ХАРАКТЕРИСТИКИ НА РАССЕЯНЕ

От характеристиките на позицията - математическо очакване, медиана, режим - нека преминем към характеристиките на разпространението на произволна величина х.дисперсия D(X)= a 2 , стандартното отклонение a и коефициента на вариация v. Дефиницията и свойствата на дисперсията за дискретни случайни променливи бяха разгледани в предишната глава. За непрекъснати случайни променливи

Стандартното отклонение е неотрицателната стойност на корен квадратен от дисперсията:

Коефициентът на вариация е съотношението на стандартното отклонение към математическото очакване:

Коефициент на вариация - прилага се когато M(X)> O - измерва спреда в относителни единици, докато стандартното отклонение - в абсолютни.

Пример 6. За равномерно разпределена случайна променлива хнамерете дисперсията, стандартното отклонение и коефициента на вариация. Дисперсията е:

Заместване на променлива дава възможност да се напише:

където С = f - aU2.

Следователно стандартното отклонение е и коефициентът на вариация е:

ТРАНСФОРМАЦИИ НА СЛУЧАЙНИ СТОЙНОСТИ

За всяка произволна променлива хдефинирайте още три количества - центрирани Y,нормализиран Vи дадено У.Центрирана случайна променлива Йе разликата между дадената случайна променлива хи неговото математическо очакване M(X),тези. Y=X - M(X).Математическо очакване на центрирана случайна променлива Йе равно на 0, а дисперсията е дисперсията на дадената произволна променлива:

функция на разпределение Fy(x)центрирана случайна променлива Йсвързани с функцията на разпределение F(x) на оригиналната случайна променлива хсъотношение:

За плътностите на тези случайни променливи, равенството

Нормализирана случайна променлива Vе съотношението на дадената случайна променлива хдо стандартното му отклонение a, т.е. V = XIo.Математическо очакване и дисперсия на нормализирана случайна променлива Vизразено чрез характеристики хТака:

където v е коефициентът на вариация на оригиналната случайна променлива х.За функцията за разпределение Fv(x)и плътност fv(x)нормализирана случайна променлива Vние имаме:

където F(x)- функция на разпределение на оригиналната случайна променлива х; поправи)е неговата плътност на вероятността.

Намалена случайна променлива Уе центрирана и нормализирана случайна променлива:

За намалена случайна променлива

Нормализирани, центрирани и редуцирани случайни величини се използват постоянно както в теоретичните изследвания, така и в алгоритмите, софтуерните продукти, нормативно-техническата и инструктивно-методическата документация. По-специално, защото равенствата M(U) = 0, D(lf) = 1 дават възможност за опростяване на обосноваването на методите, формулировките на теоремите и изчислителните формули.

Използват се трансформации на случайни променливи и по-общ план. Така че, ако У = aX + б,където аи бтогава са някои числа

Пример 7. Ако а= 1/G, б = -M(X)/G,тогава Y е редуцирана случайна променлива и формули (8) се трансформират във формули (7).

С всяка произволна променлива хвъзможно е да се свърже множеството от случайни променливи Y, дадени с формулата Y = ох + бпри различни а > 0 и б.Този комплект се нарича семейство ножици,генерирани от произволна променлива х.Функции за разпределение Fy(x) представляват семейство от разпределения с изместване на мащаба, генерирани от функцията на разпределение F(x).Вместо Y= aX + bчесто използвана нотация

номер Ссе нарича параметър на смяна, а числото д- параметър на мащаба. Формула (9) показва, че х- резултатът от измерването на определена стойност - отива в K - резултатът от измерването на същата стойност, ако началото на измерването се премести в точка с,и след това използвайте новата мерна единица в дпъти по-голям от стария.

За фамилията с изместване на мащаба (9), разпределението хнаречен стандарт. При вероятностно-статистически методи за вземане на решения и други приложни изследвания се използват стандартното нормално разпределение, стандартното разпределение на Weibull-Gnedenko, стандартното гама разпределение.

разпространение и др. (виж по-долу).

Използват се и други трансформации на случайни променливи. Например за положителна случайна променлива хобмисли Y = IgX,където IgX- десетичен логаритъм на число х.Верига от равенства

свързва функциите на разпределение хи Й.

По-горе се запознахме със законите за разпределение на случайните величини. Всеки закон за разпределението описва изчерпателно свойствата на вероятностите на произволна променлива и прави възможно изчисляването на вероятностите за всякакви събития, свързани със случайна променлива. В много практически въпроси обаче няма нужда от такова пълно описание и често е достатъчно да се посочат само отделни числови параметри, които характеризират съществените характеристики на разпределението. Например, средната стойност, около която са разпръснати стойностите на произволна променлива, е някакво число, което характеризира големината на този спред. Тези числа имат за цел да изразят в сбита форма най-значимите характеристики на разпределението и се наричат числени характеристики на случайна величина.

Сред числовите характеристики на случайните променливи, на първо място, те разглеждат характеристики, които фиксират позицията на произволна променлива по оста на числата, т.е. някаква средна стойност на произволна променлива, около която са групирани възможните й стойности. От характеристиките на позицията в теорията на вероятностите най-голяма роля играе очаквана стойност, което понякога се нарича просто средна стойност на произволната променлива.

Да приемем, че дискретният SW?, приема стойностите x ( , x 2 ,..., x pс вероятности Р j, p 2 ,...y Ptvтези. дадено от разпределителната серия

Възможно е в тези експерименти стойността х хнаблюдаваното Н(пъти, стойност х 2 - N 2пъти,..., стойност x n - N nведнъж. В същото време + N 2 +... + N n =N.

Средноаритметично на резултатите от наблюдението

Ако нголям, т.е. н– „О, тогава

описващ разпределителния център. Средната стойност на произволна променлива, получена по този начин, ще се нарече математическо очакване. Нека дадем словесна формулировка на определението.

Определение 3.8. математическо очакване (MO) дискретният SV% е число, равно на сбора от произведенията на всички негови възможни стойности​​и вероятностите на тези стойности (нотация M;):

Сега разгледайте случая, когато броят на възможните стойности на дискретната CV? е изброим, т.е. имаме RR

Формулата за математическото очакване остава същата, само в горната граница на сумата Псе заменя с оо, т.е.

В този случай вече получаваме серия, която може да се разминава, т.е. съответното CV ^ може да няма математическо очакване.

Пример 3.8. CB?, дадено от разпределителната серия

Нека намерим MO на този SW.

Решение.По дефиниция. тези. планина,не съществува.

По този начин, в случай на преброим брой стойности на SW, получаваме следната дефиниция.

Определение 3.9. математическо очакванеили средната стойност, дискретно SW,имащо преброим брой стойности, се нарича число, равно на сбора от поредица от произведения на всичките му възможни стойности​​​и съответните вероятности, при условие че тази серия се сближава абсолютно, т.е.

Ако тази серия се отклонява или сближава условно, тогава казваме, че CV ^ няма математическо очакване.

Да преминем от дискретно към непрекъснато SW с плътността p(x).

Определение 3.10. математическо очакванеили средната стойност, непрекъснат SWнаречено число, равно на

при условие че този интеграл се сближава абсолютно.

Ако този интеграл се отклонява или сближава условно, тогава те казват, че непрекъснатото CB? няма математическо очакване.

Забележка 3.8.Ако всички възможни стойности на случайната променлива J;

принадлежат само на интервала ( а; б)тогава

Математическото очакване не е единствената характеристика на позицията, използвана в теорията на вероятностите. Понякога се използват като режим и медиана.

Определение 3.11. мода CB ^ (обозначение Мот,)най-вероятната му стойност се нарича, т.е. такъв, за който вероятността пиили плътност на вероятността p(x)достига най-високата си стойност.

Определение 3.12. Медиана SV?, (обозначение срещнах)се нарича такава стойност, за която P(t> Met) = P(? > срещнах) = 1/2.

Геометрично, за непрекъснат SW, медианата е абсцисата на тази точка на оста о,за които площите вляво и вдясно от него са еднакви и равни на 1/2.

Пример 3.9. ЮЗт,има номер за разпространение

Нека намерим математическото очакване, мода и медианата на SW

Решение. Mb,= 0-0,1 + 1 0,3 + 2 0,5 + 3 0,1 = 1,6. Л/о? = 2. Me(?) не съществува.

Пример 3.10. Непрекъснатият CB % има плътност

Нека намерим математическото очакване, медиана и модус.

Решение.

p(x)достига максимум, тогава Очевидно медианата също е равна, тъй като площите от дясната и лявата страна на правата, минаваща през точката, са равни.

В допълнение към характеристиките на позицията в теорията на вероятностите се използват и редица числови характеристики за различни цели. Сред тях моментите - начални и централни - са от особено значение.

Определение 3.13. Началният момент на k-тия ред SW?, се нарича математическо очакване k-тиястепен на тази стойност: =M(t > k).

От дефинициите на математическото очакване за дискретни и непрекъснати случайни променливи следва, че

Забележка 3.9.Очевидно началният момент от 1-ви порядък е математическото очакване.

Преди да дефинираме централния момент, ние въвеждаме нова концепция за центрирана случайна променлива.

Определение 3.14. Центрирано CV е отклонението на произволна величина от нейното математическо очакване, т.е.

Лесно е да се провери това

Центрирането на произволна променлива очевидно е равносилно на прехвърляне на началото в точката M;. Моментите на центрирана случайна променлива се наричат централни точки.

Определение 3.15. Централният момент от k-тия ред SW % се нарича математическо очакване k-тияградуси на центрирана случайна променлива:

От определението за математическо очакване следва, че

Очевидно за всяка произволна променлива ^ централният момент от 1-ви ред е равен на нула: с х= M(? 0) = 0.

От особено значение за практиката е втората централна точка от 2 .Нарича се дисперсия.

Определение 3.16. дисперсия CB?, се нарича математическо очакване на квадрата на съответната центрирана стойност (нотация Д?)

За да се изчисли дисперсията, следните формули могат да бъдат получени директно от определението:

Преобразувайки формула (3.4), можем да получим следната формула за изчисление Д.Л.

Дисперсията на SW е характеристика разпръскване, разпространението на стойностите на произволна променлива около нейното математическо очакване.

Дисперсията има размерността на квадрата на произволна променлива, което не винаги е удобно. Следователно, за яснота, като характеристика на дисперсията, е удобно да се използва число, чиято размерност съвпада с тази на произволна променлива. За да направите това, вземете корен квадратен от дисперсията. Получената стойност се извиква стандартно отклонениеслучайна величина. Ще го означим като a: a = l / w.

За неотрицателно CB?, понякога се използва като характеристика коефициентът на вариация, равно на съотношението на стандартното отклонение към математическото очакване:

Познавайки математическото очакване и стандартното отклонение на произволна променлива, може да се получи приблизителна представа за диапазона на възможните й стойности. В много случаи можем да предположим, че стойностите на случайната променлива % само от време на време надхвърлят интервала M; ± За. Това правило за нормалното разпределение, което ще обосновем по-късно, се нарича правило три сигма.

Математическото очакване и дисперсията са най-често използваните числени характеристики на произволна променлива. От дефиницията на математическото очакване и дисперсията следват някои прости и доста очевидни свойства на тези числени характеристики.

протозоисвойства на математическото очакване и дисперсия.

1. Математическо очакване на неслучайна променлива Сравно на стойността на c: M(s) = s.

Наистина, тъй като стойността Сприема само една стойност с вероятност 1, тогава М(с) = С 1 = s.

2. Дисперсията на неслучайната променлива c е равна на нула, т.е. D(c) = 0.

Наистина ли, Dc \u003d M (s - Ms) 2 = M (s- в) 2 = М( 0) = 0.

3. Неслучаен множител може да бъде изваден от знака за очакване: M(c^) = cМ(?,).

Нека покажем валидността на това свойство на примера на дискретно RV.

Нека RV е дадено от разпределителния ред

Тогава

следователно,

Свойството се доказва по подобен начин за непрекъсната случайна величина.

4. Неслучаен множител може да бъде изваден от знака на квадратната дисперсия:

Колкото повече моменти на произволна променлива са известни, толкова по-подробна представа за закона на разпределението имаме.

В теорията на вероятностите и нейните приложения се използват още две числени характеристики на случайна величина, базирани на централните моменти от 3-ти и 4-ти порядък, коефициента на асиметрия или m x .

За дискретни случайни променливи очаквана стойност :

Сумата от стойностите на съответната стойност от вероятността за случайни променливи.

мода (Mod) на произволна променлива X се нарича нейната най-вероятна стойност.

За дискретна случайна променлива. За непрекъсната случайна променлива.

Унимодално разпределение

Мултимодално разпространение

Като цяло, Mod и очаквана стойност не

съвпада.

Медиана (Med) на произволна променлива X е такава стойност, за която вероятността P(X Мед). Всяка дистрибуция на Med може да има само една.

Med разделя площта под кривата на 2 равни части. При унимодално и симетрично разпределение

Моменти.

Най-често в практиката се използват два вида моменти: начален и централен.

Начален момент. тият ред на дискретна случайна променлива X е сума от вида:

За непрекъсната случайна променлива X началният момент на порядък е интегралът , очевидно е, че математическото очакване на случайна променлива е първият начален момент.

Използвайки знака (оператора) M, началният момент от -ти ред може да бъде представен като мат. очакване на степента на някаква случайна величина.

Центрирано произволната променлива на съответната случайна променлива X е отклонението на случайната променлива X от нейното математическо очакване:

Математическото очакване на центрирана случайна променлива е 0.

За дискретни случайни променливи имаме:

Моментите на центрирана случайна променлива се наричат Централни моменти

Централен момент на поръчката произволна променлива X се нарича математическо очакване на та степен на съответната центрирана случайна променлива.

За дискретни случайни променливи:

За непрекъснати случайни променливи:

Връзка между централни и начални моменти от различни порядки

От всички моменти първият момент (математическо очакване) и вторият централен момент най-често се използват като характеристика на случайна величина.

Вторият централен момент се нарича дисперсия случайна величина. Има обозначението:

По дефиниция

За дискретна случайна променлива:

За непрекъсната произволна променлива:

Дисперсията на произволна променлива е характеристика на дисперсия (разпръскване) на случайни променливи X около нейното математическо очакване.

Дисперсияозначава разсейване. Дисперсията има размерността на квадрата на произволна променлива.

За визуална характеристика на дисперсията е по-удобно да се използва стойността m y същата като размерността на произволната променлива. За целта се взема корен от дисперсията и се получава стойност, наречена - стандартно отклонение (RMS) произволна променлива X, като се въведе обозначението:

Стандартното отклонение понякога се нарича "стандарт" на случайната променлива X.