বল পরিমাপ করুন। গোলক পেরেলম্যানের বহুমাত্রিক সঙ্গীত। অন্যান্য উত্স থেকে কিছু দরকারী অ্যাপ্লিকেশন

কিছু সময় আগে, প্রিপ্রিন্ট সাইট arXiv.org-এ দুটি পেপার একবারে আবির্ভূত হয়েছিল, যা 8 এবং 24 মাত্রার স্পেসে বলগুলির সবচেয়ে কাছের প্যাকিংয়ের সমস্যাকে উত্সর্গ করেছিল৷ এখন পর্যন্ত, অনুরূপ ফলাফলগুলি শুধুমাত্র 1, 2, মাত্রার জন্য পরিচিত ছিল৷ এবং 3 (এবং এখানে সবকিছু এত সহজ নয়, তবে নীচে আরও বেশি)। অগ্রগতি - এবং আমরা একটি সত্যিকারের বিপ্লবী অগ্রগতির কথা বলছি - ইউক্রেনীয় বংশোদ্ভূত গণিতবিদ, যিনি এখন জার্মানিতে কাজ করছেন, মেরিনা ভ্যাজোভস্কায়ার কাজের জন্য এটি সম্ভব হয়েছিল৷ আমরা দশটি ছোট গল্পে এই অর্জনের গল্প বলব।

1.

16 শতকে, বিখ্যাত দরবারী ব্যক্তিত্ব এবং কবি স্যার ওয়াল্টার রেলি ইংল্যান্ডে থাকতেন। তিনি বিখ্যাত ছিলেন, প্রথমত, এই কারণে যে, একবার, তিনি তার দামী চাদরটি রানীর সামনে একটি পুকুরে ফেলে দিয়েছিলেন যাতে মহারাজ তার পা নোংরা না করেন। কিন্তু সেই কারণেই আমরা এতে আগ্রহী নই।

স্যার ওয়াল্টার রেলির একটি আবেগ ছিল - তিনি স্প্যানিশ জাহাজ ডাকাতি করতে এবং এল ডোরাডোকে খুঁজতে খুব পছন্দ করতেন। এবং তারপরে একদিন রালে জাহাজে একগুচ্ছ স্তুপীকৃত কামানের গোলা দেখতে পেল। এবং আমি ভেবেছিলাম (ব্রিটিশ দরবারীদের ক্ষেত্রে এটি ঘটেছিল), তারা বলে, আপনি যদি গণনা না করে একটি স্তূপে কতগুলি কোর রয়েছে তা খুঁজে বের করতে পারলে ভাল হবে। এই ধরনের জ্ঞানের সুবিধাগুলি, বিশেষ করে যদি আপনি স্প্যানিশ নৌবহর লুণ্ঠন উপভোগ করেন, তা স্পষ্ট।

ওয়াল্টার রেলে

রালে নিজেও গণিতে খুব একটা ভালো ছিলেন না, তাই তিনি এই সমস্যাটি তার সহকারী টমাস হ্যারিয়টকে দিয়েছিলেন। তিনি, পরিবর্তে, গণিতে শক্তিশালী ছিলেন (হ্যারিয়ট, যাইহোক, চিহ্নগুলির উদ্ভাবক ">" এবং "<» для сравнения численных величин), поэтому довольно быстро решил эту задачу. Но Хэрриот был хорошим математиком, поэтому он задался вопросом: а как лучше всего укладывать ядра? Сам он немного подумал, но решить задачу не смог.

মন্তব্যের জন্য, তিনি তার সময়ের বিখ্যাত গণিতবিদ জোহানেস কেপলারের দিকে ফিরেছিলেন - সেই সময়ে টাইকো ব্রাহের সহকারী। কেপলার কোনো উত্তর দেননি, তবে তিনি সমস্যাটি মনে রেখেছিলেন। 1611 সালে, তিনি একটি ছোট পুস্তিকা প্রকাশ করেছিলেন যেখানে তিনি চারটি প্রশ্ন নিয়ে আলোচনা করেছিলেন: কেন মৌমাছির ষড়ভুজাকার চিরুনি থাকে, কেন ফুলের পাপড়িগুলি প্রায়শই পাঁচ ভাগে বিভক্ত হয় ( কেপলার সম্ভবত শুধুমাত্র বোঝাতে চেয়েছিলেনrosaceous - প্রায়. N+1), কেন ডালিমের দানা ডোডেকাহেড্রনের মতো আকৃতির হয় (যদিও অনিয়মিত) এবং কেন, অবশেষে, তুষারফলকগুলি হেক্সাগনের মতো আকৃতির হয়।

জোহানেস কেপলার

প্যামফলেটটি একটি উপহার হিসাবে উদ্দেশ্য ছিল, তাই এটি একটি বাস্তব বৈজ্ঞানিক কাজের চেয়ে একটি দার্শনিক এবং বিনোদনমূলক পড়া ছিল। কেপলার প্রথম প্রশ্নের উত্তরটিকে দুটি শর্তের সাথে যুক্ত করেছেন - কোষগুলির মধ্যে কোনও ফাঁক থাকা উচিত নয় এবং কোষের অঞ্চলগুলির যোগফল ন্যূনতম হওয়া উচিত। লেখক দ্বিতীয় প্রশ্নটিকে ফিবোনাচি সংখ্যার সাথে সংযুক্ত করেছেন, এবং স্নোফ্লেক্স সম্পর্কে কথোপকথন কেপলারকে পারমাণবিক প্রতিসাম্য সম্পর্কে যুক্তি দিতে প্ররোচিত করেছিল।

তৃতীয় প্রশ্নটি হাইপোথিসিসের জন্ম দিয়েছে যে ষড়ভুজ বন্ধ প্যাকিং(এটি নীচের ছবিতে) সবচেয়ে ঘনত্ব (যার মানে এটি গাণিতিক অর্থে কম)। অবশ্য কেপলার হ্যারিয়টকে উল্লেখ করার প্রয়োজন মনে করেননি। অতএব, এই বিবৃতি কেপলার হাইপোথিসিস বলা হয়। স্টিগলারের আইন - ওরফে আর্নল্ডের নীতি - কর্মে।

হ্যাঁ, এই পুস্তিকাটি প্রকাশের 7 বছর পর, স্যার ওয়াল্টার রেলির শিরশ্ছেদ করা হয়েছিল। যাইহোক, এটি ঘন প্যাকিং সমস্যার সাথে কিছুই করার ছিল না।

2.

আধুনিক মান অনুসারে, হ্যারিয়ট যে কাজটি সমাধান করেছিলেন তা কঠিন ছিল না। অতএব, আমরা এটি আরও বিশদে বিশ্লেষণ করব। এবং একই সময়ে, হেক্সাগোনাল ক্লোজ প্যাকিং কীভাবে কাজ করে তা আমরা আরও ভালভাবে বুঝতে পারব।

সুতরাং, প্রধান শর্ত হল পিচিংয়ের সময় একগুচ্ছ কোর রোল না হয়। সুতরাং, ডেকের উপর একটি সারিতে কোরগুলি রাখুন। পরের সারিতে আমরা কোরগুলি রাখি যাতে বলগুলি প্রথম সারির গোলকের মধ্যে স্লটে স্থাপন করা হয়। যদি প্রথম সারিতে n বল থাকে, তাহলে দ্বিতীয়টিতে n - 1 আছে (কারণ বলের মধ্যে বলের তুলনায় এক কম ফাঁক রয়েছে)। পরবর্তী সারি এক কম কোর হবে. এবং তাই, যতক্ষণ না আমরা এর মতো একটি ত্রিভুজ পাই (যদি আপনি উপরে থেকে লেআউটটি দেখেন):

যারা মনে রাখে একটি গাণিতিক অগ্রগতি কি তারা সহজেই গণনা করবে যে প্রথম সারিতে যদি n বল থাকত, তাহলে এমন একটি ত্রিভুজে n (n + 1)/2 বল আছে। উপরে থেকে দেখা হলে, বলগুলির মধ্যে সুবিধাজনক অবকাশ রয়েছে। সেখানে আমরা বলের দ্বিতীয় স্তর যোগ করব। এর ফলে প্রথমটির মতো একটি ত্রিভুজ সংগঠিত হবে, পাশে মাত্র একটি কম বল থাকবে। তাই আমরা n(n - 1)/2টি আরও বল স্তূপে রাখি।

আমরা একটি বলের একটি স্তর না পাওয়া পর্যন্ত আমরা স্তরগুলি স্থাপন করতে থাকি। আমরা নিউক্লিয়াসের একটি ত্রিভুজাকার পিরামিড পেয়েছি। এটির কতগুলি কোর আছে তা খুঁজে বের করতে, আপনাকে প্রতিটি স্তরে কোরের সংখ্যা যোগ করতে হবে। যদি প্রথম লেয়ারটি সাইড n এর সাথে থাকে, তাহলে আমরা n লেয়ার পাব, যা মোট n(n + 1)(n + 2)/6 দেবে। অনুসন্ধিৎসু পাঠক লক্ষ্য করবেন যে এটি ঠিক C 3 n + 2 এর দ্বিপদী সহগ। এই সমন্বিত কাকতালীয় ঘটনাটি কারণ ছাড়া নয়, তবে আমরা এটির মধ্যে অনুসন্ধান করব না।

যাইহোক, এই কাজটি ছাড়াও, হ্যারিয়ট আনুমানিকভাবে নির্ধারণ করতে সক্ষম হয়েছিল যে নিউক্লিয়াসটি পর্যাপ্ত পরিমাণে বড় পাত্রে দখল করে, যদি আমরা একটি ঘনক্ষেত্রের জন্য পরবর্তীটির আকার গ্রহণ করি। দেখা গেল যে অনুপাত হল π/(3√2) ≈ 0.74048।

3.

শব্দের মানে কি ঘনতমসমস্যা বিবৃতিতে? Raleigh, Harriot, এমনকি কেপলার নিজেও এর সঠিক উত্তর দেননি। কিছু যুক্তিসঙ্গত অর্থে ঘনত্ব উহ্য ছিল. যাইহোক, এই সূত্র গণিত জন্য উপযুক্ত নয়. এটা স্পষ্ট করা প্রয়োজন.

আসুন প্রথমে নীচের মাত্রায় যান এবং প্লেনে সবকিছু কীভাবে কাজ করে তা দেখুন। দ্বি-মাত্রিক ক্ষেত্রে, সমস্যাটি নিম্নলিখিতটিতে পরিণত হয়: বৃত্তের একটি অসীম সেট দেওয়া যাক যা ভিতরের অংশে ছেদ করে না (তবে, সম্ভবত, স্পর্শ করা - অর্থাৎ সীমানায় একটি সাধারণ বিন্দু থাকা) বৃত্তগুলি দেওয়া হয় সমতল. আসুন একটি বর্গক্ষেত্র আঁকুন। আমরা বর্গক্ষেত্রের ভিতরে পড়ে থাকা বৃত্তের টুকরোগুলির ক্ষেত্রফলের যোগফল গণনা করি। এই যোগফলের অনুপাতটিকে বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সাথে নেওয়া যাক, এবং আমরা অনুপাতের পরিবর্তনের দিকে তাকিয়ে বর্গক্ষেত্রের দিকটি বাড়িয়ে দেব।

আমরা একটি ফাংশন পেতে চ(ক), কোথায় ক- একটি বর্গক্ষেত্রের পাশে। আমরা ভাগ্যবান হলে, তারপর বৃদ্ধি সঙ্গে এই ফাংশন আর্গুমেন্ট কিছু সংখ্যার প্রতি লক্ষণহীনভাবে যোগাযোগ করবে। এই সংখ্যাটিকে প্রদত্ত প্যাকিংয়ের ঘনত্ব বলা হয়। এটা গুরুত্বপূর্ণ যে ফাংশন নিজেই কিছু সময়ে ঘনত্বের চেয়ে বেশি একটি মান দিতে পারে। প্রকৃতপক্ষে, যদি বর্গক্ষেত্রটি ছোট হয়, তবে এটি সম্পূর্ণভাবে বৃত্তে ফিট করে এবং নির্দিষ্ট অনুপাত হল 1। কিন্তু আমরা গড় ঘনত্বে আগ্রহী, অর্থাৎ, অনানুষ্ঠানিকভাবে বলতে গেলে, "যথেষ্ট বড় পাশ বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্রের জন্য।"

এই ধরনের সব ঘনত্বের মধ্যে, কেউ সর্বাধিক খুঁজে পেতে পারেন। তিনিই, সেইসাথে যে প্যাকেজিংটি এটি প্রয়োগ করে, তাকে ঘন বলা হবে।

"ঘনতম প্যাকিং অগত্যা অনন্য নয় (অ্যাসিম্পোটিক অর্থে)। 3-ডাইমেনশনাল স্পেসে অসীমভাবে অনেকগুলি ঘন প্যাকিং রয়েছে এবং এমনকি কেপলারও এটি জানত," ব্রাউনসভিলের টেক্সাস বিশ্ববিদ্যালয়ের ওলেগ মুসিন বলেছেন।

আমরা ঘনতম প্যাকিংয়ের ধারণাটি সংজ্ঞায়িত করার পরে, এটি বোঝা সহজ যে এই জাতীয় সংজ্ঞাটি নির্বিচারে মাত্রা n-এর একটি স্থানে সহজেই প্রসারিত করা যেতে পারে। প্রকৃতপক্ষে, আসুন বৃত্তগুলিকে সংশ্লিষ্ট মাত্রার বল দিয়ে প্রতিস্থাপন করি, অর্থাৎ বিন্দুগুলির সেট, যেখান থেকে একটি নির্দিষ্ট (কেন্দ্র বলা হয়) দূরত্ব একটি নির্দিষ্ট মান অতিক্রম করে না, যাকে বলের ব্যাসার্ধ বলা হয়। আবার, আসুন সেগুলিকে এমনভাবে সাজাই যাতে যেকোন দুটি সেরা স্পর্শে, সবচেয়ে খারাপ সময়ে - কোন সাধারণ বিন্দু নেই। আমরা একটি n-মাত্রিক ঘনকের আয়তন এবং সংশ্লিষ্ট n-মাত্রিক বলের আয়তনের সমষ্টি নিয়ে পূর্বের ক্ষেত্রের মতো একই ফাংশন সংজ্ঞায়িত করি।

4.

সুতরাং, আমরা বুঝতে পেরেছি যে কেপলারের অনুমান ত্রিমাত্রিক স্থানে ত্রিমাত্রিক বলের সবচেয়ে কাছের প্যাকিংয়ের সমস্যা। এবং প্লেন সম্পর্কে কি (যেহেতু আমরা এটি দিয়ে শুরু করেছি)? নাকি সোজা? একটি সরল রেখা সহ, সবকিছু সহজ: একটি সরল রেখার একটি বল একটি অংশ। একটি সরল রেখা প্রান্তে ছেদ করা অভিন্ন অংশ দ্বারা সম্পূর্ণরূপে আচ্ছাদিত হতে পারে। এই কভারেজ সঙ্গে, ফাংশন চ(ক)ধ্রুবক এবং 1 এর সমান।

প্লেনে, সবকিছু কিছুটা জটিল হয়ে উঠল। সুতরাং, এর সমতলে পয়েন্টের একটি সেট দিয়ে শুরু করা যাক। আমরা বলি যে বিন্দুগুলির এই সেটটি একটি জালি তৈরি করে যদি আমরা v এবং w ভেক্টরের একটি জোড়া খুঁজে পাই যাতে সমস্ত বিন্দু N*v + M*w হিসাবে পাওয়া যায়, যেখানে N এবং M পূর্ণসংখ্যা। একইভাবে, একটি জালিকে নির্বিচারে বড় মাত্রার জায়গায় সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে - শুধু আরও ভেক্টর প্রয়োজন।

জালিগুলি অনেক কারণে গুরুত্বপূর্ণ (উদাহরণস্বরূপ, কঠিন পদার্থের ক্ষেত্রে পরমাণুগুলি অবস্থান করতে পছন্দ করে যা জালির জায়গায়), তবে গণিতবিদদের জন্য এগুলি ভাল কারণ তাদের সাথে কাজ করা খুব সুবিধাজনক। অতএব, সমস্ত প্যাকিং থেকে, একটি শ্রেণী আলাদাভাবে আলাদা করা হয় যেখানে বলের কেন্দ্রগুলি জালির নোডগুলিতে অবস্থিত। আমরা যদি এই ক্ষেত্রে নিজেদেরকে সীমাবদ্ধ রাখি, তাহলে সমতলে মাত্র পাঁচ ধরনের জালি রয়েছে। তাদের মধ্যে ঘনতম প্যাকিং এমনভাবে প্রাপ্ত হয় যাতে বিন্দুগুলি নিয়মিত ষড়ভুজগুলির শীর্ষবিন্দুতে সাজানো থাকে - যেমন মৌমাছির মৌচাক বা গ্রাফিনের পরমাণু। এই সত্যটি 1773 সালে ল্যাগ্রেঞ্জ দ্বারা প্রমাণিত হয়েছিল। আরও স্পষ্টভাবে: ল্যাগ্রেঞ্জ ঘন প্যাকিংয়ে আগ্রহী ছিল না, তবে চতুর্মুখী ফর্মগুলিতে আগ্রহী ছিল। ইতিমধ্যে 20 শতকে এটি স্পষ্ট হয়ে গেছে যে দ্বি-মাত্রিক জালির জন্য প্যাকিং ঘনত্বের ফলাফল তার প্রফর্ম ফলাফল থেকে অনুসরণ করে।

“1831 সালে লুডভিগ সিবার ত্রিভুজ চতুর্মুখী রূপের উপর একটি বই লিখেছিলেন। এই বইটিতে, একটি অনুমান সামনে রাখা হয়েছে যা জালি প্যাকিংয়ের জন্য কেপলার অনুমানের সমতুল্য। সিবার নিজেই তার অনুমানের একটি দুর্বল রূপ প্রমাণ করতে এবং প্রচুর উদাহরণের জন্য এটি পরীক্ষা করতে সক্ষম হন। এই বইটি মহান কার্ল ফ্রেডরিখ গাউস দ্বারা পর্যালোচনা করা হয়েছিল। এই পর্যালোচনাতে, গাউস একটি সত্যই আশ্চর্যজনক প্রমাণ সরবরাহ করেছেন যা 40 লাইনে ফিট করে। এটি, আমরা এখন বলছি, এটি একটি "অলিম্পিয়াড" প্রমাণ যা একজন উচ্চ বিদ্যালয়ের ছাত্রের কাছে বোধগম্য। অনেক গণিতবিদ গাউসের প্রমাণের মধ্যে লুকানো অর্থ খোঁজার চেষ্টা করেছেন, কিন্তু এখনও পর্যন্ত কেউই সফল হননি,” বলেছেন ওলেগ মুসিন।

কি হবে, তবে, যদি জাল অবস্থা পরিত্যক্ত হয়? এখানেই জিনিসগুলি একটু বেশি জটিল হয়ে যায়। নরওয়েজিয়ান গণিতবিদ অ্যাক্সেল থুই এই মামলাটি মোকাবেলার প্রথম পূর্ণাঙ্গ প্রচেষ্টা করেছিলেন। আপনি যদি উইকিপিডিয়ায় মঙ্গলকে উত্সর্গীকৃত পৃষ্ঠাটি দেখেন, তাহলে আমরা সেখানে আঁটসাঁট প্যাকেজিং সম্পর্কে কিছুই পাব না। এটি বোধগম্য - থু দুটি গবেষণাপত্র প্রকাশ করেছে, সাধারণ গাণিতিক কাগজপত্রের চেয়ে প্রবন্ধের বেশি স্মরণ করিয়ে দেয়, যাতে তার কাছে মনে হয়, তিনি ঘন প্যাকিংয়ের সমস্যাটি সম্পূর্ণরূপে সমাধান করেছেন। একমাত্র সমস্যা ছিল যে থু নিজে ছাড়া অন্য কেউ তার যুক্তি দ্বারা বিশ্বাসী ছিল না।

লাজলো ফেজেস তোথ

Danzer, Ludwig / Wikimedia Commons

অবশেষে 1940 সালে হাঙ্গেরিয়ান গণিতবিদ লাসজলো ফেজেস টথ এই সমস্যার সমাধান করেছিলেন। এটি পরিণত, উপায় দ্বারা, যে প্লেনে চেনাশোনা বিন্যাস, সবচেয়ে ঘন প্যাকিং উপলব্ধি, অনন্য।

5.

ঘনিষ্ঠভাবে বন্ধ প্যাকিং সমস্যার সাথে সম্পর্কিত যোগাযোগ নম্বর সমস্যা. এর আবার সমতলে একটি বৃত্ত বিবেচনা করা যাক। এর চারপাশে একই ব্যাসার্ধের কয়টি বৃত্ত সাজানো যেতে পারে যাতে তারা সবগুলি কেন্দ্রীয়কে স্পর্শ করে? উত্তর ছয়. প্রকৃতপক্ষে, আসুন দুটি প্রতিবেশী চেনাশোনা দেখি যা আমাদের কেন্দ্রীয় একের সাথে যোগাযোগ করে। আসুন কেন্দ্রীয় বৃত্তের কেন্দ্র থেকে এই দুটির কেন্দ্রের দূরত্ব দেখি। এটা সমান 2 আর, কোথায় আরবৃত্তের ব্যাসার্ধ। সংলগ্ন বৃত্তের কেন্দ্রগুলির মধ্যে দূরত্ব অতিক্রম করে না 2 আর.কোসাইন উপপাদ্য অনুসারে কেন্দ্রীয় বৃত্তের কেন্দ্রে কোণ গণনা করলে, আমরা পাই যে এটি 60 ডিগ্রির কম নয়। সমস্ত কেন্দ্রীয় কোণের যোগফল 360 ডিগ্রী দিতে হবে, যার মানে এই ধরনের 6টির বেশি কোণ থাকতে পারে না। এবং আমরা ছয়টি কোণ বিশিষ্ট বৃত্তের অবস্থান জানি।

ফলস্বরূপ নম্বরটিকে প্লেনের যোগাযোগ নম্বর বলা হয়। যেকোন মাত্রার শূন্যস্থানের জন্য অনুরূপ প্রশ্ন করা যেতে পারে। সমতলে সমাধানের সরলতা পাঠককে বিভ্রান্ত না করে - যোগাযোগ নম্বরের সমস্যা, যদি ঘন প্যাকিংয়ের সমস্যার চেয়ে সহজ হয় তবে খুব বেশি নয়। তবে এই দিক থেকে আরও ফলাফল পাওয়া গেছে।

ত্রিমাত্রিক স্থানের জন্য, যোগাযোগ নম্বরটি 1694 সালে আইজ্যাক নিউটন এবং জেমস গ্রেগরির মধ্যে একটি সর্বজনীন বিরোধের বিষয় হয়ে ওঠে। প্রথমটি বিশ্বাস করেছিল যে যোগাযোগের নম্বরটি 12 হওয়া উচিত এবং দ্বিতীয়টি - 13টি। জিনিসটি হল কেন্দ্রীয় একের চারপাশে 12টি বলের ব্যবস্থা করা কঠিন নয় - এই ধরনের বলের কেন্দ্রগুলি একটি নিয়মিত আইকোসাহেড্রনের শীর্ষে অবস্থিত ( এর মধ্যে মাত্র 12টি রয়েছে)। কিন্তু এই বলগুলো স্পর্শ করে না! প্রথম নজরে, মনে হচ্ছে এগুলি সরানো যেতে পারে যাতে আরও একটি, 13তম বলটি ক্রল করে। এটি প্রায় সত্য: যদি বলগুলি সামান্য দূরে সরানো হয়, তাদের কেন্দ্র এবং কেন্দ্রের কেন্দ্রের মধ্যে দূরত্ব তৈরি করে 2R,কিন্তু শুধুমাত্র 2.06R,তাহলে 13টি বল ইতিমধ্যেই ফিট হবে। কিন্তু বল স্পর্শ করার জন্য, গ্রেগরি ভুল ছিল - এই সত্যটি 1953 সালে ভ্যান ডার ওয়ার্ডেন এবং শুটি দ্বারা প্রমাণিত হয়েছিল।

মাত্রা 4 এর জন্য, এই সমস্যাটি 2003 সালে ওলেগ মুসিন দ্বারা সমাধান করা হয়েছিল। সেখানে, যোগাযোগের নম্বরটি 24 ছিল।

6.

এই মাত্রা 1, 2, 3 এবং 4 ছাড়াও, যোগাযোগ নম্বরগুলি 8 এবং 24 মাত্রায়ও পরিচিত। কেন এই মাত্রাগুলি? আসল বিষয়টি হ'ল তাদের জন্য E8 এবং জোঁকের জালি নামে খুব আকর্ষণীয় জালি রয়েছে।

সুতরাং, আমরা ইতিমধ্যেই জালি কি তা বের করেছি। গণিতের জন্য একটি জালির একটি গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য হল এর প্রতিসাম্য। প্রতিসাম্য দ্বারা, অবশ্যই, আমরা বিষয়গত সংবেদন না বোঝায় (এবং কে, উদাহরণস্বরূপ, এই জালিটিকে চারের মাত্রায় উপস্থাপন করবে?), তবে স্থানের বিভিন্ন ধরণের নড়াচড়ার সংখ্যা যা এই জালিটিকে নিজের মধ্যে অনুবাদ করে। একটি উদাহরণ দিয়ে ব্যাখ্যা করা যাক।

আসুন আমরা একই ষড়ভুজ জালি নিই যা সমতলের সবচেয়ে ঘন প্যাকিং উপলব্ধি করে। এটা বোঝা সহজ যে জালিটি নিজের মধ্যে রূপান্তরিত হয় যদি এটি সংজ্ঞায় থাকা v এবং w ভেক্টর দ্বারা স্থানান্তরিত হয়। তবে, উপরন্তু, জালিটি ষড়ভুজের কেন্দ্রের চারপাশে ঘোরানো যেতে পারে। এবং এই ধরনের 6টি ঘূর্ণন রয়েছে: 0, 60, 120, 180, 240, 300 ডিগ্রি। উপরন্তু, যৌগ ষড়ভুজের প্রতিসাম্যের যে কোনো অক্ষ সম্পর্কে জালিটি প্রতিসাম্যভাবে প্রদর্শিত হতে পারে। একটু ব্যায়াম দেখায় যে, শিফট গণনা না করে, আমরা 12টি রূপান্তর পাই। অন্যান্য জালিতে, এই ধরনের রূপান্তর কম হয়, তাই আমরা বলি যে তারা কম প্রতিসম।

এখন, E8 এবং লিচ জালিগুলি অবিশ্বাস্যভাবে প্রতিসম জালি। E8 8-মাত্রিক স্থানে অবস্থিত। এই জালিটি 1877 সালে রাশিয়ান গণিতবিদ করকিন এবং জোলোতারেভ আবিষ্কার করেছিলেন। এটি ভেক্টর নিয়ে গঠিত, যার সমস্ত স্থানাঙ্ক পূর্ণসংখ্যা এবং তাদের যোগফল জোড়। এই ধরনের একটি জালি, বিয়োগ স্থানান্তর, 696,729,600 রূপান্তর আছে। লিচ গ্রিড চব্বিশটি মাত্রায় বিদ্যমান। এটি পূর্ণসংখ্যা স্থানাঙ্ক সহ ভেক্টর নিয়ে গঠিত এবং শর্ত - স্থানাঙ্কের যোগফল বিয়োগ কোন স্থানাঙ্ককে 4 দ্বারা গুণ করলে 8 দ্বারা বিভাজ্য হয়৷ এটির মাত্র একটি বিশাল সংখ্যক প্রতিসাম্য রয়েছে - 8,315,553,613,086,720,000 টুকরা৷

সুতরাং, 8-মাত্রিক এবং 24-মাত্রিক স্থানে, এই একই জালির শীর্ষে অবস্থিত বলগুলি যথাক্রমে 240 এবং 19650 বল স্পর্শ করে। আশ্চর্যজনকভাবে, সংশ্লিষ্ট মাত্রার স্থানগুলির জন্য যোগাযোগের নম্বরগুলি ঠিক এটিই (বিন্দু 5 দেখুন)।

7.

এখন ত্রিমাত্রিক কেস এবং কেপলারের হাইপোথিসিসে ফিরে আসা যাক (যার কথা আমরা শুরুতেই বলেছিলাম)। এই কাজটি তার পূর্বসূরীদের তুলনায় বহুগুণ বেশি কঠিন হয়ে উঠেছে।

আসুন এই সত্যটি দিয়ে শুরু করি যে ষড়ভুজ ঘনত্বের মতো একই ঘনত্ব সহ অসীমভাবে অনেকগুলি প্যাকিং রয়েছে। ষড়ভুজ জালির নোডগুলিতে বিছানো বলগুলি থেকে শুরু করে আমরা এটিকে বিছিয়ে দিতে শুরু করেছি। তবে আপনি এটি ভিন্নভাবে করতে পারেন: উদাহরণস্বরূপ, প্রথম স্তরে, বলগুলিকে একটি বর্গাকারে ভাঁজ করুন, অর্থাৎ, যাতে বলের শীর্ষগুলি ইতিমধ্যে বর্গাকার জালির নোডগুলিতে অবস্থিত। এই ক্ষেত্রে, প্রতিটি বল চারটি প্রতিবেশীকে স্পর্শ করে। দ্বিতীয় স্তরটি, যেমন ষড়ভুজাকারের ক্ষেত্রে, প্রথম স্তরের বলের মধ্যে ফাঁকে উপরে থেকে স্থাপন করা হবে। যেমন একটি প্যাকেজ বলা হয় মুখ-কেন্দ্রিক ঘন প্যাকিং।যাইহোক, এটি মহাকাশে একমাত্র ঘনতম জালি প্যাকিং।

প্রথম নজরে, মনে হচ্ছে এই প্যাকিংটি আরও খারাপ হওয়া উচিত, কারণ প্রথম স্তরের চারটি বলের মধ্যে ফাঁকগুলি ষড়ভুজাকার ঘন প্যাকিংয়ের ফাঁক থেকে অনেক বেশি (সংবেদন অনুসারে)। কিন্তু, যখন আমরা দ্বিতীয় সারিতে রাখি, বলগুলি - অবিকল কারণ ফাঁকগুলি বড় - আরও গভীরে ডুবে যায়। ফলস্বরূপ, এটি সক্রিয় আউট হিসাবে, ঘনত্ব আগের মত একই। আসলে, অবশ্যই, কৌশলটি হল যে এই ধরনের একটি প্যাকিং পাওয়া যায় যদি কেউ একটি ভিন্ন কোণ থেকে ষড়ভুজকে দেখেন।

দেখা যাচ্ছে যে ত্রিমাত্রিক স্থানটিতে এমন সুন্দর অনন্য জালি নেই যেমন, একটি সমতলে ষড়ভুজ বা 8-মাত্রিক স্থানে E8। প্রথম নজরে, এটি সম্পূর্ণরূপে বোধগম্য যে কিভাবে ত্রিমাত্রিক স্থানের মধ্যে সবচেয়ে ঘন প্যাকিং অনুসন্ধান করা যায়।

8.

কেপলারের হাইপোথিসিসের সমাধানটি বেশ কয়েকটি পর্যায়ে জন্মগ্রহণ করেছিল।

প্রথমত, ফিয়েজ টোথ, একই হাঙ্গেরিয়ান যিনি একটি প্লেনে ঘন প্যাকিংয়ের সমস্যার সমাধান করেছিলেন, নিম্নলিখিত অনুমান প্রকাশ করেছিলেন: প্যাকিংটি ঘন কিনা তা বোঝার জন্য, বলগুলির সসীম ক্লাস্টারগুলি বিবেচনা করা যথেষ্ট। আমরা যেমন খুঁজে পেয়েছি, প্লেনের বিপরীতে, যদি কেন্দ্রীয় বলটি 12টি প্রতিবেশীকে স্পর্শ করে, তবে তাদের মধ্যে ফাঁক রয়েছে। অতএব, ফয়েশ টথ একটি কেন্দ্রীয় বল, এর প্রতিবেশী এবং প্রতিবেশীদের প্রতিবেশী সমন্বিত ক্লাস্টারগুলি অধ্যয়ন করার প্রস্তাব করেছিলেন।

জিনিসটি হল এই অনুমানটি গত শতাব্দীর 60 এর দশকে তৈরি হয়েছিল। এবং এই ধরনের ক্লাস্টারের ভলিউম মিনিমাইজ করার সমস্যা হল, আসলে, প্রায় 150 টি ভেরিয়েবলের ফাংশনের জন্য একটি ননলাইনার অপ্টিমাইজেশান সমস্যা (প্রতিটি বলের একটি কেন্দ্র আছে, এটি তিনটি স্থানাঙ্ক দ্বারা দেওয়া হয়)। মোটামুটিভাবে বলতে গেলে, এই ধরনের একটি ফাংশন কিছু অতিরিক্ত শর্তের অধীনে একটি সর্বনিম্ন খুঁজে বের করতে হবে। একদিকে, কাজটি সীমিত হয়ে গেছে, কিন্তু অন্যদিকে, এটি একজন ব্যক্তির জন্য গণনাগত দৃষ্টিকোণ থেকে সম্পূর্ণরূপে অসহনীয়। কিন্তু ফয়েশ টট বিচলিত হননি এবং বলেছিলেন যে খুব শীঘ্রই কম্পিউটারে প্রয়োজনীয় কম্পিউটিং শক্তি থাকবে। তারা সাহায্য করবে।

গণিতবিদরা ফেজেস টথের অনুমানকে খুব পছন্দ করেছিলেন এবং তারা এই দিকে সক্রিয়ভাবে কাজ শুরু করেছিলেন। 1990 এর দশকের শুরুতে, ত্রিমাত্রিক স্থানের গোলকের সর্বাধিক প্যাকিং ঘনত্বের অনুমান ধীরে ধীরে হ্রাস পেতে থাকে। ধারণাটি ছিল যে কোনও সময়ে অনুমান মুখ-কেন্দ্রিক ঘন প্যাকিংয়ের ঘনত্বের সমান হবে এবং তাই, কেপলারের অনুমান প্রমাণিত হবে। এই সময়ে, গণিতবিদ টমাস হেলস প্যাকিং এর উপর তার প্রথম গবেষণাপত্র প্রকাশ করেন। কাজের জন্য, তিনি Delaunay stars (সোভিয়েত গণিতবিদ বরিস Delaunay এর সম্মানে) নামে একটি বস্তু বেছে নেন। এটি একটি সাহসী পদক্ষেপ ছিল - সেই মুহুর্তে প্যাকিং সমস্যা অধ্যয়নের জন্য এই জাতীয় বস্তুর কার্যকারিতা সন্দেহজনক ছিল।

মাত্র 8 বছরের কঠোর পরিশ্রমের পর, 1998 সালে, হেলস কেপলার অনুমানের প্রমাণ সম্পূর্ণ করেন। তিনি প্রমাণটিকে কমিয়ে দেন ডেলাউনে তারার মতো বিভিন্ন কাঠামোর একটি সীমিত সমন্বিত গণনায়। এই ধরনের প্রতিটি সমন্বয়মূলক কাঠামোর জন্য, ঘনত্ব সর্বাধিক করা প্রয়োজন ছিল। যেহেতু কম্পিউটার সাধারনত শুধুমাত্র পূর্ণসংখ্যার সাথে কাজ করে (কেবল যে গণিতে সংখ্যাগুলি প্রায়শই অসীম ভগ্নাংশ হয়), প্রতিটি ক্ষেত্রে ডেলাউনে স্বয়ংক্রিয়ভাবে প্রতীকী মূলদ গণনা ব্যবহার করে উপরে থেকে একটি অনুমান তৈরি করেছেন (মূলদ সংখ্যা, সর্বোপরি, যদি আপনি তাদের দশমিকে অনুবাদ না করেন) ভগ্নাংশ, মাত্র কয়েকটি পূর্ণসংখ্যা)। এই আনুমানিকতার সাথে, তিনি সর্বাধিক ঘনত্বের জন্য একটি উচ্চ অনুমান পেয়েছেন। ফলস্বরূপ, সমস্ত অনুমান মুখ-কেন্দ্রিক কিউবিক প্যাকিং দ্বারা প্রদত্ত একের চেয়ে কম বলে প্রমাণিত হয়েছে।

অনেক গণিতবিদ, যাইহোক, একটি অনুমান নির্মাণের জন্য একটি কম্পিউটার তৈরি করা হয়েছিল এমন পরিস্থিতি দেখে বিভ্রান্ত হয়েছিলেন। প্রমাণের কম্পিউটারের অংশে তার কোন ত্রুটি ছিল না তা প্রমাণ করার জন্য, হেলস একটি কম্পিউটারের সাহায্যে আনুষ্ঠানিককরণ এবং যাচাইকরণের কাজটি গ্রহণ করেছিলেন। এই কাজটি, যা একটি মোটামুটি বড় আন্তর্জাতিক দল দ্বারা কাজ করা হয়েছিল, আগস্ট 2014 সালে সম্পন্ন হয়েছিল। প্রমাণে কোনো ত্রুটি পাওয়া যায়নি।

9.

8 এবং 24 মাত্রার প্রমাণের জন্য কম্পিউটারের প্রয়োজন হয় না এবং কিছুটা সহজ। কিছু সময় আগে, এই মাত্রাগুলিতে সর্বাধিক প্যাকিং ঘনত্ব অনুমান করার জন্য খুব ভাল অনুমান পাওয়া গিয়েছিল। এটি 2003 সালে গণিতবিদ কোহন এবং এলকিস দ্বারা করা হয়েছিল। যাইহোক, এই অনুমানটি (এটিকে কোহন-এলকিস সীমানাও বলা হয়) কয়েক বছর আগে কোহন এবং এলকিস নিজেই তুলা থেকে রাশিয়ান গণিতবিদ দিমিত্রি গর্বাচেভ খুঁজে পেয়েছিলেন। যাইহোক, তিনি এই কাজটি রাশিয়ান ভাষায় এবং একটি তুলা জার্নালে প্রকাশ করেছিলেন। কোহন এবং এলকিস এই কাজ সম্পর্কে জানতেন না, এবং যখন তাদের বলা হয়েছিল, তারা, যাইহোক, এটি উল্লেখ করেছিলেন।

"কোন-এলকিস সীমানাটি জিন ফ্রেডেরিক ডেলসার্ট এবং আমাদের বিস্ময়কর গণিতবিদ গ্রিগরি কাবাতিয়ানস্কি এবং ভ্লাদিমির লেভেনশটাইনের কাজের ভিত্তিতে উপস্থিত হয়েছিল। এন-ডাইমেনশনাল স্পেসে বলের প্যাকিংয়ের ঘনত্বের জন্য অ্যাসিম্পোটিক (স্পেস ডাইমেনশনের পরিপ্রেক্ষিতে) অনুমান, কাবাতিয়ানস্কি এবং লেভেনশটাইন দ্বারা প্রাপ্ত, 1978 সাল থেকে "অনুষ্ঠিত" হয়েছে। যাইহোক, এটি লেভেনশটাইন এবং স্বাধীনভাবে, আমেরিকান ওডলিজকো এবং স্লোন 1979 সালে 8 এবং 24 মাত্রায় যোগাযোগের নম্বরের সমস্যাটি সমাধান করেছিলেন। তারা সরাসরি Delsarte-Kabatyansky-Levenshtein পদ্ধতি ব্যবহার করেছে,” ওলেগ মুসিন বলেছেন।

কোহন এবং এলকিসের অনুমান প্রকৃতপক্ষে সমস্ত প্যাকিংয়ের জন্য সঠিক, তবে 8 এবং 24 মাত্রায় তারা খুব ভাল অনুমান দেয়। উদাহরণস্বরূপ, গণিতবিদদের অনুমান আটটি মাত্রায় E8 ঘনত্বের চেয়ে প্রায় 0.0001 শতাংশ বড়। অতএব, এই অনুমানটি উন্নত করার জন্য কাজটি উত্থাপিত হয়েছিল - সর্বোপরি, সমাধানটি মনে হবে, ইতিমধ্যেই কাছাকাছি। অধিকন্তু, 2012 সালে, একই দিমিত্রি গর্বাচেভ রাজবংশ ফাউন্ডেশন থেকে অনুদানের জন্য আবেদন করেছিলেন (এবং জিতেছিলেন)। আবেদনে, তিনি স্পষ্টভাবে বলেছেন যে তিনি আট-মাত্রিক স্থানে E8 এর প্যাকিং ঘনত্ব প্রমাণ করার পরিকল্পনা করেছিলেন।

তারা বলে যে আরেকজন গণিতবিদ, আন্দ্রেই বোন্ডারেঙ্কো, গর্বাচেভকে এমন সাহসী বিবৃতি দিতে প্ররোচিত করেছিলেন, আসলে, একজন পরামর্শদাতা, মেরিনা ভায়াজোভস্কায়ার বৈজ্ঞানিক তত্ত্বাবধায়কদের একজন, যিনি 8-মাত্রিক স্থানের সমস্যাটি সমাধান করেছিলেন (এবং সহ-লেখক) 24-মাত্রিক স্থান)। বন্ডারেঙ্কোকে তিনি তার যুগান্তকারী কাজের শেষে ধন্যবাদ জানান। সুতরাং, বোন্ডারেঙ্কো এবং গর্বাচেভ ব্যর্থ হয়েছেন, তবে ভ্যাজোভস্কায়া সফল হয়েছেন। কেন?

মেরিনা ভ্যাজোভস্কায়া

বার্লিনের হামবোল্ট বিশ্ববিদ্যালয়

কোহন-এলকিসের অনুমান একটি উপযুক্ত সেট থেকে কিছু ফাংশনের বৈশিষ্ট্যের সাথে প্যাকিং ঘনত্ব সম্পর্কিত। মোটামুটিভাবে বলতে গেলে, এই জাতীয় প্রতিটি ফাংশনের জন্য একটি অনুমান তৈরি করা হয়। অর্থাৎ, প্রধান কাজ হল একটি উপযুক্ত ফাংশন খুঁজে বের করা যাতে ফলস্বরূপ অনুমানটি আমাদের যা প্রয়োজন তা পরিণত হয়। সুতরাং, Vyazovskaya নির্মাণের মূল উপাদান হল মডুলার ফর্ম। আমরা ইতিমধ্যেই ফার্মাটের শেষ উপপাদ্যের প্রমাণ সম্পর্কিত তাদের উল্লেখ করেছি, যার জন্য . এটি একটি বরং প্রতিসম বস্তু যা ক্রমাগত গণিতের বিভিন্ন শাখায় উপস্থিত হয়। এই টুলকিটটিই কাঙ্খিত ফাংশনটি খুঁজে পাওয়া সম্ভব করেছিল।

24-মাত্রিক মহাকাশে, অনুমানটি একইভাবে প্রাপ্ত হয়েছিল। এই কাজের আরও লেখক আছে, তবে এটি Vyazovskaya এর একই কৃতিত্বের উপর ভিত্তি করে (যদিও, অবশ্যই, সামান্য অভিযোজিত)। যাইহোক, কাগজে আরেকটি উল্লেখযোগ্য তথ্য প্রমাণিত হয়েছে: লিচ জালি একটি অনন্য পর্যায়ক্রমিক ঘন প্যাকিং প্রয়োগ করে। অর্থাৎ, অন্যান্য সমস্ত পর্যায়ক্রমিক প্যাকিংয়ের ঘনত্ব এর চেয়ে কম। ওলেগ মুসিনের মতে, পর্যায়ক্রমিক প্যাকিংয়ের অনুরূপ ফলাফল 4 এবং 8 মাত্রায় সত্য হতে পারে।

10.

অ্যাপ্লিকেশনের দৃষ্টিকোণ থেকে, উচ্চ-মাত্রিক স্থানগুলিতে ঘন প্যাকিংয়ের সমস্যা হল, প্রথমত, ত্রুটি সংশোধন সহ সর্বোত্তম কোডিংয়ের সমস্যা।

কল্পনা করুন যে এলিস এবং বব রেডিও সংকেত ব্যবহার করে যোগাযোগ করার চেষ্টা করছেন। এলিস বলেছেন যে তিনি ববকে 24টি ভিন্ন ফ্রিকোয়েন্সি সমন্বিত একটি সংকেত পাঠাবেন। বব প্রতিটি ফ্রিকোয়েন্সির প্রশস্ততা পরিমাপ করবে। ফলস্বরূপ, তিনি 24 প্রশস্ততার একটি সেট পাবেন। তারা, অবশ্যই, 24-মাত্রিক স্থানে একটি বিন্দু সেট করে - সর্বোপরি, তাদের মধ্যে 24টি রয়েছে। বব এবং অ্যালিস, বলুন, একটি ডাহল অভিধান গ্রহণ করেন এবং প্রতিটি শব্দের নিজস্ব 24 প্রশস্ততার সেট নির্ধারণ করেন। দেখা যাচ্ছে যে আমরা ডাহলের অভিধান থেকে শব্দগুলিকে 24-মাত্রিক স্থানের পয়েন্ট সহ এনকোড করেছি।

একটি আদর্শ বিশ্বে, এর বেশি কিছুর প্রয়োজন নেই। কিন্তু বাস্তব ডেটা ট্রান্সমিশন চ্যানেলগুলি শব্দ যোগ করে, যার অর্থ হল ডিকোডিংয়ের সময়, বব এমন একটি প্রশস্ততার সেট পেতে পারে যা কোনও শব্দের সাথে মেলে না। কিন্তু তারপরে তিনি পাঠোদ্ধার সংস্করণের সবচেয়ে কাছের শব্দটি দেখতে পারেন। যদি একটি থাকে, তাহলে সম্ভবত এটি। সর্বদা এটি করতে সক্ষম হওয়ার জন্য, স্থানের পয়েন্টগুলি যতটা সম্ভব দূরে অবস্থিত হওয়া প্রয়োজন। অর্থাৎ, উদাহরণস্বরূপ, যদি গোলমালের মাত্রা এমন হয় যে একটি বিকৃতি প্রবর্তন করা হয় যা ফলাফলটিকে সর্বাধিক একটি দৈর্ঘ্যের ভেক্টর দ্বারা স্থানান্তরিত করে, তবে দুটি কোড পয়েন্ট অবশ্যই কমপক্ষে দুটি দূরে থাকতে হবে। তারপর, এমনকি বিকৃতির সাথেও, ববের ফলাফল সর্বদা একটি একক শব্দের কাছাকাছি থাকবে - যেটি প্রয়োজন।

একই সময়ে, আমি সত্যিই অনেক শব্দ স্ফীত করতে চাই না - আমাদের একটি বরং সীমিত পরিসর রয়েছে যেখানে আমরা তথ্য প্রেরণ করতে পারি। ধরা যাক এটা অদ্ভুত হবে (এবং খুব কার্যকর নয়) যদি অ্যালিস এবং বব এক্স-রেতে যোগাযোগ করতে শুরু করে। অতএব, আদর্শভাবে, সন্নিহিত কোড শব্দের মধ্যে দূরত্ব ঠিক দুটি হওয়া উচিত। এবং এর মানে হল যে শব্দগুলি 1 ব্যাসার্ধের বলের শীর্ষবিন্দুতে অবস্থিত, একটি 24-মাত্রিক স্থানে ঘনভাবে প্যাক করা।

আমি সম্প্রতি 3D দৃশ্যের জন্য একটি সাধারণ রে ট্রেসার তৈরি করেছি। এটি জাভাস্ক্রিপ্টে লেখা ছিল এবং খুব দ্রুত ছিল না। মজা করার জন্য, আমি C-তে একটি raytracer লিখেছি এবং এটিকে একটি 4D রেন্ডারিং মোড দিয়েছি - এই মোডে এটি একটি ফ্ল্যাট স্ক্রিনে একটি 4D দৃশ্য প্রজেক্ট করতে পারে। কাটের নিচে আপনি কিছু ভিডিও, কিছু ছবি এবং একটি রে ট্রেসার কোড পাবেন।

কেন একটি 4D দৃশ্য আঁকা একটি পৃথক প্রোগ্রাম লিখুন? আপনি একটি সাধারণ রশ্মি ট্রেসার নিতে পারেন, এটিতে একটি 4D দৃশ্য রাখতে পারেন এবং একটি আকর্ষণীয় ছবি পেতে পারেন, তবে এই ছবিটি মোটেও স্ক্রিনের পুরো দৃশ্যের অভিক্ষেপ হবে না। সমস্যা হল দৃশ্যটির 4টি মাত্রা রয়েছে এবং স্ক্রীনটি মাত্র 2টি, এবং যখন রে ট্রেসার স্ক্রীনের মধ্য দিয়ে রশ্মি নিক্ষেপ করে, তখন এটি শুধুমাত্র একটি 3-মাত্রিক সাবস্পেসকে কভার করে এবং একটি 4-মাত্রিক দৃশ্যের শুধুমাত্র একটি 3-মাত্রিক স্লাইস করবে। পর্দায় দৃশ্যমান হবে। একটি সাধারণ উপমা: একটি 1D সেগমেন্টে একটি 3D দৃশ্য প্রজেক্ট করার চেষ্টা করুন।

দেখা যাচ্ছে যে 2-মাত্রিক দৃষ্টি সহ একটি 3-মাত্রিক পর্যবেক্ষক পুরো 4-মাত্রিক দৃশ্য দেখতে পারে না - সর্বোত্তমভাবে, তিনি শুধুমাত্র একটি ছোট অংশ দেখতে পাবেন। এটি অনুমান করা যৌক্তিক যে 3-মাত্রিক দৃষ্টি সহ একটি 4-মাত্রিক দৃশ্যের দিকে তাকানো আরও সুবিধাজনক: একটি নির্দিষ্ট 4-মাত্রিক পর্যবেক্ষক কোনও বস্তুর দিকে তাকায় এবং তার 3-মাত্রিক অ্যানালগটিতে একটি 3-মাত্রিক অভিক্ষেপ তৈরি হয়। রেটিনা আমার প্রোগ্রাম রে এই 3D অভিক্ষেপ ট্রেস হবে. অন্য কথায়, আমার রে ট্রেসার একজন 4D পর্যবেক্ষক তাদের 3D দৃষ্টি দিয়ে যা দেখেন তা চিত্রিত করে।

3D দৃষ্টি বৈশিষ্ট্য

কল্পনা করুন যে আপনি কাগজের একটি বৃত্ত দেখছেন যা আপনার চোখের সামনে রয়েছে - এই ক্ষেত্রে, আপনি একটি বৃত্ত দেখতে পাবেন। আপনি যদি এই বৃত্তটি টেবিলে রাখেন, আপনি একটি উপবৃত্ত দেখতে পাবেন। আপনি যদি এই বৃত্তটিকে দূর থেকে দেখেন তবে এটি আরও ছোট দেখাবে। একইভাবে ত্রিমাত্রিক দৃষ্টির জন্য: একটি চার-মাত্রিক বল পর্যবেক্ষকের কাছে ত্রিমাত্রিক উপবৃত্তাকার হিসাবে উপস্থিত হবে। নীচে উদাহরণ একটি দম্পতি আছে. প্রথমটিতে, 4টি অভিন্ন পারস্পরিক লম্ব সিলিন্ডার ঘোরে। দ্বিতীয়টিতে, একটি 4-মাত্রিক ঘনকের ফ্রেমটি ঘোরে।

এর প্রতিফলন এগিয়ে চলুন. আপনি যখন একটি প্রতিফলিত পৃষ্ঠের সাথে একটি বল দেখেন (উদাহরণস্বরূপ, একটি ক্রিসমাস সজ্জা), প্রতিফলনটি গোলকের পৃষ্ঠে আঁকার মতো। এছাড়াও 3D দৃষ্টিভঙ্গির জন্য: আপনি একটি 4D বলের দিকে তাকাচ্ছেন এবং প্রতিফলনগুলি তার পৃষ্ঠের মতো আঁকা হয়েছে। শুধুমাত্র এখন একটি 4-মাত্রিক বলের পৃষ্ঠটি ত্রিমাত্রিক, তাই যখন আমরা বলের একটি 3-মাত্রিক অভিক্ষেপ দেখি, তখন প্রতিফলনগুলি ভিতরে থাকবে, পৃষ্ঠের উপর নয়। যদি আমরা রশ্মি ট্রেসারটিকে একটি মরীচি নির্গত করি এবং বলের 3D অভিক্ষেপের সাথে নিকটতম ছেদ খুঁজে পাই, তাহলে আমরা একটি কালো বৃত্ত দেখতে পাব - 3D অভিক্ষেপের পৃষ্ঠটি কালো হবে (এটি ফ্রেসনেল সূত্র থেকে অনুসরণ করে)। এটি এই মত দেখায়:

3D দৃষ্টিভঙ্গির জন্য, এটি একটি সমস্যা নয়, কারণ এটির জন্য পুরো 3D বলটি দৃশ্যমান এবং অভ্যন্তরীণ পয়েন্টগুলিও দৃশ্যমান এবং সেইসাথে পৃষ্ঠের অংশগুলিও দৃশ্যমান, তবে আমাকে এই প্রভাবটি একটি ফ্ল্যাট স্ক্রিনে প্রকাশ করতে হবে, তাই আমি একটি অতিরিক্ত তৈরি করেছি রে ট্রেসারের মোড যখন এটি বিবেচনা করে যে ত্রিমাত্রিক বস্তুগুলি ধোঁয়াটে: মরীচি তাদের মধ্য দিয়ে যায় এবং ধীরে ধীরে শক্তি হারায়। এটি এই মত দেখা যাচ্ছে:

ছায়াগুলির ক্ষেত্রেও এটি সত্য: তারা পৃষ্ঠের উপর পড়ে না, তবে 3D অনুমানগুলির ভিতরে পড়ে। দেখা যাচ্ছে যে একটি 3-মাত্রিক বলের ভিতরে - একটি 4-মাত্রিক বলের একটি অভিক্ষেপ - একটি 4-মাত্রিক ঘনকটির অভিক্ষেপের আকারে একটি অন্ধকার এলাকা হতে পারে, যদি এই ঘনকটি বলের উপর একটি ছায়া ফেলে। ফ্ল্যাট স্ক্রিনে এই প্রভাবটি কীভাবে প্রকাশ করা যায় তা আমি খুঁজে পাইনি।

অপ্টিমাইজেশান

একটি 4D দৃশ্য রেট্রেস করা একটি 3D দৃশ্যের চেয়ে বেশি কঠিন: 4D এর ক্ষেত্রে, আপনাকে একটি 3D এলাকার রঙ খুঁজে বের করতে হবে, একটি সমতল নয়। আপনি যদি "কপালে" একটি রে ট্রেসার লেখেন, তবে এর গতি অত্যন্ত কম হবে। কয়েকটি সাধারণ অপ্টিমাইজেশান রয়েছে যা একটি 1000x1000 চিত্রের রেন্ডারিং সময়কে কয়েক সেকেন্ডে কমিয়ে দিতে পারে।

এই ধরনের ছবি দেখার সময় প্রথম যে জিনিসটি আপনার চোখে পড়ে তা হল একগুচ্ছ কালো পিক্সেল। আপনি যদি সেই জায়গাটি চিত্রিত করেন যেখানে রশ্মি ট্রেসার বিম অন্তত একটি বস্তুকে আঘাত করে, তাহলে এটি দেখতে এরকম হবে:

এটি দেখা যায় যে আনুমানিক 70% কালো পিক্সেল, এবং সাদা এলাকা সংযুক্ত (এটি সংযুক্ত কারণ 4D দৃশ্য সংযুক্ত)। আপনি অর্ডারের বাইরে পিক্সেলের রঙগুলি গণনা করতে পারেন, তবে একটি সাদা পিক্সেল অনুমান করুন এবং এটি থেকে একটি পূরণ করুন৷ এটি শুধুমাত্র সাদা পিক্সেল + কয়েকটি কালো পিক্সেলের রেখা চিহ্নিত করবে যা সাদা এলাকার 1 পিক্সেল সীমানাকে প্রতিনিধিত্ব করে।

দ্বিতীয় অপ্টিমাইজেশানটি এই সত্য থেকে পাওয়া যায় যে পরিসংখ্যান - বল এবং সিলিন্ডারগুলি - উত্তল। এর মানে হল যে এই ধরনের একটি চিত্রের যেকোনো দুটি বিন্দুর জন্য, তাদের সংযোগকারী অংশটি সম্পূর্ণরূপে চিত্রের ভিতরে অবস্থিত। যদি রশ্মি একটি উত্তল বস্তুকে ছেদ করে, যখন বিন্দু A বস্তুর ভিতরে থাকে এবং বিন্দু B বাইরে থাকে, তাহলে B পাশ থেকে রশ্মির অবশিষ্টাংশ বস্তুটিকে ছেদ করবে না।

আরও কয়েকটি উদাহরণ

এখানে ঘনক্ষেত্র কেন্দ্রের চারপাশে ঘোরে। বলটি ঘনক্ষেত্রকে স্পর্শ করে না, তবে একটি 3D অভিক্ষেপে তারা ছেদ করতে পারে।

এই ভিডিওতে, ঘনকটি স্থির, এবং একটি 4-মাত্রিক পর্যবেক্ষক কিউবের মধ্য দিয়ে উড়ে যায়। যে 3-মাত্রিক ঘনকটি বড় বলে মনে হয় তা পর্যবেক্ষকের কাছাকাছি, এবং যেটি ছোট তা আরও দূরে।

নীচে 1-2 এবং 3-4 অক্ষের সমতলগুলিতে ধ্রুপদী ঘূর্ণন রয়েছে। এই ধরনের একটি ঘূর্ণন দুটি Givens ম্যাট্রিসের গুণফল দ্বারা দেওয়া হয়।

আমার রে ট্রেসার কিভাবে কাজ করে

কোডটি ANSI C 99 এ লেখা আছে। আপনি এটি ডাউনলোড করতে পারেন। আমি ICC+Windows এবং GCC+Ubuntu-এ পরীক্ষা করেছি।

প্রোগ্রামটি ইনপুট হিসাবে দৃশ্যের বর্ণনা সহ একটি পাঠ্য ফাইল গ্রহণ করে।

দৃশ্য = ( অবজেক্ট = -- দৃশ্যের অবজেক্টের তালিকা ( গ্রুপ -- অবজেক্টের গ্রুপে একটি অ্যাফাইন ট্রান্সফর্ম থাকতে পারে ( axiscyl1, axiscyl2, axiscyl3, axiscyl4 ) ), লাইট = -- আলোর তালিকা ( আলো((0.2, 0.1, 0.4, 0.7), 1), আলো((7, 8, 9, 10), 1), ) ) axiscylr = 0.1 -- সিলিন্ডার ব্যাসার্ধ axiscyl1 = সিলিন্ডার ( (-2, 0, 0, 0), ( 2, 0, 0, 0), axiscylr, উপাদান = (রঙ = (1, 0, 0))) axiscyl2 = সিলিন্ডার ( (0, -2, 0, 0), (0, 2, 0, 0), axiscylr, উপাদান = (রঙ = (0, 1, 0))) axiscyl3 = সিলিন্ডার ( (0, 0, -2, 0), (0, 0, 2, 0), axiscylr, উপাদান = (রঙ = (0) , 0, 1))) axiscyl4 = সিলিন্ডার ( (0, 0, 0, -2), (0, 0, 0, 2), axiscylr, উপাদান = (রঙ = (1, 1, 0)))

এর পরে, এটি এই বর্ণনাটি বিশ্লেষণ করে এবং এর অভ্যন্তরীণ উপস্থাপনায় একটি দৃশ্য তৈরি করে। স্থানের মাত্রার উপর নির্ভর করে, এটি দৃশ্যটিকে রেন্ডার করে এবং উপরের উদাহরণগুলির মতো একটি চার-মাত্রিক চিত্র বা একটি নিয়মিত ত্রিমাত্রিক চিত্র পায়। একটি 4D রে ট্রেসারকে একটি 3D রে ট্রেসারে পরিণত করতে, আপনাকে vector.h ফাইলে vec_dim প্যারামিটারটি 4 থেকে 3 পর্যন্ত পরিবর্তন করতে হবে। আপনি কম্পাইলারের জন্য কমান্ড লাইন প্যারামিটারেও এটি সেট করতে পারেন। GCC-তে কম্পাইল করা হচ্ছে:

সিডি/বাড়ি/ ব্যবহারকারীর নাম/আরটি/
gcc -lm -O3 *.c -o rt

টেস্ট রান:

/বাড়ি/ ব্যবহারকারীর নাম/rt/rt cube4d.scene cube4d.bmp

আপনি যদি vec_dim = 3 দিয়ে raytracer কম্পাইল করেন, তাহলে এটি cube3d.scene দৃশ্যের জন্য একটি নিয়মিত কিউব তৈরি করবে।

যেভাবে ভিডিওটি করা হয়েছে

এটি করার জন্য, আমি একটি লুয়া স্ক্রিপ্ট লিখেছিলাম যা প্রতিটি ফ্রেমের জন্য ঘূর্ণন ম্যাট্রিক্স গণনা করে এবং এটিকে রেফারেন্স দৃশ্যে যুক্ত করে।

অক্ষ = ( (0.933, 0.358, 0, 0), -- অক্ষ 1 (-0.358, 0.933, 0, 0), -- অক্ষ 2 (0, 0, 0.933, 0.358), -- অক্ষ 3 (0, 0) , -0.358, 0.933) -- অক্ষ 4 ) দৃশ্য = ( বস্তু = ( গ্রুপ ( অক্ষ = অক্ষ, অক্ষ 1, অক্ষ 2, অক্ষ 3, অক্ষ 4 ) ), )

গ্রুপ অবজেক্ট, অবজেক্টের তালিকা ছাড়াও, দুটি affine রূপান্তর পরামিতি আছে: অক্ষ এবং উত্স। অক্ষ পরিবর্তন করে, আপনি গ্রুপের সমস্ত বস্তু ঘোরাতে পারেন।

স্ক্রিপ্ট তারপর সংকলিত raytracer বলা হয়. যখন সমস্ত ফ্রেম রেন্ডার করা হয়, তখন স্ক্রিপ্টটিকে মেনকোডার বলা হয় এবং এটি পৃথক ছবি থেকে ভিডিও সংগ্রহ করে। ভিডিওটি এমনভাবে তৈরি করা হয়েছে যাতে এটি অটো-রিপিট-এ রাখা যায় - অর্থাৎ ভিডিওর শেষটাও শুরুর মতই। স্ক্রিপ্ট এই মত সঞ্চালিত হয়:

Luajit anmate.lua

এবং অবশেষে, এই আর্কাইভে 4টি avi ফাইল আছে 1000 × 1000। এগুলি সবই চক্রাকার - আপনি এটিকে স্বতঃ-পুনরাবৃত্তিতে রাখতে পারেন এবং আপনি একটি সাধারণ অ্যানিমেশন পাবেন৷

ট্যাগ:

• রে ট্রেসার
• চার-মাত্রিক স্থান

ট্যাগ যুক্ত

এমনকি আমি যখন প্রথম বর্ষের ছাত্র ছিলাম, তখনও আমার এক সহপাঠীর সঙ্গে আমার প্রচণ্ড ঝগড়া হয়েছিল। তিনি বলেছিলেন যে একটি চার-মাত্রিক ঘনককে কোনও আকারে উপস্থাপন করা যায় না এবং আমি আশ্বাস দিয়েছিলাম যে এটি বেশ স্পষ্টভাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। তারপরে আমি কাগজের ক্লিপগুলি থেকে আমাদের ত্রিমাত্রিক স্থানের উপর একটি হাইপারকিউবের একটি প্রজেকশনও তৈরি করেছি ... তবে আসুন সবকিছু সম্পর্কে কথা বলি।

একটি হাইপারকিউব এবং চার-মাত্রিক স্থান কি?

আমাদের অভ্যাসগত স্থান তিনটি মাত্রা আছে. জ্যামিতিক দৃষ্টিকোণ থেকে, এর অর্থ হল তিনটি পারস্পরিক লম্ব রেখা এতে নির্দেশিত হতে পারে। অর্থাৎ, যেকোনো রেখার জন্য, আপনি প্রথমটির সাথে লম্ব একটি দ্বিতীয় লাইন খুঁজে পেতে পারেন, এবং একটি জোড়ার জন্য, আপনি প্রথম দুটির সাথে লম্ব একটি তৃতীয় লাইন খুঁজে পেতে পারেন। বিদ্যমান তিনটির সাথে লম্বভাবে চতুর্থ সরলরেখাটি খুঁজে পাওয়া আর সম্ভব হবে না।

4D স্থানআমাদের থেকে আলাদা যে এটির আরও একটি অতিরিক্ত দিক রয়েছে৷ আপনার যদি ইতিমধ্যে তিনটি পারস্পরিক লম্ব রেখা থাকে, তাহলে আপনি চতুর্থটি খুঁজে পেতে পারেন, যেমন এটি তিনটির সাথেই লম্ব হবে।

হাইপারকিউবএটি চার মাত্রার একটি ঘনক মাত্র।

একটি চার-মাত্রিক স্থান এবং একটি হাইপারকিউব কল্পনা করা কি সম্ভব?

এই প্রশ্নটি প্রশ্নের অনুরূপ: "লিওনার্দো দা ভিঞ্চির (1452-1519) একই নামের (1495-1498) চিত্রটি দেখে কি লাস্ট সাপার কল্পনা করা সম্ভব?"

একদিকে, অবশ্যই, আপনি যীশু যা দেখেছিলেন তা কল্পনাও করতে পারবেন না (তিনি দর্শকের দিকে বসে আছেন), বিশেষত যেহেতু আপনি জানালার বাইরে বাগানের গন্ধ পাবেন না এবং টেবিলে খাবারের স্বাদ পাবেন না, আপনি পাখির ডাক শুনতে পাবেন না। singing... আপনি সেই সন্ধ্যায় কী ঘটেছিল তার একটি সম্পূর্ণ ছবি পাবেন না, তবে এটা বলা যাবে না যে আপনি নতুন কিছু শিখবেন না এবং ছবিটির কোনো আগ্রহ নেই।

হাইপারকিউবের প্রশ্নের সাথে পরিস্থিতি একই রকম। এটি সম্পূর্ণরূপে কল্পনা করা অসম্ভব, তবে আপনি এটি কী তা বোঝার কাছাকাছি যেতে পারেন।

একটি হাইপারকিউব তৈরি করা

0-মাত্রিক ঘনক

শুরু থেকে শুরু করা যাক - একটি 0-মাত্রিক ঘনক দিয়ে। এই ঘনক্ষেত্রে 0টি পারস্পরিক লম্ব মুখ রয়েছে, অর্থাৎ এটি একটি বিন্দু মাত্র।

1-মাত্রিক ঘনক

এক-মাত্রিক মহাকাশে, আমাদের শুধুমাত্র একটি দিক আছে। আমরা এই দিকে বিন্দু স্থানান্তর এবং একটি সেগমেন্ট পেতে.

এটি একটি ওয়ান ডাইমেনশনাল কিউব।

2 ডাইমেনশনাল কিউব

আমাদের একটি দ্বিতীয় মাত্রা আছে, আমরা আমাদের এক-মাত্রিক ঘনক্ষেত্র (সেগমেন্ট) দ্বিতীয় মাত্রার দিকে স্থানান্তরিত করি এবং একটি বর্গ পেতে পারি।

এটি দুটি মাত্রার একটি ঘনক।

3 ডাইমেনশনাল কিউব

তৃতীয় মাত্রার আবির্ভাবের সাথে, আমরা একই কাজ করি: আমরা বর্গক্ষেত্রটি স্থানান্তরিত করি এবং স্বাভাবিক ত্রিমাত্রিক ঘনক পাই।

4-মাত্রিক ঘনক (হাইপারকিউব)

এখন আমরা একটি চতুর্থ মাত্রা আছে. অর্থাৎ, আমাদের কাছে পূর্ববর্তী তিনটির জন্য লম্ব একটি দিক রয়েছে। এর একই ভাবে ব্যবহার করা যাক. 4D কিউব দেখতে এরকম হবে।

স্বাভাবিকভাবেই, ত্রিমাত্রিক এবং চার-মাত্রিক ঘনকগুলি দ্বি-মাত্রিক পর্দার প্লেনে চিত্রিত করা যায় না। আমি যা আঁকলাম তা হল অনুমান। আমরা একটু পরে অনুমান সম্পর্কে কথা বলব, কিন্তু আপাতত, কয়েকটি বেয়ার তথ্য এবং পরিসংখ্যান।

শীর্ষবিন্দু, প্রান্ত, মুখের সংখ্যা

উল্লেখ্য যে হাইপারকিউবের মুখটি আমাদের নিয়মিত 3D কিউব। আপনি যদি হাইপারকিউবের অঙ্কনটি ঘনিষ্ঠভাবে দেখেন তবে আপনি আসলে আটটি ঘনক খুঁজে পেতে পারেন।

চার-মাত্রিক স্থানের বাসিন্দাদের অনুমান এবং দৃষ্টি

দৃষ্টি সম্পর্কে কয়েকটি শব্দ

আমরা একটি ত্রিমাত্রিক বিশ্বে বাস করি, তবে আমরা এটিকে দ্বিমাত্রিক হিসাবে দেখি। এটি এই কারণে যে আমাদের চোখের রেটিনা একটি সমতলে অবস্থিত যার মাত্র দুটি মাত্রা রয়েছে। এই কারণেই আমরা দ্বি-মাত্রিক ছবি উপলব্ধি করতে পারি এবং বাস্তবের সাথে মিল খুঁজে পাই।

(অবশ্যই, বাসস্থানের জন্য ধন্যবাদ, চোখ একটি বস্তুর দূরত্ব অনুমান করতে পারে, তবে এটি ইতিমধ্যেই আমাদের চোখে নির্মিত অপটিক্সের সাথে সম্পর্কিত একটি পার্শ্ব প্রতিক্রিয়া।)

চার-মাত্রিক স্থানের বাসিন্দাদের চোখের একটি ত্রিমাত্রিক রেটিনা থাকতে হবে। এই জাতীয় প্রাণী অবিলম্বে একটি ত্রিমাত্রিক চিত্র সম্পূর্ণরূপে দেখতে পারে: এর সমস্ত মুখ এবং ভিতরে। (একইভাবে, আমরা একটি দ্বি-মাত্রিক চিত্র দেখতে পাচ্ছি, এর সমস্ত মুখ এবং ভিতরে।)

এইভাবে, আমাদের দৃষ্টির অঙ্গগুলির সাহায্যে, আমরা একটি চার-মাত্রিক ঘনককে একইভাবে উপলব্ধি করতে পারি না যেভাবে একটি চার-মাত্রিক স্থানের বাসিন্দারা এটি উপলব্ধি করতে পারে। হায় হায়। এটা শুধুমাত্র মনের চোখ এবং ফ্যান্টাসি উপর নির্ভর করা অবশেষ, যা, ভাগ্যক্রমে, কোন শারীরিক সীমাবদ্ধতা আছে.

যাইহোক, একটি সমতলে একটি হাইপারকিউব চিত্রিত করার সময়, আমাকে এটিকে একটি দ্বি-মাত্রিক স্থানের উপর প্রজেক্ট করতে হবে। অঙ্কন অধ্যয়ন করার সময় এটি মনে রাখবেন।

প্রান্ত ছেদ

স্বাভাবিকভাবেই, হাইপারকিউবের প্রান্তগুলি ছেদ করে না। ছেদ শুধুমাত্র পরিসংখ্যান প্রদর্শিত. যাইহোক, এটি একটি বিস্ময়কর হিসাবে আসা উচিত নয়, কারণ পরিসংখ্যানগুলিতে একটি সাধারণ ঘনক্ষেত্রের প্রান্তগুলিও ছেদ করে।

পাঁজরের দৈর্ঘ্য

এটি লক্ষণীয় যে চার-মাত্রিক ঘনকের সমস্ত মুখ এবং প্রান্ত সমান। চিত্রে, তারা সমান নয় কারণ তারা দৃশ্যের দিক থেকে বিভিন্ন কোণে অবস্থিত। যাইহোক, হাইপারকিউবকে উন্মোচন করা সম্ভব যাতে সমস্ত অনুমান একই দৈর্ঘ্য থাকে।

যাইহোক, এই চিত্রটিতে আটটি কিউব স্পষ্টভাবে দৃশ্যমান, যা হাইপারকিউবের মুখ।

হাইপারকিউব ভিতরে খালি

এটা বিশ্বাস করা কঠিন, কিন্তু যে ঘনক্ষেত্রগুলি হাইপারকিউবকে আবদ্ধ করে, তার মধ্যে কিছু স্থান (চার-মাত্রিক স্থানের একটি খণ্ড) আছে।

এটি আরও ভালভাবে বোঝার জন্য, আসুন একটি সাধারণ 3D কিউবের একটি 2D প্রজেকশন দেখি (আমি ইচ্ছাকৃতভাবে এটিকে কিছুটা স্কেচি করেছি)।

এটা থেকে অনুমান করা সম্ভব যে ঘনক্ষেত্রের ভিতরে কিছু স্থান আছে? হ্যাঁ, তবে শুধুমাত্র কল্পনা দিয়ে। চোখ এই স্থান দেখতে পায় না।

এর কারণ হল তৃতীয় মাত্রায় অবস্থিত প্রান্তগুলি (যা সমতল অঙ্কনে চিত্রিত করা যায় না) এখন অঙ্কনের সমতলে থাকা অংশে পরিণত হয়েছে৷ তারা আর ভলিউম প্রদান করে না।

যে বর্গক্ষেত্রগুলি ঘনকের স্থানকে আবদ্ধ করে তারা একে অপরকে ওভারল্যাপ করে। কিন্তু আপনি কল্পনা করতে পারেন যে আসল চিত্রে (ত্রিমাত্রিক ঘনক) এই স্কোয়ারগুলি বিভিন্ন সমতলে অবস্থিত ছিল এবং একই সমতলে একটির উপরে একটি নয়, যেমনটি চিত্রটিতে দেখা গেছে।

হাইপারকিউবের ক্ষেত্রেও একই কথা। হাইপারকিউবের কিউব-ফেসগুলি আসলে ওভারল্যাপ করে না, যেমনটি আমাদের কাছে অভিক্ষেপে মনে হয়, তবে চার-মাত্রিক স্থানে অবস্থিত।

রিমার্স

সুতরাং, ফোর-ডাইমেনশনাল স্পেসের একজন বাসিন্দা সব দিক থেকে একই সাথে ত্রিমাত্রিক বস্তু দেখতে পারেন। আমরা কি একই সময়ে সব দিক থেকে একটি ত্রিমাত্রিক ঘনক দেখতে পারি? চোখ দিয়ে, না. কিন্তু মানুষ একটি সমতল অঙ্কনে একই সময়ে একটি ত্রিমাত্রিক ঘনকের সমস্ত মুখ চিত্রিত করার উপায় নিয়ে এসেছে। এই ধরনের একটি চিত্র একটি ঝাড়ু বলা হয়।

একটি 3D ঘনক উন্মোচন

সবাই সম্ভবত জানেন কিভাবে একটি ত্রিমাত্রিক ঘনক তৈরি হয়। এই প্রক্রিয়াটি অ্যানিমেশনে দেখানো হয়েছে।

স্বচ্ছতার জন্য, ঘনক্ষেত্রের মুখের প্রান্তগুলি স্বচ্ছ করা হয়।

এটা লক্ষ করা উচিত যে আমরা এই দ্বি-মাত্রিক চিত্রটি শুধুমাত্র কল্পনার জন্যই উপলব্ধি করতে সক্ষম। যদি আমরা বিশুদ্ধভাবে দ্বি-মাত্রিক দৃষ্টিকোণ থেকে উন্মোচনের পর্যায়গুলি বিবেচনা করি, তবে প্রক্রিয়াটি অদ্ভুত বলে মনে হবে এবং একেবারেই দৃশ্যমান নয়।

এটি প্রথমে বিকৃত বর্গক্ষেত্রগুলির রূপরেখাগুলির ধীরে ধীরে উপস্থিতির মতো দেখায় এবং তারপরে প্রয়োজনীয় আকারের যুগপত গ্রহণের সাথে তাদের জায়গায় ছড়িয়ে পড়ে।

আপনি যদি একটি মুখের দিকে একটি উন্মোচিত ঘনক্ষেত্রের দিকে তাকান (এই দৃষ্টিকোণ থেকে, ঘনক্ষেত্রটি একটি বর্গক্ষেত্রের মতো দেখায়), তবে একটি বিকাশ গঠনের প্রক্রিয়াটি আরও কম স্পষ্ট। সবকিছু প্রাথমিক বর্গক্ষেত্র থেকে স্কোয়ারের বাইরে হামাগুড়ি দেওয়ার মতো দেখায় (একটি খোলা কিউব নয়)।

কিন্তু চাক্ষুষ নয়শুধুমাত্র জন্য ঝাড়ু চোখ.

4-মাত্রিক স্থান কিভাবে বুঝবেন?

শুধু কল্পনার জন্য ধন্যবাদ, এটি থেকে অনেক তথ্য সংগ্রহ করা যেতে পারে।

একটি 4D ঘনক উন্মোচন

হাইপারকিউব উদ্ঘাটনের অ্যানিমেটেড প্রক্রিয়াটি অন্তত কিছুটা চাক্ষুষ করা সহজভাবে অসম্ভব। কিন্তু এই প্রক্রিয়াটি কল্পনা করা যেতে পারে। (এটি করার জন্য, আপনাকে এটিকে চার-মাত্রিক সত্তার চোখ দিয়ে দেখতে হবে।)

বিস্তার এই মত দেখায়.

হাইপারকিউবকে আবদ্ধ করা আটটি কিউব এখানে দৃশ্যমান।

মুখগুলি একই রং দিয়ে আঁকা হয়, যা ভাঁজ করার সময় সারিবদ্ধ হওয়া উচিত। যে মুখগুলির জন্য জোড়াগুলি দৃশ্যমান নয় সেগুলি ধূসর থাকে৷ ভাঁজ করার পরে, উপরের কিউবের উপরের মুখটি নীচের ঘনক্ষেত্রের নীচের মুখের সাথে সারিবদ্ধ হওয়া উচিত। (একইভাবে, একটি ত্রিমাত্রিক ঘনকের বিকাশ ধসে পড়ে।)

অনুগ্রহ করে মনে রাখবেন যে ভাঁজ করার পরে, আটটি কিউবের সমস্ত মুখ সংস্পর্শে আসবে, হাইপারকিউব বন্ধ করে দেবে। এবং অবশেষে, ভাঁজ করার প্রক্রিয়াটি উপস্থাপন করার সময়, ভুলে যাবেন না যে ভাঁজ করার সময়, কিউবগুলি সুপারইম্পোজ করা হয় না, তবে তারা একটি নির্দিষ্ট (হাইপারকিউবিক) চার-মাত্রিক এলাকার চারপাশে মোড়ানো থাকে।

সালভাদর ডালি (1904-1989) ক্রুশবিদ্ধকরণকে বহুবার চিত্রিত করেছেন, এবং ক্রুশগুলি তার অনেক চিত্রে দেখা যায়। The Crucifixion (1954) চিত্রটিতে একটি হাইপারকিউব সুইপ ব্যবহার করা হয়েছে।

স্থান-কাল এবং ইউক্লিডীয় চার-মাত্রিক স্থান

আমি আশা করি আপনি হাইপারকিউব কল্পনা করতে পেরেছেন। কিন্তু আপনি কি চার-মাত্রিক স্থান-কাল যেখানে আমরা বাস করি তা কীভাবে কাজ করে তা বোঝার কাছাকাছি যেতে পেরেছেন? হায়, সত্যিই না.

এখানে আমরা ইউক্লিডীয় চার-মাত্রিক স্থান সম্পর্কে কথা বলেছি, তবে স্থান-কালের বৈশিষ্ট্যগুলি খুব আলাদা। বিশেষ করে, যেকোনো ঘূর্ণনে, অংশগুলি সর্বদা সময় অক্ষের দিকে ঝুঁকে থাকে, হয় 45 ডিগ্রির কম কোণে বা 45 ডিগ্রির বেশি কোণে।

আমি স্থান-কালের বৈশিষ্ট্যগুলিতে নোটের একটি সিরিজ উৎসর্গ করেছি।

3D চিত্র

পৃথিবী ত্রিমাত্রিক। এর চিত্র দ্বিমাত্রিক। পেইন্টিং এবং এখন ফটোগ্রাফির একটি গুরুত্বপূর্ণ কাজ হল স্থানের ত্রিমাত্রিকতা প্রকাশ করা। রোমানরা ইতিমধ্যে কিছু কৌশল আয়ত্ত করেছিল, তারপরে তারা ভুলে গিয়েছিল এবং রেনেসাঁর সাথে ক্লাসিক্যাল পেইন্টিংয়ে ফিরে আসতে শুরু করেছিল।

পেইন্টিংয়ে ত্রিমাত্রিক স্থান তৈরির প্রধান কৌশল হল দৃষ্টিকোণ। রেলওয়ের রেল, দর্শকের কাছ থেকে দূরে সরে যাচ্ছে, দৃশ্যত সরু। পেইন্টিং, রেল শারীরিকভাবে সংকীর্ণ করা যেতে পারে. ফটোগ্রাফিতে, দৃষ্টিভঙ্গি স্বয়ংক্রিয়ভাবে উত্থিত হয়: ক্যামেরা রেলগুলিকে যতটা সরু করে দেখবে ততই সরু হবে। যাইহোক, এটি প্রায় বন্ধ হতে দেবেন না: এটি আর একটি দৃষ্টিকোণ মত দেখাবে না, কিন্তু একটি অদ্ভুত চিত্র; রেলের মধ্যে, রাস্তার পাশে, নদীর তীরে, একটি লক্ষণীয় ফাঁক বজায় রাখতে হবে।

এটা বোঝা গুরুত্বপূর্ণ যে রৈখিক দৃষ্টিকোণ হল বিশ্বকে বোঝানোর সবচেয়ে আদিম, বাস্তবসম্মত উপায়।

পোস্ট পরিভ্রমন

এটা কোন কাকতালীয় নয় যে তার চেহারা থিয়েটারের দৃশ্যের সাথে যুক্ত (ফ্লোরেনস্কি, বিপরীত দৃষ্টিকোণ)। প্রচলিততা, ছোট গভীরতার একটি থিয়েটার দৃশ্যের স্থানান্তরের সহজতা ফটোগ্রাফির জন্য খুব উপযুক্ত, পেইন্টিং-এ উপলব্ধ বিভিন্ন কৌশল ছাড়াই।

এমন দৃষ্টিকোণ রয়েছে যা রৈখিক থেকে অনেক বেশি আকর্ষণীয়। চীনা প্রভুদের কাজগুলিতে একটি ভাসমান দৃষ্টিভঙ্গি রয়েছে, যখন বস্তুগুলিকে নীচে, উপরে এবং সামনে থেকে একই সাথে চিত্রিত করা হয়। এটি অযোগ্য শিল্পীদের একটি প্রযুক্তিগত ভুল ছিল না: এই কৌশলটির কিংবদন্তি লেখক, গুও শি, লিখেছেন যে এই জাতীয় প্রদর্শন একজনকে তার সমগ্রতায় বিশ্বকে উপলব্ধি করতে দেয়। রাশিয়ান আইকন পেইন্টিংয়ের কৌশলটি একই রকম, যেখানে দর্শক একই সময়ে চরিত্রের মুখ এবং পিছনে দেখতে পারে। আইকন পেইন্টিংয়ের একটি আকর্ষণীয় পদ্ধতি, যা পশ্চিম ইউরোপীয় শিল্পীদের মধ্যেও পাওয়া যায়, এটি ছিল বিপরীত দৃষ্টিভঙ্গি, যেখানে দূরবর্তী বস্তুগুলি, বিপরীতে, তাদের গুরুত্বের উপর জোর দেয়, ঘনিষ্ঠ বস্তুর চেয়ে বড়। শুধুমাত্র আমাদের দিনে এটি প্রতিষ্ঠিত হয়েছে যে এই ধরনের একটি দৃষ্টিকোণ সঠিক: দূরবর্তী বস্তুর বিপরীতে, অগ্রভাগ সত্যিই বিপরীত দৃষ্টিকোণে অনুভূত হয় (রাউশেনবাচ)। ফটোশপ ব্যবহার করে, আপনি ব্যাকগ্রাউন্ড অবজেক্ট ম্যাগনিফাই করে বিপরীত দৃষ্টিকোণ অর্জন করতে পারেন। ফটোগ্রাফির আইনে অভ্যস্ত একজন দর্শকের জন্য, এই জাতীয় চিত্রটি অদ্ভুত দেখাবে।

ফ্রেমের মধ্যে বিল্ডিংয়ের কোণার প্রবর্তন, যেখান থেকে দেয়ালগুলি উভয় দিক থেকে বিচ্ছিন্ন হয়ে যায়, একটি আইসোমেট্রিক দৃষ্টিকোণের একটি চিহ্ন তৈরি করে। মস্তিষ্ক বুঝতে পারে যে দেয়ালগুলি সঠিক কোণে রয়েছে এবং সেই অনুযায়ী বাকি চিত্রটি তৈরি করে। এই ধরনের দৃষ্টিকোণ সম্মুখের চেয়ে বেশি গতিশীল এবং অগ্রভাগের জন্য আরও স্বাভাবিক। ফ্রেমে শুধু বস্তুর শেষ কোণ এবং ঘনিষ্ঠভাবে ব্যবধানযুক্ত বিল্ডিং প্রবেশ করুন।

প্রসারণের কারণে, আইসোমেট্রিক দৃষ্টিকোণটি প্রধান, যা একটি ধ্রুপদী প্রতিকৃতির জন্য খুব কমই উপযুক্ত। রৈখিক দৃষ্টিভঙ্গি, সংকীর্ণতার কারণে, ছোটোখাটো আবেগকে আরও ভালভাবে প্রকাশ করে।

শুটিং পর্যায়ে, দৃষ্টিকোণকে জোর দেওয়ার জন্য ফটোগ্রাফারের কাছে অনেকগুলি সরঞ্জাম উপলব্ধ। সমান প্রস্থের বস্তুগুলি (ট্র্যাক, রাস্তা, কলাম, চূড়া) যেগুলি দূরত্বে যায়, তাদের সংকীর্ণ এবং এমনকি সরে যাওয়ার মাধ্যমে, দর্শককে স্থানের ত্রিমাত্রিকতা নির্দেশ করে। দৃষ্টিকোণ বিকৃতি বাড়ানোর জন্য কম কোণ থেকে শুটিং করার সময় প্রভাবটি শক্তিশালী হয়। এই আড়াআড়ি শুটিং জন্য যথেষ্ট, কিন্তু অভ্যন্তরীণ শুটিং একটি ছোট ইমেজ গভীরতা সঙ্গে, প্রভাব কমই লক্ষণীয়। ইমেজের উপরের অংশকে সংকুচিত করে পোস্ট-প্রসেসিংয়ে এটিকে কিছুটা উন্নত করা যেতে পারে (ট্রান্সফর্ম দৃষ্টিকোণ)। যাইহোক, এমনকি একটি ল্যান্ডস্কেপে, একটি হাইপারট্রফিড দৃষ্টিকোণ আকর্ষণীয় দেখতে পারে।

গভীরতা চিত্রের অর্থে স্পষ্ট হতে পারে: বিল্ডিংগুলি একটি রাস্তা বা নদী দ্বারা পৃথক করা হয়। তির্যকটি ত্রিমাত্রিকতার উপর জোর দেয়; নদীর উপর সেতুর মত।

পটভূমিতে দর্শকের কাছে পরিচিত একটি আকারের বস্তু স্কেল সেট করে এবং সেই অনুযায়ী, দৃষ্টিকোণ গঠন করে। ল্যান্ডস্কেপ ফটোগ্রাফিতে, এই জাতীয় বিষয় একটি গাড়ি হতে পারে, তবে প্রতিকৃতি ফটোগ্রাফিতে, চেয়ারের নীচে আপনার পা বাঁকানোর চেষ্টা করুন (ক্যামেরা থেকে দূরে) যাতে এটি দৃশ্যমান থাকা অবস্থায় ছোট মনে হয়। আপনি এমনকি পোস্ট-প্রসেসিংয়ে এই লেগটি কিছুটা কমাতে পারেন।

অলঙ্কারটি দৃশ্যত উপাদানগুলিকে হ্রাস করে দৃষ্টিভঙ্গি প্রকাশ করে। একটি উদাহরণ মেঝে বড় টাইলস, রাস্তায় লাইন চিহ্নিত করা হবে.

হাইপারট্রফিড ফোরগ্রাউন্ডের একটি কৌশল রয়েছে। অসামঞ্জস্যপূর্ণভাবে বড়, এটি চিত্রের গভীরতা তৈরি করে। ফোরগ্রাউন্ড এবং মডেলের স্কেল তুলনা করে, চোখ উপসংহারে পৌঁছেছে যে মডেলটি যতটা দেখা যাচ্ছে তার থেকে অনেক দূরে। হাইপারট্রফি সূক্ষ্ম থাকা উচিত যাতে চিত্রটি একটি ত্রুটি হিসাবে অনুভূত না হয়। এই কৌশলটি শুধুমাত্র পোস্ট-প্রসেসিংয়ের জন্যই নয়, শুটিংয়ের জন্যও উপযুক্ত: 35 বা 50 মিমি লেন্স দিয়ে শুটিং করার সময় অনুপাতকে বিকৃত করুন। একটি ওয়াইড-এঙ্গেল লেন্স দিয়ে শুটিং স্থানকে প্রসারিত করে, অনুপাত লঙ্ঘনের কারণে এর ত্রিমাত্রিকতা বাড়ায়। আপনি যদি মডেলটিকে কাছাকাছি পরিসরে শুট করেন তবে প্রভাবটি আরও শক্তিশালী, তবে অদ্ভুত অনুপাত থেকে সাবধান থাকুন: শুধুমাত্র ধর্মীয় চিত্রের লেখকরা একটি বিল্ডিংয়ের চেয়ে বড় ব্যক্তিকে চিত্রিত করতে পারেন।

ক্রসওভার দুর্দান্ত কাজ করে। আপেল যদি নাশপাতিকে আংশিকভাবে ঢেকে রাখে, তাহলে মস্তিষ্কের ভুল হবে না: আপেলটি নাশপাতির সামনে রয়েছে। মডেল, যা আংশিকভাবে আসবাবপত্র কভার করে, এইভাবে অভ্যন্তরের গভীরতা তৈরি করে।

আলো এবং অন্ধকার দাগের পরিবর্তনও ছবিটিকে গভীরতা দেয়। মস্তিষ্ক অভিজ্ঞতা থেকে জানে যে আশেপাশের বস্তুগুলি প্রায় সমানভাবে আলোকিত হয়, তাই এটি ভিন্নভাবে আলোকিত বস্তুকে বিভিন্ন দূরত্বে থাকা হিসাবে ব্যাখ্যা করে। এই প্রভাবের জন্য, দাগগুলি দৃষ্টিকোণ অক্ষের দিক থেকে বিকল্প হয় - চিত্রের গভীরে, এটি জুড়ে নয়। উদাহরণস্বরূপ, একটি অন্ধকার ফ্রেমে ক্যামেরা থেকে দূরে থাকা একটি মডেলের শুটিং করার সময়, নিতম্বের কাছে এবং পায়ের কাছে আলোর হাইলাইটগুলি রাখুন৷ আপনি পোস্ট-প্রসেসিংয়ে এলাকাগুলোকে হালকা/অন্ধকার করতে পারেন।

ক্রমবর্ধমান অন্ধকার বস্তুর একটি উত্তরাধিকার হ্রাস করা অনুভূত হয়. ক্রমান্বয়ে সক্রিয় লাইন বরাবর বস্তুর ছায়া দিয়ে, আপনি দৃষ্টিভঙ্গির একটি সূক্ষ্ম অনুভূতি পেতে পারেন। একইভাবে, গভীরতা কমিয়ে আলোর মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়: আসবাবপত্রের উপর বা মেঝেতে আলোর ধারা চালান।

একটি ত্রিমাত্রিক ইমেজ শুধুমাত্র আলোর কারণে নয়, রঙের বৈসাদৃশ্যের কারণেও পাওয়া যেতে পারে। এই কৌশলটি ফ্লেমিশ চিত্রশিল্পীদের কাছে পরিচিত ছিল, যারা তাদের স্থির জীবনে উজ্জ্বল রঙের দাগ রেখেছিল। লাল ডালিম এবং হলুদ লেবু পাশাপাশি ফ্ল্যাট ফ্রন্টাল লাইটিংয়েও ত্রিমাত্রিক দেখাবে। তারা বেগুনি আঙ্গুরের পটভূমির বিরুদ্ধে বিশেষভাবে ভালভাবে দাঁড়াবে: একটি ঠান্ডা পটভূমির বিরুদ্ধে একটি উষ্ণ রঙ। উজ্জ্বল রঙের পৃষ্ঠগুলি স্থির জীবনের বৈশিষ্ট্যগত দুর্বল আলোর সাথেও অন্ধকার থেকে ভালভাবে বেরিয়ে আসে। রঙের বৈসাদৃশ্য প্রাথমিক রং লাল, হলুদ, নীল, আভা না দিয়ে ভালো কাজ করে।

একটি কালো পটভূমিতে, হলুদ এগিয়ে আসে, নীল পিছনে লুকায়। একটি সাদা পটভূমিতে - বিপরীতে। রঙ স্যাচুরেশন এই প্রভাব বাড়ায়। এটি কেন ঘটছে? হলুদ রঙ কখনও গাঢ় হয় না, তাই মস্তিষ্ক বিশ্বাস করতে অস্বীকার করে যে একটি হলুদ বস্তু অন্ধকার পটভূমিতে নিমজ্জিত হতে পারে, আলোকিত নয়। অন্যদিকে, নীল অন্ধকার।

পোস্ট-প্রসেসিং-এ পরিপ্রেক্ষিত বর্ধিতকরণ বায়ুমণ্ডলীয় উপলব্ধির অনুকরণে নেমে আসে: দূরের বস্তুগুলি আমাদের কাছে হালকা, ঝাপসা, উজ্জ্বলতা, স্যাচুরেশন এবং টোনে কম বৈসাদৃশ্যের সাথে মনে হয়।

দীর্ঘ দূরত্ব ছাড়াও, বায়ুমণ্ডলীয় প্রভাব স্বাভাবিকভাবেই সকালের কুয়াশা, কুয়াশা, স্মোকি বারে দেখা যায়। আবহাওয়া বিবেচনা করুন: মেঘলা দিনে বা সন্ধ্যার সময়, অগ্রভাগ এবং পটভূমির মধ্যে কোনও উল্লেখযোগ্য পার্থক্য থাকতে পারে না।

কারণগুলির মধ্যে সবচেয়ে শক্তিশালী হল উজ্জ্বলতার বৈসাদৃশ্য। সেটিংসে, এটি স্বাভাবিক বৈসাদৃশ্য। দূরবর্তী বস্তুর বৈসাদৃশ্য হ্রাস করুন, অগ্রভাগের বৈসাদৃশ্য বাড়ান - এবং চিত্রটি ফুলে উঠবে। এটি ফোরগ্রাউন্ড এবং ব্যাকগ্রাউন্ডের মধ্যে বৈসাদৃশ্য সম্পর্কে নয়, তবে পটভূমির বৈসাদৃশ্য সম্পর্কে, যা ফোরগ্রাউন্ডের বৈসাদৃশ্যের চেয়ে কম হওয়া উচিত। এই পদ্ধতিটি কেবল ল্যান্ডস্কেপ এবং জেনার ফটোগ্রাফির জন্যই নয়, স্টুডিও পোর্ট্রেটের জন্যও উপযুক্ত: মুখের সামনের বৈসাদৃশ্য বাড়ান, চুল এবং গালের হাড়, কাপড়ের বৈসাদৃশ্য হ্রাস করুন। পোর্ট্রেট ফিল্টারগুলি অনুরূপ কিছু করে, বিষয়ের ত্বককে ঝাপসা করে এবং চোখ ও ঠোঁটকে তীক্ষ্ণ রাখে।

কনট্রাস্ট সামঞ্জস্য হল একটি ছবির 3D পোস্ট-প্রসেসিং করার সবচেয়ে সহজ উপায়। অন্যান্য প্রক্রিয়ার বিপরীতে, দর্শক খুব কমই পরিবর্তনগুলি লক্ষ্য করবে, যা সর্বাধিক স্বাভাবিকতা সংরক্ষণ করবে।

অস্পষ্টতা বৈসাদৃশ্য কমানোর অনুরূপ, কিন্তু সেগুলি ভিন্ন প্রক্রিয়া। তীক্ষ্ণ থাকা অবস্থায় ছবিটি কম কনট্রাস্ট হতে পারে। ক্ষেত্রের সীমিত গভীরতার কারণে, দূরবর্তী বস্তুর অস্পষ্টতা ফটোগ্রাফিতে ত্রিমাত্রিকতা প্রকাশের সবচেয়ে জনপ্রিয় উপায় হিসেবে রয়ে গেছে এবং পোস্ট-প্রসেসিংয়ে পটভূমিকে ঝাপসা করে এটিকে উন্নত করা সহজ। অতএব, পটভূমিতে কম বিশদ স্থাপন করা উচিত - মস্তিষ্ক দূরত্বে পার্থক্যযোগ্য বস্তু আশা করে না। এদিকে, বৈসাদৃশ্য কমানো প্রাকৃতিক উপলব্ধির সাথে আরও ভালভাবে মিলে যায়: দূরবর্তী পর্বতগুলি কম বৈসাদৃশ্যের সাথে দেখা যায়, ঝাপসা নয়, কারণ ল্যান্ডস্কেপ স্ক্যান করার সময়, চোখ ক্রমাগত পুনরায় ফোকাস করছে, এটি ক্ষেত্রের গভীরতার সমস্যার জন্য বিদেশী। পটভূমি ঝাপসা করে, আপনি একই সময়ে অগ্রভাগ তীক্ষ্ণ করতে পারেন। অতিরিক্তভাবে, অগ্রভাগে, আপনি চিত্রের লাইনগুলিকে (হাই পাস ফিল্টার বা স্বচ্ছতা) উন্নত করতে পারেন। এটি ফোরগ্রাউন্ডের উচ্চ তীক্ষ্ণতা যা উচ্চ-মানের লেন্সের চিত্রের বৈশিষ্ট্যগত স্ফীতি ব্যাখ্যা করে। সতর্কতা: ত্রিমাত্রিকতার সামান্য বৃদ্ধির জন্য, আপনি ছবিটি খুব কঠিন করতে পারেন।

হাল্কা বস্তু আরও দূরে দেখা যায়। এটি এই কারণে যে প্রকৃতিতে আমরা আলো-বিক্ষিপ্ত বাতাসের পুরুত্বের মাধ্যমে দূরবর্তী বস্তু দেখতে পাই; দূরের পাহাড় উজ্জ্বল মনে হয়। ল্যান্ডস্কেপ ফটোগ্রাফিতে, অতএব, অগ্রভাগে হালকা বস্তুর অবস্থান সম্পর্কে সতর্ক হওয়া উচিত।

দূরবর্তী বস্তু হালকা করুন। যত দূরে, আকাশের উজ্জ্বলতা এবং সুরের সাথে তারা মিশে যায়। অনুগ্রহ করে মনে রাখবেন যে অনুভূমিক বস্তুগুলি (ভূমি, সমুদ্র) উল্লম্ব জিনিসগুলির (দেয়াল, গাছ) চেয়ে ভাল আলোকিত হয়, তাই পরেরটিকে হালকা করে এটিকে অতিরিক্ত করবেন না। যে কোনও ক্ষেত্রে, বস্তুগুলি আকাশের তুলনায় লক্ষণীয়ভাবে কম উজ্জ্বল থাকা উচিত।

ঠিক আছে, যদি আপনি লক্ষ্য করেন যে উজ্জ্বলতা পটভূমির উজ্জ্বলতার বৈসাদৃশ্য কমানোর আরেকটি উপায়। ফুসকুড়ি প্রভাব বাড়ানোর জন্য অগ্রভাগকে একটু অন্ধকার করুন।

মনে হবে যে অভ্যন্তরে বিপরীতটি সত্য। যদি রাস্তায় চোখটি এই সত্যে অভ্যস্ত হয় যে দূরত্বটি হালকা, তবে ঘরে আলো প্রায়শই ব্যক্তির দিকে দৃষ্টি নিবদ্ধ করে এবং অভ্যন্তরটি অন্ধকারে নিমজ্জিত হয়; মস্তিষ্ক অগ্রভাগে আলো জ্বালাতে অভ্যস্ত, ব্যাকগ্রাউন্ডে নয়।

অগভীর দৃশ্যের গভীরতা সহ অভ্যন্তরীণ চিত্রগুলিতে, ল্যান্ডস্কেপ চিত্রগুলির বিপরীতে, আলোকিত মডেলটি একটি অন্ধকার পটভূমি থেকে বেরিয়ে আসে। কিন্তু একটি বিপরীত ফ্যাক্টরও রয়েছে: তার বিবর্তনের 99%, মানুষ একটি উন্মুক্ত এলাকায় দৃষ্টিকোণ পর্যবেক্ষণ করেছে এবং কক্ষের আবির্ভাবের সাথে, মস্তিষ্কের এখনও পুনর্গঠন করার সময় ছিল না। Vermeer পোর্ট্রেটের জন্য একটি হালকা পটভূমি পছন্দ করেছেন, এবং তারা সত্যিই উত্তল। একটি উল্লম্ব পটভূমির আলোকসজ্জা, ফটোগ্রাফিতে প্রস্তাবিত, শুধুমাত্র মডেলটিকে এটি থেকে আলাদা করে না, তবে পটভূমিকে হালকা করে, ছবিটিকে একটি সামান্য ত্রিমাত্রিকতা দেয়। এখানে আমরা এই সত্যটির মুখোমুখি হয়েছি যে মস্তিষ্ক বিভিন্ন কারণের ভিত্তিতে বস্তুর অবস্থান বিশ্লেষণ করে এবং তারা দ্বন্দ্বে থাকতে পারে।

স্টুডিও লাইটিং আকর্ষণীয় দেখায়, যেখানে আলোর দাগগুলি ক্যামেরা থেকে দূরবর্তী মডেলের জায়গাগুলিতে থাকে। উদাহরণস্বরূপ, ক্যামেরা থেকে আরও দূরে থাকা বুকটি হাইলাইট করা হয়।

দূরবর্তী বস্তুতে রঙের স্যাচুরেশন কম করুন: বাতাসের ঘনত্ব আমাদের আলাদা করার কারণে, দূরবর্তী পর্বতগুলি প্রায় একরঙা স্তরে পরিপূর্ণ হয়ে যায় এবং একটি নীল কুয়াশায় ঢেকে যায়। ফোরগ্রাউন্ড স্যাচুরেশন বাড়ানো যেতে পারে।

যেহেতু হলুদ হালকা এবং নীল এবং লাল গাঢ়, রঙের বৈসাদৃশ্যটিও একটি উজ্জ্বলতার বৈসাদৃশ্য।

একটি দূরবর্তী পটভূমি desaturating, এটি দৃশ্য থেকে অদৃশ্য হতে দেবেন না। প্রায়শই, বিপরীতভাবে, এটি বের করার জন্য আপনাকে পটভূমির স্যাচুরেশন বাড়াতে হবে। এটি ত্রিমাত্রিকতার চেয়ে বেশি গুরুত্বপূর্ণ।

3D ফটোগ্রাফির জন্য অনেক টিপস তাপমাত্রা বৈপরীত্য সম্পর্কে। প্রকৃতপক্ষে, এই প্রভাবটি খুব দুর্বল, উজ্জ্বলতার বৈসাদৃশ্য দ্বারা সহজেই বাধাপ্রাপ্ত হয়। উপরন্তু, তাপমাত্রা বৈপরীত্য বিরক্তিকর, আকর্ষণীয়।

উষ্ণ কমলা আলো বাতাস দ্বারা শোষিত হওয়ার কারণে খুব দূরের বস্তুগুলি শীতল দেখায়। পটভূমিতে দিগন্তে জাহাজের সাথে সমুদ্র সৈকতে একটি মডেলের ছবি তোলার সময়, পোস্ট-প্রসেসিংয়ে দূরবর্তী সমুদ্র এবং জাহাজের রঙের তাপমাত্রা কমিয়ে দিন। একটি লাল সাঁতারের পোষাক পরা একটি মডেল নীল সমুদ্র থেকে আবির্ভূত হয়, এবং একটি রাস্তার বাতির হলুদ আলোতে একটি মডেল নীলাভ গোধূলি থেকে বেরিয়ে আসে।

এটি পৃথক টোনিং: আমরা মডেলটিকে আরও উষ্ণ করে তুলি, ব্যাকগ্রাউন্ডটি ঠান্ডা করি। মস্তিষ্ক বুঝতে পারে যে একই সমতলে ভিন্ন রঙের তাপমাত্রা নেই এবং ত্রিমাত্রিক হিসাবে এমন একটি চিত্র উপলব্ধি করে, যেখানে মডেলটি পটভূমি থেকে বেরিয়ে আসে। পৃথক টোনিং ল্যান্ডস্কেপগুলিতে গভীরতা যোগ করে: অগ্রভাগকে উষ্ণ করে তোলে, পটভূমিকে ঠান্ডা করে।

বিভক্ত টোনিংয়ের একটি গুরুত্বপূর্ণ ব্যতিক্রম: সূর্যোদয় এবং সূর্যাস্তের সময়, দূরবর্তী পটভূমিটি মোটেও ঠান্ডা নয়, তবে উষ্ণ, হলুদ এবং লাল-কমলা টোন সহ। সুস্পষ্ট সমাধান - একটি বেগুনি সাঁতারের পোশাকে একটি সাদা মডেল ব্যবহার করা - কাজ করে না কারণ সূর্যাস্তের আলো মডেলটির শরীরেও একটি উষ্ণ আভা দেয়।

সংক্ষেপে বলতে গেলে, বায়ুমণ্ডলীয় প্রভাবের উপর ভিত্তি করে একটি ফটোকে ত্রিমাত্রিকতা দিতে, অগ্রভাগ এবং পটভূমিতে বৈসাদৃশ্য করা প্রয়োজন। প্রধান বিরোধিতা হল স্বাভাবিক বৈসাদৃশ্য: অগ্রভাগ বিপরীত, পটভূমি কম-কনট্রাস্ট। দ্বিতীয় বিরোধিতা তীক্ষ্ণতা: অগ্রভাগ তীক্ষ্ণ, পটভূমি ঝাপসা। তৃতীয় বিরোধিতা হল হালকাতা অনুসারে: অগ্রভাগ অন্ধকার, পটভূমি হালকা। চতুর্থ বিরোধিতা হল স্যাচুরেশন দ্বারা: ফোরগ্রাউন্ডের রংগুলি স্যাচুরেটেড, পটভূমির রঙগুলি ডিস্যাচুরেটেড। পঞ্চম বিরোধী তাপমাত্রায়: অগ্রভাগ উষ্ণ, পটভূমি ঠান্ডা।

এই কারণগুলি প্রায়ই বহুমুখী হয়। হলুদ নীলের চেয়ে উজ্জ্বল, এবং হালকা বস্তুগুলি অন্ধকারের চেয়ে বেশি দেখা যায়। এটি দর্শকের কাছে হলুদ এবং নীল ফিরে যাওয়ার আশা করা স্বাভাবিক। আসলে, বিপরীত সত্য: একটি উষ্ণ রঙ একটি ঠান্ডা পটভূমি থেকে উদ্ভূত। যে, রঙ উজ্জ্বলতার তুলনায় একটি শক্তিশালী ফ্যাক্টর হতে সক্রিয় আউট. যা, প্রতিফলনের উপর, আশ্চর্যজনক নয়: হলুদ এবং লাল পরিষ্কারভাবে শুধুমাত্র কাছাকাছি পার্থক্য করা যায়, এবং দর্শক তাদের একটি মহান দূরত্বে দেখা করার আশা করে না।

নীচের লাইন: ব্যাকগ্রাউন্ড কম-কনট্রাস্ট রাখুন, ধুয়ে ফেলা, হালকা, ডিস্যাচুরেটেড, নীল। এবং এই সত্যের জন্য প্রস্তুত থাকুন যে দর্শক, হাইপারট্রফিড 3D মুভিতে অভ্যস্ত, আপনি যে ত্রিমাত্রিকতা তৈরি করেছেন তা সবেমাত্র লক্ষণীয় বা অনুপস্থিত পাবেন।

প্রতিকৃতিতে, প্রমাণিত chiaroscuro প্রভাব, বিষয়ের মুখের উপর আলো এবং ছায়ার খেলার উপর নির্ভর করা ভাল, যা চিত্রটিকে বেশ বিশিষ্ট করে তুলবে। জেনার ফটোগ্রাফিতে, দৃষ্টিকোণ সবচেয়ে লক্ষণীয় ত্রিমাত্রিক প্রভাব দেয়। স্থির জীবনে, প্রধান ফ্যাক্টর হবে বস্তুর ছেদ (ওভারলে)।

দৃষ্টিভঙ্গি দ্বারা বাহিত পেতে না; এটি শুধুমাত্র সামনের সমতলের জন্য একটি পটভূমি যার উপর আপনার ছবি কাঁপছে। আধুনিক চিত্রকলায়, বাস্তবতা থেকে অনেক দূরে, দৃষ্টিকোণকে উচ্চ মর্যাদায় রাখা হয় না।

পুরো বইটি ডাউনলোড করুন: pdfepubazw3mobifb2lit বিষয়বস্তুর টেবিল

উপাদান এবং আবহাওয়া

বিজ্ঞান ও প্রযুক্তি

অস্বাভাবিক ঘটনা

প্রকৃতি পর্যবেক্ষণ

লেখক বিভাগ

ইতিহাস খোলা

চরম বিশ্ব

তথ্য সাহায্য

ফাইল সংরক্ষণাগার

আলোচনা

সেবা

ইনফোফ্রন্ট

তথ্য NF OKO

আরএসএস রপ্তানি

দরকারী লিংক

গুরুত্বপূর্ণ বিষয়

1904 সালে, হেনরি পয়নকেয়ার পরামর্শ দিয়েছিলেন যে ত্রিমাত্রিক গোলকের নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্যযুক্ত যে কোনও ত্রিমাত্রিক বস্তুকে 3-গোলাকারে রূপান্তর করা যেতে পারে। এই অনুমান প্রমাণ করতে 99 বছর লেগেছে। (মনোযোগ! একটি ত্রিমাত্রিক গোলক আপনি যা ভাবছেন তা নয়।) রাশিয়ান গণিতবিদ গ্রিগরি পেরেলম্যান একশ বছর আগে তৈরি করা পয়ঙ্কার অনুমান প্রমাণ করেছেন এবং ত্রিমাত্রিক স্থানগুলির আকারের একটি ক্যাটালগ তৈরি করেছেন।

Poincaré পরামর্শ দিয়েছিলেন যে 3-গোলকটি অনন্য এবং অন্য কোন কম্প্যাক্ট 3-মেনিফোল্ড নয় (নন-কম্প্যাক্ট ম্যানিফোল্ডগুলি অসীম বা প্রান্ত রয়েছে। নিম্নলিখিতটিতে, শুধুমাত্র কমপ্যাক্ট ম্যানিফোল্ডগুলি বিবেচনা করা হয়) বৈশিষ্ট্যগুলি রয়েছে যা এটিকে এত সহজ করে তোলে। আরও জটিল 3-মেনিফোল্ডের সীমানা রয়েছে যা একটি ইটের প্রাচীরের মতো দাঁড়িয়ে আছে, বা কিছু এলাকার মধ্যে একাধিক সংযোগ, যেমন একটি বন পথ যা কাঁটাচামচ করে আবার সংযোগ করে। 3-গোলকের বৈশিষ্ট্য সহ যে কোনও ত্রিমাত্রিক বস্তু নিজেই 3-গোলে রূপান্তরিত হতে পারে, তাই টপোলজিস্টদের জন্য এটি কেবলমাত্র এটির একটি অনুলিপি। পেরেলম্যানের প্রমাণ আমাদের তৃতীয় প্রশ্নের উত্তর দিতে এবং বিদ্যমান সমস্ত 3-মেনিফোল্ডকে শ্রেণীবদ্ধ করতে দেয়।
একটি 3-গোলক কল্পনা করার জন্য আপনার যথেষ্ট পরিমাণে কল্পনার প্রয়োজন। সৌভাগ্যবশত, এটি একটি 2-গোলকের সাথে অনেক মিল রয়েছে, যার একটি সাধারণ উদাহরণ হল একটি বৃত্তাকার বেলুনের রাবার: এটি দ্বি-মাত্রিক, যেহেতু এটির যেকোনো বিন্দু শুধুমাত্র দুটি স্থানাঙ্ক - অক্ষাংশ এবং দ্রাঘিমাংশ দ্বারা দেওয়া হয়। যদি আমরা একটি শক্তিশালী বিবর্ধক কাচের নীচে এটির একটি যথেষ্ট ছোট অংশ বিবেচনা করি তবে এটি একটি সমতল শীটের টুকরো বলে মনে হবে। একটি বেলুনের উপর হামাগুড়ি দেওয়া একটি ক্ষুদ্র পোকার কাছে, এটি একটি সমতল পৃষ্ঠ বলে মনে হবে। কিন্তু যদি বুগারটি একটি সরল রেখায় যথেষ্ট লম্বা হয়, তবে এটি শেষ পর্যন্ত তার শুরুতে ফিরে আসবে। একইভাবে, আমরা আমাদের মহাবিশ্বের একটি 3-গোলককে "সাধারণ" ত্রিমাত্রিক স্থান হিসাবে উপলব্ধি করব। যে কোন দিকে যথেষ্ট দূরে উড়ে, আমরা অবশেষে এটিতে "বিশ্বকে চক্কর দিব" এবং শুরুতে ফিরে আসব।
আপনি অনুমান করতে পারেন, একটি এন-ডাইমেনশনাল গোলককে এন-গোলক বলা হয়। উদাহরণস্বরূপ, 1-গোলক সবার কাছে পরিচিত: এটি কেবল একটি বৃত্ত।

উচ্চ-মাত্রিক স্থান সম্পর্কে উপপাদ্য প্রমাণকারী গণিতবিদদের অধ্যয়নের বস্তুর কল্পনা করতে হবে না: তারা বিমূর্ত বৈশিষ্ট্য নিয়ে কাজ করে, কম মাত্রার সাদৃশ্যগুলির উপর ভিত্তি করে অন্তর্দৃষ্টি দ্বারা পরিচালিত হয় (এই জাতীয় উপমাগুলিকে সতর্কতার সাথে বিবেচনা করা উচিত এবং আক্ষরিক অর্থে নেওয়া উচিত নয়)। আমরা অল্প সংখ্যক মাত্রা সহ বস্তুর বৈশিষ্ট্যের উপর ভিত্তি করে 3-গোলক বিবেচনা করব।
1. একটি বৃত্ত এবং এর আবদ্ধ বৃত্ত বিবেচনা করে শুরু করা যাক। গণিতবিদদের জন্য, একটি বৃত্ত হল একটি দ্বি-মাত্রিক বল এবং একটি বৃত্ত হল একটি এক-মাত্রিক গোলক। আরও, যে কোনও মাত্রার একটি বল হল একটি ভরাট বস্তু, যা একটি তরমুজের মতো, এবং একটি গোলক হল এর পৃষ্ঠ, অনেকটা বেলুনের মতো। বৃত্তটি এক-মাত্রিক, কারণ এটিতে একটি বিন্দুর অবস্থান একটি একক সংখ্যা দ্বারা নির্দিষ্ট করা যেতে পারে।

2. দুটি বৃত্ত থেকে, আমরা একটি দ্বি-মাত্রিক গোলক তৈরি করতে পারি, তাদের একটিকে উত্তর গোলার্ধে এবং অন্যটিকে দক্ষিণে পরিণত করতে পারি। এটি তাদের আঠালো অবশেষ, এবং 2-গোলাকার প্রস্তুত।

3. কল্পনা করুন একটি পিঁপড়া উত্তর মেরু থেকে শূন্য এবং 180 তম মেরিডিয়ান (বাম) দ্বারা গঠিত একটি বড় বৃত্তে হামাগুড়ি দিচ্ছে। যদি আমরা দুটি মূল বৃত্তে (ডানদিকে) এর পথটি ম্যাপ করি তবে আমরা দেখতে পাই যে পোকাটি একটি সরল রেখায় (1) উত্তর বৃত্তের প্রান্তে (ক) চলে যায়, তারপর সীমানা অতিক্রম করে, সীমানা অতিক্রম করে, সংশ্লিষ্ট বিন্দুতে আঘাত করে। দক্ষিণ বৃত্ত এবং সরলরেখা অনুসরণ করতে থাকে (2 এবং 3)। তারপরে পিঁপড়াটি আবার প্রান্তে পৌঁছেছে (বি), এটি অতিক্রম করে এবং আবার নিজেকে উত্তর বৃত্তে খুঁজে পায়, প্রারম্ভিক বিন্দুতে ছুটে যায় - উত্তর মেরু (4)। লক্ষ্য করুন যে 2-গোলকের একটি রাউন্ড-দ্য-ওয়ার্ল্ড ট্রিপের সময়, একটি বৃত্ত থেকে অন্য বৃত্তে যাওয়ার সময় গতিবিধি বিপরীত হয়।

4. এখন আমাদের 2-গোলক এবং এতে থাকা আয়তন (3D বল) বিবেচনা করুন এবং তাদের সাথে একইভাবে করুন যেমন আমরা বৃত্ত এবং বৃত্তের সাথে করেছি: বলের দুটি কপি নিন এবং তাদের সীমানা একসাথে আঠালো করুন। বলগুলি কীভাবে চার মাত্রায় বিকৃত হয় এবং গোলার্ধের একটি অ্যানালগে পরিণত হয় তা স্পষ্টভাবে দেখানো অসম্ভব এবং প্রয়োজনীয় নয়। এটি জানা যথেষ্ট যে পৃষ্ঠতলের সংশ্লিষ্ট বিন্দুগুলি, যেমন 2-গোলক বৃত্তের ক্ষেত্রে একইভাবে আন্তঃসংযুক্ত। দুটি বলের যোগদানের ফলাফল হল একটি 3-গোলক - একটি চার-মাত্রিক বলের পৃষ্ঠ। (চার মাত্রায়, যেখানে একটি 3-গোলাকার এবং একটি 4-বল বিদ্যমান, বস্তুর পৃষ্ঠটি ত্রিমাত্রিক।) আসুন একটি বলকে উত্তর গোলার্ধ এবং অন্যটিকে দক্ষিণ গোলার্ধ বলি। বৃত্তের সাথে সাদৃশ্য অনুসারে, খুঁটিগুলি এখন বলের কেন্দ্রে রয়েছে।

5. কল্পনা করুন যে প্রশ্নে বলগুলি স্থানের বড় খালি জায়গা। ধরা যাক একজন মহাকাশচারী রকেটে উত্তর মেরু ছেড়েছেন। সময়ের সাথে সাথে এটি নিরক্ষরেখায় পৌঁছেছে (1), যা এখন উত্তর পৃথিবীর চারপাশের গোলক। এটি অতিক্রম করে, রকেটটি দক্ষিণ গোলার্ধে প্রবেশ করে এবং তার কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে একটি সরল রেখায় চলে যায় - দক্ষিণ মেরু - বিষুব রেখার বিপরীত দিকে (2 এবং 3)। সেখানে, উত্তর গোলার্ধে রূপান্তর আবার ঘটে এবং ভ্রমণকারী উত্তর মেরুতে ফিরে আসে, অর্থাৎ প্রারম্ভিক বিন্দুতে (4) এটি একটি 4-মাত্রিক বলের পৃষ্ঠে বিশ্বজুড়ে ভ্রমণের দৃশ্য! বিবেচিত ত্রি-মাত্রিক গোলক হল সেই স্থান যাকে Poincare অনুমানে উল্লেখ করা হয়েছে। সম্ভবত আমাদের মহাবিশ্ব একটি 3-গোলক।

যুক্তিকে পাঁচটি মাত্রায় প্রসারিত করা যেতে পারে এবং একটি 4-গোলক তৈরি করা যেতে পারে, তবে এটি কল্পনা করা অত্যন্ত কঠিন। যদি আমরা দুটি n-বলকে (n-1)-গোলকের চারপাশে আঠালো করি, তাহলে আমরা (n+1)-বলকে আবদ্ধ করে একটি n-গোলক পাই।

পয়েন্টকেয়ার অনুমান মাটিতে নামার আগেই অর্ধশতক পেরিয়ে গেছে। 60 এর দশকে। 20 শতকের গণিতবিদরা পাঁচ বা ততোধিক মাত্রার গোলকের জন্য এর অনুরূপ বিবৃতি প্রমাণ করেছেন। প্রতিটি ক্ষেত্রে, n-গোলক প্রকৃতপক্ষে একমাত্র এবং সহজতম n-বহুগুণ। আশ্চর্যজনকভাবে, 3- এবং 4-গোলকের তুলনায় বহুমাত্রিক গোলকের জন্য ফলাফল পাওয়া সহজ বলে প্রমাণিত হয়েছে। চার মাত্রার প্রমাণ 1982 সালে উপস্থিত হয়েছিল। এবং 3-গোলক সম্পর্কে শুধুমাত্র মূল Poincaré অনুমানই অনিশ্চিত রয়ে গেছে।
গণিত ইনস্টিটিউটের সেন্ট পিটার্সবার্গ বিভাগের একজন গণিতবিদ গ্রিগরি পেরেলম্যান 2002 সালের নভেম্বরে সিদ্ধান্তমূলক পদক্ষেপ গ্রহণ করেছিলেন। স্টেক্লভ, www.arxiv.org সাইটে একটি নিবন্ধ পাঠিয়েছেন, যেখানে সারা বিশ্বের পদার্থবিদ এবং গণিতবিদরা তাদের বৈজ্ঞানিক কার্যকলাপের ফলাফল নিয়ে আলোচনা করেন। টপোলজিস্টরা অবিলম্বে রাশিয়ান বিজ্ঞানীর কাজ এবং পয়ঙ্কার হাইপোথিসিসের মধ্যে সংযোগটি ধরে ফেলেন, যদিও লেখক সরাসরি এটি উল্লেখ করেননি।

প্রকৃতপক্ষে, পেরেলম্যানের প্রমাণ, যার সঠিকতা এখনও কেউ প্রশ্ন করতে পারেনি, প্রকৃত পয়নকেয়ার অনুমানের চেয়ে অনেক বিস্তৃত প্রশ্নের সমাধান করে। কর্নেল ইউনিভার্সিটির উইলিয়াম পি. থার্স্টন দ্বারা প্রস্তাবিত জ্যামিতিকরণ পদ্ধতিটি 3-গোলকের উপর ভিত্তি করে 3-মেনিফোল্ডের সম্পূর্ণ শ্রেণীবিভাগের অনুমতি দেয়, যা এর দুর্দান্ত সরলতায় অনন্য। যদি Poincare অনুমান মিথ্যা হয়, যেমন যদি একটি গোলকের মতো সরল অনেকগুলি স্থান থাকে, তাহলে 3-মনিফোল্ডের শ্রেণীবিভাগ অসীমভাবে আরও জটিল কিছু হয়ে উঠত। পেরেলম্যান এবং থার্স্টনকে ধন্যবাদ, আমাদের কাছে গণিত দ্বারা অনুমোদিত সমস্ত ত্রি-মাত্রিক স্থানের একটি সম্পূর্ণ ক্যাটালগ রয়েছে যা আমাদের মহাবিশ্ব গ্রহণ করতে পারে (যদি আমরা সময় ছাড়া কেবল স্থান বিবেচনা করি)।

Poincaré অনুমান এবং পেরেলম্যানের প্রমাণটি আরও ভালভাবে বোঝার জন্য, টপোলজির উপর গভীরভাবে নজর দেওয়া উচিত। গণিতের এই শাখায়, বস্তুর আকৃতি কোন ব্যাপার না, যেন এটি ময়দার তৈরি, যা যেকোন উপায়ে প্রসারিত, সংকুচিত এবং বাঁকানো যায়। কেন আমরা একটি কাল্পনিক পরীক্ষা থেকে জিনিস বা স্থান সম্পর্কে চিন্তা করা উচিত? আসল বিষয়টি হ'ল একটি বস্তুর সঠিক আকৃতি - এর সমস্ত বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব - কাঠামোগত স্তরকে বোঝায়, যাকে জ্যামিতি বলা হয়। পরীক্ষা থেকে একটি বস্তু পরীক্ষা করে, টপোলজিস্টরা এর মৌলিক বৈশিষ্ট্যগুলি প্রকাশ করে যা জ্যামিতিক কাঠামোর উপর নির্ভর করে না। টপোলজির অধ্যয়ন হল একটি "প্লাস্টিক ম্যান" কে দেখে যে কোনও বিশেষ ব্যক্তিতে পরিণত হতে পারে এমন সাধারণ বৈশিষ্ট্যগুলি সন্ধান করার মতো।
জনপ্রিয় সাহিত্যে, প্রায়শই একটি কটূক্তিমূলক বক্তব্য পাওয়া যায় যে, টপোলজির দৃষ্টিকোণ থেকে, একটি কাপ ডোনাট থেকে আলাদা নয়। আসল বিষয়টি হ'ল এক কাপ ময়দাকে কেবল উপাদানকে চূর্ণ করে ডোনাটে পরিণত করা যেতে পারে, যেমন। কিছুই আটকানো বা গর্ত করা. অন্যদিকে, একটি বল থেকে ডোনাট তৈরি করতে, আপনাকে অবশ্যই এটিতে একটি গর্ত করতে হবে বা এটি একটি সিলিন্ডারে রোল করতে হবে এবং প্রান্তগুলিকে অন্ধ করতে হবে, তাই বলটি মোটেই ডোনাট নয়।
টপোলজিস্টরা একটি গোলক এবং একটি ডোনাটের উপরিভাগে সবচেয়ে বেশি আগ্রহী। অতএব, শক্ত দেহের পরিবর্তে বেলুন কল্পনা করা উচিত। তাদের টপোলজি এখনও ভিন্ন, যেহেতু একটি গোলাকার বেলুনকে রিং বেলুনে রূপান্তর করা যায় না, যাকে টরাস বলা হয়। প্রথমত, বিজ্ঞানীরা বিভিন্ন টপোলজি সহ কতগুলি বস্তু বিদ্যমান এবং কীভাবে তাদের বৈশিষ্ট্যযুক্ত করা যেতে পারে তা নির্ধারণ করার সিদ্ধান্ত নিয়েছিলেন। 2-মেনিফোল্ডের জন্য, যা আমরা পৃষ্ঠতলকে কল করতে অভ্যস্ত, উত্তরটি মার্জিত এবং সহজ: সবকিছু "গর্ত" বা সমতুল্যভাবে হ্যান্ডেলের সংখ্যা দ্বারা নির্ধারিত হয়। XIX শতাব্দীর শেষের দিকে। গণিতবিদরা কীভাবে পৃষ্ঠকে শ্রেণীবদ্ধ করতে হয় তা বের করেছিলেন এবং দেখেছিলেন যে তাদের মধ্যে সবচেয়ে সহজ ছিল গোলক। স্বাভাবিকভাবেই, টপোলজিস্টরা 3-বহুগুণ সম্পর্কে চিন্তা করতে শুরু করেছিলেন: 3-গোলক কি তার সরলতায় অনন্য? একটি উত্তর অনুসন্ধানের পুরানো ইতিহাস ভুল পদক্ষেপ এবং ভুল প্রমাণে পূর্ণ।
হেনরি পয়নকেরে এই বিষয়টি আন্তরিকভাবে গ্রহণ করেছিলেন। তিনি 20 শতকের প্রথম দিকের সবচেয়ে শক্তিশালী দুই গণিতবিদদের একজন। (অন্যজন ছিলেন ডেভিড হিলবার্ট)। তাকে শেষ জেনারেলিস্ট বলা হয়েছিল - তিনি বিশুদ্ধ এবং ফলিত গণিত উভয় বিভাগেই সফলভাবে কাজ করেছিলেন। এছাড়াও, পয়নকেরে মহাকাশীয় বলবিদ্যা, ইলেক্ট্রোম্যাগনেটিজম তত্ত্বের পাশাপাশি বিজ্ঞানের দর্শনের বিকাশে একটি বিশাল অবদান রেখেছিলেন, যার সম্পর্কে তিনি বেশ কয়েকটি জনপ্রিয় বই লিখেছেন।
পয়নকেরে বীজগণিতীয় টপোলজির প্রতিষ্ঠাতা হয়ে ওঠেন এবং এর পদ্ধতি ব্যবহার করে 1900 সালে হোমোটোপি নামে একটি বস্তুর একটি টপোলজিকাল বৈশিষ্ট্য তৈরি করেন। ম্যানিফোল্ডের হোমোটোপি নির্ধারণ করতে, একজনকে অবশ্যই এতে একটি বন্ধ লুপ মানসিকভাবে নিমজ্জিত করতে হবে। তারপরে আমাদের খুঁজে বের করা উচিত যে লুপটিকে বহুগুণে ভিতরে সরিয়ে একটি বিন্দুতে সংকুচিত করা সবসময় সম্ভব কিনা। একটি টরাসের জন্য, উত্তরটি নেতিবাচক হবে: আপনি যদি টরাসের পরিধির চারপাশে একটি লুপ স্থাপন করেন, তবে এটি একটি বিন্দুতে সংকুচিত করা সম্ভব হবে না, কারণ ডোনাটের "গর্ত" হস্তক্ষেপ করবে। হোমোটোপি হল বিভিন্ন পাথের সংখ্যা যা লুপকে সংকোচন থেকে আটকাতে পারে।

একটি এন-স্ফিয়ারে, যেকোন, এমনকি জটিলভাবে পাকানো, লুপ সর্বদা উন্মোচিত হতে পারে এবং একটি বিন্দুতে টানতে পারে। (একটি লুপকে নিজের মধ্য দিয়ে যাওয়ার অনুমতি দেওয়া হয়।) পয়নকেরে অনুমান করেছিলেন যে 3-গোলক হল একমাত্র 3-মেনিফোল্ড যার উপর যেকোনো লুপ একটি বিন্দুতে সংকুচিত হতে পারে। দুর্ভাগ্যবশত, তিনি কখনই তার অনুমান প্রমাণ করতে সক্ষম হননি, যা পরবর্তীতে পয়ঙ্কার অনুমান নামে পরিচিত হয়।

পেরেলম্যানের 3-মেনিফোল্ডের বিশ্লেষণ জ্যামিতিকরণ পদ্ধতির সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত। জ্যামিতি বস্তু এবং বহুগুণের প্রকৃত আকৃতি নিয়ে কাজ করে, যা আর ময়দার তৈরি নয়, বরং সিরামিকের। উদাহরণস্বরূপ, একটি কাপ এবং একটি ব্যাগেল জ্যামিতিকভাবে আলাদা কারণ তাদের পৃষ্ঠগুলি ভিন্নভাবে বাঁকা। কাপ এবং ডোনাটকে বিভিন্ন জ্যামিতিক আকার দেওয়া টপোলজিক্যাল টরাসের দুটি উদাহরণ বলা হয়।
পেরেলম্যান কেন জ্যামিতিকরণ ব্যবহার করেছেন তা বোঝার জন্য, 2-মেনিফোল্ডের শ্রেণীবিভাগ বিবেচনা করুন। প্রতিটি টপোলজিক্যাল পৃষ্ঠকে একটি অনন্য জ্যামিতি বরাদ্দ করা হয় যার বক্রতা বহুগুণ জুড়ে সমানভাবে বিতরণ করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, একটি গোলকের জন্য, এটি একটি পুরোপুরি গোলাকার পৃষ্ঠ। টপোলজিক্যাল গোলকের আরেকটি সম্ভাব্য জ্যামিতি হল একটি ডিম, কিন্তু এর বক্রতা সব জায়গায় সমানভাবে বিতরণ করা হয় না: তীক্ষ্ণ প্রান্তটি ভোঁতাটির চেয়ে বেশি বাঁকা।
2-মেনিফোল্ড তিনটি জ্যামিতিক প্রকার গঠন করে। গোলকটি ইতিবাচক বক্রতা দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। একটি জ্যামিতিক টরাস সমতল এবং শূন্য বক্রতা আছে। দুই বা ততোধিক "গর্ত" সহ অন্য সমস্ত 2-মেনিফোল্ডে নেতিবাচক বক্রতা রয়েছে। এগুলি একটি স্যাডলের মতো একটি পৃষ্ঠের সাথে মিলে যায়, যা সামনে এবং পিছনে উপরের দিকে বাঁকানো হয় এবং বাম এবং ডানদিকে নীচের দিকে থাকে। 2-মেনিফোল্ডের এই জ্যামিতিক শ্রেণীবিভাগ (জ্যামিতিকরণ) পয়নকেয়ার দ্বারা পল কোয়েবে এবং ফেলিক্স ক্লেইনের সাথে মিলে তৈরি করা হয়েছিল, যার নামানুসারে ক্লেইন বোতলটির নামকরণ করা হয়েছে।

3-মেনিফোল্ডে অনুরূপ পদ্ধতি প্রয়োগ করার একটি স্বাভাবিক ইচ্ছা আছে। তাদের প্রত্যেকের জন্য কি এমন একটি অনন্য কনফিগারেশন খুঁজে পাওয়া সম্ভব, যেখানে বক্রতা সমগ্র বহুগুণে সমানভাবে বিতরণ করা হবে?
এটি প্রমাণিত হয়েছে যে 3-মেনিফোল্ডগুলি তাদের দ্বি-মাত্রিক সমকক্ষের তুলনায় অনেক বেশি জটিল এবং তাদের বেশিরভাগই একটি সমজাতীয় জ্যামিতির সাথে যুক্ত হতে পারে না। তাদের ভাগে ভাগ করা উচিত, যা আটটি ক্যানোনিকাল জ্যামিতির একটির সাথে মিলে যায়। এই পদ্ধতিটি একটি সংখ্যার পচনকে মৌলিক উপাদানে পরিণত করে।

কিভাবে একজন বহুগুণ জ্যামিতিক করে এবং সর্বত্র একটি অভিন্ন বক্রতা দিতে পারে? আপনি বিভিন্ন protrusions এবং recesses সঙ্গে কিছু নির্বিচারে জ্যামিতি নিতে হবে, এবং তারপর সব বাধা আউট মসৃণ. 90 এর দশকের গোড়ার দিকে। 20 শতকের হ্যামিল্টন গণিতবিদ গ্রেগোরিও রিকি-কারবাস্ত্রোর নামানুসারে রিক্কি প্রবাহ সমীকরণ ব্যবহার করে 3-মনিফোল্ড বিশ্লেষণ করতে শুরু করেন। এটি কিছুটা তাপ সমীকরণের অনুরূপ, যা একটি অসমভাবে উত্তপ্ত শরীরে প্রবাহিত তাপ প্রবাহকে বর্ণনা করে যতক্ষণ না তার তাপমাত্রা সর্বত্র একই হয়। একইভাবে, রিকি প্রবাহ সমীকরণটি বহুগুণে বক্রতার পরিবর্তনকে সংজ্ঞায়িত করে, যা সমস্ত প্রান্ত এবং অবনতির প্রান্তিককরণের দিকে নিয়ে যায়। উদাহরণস্বরূপ, আপনি যদি একটি ডিম দিয়ে শুরু করেন তবে এটি ধীরে ধীরে গোলাকার হয়ে যাবে।

পেরেলম্যান রিকি প্রবাহ সমীকরণে একটি নতুন শব্দ যোগ করেছেন। এই পরিবর্তনটি সিঙ্গুলারিটি সমস্যা দূর করেনি, তবে অনেক গভীর বিশ্লেষণের অনুমতি দিয়েছে। রাশিয়ান বিজ্ঞানী দেখিয়েছেন যে একটি "সার্জিক্যাল" অপারেশন একটি ডাম্বেল-আকৃতির বহুগুণে সঞ্চালিত হতে পারে: উদীয়মান চিমটির উভয় পাশে একটি পাতলা টিউব কেটে দিন এবং গোলাকার ক্যাপ দিয়ে বল থেকে বেরিয়ে আসা খোলা টিউবগুলি বন্ধ করুন। তারপরে আপনার রিকি প্রবাহ সমীকরণ অনুসারে "অপারেটেড" বহুগুণ পরিবর্তন করা উচিত এবং উপরের পদ্ধতিটি সমস্ত উদ্ভূত চিমটিতে প্রয়োগ করা উচিত। পেরেলম্যান আরও দেখিয়েছেন যে সিগার-আকৃতির বৈশিষ্ট্যগুলি উপস্থিত হতে পারে না। এইভাবে, যেকোন 3-বহুগুণকে অভিন্ন জ্যামিতি সহ অংশগুলির একটি সেটে হ্রাস করা যেতে পারে।
যখন রিক্কি প্রবাহ এবং "সার্জারি" সমস্ত সম্ভাব্য 3-মেনিফোল্ডগুলিতে প্রয়োগ করা হয়, তাদের যে কোনও একটি, যদি এটি 3-গোলকের মতো সহজ হয় (অন্য কথায়, একই হোমোটোপি থাকে), অগত্যা একই সমজাতীয় জ্যামিতিতে হ্রাস পায়। , যা এবং 3-গোলক। তাই, টপোলজিকাল দৃষ্টিকোণ থেকে, বিবেচনাধীন বহুগুণ হল 3-গোলক। এইভাবে 3-গোলক অনন্য।

পেরেলম্যানের নিবন্ধের মূল্য শুধুমাত্র Poincare অনুমানের প্রমাণেই নয়, বিশ্লেষণের নতুন পদ্ধতিতেও রয়েছে। সারা বিশ্বের বিজ্ঞানীরা ইতিমধ্যে তাদের কাজে রাশিয়ান গণিতবিদ দ্বারা প্রাপ্ত ফলাফলগুলি ব্যবহার করছেন এবং অন্যান্য ক্ষেত্রে তার দ্বারা বিকশিত পদ্ধতিগুলি প্রয়োগ করছেন। এটি প্রমাণিত হয়েছে যে রিকি প্রবাহ তথাকথিত পুনর্নবীকরণ গোষ্ঠীর সাথে যুক্ত, যা কণার সংঘর্ষের শক্তির উপর নির্ভর করে মিথস্ক্রিয়াগুলির শক্তি কীভাবে পরিবর্তিত হয় তা নির্ধারণ করে। উদাহরণস্বরূপ, কম শক্তিতে, ইলেক্ট্রোম্যাগনেটিক মিথস্ক্রিয়া শক্তি 0.0073 সংখ্যা দ্বারা চিহ্নিত করা হয় (প্রায় 1/137)। যাইহোক, যখন দুটি ইলেক্ট্রন প্রায় আলোর গতিতে মুখোমুখি সংঘর্ষ হয়, তখন এই বল 0.0078 এর কাছে পৌঁছে। যে গণিতটি ভৌত ​​শক্তির পরিবর্তনকে বর্ণনা করে তা গণিতের সাথে খুব মিল যা একটি বহুগুণের জ্যামিতিকরণকে বর্ণনা করে।
সংঘর্ষের শক্তি বৃদ্ধি কম দূরত্বে শেখার শক্তির সমতুল্য। অতএব, পুনর্নবীকরণ গোষ্ঠীটি একটি পরিবর্তনশীল বিবর্ধন ফ্যাক্টর সহ একটি মাইক্রোস্কোপের মতো, যা আপনাকে বিভিন্ন স্তরে বিস্তারিত প্রক্রিয়াটি অন্বেষণ করতে দেয়। একইভাবে, রিকি প্রবাহটি বহুগুণ দেখার জন্য একটি মাইক্রোস্কোপ। একটি বিবর্ধনে দৃশ্যমান প্রোট্রুশন এবং ডিপ্রেশন অন্যটিতে অদৃশ্য হয়ে যায়। সম্ভবত প্ল্যাঙ্ক দৈর্ঘ্যের স্কেলে (প্রায় 10 -35 মিটার) আমরা যে স্থানটিতে বাস করি সেটি একটি জটিল টপোলজিক্যাল কাঠামো সহ একটি ফেনার মতো দেখায়। উপরন্তু, সাধারণ আপেক্ষিকতার সমীকরণ, যা মহাকর্ষের বৈশিষ্ট্য এবং মহাবিশ্বের বৃহৎ আকারের গঠন বর্ণনা করে, রিকি প্রবাহ সমীকরণের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত। অস্বাভাবিকভাবে, হ্যামিল্টনের ব্যবহৃত অভিব্যক্তিতে পেরেলম্যান শব্দটি যুক্ত হয়েছে স্ট্রিং তত্ত্বে, যা মহাকর্ষের কোয়ান্টাম তত্ত্ব বলে দাবি করে। এটা সম্ভব যে রাশিয়ান গণিতবিদদের নিবন্ধগুলিতে, বিজ্ঞানীরা কেবলমাত্র বিমূর্ত 3-মনিফোল্ড সম্পর্কে নয়, আমরা যে স্থানটিতে বাস করি সে সম্পর্কেও অনেক বেশি দরকারী তথ্য পাবেন।