Какво се случва с степените при умножение на числа. Свойства на степени: формулировки, доказателства, примери. Степен с отрицателна основа

Понятието диплома по математика се въвежда още в 7 клас в урок по алгебра. И в бъдеще, през целия курс на изучаване на математика, това понятие се използва активно в различните му форми. Степените са доста трудна тема, изискваща запаметяване на стойности и способност за правилно и бързо броене. За по-бърза и по-добра работа с дипломите по математика измислиха свойствата на степен. Те помагат да се намалят големите изчисления, да се преобразува огромен пример в едно число до известна степен. Няма толкова много свойства и всички те са лесни за запомняне и прилагане на практика. Следователно в статията се разглеждат основните свойства на степента, както и къде се прилагат.

степенни свойства

Ще разгледаме 12 свойства на степен, включително свойства на степени със същите основи, и ще дадем пример за всяко свойство. Всяко от тези свойства ще ви помогне да решавате проблеми с градуси по-бързо, както и ще ви спести от многобройни изчислителни грешки.

1-ви имот.

Много хора много често забравят за това свойство, правят грешки, представяйки число до нулева степен като нула.

2-ри имот.

3-ти имот.

Трябва да се помни, че това свойство може да се използва само при умножение на числа, не работи със сумата! И не трябва да забравяме, че това и следващите свойства се отнасят само за степени със същата основа.

4-ти имот.

Ако числото в знаменателя се повиши до отрицателна степен, тогава при изваждане степента на знаменателя се взема в скоби, за да се замени правилно знакът при по-нататъшни изчисления.

Свойството работи само при деление, а не при изваждане!

5-ти имот.

6-ти имот.

Това свойство може да се приложи и обратно. Единица, разделена на число до известна степен, е това число на отрицателна степен.

7-ми имот.

Това свойство не може да се приложи към сума и разлика! При вдигане на сума или разлика в степен се използват съкратени формули за умножение, а не свойствата на степента.

8-ми имот.

9-ти имот.

Това свойство работи за всяка дробна степен с числител, равен на единица, формулата ще бъде същата, само степента на корена ще се промени в зависимост от знаменателя на степента.

Също така, това свойство често се използва в обратен ред. Коренът на всяка степен на число може да бъде представен като това число на степента на единица, разделена на степента на корена. Това свойство е много полезно в случаите, когато коренът на числото не е извлечен.

10-ти имот.

Това свойство работи не само с квадратен корен и втора степен. Ако степента на корена и степента, до която този корен е повдигнат, са еднакви, тогава отговорът ще бъде радикален израз.

11-ти имот.

Трябва да можете да видите това свойство навреме, когато го решавате, за да се спасите от огромни изчисления.

12-ти имот.

Всяко от тези свойства ще ви срещне повече от веднъж в задачи, може да бъде дадено в чист вид или може да изисква някои трансформации и използване на други формули. Следователно, за правилното решение не е достатъчно да знаете само свойствата, трябва да практикувате и свързвате останалите математически знания.

Приложение на степени и техните свойства

Те се използват активно в алгебрата и геометрията. Степените по математика имат отделно, важно място. С тяхна помощ се решават експоненциални уравнения и неравенства, както и степените често усложняват уравнения и примери, свързани с други раздели на математиката. Експонентите помагат да се избегнат големи и дълги изчисления, по-лесно е да се намаляват и изчисляват степените. Но за да работите с големи степени или със степени на големи числа, трябва да знаете не само свойствата на степента, но и да работите компетентно с основите, да можете да ги разлагате, за да улесните задачата си. За удобство трябва да знаете и значението на числата, повдигнати на степен. Това ще намали времето ви за решаване, като елиминира необходимостта от дълги изчисления.

Концепцията за степен играе специална роля в логаритмите. Тъй като логаритъмът по същество е степента на число.

Съкратените формули за умножение са друг пример за използване на степени. Те не могат да използват свойствата на степени, те се разлагат по специални правила, но във всяка съкратена формула за умножение неизменно има степени.

Степените се използват активно и във физиката и компютърните науки. Всички преводи в системата SI се извършват с помощта на градуси и в бъдеще при решаване на задачи се прилагат свойствата на степента. В компютърните науки степените на две се използват активно за удобство при броене и опростяване на възприемането на числата. По-нататъшни изчисления за преобразуване на мерни единици или изчисления на задачи, точно както във физиката, се извършват с помощта на свойствата на степента.

Градусите също са много полезни в астрономията, където рядко можете да намерите използване на свойствата на степен, но самите градуси се използват активно за съкращаване на записа на различни количества и разстояния.

Градусите се използват и в ежедневието, когато се изчисляват площи, обеми, разстояния.

С помощта на градуси се записват много големи и много малки стойности във всяка област на науката.

експоненциални уравнения и неравенства

Свойствата на степента заемат специално място именно в експоненциалните уравнения и неравенства. Тези задачи са много често срещани, както в училищния курс, така и на изпитите. Всички те се решават чрез прилагане на свойствата на степента. Неизвестното винаги е в самата степен, следователно, знаейки всички свойства, няма да е трудно да се реши такова уравнение или неравенство.

Събиране и изваждане на степени

Очевидно числата със степени могат да се добавят като други количества , като ги добавите един по един с техните знаци.

И така, сборът от a 3 и b 2 е a 3 + b 2 .
Сборът от a 3 - b n и h 5 -d 4 е a 3 - b n + h 5 - d 4.

Коефициенти същите мощности на едни и същи променливиможе да се добавя или изважда.

И така, сборът от 2a 2 и 3a 2 е 5a 2 .

Очевидно е също, че ако вземем два квадрата a, или три квадрата a, или пет квадрата a.

Но градуси различни променливии различни степени идентични променливи, трябва да бъдат добавени, като ги добавите към техните знаци.

И така, сумата от 2 и 3 е сумата от 2 + a 3.

Очевидно е, че квадратът на a и кубът на a не е два пъти по-голям от квадрата на a, а е два пъти по-голям от куба на a.

Сборът от a 3 b n и 3a 5 b 6 е a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Изважданемощности се извършва по същия начин като събирането, с изключение на това, че знаците на изваждането трябва да бъдат съответно променени.

Или:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Умножение на мощността

Числата със степени могат да се умножават като други количества, като се записват едно след друго, със или без знака за умножение между тях.

И така, резултатът от умножаването на a 3 по b 2 е a 3 b 2 или aaabb.

Или:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Резултатът в последния пример може да бъде подреден чрез добавяне на същите променливи.
Изразът ще приеме формата: a 5 b 5 y 3 .

Като сравняваме няколко числа (променливи) със степени, можем да видим, че ако две от тях се умножат, тогава резултатът е число (променлива) със степен, равна на сумастепени на термини.

И така, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Тук 5 е степента на резултата от умножението, равна на 2 + 3, сумата от степените на членовете.

И така, a n .a m = a m+n .

За a n , a се взема като фактор толкова пъти, колкото е степента на n;

И a m , се взема като фактор толкова пъти, колкото е равна на степента m;

Така, степени със същите основи могат да се умножат чрез добавяне на степените.

И така, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . И x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Или:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Умножете (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Отговор: x 4 - y 4.
Умножете (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Това правило важи и за числа, чиито експоненти са − отрицателен.

1. И така, a -2 .a -3 = a -5 . Това може да се запише като (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Ако a + b се умножат по a - b, резултатът ще бъде a 2 - b 2: т.е

Резултатът от умножаването на сбора или разликата на две числа е равен на сбора или разликата на техните квадрати.

Ако сборът и разликата от две числа се повдигнат до квадрат, резултатът ще бъде равен на сбора или разликата от тези числа в четвъртистепен.

И така, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Разпределение на правомощията

Числата на степента могат да се разделят като другите числа чрез изваждане от делителя или чрез поставянето им под формата на дроби.

Така че a 3 b 2 разделено на b 2 е 3 .

Писането на 5, разделено на 3, изглежда като $\frac $. Но това е равно на 2. В поредица от числа
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
всяко число може да бъде разделено на друго и степента ще бъде равно на разликаиндикатори за делими числа.

При разделяне на степени с една и съща основа техните експоненти се изваждат..

И така, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Тоест $\frac = y$.

И a n+1:a = a n+1-1 = a n . Тоест $\frac = a^n$.

Или:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Правилото важи и за числа с отрицателенстепенни стойности.
Резултатът от разделянето на -5 на -3 е -2.
Също така, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 или $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Необходимо е да се овладее много добре умножението и деленето на степени, тъй като такива операции се използват много широко в алгебрата.

Примери за решаване на примери с дроби, съдържащи числа със степени

1. Намалете експонентите в $\frac $ Отговор: $\frac $.

2. Намалете експонентите в $\frac$. Отговор: $\frac $ или 2x.

3. Намалете степените a 2 / a 3 и a -3 / a -4 и доведете до общ знаменател.
a 2 .a -4 е -2 първи числител.
a 3 .a -3 е a 0 = 1, вторият числител.
a 3 .a -4 е a -1, общият числител.
След опростяване: a -2 /a -1 и 1/a -1 .

4. Намалете степените 2a 4 /5a 3 и 2 /a 4 и ги доведете до общ знаменател.
Отговор: 2a 3 / 5a 7 и 5a 5 / 5a 7 или 2a 3 / 5a 2 и 5/5a 2.

5. Умножете (a 3 + b)/b 4 по (a - b)/3.

6. Умножете (a 5 + 1)/x 2 по (b 2 - 1)/(x + a).

7. Умножете b 4 /a -2 по h -3 /x и a n /y -3 .

8. Разделете a 4 /y 3 на a 3 /y 2 . Отговор: a/y.

степенни свойства

Напомняме ви, че в този урок разбираме степенни свойствас естествени показатели и нула. Степените с рационални показатели и техните свойства ще бъдат обсъдени в уроците за 8 клас.

Експонента с естествена степен има няколко важни свойства, които ви позволяват да опростите изчисленията в примери за степен.

Имот №1
Продукт на правомощията

При умножаване на степени със същата основа, основата остава непроменена, а степените се събират.

a m a n \u003d a m + n, където "a" е произволно число, а "m", "n" са всякакви естествени числа.

Това свойство на мощностите засяга и произведението на три или повече степени.

• Опростете израза.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Представя се като степен.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• Представя се като степен.
  (0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Моля, имайте предвид, че в посочения имот става въпрос само за умножаване на мощности със същите основи.. Не се отнася за тяхното добавяне.

Не можете да замените сбора (3 3 + 3 2) с 3 5 . Това е разбираемо, ако
изчислете (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 и 3 5 = 243

Свойство №2
Частни степени

При разделяне на степени с една и съща основа основата остава непроменена, а степента на делителя се изважда от степента на дивидента.

• Запишете частното като степен
  (2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
• Изчисли.

11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Пример. Решете уравнението. Използваме свойството на частични степени.
3 8: t = 3 4

Отговор: t = 3 4 = 81

Използвайки свойства № 1 и № 2, можете лесно да опростите изразите и да извършите изчисления.

Пример. Опростете израза.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

Пример. Намерете стойността на израз, като използвате свойствата на степента.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Моля, имайте предвид, че имот 2 се занимаваше само с разделението на правомощията със същите основи.

Не можете да замените разликата (4 3 −4 2) с 4 1 . Това е разбираемо, ако изчислите (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 и 4 1 = 4

Имот №3
Експоненция

При повишаване на степента в степен, основата на степента остава непроменена, а степените се умножават.

(a n) m \u003d a n m, където "a" е произволно число, а "m", "n" са всякакви естествени числа.

Напомняме ви, че частното може да бъде представено като дроб. Затова на следващата страница ще се спрем по-подробно на темата за повдигане на дроб на степен.

Как да умножаваме мощностите

Как да умножаваме мощностите? Кои степени могат да се умножават и кои не? Как се умножава число по степен?

В алгебрата можете да намерите произведението на степени в два случая:

1) ако степените имат една и съща основа;

2) ако градусите имат еднакви показатели.

При умножаване на степени с една и съща основа основата трябва да остане същата, а степените трябва да се добавят:

При умножаване на градуси със същите показатели, общият индикатор може да бъде изваден от скоби:

Помислете как да умножите мощностите с конкретни примери.

Единицата в степента не се записва, но при умножаване на градусите те вземат предвид:

При умножение броят на градусите може да бъде произволен. Трябва да се помни, че не можете да пишете знака за умножение преди буквата:

В изразите първо се извършва степенуване.

Ако трябва да умножите число по степен, първо трябва да извършите степенуване и едва след това - умножение:

Умножаване на мощности със същата основа

Този видео урок е достъпен чрез абонамент

Имате ли вече абонамент? Да вляза

В този урок ще научим как да умножаваме степени с една и съща основа. Първо, нека си припомним определението на степента и да формулираме теорема за валидността на равенството . След това даваме примери за неговото приложение към конкретни числа и го доказваме. Ще приложим теоремата и за решаване на различни задачи.

Тема: Степен с натурален показател и неговите свойства

Урок: Умножаване на степени със същите основи (формула)

1. Основни определения

Основни дефиниции:

н- степен,

— н-та степен на число.

2. Твърдение на теорема 1

Теорема 1.За произволно число аи всякакви естествени ни кравенството е вярно:

С други думи: ако а- произволно число; ни кестествени числа, тогава:

Следователно правило 1:

3. Обясняване на задачи

заключение:специални случаи потвърдиха правилността на теорема № 1. Нека го докажем в общия случай, тоест за всеки аи всякакви естествени ни к.

4. Доказателство на теорема 1

Даден номер а- всякакъв; числа ни к-естествено. Докажи:

Доказателството се основава на дефиницията на степента.

5. Решение на примери с помощта на теорема 1

Пример 1:Представя се като степен.

За да разрешим следните примери, използваме теорема 1.

ж)

6. Обобщение на теорема 1

Ето едно обобщение:

7. Решение на примери, като се използва обобщение на теорема 1

8. Решаване на различни задачи с помощта на теорема 1

Пример 2:Изчислете (можете да използвате таблицата на основните степени).

а) (според таблицата)

б)

Пример 3:Запишете като степен с основа 2.

а)

Пример 4:Определете знака на числото:

, а -отрицателен, защото степента при -13 е нечетна.

Пример 5:Заменете ( ) със захранване с основа r:

Имаме, тоест.

9. Обобщаване

1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6-то издание. М.: Просвещение. 2010 г

1. Училищен асистент (Източник).

1. Изразете като степен:

а б В Г Д)

3. Запишете като степен с основа 2:

4. Определете знака на числото:

а)

5. Заменете ( ) със степен на число с основа r:

а) r 4 ( ) = r 15 ; б) ( ) r 5 = r 6

Умножение и деление на степени със същите степени

В този урок ще изучаваме умножението на степени със същите степени. Първо, нека си припомним основните дефиниции и теореми за умножаването и разделянето на степени със същите основи и повишаването на степен в степен. След това формулираме и доказваме теореми за умножение и деление на степени със същите степени. И тогава с тяхна помощ ще решим редица типични проблеми.

Напомняне на основни дефиниции и теореми

Тук а- основа на степента

— н-та степен на число.

Теорема 1.За произволно число аи всякакви естествени ни кравенството е вярно:

При умножаване на степени със същата основа експонентите се събират, базата остава непроменена.

Теорема 2.За произволно число аи всякакви естествени ни k,такъв, че н > кравенството е вярно:

При разделяне на степени със същата основа експонентите се изваждат, а основата остава непроменена.

Теорема 3.За произволно число аи всякакви естествени ни кравенството е вярно:

Всички горепосочени теореми бяха за мощности със същото основания, този урок ще разгледа степени със същото индикатори.

Примери за умножаване на степени със същите степени

Помислете за следните примери:

Нека напишем изразите за определяне на степента.

заключение:От примерите можете да видите това , но това все още трябва да се докаже. Формулираме теоремата и я доказваме в общия случай, тоест за всеки аи би всякакви естествени н.

Твърдение и доказателство на теорема 4

За всякакви числа аи би всякакви естествени нравенството е вярно:

ДоказателствоТеорема 4 .

По дефиниция за степен:

Така че ние го доказахме .

За да умножите степени с една и съща степен, достатъчно е да умножите основите и да оставите степента непроменена.

Твърдение и доказателство на теорема 5

Формулираме теорема за разделяне на степени със същите показатели.

За произволно число аи b() и всякакви естествени нравенството е вярно:

ДоказателствоТеорема 5 .

Нека запишем и по дефиниция на степента:

Излагане на теореми с думи

Така че ние го доказахме.

За да разделите степени със същите степени една на друга, достатъчно е да разделите една основа на друга и да оставите степента непроменена.

Решаване на типични задачи с помощта на теорема 4

Пример 1:Изразете като продукт на правомощия.

За да разрешим следните примери, използваме теорема 4.

За да разрешите следния пример, припомнете формулите:

Обобщение на теорема 4

Обобщение на теорема 4:

Решаване на примери с помощта на обобщена теорема 4

Продължаване на решаването на типични проблеми

Пример 2:Запишете като степен на продукт.

Пример 3:Запишете като степен с степен 2.

Примери за изчисление

Пример 4:Изчислете по най-рационалния начин.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ

3. Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др. Алгебра 7 .М .: Образование. 2006 г

2. Училищен помощник (Източник).

1. Представено като продукт на правомощия:

а) ; б) ; в) ; Ж) ;

2. Запишете като степен на произведението:

3. Напишете под формата на степен с показател 2:

4. Изчислете по най-рационалния начин.

Урок по математика на тема "Умножение и деление на степени"

раздели:математика

Педагогическа цел:

ученикът ще научида прави разлика между свойствата на умножение и деление на степени с естествен показател; приложете тези свойства в случай на едни и същи основи;

студентът ще има възможностда може да извършва трансформации на степени с различни бази и да може да извършва трансформации в комбинирани задачи.

Задачи:

организират работата на учениците чрез повтаряне на предварително изучен материал;

осигуряване на нивото на възпроизвеждане чрез изпълнение на различни видове упражнения;

организира самооценяването на учениците чрез тестване.

Дейностни единици на доктрината:определяне на степента с натурален показател; степенни компоненти; определение за частно; асоциативен закон за умножение.

I. Организиране на демонстрация на овладяване на съществуващите знания от учениците. (етап 1)

а) Актуализиране на знанията:

2) Формулирайте определение на степента с натурален показател.

a n \u003d a a a a ... a (n пъти)

b k \u003d b b b b a ... b (k пъти) Обосновете отговора си.

II. Организиране на самооценка на обучавания по степен на притежаване на съответен опит. (стъпка 2)

Тест за самопроверка: (самостоятелна работа в два варианта.)

A1) Изразете произведението 7 7 7 7 x x x като степен:

A2) Изразете като произведение степента (-3) 3 x 2

A3) Изчислете: -2 3 2 + 4 5 3

Избирам броя на задачите в теста в съответствие с подготовката на нивото на класа.

За теста давам ключ за самотестване. Критерии: издържан-неуспешен.

III. Учебно-практическа задача (стъпка 3) + стъпка 4. (учениците сами ще формулират свойствата)

изчислете: 2 2 2 3 = ? 3 3 3 2 3 =?

Опростете: a 2 a 20 =? b 30 b 10 b 15 = ?

В хода на решаване на задачи 1) и 2) учениците предлагат решение, а аз като учител организирам час, за да намеря начин за опростяване на степените при умножение със същите основи.

Учител: Измислете начин да опростите степените, когато умножавате със същата основа.

В клъстера се появява запис:

Формулирана е темата на урока. Умножение на правомощията.

Учител: измислете правило за разделяне на степени с еднакви основи.

Разсъждение: какво действие проверява разделянето? а 5: а 3 = ? че a 2 a 3 = a 5

Връщам се към схемата - клъстер и допълвам вписването - ..при разделяне изваждане и добавяне на темата на урока. ...и разделяне на степени.

IV. Комуникиране на студентите за границите на знанията (като минимум и като максимум).

Учител: задачата на минимума за днешния урок е да се научим как да прилагаме свойствата на умножение и деление на степени със същите основи, а на максимума: да прилагаме умножение и деление заедно.

Пиша на дъската : a m a n = a m + n ; a m: a n = a m-n

V. Организация на изучаването на нов материал. (стъпка 5)

а) По учебника: No 403 (а, в, д) задачи с различна формулировка

No 404 (а, д, е) самостоятелна работа, след това организирам взаимна проверка, давам ключовете.

б) За каква стойност на m важи равенството? a 16 a m \u003d a 32; x h x 14 = x 28; х 8 (*) = х 14

Задача: измислете подобни примери за деление.

в) № 417 (а), № 418 (а) Капани за ученици: x 3 x n \u003d x 3n; 3 4 3 2 = 9 6 ; а 16: а 8 = 2.

VI. Обобщаване на наученото, провеждане на диагностична работа (която насърчава учениците, а не учителите, да изучават тази тема) (стъпка 6)

диагностична работа.

Тест(поставете ключовете на гърба на теста).

Варианти на задачата: представи като степен частното x 15: x 3; представляват като степен произведението (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 ; за което m е равенството a 16 a m = a 32 вярно; намерете стойността на израза h 0: h 2 с h = 0,2; изчислете стойността на израза (5 2 5 0) : 5 2 .

Резюме на урока. Отражение.Разделям класа на две групи.

Намерете аргументите на група I: в полза на познаването на свойствата на степента и група II - аргументи, които ще кажат, че можете да правите без свойства. Слушаме всички отговори, правим изводи. В следващите уроци можете да предложите статистически данни и да назовете рубриката „Не ми се побира в главата!“

Средностатистическият човек изяжда 32 10 2 кг краставици през живота си.

Осата е способна да извършва полет без спиране от 3,2 10 2 км.

При напукване на стъклото пукнатината се разпространява със скорост около 5 10 3 km/h.

Една жаба изяжда над 3 тона комари през живота си. Използвайки степента, запишете в кг.

Най-плодотворна е океанската риба – луната (Mola mola), която снася за едно хвърляне на хайвера до 300 000 000 яйца с диаметър около 1,3 мм. Запишете това число, като използвате степен.

VII. Домашна работа.

Справка по история. Кои числа се наричат ​​числа на Ферма.

P.19. #403, #408, #417

Използвани книги:

Учебник "Алгебра-7", автори Ю.Н. Макаричев, Н.Г. Миндюк и др.

Дидактически материал за 7 клас, L.V. Кузнецова, L.I. Звавич, С.Б. Суворов.

Енциклопедия по математика.

Списание "Квант".

Свойства на степени, формулировки, доказателства, примери.

След като се определи степента на числото, логично е да се говори за степенни свойства. В тази статия ще дадем основните свойства на степента на число, като се докоснем до всички възможни експоненти. Тук ще дадем доказателства за всички свойства на степента, а също така ще покажем как тези свойства се прилагат при решаване на примери.

Навигация в страницата.

Свойства на градусите с естествени показатели

По дефиниция на степен с естествен показател, степента на a n е продукт на n фактора, всеки от които е равен на a . Въз основа на това определение и използване свойства за умножение на реални числа, можем да получим и обосноваваме следното свойства на степен с естествен показател:

основното свойство на степента a m ·a n =a m+n , нейното обобщение a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k ;

свойството на частични степени със същите основи a m:a n =a m−n ;

свойство степен на продукт (a b) n =a n b n , неговото разширение (a 1 a 2 a k) n = a 1 n a 2 n a k n ;

частно свойство в натура (a:b) n =a n:b n ;

степенуване (a m) n =a m n , неговото обобщение (((a n 1) n 2) ...) n k =a n 1 ·n 2 ·... n k ;

сравняване на степен с нула:

• ако a>0, тогава a n >0 за всяко естествено n;
• ако a=0, тогава a n =0;
• ако a 2 m >0 , ако a 2 m−1 n ;
• ако m и n са естествени числа, такива че m>n , то за 0m n и за a>0 неравенството a m >a n е вярно.

Веднага отбелязваме, че всички написани равенства са идентичнипри посочените условия, като техните дясна и лява част могат да се сменят. Например, основното свойство на дроба a m a n = a m + n с опростяване на изразитечесто се използва под формата a m+n = a m a n .

Сега нека разгледаме всеки един от тях подробно.

Нека започнем със свойството на произведението на две степени с еднакви основи, което се нарича основното свойство на степента: за всяко реално число a и всякакви естествени числа m и n е вярно равенството a m ·a n =a m+n.

Нека докажем основното свойство на степента. По дефиниция на степен с естествен показател, произведението на степени със същите основи от вида a m a n може да се запише като произведението . Поради свойствата на умножението, полученият израз може да се запише като , и това произведение е степента на a с естествен показател m+n , тоест a m+n . Това завършва доказателството.

Нека дадем пример, който потвърждава основното свойство на степента. Да вземем степени със същите основи 2 и естествени степени 2 и 3, според основното свойство на степента можем да запишем равенството 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . Нека проверим неговата валидност, за което изчисляваме стойностите на изразите 2 2 ·2 3 и 2 5 . Извършвайки степенуване, имаме 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2)=4 8=32 и 2 5 =2 2 2 2 2=32 , тъй като получаваме равни стойности, тогава равенството 2 2 2 3 = 2 5 е вярно и потвърждава основното свойство на степента.

Основното свойство на степен въз основа на свойствата на умножението може да се обобщи до произведението на три или повече степени със същите основи и естествени показатели. Така че за произволно число k от естествени числа n 1 , n 2 , …, n k е вярно равенството a n 1 a n 2 a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

Например, (2.1) 3 (2.1) 3 (2.1) 4 (2.1) 7 = (2.1) 3+3+4+7 =(2.1) 17 .

Можете да преминете към следващото свойство на градуси с естествен индикатор - свойството на частични степени със същите основи: за всяко ненулево реално число a и произволни естествени числа m и n, удовлетворяващи условието m>n , равенството a m:a n =a m−n е вярно.

Преди да дадем доказателство за това свойство, нека обсъдим значението на допълнителните условия във формулировката. Условието a≠0 е необходимо, за да се избегне деленето на нула, тъй като 0 n =0, а когато се запознахме с деленето, се съгласихме, че е невъзможно да се дели на нула. Условието m>n се въвежда, за да не излизаме извън естествените експоненти. Всъщност за m>n експонентът a m−n е естествено число, в противен случай ще бъде или нула (което се случва, когато m−n) или отрицателно число (което се случва, когато m m−n a n =a (m−n) + n = a m От полученото равенство a m−n a n = a m и от отношението на умножение с деление следва, че a m−n е частична степен на a m и a n Това доказва свойството на частни степени със същите основи.

Да вземем пример. Да вземем две степени с еднакви основи π и естествени експоненти 5 и 2, разглежданото свойство на степента съответства на равенството π 5: π 2 = π 5−3 = π 3.

Сега помислете свойство степен на продукта: естествената степен n на произведението на произволни две реални числа a и b е равна на произведението на степени a n и b n , тоест (a b) n =a n b n .

Всъщност, по дефиниция на степен с естествен степен, имаме . Последният продукт, базиран на свойствата на умножението, може да бъде пренаписан като , което е равно на a n b n .

Ето един пример: .

Това свойство се простира до степента на произведението на три или повече фактора. Тоест, свойството естествена степен n на произведението на k фактори се записва като (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n .

За по-голяма яснота показваме това свойство с пример. За произведението на три фактора на степен 7 имаме .

Следващият имот е природна собственост: частното на реалните числа a и b , b≠0 към естествената степен n е равно на частното на степените a n и b n , тоест (a:b) n =a n:b n .

Доказателството може да се извърши с помощта на предишното свойство. Така че (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n , а от равенството (a:b) n b n =a n следва, че (a:b) n е частно от a n към b n .

Нека напишем това свойство, използвайки примера за конкретни числа: .

Сега нека да озвучим свойство на степенуване: за всяко реално число a и всякакви естествени числа m и n, степента на a m на степен на n е равна на степента на a с степен m·n , тоест (a m) n =a m·n .

Например (5 2) 3 =5 2 3 =5 6 .

Доказателството за свойството мощност в степен е следната верига от равенства: .

Разглежданото свойство може да бъде разширено до степен в степен в степен и т.н. Например, за всякакви естествени числа p, q, r и s, равенството . За по-голяма яснота, нека дадем пример с конкретни числа: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Остава да се спрем на свойствата на сравняване на степени с естествен показател.

Започваме с доказване на свойството за сравнение на нула и степен с естествен показател.

Първо, нека оправдаем, че a n >0 за всяко a>0.

Произведението на две положителни числа е положително число, както следва от определението за умножение. Този факт и свойствата на умножението ни позволяват да твърдим, че резултатът от умножаването на произволен брой положителни числа също ще бъде положително число. А степента на a с естествен показател n по дефиниция е произведението на n фактора, всеки от които е равен на a. Тези аргументи ни позволяват да твърдим, че за всяка положителна база a степента на a n е положително число. По силата на доказаното свойство 3 5 >0 , (0.00201) 2 >0 и .

Съвсем очевидно е, че за всяко естествено n с a=0 степента на a n е нула. Наистина, 0 n =0·0·…·0=0 . Например, 0 3 =0 и 0 762 = 0 .

Да преминем към отрицателните основи.

Нека започнем със случая, когато степента е четно число, означете го като 2 m , където m е естествено число. Тогава . Според правилото за умножение на отрицателни числа всяко от произведенията от вида a a е равно на произведението на модулите на числата a и a, което означава, че е положително число. Следователно продуктът също ще бъде положителен. и степен а 2 m. Ето примери: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 и .

И накрая, когато основата на a е отрицателно число и експонентът е нечетно число 2 m−1, тогава . Всички произведения a·a са положителни числа, произведението на тези положителни числа също е положително и неговото умножение с останалото отрицателно число a води до отрицателно число. По силата на това свойство (−5) 3 17 n n е произведението на лявата и дясната част на n истински неравенства a свойства на неравенствата, доказваното неравенство е от вида a n n . Например, поради това свойство, неравенствата 3 7 7 и .

Остава да се докаже последното от изброените свойства на степени с естествени показатели. Нека го формулираме. От двете степени с естествени показатели и същите положителни основи по-малки от една степента е по-голяма, чийто показател е по-малък; и на две степени с естествени показатели и същите основи по-големи от една, степента е по-голяма, чийто показател е по-голям. Обръщаме се към доказателството за това свойство.

Нека докажем, че за m>n и 0m n . За да направим това, записваме разликата a m − a n и я сравняваме с нула. Написаната разлика след изваждане на n от скоби ще приеме формата a n ·(a m−n −1) . Полученият продукт е отрицателен като произведение на положително число a n и отрицателно число a m−n −1 (a n е положително като естествена степен на положително число, а разликата a m−n −1 е отрицателна, тъй като m−n >0 поради началното условие m>n , откъдето следва, че за 0m−n е по-малко от единица). Следователно a m − a n m n , което трябваше да се докаже. Например даваме правилното неравенство.

Остава да се докаже втората част от имота. Нека докажем, че за m>n и a>1, a m >a n е вярно. Разликата a m −a n след изваждане на n от скоби приема формата a n ·(a m−n −1) . Това произведение е положително, тъй като за a>1 степента на a n е положително число, а разликата a m−n −1 е положително число, тъй като m−n>0 поради първоначалното условие, а за a>1, степента на a m−n е по-голяма от единица. Следователно a m − a n >0 и a m >a n , което трябваше да се докаже. Това свойство се илюстрира с неравенството 3 7 >3 2 .

Свойства на степени с целочислени експоненти

Тъй като положителните числа са естествени числа, тогава всички свойства на степени с положителни цели степени съвпадат точно със свойствата на степени с естествени степени, изброени и доказани в предишния параграф.

Дефинирахме степен с отрицателен целочислен показател, както и степен с нулева степен, така че всички свойства на степени с естествени степени, изразени чрез равенства, остават валидни. Следователно всички тези свойства са валидни както за нулеви експоненти, така и за отрицателни експоненти, докато, разбира се, основите на степените са различни от нула.

И така, за всякакви реални и различни от нула числа a и b, както и всякакви цели числа m и n, следното е вярно свойства на степени с цели числа степен:

• a m a n \u003d a m + n;
• a m: a n = a m−n ;
• (a b) n = a n b n ;
• (a:b) n =a n:b n ;
• (a m) n = a m n ;
• ако n е положително цяло число, a и b са положителни числа и a n n и a−n>b−n ;
• ако m и n са цели числа и m>n , тогава за 0m n и за a>1, неравенството a m >a n е изпълнено.

За a=0 степените a m и a n имат смисъл само когато m и n са цели положителни числа, тоест естествени числа. Така току-що записаните свойства са валидни и за случаите, когато a=0 и числата m и n са цели положителни числа.

Не е трудно да се докаже всяко едно от тези свойства, за това е достатъчно да се използват дефинициите на степента с естествен и целочислен показател, както и свойствата на действия с реални числа. Като пример, нека докажем, че свойството power важи както за положителни, така и за неположителни цели числа. За да направим това, трябва да покажем, че ако p е нула или естествено число и q е нула или естествено число, тогава равенствата (a p) q =a p q , (a − p) q =a (−p) q , (a p ) −q =a p (−q) и (a −p) −q =a (−p) (−q) . Хайде да го направим.

За положителни p и q равенството (a p) q =a p·q беше доказано в предишния подраздел. Ако p=0, тогава имаме (a 0) q =1 q =1 и a 0 q =a 0 =1, откъдето (a 0) q =a 0 q . По същия начин, ако q=0, тогава (a p) 0 =1 и a p 0 =a 0 =1 , откъдето (a p) 0 =a p 0 . Ако и p=0, и q=0, тогава (a 0) 0 =1 0 =1 и a 0 0 =a 0 =1 , откъдето (a 0) 0 =a 0 0 .

Нека сега докажем, че (a −p) q =a (−p) q . По дефиниция на степен с отрицателен целочислен експонент , тогава . По свойството на частното в степента имаме . Тъй като 1 p =1·1·…·1=1 и , тогава . Последният израз по дефиниция е степен от вида a −(p q) , която по силата на правилата за умножение може да се запише като (−p) q .

по същия начин .

И .

По същия принцип могат да се докажат всички други свойства на степен с целочислен показател, записани под формата на равенства.

В предпоследното от записаните свойства си струва да се спрем на доказателството на неравенството a −n >b −n , което е вярно за всяко отрицателно цяло число −n и всяко положително a и b, за което условието a . Записваме и трансформираме разликата между лявата и дясната част на това неравенство: . Тъй като по условие а n n , следователно, b n − a n >0 . Произведението a n ·b n също е положително като произведение на положителни числа a n и b n . Тогава получената дроб е положителна като частно от положителни числа b n − a n и a n b n . Следователно, откъдето a −n >b −n , което трябваше да се докаже.

Последното свойство на степени с цели показатели се доказва по същия начин, както аналогичното свойство на степени с естествени показатели.

Свойства на степени с рационални показатели

Дефинирахме степента с дробен показател, като разширихме свойствата на степен с целочислен показател към нея. С други думи, степени с дробни експоненти имат същите свойства като степени с цели числа. а именно:

1. свойство на произведението на степени със същата основа за a>0 и ако и , тогава за a≥0;
2. свойство на частични степени със същите основи за a>0 ;
3. фракционно свойство на продукта за a>0 и b>0, и ако и , тогава за a≥0 и (или) b≥0;
4. частно свойство към дробна степен за a>0 и b>0 и ако , то за a≥0 и b>0;
5. степен свойство в степен за a>0 и ако и , тогава за a≥0;
6. свойството да се сравняват степени с равни рационални показатели: за всякакви положителни числа a и b, a 0 е валидно неравенството a p p, а за p p >b p ;
7. свойството да се сравняват степени с рационални експоненти и равни основи: за рационални числа p и q, p>q за 0p q, а за a>0 неравенството a p >a q .

Доказателството на свойствата на степени с дробни показатели се основава на дефиницията на степен с дробен показател, на свойствата на аритметичния корен от n-та степен и на свойствата на степен с целочислен показател. Да дадем доказателство.

По дефиниция на степента с дробен експонент и , Тогава . Свойствата на аритметичния корен ни позволяват да запишем следните равенства. Освен това, използвайки свойството на степента с целочислен показател, получаваме , откъдето, по дефиницията на степен с дробен показател, имаме , а степента на получената степен може да се преобразува по следния начин: . Това завършва доказателството.

Второто свойство на степени с дробни показатели се доказва по абсолютно същия начин:


Останалите равенства се доказват с подобни принципи:


Преминаваме към доказателството на следващото свойство. Нека докажем, че за всяко положително a и b , a 0 е валидно неравенството a p p, а за p p >b p . Записваме рационалното число p като m/n , където m е цяло число, а n е естествено число. Условията p 0 в този случай ще бъдат еквивалентни на условия m 0, съответно. За m>0 и am m . От това неравенство, чрез свойството на корените, имаме , и тъй като a и b са положителни числа, тогава, въз основа на дефиницията на степента с дробен експонент, полученото неравенство може да се пренапише като , тоест a p p .

По същия начин, когато m m >b m , откъдето , тоест и a p >b p .

Остава да се докаже последното от изброените свойства. Нека докажем, че за рационални числа p и q , p>q за 0p q , а за a>0 неравенството a p >a q . Винаги можем да сведем рационалните числа p и q до общ знаменател, нека получим обикновени дроби и , където m 1 и m 2 са цели числа, а n е естествено число. В този случай условието p>q ще отговаря на условието m 1 >m 2, което следва от правилото за сравнение на обикновени дроби със същите знаменатели. Тогава, чрез свойството да се сравняват степени със същите основи и естествени експоненти, за 0m 1 m 2 и за a>1, неравенството a m 1 >a m 2 . Тези неравенства по отношение на свойствата на корените могат да бъдат пренаписани, съответно, като и . А определението на степен с рационален показател ни позволява да преминем към неравенствата и, респ. От тук правим окончателното заключение: за p>q и 0p q, а за a>0, неравенството a p >a q.

Свойства на степени с ирационални показатели

От това как се дефинира степен с ирационален показател, можем да заключим, че тя притежава всички свойства на степени с рационални експоненти. Така че за всякакви a>0 , b>0 и ирационални числа p и q е вярно следното свойства на степени с ирационални показатели:

1. a p a q = a p + q ;
2. a p:a q = a p−q ;
3. (a b) p = a p b p ;
4. (a:b) p =a p:b p ;
5. (a p) q = a p q ;
6. за всякакви положителни числа a и b , a 0 е валидно неравенството a p p, а за p p >b p ;
7. за ирационални числа p и q , p>q за 0p q , а за a>0 неравенството a p >a q .

От това можем да заключим, че степени с всякакви реални експоненти p и q за a>0 имат едни и същи свойства.

• Алгебра – 10 клас. Тригонометрични уравнения Урок и презентация на тема: "Решение на най-простите тригонометрични уравнения" Допълнителни материали Уважаеми потребители, не забравяйте да оставите вашите коментари, отзиви, предложения! Всички материали […]
• Открит е конкурс за позицията „ПРОДАВАЧ – КОНСУЛТАНТ”: Отговорности: продажба на мобилни телефони и аксесоари за мобилни комуникационни услуги за абонати на Beeline, Tele2, MTS свързване на тарифни планове и услуги на Beeline и Tele2, MTS консултации […]
• Паралелепипед с формулата Паралелепипедът е полиедър с 6 лица, всяка от които е паралелограм. Кубоидът е кубоид, чието лице е правоъгълник. Всеки паралелепипед се характеризира с 3 […]
• Дружество за защита правата на потребителите Астана За да получите пин-код за достъп до този документ на нашия уебсайт, изпратете SMS съобщение с текст zan на номера Абонати на GSM оператори (Activ, Kcell, Beeline, NEO, Tele2) като изпратите SMS до стаята, […]
• ПРАВОПИС Н И НН В РАЗЛИЧНИ ЧАСТИ НА РЕЧТА 2. Назовете изключенията от тези правила. 3. Как да различим глаголно прилагателно с наставка -n- от причастие с […]
• Приемане на закон за роднински чифлици Приемане на федерален закон за безвъзмездното предоставяне на парцел земя на всеки гражданин на Руската федерация или на семейство граждани, които желаят да изградят роднинска ферма върху него при следните условия: 1. Земята е отпуснати за […]
• ИНСПЕКЦИЯ НА ГОСТЕХНАДЗОР НА БРЯНСК ОБЛАСТ Разписка за плащане на държавно мито (Изтегляне-12,2 kb) Заявления за регистрация на физически лица (Изтегляне-12 kb) Заявления за регистрация на юридически лица (Изтегляне-11,4 kb) 1. При регистрация на нов автомобил: 1.заявление 2.паспорт […]
• Отдавна не сме играли турнири 1х1. И е време да възобновим тази традиция. Докато не можем да организираме отделна стълбица и турнири за играчи 1 на 1, предлагаме да използвате профилите на вашия отбор в сайта. Извадете или добавете точки за игри в мачове […]

По-рано вече говорихме за това какво е степен на число. Той има определени свойства, които са полезни при решаването на проблеми: именно тях и всички възможни показатели ще анализираме в тази статия. Ще демонстрираме и с примери как те могат да бъдат доказани и правилно приложени на практика.

Нека си припомним концепцията за степен с естествен експонент, която вече формулирахме по-рано: това е произведението на n-тия брой фактори, всеки от които е равен на a. Също така трябва да запомним как правилно да умножаваме реални числа. Всичко това ще ни помогне да формулираме следните свойства за степен с естествен показател:

Определение 1

1. Основното свойство на степента: a m a n = a m + n

Може да се обобщи до: a n 1 · a n 2 · … · a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .

2. Коефициентното свойство за степени, които имат една и съща основа: a m: a n = a m − n

3. Свойство степен на продукта: (a b) n = a n b n

Равенството може да бъде разширено до: (a 1 a 2 … a k) n = a 1 n a 2 n … a k n

4. Свойство на естествена степен: (a: b) n = a n: b n

5. Повишаваме степента на степен: (a m) n = a m n ,

Може да се обобщи до: (((a n 1) n 2) …) n k = a n 1 n 2 … n k

6. Сравнете степента с нула:

• ако a > 0, тогава за всяко естествено n, a n ще бъде по-голямо от нула;
• с a равно на 0, a n също ще бъде равно на нула;
• за< 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;
• за< 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет меньше нуля.

7. Равенство a n< b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.

8. Неравенството a m > a n ще бъде вярно при условие, че m и n са естествени числа, m е по-голямо от n и a е по-голямо от нула и не по-малко от едно.

В резултат на това получихме няколко равенства; ако отговаряте на всички условия, посочени по-горе, те ще бъдат идентични. За всяко от равенствата, например, за основното свойство, можете да размените дясната и лявата част: a m · a n = a m + n - същото като a m + n = a m · a n . В тази форма често се използва при опростяване на изразите.

1. Нека започнем с основното свойство на степента: равенството a m · a n = a m + n ще бъде вярно за всяко естествено m и n и реално a . Как да докажа това твърдение?

Основното определение на степените с естествени експоненти ще ни позволи да преобразуваме равенството в продукт на фактори. Ще получим запис като този:

Това може да бъде съкратено до (припомнете си основните свойства на умножението). В резултат получихме степента на числото a с естествен показател m + n. По този начин, a m + n , което означава, че основното свойство на степента е доказано.

Нека вземем конкретен пример, за да докажем това.

Пример 1

Така че имаме две степени с основа 2. Естествените им показатели са съответно 2 и 3. Получихме равенството: 2 2 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 Нека изчислим стойностите, за да проверим правилността на това равенство.

Нека извършим необходимите математически операции: 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 и 2 5 = 2 2 2 2 2 = 32

В резултат получаваме: 2 2 2 3 = 2 5 . Имотът е доказан.

Поради свойствата на умножението можем да обобщим свойството, като го формулираме под формата на три или повече степени, за които степените са естествени числа, а основите са едни и същи. Ако обозначим броя на естествените числа n 1, n 2 и т.н. с буквата k, получаваме правилното равенство:

a n 1 a n 2 … a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .

Пример 2

2. След това трябва да докажем следното свойство, което се нарича коефициентно свойство и е присъщо на степени със същите основи: това е равенството a m: a n = a m − n , което е валидно за всякакви естествени m и n (и m е по-голямо от n)) и всяко ненулево реално a .

Като начало нека обясним какво точно е значението на условията, които са посочени във формулировката. Ако вземем a равно на нула, тогава в крайна сметка ще получим деление на нула, което не може да се направи (в края на краищата 0 n = 0). Условието, че числото m трябва да бъде по-голямо от n, е необходимо, за да можем да останем в рамките на естествените експоненти: като извадим n от m, получаваме естествено число. Ако условието не е изпълнено, ще получим отрицателно число или нула и отново ще излезем отвъд изучаването на градусите с естествени показатели.

Сега можем да преминем към доказателството. От проучените по-рано, припомняме основните свойства на дробите и формулираме равенството, както следва:

a m − n a n = a (m − n) + n = a m

От него можем да изведем: a m − n a n = a m

Припомнете си връзката между деление и умножение. От него следва, че a m − n е частно от степени a m и a n . Това е доказателството за свойството от втора степен.

Пример 3

Заменете конкретни числа за яснота в индикаторите и означете основата на степента π: π 5: π 2 = π 5 − 3 = π 3

3. След това ще анализираме свойството на степента на произведението: (a · b) n = a n · b n за всякакви реални a и b и естествени n .

Съгласно основното определение на степен с естествен показател, можем да преформулираме равенството по следния начин:

Запомняйки свойствата на умножението, пишем: . Означава същото като a n · b n .

Пример 4

2 3 - 4 2 5 4 = 2 3 4 - 4 2 5 4

Ако имаме три или повече фактора, тогава това свойство важи и за този случай. Въвеваме обозначението k за броя на факторите и пишем:

(a 1 a 2 … a k) n = a 1 n a 2 n … a k n

Пример 5

С конкретни числа получаваме следното правилно равенство: (2 (- 2 , 3) ​​a) 7 = 2 7 (- 2 , 3) ​​7 a

4. След това ще се опитаме да докажем коефициентното свойство: (a: b) n = a n: b n за всяко реално a и b, ако b не е равно на 0 и n е естествено число.

За доказателство можем да използваме предишното свойство степен. Ако (a: b) n b n = ((a: b) b) n = a n и (a: b) n b n = a n , тогава следва, че (a: b) n е частно от деленето на a n на b n .

Пример 6

Нека преброим примера: 3 1 2: - 0 . 5 3 = 3 1 2 3: (- 0 , 5) 3

Пример 7

Нека започнем веднага с пример: (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6

И сега формулираме верига от равенства, която ще ни докаже правилността на равенството:

Ако имаме степени на степени в примера, то това свойство е вярно и за тях. Ако имаме някакви естествени числа p, q, r, s, тогава ще бъде вярно:

a p q y s = a p q y s

Пример 8

Нека добавим подробности: (((5 , 2) 3) 2) 5 = (5 , 2) 3 2 5 = (5 , 2) 30

6. Друго свойство на степени с естествен показател, което трябва да докажем, е свойството за сравнение.

Първо, нека сравним степента с нула. Защо a n > 0 при условие, че a е по-голямо от 0?

Ако умножим едно положително число по друго, ще получим и положително число. Знаейки този факт, можем да кажем, че това не зависи от броя на факторите - резултатът от умножаването на произволен брой положителни числа е положително число. И какво е степен, ако не резултат от умножаване на числа? Тогава за всяка степен a n с положителна основа и естествен степен, това ще бъде вярно.

Пример 9

3 5 > 0 , (0 , 00201) 2 > 0 и 34 9 13 51 > 0

Очевидно е също, че степен с основа равна на нула сама по себе си е нула. На каквато и степен да вдигнем нула, тя ще остане такава.

Пример 10

0 3 = 0 и 0 762 = 0

Ако основата на степента е отрицателно число, тогава доказателството е малко по-сложно, тъй като концепцията за четен/нечетен показател става важна. Да започнем със случая, когато степента е четна и да го означим с 2 · m , където m е естествено число.

Нека си спомним как правилно да умножаваме отрицателни числа: продуктът a · a е равен на произведението на модулите и следователно ще бъде положително число. Тогава и степента a 2 · m също са положителни.

Пример 11

Например (− 6) 4 > 0 , (− 2 , 2) 12 > 0 и - 2 9 6 > 0

Ами ако степента с отрицателна основа е нечетно число? Нека го означим 2 · m − 1 .

Тогава

Всички произведения a · a , според свойствата на умножението, са положителни, както и тяхното произведение. Но ако го умножим по единственото оставащо число a , тогава крайният резултат ще бъде отрицателен.

Тогава получаваме: (− 5) 3< 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0

Как да го докажа?

a n< b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a < b . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и a n < b n .

Пример 12

Например, неравенствата са верни: 3 7< (2 , 2) 7 и 3 5 11 124 > (0 , 75) 124

8. Остава да докажем последното свойство: ако имаме две степени, чиито основи са еднакви и положителни, а експонентите са естествени числа, то тази от тях е по-голяма, чийто показател е по-малък; и на две степени с естествени показатели и същите основи по-големи от една, степента е по-голяма, чийто показател е по-голям.

Нека докажем тези твърдения.

Първо трябва да се уверим, че m< a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n

Изваждаме a n от скоби, след което нашата разлика ще приеме формата a n · (am − n − 1) . Резултатът му ще бъде отрицателен (тъй като резултатът от умножаването на положително число по отрицателно е отрицателен). Всъщност според първоначалните условия m − n > 0, тогава a m − n − 1 е отрицателно, а първият фактор е положителен, както всяка естествена степен с положителна основа.

Оказа се, че a m − a n< 0 и a m < a n . Свойство доказано.

Остава да докажем втората част от формулираното по-горе твърдение: a m > a е вярно за m > n и a > 1 . Посочваме разликата и изваждаме n от скоби: (a m - n - 1) Силата на n с по-голямо от единица ще даде положителен резултат; и самата разлика също ще се окаже положителна поради началните условия, а за a > 1 степента на a m − n е по-голяма от единица. Оказва се, че a m − a n > 0 и a m > a n , което трябваше да докажем.

Пример 13

Пример с конкретни числа: 3 7 > 3 2

Основни свойства на степени с цели числа степен

За степени с положителни цели показатели свойствата ще бъдат подобни, тъй като положителните числа са естествени, което означава, че всички доказани по-горе равенства са валидни и за тях. Подходящи са и за случаи, когато степените са отрицателни или равни на нула (при условие, че основата на самата степен е различна от нула).

По този начин свойствата на степените са еднакви за всички бази a и b (при условие, че тези числа са реални и не са равни на 0) и всички експоненти m и n (при условие, че са цели числа). Записваме ги накратко под формата на формули:

Определение 2

1. a m a n = a m + n

2. a m: a n = a m − n

3. (a b) n = a n b n

4. (a: b) n = a n: b n

5. (am) n = a m n

6. a n< b n и a − n >b − n с положително цяло число n , положително a и b , a< b

7. м< a n , при условии целых m и n , m >n и 0< a < 1 , при a >1 a m > a n .

Ако основата на степента е равна на нула, тогава вписванията a m и a n имат смисъл само в случай на естествени и положителни m и n. В резултат на това откриваме, че формулировките по-горе са подходящи и за случаи със степен с нулева основа, ако са изпълнени всички други условия.

Доказателствата за тези свойства в този случай са прости. Ще трябва да запомним какво е степен с естествен и целочислен показател, както и свойствата на действията с реални числа.

Нека анализираме свойството на степента в степента и да докажем, че тя е вярна както за положителни, така и за неположителни цели числа. Започваме с доказване на равенствата (a p) q = a p q , (a − p) q = a (− p) q , (a p) − q = a p (− q) и (a − p) − q = a (− п) (−q)

Условия: p = 0 или естествено число; q - по подобен начин.

Ако стойностите на p и q са по-големи от 0, тогава получаваме (a p) q = a p · q . Вече сме доказвали подобно равенство и преди. Ако p = 0, тогава:

(a 0) q = 1 q = 1 a 0 q = a 0 = 1

Следователно (a 0) q = a 0 q

За q = 0 всичко е абсолютно същото:

(a p) 0 = 1 a p 0 = a 0 = 1

Резултат: (a p) 0 = a p 0 .

Ако и двата индикатора са нула, тогава (a 0) 0 = 1 0 = 1 и a 0 0 = a 0 = 1, тогава (a 0) 0 = a 0 0 .

Припомнете си свойството на частното в степента, доказано по-горе и напишете:

1 a p q = 1 q a p q

Ако 1 p = 1 1 … 1 = 1 и a p q = a p q , тогава 1 q a p q = 1 a p q

Можем да трансформираме тази нотация по силата на основните правила за умножение в a (− p) · q .

Също така: a p - q = 1 (a p) q = 1 a p q = a - (p q) = a p (- q) .

И (a - p) - q = 1 a p - q = (a p) q = a p q = a (- p) (- q)

Останалите свойства на степента могат да се докажат по подобен начин чрез трансформиране на съществуващите неравенства. Няма да се спираме на това подробно, ще посочим само трудните точки.

Доказателство за предпоследното свойство: припомнете си, че a − n > b − n е вярно за всякакви отрицателни цели числа на n и всякакви положителни a и b, при условие че a е по-малко от b.

Тогава неравенството може да се трансформира по следния начин:

1 a n > 1 b n

Записваме дясната и лявата част като разлика и извършваме необходимите трансформации:

1 a n - 1 b n = b n - a n a n b n

Припомнете си, че в условието a е по-малко от b , тогава според дефиницията на степен с естествен показател: - a n< b n , в итоге: b n − a n > 0 .

a n · b n се оказва положително число, тъй като неговите фактори са положителни. В резултат на това имаме дроб b n - a n a n · b n , което в крайна сметка също дава положителен резултат. Следователно 1 a n > 1 b n, откъдето a − n > b − n , което трябваше да докажем.

Последното свойство на степени с цели степени се доказва подобно на свойството на степени с естествени експоненти.

Основни свойства на степени с рационални показатели

В предишни статии обсъдихме какво е степен с рационален (дробен) показател. Техните свойства са същите като тези на степени с целочислени експоненти. Нека напишем:

Определение 3

1. a m 1 n 1 a m 2 n 2 = a m 1 n 1 + m 2 n 2 за a > 0 и ако m 1 n 1 > 0 и m 2 n 2 > 0, то за a ≥ 0 (мощности на свойството на продукта със същата основа).

2. a m 1 n 1: b m 2 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2, ако a > 0 (частно свойство).

3. a b m n = a m n b m n за a > 0 и b > 0 и ако m 1 n 1 > 0 и m 2 n 2 > 0, то за a ≥ 0 и (или) b ≥ 0 (свойство на продукта в дробна степен).

4. a: b m n \u003d a m n: b m n за a > 0 и b > 0 и ако m n > 0, тогава за a ≥ 0 и b > 0 (свойство на частно до дробна степен).

5. a m 1 n 1 m 2 n 2 \u003d am 1 n 1 m 2 n 2 за a > 0 и ако m 1 n 1 > 0 и m 2 n 2 > 0, тогава за a ≥ 0 (степенно свойство в градуса).

6.ap< b p при условии любых положительных a и b , a < b и рациональном p при p >0; ако п< 0 - a p >b p (свойството на сравняване на степени с равни рационални показатели).

7.ap< a q при условии рациональных чисел p и q , p >q при 0< a < 1 ; если a >0 – a p > a q

За да докажем тези разпоредби, трябва да си спомним какво е степен с дробен показател, какви са свойствата на аритметичния корен от n-та степен и какви са свойствата на степен с целочислен показател. Нека да разгледаме всеки имот.

Според това каква е степен с дробен показател, получаваме:

a m 1 n 1 = am 1 n 1 и a m 2 n 2 = am 2 n 2, следователно, a m 1 n 1 a m 2 n 2 \u003d am 1 n 1 a m 2 n 2

Свойствата на корена ще ни позволят да изведем равенства:

a m 1 m 2 n 1 n 2 a m 2 m 1 n 2 n 1 = a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2

От това получаваме: a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2

Нека трансформираме:

a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2

Експонентът може да бъде записан като:

m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 2 n 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 1 + m 2 n 2

Това е доказателството. Второто свойство се доказва по абсолютно същия начин. Нека запишем веригата от равенства:

a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 2: a m 2 n 1 n 1 n 2 = = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 n 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2

Доказателства за останалите равенства:

a b m n = (a b) m n = a m b m n = a m n b m n = a m n b m n ; (a: b) m n = (a: b) m n = a m: b m n = = a m n: b m n = a m n: b m n ; a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = = a m 1 m 2 n 1 n 2 = a m 1 m 2 n 1 n 2 = = a m 1 2 n 2 n 1 = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 n 1 m 2 n 2

Следващо свойство: нека докажем, че за всякакви стойности на a и b по-големи от 0, ако a е по-малко от b, ще бъде изпълнено a p< b p , а для p больше 0 - a p >bp

Нека представим рационално число p като m n . В този случай m е цяло число, n е естествено число. Тогава условията p< 0 и p >0 ще бъде разширено до m< 0 и m >0 . За m > 0 и a< b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .

Използваме свойството на корените и извеждаме: a m n< b m n

Като вземем предвид положителността на стойностите a и b , пренаписваме неравенството като a m n< b m n . Оно эквивалентно a p < b p .

По същия начин за m< 0 имеем a a m >b m , получаваме a m n > b m n , така че a m n > b m n и a p > b p .

Остава да докажем последното свойство. Нека докажем, че за рационални числа p и q , p > q при 0< a < 1 a p < a q , а при a >0 би било вярно a p > a q.

Рационалните числа p и q могат да се сведат до общ знаменател и да се получат дроби m 1 n и m 2 n

Тук m 1 и m 2 са цели числа, а n е естествено число. Ако p > q, тогава m 1 > m 2 (като се вземе предвид правилото за сравняване на дроби). След това на 0< a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a >1 – неравенство a 1 m > a 2 m .

Те могат да бъдат пренаписани в следната форма:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n

След това можете да направите трансформации и да получите в резултат:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n

За да обобщим: за p > q и 0< a < 1 верно a p < a q , а при a >0 – a p > a q .

Основни свойства на степени с ирационални показатели

Всички описани по-горе свойства, които притежава степен с рационални експоненти, могат да бъдат разширени до такава степен. Това следва от самото му определение, което дадохме в една от предишните статии. Нека накратко формулираме тези свойства (условия: a > 0 , b > 0 , индикаторите p и q са ирационални числа):

Определение 4

1. a p a q = a p + q

2. a p: a q = a p − q

3. (a b) p = a p b p

4. (a: b) p = a p: b p

5. (a p) q = a p q

6.ap< b p верно при любых положительных a и b , если a < b и p – иррациональное число больше 0 ; если p меньше 0 , то a p >bp

7.ap< a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a >0 , тогава a p > a q .

Така всички степени, чиито експоненти p и q са реални числа, при условие, че a > 0, имат едни и същи свойства.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Ако не обърнем внимание на осмата степен, какво виждаме тук? Нека да разгледаме програмата за 7-ми клас. И така, помниш ли? Това е съкратената формула за умножение, а именно разликата на квадратите! Получаваме:

Внимателно разглеждаме знаменателя. Прилича много на един от числителните фактори, но какво не е наред? Грешен ред на термините. Ако бъдат разменени, правилото може да се приложи.

Но как да направите това? Оказва се, че е много лесно: тук ни помага четната степен на знаменателя.

Термините магически смениха местата си. Този „феномен“ се отнася за всеки израз в еднаква степен: можем свободно да сменяме знаците в скоби.

Но е важно да запомните: всички знаци се променят едновременно!

Да се ​​върнем към примера:

И отново формулата:

цяланазоваваме естествените числа, техните противоположности (тоест взети със знака "") и числото.

положително цяло число, и не се различава от естественото, тогава всичко изглежда точно както в предишния раздел.

Сега нека разгледаме новите случаи. Нека започнем с индикатор, равен на.

Всяко число с нулева степен е равно на единица:

Както винаги, ние се питаме: защо е така?

Помислете за някаква мощност с база. Вземете например и умножете по:

И така, умножихме числото по и получихме същото, каквото беше -. По какво число трябва да се умножи, за да не се промени нищо? Точно така, на. Средства.

Можем да направим същото с произволно число:

Нека повторим правилото:

Всяко число с нулева степен е равно на единица.

Но има изключения от много правила. И тук също е там - това е число (като основа).

От една страна, тя трябва да е равна на произволна степен - колкото и да умножите нулата сама по себе си, пак ще получите нула, това е ясно. Но от друга страна, като всяко число с нулева степен, то трябва да е равно. И така, каква е истината в това? Математиците решиха да не се намесват и отказаха да вдигнат нула на нулева степен. Тоест сега можем не само да разделим на нула, но и да го повдигнем до нулева степен.

Да отидем по-нататък. В допълнение към естествените числа и числа, целите числа включват отрицателни числа. За да разберем какво е отрицателна степен, нека направим същото като последния път: умножаваме някакво нормално число по същото в отрицателна степен:

От тук вече е лесно да изразите желаното:

Сега ние разширяваме полученото правило до произволна степен:

И така, нека формулираме правилото:

Число в отрицателна степен е обратното на същото число към положителна степен. Но в същото време базата не може да бъде нула:(защото е невъзможно да се раздели).

Нека обобщим:

I. Изразът не е дефиниран в случай. Ако, тогава.

II. Всяко число с нулева степен е равно на едно: .

III. Число, което не е равно на нула на отрицателна степен, е обратното на същото число към положителна степен: .

Задачи за самостоятелно решение:

Е, както обикновено, примери за независимо решение:

Анализ на задачи за самостоятелно решение:

Знам, знам, цифрите са страшни, но на изпита трябва да си готов на всичко! Решете тези примери или анализирайте тяхното решение, ако не можете да го решите и ще научите как лесно да се справяте с тях на изпита!

Нека продължим да разширяваме кръга от числа, "подходящи" като степен.

Сега помислете рационални числа.Кои числа се наричат ​​рационални?

Отговор: всичко, което може да бъде представено като дроб, където и са цели числа, освен това.

За да разберете какво е "дробна степен"Нека разгледаме дроб:

Нека повдигнем двете страни на уравнението на степен:

Сега запомнете правилото "степен до степен":

Какво число трябва да се повиши до степен, за да се получи?

Тази формулировка е определението на корена от та степен.

Нека ви напомня: коренът на тата степен на число () е число, което, когато се повдигне на степен, е равно.

Тоест коренът от та степен е обратната операция на степенуването: .

Оказва се, че. Очевидно този специален случай може да бъде разширен: .

Сега добавете числителя: какво е това? Отговорът е лесен за получаване с правилото мощност към мощност:

Но може ли основата да бъде произволно число? В крайна сметка коренът не може да бъде извлечен от всички числа.

Нито един!

Запомнете правилото: всяко число, повдигнато на четна степен, е положително число. Тоест, невъзможно е да се извлекат корени от четна степен от отрицателни числа!

А това означава, че такива числа не могат да бъдат повдигнати на дробна степен с четен знаменател, тоест изразът няма смисъл.

Ами изразяването?

Но тук възниква проблем.

Числото може да бъде представено като други, намалени дроби, например, или.

И се оказва, че съществува, но не съществува и това са просто два различни записа с едно и също число.

Или друг пример: веднъж, тогава можете да го запишете. Но щом напишем индикатора по различен начин, отново получаваме проблеми: (тоест получихме съвсем различен резултат!).

За да избегнете подобни парадокси, помислете само положителен основен показател с дробен степен.

Така че, ако:

• - естествено число;
• е цяло число;

Примери:

Степенностите с рационален показател са много полезни за трансформиране на изрази с корени, например:

5 практически примера

Анализ на 5 примера за обучение

1. Не забравяйте за обичайните свойства на градусите:

2. . Тук припомняме, че забравихме да научим таблицата с градуси:

все пак - това или. Решението се намира автоматично: .

Е, сега - най-трудното. Сега ще анализираме степен с ирационален показател.

Всички правила и свойства на степени тук са абсолютно същите като за степени с рационален експонент, с изключение на

Всъщност, по дефиниция, ирационалните числа са числа, които не могат да бъдат представени като дроб, където и са цели числа (тоест, ирационалните числа са всички реални числа с изключение на рационалните).

Когато изучаваме степени с естествен, целочислен и рационален индикатор, всеки път измисляхме определен „образ“, „аналогия“ или описание с по-познати термини.

Например естественият показател е число, умножено само по себе си няколко пъти;

...нулева мощност- това е така да се каже число, умножено само по себе си веднъж, тоест все още не е започнало да се умножава, което означава, че самото число още не се е появило - следователно резултатът е само известна „подготовка на число”, а именно число;

...отрицателен целочислен показател- сякаш се е случил определен „обратен процес“, тоест числото не е умножено само по себе си, а разделено.

Между другото, в науката често се използва степен с комплексен показател, тоест експонентът дори не е реално число.

Но в училище ние не мислим за подобни трудности; ще имате възможност да разберете тези нови концепции в института.

КЪДЕТО СМЕ СИГУРНИ, ЩЕ ИДНЕТЕ! (ако се научите как да решавате такива примери :))

Например:

Решете сами:

Анализ на решенията:

1. Да започнем с вече обичайното правило за повишаване на степен до степен:

Сега погледнете резултата. Той напомня ли ти за нещо? Припомняме формулата за съкратено умножение на разликата от квадрати:

В такъв случай,

Оказва се, че:

Отговор: .

2. Привеждаме дроби в степени до една и съща форма: или двете десетични, или и двете обикновени. Получаваме например:

Отговор: 16

3. Нищо особено, ние прилагаме обичайните свойства на градусите:

НАПРЕДНАЛО НИВО

Определение за степен

Степента е израз на формата: , където:

• — основа на степента;
• - степен.

Степен с естествен показател (n = 1, 2, 3,...)

Повишаването на число до естествената степен n означава умножаване на числото по себе си пъти:

Степен с целочислен експонент (0, ±1, ±2,...)

Ако степента е положително цяло числономер:

ерекция до нулева мощност:

Изразът е неопределен, защото, от една страна, до всяка степен е това, а от друга страна, всяко число до та степен е това.

Ако степента е цяло число отрицателнономер:

(защото е невъзможно да се раздели).

Още веднъж за nulls: изразът не е дефиниран в случая. Ако, тогава.

Примери:

Степен с рационален показател

• - естествено число;
• е цяло число;

Примери:

Свойства на степента

За да улесним решаването на проблеми, нека се опитаме да разберем: откъде идват тези свойства? Да ги докажем.

Да видим: какво е и?

А-приоритет:

И така, от дясната страна на този израз се получава следният продукт:

Но по дефиниция това е степен на число с експонента, тоест:

Q.E.D.

Пример : Опростете израза.

Решение : .

Пример : Опростете израза.

Решение : Важно е да се отбележи, че в нашето правило задължителнотрябва да има същата основа. Следователно, ние комбинираме градусите с основата, но оставаме отделен фактор:

Друга важна забележка: това правило - само за продукти на силите!

В никакъв случай не трябва да пиша това.

Точно както при предишното свойство, нека се обърнем към дефиницията на степента:

Нека го пренаредим така:

Оказва се, че изразът се умножава по себе си веднъж, тоест, според дефиницията, това е -та степен на числото:

Всъщност това може да се нарече "закрепване на индикатора в скоби". Но никога не можете да направите това напълно:!

Нека си припомним формулите за съкратено умножение: колко пъти искахме да напишем? Но това не е вярно, наистина.

Мощност с отрицателна основа.

До този момент обсъждахме само това, което трябва да бъде индикаторстепен. Но каква трябва да бъде основата? В градуси от естествено индикатор основата може да бъде произволно число .

Всъщност можем да умножим всяко число едно по друго, независимо дали е положително, отрицателно или четно. Нека помислим кои знаци (" " или "") ще имат степени на положителни и отрицателни числа?

Например, числото ще бъде положително или отрицателно? НО? ?

С първото всичко е ясно: колкото и положителни числа да умножим едно с друго, резултатът ще бъде положителен.

Но негативните са малко по-интересни. В крайна сметка помним едно просто правило от 6-ти клас: „минус по минус дава плюс“. Това е, или. Но ако умножим по (), получаваме -.

И така нататък до безкрай: с всяко следващо умножение знакът ще се променя. Можете да формулирате тези прости правила:

1. дористепен, - брой положителен.
2. Отрицателното число се повишава до странностепен, - брой отрицателен.
3. Положително число на всяка степен е положително число.
4. Нула на всяка степен е равна на нула.

Определете сами какъв знак ще имат следните изрази:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Справихте ли се? Ето и отговорите:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

В първите четири примера, надявам се, всичко е ясно? Просто разглеждаме основата и степента и прилагаме съответното правило.

В пример 5) всичко също не е толкова страшно, колкото изглежда: няма значение на какво е равна основата - степента е четна, което означава, че резултатът винаги ще бъде положителен. Е, освен когато основата е нула. Базата не е същата, нали? Очевидно не, тъй като (защото).

Пример 6) вече не е толкова прост. Тук трябва да разберете кое е по-малко: или? Ако си спомните това, става ясно, че това означава, че основата е по-малка от нула. Тоест прилагаме правило 2: резултатът ще бъде отрицателен.

И отново използваме определението за степен:

Всичко е както обикновено - записваме определението на степени и ги разделяме една на друга, разделяме ги на двойки и получаваме:

Преди да анализираме последното правило, нека решим няколко примера.

Изчислете стойностите на изразите:

Решения :

Ако не обърнем внимание на осмата степен, какво виждаме тук? Нека да разгледаме програмата за 7-ми клас. И така, помниш ли? Това е съкратената формула за умножение, а именно разликата на квадратите!

Получаваме:

Внимателно разглеждаме знаменателя. Прилича много на един от числителните фактори, но какво не е наред? Грешен ред на термините. Ако се разменят, може да се приложи правило 3. Но как да стане това? Оказва се, че е много лесно: тук ни помага четната степен на знаменателя.

Ако го умножите по, нищо не се променя, нали? Но сега изглежда така:

Термините магически смениха местата си. Този „феномен“ се отнася за всеки израз в еднаква степен: можем свободно да сменяме знаците в скоби. Но е важно да запомните: всички знаци се променят едновременно!Не може да бъде заменен със смяна само на един нежелателен за нас минус!

Да се ​​върнем към примера:

И отново формулата:

И така, сега последното правило:

Как ще го докажем? Разбира се, както обикновено: нека да разширим концепцията за степен и да опростим:

Е, сега нека отворим скобите. Колко букви ще има? пъти по множители - как изглежда? Това не е нищо друго освен определението за операция умножение: общо се оказа, че има множители. Тоест, по дефиниция е степен на число с експонента:

пример:

Степен с ирационален показател

Освен информация за степените за средно ниво, ще анализираме степента с ирационален индикатор. Всички правила и свойства на степени тук са точно същите като за степен с рационален експонент, с изключението - в края на краищата, по дефиниция, ирационалните числа са числа, които не могат да бъдат представени като дроб, където и са цели числа (т.е. , ирационалните числа са всички реални числа с изключение на рационалните).

Когато изучаваме степени с естествен, целочислен и рационален индикатор, всеки път измисляхме определен „образ“, „аналогия“ или описание с по-познати термини. Например естественият показател е число, умножено само по себе си няколко пъти; число до нулева степен е като че ли число, умножено само по себе си веднъж, тоест все още не е започнало да се умножава, което означава, че самото число дори не се е появило - следователно резултатът е само определена „подготовка на номер“, а именно номер; степен с отрицателно цяло число - сякаш е настъпил определен „обратен процес“, тоест числото не е умножено само по себе си, а разделено.

Изключително трудно е да си представим степен с ирационален показател (както е трудно да си представим 4-мерно пространство). По-скоро това е чисто математически обект, който математиците са създали, за да разширят концепцията за степен до цялото пространство от числа.

Между другото, в науката често се използва степен с комплексен показател, тоест експонентът дори не е реално число. Но в училище ние не мислим за подобни трудности; ще имате възможност да разберете тези нови концепции в института.

И така, какво да правим, ако видим ирационален показател? Правим всичко възможно да се отървем от него! :)

Например:

Решете сами:

1)

2)

3)

Отговори:

1. Запомнете формулата за разликата на квадратите. Отговор: .
2. Привеждаме дробите в една и съща форма: или двете десетични, или и двете обикновени. Получаваме например: .
3. Нищо особено, ние прилагаме обичайните свойства на градусите:

РЕЗЮМЕ НА РАЗДЕЛ И ОСНОВНА ФОРМУЛА

Степенсе нарича израз от формата: , където:

Степен с целочислен показател

степен, чийто показател е естествено число (т.е. цяло число и положително).

Степен с рационален показател

степен, чийто индикатор е отрицателни и дробни числа.

Степен с ирационален показател

степен, чийто показател е безкрайна десетична дроб или корен.

Свойства на степента

Характеристики на степени.

• Отрицателното число се повишава до дористепен, - брой положителен.
• Отрицателното число се повишава до странностепен, - брой отрицателен.
• Положително число на всяка степен е положително число.
• Нулата е равна на всяка степен.
• Всяко число с нулева степен е равно.

СЕГА ИМАТЕ ДУМА...

Как ви харесва статията? Кажете ми в коментарите по-долу дали ви е харесало или не.

Разкажете ни за вашия опит с енергийните свойства.

Може би имате въпроси. Или предложения.

Пишете в коментарите.

И успех с изпитите!

Една от основните характеристики в алгебрата, а и в цялата математика, е степента. Разбира се, в 21-ви век всички изчисления могат да се извършват на онлайн калкулатор, но е по-добре да се научите как да го направите сами за развитието на мозъка.

В тази статия ще разгледаме най-важните въпроси, свързани с това определение. А именно, ще разберем какво представлява той като цяло и какви са основните му функции, какви свойства съществуват в математиката.

Нека да разгледаме примери за това как изглежда изчислението, какви са основните формули. Ще анализираме основните видове величини и как те се различават от другите функции.

Ще разберем как да решаваме различни проблеми, използвайки тази стойност. Ще покажем с примери как се повишава до нула степен, ирационална, отрицателна и т.н.

Онлайн калкулатор за степенуване

Каква е степента на число

Какво означава изразът „повдигане на число на степен“?

Степента n на число a е произведение на фактори с големина a n пъти подред.

Математически изглежда така:

a n = a * a * a * …a n .

Например:

• 2 3 = 2 в третата стъпка. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 в стъпка. две = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 в стъпка. четири = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 10 5 \u003d 10 в 5 стъпка. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
• 10 4 \u003d 10 в 4 стъпка. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

По-долу е дадена таблица с квадрати и кубчета от 1 до 10.

Таблица на степени от 1 до 10

По-долу са резултатите от издигането на естествени числа в положителни степени - "от 1 до 100".

Ч-ло	2-ри клас	3-ти клас
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

Свойства на степента

Какво е характерно за такава математическа функция? Нека разгледаме основните свойства.

Учените са установили следното признаци, характерни за всички степени:

• a n * a m = (a) (n+m) ;
• a n: a m = (a) (n-m) ;
• (a b) m =(a) (b*m) .

Нека проверим с примери:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. От друга страна 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.

По същия начин: 2 3: 2 2 = 8 / 4 = 2. В противен случай 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. Ами ако е различно? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Както виждате, правилата работят.

Но как да бъде със събиране и изваждане? Всичко е просто. Първо се извършва степенуване и едва след това събиране и изваждане.

Нека разгледаме примери:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 - 3 2 = 25 - 9 = 16

Но в този случай първо трябва да изчислите добавянето, тъй като има действия в скоби: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Как се произвежда изчисления в по-сложни случаи? Редът е същият:

• ако има скоби, трябва да започнете с тях;
• след това степенуване;
• след това извършват операции за умножение, деление;
• след събиране, изваждане.

Има специфични свойства, които не са характерни за всички степени:

1. Коренът от n-та степен от числото a до степента m ще бъде записан като: a m / n .
2. При издигане на дроб на степен: и числителят, и знаменателят са обект на тази процедура.
3. При повишаване на произведението на различни числа в степен, изразът ще съответства на произведението на тези числа в дадена степен. Тоест: (a * b) n = a n * b n .
4. Когато увеличавате число на отрицателна степен, трябва да разделите 1 на число в същата стъпка, но със знак „+“.
5. Ако знаменателят на дроб е в отрицателна степен, тогава този израз ще бъде равен на произведението на числителя и знаменателя в положителна степен.
6. Всяко число на степен 0 = 1 и на стъпката. 1 = за себе си.

Тези правила са важни в отделни случаи, ще ги разгледаме по-подробно по-долу.

Степен с отрицателен показател

Какво да правим с отрицателна степен, тоест когато индикаторът е отрицателен?

Въз основа на свойства 4 и 5(виж точката по-горе) Оказва се:

A (- n) \u003d 1 / A n, 5 (-2) \u003d 1/5 2 = 1/25.

И обратно:

1 / A (- n) \u003d A n, 1 / 2 (-3) \u003d 2 3 = 8.

Ами ако е дроб?

(A / B) (- n) = (B / A) n , (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.

Степен с естествен показател

Тя се разбира като степен с експоненти, равни на цели числа.

Неща, които трябва да запомните:

A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1… и т.н.

A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3… и т.н.

Също така, ако (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2...тогава резултатът ще бъде със знак “+”. Ако отрицателно число се повиши на нечетна степен, тогава обратното.

Общите свойства и всички описани по-горе специфични характеристики също са характерни за тях.

Дробна степен

Този изглед може да се запише като схема: A m / n. Чете се като: корен от n-та степен на числото A на степен на m.

С дробен индикатор можете да направите всичко: да намалите, да разложите на части, да увеличите до друга степен и т.н.

Степен с ирационален показател

Нека α е ирационално число и А ˃ 0.

За да разберете същността на степента с такъв индикатор, Нека разгледаме различни възможни случаи:

• A \u003d 1. Резултатът ще бъде равен на 1. Тъй като има аксиома - 1 е равно на едно във всички степени;

А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 са рационални числа;

• 0˂А˂1.

В този случай, обратно: А r 2 ˂ А α ˂ А r 1 при същите условия като във втория параграф.

Например, степента е числото π.Рационално е.

r 1 - в този случай е равно на 3;

r 2 - ще бъде равно на 4.

Тогава за A = 1, 1 π = 1.

A = 2, след това 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4 , 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, тогава (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3 , 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Такива степени се характеризират с всички описани по-горе математически операции и специфични свойства.

Заключение

Нека да обобщим - за какво са тези стойности, какви са предимствата на такива функции? Разбира се, на първо място, те опростяват живота на математиците и програмистите при решаване на примери, тъй като позволяват минимизиране на изчисленията, намаляване на алгоритмите, систематизиране на данни и много други.

Къде другаде могат да бъдат полезни тези знания? Във всяка работеща специалност: медицина, фармакология, дентална медицина, строителство, технология, инженерство, дизайн и др.