Уравнение на права линия през 2 точки на равнината. Уравнение на права линия, която минава през две дадени точки: примери, решения. Нормално уравнение на права

Свойства на права линия в евклидовата геометрия.

Можете да нарисувате безкрайно много прави линии през всяка точка.

Една права линия може да бъде изтеглена през всякакви две несъвпадащи точки.

Две несъответстващи прави линии на равнината или се пресичат в една точка, или са

успореден (следва от предишния).

В 3D пространството има три опции взаимно договаряне две прави линии:

• прави линии се пресичат;

• прави линии са успоредни;

• прави линии се пресичат.

Направо линия - алгебрична крива от първи ред: в декартова координатна система, права линия

се дава на равнината чрез уравнение от първа степен (линейно уравнение).

Общо уравнение на линията.

Определение... Всяка права линия на равнина може да бъде дадена от уравнение от първи ред

Ax + Wu + C \u003d 0,

с постоянна А, Б не е равно на нула едновременно. Това уравнение от първи ред се нарича често срещани

уравнение на права линия. В зависимост от стойностите на константите А, Б и ОТ възможни са следните специални случаи:

. C \u003d 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - правата линия преминава през началото

. A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (чрез + C \u003d 0)- права линия, успоредна на оста О

. B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C \u003d 0) - права линия, успоредна на оста OU

. B \u003d C \u003d 0, A ≠ 0 - правата линия съвпада с оста OU

. A \u003d C \u003d 0, B ≠ 0 - правата линия съвпада с оста О

Уравнението на права линия може да бъде представено в различни форми, в зависимост от даденото

начални условия.

Уравнение на права линия по точка и нормален вектор.

Определение... В декартова правоъгълна координатна система, вектор с компоненти (A, B)

перпендикулярна на права линия, дадена от уравнението

Ax + Wu + C \u003d 0.

Пример... Намерете уравнението на права линия, минаваща през точка A (1, 2) перпендикулярна на вектора (3, -1).

Решение... При A \u003d 3 и B \u003d -1 съставяме уравнението на правата линия: 3x - y + C \u003d 0. За да намерим коефициента C

заместваме в получения израз координатите на дадената точка А. Получаваме: 3 - 2 + C \u003d 0, следователно

С \u003d -1. Общо: необходимото уравнение: 3x - y - 1 \u003d 0.

Уравнение на права линия, минаваща през две точки.

Нека две точки са дадени в пространството M 1 (x 1, y 1, z 1)и M2 (x 2, y 2, z 2), тогава уравнение с права линия,

преминавайки през тези точки:

Ако някой от знаменателите е нула, съответният числител трябва да бъде приравнен на нула. На

равнина, уравнението на правата линия, написано по-горе, е опростено:

ако x 1 ≠ x 2 и x \u003d x 1 , ако x 1 \u003d x 2 .

Фракция \u003d k Наречен наклон прав.

Пример... Намерете уравнението на правата линия, преминаваща през точките A (1, 2) и B (3, 4).

Решение... Прилагайки горната формула, получаваме:

Уравнение на права линия по точка и наклон.

Ако общото уравнение на правата линия Ax + Wu + C \u003d 0 доведе до формата:

и посочете , тогава полученото уравнение се извиква

уравнение на права линия с наклон k.

Уравнение на права линия по точка и вектор на посока.

По аналогия с параграфа, разглеждащ уравнението на права линия през нормалния вектор, можете да въведете задачата

права линия през точка и вектор на посока на права линия.

Определение... Всеки ненулев вектор (α 1, α 2)чиито компоненти отговарят на условието

Аα 1 + Вα 2 \u003d 0 Наречен насочващ вектор на права линия.

Ax + Wu + C \u003d 0.

Пример... Намерете уравнението на права линия с вектор на посоката (1, -1) и преминаваща през точка А (1, 2).

Решение... Уравнението на желаната права линия ще се търси във формата: Ax + By + C \u003d 0. Според определението,

коефициентите трябва да отговарят на условията:

1 * A + (-1) * B \u003d 0, т.е. A \u003d B.

Тогава уравнението на правата линия има вида: Ax + Ay + C \u003d 0, или x + y + C / A \u003d 0.

в x \u003d 1, y \u003d 2получаваме C / A \u003d -3, т.е. необходимо уравнение:

x + y - 3 \u003d 0

Уравнение на права линия в сегменти.

Ако в общото уравнение на права линия Ax + Vy + C \u003d 0 C ≠ 0, тогава, разделяйки на -C, получаваме:

или къде

Геометричното значение на коефициентите е, че коефициентът a е координатата на пресечната точка

направо с ос О, и б - координатата на точката на пресичане на правата линия с оста OU.

Пример... Дадено е общото уравнение на правата линия x - y + 1 \u003d 0.Намерете уравнението на тази права линия в сегменти.

C \u003d 1 ,, a \u003d -1, b \u003d 1.

Нормално уравнение на права линия.

Ако и двете страни на уравнението Ax + Wu + C \u003d 0 разделяне на число което се нарича

нормализиращ фактор, тогава получаваме

xcosφ + ysinφ - p \u003d 0 -нормално уравнение.

Знакът ± на нормализиращия фактор трябва да бъде избран така, че μ * C< 0.

r - дължината на перпендикуляра, отпуснат от началото до права линия,

и φ - ъгълът, образуван от този перпендикуляр с положителната посока на оста О

Пример... Дадено е общото уравнение на линията 12x - 5y - 65 \u003d 0... Изисква се за писане на различни видове уравнения

тази права линия.

Уравнението на тази линия в сегменти:

Уравнение на тази линия с наклон: (разделяне на 5)

Уравнение с права линия:

cos φ \u003d 12/13; грях φ \u003d -5/13; р \u003d 5.

Трябва да се отбележи, че не всяка права линия може да бъде представена чрез уравнение в сегменти, например прави линии,

успоредно на осите или преминаващо през началото.

Ъгълът между правите линии в равнината.

Определение... Ако са дадени два реда y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2 , след това остър ъгъл между тези линии

ще се дефинира като

Две прави линии са успоредни, ако k 1 \u003d k 2... Две прав перпендикуляр,

ако k 1 \u003d -1 / k 2 .

Теорема.

Директен Ax + Wu + C \u003d 0и A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 са успоредни, когато коефициентите са пропорционални

А 1 \u003d λА, В 1 \u003d λВ... Ако също С 1 \u003d λС, тогава правите линии съвпадат. Координати на пресечната точка на две линии

се намират като решение на системата от уравнения на тези прави линии.

Уравнение на права линия, минаваща през дадена точка, перпендикулярна на дадена права линия.

Определение... Линия през точка M 1 (x 1, y 1) и перпендикулярна на линията y \u003d kx + b

представено от уравнението:

Разстояние от точка до права.

Теорема... Ако е дадена точка M (x 0, y 0), разстоянието до права линия Ax + Wu + C \u003d 0определено като:

Доказателства... Оставете точката M 1 (x 1, y 1) - основата на перпендикуляра, изпуснат от точката Мза даденост

права. След това разстоянието между точките Ми М 1:

(1)

Координати x 1 и в 1 може да се намери като решение на системата от уравнения:

Второто уравнение на системата е уравнението на права линия, преминаваща през дадена точка M 0, перпендикулярна на

дадена права линия. Ако трансформираме първото уравнение на системата във формата:

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + С 0 + C \u003d 0,

след това, решавайки, получаваме:

Замествайки тези изрази в уравнение (1), намираме:

Теоремата е доказана.

Нека линията преминава през точките M 1 (x 1; y 1) и M 2 (x 2; y 2). Уравнението на правата линия, преминаваща през точката M 1, има вид y-y 1 \u003d к (x - x 1), (10.6)

където к - все още неизвестен коефициент.

Тъй като правата линия минава през точката M 2 (x 2 y 2), координатите на тази точка трябва да отговарят на уравнението (10.6): y 2 -y 1 \u003d к (x 2 -x 1).

Оттук намираме Заместване на намерената стойност к в уравнение (10.6), получаваме уравнението на права линия, преминаваща през точки M 1 и M 2:

Предполага се, че в това уравнение x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Ако x 1 \u003d x 2, тогава правата линия, преминаваща през точките M 1 (x 1, y I) и M 2 (x 2, y 2), е успоредна на оста на ординатите. Уравнението му има формата x \u003d x 1 .

Ако y 2 \u003d y I, тогава уравнението на правата линия може да бъде записано като y \u003d y 1, правата линия M 1 M 2 е успоредна на оста на абсцисата.

Уравнение на права линия в сегменти

Нека правата линия пресича оста Ox в точката M 1 (a; 0), а оста Oy - в точката M 2 (0; b). Уравнението ще има формата:
тези.
... Това уравнение се нарича уравнението на права линия в сегменти, тъй като числата a и b показват кои отсечки са отрязани с права линия по координатните оси.

Уравнение на права линия, минаваща през дадена точка, перпендикулярна на даден вектор

Нека намерим уравнението на права линия, преминаваща през дадена точка Mo (x O; y o), перпендикулярна на даден ненулев вектор n \u003d (A; B).

Вземете произволна точка M (x; y) на права линия и разгледайте вектора M 0 M (x - x 0; y - y o) (вж. Фиг. 1). Тъй като векторите n и M o M са перпендикулярни, скаларното им произведение е нула: т.е.

A (x - xo) + B (y - yo) \u003d 0. (10.8)

Извиква се уравнение (10.8) уравнението на права линия, минаваща през дадена точка, перпендикулярна на даден вектор .

Векторът n \u003d (A; B), перпендикулярен на права линия, се нарича нормален нормалният вектор на тази линия .

Уравнение (10.8) може да бъде пренаписано като Ax + Wu + C \u003d 0 , (10.9)

където A и B са координатите на нормалния вектор, C \u003d -Aх о - Ву о - свободен член. Уравнение (10.9) е общото уравнение на правата линия (виж фиг. 2).

Фиг. 1 Фиг. 2

Канонични уравнения на линията

,

Където
- координати на точката, през която минава правата линия, и
- вектор на посоката.

Кръг от криви от втори ред

Кръг е съвкупността от всички точки на равнината, на еднакво разстояние от дадена точка, която се нарича център.

Каноничното уравнение на кръг с радиус R центрирано в точка
:

По-специално, ако центърът на залога съвпада с началото, тогава уравнението ще изглежда така:

Елипса

Елипсата е набор от точки на равнина, сумата от разстоянията от всяка от които до две дадени точки и , които се наричат \u200b\u200bфокуси, са постоянни
по-голямо от разстоянието между огнищата
.

Каноничното уравнение на елипса, фокусите на която лежат на оста Ox, а началото на координатите в средата между фокусите има формата
r деа дължината на полу-голямата ос;б - дължината на полу-малката ос (фиг. 2).

Връзка между параметрите на елипсата
и изразено със съотношението:

(4)

Ексцентричност елипсанаречено съотношение на междуфокалното разстояние2в към главната ос2а:

Директори елипси се наричат \u200b\u200bправи линии, успоредни на оста Oy, които са на разстояние от тази ос. Уравнения на Directrix:
.

Ако в уравнението на елипсата
, тогава фокусите на елипсата са по оста Oy.

Така,

Нека бъдат дадени две точки M 1 (x 1, y 1) и M 2 (x 2, y 2)... Записваме уравнението на права линия във формата (5), където к все още неизвестен коефициент:

Тъй като точката М 2принадлежи на дадена права линия, тогава нейните координати удовлетворяват уравнение (5) :. Изразявайки от това и го замествайки в уравнение (5), получаваме желаното уравнение:

Ако това уравнение може да бъде пренаписано във форма, по-удобна за запаметяване:

(6)

Пример.Запишете уравнението на правата линия, преминаваща през точките M 1 (1.2) и M 2 (-2.3)

Решение. ... Използвайки свойството пропорция и изпълнявайки необходимите преобразувания, получаваме общото уравнение на правата линия:

Ъгъл между две прави линии

Помислете за два реда l 1 и l 2:

l 1:,, и

l 2: , ,

φ е ъгълът между тях (). Фигура 4 показва:

Оттук , или

Използвайки формула (7), може да се определи един от ъглите между правите линии. Вторият ъгъл е.

Пример... Две прави линии са дадени от уравненията y \u003d 2x + 3 и y \u003d -3x + 2. намерете ъгъла между тези линии.

Решение... От уравненията може да се види, че k 1 \u003d 2 и k 2 \u003d -3. замествайки тези стойности във формула (7), намираме

... По този начин ъгълът между тези линии е равен.

Условия за успоредност и перпендикулярност на две прави

Ако направо l 1 и l 2 са успоредни, тогава φ=0 и tgφ \u003d 0... от формула (7) следва, че откъде k 2 \u003d k 1... По този начин условието за паралелизъм на две прави линии е равенството на техните наклони.

Ако направо l 1 и l 2 са перпендикулярни, тогава φ \u003d π / 2, α 2 \u003d π / 2 + α 1. ... По този начин условието за перпендикулярност на две прави линии е, че наклоните им са взаимни по големина и противоположни по знак.

Разстояние от точка до права

Теорема. Ако е дадена точка M (x 0, y 0), тогава разстоянието до правата Ax + Vy + C \u003d 0 се определя като

Доказателства. Нека точка M 1 (x 1, y 1) е основата на перпендикуляра, изпуснат от точка M върху дадена права линия. Тогава разстоянието между точките M и M 1:

Координатите x 1 и y 1 могат да бъдат намерени като решение на системата от уравнения:

Второто уравнение на системата е уравнението на права линия, минаваща през дадена точка M 0, перпендикулярна на дадена права линия.

Ако преобразуваме първото уравнение на системата във формата:

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C \u003d 0,

след това, решавайки, получаваме:

Замествайки тези изрази в уравнение (1), намираме:

Теоремата е доказана.

Пример. Определете ъгъла между правите линии: y \u003d -3x + 7; у \u003d 2х + 1.

k 1 \u003d -3; k 2 \u003d 2 tgj \u003d; j \u003d p / 4.

Пример. Покажете, че правите линии 3x - 5y + 7 \u003d 0 и 10x + 6y - 3 \u003d 0 са перпендикулярни.

Намираме: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1, следователно правите линии са перпендикулярни.

Пример. Дадени са върховете на триъгълника A (0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Намерете уравнението за височината, изтеглена от връх C.

Намираме уравнението на страната AB :; 4x \u003d 6y - 6;

2x - 3y + 3 \u003d 0;

Необходимото уравнение за височина е: Ax + By + C \u003d 0 или y \u003d kx + b.

k \u003d. Тогава y \u003d. Защото височина преминава през точка С, тогава нейните координати удовлетворяват даденото уравнение: откъдето b \u003d 17. Общо :.

Отговор: 3x + 2y - 34 \u003d 0.

Разстоянието от точка до права линия се определя от дължината на перпендикуляра, изпуснат от точка до права линия.

Ако линията е успоредна на проекционната равнина (h | | P 1), след това, за да се определи разстоянието от точката И към прав з необходимо е да се спусне перпендикуляра от точката И на хоризонтала з.

Нека разгледаме по-сложен пример, когато правата линия заема общо положение. Нека е необходимо да се определи разстоянието от точката М към прав и обща позиция.

Задачата за определяне разстояние между успоредни линии решен подобно на предишния. Точка се взема на една права линия и от нея се изпуска перпендикуляр на друга права линия. Дължината на перпендикуляра е равна на разстоянието между успоредните линии.

Крива от втори ред наречена линия, определена от уравнение от втора степен спрямо текущите декартови координати. Като цяло Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F \u003d 0,

където A, B, C, D, E, F са реални числа и поне едно от числата A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0.

Кръг

Кръг център Местоположението на точките в равнината е равноотдалечено от точката на равнината C (a, b).

Кръгът се дава от следното уравнение:

Където x, y са координатите на произволна точка на окръжността, R е радиусът на окръжността.

Уравнение на обиколката

1. Няма термин с x, y

2. Равни коефициенти при x 2 и y 2

Елипса

Елипса се нарича локус на точки в равнина, сумата от разстоянията на всяка от които от две дадени точки на тази равнина се нарича фокуси (постоянна стойност).

Уравнение на канонична елипса:

X и y принадлежат на елипса.

а - полу-голяма ос на елипсата

b - полумаловажна ос на елипсата

Елипсата има 2 оси на симетрия OX и OY. Оста на симетрия на елипсата са нейните оси, точката на тяхното пресичане е центърът на елипсата. Извиква се оста, на която са разположени фокусите фокусна ос... Точката на пресичане на елипсата с осите е върхът на елипсата.

Съотношение на компресия (разтягане): ε \u003d s / a - ексцентричност (характеризира формата на елипсата), колкото по-малка е тя, толкова по-малко елипсата е удължена по фокусната ос.

Ако центровете на елипсата не са в центъра C (α, β)

Хипербола

Хипербола се нарича местоположение на точки в равнината, абсолютна стойност разликата в разстоянието, всяка от които от две дадени точки на тази равнина, наречени фокуси, е постоянна стойност, различна от нула.

Канонично уравнение на хипербола

Хиперболата има 2 оси на симетрия:

a е реалната полуос на симетрията

b - полу-ос на въображаема симетрия

Асимптоти на хипербола:

Парабола

Парабола се нарича локус на точки в равнина, равноотдалечена от дадена точка F, наречена фокус и дадена права линия, наречена директриса.

Канонично уравнение на парабола:

Y 2 \u003d 2px, където p е разстоянието от фокуса до директрисата (параметър на парабола)

Ако върхът на параболата C (α, β), тогава уравнението на параболата (y-β) 2 \u003d 2p (x-α)

Ако фокусната ос се вземе като ординатна ос, тогава уравнението на параболата ще има формата: x 2 \u003d 2qу

Нека бъдат дадени две точки М(х1 ,Имайте1) и н(х2, у2). Нека намерим уравнението на правата линия, минаваща през тези точки.

Тъй като тази линия минава през точката М, тогава съгласно формула (1.13) неговото уравнение има формата

Имайте – Y.1 = К(X - x1),

Където К - неизвестен наклон.

Стойността на този коефициент се определя от условието, че търсената линия преминава през точката н, и следователно неговите координати отговарят на уравнението (1.13)

Y.2 – Y.1 = К(х2 – х1),

Оттук можете да намерите наклона на тази права линия:

,

Или след преобразуване

(1.14)

Формула (1.14) определя Уравнение на права линия, минаваща през две точки М(х1, Y.1) и н(х2, Y.2).

В специалния случай, когато точките М(A, 0), н(0, Б.), И ¹ 0, Б. ¹ 0, лежат на координатните оси, уравнението (1.14) приема по-проста форма

Уравнение (1.15) Наречен Уравнението на права линия в сегменти, тук И и Б. означават сегментите, отсечени с права линия по осите (Фигура 1.6).

Фигура 1.6

Пример 1.10. Приравнете права линия през точки М(1, 2) и Б.(3, –1).

. Според (1.14) уравнението на търсената линия има формата

2(Y. – 2) = -3(х – 1).

Прехвърляйки всички членове в лявата страна, накрая получаваме желаното уравнение

3х + 2Y. – 7 = 0.

Пример 1.11. Приравнете права линия през точка М(2, 1) и точката на пресичане на линиите х+ Y -1 = 0, X - y+ 2 = 0.

. Намираме координатите на пресечната точка на правите линии, като решаваме заедно дадените уравнения

Ако добавяме тези уравнения термин по член, получаваме 2 х + 1 \u003d 0, откъдето. Замествайки намерената стойност във всяко уравнение, намираме стойността на ординатата Имайте:

Сега пишем уравнението на правата линия, преминаваща през точките (2, 1) и:

или .

Следователно, или –5 ( Y. – 1) = х – 2.

Накрая получаваме уравнението на търсената линия във формата х + 5Y. – 7 = 0.

Пример 1.12. Намерете уравнението на правата линия, преминаваща през точките М(2,1) и н(2,3).

Използвайки формула (1.14), получаваме уравнението

Няма смисъл, тъй като вторият знаменател е нула. От постановката на проблема може да се види, че абсцисите на двете точки имат еднаква стойност. Следователно необходимата права линия е успоредна на оста ОЙ и уравнението му е: х = 2.

Коментирайте . Ако, когато пишете уравнението на права линия съгласно формула (1.14), един от знаменателите се окаже нула, тогава желаното уравнение може да бъде получено чрез приравняване на съответния числител на нула.

Помислете за други начини за дефиниране на права линия на равнина.

1. Нека ненулев вектор е перпендикулярен на дадената права Lи точка М0(х0, Y.0) лежи на тази права линия (Фигура 1.7).

Фигура 1.7

Ние обозначаваме М(х, Y.) произволна точка на линията L... Вектори и Ортогонални. Използвайки условията на ортогоналност за тези вектори, получаваме и двете И(х – х0) + Б.(Y. – Y.0) = 0.

Получихме уравнението на права линия, минаваща през точка М0 перпендикулярно на вектора. Този вектор се нарича Нормалният вектор към прав L... Полученото уравнение може да бъде пренаписано като

О + Ууу + ОТ \u003d 0, където ОТ = –(Их0 + От0), (1.16),

Където И и AT- координати на нормалния вектор.

Получаваме общото уравнение на правата линия в параметрична форма.

2. Права линия на равнина може да бъде определена, както следва: нека ненулев вектор е успореден на дадена права линия L и точка М0(х0, Y.0) лежи на тази права линия. Отново вземете произволна точка М(х, y) на права линия (Фигура 1.8).

Фигура 1.8

Вектори и колинеарна.

Записваме условието на колинеарност за тези вектори :, къде т - произволно число, наречено параметър. Нека запишем това равенство в координати:

Тези уравнения се наричат Параметрични уравнения Направо... Изключваме от тези уравнения параметъра т:

Тези уравнения иначе могат да бъдат написани във формата

. (1.18)

Полученото уравнение се нарича Каноничното уравнение на линията... Векторът се нарича Векторът на посоката на правата линия .

Коментирайте . Лесно е да се види, че ако е нормалният вектор към линията L, тогава неговият вектор на посока може да бъде вектор, тъй като, т.е.

Пример 1.13. Напишете уравнението на правата линия, минаваща през точката М0 (1, 1) успоредно на права линия 3 х + 2Имайте– 8 = 0.

Решение . Векторът е нормалният вектор към дадените и желаните прави линии. Ще използваме уравнението на правата линия, минаваща през точката М0 с даден нормален вектор 3 ( х –1) + 2(Имайте - 1) \u003d 0 или 3 х + 2г - 5 \u003d 0. Получи уравнението на желаната права линия.