বিশ্লেষণাত্মক ফাংশন ব্যবহার করে ত্রিকোণমিতিক সিরিজের সমষ্টি। ত্রিকোণমিতিক ফোরিয়ার সিরিজ ত্রিকোণমিতিক ফোরিয়ার সিরিজ

আসুন দেখান যে প্রায় যেকোনো পর্যায়ক্রমিক ফাংশনকে একটি সিরিজ হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে যার সদস্যগুলি সরল হারমোনিক্স, তথাকথিত ত্রিকোণমিতিক সিরিজ ব্যবহার করে।

সংজ্ঞা। একটি ত্রিকোণমিতিক সিরিজ ফর্মের একটি কার্যকরী সিরিজ

আসল সংখ্যা কোথায় ক 0 , একটি , খ nসিরিজের সহগ বলা হয়।

সিরিজের মুক্ত শব্দটি পরে প্রাপ্ত সূত্রগুলির অভিন্নতার জন্য আকারে লেখা হয়।

দুটি প্রশ্ন সম্বোধন করা প্রয়োজন:

1) কি অবস্থার অধীনে ফাংশন করে f(x)পিরিয়ড 2π সহ একটি সিরিজে প্রসারিত করা যেতে পারে (5.2.1)?

2) প্রতিকূলতা গণনা কিভাবে ক 0 ,… একটি , খ n ?

দ্বিতীয় প্রশ্ন দিয়ে শুরু করা যাক। ফাংশন যাক f(x)ব্যবধানে একটানা থাকে এবং একটি পিরিয়ড থাকে T=2π. আমরা নিম্নলিখিত সূত্রগুলি উপস্থাপন করি যা আমাদের প্রয়োজন হবে।

যেকোনো পূর্ণসংখ্যার জন্য, যেহেতু ফাংশনটি জোড়।

যে কোনো সম্পূর্ণ জন্য.

(মিএবং nসম্পূর্ণ সংখ্যা)

এ ( মিএবং nপূর্ণসংখ্যা) প্রতিটি পূর্ণসংখ্যা (III, IV, V) অখণ্ডের যোগফল (I) বা (II) এ রূপান্তরিত হয়। যদি, তাহলে সূত্রে (IV) আমরা পাই:

সমতা (V) একইভাবে প্রমাণিত হয়।

আসুন আমরা এখন ধরে নিই যে ফাংশনটি এমনভাবে পরিণত হয়েছিল যে এটির জন্য একটি অভিসারী ফুরিয়ার সিরিজে একটি সম্প্রসারণ পাওয়া গেছে, অর্থাৎ,

(উল্লেখ্য যে সমষ্টিটি সূচকের উপরে রয়েছে n).

যদি সিরিজটি একত্রিত হয়, তাহলে তার যোগফলকে নির্দেশ করুন S(x)।

টার্মওয়াইজ ইন্টিগ্রেশন (সিরিজের কনভারজেন্স অনুমানের কারণে বৈধ) থেকে দেওয়া পর্যন্ত

যেহেতু প্রথমটি ছাড়া সকল পদ শূন্যের সমান (সম্পর্ক I, II)। এখান থেকে আমরা খুঁজে পাই

(5.2.2) দ্বারা গুণ করা মি=1,2,…) এবং থেকে পর্যন্ত পরিসরের মধ্যে পদ দ্বারা একত্রিত করে আমরা সহগ খুঁজে পাই একটি.

সমতার ডানদিকে, একটি বাদে সমস্ত পদ শূন্যের সমান m=n(সম্পর্ক IV, V), তাই আমরা পাই

(5.2.2) দ্বারা গুণ করা মি\u003d 1,2, ...) এবং থেকে পর্যন্ত পরিসরের মধ্যে পদ দ্বারা একীভূত করা, আমরা একইভাবে সহগ খুঁজে পাই খ n

মান - সূত্র (5.2.3), (5.2.4), (5.2.5) দ্বারা নির্ধারিত হয় ফুরিয়ার সহগ, এবং ত্রিকোণমিতিক সিরিজ (5.2.2) হল একটি প্রদত্ত ফাংশনের জন্য ফুরিয়ার সিরিজ f(x)।

সুতরাং, আমরা ফাংশনের পচন পেয়েছি f(x)একটি ফুরিয়ার সিরিজে

আসুন প্রথম প্রশ্নে ফিরে যাই এবং ফাংশনের কী বৈশিষ্ট্য থাকা উচিত তা খুঁজে বের করা যাক f(x), যাতে নির্মিত ফুরিয়ার সিরিজটি অভিসারী হয়, এবং সিরিজের যোগফল ঠিক সমান হবে f(x).

সংজ্ঞা। ফাংশন f(x) কে piecewise অবিচ্ছিন্ন বলা হয়, যদি এটি অবিচ্ছিন্ন হয় বা প্রথম ধরণের বিচ্ছিন্নতা বিন্দুর একটি সীমিত সংখ্যক থাকে।

সংজ্ঞা। ফাংশন f(x), ব্যবধানে দেওয়া বলা হয় piecewise একঘেয়েমি, যদি সেগমেন্টটিকে বিন্দু দ্বারা একটি সীমিত সংখ্যক ব্যবধানে ভাগ করা যায়, যার প্রতিটিতে ফাংশন একঘেয়ে পরিবর্তিত হয় (বৃদ্ধি বা হ্রাস)।

আমরা ফাংশন বিবেচনা করব f(x), একটি মাসিক হচ্ছে T=2π. এই ধরনের ফাংশন বলা হয় 2π- পর্যায়ক্রমিক।

ফুরিয়ার সিরিজে একটি ফাংশন সম্প্রসারণের জন্য পর্যাপ্ত শর্তের প্রতিনিধিত্বকারী একটি উপপাদ্য তৈরি করা যাক।

ডিরিচলেটের উপপাদ্য(প্রমাণ ছাড়া গ্রহণ) . যদি একটি 2π- পর্যায়ক্রমিক ফাংশন f(x)একটি সেগমেন্টের উপর টুকরো টুকরো একটানা এবং টুকরো টুকরো একঘেয়ে, তারপর ফাংশনের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ ফুরিয়ার সিরিজ এই সেগমেন্টে একত্রিত হয় এবং এই ক্ষেত্রে:

1. একটি ফাংশনের ধারাবাহিকতার বিন্দুতে, সিরিজের যোগফল ফাংশনের সাথে মিলে যায় S(x)=f(x);

2. প্রতিটি পয়েন্টে x 0ফাংশন বিরতি f(x)সিরিজের যোগফল হল,

সেগুলো. বিন্দুর বাম এবং ডানে ফাংশনের সীমার গাণিতিক গড় x 0 ;

3. বিন্দুতে (সেগমেন্টের শেষে) ফুরিয়ার সিরিজের যোগফল হল ,

সেগুলো. সেগমেন্টের শেষে ফাংশনের সীমা মানের গাণিতিক গড়, যখন আর্গুমেন্ট ব্যবধানের ভিতর থেকে এই পয়েন্টগুলির দিকে ঝোঁক।

দ্রষ্টব্য: যদি ফাংশন f(x) 2π এর সময়কালের সাথে পুরো ব্যবধানে অবিচ্ছিন্ন এবং পার্থক্যযোগ্য এবং ব্যবধানের শেষে এর মানগুলি সমান, অর্থাৎ, পর্যায়ক্রমের কারণে, এই ফাংশনটি সম্পূর্ণ বাস্তব অক্ষে এবং যে কোনও জন্য অবিচ্ছিন্ন থাকে এক্সএর ফুরিয়ার সিরিজের যোগফল একই f(x).

সুতরাং, যদি একটি ফাংশন একটি ব্যবধানে একত্রিত হয় f(x)ডিরিচলেট উপপাদ্যের শর্তগুলিকে সন্তুষ্ট করে, তারপর সমতা ব্যবধানে সঞ্চালিত হয় (ফুরিয়ার সিরিজে সম্প্রসারণ):

সহগগুলি সূত্র (5.2.3) - (5.2.5) দ্বারা গণনা করা হয়।

ডিরিচলেট শর্তগুলি গণিত এবং এর প্রয়োগগুলিতে ঘটে এমন বেশিরভাগ ফাংশন দ্বারা সন্তুষ্ট হয়।

ফুরিয়ার সিরিজ, পাওয়ার সিরিজের মতো, ফাংশন মানগুলির আনুমানিক গণনার জন্য ব্যবহৃত হয়। ফাংশন সম্প্রসারণ হলে f(x)একটি ত্রিকোণমিতিক সিরিজে সঞ্চালিত হয়, তারপরে আপনি সর্বদা আনুমানিক সমতা ব্যবহার করতে পারেন, এই ফাংশনটিকে বেশ কয়েকটি হারমোনিক্সের যোগফল দিয়ে প্রতিস্থাপন করতে পারেন, যেমন আংশিক যোগফল (2 n+1) ফুরিয়ার সিরিজের মেয়াদ।

ত্রিকোণমিতিক সিরিজ ব্যাপকভাবে বৈদ্যুতিক প্রকৌশলে ব্যবহৃত হয়, তাদের সাহায্যে তারা গাণিতিক পদার্থবিদ্যার অনেক সমস্যার সমাধান করে।

একটি ফুরিয়ার সিরিজে 2π সময়কালের একটি ফাংশন প্রসারিত করুন, যা ব্যবধানে দেওয়া হয়েছে (-π; π)।

সমাধান। ফুরিয়ার সিরিজের সহগগুলি খুঁজুন:

আমরা ফুরিয়ার সিরিজে ফাংশনের সম্প্রসারণ পেয়েছি

ধারাবাহিকতার বিন্দুতে, ফুরিয়ার সিরিজের যোগফল ফাংশনের মানের সমান f(x)=S(x), বিন্দুতে x=0 S(x)=1/2, পয়েন্টে x=π,2π,… S(x)=1/2।

মনে রাখবেন যে বাস্তব বিশ্লেষণে একটি ত্রিকোণমিতিক সিরিজ হল একাধিক আর্কের কোসাইন এবং সাইনের একটি সিরিজ, যেমন ফর্মের সারি

একটু ইতিহাস। এই ধরনের সিরিজের তত্ত্বের প্রাথমিক সময়কাল স্ট্রিং কম্পনের সমস্যার সাথে 18 শতকের মাঝামাঝি সময়ে দায়ী করা হয়, যখন কাঙ্ক্ষিত ফাংশনটি সিরিজের যোগফল (14.1) হিসাবে চাওয়া হয়েছিল। এই জাতীয় প্রতিনিধিত্বের সম্ভাবনার প্রশ্নটি গণিতবিদদের মধ্যে উত্তপ্ত বিতর্ক সৃষ্টি করেছিল, যা কয়েক দশক ধরে চলেছিল। ফাংশনের ধারণার বিষয়বস্তুর সাথে সম্পর্কিত বিবাদ। সেই সময়ে, ফাংশনগুলি সাধারণত তাদের বিশ্লেষণাত্মক অ্যাসাইনমেন্টের সাথে যুক্ত ছিল, কিন্তু এখানে এটি (14.1) এর পাশের একটি ফাংশনকে প্রতিনিধিত্ব করার জন্য প্রয়োজনীয় হয়ে ওঠে, যার গ্রাফটি একটি বরং স্বেচ্ছাচারী বক্ররেখা। কিন্তু এসব বিরোধের তাৎপর্য বেশি। প্রকৃতপক্ষে, তারা গাণিতিক বিশ্লেষণের অনেক মৌলিকভাবে গুরুত্বপূর্ণ ধারণা সম্পর্কিত প্রশ্ন উত্থাপন করেছিল।

এবং ভবিষ্যতে, এই প্রাথমিক সময়ের মতো, ত্রিকোণমিতিক সিরিজের তত্ত্বটি নতুন ধারণার উত্স হিসাবে কাজ করেছিল। এটি তাদের সাথে সংযোগ ছিল, উদাহরণস্বরূপ, যে সেট তত্ত্ব এবং একটি বাস্তব পরিবর্তনশীল ফাংশন তত্ত্ব উদ্ভূত হয়েছিল।

এই সমাপ্তি অধ্যায়ে, আমরা এমন উপাদান বিবেচনা করব যা আবার বাস্তব এবং জটিল বিশ্লেষণকে সংযুক্ত করে, কিন্তু TFCT-এর পাঠ্যপুস্তকে সামান্যই প্রতিফলিত হয়। বিশ্লেষণের সময়, তারা একটি পূর্বনির্ধারিত ফাংশন থেকে এগিয়েছিল এবং এটিকে ত্রিকোণমিতিক ফুরিয়ার সিরিজে প্রসারিত করেছিল। এখানে আমরা বিপরীত সমস্যাটি বিবেচনা করি: একটি প্রদত্ত ত্রিকোণমিতিক সিরিজের জন্য, এর অভিসরণ এবং যোগফল স্থাপন করুন। এর জন্য, অয়লার এবং ল্যাগ্রেঞ্জ সফলভাবে বিশ্লেষণাত্মক ফাংশন ব্যবহার করেছিলেন। স্পষ্টতই, অয়লার প্রথমবারের মতো (1744) সমতা অর্জন করেছিলেন

নীচে আমরা অয়লারের পদাঙ্ক অনুসরণ করি, নিজেদেরকে শুধুমাত্র সিরিজের (14.1) বিশেষ ক্ষেত্রে সীমাবদ্ধ রাখি, যথা, ত্রিকোণমিতিক সিরিজ

মন্তব্য করুন।নিম্নলিখিত ঘটনাটি মূলত ব্যবহার করা হবে: যদি ধনাত্মক সহগগুলির ক্রম একটি পিএকঘেয়েভাবে শূন্যের দিকে ঝোঁক, তারপর এই সিরিজগুলি ফর্মের কোনও বিন্দু নেই এমন কোনও বন্ধ ব্যবধানে অভিন্নভাবে একত্রিত হয় 2lx (gZ থেকে)।বিশেষ করে, ব্যবধানে (0.2n -) পয়েন্টওয়াইজ কনভারজেন্স থাকবে। কাজের মধ্যে এই সম্পর্কে দেখুন, পৃষ্ঠা. 429-430.

(14.4), (14.5) সিরিজের সারসংক্ষেপ করার জন্য অয়লারের ধারণা হল, প্রতিস্থাপন z = ব্যবহার করে eকপাওয়ার সিরিজে যান

যদি একক বৃত্তের ভিতরে এর যোগফলটি স্পষ্টভাবে পাওয়া যায়, তাহলে সমস্যাটি সাধারণত এটি থেকে বাস্তব এবং কাল্পনিক অংশগুলিকে আলাদা করে সমাধান করা হয়। আমরা জোর দিই যে, অয়লার পদ্ধতি ব্যবহার করে, একজনকে সিরিজের (14.4), (14.5) এর অভিন্নতা পরীক্ষা করা উচিত।

আসুন কিছু উদাহরণ দেখি। অনেক ক্ষেত্রে, জ্যামিতিক সিরিজ দরকারী হবে

সেইসাথে টার্ম-বাই-টার্ম ডিফারেন্সিয়েশন বা ইন্টিগ্রেশনের মাধ্যমে এটি থেকে প্রাপ্ত সিরিজ। উদাহরণ স্বরূপ,

উদাহরণ 14.1.একটি সিরিজের যোগফল খুঁজুন

সমাধান।আমরা কোসাইনগুলির সাথে একটি অনুরূপ সিরিজ প্রবর্তন করি

উভয় সিরিজ সর্বত্র একত্রিত, থেকে জ্যামিতিক সিরিজ 1 + দ্বারা বড় r + r 2+.... অনুমান করা হচ্ছে z = e"x, আমরা পেতে

এখানে ভগ্নাংশ আকারে ছোট হয়

যেখানে আমরা সমস্যার প্রশ্নের উত্তর পাই:

পথ ধরে, আমরা সমতা প্রতিষ্ঠা করেছি (14.2): উদাহরণ 14.2।সারি সমষ্টি

সমাধান।উপরের মন্তব্য অনুসারে, উভয় সিরিজ নির্দিষ্ট ব্যবধানে একত্রিত হয় এবং তাদের সংজ্ঞায়িত ফাংশনগুলির জন্য ফুরিয়ার সিরিজ হিসাবে কাজ করে f(x) 9 g(x)।এই ফাংশন কি? প্রশ্নের উত্তর দিতে, অয়লার পদ্ধতি অনুসারে, আমরা সহগ সহ সিরিজ (14.6) রচনা করি একটি পি= -। একমত-

কিন্তু সমতা (14.7) আমরা পাই

বিশদটি বাদ দিয়ে (পাঠকের তাদের পুনরুত্পাদন করা উচিত), আমরা নির্দেশ করি যে লগারিদম চিহ্নের অধীনে অভিব্যক্তিটি হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে

এই অভিব্যক্তিটির মডুলাস - এর সমান, এবং যুক্তি (আরো সঠিকভাবে, এর প্রধান মান হল

• 2 পাপ-

মান) সমান তাই ইন ^ = -ln(2sin

উদাহরণ 14.3.এ - আমি সারি যোগ করি

সমাধান।উভয় সিরিজ সর্বত্র একত্রিত হয়, যেহেতু তারা অভিসারী দ্বারা প্রভাবিত হয়

সাধারণ সদস্যের পাশে-! . সারি (14.6)

n(n +1)

সরাসরি

জে_ _\_ __1_

/?(/? +1) পৃ /1 + 1

ns একটি পরিচিত পরিমাণ দেবে। ভিত্তিতে, আমরা ফর্ম এটি প্রতিনিধিত্ব

সমতা

এখানে বন্ধনীর অভিব্যক্তিটি হল ln(l + z) এবং বর্গাকার বন্ধনীতে অভিব্যক্তি হল ^^ + ** ^--। অতএব,

= (1 + -)ln(1 + z)। এখন

এখানে রাখা উচিত z = eLXএবং আগের উদাহরণের মতো একই পদক্ষেপগুলি সম্পাদন করুন। বিশদ বাদ দিয়ে, আমরা তা নির্দেশ করি

এটি বন্ধনী খুলতে এবং উত্তর লিখতে অবশেষ। এটা আমরা পাঠকের উপর ছেড়ে দিলাম।

অধ্যায় 14 এর জন্য কাজ

নিম্নলিখিত সারির যোগফল গণনা করুন।

• 1.3.1। ক) z = 0 এবং z-- 2;
• b) z = l এবং z=-1;
• ভিতরে) z = i এবং z= -আমি.
• 1.3.2। ক) 1; 6)0; গ) oo
• 2.1.1। প্যারাবোলার চাপ, r = এ 2 পয়েন্ট (1;1) থেকে বিন্দুতে (1;- 1) এবং পিছনে দৌড়াচ্ছে।
• 2.1.2। শুরু সহ সেগমেন্ট একটি,শেষ খ.
• 2.1.3। চিত্রে জর্ডান সংশোধন করা পথ। 19.

• 2.1.4। একটি প্যারাবোলার চাপ y = x 2শুরু (-1;0), শেষ (1;1) সহ।
• 2.1.5। বৃত্ত dg 2 + (এতে - 1) 2 = 4.
• 2.2.1। অর্ধেক সমতল রেজ >।
• 2.2.2। খোলা বৃত্ত C x ""^) 2 + Y 2
• 2.2.3। একটি প্যারাবোলার অভ্যন্তর 2y = 1 - x 2।
• 2.2.4। দুষ্ট বৃত্ত (d:- 2) 2 + 2 এ
• 2.2.5। প্যারাবোলার চেহারা 2x \u003d - y 2।

3.1.a) যদি w=u + iv,তারপর এবং= -r- -v = -^-^। তাই

l: 2 + (1-.g) 2 .t 2 + (1-d:) 2

স্থানাঙ্কের উৎপত্তি এই বৃত্ত থেকে বাদ দেওয়া উচিত, যেহেতু (m, v) 9* (0; 0) V* e আর,স্বর এবং= লিম v = 0।

x-yx>.v->oo

• খ)। নিষ্কাশন করা x,yসমতা থেকে x + y \u003d l এবং \u003d x 2 - y, v = 2 xyউত্তর: প্যারাবোলা 2v = l-এবং 2।
• 3.2। সরলরেখা l: = i (l^O) একটি বৃত্তে যায়
• (w--) 2 + v 2 = (-) 2 একটি খোঁচা বিন্দু সহ (r/, v) = (0; 0)। দিয়ে প্রয়োগ করুন
• 2ক 2 ক

a = 1, a = 2।

• 3.4। ক্ষেত্রে ক), খ) "সীমার অস্তিত্বহীনতার চিহ্ন" ব্যবহার করুন। ক্ষেত্রে c), সীমা বিদ্যমান এবং 2 এর সমান।
• 3.5। এটি না. যথাক্রমে সাধারণ পদ সহ দুটি অনুক্রমের উপর ফাংশন সীমা বিবেচনা করুন

z "=-! + -> z,=-l -

• 4.1। ক) কোথাও ns পার্থক্যযোগ্য নয়; খ) সর্বত্র পার্থক্যযোগ্য।
• 4.2। ক) রেখার সব বিন্দুতে একটি ডেরিভেটিভ আছে y = x,প্রতিটিতে

তাদের w = 2x; কোথাও holomorphic নেই;

• খ) C(0) তে হলমোরফিক, এবং / = - j
• 4.3। সি-তে হলমোরফিক, ডব্লিউ=3z 2।
• 4.4 সমতা থেকে / ; (z) = -- + i-/ / (z) = 0 এটি অনুসরণ করে যে w,v নয়

সেন্ট সেন্ট

ভেরিয়েবল "t এর উপর নির্ভর করে। Cauchy-Riemann শর্তগুলি বোঝায় যে এই ফাংশনগুলিও y থেকে স্বাধীন।

4.5। বিবেচনা করুন, উদাহরণস্বরূপ, কেস Re f(z) = i(x, y) = const. থেকে

Cauchy-Riemann শর্তগুলি ব্যবহার করে, এটি থেকে অনুমান করুন যে Im/(z) = v(x 9 y) = const.

• 5.1। ক) কারণ জে=--=- =-* 0(z * -/) এবং সমস্যার অবস্থা অনুযায়ী
• (l-/z) 2 (z+/) 2

ডেরিভেটিভের যুক্তিটি শূন্যের সমান, তারপর এর কাল্পনিক অংশটি শূন্য এবং আসল অংশটি ধনাত্মক। এখান থেকে উত্তরটি পান: সোজা এ = -এক্স-1 (এক্স * 0).

খ) বৃত্ত z + i=j2।

• 5.3। পরীক্ষা করুন যে ফাংশনটি শূন্য মান নেয় না এবং এর ডেরিভেটিভ সর্বত্র বিদ্যমান এবং প্রদত্ত ফাংশনের সমান।
• 6.1। সাইন থেকে কোসাইনের অনুপাত হিসাবে স্পর্শকের সংজ্ঞা থেকে এটি প্রমাণ করুন tg(z + n^-tgzবৈধ যুক্তি মান সহ। দিন টিঅন্য কোনো সময়কাল tg(z + T) = tgz।এখান থেকে এবং আগের সমতা থেকে, সেই পাপটি অনুমান করুন (/r- টি)= 0, যেখান থেকে এটি অনুসরণ করে টিএকাধিক প্রতি .
• 6.2। সমতা ব্যবহার করুন (6.6)।
• 6.3। প্রথম সূত্রটি সঠিক নয়, কারণ সবসময় arg(zH ,) = argz + argvv (উদাহরণস্বরূপ, z = -1, w = -1 ধরুন) নয়। দ্বিতীয় সূত্রটিও ভুল। উদাহরণস্বরূপ, কেস z = 2 বিবেচনা করুন।
• 6.4। সমতা থেকে a a = e 01 "0অনুমান করুন যে এখানে ডান দিকের ফর্ম আছে |i|« , e ca(a^a+2 ইয়াক)? sli p r এবং কিছু ভিন্ন পূর্ণসংখ্যা 19 থেকে 2 পর্যন্ত

বন্ধনীতে অভিব্যক্তি একই অর্থ গ্রহণ করে, তাহলে তাদের হবে

যা অযৌক্তিকতার পরিপন্থী ক .

• 6.5। z \u003d 2? / r- / "ln (8 ± V63)।
• 7.1। ক) কোণ - আমি w
• খ) সার্কুলার সেক্টর | w2, | argvr|
• 7.2। উভয় ক্ষেত্রেই, উৎপত্তিকে কেন্দ্র করে ব্যাসার্ধ 1 এর একটি বৃত্ত।
• 7.3। আমরা অর্ধবৃত্তের সীমানা বরাবর চলে যাব যাতে এর অভ্যন্তর বাম দিকে থাকে। আমরা স্বরলিপি ব্যবহার করি z = x + yi, w = u + vi।অবস্থান চালু

এ= 0, -1 x 1 আমাদের আছে এবং =--e [-1,1]" v = 0. সীমানার দ্বিতীয় অংশটি বিবেচনা করুন - অর্ধবৃত্ত z=ই ইউ,tg. এই বিভাগে, অভিব্যক্তি

ফর্মে রূপান্তরিত হয় w=u=-- ,/* -। মাঝে. (8.6) অনুসারে, কাঙ্খিত অবিচ্ছেদ্য সমান

খ)। নিম্ন অর্ধবৃত্ত সমীকরণ ফর্ম আছে z(t) = e“,t e[l, 2n)।সূত্র দ্বারা (8.8), অবিচ্ছেদ্য সমান

• 8.2। ক)। কাঙ্খিত অখণ্ডকে সেগমেন্টের উপর অখণ্ডের সমষ্টিতে ভাগ করুন ও কএবং সেগমেন্ট বরাবর এবি. তাদের সমীকরণ যথাক্রমে z= / + //,/ সহ এবং

z = t + i,te. উত্তর: - + - i

• খ)। ইন্টিগ্রেশন কার্ভ সমীকরণটি z = হিসাবে লেখা যেতে পারে ই", টি € . তারপর Vz এর দুটি ভিন্ন মান আছে, যথা,

.1 .t+2/r

e 2, ঙ 2. এটি সমস্যার শর্তগুলি থেকে অনুসরণ করে যে আমরা মূলের মূল মান সম্পর্কে কথা বলছি: Vz, i.e. এই প্রথম সম্পর্কে. তারপর অবিচ্ছেদ্য হয়

8.3। সমস্যা সমাধানে, অঙ্কনটি ইচ্ছাকৃতভাবে দেওয়া হয় না, তবে পাঠকের এটি সম্পূর্ণ করা উচিত। দুটি প্রদত্ত বিন্দু i, /> e C সংযোগ করে একটি সরল রেখার অংশের সমীকরণ ব্যবহার করা হয় (ক -শুরু, খ -শেষ): z = (l - /)fl+ /?,/€। কাঙ্খিত ইন্টিগ্রেলকে চার ভাগে ভাগ করা যাক:

I = I AB + I BC + I CD +1 ডি.এ. সেগমেন্টে এবিআমাদের আছে জেড- (1 -1) ? 1 +1 /, তাই (8.8) অনুসারে এই সেগমেন্টের অবিচ্ছেদ্য সমান

একটি অনুরূপ ভাবে এগিয়ে, আমরা খুঁজে

• 9.1। ক) 2n7; খ) 0।
• 9.2। একটি প্রতিস্থাপন করুন z = z0 + re 11.0 t2/g
• 9.3 ফাংশন f(z)=কিছু সহজভাবে সংযুক্ত J হলোমরফিক z-এ

এলাকা D যার মধ্যে Г এবং ns রয়েছে ক. /),/] তে প্রয়োগ করা অখণ্ড উপপাদ্য দ্বারা, কাঙ্ক্ষিত অখণ্ডটি শূন্যের সমান।

• 9.4। ক) 2/n(cosl2 + /sinl2); খ) 34l-/।
• 9.5। যদি ক) একবচন বিন্দু ±2/ প্রদত্ত বৃত্তের ভিতরে থাকে, তাই অবিচ্ছেদ্য সমান

• খ)। একবচন বিন্দু ±3/ এছাড়াও বৃত্তের ভিতরে থাকে। সমাধান অনুরূপ। উত্তরঃ 0।
• 10.1। ফাংশনটিকে /(z) = ----- ব্যবহার হিসাবে উপস্থাপন করুন
• 3 1 + -

জ্যামিতিক সিরিজ 1 + q + q2 (||

• 1 -জ
• 10.2। একটি জ্যামিতিক সিরিজ পদ দ্বারা শব্দ পার্থক্য.
• 10.3। ক) | z+/1t = z2। উত্তর: z
• 11.1। সূচক এবং সাইনের শক্তি সম্প্রসারণ ব্যবহার করুন। ক্ষেত্রে ক) অর্ডারটি 3, ক্ষেত্রে খ) এটি 2।
• 11.2। পরিবর্তনশীলের একটি সুস্পষ্ট পরিবর্তন পর্যন্ত, সমীকরণ হতে পারে

আকারে প্রতিনিধিত্ব করুন /(z) = /(-^z)। সাধারণতা হারানো ছাড়া, আমরা এটি অনুমান করতে পারি

0 বিন্দুতে কেন্দ্রীভূত ফাংশনের টেলর সিরিজের অভিসারের ব্যাসার্ধ একের চেয়ে বড়। আমাদের আছে:

ফাংশনের মানগুলি অভিসার বৃত্তের অন্তর্গত একটি সীমা বিন্দু সহ একটি পৃথক সেটে একই। অনন্যতা উপপাদ্য দ্বারা /(z) = const.

11.3। আসুন আমরা অনুমান করি যে কাঙ্ক্ষিত বিশ্লেষণাত্মক ফাংশন /(z) বিদ্যমান। ফাংশনের সাথে এর মান তুলনা করা যাক (z) = z2সেটের সামনে ই,

বিন্দু নিয়ে গঠিত z n = - (n = 2,3,...)। তাদের অর্থ একই, এবং যেহেতু ই

প্রদত্ত বৃত্তের অন্তর্গত একটি সীমা বিন্দু আছে, তারপর প্রদত্ত বৃত্তের সমস্ত আর্গুমেন্টের জন্য স্বতন্ত্রতা উপপাদ্য /(z) = z 2 দ্বারা। কিন্তু এটি শর্তের বিরোধিতা করে /(1) = 0। উত্তর: ns এর অস্তিত্ব নেই।

• 11.4। হ্যাঁ, /(*) = -এল
• 2 + 1
• 11.5। কোন দ্বন্দ্ব নেই, যেহেতু ইউনিট মানের সীমা বিন্দু ফাংশনের ডোমেনে থাকে না।
• - 1 1
• 12.1। ক) 0; খ) 2

  12.2। ক)। ফর্মে ফাংশনটি উপস্থাপন করুন এবং বন্ধনীগুলি প্রসারিত করুন।

  • খ)। পদগুলি অদলবদল করুন, স্ট্যান্ডার্ড কোসাইন এবং সাইন সম্প্রসারণ ব্যবহার করুন।
  • 12.3.
  
  • 12.4। ক) পয়েন্ট 0, ± 1 সরল খুঁটি;
  • b) z = 0 - অপসারণযোগ্য বিন্দু;
  • c) z = 0 একটি অপরিহার্য একবচন বিন্দু।
  • 13.1। ক)। বিন্দু a = 1, a = 2 হল ইন্টিগ্র্যান্ডের মেরু। প্রথম (সাধারণ) মেরুটির সাপেক্ষে অবশিষ্টাংশ (13.2) অনুসারে পাওয়া যায়, এটি 1 এর সমান। দ্বিতীয় মেরুর সাপেক্ষে অবশিষ্টাংশটি সূত্র (13.3) দ্বারা বহুগুণের ক্রম সহ পাওয়া যায় u = 2 এবং -1 এর সমান। অবশিষ্টাংশের যোগফল শূন্য, তাই মৌলিক অবশিষ্টাংশ উপপাদ্য দ্বারা অখণ্ডটি শূন্য।
  • খ)। নির্দেশিত শীর্ষবিন্দু সহ আয়তক্ষেত্রের ভিতরে তিনটি

  সাধারণ খুঁটি 1, -1,/। তাদের মধ্যে অবশিষ্টাংশের যোগফল -- এর সমান, এবং অবিচ্ছেদ্য সমান

  ভিতরে). খুঁটির মধ্যে 2 Trki(kGZ)ইন্টিগ্র্যান্ডের, প্রদত্ত বৃত্তের ভিতরে কেবল দুটি রয়েছে। এটা 0 এবং 2 আমিউভয়ই সরল, তাদের মধ্যে অবশিষ্টাংশ 1 এ সমান। উত্তর: 4z7।

  এটিকে 2/r/ দ্বারা গুণ করুন। বিবরণ বাদ দিয়ে, আমরা উত্তর নির্দেশ করি: / = -i।

  13.2। ক)। তাহলে e"=z রাখি e"idt =dz , dt= - . হো

  e" - e~" z-z~ x

  sin/=-=-, ইন্টেফাল আকারে কমে যাবে

  

  এখানে হরটি ফ্যাক্টরাইজড (z-z,)(z-z 2), যেখানে z, = 3 - 2 V2 / বৃত্তের ভিতরে অবস্থিত এ , a z,=3 + 2V2 / উপরে আছে। সূত্রটি (13.2) এবং

  খ)। অনুমান, উপরের মত, e" = z , আমরা আকারে ইন্টেফাল কমিয়ে দিই

  

  সাবইনটেফাল ফাংশনে তিনটি সরল মেরু রয়েছে (কোনটি?)। তাদের মধ্যে অবশিষ্টাংশ গণনা করার জন্য পাঠককে ছেড়ে দিয়ে, আমরা উত্তরটি নির্দেশ করি: আমি = .

  • ভিতরে) . সাবইন্টেগ্রাল ফাংশনটি 2(1--=-) এর সমান, কাঙ্খিত পূর্ণাঙ্গ
  • 1 + cos t

  সমান 2(^-1- h-dt)। / দ্বারা বন্ধনীতে অবিচ্ছেদ্য নির্দেশ করুন।

  সমতা cos "/ = - (1 + cos2f) প্রয়োগ করলে আমরা পাই যে / = [- cit .

  ক্ষেত্রের সাথে সাদৃশ্য দ্বারা a), b) একটি প্রতিস্থাপন করুন e 2,t = z, ফর্মে অবিচ্ছেদ্য কমিয়ে দিন

  

  যেখানে ইন্টিগ্রেশন বক্ররেখা একই একক বৃত্ত। আরও আর্গুমেন্ট একটি ক্ষেত্রে হিসাবে একই) উত্তর: মূল, চাওয়া-প্রাপ্ত অবিচ্ছেদ্যটি /r(2-n/2) এর সমান।

  13.3। ক)। অক্জিলিয়ারী কমপ্লেক্স ইন্টিগ্রাল বিবেচনা করুন

  /(/?)=f f(z)dz,কোথায় f(z) = - p-, G (I) - একটি কনট্যুর গঠিত

  অর্ধবৃত্ত y(আর): | z |= আর> 1, Imz > 0 এবং সমস্ত ব্যাস (একটি অঙ্কন তৈরি করুন)। এই অবিচ্ছেদ্যটিকে দুটি ভাগে ভাগ করা যাক - ব্যবধান [-/?,/?] এবং অনুসারে y(আর).

  থেকে। হ্যাঁ।

  সার্কিটের ভিতরে কেবল সাধারণ খুঁটি রয়েছে z 0 \u003d e 4, z, = e 4 (চিত্র 186)। আমরা তাদের অবশিষ্টাংশের সম্মানে খুঁজে পাই:

  এটা যে অবিচ্ছেদ্য ওভার যাচাই অবশেষ y(R)হিসাবে শূন্য ঝোঁক আর. অসমতা থেকে |g + A|>||i|-|/>|| এবং জন্য অবিচ্ছেদ্য অনুমান থেকে z e y(R)এটা যে অনুসরণ করে

অনেক ক্ষেত্রে, ফর্ম (C) সিরিজের সহগগুলি তদন্ত করে বা এটি প্রতিষ্ঠিত করা যেতে পারে যে এই সিরিজগুলি একত্রিত হয় (সম্ভবত পৃথক বিন্দু ব্যতীত) এবং তাদের যোগফলের জন্য ফুরিয়ার সিরিজ (দেখুন, উদাহরণস্বরূপ, পূর্ববর্তী n° ), কিন্তু এই সব ক্ষেত্রে, প্রশ্ন স্বাভাবিকভাবেই উঠছে

কিভাবে এই সিরিজের যোগফল খুঁজে বের করতে হয় বা, আরও সঠিকভাবে, প্রাথমিক ফাংশনগুলির পরিপ্রেক্ষিতে কীভাবে সেগুলিকে চূড়ান্ত আকারে প্রকাশ করা যায়, যদি সেগুলি এই ধরনের আকারে প্রকাশ করা হয়। এমনকি অয়লার (এবং ল্যাগ্রঞ্জও) একটি চূড়ান্ত আকারে ত্রিকোণমিতিক সিরিজ যোগ করার জন্য একটি জটিল পরিবর্তনশীলের বিশ্লেষণাত্মক ফাংশন সফলভাবে ব্যবহার করেছেন। অয়লার পদ্ধতির পেছনের ধারণাটি নিম্নরূপ।

আসুন আমরা ধরে নিই যে, একটি নির্দিষ্ট সেট সহগগুলির জন্য, সিরিজ (C) এবং ব্যবধানে সর্বত্র ফাংশনে একত্রিত হয়, শুধুমাত্র পৃথক বিন্দু বাদ দিয়ে। এখন একই সহগ সহ একটি পাওয়ার সিরিজ বিবেচনা করুন, একটি জটিল পরিবর্তনশীলের শক্তিতে সাজানো

একক বৃত্তের পরিধিতে, অর্থাৎ, তে, এই সিরিজটি অনুমান দ্বারা একত্রিত হয়, পৃথক বিন্দু বাদ দিয়ে:

এই ক্ষেত্রে, পাওয়ার সিরিজের সুপরিচিত বৈশিষ্ট্য অনুসারে, সিরিজ (5) অবশ্যই একক বৃত্তের ভিতরে একত্রিত হয়, সেখানে একটি জটিল চলকের একটি নির্দিষ্ট ফাংশন সংজ্ঞায়িত করে। আমাদের পরিচিত ব্যবহার [দেখুন. § XII অধ্যায়ের 5] একটি জটিল ভেরিয়েবলের প্রাথমিক ফাংশনগুলির সম্প্রসারণ, প্রায়শই তাদের ফাংশন হ্রাস করা সম্ভব। তারপর আমাদের জন্য রয়েছে:

এবং অ্যাবেল উপপাদ্য দ্বারা, সিরিজ (6) একত্রিত হওয়ার সাথে সাথে এর যোগফল একটি সীমা হিসাবে প্রাপ্ত হয়

সাধারণত এই সীমাটি কেবল সমান যা আমাদের চূড়ান্ত আকারে ফাংশনটি গণনা করতে দেয়

উদাহরণস্বরূপ, সিরিজ যাক

পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদে প্রমাণিত বিবৃতিগুলি এই উপসংহারে নিয়ে যায় যে এই দুটি সিরিজ একত্রিত হয় (প্রথমটি, পয়েন্ট ০ এবং বাদ দিয়ে

তারা যে ফাংশনগুলিকে সংজ্ঞায়িত করে তার জন্য ফুরিয়ার সিরিজ হিসাবে কাজ করে৷ কিন্তু এই ফাংশনগুলি কী? এই প্রশ্নের উত্তর দিতে, আমরা একটি সিরিজ তৈরি করি

লগারিদমিক সিরিজের সাথে সাদৃশ্য দ্বারা, এর যোগফল সহজেই প্রতিষ্ঠিত হয়:

অতএব,

এখন একটি সহজ গণনা দেয়:

সুতরাং এই অভিব্যক্তিটির মডুলাস হল , এবং যুক্তি হল .

এবং এইভাবে অবশেষে

এই ফলাফলগুলি আমাদের কাছে পরিচিত এবং এমনকি একবার "জটিল" বিবেচনার সাহায্যে প্রাপ্ত হয়েছিল; কিন্তু প্রথম ক্ষেত্রে, আমরা ফাংশন থেকে শুরু করেছি এবং , এবং দ্বিতীয়তে - বিশ্লেষণাত্মক ফাংশন থেকে। এখানে, প্রথমবারের মতো, সিরিজটি নিজেই একটি সূচনা বিন্দু হিসেবে কাজ করেছে। পাঠক পরবর্তী বিভাগে এই ধরনের আরও উদাহরণ পাবেন।

আমরা আবারও জোর দিচ্ছি যে কনভারজেন্স এবং সারি (C) এর আগে নিশ্চিত হতে হবে এবং সীমাবদ্ধ সমতা (7) ব্যবহার করে তাদের যোগফল নির্ধারণের অধিকার থাকতে হবে। এই সমতার ডানদিকে একটি সীমার অস্তিত্ব আমাদের এখনও উপসংহারে পৌঁছাতে দেয় না যে উপরের সিরিজগুলি একত্রিত হয়েছে। একটি উদাহরণ সহ এটি দেখানোর জন্য, সিরিজটি বিবেচনা করুন

বিজ্ঞান ও প্রযুক্তিতে, একজনকে প্রায়ই পর্যায়ক্রমিক ঘটনা মোকাবেলা করতে হয়, যেমন যেগুলি একটি নির্দিষ্ট সময়ের পরে পুনরুত্পাদন করা হয় টিসময়কাল বলা হয়। পর্যায়ক্রমিক ফাংশনগুলির মধ্যে সবচেয়ে সহজ (একটি ধ্রুবক ব্যতীত) একটি সাইনোসয়েডাল মান: asin(এক্স+ ), হারমোনিক দোলন, যেখানে অনুপাত দ্বারা সময়কালের সাথে সম্পর্কিত একটি "ফ্রিকোয়েন্সি" আছে: . এই ধরনের সহজ পর্যায়ক্রমিক ফাংশন থেকে, আরও জটিলগুলি রচনা করা যেতে পারে। স্পষ্টতই, উপাদান সাইনোসয়েডাল পরিমাণগুলি অবশ্যই বিভিন্ন ফ্রিকোয়েন্সির হতে হবে, যেহেতু একই কম্পাঙ্কের সাইনোসয়েডাল পরিমাণ যোগ করার ফলে একই কম্পাঙ্কের সাইনোসয়েডাল পরিমাণে পরিণত হয়। যদি আমরা ফর্মের বেশ কয়েকটি মান যোগ করি

উদাহরণস্বরূপ, আমরা এখানে তিনটি সাইনোসয়েডাল পরিমাণ যোগ করে পুনরুত্পাদন করি: . এই ফাংশনের গ্রাফটি বিবেচনা করুন

এই গ্রাফটি সাইন ওয়েভ থেকে উল্লেখযোগ্যভাবে আলাদা। এই ধরনের পদ দ্বারা গঠিত একটি অসীম সিরিজের যোগফলের জন্য এটি আরও বেশি সত্য। আসুন প্রশ্নটি উত্থাপন করা যাক: পিরিয়ডের একটি নির্দিষ্ট পর্যায়ক্রমিক ফাংশনের জন্য এটি কি সম্ভব? টিএকটি সসীম বা অন্তত সাইনোসয়েডাল পরিমাণের একটি অসীম সেটের যোগফল হিসাবে উপস্থাপন করুন? দেখা যাচ্ছে যে ফাংশনগুলির একটি বৃহৎ শ্রেণীর ক্ষেত্রে, এই প্রশ্নের উত্তরটি ইতিবাচকভাবে দেওয়া যেতে পারে, তবে এটি কেবল তখনই যদি আমরা এই ধরনের পদগুলির সম্পূর্ণ অসীম ক্রমকে অবিকল অন্তর্ভুক্ত করি। জ্যামিতিকভাবে, এর মানে হল যে একটি পর্যায়ক্রমিক ফাংশনের গ্রাফটি সাইনোসয়েডের একটি সিরিজকে সুপারইম্পোজ করে প্রাপ্ত করা হয়। যদি আমরা প্রতিটি সাইনোসয়েডাল মানকে একটি নির্দিষ্ট সুরেলা দোলন গতি হিসাবে বিবেচনা করি, তবে আমরা বলতে পারি যে এটি একটি জটিল দোলন যা একটি ফাংশন দ্বারা বা কেবল তার সুরেলা (প্রথম, দ্বিতীয়, ইত্যাদি) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। পর্যায়ক্রমিক ফাংশনকে হারমোনিক্সে পরিণত করার প্রক্রিয়াকে বলা হয় সুরেলা বিশ্লেষণ।

এটি লক্ষ করা গুরুত্বপূর্ণ যে এই ধরনের সম্প্রসারণগুলি প্রায়শই ফাংশনগুলির অধ্যয়নের ক্ষেত্রে কার্যকর হতে পারে যা শুধুমাত্র একটি নির্দিষ্ট সীমাবদ্ধ ব্যবধানে দেওয়া হয় এবং কোনও দোলনীয় ঘটনা দ্বারা উত্পন্ন হয় না।

সংজ্ঞা।একটি ত্রিকোণমিতিক সিরিজ ফর্মের একটি সিরিজ:

বা (1).

বাস্তব সংখ্যাগুলোকে ত্রিকোণমিতিক সিরিজের সহগ বলা হয়। এই সিরিজটি এভাবেও লেখা যেতে পারে:

যদি উপরে উপস্থাপিত প্রকারের একটি সিরিজ একত্রিত হয়, তাহলে এর যোগফল হল একটি পর্যায়ক্রমিক ফাংশন যার সময়কাল 2p।

সংজ্ঞা।ত্রিকোণমিতিক সিরিজের ফুরিয়ার সহগকে বলা হয়: (2)

(3)

(4)

সংজ্ঞা।একটি ফাংশন জন্য ফুরিয়ার কাছাকাছি f(x)একটি ত্রিকোণমিতিক সিরিজ বলা হয় যার সহগ হল ফুরিয়ার সহগ।

যদি ফুরিয়ার সিরিজ ফাংশন f(x)এটির সাথে তার ধারাবাহিকতার সমস্ত পয়েন্টে কনভার্জ করে, তারপর আমরা বলি যে ফাংশনটি f(x)একটি ফুরিয়ার সিরিজে প্রসারিত হয়।

উপপাদ্য।(ডিরিচলেটের উপপাদ্য) যদি একটি ফাংশনের সময়কাল 2p থাকে এবং একটি সেগমেন্টে অবিচ্ছিন্ন থাকে বা প্রথম ধরণের একটি সীমিত সংখ্যক বিচ্ছিন্নতা বিন্দু থাকে, সেগমেন্টটিকে একটি সীমিত সংখ্যক সেগমেন্টে ভাগ করা যেতে পারে যাতে প্রতিটির ভিতরে ফাংশনটি একঘেয়ে হয়। তাদের মধ্যে, তারপর ফাংশনের জন্য ফুরিয়ার সিরিজ সমস্ত মানের জন্য একত্রিত হয় এক্স, এবং ফাংশনের ধারাবাহিকতার বিন্দুতে, এর যোগফল S(x)এর সমান, এবং বিচ্ছিন্নতা বিন্দুতে এর যোগফল সমান, অর্থাৎ বাম এবং ডানে সীমা মানের গাণিতিক গড়।

এই ক্ষেত্রে, ফুরিয়ার সিরিজ ফাংশন f(x)ফাংশনের ধারাবাহিকতার ব্যবধানের অন্তর্গত যে কোনো ব্যবধানে অভিন্নভাবে একত্রিত হয়।

একটি ফাংশন যা এই উপপাদ্যের শর্তগুলিকে সন্তুষ্ট করে তাকে ব্যবধানে পিসওয়াইজ মসৃণ বলা হয়।

ফুরিয়ার সিরিজের একটি ফাংশনের সম্প্রসারণের উদাহরণ বিবেচনা করা যাক।

উদাহরণ 1. ফুরিয়ার সিরিজে ফাংশনটি প্রসারিত করুন f(x)=1-x, যার একটি পিরিয়ড আছে 2 পিএবং সেগমেন্টে দেওয়া হয়েছে।

সমাধান. এই ফাংশন প্লট করা যাক

এই ফাংশনটি সেগমেন্টে ক্রমাগত থাকে, অর্থাৎ একটি পিরিয়ডের দৈর্ঘ্য সহ একটি সেগমেন্টে, তাই এটিকে একটি ফুরিয়ার সিরিজে প্রসারিত করা যেতে পারে যা এই সেগমেন্টের প্রতিটি বিন্দুতে এটির সাথে মিলিত হয়। সূত্র (2) ব্যবহার করে, আমরা এই সিরিজের সহগ খুঁজে পাই:।

আমরা একীকরণ-দ্বারা-অংশ সূত্র প্রয়োগ করি এবং যথাক্রমে (3) এবং (4) সূত্রগুলি সন্ধান করি এবং ব্যবহার করি:

সহগগুলিকে সূত্রে প্রতিস্থাপন করে (1), আমরা পাই অথবা

এই সমতা বিন্দু এবং (গ্রাফের আঠালো পয়েন্ট) ব্যতীত সমস্ত বিন্দুতে সঞ্চালিত হয়। এই প্রতিটি বিন্দুতে, সিরিজের যোগফল ডান এবং বামে এর সীমা মানের পাটিগণিত গড়ের সমান, অর্থাৎ।

ফাংশন প্রসারিত করার জন্য একটি অ্যালগরিদম উপস্থাপন করা যাকএকটি ফুরিয়ার সিরিজে।

উদ্ভূত সমস্যা সমাধানের জন্য সাধারণ পদ্ধতি নিম্নরূপ।