সংখ্যাকে গুণ করার সময় সূচকের সাথে কী ঘটে। ডিগ্রির বৈশিষ্ট্য: সূত্র, প্রমাণ, উদাহরণ। একটি নেতিবাচক ভিত্তি সঙ্গে ডিগ্রী
একটি বীজগণিত পাঠে 7ম গ্রেডের প্রথম দিকে গণিতের একটি ডিগ্রির ধারণাটি চালু করা হয়। এবং ভবিষ্যতে, গণিত অধ্যয়নের পুরো কোর্স জুড়ে, এই ধারণাটি সক্রিয়ভাবে বিভিন্ন আকারে ব্যবহৃত হয়। ডিগ্রীগুলি একটি বরং কঠিন বিষয়, যার জন্য মানগুলির মুখস্থ করা এবং সঠিকভাবে এবং দ্রুত গণনা করার ক্ষমতা প্রয়োজন। গণিত ডিগ্রীর সাথে দ্রুত এবং ভাল কাজের জন্য, তারা একটি ডিগ্রীর বৈশিষ্ট্য নিয়ে এসেছিল। তারা বড় গণনা কমাতে সাহায্য করে, একটি বিশাল উদাহরণকে একক সংখ্যায় কিছু মাত্রায় রূপান্তর করতে। এতগুলি বৈশিষ্ট্য নেই এবং সেগুলি সবগুলি মনে রাখা এবং অনুশীলনে প্রয়োগ করা সহজ। অতএব, নিবন্ধটি ডিগ্রীর প্রধান বৈশিষ্ট্যগুলি এবং সেইসাথে সেগুলি কোথায় প্রয়োগ করা হয় তা নিয়ে আলোচনা করে।
ডিগ্রী বৈশিষ্ট্য
আমরা একই ভিত্তি সহ ক্ষমতার বৈশিষ্ট্য সহ একটি ডিগ্রির 12টি বৈশিষ্ট্য বিবেচনা করব এবং প্রতিটি সম্পত্তির জন্য একটি উদাহরণ দেব। এই বৈশিষ্ট্যগুলির প্রতিটি আপনাকে দ্রুত ডিগ্রী সহ সমস্যাগুলি সমাধান করতে সাহায্য করবে, সেইসাথে আপনাকে অসংখ্য গণনাগত ত্রুটি থেকে রক্ষা করবে।
১ম সম্পত্তি।
অনেক মানুষ প্রায়ই এই সম্পত্তি সম্পর্কে ভুলে যায়, ভুল করে, একটি সংখ্যাকে শূন্য ডিগ্রী থেকে শূন্য হিসাবে উপস্থাপন করে।
২য় সম্পত্তি।
3য় সম্পত্তি।
এটা অবশ্যই মনে রাখতে হবে যে এই সম্পত্তি শুধুমাত্র সংখ্যা গুন করার সময় ব্যবহার করা যেতে পারে, এটি যোগফলের সাথে কাজ করে না! এবং আমাদের ভুলে যাওয়া উচিত নয় যে এই এবং নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলি শুধুমাত্র একই বেস সহ ক্ষমতার ক্ষেত্রে প্রযোজ্য।
৪র্থ সম্পত্তি।
যদি হর-এর সংখ্যাটি একটি ঋণাত্মক শক্তিতে উত্থাপিত হয়, তাহলে বিয়োগ করার সময়, আরও গণনায় চিহ্নটিকে সঠিকভাবে প্রতিস্থাপন করার জন্য হরটির ডিগ্রি বন্ধনীতে নেওয়া হয়।
সম্পত্তি শুধুমাত্র ভাগ করার সময় কাজ করে, বিয়োগ করার সময় নয়!
৫ম সম্পত্তি।
৬ষ্ঠ সম্পত্তি।
এই বৈশিষ্ট্যটি বিপরীতেও প্রয়োগ করা যেতে পারে। একটি সংখ্যা দ্বারা কিছু মাত্রায় ভাগ করলে সেই সংখ্যাটিকে একটি ঋণাত্মক শক্তি বলে।
7ম সম্পত্তি।
এই সম্পত্তি যোগফল এবং পার্থক্য প্রয়োগ করা যাবে না! একটি শক্তির যোগফল বা পার্থক্য বাড়ানোর সময়, সংক্ষিপ্ত গুণের সূত্র ব্যবহার করা হয়, শক্তির বৈশিষ্ট্য নয়।
8 ম সম্পত্তি।
9ম সম্পত্তি।
এই বৈশিষ্ট্যটি যেকোন ভগ্নাংশের ডিগ্রীর জন্য কাজ করে যার একটি সমান একটি লব রয়েছে, সূত্রটি একই হবে, শুধুমাত্র মূলের ডিগ্রী ডিগ্রীর হর এর উপর নির্ভর করে পরিবর্তিত হবে।
এছাড়াও, এই সম্পত্তি প্রায়ই বিপরীত ক্রমে ব্যবহৃত হয়। একটি সংখ্যার যেকোন ঘাতের মূলকে সেই সংখ্যা হিসাবে উপস্থাপিত করা যেতে পারে যেটি মূলের শক্তি দ্বারা বিভক্ত একটি সংখ্যার শক্তিতে। এই বৈশিষ্ট্যটি এমন ক্ষেত্রে খুবই উপযোগী যেখানে সংখ্যার মূল বের করা হয় না।
দশম সম্পত্তি।
এই বৈশিষ্ট্যটি শুধুমাত্র বর্গমূল এবং দ্বিতীয় ডিগ্রির সাথে কাজ করে না। যদি মূলের মাত্রা এবং এই মূলটি যে ডিগ্রিতে উত্থাপিত হয় তা যদি একই হয় তবে উত্তরটি একটি আমূল অভিব্যক্তি হবে।
11 তম সম্পত্তি।
বিশাল গণনা থেকে নিজেকে বাঁচানোর জন্য এটি সমাধান করার সময় আপনাকে সময়মতো এই সম্পত্তিটি দেখতে সক্ষম হতে হবে।
12 তম সম্পত্তি।
এই বৈশিষ্ট্যগুলির প্রত্যেকটি কাজের মধ্যে একাধিকবার আপনার সাথে দেখা করবে, এটি তার বিশুদ্ধ আকারে দেওয়া যেতে পারে, বা এটির জন্য কিছু রূপান্তর এবং অন্যান্য সূত্রের ব্যবহার প্রয়োজন হতে পারে। অতএব, সঠিক সমাধানের জন্য, শুধুমাত্র বৈশিষ্ট্যগুলি জানা যথেষ্ট নয়, আপনাকে অনুশীলন করতে হবে এবং বাকি গাণিতিক জ্ঞান সংযুক্ত করতে হবে।
ডিগ্রী এবং তাদের বৈশিষ্ট্য প্রয়োগ
তারা সক্রিয়ভাবে বীজগণিত এবং জ্যামিতি ব্যবহার করা হয়. গণিতের ডিগ্রির একটি আলাদা, গুরুত্বপূর্ণ স্থান রয়েছে। তাদের সাহায্যে, সূচকীয় সমীকরণ এবং অসমতাগুলি সমাধান করা হয়, পাশাপাশি ক্ষমতাগুলি প্রায়শই গণিতের অন্যান্য বিভাগগুলির সাথে সম্পর্কিত সমীকরণ এবং উদাহরণগুলিকে জটিল করে তোলে। সূচকগুলি বড় এবং দীর্ঘ গণনা এড়াতে সহায়তা করে, সূচকগুলি হ্রাস করা এবং গণনা করা সহজ। কিন্তু বৃহৎ শক্তি, বা বৃহৎ সংখ্যার ক্ষমতার সাথে কাজ করার জন্য, আপনাকে কেবলমাত্র ডিগ্রির বৈশিষ্ট্যগুলিই জানতে হবে না, বরং দক্ষতার সাথে ঘাঁটিগুলির সাথে কাজ করতে হবে, আপনার কাজকে সহজ করার জন্য সেগুলিকে পচন করতে সক্ষম হবেন। সুবিধার জন্য, আপনার একটি পাওয়ারে উত্থাপিত সংখ্যার অর্থও জানা উচিত। এটি দীর্ঘ গণনার প্রয়োজনীয়তা দূর করে সমাধানে আপনার সময় কমিয়ে দেবে।
ডিগ্রির ধারণা লগারিদমে একটি বিশেষ ভূমিকা পালন করে। যেহেতু লগারিদম, মূলত, একটি সংখ্যার শক্তি।
সংক্ষিপ্ত গুণন সূত্রগুলি ক্ষমতা ব্যবহারের আরেকটি উদাহরণ। তারা ডিগ্রির বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করতে পারে না, বিশেষ নিয়ম অনুসারে সেগুলি পচে যায়, তবে প্রতিটি সংক্ষিপ্ত গুণের সূত্রে অবিচ্ছিন্নভাবে ডিগ্রি থাকে।
ডিগ্রিগুলি পদার্থবিদ্যা এবং কম্পিউটার বিজ্ঞানেও সক্রিয়ভাবে ব্যবহৃত হয়। এসআই সিস্টেমে সমস্ত অনুবাদ ডিগ্রী ব্যবহার করে করা হয় এবং ভবিষ্যতে, সমস্যাগুলি সমাধান করার সময়, ডিগ্রির বৈশিষ্ট্যগুলি প্রয়োগ করা হয়। কম্পিউটার বিজ্ঞানে, সংখ্যার উপলব্ধি গণনা এবং সরলীকরণের সুবিধার জন্য দুটির ক্ষমতা সক্রিয়ভাবে ব্যবহৃত হয়। পরিমাপের এককের রূপান্তর বা সমস্যার গণনার জন্য আরও গণনা, ঠিক যেমন পদার্থবিজ্ঞানে, ডিগ্রির বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে ঘটে।
ডিগ্রীগুলি জ্যোতির্বিদ্যাতেও খুব দরকারী, যেখানে আপনি খুব কমই একটি ডিগ্রির বৈশিষ্ট্যগুলির ব্যবহার খুঁজে পেতে পারেন, তবে ডিগ্রিগুলি নিজেই বিভিন্ন পরিমাণ এবং দূরত্বের রেকর্ডিংকে ছোট করতে সক্রিয়ভাবে ব্যবহৃত হয়।
ডিগ্রীগুলি দৈনন্দিন জীবনেও ব্যবহৃত হয়, যখন এলাকা, আয়তন, দূরত্ব গণনা করা হয়।
ডিগ্রির সাহায্যে, বিজ্ঞানের যে কোনও ক্ষেত্রে খুব বড় এবং খুব ছোট মানগুলি লেখা হয়।
সূচকীয় সমীকরণ এবং অসমতা
ডিগ্রী বৈশিষ্ট্য সূচকীয় সমীকরণ এবং অসমতার মধ্যে অবিকল একটি বিশেষ স্থান দখল করে। স্কুল কোর্স এবং পরীক্ষা উভয় ক্ষেত্রেই এই কাজগুলো খুবই সাধারণ। ডিগ্রীর বৈশিষ্ট্য প্রয়োগ করে তাদের সব সমাধান করা হয়। অজানা সর্বদাই ডিগ্রীতে থাকে, অতএব, সমস্ত বৈশিষ্ট্য জেনে, এই জাতীয় সমীকরণ বা অসমতা সমাধান করা কঠিন হবে না।
ক্ষমতার যোগ ও বিয়োগ
স্পষ্টতই, ক্ষমতা সহ সংখ্যাগুলি অন্যান্য রাশির মতো যোগ করা যেতে পারে , তাদের চিহ্নগুলির সাথে একের পর এক যোগ করে.
সুতরাং, a 3 এবং b 2 এর যোগফল a 3 + b 2।
a 3 - b n এবং h 5 -d 4 এর যোগফল a 3 - b n + h 5 - d 4।
মতভেদ একই ভেরিয়েবলের একই ক্ষমতাযোগ বা বিয়োগ করা যেতে পারে।
সুতরাং, 2a 2 এবং 3a 2 এর যোগফল হল 5a 2।
এটাও সুস্পষ্ট যে আমরা যদি দুটি বর্গ ক, বা তিন বর্গ ক, বা পাঁচ বর্গ ক নিই।
কিন্তু ডিগ্রি বিভিন্ন ভেরিয়েবলএবং বিভিন্ন ডিগ্রী অভিন্ন ভেরিয়েবল, অবশ্যই তাদের চিহ্নগুলিতে যোগ করে যোগ করতে হবে।
সুতরাং, a 2 এবং a 3 এর যোগফল a 2 + a 3 এর সমষ্টি।
এটা স্পষ্ট যে a এর বর্গ এবং a এর ঘনক্ষেত্র a এর বর্গের দ্বিগুণ নয়, বরং a এর কিউবের দ্বিগুণ।
a 3 b n এবং 3a 5 b 6 এর সমষ্টি একটি 3 b n + 3a 5 b 6।
বিয়োগক্ষমতাগুলি যোগ করার মতো একইভাবে সঞ্চালিত হয়, ব্যতীত সাবট্রাহেন্ডের চিহ্নগুলি সেই অনুযায়ী পরিবর্তন করতে হবে।
বা:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3 ঘন্টা 2 খ 6 - 4 ঘন্টা 2 খ 6 \u003d -ঘ 2 খ 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6
শক্তি গুণন
ক্ষমতা সহ সংখ্যাগুলিকে তাদের মধ্যে গুণ চিহ্ন সহ বা ছাড়াই একটির পর একটি লিখে অন্যান্য রাশির মতো গুণ করা যেতে পারে।
সুতরাং, a 3 কে b 2 দ্বারা গুন করার ফলাফল হল a 3 b 2 বা aaabb।
বা:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
শেষ উদাহরণের ফলাফল একই ভেরিয়েবল যোগ করে অর্ডার করা যেতে পারে।
অভিব্যক্তিটি রূপ নেবে: a 5 b 5 y 3 ।
বেশ কয়েকটি সংখ্যার (ভেরিয়েবল) শক্তির সাথে তুলনা করে, আমরা দেখতে পাব যে তাদের যেকোনো দুটিকে গুণ করলে ফলাফল হবে একটি সংখ্যা (পরিবর্তনশীল) যার শক্তি সমান। যোগফলপদের ডিগ্রী।
সুতরাং, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5।
এখানে 5 হল গুণের ফলাফলের শক্তি, 2 + 3 এর সমান, পদগুলির শক্তির যোগফল।
সুতরাং, a n .a m = a m+n ।
একটি n এর জন্য, a কে একটি গুণনীয়ক হিসাবে n এর শক্তি যতবার নেওয়া হয়;
এবং a m, ডিগ্রী m এর সমান যতবার গুণনীয়ক হিসাবে নেওয়া হয়;
তাই, সূচক যোগ করে একই ঘাঁটির শক্তিগুলিকে গুণ করা যেতে পারে।
সুতরাং, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8। এবং x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6।
বা:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
গুণ করুন (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y)।
উত্তরঃ x 4 - y 4।
গুন করুন (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1)।
এই নিয়মটি সেই সংখ্যাগুলির জন্যও সত্য যার সূচকগুলি হল −৷ নেতিবাচক.
1. সুতরাং, a -2 .a -3 = a -5। এটিকে (1/aa) হিসাবে লেখা যেতে পারে।(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y-n .y-m = y-n-m।
3. a -n .a m = a m-n।
a + b কে a - b দ্বারা গুণ করা হলে ফলাফল হবে a 2 - b 2: অর্থাৎ
দুটি সংখ্যার যোগফল বা পার্থক্যকে গুণ করার ফলাফল তাদের বর্গের সমষ্টি বা পার্থক্যের সমান।
দুটি সংখ্যার যোগফল এবং পার্থক্য হলে বর্গক্ষেত্র, ফলাফল এই সংখ্যার যোগফল বা পার্থক্যের সমান হবে চতুর্থডিগ্রী
সুতরাং, (a - y)।(a + y) = a 2 - y 2।
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 ।
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 ।
ক্ষমতার বিভাজন
ভাজক থেকে বিয়োগ করে বা ভগ্নাংশ আকারে স্থাপন করে পাওয়ার সংখ্যাগুলিকে অন্যান্য সংখ্যার মতো ভাগ করা যায়।
সুতরাং a 3 b 2 কে b 2 দিয়ে ভাগ করলে a 3 হয়।
5 কে 3 দিয়ে ভাগ করলে তা $\frac এর মত দেখায় $ কিন্তু এটি একটি 2 এর সমান। সংখ্যার একটি সিরিজে
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 ।
যেকোনো সংখ্যাকে অন্য একটি দ্বারা ভাগ করা যায় এবং সূচকটি সমান হবে পার্থক্যবিভাজ্য সংখ্যার সূচক।
একই ভিত্তি দিয়ে শক্তি ভাগ করার সময়, তাদের সূচকগুলি বিয়োগ করা হয়।.
সুতরাং, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1। অর্থাৎ, $\frac = y$।
এবং একটি n+1:a = a n+1-1 = a n। অর্থাৎ, $\frac = a^n$।
বা:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3
নিয়মটি সংখ্যার জন্যও বৈধ নেতিবাচকডিগ্রী মান।
a -5 কে a -3 দ্বারা ভাগ করার ফলাফল a -2।
এছাড়াও, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $।
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 বা $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$
ক্ষমতার গুণন এবং ভাগকে খুব ভালভাবে আয়ত্ত করা প্রয়োজন, যেহেতু এই ধরনের ক্রিয়াকলাপগুলি বীজগণিতে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়।
ক্ষমতা সহ সংখ্যা সম্বলিত ভগ্নাংশ সহ উদাহরণ সমাধানের উদাহরণ
1. $\frac $ এ সূচক হ্রাস করুন উত্তর: $\frac $।
2. $\frac$-এ সূচকগুলি হ্রাস করুন। উত্তর: $\frac $ বা 2x।
3. a 2 / a 3 এবং a -3 / a -4 সূচকগুলি হ্রাস করুন এবং একটি সাধারণ হর আনুন।
a 2 .a -4 হল একটি -2 প্রথম লব।
a 3 .a -3 হল একটি 0 = 1, দ্বিতীয় লব।
a 3 .a -4 হল a -1, সাধারণ লব।
সরলীকরণের পরে: a -2 /a -1 এবং 1/a -1।
4. 2a 4 /5a 3 এবং 2 /a 4 সূচকগুলিকে কমিয়ে একটি সাধারণ হর এ আনুন।
উত্তর: 2a 3 / 5a 7 এবং 5a 5 / 5a 7 বা 2a 3 / 5a 2 এবং 5/5a 2।
5. (a 3 + b)/b 4 কে (a - b)/3 দ্বারা গুণ করুন।
6. (a 5 + 1)/x 2 কে (b 2 - 1)/(x + a) দ্বারা গুণ করুন।
7. b 4 /a -2 কে h -3 /x এবং a n /y -3 দ্বারা গুণ করুন।
8. একটি 4 /y 3 কে একটি 3 /y 2 দ্বারা ভাগ করুন। উত্তর: a/y.
ডিগ্রী বৈশিষ্ট্য
আমরা আপনাকে মনে করিয়ে দিচ্ছি যে এই পাঠে আমরা বুঝতে পারি ডিগ্রী বৈশিষ্ট্যপ্রাকৃতিক সূচক এবং শূন্য সহ। যৌক্তিক সূচক সহ ডিগ্রী এবং তাদের বৈশিষ্ট্যগুলি গ্রেড 8 এর পাঠে আলোচনা করা হবে।
একটি প্রাকৃতিক সূচক সহ একটি সূচকের বেশ কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য রয়েছে যা আপনাকে সূচক উদাহরণগুলিতে গণনা সহজ করতে দেয়।
সম্পত্তি #1
ক্ষমতার পণ্য
একই বেসের সাথে শক্তিগুলিকে গুণ করার সময়, ভিত্তি অপরিবর্তিত থাকে এবং সূচক যোগ করা হয়।
a m a n \u003d a m + n, যেখানে "a" যেকোন সংখ্যা এবং "m", "n" যেকোন স্বাভাবিক সংখ্যা।
ক্ষমতার এই বৈশিষ্ট্য তিন বা ততোধিক ক্ষমতার গুণফলকেও প্রভাবিত করে।
- অভিব্যক্তি সরলীকরণ করুন।
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15 - ডিগ্রী হিসাবে উপস্থিত।
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17 - ডিগ্রী হিসাবে উপস্থিত।
(0.8) 3 (0.8) 12 = (0.8) 3 + 12 = (0.8) 15 - ভাগফলকে শক্তি হিসেবে লেখ
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 −3 = (2b) 2 - হিসাব করুন।
অনুগ্রহ করে মনে রাখবেন যে নির্দেশিত সম্পত্তিতে এটি শুধুমাত্র একই ঘাঁটিগুলির সাথে ক্ষমতাগুলিকে গুণ করার বিষয়ে ছিল৷. এটি তাদের সংযোজনের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য নয়।
আপনি যোগফল (3 3 + 3 2) 3 5 দিয়ে প্রতিস্থাপন করতে পারবেন না। এই যদি বোধগম্য
গণনা করুন (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 এবং 3 5 = 243
সম্পত্তি #2
ব্যক্তিগত ডিগ্রি
একই বেসের সাথে শক্তিগুলিকে ভাগ করার সময়, ভিত্তিটি অপরিবর্তিত থাকে এবং ভাজকের সূচকটি লভ্যাংশের সূচক থেকে বিয়োগ করা হয়।
11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
উদাহরণ। সমীকরণটি সমাধান করুন। আমরা আংশিক ডিগ্রির সম্পত্তি ব্যবহার করি।
3 8: t = 3 4
উত্তর: t = 3 4 = 81
বৈশিষ্ট্য নং 1 এবং নং 2 ব্যবহার করে, আপনি সহজেই অভিব্যক্তি সরল করতে এবং গণনা সম্পাদন করতে পারেন।
উদাহরণ। অভিব্যক্তি সরলীকরণ করুন।
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m −3 = 4 2m + 5
উদাহরণ। ডিগ্রী বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে একটি অভিব্যক্তির মান খুঁজুন।
2 11 − 5 = 2 6 = 64
দয়া করে মনে রাখবেন যে সম্পত্তি 2 শুধুমাত্র একই ঘাঁটিগুলির সাথে ক্ষমতার বিভাজনের সাথে মোকাবিলা করে।
আপনি পার্থক্যটি (4 3 −4 2) 4 1 দিয়ে প্রতিস্থাপন করতে পারবেন না। আপনি যদি (4 3 −4 2) = (64 −16) = 48, এবং 4 1 = 4 গণনা করেন তবে এটি বোধগম্য।
সম্পত্তি #3
ব্যাখ্যা
একটি শক্তিকে একটি শক্তিতে উত্থাপন করার সময়, শক্তির ভিত্তি অপরিবর্তিত থাকে এবং সূচকগুলি গুণিত হয়।
(a n) m \u003d a n m, যেখানে "a" যেকোন সংখ্যা এবং "m", "n" যেকোন স্বাভাবিক সংখ্যা।
আমরা আপনাকে মনে করিয়ে দিচ্ছি যে একটি ভাগফলকে একটি ভগ্নাংশ হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। অতএব, আমরা পরের পৃষ্ঠায় আরও বিশদে ভগ্নাংশকে শক্তিতে উত্থাপন করার বিষয়ে আলোচনা করব।
কিভাবে ক্ষমতা গুন করতে হয়
কিভাবে ক্ষমতা গুন? কোন শক্তিকে গুণ করা যায় আর কোনটি পারে না? আপনি কীভাবে একটি সংখ্যাকে একটি শক্তি দ্বারা গুণ করবেন?
বীজগণিতে, আপনি দুটি ক্ষেত্রে শক্তির গুণফল খুঁজে পেতে পারেন:
1) যদি ডিগ্রিগুলির একই ভিত্তি থাকে;
2) যদি ডিগ্রীর একই সূচক থাকে।
একই বেসের সাথে শক্তিগুলিকে গুণ করার সময়, ভিত্তিটি অবশ্যই একই থাকতে হবে এবং সূচকগুলি অবশ্যই যোগ করতে হবে:
একই সূচকগুলির সাথে ডিগ্রী গুণ করার সময়, বন্ধনী থেকে মোট সূচকটি নেওয়া যেতে পারে:
সুনির্দিষ্ট উদাহরণ সহ, কিভাবে ক্ষমতা গুন করতে হয় তা বিবেচনা করুন।
সূচকে একক লেখা হয় না, তবে ডিগ্রী গুণ করার সময় তারা বিবেচনা করে:
গুণ করার সময়, ডিগ্রীর সংখ্যা যেকোনো হতে পারে। এটি মনে রাখা উচিত যে আপনি অক্ষরের আগে গুণ চিহ্ন লিখতে পারবেন না:
অভিব্যক্তিতে, ব্যাখ্যা প্রথমে সঞ্চালিত হয়।
আপনার যদি একটি সংখ্যাকে একটি শক্তি দ্বারা গুণ করতে হয় তবে আপনাকে প্রথমে সূচক সম্পাদন করতে হবে এবং শুধুমাত্র তারপর - গুণন:
একই বেস সহ গুন ক্ষমতা
এই ভিডিও টিউটোরিয়াল সাবস্ক্রিপশন দ্বারা উপলব্ধ
আপনি ইতিমধ্যে একটি সদস্যতা আছে? ফন্ত
এই পাঠে, আমরা শিখব কিভাবে একই বেস দিয়ে শক্তিকে গুণ করতে হয়। প্রথমত, আমরা ডিগ্রির সংজ্ঞাটি স্মরণ করি এবং সমতার বৈধতার উপর একটি উপপাদ্য তৈরি করি . তারপর আমরা নির্দিষ্ট সংখ্যায় এর প্রয়োগের উদাহরণ দিই এবং প্রমাণ করি। আমরা বিভিন্ন সমস্যা সমাধানের জন্য উপপাদ্য প্রয়োগ করব।
বিষয়: একটি প্রাকৃতিক সূচক এবং এর বৈশিষ্ট্য সহ ডিগ্রি
পাঠ: একই ঘাঁটি (সূত্র) সহ শক্তি গুণ করা
1. মৌলিক সংজ্ঞা
মৌলিক সংজ্ঞা:
n- সূচক,
— nএকটি সংখ্যার তম শক্তি।
2. উপপাদ্যের বিবৃতি 1
উপপাদ্য ঘ.যেকোনো সংখ্যার জন্য কএবং কোন প্রাকৃতিক nএবং kসমতা সত্য:
অন্য কথায়: যদি ক- যেকোনো সংখ্যা; nএবং kস্বাভাবিক সংখ্যা, তারপর:
তাই নিয়ম 1:
3. কাজ ব্যাখ্যা
উপসংহার:বিশেষ ক্ষেত্রে উপপাদ্য নং 1 এর সঠিকতা নিশ্চিত করেছে। আসুন সাধারণ ক্ষেত্রে এটি প্রমাণ করা যাক, যে কোনও ক্ষেত্রে কএবং কোন প্রাকৃতিক nএবং k.
4. উপপাদ্যের প্রমাণ 1
একটি নম্বর দিয়েছেন ক- যেকোনো; সংখ্যা nএবং k-প্রাকৃতিক. প্রমাণ করুন:
প্রমাণটি ডিগ্রির সংজ্ঞার উপর ভিত্তি করে।
5. উপপাদ্য 1 ব্যবহার করে উদাহরণের সমাধান
উদাহরণ 1:ডিগ্রী হিসাবে উপস্থিত।
নিম্নলিখিত উদাহরণগুলি সমাধান করতে, আমরা উপপাদ্য 1 ব্যবহার করি।
ছ) 
6. উপপাদ্য 1 এর সাধারণীকরণ
এখানে একটি সাধারণীকরণ আছে:
7. উপপাদ্য 1 এর সাধারণীকরণ ব্যবহার করে উদাহরণের সমাধান
8. উপপাদ্য 1 ব্যবহার করে বিভিন্ন সমস্যার সমাধান
উদাহরণ 2:গণনা করুন (আপনি মৌলিক ডিগ্রির টেবিল ব্যবহার করতে পারেন)।
ক) 
(টেবিল অনুযায়ী)
খ) 
উদাহরণ 3:বেস 2 সহ একটি শক্তি হিসাবে লিখুন।
ক) 
উদাহরণ 4:সংখ্যার চিহ্ন নির্ধারণ করুন:
, ক -ঋণাত্মক কারণ -13 এ সূচকটি বিজোড়।
উদাহরণ 5:একটি বেস দিয়ে একটি শক্তি দিয়ে ( ) প্রতিস্থাপন করুন r:
আমাদের আছে, সেটা হল।
9. সংক্ষিপ্তকরণ
1. ডোরোফিভ জি.ভি., সুভোরোভা এস.বি., বুনিমোভিচ ই.এ. et al. বীজগণিত 7. 6 তম সংস্করণ। এম.: আলোকিতকরণ। 2010
1. স্কুল সহকারী (সূত্র)।
1. ডিগ্রী হিসাবে প্রকাশ করুন:
a B C D E) 
3. বেস 2 সহ একটি শক্তি হিসাবে লিখুন:
4. সংখ্যার চিহ্ন নির্ধারণ করুন:
ক) 
5. একটি সংখ্যার শক্তি দিয়ে ( ) প্রতিস্থাপন করুন একটি বেস দিয়ে r:
ক) r 4 ( ) = r 15 ; b) ( ) r 5 = r 6
একই সূচক সহ শক্তির গুণ ও ভাগ
এই পাঠে, আমরা একই সূচকের সাথে শক্তির গুণন অধ্যয়ন করব। প্রথমত, একই বেস দিয়ে শক্তিকে গুণ ও ভাগ করা এবং একটি শক্তিকে শক্তিতে উন্নীত করার বিষয়ে মৌলিক সংজ্ঞা এবং উপপাদ্যগুলি স্মরণ করি। তারপরে আমরা একই সূচকের সাহায্যে শক্তির গুণ ও ভাগের উপর উপপাদ্যগুলি প্রণয়ন এবং প্রমাণ করি। এবং তারপরে তাদের সহায়তায় আমরা বেশ কয়েকটি সাধারণ সমস্যা সমাধান করব।
মৌলিক সংজ্ঞা এবং উপপাদ্য অনুস্মারক
এখানে ক- ডিগ্রির ভিত্তি
— nএকটি সংখ্যার তম শক্তি।
উপপাদ্য ঘ.যেকোনো সংখ্যার জন্য কএবং কোন প্রাকৃতিক nএবং kসমতা সত্য:
একই বেসের সাথে শক্তিগুলিকে গুণ করার সময়, সূচক যোগ করা হয়, ভিত্তি অপরিবর্তিত থাকে।
উপপাদ্য 2।যেকোনো সংখ্যার জন্য কএবং কোন প্রাকৃতিক nএবং k,যেমন যে n > kসমতা সত্য:
একই বেসের সাথে শক্তিগুলিকে ভাগ করার সময়, সূচকগুলি বিয়োগ করা হয় এবং ভিত্তি অপরিবর্তিত থাকে।
উপপাদ্য 3.যেকোনো সংখ্যার জন্য কএবং কোন প্রাকৃতিক nএবং kসমতা সত্য:
উপরের সমস্ত উপপাদ্য একই সঙ্গে ক্ষমতা সম্পর্কে ছিল ভিত্তি, এই পাঠ একই সঙ্গে ডিগ্রী বিবেচনা করা হবে সূচক.
একই সূচকের সাথে গুন গুণ করার উদাহরণ
নিম্নলিখিত উদাহরণ বিবেচনা করুন:
ডিগ্রী নির্ধারণের জন্য অভিব্যক্তি লিখুন।
উপসংহার:উদাহরণ থেকে, আপনি দেখতে পারেন 
, কিন্তু এটি এখনও প্রমাণ করা প্রয়োজন। আমরা উপপাদ্যটি প্রণয়ন করি এবং এটিকে সাধারণ ক্ষেত্রে প্রমাণ করি, যে কোনও ক্ষেত্রে কএবং খএবং কোন প্রাকৃতিক n
উপপাদ্য 4 এর বিবৃতি এবং প্রমাণ
যেকোনো সংখ্যার জন্য কএবং খএবং কোন প্রাকৃতিক nসমতা সত্য:
প্রমাণউপপাদ্য 4 .
ডিগ্রির সংজ্ঞা অনুসারে:
তাই আমরা তা প্রমাণ করেছি .
একই সূচকের সাথে শক্তিগুলিকে গুণ করার জন্য, বেসগুলিকে গুণ করা এবং সূচকটিকে অপরিবর্তিত রেখে দেওয়াই যথেষ্ট।
উপপাদ্য 5 এর বিবৃতি এবং প্রমাণ
আমরা একই সূচকগুলির সাথে শক্তিগুলিকে ভাগ করার জন্য একটি উপপাদ্য তৈরি করি।
যেকোনো সংখ্যার জন্য কএবং খ() এবং কোন প্রাকৃতিক nসমতা সত্য:
প্রমাণউপপাদ্য 5 .
আসুন ডিগ্রীর সংজ্ঞা অনুসারে লিখি:
শব্দে উপপাদ্যের বিবৃতি
তাই আমরা তা প্রমাণ করেছি।
একই সূচকগুলির সাথে ডিগ্রীগুলিকে একে অপরের মধ্যে ভাগ করতে, একটি বেসকে অন্য দ্বারা ভাগ করা এবং সূচকটিকে অপরিবর্তিত রেখে দেওয়াই যথেষ্ট।
উপপাদ্য 4 ব্যবহার করে সাধারণ সমস্যার সমাধান
উদাহরণ 1:ক্ষমতার পণ্য হিসাবে প্রকাশ করুন।
নিম্নলিখিত উদাহরণগুলি সমাধান করতে, আমরা উপপাদ্য 4 ব্যবহার করি।
নিম্নলিখিত উদাহরণটি সমাধান করতে, সূত্রগুলি স্মরণ করুন:
উপপাদ্য 4 এর সাধারণীকরণ
উপপাদ্য 4 এর সাধারণীকরণ:
সাধারণীকৃত উপপাদ্য 4 ব্যবহার করে উদাহরণ সমাধান করা
সাধারণ সমস্যা সমাধান অব্যাহত
উদাহরণ 2:পণ্যের ডিগ্রি হিসাবে লিখুন।
উদাহরণ 3: 2 এর সূচক সহ একটি শক্তি হিসাবে লিখুন।
গণনার উদাহরণ
উদাহরণ 4:সবচেয়ে যুক্তিসঙ্গত উপায়ে গণনা করুন।
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. বীজগণিত 7. M.: VENTANA-GRAF
3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. এবং অন্যান্য। বীজগণিত 7 .এম: শিক্ষা। 2006
2. স্কুল সহকারী (সূত্র)।
1. ক্ষমতার একটি পণ্য হিসাবে উপস্থিত:
ক) ; খ) ; ভিতরে) ; ছ);
2. পণ্যের ডিগ্রি হিসাবে লিখুন:
3. 2 এর সূচক সহ একটি ডিগ্রি আকারে লিখুন:
4. সবচেয়ে যুক্তিসঙ্গত উপায়ে গণনা করুন।
"ক্ষমতার গুণ ও বিভাজন" বিষয়ে গণিত পাঠ
বিভাগ:অংক
শিক্ষাগত লক্ষ্য:
কাজ:
মতবাদের কার্যকলাপ একক:একটি প্রাকৃতিক সূচক সহ ডিগ্রী নির্ধারণ; ডিগ্রী উপাদান; ব্যক্তিগত সংজ্ঞা; গুণের সহযোগী আইন।
I. শিক্ষার্থীদের দ্বারা বিদ্যমান জ্ঞান আয়ত্ত করার একটি প্রদর্শনের সংগঠন। (ধাপ 1)
ক) জ্ঞান আপডেট করা:
2) একটি প্রাকৃতিক সূচক সহ ডিগ্রির একটি সংজ্ঞা প্রণয়ন করুন।
a n \u003d a a a a ... a (n বার)
b k \u003d b b b b a ... b (k বার) আপনার উত্তরকে সমর্থন করুন।
২. প্রাসঙ্গিক অভিজ্ঞতার অধিকারের ডিগ্রি দ্বারা প্রশিক্ষণার্থীর স্ব-মূল্যায়নের সংগঠন। (ধাপ ২)
স্ব-পরীক্ষার জন্য পরীক্ষা: (দুটি সংস্করণে পৃথক কাজ।)
A1) পণ্য 7 7 7 7 x x x একটি শক্তি হিসাবে প্রকাশ করুন:
A2) একটি পণ্য হিসাবে ডিগ্রী (-3) 3 x 2 প্রকাশ করুন
A3) গণনা করুন: -2 3 2 + 4 5 3
আমি ক্লাস লেভেলের প্রস্তুতি অনুসারে পরীক্ষায় কাজের সংখ্যা নির্বাচন করি।
পরীক্ষার জন্য, আমি স্ব-পরীক্ষার জন্য একটি চাবি দিই। মানদণ্ড: পাস-ফেল।
III. শিক্ষাগত এবং ব্যবহারিক কাজ (ধাপ 3) + ধাপ 4. (শিক্ষার্থীরা নিজেরাই বৈশিষ্ট্যগুলি তৈরি করবে)
1) এবং 2) সমস্যাগুলি সমাধান করার সময়, শিক্ষার্থীরা একটি সমাধান প্রস্তাব করে এবং আমি, একজন শিক্ষক হিসাবে, একই বেসগুলির সাথে গুণ করার সময় ক্ষমতাগুলিকে সরল করার উপায় খুঁজে বের করার জন্য একটি ক্লাস সংগঠিত করি।
শিক্ষক: একই বেস দিয়ে গুণ করার সময় ক্ষমতাকে সরল করার উপায় নিয়ে আসুন।
ক্লাস্টারে একটি এন্ট্রি প্রদর্শিত হবে:
পাঠের থিম প্রণয়ন করা হয়। ক্ষমতার গুন।
শিক্ষক: একই বেস দিয়ে ডিগ্রী ভাগ করার জন্য একটি নিয়ম নিয়ে আসুন।
যুক্তি: কোন কর্ম বিভাজন চেক করে? a 5: a 3 =? যে a 2 a 3 = a 5
আমি স্কিমে ফিরে আসি - একটি ক্লাস্টার এবং এন্ট্রির পরিপূরক - .. ভাগ করার সময়, পাঠের বিষয় বিয়োগ এবং যোগ করুন। ...এবং ডিগ্রির বিভাজন।
IV জ্ঞানের সীমার শিক্ষার্থীদের সাথে যোগাযোগ (সর্বাধিক এবং সর্বনিম্ন হিসাবে)।
শিক্ষক: আজকের পাঠের ন্যূনতম কাজটি হল কীভাবে একই বেসগুলির সাথে গুণ এবং ভাগের ক্ষমতার বৈশিষ্ট্যগুলি প্রয়োগ করতে হয় এবং সর্বাধিক: গুণ এবং ভাগ একসাথে প্রয়োগ করতে হয়।
বোর্ডে লিখ : a m a n = a m + n ; a m: a n = a m-n
V. নতুন উপাদান অধ্যয়নের সংগঠন। (ধাপ 5)
ক) পাঠ্যপুস্তক অনুসারে: নং 403 (a, c, e) বিভিন্ন শব্দ সহ কাজ
নং 404 (a, e, f) স্বাধীন কাজ, তারপর আমি একটি পারস্পরিক চেক সংগঠিত, আমি চাবি দিতে.
খ) m-এর কোন মানের জন্য সমতা ধারণ করে? a 16 a m \u003d a 32; x h x 14 = x 28; x 8 (*) = x 14
কাজ: বিভাগের জন্য অনুরূপ উদাহরণ নিয়ে আসুন।
গ) নং 417(a), নং 418 (a) শিক্ষার্থীদের জন্য ফাঁদ: x 3 x n \u003d x 3n; 3 4 3 2 = 9 6 ; একটি 16: একটি 8 \u003d একটি 2।
VI. যা শেখা হয়েছে তার সংক্ষিপ্তকরণ, ডায়াগনস্টিক কাজ পরিচালনা করা (যা ছাত্রদের উৎসাহিত করে, শিক্ষক নয়, এই বিষয়টি অধ্যয়ন করতে) (ধাপ 6)
ডায়গনিস্টিক কাজ।
পরীক্ষা(পরীক্ষার পিছনে কীগুলি রাখুন)।
কাজের বিকল্প: ভাগফল x 15: x 3 ডিগ্রি হিসাবে উপস্থিত করুন; একটি শক্তি হিসাবে পণ্যটি উপস্থাপন করুন (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 ; যার জন্য m সমতা a 16 a m = a 32 true; h = 0.2 সহ h 0: h 2 রাশির মান নির্ণয় করুন; রাশিটির মান গণনা করুন (5 2 5 0): 5 2।
পাঠের সারাংশ। প্রতিফলন।আমি ক্লাসটিকে দুটি গ্রুপে ভাগ করি।
গ্রুপ I এর আর্গুমেন্টগুলি খুঁজুন: ডিগ্রির বৈশিষ্ট্যগুলির জ্ঞানের পক্ষে এবং গ্রুপ II - যুক্তিগুলি যা বলবে যে আপনি বৈশিষ্ট্য ছাড়াই করতে পারেন। আমরা সব উত্তর শুনি, উপসংহার আঁকি। পরবর্তী পাঠগুলিতে, আপনি পরিসংখ্যানগত ডেটা অফার করতে পারেন এবং রুব্রিকের নাম দিতে পারেন "এটি আমার মাথায় মানায় না!"
VII. বাড়ির কাজ.
ইতিহাসের রেফারেন্স। কোন সংখ্যাগুলোকে ফার্ম্যাট সংখ্যা বলা হয়।
পৃ.19। #403, #408, #417
ব্যবহৃত বই:
ডিগ্রির বৈশিষ্ট্য, সূত্র, প্রমাণ, উদাহরণ।
নম্বরের ডিগ্রি নির্ধারণের পর কথা বলা যৌক্তিক ডিগ্রী বৈশিষ্ট্য. এই নিবন্ধে, আমরা সমস্ত সম্ভাব্য সূচকগুলিকে স্পর্শ করার সময় একটি সংখ্যার ডিগ্রির মৌলিক বৈশিষ্ট্যগুলি দেব। এখানে আমরা ডিগ্রির সমস্ত বৈশিষ্ট্যের প্রমাণ দেব এবং উদাহরণগুলি সমাধান করার সময় এই বৈশিষ্ট্যগুলি কীভাবে প্রয়োগ করা হয় তাও দেখাব।
পৃষ্ঠা নেভিগেশন.
প্রাকৃতিক সূচক সহ ডিগ্রীর বৈশিষ্ট্য
একটি প্রাকৃতিক সূচক সহ একটি শক্তির সংজ্ঞা অনুসারে, একটি n এর শক্তি হল n গুণকের গুণফল, যার প্রতিটি একটি . এই সংজ্ঞা উপর ভিত্তি করে, এবং ব্যবহার করে বাস্তব সংখ্যা গুণনের বৈশিষ্ট্য, আমরা নিম্নলিখিত প্রাপ্ত এবং ন্যায্যতা করতে পারেন প্রাকৃতিক সূচক সহ ডিগ্রির বৈশিষ্ট্য:
- যদি a>0 হয়, তাহলে কোনো প্রাকৃতিক n-এর জন্য a n >0;
- যদি a=0 , তাহলে a n =0 ;
- যদি একটি 2 m >0 , যদি একটি 2 m−1 n ;
- যদি m এবং n প্রাকৃতিক সংখ্যা হয় যেমন m>n, তাহলে 0m n এর জন্য এবং a>0 এর জন্য অসমতা a m >a n সত্য।
- a m a n \u003d a m + n;
- a m: a n = a m−n ;
- (a b) n = a n b n ;
- (a:b) n =a n:b n ;
- (a m) n = a m n ;
- যদি n একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হয়, a এবং b ধনাত্মক সংখ্যা, এবং a n n এবং a−n>b−n ;
- যদি m এবং n পূর্ণসংখ্যা হয়, এবং m>n হয়, তাহলে 0m n এর জন্য এবং a>1 এর জন্য, অসমতা a m >a n সন্তুষ্ট হয়।
আমরা অবিলম্বে নোট যে সব লিখিত সমতা হয় অভিন্ননির্দিষ্ট অবস্থার অধীনে, এবং তাদের ডান এবং বাম অংশগুলি বিনিময় করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, ভগ্নাংশের প্রধান বৈশিষ্ট্য a m a n = a m + n সহ অভিব্যক্তির সরলীকরণপ্রায়শই a m+n = a m a n আকারে ব্যবহৃত হয়।
এখন আসুন বিস্তারিতভাবে তাদের প্রতিটি তাকান.
চলুন শুরু করা যাক একই ঘাঁটিগুলির সাথে দুটি শক্তির গুণফলের বৈশিষ্ট্য, যাকে বলা হয় ডিগ্রী প্রধান সম্পত্তি: যে কোনো বাস্তব সংখ্যা a এবং যেকোনো প্রাকৃতিক সংখ্যা m এবং n এর জন্য, সমতা a m ·a n =a m+n সত্য।
আসুন ডিগ্রীর মূল সম্পত্তি প্রমাণ করি। একটি প্রাকৃতিক সূচক সহ একটি ডিগ্রির সংজ্ঞা অনুসারে, a m a n ফর্মের একই বেস সহ শক্তির গুণফলকে গুণফল হিসাবে লেখা যেতে পারে 
. গুণের বৈশিষ্ট্যের কারণে, ফলে প্রাপ্ত রাশিটি হিসাবে লেখা যেতে পারে 
, এবং এই গুণফলটি হল a এর ঘাত যার প্রাকৃতিক সূচক m+n, অর্থাৎ a m+n। এটি প্রমাণটি সম্পূর্ণ করে।
আসুন একটি উদাহরণ দিই যা ডিগ্রীর মূল সম্পত্তি নিশ্চিত করে। একই বেস 2 এবং প্রাকৃতিক শক্তি 2 এবং 3 দিয়ে ডিগ্রী নেওয়া যাক, ডিগ্রীর মূল বৈশিষ্ট্য অনুসারে, আমরা সমতা 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 লিখতে পারি। এর বৈধতা পরীক্ষা করা যাক, যার জন্য আমরা 2 2 · 2 3 এবং 2 5 অভিব্যক্তির মান গণনা করি। সূচক সম্পাদন করার সময়, আমাদের আছে 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2)=4 8=32 এবং 2 5 =2 2 2 2 2=32, যেহেতু আমরা সমান মান পাই, তারপর সমতা 2 2 2 3 = 2 5 সত্য, এবং এটি ডিগ্রির মূল সম্পত্তি নিশ্চিত করে।
গুণের বৈশিষ্ট্যের উপর ভিত্তি করে একটি ডিগ্রির মূল বৈশিষ্ট্যকে একই বেস এবং প্রাকৃতিক সূচক সহ তিন বা ততোধিক শক্তির গুণফলকে সাধারণীকরণ করা যেতে পারে। সুতরাং প্রাকৃতিক সংখ্যার যে কোনো k এর জন্য n 1, n 2, …, n k সমতা a n 1 a n 2 a n k =a n 1 +n 2 +…+n k সত্য।
উদাহরণস্বরূপ, (2.1) 3 (2.1) 3 (2.1) 4 (2.1) 7 = (2.1) 3+3+4+7 =(2.1) 17।
আপনি একটি প্রাকৃতিক সূচক সহ ডিগ্রীর পরবর্তী সম্পত্তিতে যেতে পারেন - একই ঘাঁটি সহ আংশিক ক্ষমতার সম্পত্তি: যে কোনো অ-শূন্য বাস্তব সংখ্যা a এবং নির্বিচারে স্বাভাবিক সংখ্যা m এবং n শর্ত m>n সন্তুষ্ট করে, সমতা a m:a n =a m−n সত্য।
এই সম্পত্তির প্রমাণ দেওয়ার আগে, আসুন বিবৃতিতে অতিরিক্ত শর্তগুলির অর্থ আলোচনা করি। শূন্য দ্বারা বিভাজন এড়াতে a≠0 শর্তটি প্রয়োজনীয়, যেহেতু 0 n =0, এবং যখন আমরা বিভাজনের সাথে পরিচিত হয়েছিলাম, তখন আমরা সম্মত হয়েছিলাম যে শূন্য দ্বারা ভাগ করা অসম্ভব। শর্ত m>n চালু করা হয়েছে যাতে আমরা প্রাকৃতিক সূচকের বাইরে না যাই। প্রকৃতপক্ষে, m>n-এর জন্য, সূচক a m−n একটি স্বাভাবিক সংখ্যা, অন্যথায় এটি হয় শূন্য (যা m−n হলে ঘটে) অথবা একটি ঋণাত্মক সংখ্যা (যা m−n a n =a (m−n) + হলে হবে n = a m প্রাপ্ত সমতা থেকে a m−n a n = a m এবং ভাগের সাথে গুণের সম্পর্ক থেকে এটি অনুসরণ করে যে একটি m−n হল একটি m এবং a n এর আংশিক শক্তি এটি একই ভিত্তিগুলির সাথে আংশিক শক্তির বৈশিষ্ট্য প্রমাণ করে।
একটা উদাহরণ নেওয়া যাক। একই বেস π এবং প্রাকৃতিক সূচক 5 এবং 2 সহ দুটি ডিগ্রী নেওয়া যাক, ডিগ্রীর বিবেচিত বৈশিষ্ট্যটি সমতা π 5: π 2 = π 5−3 = π 3 এর সাথে মিলে যায়।
এখন বিবেচনা করুন পণ্য ডিগ্রী সম্পত্তি: যে কোনো দুটি বাস্তব সংখ্যা a এবং b এর গুণফলের প্রাকৃতিক ডিগ্রি n, a n এবং b n ডিগ্রির গুণফলের সমান, অর্থাৎ (a b) n =a n b n।
প্রকৃতপক্ষে, একটি প্রাকৃতিক সূচক সহ একটি ডিগ্রী সংজ্ঞা দ্বারা, আমরা আছে 
. গুণনের বৈশিষ্ট্যের উপর ভিত্তি করে শেষ গুণফলটিকে এই হিসাবে পুনর্লিখন করা যেতে পারে 
, যা a n b n এর সমান।
এখানে একটি উদাহরণ: 
.
এই সম্পত্তি তিন বা ততোধিক কারণের গুণফলের ডিগ্রী পর্যন্ত প্রসারিত। অর্থাৎ, k ফ্যাক্টরগুলির গুণফলের প্রাকৃতিক ডিগ্রি বৈশিষ্ট্য n হিসাবে লেখা হয় (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n।
স্পষ্টতার জন্য, আমরা একটি উদাহরণ সহ এই সম্পত্তি দেখান. তিনটি গুণনীয়কের গুণফলের জন্য 7 এর শক্তি, আমাদের আছে।
পরের সম্পত্তি হল প্রাকৃতিক সম্পত্তি: প্রকৃত সংখ্যার a এবং b , b≠0 প্রাকৃতিক শক্তি n এর ভাগফল a n এবং b n, অর্থাৎ (a:b) n =a n:b n এর শক্তির ভাগফলের সমান।
পূর্ববর্তী সম্পত্তি ব্যবহার করে প্রমাণ করা যেতে পারে। সুতরাং (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n , এবং সমতা থেকে (a:b) n b n =a n এটি অনুসরণ করে যে (a:b) n হল a n থেকে b n এর ভাগফল।
আসুন নির্দিষ্ট সংখ্যার উদাহরণ ব্যবহার করে এই বৈশিষ্ট্যটি লিখি: 
.
এখন ভয়েস করা যাক সূচক সম্পত্তি: যে কোন বাস্তব সংখ্যা a এবং যে কোন প্রাকৃতিক সংখ্যা m এবং n এর জন্য, a m থেকে n এর ঘাতের ঘাত a এর ঘাতের সাথে m·n, অর্থাৎ (a m) n =a m·n।
উদাহরণস্বরূপ, (5 2) 3 =5 2 3 =5 6।
একটি ডিগ্রীতে শক্তি সম্পত্তির প্রমাণ হল সমতাগুলির নিম্নলিখিত চেইন: 
.
বিবেচিত সম্পত্তি ডিগ্রী মধ্যে ডিগ্রী মধ্যে ডিগ্রী বাড়ানো যেতে পারে, এবং তাই। উদাহরণস্বরূপ, যেকোনো প্রাকৃতিক সংখ্যার জন্য p, q, r, এবং s, সমতা 
. আরও স্পষ্টতার জন্য, নির্দিষ্ট সংখ্যা সহ একটি উদাহরণ দেওয়া যাক: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10।
এটি একটি প্রাকৃতিক সূচকের সাথে ডিগ্রির তুলনা করার বৈশিষ্ট্যগুলির উপর নির্ভর করে।
আমরা একটি প্রাকৃতিক সূচকের সাথে শূন্য এবং শক্তির তুলনামূলক বৈশিষ্ট্য প্রমাণ করে শুরু করি।
প্রথমে, আসুন ন্যায়সঙ্গত করা যাক যে কোনো a>0 এর জন্য একটি n >0।
দুটি ধনাত্মক সংখ্যার গুণফল একটি ধনাত্মক সংখ্যা, যা গুণের সংজ্ঞা থেকে নিম্নরূপ। এই সত্যটি এবং গুণের বৈশিষ্ট্যগুলি আমাদেরকে নিশ্চিত করতে দেয় যে যে কোনও সংখ্যার ধনাত্মক সংখ্যাকে গুণ করার ফলাফলটিও একটি ধনাত্মক সংখ্যা হবে। এবং প্রাকৃতিক সূচক n সহ a-এর শক্তি, সংজ্ঞা অনুসারে, n ফ্যাক্টরের গুণফল, যার প্রত্যেকটি a এর সমান। এই আর্গুমেন্টগুলি আমাদেরকে নিশ্চিত করতে দেয় যে কোনো ধনাত্মক ভিত্তির জন্য একটি n এর ডিগ্রি একটি ধনাত্মক সংখ্যা। প্রমাণিত সম্পত্তির ভিত্তিতে 3 5 >0 , (0.00201) 2 >0 এবং 
.
এটা খুবই স্পষ্ট যে a=0 সহ যেকোনো প্রাকৃতিক n-এর জন্য a n-এর ডিগ্রি শূন্য। প্রকৃতপক্ষে, 0 n =0·0·…·0=0 । উদাহরণস্বরূপ, 0 3 =0 এবং 0 762 =0।
আসুন নেতিবাচক ঘাঁটিতে এগিয়ে যাই।
চলুন শুরু করা যাক যখন সূচকটি একটি জোড় সংখ্যা, এটিকে 2 m হিসাবে চিহ্নিত করুন, যেখানে m একটি স্বাভাবিক সংখ্যা। তারপর 
. ঋণাত্মক সংখ্যার গুণের নিয়ম অনুসারে, a আকারের প্রতিটি গুণফল a এবং a সংখ্যার মডিউলের গুণফলের সমান, যার মানে হল এটি একটি ধনাত্মক সংখ্যা। অতএব, পণ্যটিও ইতিবাচক হবে। 
এবং ডিগ্রী একটি 2 মি. এখানে উদাহরণ রয়েছে: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 এবং।
অবশেষে, যখন a এর ভিত্তি একটি ঋণাত্মক সংখ্যা এবং সূচকটি একটি বিজোড় সংখ্যা 2 m−1, তখন 
. সমস্ত পণ্য a·a হল ধনাত্মক সংখ্যা, এই ধনাত্মক সংখ্যাগুলির গুণফলও ধনাত্মক, এবং অবশিষ্ট ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা এর গুণফল একটি ঋণাত্মক সংখ্যায় পরিণত হয়। এই সম্পত্তির গুণে, (−5) 3 17 n n প্রকৃত অসমতা a এর বাম এবং ডান অংশের গুণফল অসমতার বৈশিষ্ট্য, অসমতা প্রমাণিত হচ্ছে একটি n n আকারের। উদাহরণস্বরূপ, এই সম্পত্তির কারণে, অসমতা 3 7 7 এবং 
.
প্রাকৃতিক সূচক সহ শক্তির তালিকাভুক্ত বৈশিষ্ট্যগুলির শেষটি প্রমাণ করা বাকি রয়েছে। এর প্রণয়ন করা যাক। প্রাকৃতিক সূচক এবং একই ধনাত্মক ঘাঁটি সহ দুটি ডিগ্রির মধ্যে একটির কম, ডিগ্রীটি বড়, যার সূচকটি কম; এবং প্রাকৃতিক সূচকের সাথে দুটি ডিগ্রী এবং একই ঘাঁটি একের চেয়ে বড়, যার সূচকটি বড় সেই ডিগ্রীটি বড়। আমরা এই সম্পত্তির প্রমাণ চালু.
আসুন m>n এবং 0m n এর জন্য প্রমাণ করি। এটি করার জন্য, আমরা একটি m − a n পার্থক্য লিখি এবং শূন্যের সাথে তুলনা করি। বন্ধনী থেকে একটি n নেওয়ার পর লিখিত পার্থক্যটি একটি n ·(a m−n −1) রূপ নেবে। একটি ধনাত্মক সংখ্যা a n এবং একটি ঋণাত্মক সংখ্যা a m−n −1 (a n একটি ধনাত্মক সংখ্যার স্বাভাবিক শক্তি হিসাবে ধনাত্মক, এবং m−n −1 পার্থক্যটি ঋণাত্মক, যেহেতু m−n >0 প্রাথমিক অবস্থা m>n এর কারণে, যেখান থেকে এটি অনুসরণ করে যে 0m−n এর জন্য এটি একটির চেয়ে কম)। অতএব, a m − a n m n , যা প্রমাণ করতে হবে। উদাহরণস্বরূপ, আমরা সঠিক অসমতা দিতে.
এটা সম্পত্তি দ্বিতীয় অংশ প্রমাণ অবশেষ. আসুন প্রমাণ করি যে m>n এবং a>1, a m >a n সত্য। বন্ধনী থেকে একটি n নেওয়ার পরে a m −a n যে পার্থক্যটি তা রূপ নেয় a n ·(a m−n −1)। এই গুণফলটি ধনাত্মক, যেহেতু a>1 এর জন্য a n এর ডিগ্রী একটি ধনাত্মক সংখ্যা, এবং পার্থক্য একটি m−n −1 একটি ধনাত্মক সংখ্যা, যেহেতু m−n>0 প্রাথমিক অবস্থার কারণে, এবং a>1 এর জন্য, একটি m−n এর ডিগ্রী একের চেয়ে বড়। অতএব, a m − a n >0 এবং a m >a n, যা প্রমাণ করতে হবে। এই বৈশিষ্ট্যটি অসমতা 3 7 >3 2 দ্বারা চিত্রিত হয়েছে।
পূর্ণসংখ্যা সূচক সহ ডিগ্রীর বৈশিষ্ট্য
যেহেতু ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাগুলি প্রাকৃতিক সংখ্যা, তাই ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার সূচক সহ শক্তিগুলির সমস্ত বৈশিষ্ট্য পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদে তালিকাভুক্ত এবং প্রমাণিত প্রাকৃতিক সূচকগুলির সাথে শক্তিগুলির বৈশিষ্ট্যগুলির সাথে হুবহু মিলে যায়৷
আমরা একটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা সূচক সহ একটি ডিগ্রী সংজ্ঞায়িত করেছি, সেইসাথে একটি শূন্য সূচক সহ একটি ডিগ্রী, যাতে সমতা দ্বারা প্রকাশ করা প্রাকৃতিক সূচক সহ ডিগ্রীর সমস্ত বৈশিষ্ট্য বৈধ থাকে৷ অতএব, এই সমস্ত বৈশিষ্ট্য শূন্য সূচক এবং ঋণাত্মক সূচক উভয়ের জন্যই বৈধ, যদিও, অবশ্যই, ডিগ্রীর ভিত্তিগুলি অশূন্য।
সুতরাং, যে কোনো বাস্তব এবং অ-শূন্য সংখ্যা a এবং b, সেইসাথে m এবং n পূর্ণসংখ্যার জন্য, নিম্নলিখিতগুলি সত্য পূর্ণসংখ্যা সূচক সহ ডিগ্রীর বৈশিষ্ট্য:
a=0 এর জন্য, a m এবং a n এর ক্ষমতা তখনই বোঝা যায় যখন m এবং n উভয়ই ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, অর্থাৎ প্রাকৃতিক সংখ্যা। এইভাবে, শুধুমাত্র লেখা বৈশিষ্ট্যগুলি সেই ক্ষেত্রেও বৈধ যখন a=0 এবং সংখ্যা m এবং n ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হয়।
এই বৈশিষ্ট্যগুলির প্রতিটি প্রমাণ করা কঠিন নয়, এর জন্য এটি একটি প্রাকৃতিক এবং পূর্ণসংখ্যা সূচক সহ ডিগ্রীর সংজ্ঞা ব্যবহার করার পাশাপাশি বাস্তব সংখ্যা সহ ক্রিয়াগুলির বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করা যথেষ্ট। একটি উদাহরণ হিসাবে, আসুন প্রমাণ করি যে পাওয়ার সম্পত্তি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং অ-ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা উভয়ের জন্যই ধারণ করে। এটি করার জন্য, আমাদের দেখাতে হবে যে p যদি শূন্য হয় বা একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা এবং q যদি শূন্য হয় বা একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা, তাহলে সমতাগুলি (a p) q =a p q , (a − p) q =a (−p) q , (a p ) −q =a p (−q) এবং (a −p) −q =a (−p) (−q)। চল এটা করি.
ধনাত্মক p এবং q এর জন্য, সমতা (a p) q =a p·q পূর্ববর্তী উপধারায় প্রমাণিত হয়েছিল। যদি p=0 হয়, তাহলে আমাদের আছে (a 0) q =1 q =1 এবং a 0 q =a 0 =1 , যেখান থেকে (a 0) q =a 0 q। একইভাবে, যদি q=0 হয়, তাহলে (a p) 0 =1 এবং a p 0 =a 0 =1, যেখান থেকে (a p) 0 =a p 0। যদি p=0 এবং q=0 উভয়ই হয়, তাহলে (a 0) 0 =1 0 =1 এবং a 0 0 =a 0 =1 , যেখান থেকে (a 0) 0 =a 0 0।
আসুন এখন প্রমাণ করি যে (a −p) q =a (−p) q। একটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা সূচক সহ একটি ডিগ্রির সংজ্ঞা অনুসারে, তারপর 
. ডিগ্রীতে ভাগফলের বৈশিষ্ট্য দ্বারা, আমাদের আছে 
. যেহেতু 1 p =1·1·…·1=1 এবং তারপর। শেষ অভিব্যক্তিটি, সংজ্ঞা অনুসারে, a −(p q) ফর্মের একটি শক্তি, যা গুণের নিয়ম অনুসারে, একটি (−p) q হিসাবে লেখা যেতে পারে।
একইভাবে 
.
এবং 
.
একই নীতির দ্বারা, একজন পূর্ণসংখ্যার সূচক সহ একটি ডিগ্রির অন্যান্য সমস্ত বৈশিষ্ট্য প্রমাণ করতে পারে, যা সমতা আকারে লেখা হয়।
লিপিবদ্ধ বৈশিষ্ট্যের শেষভাগে, এটি অসমতার প্রমাণের উপর নির্ভর করা মূল্যবান a −n >b −n, যেটি যেকোনো ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা −n এবং যে কোনো ধনাত্মক a এবং b যার জন্য শর্ত a . আমরা এই অসমতার বাম এবং ডান অংশগুলির মধ্যে পার্থক্য লিখি এবং রূপান্তর করি: 
. যেহেতু শর্ত দ্বারা ক n n , অতএব, b n − a n >0। a n ·b n ধনাত্মক সংখ্যা a n এবং b n এর গুণফল হিসাবেও ধনাত্মক। তারপর প্রাপ্ত ভগ্নাংশটি ধনাত্মক সংখ্যা b n − a n এবং a n b n এর ভাগফল হিসাবে ধনাত্মক। তাই, যেখান থেকে a −n >b −n, যা প্রমাণ করতে হবে।
পূর্ণসংখ্যা সূচক সহ ডিগ্রীর শেষ বৈশিষ্ট্যটি প্রাকৃতিক সূচক সহ ডিগ্রীর সাদৃশ্য বৈশিষ্ট্যের মতোই প্রমাণিত হয়।
যৌক্তিক সূচক সহ ক্ষমতার বৈশিষ্ট্য
আমরা একটি পূর্ণসংখ্যা সূচক সহ একটি ডিগ্রির বৈশিষ্ট্যগুলিকে প্রসারিত করে একটি ভগ্নাংশের সূচক দিয়ে ডিগ্রীকে সংজ্ঞায়িত করেছি। অন্য কথায়, ভগ্নাংশের সূচক সহ ডিগ্রীর বৈশিষ্ট্য পূর্ণসংখ্যা সূচক সহ ডিগ্রীর সমান। যথা:
- একই ভিত্তি সহ ক্ষমতার পণ্যের সম্পত্তি
a>0 এর জন্য, এবং যদি এবং, তারপর a≥0 এর জন্য; - একই ঘাঁটি সহ আংশিক ক্ষমতার সম্পত্তি
a>0 এর জন্য; - ভগ্নাংশ পণ্য সম্পত্তি
a>0 এবং b>0 এর জন্য, এবং যদি এবং, তাহলে a≥0 এবং (বা) b≥0 এর জন্য; - একটি ভগ্নাংশের শক্তির ভাগফল সম্পত্তি
a>0 এবং b>0 এর জন্য, এবং যদি, তাহলে a≥0 এবং b>0 এর জন্য; - ডিগ্রী ডিগ্রী সম্পত্তি
a>0 এর জন্য, এবং যদি এবং, তারপর a≥0 এর জন্য; - সমান মূলদ সূচকের সাথে শক্তির তুলনা করার বৈশিষ্ট্য: যে কোনো ধনাত্মক সংখ্যা a এবং b, a এর জন্য 0 অসমতা a p p বৈধ, এবং p p >b p এর জন্য;
- মূলদ সূচক এবং সমান ভিত্তির সাথে শক্তির তুলনা করার বৈশিষ্ট্য: মূলদ সংখ্যা p এবং q এর জন্য, p>q 0p q এর জন্য এবং a>0 এর জন্য, অসমতা a p >a q।
- a p a q = a p + q ;
- a p:a q = a p−q ;
- (a b) p = a p b p ;
- (a:b) p =a p:b p ;
- (a p) q = a p q ;
- যে কোনো ধনাত্মক সংখ্যার জন্য a এবং b, a 0 অসমতা a p p বৈধ, এবং p p >b p এর জন্য;
- অমূলদ সংখ্যার জন্য p এবং q, p>q 0p q এর জন্য এবং a>0 এর জন্য অসমতা a p >a q।
ভগ্নাংশের সূচক সহ ডিগ্রীর বৈশিষ্ট্যের প্রমাণ একটি ভগ্নাংশের সূচক সহ একটি ডিগ্রির সংজ্ঞার উপর ভিত্তি করে, nম ডিগ্রির গাণিতিক মূলের বৈশিষ্ট্যের উপর এবং একটি পূর্ণসংখ্যা সূচক সহ একটি ডিগ্রির বৈশিষ্ট্যের উপর ভিত্তি করে। প্রমাণ দেওয়া যাক।
একটি ভগ্নাংশ সূচক সহ ডিগ্রীর সংজ্ঞা দ্বারা এবং তারপর 
. গাণিতিক মূলের বৈশিষ্ট্যগুলি আমাদের নিম্নলিখিত সমতাগুলি লিখতে দেয়। আরও, একটি পূর্ণসংখ্যা সূচক সহ ডিগ্রীর বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে, আমরা পাই, যেখান থেকে, একটি ভগ্নাংশের সূচক সহ একটি ডিগ্রির সংজ্ঞা দ্বারা, আমাদের আছে 
, এবং প্রাপ্ত ডিগ্রির সূচককে নিম্নরূপ রূপান্তর করা যেতে পারে: এটি প্রমাণটি সম্পূর্ণ করে।
ভগ্নাংশের সূচক সহ শক্তির দ্বিতীয় বৈশিষ্ট্য ঠিক একইভাবে প্রমাণিত হয়: 
বাকি সমতা অনুরূপ নীতি দ্বারা প্রমাণিত হয়: 
আমরা পরবর্তী সম্পত্তি প্রমাণ চালু. আসুন প্রমাণ করি যে কোন ধনাত্মক a এবং b, a এর জন্য 0 অসমতা a p p বৈধ, এবং p p >b p এর জন্য। আমরা মূলদ সংখ্যা p কে m/n হিসাবে লিখি, যেখানে m একটি পূর্ণসংখ্যা এবং n একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা। এই ক্ষেত্রে শর্ত p 0 যথাক্রমে শর্ত m 0 এর সমতুল্য হবে। m>0 এবং am m এর জন্য। এই অসমতা থেকে, মূলের বৈশিষ্ট্য দ্বারা, আমাদের আছে , এবং যেহেতু a এবং b ধনাত্মক সংখ্যা, তাহলে, একটি ভগ্নাংশের সূচক সহ ডিগ্রীর সংজ্ঞার উপর ভিত্তি করে, ফলস্বরূপ অসমতাটিকে , অর্থাৎ a p p হিসাবে পুনরায় লেখা যেতে পারে।
একইভাবে, যখন m m >b m, যেখান থেকে, অর্থাৎ, এবং a p >b p।
এটি তালিকাভুক্ত বৈশিষ্ট্যের শেষ প্রমাণ করা অবশেষ। আসুন প্রমাণ করি যে মূলদ সংখ্যার জন্য p এবং q, p>q 0p q এর জন্য এবং a>0 এর জন্য অসমতা a p >a q। আমরা সর্বদা মূলদ সংখ্যা p এবং q কে একটি সাধারণ হর হিসাবে কমাতে পারি, আসুন আমরা সাধারণ ভগ্নাংশগুলি পাই এবং যেখানে m 1 এবং m 2 পূর্ণসংখ্যা এবং n একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা। এই ক্ষেত্রে, p>q শর্তটি m 1 >m 2 শর্তের সাথে মিলবে, যা একই হরগুলির সাথে সাধারণ ভগ্নাংশের তুলনা করার নিয়ম থেকে অনুসরণ করে। তারপর, একই ঘাঁটি এবং প্রাকৃতিক সূচকগুলির সাথে শক্তির তুলনা করার বৈশিষ্ট্য দ্বারা, 0m 1 m 2 , এবং a>1 এর জন্য, অসমতা a m 1 >a m 2। শিকড় বৈশিষ্ট্য পরিপ্রেক্ষিতে এই অসমতা যথাক্রমে, পুনর্লিখন করা যেতে পারে 
এবং 
. এবং একটি যৌক্তিক সূচক সহ একটি ডিগ্রির সংজ্ঞা আমাদের যথাক্রমে অসমতা এবং পাস করার অনুমতি দেয়। এখান থেকে আমরা চূড়ান্ত উপসংহার টানা: p>q এবং 0p q এর জন্য এবং a>0 এর জন্য, অসমতা a p >a q।
অযৌক্তিক সূচক সহ ডিগ্রীর বৈশিষ্ট্য
একটি অযৌক্তিক সূচক সহ একটি ডিগ্রী কিভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় তা থেকে, আমরা উপসংহারে আসতে পারি যে এটিতে মূলদ সূচক সহ ডিগ্রীর সমস্ত বৈশিষ্ট্য রয়েছে। সুতরাং যে কোনো a>0 , b>0 এবং অমূলদ সংখ্যা p এবং q এর জন্য নিম্নলিখিতটি সত্য অযৌক্তিক সূচক সহ ডিগ্রীর বৈশিষ্ট্য:
এ থেকে আমরা উপসংহারে পৌঁছাতে পারি যে a>0 এর জন্য যে কোনো বাস্তব সূচকের p এবং q এর ক্ষমতা একই বৈশিষ্ট্য রয়েছে।
- বীজগণিত - 10 ম শ্রেণী। ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ বিষয়ের পাঠ এবং উপস্থাপনা: "সরলতম ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সমাধান" অতিরিক্ত উপকরণ প্রিয় ব্যবহারকারী, আপনার মন্তব্য, প্রতিক্রিয়া, পরামর্শ দিতে ভুলবেন না! সব উপকরণ […]
- "বিক্রেতা - পরামর্শদাতা" পদের জন্য একটি প্রতিযোগিতা খোলা হয়েছে: দায়িত্ব: Beeline, Tele2, MTS গ্রাহকদের ট্যারিফ প্ল্যান এবং Beeline এবং Tele2, MTS এর পরিষেবাগুলির সংযোগের জন্য মোবাইল যোগাযোগ পরিষেবার জন্য মোবাইল ফোন এবং আনুষাঙ্গিক বিক্রি […]
- সূত্রের একটি প্যারালেলেপিপড একটি প্যারালেলেপিপড হল একটি পলিহেড্রন যার 6টি মুখ রয়েছে, যার প্রতিটি একটি সমান্তরাল। একটি কিউবয়েড হল একটি কিউবয়েড যার প্রতিটি মুখ একটি আয়তক্ষেত্র। যেকোনো সমান্তরাল পাইপ 3 দ্বারা চিহ্নিত করা হয় […]
- সোসাইটি ফর দ্য প্রোটেকশন অফ কনজিউমার রাইটস আস্তানা আমাদের ওয়েবসাইটে এই ডকুমেন্টটি অ্যাক্সেস করার জন্য একটি পিন-কোড পেতে, জিএসএম অপারেটরদের (Activ, Kcell, Beeline, NEO, Tele2) নম্বরে zan টেক্সট সহ একটি SMS বার্তা পাঠান। রুমে একটি এসএমএস পাঠিয়ে […]
- বক্তৃতার বিভিন্ন অংশে Н এবং Н বানান 2. এই নিয়মগুলির ব্যতিক্রমগুলির নাম দিন। 3. কিভাবে একটি মৌখিক বিশেষণকে প্রত্যয় -n- এর সাথে একটি participle থেকে আলাদা করা যায় […]
- আত্মীয়দের বসতবাড়ির বিষয়ে একটি আইন গ্রহণ করুন রাশিয়ান ফেডারেশনের প্রতিটি নাগরিক বা নাগরিকদের একটি পরিবার যারা নিম্নোক্ত শর্তে এটিতে একটি কিনস হোমস্টেড বিকাশ করতে চায় তাদের জন্য একটি জমির প্লট বিনা মূল্যে বরাদ্দের বিষয়ে একটি ফেডারেল আইন গ্রহণ করুন: 1. জমিটি হল জন্য বরাদ্দ […]
- ব্রায়ানস্ক অঞ্চলের গোস্তেখনাদজোর পরিদর্শন রাষ্ট্রীয় শুল্ক প্রদানের রসিদ (ডাউনলোড-12.2 কেবি) ব্যক্তিদের জন্য নিবন্ধনের জন্য আবেদন (ডাউনলোড-12 কেবি) আইনি সত্তার জন্য নিবন্ধনের জন্য আবেদন (ডাউনলোড-11.4 কেবি একটি নতুন গাড়ি তৈরি করার সময়) 1.আবেদন 2.পাসপোর্ট […]
- আমরা দীর্ঘদিন ধরে 1x1 টুর্নামেন্ট খেলিনি। এবং এই ঐতিহ্য আবার শুরু করার সময় এসেছে। যতক্ষণ না আমরা 1v1 খেলোয়াড়দের জন্য একটি পৃথক মই এবং টুর্নামেন্টের আয়োজন করতে পারি, আমরা সাইটে আপনার দলের প্রোফাইলগুলি ব্যবহার করার পরামর্শ দিই। ম্যাচগুলিতে গেমের জন্য পয়েন্ট বিয়োগ বা যোগ করুন [...]
এর আগে আমরা ইতিমধ্যেই একটি সংখ্যার শক্তি কী তা নিয়ে কথা বলেছি। এটির কিছু বৈশিষ্ট্য রয়েছে যা সমস্যা সমাধানে কার্যকর: এটি সেগুলি এবং সমস্ত সম্ভাব্য সূচক যা আমরা এই নিবন্ধে বিশ্লেষণ করব। আমরা উদাহরণ সহ দেখাব যে কীভাবে সেগুলি প্রমাণ করা যায় এবং অনুশীলনে সঠিকভাবে প্রয়োগ করা যায়।
আসুন আমরা একটি প্রাকৃতিক সূচক সহ একটি ডিগ্রির ধারণাটি স্মরণ করি যা আমরা ইতিমধ্যেই প্রণয়ন করেছি: এটি গুণনীয়কগুলির nম সংখ্যার গুণফল, যার প্রতিটি a এর সমান। আমাদের মনে রাখতে হবে কিভাবে সঠিকভাবে বাস্তব সংখ্যা গুণ করা যায়। এই সব আমাদের একটি প্রাকৃতিক সূচক সঙ্গে একটি ডিগ্রী জন্য নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য প্রণয়ন করতে সাহায্য করবে:
সংজ্ঞা 1
1. ডিগ্রির প্রধান বৈশিষ্ট্য: a m a n = a m + n
সাধারণীকরণ করা যেতে পারে: a n 1 · a n 2 · … · a n k = a n 1 + n 2 + … + n k।
2. একই বেস আছে এমন শক্তিগুলির ভাগফল সম্পত্তি: a m: a n = a m − n
3. পণ্য ডিগ্রী বৈশিষ্ট্য: (a b) n = a n b n
সমতা প্রসারিত করা যেতে পারে: (a 1 a 2 … a k) n = a 1 n a 2 n … a k n
4. একটি প্রাকৃতিক ডিগ্রির সম্পত্তি: (a: b) n = a n: b n
5. আমরা শক্তিকে শক্তিতে বাড়াই: (a m) n = a m n ,
সাধারণীকরণ করা যেতে পারে: (((a n 1) n 2) …) n k = a n 1 n 2 … n k
6. শূন্যের সাথে ডিগ্রির তুলনা করুন:
- যদি a > 0 হয়, তবে যেকোনো প্রাকৃতিক n-এর জন্য a n হবে শূন্যের চেয়ে বড়;
- 0 এর সমান, a nও শূন্যের সমান হবে;
- একটি জন্য< 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;
- একটি জন্য< 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет меньше нуля.
7. সমতা একটি এন< b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.
8. অসমতা a m > a n সত্য হবে যদি m এবং n প্রাকৃতিক সংখ্যা, m n-এর চেয়ে বড় এবং a শূন্যের চেয়ে বড় এবং একটির কম না হয়।
ফলে আমরা বেশ কিছু সমতা পেয়েছি; আপনি যদি উপরে নির্দেশিত সমস্ত শর্ত পূরণ করেন, তাহলে তারা অভিন্ন হবে। প্রতিটি সমতার জন্য, উদাহরণস্বরূপ, প্রধান সম্পত্তির জন্য, আপনি ডান এবং বাম অংশগুলি অদলবদল করতে পারেন: a m · a n = a m + n - একটি m + n = a m · a n এর মতো। এই ফর্মে, অভিব্যক্তি সরলীকরণ করার সময় এটি প্রায়ই ব্যবহৃত হয়।
1. ডিগ্রীর মূল বৈশিষ্ট্য দিয়ে শুরু করা যাক: সমতা a m · a n = a m + n যেকোনো প্রাকৃতিক m এবং n এবং বাস্তব a এর জন্য সত্য হবে। কিভাবে এই বক্তব্য প্রমাণ করতে?
প্রাকৃতিক সূচক সহ শক্তির মৌলিক সংজ্ঞা আমাদের সমতাকে ফ্যাক্টরের পণ্যে রূপান্তর করতে অনুমতি দেবে। আমরা এই মত একটি এন্ট্রি পাবেন:
এই সংক্ষিপ্ত করা যেতে পারে 
(গুনের মৌলিক বৈশিষ্ট্যগুলি স্মরণ করুন)। ফলস্বরূপ, আমরা প্রাকৃতিক সূচক m + n সহ a সংখ্যাটির ডিগ্রি পেয়েছি। এইভাবে, a m + n , যার অর্থ ডিগ্রীর মূল সম্পত্তি প্রমাণিত হয়।
আসুন এটি প্রমাণ করার জন্য একটি সুনির্দিষ্ট উদাহরণ নেওয়া যাক।
উদাহরণ 1
সুতরাং বেস 2 সহ আমাদের দুটি শক্তি রয়েছে। তাদের প্রাকৃতিক সূচক যথাক্রমে 2 এবং 3। আমরা সমতা পেয়েছি: 2 2 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 এই সমতার সঠিকতা পরীক্ষা করার জন্য মান গণনা করা যাক।
আসুন প্রয়োজনীয় গাণিতিক ক্রিয়াকলাপগুলি সম্পাদন করি: 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 এবং 2 5 = 2 2 2 2 2 = 32
ফলস্বরূপ, আমরা পেয়েছি: 2 2 2 3 = 2 5। সম্পত্তি প্রমাণিত হয়েছে।
গুণের বৈশিষ্ট্যের কারণে, আমরা সম্পত্তিটিকে তিন বা ততোধিক শক্তির আকারে প্রণয়ন করে সাধারণীকরণ করতে পারি, যার জন্য সূচকগুলি প্রাকৃতিক সংখ্যা এবং ভিত্তিগুলি একই। যদি আমরা k অক্ষর দ্বারা n 1, n 2, ইত্যাদি প্রাকৃতিক সংখ্যার সংখ্যা নির্দেশ করি, তাহলে আমরা সঠিক সমতা পাই:
a n 1 a n 2 … a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .
উদাহরণ 2
2. এর পরে, আমাদের নিম্নলিখিত সম্পত্তি প্রমাণ করতে হবে, যাকে ভাগফল সম্পত্তি বলা হয় এবং একই ভিত্তিগুলির সাথে ক্ষমতার অন্তর্নিহিত: এটি হল সমতা a m: a n = a m − n , যা যে কোনও প্রাকৃতিক m এবং n (এবং m) এর জন্য বৈধ n এর চেয়ে বড়)) এবং যেকোনো অ-শূন্য বাস্তব a।
শুরুতে, আসুন আমরা ব্যাখ্যা করি যে প্রণয়নে উল্লেখ করা শর্তগুলির অর্থ ঠিক কী। যদি আমরা শূন্যের সমান নিই, তাহলে শেষ পর্যন্ত আমরা শূন্য দিয়ে একটি বিভাজন পাব, যা করা যাবে না (সবশেষে, 0 n = 0)। শর্ত যে m সংখ্যাটি n এর থেকে বড় হওয়া আবশ্যক যাতে আমরা প্রাকৃতিক সূচকের মধ্যে থাকতে পারি: m থেকে n বিয়োগ করলে আমরা একটি স্বাভাবিক সংখ্যা পাই। শর্ত পূরণ না হলে, আমরা একটি ঋণাত্মক সংখ্যা বা শূন্য পাব, এবং আবার আমরা প্রাকৃতিক সূচকগুলির সাথে ডিগ্রির অধ্যয়নের বাইরে যাব।
এখন আমরা প্রমাণের দিকে যেতে পারি। পূর্বে অধ্যয়ন করা থেকে, আমরা ভগ্নাংশের মৌলিক বৈশিষ্ট্যগুলি স্মরণ করি এবং নিম্নরূপ সমতা প্রণয়ন করি:
a m − n a n = a (m − n) + n = a m
এটি থেকে আমরা অনুমান করতে পারি: a m − n a n = a m
ভাগ এবং গুণের মধ্যে সংযোগ স্মরণ করুন। এটি থেকে এটি অনুসরণ করে যে a m − n হল a m এবং a n শক্তির একটি ভাগফল। এটি দ্বিতীয় ডিগ্রি সম্পত্তির প্রমাণ।
উদাহরণ 3
সূচকে স্পষ্টতার জন্য নির্দিষ্ট সংখ্যাগুলি প্রতিস্থাপন করুন, এবং ডিগ্রীর ভিত্তিটি π: π 5: π 2 = π 5 − 3 = π 3 নির্দেশ করুন
3. এর পরে, আমরা পণ্যের ডিগ্রির বৈশিষ্ট্য বিশ্লেষণ করব: (a · b) n = a n · b n যেকোনো বাস্তব a এবং b এবং প্রাকৃতিক n এর জন্য।
একটি প্রাকৃতিক সূচক সহ একটি ডিগ্রির মৌলিক সংজ্ঞা অনুসারে, আমরা নিম্নরূপ সমতাকে সংস্কার করতে পারি:
গুণের বৈশিষ্ট্যগুলি মনে রেখে, আমরা লিখি: 
. এর অর্থ a n · b n এর মতই।
উদাহরণ 4
2 3 - 4 2 5 4 = 2 3 4 - 4 2 5 4
যদি আমাদের তিনটি বা ততোধিক কারণ থাকে, তাহলে এই সম্পত্তিটি এই ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য। আমরা কারণের সংখ্যার জন্য স্বরলিপি k চালু করি এবং লিখি:
(a 1 a 2 … a k) n = a 1 n a 2 n … a k n
উদাহরণ 5
নির্দিষ্ট সংখ্যার সাথে, আমরা নিম্নলিখিত সঠিক সমতা পাই: (2 (- 2 , 3) a) 7 = 2 7 (- 2 , 3) 7 a
4. এর পরে, আমরা ভাগফলের বৈশিষ্ট্য প্রমাণ করার চেষ্টা করব: (a: b) n = a n: b n যেকোনো বাস্তবের জন্য a এবং b যদি 0 এর সমান না হয় এবং n একটি স্বাভাবিক সংখ্যা।
প্রমাণের জন্য, আমরা পূর্ববর্তী ডিগ্রি সম্পত্তি ব্যবহার করতে পারি। যদি (a: b) n b n = ((a: b) b) n = a n , এবং (a: b) n b n = a n, তাহলে এটি অনুসরণ করে যে (a: b) n হল একটি n কে b n দ্বারা ভাগ করার একটি ভাগফল।
উদাহরণ 6
উদাহরণটি গণনা করা যাক: 3 1 2:- 0। 5 3 = 3 1 2 3: (- 0 , 5) 3
উদাহরণ 7
এখনই একটি উদাহরণ দিয়ে শুরু করা যাক: (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6
এবং এখন আমরা সমতার একটি শৃঙ্খল তৈরি করি যা আমাদের কাছে সমতার সঠিকতা প্রমাণ করবে: 
যদি আমাদের উদাহরণে ডিগ্রীর ডিগ্রী থাকে, তাহলে এই সম্পত্তিটি তাদের জন্যও সত্য। আমাদের যদি কোনো প্রাকৃতিক সংখ্যা p, q, r, s থাকে, তাহলে তা সত্য হবে:
a p q y s = a p q y s
উদাহরণ 8
আসুন সুনির্দিষ্ট যোগ করি: (((5 , 2) 3) 2) 5 = (5 , 2) 3 2 5 = (5 , 2) 30
6. একটি প্রাকৃতিক সূচক সহ ডিগ্রীর আরেকটি সম্পত্তি যা আমাদের প্রমাণ করতে হবে তা হল তুলনা সম্পত্তি।
প্রথমে, শূন্যের সাথে সূচকের তুলনা করা যাক। কেন একটি n > 0 প্রদান করে যে a 0 এর চেয়ে বড়?
যদি আমরা একটি ধনাত্মক সংখ্যাকে অন্যটি দ্বারা গুণ করি তবে আমরা একটি ধনাত্মক সংখ্যাও পাব। এই সত্যটি জেনে, আমরা বলতে পারি যে এটি কারণের সংখ্যার উপর নির্ভর করে না - ধনাত্মক সংখ্যার যেকোনো সংখ্যাকে গুণ করার ফলাফল একটি ধনাত্মক সংখ্যা। এবং একটি ডিগ্রী কি, যদি না সংখ্যা গুণের ফলাফল? তাহলে যে কোনো শক্তির জন্য একটি ধনাত্মক ভিত্তি এবং একটি প্রাকৃতিক সূচক সহ, এটি সত্য হবে।
উদাহরণ 9
3 5 > 0 , (0 , 00201) 2 > 0 এবং 34 9 13 51 > 0
এটাও স্পষ্ট যে শূন্যের সমান ভিত্তি সহ একটি শক্তি নিজেই শূন্য। যে শক্তিতে আমরা শূন্য বাড়াই না কেন, তা শূন্যই থেকে যাবে।
উদাহরণ 10
0 3 = 0 এবং 0 762 = 0
যদি ডিগ্রির ভিত্তি একটি ঋণাত্মক সংখ্যা হয়, তাহলে প্রমাণটি একটু বেশি জটিল, যেহেতু জোড়/বিজোড় সূচকের ধারণাটি গুরুত্বপূর্ণ হয়ে ওঠে। চলুন শুরু করা যাক যখন সূচকটি জোড় হয় এবং এটিকে 2 · m দ্বারা চিহ্নিত করুন, যেখানে m একটি স্বাভাবিক সংখ্যা।
আসুন মনে রাখি কিভাবে নেতিবাচক সংখ্যাগুলি সঠিকভাবে গুণ করা যায়: a · a মডিউলের গুণফলের সমান, এবং তাই, এটি একটি ধনাত্মক সংখ্যা হবে। তারপর 
এবং ডিগ্রী a 2 · m এছাড়াও ইতিবাচক।
উদাহরণ 11
উদাহরণস্বরূপ, (− 6) 4 > 0 , (− 2 , 2) 12 > 0 এবং - 2 9 6 > 0
ঋণাত্মক ভিত্তি সহ সূচকটি একটি বিজোড় সংখ্যা হলে কী হবে? আসুন এটি 2 · m − 1 বোঝাই।
তারপর 
সমস্ত পণ্য a · a, গুণের বৈশিষ্ট্য অনুসারে, ধনাত্মক এবং তাদের গুণফলও তাই। কিন্তু যদি আমরা এটিকে একমাত্র অবশিষ্ট সংখ্যা a দ্বারা গুণ করি, তাহলে চূড়ান্ত ফলাফল নেতিবাচক হবে।
তারপর আমরা পাই: (−5) 3< 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0
এটা কিভাবে প্রমাণ করতে?
একটি< b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a < b . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и a n < b n .
উদাহরণ 12
উদাহরণস্বরূপ, অসমতা সত্য: 3 7< (2 , 2) 7 и 3 5 11 124 > (0 , 75) 124
8. আমাদের কাছে শেষ সম্পত্তি প্রমাণ করা বাকি আছে: যদি আমাদের কাছে দুটি ডিগ্রি থাকে, যার ভিত্তিগুলি একই এবং ধনাত্মক এবং সূচকগুলি প্রাকৃতিক সংখ্যা, তাহলে তাদের মধ্যে একটি বড়, যার সূচকটি কম; এবং প্রাকৃতিক সূচকের সাথে দুটি ডিগ্রী এবং একই ঘাঁটি একের চেয়ে বড়, যার সূচকটি বড় সেই ডিগ্রীটি বড়।
আসুন এই দাবী প্রমাণ করা যাক.
প্রথমে আমাদের নিশ্চিত করতে হবে যে একটি মি< a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n
আমরা বন্ধনী থেকে একটি n নিই, তারপরে আমাদের পার্থক্যটি একটি n · (am − n − 1) রূপ নেবে। এর ফলাফল হবে নেতিবাচক (যেহেতু একটি ধনাত্মক সংখ্যাকে একটি ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ করার ফলাফল নেতিবাচক)। প্রকৃতপক্ষে, প্রাথমিক অবস্থা অনুসারে, m − n > 0, তারপর a m − n − 1 হল ঋণাত্মক, এবং প্রথম ফ্যাক্টরটি ধনাত্মক, যেমন একটি ধনাত্মক ভিত্তি সহ যেকোনো প্রাকৃতিক শক্তি।
দেখা গেল a m − a n< 0 и a m < a n . Свойство доказано.
উপরে প্রণয়ন করা বিবৃতির দ্বিতীয় অংশটি প্রমাণ করা বাকি আছে: a m > a m > n এবং a > 1 এর জন্য সত্য। আমরা পার্থক্য নির্দেশ করি এবং বন্ধনী থেকে একটি n বের করি: (a m - n - 1)। একটি এন এর শক্তি একের চেয়ে বেশি একটি ইতিবাচক ফলাফল দেবে; এবং পার্থক্যটি নিজেই প্রাথমিক অবস্থার কারণে ধনাত্মক হয়ে উঠবে এবং a > 1 এর জন্য a m − n এর ডিগ্রী একটি থেকে বড়। দেখা যাচ্ছে যে a m − a n > 0 এবং a m > a n, যা আমাদের প্রমাণ করতে হবে।
উদাহরণ 13
নির্দিষ্ট সংখ্যা সহ উদাহরণ: 3 7 > 3 2
পূর্ণসংখ্যা সূচক সহ ডিগ্রীর মৌলিক বৈশিষ্ট্য
ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা সূচক সহ ডিগ্রীগুলির জন্য, বৈশিষ্ট্যগুলি একই রকম হবে, কারণ ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাগুলি প্রাকৃতিক, যার মানে উপরে প্রমাণিত সমস্ত সমতা তাদের জন্যও বৈধ৷ এগুলি এমন ক্ষেত্রেও উপযুক্ত যেখানে সূচকগুলি ঋণাত্মক বা শূন্যের সমান (প্রদান করা হয় যে ডিগ্রীর ভিত্তি নিজেই অ-শূন্য হয়)।
এইভাবে, ক্ষমতার বৈশিষ্ট্যগুলি যেকোন বেস a এবং b এর জন্য একই (যদি থাকে যে এই সংখ্যাগুলি বাস্তব এবং 0 এর সমান না হয়) এবং যেকোন সূচক m এবং n (যদি সেগুলি পূর্ণসংখ্যা হয়)। আমরা সেগুলিকে সূত্র আকারে সংক্ষেপে লিখি:
সংজ্ঞা 2
1. a m a n = a m + n
2. a m: a n = a m − n
3. (a b) n = a n b n
4. (a: b) n = a n: b n
5. (am) n = a m n
6. একটি এন< b n и a − n >b − n ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা n, ধনাত্মক a এবং b, a< b
সকাল 7 টা< a n , при условии целых m и n , m >n এবং 0< a < 1 , при a >1 a m > a n।
যদি ডিগ্রির ভিত্তি শূন্যের সমান হয়, তাহলে এন্ট্রি a m এবং a n শুধুমাত্র স্বাভাবিক এবং ধনাত্মক m এবং n এর ক্ষেত্রেই বোঝা যায়। ফলস্বরূপ, আমরা দেখতে পাই যে উপরের ফর্মুলেশনগুলি শূন্য বেস সহ ডিগ্রী সহ ক্ষেত্রেও উপযুক্ত, যদি অন্য সমস্ত শর্ত পূরণ করা হয়।
এই ক্ষেত্রে এই বৈশিষ্ট্যগুলির প্রমাণগুলি সহজ। আমাদের মনে রাখতে হবে একটি প্রাকৃতিক এবং পূর্ণসংখ্যা সূচক সহ একটি ডিগ্রী কী, সেইসাথে বাস্তব সংখ্যা সহ ক্রিয়াগুলির বৈশিষ্ট্যগুলিও।
আসুন ডিগ্রীতে ডিগ্রীর বৈশিষ্ট্য বিশ্লেষণ করি এবং প্রমাণ করি যে এটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং অ-ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা উভয়ের জন্যই সত্য। আমরা সমতা প্রমাণ করে শুরু করি (a p) q = a p q , (a − p) q = a (−p) q , (a p) − q = a p (−q) এবং (a − p) − q = a (− p) (−q)
শর্ত: p = 0 বা প্রাকৃতিক সংখ্যা; q - একইভাবে।
যদি p এবং q এর মান 0 এর থেকে বেশি হয়, তাহলে আমরা (a p) q = a p · q পাব। আমরা এর আগেও একই ধরনের সমতা প্রমাণ করেছি। যদি p = 0 হয় তাহলে:
(a 0) q = 1 q = 1 a 0 q = a 0 = 1
অতএব, (a 0) q = a 0 q
q = 0 এর জন্য সবকিছু ঠিক একই রকম:
(a p) 0 = 1 a p 0 = a 0 = 1
ফলাফল: (a p) 0 = a p 0।
যদি উভয় সূচকই শূন্য হয়, তাহলে (a 0) 0 = 1 0 = 1 এবং a 0 0 = a 0 = 1, তারপর (a 0) 0 = a 0 0 ।
উপরে প্রমাণিত শক্তিতে ভাগফলের বৈশিষ্ট্য স্মরণ করুন এবং লিখুন:
1 a p q = 1 q a p q
যদি 1 p = 1 1 … 1 = 1 এবং a p q = a p q, তাহলে 1 q a p q = 1 a p q
আমরা এই স্বরলিপিটিকে মৌলিক গুণের নিয়মের দ্বারা a (− p) · q তে রূপান্তর করতে পারি।
এছাড়াও: a p - q = 1 (a p) q = 1 a p q = a - (p q) = a p (- q) .
AND (a - p) - q = 1 a p - q = (a p) q = a p q = a (- p) (- q)
ডিগ্রীর অবশিষ্ট বৈশিষ্ট্যগুলি বিদ্যমান অসমতাগুলিকে রূপান্তর করে একইভাবে প্রমাণ করা যেতে পারে। আমরা এই বিষয়ে বিস্তারিতভাবে চিন্তা করব না, আমরা কেবল কঠিন পয়েন্টগুলি নির্দেশ করব।
উপান্তর সম্পত্তির প্রমাণ: স্মরণ করুন যে a − n > b − n যেকোন নেতিবাচক পূর্ণসংখ্যা মানের জন্য সত্য এবং যেকোন ধনাত্মক a এবং b, শর্ত থাকে যে a b এর থেকে কম হয়।
তারপর অসমতা নিম্নরূপ রূপান্তরিত হতে পারে:
1 a n > 1 b n
আমরা পার্থক্য হিসাবে ডান এবং বাম অংশগুলি লিখি এবং প্রয়োজনীয় রূপান্তরগুলি সম্পাদন করি:
1 a n - 1 b n = b n - a n a n b n
প্রত্যাহার করুন যে কন্ডিশনে একটি b এর চেয়ে কম, তারপর, একটি প্রাকৃতিক সূচক সহ একটি ডিগ্রির সংজ্ঞা অনুসারে: - a n< b n , в итоге: b n − a n > 0 .
a n · b n একটি ধনাত্মক সংখ্যা হিসাবে শেষ হয় কারণ এর গুণনীয়কগুলি ধনাত্মক। ফলস্বরূপ, আমাদের একটি ভগ্নাংশ আছে b n - a n a n · b n, যা শেষ পর্যন্ত একটি ইতিবাচক ফলাফলও দেয়। তাই 1 a n > 1 b n কোথা থেকে a − n > b − n, যা আমাদের প্রমাণ করতে হবে।
পূর্ণসংখ্যা সূচক সহ ডিগ্রীর শেষ সম্পত্তি প্রাকৃতিক সূচক সহ ডিগ্রীর সম্পত্তির অনুরূপভাবে প্রমাণিত হয়।
মূলদ সূচক সহ ডিগ্রীর মৌলিক বৈশিষ্ট্য
পূর্ববর্তী নিবন্ধগুলিতে, আমরা আলোচনা করেছি যে একটি যুক্তিযুক্ত (ভগ্নাংশ) সূচক সহ একটি ডিগ্রি কী। তাদের বৈশিষ্ট্য পূর্ণসংখ্যা সূচক সহ ডিগ্রীগুলির মতোই। চল লিখি:
সংজ্ঞা 3
1. a m 1 n 1 a m 2 n 2 = a m 1 n 1 + m 2 n 2 a > 0 এর জন্য, এবং যদি m 1 n 1 > 0 এবং m 2 n 2 > 0 হয়, তাহলে একটি ≥ 0 এর জন্য (পণ্য সম্পত্তির ক্ষমতা একই বেস সহ)।
2. a m 1 n 1: b m 2 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2 যদি a > 0 (ভাগফল সম্পত্তি)।
3. a b m n = a m n b m n a > 0 এবং b > 0 এর জন্য, এবং যদি m 1 n 1 > 0 এবং m 2 n 2 > 0 হয়, তাহলে a ≥ 0 এবং (বা) b ≥ 0 এর জন্য (ভগ্নাংশে পণ্যের বৈশিষ্ট্য)।
4. a: b m n \u003d a m n: b m n a > 0 এবং b > 0 এর জন্য, এবং যদি m n > 0 হয়, তাহলে a ≥ 0 এবং b > 0 এর জন্য (একটি ভগ্নাংশের ঘাতের ভাগফলের বৈশিষ্ট্য)।
5. a m 1 n 1 m 2 n 2 \u003d am 1 n 1 m 2 n 2 a > 0 এর জন্য, এবং যদি m 1 n 1 > 0 এবং m 2 n 2 > 0 হয়, তাহলে একটি ≥ 0 (এ ডিগ্রী সম্পত্তি ডিগ্রী).
6.এপি< b p при условии любых положительных a и b , a < b и рациональном p при p >0; যদি পি< 0 - a p >b p (সমান যৌক্তিক সূচকের সাথে ডিগ্রি তুলনা করার বৈশিষ্ট্য)।
7.এপি< a q при условии рациональных чисел p и q , p >q 0 এ< a < 1 ; если a >0 – a p > a q
এই বিধানগুলি প্রমাণ করার জন্য, আমাদের মনে রাখতে হবে একটি ভগ্নাংশের সূচক সহ একটি ডিগ্রি কী, nম ডিগ্রির গাণিতিক মূলের বৈশিষ্ট্যগুলি কী এবং একটি পূর্ণসংখ্যা সূচক সহ একটি ডিগ্রির বৈশিষ্ট্যগুলি কী কী। আসুন প্রতিটি সম্পত্তি কটাক্ষপাত করা যাক.
একটি ভগ্নাংশের সূচক সহ একটি ডিগ্রী অনুযায়ী, আমরা পাই:
a m 1 n 1 \u003d am 1 n 1 এবং a m 2 n 2 \u003d am 2 n 2, অতএব, a m 1 n 1 a m 2 n 2 \u003d am 1 n 1 a m 2 n 2
মূলের বৈশিষ্ট্যগুলি আমাদের সমতা অর্জনের অনুমতি দেবে:
a m 1 m 2 n 1 n 2 a m 2 m 1 n 2 n 1 = a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2
এর থেকে আমরা পাই: a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2
আসুন রূপান্তর করি:
a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2
সূচকটিকে এভাবে লেখা যেতে পারে:
m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 2 n 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 1 + m 2 n 2
এটাই প্রমাণ। দ্বিতীয় সম্পত্তি ঠিক একই ভাবে প্রমাণিত হয়। আসুন সমতার চেইনটি লিখি:
a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 2: a m 2 n 1 n 1 n 2 = = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 n 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2
অবশিষ্ট সমতার প্রমাণ:
a b m n = (a b) m n = a m b m n = a m n b m n = a m n b m n ; (a: b) m n = (a: b) m n = a m: b m n = = a m n: b m n = a m n: b m n ; a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 m 2 n 1 n 2 = a m 1 m 2 n 1 n 2 = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 n 1 m 2 n 2
পরবর্তী বৈশিষ্ট্য: আসুন প্রমাণ করি যে a এবং b এর 0-এর চেয়ে বড় যে কোনও মানের জন্য, a যদি b-এর চেয়ে কম হয়, a p কার্যকর করা হবে।< b p , а для p больше 0 - a p >bp
আসুন একটি মূলদ সংখ্যা p কে m n হিসাবে উপস্থাপন করি। এই ক্ষেত্রে, m একটি পূর্ণসংখ্যা, n একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা। তারপর শর্ত পি< 0 и p >0 মি পর্যন্ত বাড়ানো হবে< 0 и m >0 m > 0 এবং a এর জন্য< b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .
আমরা মূলের বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করি এবং উৎপন্ন করি: একটি m n< b m n
a এবং b মানের ইতিবাচকতা বিবেচনায় নিয়ে, আমরা অসমতাটিকে একটি m n হিসাবে পুনরায় লিখি< b m n . Оно эквивалентно a p < b p .
একই ভাবে, এম< 0 имеем a a m >b m , আমরা a m n > b m n তাই a m n > b m n এবং a p > b p পাই।
শেষ সম্পত্তি প্রমাণ করা আমাদের জন্য অবশেষ। আসুন প্রমাণ করি যে মূলদ সংখ্যার জন্য p এবং q, p > q 0 এ< a < 1 a p < a q , а при a >0 সত্য হবে a p > a q।
মূলদ সংখ্যা p এবং q একটি সাধারণ হর হিসাবে হ্রাস করা যেতে পারে এবং ভগ্নাংশ m 1 n এবং m 2 n পেতে পারে
এখানে m 1 এবং m 2 হল পূর্ণসংখ্যা, এবং n হল একটি স্বাভাবিক সংখ্যা। যদি p > q হয়, তাহলে m 1 > m 2 (ভগ্নাংশের তুলনা করার নিয়ম বিবেচনা করে)। তারপর 0 এ< a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a >1 – অসমতা a 1 m > a 2 m।
সেগুলি নিম্নলিখিত আকারে পুনরায় লেখা যেতে পারে:
a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n
তারপরে আপনি রূপান্তর করতে পারেন এবং ফলাফল হিসাবে পেতে পারেন:
a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n
সংক্ষেপে: p > q এবং 0 এর জন্য< a < 1 верно a p < a q , а при a >0 – a p > a q।
অযৌক্তিক সূচক সহ ডিগ্রীর মৌলিক বৈশিষ্ট্য
উপরে বর্ণিত সমস্ত বৈশিষ্ট্য যা যুক্তিযুক্ত সূচকের অধিকারী একটি ডিগ্রী এমন একটি ডিগ্রী পর্যন্ত প্রসারিত করা যেতে পারে। এটি তার সংজ্ঞা থেকে অনুসরণ করে, যা আমরা পূর্ববর্তী নিবন্ধগুলির একটিতে দিয়েছি। আসুন সংক্ষেপে এই বৈশিষ্ট্যগুলি তৈরি করি (শর্তগুলি: a > 0 , b > 0 , সূচক p এবং q হল অমূলদ সংখ্যা):
সংজ্ঞা 4
1. a p a q = a p + q
2. a p: a q = a p − q
3. (a b) p = a p b p
4. (a: b) p = a p: b p
5. (a p) q = a p q
6.এপি< b p верно при любых положительных a и b , если a < b и p – иррациональное число больше 0 ; если p меньше 0 , то a p >bp
7.এপি< a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a >0 , তারপর a p > a q।
এইভাবে, সমস্ত শক্তি যার সূচকগুলি p এবং q বাস্তব সংখ্যা, শর্ত থাকে যে a > 0, একই বৈশিষ্ট্য রয়েছে।
আপনি যদি পাঠ্যটিতে একটি ভুল লক্ষ্য করেন, অনুগ্রহ করে এটি হাইলাইট করুন এবং Ctrl+Enter টিপুন
আমরা যদি অষ্টম ডিগ্রির দিকে মনোযোগ না দিই, তাহলে আমরা এখানে কী দেখব? চলুন দেখে নেওয়া যাক ৭ম শ্রেণীর প্রোগ্রাম। তাই, মনে আছে? এই হল সংক্ষিপ্ত গুণের সূত্র, অর্থাৎ বর্গক্ষেত্রের পার্থক্য! আমরা পেতে:
আমরা সাবধানে হর তাকান. এটা দেখতে অনেকটা অংকের ফ্যাক্টরের মত, কিন্তু ভুল কি? পদের ভুল ক্রম। যদি তাদের অদলবদল করা হয় তবে নিয়মটি প্রযোজ্য হতে পারে।
কিন্তু কিভাবে যে কি? দেখা যাচ্ছে যে এটা খুবই সহজ: হর এর সমান ডিগ্রী আমাদের এখানে সাহায্য করে।
শর্তাবলী জাদুকরী স্থান পরিবর্তন করেছে. এই "প্রপঞ্চ" একটি সমান ডিগ্রী কোনো অভিব্যক্তি প্রযোজ্য: আমরা অবাধে বন্ধনী মধ্যে চিহ্ন পরিবর্তন করতে পারেন.
কিন্তু এটা মনে রাখা গুরুত্বপূর্ণ: সমস্ত লক্ষণ একই সময়ে পরিবর্তিত হয়!
আসুন উদাহরণে ফিরে যাই:
এবং আবার সূত্র:
সম্পূর্ণআমরা প্রাকৃতিক সংখ্যা, তাদের বিপরীত (অর্থাৎ "" চিহ্ন দিয়ে নেওয়া) এবং সংখ্যার নাম দিই।
ধনাত্নক পূর্ণসংখ্যা, এবং এটি প্রাকৃতিক থেকে আলাদা নয়, তারপর সবকিছু ঠিক আগের বিভাগের মতো দেখায়।
এখন নতুন কেস দেখি। এর সমান একটি সূচক দিয়ে শুরু করা যাক।
শূন্য শক্তির যেকোনো সংখ্যা একের সমান:
সর্বদা হিসাবে, আমরা নিজেদেরকে জিজ্ঞাসা করি: কেন এটি তাই?
একটি বেস সঙ্গে কিছু শক্তি বিবেচনা করুন. উদাহরণস্বরূপ, নিন এবং দ্বারা গুণ করুন:
সুতরাং, আমরা সংখ্যাটিকে দ্বারা গুণ করেছি, এবং এটির মতোই পেয়েছি -। কোন সংখ্যার দ্বারা গুণিত হতে হবে যাতে কিছুই পরিবর্তন হয়? এটা ঠিক, অন. মানে।
আমরা একটি নির্বিচারে সংখ্যার সাথে একই কাজ করতে পারি:
আসুন নিয়মটি পুনরাবৃত্তি করি:
শূন্য শক্তির যেকোনো সংখ্যা একের সমান।
কিন্তু অনেক নিয়মের ব্যতিক্রম আছে। এবং এখানে এটিও রয়েছে - এটি একটি সংখ্যা (বেস হিসাবে)।
একদিকে, এটি যে কোনও ডিগ্রির সমান হতে হবে - আপনি যতই শূন্যকে নিজের দ্বারা গুণ করুন না কেন, আপনি এখনও শূন্য পাবেন, এটি পরিষ্কার। কিন্তু অন্যদিকে, শূন্য ডিগ্রির যেকোনো সংখ্যার মতো, এটি অবশ্যই সমান হতে হবে। তাহলে এর সত্যতা কী? গণিতবিদরা জড়িত না হওয়ার সিদ্ধান্ত নেন এবং শূন্য থেকে শূন্য শক্তি বাড়াতে অস্বীকার করেন। অর্থাৎ, এখন আমরা শুধু শূন্য দিয়ে ভাগ করতে পারি না, শূন্য শক্তিতেও বাড়াতে পারি।
আরো এগিয়ে যাক. স্বাভাবিক সংখ্যা এবং সংখ্যা ছাড়াও, পূর্ণসংখ্যা নেতিবাচক সংখ্যা অন্তর্ভুক্ত করে। নেতিবাচক ডিগ্রী কি তা বোঝার জন্য, আসুন গতবারের মতই করি: আমরা কিছু স্বাভাবিক সংখ্যাকে নেতিবাচক ডিগ্রিতে একই দ্বারা গুণ করি:
এখান থেকে পছন্দসই প্রকাশ করা ইতিমধ্যেই সহজ:
এখন আমরা ফলাফলের নিয়মকে নির্বিচারে প্রসারিত করি:
সুতরাং, আসুন নিয়ম প্রণয়ন করা যাক:
একটি ঋণাত্মক শক্তির একটি সংখ্যা হল একই সংখ্যার একটি ধনাত্মক শক্তির বিপরীত। কিন্তু একই সময়ে ভিত্তি শূন্য হতে পারে না:(কারণ এটি ভাগ করা অসম্ভব)।
আসুন সংক্ষিপ্ত করা যাক:
I. ক্ষেত্রে অভিব্যক্তি সংজ্ঞায়িত করা হয় না। যদি, তাহলে।
২. শূন্য শক্তির যেকোনো সংখ্যা একের সমান:
III. একটি সংখ্যা যা শূন্য থেকে ঋণাত্মক শক্তির সমান নয় তা হল একই সংখ্যার বিপরীত একটি ধনাত্মক শক্তি: .
স্বাধীন সমাধানের জন্য কাজ:
ঠিক আছে, যথারীতি, একটি স্বাধীন সমাধানের উদাহরণ:
স্বাধীন সমাধানের জন্য কার্য বিশ্লেষণ:
আমি জানি, আমি জানি, নম্বরগুলি ভীতিজনক, তবে পরীক্ষায় আপনাকে যে কোনও কিছুর জন্য প্রস্তুত থাকতে হবে! এই উদাহরণগুলি সমাধান করুন বা তাদের সমাধান বিশ্লেষণ করুন যদি আপনি এটি সমাধান করতে না পারেন এবং আপনি পরীক্ষায় তাদের সাথে কীভাবে মোকাবেলা করতে হয় তা শিখবেন!
আসুন একটি সূচক হিসাবে "উপযুক্ত" সংখ্যার বৃত্তটি প্রসারিত করা চালিয়ে যাই।
এখন বিবেচনা করুন মূলদ সংখ্যা.কোন সংখ্যাকে মূলদ বলা হয়?
উত্তর: ভগ্নাংশ হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে, যেখানে এবং পূর্ণসংখ্যা, উপরন্তু.
কি তা বোঝার জন্য "ভগ্নাংশ ডিগ্রী"আসুন একটি ভগ্নাংশ বিবেচনা করা যাক:
সমীকরণের উভয় দিককে একটি শক্তিতে উন্নীত করা যাক:
এখন নিয়ম মনে রাখবেন "ডিগ্রী থেকে ডিগ্রী":
কোন সংখ্যা পাওয়ার জন্য একটি শক্তি বাড়াতে হবে?
এই ফর্মুলেশনটি হল তম ডিগ্রির মূলের সংজ্ঞা।
আমি আপনাকে মনে করিয়ে দিই: একটি সংখ্যার তম ঘাতের মূল () হল এমন একটি সংখ্যা যা একটি ঘাতে উত্থাপিত হলে সমান হয়।
অর্থাৎ, তম ডিগ্রির মূল হল সূচকের বিপরীত ক্রিয়াকলাপ: .
এটা দেখা যাচ্ছে যে. স্পষ্টতই, এই বিশেষ ক্ষেত্রে বাড়ানো যেতে পারে: .
এখন লব যোগ করুন: এটা কি? পাওয়ার-টু-পাওয়ার নিয়মের সাথে উত্তরটি পাওয়া সহজ:
কিন্তু ভিত্তি কি কোন সংখ্যা হতে পারে? সর্বোপরি, সমস্ত সংখ্যা থেকে মূল বের করা যায় না।
কোনোটিই নয়!
নিয়মটি মনে রাখবেন: একটি জোড় শক্তিতে উত্থিত যেকোন সংখ্যা একটি ধনাত্মক সংখ্যা। অর্থাৎ ঋণাত্মক সংখ্যা থেকে জোড় ডিগ্রির মূল বের করা অসম্ভব!
এবং এর মানে হল যে এই ধরনের সংখ্যাগুলিকে একটি জোড় হর সহ একটি ভগ্নাংশের শক্তিতে উত্থাপিত করা যায় না, অর্থাৎ, অভিব্যক্তির অর্থ হয় না।
অভিব্যক্তি সম্পর্কে কি?
কিন্তু এখানে একটি সমস্যা দেখা দেয়।
সংখ্যাটিকে অন্যান্য, হ্রাসকৃত ভগ্নাংশ হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, বা।
এবং দেখা যাচ্ছে যে এটি বিদ্যমান, কিন্তু বিদ্যমান নয়, এবং এটি একই সংখ্যার দুটি ভিন্ন রেকর্ড মাত্র।
অথবা অন্য উদাহরণ: একবার, তারপর আপনি এটি লিখতে পারেন। কিন্তু যত তাড়াতাড়ি আমরা সূচকটি অন্যভাবে লিখি, আমরা আবার সমস্যায় পড়ি: (অর্থাৎ, আমরা একটি সম্পূর্ণ ভিন্ন ফলাফল পেয়েছি!)
এই ধরনের প্যারাডক্স এড়াতে, বিবেচনা করুন ভগ্নাংশের সূচক সহ শুধুমাত্র ধনাত্মক ভিত্তি সূচক.
তাই যদি:
- - প্রাকৃতিক সংখ্যা;
- একটি পূর্ণসংখ্যা;
উদাহরণ:
মূলের সাথে অভিব্যক্তি রূপান্তরিত করার জন্য একটি যুক্তিযুক্ত সূচক সহ শক্তিগুলি খুব দরকারী, উদাহরণস্বরূপ:
5 অনুশীলন উদাহরণ
প্রশিক্ষণের জন্য 5টি উদাহরণের বিশ্লেষণ
1. ডিগ্রির স্বাভাবিক বৈশিষ্ট্য সম্পর্কে ভুলবেন না:
2. এখানে আমরা স্মরণ করি যে আমরা ডিগ্রির সারণী শিখতে ভুলে গেছি:
সব পরে - এই বা। সমাধান স্বয়ংক্রিয়ভাবে পাওয়া যায়: .
আচ্ছা, এখন - সবচেয়ে কঠিন। এখন আমরা বিশ্লেষণ করব একটি অযৌক্তিক সূচক সহ ডিগ্রী.
এখানে ডিগ্রীর সমস্ত নিয়ম এবং বৈশিষ্ট্যগুলি একটি যৌক্তিক সূচক সহ ডিগ্রীর মতোই, ব্যতিক্রম ছাড়া
প্রকৃতপক্ষে, সংজ্ঞা অনুসারে, অমূলদ সংখ্যা হল এমন সংখ্যা যেগুলিকে ভগ্নাংশ হিসাবে উপস্থাপন করা যায় না, যেখানে এবং পূর্ণসংখ্যা (অর্থাৎ, অমূলদ সংখ্যাগুলি মূলদগুলি ছাড়া সমস্ত বাস্তব সংখ্যা)।
একটি প্রাকৃতিক, পূর্ণসংখ্যা এবং যৌক্তিক সূচক সহ ডিগ্রী অধ্যয়ন করার সময়, প্রতিবার আমরা একটি নির্দিষ্ট "চিত্র", "সাদৃশ্য" বা আরও পরিচিত পরিভাষায় বর্ণনা তৈরি করি।
উদাহরণস্বরূপ, একটি প্রাকৃতিক সূচক হল একটি সংখ্যা যা নিজের দ্বারা কয়েকগুণ গুণিত হয়;
...শূন্য শক্তি- এটি, যেমনটি ছিল, একটি সংখ্যা নিজেই একবার গুণিত হয়েছে, অর্থাৎ এটি এখনও গুণিত হতে শুরু করেনি, যার অর্থ হল সংখ্যাটি নিজেই এখনও উপস্থিত হয়নি - অতএব, ফলাফলটি শুধুমাত্র একটি নির্দিষ্ট "প্রস্তুতি" একটি সংখ্যা", যথা একটি সংখ্যা;
...ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা সূচক- এটি যেন একটি নির্দিষ্ট "বিপরীত প্রক্রিয়া" ঘটেছে, অর্থাৎ, সংখ্যাটি নিজের দ্বারা গুণিত হয়নি, তবে ভাগ করা হয়েছে।
যাইহোক, বিজ্ঞান প্রায়শই একটি জটিল সূচক সহ একটি ডিগ্রী ব্যবহার করে, অর্থাৎ, একটি সূচক এমনকি একটি বাস্তব সংখ্যাও নয়।
কিন্তু স্কুলে, আমরা এই ধরনের অসুবিধার কথা ভাবি না; আপনি ইনস্টিটিউটে এই নতুন ধারণাগুলি বোঝার সুযোগ পাবেন।
যেখানে আমরা নিশ্চিত আপনি যাবেন! (যদি আপনি এই জাতীয় উদাহরণগুলি কীভাবে সমাধান করবেন তা শিখলে :))
উদাহরণ স্বরূপ:
নিজের জন্য সিদ্ধান্ত নিন:
সমাধান বিশ্লেষণ:
1. একটি ডিগ্রীকে ডিগ্রীতে বাড়ানোর জন্য ইতিমধ্যেই স্বাভাবিক নিয়মটি দিয়ে শুরু করা যাক:
এখন স্কোর দেখুন। তিনি কি আপনাকে কিছু মনে করিয়ে দেন? আমরা বর্গের পার্থক্যের সংক্ষিপ্ত গুণের সূত্রটি স্মরণ করি:
এক্ষেত্রে,
এটা দেখা যাচ্ছে যে:
উত্তর: .
2. আমরা সূচকে ভগ্নাংশকে একই আকারে নিয়ে আসি: উভয় দশমিক বা উভয় সাধারণ। আমরা পাই, উদাহরণস্বরূপ:
উত্তর: 16টি
3. বিশেষ কিছু নয়, আমরা ডিগ্রীর স্বাভাবিক বৈশিষ্ট্য প্রয়োগ করি:
উন্নত স্তর
ডিগ্রির সংজ্ঞা
ডিগ্রি হল ফর্মের একটি অভিব্যক্তি: , যেখানে:
- — ডিগ্রির ভিত্তি;
- - সূচক
প্রাকৃতিক সূচক সহ ডিগ্রী (n = 1, 2, 3,...)
একটি সংখ্যাকে প্রাকৃতিক শক্তি n-এ উন্নীত করার অর্থ হল সংখ্যাটিকে নিজের দ্বারা গুণ করা:
পূর্ণসংখ্যা সূচক সহ শক্তি (0, ±1, ±2,...)
সূচক হলে ধনাত্নক পূর্ণসংখ্যাসংখ্যা:
ইমারত শূন্য শক্তিতে:
অভিব্যক্তিটি অনির্দিষ্ট, কারণ, একদিকে, যে কোনও ডিগ্রি এটি, এবং অন্যদিকে, তম ডিগ্রির যে কোনও সংখ্যা এটি।
সূচক হলে পূর্ণসংখ্যা ঋণাত্মকসংখ্যা:
(কারণ এটি ভাগ করা অসম্ভব)।
নাল সম্পর্কে আরও একবার: অভিব্যক্তিটি ক্ষেত্রে সংজ্ঞায়িত করা হয়নি। যদি, তাহলে।
উদাহরণ:
যৌক্তিক সূচক সহ ডিগ্রী
- - প্রাকৃতিক সংখ্যা;
- একটি পূর্ণসংখ্যা;
উদাহরণ:
ডিগ্রী বৈশিষ্ট্য
সমস্যাগুলি সমাধান করা সহজ করার জন্য, আসুন বোঝার চেষ্টা করি: এই বৈশিষ্ট্যগুলি কোথা থেকে এসেছে? আসুন তাদের প্রমাণ করি।
আসুন দেখি: কি এবং?
এ-প্রিয়রি:
সুতরাং, এই অভিব্যক্তির ডানদিকে, নিম্নলিখিত পণ্যটি প্রাপ্ত হয়েছে:
কিন্তু সংজ্ঞা অনুসারে, এটি একটি সূচক সহ একটি সংখ্যার একটি শক্তি, যা হল:
Q.E.D.
উদাহরণ : অভিব্যক্তি সরলীকরণ করুন।
সিদ্ধান্ত : .
উদাহরণ : অভিব্যক্তি সরলীকরণ করুন।
সিদ্ধান্ত : এটা আমাদের নিয়মে উল্লেখ করা জরুরী অগত্যাএকই ভিত্তি থাকতে হবে। অতএব, আমরা বেসের সাথে ডিগ্রিগুলিকে একত্রিত করি, তবে একটি পৃথক ফ্যাক্টর থেকে যায়:
আরেকটি গুরুত্বপূর্ণ নোট: এই নিয়ম - শুধুমাত্র ক্ষমতার পণ্যের জন্য!
কোন অবস্থাতেই আমি এটা লিখব না।
আগের সম্পত্তির মতোই, আসুন ডিগ্রীর সংজ্ঞায় ফিরে আসি:
আসুন এটিকে এভাবে পুনর্বিন্যাস করি:
দেখা যাচ্ছে যে অভিব্যক্তিটি একবার নিজের দ্বারা গুণিত হয়, অর্থাৎ, সংজ্ঞা অনুসারে, এটি সংখ্যাটির -তম শক্তি:
প্রকৃতপক্ষে, এটিকে "নির্দেশক বন্ধনী করা" বলা যেতে পারে। কিন্তু আপনি মোটেও এটি করতে পারবেন না:!
আসুন সংক্ষিপ্ত গুণের জন্য সূত্রগুলি স্মরণ করি: আমরা কতবার লিখতে চেয়েছিলাম? কিন্তু এটা সত্যি নয়, সত্যিই।
একটি নেতিবাচক ভিত্তি সঙ্গে শক্তি.
এই বিন্দু পর্যন্ত, আমরা শুধুমাত্র কি করা উচিত আলোচনা করেছি নির্দেশকডিগ্রী কিন্তু ভিত্তি কি হওয়া উচিত? থেকে ডিগ্রিতে প্রাকৃতিক নির্দেশক ভিত্তি হতে পারে যেকোনো সংখ্যা .
প্রকৃতপক্ষে, আমরা যেকোনো সংখ্যাকে একে অপরের দ্বারা গুণ করতে পারি, সেগুলি ধনাত্মক, ঋণাত্মক বা এমনকি। আসুন চিন্তা করি কোন চিহ্নের (" " বা "") ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক সংখ্যার ডিগ্রি থাকবে?
উদাহরণস্বরূপ, সংখ্যাটি ধনাত্মক না ঋণাত্মক হবে? কিন্তু? ?
প্রথমটির সাথে, সবকিছু পরিষ্কার: আমরা একে অপরের সাথে যত ধনাত্মক সংখ্যা গুণ করি না কেন, ফলাফলটি ইতিবাচক হবে।
তবে নেতিবাচকগুলি একটু বেশি আকর্ষণীয়। সর্বোপরি, আমরা 6 ষ্ঠ গ্রেড থেকে একটি সাধারণ নিয়ম মনে রাখি: "একটি বিয়োগ গুণ একটি বিয়োগ একটি প্লাস দেয়।" অর্থাৎ, বা. কিন্তু যদি আমরা () দ্বারা গুণ করি তবে আমরা - পাই।
এবং তাই বিজ্ঞাপন অসীম: প্রতিটি পরবর্তী গুণের সাথে, চিহ্নটি পরিবর্তিত হবে। আপনি এই সহজ নিয়ম প্রণয়ন করতে পারেন:
- এমন কিডিগ্রি, - সংখ্যা ইতিবাচক.
- ঋণাত্মক সংখ্যায় উত্থাপিত হয়েছে অস্বাভাবিকডিগ্রি, - সংখ্যা নেতিবাচক.
- যেকোন পাওয়ারের একটি ধনাত্মক সংখ্যা হল একটি ধনাত্মক সংখ্যা।
- যে কোন শক্তির শূন্য সমান শূন্য।
নিম্নলিখিত অভিব্যক্তিতে কী চিহ্ন থাকবে তা নিজের জন্য নির্ধারণ করুন:
| 1. | 2. | 3. |
| 4. | 5. | 6. |
আপনি পরিচালনা করেন? এখানে উত্তর আছে:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
প্রথম চারটি উদাহরণে আশা করি সবকিছু পরিষ্কার? আমরা কেবল ভিত্তি এবং সূচকটি দেখি এবং উপযুক্ত নিয়ম প্রয়োগ করি।
উদাহরণ 5), সবকিছু যতটা ভীতিকর মনে হয় ততটা নয়: বেসটি কী সমান তা বিবেচ্য নয় - ডিগ্রি সমান, যার মানে ফলাফল সর্বদা ইতিবাচক হবে। ভাল, বেস শূন্য ছাড়া যখন. বেস তো এক না, তাই না? স্পষ্টতই না, যেহেতু (কারণ)।
উদাহরণ 6) আর এত সহজ নয়। এখানে আপনাকে খুঁজে বের করতে হবে কোনটি কম: বা? যদি আপনি এটি মনে রাখবেন, এটি স্পষ্ট হয়ে যায় যে, যার মানে হল যে ভিত্তিটি শূন্যের চেয়ে কম। অর্থাৎ, আমরা নিয়ম 2 প্রয়োগ করি: ফলাফল নেতিবাচক হবে।
এবং আবার আমরা ডিগ্রির সংজ্ঞা ব্যবহার করি:
সবকিছু যথারীতি - আমরা ডিগ্রির সংজ্ঞা লিখি এবং সেগুলি একে অপরের মধ্যে ভাগ করি, জোড়ায় ভাগ করি এবং পাই:
শেষ নিয়মটি বিশ্লেষণ করার আগে, কয়েকটি উদাহরণ সমাধান করা যাক।
অভিব্যক্তির মান গণনা করুন:
সমাধান :
আমরা যদি অষ্টম ডিগ্রির দিকে মনোযোগ না দিই, তাহলে আমরা এখানে কী দেখব? চলুন দেখে নেওয়া যাক ৭ম শ্রেণীর প্রোগ্রাম। তাই, মনে আছে? এই হল সংক্ষিপ্ত গুণের সূত্র, অর্থাৎ বর্গক্ষেত্রের পার্থক্য!
আমরা পেতে:
আমরা সাবধানে হর তাকান. এটা দেখতে অনেকটা অংকের ফ্যাক্টরের মত, কিন্তু ভুল কি? পদের ভুল ক্রম। যদি সেগুলো উল্টে দেওয়া হয়, তাহলে নিয়ম 3 প্রয়োগ করা যেতে পারে।কিন্তু এটা কিভাবে করা যায়? দেখা যাচ্ছে যে এটা খুবই সহজ: হর এর সমান ডিগ্রী আমাদের এখানে সাহায্য করে।
যদি আপনি এটি দ্বারা গুন করেন, কিছুই পরিবর্তন হয়, তাই না? কিন্তু এখন এটি এই মত দেখায়:
শর্তাবলী জাদুকরী স্থান পরিবর্তন করেছে. এই "প্রপঞ্চ" একটি সমান ডিগ্রী কোনো অভিব্যক্তি প্রযোজ্য: আমরা অবাধে বন্ধনী মধ্যে চিহ্ন পরিবর্তন করতে পারেন. কিন্তু এটা মনে রাখা গুরুত্বপূর্ণ: সমস্ত লক্ষণ একই সময়ে পরিবর্তিত হয়!আমাদের কাছে শুধুমাত্র একটি আপত্তিকর বিয়োগ পরিবর্তন করে এটি প্রতিস্থাপন করা যাবে না!
আসুন উদাহরণে ফিরে যাই:
এবং আবার সূত্র:
তাই এখন শেষ নিয়ম:
আমরা কিভাবে এটা প্রমাণ করতে যাচ্ছেন? অবশ্যই, যথারীতি: আসুন ডিগ্রির ধারণাটি প্রসারিত করি এবং সরলীকরণ করি:
আচ্ছা, এখন বন্ধনী খুলি. কত অক্ষর থাকবে? গুণক দ্বারা বার - এটি দেখতে কেমন? এটি একটি অপারেশনের সংজ্ঞা ছাড়া আর কিছুই নয় গুণ: মোট সেখানে গুণক হতে পরিণত. অর্থাৎ, এটি সংজ্ঞা অনুসারে, একটি সূচক সহ একটি সংখ্যার শক্তি:
উদাহরণ:
অযৌক্তিক সূচক সহ ডিগ্রী
গড় স্তরের জন্য ডিগ্রী সম্পর্কে তথ্য ছাড়াও, আমরা একটি অযৌক্তিক সূচক দিয়ে ডিগ্রী বিশ্লেষণ করব। এখানে ডিগ্রীর সমস্ত নিয়ম এবং বৈশিষ্ট্যগুলি একটি মূলদ সূচক সহ ডিগ্রীর মতোই, ব্যতিক্রম ছাড়া - সর্বোপরি, সংজ্ঞা অনুসারে, অমূলদ সংখ্যাগুলি এমন সংখ্যা যা ভগ্নাংশ হিসাবে উপস্থাপন করা যায় না, যেখানে এবং পূর্ণসংখ্যা (অর্থাৎ , অমূলদ সংখ্যাগুলি মূলদ সংখ্যা ছাড়া সব বাস্তব সংখ্যা)।
একটি প্রাকৃতিক, পূর্ণসংখ্যা এবং যৌক্তিক সূচক সহ ডিগ্রী অধ্যয়ন করার সময়, প্রতিবার আমরা একটি নির্দিষ্ট "চিত্র", "সাদৃশ্য" বা আরও পরিচিত পরিভাষায় বর্ণনা তৈরি করি। উদাহরণস্বরূপ, একটি প্রাকৃতিক সূচক হল একটি সংখ্যা যা নিজের দ্বারা কয়েকগুণ গুণিত হয়; শূন্য ডিগ্রী পর্যন্ত একটি সংখ্যা, যেমনটি ছিল, একটি সংখ্যা নিজেই একবার গুণিত হয়েছে, অর্থাৎ, এটি এখনও গুণিত হতে শুরু করেনি, যার মানে হল যে সংখ্যাটি এখনও উপস্থিত হয়নি - সুতরাং, ফলাফলটি শুধুমাত্র একটি নির্দিষ্ট "একটি সংখ্যার প্রস্তুতি", যথা একটি সংখ্যা; একটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা সহ একটি ডিগ্রী - এটি যেন একটি নির্দিষ্ট "বিপরীত প্রক্রিয়া" ঘটেছে, অর্থাৎ, সংখ্যাটি নিজের দ্বারা গুণিত হয়নি, তবে ভাগ করা হয়েছে।
একটি অযৌক্তিক সূচক সহ একটি ডিগ্রি কল্পনা করা অত্যন্ত কঠিন (ঠিক যেমন এটি একটি 4-মাত্রিক স্থান কল্পনা করা কঠিন)। বরং, এটি একটি সম্পূর্ণরূপে গাণিতিক বস্তু যা গণিতবিদরা একটি ডিগ্রীর ধারণাকে সংখ্যার সমগ্র স্থান পর্যন্ত প্রসারিত করার জন্য তৈরি করেছেন।
যাইহোক, বিজ্ঞান প্রায়শই একটি জটিল সূচক সহ একটি ডিগ্রী ব্যবহার করে, অর্থাৎ, একটি সূচক এমনকি একটি বাস্তব সংখ্যাও নয়। কিন্তু স্কুলে, আমরা এই ধরনের অসুবিধার কথা ভাবি না; আপনি ইনস্টিটিউটে এই নতুন ধারণাগুলি বোঝার সুযোগ পাবেন।
তাহলে আমরা কি করব যদি আমরা একটি অযৌক্তিক সূচক দেখতে পাই? আমরা এটি পরিত্রাণ পেতে আমাদের যথাসাধ্য চেষ্টা করছি! :)
উদাহরণ স্বরূপ:
নিজের জন্য সিদ্ধান্ত নিন:
| 1) | 2) | 3) |
উত্তর:
- বর্গাকার সূত্রের পার্থক্য মনে রাখবেন। উত্তর: .
- আমরা ভগ্নাংশকে একই আকারে নিয়ে আসি: হয় উভয় দশমিক, বা উভয় সাধারণ। আমরা পাই, উদাহরণস্বরূপ: .
- বিশেষ কিছু নেই, আমরা ডিগ্রীর স্বাভাবিক বৈশিষ্ট্য প্রয়োগ করি:
বিভাগ সারাংশ এবং মৌলিক সূত্র
ডিগ্রীফর্মের একটি অভিব্যক্তি বলা হয়: , যেখানে:
পূর্ণসংখ্যা সূচক সহ ডিগ্রী
ডিগ্রি, যার সূচকটি একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা (যেমন পূর্ণসংখ্যা এবং ধনাত্মক)।
যৌক্তিক সূচক সহ ডিগ্রী
ডিগ্রি, যার সূচক হল ঋণাত্মক এবং ভগ্নাংশ সংখ্যা।
অযৌক্তিক সূচক সহ ডিগ্রী
সূচক যার সূচক একটি অসীম দশমিক ভগ্নাংশ বা মূল।
ডিগ্রী বৈশিষ্ট্য
ডিগ্রির বৈশিষ্ট্য।
- ঋণাত্মক সংখ্যায় উত্থাপিত হয়েছে এমন কিডিগ্রি, - সংখ্যা ইতিবাচক.
- ঋণাত্মক সংখ্যায় উত্থাপিত হয়েছে অস্বাভাবিকডিগ্রি, - সংখ্যা নেতিবাচক.
- যেকোন পাওয়ারের একটি ধনাত্মক সংখ্যা হল একটি ধনাত্মক সংখ্যা।
- শূন্য যেকোনো শক্তির সমান।
- শূন্য শক্তির যেকোনো সংখ্যা সমান।
এখন আপনার কাছে একটি শব্দ আছে...
আপনি নিবন্ধটি কিভাবে পছন্দ করেন? নিচের মন্তব্যে আমাকে জানাবেন যদি আপনি এটি পছন্দ করেন বা না করেন।
শক্তি বৈশিষ্ট্য সম্পর্কে আপনার অভিজ্ঞতা সম্পর্কে আমাদের বলুন.
সম্ভবত আপনি প্রশ্ন আছে. বা পরামর্শ।
কমেন্টে লিখুন।
এবং আপনার পরীক্ষার সাথে সৌভাগ্য কামনা করছি!
বীজগণিতের প্রধান বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে একটি, এবং প্রকৃতপক্ষে সমস্ত গণিতে, একটি ডিগ্রি। অবশ্যই, 21 শতকে, সমস্ত গণনা একটি অনলাইন ক্যালকুলেটরে করা যেতে পারে, তবে মস্তিষ্কের বিকাশের জন্য কীভাবে এটি নিজে করতে হয় তা শিখে নেওয়া আরও ভাল।
এই নিবন্ধে, আমরা এই সংজ্ঞা সম্পর্কিত সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বিষয়গুলি বিবেচনা করব। যথা, আমরা বুঝতে পারব এটি সাধারণভাবে কী এবং এর প্রধান কাজগুলি কী, গণিতে কী কী বৈশিষ্ট্য বিদ্যমান।
হিসাবটি কেমন দেখায়, মৌলিক সূত্রগুলো কী কী তার উদাহরণ দেখা যাক। আমরা প্রধান ধরনের পরিমাণ বিশ্লেষণ করব এবং কীভাবে তারা অন্যান্য ফাংশন থেকে আলাদা।
আমরা বুঝতে পারব কিভাবে এই মান ব্যবহার করে বিভিন্ন সমস্যার সমাধান করা যায়। আমরা উদাহরণ সহ দেখাব কিভাবে একটি শূন্য ডিগ্রী, অযৌক্তিক, ঋণাত্মক, ইত্যাদি বাড়াতে হয়।
অনলাইন সূচক ক্যালকুলেটর
একটি সংখ্যার ডিগ্রি কত
"একটি সংখ্যাকে একটি শক্তি বাড়াতে" অভিব্যক্তি দ্বারা কী বোঝানো হয়েছে?
একটি সংখ্যার ডিগ্রী n একটি সারিতে একটি n বার মাত্রার গুণনীয়কগুলির গুণফল।
গাণিতিকভাবে এটি এই মত দেখায়:
a n = a * a * a * …a n .
উদাহরণ স্বরূপ:
- তৃতীয় ধাপে 2 3 = 2। = 2 * 2 * 2 = 8;
- ধাপে 4 2 = 4। দুই = 4 * 4 = 16;
- ধাপে 5 4 = 5। চার = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
- 5 ধাপে 10 5 \u003d 10। = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
- 4 ধাপে 10 4 \u003d 10। = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000।
নীচে 1 থেকে 10 পর্যন্ত বর্গক্ষেত্র এবং কিউবগুলির একটি টেবিল।
1 থেকে 10 পর্যন্ত ডিগ্রীর সারণী
প্রাকৃতিক সংখ্যাকে ইতিবাচক শক্তিতে উন্নীত করার ফলাফল নীচে রয়েছে - "1 থেকে 100"।
| চ-লো | ২য় শ্রেণী | 3 য় গ্রেড |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 8 |
| 3 | 9 | 27 |
| 4 | 16 | 64 |
| 5 | 25 | 125 |
| 6 | 36 | 216 |
| 7 | 49 | 343 |
| 8 | 64 | 512 |
| 9 | 81 | 279 |
| 10 | 100 | 1000 |
ডিগ্রী বৈশিষ্ট্য
যেমন একটি গাণিতিক ফাংশন বৈশিষ্ট্য কি? আসুন মৌলিক বৈশিষ্ট্য দেখুন।
বিজ্ঞানীরা নিম্নলিখিত স্থাপন করেছেন সমস্ত ডিগ্রির বৈশিষ্ট্যযুক্ত লক্ষণ:
- a n * a m = (a) (n+m) ;
- a n: a m = (a) (n-m) ;
- (a b) m =(a) (b*m)।
আসুন উদাহরণ সহ পরীক্ষা করা যাক:
2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32। অন্যদিকে 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32।
একইভাবে: 2 3: 2 2 = 8 / 4 = 2। অন্যথায় 2 3-2 = 2 1 =2।
(2 3) 2 = 8 2 = 64. যদি এটি ভিন্ন হয়? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64।
আপনি দেখতে পাচ্ছেন, নিয়ম কাজ করে।
কিন্তু কিভাবে হবে যোগ এবং বিয়োগ সহ? সবকিছু সহজ. প্রথম সূচক সঞ্চালিত হয়, এবং শুধুমাত্র তারপর যোগ এবং বিয়োগ.
আসুন উদাহরণগুলি দেখি:
- 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
- 5 2 - 3 2 = 25 - 9 = 16
তবে এই ক্ষেত্রে, আপনাকে অবশ্যই প্রথমে সংযোজন গণনা করতে হবে, যেহেতু বন্ধনীতে ক্রিয়া রয়েছে: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512।
কিভাবে উৎপাদন করতে হয় আরও জটিল ক্ষেত্রে গণনা? আদেশ একই:
- যদি বন্ধনী থাকে তবে আপনাকে সেগুলি দিয়ে শুরু করতে হবে;
- তারপর ব্যাখ্যা;
- তারপর গুণ, ভাগের ক্রিয়াকলাপ সম্পাদন করুন;
- যোগ করার পর, বিয়োগ
নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্য রয়েছে যা সমস্ত ডিগ্রির বৈশিষ্ট্যযুক্ত নয়:
- সংখ্যা a থেকে ডিগ্রি m পর্যন্ত nth ডিগ্রির মূল এভাবে লেখা হবে: a m/n।
- ভগ্নাংশকে একটি ঘাতে উত্থাপন করার সময়: লব এবং এর হর উভয়ই এই পদ্ধতির অধীন।
- বিভিন্ন সংখ্যার গুণফলকে একটি ঘাতে উত্থাপন করার সময়, অভিব্যক্তিটি একটি প্রদত্ত শক্তির সাথে এই সংখ্যাগুলির গুণফলের সাথে মিলিত হবে। অর্থাৎ: (a * b) n = a n * b n।
- একটি সংখ্যাকে নেতিবাচক শক্তিতে বাড়ানোর সময়, আপনাকে একই ধাপে একটি সংখ্যা দ্বারা 1 ভাগ করতে হবে, কিন্তু একটি "+" চিহ্ন দিয়ে।
- যদি একটি ভগ্নাংশের হর একটি ঋণাত্মক শক্তিতে থাকে, তবে এই রাশিটি লবের গুণফল এবং ধনাত্মক শক্তিতে হরটির সমান হবে।
- 0 = 1 এর ঘাত এবং ধাপে যেকোনো সংখ্যা। 1 = নিজের কাছে।
এই নিয়মগুলি পৃথক ক্ষেত্রে গুরুত্বপূর্ণ, আমরা সেগুলি নীচে আরও বিশদে বিবেচনা করব।
একটি ঋণাত্মক সূচক সহ ডিগ্রী
একটি নেতিবাচক ডিগ্রী সঙ্গে কি করতে হবে, যে, যখন সূচক নেতিবাচক হয়?
বৈশিষ্ট্য 4 এবং 5 এর উপর ভিত্তি করে(উপরের পয়েন্ট দেখুন) এটা সক্রিয় আউট:
A (- n) \u003d 1 / A n, 5 (-2) \u003d 1/5 2 \u003d 1/25।
এবং বিপরীতভাবে:
1 / A (- n) \u003d A n, 1 / 2 (-3) \u003d 2 3 \u003d 8।
যদি এটি একটি ভগ্নাংশ হয়?
(A / B) (- n) = (B / A) n , (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9।
একটি প্রাকৃতিক সূচক সহ ডিগ্রী
এটি পূর্ণসংখ্যার সমান সূচক সহ একটি ডিগ্রি হিসাবে বোঝা যায়।
মনে রাখার মতো ঘটনা:
A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3.15 0 = 1; (-4) 0 = 1…ইত্যাদি।
A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3…ইত্যাদি।
এছাড়াও, যদি (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2…তাহলে ফলাফল একটি “+” চিহ্ন সহ হবে। যদি একটি ঋণাত্মক সংখ্যা একটি বিজোড় শক্তিতে উত্থাপিত হয়, তাহলে উল্টো।
সাধারণ বৈশিষ্ট্য, এবং উপরে বর্ণিত সমস্ত নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্যগুলিও তাদের বৈশিষ্ট্য।
ভগ্নাংশ ডিগ্রী
এই দৃশ্যটি একটি স্কিম হিসাবে লেখা যেতে পারে: একটি m / n। এটি এইভাবে পড়া হয়: সংখ্যা A এর nম ডিগ্রির মূল থেকে m এর শক্তি।
একটি ভগ্নাংশ সূচকের সাহায্যে, আপনি যে কোনও কিছু করতে পারেন: হ্রাস করা, অংশে পচন করা, অন্য ডিগ্রীতে বাড়ানো ইত্যাদি।
অযৌক্তিক সূচক সহ ডিগ্রী
ধরা যাক α একটি অমূলদ সংখ্যা এবং А ˃ 0।
যেমন একটি সূচক সঙ্গে ডিগ্রী সারাংশ বুঝতে, আসুন বিভিন্ন সম্ভাব্য ক্ষেত্রে তাকান:
- A \u003d 1. ফলাফল 1 এর সমান হবে। যেহেতু একটি স্বতঃসিদ্ধ আছে - 1 সমস্ত শক্তিতে একের সমান;
А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 হল মূলদ সংখ্যা;
- 0˂А˂1
এই ক্ষেত্রে, বিপরীতভাবে: А r 2 ˂ А α ˂ А r 1 দ্বিতীয় অনুচ্ছেদের মতো একই অবস্থার অধীনে।
উদাহরণস্বরূপ, সূচকটি π সংখ্যা।এটা যৌক্তিক।
r 1 - এই ক্ষেত্রে এটি 3 এর সমান;
r 2 - 4 এর সমান হবে।
তারপর, A = 1, 1 π = 1 এর জন্য।
A = 2, তারপর 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4 , 8 ˂ 2 π ˂ 16।
A = 1/2, তারপর (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3 , 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8।
এই ধরনের ডিগ্রীগুলি উপরে বর্ণিত সমস্ত গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ এবং নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্য দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।
উপসংহার
আসুন সংক্ষিপ্ত করা যাক - এই মানগুলি কীসের জন্য, এই জাতীয় ফাংশনের সুবিধাগুলি কী কী? অবশ্যই, সর্বপ্রথম, উদাহরণগুলি সমাধান করার সময় তারা গণিতবিদ এবং প্রোগ্রামারদের জীবনকে সহজ করে তোলে, যেহেতু তারা গণনাকে ন্যূনতম করার অনুমতি দেয়, অ্যালগরিদমগুলি হ্রাস করে, ডেটা সিস্টেমেটাইজ করে এবং আরও অনেক কিছু করে।
এই জ্ঞান আর কোথায় কাজে লাগতে পারে? যেকোনো কাজের বিশেষত্বে: ওষুধ, ফার্মাকোলজি, দন্তচিকিৎসা, নির্মাণ, প্রযুক্তি, প্রকৌশল, নকশা ইত্যাদি।
