পয়েন্ট ভ্যারিয়েশন সিরিজ। সাধারণ সমস্যা সমাধানের একটি উদাহরণ। মতভেদ অনুপাত ব্যবহারের জন্য শর্ত এবং সীমাবদ্ধতা

পরিসংখ্যানগত বিশ্লেষণে একটি বিশেষ স্থান অধ্যয়ন করা বৈশিষ্ট্য বা ঘটনাটির গড় স্তর নির্ধারণের অন্তর্গত। একটি বৈশিষ্ট্যের গড় স্তর গড় মান দ্বারা পরিমাপ করা হয়।

গড় মান অধ্যয়ন করা বৈশিষ্ট্যের সাধারণ পরিমাণগত স্তরকে চিহ্নিত করে এবং এটি পরিসংখ্যানগত জনসংখ্যার একটি গ্রুপ সম্পত্তি। এটি এক দিক বা অন্য দিকে পৃথক পর্যবেক্ষণের এলোমেলো বিচ্যুতিগুলিকে স্তরিত করে, দুর্বল করে এবং অধ্যয়ন করা বৈশিষ্ট্যের প্রধান, সাধারণ বৈশিষ্ট্যকে হাইলাইট করে।

গড় ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়:

1. জনসংখ্যার স্বাস্থ্যের অবস্থা মূল্যায়ন করার জন্য: শারীরিক বিকাশের বৈশিষ্ট্য (উচ্চতা, ওজন, বুকের পরিধি, ইত্যাদি), বিভিন্ন রোগের বিস্তার এবং সময়কাল চিহ্নিত করা, জনসংখ্যার সূচক বিশ্লেষণ করা (জনসংখ্যার অত্যাবশ্যক গতিবিধি, গড় আয়ু, জনসংখ্যার প্রজনন, গড় জনসংখ্যা এবং ইত্যাদি)।

2. চিকিৎসা প্রতিষ্ঠান, চিকিৎসা কর্মীদের ক্রিয়াকলাপ অধ্যয়ন করা এবং তাদের কাজের গুণমান মূল্যায়ন করা, বিভিন্ন ধরণের চিকিৎসা পরিচর্যার জন্য জনসংখ্যার প্রয়োজনের পরিকল্পনা করা এবং নির্ধারণ করা (প্রতি বছর প্রতি বাসিন্দার অনুরোধ বা ভিজিটের গড় সংখ্যা, একজনের থাকার গড় দৈর্ঘ্য একটি হাসপাতালে রোগী, রোগীর পরীক্ষার গড় সময়কাল, ডাক্তারের গড় প্রাপ্যতা, বিছানা ইত্যাদি)।

3. স্যানিটারি এবং এপিডেমিওলজিকাল অবস্থার বৈশিষ্ট্য (ওয়ার্কশপে বাতাসের ধূলিকণার পরিমাণ, জনপ্রতি গড় এলাকা, প্রোটিন, চর্বি এবং কার্বোহাইড্রেটের গড় খরচ ইত্যাদি)।

4. সামাজিক, স্বাস্থ্যকর, ক্লিনিকাল এবং পরীক্ষামূলক গবেষণায় একটি নমুনা অধ্যয়নের ফলাফলের নির্ভরযোগ্যতা প্রতিষ্ঠা করার জন্য, ল্যাবরেটরি ডেটা প্রক্রিয়াকরণের সময়, স্বাভাবিক এবং রোগগত পরিস্থিতিতে চিকিৎসা এবং শারীরবৃত্তীয় সূচকগুলি নির্ধারণ করা।

গড় মান গণনা প্রকরণ সিরিজের ভিত্তিতে সঞ্চালিত হয়। ভিন্নতা সিরিজএকটি গুণগতভাবে সমজাতীয় পরিসংখ্যানগত সেট, যার স্বতন্ত্র এককগুলি অধ্যয়ন করা বৈশিষ্ট্য বা ঘটনাটির পরিমাণগত পার্থক্যকে চিহ্নিত করে।

পরিমাণগত প্রকরণ দুই ধরনের হতে পারে: বিচ্ছিন্ন (বিচ্ছিন্ন) এবং অবিচ্ছিন্ন।

একটি বিচ্ছিন্ন (বিচ্ছিন্ন) বৈশিষ্ট্য শুধুমাত্র একটি পূর্ণসংখ্যা হিসাবে প্রকাশ করা হয় এবং এর কোনো মধ্যবর্তী মান থাকতে পারে না (উদাহরণস্বরূপ, পরিদর্শনের সংখ্যা, সাইটের জনসংখ্যা, পরিবারে শিশুদের সংখ্যা, পয়েন্টে রোগের তীব্রতা , ইত্যাদি)।

একটি অবিচ্ছিন্ন চিহ্ন ভগ্নাংশ সহ নির্দিষ্ট সীমার মধ্যে যে কোনও মান গ্রহণ করতে পারে এবং এটি কেবলমাত্র প্রকাশ করা হয় (উদাহরণস্বরূপ, ওজন - প্রাপ্তবয়স্কদের জন্য এটি কিলোগ্রামে সীমাবদ্ধ হতে পারে এবং নবজাতকের জন্য - গ্রাম; উচ্চতা, রক্তচাপ, সময় একটি রোগী দেখতে ব্যয় করা, এবং ইত্যাদি)।

প্রকরণ সিরিজে অন্তর্ভুক্ত প্রতিটি স্বতন্ত্র বৈশিষ্ট্য বা ঘটনার ডিজিটাল মানকে একটি বৈকল্পিক বলা হয় এবং চিঠি দ্বারা মনোনীত করা হয় ভি . অন্যান্য স্বরলিপিগুলিও গাণিতিক সাহিত্যে পাওয়া যায়, উদাহরণস্বরূপ এক্স বা y

একটি ভিন্নতা সিরিজ, যেখানে প্রতিটি বিকল্প একবার নির্দেশিত হয়, তাকে সহজ বলা হয়।কম্পিউটার ডেটা প্রসেসিংয়ের ক্ষেত্রে বেশিরভাগ পরিসংখ্যানগত সমস্যায় এই ধরনের সিরিজ ব্যবহার করা হয়।

পর্যবেক্ষণের সংখ্যা বাড়ার সাথে সাথে বৈকল্পিক মানগুলির পুনরাবৃত্তি ঘটতে থাকে। এই ক্ষেত্রে, এটি তৈরি করা হয় দলবদ্ধ বৈচিত্র্য সিরিজ, যেখানে পুনরাবৃত্তির সংখ্যা নির্দেশিত হয় (ফ্রিকোয়েন্সি, অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করা হয় " আর »).

র‌্যাঙ্ক করা ভিন্নতা সিরিজআরোহী বা অবরোহী ক্রমে সাজানো বিকল্পগুলি নিয়ে গঠিত। সহজ এবং গোষ্ঠীবদ্ধ উভয় সিরিজই র‌্যাঙ্কিংয়ের সাথে কম্পাইল করা যেতে পারে।

ব্যবধান প্রকরণ সিরিজখুব বড় সংখ্যক পর্যবেক্ষণ ইউনিট (1000 টিরও বেশি) সহ একটি কম্পিউটার ব্যবহার না করে সঞ্চালিত পরবর্তী গণনাগুলিকে সহজ করার জন্য সংকলিত।

ক্রমাগত ভিন্নতা সিরিজবিকল্প মান অন্তর্ভুক্ত করে, যা যেকোনো মান হতে পারে।

যদি একটি বৈচিত্র্যের সিরিজে একটি বৈশিষ্ট্যের (ভেরিয়েন্ট) মানগুলি পৃথক নির্দিষ্ট সংখ্যার আকারে দেওয়া হয়, তবে এই ধরনের সিরিজকে বলা হয় পৃথক.

বৈচিত্র্যের সিরিজে প্রতিফলিত বৈশিষ্ট্যের মানগুলির সাধারণ বৈশিষ্ট্যগুলি হল গড় মান। তাদের মধ্যে, সর্বাধিক ব্যবহৃত হয়: পাটিগণিত গড় মি,ফ্যাশন মোএবং মধ্যমা আমাকে.এই বৈশিষ্ট্যগুলির প্রতিটি অনন্য। তারা একে অপরকে প্রতিস্থাপন করতে পারে না এবং শুধুমাত্র একসাথে তারা ভিন্নতা সিরিজের বৈশিষ্ট্যগুলিকে পুরোপুরি এবং ঘনীভূত আকারে উপস্থাপন করে।

ফ্যাশন (মো) সবচেয়ে ঘন ঘন ঘটমান বিকল্পের মান নাম দিন।

মধ্যমা (আমাকে) - এটি বিকল্পটির মান যা র‌্যাঙ্ক করা বৈচিত্র্য সিরিজকে অর্ধেকে ভাগ করে (মিডিয়ানের প্রতিটি পাশে বিকল্পের অর্ধেক রয়েছে)। বিরল ক্ষেত্রে, যখন একটি প্রতিসম বৈচিত্র্যের সিরিজ থাকে, তখন মোড এবং মধ্যমা একে অপরের সমান হয় এবং পাটিগণিত গড়ের মানের সাথে মিলে যায়।

বিকল্প মানগুলির সবচেয়ে সাধারণ বৈশিষ্ট্য হল গাণিতিক গড়মান( এম ) গাণিতিক সাহিত্যে এটি চিহ্নিত করা হয় .

পাটিগণিতের গড় (মি, ) অধ্যয়ন করা ঘটনার একটি নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্যের একটি সাধারণ পরিমাণগত বৈশিষ্ট্য, যা একটি গুণগতভাবে একজাতীয় পরিসংখ্যানগত জনসংখ্যা গঠন করে। সহজ এবং ওজনযুক্ত গাণিতিক গড় আছে। সরল গাণিতিক গড় একটি সরল পরিবর্তন সিরিজের জন্য গণনা করা হয় সমস্ত বিকল্পের সমষ্টি এবং এই বৈচিত্র্যের সিরিজে অন্তর্ভুক্ত বিকল্পগুলির মোট সংখ্যা দ্বারা এই যোগফলকে ভাগ করে। গণনা সূত্র অনুযায়ী সঞ্চালিত হয়:

কোথায়: এম - সরল পাটিগণিত গড়;

Σ ভি - পরিমাণ বিকল্প;

n- পর্যবেক্ষণের সংখ্যা।

গোষ্ঠীবদ্ধ প্রকরণ সিরিজে, ওজনযুক্ত পাটিগণিত গড় নির্ধারণ করা হয়। এটি গণনার জন্য সূত্র:

কোথায়: এম - গাণিতিক ওজনযুক্ত গড়;

Σ ভিপি - তাদের ফ্রিকোয়েন্সি দ্বারা ভেরিয়েন্টের পণ্যগুলির সমষ্টি;

n- পর্যবেক্ষণের সংখ্যা।

প্রচুর পরিমাণে পর্যবেক্ষণ সহ, ম্যানুয়াল গণনার ক্ষেত্রে, মুহুর্তের পদ্ধতি ব্যবহার করা যেতে পারে।

গাণিতিক গড় নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য আছে:

গড় থেকে বিচ্যুতির যোগফল ( Σ d ) শূন্যের সমান (সারণী 15 দেখুন);

· একই গুণনীয়ক (ভাজক) দ্বারা সমস্ত বিকল্পকে গুণ (ভাগ করা) করার সময়, গাণিতিক গড় একই গুণনীয়ক (ভাজক) দ্বারা গুণিত (ভাগ) হয়;

· আপনি যদি সমস্ত বিকল্পের সাথে একই সংখ্যা যোগ (বিয়োগ) করেন, তাহলে গাণিতিক গড় একই সংখ্যা দ্বারা বৃদ্ধি (হ্রাস) হয়।

যে সিরিজ থেকে তারা গণনা করা হয় তার পরিবর্তনশীলতা বিবেচনা না করে, নিজের দ্বারা নেওয়া গাণিতিক গড়, বৈচিত্র্য সিরিজের বৈশিষ্ট্যগুলি সম্পূর্ণরূপে প্রতিফলিত নাও হতে পারে, বিশেষ করে যখন অন্যান্য গড়গুলির সাথে তুলনা করা প্রয়োজন। মানের কাছাকাছি গড়গুলি বিক্ষিপ্ততার বিভিন্ন ডিগ্রী সহ সিরিজ থেকে পাওয়া যেতে পারে। পৃথক বিকল্পগুলি তাদের পরিমাণগত বৈশিষ্ট্যের পরিপ্রেক্ষিতে একে অপরের যত কাছাকাছি হবে, তত কম বিচ্ছুরণ (দোলন, পরিবর্তনশীলতা)সিরিজ, আরও সাধারণ এর গড়।

প্রধান পরামিতি যা আমাদের একটি বৈশিষ্ট্যের পরিবর্তনশীলতা মূল্যায়ন করতে দেয়:

· ব্যাপ্তি;

· প্রশস্ততা;

· আদর্শ চ্যুতি;

· প্রকরণের সহগ।

বৈশিষ্টের পরিবর্তনশীলতা আনুমানিকভাবে প্রকরণ সিরিজের পরিসর এবং প্রশস্ততা দ্বারা বিচার করা যেতে পারে। পরিসীমা সিরিজের সর্বাধিক (V সর্বোচ্চ) এবং সর্বনিম্ন (V মিনিট) বিকল্পগুলি নির্দেশ করে৷ প্রশস্ততা (A m) হল এই বিকল্পগুলির মধ্যে পার্থক্য: A m = V max - V min.

একটি প্রকরণ সিরিজের পরিবর্তনশীলতার প্রধান, সাধারণত গৃহীত পরিমাপ বিচ্ছুরণ (ডি ) তবে সর্বাধিক ব্যবহৃত হয় বিচ্ছুরণের ভিত্তিতে গণনা করা আরও সুবিধাজনক পরামিতি - আদর্শ বিচ্যুতি ( σ ) এটি বিচ্যুতির মাত্রা বিবেচনা করে ( d ) তার গাণিতিক গড় থেকে প্রতিটি পরিবর্তন সিরিজের ( d=V - M ).

যেহেতু গড় থেকে বিচ্যুতিগুলি ধনাত্মক এবং নেতিবাচক হতে পারে, যখন সংক্ষেপে তারা "0" (S d=0) এটি এড়াতে, বিচ্যুতি মান ( d) দ্বিতীয় শক্তিতে উত্থাপিত হয় এবং গড় করা হয়। এইভাবে, একটি প্রকরণ সিরিজের বিচ্ছুরণ হল পাটিগণিত গড় থেকে একটি বৈকল্পিকের বিচ্যুতির গড় বর্গ এবং সূত্র দ্বারা গণনা করা হয়:

এটি পরিবর্তনশীলতার সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য এবং অনেক পরিসংখ্যানগত মানদণ্ড গণনা করতে ব্যবহৃত হয়।

যেহেতু বিচ্ছুরণকে বিচ্যুতির বর্গ হিসাবে প্রকাশ করা হয়, তাই এর মান পাটিগণিত গড়ের সাথে তুলনা করা যায় না। এই উদ্দেশ্যে এটি ব্যবহার করা হয় আদর্শ চ্যুতি, যা "সিগমা" চিহ্ন দ্বারা মনোনীত হয় ( σ ) এটি গাণিতিক গড় মান থেকে একটি বৈচিত্র্য সিরিজের সমস্ত রূপের গড় বিচ্যুতিকে একই ইউনিটে গড় মান হিসাবে চিহ্নিত করে, তাই সেগুলি একসাথে ব্যবহার করা যেতে পারে।

আদর্শ বিচ্যুতি সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয়:

নির্দিষ্ট সূত্র প্রয়োগ করা হয় যখন পর্যবেক্ষণের সংখ্যা ( n ) 30 এর বেশি। একটি ছোট সংখ্যা সহ n স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি মান গাণিতিক অফসেটের সাথে যুক্ত একটি ত্রুটি থাকবে ( n - 1)। এই বিষয়ে, আদর্শ বিচ্যুতি গণনা করার জন্য সূত্রে এই জাতীয় পক্ষপাত বিবেচনা করে আরও সঠিক ফলাফল পাওয়া যেতে পারে:

আদর্শ চ্যুতি (s ) হল একটি এলোমেলো চলকের আদর্শ বিচ্যুতির একটি অনুমান এক্সএর বৈচিত্র্যের একটি নিরপেক্ষ অনুমানের উপর ভিত্তি করে এর গাণিতিক প্রত্যাশার সাথে সম্পর্কিত।

মূল্যবোধ সহ n > 30 আদর্শ বিচ্যুতি ( σ ) এবং আদর্শ বিচ্যুতি ( s ) একই হবে ( σ = s ). অতএব, বেশিরভাগ ব্যবহারিক ম্যানুয়ালগুলিতে এই মানদণ্ডগুলির বিভিন্ন অর্থ রয়েছে বলে মনে করা হয়।এক্সেলে, =STDEV(রেঞ্জ) ফাংশন ব্যবহার করে মানক বিচ্যুতি গণনা করা যেতে পারে। এবং আদর্শ বিচ্যুতি গণনা করার জন্য, আপনাকে একটি উপযুক্ত সূত্র তৈরি করতে হবে।

গড় বর্গক্ষেত্র বা আদর্শ বিচ্যুতি আপনাকে নির্ধারণ করতে দেয় যে একটি বৈশিষ্ট্যের মানগুলি গড় মান থেকে কতটা আলাদা হতে পারে। ধরুন গ্রীষ্মকালে একই গড় দৈনিক তাপমাত্রা সহ দুটি শহর রয়েছে। এই শহরগুলির একটি উপকূলে অবস্থিত, এবং অন্যটি মহাদেশে। এটি জানা যায় যে উপকূলে অবস্থিত শহরগুলিতে, দিনের তাপমাত্রার পার্থক্য অভ্যন্তরীণ শহরগুলির তুলনায় ছোট। অতএব, উপকূলীয় শহরের জন্য দিনের তাপমাত্রার মানক বিচ্যুতি দ্বিতীয় শহরের তুলনায় কম হবে। অনুশীলনে, এর মানে হল যে মহাদেশে অবস্থিত একটি শহরের প্রতিটি নির্দিষ্ট দিনের গড় বায়ু তাপমাত্রা উপকূলের একটি শহরের তুলনায় গড় থেকে বেশি আলাদা হবে। উপরন্তু, স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি আপনাকে সম্ভাব্যতার প্রয়োজনীয় স্তরের সাথে গড় থেকে সম্ভাব্য তাপমাত্রার বিচ্যুতিগুলি মূল্যায়ন করতে দেয়।

সম্ভাব্যতা তত্ত্ব অনুসারে, স্বাভাবিক বন্টন আইন মেনে চলা ঘটনাগুলিতে, গাণিতিক গড়, মানক বিচ্যুতি এবং বিকল্পগুলির মানগুলির মধ্যে একটি কঠোর সম্পর্ক রয়েছে ( তিনটি সিগমা নিয়ম) উদাহরণস্বরূপ, একটি পরিবর্তিত বৈশিষ্ট্যের মানের 68.3% M ± 1 এর মধ্যে রয়েছে σ , 95.5% - M ± 2 এর মধ্যে σ এবং 99.7% - M ± 3 এর মধ্যে σ .

প্রমিত বিচ্যুতির মান আমাদের ভিন্নতা সিরিজ এবং অধ্যয়ন গোষ্ঠীর একজাতীয়তার প্রকৃতি বিচার করতে দেয়। যদি স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতির মান ছোট হয়, তবে এটি অধ্যয়ন করা ঘটনাটির মোটামুটি উচ্চ একজাতীয়তা নির্দেশ করে। এই ক্ষেত্রে গাণিতিক গড় একটি প্রদত্ত বৈচিত্র্য সিরিজের জন্য বেশ বৈশিষ্ট্যযুক্ত হিসাবে বিবেচনা করা উচিত। যাইহোক, খুব ছোট একটি সিগমা মান একজনকে পর্যবেক্ষণের কৃত্রিম নির্বাচন সম্পর্কে ভাবতে বাধ্য করে। একটি খুব বড় সিগমা সহ, পাটিগণিত গড় বৈচিত্র্যের ধারাটিকে কম পরিমাণে চিহ্নিত করে, যা অধ্যয়ন করা বৈশিষ্ট্য বা ঘটনাটির উল্লেখযোগ্য পরিবর্তনশীলতা বা অধ্যয়নাধীন গ্রুপের ভিন্নতা নির্দেশ করে। যাইহোক, আদর্শ বিচ্যুতির মানের তুলনা শুধুমাত্র একই মাত্রার বৈশিষ্ট্যের জন্যই সম্ভব। প্রকৃতপক্ষে, যদি আমরা নবজাতক শিশু এবং প্রাপ্তবয়স্কদের ওজনের বৈচিত্র্যের তুলনা করি, আমরা সবসময় প্রাপ্তবয়স্কদের মধ্যে উচ্চতর সিগমা মান পাব।

ব্যবহার করে বিভিন্ন মাত্রার বৈশিষ্ট্যের পরিবর্তনশীলতার তুলনা করা যেতে পারে প্রকরণ সহগ. এটি গড়ের শতাংশ হিসাবে বৈচিত্র্য প্রকাশ করে, বিভিন্ন বৈশিষ্ট্যের মধ্যে তুলনা করার অনুমতি দেয়। চিকিৎসা সাহিত্যে তারতম্যের সহগ চিহ্ন দ্বারা নির্দেশিত হয় " সঙ্গে ", এবং গাণিতিক" v"এবং সূত্র দ্বারা গণনা করা হয়:

10% এর কম প্রকরণের সহগের মানগুলি 10 থেকে 20% পর্যন্ত ছোট বিচ্ছুরণ নির্দেশ করে - প্রায় গড়, 20% এর বেশি - গাণিতিক গড়ের চারপাশে শক্তিশালী বিক্ষিপ্তকরণ সম্পর্কে।

পাটিগণিত গড় সাধারণত একটি নমুনা জনসংখ্যা থেকে তথ্যের উপর ভিত্তি করে গণনা করা হয়। বারবার অধ্যয়নের সাথে, এলোমেলো ঘটনার প্রভাবে, গাণিতিক গড় পরিবর্তন হতে পারে। এটি এই কারণে যে, একটি নিয়ম হিসাবে, পর্যবেক্ষণের সম্ভাব্য ইউনিটগুলির শুধুমাত্র একটি অংশ অধ্যয়ন করা হয়, অর্থাৎ নমুনা জনসংখ্যা। অধ্যয়ন করা ঘটনাটির প্রতিনিধিত্বকারী সমস্ত সম্ভাব্য ইউনিট সম্পর্কে তথ্য সমগ্র জনসংখ্যা অধ্যয়ন করে প্রাপ্ত করা যেতে পারে, যা সবসময় সম্ভব নয়। একই সময়ে, পরীক্ষামূলক ডেটা সাধারণীকরণের উদ্দেশ্যে, সাধারণ জনসংখ্যার মধ্যে গড়ের মান আগ্রহের বিষয়। অতএব, অধ্যয়ন করা ঘটনা সম্পর্কে একটি সাধারণ উপসংহার প্রণয়ন করার জন্য, নমুনা জনসংখ্যার ভিত্তিতে প্রাপ্ত ফলাফলগুলি পরিসংখ্যানগত পদ্ধতি ব্যবহার করে সাধারণ জনগণের কাছে স্থানান্তর করতে হবে।

একটি নমুনা অধ্যয়ন এবং সাধারণ জনসংখ্যার মধ্যে চুক্তির মাত্রা নির্ধারণ করতে, নমুনা পর্যবেক্ষণের সময় অনিবার্যভাবে উদ্ভূত ত্রুটির মাত্রা অনুমান করা প্রয়োজন। এই ত্রুটি বলা হয় " প্রতিনিধিত্বের ত্রুটি"বা "পাটিগণিতের গড় ত্রুটি।" এটি আসলে নির্বাচনী পরিসংখ্যানগত পর্যবেক্ষণ থেকে প্রাপ্ত গড় এবং অনুরূপ মানগুলির মধ্যে পার্থক্য যা একই বস্তুর অবিচ্ছিন্ন অধ্যয়ন থেকে প্রাপ্ত হবে, যেমন যখন একটি সাধারণ জনসংখ্যা অধ্যয়ন. যেহেতু নমুনা গড় একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল, তাই এই ধরনের পূর্বাভাস গবেষকের কাছে গ্রহণযোগ্য সম্ভাবনার স্তরের সাথে সঞ্চালিত হয়। চিকিৎসা গবেষণায় এটি কমপক্ষে 95%।

প্রতিনিধিত্ব ত্রুটি রেজিস্ট্রেশন ত্রুটি বা মনোযোগ ত্রুটি (স্লিপ, ভুল গণনা, টাইপো, ইত্যাদি) সঙ্গে বিভ্রান্ত করা যাবে না, যা পরীক্ষার সময় ব্যবহৃত পর্যাপ্ত পদ্ধতি এবং সরঞ্জাম দ্বারা হ্রাস করা উচিত।

প্রতিনিধিত্বের ত্রুটির মাত্রা নমুনার আকার এবং বৈশিষ্ট্যের পরিবর্তনশীলতার উপর নির্ভর করে। পর্যবেক্ষণের সংখ্যা যত বেশি হবে, নমুনাটি জনসংখ্যার কাছাকাছি হবে এবং ত্রুটি তত কম হবে। চিহ্নটি যত বেশি পরিবর্তনশীল, পরিসংখ্যানগত ত্রুটি তত বেশি।

অনুশীলনে, প্রকরণ সিরিজের প্রতিনিধিত্ব ত্রুটি নির্ধারণ করতে, নিম্নলিখিত সূত্রটি ব্যবহার করা হয়:

কোথায়: মি - প্রতিনিধিত্বের ত্রুটি;

σ - আদর্শ চ্যুতি;

n- নমুনায় পর্যবেক্ষণের সংখ্যা।

সূত্রটি দেখায় যে গড় ত্রুটির আকার প্রমিত বিচ্যুতির সাথে সরাসরি সমানুপাতিক, অর্থাৎ, অধ্যয়ন করা বৈশিষ্ট্যের পরিবর্তনশীলতা, এবং পর্যবেক্ষণের সংখ্যার বর্গমূলের বিপরীতভাবে সমানুপাতিক।

আপেক্ষিক মানের গণনার উপর ভিত্তি করে পরিসংখ্যানগত বিশ্লেষণ করার সময়, একটি ভিন্নতা সিরিজ নির্মাণ করা প্রয়োজন হয় না। এই ক্ষেত্রে, আপেক্ষিক সূচকগুলির জন্য গড় ত্রুটি নির্ধারণ একটি সরলীকৃত সূত্র ব্যবহার করে করা যেতে পারে:

কোথায়: আর- আপেক্ষিক সূচকের মান, শতাংশ, পিপিএম, ইত্যাদি হিসাবে প্রকাশ করা হয়;

q– P এর পারস্পরিক এবং (1-P), (100-P), (1000-P), ইত্যাদি হিসাবে প্রকাশ করা হয়, যার ভিত্তিতে সূচকটি গণনা করা হয় তার উপর নির্ভর করে;

n- নমুনা জনসংখ্যায় পর্যবেক্ষণের সংখ্যা।

যাইহোক, আপেক্ষিক মানের জন্য প্রতিনিধিত্ব ত্রুটি গণনা করার জন্য নির্দিষ্ট সূত্র শুধুমাত্র তখনই প্রয়োগ করা যেতে পারে যখন নির্দেশকের মান তার ভিত্তির চেয়ে কম হয়। নিবিড় সূচকগুলি গণনা করার অনেক ক্ষেত্রে, এই শর্তটি পূরণ করা হয় না, এবং সূচকটিকে 100% বা 1000% এর বেশি সংখ্যা হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে। এই ধরনের পরিস্থিতিতে, একটি প্রকরণ সিরিজ তৈরি করা হয় এবং আদর্শ বিচ্যুতির উপর ভিত্তি করে গড় মানগুলির সূত্র ব্যবহার করে প্রতিনিধিত্ব ত্রুটি গণনা করা হয়।

জনসংখ্যার মধ্যে পাটিগণিত গড় মানটির পূর্বাভাস দুটি মান নির্দেশ করে সঞ্চালিত হয় - সর্বনিম্ন এবং সর্বোচ্চ। সম্ভাব্য বিচ্যুতির এই চরম মান, যার মধ্যে জনসংখ্যার কাঙ্ক্ষিত গড় মান ওঠানামা করতে পারে, বলা হয় " বিশ্বাসের সীমানা».

সম্ভাব্যতা তত্ত্বের পোস্টুলেটগুলি প্রমাণ করেছে যে 99.7% সম্ভাবনা সহ একটি বৈশিষ্ট্যের স্বাভাবিক বন্টনের সাথে, গড় বিচ্যুতির চরম মান তিনগুণ প্রতিনিধিত্ব ত্রুটির মানের চেয়ে বেশি হবে না ( এম ± 3 মি ); 95.5% - গড় মানের গড় ত্রুটির দ্বিগুণের বেশি নয় ( এম ± 2 মি ); 68.3%-এ একটি গড় ত্রুটির বেশি নয় ( এম ± 1 মি ) (চিত্র 9)।

P%

ভাত। 9. স্বাভাবিক বন্টনের সম্ভাব্যতা ঘনত্ব।

মনে রাখবেন যে উপরের বিবৃতিটি শুধুমাত্র একটি বৈশিষ্ট্যের জন্য সত্য যা সাধারণ গাউসিয়ান বন্টন আইন মেনে চলে।

ওষুধের ক্ষেত্রে সহ বেশিরভাগ পরীক্ষামূলক অধ্যয়নগুলি পরিমাপের সাথে যুক্ত, যার ফলাফলগুলি একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানে প্রায় যে কোনও মান গ্রহণ করতে পারে, তাই, একটি নিয়ম হিসাবে, এগুলি ক্রমাগত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের একটি মডেল দ্বারা বর্ণনা করা হয়। এই বিষয়ে, অধিকাংশ পরিসংখ্যান পদ্ধতি অবিচ্ছিন্ন বিতরণ বিবেচনা করে। গাণিতিক পরিসংখ্যানে একটি মৌলিক ভূমিকা রয়েছে এমন একটি বন্টন হল স্বাভাবিক, বা গাউসিয়ান, বিতরণ.

এটি বিভিন্ন কারণে হয়।

1. প্রথমত, স্বাভাবিক বন্টন ব্যবহার করে অনেক পরীক্ষামূলক পর্যবেক্ষণ সফলভাবে বর্ণনা করা যেতে পারে। এটি অবিলম্বে উল্লেখ করা উচিত যে অভিজ্ঞতামূলক ডেটার কোনো বিতরণ নেই যা ঠিক স্বাভাবিক হবে, যেহেতু একটি সাধারণভাবে বিতরণ করা এলোমেলো পরিবর্তনশীল সীমা থেকে , যা অনুশীলনে কখনও সম্মুখীন হয় না। যাইহোক, স্বাভাবিক বন্টন প্রায়শই একটি আনুমানিক হিসাবে ভাল কাজ করে।

ওজন, উচ্চতা এবং মানবদেহের অন্যান্য শারীরবৃত্তীয় পরামিতিগুলি পরিমাপ করা হোক না কেন, ফলাফলগুলি সর্বদা অনেক সংখ্যক এলোমেলো কারণ (প্রাকৃতিক কারণ এবং পরিমাপের ত্রুটি) দ্বারা প্রভাবিত হয়। তদুপরি, একটি নিয়ম হিসাবে, এই কারণগুলির প্রতিটির প্রভাব নগণ্য। অভিজ্ঞতা দেখায় যে এই ধরনের ক্ষেত্রে ফলাফল প্রায় স্বাভাবিকভাবে বিতরণ করা হবে।

2. র্যান্ডম স্যাম্পলিং এর সাথে যুক্ত অনেক ডিস্ট্রিবিউশন পরবর্তীটির আয়তন বৃদ্ধির সাথে সাথে স্বাভাবিক হয়ে যায়।

3. স্বাভাবিক বন্টন অন্যান্য অবিচ্ছিন্ন বন্টন (উদাহরণস্বরূপ, তির্যক) আনুমানিক হিসাবে উপযুক্ত।

4. স্বাভাবিক বণ্টনের অনেকগুলি অনুকূল গাণিতিক বৈশিষ্ট্য রয়েছে, যা মূলত পরিসংখ্যানে এর ব্যাপক ব্যবহার নিশ্চিত করে।

একই সময়ে, এটি লক্ষ করা উচিত যে মেডিকেল ডেটাতে অনেকগুলি পরীক্ষামূলক বিতরণ রয়েছে যা একটি সাধারণ বিতরণ মডেল দ্বারা বর্ণনা করা যায় না। এই উদ্দেশ্যে, পরিসংখ্যান পদ্ধতিগুলি তৈরি করেছে যেগুলিকে সাধারণত "ননপ্যারামেট্রিক" বলা হয়।

একটি পরিসংখ্যান পদ্ধতির পছন্দ যা একটি নির্দিষ্ট পরীক্ষা থেকে ডেটা প্রক্রিয়াকরণের জন্য উপযুক্ত তা প্রাপ্ত ডেটা স্বাভাবিক বন্টন আইনের অন্তর্গত কিনা তার উপর নির্ভর করে করা উচিত। সাধারণ বন্টন আইনে একটি চিহ্নের অধীনতার জন্য হাইপোথিসিস পরীক্ষা করা একটি ফ্রিকোয়েন্সি ডিস্ট্রিবিউশন হিস্টোগ্রাম (গ্রাফ), পাশাপাশি বেশ কয়েকটি পরিসংখ্যানগত মানদণ্ড ব্যবহার করে করা হয়। তাদের মধ্যে:

অসমতার মানদণ্ড ( খ );

কুরটোসিস পরীক্ষার জন্য মানদণ্ড ( g );

শাপিরো-উইল্কস পরীক্ষা ( ডব্লিউ ) .

প্রতিটি প্যারামিটারের জন্য ডেটা বিতরণের প্রকৃতির একটি বিশ্লেষণ (এটি বিতরণের স্বাভাবিকতার জন্য একটি পরীক্ষাও বলা হয়) করা হয়। একটি প্যারামিটারের বন্টন স্বাভাবিক আইনের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ কিনা তা আত্মবিশ্বাসের সাথে বিচার করতে, পর্যাপ্ত সংখ্যক পর্যবেক্ষণ ইউনিট (অন্তত 30টি মান) প্রয়োজন।

একটি সাধারণ বন্টনের জন্য, তির্যকতা এবং কুরটোসিস মানদণ্ড 0 মান নেয়। যদি বিতরণটি ডানদিকে স্থানান্তরিত হয় খ > 0 (ধনাত্মক অসমতা), সহ খ < 0 - график распределения смещен влево (отрицательная асимметрия). Критерий асимметрии проверяет форму кривой распределения. В случае нормального закона g =0। এ g > 0 যদি বন্টন বক্ররেখা তীক্ষ্ণ হয় g < 0 пик более сглаженный, чем функция нормального распределения.

শাপিরো-উইল্কস মানদণ্ড ব্যবহার করে স্বাভাবিকতা পরীক্ষা করার জন্য, প্রয়োজনীয় তাত্পর্যের স্তরে এবং পর্যবেক্ষণ ইউনিটের (স্বাধীনতার ডিগ্রি) সংখ্যার উপর নির্ভর করে পরিসংখ্যান সারণী ব্যবহার করে এই মানদণ্ডের মান খুঁজে বের করা প্রয়োজন। পরিশিষ্ট 1. স্বাভাবিকতা অনুমান এই মানদণ্ডের ছোট মানগুলিতে প্রত্যাখ্যান করা হয়, একটি নিয়ম হিসাবে, w <0,8.

গ্রুপিং- এটি এমন একটি জনসংখ্যার বিভাজন যা কিছু বৈশিষ্ট্য অনুসারে সমজাতীয় গোষ্ঠীতে।

সেবার উদ্দেশ্য. অনলাইন ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে আপনি করতে পারেন:

• একটি ভিন্নতা সিরিজ তৈরি করুন, একটি হিস্টোগ্রাম এবং বহুভুজ তৈরি করুন;
• প্রকরণের সূচক খুঁজুন (গড়, মোড (গ্রাফিকভাবে সহ), মধ্যমা, প্রকরণের পরিসীমা, চতুর্থাংশ, ডেসিল, চতুর্থিক পার্থক্য সহগ, প্রকরণের সহগ এবং অন্যান্য সূচক);

নির্দেশনা। একটি সিরিজ গ্রুপ করতে, আপনাকে অবশ্যই প্রাপ্ত বৈচিত্র্য সিরিজের ধরন নির্বাচন করতে হবে (বিচ্ছিন্ন বা ব্যবধান) এবং ডেটার পরিমাণ (সারির সংখ্যা) নির্দেশ করতে হবে। ফলস্বরূপ সমাধানটি একটি ওয়ার্ড ফাইলে সংরক্ষিত হয় (পরিসংখ্যানগত ডেটা গ্রুপ করার উদাহরণ দেখুন)।

যদি ইতিমধ্যেই গ্রুপিং করা হয়ে থাকে এবং বিচ্ছিন্ন ভিন্নতা সিরিজবা ব্যবধান সিরিজ, তারপর আপনাকে অনলাইন ক্যালকুলেটর পরিবর্তন সূচক ব্যবহার করতে হবে। বিতরণের ধরন সম্পর্কে অনুমান পরীক্ষা করাবিতরণ ফর্ম অধ্যয়ন পরিষেবা ব্যবহার করে বাহিত হয়.

পরিসংখ্যানগত গ্রুপিং এর প্রকার

ভিন্নতা সিরিজ. একটি পৃথক র্যান্ডম ভেরিয়েবলের পর্যবেক্ষণের ক্ষেত্রে, একই মান বেশ কয়েকবার সম্মুখীন হতে পারে। এলোমেলো ভেরিয়েবলের x i এই ধরনের মানগুলি রেকর্ড করা হয় যা n পর্যবেক্ষণে কতবার প্রদর্শিত হয় তা নির্দেশ করে, এটি এই মানের ফ্রিকোয়েন্সি।
একটি অবিচ্ছিন্ন এলোমেলো পরিবর্তনশীলের ক্ষেত্রে, অনুশীলনে গ্রুপিং ব্যবহার করা হয়।

1. টাইপোলজিকাল গ্রুপিং- এটি ক্লাস, আর্থ-সামাজিক প্রকার, ইউনিটের একজাতীয় গোষ্ঠীতে অধ্যয়নের অধীনে গুণগতভাবে ভিন্ন ভিন্ন জনসংখ্যার বিভাজন। এই গ্রুপিং তৈরি করতে, ডিসক্রিট ভ্যারিয়েশন সিরিজ প্যারামিটার ব্যবহার করুন।
2. একটি গ্রুপিং বলা হয় কাঠামোগত, যেখানে একটি সমজাতীয় জনসংখ্যাকে এমন গোষ্ঠীতে বিভক্ত করা হয় যা কিছু ভিন্ন বৈশিষ্ট্য অনুসারে এর গঠনকে চিহ্নিত করে। এই গ্রুপিং তৈরি করতে, ইন্টারভাল সিরিজ প্যারামিটার ব্যবহার করুন।
3. একটি গ্রুপিং যা অধ্যয়ন করা ঘটনা এবং তাদের বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে সম্পর্ক প্রকাশ করে তাকে বলা হয় বিশ্লেষণাত্মক গ্রুপ(সিরিজের বিশ্লেষণাত্মক গ্রুপিং দেখুন)।

উদাহরণ নং 1। সারণি 2-এর ডেটার উপর ভিত্তি করে, রাশিয়ান ফেডারেশনের 40টি বাণিজ্যিক ব্যাঙ্কের জন্য বিতরণ সিরিজ তৈরি করুন। ফলস্বরূপ বন্টন সিরিজ ব্যবহার করে, নির্ধারণ করুন: বাণিজ্যিক ব্যাঙ্ক প্রতি গড় মুনাফা, বাণিজ্যিক ব্যাঙ্ক প্রতি গড় ক্রেডিট বিনিয়োগ, মুনাফার মডেল এবং গড় মান; কোয়ার্টাইল, ডেসিল, প্রকরণের পরিসর, গড় রৈখিক বিচ্যুতি, মানক বিচ্যুতি, প্রকরণের সহগ।

সমাধান:
অধ্যায়ে "পরিসংখ্যানগত সিরিজের প্রকার"বিচ্ছিন্ন সিরিজ নির্বাচন করুন। Excel থেকে Insert এ ক্লিক করুন। দলের সংখ্যা: Sturgess সূত্র অনুযায়ী

পরিসংখ্যানগত গোষ্ঠী গঠনের নীতি

ক্রমবর্ধমান ক্রমানুসারে পর্যবেক্ষনের একটি ধারাকে প্রকরণ সিরিজ বলে. গ্রুপিং বৈশিষ্ট্যএকটি বৈশিষ্ট্য যার দ্বারা একটি জনসংখ্যা পৃথক গোষ্ঠীতে বিভক্ত। একে গ্রুপের ভিত্তি বলা হয়। গ্রুপিং পরিমাণগত এবং গুণগত উভয় বৈশিষ্ট্যের উপর ভিত্তি করে করা যেতে পারে।
গোষ্ঠীকরণের ভিত্তি নির্ধারণের পরে, অধ্যয়নাধীন জনসংখ্যাকে কতগুলি গোষ্ঠীতে ভাগ করা উচিত সেই প্রশ্নের সিদ্ধান্ত নেওয়া উচিত।

পরিসংখ্যানগত ডেটা প্রক্রিয়া করার জন্য ব্যক্তিগত কম্পিউটার ব্যবহার করার সময়, অবজেক্ট ইউনিটগুলির গ্রুপিং স্ট্যান্ডার্ড পদ্ধতি ব্যবহার করে সঞ্চালিত হয়।
গ্রুপের সর্বোত্তম সংখ্যা নির্ধারণ করতে স্টার্জেস সূত্র ব্যবহারের উপর ভিত্তি করে এই ধরনের একটি পদ্ধতি:

k = 1+3.322*লগ(N)

যেখানে k হল গোষ্ঠীর সংখ্যা, N হল জনসংখ্যার এককের সংখ্যা।

আংশিক ব্যবধানের দৈর্ঘ্য h=(x সর্বোচ্চ -x মিনিট)/k হিসাবে গণনা করা হয়

তারপরে এই ব্যবধানে পড়া পর্যবেক্ষণের সংখ্যাগুলি গণনা করা হয়, যেগুলিকে n i হিসাবে ফ্রিকোয়েন্সি হিসাবে নেওয়া হয়। কয়েকটি ফ্রিকোয়েন্সি, যার মান 5 এর কম (n i< 5), следует объединить. в этом случае надо объединить и соответствующие интервалы.
x i =(c i-1 +c i)/2 এর মধ্যবর্তী মানগুলিকে নতুন মান হিসাবে নেওয়া হয়।

উদাহরণ নং 3। 5% এলোমেলো নমুনার ফলস্বরূপ, আর্দ্রতা সামগ্রী দ্বারা পণ্যগুলির নিম্নলিখিত বিতরণ প্রাপ্ত হয়েছিল। গণনা করুন: 1) আর্দ্রতার গড় শতাংশ; 2) আর্দ্রতার তারতম্য চিহ্নিতকারী সূচক।
সমাধানটি একটি ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে প্রাপ্ত হয়েছিল: উদাহরণ নং 1

একটি ভিন্নতা সিরিজ নির্মাণ. পাওয়া সিরিজের উপর ভিত্তি করে, একটি বন্টন বহুভুজ, হিস্টোগ্রাম এবং কিউমুলেট তৈরি করুন। মোড এবং মধ্যমা নির্ধারণ করুন।
সমাধান ডাউনলোড করুন

উদাহরণ. নমুনা পর্যবেক্ষণের ফলাফল অনুযায়ী (নমুনা A, পরিশিষ্ট):
ক) একটি ভিন্নতা সিরিজ তৈরি করুন;
খ) আপেক্ষিক ফ্রিকোয়েন্সি এবং জমা আপেক্ষিক ফ্রিকোয়েন্সি গণনা করুন;
গ) একটি বহুভুজ নির্মাণ;
ঘ) একটি অভিজ্ঞতামূলক বিতরণ ফাংশন তৈরি করুন;
e) অভিজ্ঞতামূলক বিতরণ ফাংশন প্লট;
f) সংখ্যাসূচক বৈশিষ্ট্য গণনা করুন: পাটিগণিত গড়, বিচ্ছুরণ, মান বিচ্যুতি। সমাধান

সারণি 4 (পরিশিষ্ট 1) এ প্রদত্ত তথ্যের উপর ভিত্তি করে এবং আপনার বিকল্পের সাথে সম্পর্কিত, করুন:

1. স্ট্রাকচারাল গ্রুপিংয়ের উপর ভিত্তি করে, সমান বদ্ধ ব্যবধান ব্যবহার করে বৈচিত্রপূর্ণ ফ্রিকোয়েন্সি এবং ক্রমবর্ধমান বন্টন সিরিজ তৈরি করুন, গোষ্ঠীর সংখ্যা 6 এর সমান। ফলাফলগুলি টেবিল আকারে উপস্থাপন করুন এবং গ্রাফিকভাবে প্রদর্শন করুন।
2. গণনার মাধ্যমে বিতরণের বৈচিত্র্যের সিরিজ বিশ্লেষণ করুন:
   • বৈশিষ্ট্যের গাণিতিক গড় মান;
   • মোড, মধ্যমা, 1ম চতুর্থ, 1ম এবং 9ম ডেসিল;
   • আদর্শ চ্যুতি;
   • প্রকরণের সহগ।
3. উপসংহার টানা.

প্রয়োজনীয়: সিরিজের র‌্যাঙ্ক করুন, একটি ব্যবধান বন্টন সিরিজ তৈরি করুন, গড় মান গণনা করুন, গড় মানের পরিবর্তনশীলতা, র‌্যাঙ্ক করা এবং ব্যবধান সিরিজের জন্য মোড এবং মিডিয়ান।

প্রারম্ভিক তথ্যের উপর ভিত্তি করে, একটি পৃথক বৈচিত্র্য সিরিজ তৈরি করুন; এটি একটি পরিসংখ্যান সারণী এবং পরিসংখ্যান গ্রাফ আকারে উপস্থাপন করুন। 2)। প্রারম্ভিক তথ্যের উপর ভিত্তি করে, সমান ব্যবধানের সাথে একটি ব্যবধানের ভিন্নতা সিরিজ তৈরি করুন। বিরতির সংখ্যা নিজেই চয়ন করুন এবং এই পছন্দটি ব্যাখ্যা করুন। একটি পরিসংখ্যান সারণী এবং পরিসংখ্যান গ্রাফ আকারে ফলাফল প্রকরণ সিরিজ উপস্থাপন করুন. ব্যবহৃত টেবিল এবং গ্রাফের ধরন নির্দেশ করুন।

একটি পেনশন তহবিলে গ্রাহক পরিষেবার গড় সময়কাল নির্ধারণ করার জন্য, যার ক্লায়েন্টের সংখ্যা খুব বেশি, 100 জন ক্লায়েন্টের একটি র্যান্ডম অ-পুনরাবৃত্ত নমুনা স্কিম ব্যবহার করে একটি সমীক্ষা চালানো হয়েছিল। জরিপ ফলাফল টেবিলে উপস্থাপন করা হয়. অনুসন্ধান:
ক) যে সীমানার মধ্যে, সম্ভাব্যতা 0.9946 সহ, পেনশন তহবিলের সমস্ত ক্লায়েন্টদের জন্য গড় পরিষেবা সময় রয়েছে;
b) 6 মিনিটের কম পরিষেবার সময়কালের সমস্ত তহবিল ক্লায়েন্টের শেয়ার নমুনায় এই ধরনের ক্লায়েন্টদের শেয়ার থেকে 10% (পরম মূল্যে) এর বেশি না হওয়ার সম্ভাবনা;
গ) পুনরাবৃত্ত নমুনার পরিমাণ, যেখানে 0.9907 এর সম্ভাবনা সহ বলা যেতে পারে যে 6 মিনিটের কম পরিষেবার সময়কাল সহ সমস্ত তহবিল ক্লায়েন্টের ভাগ নমুনায় এই জাতীয় ক্লায়েন্টদের ভাগের থেকে 10 এর বেশি নয়। % (পরম মান)।
2. টাস্ক 1-এর তথ্য অনুযায়ী, Pearson's X 2 মানদণ্ড ব্যবহার করে, α = 0.05 এর একটি তাৎপর্য স্তরে, অনুমানটি পরীক্ষা করুন যে এলোমেলো পরিবর্তনশীল X - গ্রাহক পরিষেবা সময় - সাধারণ আইন অনুসারে বিতরণ করা হয়েছে৷ একটি অঙ্কনে অভিজ্ঞতামূলক বিতরণের একটি হিস্টোগ্রাম এবং সংশ্লিষ্ট স্বাভাবিক বক্ররেখা তৈরি করুন।
সমাধান ডাউনলোড করুন

100টি উপাদানের একটি নমুনা দেওয়া হয়েছে। প্রয়োজনীয়:

1. একটি র‌্যাঙ্ক করা ভিন্নতা সিরিজ তৈরি করুন;
2. সিরিজের সর্বোচ্চ এবং সর্বনিম্ন পদ খুঁজুন;
3. একটি ব্যবধান সিরিজ নির্মাণের জন্য প্রকরণের পরিসর এবং সর্বোত্তম ব্যবধানের সংখ্যা খুঁজুন। ব্যবধান সিরিজের ব্যবধানের দৈর্ঘ্য খুঁজুন;
4. একটি ব্যবধান সিরিজ তৈরি করুন। রচিত ব্যবধানের মধ্যে পড়ে নমুনা উপাদানগুলির ফ্রিকোয়েন্সি খুঁজুন। প্রতিটি ব্যবধানের মধ্যবিন্দু খুঁজুন;
5. একটি হিস্টোগ্রাম এবং ফ্রিকোয়েন্সি বহুভুজ তৈরি করুন। সাধারণ বন্টনের সাথে তুলনা করুন (বিশ্লেষণীয় এবং গ্রাফিকভাবে);
6. অভিজ্ঞতামূলক বিতরণ ফাংশন প্লট;
7. নমুনা সংখ্যাসূচক বৈশিষ্ট্য গণনা: নমুনা গড় এবং কেন্দ্রীয় নমুনা মুহূর্ত;
8. স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি, তির্যকতা এবং কার্টোসিসের আনুমানিক মান গণনা করুন (এমএস এক্সেল বিশ্লেষণ প্যাকেজ ব্যবহার করে)। সঠিক মানগুলির সাথে আনুমানিক গণনা করা মান তুলনা করুন (এমএস এক্সেল সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা হয়);
9. সংশ্লিষ্ট তাত্ত্বিক বৈশিষ্ট্যগুলির সাথে নির্বাচিত গ্রাফিকাল বৈশিষ্ট্যগুলির তুলনা করুন।

সমাধান ডাউনলোড করুন

নিম্নলিখিত নমুনা ডেটা উপলব্ধ (10% নমুনা, যান্ত্রিক) পণ্যের আউটপুট এবং লাভের পরিমাণ, মিলিয়ন রুবেল। মূল তথ্য অনুযায়ী:
টাস্ক 13.1.
13.1.1। সমান ব্যবধানে পাঁচটি গ্রুপ গঠন করে লাভের পরিমাণ দ্বারা উদ্যোগের বন্টনের একটি পরিসংখ্যানগত সিরিজ তৈরি করুন। বন্টন সিরিজ গ্রাফ নির্মাণ.
13.1.2। লাভের পরিমাণ দ্বারা উদ্যোগের বন্টন সিরিজের সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্যগুলি গণনা করুন: গাণিতিক গড়, মানক বিচ্যুতি, বিচ্ছুরণ, প্রকরণের সহগ V. উপসংহার আঁকুন।
টাস্ক 13.2।
13.2.1। সীমানা নির্ধারণ করুন যার মধ্যে, সম্ভাব্যতা 0.997 সহ, সাধারণ জনসংখ্যার মধ্যে একটি এন্টারপ্রাইজের লাভের পরিমাণ রয়েছে।
13.2.2। Pearson's x2 পরীক্ষা ব্যবহার করে, তাৎপর্য স্তরে α, অনুমানটি পরীক্ষা করুন যে এলোমেলো পরিবর্তনশীল X - লাভের পরিমাণ - একটি সাধারণ আইন অনুযায়ী বিতরণ করা হয়।
টাস্ক 13.3.
13.3.1। নমুনা রিগ্রেশন সমীকরণের সহগ নির্ণয় কর।
13.3.2। উৎপাদিত পণ্যের খরচ (X) এবং এন্টারপ্রাইজ প্রতি লাভের পরিমাণ (Y) এর মধ্যে পারস্পরিক সম্পর্কের উপস্থিতি এবং প্রকৃতি স্থাপন করুন। একটি স্ক্যাটারপ্লট এবং রিগ্রেশন লাইন তৈরি করুন।
13.3.3। রৈখিক পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ গণনা করুন। শিক্ষার্থীর টি-পরীক্ষা ব্যবহার করে, পারস্পরিক সম্পর্ক সহগের তাৎপর্য পরীক্ষা করুন। চ্যাডক স্কেল ব্যবহার করে X এবং Y ফ্যাক্টরগুলির মধ্যে ঘনিষ্ঠ সম্পর্ক সম্পর্কে একটি উপসংহার আঁকুন।
নির্দেশিকা. টাস্ক 13.3 এই পরিষেবা ব্যবহার করে সঞ্চালিত হয়.
সমাধান ডাউনলোড করুন

টাস্ক. নিম্নলিখিত তথ্য চুক্তি সমাপ্তিতে ক্লায়েন্টদের দ্বারা ব্যয় করা সময়ের প্রতিনিধিত্ব করে। উপস্থাপিত ডেটার একটি ব্যবধান প্রকরণ সিরিজ তৈরি করুন, একটি হিস্টোগ্রাম, গাণিতিক প্রত্যাশার একটি নিরপেক্ষ অনুমান, বৈচিত্রের একটি পক্ষপাতমূলক এবং নিরপেক্ষ অনুমান খুঁজুন।

উদাহরণ। টেবিল 2 অনুযায়ী:
1) রাশিয়ান ফেডারেশনের 40 টি বাণিজ্যিক ব্যাঙ্কের জন্য বিতরণ সিরিজ তৈরি করুন:
ক) লাভের পরিপ্রেক্ষিতে;
খ) ক্রেডিট বিনিয়োগের পরিমাণ দ্বারা।
2) প্রাপ্ত বিতরণ সিরিজ ব্যবহার করে, নির্ধারণ করুন:
ক) বাণিজ্যিক ব্যাংক প্রতি গড় মুনাফা;
খ) বাণিজ্যিক ব্যাংক প্রতি গড় ক্রেডিট বিনিয়োগ;
গ) মুনাফার মডেল এবং গড় মান; quartiles, deciles;
ঘ) ক্রেডিট বিনিয়োগের মডেল এবং গড় মান।
3) ধাপ 1 এ প্রাপ্ত বন্টন সারি ব্যবহার করে, গণনা করুন:
ক) প্রকরণের পরিসীমা;
খ) গড় রৈখিক বিচ্যুতি;
গ) আদর্শ বিচ্যুতি;
d) প্রকরণের সহগ।
সারণী আকারে প্রয়োজনীয় গণনাগুলি সম্পূর্ণ করুন। ফলাফল বিশ্লেষণ করুন। উপসংহার টানা.
ফলস্বরূপ বিতরণ সিরিজের প্লট গ্রাফ। গ্রাফিকভাবে মোড এবং মধ্যমা নির্ধারণ করুন।

সমাধান:
সমান ব্যবধানে একটি গ্রুপিং তৈরি করতে, আমরা পরিসংখ্যানগত ডেটা গ্রুপিং পরিষেবাটি ব্যবহার করব।

চিত্র 1 - পরামিতি প্রবেশ করান

পরামিতি বর্ণনা
লাইনের সংখ্যা: ইনপুট ডেটার সংখ্যা। সারির আকার ছোট হলে, এর পরিমাণ নির্দেশ করুন। যদি নির্বাচনটি যথেষ্ট বড় হয়, তাহলে ইনসার্ট ফ্রম এক্সেল বোতামে ক্লিক করুন।
দলের সংখ্যা: 0 - গ্রুপের সংখ্যা Sturgess সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হবে।
যদি একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক গোষ্ঠী নির্দিষ্ট করা হয়, তবে এটি নির্দিষ্ট করুন (উদাহরণস্বরূপ, 5)।
সিরিজের ধরন: বিচ্ছিন্ন সিরিজ।
তাৎপর্য স্তর: উদাহরণস্বরূপ 0.954। এই প্যারামিটারটি গড়ের আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান নির্ধারণ করতে সেট করা হয়েছে।
নমুনা: উদাহরণস্বরূপ, 10% যান্ত্রিক স্যাম্পলিং করা হয়েছিল। আমরা 10 নম্বর নির্দেশ করি। আমাদের ডেটার জন্য আমরা 100 নির্দেশ করি।

এই অধ্যায়টি আয়ত্ত করার ফলে, শিক্ষার্থীকে অবশ্যই: জানি

• প্রকরণ এবং তাদের সম্পর্কের সূচক;
• বৈশিষ্ট্য বিতরণের মৌলিক আইন;
• সম্মতির মানদণ্ডের সারমর্ম; করতে পারবেন
• বৈচিত্র্যের সূচক গণনা করুন এবং মানানসই মানদণ্ড;
• বন্টন বৈশিষ্ট্য নির্ধারণ;
• পরিসংখ্যানগত বন্টন সিরিজের মৌলিক সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্য মূল্যায়ন;

নিজস্ব

• বিতরণ সিরিজের পরিসংখ্যানগত বিশ্লেষণের পদ্ধতি;
• বৈচিত্র্যের বিশ্লেষণের মৌলিক বিষয়;
• বিতরণের মৌলিক আইনের সাথে সম্মতির জন্য পরিসংখ্যানগত বন্টন সিরিজ পরীক্ষা করার কৌশল।

পরিবর্তনের সূচক

বিভিন্ন পরিসংখ্যানগত জনসংখ্যার বৈশিষ্ট্যগুলির পরিসংখ্যানগত অধ্যয়নের ক্ষেত্রে, জনসংখ্যার পৃথক পরিসংখ্যানগত ইউনিটগুলির বৈশিষ্ট্যের বৈচিত্র্যের পাশাপাশি এই বৈশিষ্ট্য অনুসারে ইউনিটগুলির বিতরণের প্রকৃতি অধ্যয়ন করা অত্যন্ত আগ্রহের বিষয়। পরিবর্তন -এগুলি অধ্যয়ন করা জনসংখ্যার ইউনিটগুলির মধ্যে একটি বৈশিষ্ট্যের পৃথক মানগুলির পার্থক্য। প্রকরণ অধ্যয়ন মহান ব্যবহারিক গুরুত্ব. বৈচিত্র্যের মাত্রা দ্বারা, কেউ একটি বৈশিষ্ট্যের বৈচিত্র্যের সীমা, একটি নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্যের জন্য জনসংখ্যার একতা, গড় বৈশিষ্ট্য এবং প্রকরণ নির্ধারণকারী উপাদানগুলির সম্পর্ক বিচার করতে পারে। পরিসংখ্যানগত জনসংখ্যার বৈশিষ্ট্য এবং সংগঠিত করার জন্য পরিবর্তন সূচক ব্যবহার করা হয়।

পরিসংখ্যানগত বন্টন সিরিজের আকারে উপস্থাপিত পরিসংখ্যানগত পর্যবেক্ষণ সামগ্রীর সারাংশ এবং গোষ্ঠীকরণের ফলাফলগুলি অধ্যয়নের অধীনে জনসংখ্যার একককে গ্রুপিং (পরিবর্তিত) মানদণ্ড অনুসারে গোষ্ঠীতে একটি ক্রমানুসারে বিতরণের প্রতিনিধিত্ব করে। যদি একটি গুণগত বৈশিষ্ট্যকে গ্রুপিংয়ের ভিত্তি হিসাবে নেওয়া হয়, তবে এই জাতীয় বিতরণ সিরিজ বলা হয় বৈশিষ্ট্যপূর্ণ(পেশা, লিঙ্গ, রঙ, ইত্যাদি দ্বারা বিতরণ)। যদি একটি বন্টন সিরিজ একটি পরিমাণগত ভিত্তিতে নির্মিত হয়, তাহলে এই ধরনের একটি সিরিজ বলা হয় পরিবর্তনশীল(উচ্চতা, ওজন, বেতন, ইত্যাদি দ্বারা বন্টন)। একটি বৈচিত্র্য সিরিজ নির্মাণের অর্থ হল বৈশিষ্ট্যগত মান দ্বারা জনসংখ্যার এককের পরিমাণগত বন্টন সংগঠিত করা, এই মানগুলি (ফ্রিকোয়েন্সি) সহ জনসংখ্যার এককের সংখ্যা গণনা করা এবং ফলাফলগুলি একটি টেবিলে সাজানো।

একটি বৈকল্পিক কম্পাঙ্কের পরিবর্তে, এটি পর্যবেক্ষণের মোট আয়তনের অনুপাত ব্যবহার করা সম্ভব, যাকে ফ্রিকোয়েন্সি (আপেক্ষিক ফ্রিকোয়েন্সি) বলা হয়।

দুই ধরনের ভিন্নতা সিরিজ আছে: বিযুক্ত এবং ব্যবধান। বিচ্ছিন্ন সিরিজ- এটি একটি ভিন্নতা সিরিজ, যার নির্মাণ অবিচ্ছিন্ন পরিবর্তন (বিচ্ছিন্ন বৈশিষ্ট্য) সহ বৈশিষ্ট্যের উপর ভিত্তি করে। পরেরটির মধ্যে রয়েছে এন্টারপ্রাইজে কর্মচারীর সংখ্যা, ট্যারিফ বিভাগ, পরিবারে শিশুদের সংখ্যা ইত্যাদি। একটি পৃথক বৈচিত্র্য সিরিজ দুটি কলাম নিয়ে গঠিত একটি টেবিলকে উপস্থাপন করে। প্রথম কলামটি বৈশিষ্ট্যের নির্দিষ্ট মান নির্দেশ করে এবং দ্বিতীয় কলামটি বৈশিষ্ট্যের একটি নির্দিষ্ট মান সহ জনসংখ্যার এককের সংখ্যা নির্দেশ করে। যদি একটি বৈশিষ্ট্যের ক্রমাগত পরিবর্তন হয় (আয়ের পরিমাণ, পরিষেবার দৈর্ঘ্য, এন্টারপ্রাইজের স্থির সম্পদের খরচ, ইত্যাদি, যা নির্দিষ্ট সীমার মধ্যে যে কোনও মান গ্রহণ করতে পারে), তবে এই বৈশিষ্ট্যটির জন্য এটি নির্মাণ করা সম্ভব। ব্যবধান প্রকরণ সিরিজ।একটি ব্যবধান প্রকরণ সিরিজ নির্মাণ করার সময়, টেবিলে দুটি কলামও থাকে। প্রথমটি "থেকে - থেকে" (বিকল্প) ব্যবধানে বৈশিষ্ট্যের মান নির্দেশ করে, দ্বিতীয়টি ব্যবধানে (ফ্রিকোয়েন্সি) অন্তর্ভুক্ত ইউনিটের সংখ্যা নির্দেশ করে। ফ্রিকোয়েন্সি (পুনরাবৃত্তির ফ্রিকোয়েন্সি) - বৈশিষ্ট্য মানের একটি নির্দিষ্ট বৈকল্পিক পুনরাবৃত্তির সংখ্যা। বিরতি বন্ধ বা খোলা হতে পারে। বন্ধ বিরতি উভয় দিকে সীমিত, যেমন একটি নিম্ন ("থেকে") এবং একটি উচ্চ ("থেকে") উভয় সীমানা আছে। খোলা ব্যবধানের একটি সীমানা আছে: হয় উপরের বা নীচে। যদি অপশনগুলো আরোহী বা অবরোহ ক্রমে সাজানো হয়, তাহলে সারি বলা হয় স্থান পেয়েছে

প্রকরণ সিরিজের জন্য, দুটি ধরণের ফ্রিকোয়েন্সি প্রতিক্রিয়া বিকল্প রয়েছে: সঞ্চিত ফ্রিকোয়েন্সি এবং সঞ্চিত ফ্রিকোয়েন্সি। সঞ্চিত ফ্রিকোয়েন্সি দেখায় যে কতগুলি পর্যবেক্ষণের বৈশিষ্ট্যের মান একটি প্রদত্ত মানের চেয়ে কম মান নিয়েছে। পূর্ববর্তী গোষ্ঠীর সমস্ত ফ্রিকোয়েন্সি সহ একটি প্রদত্ত গোষ্ঠীর জন্য একটি বৈশিষ্ট্যের ফ্রিকোয়েন্সি মানগুলিকে সংকলন করে সঞ্চিত ফ্রিকোয়েন্সি নির্ধারণ করা হয়। সঞ্চিত ফ্রিকোয়েন্সি পর্যবেক্ষণ ইউনিটগুলির অনুপাতকে চিহ্নিত করে যার বৈশিষ্ট্যের মানগুলি প্রদত্ত গ্রুপের উপরের সীমা অতিক্রম করে না। এইভাবে, সঞ্চিত ফ্রিকোয়েন্সি মোটের মধ্যে বিকল্পগুলির অনুপাত দেখায় যেগুলির মান প্রদত্ত একের চেয়ে বেশি নয়। ফ্রিকোয়েন্সি, ফ্রিকোয়েন্সি, পরম এবং আপেক্ষিক ঘনত্ব, সঞ্চিত ফ্রিকোয়েন্সি এবং ফ্রিকোয়েন্সি বৈকল্পিকের মাত্রার বৈশিষ্ট্য।

জনসংখ্যার পরিসংখ্যানগত এককের বৈশিষ্ট্যের বৈচিত্র্য, সেইসাথে বিতরণের প্রকৃতি, সূচক এবং বৈচিত্র্য সিরিজের বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করে অধ্যয়ন করা হয়, যার মধ্যে রয়েছে সিরিজের গড় স্তর, গড় রৈখিক বিচ্যুতি, মান বিচ্যুতি, বিচ্ছুরণ , দোলন, প্রকরণ, অসমতা, কুর্টোসিস, ইত্যাদির সহগ।

ডিস্ট্রিবিউশন সেন্টারকে চিহ্নিত করতে গড় মান ব্যবহার করা হয়। গড় হল একটি সাধারণীকরণ করা পরিসংখ্যানগত বৈশিষ্ট্য যেখানে অধ্যয়ন করা জনসংখ্যার সদস্যদের দ্বারা আবিষ্ট একটি বৈশিষ্ট্যের সাধারণ স্তর পরিমাপ করা হয়। যাইহোক, বিভিন্ন বন্টন প্যাটার্নের সাথে গাণিতিক উপায়গুলির কাকতালীয় ঘটনাগুলি থাকতে পারে, তাই, বৈচিত্র্য সিরিজের পরিসংখ্যানগত বৈশিষ্ট্য হিসাবে, তথাকথিত কাঠামোগত উপায়গুলি গণনা করা হয় - মোড, মধ্যমা, সেইসাথে কোয়ান্টাইল, যা বন্টন সিরিজকে সমানে ভাগ করে। অংশ (চতুর্থাংশ, ডেসিল, শতাংশ, ইত্যাদি)।

ফ্যাশন -এটি একটি বৈশিষ্ট্যের মান যা বন্টন সিরিজে এর অন্যান্য মানের তুলনায় প্রায়শই ঘটে। বিচ্ছিন্ন সিরিজের জন্য, এটি সর্বোচ্চ ফ্রিকোয়েন্সি সহ বিকল্প। ব্যবধানের ভিন্নতা সিরিজে, মোড নির্ধারণ করার জন্য, প্রথমে এটি যেখানে অবস্থিত তা নির্ধারণ করা প্রয়োজন, তথাকথিত মোডাল ব্যবধান। সমান ব্যবধান সহ একটি ভিন্নতা সিরিজে, মোডাল ব্যবধান সর্বোচ্চ ফ্রিকোয়েন্সি দ্বারা নির্ধারিত হয়, অসম ব্যবধান সহ সিরিজে - তবে সর্বোচ্চ বন্টন ঘনত্ব দ্বারা। তারপর সূত্রটি সমান বিরতিতে সারিগুলিতে মোড নির্ধারণ করতে ব্যবহৃত হয়

যেখানে Mo হল ফ্যাশন মূল্য; xMo - মোডাল ব্যবধানের নিম্ন সীমা; জ-মোডাল ব্যবধান প্রস্থ; / মো - মোডাল ব্যবধানের ফ্রিকোয়েন্সি; / Mo j হল প্রিমোডাল ব্যবধানের ফ্রিকোয়েন্সি; / Mo+1 হল পোস্ট-মোডাল ব্যবধানের ফ্রিকোয়েন্সি, এবং এই গণনার সূত্রে অসম ব্যবধান সহ একটি সিরিজের জন্য, ফ্রিকোয়েন্সি / Mo, / Mo, / Mo এর পরিবর্তে বন্টন ঘনত্ব ব্যবহার করা উচিত মন 0 _| , মন 0> UMO+"

যদি একটি একক মোড থাকে, তাহলে এলোমেলো চলকের সম্ভাব্যতা বন্টনকে বলা হয় ইউনিমোডাল; যদি একাধিক মোড থাকে তবে এটিকে বলা হয় মাল্টিমোডাল (পলিমোডাল, মাল্টিমোডাল), দুটি মোডের ক্ষেত্রে - বিমোডাল। একটি নিয়ম হিসাবে, মাল্টিমোডালিটি নির্দেশ করে যে অধ্যয়নের অধীনে বিতরণ স্বাভাবিক বন্টন আইন মেনে চলে না। সমজাতীয় জনসংখ্যা, একটি নিয়ম হিসাবে, একক-শীর্ষ বিতরণ দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। মাল্টিভার্টেক্স অধ্যয়ন করা জনসংখ্যার ভিন্নতাও নির্দেশ করে। দুই বা ততোধিক শীর্ষবিন্দুর উপস্থিতি আরও সমজাতীয় গোষ্ঠী সনাক্ত করার জন্য ডেটা পুনরায় গোষ্ঠীভুক্ত করা প্রয়োজন করে তোলে।

একটি ব্যবধান প্রকরণ সিরিজে, মোডটি হিস্টোগ্রাম ব্যবহার করে গ্রাফিকভাবে নির্ধারণ করা যেতে পারে। এটি করার জন্য, হিস্টোগ্রামের সর্বোচ্চ কলামের শীর্ষ বিন্দু থেকে দুটি সন্নিহিত কলামের শীর্ষ বিন্দুতে দুটি ছেদকারী লাইন আঁকুন। তারপর, তাদের ছেদ বিন্দু থেকে, একটি লম্ব অবসিসা অক্ষের উপর নামানো হয়। লম্বের সাথে সংশ্লিষ্ট x-অক্ষের বৈশিষ্ট্যের মান হল মোড। অনেক ক্ষেত্রে, যখন একটি জনসংখ্যাকে একটি সাধারণ সূচক হিসাবে চিহ্নিত করা হয়, তখন গাণিতিক গড়ের পরিবর্তে মোডকে অগ্রাধিকার দেওয়া হয়।

মধ্যমা -এটি অ্যাট্রিবিউটের কেন্দ্রীয় মান; এটি ডিস্ট্রিবিউশনের র‌্যাঙ্ক করা সিরিজের কেন্দ্রীয় সদস্যের দখলে। বিচ্ছিন্ন সিরিজে, মধ্যমাটির মান বের করতে, এর ক্রমিক নম্বরটি প্রথমে নির্ধারিত হয়। এটি করার জন্য, ইউনিটের সংখ্যা বিজোড় হলে, সমস্ত ফ্রিকোয়েন্সির যোগফলের সাথে একটি যোগ করা হয় এবং সংখ্যাটিকে দুই দ্বারা ভাগ করা হয়। যদি একটি সারিতে একটি জোড় সংখ্যক একক থাকে তবে দুটি মধ্যমা একক থাকবে, তাই এই ক্ষেত্রে মধ্যকে দুটি মধ্যমা এককের মানের গড় হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। এইভাবে, একটি পৃথক ভিন্নতা সিরিজের মধ্যমা হল সেই মান যা সিরিজটিকে দুটি ভাগে ভাগ করে যাতে একই সংখ্যক বিকল্প থাকে।

ব্যবধান সিরিজে, মধ্যমাটির ক্রমিক সংখ্যা নির্ধারণ করার পরে, মধ্যবর্তী ব্যবধানটি জমা হওয়া ফ্রিকোয়েন্সি (ফ্রিকোয়েন্সি) ব্যবহার করে পাওয়া যায় এবং তারপরে মধ্যমা গণনার জন্য সূত্র ব্যবহার করে, মধ্যকার মান নিজেই নির্ধারণ করা হয়:

যেখানে আমি মধ্যম মান; x আমি -মধ্যবর্তী ব্যবধানের নিম্ন সীমা; জ-মধ্যবর্তী ব্যবধানের প্রস্থ; - বিতরণ সিরিজের ফ্রিকোয়েন্সিগুলির যোগফল; /D - প্রাক-মধ্য ব্যবধানের সঞ্চিত ফ্রিকোয়েন্সি; / Me - মধ্যবর্তী ব্যবধানের ফ্রিকোয়েন্সি।

একটি cumulate ব্যবহার করে গ্রাফিকভাবে মধ্যমা খুঁজে পাওয়া যায়। এটি করার জন্য, কিউমিলেটের সঞ্চিত ফ্রিকোয়েন্সি (ফ্রিকোয়েন্সি) এর স্কেলে, মধ্যকের অর্ডিন্যাল সংখ্যার সাথে সম্পর্কিত বিন্দু থেকে, একটি সরল রেখা অ্যাবসিসা অক্ষের সমান্তরালে টানা হয় যতক্ষণ না এটি কিউমিলেটের সাথে ছেদ করে। এরপরে, কিউমিলেটের সাথে নির্দেশিত রেখার ছেদ বিন্দু থেকে, একটি লম্বকে অবসিসা অক্ষের দিকে নামানো হয়। টানা অর্ডিনেট (লম্ব) এর সাথে সম্পর্কিত x-অক্ষের বৈশিষ্ট্যের মান হল মধ্যমা।

মধ্যমা নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।

• 1. এটি সেই বৈশিষ্ট্য মানের উপর নির্ভর করে না যা এটির উভয় পাশে অবস্থিত।
• 2. এটিতে ন্যূনতমতার বৈশিষ্ট্য রয়েছে, যার অর্থ হল মধ্যম থেকে বৈশিষ্ট্যের মানগুলির পরম বিচ্যুতির যোগফল অন্য কোনও মান থেকে বৈশিষ্ট্যের মানগুলির বিচ্যুতির তুলনায় একটি সর্বনিম্ন মান উপস্থাপন করে।
• 3. পরিচিত মিডিয়ানের সাথে দুটি ডিস্ট্রিবিউশনকে একত্রিত করার সময়, নতুন ডিস্ট্রিবিউশনের মিডিয়ানের মান আগে থেকে অনুমান করা অসম্ভব।

পাবলিক সার্ভিস পয়েন্ট - স্কুল, ক্লিনিক, গ্যাস স্টেশন, জলের পাম্প ইত্যাদির অবস্থান ডিজাইন করার সময় মিডিয়ানের এই বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়। উদাহরণস্বরূপ, যদি শহরের একটি নির্দিষ্ট ব্লকে একটি ক্লিনিক তৈরি করার পরিকল্পনা করা হয়, তবে ব্লকের দৈর্ঘ্যের অর্ধেক নয়, তবে বাসিন্দাদের সংখ্যা অর্ধেক করে এমন একটি পয়েন্টে এটি সনাক্ত করা আরও সমীচীন হবে।

মোড, মধ্যমা এবং গাণিতিক গড়ের অনুপাত সমষ্টিতে বৈশিষ্ট্যের বন্টনের প্রকৃতি নির্দেশ করে এবং আমাদের বিতরণের প্রতিসাম্য মূল্যায়ন করতে দেয়। যদি x Me তারপর সিরিজের একটি ডান-পার্শ্বের অসমতা আছে। স্বাভাবিক বিতরণ সহ এক্স -আমি - মো.

কে. পিয়ারসন, বিভিন্ন ধরণের বক্ররেখার সারিবদ্ধতার উপর ভিত্তি করে, নির্ধারণ করেছেন যে মাঝারিভাবে অসমমিতিক বন্টনের জন্য গাণিতিক গড়, মধ্যমা এবং মোডের মধ্যে নিম্নলিখিত আনুমানিক সম্পর্কগুলি বৈধ:

যেখানে আমি মধ্যম মান; মো - ফ্যাশন অর্থ; x পাটি - গাণিতিক গড় মান।

যদি আরও বিস্তারিতভাবে বৈচিত্র্য সিরিজের গঠন অধ্যয়ন করার প্রয়োজন হয়, তাহলে মধ্যকার অনুরূপ বৈশিষ্ট্যগত মানগুলি গণনা করুন। এই ধরনের বৈশিষ্ট্যগত মানগুলি সমস্ত বন্টন ইউনিটকে সমান সংখ্যায় ভাগ করে; তাদের কোয়ান্টাইল বা গ্রেডিয়েন্ট বলা হয়। কোয়ান্টাইলগুলিকে কোয়ার্টাইল, ডেসিল, পার্সেন্টাইল ইত্যাদিতে ভাগ করা হয়।

চতুর্থাংশ জনসংখ্যাকে চারটি সমান ভাগে ভাগ করে। প্রথম ত্রৈমাসিক ব্যবধানটি পূর্বে নির্ধারণ করে প্রথম চতুর্থাংশ গণনার সূত্র ব্যবহার করে মধ্যকার অনুরূপভাবে গণনা করা হয়:

যেখানে Qi হল প্রথম কোয়ার্টাইলের মান; xQ^-প্রথম কোয়ার্টাইল রেঞ্জের নিম্ন সীমা; জ- প্রথম ত্রৈমাসিকের ব্যবধানের প্রস্থ; /, - ব্যবধান সিরিজের ফ্রিকোয়েন্সি;

প্রথম কোয়ার্টাইল ব্যবধানের পূর্ববর্তী ব্যবধানে ক্রমবর্ধমান কম্পাঙ্ক; Jq ( - প্রথম কোয়ার্টাইল ব্যবধানের ফ্রিকোয়েন্সি।

প্রথম চতুর্থাংশ দেখায় যে 25% জনসংখ্যার একক এর মান থেকে কম এবং 75% বেশি। দ্বিতীয় চতুর্থিকটি মধ্যকের সমান, অর্থাৎ প্রশ্ন 2 =আমাকে.

সাদৃশ্য অনুসারে, তৃতীয় ত্রৈমাসিক ব্যবধান প্রথম খুঁজে পেয়ে, তৃতীয় চতুর্থাংশ গণনা করা হয়:

তৃতীয় চতুর্থাংশের নিম্ন সীমা কোথায়; জ- তৃতীয় চতুর্থাংশের ব্যবধানের প্রস্থ; /, - ব্যবধান সিরিজের ফ্রিকোয়েন্সি; /এক্স" -পূর্ববর্তী ব্যবধানে সঞ্চিত ফ্রিকোয়েন্সি

জি

তৃতীয় চতুর্থাংশ ব্যবধান; Jq হল তৃতীয় চতুর্থিক ব্যবধানের ফ্রিকোয়েন্সি।

তৃতীয় চতুর্থাংশ দেখায় যে 75% জনসংখ্যার একক এর মূল্যের চেয়ে কম এবং 25% বেশি।

তৃতীয় এবং প্রথম কোয়ার্টাইলের মধ্যে পার্থক্য হল ইন্টারকোয়ার্টাইল পরিসীমা:

যেখানে Aq হল ইন্টারকোয়ার্টাইল রেঞ্জের মান; প্রশ্ন 3 -তৃতীয় চতুর্থাংশ মান; Q, প্রথম চতুর্থাংশের মান।

Deciles জনসংখ্যাকে 10টি সমান অংশে ভাগ করে। একটি ডেসিল হল একটি বন্টন সিরিজের একটি বৈশিষ্ট্যের একটি মান যা জনসংখ্যার আকারের দশমাংশের সাথে মিলে যায়। কোয়ার্টাইলের সাথে সাদৃশ্য দিয়ে, প্রথম ডেসিল দেখায় যে জনসংখ্যার একক 10% তার মানের থেকে কম, এবং 90% বেশি, এবং নবম ডেসিল প্রকাশ করে যে জনসংখ্যার এককগুলির 90% তার মান থেকে কম, এবং 10% বৃহত্তর নবম এবং প্রথম ডেসিলের অনুপাত, i.e. 10% সর্বাধিক ধনী এবং 10% সর্বনিম্ন ধনী জনসংখ্যার আয়ের স্তরের অনুপাত পরিমাপ করতে আয়ের পার্থক্যের গবেষণায় ডেসিল সহগ ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়। শতকরা র‍্যাঙ্ক করা জনসংখ্যাকে 100টি সমান অংশে ভাগ করে। শতাংশের গণনা, অর্থ এবং প্রয়োগ ডেসিলের মতো।

কোয়ার্টাইল, ডেসিল এবং অন্যান্য কাঠামোগত বৈশিষ্ট্যগুলি কিউমুলেট ব্যবহার করে মধ্যকার সাথে সাদৃশ্য দ্বারা গ্রাফিকভাবে নির্ধারণ করা যেতে পারে।

প্রকরণের আকার পরিমাপ করতে, নিম্নলিখিত সূচকগুলি ব্যবহার করা হয়: প্রকরণের পরিসর, গড় রৈখিক বিচ্যুতি, মানক বিচ্যুতি, বিচ্ছুরণ। প্রকরণ পরিসরের মাত্রা সম্পূর্ণরূপে সিরিজের চরম সদস্যদের বিতরণের এলোমেলোতার উপর নির্ভর করে। এই সূচকটি সেই ক্ষেত্রে আগ্রহের বিষয় যেখানে একটি বৈশিষ্ট্যের মানগুলির ওঠানামার প্রশস্ততা কী তা জানা গুরুত্বপূর্ণ:

কোথায় আর-বৈচিত্র্যের পরিসরের মান; x max - অ্যাট্রিবিউটের সর্বোচ্চ মান; x tt -বৈশিষ্ট্যের সর্বনিম্ন মান।

প্রকরণের পরিসর গণনা করার সময়, সিরিজ সদস্যদের বিশাল সংখ্যাগরিষ্ঠতার মানকে বিবেচনায় নেওয়া হয় না, যখন বৈচিত্রটি সিরিজ সদস্যের প্রতিটি মানের সাথে যুক্ত থাকে। যে সূচকগুলি তাদের গড় মান থেকে একটি বৈশিষ্ট্যের পৃথক মানের বিচ্যুতি থেকে প্রাপ্ত গড়গুলির এই ত্রুটি নেই: গড় রৈখিক বিচ্যুতি এবং মানক বিচ্যুতি। গড় থেকে পৃথক বিচ্যুতি এবং একটি নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্যের পরিবর্তনশীলতার মধ্যে সরাসরি সম্পর্ক রয়েছে। ওঠানামা যত শক্তিশালী, গড় থেকে বিচ্যুতির পরম আকার তত বেশি।

গড় রৈখিক বিচ্যুতি হল তাদের গড় মান থেকে পৃথক বিকল্পগুলির বিচ্যুতির পরম মানগুলির গাণিতিক গড়।

গ্রুপবিহীন ডেটার জন্য গড় রৈখিক বিচ্যুতি

যেখানে /pr হল গড় রৈখিক বিচ্যুতির মান; x, - বৈশিষ্ট্যের মান; এক্স - পি -জনসংখ্যার ইউনিট সংখ্যা।

গ্রুপ করা সিরিজের গড় রৈখিক বিচ্যুতি

যেখানে / vz - গড় রৈখিক বিচ্যুতির মান; x, অ্যাট্রিবিউটের মান; এক্স -অধ্যয়ন করা জনসংখ্যার জন্য বৈশিষ্ট্যের গড় মান; / - একটি পৃথক গ্রুপে জনসংখ্যা ইউনিটের সংখ্যা।

এই ক্ষেত্রে, বিচ্যুতির লক্ষণগুলি উপেক্ষা করা হয়, অন্যথায় সমস্ত বিচ্যুতির যোগফল শূন্যের সমান হবে। গড় রৈখিক বিচ্যুতি, বিশ্লেষণ করা ডেটার গোষ্ঠীকরণের উপর নির্ভর করে, বিভিন্ন সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা হয়: গোষ্ঠীবদ্ধ এবং গোষ্ঠীবিহীন ডেটার জন্য। এর প্রচলনের কারণে, গড় রৈখিক বিচ্যুতি, ভিন্নতার অন্যান্য সূচকগুলি থেকে পৃথকভাবে, অনুশীলনে তুলনামূলকভাবে খুব কমই ব্যবহৃত হয় (বিশেষ করে, ডেলিভারির অভিন্নতা সম্পর্কিত চুক্তিগত বাধ্যবাধকতা পূরণের বৈশিষ্ট্য; বৈদেশিক বাণিজ্য টার্নওভারের বিশ্লেষণে, এর গঠন কর্মচারী, উত্পাদনের ছন্দ, পণ্যের গুণমান, উত্পাদনের প্রযুক্তিগত বৈশিষ্ট্যগুলি বিবেচনা করে ইত্যাদি)।

স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি চিহ্নিত করে যে বৈশিষ্ট্যের স্বতন্ত্র মানগুলি অধ্যয়ন করা হচ্ছে তা জনসংখ্যার গড় মান থেকে কতটা বিচ্যুত হয় এবং অধ্যয়ন করা বৈশিষ্ট্যের পরিমাপের এককগুলিতে প্রকাশ করা হয়। মানক বিচ্যুতি, প্রকরণের প্রধান পরিমাপগুলির মধ্যে একটি, একটি সমজাতীয় জনসংখ্যার একটি বৈশিষ্ট্যের পরিবর্তনের সীমা নির্ধারণে, একটি স্বাভাবিক বন্টন বক্ররেখার অর্ডিনেট মান নির্ধারণে, সেইসাথে এর সাথে সম্পর্কিত গণনাগুলিতে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয় নমুনা পর্যবেক্ষণের সংগঠন এবং নমুনা বৈশিষ্ট্যের যথার্থতা প্রতিষ্ঠা করা। নিম্নোক্ত অ্যালগরিদম ব্যবহার করে গোষ্ঠীবিহীন ডেটার মানক বিচ্যুতি গণনা করা হয়: গড় থেকে প্রতিটি বিচ্যুতি বর্গ করা হয়, সমস্ত বর্গকে যোগ করা হয়, তারপর বর্গের যোগফলকে সিরিজের পদের সংখ্যা দিয়ে ভাগ করা হয় এবং বর্গমূল থেকে বের করা হয় ভাগফল

যেখানে একটি আইআইপি হল প্রমিত বিচ্যুতির মান; এক্সজে-বৈশিষ্ট্য মান; এক্স- অধ্যয়ন করা জনসংখ্যার জন্য বৈশিষ্ট্যের গড় মান; পি -জনসংখ্যার ইউনিট সংখ্যা।

গোষ্ঠীগত বিশ্লেষণকৃত ডেটার জন্য, ডেটার মানক বিচ্যুতি ওজনযুক্ত সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা হয়

কোথায় - আদর্শ বিচ্যুতি মান; এক্সজে-বৈশিষ্ট্য মান; এক্স -অধ্যয়ন করা জনসংখ্যার জন্য বৈশিষ্ট্যের গড় মান; চ x -একটি নির্দিষ্ট গোষ্ঠীতে জনসংখ্যা ইউনিটের সংখ্যা।

উভয় ক্ষেত্রেই মূলের নীচের অভিব্যক্তিকে বৈষম্য বলে। এইভাবে, বিচ্ছুরণকে তাদের গড় মান থেকে বৈশিষ্ট্য মানের বিচ্যুতির গড় বর্গ হিসাবে গণনা করা হয়। ওজনহীন (সরল) বৈশিষ্ট্যের মানগুলির জন্য, বৈচিত্রটি নিম্নরূপ নির্ধারণ করা হয়:

ওজনযুক্ত চরিত্রগত মানগুলির জন্য

ভিন্নতা গণনার জন্য একটি বিশেষ সরলীকৃত পদ্ধতিও রয়েছে: সাধারণভাবে

ওজনহীন (সরল) চরিত্রগত মানগুলির জন্য ওজনযুক্ত বৈশিষ্ট্যগত মানগুলির জন্য
শূন্য-ভিত্তিক পদ্ধতি ব্যবহার করে

যেখানে একটি 2 হল বিচ্ছুরণ মান; x, - বৈশিষ্ট্যের মান; এক্স -বৈশিষ্ট্যের গড় মান, জ-গ্রুপ ব্যবধান মান, টি 1 -ওজন (A =

পরিসংখ্যানে বিচ্ছুরণের নিজস্ব অভিব্যক্তি রয়েছে এবং এটি প্রকরণের অন্যতম গুরুত্বপূর্ণ সূচক। এটি অধ্যয়ন করা বৈশিষ্ট্যের পরিমাপের এককের বর্গক্ষেত্রের সাথে সম্পর্কিত এককগুলিতে পরিমাপ করা হয়।

বিচ্ছুরণের নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য রয়েছে।

• 1. একটি ধ্রুবক মানের প্রকরণ শূন্য।
• 2. একই মান A দ্বারা একটি বৈশিষ্ট্যের সমস্ত মান হ্রাস করলে বিচ্ছুরণের মান পরিবর্তন হয় না। এর মানে হল যে বিচ্যুতির গড় বর্গ একটি বৈশিষ্ট্যের প্রদত্ত মান থেকে নয়, কিছু ধ্রুবক সংখ্যা থেকে তাদের বিচ্যুতি থেকে গণনা করা যেতে পারে।
• 3. কোন বৈশিষ্ট্যগত মান হ্রাস করা kবার দ্বারা বিচ্ছুরণ হ্রাস k 2 বার, এবং আদর্শ বিচ্যুতি আছে kবার, যেমন বৈশিষ্ট্যের সমস্ত মানকে কিছু ধ্রুবক সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যেতে পারে (বলুন, সিরিজের ব্যবধানের মান দ্বারা), আদর্শ বিচ্যুতি গণনা করা যেতে পারে, এবং তারপরে একটি ধ্রুবক সংখ্যা দ্বারা গুণ করা যেতে পারে।
• 4. যদি আমরা যেকোনো মান থেকে বিচ্যুতির গড় বর্গ গণনা করি এবংপাটিগণিত গড় থেকে এক ডিগ্রী বা অন্য ডিগ্রী ভিন্ন, তাহলে এটি সর্বদা পাটিগণিত গড় থেকে গণনা করা বিচ্যুতির গড় বর্গ থেকে বড় হবে। বিচ্যুতির গড় বর্গ একটি খুব নির্দিষ্ট পরিমাণে বেশি হবে - গড় এবং এই প্রচলিতভাবে নেওয়া মানের মধ্যে পার্থক্যের বর্গ দ্বারা।

জনসংখ্যার এককগুলিতে অধ্যয়নকৃত সম্পত্তির উপস্থিতি বা অনুপস্থিতিতে একটি বিকল্প বৈশিষ্ট্যের তারতম্য রয়েছে। পরিমাণগতভাবে, একটি বিকল্প বৈশিষ্ট্যের ভিন্নতা দুটি মান দ্বারা প্রকাশ করা হয়: অধ্যয়নকৃত সম্পত্তির একটি ইউনিটের উপস্থিতি এক (1) দ্বারা চিহ্নিত করা হয় এবং এর অনুপস্থিতিকে শূন্য (0) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। অধ্যয়নের অধীনে সম্পত্তি আছে এমন ইউনিটগুলির অনুপাতকে P দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, এবং যে ইউনিটগুলিতে এই সম্পত্তি নেই তাদের অনুপাত দ্বারা চিহ্নিত করা হয় জি.এইভাবে, একটি বিকল্প বৈশিষ্ট্যের বৈচিত্র্য এই সম্পত্তির অধিকারী এককগুলির অনুপাতের গুণফলের সমান (P) এই সম্পত্তির অধিকারী না হওয়া ইউনিটগুলির অনুপাতের দ্বারা (ছ)।জনসংখ্যার সর্বশ্রেষ্ঠ বৈচিত্র এমন ক্ষেত্রে অর্জিত হয় যেখানে জনসংখ্যার অংশ, জনসংখ্যার মোট আয়তনের 50% গঠন করে, একটি বৈশিষ্ট্য রয়েছে এবং জনসংখ্যার অন্য একটি অংশ, 50% এর সমান, এই বৈশিষ্ট্যটি নেই, এবং বিচ্ছুরণ সর্বোচ্চ 0.25 মান পর্যন্ত পৌঁছায়, t.e. পি = 0.5, জি = 1 - P = 1 - 0.5 = 0.5 এবং o 2 = 0.5 0.5 = 0.25। এই সূচকের নিম্ন সীমা হল শূন্য, যা এমন একটি পরিস্থিতির সাথে মিলে যায় যেখানে সমষ্টিতে কোনো তারতম্য নেই। একটি বিকল্প বৈশিষ্ট্যের ভিন্নতার ব্যবহারিক প্রয়োগ হল নমুনা পর্যবেক্ষণ পরিচালনা করার সময় আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান তৈরি করা।

প্রকরণ এবং আদর্শ বিচ্যুতি যত কম হবে, জনসংখ্যা তত বেশি সমজাতীয় হবে এবং গড় তত বেশি সাধারণ হবে। পরিসংখ্যান অনুশীলনে, প্রায়শই বিভিন্ন বৈশিষ্ট্যের বৈচিত্রের তুলনা করার প্রয়োজন হয়। উদাহরণস্বরূপ, কর্মীদের বয়স এবং তাদের যোগ্যতা, পরিষেবার দৈর্ঘ্য এবং মজুরি, খরচ এবং লাভ, পরিষেবার দৈর্ঘ্য এবং শ্রম উত্পাদনশীলতা ইত্যাদির পার্থক্যগুলি তুলনা করা আকর্ষণীয়। এই ধরনের তুলনার জন্য, বৈশিষ্ট্যের নিখুঁত পরিবর্তনশীলতার সূচকগুলি অনুপযুক্ত: কাজের অভিজ্ঞতার পরিবর্তনশীলতার তুলনা করা অসম্ভব, বছরগুলিতে প্রকাশিত, মজুরির পরিবর্তনের সাথে, রুবেলে প্রকাশ করা। বিভিন্ন পাটিগণিত গড় সহ বিভিন্ন জনসংখ্যার মধ্যে একই বৈশিষ্ট্যের পরিবর্তনশীলতার তুলনা করার জন্য এই ধরনের তুলনা করার জন্য, প্রকরণ সূচকগুলি ব্যবহার করা হয় - দোলনের সহগ, প্রকরণের রৈখিক সহগ এবং প্রকরণের সহগ, যা পরিমাপ দেখায় গড় চারপাশে চরম মানের ওঠানামা।

দোলন সহগ:

কোথায় ভি আর -দোলন সহগ মান; আর- পরিবর্তনের পরিসরের মান; এক্স -

প্রকরণের রৈখিক সহগ"।

কোথায় ভিজে-প্রকরণের রৈখিক সহগের মান; আমি -গড় রৈখিক বিচ্যুতির মান; এক্স -অধ্যয়ন করা জনসংখ্যার জন্য বৈশিষ্ট্যের গড় মান।

প্রকরণের সহগ:

কোথায় ভি ক -প্রকরণ মানের সহগ; a হল প্রমিত বিচ্যুতির মান; এক্স -অধ্যয়ন করা জনসংখ্যার জন্য বৈশিষ্ট্যের গড় মান।

দোলনের সহগ হল অধ্যয়ন করা বৈশিষ্ট্যের গড় মানের সাথে প্রকরণের পরিসরের শতকরা অনুপাত এবং প্রকরণের রৈখিক সহগ হল অধ্যয়ন করা বৈশিষ্ট্যের গড় মানের সাথে গড় রৈখিক বিচ্যুতির অনুপাত, একটি হিসাবে প্রকাশ করা হয় শতাংশ প্রকরণের সহগ হল অধ্যয়ন করা বৈশিষ্ট্যের গড় মানের মান বিচ্যুতির শতাংশ। একটি আপেক্ষিক মান হিসাবে, শতাংশ হিসাবে প্রকাশ করা হয়, বিভিন্ন বৈশিষ্ট্যের বৈচিত্র্যের ডিগ্রি তুলনা করতে প্রকরণের সহগ ব্যবহার করা হয়। প্রকরণের সহগ ব্যবহার করে, একটি পরিসংখ্যানগত জনসংখ্যার একজাতীয়তা মূল্যায়ন করা হয়। যদি প্রকরণের সহগ 33% এর কম হয়, তাহলে অধ্যয়নের অধীন জনসংখ্যা একজাতীয় এবং প্রকরণ দুর্বল। যদি বৈচিত্র্যের সহগ 33% এর বেশি হয়, তাহলে অধ্যয়নের অধীনে জনসংখ্যা ভিন্নধর্মী, প্রকরণটি শক্তিশালী, এবং গড় মানটি অস্বাভাবিক এবং এই জনসংখ্যার সাধারণ সূচক হিসাবে ব্যবহার করা যাবে না। উপরন্তু, বিভিন্ন জনগোষ্ঠীর মধ্যে একটি বৈশিষ্ট্যের পরিবর্তনশীলতার তুলনা করার জন্য প্রকরণের সহগ ব্যবহার করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, দুটি উদ্যোগে কর্মীদের পরিষেবার দৈর্ঘ্যের তারতম্যের মূল্যায়ন করা। সহগ মান যত বেশি হবে, বৈশিষ্ট্যের তারতম্য তত বেশি তাৎপর্যপূর্ণ।

গণনা করা কোয়ার্টাইলের উপর ভিত্তি করে, সূত্রটি ব্যবহার করে ত্রৈমাসিক পরিবর্তনের আপেক্ষিক সূচক গণনা করাও সম্ভব।

যেখানে প্র 2 এবং

ইন্টারকোয়ার্টাইল রেঞ্জ সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয়

চরম মান ব্যবহার করার সাথে সম্পর্কিত অসুবিধাগুলি এড়াতে প্রকরণের পরিসরের পরিবর্তে চতুর্থিক বিচ্যুতি ব্যবহার করা হয়:

অসমভাবে ব্যবধানের ভিন্নতা সিরিজের জন্য, বন্টন ঘনত্বও গণনা করা হয়। এটি সংশ্লিষ্ট ফ্রিকোয়েন্সি বা ব্যবধানের মান দ্বারা বিভক্ত কম্পাঙ্কের ভাগফল হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। অসম ব্যবধান সিরিজে, পরম এবং আপেক্ষিক বন্টন ঘনত্ব ব্যবহার করা হয়। পরম বন্টন ঘনত্ব হল ব্যবধানের প্রতি ইউনিট দৈর্ঘ্যের ফ্রিকোয়েন্সি। আপেক্ষিক বন্টন ঘনত্ব - প্রতি ইউনিট ব্যবধানের দৈর্ঘ্যের ফ্রিকোয়েন্সি।

উপরোক্ত সমস্ত বন্টন সিরিজের জন্য সত্য যার বন্টন আইন স্বাভাবিক বন্টন আইন দ্বারা ভালভাবে বর্ণনা করা হয়েছে বা এর কাছাকাছি।

পরিবর্তনশীলএকটি পরিমাণগত ভিত্তিতে নির্মিত বিতরণ সিরিজ বলা হয়। জনসংখ্যার পৃথক ইউনিটে পরিমাণগত বৈশিষ্ট্যের মানগুলি ধ্রুবক নয় এবং একে অপরের থেকে কম বা বেশি আলাদা।

প্রকরণ- ওঠানামা, জনসংখ্যার এককগুলির মধ্যে একটি বৈশিষ্ট্যের মূল্যের পরিবর্তনযোগ্যতা। অধ্যয়ন করা জনসংখ্যার মধ্যে পাওয়া একটি বৈশিষ্ট্যের পৃথক সংখ্যাসূচক মান বলা হয় বিকল্পমান জনসংখ্যাকে সম্পূর্ণরূপে চিহ্নিত করার জন্য গড় মানের অপ্রতুলতা আমাদেরকে সূচকগুলির সাথে গড় মানগুলির পরিপূরক করতে বাধ্য করে যা আমাদের অধ্যয়ন করা বৈশিষ্ট্যের পরিবর্তনশীলতা (প্রকরণ) পরিমাপ করে এই গড়গুলির বৈশিষ্ট্যকে মূল্যায়ন করতে দেয়।

বৈচিত্র্যের উপস্থিতি বৈশিষ্ট্যের স্তর গঠনের উপর প্রচুর সংখ্যক কারণের প্রভাবের কারণে। এই কারণগুলি অসম শক্তি এবং বিভিন্ন দিকে কাজ করে। বৈচিত্র্যের সূচকগুলি বৈশিষ্ট্য পরিবর্তনশীলতার পরিমাপ বর্ণনা করতে ব্যবহৃত হয়।

পরিবর্তনের পরিসংখ্যানগত অধ্যয়নের উদ্দেশ্য:

• 1) জনসংখ্যার পৃথক ইউনিটে বৈশিষ্ট্যের বৈচিত্র্যের প্রকৃতি এবং ডিগ্রির অধ্যয়ন;
• 2) জনসংখ্যার নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্যের তারতম্যে ​​পৃথক কারণ বা তাদের গোষ্ঠীর ভূমিকা নির্ধারণ করা।

পরিসংখ্যানে, সূচকগুলির একটি সিস্টেমের ব্যবহারের উপর ভিত্তি করে বৈচিত্র অধ্যয়নের জন্য বিশেষ পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়, সঙ্গেযার দ্বারা প্রকরণ পরিমাপ করা হয়।

প্রকরণ নিয়ে গবেষণা গুরুত্বপূর্ণ। নমুনা পর্যবেক্ষণ, পারস্পরিক সম্পর্ক এবং প্রকরণ বিশ্লেষণ ইত্যাদি পরিচালনা করার সময় বৈচিত্র পরিমাপ করা প্রয়োজন। Ermolaev O.Yu. মনোবিজ্ঞানীদের জন্য গাণিতিক পরিসংখ্যান: পাঠ্যপুস্তক [পাঠ্য]/ O.Yu. এরমোলেভ। - এম।: মস্কো সাইকোলজিক্যাল অ্যান্ড সোশ্যাল ইনস্টিটিউটের ফ্লিন্ট পাবলিশিং হাউস, 2012। - 335 পি।

বৈচিত্র্যের ডিগ্রী দ্বারা কেউ জনসংখ্যার একজাতীয়তা, বৈশিষ্ট্যের স্বতন্ত্র মানগুলির স্থায়িত্ব এবং গড়ের বৈশিষ্ট্যকে বিচার করতে পারে। তাদের ভিত্তিতে, নমুনা পর্যবেক্ষণের নির্ভুলতা মূল্যায়নের জন্য বৈশিষ্ট্য এবং সূচকগুলির মধ্যে সম্পর্কের ঘনিষ্ঠতার সূচকগুলি তৈরি করা হয়।

স্থানের পরিবর্তন এবং সময়ের পরিবর্তনের মধ্যে একটি পার্থক্য তৈরি করা হয়।

স্থানের ভিন্নতা পৃথক অঞ্চলের প্রতিনিধিত্বকারী জনসংখ্যা ইউনিটগুলির মধ্যে বৈশিষ্ট্যের মানগুলির ওঠানামা হিসাবে বোঝা যায়। সময়ের বৈচিত্র্য বলতে বিভিন্ন সময়ের মধ্যে একটি বৈশিষ্ট্যের মানগুলির পরিবর্তন বোঝায়।

ডিস্ট্রিবিউশন সারিগুলির বৈচিত্র অধ্যয়ন করার জন্য, বৈশিষ্ট্য মানের সমস্ত বৈকল্পিক ক্রমবর্ধমান বা অবরোহী ক্রমে সাজানো হয়। এই প্রক্রিয়াটিকে সারি র‌্যাঙ্কিং বলা হয়।

তারতম্যের সহজ লক্ষণ সর্বনিম্ন এবং সর্বোচ্চ- সমষ্টিগত বৈশিষ্ট্যের ক্ষুদ্রতম এবং বৃহত্তম মান। বৈশিষ্ট্য মানের পৃথক বৈকল্পিক পুনরাবৃত্তির সংখ্যা পুনরাবৃত্তি ফ্রিকোয়েন্সি (ফাই) বলা হয়। ফ্রিকোয়েন্সিগুলির সাথে ফ্রিকোয়েন্সি প্রতিস্থাপন করা সুবিধাজনক - wi। ফ্রিকোয়েন্সি হল ফ্রিকোয়েন্সির একটি আপেক্ষিক সূচক, যা একটি ইউনিটের ভগ্নাংশ বা শতাংশ হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে এবং আপনাকে বিভিন্ন সংখ্যক পর্যবেক্ষণের সাথে বৈচিত্র্যের সিরিজ তুলনা করতে দেয়। সূত্র দ্বারা প্রকাশ করা হয়:

যেখানে Xmax, Xmin হল সমষ্টিগত বৈশিষ্ট্যের সর্বাধিক এবং সর্বনিম্ন মান; n - দলের সংখ্যা।

একটি বৈশিষ্ট্যের বৈচিত্র পরিমাপ করতে, বিভিন্ন পরম এবং আপেক্ষিক সূচক ব্যবহার করা হয়। প্রকরণের পরম সূচকগুলির মধ্যে রয়েছে প্রকরণের পরিসর, গড় রৈখিক বিচ্যুতি, বিচ্ছুরণ এবং মানক বিচ্যুতি। দোলনের আপেক্ষিক সূচকগুলির মধ্যে রয়েছে দোলনের সহগ, আপেক্ষিক রৈখিক বিচ্যুতি এবং প্রকরণের সহগ।

একটি ভিন্নতা সিরিজ খোঁজার একটি উদাহরণ

ব্যায়াম।এই নমুনার জন্য:

• ক) ভিন্নতা সিরিজ খুঁজুন;
• খ) বিতরণ ফাংশন গঠন;

নং = 42। নমুনা উপাদান:

1 5 1 8 1 3 9 4 7 3 7 8 7 3 2 3 5 3 8 3 5 2 8 3 7 9 5 8 8 1 2 2 5 1 6 1 7 6 7 7 6 2

সমাধান।

• ক) একটি র‌্যাঙ্কড ভ্যারিয়েশন সিরিজ নির্মাণ:
  • 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 5 5 5 5 5 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 9 9
• খ) একটি পৃথক ভিন্নতা সিরিজ নির্মাণ।

চলুন Sturgess সূত্র ব্যবহার করে বৈচিত্র্য সিরিজে গোষ্ঠীর সংখ্যা গণনা করা যাক:

গ্রুপের সংখ্যা 7 এর সমান ধরা যাক।

গোষ্ঠীর সংখ্যা জেনে, আমরা ব্যবধানের আকার গণনা করি:

সারণি নির্মাণের সুবিধার জন্য, আমরা 8 এর সমান গ্রুপ সংখ্যা নেব, ব্যবধান হবে 1।

ভাত। 1 একটি নির্দিষ্ট সময়ের জন্য একটি দোকান দ্বারা পণ্য বিক্রয়ের পরিমাণ