Gdz за тези механици. Основни закони и формули за теоретична механика. Решение на примери. Интегриране на диференциални уравнения на движение на материална точка под въздействието на променливи сили

Съдържание

Кинематика

Кинематика на материалната точка

Определяне на скоростта и ускорението на дадена точка според дадените уравнения на нейното движение

Дадено: Уравнения на движение на точка: x \u003d 12 грях (πt / 6), см; y \u003d 6 cos 2 (πt / 6), см.

Задайте типа на нейната траектория и за моментния момент t \u003d 1 секунда намерете позицията на точка върху траекторията, нейната скорост, общо, тангенциално и нормално ускорение, както и радиуса на кривина на траекторията.

Транслационно и въртеливо движение на твърдо тяло

Дадено:
t \u003d 2 s; r 1 \u003d 2 cm, R 1 \u003d 4 cm; r 2 \u003d 6 cm, R 2 \u003d 8 cm; r 3 \u003d 12 cm, R 3 \u003d 16 cm; s 5 \u003d t 3 - 6t (cm).

Определете в момент t \u003d 2 скоростите на точки A, C; ъглово ускорение на колело 3; ускорение в точка Б и ускорение на персонала 4.

Кинематичен анализ на плосък механизъм

Дадено:
R 1, R 2, L, AB, ω 1.
Намерете: ω 2.

Плоският механизъм се състои от пръти 1, 2, 3, 4 и плъзгач E. Пръчките са свързани посредством цилиндрични панти. Точка D се намира в средата на лента AB.
Дадено: ω 1, ε 1.
Намерете: скоростите V A, V B, V D и V E; ъглови скорости ω 2, ω 3 и ω 4; ускорение a B; ъглово ускорение ε AB връзка AB; позиции на моментални центрове на скорости P 2 и P 3 на връзки 2 и 3 на механизма.

Определяне на абсолютната скорост и абсолютното точково ускорение

Правоъгълната плоча се върти около неподвижна ос съгласно закона φ \u003d 6 t 2 - 3 t 3 ... Положителната посока на отчитане на ъгъла φ е показана на фигурите със стрелка с дъга. Оста на въртене OO 1 лежи в равнината на плочата (плочата се върти в пространството).

Точка М се движи по линията BD на плочата. Даден е законът за неговото относително движение, т.е.зависимостта s \u003d AM \u003d 40 (t - 2 t 3) - 40 (s - в сантиметри, t - за секунди). Разстояние b \u003d 20 см... На фигурата точка М е показана в положение, при което s \u003d AM > 0 (за s< 0 точка М е от другата страна на точка А).

Намерете абсолютната скорост и абсолютното ускорение на точка М в момент t 1 \u003d 1 s.

Динамика

Интегриране на диференциални уравнения на движение на материална точка под действието на променливи сили

Натоварване D с маса m, получило началната скорост V 0 в точка A, се движи в извита тръба ABC, разположена във вертикална равнина. На участъка AB, чиято дължина е l, постоянна сила T (нейната посока е показана на фигурата) и силата на съпротивление R на средата действат върху товара (модулът на тази сила R \u003d μV 2, векторът R е насочен обратно на скоростта V на товара).

Товарът, след като завърши движението си по участък AB, в точка B на тръбата, без да променя стойността на модула на скоростта, отива към участък BC. В раздел BC, върху товара действа променлива сила F, чиято проекция F x на оста x е дадена.

Разглеждайки товара като материална точка, намерете закона на неговото движение върху секцията BC, т.е. x \u003d f (t), където x \u003d BD. Пренебрегвайте триенето на товара върху тръбата.

Изтеглете решение на проблема

Теоремата за промяната в кинетичната енергия на механична система

Механичната система се състои от тежести 1 и 2, цилиндричен валяк 3, двустепенни ролки 4 и 5. Телата на системата са свързани с резби, навити на ролките; участъците на резбата са успоредни на съответните равнини. Ролката (плътен еднороден цилиндър) се търкаля по референтната равнина без плъзгане. Радиусите на стъпките на ролките 4 и 5 са \u200b\u200bсъответно R 4 \u003d 0,3 m, r 4 \u003d 0,1 m, R 5 \u003d 0,2 m, r 5 \u003d 0,1 m. Масата на всяка ролка се счита за равномерно разпределена по външния й ръб ... Опорните равнини на тежести 1 и 2 са грапави, коефициентът на триене на плъзгане за всеки товар е f \u003d 0,1.

Под действието на силата F, модулът на която се променя съгласно закона F \u003d F (s), където s е изместването на точката на приложението му, системата започва да се движи от състояние на покой. Когато системата се движи, върху ролката 5 действат сили на съпротивление, чийто момент спрямо оста на въртене е постоянен и равен на M 5.

Определете стойността на ъгловата скорост на ролката 4 към онзи момент във времето, когато изместването s на точката на прилагане на силата F стане равно на s 1 \u003d 1,2 m.

Изтеглете решение на проблема

Приложение на общото уравнение на динамиката към изследването на движението на механична система

За механичната система определете линейното ускорение a 1. Да приемем, че масите на блоковете и ролките са разпределени по външния радиус. Кабелите и коланите се считат за безтегловни и разтегателни; няма приплъзване. Пренебрегвайте триенето при търкаляне и плъзгане.

Изтеглете решение на проблема

Прилагане на принципа на д’Аламбер за определяне на реакциите на опорите на въртящо се тяло

Вертикалният вал AK, въртящ се равномерно с ъглова скорост ω \u003d 10 s -1, е фиксиран от аксиален лагер в точка A и цилиндричен лагер в точка D.

Безтеглов прът 1 с дължина l 1 \u003d 0,3 m е здраво закрепен към шахтата, на чийто свободен край има товар с маса m 1 \u003d 4 kg, и хомогенен прът 2 с дължина l 2 \u003d 0,6 m и маса m 2 \u003d 8 kg. И двете пръчки лежат в една и съща вертикална равнина. Точките на закрепване на прътите към вала, както и ъглите α и β, са посочени в таблицата. Размери AB \u003d BD \u003d DE \u003d EK \u003d b, където b \u003d 0,4 м. Вземете товара като точка на материала.

Като пренебрегвате масата на вала, определете реакцията на аксиалния лагер и лагера.

Теоретична механика - това е раздел от механиката, който излага основните закони на механичното движение и механичното взаимодействие на материалните тела.

Теоретичната механика е наука, в която се изучават движенията на телата във времето (механични движения). Той служи като основа за други клонове на механиката (теория на еластичността, устойчивостта на материалите, теория на пластичността, теория на механизмите и машините, хидроаеродинамика) и много технически дисциплини.

Механично движение - Това е промяна във времето на относителното положение в пространството на материалните тела.

Механично взаимодействие - това е такова взаимодействие, в резултат на което се променя механичното движение или се променя относителното положение на частите на тялото.

Статика на твърдо тяло

Статика - това е раздел от теоретичната механика, който се занимава с проблемите за равновесието на твърдите тела и превръщането на една система от сили в друга, еквивалентна на нея.

Основни понятия и закони на статиката
• Абсолютно солидна (твърдо тяло) е материално тяло, разстоянието между всякакви точки, в което не се променя.
• Материална точка Е тяло, чиито размери, според условията на проблема, могат да бъдат пренебрегнати.
• Свободно тяло Е тяло, чието движение не подлежи на никакви ограничения.
• Несвободно (обвързано) тяло Е тяло, чието движение е ограничено.
• Връзки - това са тела, които предотвратяват движението на разглеждания обект (тяло или система от тела).
• Реакция на комуникация Е сила, която характеризира ефекта на връзката върху твърдо тяло. Ако разглеждаме силата, с която твърдото тяло действа върху връзката като действие, тогава реакцията на връзката е реакция. В този случай силата - действието се прилага към връзката, а реакцията на връзката се прилага към твърдото вещество.
• Механична система Е набор от взаимосвързани тела или материални точки.
• Твърдо може да се разглежда като механична система, позициите и разстоянието между точките на която не се променят.
• Сила Е векторна величина, която характеризира механичното действие на едно материално тяло върху друго.
  Силата като вектор се характеризира с точката на приложение, посоката на действие и абсолютната стойност. Мерната единица за модула на сила е Нютон.
• Линия за принудително действие Е права линия, по която е насочен векторът на силата.
• Концентрирана мощност - сила, приложена в една точка.
• Разпределени сили (разпределено натоварване) - това са силите, действащи върху всички точки на обема, повърхността или дължината на тялото.
  Разпределеното натоварване се задава от силата, действаща върху единица обем (повърхност, дължина).
  Размерът на разпределеното натоварване е N / m 3 (N / m 2, N / m).
• Външна сила Е сила, действаща от тяло, което не принадлежи към разглежданата механична система.
• Вътрешна сила Сила, действаща върху материална точка на механична система от друга материална точка, принадлежаща на разглежданата система.
• Силова система Представлява набор от сили, действащи върху механична система.
• Плоска система от сили Е система от сили, чиито линии на действие лежат в една равнина.
• Пространствена система от сили Е система от сили, чиито линии на действие не лежат в една и съща равнина.
• Система на сближаващи се сили Е система от сили, чиито линии на действие се пресичат в една точка.
• Система за произволна сила Представлява система от сили, чиито линии на действие не се пресичат в една точка.
• Еквивалентни системи от сили - това са системи от сили, заместването на които една с друга не променя механичното състояние на тялото.
  Прието наименование :.
• Равновесие - това е състояние, при което тялото под действието на сили остава неподвижно или се движи равномерно по права линия.
• Балансирана система от сили Е система от сили, която, когато се прилага към свободно твърдо вещество, не променя механичното си състояние (не дисбалансира).
  .
• Резултантна сила Е сила, чието действие върху тялото е еквивалентно на действието на системата от сили.
  .
• Момент на властта Е стойност, която характеризира ротационната способност на сила.
• Няколко сили Представлява система от две успоредни, еднакви по големина, противоположно насочени сили.
  Прието наименование :.
  Под действието на двойка сили тялото ще се върти.
• Проекция на сила на оста Е сегмент, затворен между перпендикуляри, изтеглени от началото и края на вектора на силата към тази ос.
  Проекцията е положителна, ако посоката на отсечката на линията съвпада с положителната посока на оста.
• Проекция на сила върху равнина Е вектор на равнина, затворен между перпендикуляри, изтеглени от началото и края на вектора на силата към тази равнина.
• Закон 1 (закон за инерцията). Изолирана материална точка е в покой или се движи равномерно и праволинейно.
  Равномерното и праволинейно движение на материалната точка е движение по инерция. Състоянието на равновесие на материална точка и твърдо тяло се разбира не само като състояние на покой, но и като движение по инерция. За твърдо тяло съществуват различни видове инерционни движения, например равномерно въртене на твърдо тяло около фиксирана ос.
• Закон 2. Твърдото тяло е в равновесие под действието на две сили само ако тези сили са равни по големина и насочени в противоположни посоки по общата линия на действие.
  Тези две сили се наричат \u200b\u200bбалансиращи сили.
  По принцип силите се наричат \u200b\u200bбалансиращи, ако твърдото тяло, към което се прилагат тези сили, е в покой.
• Закон 3. Без да се нарушава състоянието (тук думата „състояние“ означава състояние на движение или покой) на твърдо тяло, човек може да добавя и пуска противовесни сили.
  Последствие. Без да се нарушава състоянието на твърдо тяло, силата може да се прехвърли по неговата линия на действие до всяка точка на тялото.
  Две системи от сили се наричат \u200b\u200bеквивалентни, ако една от тях може да бъде заменена с друга, без да се нарушава състоянието на твърдо тяло.
• Закон 4. Резултантът от две сили, приложени в една точка, приложени в една и съща точка, е равен по големина на диагонала на паралелограма, изграден върху тези сили, и е насочен по тази
  диагонали.
  Модулът на резултанта е равен на:
  
• Закон 5 (закон за равенството на действие и реакция)... Силите, с които две тела действат едно на друго, са равни по големина и насочени в противоположни посоки по една права линия.
  Трябва да се има предвид, че действай - сила, приложена към тялото Б.и опозиция - сила, приложена към тялото Aне са балансирани, тъй като са прикрепени към различни тела.
• Закон 6 (закон за втвърдяване)... Равновесието на не-твърдо тяло не се нарушава, когато се втвърди.
  Не трябва да се забравя, че условията на равновесие, които са необходими и достатъчни за едно твърдо вещество, са необходими, но не са достатъчни за съответното нетвърдо вещество.
• Закон 7 (закон за освобождаване от връзки). Несвободно твърдо вещество може да се счита за свободно, ако е психически освободено от връзки, замествайки действието на връзките със съответните реакции на връзките.

Връзки и техните реакции
• Гладка повърхност ограничава движението по нормалното към опорната повърхност. Реакцията е насочена перпендикулярно на повърхността.
• Съчленена подвижна опора ограничава движението на тялото по нормала към референтната равнина. Реакцията е насочена по нормала към опорната повърхност.
• Съчленена фиксирана опора противодейства на всяко движение в равнина, перпендикулярна на оста на въртене.
• Съчленен безтеглов прът противодейства на движението на тялото по линията на щангата. Реакцията ще бъде насочена по линията на лентата.
• Сляпо прекратяване противодейства на всяко движение и въртене в равнината. Действието му може да бъде заменено от сила, представена под формата на два компонента и двойка сили с момент.

Кинематика

Кинематика - раздел от теоретичната механика, който разглежда общите геометрични свойства на механичното движение, като процес, който се случва в пространството и времето. Подвижните обекти се считат за геометрични точки или геометрични тела.

Основни понятия за кинематика
• Законът за движение на точка (тяло) Дали е зависимостта на положението на точка (тяло) в пространството от времето.
• Точкова траектория Е геометричното разположение на точка в пространството по време на нейното движение.
• Точка (тяло) скорост - това е характеристика на промяната във времето на положението на точка (тяло) в пространството.
• Точково ускорение (тяло) - Това е характеристика на промяната във времето на скоростта на дадена точка (тяло).

Определяне на кинематичните характеристики на точка
• Точкова траектория
  Във векторната референтна рамка траекторията се описва с израза :.
  В референтната координатна система траекторията се определя съгласно закона за движение на точка и се описва с изразите z \u003d f (x, y) - в космоса, или y \u003d f (x) - в самолета.
  В естествената референтна рамка траекторията се задава предварително.
• Определяне на скоростта на точка във векторна координатна система
  Когато се определя движението на точка във векторна координатна система, съотношението на движение към интервала от време се нарича средна стойност на скоростта в този интервал от време:.
  Приемайки интервала от време като безкрайно малка стойност, стойността на скоростта се получава в даден момент (моментна стойност на скоростта): .
  Средният вектор на скоростта е насочен по вектора по посока на движението на точката, моменталният вектор на скоростта е насочен тангенциално към траекторията в посока на точковото движение.
  Заключение: скоростта на точка е векторна величина, равна на производната на закона за движение по отношение на времето.
  Производно свойство: производната на времето на произволно количество определя скоростта на промяна на това количество.
• Определяне на скоростта на точка в координатна система
  Скорост на промяна на координатите на точки:
  .
  Модулът на пълната скорост на точка с правоъгълна координатна система ще бъде равен на:
  .
  Посоката на вектора на скоростта се определя от косинусите на ъглите на посоката:
  ,
  където са ъглите между вектора на скоростта и координатните оси.
• Определяне на скоростта на точка в естествена референтна рамка
  Скоростта на точка в естествената референтна система се определя като производна на закона за движение на точка:.
  Според предишните заключения, вектора на скоростта е насочен тангенциално към траекторията в посока на движение на точката и по осите се определя само от една проекция.

Кинематика на твърдо тяло
• В кинематиката на твърдите тела се решават две основни задачи:
  1) задачата за движение и определянето на кинематичните характеристики на тялото като цяло;
  2) определяне на кинематичните характеристики на телесните точки.
• Транслационното движение на твърдо тяло
  Транслационното движение е движение, при което права линия, изтеглена през две точки на тялото, остава успоредна на първоначалното си положение.
  Теорема: по време на транслационното движение всички точки на тялото се движат по едни и същи траектории и във всеки момент от времето имат еднаква скорост и ускорение по големина и посока.
  Заключение: транслационното движение на твърдо тяло се определя от движението на която и да е от неговите точки, във връзка с което задачата и изследването на неговото движение се свежда до кинематиката на точката.
• Ротационно движение на твърдо тяло около неподвижна ос
  Въртящото движение на твърдо тяло около неподвижна ос е движението на твърдо тяло, при което две точки, принадлежащи на тялото, остават неподвижни през цялото време на движение.
  Позицията на тялото се определя от ъгъла на въртене. Единицата за ъгъл е радиани. (Radian е централният ъгъл на окръжност, чиято дължина на дъгата е равна на радиуса, съдържащ общия ъгъл на окръжността 2π радиани.)
  Законът за въртеливото движение на тялото около неподвижна ос.
  Ъгловата скорост и ъгловото ускорение на тялото се определят чрез метода на диференциация:
  - ъглова скорост, rad / s;
  - ъглово ускорение, rad / s².
  Ако изрежете тялото с равнина, перпендикулярна на оста, изберете точката на оста на въртене ОТ и произволна точка Мслед това точка М ще опише около точката ОТ радиус на кръга R... По време на dt настъпва елементарен завой през ъгъл, докато точката М ще се движи по траекторията на разстояние .
  Модул за линейна скорост:
  .
  Точково ускорение М с известна траектория, тя се определя от нейните компоненти:
  ,
  Където .
  В резултат получаваме формулите
  тангенциално ускорение: ;
  нормално ускорение: .

Динамика

Динамика - Това е раздел от теоретичната механика, който изучава механичните движения на материалните тела в зависимост от причините, които ги причиняват.

Основни понятия за динамика
• Инерция - това е свойството на материалните тела да поддържат състояние на покой или равномерно праволинейно движение, докато външните сили не променят това състояние.
• Тегло Е количествена мярка за инерция на тялото. Мерната единица за маса е килограм (кг).
• Материална точка Представлява тяло с маса, размерите на която се пренебрегват при решаването на този проблем.
• Център на тежестта на механичната система - геометрична точка, чиито координати се определят от формулите:
  
  Където m k, x k, y k, z k - маса и координати к-та точка на механичната система, м Е масата на системата.
  В хомогенно гравитационно поле положението на центъра на масата съвпада с положението на центъра на тежестта.
• Моментът на инерция на материално тяло около оста Е количествена мярка на инерцията по време на въртеливо движение.
  Моментът на инерция на материалната точка около оста е равен на произведението на масата на точката на квадрата на разстоянието на точката от оста:
  .
  Моментът на инерция на системата (тялото) около оста е равен на аритметичната сума на инерционните моменти на всички точки:
  
• Силата на инерция на материалната точка Е векторна величина, равна по величина на произведението на точковата маса от модула на ускорението и насочена обратно на вектора на ускорението:
• Силата на инерция на материално тяло Е векторна величина, равна по модул на произведението на телесната маса от модула на ускорение на центъра на масата на тялото и насочена противоположно на вектора на ускорение на центъра на масата :,
  където е ускорението на центъра на масата на тялото.
• Импулс на елементарна сила Е векторна величина, равна на произведението на вектора на силата от безкрайно малък интервал от време dt:
  .
  Общият импулс на сила за Δt е равен на интеграла на елементарните импулси:
  .
• Елементарна мощност Е скалар dAравен на скаларен proi

Много студенти се сблъскват с определени предизвикателства, когато преподават основни технически дисциплини като здравина на материалите и теоретична механика в курса си на обучение. Тази статия ще обхване един такъв предмет - така наречената техническа механика.

Техническата механика е науката, която изучава различни механизми, техния синтез и анализ. На практика това означава комбинация от три дисциплини - устойчивост на материали, теоретична механика и машинни части. Удобно е, че всяка образователна институция избира в каква пропорция да преподава тези курсове.

Съответно в повечето контролни работи задачите са разделени на три блока, които трябва да се решават отделно или заедно. Нека разгледаме най-често срещаните задачи.

Раздел първи. Теоретична механика

От цялото разнообразие на теоретичните проблеми най-често можете да намерите проблеми от раздела за кинематиката и статиката. Това са задачи за равновесие на плоска рамка, определяне на законите на движение на телата и кинематичен анализ на лостовия механизъм.

За да се решат задачи за равновесието на плоска рамка, е необходимо да се използва уравнението за равновесие за плоска система от сили

Сумата от проекциите на всички сили върху координатните оси е нула, а сумата от моментите на всички сили спрямо която и да е точка е нула. Решавайки тези уравнения заедно, ние определяме величината на реакциите на всички опори на плоската рамка.

При задачите за определяне на основните кинематични параметри на движението на телата е необходимо въз основа на дадена траектория или закона за движение на материална точка да се определят нейната скорост, ускорение (пълно, тангенциално и нормално) и радиус на кривината на траекторията. Законите за движение на точка се дават от уравненията на траекторията:

Проекциите на скоростта на точка върху координатните оси се намират чрез диференциране на съответните уравнения:

Разграничавайки уравненията на скоростта, намираме проекцията на точковото ускорение. Тангенсът и нормалните ускорения, радиусът на кривината на траекторията се намират графично или аналитично:

Кинематичният анализ на връзката се извършва по следната схема:

1. Разделяне на механизма в групи Assur
2. Изграждане на планове за скорости и ускорения за всяка от групите
3. Определяне на скорости и ускорения на всички връзки и точки на механизма.

Раздел втори. Якост на материалите

Устойчивостта на материалите е доста труден за разбиране раздел с много различни задачи, повечето от които се решават по техен собствен метод. За да улеснят решаването на студентите, най-често в хода на приложната механика те дават елементарни задачи за просто съпротивление на конструкциите - освен това видът и материалът на конструкцията, като правило, зависи от профила на университета.

Най-често срещаните проблеми са компресия на опън, огъване и усукване.

При проблемите на компресиране на опън е необходимо да се построят диаграми на надлъжни сили и нормални напрежения, а понякога и на премествания на конструктивни секции.

За да направите това, е необходимо да разделите конструкцията на секции, чиито граници ще бъдат местата, където се прилага натоварването или се променя площта на напречното сечение. Освен това, използвайки формулите за равновесие на твърдо тяло, ние определяме стойностите на вътрешните сили на границите на участъците и, като се има предвид площта на напречното сечение, вътрешните напрежения.

Въз основа на получените данни изграждаме графики - диаграми, като за оста на графиката вземаме оста на симетрия на структурата.

Проблемите с усукване са подобни на проблемите при огъване, с изключение на това, че върху тялото се прилагат въртящи моменти вместо сили на опън. Имайки това предвид, е необходимо да се повторят етапите на изчислението - разделяне на секции, определяне на усукващите моменти и ъгли на усукване и нанасяне на диаграми.

При проблеми с огъването е необходимо да се изчислят и определят силите на срязване и огъващите моменти за натоварената греда.
Първо се определят реакциите на опорите, в които е закрепен лъчът. За да направите това, трябва да запишете уравненията за равновесие на структурата, като вземете предвид всички действащи усилия.

След това лентата се разделя на секции, чиито граници ще бъдат точките на прилагане на външни сили. Като се разглежда равновесието на всеки участък поотделно, се определят силите на срязване и огъващите моменти на границите на участъците. Въз основа на получените данни се изграждат диаграми.

Изпитването на якост на напречното сечение се извършва, както следва:

1. Определя се местоположението на опасния участък - участъкът, където ще действат най-големите огъващи моменти.
2. Моментът на съпротивление на напречното сечение на пръта се определя от състоянието на якост на огъване.
3. Определя се характерният размер на секцията - диаметър, дължина на страницата или номер на профила.

Раздел трети. Машинни части

Разделът "Машинни части" обединява всички задачи за изчисляване на механизми, работещи в реални условия - това може да бъде задвижване на конвейер или зъбна предавка. Задачата значително се улеснява от факта, че всички формули и методи за изчисление са дадени в справочници и ученикът трябва само да избере тези от тях, които са подходящи за даден механизъм.

Литература

1. Теоретична механика: Методически указания и тестови задачи за студенти задочни инженерни, строителни, транспортни, инструментални специалности на висши учебни заведения / Изд. проф. SM Targa, - M.: Висше училище, 1989, четвърто издание;
2. А. В. Дарков, Г. С. Шпиро. „Якост на материалите“;
3. Чернавски С.А. Курсово проектиране на машинни части: Учебник. наръчник за студенти от инженерни специалности на техникуми / С. А. Чернавски, К. Н. Боков, И. М. Чернин и други - 2-ро изд., преработено. и добавете. - М. Машиностроене, 1988. - 416 с .: Ил.

Персонализирано решение за техническа механика

Нашата компания предлага и услуги за решаване на проблеми и контролни работи по механика. Ако имате затруднения с разбирането на тази тема, винаги можете да поръчате подробно решение от нас. Поемаме предизвикателни задачи!
може да бъде безплатно.