এলোমেলো ভেরিয়েবল। বিচ্ছিন্ন এলোমেলো পরিবর্তনশীল। গাণিতিক প্রত্যাশা। একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলের প্রত্যাশা এবং প্রকরণ পোর্টফোলিও তত্ত্বে, গড় প্রত্যাশা দেখায়

আপনার নিজের সমাধান করার জন্য সমস্যাও থাকবে, যার উত্তর আপনি দেখতে পাবেন।

প্রত্যাশা এবং প্রকরণ হল একটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের সর্বাধিক ব্যবহৃত সংখ্যাসূচক বৈশিষ্ট্য। তারা বিতরণের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্যগুলিকে চিহ্নিত করে: এর অবস্থান এবং বিক্ষিপ্ততার ডিগ্রি। প্রত্যাশিত মানকে প্রায়ই বলা হয় গড়। আমার স্নাতকের. এলোমেলো পরিবর্তনশীলের বিচ্ছুরণ - বিচ্ছুরণের বৈশিষ্ট্য, এলোমেলো পরিবর্তনশীলের বিস্তার এর গাণিতিক প্রত্যাশা সম্পর্কে।

অনেক ব্যবহারিক সমস্যায়, একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলের একটি সম্পূর্ণ, সম্পূর্ণ বৈশিষ্ট্য - বন্টন আইন - হয় প্রাপ্ত করা যায় না বা আদৌ প্রয়োজন হয় না। এই ক্ষেত্রে, একটি সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলের আনুমানিক বর্ণনার মধ্যে সীমাবদ্ধ।

একটি পৃথক র্যান্ডম পরিবর্তনশীল প্রত্যাশা

এবার আসা যাক গাণিতিক প্রত্যাশার ধারণায়। কিছু পদার্থের ভরকে x-অক্ষের বিন্দুর মধ্যে বন্টন করা যাক এক্স1 , এক্স 2 , ..., এক্স n. অধিকন্তু, প্রতিটি বস্তুগত বিন্দুর সম্ভাব্যতার সাথে একটি সংশ্লিষ্ট ভর রয়েছে পি1 , পি 2 , ..., পি n. অ্যাবসিসা অক্ষের উপর একটি বিন্দু নির্বাচন করা প্রয়োজন, বস্তুগত বিন্দুগুলির সমগ্র সিস্টেমের অবস্থান চিহ্নিত করে, তাদের ভরগুলিকে বিবেচনায় নিয়ে। বস্তুগত বিন্দুর সিস্টেমের ভরের কেন্দ্রকে এমন একটি বিন্দু হিসাবে নেওয়া স্বাভাবিক। এটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ওজনযুক্ত গড় এক্স, যা প্রতিটি বিন্দুর অবসিসা এক্সiঅনুরূপ সম্ভাব্যতার সমান একটি "ওজন" সহ প্রবেশ করে। এইভাবে প্রাপ্ত এলোমেলো চলকের গড় মান এক্সএর গাণিতিক প্রত্যাশা বলা হয়।

একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিক প্রত্যাশা হল এর সমস্ত সম্ভাব্য মানের পণ্যের সমষ্টি এবং এই মানগুলির সম্ভাব্যতা:

উদাহরণ 1.একটি জয়-জয় লটারির আয়োজন করা হয়েছে। 1000টি জয় রয়েছে, যার মধ্যে 400টি 10 ​​রুবেল। 300 - 20 রুবেল প্রতিটি। 200 - 100 রুবেল প্রতিটি। এবং প্রতিটি 100 - 200 রুবেল। একজনের টিকিট কেনার গড় জয় কত?

সমাধান। যদি আমরা জয়ের মোট পরিমাণকে 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50,000 রুবেল, 1000 (মোট জয়ের পরিমাণ) দিয়ে ভাগ করি তাহলে আমরা গড় জয় খুঁজে পাব। তাহলে আমরা 50000/1000 = 50 রুবেল পাব। কিন্তু গড় জয় গণনার অভিব্যক্তি নিম্নলিখিত আকারে উপস্থাপন করা যেতে পারে:

অন্যদিকে, এই শর্তে, বিজয়ী আকারটি একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল, যা 10, 20, 100 এবং 200 রুবেলের মান নিতে পারে। যথাক্রমে 0.4 এর সমান সম্ভাবনা সহ; 0.3; 0.2; 0.1 অতএব, প্রত্যাশিত গড় জয় জয়ের আকারের পণ্যের যোগফল এবং সেগুলি পাওয়ার সম্ভাবনার সমান।

উদাহরণ 2।প্রকাশক একটি নতুন বই প্রকাশ করার সিদ্ধান্ত নিয়েছে. তিনি 280 রুবেলে বইটি বিক্রি করার পরিকল্পনা করেছেন, যার মধ্যে তিনি নিজেই 200, 50 পাবেন - বইয়ের দোকান এবং 30 - লেখক। টেবিলটি একটি বই প্রকাশের খরচ এবং বইটির একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক কপি বিক্রির সম্ভাবনা সম্পর্কে তথ্য সরবরাহ করে।

প্রকাশকের প্রত্যাশিত লাভ খুঁজুন।

সমাধান। এলোমেলো পরিবর্তনশীল "লাভ" বিক্রয় থেকে আয় এবং ব্যয়ের ব্যয়ের মধ্যে পার্থক্যের সমান। উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি বইয়ের 500 কপি বিক্রি হয়, তাহলে বিক্রয় থেকে আয় 200 * 500 = 100,000, এবং প্রকাশনার খরচ 225,000 রুবেল। এইভাবে, প্রকাশক 125,000 রুবেল ক্ষতির সম্মুখীন হয়। নিম্নলিখিত সারণী র্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রত্যাশিত মানগুলিকে সংক্ষিপ্ত করে - লাভ:

সংখ্যা	লাভ এক্সi	সম্ভাবনা পিi	এক্সi পি i
500	-125000	0,20	-25000
1000	-50000	0,40	-20000
2000	100000	0,25	25000
3000	250000	0,10	25000
4000	400000	0,05	20000
মোট:		1,00	25000

এইভাবে, আমরা প্রকাশকের লাভের গাণিতিক প্রত্যাশা পাই:

.

উদাহরণ 3.এক শট দিয়ে আঘাত করার সম্ভাবনা পি= 0.2। 5 এর সমান হিটের সংখ্যার গাণিতিক প্রত্যাশা প্রদান করে এমন প্রজেক্টাইলের খরচ নির্ধারণ করুন।

সমাধান। একই গাণিতিক প্রত্যাশা সূত্র থেকে যা আমরা এতদিন ব্যবহার করেছি, আমরা প্রকাশ করি এক্স- শেল খরচ:

.

উদাহরণ 4.একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিক প্রত্যাশা নির্ধারণ করুন এক্সতিনটি শট সহ হিটের সংখ্যা, যদি প্রতিটি শটের সাথে একটি আঘাতের সম্ভাবনা থাকে পি = 0,4 .

ইঙ্গিত: দ্বারা এলোমেলো পরিবর্তনশীল মানের সম্ভাব্যতা খুঁজুন বার্নোলির সূত্র .

গাণিতিক প্রত্যাশার বৈশিষ্ট্য

আসুন গাণিতিক প্রত্যাশার বৈশিষ্ট্যগুলি বিবেচনা করি।

সম্পত্তি 1.একটি ধ্রুবক মানের গাণিতিক প্রত্যাশা এই ধ্রুবকের সমান:

সম্পত্তি 2।ধ্রুবক ফ্যাক্টরটি গাণিতিক প্রত্যাশা চিহ্ন থেকে বের করা যেতে পারে:

সম্পত্তি 3.র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফলের (পার্থক্য) গাণিতিক প্রত্যাশা তাদের গাণিতিক প্রত্যাশার যোগফলের (পার্থক্য) সমান:

সম্পত্তি 4.র্যান্ডম ভেরিয়েবলের একটি গুণফলের গাণিতিক প্রত্যাশা তাদের গাণিতিক প্রত্যাশার গুণফলের সমান:

সম্পত্তি 5.যদি একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সমস্ত মান এক্সএকই সংখ্যা দ্বারা হ্রাস (বৃদ্ধি) সঙ্গে, তাহলে এর গাণিতিক প্রত্যাশা একই সংখ্যা দ্বারা হ্রাস (বৃদ্ধি) হবে:

যখন আপনি নিজেকে শুধুমাত্র গাণিতিক প্রত্যাশার মধ্যে সীমাবদ্ধ করতে পারবেন না

বেশিরভাগ ক্ষেত্রে, শুধুমাত্র গাণিতিক প্রত্যাশাই পর্যাপ্তভাবে একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলকে চিহ্নিত করতে পারে না।

র্যান্ডম ভেরিয়েবল যাক এক্সএবং Yনিম্নলিখিত বন্টন আইন দ্বারা দেওয়া হয়:

অর্থ এক্স	সম্ভাবনা
-0,1	0,1
-0,01	0,2
0	0,4
0,01	0,2
0,1	0,1

অর্থ Y	সম্ভাবনা
-20	0,3
-10	0,1
0	0,2
10	0,1
20	0,3

এই পরিমাণগুলির গাণিতিক প্রত্যাশা একই - শূন্যের সমান:

তবে তাদের বিতরণের ধরণ ভিন্ন। এলোমেলো মান এক্সশুধুমাত্র গাণিতিক প্রত্যাশা এবং র্যান্ডম ভেরিয়েবল থেকে সামান্য ভিন্ন মান নিতে পারে Yগাণিতিক প্রত্যাশা থেকে উল্লেখযোগ্যভাবে বিচ্যুত মানগুলি নিতে পারে। একটি অনুরূপ উদাহরণ: গড় মজুরি উচ্চ এবং কম বেতনের কর্মীদের ভাগের বিচার করা সম্ভব করে না। অন্য কথায়, কেউ গাণিতিক প্রত্যাশা থেকে বিচার করতে পারে না যে এটি থেকে অন্তত গড়ে কী বিচ্যুতি সম্ভব। এটি করার জন্য, আপনাকে র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বৈচিত্র খুঁজে বের করতে হবে।

একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রকরণ

ভিন্নতাবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম পরিবর্তনশীল এক্সগাণিতিক প্রত্যাশা থেকে এর বিচ্যুতির বর্গক্ষেত্রের গাণিতিক প্রত্যাশা বলা হয়:

একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের আদর্শ বিচ্যুতি এক্সএর প্রকরণের বর্গমূলের গাণিতিক মানকে বলা হয়:

.

উদাহরণ 5।এলোমেলো ভেরিয়েবলের প্রকরণ এবং প্রমিত বিচ্যুতি গণনা করুন এক্সএবং Y, যার বন্টন আইন উপরের টেবিলে দেওয়া আছে।

সমাধান। র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিক প্রত্যাশা এক্সএবং Y, যেমন উপরে পাওয়া গেছে, শূন্যের সমান। এ বিচ্ছুরণ সূত্র অনুযায়ী ই(এক্স)=ই(y)=0 আমরা পাই:

তারপর র্যান্ডম ভেরিয়েবলের স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি এক্সএবং Yআপ করা

.

এইভাবে, একই গাণিতিক প্রত্যাশার সাথে, র্যান্ডম চলকের প্রকরণ এক্সখুব ছোট, কিন্তু একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল Y- উল্লেখযোগ্য। এটি তাদের বিতরণে পার্থক্যের একটি ফলাফল।

উদাহরণ 6.বিনিয়োগকারীর 4টি বিকল্প বিনিয়োগ প্রকল্প রয়েছে। সারণীটি সংশ্লিষ্ট সম্ভাব্যতার সাথে এই প্রকল্পগুলিতে প্রত্যাশিত লাভের সংক্ষিপ্ত বিবরণ দেয়।

প্রকল্প 1	প্রকল্প 2	প্রকল্প 3	প্রকল্প 4
500, পৃ=1	1000, পৃ=0,5	500, পৃ=0,5	500, পৃ=0,5
	0, পৃ=0,5	1000, পৃ=0,25	10500, পৃ=0,25
		0, পৃ=0,25	9500, পৃ=0,25

প্রতিটি বিকল্পের জন্য গাণিতিক প্রত্যাশা, প্রকরণ এবং আদর্শ বিচ্যুতি খুঁজুন।

সমাধান। আসুন দেখাই কিভাবে এই মানগুলি 3য় বিকল্পের জন্য গণনা করা হয়:

সারণী সব বিকল্পের জন্য পাওয়া মান সংক্ষিপ্ত করে।

সমস্ত বিকল্প একই গাণিতিক প্রত্যাশা আছে. এর মানে দীর্ঘমেয়াদে সবার আয় সমান। স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতিকে ঝুঁকির পরিমাপ হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে - এটি যত বেশি, বিনিয়োগের ঝুঁকি তত বেশি। একজন বিনিয়োগকারী যে বেশি ঝুঁকি নিতে চায় না সে প্রকল্প 1 বেছে নেবে কারণ এতে সবচেয়ে ছোট স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি (0) রয়েছে। বিনিয়োগকারী যদি স্বল্প সময়ের মধ্যে ঝুঁকি এবং উচ্চ রিটার্ন পছন্দ করেন, তাহলে তিনি সবচেয়ে বড় স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি সহ প্রকল্পটি বেছে নেবেন - প্রকল্প 4।

বিচ্ছুরণ বৈশিষ্ট্য

আসুন বিচ্ছুরণের বৈশিষ্ট্য উপস্থাপন করি।

সম্পত্তি 1.একটি ধ্রুবক মানের প্রকরণ শূন্য:

সম্পত্তি 2।ধ্রুবক ফ্যাক্টরকে বর্গ করে বিচ্ছুরণ চিহ্ন থেকে বের করা যেতে পারে:

.

সম্পত্তি 3.একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রকরণ এই মানের বর্গক্ষেত্রের গাণিতিক প্রত্যাশার সমান, যেখান থেকে মানের গাণিতিক প্রত্যাশার বর্গটি বিয়োগ করা হয়:

,

কোথায় .

সম্পত্তি 4.এলোমেলো ভেরিয়েবলের যোগফলের (পার্থক্য) পার্থক্য তাদের প্রকরণের যোগফলের (পার্থক্য) সমান:

উদাহরণ 7.এটি একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম পরিবর্তনশীল যে পরিচিত এক্সশুধুমাত্র দুটি মান লাগে: −3 এবং 7। উপরন্তু, গাণিতিক প্রত্যাশা জানা যায়: ই(এক্স) = 4। একটি বিচ্ছিন্ন এলোমেলো চলকের প্রকরণ খুঁজুন।

সমাধান। আমাদের দ্বারা চিহ্নিত করা যাক পিসম্ভাব্যতা যার সাথে একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল একটি মান নেয় এক্স1 = −3 . তারপর মানের সম্ভাবনা এক্স2 = 7 1 − হবে পি. আসুন গাণিতিক প্রত্যাশার সমীকরণটি বের করি:

ই(এক্স) = এক্স 1 পি + এক্স 2 (1 − পি) = −3পি + 7(1 − পি) = 4 ,

যেখানে আমরা সম্ভাব্যতা পাই: পি= 0.3 এবং 1 − পি = 0,7 .

এলোমেলো ভেরিয়েবলের বন্টন আইন:

এক্স	−3	7
পি	0,3	0,7

আমরা বিচ্ছুরণের বৈশিষ্ট্য 3 থেকে সূত্র ব্যবহার করে এই র্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রকরণ গণনা করি:

ডি(এক্স) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .

একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিক প্রত্যাশা নিজেই খুঁজুন এবং তারপর সমাধানটি দেখুন

উদাহরণ 8।বিচ্ছিন্ন এলোমেলো পরিবর্তনশীল এক্সমাত্র দুটি মান লাগে। এটি সম্ভাব্যতা 0.4 সহ 3 এর বড় মান গ্রহণ করে। এছাড়াও, র্যান্ডম চলকের বৈচিত্র্য জানা যায় ডি(এক্স) = 6। একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলের গাণিতিক প্রত্যাশা খুঁজুন।

উদাহরণ 9।মূর্তিটিতে 6টি সাদা এবং 4টি কালো বল রয়েছে। 3 বল ভুট্টা থেকে টানা হয়. টানা বলের মধ্যে সাদা বলের সংখ্যা একটি বিচ্ছিন্ন এলোমেলো পরিবর্তনশীল এক্স. এই র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিক প্রত্যাশা এবং তারতম্য খুঁজুন।

সমাধান। এলোমেলো মান এক্স 0, 1, 2, 3 মান নিতে পারে। সংশ্লিষ্ট সম্ভাব্যতাগুলি থেকে গণনা করা যেতে পারে সম্ভাব্যতা গুণের নিয়ম. এলোমেলো ভেরিয়েবলের বন্টন আইন:

এক্স	0	1	2	3
পি	1/30	3/10	1/2	1/6

তাই এই র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিক প্রত্যাশা:

এম(এক্স) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .

প্রদত্ত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রকরণ হল:

ডি(এক্স) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .

একটি অবিচ্ছিন্ন এলোমেলো পরিবর্তনশীলের প্রত্যাশা এবং প্রকরণ

একটি অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম পরিবর্তনশীলের জন্য, গাণিতিক প্রত্যাশার যান্ত্রিক ব্যাখ্যা একই অর্থ ধরে রাখবে: ঘনত্ব সহ x-অক্ষের উপর অবিচ্ছিন্নভাবে বিতরণ করা একক ভরের ভরের কেন্দ্র। চ(এক্স) একটি পৃথক র্যান্ডম ভেরিয়েবল থেকে ভিন্ন, যার ফাংশন আর্গুমেন্ট এক্সiআকস্মিকভাবে পরিবর্তিত হয়; একটি অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য, যুক্তি ক্রমাগত পরিবর্তিত হয়। কিন্তু একটি অবিচ্ছিন্ন এলোমেলো চলকের গাণিতিক প্রত্যাশা তার গড় মানের সাথেও সম্পর্কিত।

একটি অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিক প্রত্যাশা এবং তারতম্য খুঁজে পেতে, আপনাকে নির্দিষ্ট অখণ্ডগুলি খুঁজে বের করতে হবে . যদি একটি অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম চলকের ঘনত্ব ফাংশন দেওয়া হয়, তাহলে এটি সরাসরি ইন্টিগ্র্যান্ডে প্রবেশ করে। যদি একটি সম্ভাব্যতা বন্টন ফাংশন দেওয়া হয়, তাহলে এটিকে আলাদা করে, আপনাকে ঘনত্ব ফাংশনটি খুঁজে বের করতে হবে।

একটি অবিচ্ছিন্ন এলোমেলো চলকের সমস্ত সম্ভাব্য মানের গাণিতিক গড়কে এর বলা হয় গাণিতিক প্রত্যাশা, বা দ্বারা চিহ্নিত।

প্রত্যাশিত মান

বিচ্ছুরণক্রমাগত এলোমেলো পরিবর্তনশীল X, যার সম্ভাব্য মানগুলি সম্পূর্ণ অক্স অক্ষের অন্তর্গত, সমতা দ্বারা নির্ধারিত হয়:

সেবার উদ্দেশ্য. অনলাইন ক্যালকুলেটর ডিজাইন করা হয়েছে সমস্যা সমাধানের জন্য যা হয় বন্টন ঘনত্ব f(x) বা বিতরণ ফাংশন F(x) (উদাহরণ দেখুন)। সাধারণত এই ধরনের কাজগুলিতে আপনাকে খুঁজে বের করতে হবে গাণিতিক প্রত্যাশা, আদর্শ বিচ্যুতি, প্লট ফাংশন f(x) এবং F(x).

নির্দেশনা। উৎস ডেটার ধরন নির্বাচন করুন: বিতরণ ঘনত্ব f(x) বা বিতরণ ফাংশন F(x)।

বন্টন ঘনত্ব f(x) দেওয়া হয়েছে:

ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন F(x) দেওয়া হয়েছে:

একটি অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম পরিবর্তনশীল একটি সম্ভাব্য ঘনত্ব দ্বারা নির্দিষ্ট করা হয়
(Rayleigh বিতরণ আইন - রেডিও প্রকৌশলে ব্যবহৃত)। M(x), D(x) খুঁজুন।

এলোমেলো চলক X বলা হয় একটানা , যদি এর বিতরণ ফাংশন F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
একটি অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন একটি প্রদত্ত ব্যবধানে র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সম্ভাব্যতা গণনা করতে ব্যবহৃত হয়:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
তদুপরি, একটি অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য, এটির সীমানা এই ব্যবধানে অন্তর্ভুক্ত কিনা তা বিবেচ্য নয়:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
বন্টন ঘনত্ব একটি অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম চলককে ফাংশন বলা হয়
f(x)=F’(x), ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশনের ডেরিভেটিভ।

বন্টন ঘনত্বের বৈশিষ্ট্য

1. র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বন্টন ঘনত্ব হল x এর সমস্ত মানের জন্য অ-ঋণাত্মক (f(x) ≥ 0)।
2. স্বাভাবিকীকরণ শর্ত:

স্বাভাবিকীকরণ অবস্থার জ্যামিতিক অর্থ: বন্টন ঘনত্ব বক্ররেখার অধীন এলাকা একতার সমান।
3. একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল X α থেকে β পর্যন্ত ব্যবধানে পড়ার সম্ভাবনা সূত্রটি ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে

জ্যামিতিকভাবে, এই ব্যবধানের উপর ভিত্তি করে বন্টন ঘনত্ব বক্ররেখার অধীনে বক্ররেখার ট্র্যাপিজয়েডের ক্ষেত্রফলের সমান (α, β) একটি অবিচ্ছিন্ন এলোমেলো চলক X-এর সম্ভাব্যতা।
4. বন্টন ফাংশন ঘনত্বের পরিপ্রেক্ষিতে নিম্নরূপ প্রকাশ করা হয়:

x বিন্দুতে বন্টন ঘনত্বের মান এই মানটি গ্রহণ করার সম্ভাবনার সমান নয়; একটি অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম পরিবর্তনশীলের জন্য আমরা শুধুমাত্র একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানে পড়ার সম্ভাবনা সম্পর্কে কথা বলতে পারি। দিন )