জটিল ডেরিভেটিভস। লোগারিদমিক ডেরাইভেটিভ।
সূচকীয় ফাংশনের ডেরাইভেটিভ

আমরা আমাদের পার্থক্য কৌশল উন্নত করা অবিরত। এই পাঠে, আমরা আচ্ছাদিত উপাদানগুলিকে একীভূত করব, আরও জটিল ডেরাইভেটিভগুলি বিবেচনা করব এবং বিশেষত লোগারিথমিক ডেরিভেটিভের সাথে ডেরিভেটিভ সন্ধানের জন্য নতুন কৌশল এবং কৌশলগুলির সাথে পরিচিত হব।

নিম্ন স্তরের প্রশিক্ষণ প্রাপ্ত পাঠকদের নিবন্ধটি উল্লেখ করা উচিত কিভাবে একটি ডেরাইভেটিভ খুঁজে পেতে? সমাধান উদাহরণ, যা প্রায় শুরু থেকে আপনার দক্ষতা বাড়াবে। এরপরে, আপনাকে পৃষ্ঠাটি সাবধানে অধ্যয়ন করতে হবে একটি জটিল ফাংশনের ডেরাইভেটিভ, বুঝতে এবং সমাধান করুন সব আমি যে উদাহরণ দিয়েছি। এই পাঠটি যৌক্তিকভাবে এক সারিতে তৃতীয় এবং এটিকে আয়ত্ত করার পরে, আপনি আত্মবিশ্বাসের পরিবর্তে জটিল কার্যগুলি পৃথক করে তুলবেন। "অন্য কোথা থেকে" এই অবস্থানটি মান্য করা বাঞ্ছনীয়? এবং এটি যথেষ্ট! "কারণ সমস্ত উদাহরণ এবং সমাধানগুলি বাস্তব পরীক্ষাগুলি থেকে নেওয়া হয় এবং প্রায়শই অনুশীলনে পাওয়া যায়।

পুনরাবৃত্তি দিয়ে শুরু করা যাক। এই পাঠে একটি জটিল ফাংশনের ডেরাইভেটিভআমরা বিস্তারিত মন্তব্য সহ কয়েকটি উদাহরণের দিকে নজর রেখেছি। ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাস এবং গাণিতিক বিশ্লেষণের অন্যান্য শাখাগুলির অধ্যয়ন করার সময়, আপনাকে খুব প্রায়ই আলাদা করতে হবে, এবং দুর্দান্ত বিবরণ দিয়ে উদাহরণ লেখার পক্ষে এটি সর্বদা সুবিধাজনক (এবং সর্বদা প্রয়োজনীয় নয়) নয়। সুতরাং, আমরা ডেরাইভেটিভগুলির মৌখিক সন্ধানে অনুশীলন করব। এর জন্য সবচেয়ে উপযুক্ত "প্রার্থী" হ'ল জটিল ফাংশনগুলির সাদামাটা, উদাহরণস্বরূপ:

একটি জটিল ক্রিয়াকলাপের পার্থক্য বিধি দ্বারা :

ভবিষ্যতে মাতানের অন্যান্য বিষয় অধ্যয়ন করার সময়, এই জাতীয় বিশদ নোটের প্রায়শই প্রয়োজন হয় না, ধারণা করা হয় যে শিক্ষার্থী স্বয়ংক্রিয়ভাবে অটোপাইলোটে অনুরূপ ডেরাইভেটিভগুলি সন্ধান করতে সক্ষম। কল্পনা করুন যে ভোর তিনটার দিকে ফোনটি বেজে উঠল, এবং একটি মনোরম ভয়েস জিজ্ঞাসা করলেন: "দুটি এক্স এর ট্যানজেন্টের ব্যয় কী?" এটি প্রায় তাত্ক্ষণিক এবং নম্র প্রতিক্রিয়া অনুসরণ করা উচিত: .

প্রথম উদাহরণটি অবিলম্বে একটি স্বাধীন সমাধানের জন্য উদ্দিষ্ট করা হবে।

উদাহরণ 1

নিম্নলিখিত পদক্ষেপগুলি মৌখিকভাবে এক পদক্ষেপে সন্ধান করুন, উদাহরণস্বরূপ:। টাস্কটি সম্পন্ন করার জন্য আপনাকে কেবল ব্যবহার করতে হবে প্রাথমিক কার্যাদি ডেরাইভেটিভস টেবিল (যদি এটি এখনও মনে না থাকে)। আপনার যদি কোনও সমস্যা হয় তবে আমি পাঠটি পুনরায় পড়ার পরামর্শ দিই। একটি জটিল ফাংশনের ডেরাইভেটিভ.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

পাঠ শেষে উত্তর

জটিল ডেরিভেটিভস

প্রাথমিক আর্টিলারি প্রস্তুতির পরে, ৩-৪-৫ ফাংশন সংযুক্তি সহ উদাহরণগুলি কম ভীতিজনক হবে। সম্ভবত নিম্নলিখিত দুটি উদাহরণ কারও কাছে কঠিন মনে হবে তবে আপনি যদি সেগুলি বুঝতে (কেউ ক্ষতিগ্রস্থ হবে), তবে ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাসের প্রায় সমস্ত কিছুই সন্তানের রসিকতার মতো মনে হবে।

উদাহরণ 2

কোনও ফাংশনের ডেরাইভেটিভ সন্ধান করুন

ইতিমধ্যে উল্লিখিত হিসাবে, একটি জটিল ফাংশনটির ডেরাইভেটিভ সন্ধান করার সময়, সবার আগে, এটি প্রয়োজনীয় ঠিকসংযুক্তিগুলি অন্তর্ভুক্ত করুন। সন্দেহ আছে এমন ক্ষেত্রে আমি একটি দরকারী কৌশলটি স্মরণ করি: উদাহরণস্বরূপ আমরা পরীক্ষামূলক মান "এক্স" নিই এবং মানটিকে "মানসিকভাবে বা একটি খসড়াতে" এই ভ্যালুটিকে "ভয়ানক অভিব্যক্তি" হিসাবে প্রতিস্থাপনের চেষ্টা করি।

1) প্রথমে আমাদের এক্সপ্রেশন গণনা করা দরকার, যার অর্থ হল পরিমাণটি গভীরতম বিনিয়োগ।

2) তারপরে আপনাকে লগারিদম গণনা করতে হবে:

৪) তারপরে কোসাইনকে একটি কিউবে বাড়িয়ে নিন:

5) পঞ্চম ধাপে, পার্থক্য:

6) এবং অবশেষে, বহিরাগততম ফাংশনটি বর্গমূল:

জটিল ফাংশন পার্থক্য সূত্র বাহ্যিকতম কার্য থেকে অন্তঃস্থ পর্যন্ত বিপরীত ক্রমে প্রয়োগ করা হয়। আমরা সিদ্ধান্ত নিই:

মনে হচ্ছে ভুল ছাড়াই…।

(1) বর্গমূলের ডেরাইভেটিভ নিন।

(২) বিধিটি ব্যবহার করে পার্থক্যের ডেরাইভেটিভ নিন

(3) ট্রিপল এর ডেরিভেটিভ শূন্য। দ্বিতীয় মেয়াদে, আমরা ডিগ্রি (কিউব) এর ডেরাইভেটিভ গ্রহণ করি।

(4) আমরা কোসিনের ডেরাইভেটিভ গ্রহণ করি।

(5) লগারিদম এর ডেরাইভেটিভ নিন।

()) পরিশেষে, আমরা গভীরতম বাসা বাঁধে।

এটি খুব কঠিন মনে হতে পারে তবে এটি সবচেয়ে নিষ্ঠুর উদাহরণ নয়। উদাহরণস্বরূপ, কুজনেটসভের সংগ্রহটি ধরুন এবং আপনি বিশ্লেষণিত ডেরিভেটিভের সমস্ত আকর্ষণ এবং সরলতার প্রশংসা করবেন। আমি লক্ষ্য করেছি যে তারা কোনও জটিল ক্রিয়াকলাপের ডেরাইভেটিভ কীভাবে খুঁজে পেতে পারে বা বুঝতে পারে না তা পরীক্ষা করতে তারা পরীক্ষায় একটি অনুরূপ জিনিস দিতে পছন্দ করে।

পরবর্তী উদাহরণটি একটি স্বাধীন সমাধানের জন্য।

উদাহরণ 3

কোনও ফাংশনের ডেরাইভেটিভ সন্ধান করুন

ইঙ্গিত: প্রথমে আমরা লিনিয়ারিটি বিধি এবং পণ্যের পার্থক্য বিধি প্রয়োগ করি

টিউটোরিয়াল শেষে সম্পূর্ণ সমাধান এবং উত্তর।

এখন সময় এসেছে আরও কমপ্যাক্ট এবং সুন্দর কিছুতে।
দু'জনের নয়, তিনটি ফাংশনের একটি উদাহরণ দেওয়া উদাহরণ হিসাবে অস্বাভাবিক নয়। কীভাবে তিনটি কারণের পণ্যটির ডেরাইভেটিভ পাবেন?

উদাহরণ 4

কোনও ফাংশনের ডেরাইভেটিভ সন্ধান করুন

প্রথমে দেখা যাক, তিনটি ফাংশনের পণ্যটিকে দুটি ফাংশনের প্রোডাক্টে পরিণত করা সম্ভব কিনা? উদাহরণস্বরূপ, যদি আমাদের পণ্যটিতে দুটি বহুপদী থাকে তবে আমরা বন্ধনীগুলি প্রসারিত করতে পারি। তবে এই উদাহরণে, সমস্ত ফাংশন আলাদা: ডিগ্রি, এক্সপোনেন্ট এবং লগারিদম।

এই জাতীয় ক্ষেত্রে, এটি প্রয়োজনীয় ধারাবাহিকভাবেপণ্য পৃথকীকরণ বিধি প্রয়োগ করুন দুবার

কৌশলটি হ'ল "y" এর জন্য আমরা দুটি ফাংশনের পণ্যটিকে বোঝাচ্ছি:, এবং "ve" - \u200b\u200bলগারিদম :. কেন এটি করা যেতে পারে? তাই কি - এটি দুটি কারণের পণ্য নয় এবং নিয়মটি কার্যকর হয় না ?! জটিল কিছু নেই:

এখন নিয়মটি দ্বিতীয়বার প্রয়োগ করা বাকি রয়েছে প্রথম বন্ধনে:

আপনি এখনও বিকৃত হতে পারেন এবং বন্ধনীগুলির বাইরে কিছু রাখতে পারেন, তবে এই ক্ষেত্রে উত্তরটি এই ফর্মটিতে রেখে দেওয়া ভাল - এটি চেক করা আরও সহজ হবে।

বিবেচিত উদাহরণটি দ্বিতীয় উপায়ে সমাধান করা যেতে পারে:

উভয় সমাধান একেবারে সমতুল্য।

উদাহরণ 5

কোনও ফাংশনের ডেরাইভেটিভ সন্ধান করুন

এটি একটি স্বাধীন সমাধানের জন্য উদাহরণ, নমুনায় এটি প্রথম উপায়ে সমাধান করা হয়।

ভগ্নাংশ সহ একই উদাহরণ দেখুন look

উদাহরণ 6

কোনও ফাংশনের ডেরাইভেটিভ সন্ধান করুন

এখানে আপনি বিভিন্ন উপায়ে যেতে পারেন:

বা এই মত:

তবে সমাধানটি আরও নিখুঁতভাবে লেখা হবে যদি সবার আগে আমরা ভাগফলকে আলাদা করার জন্য নিয়মটি ব্যবহার করি , পুরো সংখ্যার জন্য নেওয়া:

নীতিগতভাবে, উদাহরণটি সমাধান করা হয়েছে, এবং যদি এটি যেমনটি ছেড়ে যায় তবে এটি ত্রুটি হবে না। তবে আপনার যদি সময় থাকে তবে সর্বদা খসড়াটি খতিয়ে দেখার পরামর্শ দেওয়া হয় তবে উত্তরটি কী সহজ করা সম্ভব? আসুন আমরা একটি সাধারণ ডিনোমিনেটরে এবং সংখ্যার ভাবটি হ্রাস করি তিনতলার ভগ্নাংশ থেকে মুক্তি পান:

অতিরিক্ত সরলীকরণের অসুবিধা হ'ল ডেরিভেটিভ সন্ধান করার সময় নয়, তবে এটি যখন ব্যানাল স্কুল রূপান্তরের বিষয়টি আসে তখন ভুল করার ঝুঁকি থাকে। অন্যদিকে, শিক্ষকরা প্রায়শই একটি কার্যভার প্রত্যাখ্যান করে এবং ডেরাইভেটিভকে "মনে" আনতে বলে।

নিজেই করণীয় সমাধানের একটি সহজ উদাহরণ:

উদাহরণ 7

কোনও ফাংশনের ডেরাইভেটিভ সন্ধান করুন

আমরা ডেরাইভেটিভ সন্ধানের পদ্ধতিগুলিতে দক্ষতা অব্যাহত রাখি এবং এখন "ভয়ানক" লগারিদম আলাদা করার জন্য প্রস্তাবিত হলে আমরা একটি সাধারণ কেস বিবেচনা করব

উদাহরণ 8

কোনও ফাংশনের ডেরাইভেটিভ সন্ধান করুন

জটিল ফাংশনকে আলাদা করার নিয়মটি ব্যবহার করে আপনি এখানে দীর্ঘ পথ যেতে পারেন:

তবে প্রথম পদক্ষেপটি অবিলম্বে আপনাকে হতাশায় নিমজ্জিত করে - আপনাকে একটি ভগ্নাংশ শক্তি থেকে অপ্রীতিকর ডেরাইভেটিভ নিতে হবে এবং তারপরে একটি ভগ্নাংশ থেকেও নিতে হবে।

অতএব আগে কীভাবে "অভিনব" লোগারিদমের উপকরণটি গ্রহণ করবেন, এটি সুপরিচিত স্কুল বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে প্রাথমিকভাবে সরল করা হয়েছে:

! আপনার হাতে যদি অনুশীলনের নোটবুক থাকে তবে এই সূত্রগুলি ঠিক সেখানে কপি করুন। আপনার কাছে যদি একটি নোটবুক না থাকে, তবে কাগজের টুকরোতে সেগুলি আবার আঁকুন, কারণ পাঠের বাকী উদাহরণগুলি এই সূত্রগুলির চারপাশে ঘোরে।

সমাধানটি নিজেই এর মতো কাঠামোযুক্ত হতে পারে:

আসুন ফাংশনটি রূপান্তর করা যাক:

ডেরাইভেটিভ সন্ধান করুন:

ফাংশনটি প্রাক-কনফিগার করা নিজেই সমাধানটিকে আরও সহজ করে তুলেছিল। সুতরাং, যখন এই জাতীয় লগারিদম আলাদা করার জন্য প্রস্তাবিত হয়, এটি সর্বদা এটি "ব্রেক আপ" করার পরামর্শ দেওয়া হয়।

এবং এখন একটি স্বাধীন সমাধানের জন্য বেশ কয়েকটি সহজ উদাহরণ:

উদাহরণ 9

কোনও ফাংশনের ডেরাইভেটিভ সন্ধান করুন

উদাহরণ 10

কোনও ফাংশনের ডেরাইভেটিভ সন্ধান করুন

পাঠ শেষে সমস্ত রূপান্তর এবং উত্তর।

লোগারিদমিক ডেরাইভেটিভ

লোগারিদমগুলির উত্সটি যদি এমন মিষ্টি সংগীত হয়, তবে প্রশ্ন উঠছে যে কোনও কোনও ক্ষেত্রে কৃত্রিমভাবে লোগারিদমকে সংগঠিত করা সম্ভব? করতে পারা! এমনকি প্রয়োজনীয়।

উদাহরণ 11

কোনও ফাংশনের ডেরাইভেটিভ সন্ধান করুন

আমরা সম্প্রতি একই ধরণের উদাহরণ দেখেছি। কি করো? আপনি ভাগফলের পার্থক্যের জন্য নিয়মটি ধারাবাহিকভাবে প্রয়োগ করতে পারেন এবং তারপরে কাজটি আলাদা করার নিয়মটি প্রয়োগ করতে পারেন। এই পদ্ধতির অসুবিধা হ'ল আপনি একটি বিশাল তিন-তলা ভগ্নাংশ পান, যা আপনি একেবারেই মোকাবেলা করতে চান না।

তবে তত্ত্ব এবং অনুশীলনে লোগারিথমিক ডেরিভেটিভের মতো দুর্দান্ত জিনিস রয়েছে। লোগারিদমগুলি উভয় পক্ষেই "ঝুলিয়ে" রেখে কৃত্রিমভাবে সংগঠিত করা যেতে পারে:

বিঃদ্রঃ : থেকে ফাংশন নেতিবাচক মান নিতে পারে, তারপরে, সাধারণভাবে বলতে গেলে, আপনাকে মডিউলগুলি ব্যবহার করতে হবে: এটি ভিন্নতার ফলে অদৃশ্য হয়ে যাবে। যাইহোক, বর্তমান নকশাটি গ্রহণযোগ্য, যেখানে ডিফল্টগুলিকে বিবেচনা করা হয় জটিল মান। তবে যদি সমস্ত তীব্রতা সহ, তবে উভয় ক্ষেত্রেই, এটি একটি রিজার্ভেশন করা উচিত.

এখন আপনাকে ডান পাশের লোগারিদমকে সর্বাধিক "ব্রেক আপ" করতে হবে (আপনার চোখের সামনে সূত্র?) আমি এই প্রক্রিয়াটি দুর্দান্তভাবে বর্ণনা করব:

আসলে, আমরা পার্থক্য এগিয়ে যান।
আমরা উভয় অংশ স্ট্রোকের নীচে বন্ধ করে রেখেছি:

ডান দিকের ডেরাইভেটিভটি বেশ সহজ, আমি এটিতে কোনও মন্তব্য করব না, কারণ আপনি যদি এই লেখাটি পড়ছেন তবে আপনার আত্মবিশ্বাসের সাথে এটি মোকাবেলা করা উচিত।

বাম পাশের কি হবে?

বাম দিকে আছে জটিল ফাংশন... আমি প্রশ্নটির পূর্বসূরি: "কেন, লগারিদমের নীচে" igrek "চিঠিও আছে?"

আসল বিষয়টি হ'ল এই "এক চিঠি আইগ্রেইক" - এটি একটি ফাংশন (যদি খুব পরিষ্কার না হয় তবে একটি অন্তর্নিহিত কার্য থেকে প্রাপ্ত নিবন্ধটি দেখুন)। সুতরাং, লগারিদম একটি বাহ্যিক ফাংশন, এবং "গেম" একটি অভ্যন্তরীণ ফাংশন। এবং আমরা একটি জটিল ফাংশন পার্থক্য করার নিয়ম ব্যবহার করি :

বাম দিকে, যেন যাদু দ্বারা, আমাদের একটি ডেরাইভেটিভ রয়েছে। আরও, অনুপাতের নিয়ম অনুসারে, আমরা "গেম" বাম পাশের ডোনমিনেটর থেকে ডান পাশের শীর্ষে ফেলে দিই:

এবং এখন আমরা স্মরণ করি কোন ধরণের "গেম" - ফাংশনটি আমরা আলাদাভাবে আলোচনা করেছি? আমরা শর্তটি দেখুন:

চূড়ান্ত উত্তর:

উদাহরণ 12

কোনও ফাংশনের ডেরাইভেটিভ সন্ধান করুন

এটি নিজেই করণীয় সমাধানের উদাহরণ। পাঠের শেষে এই ধরণের উদাহরণের নকশার একটি নমুনা।

লগারিদমিক ডেরিভেটিভের সাহায্যে নং 4-7 উদাহরণগুলির যে কোনও একটি সমাধান করা সম্ভব হয়েছিল, অন্য একটি বিষয় হ'ল সেখানে কার্যকারিতাগুলি সহজতর এবং সম্ভবত, লোগারিথমিক ডেরাইভেটিভের ব্যবহার খুব ন্যায়সঙ্গত নয়।

সূচকীয় ফাংশনের ডেরাইভেটিভ

আমরা এখনও এই ফাংশনটি বিবেচনা করি নি। একটি সূচকীয় ফাংশন একটি ফাংশন যার মধ্যে এবং ডিগ্রি এবং বেস "এক্স" উপর নির্ভর করে... একটি ক্লাসিক উদাহরণ যা আপনাকে যে কোনও পাঠ্যপুস্তক বা কোনও বক্তৃতায় দেওয়া হবে:

একটি ক্ষতিকারক ক্রিয়াকলাপের ডেরাইভেটিভ কীভাবে খুঁজে পাবেন?

সবেমাত্র বিবেচিত কৌশলটি ব্যবহার করা দরকার - লোগারিথমিক ডেরিভেটিভ। আমরা উভয় পক্ষেই লোগারিদমগুলি ঝুলিয়ে রাখি:

একটি নিয়ম হিসাবে, ডান পাশের লগারিদমের নীচে থেকে ডিগ্রি নেওয়া হয়:

ফলস্বরূপ, ডানদিকে, আমরা দুটি ফাংশনের একটি পণ্য পেয়েছি, যা স্ট্যান্ডার্ড সূত্র অনুযায়ী পৃথক করা হবে .

ডেরাইভেটিভ সন্ধান করুন, এর জন্য আমরা উভয় অংশ স্ট্রোকের নীচে আবদ্ধ করি:

পরবর্তী ক্রিয়াগুলি সহজ:

শেষ অবধি:

যদি কোনও রূপান্তর পুরোপুরি পরিষ্কার না হয় তবে দয়া করে উদাহরণ # 11 এর ব্যাখ্যাগুলি পুনরায় পড়ুন।

ব্যবহারিক কার্যগুলিতে, সূচকীয় ফাংশন সর্বদা বিবেচিত বক্তৃতা উদাহরণের চেয়ে জটিল হয়ে উঠবে।

উদাহরণ 13

কোনও ফাংশনের ডেরাইভেটিভ সন্ধান করুন

আমরা লগারিদমিক ডেরিভেটিভ ব্যবহার করি।

ডানদিকে আমাদের ধ্রুবক এবং দুটি কারণের পণ্য রয়েছে - "x" এবং "লোগারিদমের x এর লোগারিদম" (অন্য লোগারিদম লোগারিদমের নীচে এমবেড করা আছে)। ধ্রুবকের পার্থক্য করার সময়, যেমনটি আমরা মনে করি, অবিলম্বে ডেরাইভেটিভের চিহ্নটি বের করে নেওয়া ভাল, যাতে এটি পায়ে পায়ে না যায়; এবং অবশ্যই পরিচিত নিয়ম প্রয়োগ করুন :

যদি একটি ছ(এক্স) এবং চ(u) যথাক্রমে পয়েন্টগুলিতে তাদের যুক্তিগুলির পৃথক কার্যকরী ফাংশন এক্স এবং u= ছ(এক্স), তারপরে জটিল ফাংশনটিও বিন্দুতে পৃথক এক্সএবং সূত্র দ্বারা পাওয়া যায়

ডেরিভেটিভ সমস্যাগুলি সমাধান করার সময় একটি সাধারণ ভুল হ'ল জটিল কার্যগুলিতে সাধারণ ফাংশনকে আলাদা করার নিয়মের স্বয়ংক্রিয়ভাবে স্থানান্তর। আমরা এই ভুল এড়াতে শিখব।

উদাহরণ 2।কোনও ফাংশনের ডেরাইভেটিভ সন্ধান করুন

ভুল সমাধান: বন্ধনীতে প্রতিটি পদার্থের প্রাকৃতিক লোগারিদম গণনা করুন এবং ডেরাইভেটিভসের যোগফলটি অনুসন্ধান করুন:

সঠিক সমাধান: আবার আমরা সংজ্ঞায়িত করি কোথায় "আপেল" এবং কোথায় "কাঁচা মাংস"। এখানে প্রথম বন্ধনীতে এক্সপ্রেশনটির প্রাকৃতিক লোগারিদম হ'ল "আপেল", যা একটি মধ্যবর্তী যুক্তির দ্বারা ফাংশন u, এবং প্রথম বন্ধনীতে প্রকাশটি হ'ল "মিনস", এটি একটি মধ্যবর্তী যুক্তি u স্বাধীন পরিবর্তনশীল দ্বারা এক্স.

তারপরে (ডেরিভেটিভস টেবিল থেকে 14 সূত্র ব্যবহার করে)

অনেক বাস্তব জীবনের সমস্যায় লোগারিথমের সাথে প্রকাশ কিছুটা জটিল, তাই এখানে একটি পাঠ রয়েছে

উদাহরণ 3।কোনও ফাংশনের ডেরাইভেটিভ সন্ধান করুন

ভুল সমাধান:

সঠিক সমাধান। আবার, আমরা নির্ধারণ করি কোথায় "আপেল" এবং কোথায় "কাঁচা মাংস"। এখানে, বন্ধনীগুলিতে প্রকাশের কোসাইন (ডেরিভেটিভসের সারণিতে সূত্র 7) একটি "আপেল", এটি 1 মোডে প্রস্তুত করা হয়, এটি কেবল এটি প্রভাবিত করে, এবং বন্ধনীগুলিতে প্রকাশ (ক্ষমতার ডেরাইভেটিভ ছকের টেবিলে 3 নম্বরে থাকে) "নাস্তাযুক্ত মাংস", এটি মোড 2 দিয়ে প্রস্তুত করে, যা কেবল এটির উপর প্রভাব ফেলে। এবং, সর্বদা হিসাবে, আমরা দুটি ডেরিভেটিভকে একটি কাজের চিহ্নের সাথে সংযুক্ত করি। ফলাফল:

একটি জটিল লোগারিদমিক ফাংশনের ডেরাইভেটিভ পরীক্ষা সংক্রান্ত গবেষণাগুলিতে একটি ঘন ঘন নিয়োগ হয়, তাই আমরা দৃ strongly়ভাবে আপনাকে সুপারিশ করি যে আপনি "লোগারিদমিক ফাংশনটির ডেরাইভেটিভ" পাঠটি পরিদর্শন করুন।

প্রথম উদাহরণগুলি জটিল ফাংশনগুলির জন্য ছিল যেখানে স্বতন্ত্র ভেরিয়েবলের মধ্যবর্তী যুক্তি একটি সাধারণ ফাংশন ছিল। তবে ব্যবহারিক কার্যগুলিতে প্রায়শই একটি জটিল ক্রিয়াকলাপের ডেরাইভেটিভ সন্ধান করা প্রয়োজন যেখানে মধ্যবর্তী যুক্তি নিজেই একটি জটিল ফাংশন বা এর মধ্যে একটি ফাংশন রয়েছে। এ জাতীয় ক্ষেত্রে কী করবেন? সারণী এবং পার্থক্য বিধি ব্যবহার করে এই জাতীয় ফাংশনগুলির ডেরাইভেটিভগুলি সন্ধান করুন। মধ্যবর্তী যুক্তির ব্যুৎপন্ন পাওয়া গেলে এটি সূত্রের মধ্যে সঠিক জায়গায় প্রতিস্থাপন করা হয়। এটি কীভাবে করা হয় তার দুটি উদাহরণ নীচে দেওয়া হল।

নিম্নলিখিতগুলি জানার জন্য এটিও সহায়ক। যদি কোনও জটিল ক্রিয়াকে তিনটি ক্রমের শৃঙ্খল হিসাবে উপস্থাপন করা যায়

তারপরে এর ডেরাইভেটিভকে এই প্রতিটি কার্যের ডেরিভেটিভসের পণ্য হিসাবে পাওয়া উচিত:

আপনার হোমওয়ার্কের অনেক কার্যক্রমে নতুন উইন্ডোতে টিউটোরিয়াল খোলার প্রয়োজন হতে পারে ক্ষমতা এবং শিকড় সহ ক্রিয়া এবং ভগ্নাংশ সহ ক্রিয়া .

উদাহরণ 4।কোনও ফাংশনের ডেরাইভেটিভ সন্ধান করুন

আমরা একটি জটিল ফাংশনটির পার্থক্যের নিয়মটি প্রয়োগ করি, ভুলে যাব না যে ডেরাইভেটিভগুলির ফলস্বরূপ উত্পাদনে, স্বাধীন ভেরিয়েবলের সাথে সম্মতিযুক্ত মধ্যবর্তী যুক্তি এক্স পরিবর্তন করা হয় না:

আমরা পণ্যের দ্বিতীয় ফ্যাক্টর প্রস্তুত করি এবং যোগফলের পার্থক্যের জন্য নিয়মটি প্রয়োগ করি:

দ্বিতীয় শব্দটি মূল, তাই

সুতরাং, আমরা পেয়েছি যে মধ্যবর্তী যুক্তি, যা একটি যোগফল, একটি পদ হিসাবে একটি জটিল ফাংশন রয়েছে: একটি শক্তি উত্থাপন একটি জটিল ফাংশন, এবং একটি শক্তিতে উত্থাপিত হয় যা স্বাধীন ভেরিয়েবলের সাথে সম্মতিযুক্ত একটি মধ্যবর্তী যুক্তি এক্স.

অতএব, আমরা আবার একটি জটিল ক্রিয়াকে আলাদা করার নিয়মটি প্রয়োগ করি:

আমরা প্রথম ফ্যাক্টরের ডিগ্রিটিকে একটি রুটে রূপান্তর করি এবং দ্বিতীয় ফ্যাক্টরটিকে পৃথক করে ভুলে যাব না যে ধ্রুবকের ব্যয়টি শূন্যের সমান:

এখন আমরা সমস্যার অবস্থাতে প্রয়োজনীয় একটি জটিল ফাংশনটির ডেরাইভেটিভ গণনা করার জন্য মধ্যবর্তী যুক্তির ডেরিভেটিভ খুঁজে পেতে পারি y:

উদাহরণ 5।কোনও ফাংশনের ডেরাইভেটিভ সন্ধান করুন

প্রথমে যোগফলের বিধানটি ব্যবহার করা যাক:

দুটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভসের যোগফল পেয়েছি। আমরা তাদের মধ্যে প্রথমটি পাই:

এখানে সাইনকে একটি শক্তিতে উত্থাপন করা একটি জটিল কাজ, এবং সাইন নিজেই একটি স্বতন্ত্র ভেরিয়েবলের সাথে সম্পর্কিত মধ্যবর্তী যুক্তি is এক্স... অতএব, আমরা কোনও জটিল ক্রিয়াকলাপের পার্থক্যের নিয়মটি ব্যবহার করব ফ্যাক্টরিং ফ্যাক্টর :

এখন আমরা দ্বিতীয় পদটি ফাংশনের ডেরাইভেটিভের জেনারেটর থেকে খুঁজে পাই y:

এখানে কোসাইনকে একটি শক্তিতে উত্থাপন করা একটি জটিল কাজ চ, এবং কোসাইন নিজেই একটি স্বতন্ত্র ভেরিয়েবলের ক্ষেত্রে একটি মধ্যবর্তী যুক্তি এক্স... আবার কোনও জটিল ফাংশনটির পার্থক্যের নিয়মটি ব্যবহার করা যাক:

ফলাফলটি প্রয়োজনীয় ডেরাইভেটিভ:

কিছু জটিল ফাংশনের ডেরাইভেটিভ টেবিল

জটিল ফাংশনগুলির জন্য, কোনও জটিল ক্রিয়াকে পৃথক করার নিয়মের উপর ভিত্তি করে, একটি সাধারণ ফাংশনের ডেরাইভেটিভের সূত্রটি ভিন্ন রূপ নেয়।

1. একটি যৌগিক শক্তি ফাংশন ডেরাইভেটিভ, যেখানে u এক্স
২.প্রকাশের মূলের ডেরাইভেটিভ
৩.ঘটিত ফাংশনের ডেরাইভেটিভ
৪. তাত্পর্যপূর্ণ কার্যের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে
৫. একটি স্বেচ্ছাসেবী পজিটিভ বেস সহ লোগারিথমিক ফাংশনের ডেরাইভেটিভ এবং
A. একটি জটিল লোগারিদমিক ফাংশনের ডেরাইভেটিভ, যেখানে u - পার্থক্যযোগ্য আর্গুমেন্ট ফাংশন এক্স
7. সাইন এর ডেরাইভেটিভ
৮.কোসিনের ডেরিভেটিভ
9. স্পর্শক এর ডেরাইভেটিভ
10. কোটজেন্টের ডেরাইভেটিভ
১১. আর্কসিনের ডেরাইভেটিভ
12. আরকোসিনের ডেরাইভেটিভ
13. আর্ক্টজেন্টের ডেরাইভেটিভ
14. আর্ক কোটজেন্টের ডেরাইভেটিভ

আমরা যদি সংজ্ঞাটি অনুসরণ করি, তবে কোনও বিন্দুতে একটি ফাংশনের ডেরাইভেটিভ হ'ল ফাংশনের বর্ধনের অনুপাতের সীমা Δ y আর্গুমেন্ট বৃদ্ধি ment এক্স:

সবকিছু পরিষ্কার বলে মনে হচ্ছে। তবে এই সূত্রটি ব্যবহার করে গণনা করার চেষ্টা করুন, বলুন কোনও ফাংশনের ডেরাইভেটিভ চ(এক্স) = এক্স 2 + (2এক্স + 3) e এক্স পাপ এক্স... আপনি যদি সংজ্ঞা অনুসারে সবকিছু করেন তবে কয়েক পৃষ্ঠার গণনার পরে আপনি কেবল ঘুমিয়ে যাবেন। অতএব, আরও সহজ এবং কার্যকর উপায় রয়েছে।

শুরুতে, আমরা নোট করি যে তথাকথিত প্রাথমিক ফাংশনগুলি পুরো বিভিন্ন ফাংশন থেকে পৃথক করা যায়। এগুলি তুলনামূলকভাবে সহজ অভিব্যক্তি, যার ডেরাইভেটিভগুলি দীর্ঘকাল গণনা করা হয়েছে এবং সারণীতে প্রবেশ করা হয়েছে। এই জাতীয় ফাংশনগুলি মনে রাখার জন্য যথেষ্ট সহজ - তাদের ডেরাইভেটিভগুলি সহ।

প্রাথমিক কার্যাদি ডেরাইভেটিভস

প্রাথমিক ফাংশনগুলি নীচে তালিকাভুক্ত সমস্ত কিছু। এই ফাংশনগুলির ডেরাইভেটিভগুলি অবশ্যই হৃদয় দিয়ে জানা উচিত। তদুপরি, এগুলি মুখস্ত করা মোটেই কঠিন নয় - এজন্য এগুলি প্রাথমিক।

সুতরাং, প্রাথমিক ফাংশনগুলির ডেরাইভেটিভস:

নাম	ফাংশন	অমৌলিক
ধ্রুবক	চ(এক্স) = গ, গ ∈ আর	0 (হ্যাঁ, শূন্য!)
যুক্তিযুক্ত গ্রেড	চ(এক্স) = এক্স এন	এন · এক্স এন − 1
সাইনাস	চ(এক্স) \u003d পাপ এক্স	কস এক্স
কোসিন	চ(এক্স) \u003d cos এক্স	- পাপ এক্স (বিয়োগ সাইন)
স্পর্শকাতর	চ(এক্স) \u003d টিজি এক্স	1 / কোস 2 এক্স
কোটজেন্ট	চ(এক্স) \u003d সিটিজি এক্স	- 1 / পাপ 2 এক্স
প্রাকৃতিক লোগারিদম	চ(এক্স) \u003d ln এক্স	1/এক্স
যথেচ্ছ লগারিদম	চ(এক্স) \u003d লগ ক এক্স	1/(এক্স এলএন ক)
ব্যাখ্যামূলক কাজ	চ(এক্স) = e এক্স	e এক্স (কিছুই পরিবর্তন হয়নি)

যদি প্রাথমিক ফাংশনটি একটি স্বেচ্ছাসেবী ধ্রুবক দ্বারা গুণিত হয়, তবে নতুন ফাংশনের ডেরাইভেটিভ সহজেই গণনা করা হয়:

(গ · চ)’ = গ · চ ’.

সাধারণভাবে ধ্রুবকগুলি ডেরিভেটিভ সাইন এর বাইরে সরানো যেতে পারে। উদাহরণ স্বরূপ:

(2এক্স 3) ’\u003d 2 · ( এক্স 3) '\u003d 2 3 এক্স 2 = 6এক্স 2 .

স্পষ্টতই, প্রাথমিক ফাংশনগুলি একে অপরের সাথে যুক্ত করা যায়, গুণিত হয়, ভাগ হয় - এবং আরও অনেক কিছু। এভাবেই নতুন ফাংশন উপস্থিত হবে যা বিশেষত প্রাথমিক নয়, তবে নির্দিষ্ট বিধি অনুসারে পৃথকযোগ্য। এই নিয়মগুলি নীচে আলোচনা করা হয়েছে।

যোগফল এবং পার্থক্যের ডেরাইভেটিভ

ফাংশন করা যাক চ(এক্স) এবং ছ(এক্স), এর ডেরাইভেটিভগুলি আমাদের জানা। উদাহরণস্বরূপ, আপনি উপরে আলোচনা করা প্রাথমিক কার্যাদি নিতে পারেন। তারপরে আপনি এই ফাংশনগুলির যোগফল এবং পার্থক্যটির ব্যুৎপত্তি খুঁজে পেতে পারেন:

1. (চ + ছ)’ = চ ’ + ছ ’
2. (চ − ছ)’ = চ ’ − ছ ’

সুতরাং, দুটি ফাংশনের সমষ্টি (পার্থক্য) এর ডেরাইভেটিভ ডেরিভেটিভসের সমষ্টি (পার্থক্য) এর সমান। আরও শর্ত থাকতে পারে। উদাহরণ স্বরূপ, ( চ + ছ + এইচ)’ = চ ’ + ছ ’ + এইচ ’.

কড়া কথায় বলতে গেলে বীজগণিতায় "বিয়োগ" করার কোনও ধারণা নেই। "নেতিবাচক উপাদান" ধারণা আছে। সুতরাং পার্থক্য চ − ছ যোগফল হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে চ + (−1) ছ, এবং তারপরে কেবলমাত্র একটি সূত্র বাকী রয়েছে - যোগফলের ডেরিভেটিভ।

চ(এক্স) = এক্স 2 + সিন এক্স; ছ(এক্স) = এক্স 4 + 2এক্স 2 − 3.

ফাংশন চ(এক্স) সুতরাং দুটি প্রাথমিক ফাংশনের যোগফল, তাই:

চ ’(এক্স) = (এক্স 2 + পাপ এক্স)’ = (এক্স 2) ’+ (পাপ এক্স)’ = 2এক্স + কোস এক্স;

আমরা একইভাবে ফাংশন জন্য যুক্তি ছ(এক্স)। কেবলমাত্র তিনটি পদ আছে (বীজগণিতের দৃষ্টিকোণ থেকে):

ছ ’(এক্স) = (এক্স 4 + 2এক্স 2 − 3)’ = (এক্স 4 + 2এক্স 2 + (−3))’ = (এক্স 4)’ + (2এক্স 2)’ + (−3)’ = 4এক্স 3 + 4এক্স + 0 = 4এক্স · ( এক্স 2 + 1).

উত্তর:
চ ’(এক্স) = 2এক্স + কোস এক্স;
ছ ’(এক্স) = 4এক্স · ( এক্স 2 + 1).

একটি কাজের ডেরাইভেটিভ

গণিত একটি যৌক্তিক বিজ্ঞান, তাই অনেকে বিশ্বাস করেন যে যদি যোগফলের ডেরিভেটিভ ডেরিভেটিভসের যোগফলের সমান হয়, তবে পণ্যটির ডেরাইভেটিভ ধর্মঘট"\u003e ডেরিভেটিভসের পণ্যের সমান But তবে আপনাকে ডুমুর! পণ্যটির ডেরিভেটিভ সম্পূর্ণ ভিন্ন সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা হয় Name যথা:

(চ · ছ) ’ = চ ’ · ছ + চ · ছ ’

সূত্রটি সহজ, তবে প্রায়শই উপেক্ষা করা হয়। এবং কেবল স্কুলছাত্রীরা নয়, শিক্ষার্থীরাও। ফলাফলটি ভুলভাবে সমস্যার সমাধান হয়েছে।

একটি কাজ. ফাংশনগুলির ডেরাইভেটিভগুলি সন্ধান করুন: চ(এক্স) = এক্স 3 কোস এক্স; ছ(এক্স) = (এক্স 2 + 7এক্স - 7) e এক্স .

ফাংশন চ(এক্স) দুটি প্রাথমিক ফাংশনের পণ্য, তাই সবকিছু সহজ:

চ ’(এক্স) = (এক্স 3 কোস এক্স)’ = (এক্স 3) ’কস এক্স + এক্স 3 (কসম এক্স)’ = 3এক্স 2 কোস এক্স + এক্স 3 (- পাপ এক্স) = এক্স 2 (3cos) এক্স − এক্স পাপ এক্স)

কাজ ছ(এক্স) প্রথম ফ্যাক্টরটি আরও জটিল, তবে সাধারণ স্কিম এ থেকে পরিবর্তন হয় না। স্পষ্টতই, ফাংশনটির প্রথম ফ্যাক্টর ছ(এক্স) একটি বহুপদী, এবং এর ডেরাইভেটিভ যোগফলের ডেরাইভেটিভ। আমাদের আছে:

ছ ’(এক্স) = ((এক্স 2 + 7এক্স - 7) e এক্স)’ = (এক্স 2 + 7এক্স - 7) ’ e এক্স + (এক্স 2 + 7এক্স - 7) ( e এক্স)’ = (2এক্স + 7) e এক্স + (এক্স 2 + 7এক্স - 7) e এক্স = e এক্স · (2) এক্স + 7 + এক্স 2 + 7এক্স −7) = (এক্স 2 + 9এক্স) · e এক্স = এক্স(এক্স + 9) e এক্স .

উত্তর:
চ ’(এক্স) = এক্স 2 (3cos) এক্স − এক্স পাপ এক্স);
ছ ’(এক্স) = এক্স(এক্স + 9) e এক্স .

নোট করুন যে শেষ ধাপে, ডেরাইভেটিভকে গুণিত করা হয়। সাধারণত, এটি প্রয়োজনীয় নয়, তবে বেশিরভাগ ডেরাইভেটিভগুলি নিজের দ্বারা গণনা করা হয় না, তবে ফাংশনটি তদন্ত করার জন্য। এর অর্থ এই যে আরও ডেরাইভেটিভ শূন্যের সাথে সমান হবে, এর লক্ষণগুলি স্পষ্ট করা হবে ইত্যাদি। যেমন একটি ক্ষেত্রে একটি গুণিত মত প্রকাশ করা ভাল।

যদি দুটি ফাংশন হয় চ(এক্স) এবং ছ(এক্স), এবং ছ(এক্স) আমাদের আগ্রহের সেটটিতে ≠ 0, আমরা একটি নতুন ফাংশন সংজ্ঞায়িত করতে পারি এইচ(এক্স) = চ(এক্স)/ছ(এক্স)। এই জাতীয় ফাংশনের জন্য, আপনি একটি ডেরাইভেটিভও খুঁজে পেতে পারেন:

দুর্বল না, হাহ? বিয়োগ কোথা থেকে এসেছে? কেন ছ 2? এবং এই মত! এটি একটি অন্যতম কঠিন সূত্র - আপনি বোতল ছাড়াই এটি বের করতে পারবেন না। অতএব, নির্দিষ্ট উদাহরণ সহ এটি অধ্যয়ন করা ভাল।

একটি কাজ. ফাংশনগুলির ডেরাইভেটিভগুলি সন্ধান করুন:

প্রতিটি ভগ্নাংশের সংখ্যক এবং ডিনোমিনেটরে প্রাথমিক ফাংশন রয়েছে, সুতরাং আমাদের কেবল দরকারটি ভাগফলের ডাইরিভেটিভের সূত্র:

Traditionতিহ্য অনুসারে, সংখ্যককে ফ্যাক্টরগুলিতে পরিণত করা উত্তরকে খুব সহজ করবে:

একটি জটিল ফাংশন অগত্যা দেড় কিলোমিটার দীর্ঘ সূত্র নয়। উদাহরণস্বরূপ, ফাংশনটি গ্রহণ করা যথেষ্ট চ(এক্স) \u003d পাপ এক্স এবং ভেরিয়েবল প্রতিস্থাপন এক্সএর উপর বলা যাক এক্স 2 + এলএন এক্স... এটি চালু হবে চ(এক্স) \u003d পাপ ( এক্স 2 + এলএন এক্স) একটি জটিল কাজ। এটির একটি ডেরাইভেটিভও রয়েছে তবে এটি উপরে বর্ণিত বিধি অনুসারে এটি সন্ধান করতে কাজ করবে না।

কিভাবে হবে? এই জাতীয় ক্ষেত্রে, পরিবর্তনীয় প্রতিস্থাপন এবং জটিল ক্রিয়াকলাপের সহায়তার জন্য সূত্র:

চ ’(এক্স) = চ ’(টি) · টি ', যদি একটি এক্স দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয় টি(এক্স).

একটি নিয়ম হিসাবে, এই সূত্রটি বোঝার সাথে, পরিস্থিতিটি ভাগফলের ডেরিভেটিভের চেয়েও আরও খারাপ। সুতরাং, প্রতিটি পদক্ষেপের বিশদ বিবরণ সহ নির্দিষ্ট উদাহরণগুলির সাথে এটি ব্যাখ্যা করা আরও ভাল।

একটি কাজ. ফাংশনগুলির ডেরাইভেটিভগুলি সন্ধান করুন: চ(এক্স) = e 2এক্স + 3 ; ছ(এক্স) \u003d পাপ ( এক্স 2 + এলএন এক্স)

নোট করুন যদি ফাংশন চ(এক্স) পরিবর্তে এক্সপ্রেশন 2 এক্স + 3 সহজ হবে এক্স, তারপরে আমরা একটি প্রাথমিক ফাংশন পাই চ(এক্স) = e এক্স ... অতএব, আমরা একটি বিকল্প তৈরি করি: 2 দিন let এক্স + 3 = টি, চ(এক্স) = চ(টি) = e টি ... আমরা সূত্র দ্বারা একটি জটিল ফাংশন ডেরিভেটিভ খুঁজছি:

চ ’(এক্স) = চ ’(টি) · টি ’ = (e টি)’ · টি ’ = e টি · টি ’

এবং এখন - মনোযোগ! আমরা বিপরীত প্রতিস্থাপন পরিচালনা: টি = 2এক্স + 3. আমরা পাই:

চ ’(এক্স) = e টি · টি ’ = e 2এক্স + 3 (2) এক্স + 3)’ = e 2এক্স + 3 2 \u003d 2 e 2এক্স + 3

এখন আসুন ফাংশনটি নিয়ে কাজ করি ছ(এক্স)। স্পষ্টতই, আপনাকে প্রতিস্থাপন করা দরকার এক্স 2 + এলএন এক্স = টি... আমাদের আছে:

ছ ’(এক্স) = ছ ’(টি) · টি ’\u003d (পাপ টি)’ · টি ’\u003d কোস টি · টি ’

বিপরীত প্রতিস্থাপন: টি = এক্স 2 + এলএন এক্স... তারপরে:

ছ ’(এক্স) \u003d কারণ ( এক্স 2 + এলএন এক্স) · ( এক্স 2 + এলএন এক্স) ’\u003d কর ( এক্স 2 + এলএন এক্স) · (2) এক্স + 1/এক্স).

এখানেই শেষ! শেষের অভিব্যক্তি থেকে দেখা যায়, প্রাপ্ত সমস্যাটি গণনা করে পুরো সমস্যা হ্রাস পেয়েছিল।

উত্তর:
চ ’(এক্স) \u003d 2 e 2এক্স + 3 ;
ছ ’(এক্স) = (2এক্স + 1/এক্স) কর ( এক্স 2 + এলএন এক্স).

খুব প্রায়ই আমার পাঠগুলিতে আমি "ডেরাইভেটিভ" শব্দটির পরিবর্তে "স্ট্রোক" শব্দটি ব্যবহার করি। উদাহরণস্বরূপ, যোগফলের যোগফল স্ট্রোকের যোগফলের সমান। এটা কি পরিষ্কার? ঠিক আছে, ভাল।

সুতরাং, উপরে বর্ণিত নিয়ম অনুসারে ডারাইভেটিভের গণনা এই একই স্ট্রোক থেকে মুক্তি পাওয়ার জন্য হ্রাস পেয়েছে। একটি চূড়ান্ত উদাহরণ হিসাবে, আসুন যুক্তিযুক্ত ব্যাক্তি দিয়ে ঘাতকের ব্যয়কে ফিরে আসি:

(এক্স এন)’ = এন · এক্স এন − 1

ভূমিকা কি জানেন খুব কমই এন ভাল একটি ভগ্নাংশ সংখ্যা হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, মূলটি হ'ল এক্স 0.5। মূলের নীচে অভিনব কিছু থাকলে কী হবে? আবার, একটি জটিল ফাংশন চালু হবে - তারা পরীক্ষা এবং পরীক্ষার ক্ষেত্রে এই ধরনের নির্মাণ দিতে পছন্দ করে।

একটি কাজ. একটি ফাংশন এর ডেরাইভেটিভ খুঁজুন:

প্রথমে আসুন মূলকে যৌক্তিক ব্যয়কারী হিসাবে একটি শক্তি হিসাবে আবার লিখি:

চ(এক্স) = (এক্স 2 + 8এক্স − 7) 0,5 .

এখন আমরা একটি প্রতিস্থাপন করা যাক: যাক এক্স 2 + 8এক্স − 7 = টি... আমরা সূত্রটি দ্বারা ডেরাইভেটিভটি পাই:

চ ’(এক্স) = চ ’(টি) · টি ’ = (টি 0.5) ’ টি '\u003d 0.5 টি −0.5 টি ’.

আমরা বিপরীত প্রতিস্থাপন করি: টি = এক্স 2 + 8এক্স - 7. আমাদের আছে:

চ ’(এক্স) \u003d 0.5 ( এক্স 2 + 8এক্স - 7) .50.5 ( এক্স 2 + 8এক্স - 7) ’\u003d 0.5 · (2 এক্স + 8) ( এক্স 2 + 8এক্স − 7) −0,5 .

শেষ পর্যন্ত, শিকড় ফিরে:

জটিল ফাংশন সর্বদা একটি জটিল ফাংশন সংজ্ঞা ফিট করে না। যদি y \u003d sin x - (2 - 3) a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11 ফর্মের কোনও ফাংশন থাকে তবে y \u003d sin 2 x এর বিপরীতে এটিকে জটিল হিসাবে বিবেচনা করা যাবে না।

এই নিবন্ধটি একটি জটিল কার্যের ধারণা এবং এটির সনাক্তকরণ প্রদর্শন করবে show আসুন উপসংহারে সমাধানের উদাহরণগুলি সহ ডেরাইভেটিভ সন্ধানের সূত্রগুলি নিয়ে কাজ করি। ডেরিভেটিভস টেবিলের ব্যবহার এবং পার্থক্যের নিয়মটি ডেরাইভেটিভ সন্ধানের সময়কে উল্লেখযোগ্যভাবে হ্রাস করে।

বেসিক সংজ্ঞা

সংজ্ঞা ১

একটি জটিল ফাংশন এমন একটি ফাংশন যার যুক্তিটিও একটি ফাংশন।

এটি এটিকে বোঝানো হয়েছে: চ (জি (এক্স))। আমাদের কাছে আছে যে ফাংশন g (x) f (g (x)) এর আর্গুমেন্ট হিসাবে বিবেচিত হবে।

সংজ্ঞা 2

যদি একটি ফাংশন এফ থাকে এবং একটি কোটজেন্ট ফাংশন হয়, তবে g (x) \u003d ln x একটি প্রাকৃতিক লোগারিদম ফাংশন। আমরা পেয়েছি যে জটিল ফাংশন f (g (x)) আর্টিকান (lnx) হিসাবে লেখা হবে। অথবা একটি ফাংশন এফ, যা 4 র্থ শক্তিতে উত্থাপিত একটি ফাংশন, যেখানে g (x) \u003d x 2 + 2 x - 3 একটি সম্পূর্ণ যৌক্তিক ফাংশন হিসাবে বিবেচিত হয়, আমরা সেই f (g (x)) \u003d (x 2 + 2 x - 3) 4 পাই ...

স্পষ্টতই g (x) টি কৌশলযুক্ত হতে পারে। Y \u003d sin 2 x + 1 x 3 - 5 উদাহরণ থেকে আপনি দেখতে পাচ্ছেন যে g এর মানতে ভগ্নাংশের সাথে একটি ঘনক্ষেত্র রয়েছে। এই এক্সপ্রেশনটি y \u003d f (f 1 (f 2 (x))) হিসাবে চিহ্নিত করার অনুমতি দেওয়া হয়েছে। আমাদের যেখান থেকে এফ রয়েছে তা একটি সাইন ফাংশন এবং এফ 1 এর অধীনে একটি ফাংশন বর্গমূল, f 2 (x) \u003d 2 x + 1 x 3 - 5 একটি ভগ্নাংশ যুক্তিযুক্ত ফাংশন।

সংজ্ঞা 3

বাসা বাঁধার ডিগ্রি যে কোনও দ্বারা নির্ধারিত হয় প্রাকৃতিক সংখ্যা এবং y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (... (f n (x)))))) হিসাবে লেখা হয়েছে।

সংজ্ঞা 4

ফাংশন কম্পোজিশনের ধারণা সমস্যার শর্ত দ্বারা নেস্টেড ফাংশনগুলির সংখ্যা বোঝায়। সমাধানের জন্য, ফর্মটির জটিল ক্রিয়াকলাপের ডেরাইভেটিভ সন্ধানের জন্য একটি সূত্র

(f (g (x))) "\u003d f" (g (x)) g "(x)

উদাহরন স্বরুপ

উদাহরণ 1

Y \u003d (2 x + 1) 2 আকারের জটিল ফাংশনের ডেরাইভেটিভ খুঁজুন Find

সিদ্ধান্ত

শর্ত দ্বারা, আপনি দেখতে পাচ্ছেন যে f একটি স্কোয়ারিং ফাংশন, এবং g (x) \u003d 2 x + 1 কে লিনিয়ার ফাংশন হিসাবে বিবেচনা করা হয়।

জটিল ফাংশনের জন্য ডেরিভেটিভ সূত্রটি প্রয়োগ করুন এবং লিখুন:

f "(g (x)) \u003d ((g (x)) 2)" \u003d 2 * (g (x)) 2 - 1 \u003d 2 * g (x) \u003d 2 * (2 x + 1); g "(x) \u003d (2 x + 1)" \u003d (2 x) "+ 1" \u003d 2 x "+ 0 \u003d 2 1 x 1 - 1 \u003d 2 ⇒ (চ (জি (এক্স))) "\u003d f" (ছ (এক্স)) জি "(এক্স) \u003d 2 (2 এক্স + 1) 2 \u003d 8 এক্স + 4

ফাংশনের সরলিকৃত মূল ফর্ম সহ একটি ডেরাইভেটিভ সন্ধান করা প্রয়োজন। আমরা পেতে:

y \u003d (2 x + 1) 2 \u003d 4 x 2 + 4 x + 1

সুতরাং আমরা যে আছে

y "\u003d (4 x 2 + 4 x + 1)" \u003d (4 x 2) "+ (4 x)" + 1 "\u003d 4 · (x 2)" + 4 · (এক্স) "+ 0 \u003d \u003d 4 2 এক্স 2 - 1 + 4 1 এক্স 1 - 1 \u003d 8 এক্স + 4

ফলাফল মিলেছে।

এই জাতীয় সমস্যাগুলি সমাধান করার সময়, এফ এবং জি (এক্স) ফর্মটির ফাংশনটি কোথায় থাকবে তা বোঝা গুরুত্বপূর্ণ।

উদাহরণ 2

Y \u003d sin 2 x এবং y \u003d sin x 2 ফর্মটির জটিল ফাংশনগুলির ডেরিভেটিভগুলি খুঁজে পাওয়া উচিত।

সিদ্ধান্ত

ফাংশনের প্রথম স্বরলিপিটি বলে যে f একটি স্কোয়ারিং ফাংশন এবং জি (এক্স) একটি সাইন ফাংশন। তারপরে আমরা তা পাই

y "\u003d (পাপ 2 এক্স)" \u003d 2 পাপ 2 - 1 এক্স (সিন এক্স) "\u003d 2 সিন এক্স কোস এক্স

দ্বিতীয় এন্ট্রি দেখায় যে এফ একটি সাইন ফাংশন, এবং g (x) \u003d x 2 আমরা একটি পাওয়ার ফাংশন বোঝায়। সুতরাং এটি অনুসরণ করে যে একটি জটিল ফাংশনের পণ্য হিসাবে লেখা যেতে পারে

y "\u003d (sin x 2)" \u003d কোস (x 2) (x 2) "\u003d কোস (x 2) 2 এক্স 2 - 1 \u003d 2 এক্স কোস (x 2)

ডেরাইভেটিভ y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (... (Fn (x))))) এর সূত্রটি y "\u003d f" (f 1 (f 2 (f 3 (... 3 (... fn (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (... (fn (x)))) f 2" (f 3 (.. (fn (x))) )) ·। ... ... · F n "(x)

উদাহরণ 3

Y \u003d sin (ln 3 a r c t g (2 x)) ফাংশনের ডেরাইভেটিভ সন্ধান করুন।

সিদ্ধান্ত

এই উদাহরণটি লেখার এবং লোকেশন ফাংশনগুলির জটিলতা দেখায়। তারপরে y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) বোঝান, যেখানে f, f 1, f 2, f 3, f 4 (x) একটি সাইন ফাংশন, 3 এ বাড়ানোর কাজ ডিগ্রি, লগারিদম এবং বেস ই সঙ্গে ফাংশন, আর্ক্টজেন্ট ফাংশন এবং রৈখিক।

একটি জটিল ফাংশন সংজ্ঞা জন্য সূত্র থেকে, আমরা যে আছে

y "\u003d f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2" (f 3 (এফ 4 (এক্স)) এফ 3 "(এফ 4 (এক্স)) এফ 4" (এক্স)

আমরা কি সন্ধান করব

1. f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) ডেরাইভেটিভের টেবিল অনুসারে সাইন ডেরাইভেটিভ হিসাবে, তারপরে f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) ) \u003d কোস (ln 3 আর্টিকান (2 এক্স))।
2. f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) পাওয়ার ফাংশনের ডেরাইভেটিভ হিসাবে, তারপরে f 1" (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) \u003d 3 এলএন 3 - 1 আর্টিকান (2 x) \u003d 3 এলএন 2 আর্টিকান (2 এক্স)।
3. f 2 "(f 3 (f 4 (x))) লগারিদমিকের উদ্ভব হিসাবে, তারপরে f 2" (f 3 (f 4 (x))) \u003d 1 a r c t g (2 x)।
4. f 3 "(f 4 (x)) আর্কট্যানজেন্টের উত্স হিসাবে, তারপর f 3" (f 4 (x)) \u003d 1 1 + (2 x) 2 \u003d 1 1 + 4 x 2।
5. ডেরিভেটিভ এফ 4 (এক্স) \u003d 2 এক্স সন্ধান করার সময়, 1 এর সমতুল্য একটি ঘনক্ষেত্রের সাথে পাওয়ার ফাংশনের ডেরিভেটিভের সূত্র ব্যবহার করে ডেরিভেটিভের চিহ্নের বাইরে 2 বিয়োগ করুন, তারপরে f 4 "(x) \u003d (2 x)" \u003d 2 x "\u003d 2 1 এক্স 1 - 1 \u003d 2।

আমরা মধ্যবর্তী ফলাফলগুলি একত্রিত করেছি এবং এটি পেয়েছি

y "\u003d f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2" (f 3 (এফ 4 (এক্স)) f 3 "(এফ 4 (এক্স)) এফ 4" (এক্স) \u003d \u003d কোস (এলএন 3 আর্টিকান (2 এক্স)) 3 এলএন 2 আর্টিকান (2 এক্স) 1 আর্টিকান (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 \u003d \u003d 6 কোস (এলএন 3 আর্টিকান (2 এক্স)) এলএন 2 আর্টিকান (2 এক্স) আর্টিকান (2 এক্স) (1 + 4 x 2)

এই জাতীয় ফাংশন পার্সিং ম্যাটারিওস্কা পুতুলের সাদৃশ্য। ডেরিভেটিভগুলির একটি সারণী ব্যবহার করে বিচ্ছিন্নতার নিয়মগুলি সর্বদা স্পষ্টভাবে প্রয়োগ করা যায় না। জটিল ফাংশনগুলির ডেরাইভেটিভগুলি অনুসন্ধান করার জন্য প্রায়শই একটি সূত্র ব্যবহার করা প্রয়োজন।

জটিল এবং জটিল কার্যগুলির মধ্যে কিছু পার্থক্য রয়েছে। এটি আলাদা করার সুস্পষ্ট দক্ষতার সাথে ডেরিভেটিভগুলি সন্ধান করা বিশেষত সহজ হবে।

উদাহরণ 4

অনুরূপ উদাহরণ দেওয়ার বিষয়ে বিবেচনা করা প্রয়োজন। যদি y \u003d t g 2 x + 3 t g x + 1 ফর্মের কোনও কার্যকারিতা থাকে তবে এটিকে জটিল ফর্ম g (x) \u003d t g x, f (g) \u003d g 2 + 3 g + 1 হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। স্পষ্টতই, একটি জটিল ডেরিভেটিভের জন্য একটি সূত্র প্রয়োগ করা প্রয়োজন:

f "(g (x)) \u003d (g 2 (x) + 3 g (x) + 1)" \u003d (g 2 (x)) "+ (3 g (x))" + 1 "\u003d \u003d 2 g 2 - 1 (x) + 3 গ্রাম "(x) + 0 \u003d 2 গ্রাম (এক্স) + 3 1 গ্রাম 1 - 1 (এক্স) \u003d \u003d 2 গ্রাম (এক্স) + 3 \u003d 2 টিজিএক্স + 3; g "(x) \u003d (tgx)" \u003d 1 কোস 2 x ⇒ y "\u003d (f (g (x)))" \u003d f "(g (x)) g" (x) \u003d (2 tgx + 3 ) 1 কোস 2 x \u003d 2 টিজিএক্স + 3 কোস 2 এক্স

Y \u003d t g x 2 + 3 t g x + 1 ফর্মের একটি কাজকে কঠিন বলে বিবেচনা করা হয় না, কারণ এতে t g x 2, 3 t g x এবং 1 এর যোগফল রয়েছে। যাইহোক, t g x 2 কে একটি জটিল ফাংশন হিসাবে বিবেচনা করা হয়, তারপরে আমরা g (x) \u003d x 2 এবং f ফর্মের একটি পাওয়ার ফাংশন পাই যা স্পর্শকের একটি ক্রিয়া। এটি করার জন্য, আপনি পরিমাণ দ্বারা পৃথক করা উচিত। আমরা তা পাই

y "\u003d (tgx 2 + 3 tgx + 1)" \u003d (tgx 2) "+ (3 tgx)" + 1 "\u003d \u003d (tgx 2)" + 3 · (tgx) "+ 0 \u003d (tgx 2)" + 3 কোস 2 এক্স

আমরা একটি জটিল ক্রিয়া (t g x 2) এর ডেরাইভেটিভ সন্ধান করতে এগিয়ে চলেছি ":

f "(g (x)) \u003d (tg (g (x)))" \u003d 1 cos 2 g (x) \u003d 1 cos 2 (x 2) g "(x) \u003d (x 2)" \u003d 2 x 2 - 1 \u003d 2 x ⇒ (tgx 2) "\u003d f" (ছ (এক্স)) জি "(এক্স) \u003d 2 এক্স কোস 2 (এক্স 2)

আমরা পাই যে y "\u003d (t g x 2 + 3 t g x + 1)" \u003d (t g x 2) "+ 3 কোস 2 x \u003d 2 x কস 2 (x 2) + 3 কোস 2 x

জটিল ফাংশনগুলি জটিল ফাংশনগুলিতে অন্তর্ভুক্ত করা যেতে পারে এবং জটিল ফাংশনগুলি তাদের জটিল ফাংশন হতে পারে।

উদাহরণ 5

উদাহরণস্বরূপ, y \u003d লগ 3 x 2 + 3 কোস 3 (2 এক্স + 1) + 7 ই এক্স 2 + 3 3 + এলএন 2 এক্স (x 2 + 1) ফর্মের জটিল ফাংশনটি বিবেচনা করুন

এই ফাংশনটি y \u003d f (g (x)) হিসাবে প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে, যেখানে f এর মান লগারিদমের একটি ভিত্তি 3 থেকে ফাংশন, এবং g (x) কে h (x) \u003d x 2 + 3 কোস 3 (2) ফর্মের দুটি ফাংশনের যোগফল হিসাবে বিবেচনা করা হয় x + 1) + 7 প্রাক্তন 2 + 3 3 এবং কে (এক্স) \u003d এলএন 2 এক্স (এক্স 2 + 1)। স্পষ্টতই, y \u003d f (h (x) + k (x))।

H (x) ফাংশনটি বিবেচনা করুন। এটি ল (x) \u003d x 2 + 3 কোস 3 (2 এক্স + 1) + 7 থেকে এম (এক্স) \u003d ই x 2 + 3 3 অনুপাত

আমাদের কাছে যে l (x) \u003d x 2 + 3 কোস 2 (2 x + 1) + 7 \u003d এন (এক্স) + পি (এক্স) দুটি ফাংশন n (x) \u003d x 2 + 7 এবং পি (x) এর যোগফল \u003d 3 কোস 3 (2 এক্স + 1), যেখানে পি (এক্স) \u003d 3 পি 1 (পি 2 (পি 3 (এক্স))) একটি সংখ্যার সহগ 3 সহ একটি জটিল ফাংশন, এবং পি 1 একটি কিউবিং ফাংশন, পি 2 একটি কোসাইন ফাংশন হিসাবে, পি 3 (x) \u003d 2 x + 1 - একটি লিনিয়ার ফাংশন।

আমরা পেয়েছি যে এম (এক্স) \u003d প্রাক্তন 2 + 3 3 \u003d কিউ (এক্স) + আর (এক্স) দুটি ফাংশনের সমষ্টি x (x) \u003d প্রাক্তন 2 এবং আর (এক্স) \u003d 3 3, যেখানে q (x) \u003d q 1 (q 2 (x)) একটি জটিল ফাংশন, q 1 হ'ল এক্সফোনিয়েনাল ফাংশন সহ একটি ফাংশন, q 2 (x) \u003d x 2 একটি পাওয়ার ফাংশন।

এটি দেখায় যে এইচ (এক্স) \u003d ল (এক্স) মি (এক্স) \u003d এন (এক্স) + পি (এক্স) কিউ (এক্স) + আর (এক্স) \u003d এন (এক্স) + 3 পি 1 (পি 2 (পি 2) পি 3 (এক্স)) কিউ 1 (কিউ 2 (এক্স)) + আর (এক্স)

K (x) \u003d ln 2 x (x 2 + 1) \u003d s (x) t (x) ফর্মের একটি এক্সপ্রেশনটিতে যাওয়ার সময় দেখা যায় যে ফাংশনটি একটি জটিল ফাংশন s (x) \u003d ln 2 x \u003d s 1 হিসাবে উপস্থাপিত হয়েছে ( যৌক্তিক পূর্ণসংখ্যার টি (x) \u003d x 2 + 1 সহ s 2 (x)) যেখানে s 1 হল স্কোয়ারিং ফাংশন এবং s 2 (x) \u003d ln x হল বেস ই সহ লোগারিথমিক।

সুতরাং এটি অনুসরণ করে যে এক্সপ্রেশনটি কে (এক্স) \u003d এস (এক্স) টি (এক্স) \u003d এস 1 (এস 2 (এক্স)) টি (এক্স) রূপ ধারণ করে।

তারপরে আমরা তা পাই

y \u003d লগ 3 এক্স 2 + 3 কোস 3 (2 এক্স + 1) + 7 প্রাক্তন 2 + 3 3 + এলএন 2 এক্স (এক্স 2 + 1) \u003d \u003d এফএন (এক্স) + 3 পি 1 (পি 2 (পি 2 (পি 2 3 (এক্স)) কিউ 1 (কিউ 2 (এক্স)) \u003d আর (এক্স) + এস 1 (এস 2 (এক্স)) টি (এক্স)

ফাংশন কাঠামোর দ্বারা, এটি স্পষ্ট হয়ে উঠল যে কীভাবে এবং কী সূত্রগুলি আলাদা করার সময় কোনও অভিব্যক্তি সহজ করার জন্য ব্যবহার করা উচিত। নিজেকে এই জাতীয় সমস্যার সাথে পরিচিত করতে এবং তাদের সমাধানের ধারণার জন্য, কোনও ফাংশনকে পৃথক করার দিকটির দিকে ফিরে যাওয়া প্রয়োজন, এটির উদ্দীপকটি অনুসন্ধান করা।

আপনি যদি পাঠ্যের কোনও ত্রুটি লক্ষ্য করেন তবে দয়া করে এটি নির্বাচন করুন এবং Ctrl + এন্টার টিপুন

যার উপর আমরা সহজতম ডেরাইভেটিভগুলি বিশ্লেষণ করেছি এবং পৃথককরণের নিয়ম এবং ডেরাইভেটিভগুলি সন্ধানের জন্য কিছু কৌশলগুলির সাথেও পরিচিত হয়েছি। সুতরাং, যদি আপনি ফাংশনগুলির ডেরাইভেটিভগুলির সাথে খুব ভাল না হন, বা এই নিবন্ধের কিছু পয়েন্টগুলি সম্পূর্ণ পরিষ্কার নয় তবে প্রথমে উপরের পাঠটি পড়ুন। দয়া করে, একটি গুরুতর মেজাজে টিউন করুন - উপাদানটি কোনও সহজ নয়, তবে আমি এটিকে সহজ এবং সহজে উপস্থাপন করার চেষ্টা করব।

অনুশীলনে, একজনকে প্রায়শই একটি জটিল ক্রিয়াকলাপের ডেরাইভেটিভ নিয়ে কাজ করতে হয়, আমি এমনকি বলব, প্রায়শই, যখন আপনাকে ডেরাইভেটিভগুলি সন্ধান করার জন্য কোনও কাজ দেওয়া হয়।

জটিল ফাংশনকে আলাদা করার জন্য আমরা নিয়মটিতে নং (নং 5) এ সারণিতে তাকাই:

বোঝা। প্রথমত, আসুন রেকর্ডিংয়ে মনোযোগ দিন। এখানে আমাদের দুটি ফাংশন রয়েছে - এবং ততোধিক ফাংশনটি আলংকারিকভাবে বলতে গেলে ফাংশনে এমবেড করা আছে। এই ধরণের একটি ফাংশন (যখন একটি ফাংশন অন্যের মধ্যে বাসা বেঁধে থাকে) একটি জটিল ফাংশন বলে।

আমি ফাংশন কল করব বাহ্যিক ফাংশনএবং ফাংশন - একটি অভ্যন্তরীণ (বা নেস্টেড) ফাংশন.

! এই সংজ্ঞাগুলি তাত্ত্বিক নয় এবং অ্যাসাইনমেন্ট সমাপ্তিতে প্রদর্শিত হবে না। আমি উপাদানটি বুঝতে আপনার পক্ষে আরও সহজ করার জন্য আমি অনানুষ্ঠানিক এক্সপ্রেশন "বাহ্যিক ফাংশন", "অভ্যন্তরীণ" ফাংশন ব্যবহার করি।

পরিস্থিতি স্পষ্ট করার জন্য, বিবেচনা করুন:

উদাহরণ 1

কোনও ফাংশনের ডেরাইভেটিভ সন্ধান করুন

সাইন এর নিচে, আমাদের কাছে কেবলমাত্র "এক্স" অক্ষরটি নয়, একটি পূর্ণসংখ্যার এক্সপ্রেশন রয়েছে, সুতরাং এটি টেবিল থেকে তাত্ক্ষণিকভাবে ডেরাইভেটিভ সন্ধান করতে কাজ করবে না। আমরা আরও লক্ষ্য করেছি যে এখানে প্রথম চারটি নিয়ম প্রয়োগ করা অসম্ভব, এটি একটি পার্থক্য বলে মনে হচ্ছে, তবে সত্যটি হ'ল আপনি একটি সাইনকে "ছিন্ন করতে" পারবেন না:

এই উদাহরণে, ইতিমধ্যে আমার ব্যাখ্যা থেকে, এটি স্বজ্ঞাতভাবে পরিষ্কার যে কোনও ফাংশন একটি জটিল ফাংশন, এবং বহুপথ একটি অভ্যন্তরীণ ফাংশন (সংযুক্তি), এবং একটি বাহ্যিক ফাংশন।

প্রথম ধাপ, যা জটিল ফাংশনের ডেরাইভেটিভ সন্ধান করার সময় সম্পাদন করতে হবে কোন ফাংশনটি অভ্যন্তরীণ এবং কোনটি বাহ্যিক তা নির্ধারণ করুন.

কখন সহজ উদাহরণ এটি স্পষ্ট বলে মনে হচ্ছে যে একটি বহুবর্ষটি সাইন এর নীচে নীচে বাসা বাঁধে। তবে যদি সবকিছু সুস্পষ্ট না হয়? কোন ফাংশনটি বাহ্যিক এবং কোনটি অভ্যন্তরীণ তা সঠিকভাবে নির্ধারণ করবেন? এটি করার জন্য, আমি নিম্নলিখিত কৌশলগুলি ব্যবহার করার পরামর্শ দিচ্ছি, যা মানসিকভাবে বা খসড়াতে করা যেতে পারে।

কল্পনা করুন যে আমাদের একটি ক্যালকুলেটরে একটি অভিব্যক্তির মান গণনা করতে হবে (একের পরিবর্তে, কোনও সংখ্যা থাকতে পারে)।

আমরা প্রথমে কী গণনা করব? প্রথমত আপনাকে নিম্নলিখিত ক্রিয়াটি সম্পাদন করতে হবে: সুতরাং, বহুপদী একটি অভ্যন্তরীণ ফাংশন হবে:

দ্বিতীয়ত: সন্ধান করা দরকার, সুতরাং সাইন একটি বাহ্যিক ফাংশন হবে:

আমরা পরে খুঁজে বের করা অভ্যন্তরীণ এবং বাহ্যিক ক্রিয়াকলাপগুলির সাথে, এটি জটিল ক্রিয়াকলাপের পার্থক্যের নিয়মটি প্রয়োগ করার সময় .

আমরা সিদ্ধান্ত নিতে শুরু করি। পাঠ থেকে আমি কীভাবে আবিষ্কার করতে পারি? আমাদের মনে আছে যে কোনও ডেরাইভেটিভের সমাধানের নকশাটি সর্বদা এর মতো শুরু হয় - আমরা এক্সপ্রেশনটি বন্ধনীতে বন্ধ করি এবং উপরের ডানদিকে একটি স্ট্রোক রেখেছি:

প্রথম বাহ্যিক ফাংশন (সাইন) এর ডেরাইভেটিভ সন্ধান করুন, প্রাথমিক ফাংশনগুলির ডেরিভেটিভসের টেবিলটি দেখুন এবং লক্ষ্য করুন। জটিল এক্সপ্রেশন দিয়ে "x" প্রতিস্থাপন করা থাকলে সমস্ত টবুলার সূত্রগুলি প্রযোজ্য, এক্ষেত্রে:

দয়া করে মনে রাখবেন যে অভ্যন্তরীণ ফাংশন পরিবর্তন হয়নি, আমরা এটি স্পর্শ করি না.

ঠিক আছে, এটা বেশ স্পষ্ট

সূত্র প্রয়োগের ফলাফল চূড়ান্ত নকশা এ মত দেখাচ্ছে:

একটি ধ্রুবক ফ্যাক্টর সাধারণত একটি অভিব্যক্তির শুরুতে স্থাপন করা হয়:

যদি কোনও বিভ্রান্তি থাকে তবে সমাধানটি লিখুন এবং ব্যাখ্যাগুলি আবার পড়ুন।

উদাহরণ 2

কোনও ফাংশনের ডেরাইভেটিভ সন্ধান করুন

উদাহরণ 3

কোনও ফাংশনের ডেরাইভেটিভ সন্ধান করুন

সর্বদা হিসাবে, আমরা লিখুন:

আসুন আমরা আমাদের বাহ্যিক ফাংশনটি কোথায় এবং একটি অভ্যন্তরীণ কোথায় তা নির্ধারণ করি। এটি করার জন্য, (মানসিকভাবে বা কোনও খসড়ায়) এপ্রকাশের মানটি গণনা করতে চেষ্টা করুন। প্রথমে কী করা উচিত? প্রথমত, আপনাকে গণনা করতে হবে যে বেসটি সমান: যার অর্থ বহুপদীটি অভ্যন্তরীণ ফাংশন:

এবং, কেবল তখন ক্ষতিকারক সঞ্চালন হয়, সুতরাং, শক্তি ফাংশনটি একটি বাহ্যিক ফাংশন:

সূত্র অনুযায়ী , প্রথমে আপনাকে বাহ্যিক ক্রিয়াটির ডেরাইভেটিভ সন্ধান করতে হবে, এক্ষেত্রে ডিগ্রি। আমরা সারণীতে প্রয়োজনীয় সূত্রটি খুঁজছি:। আমরা আবার পুনরাবৃত্তি: যে কোনও সারণী সূত্রটি শুধুমাত্র "এক্স" নয়, একটি জটিল ভাবের জন্যও বৈধ... সুতরাং, একটি জটিল ক্রিয়াকলাপের পার্থক্যের নিয়ম প্রয়োগের ফলাফল নিম্নলিখিত:

আমি আবার জোর দিয়ে বলছি যে আমরা যখন বাইরের ফাংশনটির ব্যুৎপত্তি গ্রহণ করি তখন অভ্যন্তরীণ ফাংশনটি পরিবর্তন হয় না:

এখন এটি অভ্যন্তরীণ ফাংশনটির খুব সাধারণ ডেরাইভেটিভ এবং ফলাফলটি "ঝুঁটি" থেকে কিছুটা খুঁজে পাওয়া যায়:

উদাহরণ 4

কোনও ফাংশনের ডেরাইভেটিভ সন্ধান করুন

এটি একটি স্বাধীন সমাধানের জন্য একটি উদাহরণ (টিউটোরিয়ালটির শেষে উত্তর)।

একটি জটিল ফাংশনটির ডেরাইভেটিভের বোঝাপড়াটি দৃid় করার জন্য, আমি মন্তব্য ছাড়াই একটি উদাহরণ দেব, এটি নিজেই বের করার চেষ্টা করব, অনুমান করুন বাহ্যিকটি কোথায় এবং অভ্যন্তরীণ ফাংশনটি কোথায়, কাজগুলি কেন এইভাবে সমাধান করা হয়েছিল?

উদাহরণ 5

ক) ফাংশনের ডেরাইভেটিভ সন্ধান করুন

খ) ফাংশনের ডেরাইভেটিভ সন্ধান করুন

উদাহরণ 6

কোনও ফাংশনের ডেরাইভেটিভ সন্ধান করুন

এখানে আমাদের একটি মূল রয়েছে এবং মূলকে আলাদা করতে হলে এটি অবশ্যই একটি ডিগ্রী হিসাবে উপস্থাপন করতে হবে। সুতরাং, প্রথমে আমরা ফাংশনটি পার্থক্যের জন্য উপযুক্ত আকারে আনব:

ফাংশনটি বিশ্লেষণ করে, আমরা এই সিদ্ধান্তে পৌঁছেছি যে তিনটি পদগুলির যোগফল একটি অভ্যন্তরীণ ফাংশন, এবং ক্ষয়ক্ষতি একটি বাহ্যিক ফাংশন। আমরা একটি জটিল ফাংশনের পার্থক্যের নিয়মটি প্রয়োগ করি :

ডিগ্রিটি আবার একটি র\u200c্যাডিকাল (মূল) হিসাবে উপস্থাপিত হয়, এবং অভ্যন্তরীণ ফাংশনটির ব্যয়ের জন্য আমরা যোগফলকে আলাদা করার জন্য একটি সাধারণ নিয়ম প্রয়োগ করি:

সম্পন্ন. আপনি বন্ধনীতে একটি সাধারণ ডিনোমিনেটরে অভিব্যক্তিটি আনতে এবং সবকিছুকে একটি ভগ্নাংশে লিখতে পারেন। খুব ভাল, অবশ্যই, তবে যখন জটিল দীর্ঘ ডেরিভেটিভস প্রাপ্ত হয়, তখন এটি না করাই ভাল (এটি বিভ্রান্ত হওয়া সহজ, একটি অপ্রয়োজনীয় ভুল করা, এবং এটি শিক্ষকের পক্ষে পরীক্ষা করা অসুবিধে হবে)।

উদাহরণ 7

কোনও ফাংশনের ডেরাইভেটিভ সন্ধান করুন

এটি একটি স্বাধীন সমাধানের জন্য একটি উদাহরণ (টিউটোরিয়ালটির শেষে উত্তর)।

এটি লক্ষণীয় যে আকর্ষণীয় যে কখনও কখনও কোনও জটিল ক্রিয়াকে আলাদা করার নিয়মের পরিবর্তে, ভাগফলকে পৃথক করার জন্য কেউ নিয়মটি ব্যবহার করতে পারেন , তবে এই জাতীয় সমাধানটি একটি বিকৃত রূপ হিসাবে অস্বাভাবিক দেখবে। এখানে একটি সাধারণ উদাহরণ:

উদাহরণ 8

কোনও ফাংশনের ডেরাইভেটিভ সন্ধান করুন

এখানে ভাগফলকে আলাদা করার জন্য আপনি নিয়মটি ব্যবহার করতে পারেন , তবে জটিল ক্রিয়াকলাপের পৃথকীকরণের নিয়মের মাধ্যমে ডেরাইভেটিভ খুঁজে পাওয়া আরও বেশি লাভজনক:

আমরা পার্থক্যের জন্য ফাংশনটি প্রস্তুত করি - আমরা ডেরাইভেটিভের চিহ্নের বাইরে বিয়োগটি সরাই এবং কোসাইনকে সংখ্যায় বাড়িয়ে তুলি:

কোসিন একটি অভ্যন্তরীণ ফাংশন, এক্সফোনেনটিশন একটি বাহ্যিক ফাংশন।
আমরা আমাদের বিধি ব্যবহার করি :

অভ্যন্তরীণ ফাংশনের ডেরাইভেটিভ সন্ধান করুন, কোসাইনকে আবার নীচে পুনরায় সেট করুন:

সম্পন্ন. বিবেচিত উদাহরণে, লক্ষণগুলিতে বিভ্রান্ত না হওয়া গুরুত্বপূর্ণ। উপায় দ্বারা, এটি নিয়ম দিয়ে সমাধান করার চেষ্টা করুন , উত্তরগুলি অবশ্যই মিলবে।

উদাহরণ 9

কোনও ফাংশনের ডেরাইভেটিভ সন্ধান করুন

এটি একটি স্বাধীন সমাধানের জন্য একটি উদাহরণ (টিউটোরিয়ালটির শেষে উত্তর)।

এখনও অবধি, আমরা এমন কেসগুলিতে সন্ধান করেছি যেখানে একটি জটিল ক্রিয়ায় কেবল আমাদের একটি সংযুক্তি ছিল। ব্যবহারিক কাজে, আপনি প্রায়শই ডেরাইভেটিভগুলি খুঁজে পেতে পারেন, যেখানে বাসা বাঁধে পুতুলের মতো, একে অপরের মধ্যে 3 বা এমনকি 4-5 ফাংশন একবারে বাসা বাঁধে।

উদাহরণ 10

কোনও ফাংশনের ডেরাইভেটিভ সন্ধান করুন

আসুন এই ফাংশনটির সংযুক্তিগুলি বুঝতে পারি। পরীক্ষার মানটি ব্যবহার করে অভিব্যক্তিটি মূল্যায়নের চেষ্টা করা। আমরা কীভাবে একটি গণক গণনা করব?

প্রথমে আপনাকে খুঁজে বের করতে হবে, যার অর্থ হল আরকসিনটি সবচেয়ে গভীর বাসা বাঁধছে:

তারপরে একটির এই আরকসিনটি স্কোয়ার করা উচিত:

এবং অবশেষে, পাওয়ারটিকে 7 বাড়ান:

এটি হ'ল, এই উদাহরণে আমাদের তিনটি পৃথক ফাংশন এবং দুটি সংযুক্তি রয়েছে, তবে অভ্যন্তরীণতম ফাংশনটি হ'ল আরকসিন এবং বাহ্যতমতম ফাংশনটি হ'ল এক্সফেনশনাল ফাংশন।

আমরা সমাধান শুরু

নিয়ম অনুসারে প্রথমে আপনাকে বাহ্যিক ক্রিয়াটি ডেরাইভেটিভ নিতে হবে। আমরা ডেরাইভেটিভসের টেবিলটি দেখি এবং সূচকীয় ফাংশনের ডেরাইভেটিভটি পাই: পার্থক্যটি কেবল এটিই হ'ল "এক্স" এর পরিবর্তে আমাদের একটি জটিল ভাব রয়েছে, যা এই সূত্রটির বৈধতা অস্বীকার করে না। সুতরাং, একটি জটিল ক্রিয়াকলাপের পার্থক্যের নিয়ম প্রয়োগের ফলাফল নিম্নলিখিত