সাইন কোসাইন ট্যানজেন্ট কোট্যাঞ্জেন্ট ত্রিকোণমিতির মানের সারণী
0, 30, 45, 60, 90, ... ডিগ্রী কোণের জন্য মৌলিক ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের সারণী
$\sin$, $\cos$, $\tan$ এবং $\cot$ ফাংশনের ত্রিকোণমিতিক সংজ্ঞা থেকে, আপনি $0$ এবং $90$ ডিগ্রি কোণগুলির জন্য তাদের মানগুলি খুঁজে পেতে পারেন:
$\sin0°=0$, $\cos0°=1$, $\tan 0°=0$, $\cot 0°$ সংজ্ঞায়িত নয়;
$\sin90°=1$, $\cos90°=0$, $\cot90°=0$, $\tan 90°$ নির্ধারণ করা হয় না।
স্কুলের জ্যামিতি কোর্সে, সমকোণী ত্রিভুজ অধ্যয়ন করার সময়, কেউ $0°$, $30°$, $45°$, $60°$ এবং $90°$ কোণের ত্রিকোণমিতিক ফাংশন খুঁজে পায়।
ডিগ্রী এবং রেডিয়ানে নির্দেশিত কোণগুলির জন্য ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের মান পাওয়া গেছে, যথাক্রমে ($0$, $\frac(\pi)(6)$, $\frac(\pi)(4)$, $\frac(\) pi)(3) $, $\frac(\pi)(2)$) মুখস্থ করা এবং ব্যবহারের সুবিধার জন্য একটি টেবিলে প্রবেশ করানো হয় ত্রিকোণমিতিক টেবিল, ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের মৌলিক মানের সারণীএবং তাই
হ্রাস সূত্র ব্যবহার করার সময়, ত্রিকোণমিতিক টেবিলটি $360°$ কোণে প্রসারিত করা যেতে পারে এবং সেই অনুযায়ী, $2\pi$ রেডিয়ান:
ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলির পর্যায়ক্রমিক বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করে, প্রতিটি কোণ, যা ইতিমধ্যে পরিচিত একটি থেকে $360°$ দ্বারা পৃথক হবে, একটি সারণীতে গণনা এবং রেকর্ড করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, কোণের জন্য ত্রিকোণমিতিক ফাংশন $0°+ কোণের জন্য একই মান হবে $0°+360°$, এবং কোণের জন্য $0°+2 \cdot 360°$, এবং কোণের জন্য $0°+3 \cdot 360°$ এবং ইত্যাদি.
একটি ত্রিকোণমিতিক টেবিল ব্যবহার করে, আপনি একটি ইউনিট বৃত্তের সমস্ত কোণের মান নির্ধারণ করতে পারেন।
একটি স্কুল জ্যামিতি কোর্সে, আপনাকে ত্রিকোণমিতিক সমস্যা সমাধানের সুবিধার জন্য একটি ত্রিকোণমিতিক সারণীতে সংগৃহীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের মৌলিক মানগুলি মুখস্ত করতে হবে।
একটি টেবিল ব্যবহার করে
সারণীতে, প্রয়োজনীয় ত্রিকোণমিতিক ফাংশন এবং কোণ বা রেডিয়ানের মান খুঁজে বের করার জন্য এটি যথেষ্ট যার জন্য এই ফাংশনটি গণনা করা প্রয়োজন। ফাংশন সহ সারি এবং মান সহ কলামের সংযোগস্থলে, আমরা প্রদত্ত আর্গুমেন্টের ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের পছন্দসই মান পাই।
চিত্রে আপনি দেখতে পাচ্ছেন কিভাবে $\cos60°$ এর মান বের করা যায়, যা $\frac(1)(2)$ এর সমান।
বর্ধিত ত্রিকোণমিতিক টেবিল একই ভাবে ব্যবহৃত হয়। এটি ব্যবহার করার সুবিধা হল, ইতিমধ্যে উল্লিখিত হিসাবে, প্রায় যেকোনো কোণের ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের গণনা। উদাহরণস্বরূপ, আপনি সহজেই $\tan 1 380°=\tan (1 380°-360°)=\tan(1 020°-360°)=\tan(660°-360°)=\tan300 মান সহজেই খুঁজে পেতে পারেন °$:
মৌলিক ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের ব্র্যাডিস টেবিল
ডিগ্রীর একটি পূর্ণসংখ্যা মানের জন্য এবং মিনিটের একটি পূর্ণসংখ্যা মানের জন্য একেবারে যেকোন কোণ মানের ত্রিকোণমিতিক ফাংশন গণনা করার ক্ষমতা ব্র্যাডিস টেবিল ব্যবহার করে প্রদান করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, $\cos34°7"$-এর মান খুঁজুন। টেবিলগুলিকে 2টি ভাগে ভাগ করা হয়েছে: $\sin$ এবং $\cos$-এর মানগুলির একটি টেবিল এবং $ এর মানগুলির একটি টেবিল \tan$ এবং $\cot$।
ব্র্যাডিস টেবিলগুলি 4 দশমিক স্থান পর্যন্ত নির্ভুলতার সাথে ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের আনুমানিক মান প্রাপ্ত করা সম্ভব করে।
Bradis টেবিল ব্যবহার করে
সাইনের জন্য ব্র্যাডিস টেবিল ব্যবহার করে, আমরা $\sin17°42"$ খুঁজে পাই। এটি করার জন্য, সাইন এবং কোসাইনগুলির টেবিলের বাম কলামে আমরা ডিগ্রির মান খুঁজে পাই - $17°$, এবং উপরের লাইনে আমরা মিনিটের মান খুঁজে পাই - $42"$। তাদের সংযোগস্থলে আমরা পছন্দসই মান পাই:
$\sin17°42"=0.304$।
$\sin17°44"$ মান খুঁজে পেতে আপনাকে টেবিলের ডানদিকে সংশোধন ব্যবহার করতে হবে। এই ক্ষেত্রে, টেবিলে থাকা $42"$ মানটিতে, আপনাকে $2-এর জন্য একটি সংশোধন যোগ করতে হবে। "$, যা $0.0006$ এর সমান। আমরা পাই:
$\sin17°44"=0.304+0.0006=0.3046$।
$\sin17°47"$ মান খুঁজে পেতে আমরা টেবিলের ডানদিকে সংশোধনও ব্যবহার করি, শুধুমাত্র এই ক্ষেত্রে আমরা $\sin17°48"$ মানটিকে ভিত্তি হিসাবে গ্রহণ করি এবং $1"$-এর জন্য সংশোধন বিয়োগ করি। :
$\sin17°47"=0.3057-0.0003=0.3054$।
কোসাইন গণনা করার সময়, আমরা অনুরূপ ক্রিয়া সম্পাদন করি, তবে আমরা ডান কলামে ডিগ্রী এবং টেবিলের নীচের কলামে মিনিটগুলি দেখি। উদাহরণস্বরূপ, $\cos20°=0.9397$।
$90°$ পর্যন্ত স্পর্শক মান এবং ছোট কোণ কোট্যাঞ্জেন্টের জন্য কোনো সংশোধন নেই। উদাহরণস্বরূপ, আসুন $\tan 78°37"$ খুঁজে বের করি, যা টেবিল অনুসারে $4.967$ এর সমান।
সাইন (sin), cosines (cos), স্পর্শক (tg), cotangents (ctg) এর মানের সারণী হল একটি শক্তিশালী এবং দরকারী টুল যা তাত্ত্বিক এবং প্রয়োগ উভয় সমস্যা সমাধানে সাহায্য করে। এই নিবন্ধে আমরা 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 ডিগ্রি (0, π 6, π 3, π) কোণের জন্য মৌলিক ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলির (সাইন, কোসাইন, স্পর্শক এবং কোট্যানজেন্ট) একটি টেবিল প্রদান করব। 2,... , 2 π রেডিয়ান)। সাইন এবং কোসাইন, স্পর্শক এবং কোট্যানজেন্টগুলির জন্য পৃথক ব্র্যাডিস টেবিলগুলিও দেখানো হবে, মৌলিক ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের মানগুলি খুঁজে পেতে কীভাবে সেগুলি ব্যবহার করতে হয় তার ব্যাখ্যা সহ।
0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 ডিগ্রি কোণের জন্য মৌলিক ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের সারণী
সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট এবং কোট্যাঞ্জেন্টের সংজ্ঞার উপর ভিত্তি করে, আপনি 0 এবং 90 ডিগ্রি কোণের জন্য এই ফাংশনগুলির মানগুলি খুঁজে পেতে পারেন
sin 0 = 0, cos 0 = 1, t g 0 = 0, শূন্য কোট্যানজেন্ট সংজ্ঞায়িত করা হয়নি,
sin 90° = 1, cos 90° = 0, c t g 90° = 0, নব্বই ডিগ্রির স্পর্শক সংজ্ঞায়িত করা হয়নি।
জ্যামিতি কোর্সে সাইন, কোসাইন, স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্টের মানগুলিকে একটি সমকোণী ত্রিভুজের বাহুর অনুপাত হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, যার কোণগুলি 30, 60 এবং 90 ডিগ্রি এবং এছাড়াও 45, 45 এবং 90 ডিগ্রি।
সমকোণী ত্রিভুজে একটি তীব্র কোণের জন্য ত্রিকোণমিতিক ফাংশন সংজ্ঞায়িত করা
সাইনাস- কর্ণের বিপরীত বাহুর অনুপাত।
কোসাইন- কর্ণের সংলগ্ন পায়ের অনুপাত।
স্পর্শক- সংলগ্ন দিকের বিপরীত দিকের অনুপাত।
কোট্যাঞ্জেন্ট- বিপরীত দিকের সংলগ্ন পাশের অনুপাত।
সংজ্ঞা অনুসারে, ফাংশনগুলির মানগুলি পাওয়া যায়:
sin 30 ° = 1 2 , cos 30 ° = 3 2 , t g 30 ° = 3 3 , c t g 30 ° = 3 , sin 45 ° = 2 2 , cos 45 ° = 2 2 , t g 45 ° = t 45 ° = 1 , = 1, sin 60° = 3 2, cos 45° = 1 2, tg 45° = 3, c tg 45° = 3 3।
আসুন এই মানগুলিকে একটি টেবিলে রাখি এবং এটিকে সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট এবং কোট্যাঞ্জেন্টের মৌলিক মানের একটি সারণী বলি।
α ° | 0 | 30 | 45 | 60 | 90 |
পাপ α | 0 | 1 2 | 2 2 | 3 2 | 1 |
cos α | 1 | 3 2 | 2 2 | 1 2 | 0 |
t g α | 0 | 3 3 | 1 | 3 | অনির্ধারিত |
c t g α | অনির্ধারিত | 3 | 1 | 3 3 | 0 |
α, r a d i a n | 0 | π 6 | π 4 | π 3 | π 2 |
ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের একটি গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য হল পর্যায়ক্রমিকতা। এই সম্পত্তির উপর ভিত্তি করে, এই টেবিলটি হ্রাস সূত্র ব্যবহার করে প্রসারিত করা যেতে পারে। নীচে আমরা 0, 30, 60, ... , 120, 135, 150, 180, ... , 360 ডিগ্রি (0, π 6, π 3) কোণগুলির জন্য প্রধান ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলির মানের একটি বর্ধিত সারণী উপস্থাপন করছি , π 2, ... , 2 π রেডিয়ান)।
α ° | 0 | 30 | 45 | 60 | 90 | 120 | 135 | 150 | 180 | 210 | 225 | 240 | 270 | 300 | 315 | 330 | 360 |
পাপ α | 0 | 1 2 | 2 2 | 3 2 | 1 | 3 2 | 2 2 | 1 2 | 0 | - 1 2 | - 2 2 | - 3 2 | - 1 | - 3 2 | - 2 2 | - 1 2 | 0 |
cos α | 1 | 3 2 | 2 2 | 1 2 | 0 | - 1 2 | - 2 2 | - 3 2 | - 1 | - 3 2 | - 2 2 | - 1 2 | 0 | 1 2 | 2 2 | 3 2 | 1 |
t g α | 0 | 3 3 | 1 | 3 | - | - 1 | - 3 3 | 0 | 0 | 3 3 | 1 | 3 | - | - 3 | - 1 | 0 | |
c t g α | - | 3 | 1 | 3 3 | 0 | - 3 3 | - 1 | - 3 | - | 3 | 1 | 3 3 | 0 | - 3 3 | - 1 | - 3 | - |
α, r a d i a n | 0 | π 6 | π 4 | π 3 | π 2 | 2 π 3 | 3 π 4 | 5 π 6 | π | 7 π 6 | 5 π 4 | 4 π 3 | 3 π 2 | 5 π 3 | 7 π 4 | 11 π 6 | 2π |
সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট এবং কোট্যাঞ্জেন্টের পর্যায়ক্রম আপনাকে এই সারণীটিকে নির্বিচারে বড় কোণের মানগুলিতে প্রসারিত করতে দেয়। সারণীতে সংগৃহীত মানগুলি প্রায়শই সমস্যাগুলি সমাধান করার সময় ব্যবহৃত হয়, তাই সেগুলি মুখস্থ করার পরামর্শ দেওয়া হয়।
ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের মৌলিক মানের টেবিলটি কীভাবে ব্যবহার করবেন
সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট এবং কোট্যাঞ্জেন্টের মানের সারণী ব্যবহারের নীতিটি একটি স্বজ্ঞাত স্তরে স্পষ্ট। একটি সারি এবং একটি কলামের ছেদ একটি নির্দিষ্ট কোণের জন্য ফাংশনের মান দেয়।
উদাহরণ। সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট এবং কোট্যাঞ্জেন্টের টেবিলটি কীভাবে ব্যবহার করবেন
আমাদের খুঁজে বের করতে হবে কোন পাপ 7 π 6 এর সমান
আমরা টেবিলে একটি কলাম খুঁজে পাই যার শেষ কক্ষের মান হল 7 π 6 রেডিয়ান - 210 ডিগ্রির সমান। তারপরে আমরা টেবিলের শব্দটি নির্বাচন করি যেখানে সাইনের মানগুলি উপস্থাপন করা হয়েছে। সারি এবং কলামের সংযোগস্থলে আমরা পছন্দসই মানটি খুঁজে পাই:
sin 7 π 6 = - 1 2
ব্র্যাডিস টেবিল
ব্রাডিস টেবিল আপনাকে কম্পিউটার প্রযুক্তির ব্যবহার ছাড়াই 4 দশমিক স্থানের নির্ভুলতার সাথে সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট বা কোট্যানজেন্টের মান গণনা করতে দেয়। এটি একটি ইঞ্জিনিয়ারিং ক্যালকুলেটরের এক ধরণের প্রতিস্থাপন।
রেফারেন্স
ভ্লাদিমির মোডেস্টোভিচ ব্র্যাডিস (1890 - 1975) - সোভিয়েত গণিতবিদ-শিক্ষক, 1954 সাল থেকে ইউএসএসআর-এর একাডেমি অফ পেডাগোজিকাল সায়েন্সের সংশ্লিষ্ট সদস্য। ব্র্যাডিস দ্বারা বিকশিত চার-অঙ্কের লগারিদম এবং প্রাকৃতিক ত্রিকোণমিতিক পরিমাণের সারণীগুলি প্রথম 1921 সালে প্রকাশিত হয়েছিল।
প্রথমত, আমরা সাইন এবং কোসাইনগুলির জন্য ব্র্যাডিস টেবিল উপস্থাপন করি। এটি আপনাকে ডিগ্রী এবং মিনিটের পূর্ণসংখ্যাযুক্ত কোণগুলির জন্য এই ফাংশনগুলির আনুমানিক মানগুলি বেশ সঠিকভাবে গণনা করতে দেয়। টেবিলের বাম কলাম ডিগ্রী প্রতিনিধিত্ব করে, এবং উপরের সারি মিনিট প্রতিনিধিত্ব করে। লক্ষ্য করুন যে ব্র্যাডিস টেবিলের সমস্ত কোণের মান ছয় মিনিটের গুণিতক।
সাইন এবং কোসাইনগুলির জন্য ব্র্যাডিস টেবিল
পাপ | 0" | 6" | 12" | 18" | 24" | 30" | 36" | 42" | 48" | 54" | 60" | কারণ | 1" | 2" | 3" |
0.0000 | 90° | ||||||||||||||
0° | 0.0000 | 0017 | 0035 | 0052 | 0070 | 0087 | 0105 | 0122 | 0140 | 0157 | 0175 | 89° | 3 | 6 | 9 |
1° | 0175 | 0192 | 0209 | 0227 | 0244 | 0262 | 0279 | 0297 | 0314 | 0332 | 0349 | 88° | 3 | 6 | 9 |
2° | 0349 | 0366 | 0384 | 0401 | 0419 | 0436 | 0454 | 0471 | 0488 | 0506 | 0523 | 87° | 3 | 6 | 9 |
3° | 0523 | 0541 | 0558 | 0576 | 0593 | 0610 | 0628 | 0645 | 0663 | 0680 | 0698 | 86° | 3 | 6 | 9 |
4° | 0698 | 0715 | 0732 | 0750 | 0767 | 0785 | 0802 | 0819 | 0837 | 0854 | 0.0872 | 85° | 3 | 6 | 9 |
5° | 0.0872 | 0889 | 0906 | 0924 | 0941 | 0958 | 0976 | 0993 | 1011 | 1028 | 1045 | 84° | 3 | 6 | 9 |
6° | 1045 | 1063 | 1080 | 1097 | 1115 | 1132 | 1149 | 1167 | 1184 | 1201 | 1219 | 83° | 3 | 6 | 9 |
7° | 1219 | 1236 | 1253 | 1271 | 1288 | 1305 | 1323 | 1340 | 1357 | 1374 | 1392 | 82° | 3 | 6 | 9 |
8° | 1392 | 1409 | 1426 | 1444 | 1461 | 1478 | 1495 | 1513 | 1530 | 1547 | 1564 | 81° | 3 | 6 | 9 |
9° | 1564 | 1582 | 1599 | 1616 | 1633 | 1650 | 1668 | 1685 | 1702 | 1719 | 0.1736 | 80° | 3 | 6 | 9 |
10° | 0.1736 | 1754 | 1771 | 1788 | 1805 | 1822 | 1840 | 1857 | 1874 | 1891 | 1908 | 79° | 3 | 6 | 9 |
11° | 1908 | 1925 | 1942 | 1959 | 1977 | 1994 | 2011 | 2028 | 2045 | 2062 | 2079 | 78° | 3 | 6 | 9 |
12° | 2079 | 2096 | 2113 | 2130 | 2147 | 2164 | 2181 | 2198 | 2215 | 2233 | 2250 | 77° | 3 | 6 | 9 |
13° | 2250 | 2267 | 2284 | 2300 | 2317 | 2334 | 2351 | 2368 | 2385 | 2402 | 2419 | 76° | 3 | 6 | 8 |
14° | 2419 | 2436 | 2453 | 2470 | 2487 | 2504 | 2521 | 2538 | 2554 | 2571 | 0.2588 | 75° | 3 | 6 | 8 |
15° | 0.2588 | 2605 | 2622 | 2639 | 2656 | 2672 | 2689 | 2706 | 2723 | 2740 | 2756 | 74° | 3 | 6 | 8 |
16° | 2756 | 2773 | 2790 | 2807 | 2823 | 2840 | 2857 | 2874 | 2890 | 2907 | 2924 | 73° | 3 | 6 | 8 |
17° | 2924 | 2940 | 2957 | 2974 | 2990 | 3007 | 3024 | 3040 | 3057 | 3074 | 3090 | 72° | 3 | 6 | 8 |
18° | 3090 | 3107 | 3123 | 3140 | 3156 | 3173 | 3190 | 3206 | 3223 | 3239 | 3256 | 71° | 3 | 6 | 8 |
19° | 3256 | 3272 | 3289 | 3305 | 3322 | 3338 | 3355 | 3371 | 3387 | 3404 | 0.3420 | 70° | 3 | 5 | 8 |
20° | 0.3420 | 3437 | 3453 | 3469 | 3486 | 3502 | 3518 | 3535 | 3551 | 3567 | 3584 | 69° | 3 | 5 | 8 |
21° | 3584 | 3600 | 3616 | 3633 | 3649 | 3665 | 3681 | 3697 | 3714 | 3730 | 3746 | 68° | 3 | 5 | 8 |
22° | 3746 | 3762 | 3778 | 3795 | 3811 | 3827 | 3843 | 3859 | 3875 | 3891 | 3907 | 67° | 3 | 5 | 8 |
23° | 3907 | 3923 | 3939 | 3955 | 3971 | 3987 | 4003 | 4019 | 4035 | 4051 | 4067 | 66° | 3 | 5 | 8 |
24° | 4067 | 4083 | 4099 | 4115 | 4131 | 4147 | 4163 | 4179 | 4195 | 4210 | 0.4226 | 65° | 3 | 5 | 8 |
25° | 0.4226 | 4242 | 4258 | 4274 | 4289 | 4305 | 4321 | 4337 | 4352 | 4368 | 4384 | 64° | 3 | 5 | 8 |
26° | 4384 | 4399 | 4415 | 4431 | 4446 | 4462 | 4478 | 4493 | 4509 | 4524 | 4540 | 63° | 3 | 5 | 8 |
27° | 4540 | 4555 | 4571 | 4586 | 4602 | 4617 | 4633 | 4648 | 4664 | 4679 | 4695 | 62° | 3 | 5 | 8 |
28° | 4695 | 4710 | 4726 | 4741 | 4756 | 4772 | 4787 | 4802 | 4818 | 4833 | 4848 | 61° | 3 | 5 | 8 |
29° | 4848 | 4863 | 4879 | 4894 | 4909 | 4924 | 4939 | 4955 | 4970 | 4985 | 0.5000 | 60° | 3 | 5 | 8 |
30° | 0.5000 | 5015 | 5030 | 5045 | 5060 | 5075 | 5090 | 5105 | 5120 | 5135 | 5150 | 59° | 3 | 5 | 8 |
31° | 5150 | 5165 | 5180 | 5195 | 5210 | 5225 | 5240 | 5255 | 5270 | 5284 | 5299 | 58° | 2 | 5 | 7 |
32° | 5299 | 5314 | 5329 | 5344 | 5358 | 5373 | 5388 | 5402 | 5417 | 5432 | 5446 | 57° | 2 | 5 | 7 |
33° | 5446 | 5461 | 5476 | 5490 | 5505 | 5519 | 5534 | 5548 | 5563 | 5577 | 5592 | 56° | 2 | 5 | 7 |
34° | 5592 | 5606 | 5621 | 5635 | 5650 | 5664 | 5678 | 5693 | 5707 | 5721 | 0.5736 | 55° | 2 | 5 | 7 |
35° | 0.5736 | 5750 | 5764 | 5779 | 5793 | 5807 | 5821 | 5835 | 5850 | 5864 | 0.5878 | 54° | 2 | 5 | 7 |
36° | 5878 | 5892 | 5906 | 5920 | 5934 | 5948 | 5962 | 5976 | 5990 | 6004 | 6018 | 53° | 2 | 5 | 7 |
37° | 6018 | 6032 | 6046 | 6060 | 6074 | 6088 | 6101 | 6115 | 6129 | 6143 | 6157 | 52° | 2 | 5 | 7 |
38° | 6157 | 6170 | 6184 | 6198 | 6211 | 6225 | 6239 | 6252 | 6266 | 6280 | 6293 | 51° | 2 | 5 | 7 |
39° | 6293 | 6307 | 6320 | 6334 | 6347 | 6361 | 6374 | 6388 | 6401 | 6414 | 0.6428 | 50° | 2 | 4 | 7 |
40° | 0.6428 | 6441 | 6455 | 6468 | 6481 | 6494 | 6508 | 6521 | 6534 | 6547 | 6561 | 49° | 2 | 4 | 7 |
41° | 6561 | 6574 | 6587 | 6600 | 6613 | 6626 | 6639 | 6652 | 6665 | 6678 | 6691 | 48° | 2 | 4 | 7 |
42° | 6691 | 6704 | 6717 | 6730 | 6743 | 6756 | 6769 | 6782 | 6794 | 6807 | 6820 | 47° | 2 | 4 | 6 |
43° | 6820 | 6833 | 6845 | 6858 | 6871 | 6884 | 6896 | 8909 | 6921 | 6934 | 6947 | 46° | 2 | 4 | 6 |
44° | 6947 | 6959 | 6972 | 6984 | 6997 | 7009 | 7022 | 7034 | 7046 | 7059 | 0.7071 | 45° | 2 | 4 | 6 |
45° | 0.7071 | 7083 | 7096 | 7108 | 7120 | 7133 | 7145 | 7157 | 7169 | 7181 | 7193 | 44° | 2 | 4 | 6 |
46° | 7193 | 7206 | 7218 | 7230 | 7242 | 7254 | 7266 | 7278 | 7290 | 7302 | 7314 | 43° | 2 | 4 | 6 |
47° | 7314 | 7325 | 7337 | 7349 | 7361 | 7373 | 7385 | 7396 | 7408 | 7420 | 7431 | 42° | 2 | 4 | 6 |
48° | 7431 | 7443 | 7455 | 7466 | 7478 | 7490 | 7501 | 7513 | 7524 | 7536 | 7547 | 41° | 2 | 4 | 6 |
49° | 7547 | 7559 | 7570 | 7581 | 7593 | 7604 | 7615 | 7627 | 7638 | 7649 | 0.7660 | 40° | 2 | 4 | 6 |
50° | 0.7660 | 7672 | 7683 | 7694 | 7705 | 7716 | 7727 | 7738 | 7749 | 7760 | 7771 | 39° | 2 | 4 | 6 |
51° | 7771 | 7782 | 7793 | 7804 | 7815 | 7826 | 7837 | 7848 | 7859 | 7869 | 7880 | 38° | 2 | 4 | 5 |
52° | 7880 | 7891 | 7902 | 7912 | 7923 | 7934 | 7944 | 7955 | 7965 | 7976 | 7986 | 37° | 2 | 4 | 5 |
53° | 7986 | 7997 | 8007 | 8018 | 8028 | 8039 | 8049 | 8059 | 8070 | 8080 | 8090 | 36° | 2 | 3 | 5 |
54° | 8090 | 8100 | 8111 | 8121 | 8131 | 8141 | 8151 | 8161 | 8171 | 8181 | 0.8192 | 35° | 2 | 3 | 5 |
55° | 0.8192 | 8202 | 8211 | 8221 | 8231 | 8241 | 8251 | 8261 | 8271 | 8281 | 8290 | 34° | 2 | 3 | 5 |
56° | 8290 | 8300 | 8310 | 8320 | 8329 | 8339 | 8348 | 8358 | 8368 | 8377 | 8387 | 33° | 2 | 3 | 5 |
57° | 8387 | 8396 | 8406 | 8415 | 8425 | 8434 | 8443 | 8453 | 8462 | 8471 | 8480 | 32° | 2 | 3 | 5 |
58° | 8480 | 8490 | 8499 | 8508 | 8517 | 8526 | 8536 | 8545 | 8554 | 8563 | 8572 | 31° | 2 | 3 | 5 |
59° | 8572 | 8581 | 8590 | 8599 | 8607 | 8616 | 8625 | 8634 | 8643 | 8652 | 0.8660 | 30° | 1 | 3 | 4 |
60° | 0.8660 | 8669 | 8678 | 8686 | 8695 | 8704 | 8712 | 8721 | 8729 | 8738 | 8746 | 29° | 1 | 3 | 4 |
61° | 8746 | 8755 | 8763 | 8771 | 8780 | 8788 | 8796 | 8805 | 8813 | 8821 | 8829 | 28° | 1 | 3 | 4 |
62° | 8829 | 8838 | 8846 | 8854 | 8862 | 8870 | 8878 | 8886 | 8894 | 8902 | 8910 | 27° | 1 | 3 | 4 |
63° | 8910 | 8918 | 8926 | 8934 | 8942 | 8949 | 8957 | 8965 | 8973 | 8980 | 8988 | 26° | 1 | 3 | 4 |
64° | 8988 | 8996 | 9003 | 9011 | 9018 | 9026 | 9033 | 9041 | 9048 | 9056 | 0.9063 | 25° | 1 | 3 | 4 |
65° | 0.9063 | 9070 | 9078 | 9085 | 9092 | 9100 | 9107 | 9114 | 9121 | 9128 | 9135 | 24° | 1 | 2 | 4 |
66° | 9135 | 9143 | 9150 | 9157 | 9164 | 9171 | 9178 | 9184 | 9191 | 9198 | 9205 | 23° | 1 | 2 | 3 |
67° | 9205 | 9212 | 9219 | 9225 | 9232 | 9239 | 9245 | 9252 | 9259 | 9256 | 9272 | 22° | 1 | 2 | 3 |
68° | 9272 | 9278 | 9285 | 9291 | 9298 | 9304 | 9311 | 9317 | 9323 | 9330 | 9336 | 21° | 1 | 2 | 3 |
69° | 9336 | 9342 | 9348 | 9354 | 9361 | 9367 | 9373 | 9379 | 9383 | 9391 | 0.9397 | 20° | 1 | 2 | 3 |
70° | 9397 | 9403 | 9409 | 9415 | 9421 | 9426 | 9432 | 9438 | 9444 | 9449 | 0.9455 | 19° | 1 | 2 | 3 |
71° | 9455 | 9461 | 9466 | 9472 | 9478 | 9483 | 9489 | 9494 | 9500 | 9505 | 9511 | 18° | 1 | 2 | 3 |
72° | 9511 | 9516 | 9521 | 9527 | 9532 | 9537 | 9542 | 9548 | 9553 | 9558 | 9563 | 17° | 1 | 2 | 3 |
73° | 9563 | 9568 | 9573 | 9578 | 9583 | 9588 | 9593 | 9598 | 9603 | 9608 | 9613 | 16° | 1 | 2 | 2 |
74° | 9613 | 9617 | 9622 | 9627 | 9632 | 9636 | 9641 | 9646 | 9650 | 9655 | 0.9659 | 15° | 1 | 2 | 2 |
75° | 9659 | 9664 | 9668 | 9673 | 9677 | 9681 | 9686 | 9690 | 9694 | 9699 | 9703 | 14° | 1 | 1 | 2 |
76° | 9703 | 9707 | 9711 | 9715 | 9720 | 9724 | 9728 | 9732 | 9736 | 9740 | 9744 | 13° | 1 | 1 | 2 |
77° | 9744 | 9748 | 9751 | 9755 | 9759 | 9763 | 9767 | 9770 | 9774 | 9778 | 9781 | 12° | 1 | 1 | 2 |
78° | 9781 | 9785 | 9789 | 9792 | 9796 | 9799 | 9803 | 9806 | 9810 | 9813 | 9816 | 11° | 1 | 1 | 2 |
79° | 9816 | 9820 | 9823 | 9826 | 9829 | 9833 | 9836 | 9839 | 9842 | 9845 | 0.9848 | 10° | 1 | 1 | 2 |
80° | 0.9848 | 9851 | 9854 | 9857 | 9860 | 9863 | 9866 | 9869 | 9871 | 9874 | 9877 | 9° | 0 | 1 | 1 |
81° | 9877 | 9880 | 9882 | 9885 | 9888 | 9890 | 9893 | 9895 | 9898 | 9900 | 9903 | 8° | 0 | 1 | 1 |
82° | 9903 | 9905 | 9907 | 9910 | 9912 | 9914 | 9917 | 9919 | 9921 | 9923 | 9925 | 7° | 0 | 1 | 1 |
83° | 9925 | 9928 | 9930 | 9932 | 9934 | 9936 | 9938 | 9940 | 9942 | 9943 | 9945 | 6° | 0 | 1 | 1 |
84° | 9945 | 9947 | 9949 | 9951 | 9952 | 9954 | 9956 | 9957 | 9959 | 9960 | 9962 | 5° | 0 | 1 | 1 |
85° | 9962 | 9963 | 9965 | 9966 | 9968 | 9969 | 9971 | 9972 | 9973 | 9974 | 9976 | 4° | 0 | 0 | 1 |
86° | 9976 | 9977 | 9978 | 9979 | 9980 | 9981 | 9982 | 9983 | 9984 | 9985 | 9986 | 3° | 0 | 0 | 0 |
87° | 9986 | 9987 | 9988 | 9989 | 9990 | 9990 | 9991 | 9992 | 9993 | 9993 | 9994 | 2° | 0 | 0 | 0 |
88° | 9994 | 9995 | 9995 | 9996 | 9996 | 9997 | 9997 | 9997 | 9998 | 9998 | 0.9998 | 1° | 0 | 0 | 0 |
89° | 9998 | 9999 | 9999 | 9999 | 9999 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | 0° | 0 | 0 | 0 |
90° | 1.0000 | ||||||||||||||
পাপ | 60" | 54" | 48" | 42" | 36" | 30" | 24" | 18" | 12" | 6" | 0" | কারণ | 1" | 2" | 3" |
সারণীতে উপস্থাপিত নয় এমন কোণগুলির সাইন এবং কোসাইনগুলির মানগুলি খুঁজে পেতে, সংশোধনগুলি ব্যবহার করা প্রয়োজন।
এখন আমরা স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্টের জন্য ব্র্যাডিস টেবিল উপস্থাপন করি। এটিতে 0 থেকে 76 ডিগ্রি কোণের স্পর্শকগুলির মান এবং 14 থেকে 90 ডিগ্রি কোণের কোটঞ্জেন্টের মান রয়েছে।
স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্টের জন্য ব্র্যাডিস টেবিল
tg | 0" | 6" | 12" | 18" | 24" | 30" | 36" | 42" | 48" | 54" | 60" | ctg | 1" | 2" | 3" |
0 | 90° | ||||||||||||||
0° | 0,000 | 0017 | 0035 | 0052 | 0070 | 0087 | 0105 | 0122 | 0140 | 0157 | 0175 | 89° | 3 | 6 | 9 |
1° | 0175 | 0192 | 0209 | 0227 | 0244 | 0262 | 0279 | 0297 | 0314 | 0332 | 0349 | 88° | 3 | 6 | 9 |
2° | 0349 | 0367 | 0384 | 0402 | 0419 | 0437 | 0454 | 0472 | 0489 | 0507 | 0524 | 87° | 3 | 6 | 9 |
3° | 0524 | 0542 | 0559 | 0577 | 0594 | 0612 | 0629 | 0647 | 0664 | 0682 | 0699 | 86° | 3 | 6 | 9 |
4° | 0699 | 0717 | 0734 | 0752 | 0769 | 0787 | 0805 | 0822 | 0840 | 0857 | 0,0875 | 85° | 3 | 6 | 9 |
5° | 0,0875 | 0892 | 0910 | 0928 | 0945 | 0963 | 0981 | 0998 | 1016 | 1033 | 1051 | 84° | 3 | 6 | 9 |
6° | 1051 | 1069 | 1086 | 1104 | 1122 | 1139 | 1157 | 1175 | 1192 | 1210 | 1228 | 83° | 3 | 6 | 9 |
7° | 1228 | 1246 | 1263 | 1281 | 1299 | 1317 | 1334 | 1352 | 1370 | 1388 | 1405 | 82° | 3 | 6 | 9 |
8° | 1405 | 1423 | 1441 | 1459 | 1477 | 1495 | 1512 | 1530 | 1548 | 1566 | 1584 | 81° | 3 | 6 | 9 |
9° | 1584 | 1602 | 1620 | 1638 | 1655 | 1673 | 1691 | 1709 | 1727 | 1745 | 0,1763 | 80° | 3 | 6 | 9 |
10° | 0,1763 | 1781 | 1799 | 1817 | 1835 | 1853 | 1871 | 1890 | 1908 | 1926 | 1944 | 79° | 3 | 6 | 9 |
11° | 1944 | 1962 | 1980 | 1998 | 2016 | 2035 | 2053 | 2071 | 2089 | 2107 | 2126 | 78° | 3 | 6 | 9 |
12° | 2126 | 2144 | 2162 | 2180 | 2199 | 2217 | 2235 | 2254 | 2272 | 2290 | 2309 | 77° | 3 | 6 | 9 |
13° | 2309 | 2327 | 2345 | 2364 | 2382 | 2401 | 2419 | 2438 | 2456 | 2475 | 2493 | 76° | 3 | 6 | 9 |
14° | 2493 | 2512 | 2530 | 2549 | 2568 | 2586 | 2605 | 2623 | 2642 | 2661 | 0,2679 | 75° | 3 | 6 | 9 |
15° | 0,2679 | 2698 | 2717 | 2736 | 2754 | 2773 | 2792 | 2811 | 2830 | 2849 | 2867 | 74° | 3 | 6 | 9 |
16° | 2867 | 2886 | 2905 | 2924 | 2943 | 2962 | 2981 | 3000 | 3019 | 3038 | 3057 | 73° | 3 | 6 | 9 |
17° | 3057 | 3076 | 3096 | 3115 | 3134 | 3153 | 3172 | 3191 | 3211 | 3230 | 3249 | 72° | 3 | 6 | 10 |
18° | 3249 | 3269 | 3288 | 3307 | 3327 | 3346 | 3365 | 3385 | 3404 | 3424 | 3443 | 71° | 3 | 6 | 10 |
19° | 3443 | 3463 | 3482 | 3502 | 3522 | 3541 | 3561 | 3581 | 3600 | 3620 | 0,3640 | 70° | 3 | 7 | 10 |
20° | 0,3640 | 3659 | 3679 | 3699 | 3719 | 3739 | 3759 | 3779 | 3799 | 3819 | 3839 | 69° | 3 | 7 | 10 |
21° | 3839 | 3859 | 3879 | 3899 | 3919 | 3939 | 3959 | 3979 | 4000 | 4020 | 4040 | 68° | 3 | 7 | 10 |
22° | 4040 | 4061 | 4081 | 4101 | 4122 | 4142 | 4163 | 4183 | 4204 | 4224 | 4245 | 67° | 3 | 7 | 10 |
23° | 4245 | 4265 | 4286 | 4307 | 4327 | 4348 | 4369 | 4390 | 4411 | 4431 | 4452 | 66° | 3 | 7 | 10 |
24° | 4452 | 4473 | 4494 | 4515 | 4536 | 4557 | 4578 | 4599 | 4621 | 4642 | 0,4663 | 65° | 4 | 7 | 11 |
25° | 0,4663 | 4684 | 4706 | 4727 | 4748 | 4770 | 4791 | 4813 | 4834 | 4856 | 4877 | 64° | 4 | 7 | 11 |
26° | 4877 | 4899 | 4921 | 4942 | 4964 | 4986 | 5008 | 5029 | 5051 | 5073 | 5095 | 63° | 4 | 7 | 11 |
27° | 5095 | 5117 | 5139 | 5161 | 5184 | 5206 | 5228 | 5250 | 5272 | 5295 | 5317 | 62° | 4 | 7 | 11 |
28° | 5317 | 5340 | 5362 | 5384 | 5407 | 5430 | 5452 | 5475 | 5498 | 5520 | 5543 | 61° | 4 | 8 | 11 |
29° | 5543 | 5566 | 5589 | 5612 | 5635 | 5658 | 5681 | 5704 | 5727 | 5750 | 0,5774 | 60° | 4 | 8 | 12 |
30° | 0,5774 | 5797 | 5820 | 5844 | 5867 | 5890 | 5914 | 5938 | 5961 | 5985 | 6009 | 59° | 4 | 8 | 12 |
31° | 6009 | 6032 | 6056 | 6080 | 6104 | 6128 | 6152 | 6176 | 6200 | 6224 | 6249 | 58° | 4 | 8 | 12 |
32° | 6249 | 6273 | 6297 | 6322 | 6346 | 6371 | 6395 | 6420 | 6445 | 6469 | 6494 | 57° | 4 | 8 | 12 |
33° | 6494 | 6519 | 6544 | 6569 | 6594 | 6619 | 6644 | 6669 | 6694 | 6720 | 6745 | 56° | 4 | 8 | 13 |
34° | 6745 | 6771 | 6796 | 6822 | 6847 | 6873 | 6899 | 6924 | 6950 | 6976 | 0,7002 | 55° | 4 | 9 | 13 |
35° | 0,7002 | 7028 | 7054 | 7080 | 7107 | 7133 | 7159 | 7186 | 7212 | 7239 | 7265 | 54° | 4 | 8 | 13 |
36° | 7265 | 7292 | 7319 | 7346 | 7373 | 7400 | 7427 | 7454 | 7481 | 7508 | 7536 | 53° | 5 | 9 | 14° |
37° | 7536 | 7563 | 7590 | 7618 | 7646 | 7673 | 7701 | 7729 | 7757 | 7785 | 7813 | 52° | 5 | 9 | 14 |
38° | 7813 | 7841 | 7869 | 7898 | 7926 | 7954 | 7983 | 8012 | 8040 | 8069 | 8098 | 51° | 5 | 9 | 14 |
39° | 8098 | 8127 | 8156 | 8185 | 8214 | 8243 | 8273 | 8302 | 8332 | 8361 | 0,8391 | 50° | 5 | 10 | 15 |
40° | 0,8391 | 8421 | 8451 | 8481 | 8511 | 8541 | 8571 | 8601 | 8632 | 8662 | 0,8693 | 49° | 5 | 10 | 15 |
41° | 8693 | 8724 | 8754 | 8785 | 8816 | 8847 | 8878 | 8910 | 8941 | 8972 | 9004 | 48° | 5 | 10 | 16 |
42° | 9004 | 9036 | 9067 | 9099 | 9131 | 9163 | 9195 | 9228 | 9260 | 9293 | 9325 | 47° | 6 | 11 | 16 |
43° | 9325 | 9358 | 9391 | 9424 | 9457 | 9490 | 9523 | 9556 | 9590 | 9623 | 0,9657 | 46° | 6 | 11 | 17 |
44° | 9657 | 9691 | 9725 | 9759 | 9793 | 9827 | 9861 | 9896 | 9930 | 9965 | 1,0000 | 45° | 6 | 11 | 17 |
45° | 1,0000 | 0035 | 0070 | 0105 | 0141 | 0176 | 0212 | 0247 | 0283 | 0319 | 0355 | 44° | 6 | 12 | 18 |
46° | 0355 | 0392 | 0428 | 0464 | 0501 | 0538 | 0575 | 0612 | 0649 | 0686 | 0724 | 43° | 6 | 12 | 18 |
47° | 0724 | 0761 | 0799 | 0837 | 0875 | 0913 | 0951 | 0990 | 1028 | 1067 | 1106 | 42° | 6 | 13 | 19 |
48° | 1106 | 1145 | 1184 | 1224 | 1263 | 1303 | 1343 | 1383 | 1423 | 1463 | 1504 | 41° | 7 | 13 | 20 |
49° | 1504 | 1544 | 1585 | 1626 | 1667 | 1708 | 1750 | 1792 | 1833 | 1875 | 1,1918 | 40° | 7 | 14 | 21 |
50° | 1,1918 | 1960 | 2002 | 2045 | 2088 | 2131 | 2174 | 2218 | 2261 | 2305 | 2349 | 39° | 7 | 14 | 22 |
51° | 2349 | 2393 | 2437 | 2482 | 2527 | 2572 | 2617 | 2662 | 2708 | 2753 | 2799 | 38° | 8 | 15 | 23 |
52° | 2799 | 2846 | 2892 | 2938 | 2985 | 3032 | 3079 | 3127 | 3175 | 3222 | 3270 | 37° | 8 | 16 | 24 |
53° | 3270 | 3319 | 3367 | 3416 | 3465 | 3514 | 3564 | 3613 | 3663 | 3713 | 3764 | 36° | 8 | 16 | 25 |
54° | 3764 | 3814 | 3865 | 3916 | 3968 | 4019 | 4071 | 4124 | 4176 | 4229 | 1,4281 | 35° | 9 | 17 | 26 |
55° | 1,4281 | 4335 | 4388 | 4442 | 4496 | 4550 | 4605 | 4659 | 4715 | 4770 | 4826 | 34° | 9 | 18 | 27 |
56° | 4826 | 4882 | 4938 | 4994 | 5051 | 5108 | 5166 | 5224 | 5282 | 5340 | 5399 | 33° | 10 | 19 | 29 |
57° | 5399 | 5458 | 5517 | 5577 | 5637 | 5697 | 5757 | 5818 | 5880 | 5941 | 6003 | 32° | 10 | 20 | 30 |
58° | 6003 | 6066 | 6128 | 6191 | 6255 | 6319 | 6383 | 6447 | 6512 | 6577 | 6643 | 31° | 11 | 21 | 32 |
59° | 6643 | 6709 | 6775 | 6842 | 6909 | 6977 | 7045 | 7113 | 7182 | 7251 | 1,7321 | 30° | 11 | 23 | 34 |
60° | 1,732 | 1,739 | 1,746 | 1,753 | 1,760 | 1,767 | 1,775 | 1,782 | 1,789 | 1,797 | 1,804 | 29° | 1 | 2 | 4 |
61° | 1,804 | 1,811 | 1,819 | 1,827 | 1,834 | 1,842 | 1,849 | 1,857 | 1,865 | 1,873 | 1,881 | 28° | 1 | 3 | 4 |
62° | 1,881 | 1,889 | 1,897 | 1,905 | 1,913 | 1,921 | 1,929 | 1,937 | 1,946 | 1,954 | 1,963 | 27° | 1 | 3 | 4 |
63° | 1,963 | 1,971 | 1,980 | 1,988 | 1,997 | 2,006 | 2,014 | 2,023 | 2,032 | 2,041 | 2,05 | 26° | 1 | 3 | 4 |
64° | 2,050 | 2,059 | 2,069 | 2,078 | 2,087 | 2,097 | 2,106 | 2,116 | 2,125 | 2,135 | 2,145 | 25° | 2 | 3 | 5 |
65° | 2,145 | 2,154 | 2,164 | 2,174 | 2,184 | 2,194 | 2,204 | 2,215 | 2,225 | 2,236 | 2,246 | 24° | 2 | 3 | 5 |
66° | 2,246 | 2,257 | 2,267 | 2,278 | 2,289 | 2,3 | 2,311 | 2,322 | 2,333 | 2,344 | 2,356 | 23° | 2 | 4 | 5 |
67° | 2,356 | 2,367 | 2,379 | 2,391 | 2,402 | 2,414 | 2,426 | 2,438 | 2,450 | 2,463 | 2,475 | 22° | 2 | 4 | 6 |
68° | 2,475 | 2,488 | 2,5 | 2,513 | 2,526 | 2,539 | 2,552 | 2,565 | 2,578 | 2,592 | 2,605 | 21° | 2 | 4 | 6 |
69° | 2,605 | 2,619 | 2,633 | 2,646 | 2,66 | 2,675 | 2,689 | 2,703 | 2,718 | 2,733 | 2,747 | 20° | 2 | 5 | 7 |
70° | 2,747 | 2,762 | 2,778 | 2,793 | 2,808 | 2,824 | 2,840 | 2,856 | 2,872 | 2,888 | 2,904 | 19° | 3 | 5 | 8 |
71° | 2,904 | 2,921 | 2,937 | 2,954 | 2,971 | 2,989 | 3,006 | 3,024 | 3,042 | 3,06 | 3,078 | 18° | 3 | 6 | 9 |
72° | 3,078 | 3,096 | 3,115 | 3,133 | 3,152 | 3,172 | 3,191 | 3,211 | 3,230 | 3,251 | 3,271 | 17° | 3 | 6 | 10 |
73° | 3,271 | 3,291 | 3,312 | 3,333 | 3,354 | 3,376 | 3 | 7 | 10 | ||||||
3,398 | 3,42 | 3,442 | 3,465 | 3,487 | 16° | 4 | 7 | 11 | |||||||
74° | 3,487 | 3,511 | 3,534 | 3,558 | 3,582 | 3,606 | 4 | 8 | 12 | ||||||
3,630 | 3,655 | 3,681 | 3,706 | 3,732 | 15° | 4 | 8 | 13 | |||||||
75° | 3,732 | 3,758 | 3,785 | 3,812 | 3,839 | 3,867 | 4 | 9 | 13 | ||||||
3,895 | 3,923 | 3,952 | 3,981 | 4,011 | 14° | 5 | 10 | 14 | |||||||
tg | 60" | 54" | 48" | 42" | 36" | 30" | 24" | 18" | 12" | 6" | 0" | ctg | 1" | 2" | 3" |
ব্র্যাডিস টেবিলগুলি কীভাবে ব্যবহার করবেন
সাইন এবং কোসাইনগুলির জন্য ব্র্যাডিস টেবিলটি বিবেচনা করুন। সাইনাসের সাথে সম্পর্কিত সবকিছু উপরে এবং বাম দিকে রয়েছে। যদি আমাদের কোসাইন প্রয়োজন হয়, টেবিলের নীচে ডান দিকে তাকান।
একটি কোণের সাইনের মান খুঁজে পেতে, আপনাকে বাম কক্ষে প্রয়োজনীয় সংখ্যক ডিগ্রী এবং উপরের কক্ষে প্রয়োজনীয় সংখ্যক মিনিট ধারণকারী কলাম সহ সারির ছেদ খুঁজে বের করতে হবে।
যদি সঠিক কোণ মান ব্রাডিস টেবিলে না থাকে, আমরা সংশোধনের আশ্রয় নিই। এক, দুই এবং তিন মিনিটের জন্য সংশোধনগুলি টেবিলের ডানদিকের কলামে দেওয়া হয়েছে। সারণিতে নেই এমন একটি কোণের সাইনের মান খুঁজতে, আমরা এটির সবচেয়ে কাছের মানটি খুঁজে পাই। এর পরে, আমরা কোণগুলির মধ্যে পার্থক্যের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ সংশোধন যোগ বা বিয়োগ করি।
যদি আমরা 90 ডিগ্রির চেয়ে বড় একটি কোণের সাইন খুঁজছি, তাহলে আমাদের প্রথমে হ্রাস সূত্রগুলি ব্যবহার করতে হবে এবং শুধুমাত্র তখনই ব্র্যাডিস টেবিল।
উদাহরণ। ব্র্যাডিস টেবিলটি কীভাবে ব্যবহার করবেন
ধরা যাক আমাদের 17° 44" কোণের সাইন খুঁজে বের করতে হবে। টেবিলটি ব্যবহার করে, আমরা 17° 42" এর সাইনটি কিসের সমান তা খুঁজে পাই এবং এর মানটিতে দুই মিনিটের একটি সংশোধন যোগ করি:
17°44" - 17°42" = 2" (প্রয়োজনীয় সংশোধন) পাপ 17°44" = 0। 3040 + 0। 0006 = 0। 3046
কোসাইন, স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্টের সাথে কাজ করার নীতি একই রকম। যাইহোক, সংশোধনের চিহ্নটি মনে রাখা গুরুত্বপূর্ণ।
গুরুত্বপূর্ণ !
সাইনের মান গণনা করার সময়, সংশোধনের একটি ইতিবাচক চিহ্ন থাকে এবং কোসাইনগুলি গণনা করার সময়, সংশোধনটি অবশ্যই একটি নেতিবাচক চিহ্ন দিয়ে নেওয়া উচিত।
আপনি যদি পাঠ্যটিতে একটি ত্রুটি লক্ষ্য করেন, দয়া করে এটি হাইলাইট করুন এবং Ctrl+Enter টিপুন
নিবন্ধে, আমরা এটি দেখতে কেমন তা সম্পূর্ণরূপে বুঝতে পারি ত্রিকোণমিতিক মানের সারণী, সাইন, কোসাইন, স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্ট. 0,30,45,60,90,...,360 ডিগ্রি কোণ থেকে ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের মৌলিক অর্থ বিবেচনা করা যাক। এবং আসুন দেখি কিভাবে ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলির মান গণনা করতে এই টেবিলগুলি ব্যবহার করা যায়।
প্রথমে দেখা যাক কোসাইন, সাইন, স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্টের সারণী 0, 30, 45, 60, 90,... ডিগ্রি কোণ থেকে। এই পরিমাণের সংজ্ঞা আমাদের 0 এবং 90 ডিগ্রি কোণের ফাংশনগুলির মান নির্ধারণ করতে দেয়:
sin 0 0 =0, cos 0 0 = 1. tg 0 0 = 0, 0 0 থেকে cotangent অনির্ধারিত হবে
sin 90 0 = 1, cos 90 0 =0, ctg90 0 = 0, 90 0 থেকে স্পর্শক অনিশ্চিত হবে
আপনি যদি সমকোণী ত্রিভুজ নেন যার কোণ 30 থেকে 90 ডিগ্রি। আমরা পেতে:
sin 30 0 = 1/2, cos 30 0 = √3/2, tan 30 0 = √3/3, cos 30 0 = √3
sin 45 0 = √2/2, cos 45 0 = √2/2, tan 45 0 = 1, cos 45 0 = 1
sin 60 0 = √3/2, cos 60 0 = 1/2, tg 60 0 =√3, cot 60 0 = √3/3
আসুন আমরা ফর্মে সমস্ত প্রাপ্ত মান উপস্থাপন করি ত্রিকোণমিতিক টেবিল:
সাইন, কোসাইন, স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্টের সারণী!
যদি আমরা হ্রাস সূত্র ব্যবহার করি, তাহলে আমাদের টেবিল বৃদ্ধি পাবে, 360 ডিগ্রি পর্যন্ত কোণের মান যোগ করবে। এটা দেখতে হবে:
এছাড়াও, পর্যায়ক্রমিকতার বৈশিষ্ট্যের উপর ভিত্তি করে, যদি আমরা কোণগুলিকে 0 0 +360 0 *z .... 330 0 +360 0 *z দিয়ে প্রতিস্থাপন করি, যেখানে z একটি পূর্ণসংখ্যা। এই সারণীতে একটি একক বৃত্তের বিন্দুর সাথে সংশ্লিষ্ট সমস্ত কোণের মান গণনা করা সম্ভব।
আসুন দেখি কিভাবে টেবিলটি সমাধানে ব্যবহার করবেন।
সবকিছু খুব সহজ. যেহেতু আমাদের প্রয়োজনীয় মানটি আমাদের প্রয়োজনীয় কোষগুলির ছেদ বিন্দুতে অবস্থিত। উদাহরণস্বরূপ, 60 ডিগ্রি কোণের cos নিন, টেবিলে এটি দেখতে এরকম হবে:
ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের প্রধান মানের চূড়ান্ত সারণীতে, আমরা একইভাবে এগিয়ে যাই। কিন্তু এই টেবিলে 1020 ডিগ্রি কোণ থেকে স্পর্শক কত তা খুঁজে বের করা সম্ভব, এটি = -√3 1020 0 = 300 0 +360 0 *2 পরীক্ষা করা যাক। আসুন টেবিল ব্যবহার করে এটি খুঁজে বের করা যাক।
আরও অনুসন্ধানের জন্য, মিনিট থেকে নির্ভুল ত্রিকোণমিতিক কোণ মান ব্যবহার করা হয়। এগুলি কীভাবে ব্যবহার করবেন তার বিস্তারিত নির্দেশাবলী পৃষ্ঠায় রয়েছে।
ব্র্যাডিস টেবিল। সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট এবং কোট্যাঞ্জেন্টের জন্য।
কোসাইন এবং সাইন, ট্যানজেন্ট এবং কোট্যাঞ্জেন্টের টেবিল নিয়ে ব্র্যাডিস টেবিলগুলিকে কয়েকটি অংশে ভাগ করা হয়েছে - যা দুটি অংশে বিভক্ত (90 ডিগ্রি পর্যন্ত কোণের tg এবং ছোট কোণের ctg)।
সাইন এবং কোসাইন
0 0 থেকে শুরু হওয়া কোণের tg 76 0 দিয়ে শেষ হয়, 14 0 থেকে শুরু হওয়া কোণের ctg 90 0 দিয়ে শেষ হয়।
tg 90 0 পর্যন্ত এবং ছোট কোণের ctg।
আসুন সমস্যা সমাধানে ব্র্যাডিস টেবিলগুলি কীভাবে ব্যবহার করবেন তা খুঁজে বের করা যাক।
আসুন উপাধিটি সিন (বাম প্রান্তের কলামে পদবী) 42 মিনিট (উপরের লাইনে পদবী) সন্ধান করি। ছেদ দ্বারা আমরা উপাধিটি সন্ধান করি, এটি = 0.3040৷
মিনিটের মানগুলি ছয় মিনিটের ব্যবধানে নির্দেশিত হয়, যদি আমাদের প্রয়োজনীয় মানটি ঠিক এই ব্যবধানের মধ্যে পড়ে তবে কী করবেন। চলুন 44 মিনিট সময় নিই, কিন্তু টেবিলে মাত্র 42 আছে আমরা একটি ভিত্তি হিসাবে 42 নিই এবং ডান পাশে অতিরিক্ত কলামগুলি ব্যবহার করি, 2য় সংশোধনী গ্রহণ করি এবং 0.3040 + 0.0006 যোগ করি আমরা 0.3046 পাই।
পাপের 47 মিনিটের সাথে, আমরা একটি ভিত্তি হিসাবে 48 মিনিট সময় নিই এবং এটি থেকে 1টি সংশোধন বিয়োগ করি, যেমন 0.3057 - 0.0003 = 0.3054
cos গণনা করার সময়, আমরা পাপের মতই কাজ করি, শুধুমাত্র আমরা টেবিলের নীচের সারিটিকে ভিত্তি হিসাবে গ্রহণ করি। যেমন cos 20 0 = 0.9397
tg কোণের মান 90 0 পর্যন্ত এবং একটি ছোট কোণের cot সঠিক এবং তাদের মধ্যে কোন সংশোধন নেই। উদাহরণস্বরূপ, tg 78 0 37min = 4.967 খুঁজুন
এবং ctg 20 0 13min = 25.83
ঠিক আছে, আমরা মৌলিক ত্রিকোণমিতিক টেবিল দেখেছি। আমরা এই তথ্য আপনার জন্য অত্যন্ত দরকারী ছিল আশা করি. টেবিল সম্পর্কে আপনার কোন প্রশ্ন থাকলে, মন্তব্যগুলিতে লিখতে ভুলবেন না!
দ্রষ্টব্য: ওয়াল বাম্পার - দেয়াল রক্ষার জন্য বাম্পার বোর্ড (http://www.spi-polymer.ru/otboyniki/)
সহজ কথায়, এগুলি একটি বিশেষ রেসিপি অনুসারে জলে রান্না করা সবজি। আমি দুটি প্রাথমিক উপাদান (সবজি সালাদ এবং জল) এবং সমাপ্ত ফলাফল - borscht বিবেচনা করব। জ্যামিতিকভাবে, এটিকে একটি আয়তক্ষেত্র হিসাবে ভাবা যেতে পারে, যার এক পাশ লেটুস এবং অন্য পাশ জলের প্রতিনিধিত্ব করে। এই দুই বাহুর যোগফল borscht নির্দেশ করবে। এই জাতীয় "বোর্শট" আয়তক্ষেত্রের তির্যক এবং ক্ষেত্রফল সম্পূর্ণরূপে গাণিতিক ধারণা এবং বোর্শট রেসিপিগুলিতে কখনও ব্যবহৃত হয় না।
কীভাবে লেটুস এবং জল গাণিতিক দৃষ্টিকোণ থেকে বোর্স্টে পরিণত হয়? দুটি রেখার অংশের যোগফল কীভাবে ত্রিকোণমিতিতে পরিণত হতে পারে? এটা বোঝার জন্য আমাদের লিনিয়ার কৌণিক ফাংশন দরকার।
আপনি গণিতের পাঠ্যপুস্তকে রৈখিক কৌণিক ফাংশন সম্পর্কে কিছু পাবেন না। কিন্তু তাদের ছাড়া গণিত হতে পারে না। গণিতের নিয়ম, প্রকৃতির নিয়মের মতো, আমরা তাদের অস্তিত্ব সম্পর্কে জানি কি না তা নির্বিশেষে কাজ করে।
রৈখিক কৌণিক ফাংশন সংযোজন আইন।দেখুন কিভাবে বীজগণিত জ্যামিতিতে পরিণত হয় এবং জ্যামিতি ত্রিকোণমিতিতে পরিণত হয়।
রৈখিক কৌণিক ফাংশন ছাড়া করা সম্ভব? এটা সম্ভব, কারণ গণিতবিদরা এখনও তাদের ছাড়াই পরিচালনা করেন। গণিতবিদদের কৌতুক হল যে তারা সবসময় আমাদের কেবল সেই সমস্যাগুলি সম্পর্কে বলে যা তারা নিজেরাই জানে কীভাবে সমাধান করতে হয় এবং সেই সমস্যাগুলির বিষয়ে কখনও কথা বলে না যেগুলি তারা সমাধান করতে পারে না। দেখুন। যদি আমরা যোগ এবং একটি পদের ফলাফল জানি, আমরা অন্য পদ খুঁজে পেতে বিয়োগ ব্যবহার করি। সব আমরা অন্যান্য সমস্যা জানি না এবং আমরা জানি না কিভাবে সমাধান করা যায়। আমরা যদি শুধুমাত্র যোগের ফলাফল জানি এবং উভয় পদ না জানি তাহলে আমাদের কী করা উচিত? এই ক্ষেত্রে, সংযোজনের ফলাফলকে রৈখিক কৌণিক ফাংশন ব্যবহার করে দুটি পদে পচন করতে হবে। এর পরে, আমরা নিজেরাই বেছে নিই যে একটি পদ কী হতে পারে এবং রৈখিক কৌণিক ফাংশনগুলি দেখায় যে দ্বিতীয় পদটি কী হওয়া উচিত যাতে সংযোজনের ফলাফলটি ঠিক আমাদের প্রয়োজন। এই ধরনের পদের জোড়া অসীম সংখ্যক হতে পারে। প্রাত্যহিক জীবনে, আমরা যোগফল বিয়োগ না করেই সূক্ষ্মভাবে চলতে পারি; কিন্তু প্রকৃতির নিয়ম সম্পর্কে বৈজ্ঞানিক গবেষণায়, এর উপাদানগুলির মধ্যে একটি যোগফল পচানো খুব কার্যকর হতে পারে।
সংযোজনের আরেকটি আইন যা গণিতবিদরা কথা বলতে পছন্দ করেন না (তাদের আরেকটি কৌশল) শর্তাবলীর পরিমাপের একক একই থাকা প্রয়োজন। সালাদ, জল এবং বোর্শটের জন্য, এগুলি ওজন, আয়তন, মান বা পরিমাপের একক হতে পারে।
চিত্রটি গাণিতিক জন্য দুটি স্তরের পার্থক্য দেখায়। প্রথম স্তরটি সংখ্যার ক্ষেত্রের পার্থক্য, যা নির্দেশিত হয় ক, খ, গ. গণিতবিদরা এটাই করেন। দ্বিতীয় স্তরটি হল পরিমাপের এককের ক্ষেত্রের পার্থক্য, যা বর্গাকার বন্ধনীতে দেখানো হয় এবং অক্ষর দ্বারা নির্দেশিত হয় উ. পদার্থবিদরা এটাই করেন। আমরা তৃতীয় স্তরটি বুঝতে পারি - বর্ণিত বস্তুর ক্ষেত্রের পার্থক্য। বিভিন্ন বস্তুর পরিমাপের একই সংখ্যক একক থাকতে পারে। এটি কতটা গুরুত্বপূর্ণ, আমরা বোর্শট ত্রিকোণমিতির উদাহরণে দেখতে পারি। যদি আমরা বিভিন্ন অবজেক্টের জন্য একই ইউনিট উপাধিতে সাবস্ক্রিপ্ট যোগ করি, তাহলে আমরা বলতে পারি ঠিক কী গাণিতিক পরিমাণ একটি নির্দিষ্ট বস্তুকে বর্ণনা করে এবং কীভাবে এটি সময়ের সাথে বা আমাদের ক্রিয়াকলাপের কারণে পরিবর্তিত হয়। চিঠি ডব্লিউআমি একটি চিঠি দিয়ে জল মনোনীত করব এসআমি একটি চিঠি দিয়ে সালাদ মনোনীত করব খ- বোর্শ বোর্স্টের জন্য রৈখিক কৌণিক ফাংশনগুলি এইরকম দেখাবে।
যদি আমরা পানির কিছু অংশ এবং সালাদের কিছু অংশ গ্রহণ করি তবে তারা একসাথে বোর্শটের একটি অংশে পরিণত হবে। এখানে আমি আপনাকে borscht থেকে একটু বিরতি নিতে এবং আপনার দূরবর্তী শৈশব মনে করার পরামর্শ দিচ্ছি। মনে আছে কিভাবে আমাদের খরগোশ এবং হাঁস একসাথে রাখতে শেখানো হয়েছিল? সেখানে কত প্রাণী থাকবে তা খুঁজে বের করা দরকার ছিল। তখন আমাদের কী করতে শেখানো হয়েছিল? আমাদেরকে সংখ্যা থেকে পরিমাপের একক আলাদা করতে এবং সংখ্যা যোগ করতে শেখানো হয়েছিল। হ্যাঁ, যেকোনো একটি নম্বর অন্য যেকোনো নম্বরে যোগ করা যাবে। এটি আধুনিক গণিতের অটিজমের একটি প্রত্যক্ষ পথ - আমরা এটি বোধগম্যভাবে করি কী, বোধগম্যভাবে কেন, এবং খুব খারাপভাবে বুঝতে পারি যে এটি বাস্তবতার সাথে কীভাবে সম্পর্কিত, কারণ তিনটি স্তরের পার্থক্যের কারণে, গণিতবিদরা শুধুমাত্র একটি দিয়ে কাজ করেন। পরিমাপের এক ইউনিট থেকে অন্য ইউনিটে কীভাবে যেতে হয় তা শিখতে আরও সঠিক হবে।
খরগোশ, হাঁস এবং ছোট প্রাণীগুলিকে টুকরো টুকরো করে গণনা করা যেতে পারে। বিভিন্ন বস্তুর পরিমাপের একটি সাধারণ একক আমাদেরকে সেগুলি একসাথে যোগ করতে দেয়। এটি সমস্যার একটি শিশুদের সংস্করণ। আসুন প্রাপ্তবয়স্কদের জন্য একটি অনুরূপ কাজ তাকান। আপনি খরগোশ এবং টাকা যোগ করার সময় আপনি কি পাবেন? এখানে দুটি সম্ভাব্য সমাধান আছে।
প্রথম বিকল্প. আমরা খরগোশের বাজার মূল্য নির্ধারণ করি এবং উপলব্ধ পরিমাণে এটি যোগ করি। আমরা আর্থিক শর্তে আমাদের সম্পদের মোট মূল্য পেয়েছি।
দ্বিতীয় বিকল্প. আমাদের কাছে থাকা ব্যাঙ্কনোটের সংখ্যার সাথে আপনি খরগোশের সংখ্যা যোগ করতে পারেন। আমরা অস্থাবর সম্পত্তির পরিমাণ টুকরো টুকরো করে পাব।
আপনি দেখতে পাচ্ছেন, একই সংযোজন আইন আপনাকে বিভিন্ন ফলাফল পেতে দেয়। এটা সব আমরা ঠিক কি জানতে চাই উপর নির্ভর করে.
কিন্তু এর আমাদের borscht ফিরে পেতে. এখন আমরা দেখতে পাচ্ছি যে রৈখিক কৌণিক ফাংশনের বিভিন্ন কোণ মানের জন্য কী ঘটবে।
কোণ শূন্য। আমাদের সালাদ আছে, কিন্তু জল নেই। আমরা বোর্শট রান্না করতে পারি না। বোর্স্টের পরিমাণও শূন্য। এর মানে এই নয় যে শূন্য বোর্শট শূন্য জলের সমান। শূন্য সালাদ (সঠিক কোণ) সঙ্গে শূন্য borscht হতে পারে।
ব্যক্তিগতভাবে আমার জন্য, এই সত্যের প্রধান গাণিতিক প্রমাণ। শূন্য যোগ করলে সংখ্যা পরিবর্তন হয় না। এটি ঘটে কারণ শুধুমাত্র একটি পদ থাকলে এবং দ্বিতীয় পদটি অনুপস্থিত থাকলে যোগ করা অসম্ভব। আপনি এটি সম্পর্কে আপনার পছন্দ মতো অনুভব করতে পারেন, তবে মনে রাখবেন - শূন্য সহ সমস্ত গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ নিজেই গণিতবিদদের দ্বারা উদ্ভাবিত হয়েছিল, তাই আপনার যুক্তিকে ছুঁড়ে ফেলুন এবং গণিতবিদদের দ্বারা উদ্ভাবিত সংজ্ঞাগুলিকে বোকামি করুন: "শূন্য দ্বারা বিভাজন অসম্ভব", "যেকোন সংখ্যা দ্বারা গুণিত শূন্য সমান শূন্য”, “প্যাংচার পয়েন্ট শূন্যের বাইরে” এবং অন্যান্য বাজে কথা। একবার মনে রাখা যথেষ্ট যে শূন্য একটি সংখ্যা নয়, এবং আপনার আর কখনও প্রশ্ন থাকবে না যে শূন্য একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা বা না, কারণ এই জাতীয় প্রশ্নটি সমস্ত অর্থ হারিয়ে ফেলে: কীভাবে একটি সংখ্যা নয় এমন কিছুকে সংখ্যা হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে? ? এটি একটি অদৃশ্য রঙকে কী রঙ হিসাবে শ্রেণীবদ্ধ করা উচিত তা জিজ্ঞাসা করার মতো। একটি সংখ্যার সাথে একটি শূন্য যোগ করা পেইন্টের সাথে পেইন্ট করার সমান যা সেখানে নেই। আমরা একটি শুকনো ব্রাশ নেড়ে সবাইকে বলেছিলাম যে "আমরা আঁকা।" কিন্তু আমি একটু বিমুখ।
কোণটি শূন্যের চেয়ে বড় কিন্তু পঁয়তাল্লিশ ডিগ্রির কম। আমাদের অনেক লেটুস আছে, কিন্তু পর্যাপ্ত পানি নেই। ফলস্বরূপ, আমরা পুরু borscht পেতে হবে.
কোণটি পঁয়তাল্লিশ ডিগ্রি। আমরা সমান পরিমাণ জল এবং সালাদ আছে. এটি নিখুঁত বোর্শট (আমাকে ক্ষমা করুন, শেফরা, এটি কেবল গণিত)।
কোণটি পঁয়তাল্লিশ ডিগ্রির বেশি, কিন্তু নব্বই ডিগ্রির কম। আমরা অনেক জল এবং সামান্য সালাদ আছে. আপনি তরল borscht পাবেন.
সমকোণ. আমাদের পানি আছে। সালাদ থেকে যা অবশিষ্ট থাকে তা হল স্মৃতি, কারণ আমরা সালাদকে একবার চিহ্নিত করা লাইন থেকে কোণ পরিমাপ করতে থাকি। আমরা বোর্শট রান্না করতে পারি না। বোর্স্টের পরিমাণ শূন্য। এই ক্ষেত্রে, আপনার কাছে থাকা অবস্থায় ধরে রাখুন এবং জল পান করুন)))
এখানে. এটার মতো কিছু. আমি এখানে অন্যান্য গল্প বলতে পারি যা এখানে উপযুক্ত হবে না।
দুই বন্ধুর একটি সাধারণ ব্যবসায় তাদের শেয়ার ছিল। তাদের একজনকে হত্যা করার পর সবকিছু অন্যের হাতে চলে যায়।
আমাদের গ্রহে গণিতের আবির্ভাব।
এই সমস্ত গল্প রৈখিক কৌণিক ফাংশন ব্যবহার করে গণিতের ভাষায় বলা হয়। অন্য কোন সময় আমি আপনাকে গণিতের কাঠামোতে এই ফাংশনগুলির আসল স্থান দেখাব। এর মধ্যে, আসুন বোর্শট ত্রিকোণমিতিতে ফিরে আসি এবং অনুমানগুলি বিবেচনা করি।
শনিবার, অক্টোবর 26, 2019
বুধবার, 7 আগস্ট, 2019
সম্পর্কে কথোপকথন উপসংহার, আমরা একটি অসীম সেট বিবেচনা করা প্রয়োজন. বিন্দু হল যে "অনন্ত" ধারণাটি গণিতবিদদের প্রভাবিত করে যেমন একটি বোয়া কনস্ট্রিক্টর একটি খরগোশকে প্রভাবিত করে। অসীমের কম্পিত ভয়াবহতা গণিতবিদদের সাধারণ জ্ঞান থেকে বঞ্চিত করে। এখানে একটি উদাহরণ:
মূল উৎস অবস্থিত. আলফা মানে আসল সংখ্যা। উপরের অভিব্যক্তিতে সমান চিহ্নটি নির্দেশ করে যে আপনি যদি অসীমের সাথে একটি সংখ্যা বা অসীম যোগ করেন তবে কিছুই পরিবর্তন হবে না, ফলাফলটি একই অসীম হবে। যদি আমরা একটি উদাহরণ হিসাবে প্রাকৃতিক সংখ্যার অসীম সেট গ্রহণ করি, তাহলে বিবেচিত উদাহরণগুলি এই ফর্মটিতে উপস্থাপন করা যেতে পারে:
স্পষ্টভাবে প্রমাণ করার জন্য যে তারা সঠিক ছিল, গণিতবিদরা বিভিন্ন পদ্ধতি নিয়ে এসেছিলেন। ব্যক্তিগতভাবে, আমি এই সমস্ত পদ্ধতিগুলিকে দফ দিয়ে নাচতে শামান হিসাবে দেখি। মূলত, তারা সকলেই এই বিষয়টিতে ফুটে ওঠে যে হয় কিছু রুম খালি রয়েছে এবং নতুন অতিথিরা প্রবেশ করছে, অথবা অতিথিদের জন্য জায়গা তৈরি করার জন্য কিছু দর্শককে করিডোরে ফেলে দেওয়া হয়েছে (খুব মানবিকভাবে)। আমি স্বর্ণকেশী সম্পর্কে একটি ফ্যান্টাসি গল্প আকারে এই ধরনের সিদ্ধান্ত সম্পর্কে আমার মতামত উপস্থাপন. আমার যুক্তি কি উপর ভিত্তি করে? অসীম সংখ্যক দর্শনার্থীদের স্থানান্তরিত করতে অসীম সময় লাগে। আমরা অতিথির জন্য প্রথম রুমটি খালি করার পরে, দর্শকদের একজন সর্বদা তার রুম থেকে পরের ঘরে করিডোর বরাবর হাঁটবে সময় শেষ না হওয়া পর্যন্ত। অবশ্যই, টাইম ফ্যাক্টরকে নির্বোধভাবে উপেক্ষা করা যেতে পারে, তবে এটি "মূর্খদের জন্য কোন আইন লেখা হয় না" এর বিভাগে হবে। এটা সব আমরা কি করছি তার উপর নির্ভর করে: গাণিতিক তত্ত্বের সাথে বাস্তবতাকে সামঞ্জস্য করা বা এর বিপরীতে।
একটি "অন্তহীন হোটেল" কি? একটি অসীম হোটেল হল এমন একটি হোটেল যেখানে কতগুলি রুম দখল করা হোক না কেন সবসময় যে কোনও সংখ্যক খালি বিছানা থাকে। যদি অন্তহীন "দর্শক" করিডোরের সমস্ত কক্ষ দখল করা হয়, তবে "অতিথি" কক্ষ সহ আরেকটি অন্তহীন করিডোর রয়েছে। এই ধরনের করিডোর অসীম সংখ্যক হবে। তদুপরি, "অসীম হোটেল" এর অসীম সংখ্যক বিল্ডিংগুলিতে অসীম সংখ্যক ফ্লোর রয়েছে অসীম সংখ্যক গ্রহের অসীম সংখ্যক মহাবিশ্বের অসীম সংখ্যক ঈশ্বরের দ্বারা সৃষ্ট। গণিতবিদরা সাধারণ দৈনন্দিন সমস্যা থেকে নিজেদেরকে দূরে রাখতে সক্ষম হয় না: সর্বদা একমাত্র ঈশ্বর-আল্লাহ-বুদ্ধ থাকে, শুধুমাত্র একটি হোটেল থাকে, একটি মাত্র করিডোর থাকে। তাই গণিতবিদরা হোটেল কক্ষের সিরিয়াল নম্বরগুলিকে জাগিয়ে তোলার চেষ্টা করছেন, আমাদের বোঝাচ্ছেন যে এটি "অসম্ভবকে ধাক্কা দেওয়া" সম্ভব।
আমি প্রাকৃতিক সংখ্যার অসীম সেটের উদাহরণ ব্যবহার করে আপনার কাছে আমার যুক্তির যুক্তি প্রদর্শন করব। প্রথমে আপনাকে একটি খুব সাধারণ প্রশ্নের উত্তর দিতে হবে: প্রাকৃতিক সংখ্যার কত সেট আছে - এক না অনেক? এই প্রশ্নের কোন সঠিক উত্তর নেই, যেহেতু আমরা নিজেরাই সংখ্যা আবিষ্কার করেছি প্রকৃতিতে সংখ্যা নেই। হ্যাঁ, প্রকৃতি গণনায় দুর্দান্ত, তবে এর জন্য সে অন্যান্য গাণিতিক সরঞ্জাম ব্যবহার করে যা আমাদের কাছে পরিচিত নয়। প্রকৃতি কি মনে করে তা অন্য সময় বলব। যেহেতু আমরা সংখ্যাগুলি আবিষ্কার করেছি, তাই আমরা নিজেরাই সিদ্ধান্ত নেব প্রাকৃতিক সংখ্যার কত সেট আছে। এর উভয় বিকল্প বিবেচনা করা যাক, প্রকৃত বিজ্ঞানীদের জন্য উপযুক্ত।
বিকল্প এক. "আমাদের দেওয়া হোক" প্রাকৃতিক সংখ্যার একটি একক সেট, যা শেলফে নিশ্চিন্তে থাকে। আমরা তাক থেকে এই সেট নিতে. এটিই, শেলফে অন্য কোনও প্রাকৃতিক সংখ্যা অবশিষ্ট নেই এবং সেগুলি নেওয়ার কোথাও নেই। আমরা এই সেটে একটি যোগ করতে পারি না, যেহেতু আমাদের এটি ইতিমধ্যেই আছে। আপনি যদি সত্যিই চান? সমস্যা নেই. আমরা ইতিমধ্যে যে সেটটি নিয়েছি তা থেকে আমরা একটি নিতে পারি এবং তা তাকে ফেরত দিতে পারি। এর পরে, আমরা তাক থেকে একটি নিতে পারি এবং আমরা যা রেখেছি তাতে এটি যোগ করতে পারি। ফলস্বরূপ, আমরা আবার প্রাকৃতিক সংখ্যার একটি অসীম সেট পাব। আপনি এই মত আমাদের সমস্ত ম্যানিপুলেশন লিখতে পারেন:
আমি সেটের উপাদানগুলির একটি বিশদ তালিকা সহ বীজগণিতের স্বরলিপি এবং সেট তত্ত্বের স্বরলিপিতে ক্রিয়াগুলি লিখেছি। সাবস্ক্রিপ্টটি নির্দেশ করে যে আমাদের কাছে প্রাকৃতিক সংখ্যার একটি এবং একমাত্র সেট রয়েছে। দেখা যাচ্ছে যে প্রাকৃতিক সংখ্যার সেটটি অপরিবর্তিত থাকবে শুধুমাত্র যদি এটি থেকে একটি বিয়োগ করা হয় এবং একই একক যোগ করা হয়।
বিকল্প দুই. আমাদের শেলফে প্রাকৃতিক সংখ্যার অনেক ভিন্ন ভিন্ন অসীম সেট আছে। আমি জোর দিচ্ছি - ভিন্ন, যদিও তারা কার্যত আলাদা নয়। চলুন এই সেটগুলির একটি নেওয়া যাক। তারপরে আমরা প্রাকৃতিক সংখ্যার অন্য সেট থেকে একটি গ্রহণ করি এবং আমরা ইতিমধ্যে যে সেটটি নিয়েছি তাতে এটি যোগ করি। এমনকি আমরা প্রাকৃতিক সংখ্যার দুটি সেট যোগ করতে পারি। আমরা যা পাই তা হল:
"এক" এবং "দুই" সাবস্ক্রিপ্টগুলি নির্দেশ করে যে এই উপাদানগুলি বিভিন্ন সেটের অন্তর্গত। হ্যাঁ, যদি আপনি একটি অসীম সেটে একটি যোগ করেন, ফলাফলটিও একটি অসীম সেট হবে, তবে এটি মূল সেটের মতো হবে না। আপনি যদি একটি অসীম সেটের সাথে আরেকটি অসীম সেট যোগ করেন, ফলাফলটি প্রথম দুটি সেটের উপাদান নিয়ে গঠিত একটি নতুন অসীম সেট।
প্রাকৃতিক সংখ্যার সেটটি গণনার জন্য একইভাবে ব্যবহৃত হয় যেমন একটি শাসক পরিমাপের জন্য। এখন কল্পনা করুন যে আপনি শাসকের সাথে এক সেন্টিমিটার যোগ করেছেন। এটি একটি ভিন্ন লাইন হবে, আসলটির সমান নয়।
আপনি আমার যুক্তি গ্রহণ করতে পারেন বা না মানতে পারেন - এটি আপনার নিজের ব্যবসা। কিন্তু আপনি যদি কখনও গাণিতিক সমস্যার সম্মুখীন হন, তাহলে বিবেচনা করুন যে আপনি গণিতবিদদের প্রজন্মের দ্বারা পরিচালিত মিথ্যা যুক্তির পথ অনুসরণ করছেন কিনা। সর্বোপরি, গণিত অধ্যয়ন, সর্বপ্রথম, আমাদের মধ্যে চিন্তার একটি স্থিতিশীল স্টেরিওটাইপ গঠন করে এবং কেবল তখনই আমাদের মানসিক ক্ষমতাকে যুক্ত করে (বা, বিপরীতভাবে, আমাদের মুক্ত-চিন্তা থেকে বঞ্চিত করে)।
pozg.ru
রবিবার, আগস্ট 4, 2019
আমি একটি নিবন্ধের একটি পোস্টস্ক্রিপ্ট শেষ করছিলাম এবং উইকিপিডিয়াতে এই চমৎকার লেখাটি দেখলাম:
আমরা পড়ি: "... ব্যাবিলনের গণিতের সমৃদ্ধ তাত্ত্বিক ভিত্তির একটি সামগ্রিক চরিত্র ছিল না এবং এটি একটি ভিন্ন কৌশলের সেটে পরিণত হয়েছিল, একটি সাধারণ সিস্টেম এবং প্রমাণের ভিত্তি ছাড়াই।"
কি দারুন! আমরা কতটা স্মার্ট এবং আমরা কতটা ভালোভাবে অন্যের ত্রুটি দেখতে পারি। আধুনিক গণিতকে একই দৃষ্টিকোণ থেকে দেখা কি আমাদের পক্ষে কঠিন? উপরোক্ত টেক্সটটি সামান্য ব্যাখ্যা করে, আমি ব্যক্তিগতভাবে নিম্নলিখিত পেয়েছি:
আধুনিক গণিতের সমৃদ্ধ তাত্ত্বিক ভিত্তির একটি সামগ্রিক চরিত্র নেই এবং এটি একটি সাধারণ সিস্টেম এবং প্রমাণের ভিত্তি ব্যতীত ভিন্ন ভিন্ন বিভাগের একটি সেটে হ্রাস পেয়েছে।
আমি আমার শব্দগুলি নিশ্চিত করতে বেশিদূর যাব না - এটিতে একটি ভাষা এবং নিয়ম রয়েছে যা গণিতের অন্যান্য অনেক শাখার ভাষা এবং নিয়মাবলী থেকে আলাদা। গণিতের বিভিন্ন শাখায় একই নামের বিভিন্ন অর্থ হতে পারে। আমি আধুনিক গণিতের সবচেয়ে স্পষ্ট ভুলগুলির জন্য প্রকাশনার একটি সম্পূর্ণ সিরিজ উৎসর্গ করতে চাই। শীঘ্রই আবার দেখা হবে.
শনিবার, 3 আগস্ট, 2019
কিভাবে একটি সেটকে উপসেটে ভাগ করবেন? এটি করার জন্য, আপনাকে পরিমাপের একটি নতুন ইউনিট প্রবেশ করতে হবে যা নির্বাচিত সেটের কিছু উপাদানে উপস্থিত রয়েছে। এর একটি উদাহরণ তাকান.
আমরা প্রচুর আছে কচার জনের সমন্বয়ে গঠিত। এই সেটটি "মানুষ" এর ভিত্তিতে তৈরি করা হয়েছে, আসুন আমরা এই সেটের উপাদানগুলিকে অক্ষর দ্বারা বোঝাই ক, একটি সংখ্যা সহ সাবস্ক্রিপ্ট এই সেটের প্রতিটি ব্যক্তির ক্রমিক নম্বর নির্দেশ করবে। আসুন পরিমাপের একটি নতুন একক "লিঙ্গ" প্রবর্তন করি এবং এটিকে অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করি খ. যেহেতু যৌন বৈশিষ্ট্য সব মানুষের অন্তর্নিহিত, তাই আমরা সেটের প্রতিটি উপাদানকে গুণ করি কলিঙ্গ উপর ভিত্তি করে খ. লক্ষ্য করুন যে আমাদের "মানুষ" এর সেটটি এখন "লিঙ্গ বৈশিষ্ট্যযুক্ত ব্যক্তিদের" একটি সেটে পরিণত হয়েছে। এর পরে আমরা পুরুষদের মধ্যে যৌন বৈশিষ্ট্যগুলিকে ভাগ করতে পারি bmএবং মহিলাদের bwযৌন বৈশিষ্ট্য। এখন আমরা একটি গাণিতিক ফিল্টার প্রয়োগ করতে পারি: আমরা এই যৌন বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে একটি নির্বাচন করি, পুরুষ বা মহিলা যাই হোক না কেন। যদি একজন ব্যক্তির এটি থাকে তবে আমরা এটিকে এক দ্বারা গুণ করি, যদি এমন কোন চিহ্ন না থাকে তবে আমরা এটিকে শূন্য দিয়ে গুণ করি। এবং তারপরে আমরা নিয়মিত স্কুলের গণিত ব্যবহার করি। দেখুন কি হয়েছে।
গুণ, হ্রাস এবং পুনর্বিন্যাস করার পরে, আমরা দুটি উপসেট দিয়ে শেষ করেছি: পুরুষদের উপসেট বি.এমএবং মহিলাদের একটি উপসেট Bw. গণিতবিদরা প্রায় একইভাবে যুক্তি দেন যখন তারা অনুশীলনে সেট তত্ত্ব প্রয়োগ করেন। কিন্তু তারা আমাদের বিশদ বিবরণ দেয় না, তবে আমাদের সমাপ্ত ফলাফল দেয় - "অনেক লোকে পুরুষদের একটি উপসেট এবং মহিলাদের একটি উপসেট নিয়ে গঠিত।" স্বাভাবিকভাবেই, আপনার একটি প্রশ্ন থাকতে পারে: উপরে বর্ণিত রূপান্তরগুলিতে গণিত কতটা সঠিকভাবে প্রয়োগ করা হয়েছে? আমি আপনাকে আশ্বস্ত করতে সাহস করি যে মূলত সবকিছু সঠিকভাবে করা হয়েছিল; পাটিগণিত, বুলিয়ান বীজগণিত এবং গণিতের অন্যান্য শাখাগুলির গাণিতিক ভিত্তি জানা যথেষ্ট। এটা কি? অন্য কোন সময় আমি আপনাকে এই সম্পর্কে বলব.
সুপারসেটের ক্ষেত্রে, আপনি এই দুটি সেটের উপাদানগুলিতে উপস্থিত পরিমাপের একক নির্বাচন করে দুটি সেটকে একটি সুপারসেটে একত্রিত করতে পারেন।
আপনি দেখতে পাচ্ছেন, পরিমাপের একক এবং সাধারণ গণিত সেট তত্ত্বকে অতীতের একটি অবশেষ করে তোলে। সেট তত্ত্বের সাথে সবকিছু ঠিকঠাক নয় এমন একটি লক্ষণ হল যে গণিতবিদরা সেট তত্ত্বের জন্য তাদের নিজস্ব ভাষা এবং স্বরলিপি নিয়ে এসেছেন। গণিতবিদরা একবার শামানদের মতো কাজ করেছিলেন। শুধুমাত্র শামানরা জানে কিভাবে তাদের "জ্ঞান"কে "সঠিকভাবে" প্রয়োগ করতে হয়। তারা আমাদের এই "জ্ঞান" শেখায়।
উপসংহারে, আমি আপনাকে দেখাতে চাই কিভাবে গণিতবিদরা ম্যানিপুলেট করে।
সোমবার, জানুয়ারী 7, 2019
খ্রিস্টপূর্ব পঞ্চম শতাব্দীতে, এলিয়ার প্রাচীন গ্রীক দার্শনিক জেনো তার বিখ্যাত অ্যাপোরিয়াস তৈরি করেছিলেন, যার মধ্যে সবচেয়ে বিখ্যাত হল "অ্যাকিলিস এবং কচ্ছপ" অ্যাপোরিয়া। এখানে এটির মত শোনাচ্ছে:
ধরা যাক অ্যাকিলিস কচ্ছপের চেয়ে দশগুণ দ্রুত দৌড়ায় এবং তার থেকে এক হাজার ধাপ পিছনে রয়েছে। এই দূরত্ব চালাতে অ্যাকিলিসের সময় লাগবে, কচ্ছপটি একই দিকে একশো ধাপ হামাগুড়ি দেবে। অ্যাকিলিস যখন একশো কদম দৌড়ায়, তখন কচ্ছপ আরও দশ ধাপ হামাগুড়ি দেয়, ইত্যাদি। প্রক্রিয়াটি অনন্তকাল অব্যাহত থাকবে, অ্যাকিলিস কখনই কচ্ছপের সাথে ধরা দেবে না।
এই যুক্তি পরবর্তী সমস্ত প্রজন্মের জন্য একটি যৌক্তিক শক হয়ে ওঠে। অ্যারিস্টটল, ডায়োজেনিস, কান্ট, হেগেল, হিলবার্ট... তারা সকলেই জেনোর অপোরিয়াকে এক বা অন্যভাবে বিবেচনা করেছিলেন। ধাক্কাটা এতটাই শক্তিশালী ছিল যে " ... আলোচনা আজ অবধি চলছে; বৈজ্ঞানিক সম্প্রদায় এখনও প্যারাডক্সের সারাংশ সম্পর্কে একটি সাধারণ মতামতে আসতে সক্ষম হয়নি ... গাণিতিক বিশ্লেষণ, সেট তত্ত্ব, নতুন শারীরিক এবং দার্শনিক পদ্ধতিগুলি এই সমস্যাটির অধ্যয়নের সাথে জড়িত ছিল। ; তাদের মধ্যে কোনটিই সমস্যার সাধারণভাবে গৃহীত সমাধান হয়ে ওঠেনি..."[উইকিপিডিয়া, "জেনো'স অ্যাপোরিয়া"। সবাই বোঝে যে তাদের বোকা বানানো হচ্ছে, কিন্তু কেউ বুঝতে পারে না যে প্রতারণা কিসের।
গাণিতিক দৃষ্টিকোণ থেকে, জেনো তার অ্যাপোরিয়াতে পরিমাণ থেকে পরিবর্তিত হওয়ার বিষয়টি স্পষ্টভাবে দেখিয়েছেন। এই রূপান্তরটি স্থায়ীগুলির পরিবর্তে প্রয়োগকে বোঝায়। যতদূর আমি বুঝতে পারি, পরিমাপের পরিবর্তনশীল একক ব্যবহার করার জন্য গাণিতিক যন্ত্রপাতি হয় এখনও তৈরি হয়নি, বা এটি জেনোর অ্যাপোরিয়াতে প্রয়োগ করা হয়নি। আমাদের স্বাভাবিক যুক্তি প্রয়োগ করা আমাদের একটি ফাঁদে নিয়ে যায়। আমরা, চিন্তার জড়তার কারণে, পারস্পরিক মূল্যে সময়ের ধ্রুবক একক প্রয়োগ করি। দৈহিক দৃষ্টিকোণ থেকে, এটি অ্যাকিলিস কচ্ছপের সাথে ধরা পড়ার মুহুর্তে সম্পূর্ণরূপে থেমে না যাওয়া পর্যন্ত সময় ধীরগতির মতো দেখায়। সময় থেমে গেলে, অ্যাকিলিস আর কাছিমকে ছাড়িয়ে যেতে পারবে না।
আমরা যদি আমাদের স্বাভাবিক যুক্তিকে ঘুরিয়ে দেখি, সবকিছু জায়গায় পড়ে। অ্যাকিলিস একটা স্থির গতিতে দৌড়ায়। তার পথের প্রতিটি পরবর্তী সেগমেন্ট আগেরটির চেয়ে দশগুণ ছোট। তদনুসারে, এটি কাটিয়ে উঠতে ব্যয় করা সময় আগেরটির চেয়ে দশগুণ কম। আমরা যদি এই পরিস্থিতিতে "অনন্ত" ধারণাটি প্রয়োগ করি, তবে এটি বলা সঠিক হবে "অ্যাকিলিস অসীমভাবে দ্রুত কচ্ছপটিকে ধরবে।"
কিভাবে এই যৌক্তিক ফাঁদ এড়াতে? সময়ের স্থির এককে থাকুন এবং পারস্পরিক এককগুলিতে স্যুইচ করবেন না। জেনোর ভাষায় এটি এইরকম দেখায়:
অ্যাকিলিসকে এক হাজার কদম ছুটতে যে সময় লাগবে, কচ্ছপটি একই দিকে একশো কদম হামাগুড়ি দেবে। পরের সময়ের ব্যবধানে প্রথমটির সমান, অ্যাকিলিস আরও হাজার কদম চালাবে এবং কচ্ছপটি একশো কদম হাঁটবে। এখন অ্যাকিলিস কচ্ছপের চেয়ে আটশো ধাপ এগিয়ে।
এই পন্থা কোন যৌক্তিক প্যারাডক্স ছাড়াই বাস্তবতাকে যথাযথভাবে বর্ণনা করে। কিন্তু এটি সমস্যার সম্পূর্ণ সমাধান নয়। আলোর গতির অপ্রতিরোধ্যতা সম্পর্কে আইনস্টাইনের বিবৃতি জেনোর অ্যাপোরিয়া "অ্যাকিলিস এবং কচ্ছপ" এর সাথে খুব মিল। আমাদের এখনও অধ্যয়ন করতে হবে, পুনর্বিবেচনা করতে হবে এবং এই সমস্যার সমাধান করতে হবে। এবং সমাধানটি অসীমভাবে বড় সংখ্যায় নয়, পরিমাপের এককের মধ্যে চাওয়া উচিত।
জেনোর আরেকটি আকর্ষণীয় অ্যাপোরিয়া একটি উড়ন্ত তীর সম্পর্কে বলে:
একটি উড়ন্ত তীর গতিহীন, যেহেতু সময়ের প্রতিটি মুহূর্তে এটি বিশ্রামে থাকে এবং যেহেতু এটি সময়ের প্রতিটি মুহূর্তে বিশ্রামে থাকে, তাই এটি সর্বদা বিশ্রামে থাকে।
এই অপোরিয়াতে, লজিক্যাল প্যারাডক্সটি খুব সহজভাবে কাটিয়ে উঠেছে - এটি স্পষ্ট করার জন্য যথেষ্ট যে সময়ের প্রতিটি মুহুর্তে একটি উড়ন্ত তীর মহাকাশের বিভিন্ন পয়েন্টে বিশ্রামে থাকে, যা আসলে গতি। এখানে আরেকটি বিষয় উল্লেখ করা প্রয়োজন। রাস্তায় একটি গাড়ির একটি ছবি থেকে এটির গতিবিধি বা এর দূরত্ব নির্ণয় করা অসম্ভব। একটি গাড়ি চলমান কিনা তা নির্ধারণ করতে, আপনার একই পয়েন্ট থেকে বিভিন্ন সময়ে তোলা দুটি ফটোগ্রাফ প্রয়োজন, তবে আপনি তাদের থেকে দূরত্ব নির্ধারণ করতে পারবেন না। একটি গাড়ির দূরত্ব নির্ধারণ করার জন্য, আপনার একটি সময়ে মহাকাশের বিভিন্ন বিন্দু থেকে তোলা দুটি ফটোগ্রাফের প্রয়োজন, কিন্তু সেগুলি থেকে আপনি গতিবিধির সত্যতা নির্ধারণ করতে পারবেন না (অবশ্যই, আপনার এখনও গণনার জন্য অতিরিক্ত ডেটা প্রয়োজন, ত্রিকোণমিতি আপনাকে সাহায্য করবে। ) আমি যে বিষয়ে বিশেষ মনোযোগ আকর্ষণ করতে চাই তা হল সময়ের দুটি বিন্দু এবং স্থানের দুটি বিন্দু ভিন্ন জিনিস যা বিভ্রান্ত করা উচিত নয়, কারণ তারা গবেষণার জন্য বিভিন্ন সুযোগ প্রদান করে।
আমি আপনাকে একটি উদাহরণ সহ প্রক্রিয়া দেখাব। আমরা "একটি পিম্পলের মধ্যে লাল কঠিন" নির্বাচন করি - এটি আমাদের "পুরো"। একই সময়ে, আমরা দেখতে পাই যে এই জিনিসগুলি একটি ধনুকের সাথে রয়েছে এবং একটি ধনুক ছাড়াই রয়েছে। এর পরে, আমরা "পুরো" এর অংশ নির্বাচন করি এবং "ধনুক সহ" একটি সেট তৈরি করি। এভাবেই শামানরা তাদের সেট তত্ত্বকে বাস্তবের সাথে বেঁধে তাদের খাদ্য পায়।
এবার একটু কৌশল করা যাক। আসুন "ধনুক সহ একটি পিম্পল সহ কঠিন" নিই এবং লাল উপাদানগুলি নির্বাচন করে রঙ অনুসারে এই "পুরোগুলি" একত্রিত করি। আমরা অনেক "লাল" পেয়েছি। এখন চূড়ান্ত প্রশ্ন: ফলাফল "ধনুক সহ" এবং "লাল" একই সেট নাকি দুটি ভিন্ন সেট? উত্তরটা শুধু শামানরাই জানে। আরও স্পষ্টভাবে, তারা নিজেরাই কিছু জানে না, তবে তারা যেমন বলে, তাই হবে।
এই সহজ উদাহরণ দেখায় যে সেট তত্ত্বটি বাস্তবে আসলে সম্পূর্ণরূপে অকেজো। রহস্য কি? আমরা একটি সেট গঠন "একটি পিম্পল এবং একটি ধনুক সঙ্গে লাল কঠিন।" গঠনটি পরিমাপের চারটি ভিন্ন এককে সংঘটিত হয়েছিল: রঙ (লাল), শক্তি (কঠিন), রুক্ষতা (পিম্পলি), সজ্জা (ধনুক সহ)। শুধুমাত্র পরিমাপের এককগুলির একটি সেট আমাদেরকে গণিতের ভাষায় প্রকৃত বস্তুগুলিকে পর্যাপ্তভাবে বর্ণনা করতে দেয়. এটা কি মত দেখায়.
বিভিন্ন সূচক সহ "a" অক্ষরটি পরিমাপের বিভিন্ন একক নির্দেশ করে। পরিমাপের একক যার দ্বারা প্রাথমিক পর্যায়ে "সম্পূর্ণ" আলাদা করা হয় বন্ধনীতে হাইলাইট করা হয়। পরিমাপের একক যার দ্বারা সেটটি তৈরি হয় তা বন্ধনী থেকে বের করা হয়। শেষ লাইনটি চূড়ান্ত ফলাফল দেখায় - সেটের একটি উপাদান। আপনি দেখতে পাচ্ছেন, যদি আমরা একটি সেট তৈরি করতে পরিমাপের একক ব্যবহার করি, তাহলে ফলাফল আমাদের কর্মের ক্রম উপর নির্ভর করে না। এবং এটি গণিত, এবং দফের সাথে শামানদের নাচ নয়। শামানরা "স্বজ্ঞাতভাবে" একই ফলাফলে আসতে পারে, যুক্তি দিয়ে যে এটি "স্পষ্ট" কারণ পরিমাপের একক তাদের "বৈজ্ঞানিক" অস্ত্রাগারের অংশ নয়।
পরিমাপের একক ব্যবহার করে, একটি সেটকে বিভক্ত করা বা একাধিক সেটকে একটি সুপারসেটে একত্রিত করা খুব সহজ। আসুন এই প্রক্রিয়াটির বীজগণিতটি ঘনিষ্ঠভাবে দেখে নেওয়া যাক।
এই নিবন্ধটি রয়েছে সাইন, কোসাইন, স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্টের সারণী. প্রথমত, আমরা ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের মৌলিক মানের একটি টেবিল প্রদান করব, অর্থাৎ 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 ডিগ্রি কোণের সাইন, কোসাইন, স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্টের একটি টেবিল ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2πরেডিয়ান)। এর পরে, আমরা সাইন এবং কোসাইনগুলির একটি সারণী দেব, সেইসাথে ভি.এম. ব্র্যাডিসের দ্বারা স্পর্শক এবং কোট্যানজেন্টের একটি সারণী দেব এবং দেখাব কিভাবে ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের মান খুঁজে বের করার সময় এই টেবিলগুলি ব্যবহার করতে হয়।
পৃষ্ঠা নেভিগেশন.
0, 30, 45, 60, 90, ... ডিগ্রি কোণের জন্য সাইন, কোসাইন, স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্টের সারণী
গ্রন্থপঞ্জি।
- বীজগণিত:পাঠ্যপুস্তক 9ম শ্রেণীর জন্য। গড় স্কুল/ইউ। N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; এড. এস. এ. টেলিকভস্কি - এম.: এডুকেশন, 1990। - 272 পিপি: আইএসবিএন 5-09-002727-7
- বাশমাকভ এম. আই।বীজগণিত এবং বিশ্লেষণের শুরু: পাঠ্যপুস্তক। 10-11 গ্রেডের জন্য। গড় বিদ্যালয় - 3য় সংস্করণ। - এম।: শিক্ষা, 1993। - 351 পি।: অসুস্থ। - আইএসবিএন 5-09-004617-4।
- বীজগণিতএবং বিশ্লেষণের শুরু: Proc. 10-11 গ্রেডের জন্য। সাধারণ শিক্ষা প্রতিষ্ঠান / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn এবং অন্যান্য; এড. A. N. Kolmogorov - 14th Ed. - M.: Education, 2004. - 384 pp. - ISBN 5-09-013651-3.
- গুসেভ ভি.এ., মর্ডকোভিচ এ.জি.গণিত (যারা কারিগরি স্কুলে প্রবেশ করছে তাদের জন্য একটি ম্যানুয়াল): Proc. ভাতা।- এম।; ঊর্ধ্বতন স্কুল, 1984.-351 পি।, অসুস্থ।
- ব্র্যাডিস ভি.এম.চার অঙ্কের গণিত টেবিল: সাধারণ শিক্ষার জন্য। পাঠ্যপুস্তক প্রতিষ্ঠান - ২য় সংস্করণ। - এম.: বাস্টার্ড, 1999.- 96 পি.: অসুস্থ। আইএসবিএন 5-7107-2667-2