Точково произведение на вектори. Записи с надпис "точков продукт на вектори" Елементи на аналитична геометрия в пространството

24. Нека опростим тази функция. По теоремата на Виета намираме корените на квадратния трином x 2 -x-6 (x 1 \u003d -2 , x 2 \u003d 3 ), разширяваме знаменателя на фракцията в линейни фактори (x-3) (x + 2) и анулирайте фракцията с (x-3)... Намерете антидеривата H (x) получената функция 1 / (x + 2).

25. Така че 126 играчи ще играят 63 игри, от които 63 участници ще се класират като победители във втория кръг. Общо 63 + 1 \u003d 64 участници ще се бият във втория кръг. Те ще играят 32 игри, следователно още 32 победители, които ще играят 16 игри. Ще играят 16 победители 8 игри, ще играят 8 победители 4 игри. Четиримата победители ще играят 2 игри и накрая двамата победители ще трябва да играят последна игра... Ние броим мачове: 63+32+16+8+4+2+1=126.

Искате ли по-добри компютърни умения?

Услугата за публикуване на Slideshare ви позволява да конвертирате презентации на Power Point, текстови документи, PDF файлове (50 MB) във флаш формат. В образователни дейности тази услуга може да се използва както за създаване на портфолио от студенти и учители, така и за обичайната демонстрация на презентации, дизайн на проектна работа.

Прочетете нови статии

Ако сте учител, тогава разбира се сте се чудили: какви книги трябва да прочетете, за да може работата да носи радост и удовлетворение? Няма съмнение, че сега можете да намерите много информация по този въпрос в Интернет. Но такъв сорт е много труден за разбиране. И за да разберете кои книги наистина ще станат ваши помощници, ще отнеме много време. В тази статия ще научите кои книги трябва да чете всеки учител.

Яснотата на материала мотивира децата от началното училище да решават образователния проблем и поддържа интереса към предмета. Ето защо един от най-ефективните методи на обучение е използването на флаш карти. Картите могат да се използват при преподаване на който и да е предмет, включително в хоби занимания и в извънкласни дейности. Например едни и същи карти със зеленчуци и плодове са подходящи за преподаване на броене в уроците по математика и за изучаване на темата за дивите и градински растения в уроците на околния свят.

Точкови продукт а  б два ненулеви вектора а и б е число, равно на произведението на дължините на тези вектори на косинуса на ъгъла между тях. Ако поне един от тези вектори е равен на нула, скаларното произведение е равно на нула. Така по дефиниция имаме

където  е ъгълът между векторите а и б .

Точково произведение на вектори а , б също обозначени със символи аб .

Знакът на точковото произведение се определя от стойността :

ако 0    тогава а  б  0,

ако    , тогава а  б  0.

Точковият продукт е дефиниран само за два вектора.

Операции върху вектори в координатна форма

Нека в координатната система Ооодадени вектори а = (х 1 ; у 1) = х 1 i + у 1 j и б = (х 2 ; у 2) = х 2 i + у 2 j .

1. Всяка координата на сумата от два (или повече) вектора е равна на сумата от съответните координати на вектор-слаганията, т.е. а + б = = (х 1 + х 2 ; у 1 + у 2).

2. Всяка координата на разликата на два вектора е равна на разликата на съответните координати на тези вектори, т.е. а – б = (х 1 – х 2 ; у 1 – у 2).

3. Всяка координата на произведението на вектор и число  е равна на произведението на съответната координата на този вектор на , т.е.  и = ( х 1 ;  в 1).

4. Скаларното произведение на два вектора е равно на сумата от произведенията на съответните координати на тези вектори, т.е. а  б = х 1  х 2 + + у 1  у 2 .

Последствие. Дължина на вектора и = (х; у) е равен на квадратния корен от сумата на квадратите на неговите координати, т.е.

=
(5)

Пример 4. Дадени вектори
б = 3i – j .

Задължително:

1. Намерете

2. Намерете точковото произведение на вектори от , д .

3. Намерете дължината на вектора от .

Решение

1. По свойство 3 намираме координатите на вектори 2 и , –и , 3б , 2б : 2и = = 2(–2; 3) = (–4; 6), –и = –(–2; 3) = (2; –3), 3б = 3(3; –1) = (9; –3), 2б = = 2(3; –1) = = (6; –2).

По свойства 2, 1 намираме координатите на векторите от , д : от = 2а – 3б = = (–4; 6) – (9; –3) = (–13; 9), д = –а + 2б = (2; –3) + (6; –2) = (8; –5).

2. По собственост 4 cd = –13  8 + 9  (–5) = –104 – 45 = –149.

3. По следствие от собствеността 4 | от | =
=
.

Тест 3 . Определете векторни координати и + б , ако и = (–3; 4), б = = (5; –2):

Тест 4. Определете векторни координати и – б , ако и = (2; –1), б = = (3; –4):

Тест 5 . Намерете координати на вектор 3 и , ако и = (2; –1):

Тест 6 . Намерете точков продукт а , б вектори и = (1; –4), б = (–2; 3):

Тест 7 . Намерете дължината на вектор и = (–12; 5):

3)
;

Отговори на тестови задачи

1.3. Елементи на аналитичната геометрия в пространството

Правоъгълната координатна система в пространството се състои от три взаимно перпендикулярни координатни оси, пресичащи се в една и съща точка (начало 0) и имащи посока, както и мащабна единица по всяка ос (Фигура 17).

Фигура 17

Позиция на точка М в самолета се определя уникално от три числа - неговите координати М(х т ; в т ; z т), където х т - абсциса, в т - ордината, z т - приложим.

Всеки от тях дава разстояние от точка М към една от координатните равнини със знак, който отчита от коя страна на тази равнина се намира точката: независимо дали е взета в посока на положителната или отрицателната посока на третата ос.

Три координатни равнини разделят пространството на 8 части (октанти).

Разстояние между две точки A(х И ; в И ; z И) и Б.(х IN ; в IN ; z IN) се изчислява по формулата

Дадени точки A(х 1 ; в 1 ; z 1) и Б.(х 2 ; в 2 ; z 2). След това координатите на точката ОТ(х; в; z) разделяне на сегмента
във връзка с, се изразяват със следните формули:

Пример 1 . Намерете разстояние AB, ако И(3; 2; –10) и IN(–1; 4; –5).

Решение

Разстояние AB изчислено по формулата

Множеството от всички точки, чиито координати удовлетворяват уравнението с три променливи, съставляват определена повърхност.

Наборът от точки, чиито координати удовлетворяват две уравнения, представлява определена права - линията на пресичане на съответните две повърхности.

Всяко уравнение от първа степен представлява равнина и, обратно, всяка равнина може да бъде представена от уравнения от първа степен.

Настроики A, Б., C са координатите на нормалния вектор, перпендикулярен на равнината, т.е. н = (A; Б.; ° С).

Уравнение на равнината в отсечките, отсечени по осите: а - по оста ОХ, б - по оста ОЙ, от - по оста ОZ:

Нека бъдат дадени две равнини A 1 х + Б. 1 у + ° С 1 z + д 1 = 0, A 2 х + Б. 2 у + ° С 2 z + + д 2 = 0.

Условие за паралелност на равнините:
.

Състояние на перпендикулярност на равнините:

Ъгълът между равнините се определя по следната формула:

.

Нека самолетът да премине през точките М 1 (х 1 ; у 1 ; z 1), М 2 (х 2 ; у 2 ; z 2), М 3 (х 3 ; у 3 ; z 3).

Тогава уравнението му има вид:

Разстояние от точката М 0 (х 0 ; у 0 ; z 0) до равнината Брадва + От + Cz + д \u003d 0 се намира по формулата

.

Тест 1. Самолет
минава през точката:

1) A(–1; 6; 3);

2) Б.(3; –2; –5);

3) ° С(0; 4; –1);

4) д(2; 0; 5).

Тест 2 . Уравнение на равнината ОXY следното:

1) z = 0;

2) х = 0;

3) у = 0.

Пример 2 . Напишете уравнението на равнината, успоредна на равнината ОXY и преминавайки през точката (2; –5; 3).

Решение

Тъй като равнината е успоредна на равнината ОXY, уравнението му има формата Cz + D \u003d 0 (вектор  = (0; 0; ОТ)  ОХY.).

Тъй като равнината преминава през точката (2; –5; 3), тогава ° С  3 + д \u003d 0 или като д = –3° С.

По този начин, Чехия – 3° С \u003d 0. Тъй като ОТ ≠ 0, тогава z – 3 = 0.

Отговор: z – 3 = 0.

Тест 3 . Уравнението на равнината, преминаваща през началото и перпендикулярно на вектора (3; –1; –4) има вид:

1)

2)

3)

4)

Тест 4 . Стойността на линията, пресечена по оста ОЙ самолет
е равно на:

Пример 3 . Напишете уравнението на равнината:

1. Паралелна равнина
и преминавайки през точката A(2; 0; –1).

2. Перпендикулярна равнина
и преминавайки през точката Б.(0; 2; 0).

Решение

Уравненията на равнината ще се търсят във формата A 1 х + Б. 1 у + ° С 1 z + д 1 = 0.

1. Тъй като равнините са успоредни, тогава
Оттук A= 3т,Б.= –т,° С= 2ткъдето тR... Нека бъде т\u003d 1. Тогава A = 3, Б. = –1, ° С \u003d 2. Следователно уравнението приема формата
Точкови координати Ипринадлежащи към равнината превръщат уравнението в истинско равенство. Следователно 32 - 10 + 2 (–1) + д\u003d 0. Откъде д= 4.

Отговор:

2. Тъй като равнините са перпендикулярни, то 3  A – 1  Б. + 2  ° С = 0.

Тъй като има три променливи и уравнението е едно, двете променливи приемат произволни стойности, които едновременно не са равни на нула. Нека бъде A = 1, Б. \u003d 3. Тогава ° С\u003d 0. Уравнението приема формата
д= –6.

Отговор:

Тест 5 . Изберете равнина, успоредна на равнината х – 2у + 7z – 2 = 0:

1)

4)

Тест 6 . Изберете равнина, перпендикулярна на равнината х– 2у+ + 6z– 2 = 0:

1)

4)

Тест 7 . Косинус на ъгъла между равнините 3 х + у – z - 1 \u003d 0 и х – 4у – – 5z + 3 \u003d 0 се определя по формулата:

1)

2)

3)

Тест 8 . Разстояние от точка (3; 1; –1) до равнината 3 х – у + 5z + 1 \u003d 0 се определя по формулата:

1)

2)

Този тест може да се използва в класната стая за междинен, обобщаващ или окончателен контрол на знанията на учениците. За да работи тестът правилно, трябва да зададете ниско ниво на защита (услуга-макро-сигурност)

Изтегли:

Визуализация:

За да използвате визуализацията на презентации, създайте си акаунт в Google (акаунт) и влезте в него: https://accounts.google.com

Надписи на слайдове:

Вариант 1 Вариант 2 Използвахме шаблон за създаване на тестове в PowerPoint MCOU "Pogorelskaya Secondary School" MM Koscheev

Резултат от теста Правилен: 14 Грешки: 0 Марк: 5 Време: 3 мин. 29 сек. все още поправям

Вариант 1 б) 360 ° а) 180 ° в) 246 ° г) 274 ° д) 454 °

Вариант 1 в) 22 а) -22 б) 0 г) 8 д) 1

Вариант 1 д) 5 г) 0 а) 7

Вариант 1 б) тъп д) не съществуват, тъй като произходът им не съвпада в) 0 ° г) остър а) прав

Вариант 1 б) 10,5 д) за не а) -10,5

Вариант 1 а) -10,5 б) 10,5 д) при никакви обстоятелства

Вариант 1 д) 0 б) невъзможно е да се определи а) -6 г) 4 в) 6

Вариант 1 б) 28 д) невъзможно да се определи а) 70 г) -45,5 в) 91

Вариант 1 9. Двете страни на триъгълника са 16 и 5, а ъгълът между тях е 120 °. Кой от посочените интервали принадлежи към дължината на третата страна? г) д) (19; 31] а) (0; 7] б) (7; 11] в) а) (0; 7] б) (7; 11] г)

Вариант 1 13. Радиусът на окръжността, описана около триъгълника ABC, е 0,5. Намерете съотношението на синуса на ъгъл B към дължината на AC страната. д) 1 в) 1, 3 а) 0,5 г) 2

Вариант 1 14. В триъгълник ABC дължините на страните BC и AB са съответно 5 и 7, и

Вариант 2 в) 360 ° а) 180 ° б) 246 ° г) 274 ° д) 454 °

Вариант 2 д) 22 а) -22 б) 0 г) 8 в) 4

Вариант 2 а) 10 г) 17 д) 15

Вариант 2 в) е равен на 0 ° д) не съществуват, тъй като произходът им не съвпада в) тъп г) остър а) прав

Вариант 2 б) 10.5 д) за не а) -10.5

Вариант 2 а) - 10,5 д) за не в) 10,5

Вариант 2 г) 0 б) невъзможно е да се определи а) -6 д) 4 в) 6

Вариант 2 а) 70 д) невъзможно да се определи б) 28 г) -45,5 в) 91

Вариант 2 9. Двете страни на триъгълника са 12 и 7, а ъгълът между тях е 60 °. Кой от посочените интервали принадлежи към дължината на третата страна? д) (7; 11) г) (19; 31] а) (0; 7] б) в) д) (19; 31] в)

Вариант 2 13. Радиусът на окръжността, описана около триъгълника ABC, е равен на 2. Намерете съотношението на синуса на ъгъл B към дължината на AC страната. а) 0,25 в) 1, 3 д) 1 г) 2

Вариант 2 14. В триъгълник ABC дължините на страните AC и AB са съответно 9 и 7, и

Ключове към теста: „Точково произведение на вектори. Теореми за триъгълника ”. Вариант 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Отп. b c e b c a e b d a c c e d 2 вариант 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Отв. c d a c d b d a d d c a a d Литература L.I. Звавич, Е, В. Потоскуев Геометрични тестове 9 клас към учебника L.S. Атанасиан и др. М .: Издателство „Изпит“ 2013 - 128 с.