Приемане на вероятност. Теория на вероятностите. Вероятност за събитие, случайни събития (теория на вероятностите). Независими и несъвместими събития в теорията на вероятностите. Примери за решения на задачи по класическата вероятност

тогава казваме, че случайната променлива ξ То има плътност на разпределение на вероятността f(x).

Определение.Нека бъде . За непрекъсната функция на разпределение Е теоретичен α-квантилсе нарича решение на уравнението.

Това решение може да не е единственото.

Квантил на ниво ½ наречена теоретична Медиана , квантили на ниво ¼ и ¾ -долни и горни квартили съответно.

В актюерските приложения важна роля играят Неравенството на Чебишев:

за всякакви

Символ за математическо очакване.

Той гласи така:вероятността модулът да е по-голям от по-малък или равен на очаквания модул, разделено на .

Животът като случайна променлива

Несигурността на момента на смъртта е основен рисков фактор при животозастраховането.

За момента на смъртта на индивида не може да се каже нищо определено. Но ако имаме работа с голяма хомогенна група от хора и не се интересуваме от съдбата на отделни хора от тази група, тогава ние попадаме в рамките на теорията на вероятностите като наука за масовите случайни явления със свойството стабилност на честотата.

съответно можем да говорим за продължителността на живота като случайна променлива T.

функция за оцеляване

В теорията на вероятностите те описват стохастичната природа на всяка случайна променлива Tразпределителна функция F(x),което се определя като вероятността случайната променлива Tпо-малко от число х:

.

В актюерската математика е приятно да се работи не с разпределителна функция, а с допълнителна разпределителна функция . По отношение на дълголетието, това е вероятността човек да доживее до възрастта хгодини.

Наречен функция за оцеляване(функция за оцеляване):

Функцията за оцеляване има следните свойства:

В таблиците за живота обикновено се приема, че има възрастова граница (ограничаване на възрастта) (като правило години) и съответно при x>.

Когато се описва смъртността чрез аналитични закони, обикновено се приема, че продължителността на живота е неограничена, но видът и параметрите на законите са избрани така, че вероятността от живот над определена възраст е незначителна.

Функцията за оцеляване има просто статистическо значение.

Да кажем, че наблюдаваме група новородени (обикновено ), които наблюдаваме и можем да запишем моментите на тяхната смърт.

Нека означим броя на живите представители на тази група на възраст чрез . Тогава:

.

Символ дтук и по-долу се използва за означаване на математическото очакване.

И така, функцията на оцеляване е равна на средния дял на онези, които са оцелели до възраст от определена фиксирана група новородени.

В актюерската математика често се работи не с функция за оцеляване, а с току-що въведена стойност (като е фиксиран първоначалният размер на групата).

Функцията на оцеляване може да бъде реконструирана от плътността:

Характеристики на продължителността на живота

От практическа гледна точка са важни следните характеристики:

1 . Средно аритметичноживот

,
2 . дисперсияживот

,
където
,

Представен до момента в отворената банка на USE задачи по математика (mathege.ru), чието решение се основава само на една формула, която е класическа дефиниция на вероятността.

Най-лесният начин да разберете формулата е с примери.
Пример 1В кошницата има 9 червени топки и 3 сини. Топките се различават само по цвят. На случаен принцип (без да гледаме) получаваме един от тях. Каква е вероятността избраната по този начин топка да е синя?

Коментар.В проблемите на теорията на вероятностите се случва нещо (в този случай нашето действие да дърпаме топката), което може да има различен резултат - изход. Трябва да се отбележи, че резултатът може да се разглежда по различни начини. „Извадихме топка“ също е резултат. „Извадихме синята топка“ е резултатът. „Изтеглихме тази конкретна топка от всички възможни топки“ – този най-малко обобщен изглед на резултата се нарича елементарен изход. Именно елементарните резултати са предвидени във формулата за изчисляване на вероятността.

Решение.Сега изчисляваме вероятността да изберем синя топка.
Събитие A: "избраната топка се оказа синя"
Общ брой на всички възможни резултати: 9+3=12 (брой на всички топки, които можем да изтеглим)
Брой изходи, благоприятни за събитие А: 3 (броят изходи, при които се е случило събитие А - т.е. броят на сините топки)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Отговор: 0,25

Нека изчислим за същата задача вероятността да изберем червена топка.
Общият брой на възможните резултати ще остане същият, 12. Броят на благоприятните резултати: 9. Желаната вероятност: 9/12=3/4=0,75

Вероятността за всяко събитие винаги е между 0 и 1.
Понякога в ежедневната реч (но не и в теорията на вероятностите!) Вероятността от събития се оценява като процент. Преходът между математическа и разговорна оценка се извършва чрез умножаване (или деление) на 100%.
Така,
В този случай вероятността е нула за събития, които не могат да се случат - малко вероятно. Например, в нашия пример, това би била вероятността да изтеглите зелена топка от коша. (Броят на благоприятните резултати е 0, P(A)=0/12=0, ако се брои по формулата)
Вероятност 1 има събития, които абсолютно сигурно ще се случат, без опции. Например, вероятността "избраната топка да бъде или червена, или синя" е за нашия проблем. (Брой благоприятни резултати: 12, P(A)=12/12=1)

Разгледахме класически пример, който илюстрира определението за вероятност. Всички подобни проблеми на USE в теорията на вероятностите се решават с помощта на тази формула.
Вместо червени и сини топки може да има ябълки и круши, момчета и момичета, научени и ненаучени билети, билети съдържащи и несъдържащи въпрос по тема (прототипи, ), дефектни и качествени чанти или градински помпи (прототипи, ) - принципът остава същият.

Те се различават леко във формулирането на проблема на теорията на вероятностите USE, където трябва да изчислите вероятността събитие да се случи в определен ден. ( , ) Както и в предишните задачи, трябва да определите какво е елементарен резултат и след това да приложите същата формула.

Пример 2Конференцията е с продължителност три дни. През първия и втория ден по 15 лектора, през третия ден - 20. Каква е вероятността докладът на проф. М. да се падне в третия ден, ако редът на докладите се определя на лотария?

Какъв е елементарният изход тук? - Присвояване на доклад на професор на един от всички възможни поредни номера за реч. В тегленето участват 15+15+20=50 души. Така докладът на проф. М. може да получи едно от 50 числа. Това означава, че има само 50 елементарни изхода.
Какви са благоприятните резултати? - Тези, в които се оказва, че професорът ще говори на третия ден. Тоест последните 20 числа.
Според формулата вероятността P(A)= 20/50=2/5=4/10=0,4
Отговор: 0,4

Тегленето на жребий тук е установяване на произволна кореспонденция между хора и подредени места. В Пример 2 съвпадението беше разгледано по отношение на това кое от местата може да заеме конкретно лице. Можете да подходите към същата ситуация от друга страна: кой от хората с каква вероятност може да стигне до определено място (прототипи, , , ):

Пример 3В жребия участват 5 германци, 8 французи и 3 естонци. Каква е вероятността първият (/втори/седми/последен - няма значение) да е французин.

Броят на елементарните резултати е броят на всички възможни хора, които могат да стигнат до дадено място чрез жребий. 5+8+3=16 души.
Благоприятни резултати - французите. 8 души.
Желана вероятност: 8/16=1/2=0,5
Отговор: 0,5

Прототипът е малко по-различен. Има задачи за монети () и зарове (), които са малко по-креативни. Решенията на тези проблеми могат да бъдат намерени на страниците на прототипа.

Ето няколко примера за хвърляне на монета или зарове.

Пример 4Когато хвърляме монета, каква е вероятността да получим опашки?
Резултати 2 - глави или опашки. (смята се, че монетата никога не пада на ръба) Благоприятен изход - опашки, 1.
Вероятност 1/2=0,5
Отговор: 0,5.

Пример 5Ами ако хвърлим монета два пъти? Каква е вероятността и двата пъти да излезе с глави?
Основното нещо е да определим кои елементарни резултати ще вземем предвид при хвърляне на две монети. След хвърляне на две монети може да възникне един от следните резултати:
1) PP - и двата пъти се появиха опашки
2) PO - първи път опашки, втори път глави
3) OP - първият път глави, вторият път опашки
4) OO - хедс-ъп и двата пъти
Други варианти няма. Това означава, че има 4 елементарни изхода, благоприятен е само първият, 1.
Вероятност: 1/4=0,25
Отговор: 0,25

Каква е вероятността две хвърляния на монета да попаднат на опашки?
Броят на елементарните резултати е същият, 4. Благоприятните резултати са вторият и третият, 2.
Вероятност за получаване на една опашка: 2/4=0,5

При такива проблеми друга формула може да бъде полезна.
Ако при едно хвърляне на монета имаме 2 възможни изхода, то при две хвърляния на резултати ще има 2 2=2 2 =4 (както в пример 5), при три хвърляния 2 2 2=2 3 =8, при четири : 2·2·2·2=2 4 =16, … за N хвърляния от възможни резултати ще има 2·2·...·2=2 N .

Така че можете да намерите вероятността да получите 5 опашки от 5 хвърляния на монети.
Общият брой на елементарните резултати: 2 5 =32.
Благоприятни резултати: 1. (RRRRRR - всичките 5 пъти опашки)
Вероятност: 1/32=0,03125

Същото важи и за заровете. При едно хвърляне има 6 възможни резултата, така че за две хвърляния: 6 6=36, за три 6 6 6=216 и т.н.

Пример 6Хвърляме зар. Каква е вероятността да получите четно число?

Общо резултати: 6, според броя на лицата.
Благоприятно: 3 изхода. (2, 4, 6)
Вероятност: 3/6=0,5

Пример 7Хвърлете два зара. Каква е вероятността общо да се хвърлят 10? (закръглено до стотни)

Има 6 възможни изхода за един зар. Следователно, за две, съгласно горното правило, 6·6=36.
Какви резултати ще бъдат благоприятни за отпадането на общо 10?
10 трябва да се разложи на сумата от две числа от 1 до 6. Това може да стане по два начина: 10=6+4 и 10=5+5. И така, за кубчетата са възможни опции:
(6 на първия и 4 на втория)
(4 на първия и 6 на втория)
(5 на първия и 5 на втория)
Общо 3 варианта. Желана вероятност: 3/36=1/12=0,08
Отговор: 0,08

Други видове проблеми с B6 ще бъдат обсъдени в една от следващите статии „Как да решим“.

вероятносте число от 0 до 1, което отразява шансовете за настъпване на случайно събитие, където 0 е пълната липса на вероятност за настъпване на събитието, а 1 означава, че въпросното събитие определено ще се случи.

Вероятността за събитие E е число между и 1.
Сумата от вероятностите за взаимно изключващи се събития е 1.

емпирична вероятност- вероятност, която се изчислява като относителната честота на събитието в миналото, извлечена от анализа на исторически данни.

Вероятността от много редки събития не може да бъде изчислена емпирично.

субективна вероятност- вероятността, основана на лична субективна оценка на събитието, независимо от исторически данни. Инвеститорите, които вземат решения за покупка и продажба на акции, често действат въз основа на субективна вероятност.

предварителна вероятност -

Шанс 1 от... (коефициенти), че дадено събитие ще се случи чрез концепцията за вероятност. Вероятността за възникване на събитие се изразява като вероятност, както следва: P/(1-P).

Например, ако вероятността за събитие е 0,5, тогава шансът за събитие е 1 от 2, тъй като 0,5/(1-0,5).

Шансът събитието да не се случи се изчислява по формулата (1-P)/P

Непоследователна вероятност- например в цената на акциите на компания А се вземат предвид 85% от възможното събитие Е, а в цената на акциите на компания Б само 50%. Това се нарича несъответстваща вероятност. Според холандската теорема за залагане, несъответстващата вероятност създава възможности за печалба.

Безусловна вероятносте отговорът на въпроса "Каква е вероятността събитието да се случи?"

Условна вероятносте отговорът на въпроса: "Каква е вероятността за събитие А, ако събитие Б се случи." Условната вероятност се означава като P(A|B).

Съвместна вероятносте вероятността събития A и B да се случат по едно и също време. Означен като P(AB).

P(A|B) = P(AB)/P(B) (1)

P(AB) = P(A|B)*P(B)

Правило за сумиране на вероятностите:

Вероятността събитие А или събитие Б да се случи е

P(A или B) = P(A) + P(B) - P(AB) (2)

Ако събития A и B са взаимно изключващи се, тогава

P(A или B) = P(A) + P(B)

Независими събития- събития A и B са независими ако

P(A|B) = P(A), P(B|A) = P(B)

Тоест това е поредица от резултати, при които стойността на вероятността е постоянна от едно събитие до следващо.
Хвърлянето на монета е пример за такова събитие - резултатът от всяко следващо хвърляне не зависи от резултата от предишното.

Зависими събитияТова са събития, при които вероятността едното да се случи зависи от вероятността другото да се случи.

Правило за умножаване на вероятностите за независими събития:
Ако събития A и B са независими, тогава

P(AB) = P(A) * P(B) (3)

Правило за пълна вероятност:

P(A) = P(AS) + P(AS") = P(A|S")P(S) + P(A|S")P(S") (4)

S и S" са взаимно изключващи се събития

очаквана стойностслучайна променлива е средната стойност на възможните резултати от случайната променлива. За събитието X, очакването се означава като E(X).

Да предположим, че имаме 5 стойности на взаимно изключващи се събития с определена вероятност (например доходът на компанията възлиза на такава и такава сума с такава вероятност). Очакването е сумата от всички резултати, умножена по тяхната вероятност:

Дисперсията на случайна променлива е очакваната стойност на квадратните отклонения на случайна променлива от нейната очаквана стойност:

s 2 = E( 2 ) (6)

Условна очаквана стойност - очакването на случайна величина X, при условие, че събитието S вече е настъпило.

От практическа гледна точка, вероятност за събитиее съотношението на броя на онези наблюдения, при които се е случило въпросното събитие, към общия брой наблюдения. Такова тълкуване е допустимо при достатъчно голям брой наблюдения или експерименти. Например, ако около половината от хората, които срещате на улицата, са жени, тогава можете да кажете, че вероятността лицето, което срещате на улицата, да е жена, е 1/2. С други думи, честотата на появата му в дълга поредица от независими повторения на случаен експеримент може да служи като оценка на вероятността от събитие.

Вероятност в математиката

В съвременния математически подход класическата (т.е. не квантовата) вероятност се дава от аксиоматиката на Колмогоров. Вероятността е мярка П, който се задава на снимачната площадка х, наречено вероятностно пространство. Тази мярка трябва да има следните свойства:

От тези условия следва, че вероятностната мярка Псъщо има имота адитивност: ако се задава А 1 и А 2 не се пресичат, тогава . За да го докажете, трябва да поставите всичко А 3 , А 4 , … равно на празното множество и прилагане на свойството на изброима адитивност.

Вероятностната мярка може да не е дефинирана за всички подмножества на набора х. Достатъчно е да го дефинираме върху сигма-алгебрата, състояща се от някои подмножества на множеството х. В този случай случайните събития се определят като измерими подмножества на пространството х, тоест като елементи на сигма алгебрата.

Смисъл на вероятността

Когато установим, че причините за действително възникване на някакъв възможен факт надвишават противоположните причини, ние вземаме предвид този факт вероятно, в противен случай - невероятен. Това преобладаване на положителните основи над отрицателните и обратното може да представлява неопределен набор от степени, в резултат на което вероятност(и невероятност) Случва се Повече ▼или по-малко .

Сложните единични факти не позволяват точно изчисляване на техните степени на вероятност, но дори и тук е важно да се установят някои големи подразделения. Така, например, в областта на правото, когато личен факт, предмет на съдене, се установява въз основа на свидетелски показания, той винаги остава, строго погледнато, само вероятен и е необходимо да се знае колко значителна е тази вероятност; в римското право тук е прието четворно деление: probatio plena(където вероятността практически се превръща в автентичност), Освен това - probatio минус plena, тогава - пробатио semiplena majorи накрая probatio semiplena minor .

В допълнение към въпроса за вероятността на случая, може да възникне, както в областта на правото, така и в областта на морала (с определена етична гледна точка), въпросът колко вероятно е даден конкретен факт представлява нарушение на общия закон. Този въпрос, който служи като основен мотив в религиозната юриспруденция на Талмуда, поражда в римокатолическата морална теология (особено от края на 16-ти век) много сложни систематични конструкции и огромна литература, догматична и полемична (виж Пробабилизъм ).

Концепцията за вероятност допуска определен цифров израз в нейното приложение само към такива факти, които са част от определени хомогенни серии. Така че (в най-простия пример), когато някой хвърли монета сто пъти подред, тук намираме една обща или голяма серия (сумата от всички падания на монета), която е съставена от две частни или по-малки, в това случай числено равен, серия (пада "орел" и падащи "опашки"); Вероятността този път монетата да падне с опашки, т.е. този нов член на общата серия да принадлежи към тази от двете по-малки серии, е равна на дроб, изразяващ численото съотношение между тази малка серия и голямата, а именно 1/2, тоест една и съща вероятност принадлежи на едната или другата от двете частни серии. В по-малко прости примери заключението не може да бъде направено директно от данните за самия проблем, а изисква предварителна индукция. Така например се пита: каква е вероятността дадено новородено да живее до 80 години? Тук трябва да има обща или голяма серия от известен брой хора, родени при подобни условия и умиращи на различна възраст (този брой трябва да е достатъчно голям, за да елиминира случайните отклонения, и достатъчно малък, за да запази хомогенността на серията, тъй като за човек, роден например в Санкт Петербург в заможно културно семейство, цялото милионно население на града, значителна част от което се състои от хора от различни групи, които могат да умрат преждевременно - войници, журналисти , работници в опасни професии - представлява група, твърде хетерогенна за истинска дефиниция на вероятността) ; нека тази обща серия се състои от десет хиляди човешки живота; включва по-малки редове, представящи броя на онези, които живеят до тази или онази възраст; един от тези по-малки редове представлява броя на тези, които живеят до 80-годишна възраст. Но е невъзможно да се определи размерът на тази по-малка серия (както и на всички останали). априори; това се прави по чисто индуктивен начин, чрез статистика. Да предположим, че статистическите изследвания са установили, че от 10 000 жители на Петербург от средната класа само 45 оцеляват до 80-годишна възраст; по този начин този по-малък ред е свързан с по-големия като 45 към 10 000 и вероятността даден човек да принадлежи към този по-малък ред, тоест да доживее до 80 години, се изразява като част от 0,0045. Изследването на вероятностите от математическа гледна точка представлява специална дисциплина, теорията на вероятностите.

Вижте също

Бележки

Литература

Фондация Уикимедия. 2010 г.

Антоними:

Вижте какво е "Вероятност" в други речници:

Общонаучно-философски. категория, обозначаваща количествената степен на възможността за поява на масови случайни събития при фиксирани условия на наблюдение, характеризираща стабилността на техните относителни честоти. В логиката семантичната степен ... ... Философска енциклопедия

ВЕРОЯТНОСТ, число в диапазона от нула до едно включително, представляващо възможността това събитие да се случи. Вероятността за събитие се определя като съотношението на броя на шансовете, че дадено събитие може да се случи, към общия брой възможни ... ... Научно-технически енциклопедичен речник

По всяка вероятност .. Речник на руски синоними и изрази, подобни по значение. под. изд. Н. Абрамова, М.: Руски речници, 1999. вероятност, възможност, вероятност, шанс, обективна възможност, маза, допустимост, риск. Мравка. невъзможност...... Речник на синонимите

вероятност- Мярка, че дадено събитие може да се случи. Забележка Математическата дефиниция на вероятността е "реално число между 0 и 1, свързано със случайно събитие." Числото може да отразява относителната честота в серия от наблюдения ... ... Наръчник за технически преводач

Вероятност- "математическа, числена характеристика на степента на възможност за възникване на всяко събитие в определени специфични условия, което може да се повтори неограничен брой пъти." Въз основа на тази класика... Икономически и математически речник

- (вероятност) Възможността за настъпване на събитие или определен резултат. Може да се представи като скала с деления от 0 до 1. Ако вероятността за събитие е нула, то е невъзможно да се случи. С вероятност, равна на 1, началото на ... Речник на бизнес термините

В задачите за USE по математика има и по-сложни задачи за вероятност (отколкото разгледахме в част 1), където трябва да приложите правилото за събиране, умножение на вероятностите и да правите разлика между съвместни и несъвместими събития.

И така, теория.

Съвместни и несъвместни събития

Събитията се наричат ​​несъвместими, ако настъпването на едно от тях изключва настъпването на останалите. Тоест, може да се случи само едно конкретно събитие или друго.

Например, като хвърлите зар, можете да разграничите събития като четен брой точки и нечетен брой точки. Тези събития са несъвместими.

Събитията се наричат ​​съвместни, ако настъпването на едно от тях не изключва настъпването на другото.

Например, когато хвърляте зар, можете да разграничите събития като появата на нечетен брой точки и загубата на брой точки, кратен на три. Когато се хвърлят три, и двете събития се реализират.

Сума от събития

Сумата (или обединението) от няколко събития е събитие, състоящо се в настъпването на поне едно от тези събития.

При което сумата от две несвързани събития е сумата от вероятностите за тези събития:

Например, вероятността да получите 5 или 6 точки на зар с едно хвърляне ще бъде, защото и двете събития (падане 5, падане 6) са несъвместими и вероятността за едното или второто събитие се изчислява, както следва:

Вероятността сумата от две съвместни събития е равна на сумата от вероятностите за тези събития, без да се взема предвид тяхното съвместно възникване:

Например в търговски център две еднакви вендинг машини продават кафе. Вероятността кафето в машината да свърши до края на деня е 0,3. Вероятността и двете машини да останат без кафе е 0,12. Нека намерим вероятността до края на деня кафето да свърши в поне една от машините (тоест или в едната, или в другата, или и в двете наведнъж).

Вероятността за първото събитие "кафето ще свърши в първата машина", както и вероятността за второто събитие "кафето ще свърши във втората машина" по условието е равна на 0,3. Събитията са съвместни.

Вероятността за съвместна реализация на първите две събития е равна на 0,12 според условието.

Това означава, че вероятността до края на деня кафето да свърши в поне една от машините е

Зависими и независими събития

Две случайни събития A и B се наричат ​​независими, ако настъпването на едно от тях не променя вероятността за настъпване на другото. В противен случай събитията A и B се наричат ​​зависими.

Например, когато два зара се хвърлят едновременно, единият от тях, да речем 1, а другите 5, са независими събития.

Произведение на вероятностите

Продукт (или пресичане) на няколко събития е събитие, състоящо се от съвместното възникване на всички тези събития.

Ако са две независими събития A и B с вероятности съответно P(A) и P(B), тогава вероятността за реализиране на събития A и B е едновременно равна на произведението на вероятностите:

Например, интересуваме се от загубата на шестица на зара два пъти подред. И двете събития са независими и вероятността всяко от тях да се случи поотделно е . Вероятността и двете събития да се случат ще се изчисли по горната формула: .

Вижте селекция от задачи за разработка на темата.