ভেক্টরগুলির বিন্দু পণ্য। স্থানটিতে বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতির উপাদানসমূহ "ভেক্টরের বিন্দু পণ্য" লেবেলযুক্ত রেকর্ডগুলি
উত্তরের স্বয়ংক্রিয় যাচাইকরণের সাথে এই পরীক্ষাটি ইন্টারমিডিয়েট, সাধারণীকরণ বা শিক্ষার্থীদের জ্ঞানের চূড়ান্ত নিয়ন্ত্রণের শ্রেণিকক্ষে ব্যবহার করা যেতে পারে। পরীক্ষাটি সঠিকভাবে কাজ করার জন্য আপনাকে অবশ্যই একটি নিম্ন সুরক্ষা স্তর নির্ধারণ করতে হবে (পরিষেবা-ম্যাক্রো সুরক্ষা)
ডাউনলোড:
পূর্বরূপ:
https://accounts.google.com
স্লাইড ক্যাপশন:
বিকল্প 1 পাওয়ার পয়েন্ট এমসিইউ "পোগোরেলসকায়া মাধ্যমিক বিদ্যালয়" কোশচিভ এমএম পরীক্ষার তৈরির জন্য একটি টেম্পলেট ব্যবহৃত হয়েছিল।
বিকল্প 1 খ) খালি ক) তীব্র গ) সোজা
বিকল্প 1 গ) শূন্যের সমান) ক শূন্যের চেয়ে বড়) শূন্যের চেয়ে কম
বিকল্প 1 খ) -½ ∙ a² সি) ∙ ∙ a²
বিকল্প 1 4. ডি এবিসি - টেট্রহেড্রন, এবি \u003d বিসি \u003d এসি \u003d এ ডি \u003d বিডি \u003d সিডি। তাহলে এটা সত্য নয় যে…।
বিকল্প 1 5. কোন বিবৃতিটি সঠিক?
বিকল্প 1 বি) ক ₁ বি ₁ + এ ₂ বি ₂ + এ ₃ বি ₃ সি) এ ₁ বি ₂ বি ₃ + বি ₁ আ ₂ বি ₃ + বি ₁ বি ₂ এ ₃ এ) ক ₁а₂а₃ + বি ₁ বি ₂ বি ₃
বিকল্প 1 খ) - ক ² ক) 0 গ) ক ²
বিকল্প 1 ক) ক খ) ও
বিকল্প 1
বিকল্প 1 ক) 7 গ) -7 খ) -9
বিকল্প 1 খ) -4 ক) 4 গ) 2
বিকল্প 1 খ) 120 ° ক) 90 ° সি) 60 °
বিকল্প 1 গ) 0.7 এ) -0.7 খ) 1 13. পয়েন্টগুলির স্থানাঙ্ক দেওয়া হয়েছে: ক (1; -1; -4), বি (-3; -1; 0), সি (-1; 2) ; 5), ডি (2; -3; 1)। তাহলে রেখাংশ AB এবং CD এর মধ্যবর্তী কোণটির কোসাইন সমান?
বিকল্প 1 গ) 4
পূর্বরূপ:
উপস্থাপনাগুলির পূর্বরূপ ব্যবহার করতে, নিজেকে একটি Google অ্যাকাউন্ট (অ্যাকাউন্ট) তৈরি করুন এবং এতে লগ ইন করুন: https://accounts.google.com
স্লাইড ক্যাপশন:
বিকল্প 2 পাওয়ারপয়েন্ট এমসিইউ "পোগোরেলসকায়া মাধ্যমিক বিদ্যালয়" তে পরীক্ষা তৈরির জন্য একটি টেমপ্লেট কোশচিভ এমএম ব্যবহৃত হয়েছিল
পরীক্ষার ফলাফল সঠিক: 14 টি ত্রুটি: 0 চিহ্ন: 5 সময়: 1 মিনিট 40 সেকেন্ড এখনও ঠিক
বিকল্প 2 ক) তীব্র খ) খাঁটি গ) সোজা
বিকল্প 2 ক) শূন্য গ এর চেয়ে বড়) শূন্য খ এর সমান) শূন্যের চেয়ে কম
বিকল্প 2 খ) -½ ∙ a² ক) ½ ∙ a² ²
বিকল্প 2 4. АВСА "ВС" - প্রিজম,
বিকল্প 2 5. কোন বিবৃতিটি সঠিক?
বিকল্প 2 ক) এম ₁ এন ₁ + এম ₂ এন ₂ + এম ₃ এন ₃ সি) এম ₁ এম ₂ এম ₃ + এন ₁ এন ₂ এন ₃ বি) (এন ₁- এম ₁) ² + (এন ₂- এম ₂ ) ² + (n ₃- m ₃) ²
বিকল্প 2 গ) - ক ² ক) 0 খ) আ² ²
বিকল্প 2 ক) ও সি) এ²
বিকল্প 2
বিকল্প 2 খ) 3 গ) -3 ক) 19
বিকল্প 2 ক) - 0.5 বি) -1 গ) 0.5
বিকল্প 2 খ) 6 0 ° ক) 90 ° সি) 12 0 °
বিকল্প 2 ক) 0.7 সি) -0.7 খ) 1 13. পয়েন্টগুলির স্থানাঙ্কগুলি দেওয়া হয়েছে: সি (3; - 2; 1), ডি (- 1; 2; 1), এম (2; -3; 3) ), এন (-1; 1; -2)। তারপরে সোজা রেখার সিডি এবং এমএন এর মধ্যে কোণটির কোসাইন সমান?
বিকল্প 2 গ) 4
পরীক্ষার কীগুলি: ভেক্টর ডট পণ্য। বিকল্প 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Repl। বি সি বি সি সি এ বি বি সি সি বি বি সি সি রেফারেন্স জি.আই. কোভালেভা, এন.আই. মাজুরোভা জ্যামিতি 10-11 গ্রেড। বর্তমান এবং সাধারণীকরণের জন্য পরীক্ষা। প্রকাশনা ঘর "শিক্ষক", ২০০৯ বিকল্প 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Repl। a a b b b a c a c b a b a b
2. উভয় পক্ষকে 7 দ্বারা গুণ করে সমীকরণটি সরল করুন আমরা 7y 2 -9y + 2 \u003d 0 পাই। ভিয়েটার উপপাদ্য অনুসারে, চতুর্ভুজ সমীকরণের অক্ষ 2 + বিএক্স + সি \u003d 0 এর মূলের যোগফল /b / a। মানে:
3. মোট ৮৮০ জন যাত্রী। এর মধ্যে 35% পুরুষ, যার অর্থ মহিলা এবং শিশুরা 100% -35% \u003d 65%। 880 এর 65% সন্ধান করুন number সংখ্যার শতাংশ খুঁজতে, আপনাকে শতাংশকে দশমিক দশকে রূপান্তর করতে হবে এবং প্রদত্ত সংখ্যাটি দিয়ে গুণ করতে হবে।
65% \u003d 0.65; 880 কে 0.65 দ্বারা গুণিত করুন, আমরা 572 পেয়েছি So অনেক মহিলা এবং শিশুরা এবং তাদের মধ্যে 75% মহিলা, 572 এর 25% শিশু are আবার আমরা সংখ্যার শতাংশ খুঁজে পাই। 572 এর 25% We আমরা 25 %কে দশমিক ভগ্নাংশে রূপান্তর করি (0.25 হবে) এবং 572 দিয়ে গুণ করি We আমরা বিবেচনা করি: 572 · 0.25 \u003d 143. এরা বাচ্চা। মহিলা: 572-143 \u003d 429 .
এটা কি খাটো?
25% 100% এর চতুর্থাংশ, অতএব, আমরা এরকম কারণ দেখি: 572 কে 4 দিয়ে ভাগ কর, আমরা পাই 143 (০.২৫ দ্বারা গুণিত করার চেয়ে ৪ দ্বারা ভাগ করা সহজ) - এগুলি শিশু এবং of৫% মহিলারা তিনটি চতুর্থাংশ হয়, সুতরাং, ১৪৩ টি 3 দ্বারা গুণিত হয়েছে এবং আমরা পেয়েছি 429.
4. শর্ত দ্বারা, আমরা অসমতা রচনা:
11x + 3<5x-6; слагаемые с переменной х соберем в левой части неравенства, а свободные члены — в правой:
11x-5x<-6-3; приводим подобные слагаемые:
6x<-9; делим обе части неравенства на 6:
এক্স<-1,5. Ответ: ঙ)।
5. আমরা 990 \u200b\u200b° 2 · 360 ° + 270 ° হিসাবে লিখি ° তারপরে কারণ 990 °\u003d কোস (2 360 ° + 270 °) \u003d কোস 270 ° \u003d 0.
6. আসুন সহজ সমীকরণ সমাধানের সূত্রটি প্রয়োগ করি tg t \u003d a।
t \u003d আর্টিকান এ + ,n, nєZ। আমাদের t \u003d 4x আছে।
7. আমাদের আছে: পাটিগণিতের অগ্রগতির প্রথম শব্দ a 1 \u003d 25... পাটিগণিতের অগ্রগতির পার্থক্য d\u003d এ 2 -এ 1 \u003d 30-25 =5. প্রথমটির যোগফলটি খুঁজে পেতে সূত্রটি প্রয়োগ করি এন পাটিগণিতের অগ্রগতির সদস্যগণ এবং আমাদের মানগুলিকে এটিতে বিকল্প দিন a 1 \u003d 25, d \u003d 5 এবং n \u003d 22, যেহেতু এটির পরিমাণ খুঁজে পাওয়া দরকার 22 অগ্রগতির সদস্য।
8. এই চতুর্ভুজ ফাংশনের গ্রাফ y \u003d x 2 -x-6 প্যারাবোলা হিসাবে কাজ করে, এর শাখাগুলি উপরের দিকে নির্দেশিত হয় এবং পরাবোলার শীর্ষগুলি বিন্দুতে থাকে ও '(মি; এন)... এটি গ্রাফের সর্বনিম্ন বিন্দু, সুতরাং এর সর্বনিম্ন মান এন ফাংশন এ হবে এক্স \u003d মি \u003d-বি / (2 এ) \u003d 1/2। উত্তর: ২)।
9. একটি সমকোণী ত্রিভুজটিতে, পক্ষগুলি একে অপরের সমান। আমরা বেসটি দ্বারা চিহ্নিত করি এক্স... তারপরে প্রতিটি পক্ষই সমান হবে (x + 3)... ত্রিভুজের পরিধিটি জেনেছি 15.6 সেমিসমীকরণটি রচনা করুন:
x + (x + 3) + (x + 3) \u003d 15.6;
3x \u003d 9.6 → x \u003d 3.2 ত্রিভুজের ভিত্তি, এবং প্রতিটি পক্ষই হবে 3.2 + 3 \u003d 6,2 ... উত্তর: ত্রিভুজের দিকগুলি সমান 6.2 সেমি; 6.2 সেমি বনাম 3.2 সেমি.
10. সিস্টেমের প্রথম অসমতার সাথে সবকিছু পরিষ্কার। অন্তরগুলির পদ্ধতি দ্বারা আমরা দ্বিতীয় বৈষম্য সমাধান করি। এটি করার জন্য, আমরা বর্গাকার ত্রৈমাসিকের শিকড়গুলি খুঁজে পাই 4x 2 + 5x-6 এবং এটিকে রৈখিক কারণগুলিতে প্রসারিত করুন।
11. মূল লোগারিদমিক পরিচয় দ্বারা ডানদিকে, আমরা প্রাপ্ত 7 ... ডিগ্রির ঘাঁটি ছাড়ছে (7) সমতা বাম এবং ডান দিকে। অবশিষ্ট রয়েছে: x 2 \u003d 1, এখান থেকে x \u003d ± 1। উত্তর: গ)।
12. আসুন সমতা উভয় পক্ষের বর্গাকার। ডিগ্রির লগারিদম এবং পণ্যের লগারিদমের সূত্র প্রয়োগ করে আমরা সংখ্যার লগারিদমের সাথে সম্মতভাবে একটি চতুর্ভুজ সমীকরণ লাভ করি 5 কারণেই এক্স... চলকটি পরিচয় করিয়ে দিন at, আমরা শ্রদ্ধার সাথে চতুর্ভুজ সমীকরণ সমাধান at এবং পরিবর্তনশীল ফিরে এক্স... মানগুলি সন্ধান করুন এক্স এবং উত্তরগুলি বিশ্লেষণ করুন।
13. কার্য: সিস্টেমটি সমাধান করুন। আমরা সিদ্ধান্ত নেব না - আমরা একটি চেক করব। সিস্টেমের দ্বিতীয় সমীকরণের প্রস্তাবিত উত্তরগুলি স্থান দিন, কারণ এটি সহজ: x + y \u003d 35... সিস্টেম সমাধানগুলির প্রস্তাবিত সমস্ত জোড়াগুলির মধ্যে কেবল উত্তরটি উপযুক্ত ঘ).
8+27=35 এবং 27+8=35 ... এই জোড়গুলিকে সিস্টেমের প্রথম সমীকরণে স্থান দেওয়ার মতো নয়, তবে উত্তরগুলির একটিরও যদি দ্বিতীয় সমীকরণের দিকে আসে তবে আপনাকে সিস্টেমের প্রথম সমতাতে একটি প্রতিস্থাপন করতে হবে।
14. ফাংশন সুযোগ হ'ল আর্গুমেন্ট মানগুলির সেট এক্স, যার জন্য সমতার ডান দিকটি বোঝায়। পাটিগণিত বর্গক্ষেত্রটি কেবল একটি অ-নেতিবাচক সংখ্যা থেকে নেওয়া যেতে পারে, তাই নিম্নলিখিত শর্তটি অবশ্যই পূরণ করতে হবে: 6 + 2x≥0, এটি অনুসরণ করে যে 2x≥-6 বা x≥-3। যেহেতু ভগ্নাংশের ডিনোমিনিটারটি অবশ্যই শূন্যের থেকে আলাদা হবে, তাই আমরা লিখি: x ≠ 5... দেখা যাচ্ছে যে আপনি সমস্ত সংখ্যার চেয়ে বড় বা সমান নিতে পারবেন -3 তবে সমান নয় 5 . উত্তর: [-3; 5) ইউ (5; + ∞)
15. প্রদত্ত বিভাগে কোনও ফাংশনের বৃহত্তম এবং ক্ষুদ্রতম মানগুলি খুঁজে পেতে আপনার এই ফাংশনের মানগুলি সেগমেন্টের শেষ প্রান্তে এবং এই বিভাগটির সাথে সম্পর্কিত সেই সমালোচনামূলক পয়েন্টগুলিতে খুঁজে বের করতে হবে এবং তারপরে বৃহত্তমটি নির্বাচন করুন এবং ফাংশনের সমস্ত প্রাপ্ত মান থেকে ক্ষুদ্রতম।
16 ... একটি নিয়মিত ষড়ভুজগুলিতে অঙ্কিত একটি বৃত্ত বিবেচনা করুন এবং কীভাবে কোনও শিলালিপিযুক্ত বৃত্তের ব্যাসার্ধ প্রকাশ করা হয় তা প্রত্যাহার করুন r একটি নিয়মিত ষড়যন্ত্রের পাশ জুড়ে এবং... ব্যাসার্ধটি সন্ধান করুন, তারপরে ষড়্ভুজকের পাশ এবং ঘের।
17 ... যেহেতু পিরামিডের সমস্ত পাশের কিনারা একই কোণে বেসের দিকে ঝুঁকছে তাই পিরামিডের শীর্ষটি একটি বিন্দুতে প্রত্যাশিত সম্পর্কিত - পিরামিডের গোড়ায় পড়ে থাকা আয়তক্ষেত্রটির তির্যক ছেদটি, কারণ বিন্দু সম্পর্কিত পিরামিডের বেসের সমস্ত শীর্ষ থেকে সমান হতে হবে।
আয়তক্ষেত্রের ABCD এর তির্যক এসি সন্ধান করুন। এসি 2 \u003d এডি 2 + সিডি 2;
এসি 2 \u003d 32 2 +24 2 \u003d 1024 + 576 \u003d 1600 → এসি \u003d 40 সেমি। তারপরে ওএস \u003d 20 সেমি। যেহেতু Δ এমওএস আয়তক্ষেত্রাকার এবং আইসোসিলস (/ OSM \u003d 45 °), তারপরে MO \u003d OS \u003d 20 সেমি। আসুন পিরামিডের ভলিউমের সূত্রটি প্রয়োগ করুন, প্রয়োজনীয় মানগুলি প্রতিস্থাপন করুন।
18. একটি বিমানের মাধ্যমে একটি গোলকের কোনও বিভাগই একটি বৃত্ত।
O 1 বিন্দু এবং ব্যাসার্ধ OA এর কেন্দ্রিক একটি বৃত্ত বল ওবি এর ব্যাসার্ধের সাথে লম্ব থাকুক এবং এর মধ্য পয়েন্ট O 1 এর মধ্য দিয়ে যেতে দিন। তারপরে একটি সমকোণী ত্রিভুজ এও 1 হে হাইপেনিউজ OA \u003d 10 সেমি (বল ব্যাসার্ধ), লেগ ওও 1 \u003d 5 সেমি। পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য দ্বারা О 1 А 2 \u003d ОА 2 -ОО 1 2। সুতরাং ও 1 এ 2 \u003d 10 2 -5 2 \u003d 100-25 \u003d 75। ক্রস-বিভাগীয় অঞ্চলটি আমাদের বৃত্তের ক্ষেত্রফল, আমরা সূত্রটি S \u003d 2r 2 \u003d π ∙ O 1 A 2 \u003d 75π সেমি 2 দিয়ে খুঁজে পাই।
19. হতে দিন a 1এবং a 2 - ভেক্টরের প্রয়োজনীয় স্থানাঙ্ক। যেহেতু ভেক্টরগুলি পারস্পরিক লম্ব হয়, তাদের বিন্দুর পণ্যটি শূন্য। আসুন লিখি: 2 এ 1 + 7 এ 2 \u003d 0। আসুন আমরা একটি 2 এর মাধ্যমে 1 প্রকাশ করি। তারপরে একটি 1 \u003d -3.5a 2। ভেক্টরগুলির দৈর্ঘ্য সমান হওয়ায় আমাদের সমতা রয়েছে: a 1 2 + a 2 2 \u003d 2 2 +7 2... এই সাম্যের বিকল্প মান 1। আমরা পাই: (3.5a 2) 2 + এ 2 2 \u003d 4 + 49; সরল করুন: 12.25a 2 2 + a 2 2 \u003d 53;
13.25a 2 2 \u003d 53, অতএব একটি 2 2 \u003d 53: 13.25 \u003d 4। এটি দুটি মান সক্রিয় a 2 \u003d ± 2। যদি একটি 2 \u003d -2 হয় তবে একটি 1 \u003d -3.5 ∙ (-2) \u003d 7। যদি একটি 2 \u003d 2 হয়, তবে একটি 1 \u003d -7। স্থানাঙ্ক অনুসন্ধান করা হয়েছে (7; -2) বা (-7; 2) ... উত্তর: ভিতরে).
20. ভগ্নাংশের ডিনোমিনেটরকে সহজ করুন ify এটি করার জন্য, আমরা বন্ধনীগুলি খুলি এবং ভগ্নাংশগুলি মূল চিহ্নের নীচে একটি সাধারণ ডিনোমিনেটরে আনে।
21. আসুন বন্ধনীতে এক্সপ্রেশনটিকে একটি সাধারণ ডিনোমিনেটরে নিয়ে আসি। বিভাগটি বিভাজকের বিপরীত দ্বারা গুণ দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়। দুটি এক্সপ্রেশন এবং দুটি এক্সপ্রেশন এর স্কোয়ারের মধ্যে পার্থক্যটির বর্গক্ষেত্রের সূত্রগুলি আমরা প্রয়োগ করি। ভগ্নাংশ হ্রাস করা যাক।
22. এই বৈষম্য ব্যবস্থাটি সমাধান করার জন্য, আপনাকে প্রতিটি বৈষম্য আলাদাভাবে সমাধান করতে হবে এবং দুটি অসমতার একটি সাধারণ সমাধান খুঁজে বের করতে হবে। আমরা সমাধান 1 ম বৈষম্য। সমস্ত পদ বাম দিকে সরান, বন্ধনী বাইরে সাধারণ ফ্যাক্টর নিন।
x 2 ∙ 4 x -4 x +1\u003e 0;
x 2 ∙ 4 x -4 x ∙ 4\u003e 0;
4 এক্স (এক্স 2 -4)\u003e 0। যেহেতু কোনও সূচকের জন্য সূচকীয় ফাংশনটি কেবল ইতিবাচক মানগুলি গ্রহণ করে, তারপরে 4 x\u003e 0, সুতরাং, x 2 -4\u003e 0।
(x-2) (x + 2)\u003e 0।
আমরা সমাধান ২ য় বৈষম্য।
বেস 2 সহ ডিগ্রী হিসাবে বাম এবং ডান দিক উপস্থাপন করুন।
2 - x ≥2 3। যেহেতু ঘাঁটিযুক্ত ক্রিয়াকলাপটি বেসের সাথে একের বেশি হয় increases আর, আমরা অসমতার চিহ্নটি রেখে বেসগুলি বাদ দিই।
X≥3 → x≤-3।
আমরা একটি সাধারণ সমাধান খুঁজে।
উত্তর: (-∞; -3]।
23. Ingালাই সূত্র অনুসারে, কোসাইন সাইন-এ রূপান্তরিত হয় 3x... অনুরূপ পদগুলি হ্রাস করার পরে এবং অসমতার উভয় পক্ষকে ভাগ করে 2 , আমরা ফর্মটির সহজতম বৈষম্য অর্জন করি: sin t\u003e a... সূত্রের মাধ্যমে আমরা এই অসমতাটির সমাধান খুঁজে পাই:
আরকসিন এ + 2πn
24. আসুন এই ফাংশনটি সরল করুন। ভিয়েটার উপপাদ্য অনুসারে আমরা বর্গাকার ত্রৈমাসিকের শিকড় খুঁজে পাই x 2 -x-6 (x 1 \u003d -2 , এক্স 2 \u003d 3 ), আমরা ভগ্নাংশের ডিনোমিনিটারকে রৈখিক কারণগুলিতে বিস্তৃত করি (x-3) (x + 2) এবং ভগ্নাংশটি বাতিল করে cancel (এক্স -3)... প্রতিষেধক আবিষ্কার করুন এইচ (এক্স) ফলস্বরূপ ফাংশন 1 / (x + 2)।
25. সুতরাং 126 জন খেলোয়াড় খেলবেন 63 গেমস, যার মধ্যে participants৩ জন অংশগ্রহণকারী দ্বিতীয় রাউন্ডের বিজয়ী হিসাবে যোগ্যতা অর্জন করবে। মোট, +৩ + ১ \u003d participants৪ জন অংশগ্রহণকারীরা দ্বিতীয় রাউন্ডে লড়াই করবে। তারা খেলবে 32 গেমস, অতএব আরও 32 জন বিজয়ী যারা খেলবেন 16 গেমস ১ 16 জন বিজয়ী খেলবেন 8 গেমস, 8 বিজয়ী খেলবে 4 গেমস চারজন বিজয়ী খেলবেন 2 গেমস এবং অবশেষে, দুটি বিজয়ীর খেলতে হবে শেষ খেলা... আমরা ম্যাচগুলি গণনা করি: 63+32+16+8+4+2+1=126.
আপনি কি আরও ভাল কম্পিউটার দক্ষতা চান?
স্লাইডশেয়ার প্রকাশনা পরিষেবা আপনাকে পাওয়ার পয়েন্ট উপস্থাপনা, পাঠ্য নথি, পিডিএফ ফাইল (50 এমবি) ফ্ল্যাশ ফর্ম্যাটে রূপান্তর করতে দেয়। শিক্ষামূলক ক্রিয়াকলাপগুলিতে, এই পরিষেবাটি শিক্ষার্থী এবং শিক্ষকদের একটি পোর্টফোলিও তৈরি করতে এবং উপস্থাপনাগুলির স্বাভাবিক প্রদর্শনের জন্য, প্রকল্পের কাজের নকশা উভয়ের জন্যই ব্যবহার করা যেতে পারে।
নতুন নিবন্ধ পড়ুন
আপনি যদি একজন শিক্ষক হন তবে অবশ্যই আপনি অবাক হয়েছেন: কাজের আনন্দ এবং তৃপ্তি আনতে আপনার কোন বই পড়তে হবে? সন্দেহ নেই যে এখন আপনি ইন্টারনেটে এই ইস্যুতে প্রচুর তথ্য পেতে পারেন। তবে এ জাতীয় বিভিন্নতা বোঝা খুব কঠিন। এবং কোন বইগুলি সত্যই আপনার সহায়ক হয়ে উঠবে তা সন্ধান করাতে অনেক সময় লাগবে। এই নিবন্ধে, আপনি প্রতিটি শিক্ষক কোন বই পড়তে হবে সে সম্পর্কে শিখবেন।
সামগ্রীর স্পষ্টতা প্রাথমিক বিদ্যালয়ের বাচ্চাদের শিক্ষাগত সমস্যা সমাধানে উদ্বুদ্ধ করে এবং বিষয়টিতে আগ্রহ বজায় রাখে। অতএব, সর্বাধিক কার্যকর শেখানোর পদ্ধতিগুলির মধ্যে একটি হ'ল ফ্ল্যাশকার্ড ব্যবহার। শখের ক্রিয়াকলাপ এবং বহির্মুখী ক্রিয়াকলাপ সহ যে কোনও বিষয়ে পড়ানোর সময় কার্ডগুলি ব্যবহার করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, শাকসবজি এবং ফলমূল সহ একই কার্ডগুলি গণিত পাঠে গণনা শেখানোর জন্য এবং আশেপাশের বিশ্বের পাঠগুলিতে বন্য এবং উদ্যান উদ্ভিদের বিষয় অধ্যয়নের জন্য উপযুক্ত।
বিন্দু পণ্য ক খ দুটি ননজারো ভেক্টর ক এবং খ এগুলি ভেক্টরগুলির দৈর্ঘ্যের মানের সমান একটি সংখ্যা যা তাদের মধ্যবর্তী কোণের কোসাইন দ্বারা তৈরি করা হয়। যদি এই ভেক্টরের কমপক্ষে একটি শূন্যের সমান হয় তবে স্কেলারের পণ্যটি শূন্যের সমান। সুতরাং, সংজ্ঞা দ্বারা, আমরা আছে
যেখানে ve ভেক্টরগুলির মধ্যে কোণ ক এবং খ .
ভেক্টরগুলির বিন্দু পণ্য ক , খ প্রতীক দ্বারা নির্দেশিত আব .
ডট পণ্যটির চিহ্নটি মান দ্বারা নির্ধারিত হয়:
যদি 0 
তারপর ক
খ
0,
যদি 
, তারপর ক
খ
0.
ডট পণ্যটি কেবল দুটি ভেক্টরের জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়।
স্থানাঙ্ক আকারে ভেক্টরগুলিতে অপারেশন
স্থানাঙ্ক পদ্ধতিতে আসা যাক ওহপ্রদত্ত ভেক্টর ক = (এক্স 1 ; y 1) = এক্স 1 i + y 1 j এবং খ = (এক্স 2 ; y 2) = এক্স 2 i + y 2 j .
1. দুটি (বা ততোধিক) ভেক্টরের যোগফলের প্রতিটি সমন্বয় ভেক্টর-সামিমান্ডের সংশ্লিষ্ট স্থানাঙ্কের যোগফলের সমান, অর্থাৎ। ক + খ = = (এক্স 1 + এক্স 2 ; y 1 + y 2).
২. দুটি ভেক্টরের পার্থক্যের প্রতিটি সমন্বয় এই ভেক্টরগুলির সংশ্লিষ্ট স্থানাঙ্কগুলির পার্থক্যের সমান, অর্থাৎ। ক – খ = (এক্স 1 – এক্স 2 ; y 1 – y 2).
৩. কোনও ভেক্টর এবং সংখ্যার প্রতিটি পণ্যের সমন্বয় দ্বারা এই ভেক্টরের সংশ্লিষ্ট স্থানাঙ্কের পণ্যের সমান equal, অর্থাৎ, এবং = ( এক্স 1 ; at 1).
৪. দুটি ভেক্টরের স্কেলার পণ্য এই ভেক্টরগুলির সংশ্লিষ্ট স্থানাঙ্কগুলির অর্থের যোগফলের সমান ie ক খ = এক্স 1 এক্স 2 + + y 1 y 2 .
ফলাফল। ভেক্টরের দৈর্ঘ্য এবং = (এক্স; y) এর স্থানাঙ্কগুলির বর্গের যোগফলের বর্গমূলের সমান, অর্থাৎ।
=
(5)
উদাহরণ 4।
ভেক্টর দেওয়া 
খ
= 3i
– j
.
প্রয়োজনীয়:
1. সন্ধান করুন 
২. ভেক্টরগুলির ডট পণ্যটি সন্ধান করুন থেকে , d .
3. ভেক্টরের দৈর্ঘ্য সন্ধান করুন থেকে .
সিদ্ধান্ত
1. সম্পত্তি 3 দ্বারা, আমরা ভেক্টর 2 এর স্থানাঙ্ক খুঁজে পাই এবং , –এবং , 3খ , 2খ : 2এবং = = 2(–2; 3) = (–4; 6), –এবং = –(–2; 3) = (2; –3), 3খ = 3(3; –1) = (9; –3), 2খ = = 2(3; –1) = = (6; –2).
বৈশিষ্ট্য 2, 1 দ্বারা, আমরা ভেক্টরগুলির স্থানাঙ্কগুলি খুঁজে পাই থেকে , d : থেকে = 2ক – 3খ = = (–4; 6) – (9; –3) = (–13; 9), d = –ক + 2খ = (2; –3) + (6; –2) = (8; –5).
2. সম্পত্তি দ্বারা 4 সিডি = –13 8 + 9 (–5) = –104 – 45 = –149.
৩. সম্পত্তি 4 ol |
থেকে
|
=
=
.
পরীক্ষা 3 . ভেক্টর স্থানাঙ্ক নির্ধারণ করুন এবং + খ , যদি একটি এবং = (–3; 4), খ = = (5; –2):
পরীক্ষা 4। ভেক্টর স্থানাঙ্ক নির্ধারণ করুন এবং – খ , যদি একটি এবং = (2; –1), খ = = (3; –4):
পরীক্ষা 5 . ভেক্টর 3 এর স্থানাঙ্ক খুঁজুন এবং , যদি একটি এবং = (2; –1):
পরীক্ষা 6 . বিন্দু পণ্য সন্ধান করুন ক , খ ভেক্টর এবং = (1; –4), খ = (–2; 3):
পরীক্ষা 7 . কোনও ভেক্টরের দৈর্ঘ্য সন্ধান করুন এবং = (–12; 5):
3) 
;
কার্য পরীক্ষা করার উত্তর
1.3। মহাকাশে বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতির উপাদান
মহাকাশে একটি আয়তক্ষেত্রাকার সমন্বয় ব্যবস্থাটি তিনটি পারস্পরিক লম্ব লম্ব কর্ডিনেট অক্ষের সমন্বয়ে গঠিত হয়, একই বিন্দুটিকে ছেদ করে (উত্স 0) এবং একটি দিক থাকে, পাশাপাশি প্রতিটি অক্ষের সাথে স্কেল ইউনিট থাকে (চিত্র 17)।
চিত্র 17
পয়েন্ট অবস্থান এম বিমানে তিনটি সংখ্যা দ্বারা অনন্যভাবে নির্ধারিত হয় - এর স্থানাঙ্কগুলি এম(এক্স টি ; at টি ; z টি), কোথায় এক্স টি - অ্যাবসিসা, at টি - নির্ধারণ, z টি - আবেদন।
তাদের প্রতিটি বিন্দু থেকে একটি দূরত্ব দেয় এম এই সমতলটির কোন দিকে পয়েন্টটি অবস্থিত তা বিবেচনা করে এমন একটি চিহ্ন সহ স্থানাঙ্কী বিমানগুলির মধ্যে একটি: এটি তৃতীয় অক্ষের ধনাত্মক বা নেতিবাচক দিকের দিকে নেওয়া হয় কিনা।
তিনটি সমন্বিত প্লেন স্থানটিকে 8 টি ভাগে ভাগ করে (অক্টেন্টস)।
দুটি পয়েন্টের মধ্যে দূরত্ব ক(এক্স এবং ; at এবং ; z এবং) এবং খ(এক্স ভিতরে ; at ভিতরে ; z ভিতরে) সূত্র দ্বারা গণনা করা হয়
দেওয়া পয়েন্ট ক(এক্স 1 ;
at 1 ;
z 1) এবং খ(এক্স 2 ;
at 2 ;
z 2)। তারপরে বিন্দুর স্থানাঙ্ক থেকে(এক্স;
at;
z) বিভাগটি বিভক্ত করা হচ্ছে 
সম্পর্কিত, নিম্নলিখিত সূত্র দ্বারা প্রকাশ করা হয়:
উদাহরণ 1 . দূরত্ব সন্ধান করুন এবি, যদি একটি এবং(3; 2; –10) এবং ভিতরে(–1; 4; –5).
সিদ্ধান্ত
দূরত্ব এবি সূত্র দ্বারা গণনা করা
সমস্ত পয়েন্টগুলির সমষ্টি যাগুলির স্থানাঙ্কগুলি তিনটি ভেরিয়েবলগুলির সাথে সমীকরণটি পূরণ করে একটি নির্দিষ্ট পৃষ্ঠকে তৈরি করে।
বিন্দুগুলির সেট, যে সমন্বয়গুলি দুটি সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে, একটি নির্দিষ্ট রেখা গঠন করে - এটি দুটি পৃষ্ঠের ছেদ করার রেখা।
প্রথম ডিগ্রির যে কোনও সমীকরণ একটি বিমানকে প্রতিনিধিত্ব করে এবং বিপরীতে, কোনও ডিগ্রি প্রথম ডিগ্রির সমীকরণ দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে।
বিকল্পগুলি ক, খ, সি বিমানের স্বাভাবিক ভেক্টরের লম্বের স্থানাঙ্ক, যথা এন = (ক; খ; গ).
বিভাগগুলিতে বিমানের সমীকরণটি অক্ষগুলিতে কাটা: ক - অক্ষ বরাবর এক্স,
খ - অক্ষ বরাবর ও,
থেকে - অক্ষ বরাবর ОZ:
দুটি প্লেন দেওয়া হোক ক 1 এক্স + খ 1 y + গ 1 z + ডি 1 = 0, ক 2 এক্স + খ 2 y + গ 2 z + + ডি 2 = 0.
বিমানের সমান্তরাল অবস্থা: 
.
বিমানের দৈর্ঘ্যের অবস্থা:
বিমানগুলির মধ্যে কোণটি নিম্নলিখিত সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয়:
.
বিমানটি পয়েন্টগুলির মধ্য দিয়ে যেতে দিন এম 1 (এক্স 1 ; y 1 ; z 1), এম 2 (এক্স 2 ; y 2 ; z 2), এম 3 (এক্স 3 ; y 3 ; z 3).
তার সমীকরণটির রূপটি রয়েছে:
বিন্দু থেকে দূরত্ব এম 0 (এক্স 0 ; y 0 ; z 0) বিমানে অক্ষ + দ্বারা + সিজেড + ডি \u003d 0 সূত্র দ্বারা পাওয়া যায়
.
পরীক্ষা 1।
প্লেন 
বিন্দু দিয়ে যায়:
1) ক(–1; 6; 3);
2) খ(3; –2; –5);
3) গ(0; 4; –1);
4) ডি(2; 0; 5).
পরীক্ষা 2 . বিমান সমীকরণ YXY নিম্নলিখিত:
1) z = 0;
2) এক্স = 0;
3) y = 0.
উদাহরণ 2 . বিমানের সমান্তরাল সমতলের সমীকরণটি লেখো YXY এবং বিন্দুটি দিয়ে যাচ্ছেন (2; –5; 3)।
সিদ্ধান্ত
যেহেতু বিমানটি সমতল সমান্তরাল YXYএর সমীকরণের রূপ রয়েছে has সিজেড + ডি \u003d 0 (ভেক্টর) = (0; 0; থেকে) উহুওয়াই).
যেহেতু প্লেনটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায় (2; –5; 3), তারপরে গ 3 + ডি \u003d 0 বা হিসাবে ডি = –3গ.
এইভাবে, সিজেড – 3গ \u003d 0. যেহেতু থেকে ≠ 0, তারপর z – 3 = 0.
উত্তর: z – 3 = 0.
পরীক্ষা 3 . উত্স এবং ভেক্টরের লম্ব লম্বা হয়ে বিমানের সমীকরণের আকার রয়েছে (3; –1; –4):
1)
2)
3)
4)
পরীক্ষা 4
.
অক্ষ বরাবর কাটা লাইনের মান ও প্লেন 
সমান:
উদাহরণ 3 . বিমানের সমীকরণটি লিখুন:
1. সমান্তরাল বিমান 
এবং বিন্দু দিয়ে যেতে ক(2;
0; –1).
2. লম্ব বিমান 
এবং বিন্দু দিয়ে যেতে খ(0;
2; 0).
সিদ্ধান্ত
প্লেনের সমীকরণগুলি আকারে অনুসন্ধান করা হবে ক 1 এক্স + খ 1 y + গ 1 z + ডি 1 = 0.
1. যেহেতু বিমানগুলি সমান্তরাল, তাই 
এখান থেকে ক= 3টি,খ= –টি,গ= 2টিকোথায় টিআর... হতে দিন টি\u003d 1. তারপর ক
= 3, খ =
–1, গ \u003d 2. সুতরাং সমীকরণটি রূপ নেয় form 
পয়েন্ট স্থানাঙ্ক এবংসমতলে অন্তর্ভুক্ত সমীকরণটিকে সত্য সমতায় পরিণত করে। অতএব, 32 - 10 + 2 (–1) + ডি\u003d 0. কোথা থেকে ডি= 4.
উত্তর: 
২. যেহেতু প্লেনগুলি লম্ব, তাই 3 ক – 1 খ + 2 গ = 0.
যেহেতু তিনটি ভেরিয়েবল রয়েছে এবং সমীকরণটি এক, দুটি ভেরিয়েবল একযোগে শূন্যের সমান নয় নির্বিচার মানগুলি গ্রহণ করে। হতে দিন ক
= 1, খ \u003d 3. তারপর গ\u003d 0. সমীকরণটি রূপ নেয় 
ডি= –6.
উত্তর: 
পরীক্ষা 5 . সমতল সমান্তরাল বিমান চয়ন করুন এক্স – 2y + 7z – 2 = 0:
1)
4)
পরীক্ষা 6 . প্লেনে বিমানের লম্ব বাছাই করুন এক্স– 2y+ + 6z– 2 = 0:
1)
4)
পরীক্ষা 7 . বিমানের মধ্যে কোণের কোসিন 3 এক্স + y – z - 1 \u003d 0 এবং এক্স – 4y – – 5z + 3 \u003d 0 সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয়:
1)
2)
3)
পরীক্ষা 8 . বিন্দু থেকে দূরত্ব (3; 1; –1) সমতল 3 এক্স – y + 5z সূত্র দ্বারা + 1 \u003d 0 নির্ধারিত হয়:
1)
2)
এই পরীক্ষাটি ইন্টারমিডিয়েট, সাধারণীকরণ বা শিক্ষার্থীদের জ্ঞানের চূড়ান্ত নিয়ন্ত্রণের শ্রেণিকক্ষে ব্যবহার করা যেতে পারে। পরীক্ষাটি সঠিকভাবে কাজ করার জন্য আপনাকে অবশ্যই একটি নিম্ন সুরক্ষা স্তর নির্ধারণ করতে হবে (পরিষেবা-ম্যাক্রো-সুরক্ষা)
ডাউনলোড:
পূর্বরূপ:
উপস্থাপনাগুলির পূর্বরূপ ব্যবহার করতে, নিজেকে একটি Google অ্যাকাউন্ট (অ্যাকাউন্ট) তৈরি করুন এবং এতে লগ ইন করুন: https://accounts.google.com
স্লাইড ক্যাপশন:
বিকল্প 1 বিকল্প 2 আমরা পাওয়ারপয়েন্ট এমসিইউ "পোগোরেল মাধ্যমিক বিদ্যালয়" এমএম কোসচেয়েভ পরীক্ষার জন্য টেম্পলেট ব্যবহার করেছি
পরীক্ষার ফলাফল সঠিক: 14 টি ত্রুটি: 0 চিহ্ন: 5 সময়: 3 মিনিট 29 সেকেন্ড এখনও ঠিক
বিকল্প 1 খ) 360 ° ক) 180 ° সি) 246 ° ডি) 274 ° ই) 454 °
বিকল্প 1 গ) 22 ক) -22 খ) 0 ঘ) 8 ই) 1
বিকল্প 1 ই) 5 ডি) 0 ক) 7
বিকল্প 1 খ) খাঁটি ই) বিদ্যমান নেই, যেহেতু তাদের উত্সগুলি একত্রিত হয় না) গ) 0 ° ডি) তীব্র ক) সরাসরি
বিকল্প 1 খ) 10.5 ই) না এ) -10.5
বিকল্প 1 ক) -10.5 খ) 10.5 ই) কোনও পরিস্থিতিতে নয়
বিকল্প 1 ই) 0 খ) ক) -6 ডি) 4 গ) 6 নির্ধারণ করা অসম্ভব
বিকল্প 1 খ) 28 ই) নির্ধারণ করা অসম্ভব ক) 70 ডি) -45.5 গ) 91
বিকল্প 1 9. ত্রিভুজের উভয় দিক 16 এবং 5 এবং তাদের মধ্যে কোণটি 120 120 হয় ° নির্দিষ্ট অন্তরগুলির মধ্যে কোনটি তৃতীয় পক্ষের দৈর্ঘ্যের সাথে সম্পর্কিত? d) e) (19; 31] a) (0; 7] খ) (7; 11] গ) ক) (0; 7] খ) (7; 11] d)
বিকল্প 1 13. ত্রিভুজটি এবিসি সম্পর্কে বৃত্তের ব্যাসার্ধটি 0.5 হয়। এসি পাশের দৈর্ঘ্যের কোণ কোণ বি এর সাইন এর অনুপাত খুঁজুন। e) 1 গ) 1, 3 এ) 0.5 ডি) 2
বিকল্প 1 14. একটি ত্রিভুজ এবিসিতে, খ্রিস্টপূর্ব এবং AB এর বাহুগুলির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 5 এবং 7 হয় এবং
বিকল্প 2 গ) 360 ° ক) 180 ° খ) 246 ° ডি) 274 ° ই) 454 °
বিকল্প 2 ই) 22 ক) -22 খ) 0 ঘ) 8 গ) 4
বিকল্প 2 ক) 10 ডি) 17 ই) 15
বিকল্প 2 গ) 0 ° ই এর সমান) অস্তিত্ব নেই, যেহেতু তাদের উত্সগুলি একত্রিত হয় না) গোঁজ ঘ) তীব্র ক) সরাসরি
বিকল্প 2 খ) 10.5 ই) না এ) -10.5
বিকল্প 2 ক) - 10.5 ই) বিনা গ) 10.5
বিকল্প 2 d) 0 খ) ক) -6 ই) 4 গ) 6 নির্ধারণ করা অসম্ভব
বিকল্প 2 ক) 70 ই) নির্ধারণ করা অসম্ভব খ) 28 ঘ) -45.5 গ) 91
বিকল্প 2 9. ত্রিভুজের উভয় দিক 12 এবং 7 এবং তাদের মধ্যে কোণ 60 ° হয় ° নির্দিষ্ট অন্তরগুলির মধ্যে কোনটি তৃতীয় পক্ষের দৈর্ঘ্যের সাথে সম্পর্কিত? e) (7; 11) d) (19; 31] ক) (0; 7] খ) গ) ই) (19; 31] সি)
বিকল্প 2 13. ত্রিভুজটি এবিসি সম্পর্কে বৃত্তের ব্যাসার্ধটি 2 সমান। এসি পাশের দৈর্ঘ্যের কোণ কোণ বি এর সাইন এর অনুপাত খুঁজুন। ক) 0.25 গ) 1, 3 ই) 1 ঘ) 2
বিকল্প 2 14. একটি ত্রিভুজ এবিসিতে, এসি এবং এবি পাশের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 9 এবং 7 হয় এবং
পরীক্ষার কীগুলি: "ভেক্টরগুলির বিন্দু পণ্য। ত্রিভুজ উপপাদ্য "। বিকল্প 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Repl। বি সি ই বি সি সি ই ই ডি ডি সি সি ই ডি 2 বিকল্প 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ওটিভি। সি ডি এ সি ডি বি ডি ডি ডি সি সি ডি ডি সাহিত্য এল.আই. জাভাভিচ, ই, ভি। পোটোস্কেভ জ্যামিতি এলএসএসের পাঠ্যপুস্তকে গ্রেড 9 ম পরীক্ষা করে আতানসায়ান এট এম। এম .: "পরীক্ষা" প্রকাশের ঘর 2013 - 128 পি।
