − 1 (\displaystyle \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1))за всеки коефициент k ≠ 0 (\displaystyle k\not =0).
• E − 1 = E (\displaystyle \ E^(-1)=E).
• Ако е необходимо да се реши система от линейни уравнения , (b е ненулев вектор), където x (\displaystyle x)е желания вектор и ако A − 1 (\displaystyle A^(-1))съществува, значи x = A − 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b). В противен случай или размерността на пространството за решение е по-голяма от нула, или изобщо няма такива.

Начини за намиране на обратната матрица

Ако матрицата е обратима, тогава, за да намерите обратното на матрицата, можете да използвате един от следните методи:

Точни (директни) методи

Метод на Гаус-Йордан

Да вземем две матрици: самата Аи необвързан Е. Нека донесем матрицата Акъм матрицата на идентичността чрез метода на Гаус-Джордън, прилагайки трансформации в редове (можете да приложите трансформации и в колони, но не и в микс). След като приложите всяка операция към първата матрица, приложете същата операция към втората. Когато свеждането на първата матрица до формата за идентичност завърши, втората матрица ще бъде равна на А -1.

Когато използвате метода на Гаус, първата матрица ще бъде умножена отляво по една от елементарните матрици Λ i (\displaystyle \Lambda _(i))(трансвекция или диагонална матрица с такива на главния диагонал, с изключение на една позиция):

Λ 1 ⋅ ⋯ ⋅ Λ n ⋅ A = Λ A = E ⇒ Λ = A − 1 (\displaystyle \Lambda _(1)\cdot \dots \cdot \Lambda _(n)\cdot A=\Lambda A=E \Стрелка надясно \Lambda =A^(-1)). Λ m = [ 1 … 0 − a 1 m / a m m 0 … 0 … 0 … 1 − a m − 1 m / a m m 0 … 0 0 … 0 1 / a m m 0 … 0 0 … 0 − a m + 1 m / a m m 1 … 0 … 0 … 0 − a n m / a m m 0 … 1 ] (\displaystyle \Lambda _(m)=(\begin(bmatrix)1&\dots &0&-a_(1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\ &&&\dots &&&\\0&\dots &1&-a_(m-1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\0&\dots &0&1/a_(mm)&0&\dots &0\\0&\dots &0&-a_( m+1m)/a_(mm)&1&\dots &0\\&&&\dots &&&\\0&\dots &0&-a_(nm)/a_(mm)&0&\dots &1\end(bmatrix))).

Втората матрица след прилагане на всички операции ще бъде равна на Λ (\displaystyle \Lambda), тоест ще бъде желаният. Сложността на алгоритъма - O(n 3) (\displaystyle O(n^(3))).

Използване на матрицата на алгебричните събирания

Матрица Обратна матрица A (\displaystyle A), представляват във формата

A − 1 = adj (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=((\mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))

където adj (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- прикачена матрица ;

Сложността на алгоритъма зависи от сложността на алгоритъма за изчисляване на детерминанта O det и е равна на O(n²) O det .

Използване на LU/LUP разлагане

Матрично уравнение A X = I n (\displaystyle AX=I_(n))за обратна матрица X (\displaystyle X)може да се разглежда като колекция n (\displaystyle n)системи от формата A x = b (\displaystyle Ax=b). Означете i (\displaystyle i)-та колона на матрицата X (\displaystyle X)през X i (\displaystyle X_(i)); тогава A X i = e i (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), i = 1 , … , n (\displaystyle i=1,\ldots,n),дотолкова доколкото i (\displaystyle i)-та колона на матрицата I n (\displaystyle I_(n))е единичният вектор e i (\displaystyle e_(i)). с други думи, намирането на обратната матрица се свежда до решаване на n уравнения със същата матрица и различни десни страни. След изпълнение на разширението на LUP (време O(n³)) всяко от n уравненията отнема O(n²) време за решаване, така че тази част от работата също отнема O(n³) време.

Ако матрицата A е неособена, тогава можем да изчислим LUP разлагането за нея P A = L U (\displaystyle PA=LU). Нека бъде P A = B (\displaystyle PA=B), B − 1 = D (\displaystyle B^(-1)=D). Тогава от свойствата на обратната матрица можем да запишем: D = U − 1 L − 1 (\displaystyle D=U^(-1)L^(-1)). Ако умножим това равенство по U и L, тогава можем да получим две равенства от вида U D = L − 1 (\displaystyle UD=L^(-1))и D L = U − 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). Първото от тези равенства е система от n² линейни уравнения за n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2)))на които са известни десните страни (от свойствата на триъгълните матрици). Втората също е система от n² линейни уравнения за n (n − 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2)))на които са известни десните страни (също от свойствата на триъгълните матрици). Заедно те образуват система от n² равенства. Използвайки тези равенства, можем рекурсивно да определим всички n² елементи на матрицата D. Тогава от равенството (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D. получаваме равенството A − 1 = D P (\displaystyle A^(-1)=DP).

В случай на използване на LU декомпозицията, не се изисква пермутация на колоните на матрицата D, но решението може да се разминава, дори ако матрицата A е несингулярна.

Сложността на алгоритъма е O(n³).

Итеративни методи

Методи на Шулц

( Ψ k = E − A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\displaystyle (\begin(cases)\Psi _(k)=E-AU_(k),\\U_( k+1)=U_(k)\sum _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\end(случаи)))

Оценка на грешката

Избор на първоначално приближение

Проблемът с избора на първоначалното приближение в процесите на итеративна инверсия на матрици, разглеждани тук, не ни позволява да ги третираме като независими универсални методи, които се конкурират с методите за директна инверсия, базирани, например, на LU декомпозиция на матрици. Има някои препоръки за избор U 0 (\displaystyle U_(0)), осигуряващи изпълнението на условието ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (спектралният радиус на матрицата е по-малък от единица), което е необходимо и достатъчно за конвергенцията на процеса. В този случай обаче първо се изисква да се знае отгоре оценката за спектъра на обратимата матрица A или матрицата A A T (\displaystyle AA^(T))(а именно, ако A е симетрична положително определена матрица и ρ (A) ≤ β (\displaystyle \rho (A)\leq \beta ), тогава можете да вземете U 0 = α E (\displaystyle U_(0)=(\alpha)E), където ; ако A е произволна неособена матрица и ρ (A A T) ≤ β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta ), тогава да предположим U 0 = α A T (\displaystyle U_(0)=(\alpha)A^(T)), къде също α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alpha \in \left(0,(\frac (2)(\beta))\right)); Разбира се, ситуацията може да бъде опростена и, като се използва фактът, че ρ (A A T) ≤ k A A T k (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k))), слагам U 0 = A T ‖ A A T ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))). Второ, при такава спецификация на първоначалната матрица няма гаранция, че ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|)ще бъде малък (може би дори ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)) и висок порядък на степен на сближаване няма да бъде очевиден веднага.

Примери

Матрица 2x2

Не може да се анализира синтактичен израз (синтактична грешка): (\displaystyle \mathbf(A)^(-1) = \begin(bmatrix) a & b \\ c & d \\ \end(bmatrix)^(-1) = \ frac (1)(\det(\mathbf(A))) \begin& \!\!-b \\ -c & \,a \\ \end(bmatrix) = \frac(1)(ad - bc) \ begin (bmatrix) \,\,\,d & \!\!-b\\ -c & \,a \\ \end(bmatrix).)

Обръщането на матрица 2x2 е възможно само при условие, че a d − b c = det A ≠ 0 (\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0).

Нека има квадратна матрица от n-ти ред

Матрицата A -1 се нарича обратна матрицапо отношение на матрицата A, ако A * A -1 = E, където E е идентичната матрица от n-ти ред.

Матрица за идентичност- такава квадратна матрица, в която всички елементи по главния диагонал, преминаващи от горния ляв ъгъл към долния десен ъгъл, са единици, а останалите са нули, например:

обратна матрицаможе да съществува само за квадратни матрицитези. за тези матрици, които имат еднакъв брой редове и колони.

Теорема за условието за съществуване на обратна матрица

За да има една матрица обратна матрица, е необходимо и достатъчно тя да е неизродена.

Матрицата A = (A1, A2,...A n) се нарича неизродениако векторите на колоните са линейно независими. Броят на линейно независими вектори на колона на матрица се нарича ранг на матрицата. Следователно можем да кажем, че за да съществува обратна матрица, е необходимо и достатъчно рангът на матрицата да е равен на нейната размерност, т.е. r = n.

Алгоритъм за намиране на обратната матрица

1. Напишете матрицата A в таблицата за решаване на системи от уравнения по метода на Гаус и вдясно (на мястото на десните части на уравненията) й припишете матрица E.
2. Използвайки трансформациите на Йордан, приведете матрица A към матрица, състояща се от единични колони; в този случай е необходимо едновременно да се трансформира матрицата E.
3. Ако е необходимо, пренаредете редовете (уравненията) на последната таблица, така че матрицата за идентичност E да се получи под матрицата A на оригиналната таблица.
4. Напишете обратната матрица A -1, която е в последната таблица под матрицата E на оригиналната таблица.

Пример 1

За матрица A намерете обратната матрица A -1

Решение: Записваме матрицата A и отдясно присвояваме матрицата на идентичност E. Използвайки трансформациите на Йордан, намаляваме матрицата A до матрицата на идентичността E. Изчисленията са показани в Таблица 31.1.

Нека проверим правилността на изчисленията, като умножим оригиналната матрица A и обратната матрица A -1.

В резултат на умножението на матрицата се получава матрицата за идентичност. Следователно изчисленията са правилни.

Отговор:

Решение на матрични уравнения

Матричните уравнения могат да изглеждат така:

AX = B, XA = B, AXB = C,

където A, B, C са дадени матрици, X е желаната матрица.

Матричните уравнения се решават чрез умножаване на уравнението по обратни матрици.

Например, за да намерите матрицата от уравнение, трябва да умножите това уравнение по отляво.

Следователно, за да намерите решение на уравнението, трябва да намерите обратната матрица и да я умножите по матрицата от дясната страна на уравнението.

Други уравнения се решават по подобен начин.

Пример 2

Решете уравнението AX = B, ако

Решение: Тъй като обратното на матрицата е равно (виж пример 1)

Матричен метод в икономическия анализ

Заедно с други те също намират приложение матрични методи. Тези методи се основават на линейна и векторно-матрична алгебра. Такива методи се използват за целите на анализа на сложни и многоизмерни икономически явления. Най-често тези методи се използват, когато е необходимо да се сравни функционирането на организациите и техните структурни подразделения.

В процеса на прилагане на матричните методи за анализ могат да се разграничат няколко етапа.

На първия етапсе извършва формирането на система от икономически показатели и въз основа на нея се съставя матрица от изходни данни, която представлява таблица, в която номерата на системата са показани в отделните й редове (i = 1,2,....,n), а по вертикалните графики - номера на индикаторите (j = 1,2,....,m).

На втория етапза всяка вертикална колона се разкрива най-голямата от наличните стойности на индикаторите, която се приема като единица.

След това всички суми, отразени в тази колона, се разделят на най-голямата стойност и се формира матрица от стандартизирани коефициенти.

На третия етапвсички компоненти на матрицата са на квадрат. Ако те имат различно значение, тогава на всеки индикатор на матрицата се присвоява определен коефициент на тежест к. Стойността на последния се определя от експерт.

На последния четвърти етапнамерени стойности на оценките Rjгрупирани в ред на нарастване или намаляване.

Горните матрични методи трябва да се използват, например, при сравнителен анализ на различни инвестиционни проекти, както и при оценка на други показатели за икономическа ефективност на организациите.

В тази статия ще говорим за матричния метод за решаване на система от линейни алгебрични уравнения, ще намерим нейното определение и ще дадем примери за решението.

Определение 1

Метод на обратна матрица е методът, използван за решаване на SLAE, когато броят на неизвестните е равен на броя на уравненията.

Пример 1

Намерете решение на система от n линейни уравнения с n неизвестни:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + . . . + a n n x n = b n

Изглед на матричен запис : A × X = B

където A = a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a n 1 a n 2 ⋯ a n n е матрицата на системата.

X = x 1 x 2 ⋮ x n - колона с неизвестни,

B = b 1 b 2 ⋮ b n - колона със свободни коефициенти.

От уравнението, което получихме, трябва да изразим X. За да направите това, умножете двете страни на матричното уравнение вляво по A - 1:

A - 1 × A × X = A - 1 × B .

Тъй като A - 1 × A = E, тогава E × X = A - 1 × B или X = A - 1 × B.

Коментирайте

Обратната към матрицата A матрица има право да съществува само ако условието d e t A не е равно на нула. Следователно, при решаване на SLAE по метода на обратната матрица, преди всичко се намира d e t A.

В случай, че d e t A не е равно на нула, системата има само едно решение: използвайки метода на обратната матрица. Ако d e t A = 0, тогава системата не може да бъде решена по този метод.

Пример за решаване на система от линейни уравнения с помощта на метода на обратната матрица

Пример 2

Решаваме SLAE по метода на обратната матрица:

2 x 1 - 4 x 2 + 3 x 3 = 1 x 1 - 2 x 2 + 4 x 3 = 3 3 x 1 - x 2 + 5 x 3 = 2

Как да решим?

• Записваме системата под формата на матрично уравнение А X = B , където

A = 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5, X = 1 x 2 x 3, B = 1 3 2.

• Изразяваме от това уравнение X:

• Намираме детерминантата на матрица A:

d e t A = 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5 = 2 × (- 2) × 5 + 3 × (- 4) × 4 + 3 × (- 1) × 1 - 3 × (- 2) × 3 - - 1 × (- 4) × 5 - 2 × 4 - (- 1) = - 20 - 48 - 3 + 18 + 20 + 8 = - 25

d e t А не е равно на 0, следователно методът на обратното матрично решение е подходящ за тази система.

• Намираме обратната матрица A - 1, използвайки обединителната матрица. Изчисляваме алгебричните допълнения A i j към съответните елементи на матрицата A:

A 11 = (- 1) (1 + 1) - 2 4 - 1 5 \u003d - 10 + 4 = - 6,

A 12 = (- 1) 1 + 2 1 4 3 5 = - (5 - 12) \u003d 7,

A 13 = (- 1) 1 + 3 1 - 2 3 - 1 = - 1 + 6 \u003d 5,

A 21 = (- 1) 2 + 1 - 4 3 - 1 5 \u003d - (- 20 + 3) = 17,

A 22 = (- 1) 2 + 2 2 3 3 5 - 10 - 9 \u003d 1,

A 23 = (- 1) 2 + 3 2 - 4 3 - 1 \u003d - (- 2 + 12) = - 10,

A 31 = (- 1) 3 + 1 - 4 3 - 2 4 \u003d - 16 + 6 \u003d - 10,

A 32 = (- 1) 3 + 2 2 3 1 4 \u003d - (8 - 3) = - 5,

A 33 = (- 1) 3 + 3 2 - 4 1 - 2 = - 4 + 4 \u003d 0.

• Записваме обединената матрица A * , която е съставена от алгебрични допълнения на матрицата A:

A * = - 6 7 5 17 1 - 10 - 10 - 5 0

• Записваме обратната матрица по формулата:

A - 1 = 1 d e t A (A *) T: A - 1 \u003d - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0,

• Умножаваме обратната матрица A - 1 по колоната със свободни термини B и получаваме решението на системата:

X = A - 1 × B = - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0 1 3 2 = - 1 25 - 6 + 51 - 20 7 + 3 - 10 5 - 30 + 0 = - 1 0 1

Отговор : x 1 = - 1; x 2 \u003d 0; х 3 = 1

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Инициал съгласно формулата: A^-1 = A*/detA, където A* е асоциираната матрица, detA е оригиналната матрица. Прикачената матрица е транспонираната матрица на добавките към елементите на оригиналната матрица.

Първо, намерете детерминанта на матрицата, той трябва да е различен от нула, тъй като тогава детерминантата ще се използва като делител. Нека например е дадена матрицата на третата (състояща се от три реда и три колони). Както можете да видите, детерминантът на матрицата не е равен на нула, така че има обратна матрица.

Намерете допълнението към всеки елемент от матрицата A. Допълнението към A е детерминантата на подматрицата, получена от оригиналната чрез изтриване на i-тия ред и j-тата колона, като тази детерминанта се взема със знак. Знакът се определя чрез умножаване на детерминанта по (-1) на степен на i+j. Така, например, допълнението към A ще бъде определящият фактор, разгледан на фигурата. Знакът се оказа така: (-1)^(2+1) = -1.

В резултат ще получите матрицадопълнения, сега го транспонирайте. Транспонирането е операция, която е симетрична по отношение на главния диагонал на матрицата, колоните и редовете се разменят. По този начин сте намерили свързаната матрица A*.

Обратна матрица за дадена е такава матрица, умножение на оригиналната, с която дава матрицата за идентичност: Задължително и достатъчно условие за наличието на обратна матрица е неравенството на детерминанта на оригиналната (което от своя страна означава, че матрицата трябва да е квадратна). Ако детерминантата на матрица е равна на нула, тогава тя се нарича изродена и такава матрица няма обратна. Във висшата математика обратните матрици са важни и се използват за решаване на редица проблеми. Например, на намиране на обратната матрицаконструиран е матричен метод за решаване на системи от уравнения. Нашият сервизен сайт позволява изчислете обратната матрица онлайндва метода: методът на Гаус-Йордан и използване на матрицата на алгебричните събирания. Първият предполага голям брой елементарни трансформации в рамките на матрицата, вторият - изчисляване на детерминанта и алгебрични добавки към всички елементи. За да изчислите детерминанта на матрица онлайн, можете да използвате другата ни услуга - Изчисляване на детерминанта на матрица онлайн

.

Намерете обратната матрица на сайта

уебсайтви позволява да намерите обратна матрица онлайнбързо и безплатно. На сайта се правят изчисления от нашия сервиз и се показва резултат с подробно решение за намиране обратна матрица. Сървърът винаги дава само точния и правилен отговор. В задачите по дефиниция обратна матрица онлайн, е необходимо детерминантата матрицибеше различно от нула, иначе уебсайтще докладва невъзможността за намиране на обратната матрица поради факта, че детерминантът на оригиналната матрица е равен на нула. Намиране на задача обратна матрицанамира се в много клонове на математиката, като е едно от най-основните понятия на алгебрата и математически инструмент в приложните задачи. Независим дефиниция на обратна матрицаизисква значителни усилия, много време, изчисления и много внимание, за да не се допусне пропуск или малка грешка в изчисленията. Следователно нашата услуга намиране на обратната матрица онлайнще улесни значително вашата задача и ще се превърне в незаменим инструмент за решаване на математически задачи. Дори ако ти намерете обратна матрицасами, препоръчваме да проверите вашето решение на нашия сървър. Въведете оригиналната си матрица в нашата онлайн изчислителна обратна матрица и проверете отговора си. Нашата система никога не греши и намира обратна матрицададено измерение в режима на линиянезабавно! На линия уебсайтВ елементите са разрешени знаци матрици, в такъв случай обратна матрица онлайнще бъдат представени в общ символичен вид.