Математическа статистика и нейните методи. Математическа статистика за специалисти в различни области. Вариантната поредица за виборка има формата

Методи на математическата статистика

1. Въведение

Математическата статистика е наука, която се занимава с разработването на методи за получаване, описване и обработка на експериментални данни с цел изучаване на моделите на случайни масови явления.

В математическата статистика могат да се разграничат две области: описателна статистика и индуктивна статистика (статистически извод). Описателната статистика се занимава с натрупването, систематизирането и представянето на експериментални данни в удобна форма. Индуктивната статистика, базирана на тези данни, позволява да се направят определени заключения относно обектите, за които се събират данни, или оценки на техните параметри.

Типичните области на математическата статистика са:

1) теория за вземане на проби;

2) теория на оценките;

3) тестване на статистически хипотези;

4) регресионен анализ;

5) анализ на дисперсията.

Математическата статистика се основава на редица основни понятия, без които е невъзможно да се изучат съвременните методи за обработка на експериментални данни. Сред първите от тях е концепцията за генералната съвкупност и извадката.

При масовото промишлено производство често е необходимо, без да се проверява всеки произведен продукт, да се установи дали качеството на продукта отговаря на стандартите. Тъй като броят на произведените продукти е много голям или проверката на продуктите е свързана с неговото неизползване, се проверява малък брой продукти. Въз основа на тази проверка трябва да се направи заключение за цялата продуктова серия. Разбира се, не може да се каже, че всички транзистори от партида от 1 милион парчета са добри или лоши, като се провери един от тях. От друга страна, тъй като процесът на вземане на проби за тестване и самото тестване може да отнеме много време и да струва скъпо, обхватът на проверката на продукта трябва да бъде такъв, че да може да осигури надеждно представяне на цялата партида продукти, като същевременно е минималният размер. За тази цел ще въведем редица понятия.

Цялата съвкупност от изследвани обекти или експериментални данни се нарича генерална съвкупност. Ще обозначим с N броя на обектите или количеството данни, които съставляват генералната съвкупност. Стойността N се нарича обем на генералната съвкупност. Ако N \u003e\u003e 1, т.е. N е много голям, тогава обикновено се разглежда N \u003d ¥.

Случайна извадка или просто извадка се нарича част от общата популация, произволно избрана от нея. Думата "на случаен принцип" означава, че вероятностите за избор на обект от общата съвкупност са еднакви. Това е важно предположение, но често е трудно да се тества на практика.

Размерът на извадката е броят на обектите или количеството данни, които съставляват извадката, и е н ... По-нататък ще приемем, че на елементите на извадката могат да се присвоят съответно числови стойности x 1, x 2, ... x n. Например, в процеса на контрол на качеството на произведените биполярни транзистори, това може да бъде измерване на тяхното DC усилване.

2. Числени характеристики на пробата

2.1 Примерна средна стойност

За конкретна проба с размер n, нейната извадка е средна

се определя от съотношението

където x i е стойността на примерните елементи. Обикновено искате да опишете статистическите свойства на случайни извадки, а не на едно от тях. Това означава, че обмисляме математически модел, който приема достатъчно голям брой проби с размер n. В този случай елементите на извадката се разглеждат като случайни променливи X i, като приемат стойности x i с плътност на вероятността f (x), която е плътността на вероятността за общата популация. Тогава средната стойност на пробата също е случайна променлива

равен

Както и преди, ще обозначаваме случайни променливи с главни букви, а стойностите на случайни променливи - с малки букви.

Средната стойност на генералната съвкупност, от която е направена извадката, ще се нарича обща средна стойност и се обозначава с m x. Може да се очаква, че ако размерът на извадката е значителен, тогава средната стойност на извадката няма да се различава значително от общата средна стойност. Тъй като средната стойност на извадката е случайна променлива, математическото очакване може да бъде намерено за нея:

По този начин математическото очакване на средната стойност на пробата е равно на общата средна стойност. В този случай се смята, че примерната средна стойност е обективната оценка на общата средна стойност. По-късно ще се върнем към този термин. Тъй като средната стойност на извадката е случайна променлива, която се колебае около общата средна стойност, желателно е да се оцени тази колебание, като се използва вариацията на средната стойност на пробата. Помислете за извадка, чийто размер n е значително по-малък от размера на общата популация N (n<< N). Предположим, что при формировании выборки характеристики генеральной совокупности не меняются, что эквивалентно предположению N = ¥. Тогда

Случайните променливи X i и X j (i¹j) могат да се считат за независими, следователно,

Заместете този резултат във формулата на дисперсията:

където s 2 е дисперсията на генералната съвкупност.

От тази формула следва, че с увеличаване на размера на извадката, колебанията на пробата означават около общото средно намаление като s 2 / n. Нека илюстрираме това с пример. Нека има случаен сигнал със съответно математическо очакване и дисперсия, равна на m x \u003d 10, s 2 \u003d 9.

Пробите на сигнала се вземат при равно разстояние от времена t 1, t 2, ...,

X (t)
X 1

t 1 t 2. ... ... т н т

Тъй като извадките са случайни променливи, ще ги обозначим с X (t 1), X (t 2) ,. ... ... , X (t n).

Нека определим броя на броя, така че стандартното отклонение на оценката на математическото очакване на сигнала да не надвишава 1% от неговото математическо очакване. Тъй като m x \u003d 10, е необходимо това

От друга страна, следователно, или От това получаваме, че n ³ 900 проби.

2.2 Дисперсия на пробата

За данните от пробата е важно да се знае не само средната стойност на пробата, но и разпространението на стойностите на пробата около средната стойност на пробата. Ако средната стойност на извадката е оценка на общата средна стойност, тогава дисперсията на пробата трябва да бъде оценка на общата дисперсия. Дисперсия на пробата

за извадка, състояща се от случайни променливи, се определя, както следва

Използвайки това представяне на дисперсията на извадката, намираме нейното математическо очакване

(Е. П. Врублевски, О. Е. Лихачов, Л. Г. Врублевская)

Прилагайки определени методи в изследването, в крайна сметка експериментаторът получава по-голям или по-малък набор от различни числени показатели, предназначени да характеризират изследваното явление. Но без систематизиране и правилна обработка на получените резултати, без задълбочен и изчерпателен анализ на фактите, не е възможно да се извлече съдържащата се в тях информация, да се открият закономерности и да се направят обосновани заключения. Методите за математическа обработка на резултатите, представени в текста, са най-елементарните и доста достъпни за всеки ученик, имат демонстрационен характер. Това означава, че примерите илюстрират прилагането на един или друг математически и статистически метод и не дават неговата подробна интерпретация.

Средни стойности и показатели на вариацияПреди да се говори за по-значими неща, е необходимо да се разберат такива статистически понятия като общата и извадката популация. Група от числа, обединени от всеки знак, се нарича колекция . Наблюденията, извършвани върху някои обекти, могат да обхванат всички членове на изследваната популация, без изключение, или да бъдат ограничени до изследване само на определена част от нея. В първия случай наблюдението ще се нарича непрекъснато или пълно, във втория - частично или селективно. Пълно проучване се провежда много рядко, тъй като по редица причини то е практически или невъзможно или непрактично. Така че е невъзможно, например, да се изследват всички майстори на спорта по лека атлетика. Следователно, в преобладаващото мнозинство от случаите, вместо непрекъснато наблюдение, част от изследваното население се подлага на проучване, според което се оценява състоянието му като цяло.

Популацията, от която част от нейните членове е избрана за съвместно изследване, се нарича генерална съвкупност, а частта от тази популация, избрана по един или друг начин, се нарича извадкова популация или просто извадка. Трябва да се изясни, че понятието за общото население е относително. В единия случай това са всички спортисти, а в другия - градове, университети. Така например, общата популация може да бъде всички студенти от университета, а извадката могат да бъдат студенти от футболната специализация. Броят на обектите във всяка популация се нарича обем (размерът на общата популация се обозначава с N, а размерът на извадката е n).

Предполага се, че извадката с дължимата надеждност представлява генералната съвкупност, само ако нейните елементи са избрани от генералната съвкупност по нетенденциозен начин. Има няколко начина да направите това: избор на извадка в съответствие с таблица на случайни числа, разделяне на общата съвкупност на множество групи, които не се припокриват, когато от всяка група обекти се избере определен брой и т.н.

Що се отнася до размера на извадката, в съответствие с основните разпоредби на математическата статистика, извадката е колкото по-представителна (по-представителна), толкова по-пълна е. Изследователят, който се стреми към рентабилността на работата си, се интересува от минималния размер на извадката и в такава ситуация броят на обектите, избрани в извадката, е резултат от компромисно решение. За да се знае до каква степен извадката е достатъчно надеждна, за да представи генералната съвкупност, е необходимо да се определят редица показатели (параметри).

Изчисляване на средната аритметична стойностСредната аритметична стойност на извадката характеризира средното ниво на стойностите на изследваната случайна променлива в наблюдаваните случаи и се изчислява чрез разделяне на сумата от отделните стойности на изследвания атрибут на общия брой наблюдения:

, (1)

където x i - вариант на реда;

n е обемът на населението.

Сумата Σ се използва за обозначаване на сумирането на тези данни, които са вдясно от нея. Долният и горният индекс Σ посочват с какъв номер трябва да започне добавянето и с какви индекси да го завърши. Така че, означава, че е необходимо да се добавят всички х с редови номера от 1 до p... Знакът показва сумирането на всички х от първия до последния индикатор.

По този начин изчисленията с помощта на формула (1) предполагат следната процедура:

1. Сумирайте всички получени x i, т.е.

2. Намерено количество - разделено на числеността на популацията п.

За удобство и яснота при работа с индикатори е необходимо да се изготви таблица, тъй като те подлежат на добавяне x i повторено от първото до последното число.

Например средната аритметична стойност се определя по формулата:

Резултатите от измерванията са показани в таблица 1.

маса 1

Резултати от тестване на спортисти

Данните, получени в резултат на експеримента, се характеризират с изменчивост, която може да бъде причинена от случайна грешка: грешка на измервателното устройство, хетерогенност на пробите и т.н. След извършване на голямо количество еднородни данни, експериментаторът трябва да ги обработи, за да извлече най-точната информация за разглежданата стойност. За обработка на големи масиви от измервателни данни, наблюдения и др., Които могат да бъдат получени по време на експеримент, е удобно да се използва методи на математическата статистика.

Математическата статистика е неразривно свързана с теорията на вероятността, но има значителна разлика между тези науки. Теорията на вероятностите използва вече известните разпределения на случайни променливи, въз основа на които се изчисляват вероятностите за събития, математическото очакване и т.н. Проблемът за математическата статистика - да се получи най-надеждната информация за разпределението на случайна променлива въз основа на експериментални данни.

Типично указания математическа статистика:

• теория за вземане на проби;
• теория на оценките;
• тестване на статистически хипотези;
• регресионен анализ;
• анализ на дисперсията.

Методи на математическата статистика

Методите за оценка и тестване на хипотези се основават на вероятностни и хиперслучайни модели на произхода на данните.

Математическата статистика оценява параметрите и функциите от тях, които представляват важни характеристики на разпределенията (медиана, математическо очакване, стандартно отклонение, квантили и др.), Функции на плътността и разпределението и др. Използват се точки и интервални оценки.

Съвременната математическа статистика съдържа голям раздел - статистически последователен анализ, в който е позволено да се формира масив от наблюдения от един масив.

Математическата статистика също съдържа общо теория за тестване на хипотези и голям брой методи за тестване на специфични хипотези (например за симетрията на разпределението, за стойностите на параметрите и характеристиките, за съгласието на емпиричната функция на разпределение с дадена функция на разпределение, хипотезата за тестване на хомогенност (съвпадение на характеристики или функции на разпределение в две проби) и др.).

Чрез дирижиране примерни проучваниясвързан с изграждането на адекватни методи за оценка и тестване на хипотези, със свойствата на различни схеми за вземане на проби, раздела на математическата статистика е от голямо значение. Методите на математическата статистика директно използват следните основни понятия.

Проба

Определение 1

Вземане на проби извикват се данните, получени по време на експеримента.

Например резултатите от обсега на куршум при стрелба със същото или група от същия тип оръжия.

Емпирична функция на разпределение

Забележка 1

Функция на разпределение дава възможност да се изразят всички най-важни характеристики на случайна променлива.

В математическата статистика има понятие теоретична (неизвестно предварително) и емпиричен функции на разпределение.

Емпиричната функция се определя от опитните данни (емпирични данни), т.е. по проба.

стълбовидна диаграма

Хистограмите се използват за визуално, но по-скоро приблизително представяне на неизвестно разпределение.

стълбовидна диаграма е графично представяне на разпределението на данните.

За да получите висококачествена хистограма, спазвайте следното правила:

• Броят на елементите в извадката трябва да бъде значително по-малък от размера на извадката.
• Интервалите за разделяне трябва да съдържат достатъчен брой образци.

Ако извадката е много голяма, интервалът от пробните елементи често се разделя на равни части.

Средна стойност на пробата и дисперсия на пробата

С помощта на тези концепции е възможно да се получи оценка на необходимите числени характеристики на неизвестно разпределение, без да се прибягва до конструиране на функция на разпределение, хистограма и т.н.

СЛУЧАЙНИ ЦЕННОСТИ И ЗАКОНИ НА ТЯХНОТО РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ.

Случайни се нарича стойност, която приема стойности в зависимост от съвпадението на случайни обстоятелства. Разграничете отделен и произволни непрекъснато величини.

Отделенизвиква се количество, ако вземе преброим набор от стойности. ( Пример:броят на пациентите при назначение на лекар, броят на буквите на страницата, броят на молекулите в даден обем).

Непрекъснатое величина, която може да приеме стойности в рамките на определен интервал. ( Пример: температура на въздуха, телесно тегло, човешки ръст и др.)

Закон за разпределението Случайна променлива е набор от възможни стойности на това количество и, съответстващи на тези стойности, вероятности (или честоти на поява).

PRI me R:

х	x 1	x 2	x 3	x 4	...	x n
стр	стр. 1	стр. 2	стр. 3	стр. 4	...	п н

х	x 1	x 2	x 3	x 4	...	x n
м	m 1	m 2	m 3	m 4	...	м н

ЧИСЕЛНИ ХАРАКТЕРИСТИКИ НА СЛУЧАЙНИТЕ СТОЙНОСТИ.

В много случаи, заедно с разпределението на случайна променлива или вместо нея, информацията за тези величини може да бъде предоставена от числови параметри, наречени числови характеристики на случайна променлива ... Най-често срещаните:

1 .Очаквана стойност - (средна стойност) на случайна променлива е сумата от произведенията на всичките й възможни стойности на вероятностите за тези стойности:

2 .Дисперсия случайна величина:

3 .Средно квадратно отклонение :

Правило "ТРИ СИГМА" - ако случайна променлива се разпредели съгласно нормалния закон, тогава отклонението на тази стойност от средната стойност в абсолютна стойност не надвишава три пъти стандартното отклонение

ЗАКОН ЗА ГАУС - НОРМАЛНО ЗАКОН ЗА РАЗПРЕДЕЛЕНИЕТО

Често има разпределени количества нормален закон (Закон на Гаус). основна характеристика : това е ограничаващ закон, към който се приближават други закони за разпределение.

Случайна променлива се разпределя според нормалния закон, ако е вероятностна плътност изглежда като:

M (X)- математическо очакване на случайна величина;

се стандартното отклонение.

Вероятностна плътност (функция за разпределение) показва как вероятността се променя спрямо интервала dx случайна променлива, в зависимост от стойността на самото количество:

ОСНОВНИ КОНЦЕПЦИИ НА МАТЕМАТИЧНАТА СТАТИСТИКА

Статистика по математика - раздел от приложна математика, пряко свързан с теорията на вероятностите. Основната разлика между математическата статистика и теорията на вероятностите е, че в математическата статистика се разглеждат не действия върху законите на разпределение и числени характеристики на случайни величини, а приблизителни методи за намиране на тези закони и числени характеристики въз основа на резултатите от експериментите.

Основни понятия математическата статистика е:

1. Общо население;

2. проба;

3. диапазон на вариация;

4. мода;

5. медиана;

6. процентил,

7. честотен полигон,

8. стълбовидна диаграма.

Общо население- голяма статистическа популация, от която някои от обектите са избрани за изследване

(Пример: цялото население на региона, студенти от университети на даден град и т.н.)

Извадка (извадка популация) - набор от обекти, избрани от общото население.

Вариационни серии- статистическо разпределение, състоящо се от вариант (стойности на случайна променлива) и съответните честоти.

Пример:

X, кг

м

х - стойност на случайна променлива (маса на момичета на възраст 10 години);

м- честота на поява.

Мода - стойността на случайна променлива, която съответства на най-високата честота на възникване. (В горния пример модът съответства на стойността от 24 кг, той е по-често срещан от другите: m \u003d 20).

Медиана - стойността на случайна променлива, която разделя разпределението наполовина: половината от стойностите са разположени вдясно от медианата, половината (не повече) - вляво.

Пример:

1, 1, 1, 1, 1. 1, 2, 2, 2, 3 , 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 , 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8 , 8, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10

В примера наблюдаваме 40 стойности на случайна променлива. Всички стойности са изброени във възходящ ред въз основа на честотата им на появяване. Можете да видите, че 20 (половината) от 40 стойности са разположени вдясно от маркираната стойност 7. Следователно 7 е медианата.

За да характеризираме разсейването, намираме стойностите, които не надвишават 25 и 75% от резултатите от измерването. Тези стойности се наричат \u200b\u200b25-то и 75-мо процентили ... Ако медианата разпредели наполовина разпределението, тогава 25-ият и 75-ият процентил се отрязват с една четвърт. (Между другото, самата медиана може да се счита за 50-ия перцентил.) Както можете да видите от примера, 25-ият и 75-ият процентил са съответно 3 и 8.

Използвайте отделен (точка) статистическо разпределение и непрекъснато (интервал) статистическо разпределение.

За по-голяма яснота статистическите разпределения са изобразени графично като честотен полигон или - хистограми .

Честотен полигон- полилиния, чиито сегменти свързват точки с координати ( x 1, m 1), (x 2, m 2), ... или за многоъгълник на относителни честоти - с координати ( x 1, p * 1), (x 2, p * 2), ... (Фиг. 1).

m m i / n f (x)

Фиг. 1 Фиг. 2

Честотна хистограма- набор от съседни правоъгълници, изградени на една права линия (фиг. 2), основите на правоъгълниците са еднакви и равни dx , а височините са равни на съотношението на честотата към dx , или r * да се dx (вероятностна плътност).

Пример:

х, кг	2,7	2,8	2,9	3,0	3,1	3,2	3,3	3,4	3,5	3,6	3,7	3,8	3,9	4,0	4,1	4,2	4,3	4,4
м

Честотен полигон

Извиква се съотношението на относителната честота към ширината на интервала вероятностна плътност f (x) \u003d m i / n dx \u003d p * i / dx

Пример за изграждане на хистограма .

Нека използваме данните от предишния пример.

1. Изчисляване на броя на интервалите за клас

където н - броят на наблюденията. В нашия случай н = 100 ... Следователно:

2. Изчисляване на ширината на интервала dx :

,

3. Изготвяне на интервална серия:

dx	2.7-2.9	2.9-3.1	3.1-3.3	3.3-3.5	3.5-3.7	3.7-3.9	3.9-4.1	4.1-4.3	4.3-4.5
м
f (x)	0.3	0.75	1.25	0.85	0.55	0.6	0.4	0.25	0.05

стълбовидна диаграма

Методите на математическата статистика се използват, като правило, на всички етапи от анализа на изследователските материали за избор на стратегия за решаване на проблеми въз основа на конкретни примерни данни, оценяващи получените резултати. За обработка на материала са използвани методи на математическа статистика. Математическата обработка на материали ви позволява ясно да идентифицирате и оцените количествените параметри на обективната информация, да ги анализирате и представите в различни съотношения и зависимости. Те ви позволяват да определите мярката на вариация на стойностите в събраните материали, съдържащи количествена информация за определен набор от случаи, някои от които потвърждават предполагаемите връзки, а други не ги разкриват, изчисляват надеждността на количествените разлики между избраните групи дела и получават други математически характеристики, необходими за правилната интерпретация на фактите. ... Надеждността на разликите, получени по време на проучването, се определя от t-теста на Student.

Изчислени са следните стойности.

1. Средната аритметична стойност на пробата.

Характеризира средната стойност на разглежданата популация. Нека маркираме резултатите от измерванията. Тогава:

където Y е сумата от всички стойности, когато текущият индекс i се промени от 1 на n.

2. Стандартното отклонение (стандартно отклонение), характеризиращо дисперсията, дисперсията на разглежданата популация спрямо средната аритметична стойност.

\u003d (x max - x min) / k

където е стандартното отклонение

хmaх е максималната стойност на таблицата;

хmin е минималната стойност на таблицата;

k - коефициент

3. Стандартна грешка на средната аритметична стойност или грешка на представителността (m). Стандартната грешка на средната аритметична стойност характеризира степента на отклонение на средната аритметична извадка от средната аритметична обща съвкупност.

Стандартната грешка на средната аритметична стойност се изчислява по формулата:

където y е стандартното отклонение на резултатите от измерването,

n е размерът на извадката. Колкото по-малък е m, толкова по-висока е стабилността и стабилността на резултатите.

4. Критерий на ученика.

(числителят е разликата между средните стойности на двете групи, знаменателят е квадратният корен от сумата на квадратите на стандартните грешки на тези средства).

При обработката на резултатите от изследването е използвана компютърна програма с пакет Excel.

Организация на изследванията

Изследването е извършено от нас съгласно общоприетите правила и е извършено на 3 етапа.

На първия етап беше събран и анализиран полученият материал по разглеждания изследователски проблем. Формира се предметът на научните изследвания. Анализът на литературата на този етап даде възможност да се конкретизират целта и задачите на изследването. Проведено е първичното изпитване на техниката на бягане на 30 метра.<... class="gads_sm">

На третия етап беше систематизиран материалът, получен в резултат на научно изследване, беше обобщена цялата налична информация по изследователския проблем.

Експерименталното проучване е проведено на базата на Държавната образователна институция "Средно училище Ляховичи", като общата извадка се състои от 20 ученици в 6 клас (на 11-12 години).

Глава 3. Анализ на резултатите от изследванията

В резултат на педагогическия експеримент идентифицирахме първоначалното ниво на техниката бягане на 30 м сред учениците в контролната и експерименталната групи (Приложения 1-2). Статистическата обработка на получените резултати позволи да се получат следните данни (таблица 6).

Таблица 6. Първоначално ниво на качество на работа

Както се вижда от Таблица 6, средният брой точки сред спортистите в контролната и експерименталната група не се различава статистически, в експерименталната група средният резултат е бил 3,6 точки, а в контролната група е бил 3,7 точки. T-тест и в двете групи temp \u003d 0,3; Р? 0,05, при tcrit \u003d 2,1; Резултатите от първоначалното тестване показаха, че показателите са независими от обучението и са случайни по своя характер. Според първоначалното тестване показателите за качество на бягане в контролната група са малко по-високи от тези в експерименталната група. Но нямаше статистически значими разлики в групите, което е доказателство за идентичността на учениците в контролната и експерименталната групи в техниката на бягане на 30 метра.

По време на експеримента и в двете групи показателите, които характеризират ефективността на техниката на бягане, се подобриха. Това подобрение обаче е различно при различните групи участници в експеримента. В резултат на обучението беше разкрит естествен малък прираст на показателите в контролната група (3.8 точки). Както се вижда от Приложение 2, в експерименталната група е установено голямо увеличение на показателите. Студентите се обучаваха по предложената от нас програма, което значително подобри показателите.

Таблица 7. Промени в качеството на бягане сред субектите от експерименталната група

По време на експеримента установихме, че увеличените натоварвания в експерименталната група дават значителни подобрения в развитието на бързината, отколкото в контролната група.

В юношеството е препоръчително да се развива скоростта чрез преобладаващото използване на инструменти за физическо възпитание, насочени към увеличаване на честотата на движенията. На 12-15-годишна възраст скоростните способности се увеличават, в резултат на използването на предимно скоростно-силови и силови упражнения, които използвахме в процеса на провеждане на уроци по физическа култура и извънкласни дейности в спортната секция по баскетбол и лека атлетика.

По време на уроците в експерименталната група се спазваха строги етапи на усложнение и двигателен опит. Грешките бяха коригирани своевременно. Както показа анализът на реалните данни, експерименталният метод на преподаване имаше значителна промяна в качеството на техниката на бягане (temp \u003d 2.4). Анализът на резултатите, получени в експерименталната група, и сравнението им с данните, получени в контролната група, използвайки общоприетата методика на преподаване, дават основание да се твърди, че предложената от нас методика ще повиши ефективността на обучението.

По този начин, на етапа на усъвършенстване на методологията за бягане на 30 м в училище, разкрихме динамиката на промените в показателите за тестване в експерименталните и контролните групи. След експеримента качеството на техниката се повишава в експерименталната група до 4,9 точки (t \u003d 3,3; P? 0,05). До края на експеримента качеството на техниката на бягане в експерименталната група беше по-високо, отколкото в контролната група.