Как стоят перпендикулярните линии. Перпендикулярност на линиите в пространството. Визуално ръководство (2020). Вижте какво са „перпендикулярни линии“ в други речници
Две прави линии се наричат \u200b\u200bперпендикулярни, ако се пресичат под прав ъгъл.
Правата а пресича права b под прав ъгъл в точка А. Можете да задържите курсора на мишката, като използвате иконата за перпендикулярност: a ⊥ b. То се чете по следния начин: права a е перпендикулярна на линия b.
Трябва да се отбележи, че съседният ъгъл и вертикалният ъгъл с прав ъгъл също са прави линии.
Чрез всяка точка на права линия можете да нарисувате права линия, перпендикулярна на нея, и само една.
Доказателства.
Нека b е дадена права, а точка A принадлежи на тази права. Вземете малко лъч b1 на линия b с начална точка в A. Нека оставим настрана от лъча b1 ъгълът (a1b1), равен на 90 °. По дефиниция правата линия, съдържаща лъча a1, ще бъде перпендикулярна на права линия b.
Да предположим, че има друга права линия, перпендикулярна на права линия b и преминаваща през точката А. Вземете по тази права лъча c1, излизащ от точката A и лежещ в същата полуплоскост като лъча a1. Тогава ∠ (a1b1) \u003d ∠ (c1b1) \u003d 90 градуса. Но според Аксиома 8 само един ъгъл, равен на 90 °, може да бъде поставен в тази полу-равнина. Следователно е невъзможно да се направи друга права линия, перпендикулярна на права линия b през точката А в дадената полу-равнина. Теоремата е доказана. 
Перпендикуляр на дадена права е отсечка от права, перпендикулярна на дадена, имаща един от краищата на пресечната им точка. Този край на линията се нарича основа на перпендикуляра. AB - перпендикулярна на права a. Точка А е основата на перпендикуляра.
Перпендикулярните прави линии образуват цял \u200b\u200bслой от фигури, конструкции и изчисления в геометрията. Без разбиране на перпендикулярни линии няма да е възможно да се решат такива фигури като правоъгълен триъгълник, правоъгълник, квадрат или правоъгълник трапец. Ето защо си струва да се обърне специално внимание на тези концепции.
Какво представляват перпендикулярните линии
Когато две прави линии се пресичат, се образуват 4 ъгъла. Определението за перпендикулярни прави линии звучи така: това са прави линии, ъгълът между които е 90 градуса. Има само 4 ъгъла, пълният ъгъл е 360 градуса. Ако един от ъглите е 90 градуса, тогава 3 други ще са по 90.
За да бъдат сегментите наречени перпендикулярни, трябва да бъдат изпълнени и две условия: сегментите трябва да се пресичат и ъгълът на пресичане между тях трябва да бъде 90 градуса.
Фигура: 1. Перпендикулярни линии.
Имоти
Перпендикулярните линии нямат много свойства. Всички те не изискват доказателства, тъй като изхождат от дефиницията за перпендикулярност.
- Ако всяка от двете линии е перпендикулярна на третата, тогава тези линии са успоредни. И те са успоредни поради факта, че получените едностранни ъгли ще добавят до 180 градуса. Това означава, че правите линии са успоредни според 3-те признака на паралелизъм. Това свойство може да бъде доказано по всеки от трите критерия за паралелизъм.
- Перпендикулярен отсечка на линия от точка до права или отсечка ще се нарича разстоянието от точка до права.
- Разстоянието от права линия до права линия също е перпендикуляр, отпуснат от която и да е точка на една права линия до друга права линия.
- Ако по цялата дължина на две прави линии разстоянието между тях не се промени, тогава правите линии ще бъдат успоредни.
Фигури с перпендикулярни линии
Една от първите фигури, които човек опознава, е квадрат и правоъгълник.
Правите ъгли са приятни за човешкото око, поради което много често квадрат или правоъгълник се използва като форма за плотове, столове, нощни шкафчета и други предмети. Целият свят около човека е изграден от успоредни и перпендикулярни линии.
Фигура: 2. Квадрат.
Правоъгълен триъгълник е известен още от древна Гърция. Формата на правоъгълен триъгълник е приета от различни инструменти за навигация, освен това Питагор отделя много време за изучаване на свойствата на правоъгълен триъгълник. Именно неговото авторство принадлежи на питагорейската теорема, която е много търсена при решаването на проблеми.
Има правоъгълен трапец, една от страните на който е правоъгълен с двете основи. А планометрията е пълна с перпендикуляри в пространството: правилна призма, правоъгълна пирамида и най-обикновения куб.
Освен това във всеки триъгълник можете да нарисувате височината, която е необходима за намиране на площта на фигурата. Перпендикулярът за намиране на площта е полезен и в паралелограма, а правоъгълният триъгълник и квадрат имат височина в състава на страните си, което улеснява намирането на площта на тези фигури.
Аназ. взаимно перпендикулярни, ако l е перпендикулярна на която и да е права, лежаща на a. За обобщение на понятието перпендикулярност вижте чл. Ортогоналност.
Енциклопедия по математика. - М.: Съветска енциклопедия... И. М. Виноградов. 1977-1985.
Вижте какво е „PERPENDICULAR LINE“ в други речници:
Двоична връзка между различни обекти (вектори, линии, подпространства и т.н.) в евклидово пространство. Частен случай на ортогоналност. Съдържание 1 На равнина 1.1 Перпендикулярно ... Уикипедия
Клон на математиката, занимаващ се с изучаването на свойствата на различни форми (точки, линии, ъгли, двуизмерни и триизмерни обекти), техния размер и относително положение. За удобство на преподаването геометрията се подразделя на планимиметрия и стереометрия. В… ... Енциклопедия на Колиер
ДЕКАРТОВА КООРДИНАТНА СИСТЕМА, праволинейна координатна система на равнина или в пространството (обикновено с взаимно перпендикулярни оси и еднакви скали по осите). Името на Р. Декарт (вж. Rene DECART). Декарт за първи път представи ... ... енциклопедичен речник
Секция от геометрия, която изследва най-простите геометрични обекти посредством елементарна алгебра, базирана на метода на координатите. Създаването на аналитична геометрия обикновено се приписва на Р. Декарт, който изложи основите й в последната глава на своя ... ... Енциклопедия на Колиер
Пространство, което има повече от три измерения (измерение). Реалното пространство е триизмерно. Три взаимно перпендикулярни линии могат да бъдат изтеглени през всяка от точките му, но четири вече не могат да бъдат изтеглени. Ако вземем тези три прави линии като оси ... ... енциклопедичен речник
Светът около нас е динамичен и разнообразен и не всеки обект може просто да бъде измерен с линийка. За този трансфер се използват специални техники, като триангулация. Необходимостта от сложни почиствания обикновено е ... ... Wikipedia
Геометрия, подобна на евклидовата геометрия, по това, че тя определя движението на фигурите, но се различава от евклидовата геометрия по това, че един от нейните пет постулата (втори или пети) е заменен от нейното отрицание. Отричане на един от евклидовите постулати ... ... Енциклопедия на Колиер
- (история) Първоначалната концепция за К. може да се намери дори сред диваци, особено тези, които живеят по бреговете и за вас и имат повече или по-малко ясна представа за местностите около тяхната територия. Пътуващите, които разпитваха ескимосите от Северна Америка и ... Енциклопедичен речник на Ф.А. Брокхаус и И.А. Ефрон
Раздел за геометрия. Основните понятия на А. г. са най-простите геометрични изображения (точки, линии, равнини, криви и повърхности от втори ред). Основните изследователски инструменти в А. г. са методът на координатите (виж по-долу) и методите ... ... Велика съветска енциклопедия
Раздел за геометрия. Основните понятия на алгебричната геометрия са най-простите геометрични. изображения (точки, линии, равнини, криви и повърхности от втори ред). Основните изследователски инструменти в археологията са методът на координатите и методите на елементарната алгебра ... ... ... Енциклопедия по математика
Книги
- Комплект маси. Геометрия. 7 клас. 14 таблици + методология ,. Масите са отпечатани върху дебел полиграфичен картон с размер 680 x 980 мм. Включва брошура с насоки за учителя. Образователен албум от 14 листа. Лъч и ъгъл ...
Предварителна информация за директно
Концепцията за права линия, както и концепцията за точка, е основната концепция за геометрията. Както знаете, основните понятия не са дефинирани. Това не прави изключение от концепцията за права линия. Следователно ще разгледаме същността на тази концепция чрез нейното изграждане.
Вземете линийка и, без да откъсвате молива, нарисувайте линия с произволна дължина. Ще наречем получената линия права линия. Тук обаче трябва да се отбележи, че това не е цялата права линия, а само част от нея. Самата права линия е безкрайна в двата края.
Правите линии ще бъдат обозначени с малка латинска буква или с две от нейните точки в скоби (фиг. 1).
Понятията за права и точка са свързани с три аксиоми на геометрията:
Аксиома 1: За всяка произволна права линия има поне две точки, които лежат върху нея.
Аксиома 2: Можете да намерите поне три точки, които няма да лежат на една права линия.
Аксиома 3: Правата линия винаги преминава през 2 произволни точки и тази права линия е уникална.
За две прави линии, техните взаимно договаряне... Възможни са три случая:
- Двете линии съвпадат. В този случай всяка точка от една ще бъде и точка от друга права линия.
- Две линии се пресичат. В този случай само една точка от една права линия също ще принадлежи на друга права линия.
- Две прави линии са успоредни. В този случай всеки от тези редове има свой собствен набор от точки, които се различават една от друга.
Перпендикулярност на линиите
Помислете за две произволни пресичащи се линии. Очевидно е, че в точката на пресичането им се образуват 4 ъгъла. Тогава
Определение 1
Пресичащите се прави линии ще се наричат \u200b\u200bперпендикулярни, ако поне един ъгъл, образуван от тяхното пресичане, е равен на $ 90 ^ 0 $ (фиг. 2).
Обозначение: $ a⊥b $.
Помислете за следния проблем:
Пример 1
Намерете ъгли 1, 2 и 3 от картинката по-долу
Следователно ъгъл 2 е вертикален за дадения ъгъл
Следователно ъгъл 1 е съседен на ъгъл 2
$∠1=180^0-∠2=180^0-90^0=90^0$
Следователно ъгъл 3 е вертикален спрямо ъгъл 1
$∠3=∠1=90^0$
От този проблем можем да направим следната забележка
Забележка 1
Всички ъгли между перпендикулярните линии са равни на $ 90 ^ 0 $.
Основната теорема за перпендикулярните линии
Нека въведем следната теорема:
Теорема 1
Две прави линии, които са перпендикулярни на третата, ще бъдат несвързани.
Доказателства.
Помислете за фигура 3 според изявлението за проблема.
Нека мислено разделим тази снимка на две части от правата линия $ (ZP) $. Ще насложим дясната част отляво. Тогава, тъй като правите линии $ (NM) $ и $ (XY) $ са перпендикулярни на правата линия $ (PZ) $ и следователно ъглите между тях са прави, лъчът $ NP $ се налага изцяло на лъча $ PM $, а лъчът $ XZ $ ще бъде наложен изцяло на лъч $ YZ $.
Сега, предположим обратното: нека тези линии се пресичат. Без загуба на общ характер, приемаме, че те се пресичат от лявата страна, т.е. нека лъч $ NP $ пресича лъч $ YZ $ в точка $ O $. След това, чрез описаната по-горе конструкция, ще получим, че лъчът $ PM $ също пресича лъча $ YZ $ в точката $ O "$. Но след това получаваме това през две точки $ O $ и $ O" $, две линии $ (NM) $ и $ (XY) $, което противоречи на аксиомата от 3 реда.
Следователно линиите $ (NM) $ и $ (XY) $ не се пресичат.
Теоремата е доказана.
Примерна задача
Пример 2
Дадени са ви две прави линии, които имат пресечна точка. Две прави линии са изчертани през точка, която не принадлежи на нито една от тях, едната от които е перпендикулярна на една от гореописаните прави линии, а другата е перпендикулярна на другата от тях. Докажете, че те не съвпадат.
Нека нарисуваме картина според състоянието на задачата (фиг. 4).
От условието на проблема ще имаме $ m⊥k, n⊥l $.
Да предположим обратното, нека редовете $ k $ и $ l $ съвпадат. Нека бъде права линия $ l $. След това, по хипотеза, $ m⊥l $ и $ n⊥l $. Следователно по теорема 1 линиите $ m $ и $ n $ не се пресичат. Получихме противоречие, което означава, че редовете $ k $ и $ l $ не съвпадат.
Правата линия (сегмент от права линия) се обозначава с две главни букви от латинската азбука или една малка буква. Точката е обозначена само с главна латинска буква.
Линиите не могат да се пресичат, пресичат или съвпадат. Пресичащите се прави линии имат само една обща точка, непресичащи се прави линии - няма обща точка, съвпадащите прави линии имат всички общи точки.
Определение. Две прави линии, пресичащи се под прав ъгъл, се наричат \u200b\u200bперпендикулярни. Перпендикулярността на правите линии (или техните отсечки) се обозначава със знака за перпендикулярност "⊥".
Например:
Вашият AB и CD (фиг. 1) се пресичат в точката ОТНОСНО и ∠ AOC = ∠VOS = ∠AOD = ∠BOD \u003d 90 °, тогава AB ⊥ CD.
Ако AB ⊥ CD (фиг. 2) и се пресичат в точката IN, след това ∠ ABC = ∠ABD \u003d 90 °
Свойства на перпендикулярни линии
1. Чрез точка И (Фиг. 3) може да се начертае само една перпендикулярна линия AB към прав CD; останалите линии, преминаващи през точката И и пресичане CD, се наричат \u200b\u200bнаклонени прави линии (фиг. 3, прави линии AE и AF).
2. От точка A можете да намалите перпендикуляра на права линия CD; перпендикулярна дължина (дължина на сегмента AB), изготвен от точката И на права линия CD, е най-краткото разстояние от A преди CD (фиг. 3).
