Определение момента инерции физического маятника. Измерение момента инерции маятника Определить момент инерции маятника относительно центра масс

ВЫВОД РАСЧЕТНОЙ ФОРМУЛЫ

Физическим маятником называется твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси О , не проходящей через центр масстела точку С (рис. 2.1).

Если маятник выведен из положения равновесия на некоторый угол j , то составляющая силы тяжести уравновешивается силой реакции оси О , а составляющая стремится возвратить маятник в положение равновесия. Все силы приложены к центру масс тела. При этом

. (2.1)

Знак минус означает, что угловое смещение j и возвращающая сила имеют противоположные направления. При достаточно малых углах отклонения маятника из положения равновесия sinj » j , поэтому F t » -mgj . Поскольку маятник в процессе колебаний совершает вращательное движение относительно оси О , то оно может быть описано основным законом динамики вращательного движения

где М – момент силы F t относительно оси О , I – момент инерции маятника относительно оси О , – угловое ускорение маятника.

Момент силы в данном случае равен

M = F t ×l = –mgj×l , (2.3)

где l – расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника.

С учетом (2.2) уравнение (2.3) можно записать

(2.4)

где .

Решением дифференциального уравнения (2.5) является функция, позволяющая определить положение маятника в любой момент времени t ,

j=j 0 × cos(w 0 t+a 0) . (2.6)

Из выражения (2.6) следует, что при малых колебаниях физический маятник совершает гармонические колебания с амплитудой колебаний j 0 , циклической частотой , начальной фазой a 0 и периодом, определяемым по формуле

где L=I/(mg) – приведенная длина физического маятника, т. е. длина такого математического маятника, период которого совпадает с периодом физического маятника. Формула (2.7) позволяет определить момент инерции твердого тела относительно любой оси, если измерен период колебаний этого тела относительно этой оси. Если физический маятник имеет правильную геометрическую форму и его масса равномерно распределена по всему объему, в формулу (2.7) можно подставить соответствующее выражение для момента инерции (Приложение 1).

В эксперименте исследуется физический маятник, называемый оборотным и представляющий собой тело, колеблющееся вокруг осей, расположенных на разном расстоянии от центра тяжести тела.

Оборотный маятник состоит из металлического стержня, на котором неподвижно укреплены опорные призмы О 1 и О 2 и две подвижные чечевицы А и B , которые могут закрепляться в определённом положении с помощью винтов (рис. 2.2).

Физический маятник совершает гармонические колебания при малых углах отклонения от положения равновесия . Период таких колебаний определяется соотношением (2.7)

,

где I – момент инерции маятника относительно оси вращения, m – масса маятника, d – расстояние от точки подвеса до центра масс, g – ускорение силы тяжести.

Применяемый в работе физический маятник имеет две опорные призмы О 1 и О 2 для подвешивания. Такой маятник называется оборотным.

Сначала маятник подвешивают на кронштейн опорной призмой О 1 и определяют период колебаний Т 1 относительно этой оси:

(2.8)

Затем маятник подвешивают призмой О 2 и определяют Т 2:

Таким образом, моменты инерции I 1 и I 2 О 1 и О 2 , будут соответственно равны и . Масса маятника m и периоды колебаний Т 1 и Т 2 могут быть измерены с высокой степенью точности.

По теореме Штейнера

где I 0 – момент инерции маятника относительно оси, проходящей через центр тяжести. Таким образом, момент инерции I 0 можно определить,зная моменты инерции I 1 и I 2 .

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Снимите маятник с кронштейна, поместите его на трёхгранную призму так, чтобы расстояния от опоры до призм О 1 и О 2 не были равны между собой. Передвигая чечевицу вдоль стержня, установите маятник в положение равновесия, после чего закрепите чечевицу винтом.

2. Измерьте расстояние d 1 от точки равновесия (центр масс С ) до призмы О 1 и d 2 – от С до призмы О 2 .

3. Подвесив маятник опорной призмой О 1 , определите период колебаний , где N – число колебаний (не более 50 ).

4. Аналогичным образом определите период колебаний Т 2 относительно оси, проходящей через ребро призмы О 2 .

5. Подсчитайте моменты инерции I 1 и I 2 относительно осей, проходящих через опорные призмы О 1 и О 2 , по формулам и , измерив массу маятника m и периоды колебаний Т 1 и Т 2 . Из формул (2.10) и (2.11) определите момент инерции маятника относительно оси, проходящей через центр тяжести (масс) I 0 . Из двух опытов найдите среднее < I 0 > .

Физическим маятником называется твердое тело, способное совершать колебания вокруг неподвижной точки, не совпадающей с его центром инерции. В положении равновесия центр инерции маятника С находится под точкой подвеса маятника O, на одной с ней вертикали (рис. 50). При отклонении маятника от положения равновесия на угол α возникает вращательный момент, стремящийся вернуть маятник в положение равновесия. Этот момент равен

М = – mglsin(α)

где m – масса маятника, а l – расстояние между точкой подвеса и центром инерции маятника. Знак «–» означает, что вращательный момент стремится вернуть маятник в положение равновесия, т. е. направлен в сторону, противоположную изменения угла Δα. Обозначив момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса, буквой J , можно написать:

Введем обозначение:

Тогда для малых отклонений, когда выполняется условие sin(α) ≈ α, получаем уравнение гармонических колебаний:

При малых отклонениях от положения равновесия физический маятник совершает гармонические колебания, циклическая частота которых определяется формулой (137). Соответственно, период колебаний физического маятника равен:

Физический маятник

Из сопоставления формул (139) и (134) следует, что математический маятник с длиной

будет иметь такой период колебаний, как и данный физический маятник. Величину (140) называют приведенной длиной физического маятника. Таким образом,приведенная длина физического маятника – это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом данного физического маятника.

Точка на прямой, соединяющей точку подвеса с центром инерции, лежащая на расстоянии приведенной длины от оси вращения, называется центром качания физического маятника (см. точку О" на рис. 50).

По теореме Штейнера момент инерции маятника l может быть представлен в виде

J = J 0 + ml 2 , (141)

где J 0 – момент инерции относительно оси, параллельной оси вращения и проходящей через центр инерции маятника. Подставив (141) в формулу (140), получаем:

Из (142) следует, что приведенная длина всегда больше l , так что точка подвеса и центр качания лежат по разные стороны от центра инерции.

Подвесим маятник в точке, совпадающей с центром качания О". В соответствии с (142) приведенная длина в этом случае будет равна

где l" – расстояние между первоначальным центром качания и центром инерции маятника. Учитывая, что l" = L – l , выражение (143) можно записать следующим образом:

Поскольку J 0 + ml 2 равно моменту инерции относительно первоначальной оси вращения J , и этой же величине, согласно (140) равно выражение mlL , то числитель дроби будет равен нулю. Поэтому L" = L. Это означает, что при подвешивании маятника в центре качания приведенная длина, а значит, и период колебаний будут теми же, что и вначале. Следовательно, точка подвеса и центр качания обладают свойством взаимности: при переносе точки подвеса в центр качания прежняя точка подвеса становится новым центром качания.

Это положение называется

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ № 1.2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ФИЗИЧЕСКОГО

МАЯТНИКА

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: определить момент инерции физического маятника и исследовать зависимость момента инерции от положения центра масс маятника относительно оси вращения.

ПРИБОРЫ И ПРИНАДЛЕЖНОСТИ: физический маятник на кронштейне, секундомер, призма на подставке, масштабная линейка.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ

Периодические смещения тела относительно некоторого устойчивого положения (положения равновесия) называют колебательным движением или простыми колебаниями . Колебательные движения в общем случае представляют собой сложные физические процессы. Учение о колебаниях служит основой целого ряда прикладных дисциплин (акустика, теория машин, сейсмология и др.).

Простейшим видом колебаний является гармоническое колебательное движение. Гармонические колебания тела возникают при действии на него силы, пропорциональной смещению, т.е. . Эту силу называют квазиупругой или возвращающей. Природа возвращающей силы может быть различна (сила упругости, гравитации и др.) При гармоническом движении зависимость пути (смещения ) от времени выражается функцией синуса или косинуса:

где максимальное смещение тела от положения равновесия (амплитуда),

круговая или циклическая частота,

Время одного полного колебания (период),

начальная фаза колебания .

Ускорение тела, совершающего гармонические колебания, пропорционально смещению и направлено всегда в сторону равновесия, т.е. для каждого момента времени смещение и ускорение имеют противоположные знаки:

. (1)

Гармонические колебания совершают маятники под действием силы тяжести, если углы отклонения от отвесного положения (положения равновесия) малы.

Маятники бывают простые и сложные. Тело малых размеров (материальная точка), подвешенное на длинной нити, растяжением и весом которой можно пренебречь, называют простым или математическим маятником . Твердое тело произвольной формы, укрепленное на горизонтальной оси, не проходящей через центр тяжести, представляет собой сложный или физический маятник .

Всякое твердое тело можно рассматривать как совокупность неизменно соединенных материальных точек с массами , , . . ., , поэтому момент инерции физического маятника можно определить как сумму моментов инерции всех его материальных точек:

, (2)

где r – расстояние от каждой из них до оси вращения.

На практике воспользоваться формулой (2) не представляется возможным, поэтому для определения момента инерции физического маятника мы опишем его колебания с помощью закона динамики вращательного движения.

На физический маятник действуют две силы: сила тяжести, приложенная к центру тяжести маятника (точке ), и сила реакции опоры, приложенная в месте крепления маятника, где проходит ось вращения.

При отклонении физического маятника от положения равновесия на угол (рис.1) сила тяжести будет создавать вращательный момент, под действием которого начнутся колебания.

Рис. 1

Момент силы тяжести определяет угловое ускорение .

Если обозначить расстояние от оси вращения до центра тяжести через , то момент силы тяжести выразится так:

или при малых углах

, (3)

где плечо силы тяжести, масса маятника, ускорение свободного падения тела. «-» объясняется возвращающим характером момента силы. Он направлен противоположно углу отклонения маятника.

При колебаниях маятника центр его тяжести движется по дуге круга, поэтому описать его движение можно с помощью закона динамики вращательного движения. Он запишется в виде:

, (4)

где момент инерции тела относительно оси вращения .

Подставив в уравнение (4) значение (3) и решив его относительно углового ускорения, получим

, (5)

Уравнение (5) отличается от уравнения (1) только тем, что в него входят угловые величины вместо линейных.

Из сравнения уравнений (1) и (5) следует, что или , откуда получается формула для периода колебаний физического маятника:

. (6)

Из формулы периода колебаний физического маятника (5) найдем его момент инерции:

, (7)

где период колебаний маятника.

Это выражение является расчетной формулой для определения момента инерции физического маятника.

МЕТОДИКА ЭКСПЕРИМЕНТА И ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ

Физический маятник в данной работе состоит из стального стержня О D , на котором винтами крепится массивное тело В цилиндрической формы (рис.2). При освобождении опорных винтов, тело В можно перемещать по стержню и, следовательно, изменять положение центра тяжести маятника.

Для подвеса маятника служит специальный кронштейн, на который подвешивается маятник в точке .

Рис. 2

Рис. 3

Для нахождения центра тяжести маятника (точка ) служит специальная призма, укрепленная на устойчивой подставке (ребро стула). Маятник кладется горизонтально на ребро этой призмы и, наблюдая за балансированием, отыскивается такое положение, при котором моменты сил тяжести, действующие на правую и левую части маятника, окажутся равными (рис.3). При таком положении центр тяжести маятника будет расположен в стержне против точки опоры. Расстояние определяется при помощи масштабной линейки.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Определяют общую массу маятника (стержень и груз) в килограммах.
2. Укрепив груз В на конце стержня , определяют на какой-либо опоре положение точки и измеряют расстояние r масштабной линейкой.
3. Подвесив маятник на кронштейн, отклоняют его от положения равновесия на небольшой угол (конец стержня отводят на расстояние 6-8 см) и отпускают его. Пропустив 3-4 полных колебания, пускают в ход секундомер в тот момент, когда маятник достигает максимального отклонения. Определяют время 3050 полных колебаний маятника ().
4. Повторяют описанную в пункте 3 операцию еще 3 раза и по полученным данным определяют среднее значение периода колебаний маятника при данном положении груза.
5. Передвигают груз по стержню на 6-7 см и повторяют описанные операции определения и при новом положении груза B .
6. Работа заканчивается, если таких перемещений груза с сопровождающими измерениями проделано 3-5 раз.
7. Полученные опытные данные подставляют в формулу (7) и вычисляют в системе единиц СИ моменты инерции маятника при разных расстояниях центра тяжести от оси вращения.
8. Запись результатов измерений и вычислений производится в таблице:

	Кг					кг·м 2	Кг·м 2	Кг·м 2	Кг·м 2
	Кг					кг·м 2	Кг·м 2	Кг·м 2	Кг·м 2
	Кг					кг·м 2	Кг·м 2	Кг·м 2	Кг·м 2

1. Результаты моментов инерции записываются в стандартном виде (в виде интервалов).
2. По результатам таблицы делается вывод о зависимости момента инерции физического маятника от положения центра его тяжести.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Какие колебания называются свободными?
2. Какие колебания называются гармоническими?
3. Запишите уравнение свободных гармонических колебаний.
4. Что такое частота колебаний, их период и амплитуда?
5. Какие характеристики гармонических колебаний не изменяются с течением времени?
6. Какие характеристики колебаний являются гармоническими функциями времени?
7. Дайте определение моменту инерции материальной точки и моменту инерции тела.
8. Дайте определение физическому маятнику. Как момент инерции физического маятника зависит от положения цилиндра на стержне?
9. Дайте 2! определения моменту силы (через расстояние от центра тяжести до оси вращения и через плечо силы). Как определить направление момента силы?
10. Запишите основной закон динамики для вращательного движения и получите формулу для периода колебаний физического маятника с сопутствующими объяснениями (используйте дополнительную литературу).

Определение момента инерции тел методом колебаний

Физический маятник – это твёрдое тело, способное совершать колебания вокруг оси, лежащей выше его центра масс. Такое «устройство» оказывается весьма полезным. Так, с его помощью очень просто и с огромной степенью точности определяется ускорение силы тяжести. Также физический маятник позволяет определять моменты инерции различных твёрдых тел.

Малые колебание маятника вокруг оси – это его небольшие повороты в противоположные стороны, поэтому понять колебания физического маятника – это понять механику вращения. Механика вращения имеет тесную аналогию с механикой поступательного движения. Аналогия проявляется в основных понятиях механики, её идеях и закономерностях, и как следствие – в формулах и уравнениях, что удобно представить в виде «таблицы аналогий », которую следует твердо усвоить:

I. Кинематика

Поступательное движение Вращательное движение

II. Динамика

Основной закон динамики (уравнение движения)

a =F /m

ε =M/I z

Мы видим, что в динамике вращения появились три новые величины с замысловатыми названиями: момент силы, момент инерции, момент импульса (он же угловой момент, он же вращательный импульс !). Да не болит голова у читателя по поводу таких названий; они появились в результате терминологических недоразумений прошлых веков с добавкой неадекватности перевода с иностранных языков; совершенно бесполезно вникать в смысл этих названий. Их надо просто запомнить. Для момента импульса это недоразумение достигает максимума – целых три названия. К счастью, одно из них оказалось порядочным – вращательный импульс , что просто отражает его аналогию соответствующей величине поступательного движения – обычному импульсу.

Дадим пояснения моменту силы M и моменту инерции I z .

Момент силы . Возьмём твёрдое тело, закреплённое на оси. Приложим к нему в некоторой точке силу, и пусть линия действия силы пересекает ось вращения. Такая сила либо изогнёт ось вращения, либо вырвет ось из своего укрепления вместе с телом, ничего более.

Изменим немного опыт – сдвинем линию действия той же силы от оси на расстояние l . Эффект скажется незамедлительно: тело начнёт легко поворачиваться. Сила приобрела способность поворачивать тело. Эту способность силы поворачивать называют «моментом силы» . Повседневный опыт говорит, что способность силы поворачивать тело зависит не только от силы, но и от «плеча силы» l (кратчайшего расстояния от линии действия силы до оси вращения). В итоге величина момента силы равна произведению силы на плечо :

Момент инерции относительно оси . Как уже было отмечено в «таблице аналогий», момент инерции (не обращать внимание на заумное название!) – величина, характеризующая инертность тела при вращении. Рассмотрим два совершенно одинаковых по форме и размерам волчка, но с заметно отличающими массами, скажем, алюминиевый и свинцовый. Мы легко обнаружим, что раскрутить до некоторой скорости (а так же потом остановить!) алюминиевый волчок гораздо легче, чем свинцовый. Значит, инертность тела при его вращении пропорциональна массе.

Далее, если бы у нас была возможность сильно расплющить любой волчок, отодвинув значительную часть его массы как можно дальше от оси вращения, превратив его в диск, то мы бы тот час обнаружили, что раскручивать (и останавливать) его стало заметно труднее, по сравнению с тем, когда он был компактным. Значит, инертность тела при вращении зависит не только от массы, но и от степени удаления её частей от оси вращения.

Момент инерции материальной точки массы m, находящейся на расстоянии r относительно оси z (рис. 1), есть величина, равная произведению её массы на квадрат расстояния до оси вращения

I z = mr 2 (2)

А чему равен момент инерции произвольного тела (рис.2)? Опыт показывает, что он равен сумме моментов инерции частей, на которые можно разбить любое тело. Замечательно при этом, что величина момента инерции не зависит от способа разбиения целого на части (это свойство называется аддитивностью; оно нам при годится для проверки результатов лабораторной работы). Разбивая тело на весьма малые, почти точечные массы Dm i , каждая из которых отстоит от оси вращения на расстоянии r i , учитывая аддитивность момента инерции и определение (2) для I z материальной точки, получаем общее выражение момента инерции произвольного тела относительно оси Z в виде суммы моментов инерции материальных точек, на которые разбито тело:

(3)

В пределе, когда Dm i строго превращаются в материальные точки, сумма(3)сводится к интегралу по объёму тела, и для тел простой (правильной) формы она точно вычисляется (таблицу моментов инерции тел правильной формы можно найти в справочниках и учебниках по общей физике). Отметим в заключение полезную формулу, известную как теорема Штейнера, позволяющую найти момент инерции тела относительно произвольной оси Z , если известен момент инерции тела I c относительно оси, проходящей через центр инерции C (он же - центр масс, он же - центр тяжести) и параллельной данной оси:

I z =I c + ma 2 , (4)

здесь m – масса тела, a – расстояние между осями.

Теперь мы готовы к рассмотрению колебаний физического маятника (рис.3). Если отклонить его от положения равновесия на малый угол φ и предоставить самому себе, он начнёт совершать «малые» колебания. Для описания колебаний будем использовать один из основных способов решения физических задач – метод уравнения движения.

Уравнение движения в динамике вращения уже записано в «таблице аналогий»; оно отражает основной закон динамики вращения: если на тело действует внешняя сила, приводящая к возникновению момента силы, то тело вращается, причём его угловое ускорение пропорционально моменту силы и обратно пропорционально его моменту инерции:

(5)

Будем считать, что сила тяжести – единственная сила в нашей задаче, приложена к центру масс маятника (в теоретической механике этот прием строго обосновывается). Эта сила создает относительно оси вращения момент, равный

M = -Pl = - Pa sinφ = - mga sinφ ≈ - mgaφ (6)

Здесь учтено, что при малых отклонениях маятника синус угла можно заменить его аргументом (выраженным в радианах) sinφ ≈φ . Знак минус говорит о том, что при отклонении маятника на угол φ против часовой стрелки возникает момент силы тяжести, стремящийся повернуть маятник по часовой стрелке, т.е. возвратить его к положению равновесия.

В уравнении (5) искомая величина I z . Остаётся расшифровать угловое ускорение. Угол отклонения φ (угловой путь!)зависит от времени, а угловое ускорение всегда есть вторая производная углового пути по времени (см. "таблицу аналогий").

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ

ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА

Цель работы : определить момент инерции физического маятника в виде стержня с грузами по периоду собственных колебаний.

Оборудование : маятник, секундомер.

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ

Момент инерции твердого тела – это мера инертности тела при его вращательном движении. В этом смысле он является аналогом массы тела, которая является мерой инертности тела при поступательном движении. Согласно определению, момент инерции тела равен сумме произведений масс частиц тела m i на квадраты их расстояний до оси вращения r i 2:

, или
. (1)

Момент инерции зависит не только от массы, но и от ее распределения относительно оси вращения. Как видно, инертность при вращении тела тем больше, чем дальше от оси расположены частицы тела.

Существуют различные экспериментальные методы определения момента инерции тел. В работе предлагается метод определения момента инерции по периоду собственных колебаний исследуемого тела как физического маятника. Физический маятник – это тело произвольной формы, точка подвеса которого расположена выше центра тяжести. Если в поле тяжести маятник отклонить от положения равновесия и отпустить, то под действием силы тяжести маятник стремится к положению равновесия, но, достигнув его, по инерции продолжает движение и отклоняется в противоположную сторону. Затем процесс движения повторяется в обратном направлении. В итоге маятник будет совершать вращательные собственные колебания.

Для вывода формулы периода собственных колебаний применим основной закон динамики вращательного движения. Угловое ускорение тела прямо пропорционально моменту силы и обратно пропорционально моменту инерции тела относительно оси вращения:

 =
. (2)

М

омент силы по определению равен произведению силы на плечо силы. Плечо силы – это перпендикуляр, опущенный из оси вращения на линию действия силы. Для маятника (рис. 1а) плечо силы тяжести равно d = а sin  , где а – расстояние между осью вращения и центром тяжести маятника. При малых колебаниях маятника угол отклонения  сравнительно мал, а синусы малых углов с достаточной точностью равны самим углам. Тогда момент силы тяжести можно определить по формуле М=− mg а∙  . Знак минус обусловлен тем, что момент силы тяжести противодействует отклонению маятника.

Так как угловое ускорение – это вторая производная от угла поворота по времени, то основной закон динамики вращательного движения (1) принимает вид

. (3)

Это дифференциальное уравнение второго порядка. Его решением должна быть функция, превращающая уравнение в тождество. Такой функцией может быть функция синуса

 =  0 sin ( t +  ). (4)

При этом циклическая частота равна
. Циклическая частота связана с периодом колебаний, то есть временем одного колебания, соотношением T = 2 /  . Отсюда

. (5)

Период колебаний Т и расстояние от оси вращения до центра тяжести маятника а измерить можно. Тогда из (5) момент инерции маятника относительно оси вращения С может быть определен экспериментально по формуле

. (6)

Маятник, момент инерции которого определяется в работе, представляет собой стержень с надетыми на него двумя дисками. Теоретически момент инерции маятника можно определить как сумму моментов инерции отдельных частей. Момент инерции дисков можно рассчитать по формуле момента инерции материальной точки, так как они невелики по сравнению с расстоянием до оси вращения:
,
. Момент инерции стержня относительно оси, находящейся на расстоянии b от середины стержня, можно определить по теореме Штейнера
. В итоге суммарный момент инерции маятника можно рассчитать по формуле

. (7)

Здесь m 1 , m 2 и m 0 – массы первого, второго дисков и стержня, l 1 , l 2 – расстояния от середин дисков до оси вращения, l 0 – длина стержня.

Расстояние от точки подвеса до центра тяжести маятника а , необходимое для определения момента инерции в формуле (6), можно определить экспериментально, используя понятие центра тяжести. Центр тяжести тела – это точка, к которой приложена равнодействующая сила тяжести. Поэтому если маятник положить горизонтально на опорную призму, расположенную под центром тяжести, то маятник будет в равновесии. Затем достаточно измерить расстояние от оси С до опорной призмы.

Но можно определить расстояние а расчетом. Из условия равновесия маятника на призме (рис. 1б) следует, что момент результирующей силы тяжести относительно оси С равен сумме моментов сил тяжести грузов и стержня: (m 1 + m 2 + m 0)g а = m 1 gl 1 + m 2 gl 2 + m 0 gb . Откуда получим

. (8)

ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ

1. Взвешиванием на весах определить массы дисков и стержня. Расположить на стержне и закрепить диски. Измерить расстояния от оси вращения до середин дисков l 1 , l 2 и до середины стержня b , длину стержня l 0 по сантиметровым делениям на стержне. Результаты измерений записать в табл. 1.

Включить установку в сеть 220 В, нажать кнопку «Сеть».

Таблица 1

Масса 1 го диска m 1 , кг
Масса 2 го диска m 2 , кг
Масса стержня m 0 , кг
Расстояние l 1 , см
Расстояние l 2 , см
Длина стержня l 0 , см
Расстояние до оси b , см

2. Измерить период колебаний. Для этого отвести маятник от положения равновесия на небольшой угол и отпустить. Нажать кнопку «Пуск» секундомера. Чтобы измерить время t , например, десяти колебаний, следует после девятого колебания нажать кнопку «Стоп». Период равен Т= t / 10. Записать результат в табл. 2, нажать кнопку «Сброс». Опыт повторить еще не менее трех раз при других углах отклонения.

Выключить установку.

3. Произвести расчеты в системе СИ. Определить среднее значение <Т > периода колебаний. Определить расстояние а от оси до центра тяжести маятника по формуле (8), или положить маятник на опорную призму так, чтобы он находился в равновесии, и по делениям на стержне измерить расстояние а .

4. Определить экспериментальное среднее значение момента инерции маятника <J экс > по формуле (6) по среднему значению периода колебаний <T >.

Таблица 2

	Т 1 , с	Т 2 , с	Т 3 , с	<T >,с	эксп > , кг∙м 2	J теор , кг∙м 2

5. Определить теоретическое значение момента инерции маятника J теор по формуле (7).

6. Сделать вывод, сравнив теоретическое и экспериментальное значения момента инерции маятника. Оценить погрешность измерения  J =< J эксп > – J теор .

7. Записать ответ в виде: J эксп = < J >   J .

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Дайте определение физического маятника, объясните, почему возможны собственные колебания маятника.

2. Запишите основной закон динамики вращательного движения для физического маятника.

3. В каком виде ищут функцию, являющуюся решением дифференциального уравнения динамики для физического маятника. Проверьте, будет ли эта функция решением.

4. Запишите формулу для периода колебаний физического маятника. Как изменится период колебаний, если нижний диск сместить еще ниже?

5. Дайте определение момента инерции. Выведите формулу для определения теоретического значения момента инерции маятника.

6. Дайте определение центра тяжести. Выведите формулу для расчета положения центра масс. Как экспериментально можно определить положение центра масс маятника?

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ЗВУКА В ВОЗДУХЕ

Цель работы : определить скорость звука в воздухе и длину волны методом фигур Лиссажу, определить показатель адиабаты.

Оборудование : звуковой генератор, трубка с телефоном и микрофоном, осциллограф, нагреватель.

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ

Звук – это волны в упругой среде. В газах звуковые волны − это процесс распространения областей сжатия – разрежения.

Рассмотрим распространение звуковой волны в газе. Пусть мембрана телефона, находящаяся у основания воображаемой трубки с площадью сечения S , начала движение с дозвуковой скоростью U . Частицы газа, прилегающие к мембране, приходят в движение с такой же скоростью. Воздух перед мембраной сжимается и сжимает последующие слои газа. Граница между сжатым и невозмущенным газом, называемая фронтом, перемещается со скоростью звука V (рис. 1).

Применим для определения скорости звука уравнение второго закона Ньютона для движущейся массы газа: изменение импульса газа равно импульсу силы со стороны мембраны: dm U = F dt . Массу газа определим как произведение плотности на объем: dm = dL ∙ S , а силу давления мембраны на газ как повышение давления на площадь: F = dp ∙ S . Примем, что отношение скоростей мембраны и фронта пропорционально отношению проходимых ими расстояний:
, которое, в свою очередь, равно относительному изменению плотности газа. Подставив полученные преобразования в уравнение второго закона Ньютона, произведя замену dL = Vdt , получим уравнение
. Вследствие кратковременности процессы сжатия – разрежения газа в звуковой волне происходят адиабатически, без теплообмена между нагретой областью сжатия и охлажденной областью разрежения. Поэтому применим уравнение Пуассона
. Дифференцируя
и подставляя, получим

. (1)

Здесь R = 8,31 Дж/ моль∙К – газовая постоянная, Т – абсолютная температура, М = 28,9 10 –3 кг/моль – масса моль воздуха,  = 1,4 – показатель адиабаты для двухатомных газов.

Запишем уравнение волны. Это уравнение зависимости параметра ψ (давления, смещения и т.д.) в некоторой точке пространства от времени и расстоянии Z до источника. Если колебания источника происходят по уравнению
, то частицы среды начинают колебания позже, чем источник, на время распространения волны
. Тогда уравнение волны примет вид

. (2)

Д

ля экспериментального определения скорости звука в воздухе в данной работе используется метод фигур Лиссажу. Фигура Лиссажу− это повторяющаяся траектория движения точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях. Она возникает, если соотношение частот равно отношению целых чисел.

В лабораторной установке на экране осциллографа наблюдается сложение электрических колебаний одинаковой частоты от телефона как источника звука, и от приемника – микрофона, которые подаются соответственно на горизонтальный x и вертикальный y входы осциллографа (рис. 2).

Рассмотрим частные случаи сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний одинаковой частоты.

Пример 1. Пусть разность фаз кратна целому числу 2 радиан, так что колебания происходят по уравнениям: x = A 1 cos 2 t , y = A 2 cos (2 t + 2πк ) = A 2 cos 2 t . Для получения уравнения траектории (фигуры Лиссажу) в явном виде y (x ) исключим время t , например поделив уравнения. В результате получим
. Это уравнение прямой линии (рис.3), проходящей через 1−3 квадранты в прямоугольнике со сторонами 2А 2 –2А 1 .

Пример 2. Пусть разность фаз кратна нечетному числурадиан, так что х= A 1 cos 2 t , y = A 2 sin 2 t . Исключим время t по соотношению . В результате получим для фигуры Лиссажу уравнение эллипса:
, вписанного в прямоугольник 2А 2 – 2А 1 .

К

ак видно, фигура Лиссажу зависит от разности фаз (рис.3).

При постоянном расстоянии между микрофоном и телефоном Z разность фаз слагаемых колебаний и фигура на экране осциллографа зависит частоты

или
. (3)

Превращение эллипса опять в эллипс или прямой в такую же прямую линию происходит, если разность фаз возрастает на целое число 2 радиан, то есть
, где k = 0,1,2,3 – целое число (оно равно увеличению числа длин волн в трубке). Подставив в уравнение (3) условие повторения фигуры Лиссажу, получим

или
(4)

ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ

Установка 1

3. Плавно изменяя частоту генератора, наблюдать превращение фигуры Лиссажу, как показано на рис. 3. Получить изображение исходной фигуры. Записать в таблицу возрастание числа k над исходным k 0 и соответствующую частоту генератора. Опыт повторить не менее пяти раз.

k − k 0
ν , Гц

Выключить приборы.

4. Построить график зависимости частоты генератора при повторении фигуры от числа k − k 0 . Размер графика не менее половины страницы. На осях нанести равномерный масштаб. Около точек провести прямую линию (рис. 4).

5. Определить среднее значение скорости звука по угловому коэффициенту экспериментальной прямой. Для этого на экспериментальной линии как на гипотенузе построить прямоугольный треугольник (рис. 4). По координатам вершин треугольника определить среднее значение скорости

. (5)

6. Оценить случайную погрешность измерения
. Записать результат V =< V >± δV , P = 0,9.

7. Сравнить с теоретическим значением скорости звука в воздухе, рассчитанным по формуле (1). Сделать выводы.

Установка 2

Работа производится так же, как на установке 1. При постоянной частоте генератора изменяется расстояние между телефоном и микрофоном. Скорость звука определяется по формуле
.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Объясните процесс распространения звука в газах. Дайте понятие фронта волны.

2. Запишите формулу для скорости звуковых волн в газах. Объясните, почему процесс сжатия – разрежения газа в звуковой волне происходит адиабатически.

3. Запишите уравнение плоской волны. Дайте понятие фазы.

4. Дайте определение фигуры Лиссажу. Выведите уравнение траектории точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях одинаковой частоты, при разности фаз 2π k радиан.

5. Выведите уравнение траектории точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях одинаковой частоты, при разности фаз /2 рад.

6. При каком наименьшем изменении частоты генератора фигура Лиссажу принимает первоначальный вид.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕПЛОЕМКОСТИ ВОЗДУХА

Цель работы: познакомиться с процессом изобарического нагревания воздуха, определить молярную теплоемкость воздуха при изобарическом нагревании.

Оборудование : нагреватель, компрессор, термопара с мультиметром, блок питания, амперметр и вольтметр.

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ

Теплоемкость – это теплофизический параметр веществ, определяемый как количество теплоты, необходимое для нагревания некоторой массы вещества на один Кельвин. Если масса вещества равна одному килограмму, то теплоемкость называется удельной теплоемкостью, если масса равна одному моль, то – молярной теплоемкостью. По определению молярная теплоемкость равна

. (1)

Здесь ν =
– количество вещества в моль, m – масса, M – масса одного моль, dQ – количество теплоты, достаточной для повышения температуры на dT . Для газов, в отличие от твердых и жидких тел, теплоемкость зависит от вида происходящего с газом термодинамического процесса нагревания. Это связано с тем, что, согласно первому началу термодинамики

, (2)

теплота расходуется не только на повышение внутренней энергии dU , то есть на повышение температуры, но и на работу изменения объема газа. В отличие от твердых и жидких тел изменение объема может быть сравнительно большим и зависит от вида термодинамического процесса. Поэтому величина работы сил давления и количество теплоты, необходимое для нагревания газа, также зависит от вида процесса.

Рассмотрим нагревание идеального газа. Идеальный газ – это газ, собственный объем молекул которого ничтожно мал по сравнению с объемом сосуда, и потенциальная энергия взаимодействия молекул отсутствует. Воздух при нормальных условиях можно считать идеальным газом.

Приизохорическом нагревании газа изменения объема нет, работы нет, и теплота идет только на повышение внутренней энергии, dQ = dU . Для идеального газа, согласно молекулярно-кинетической теории, внутренняя энергия – это кинетическая энергия молекул
. Откуда молярная теплоемкость при изохорическом нагревании идеального газа равна
.

Приизобарическом нагревании газа в условиях постоянного давления дополнительно часть теплоты расходуется на работу изменения объема
. Поэтому полученное количество теплоты (dQ = dU + dA ) будет равно
. Сравнивая с формулой (1), получим, что молярная теплоемкость при изобарическом нагревании

В формулах теплоемкости R – универсальная газовая постоянная, i – число степеней свободы молекулы газа. Это число независимых координат, необходимых для определения положения молекулы в пространстве. Или это число компонент энергии, которыми обладает молекула. Например, для одноатомной молекулы это составляющие кинетической энергии при поступательном движении относительно трех координатных осей, i = 3. Для двухатомной молекулы добавляются еще кинетические энергии вращательного движения относительно двух осей, так как относительно третьей, проходящей через оба атома, момент инерции и энергия отсутствуют. В итоге двухатомная молекула имеет 5 степеней свободы. Точно так же и для воздуха, состоящего в основном из двухатомных молекул кислорода и азота.

Экспериментальное измерение молярной теплоемкости воздуха производится с помощью калориметра. В калориметре воздух нагревается при постоянном давлении, равном атмосферному. Измерение температуры при нагреве производится с помощью термопары, подсоединенной к мультиметру. Для повышения точности измерений следует нагревать большую массу воздуха. Поэтому с помощью компрессора воздух непрерывной струей пропускается через калориметр (рис. 1).

Нагреватель калориметра подключен к блоку питания. Потребляемая мощность определяется по показаниям вольтметра и амперметра N = J U. Когда после включения установки наступит тепловое равновесие и температура воздуха, выходящего из калориметра, перестанет изменяться, подводимая от электронагревателя тепловая мощность N расходуется на нагрев поступающего в калориметр воздуха и частично на теплопередачу q через стенки калориметра. Поэтому уравнение теплового баланса имеет вид

. (3)

Здесь m – секундный расход воздуха через калориметр, DT – повышение температуры воздуха после прохождения через калориметр.

Для исключения неизвестной мощности тепловых потерь q нужно провести опыты при разном расходе воздуха, но при одинаковом повышении температуры. При этом мощность тепловых потерь будет одинакова, потому что теплопередача через стенки пропорциональна перепаду температур. Согласно уравнению (3), подводимая к калориметру тепловая мощность, при постоянном повышении температуры воздуха Δ Т , зависит от секундного расхода воздуха линейно, и поэтому график – прямая линия. Угловой коэффициент линии равен
. Его можно определить экспериментально по графику как отношение катетов прямоугольного треугольника, построенного на экспериментальной линии, по координатам его вершин А и В . Откуда получим

. (4)

ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ

1. Измерить температуру воздуха в лаборатории термометром. Включить калориметр в сеть 220 В, установить переменным резистором компрессора сравнительно большой расход воздуха.

2. Установить переменным резистором нагревателя такую мощность, чтобы после установления теплового равновесия (3 мин) температура воздуха выходящего из калориметра повысилась бы на 30–50 К. Измерить температуру воздуха, определить по шкале резистора компрессора расход воздуха. Записать в таблицы повышение температуры, расход воздуха, показания амперметра и вольтметра.

3. Уменьшить расход воздуха примерно на одну пятую часть от начального и синхронно уменьшить мощность нагревателя так, чтобы температура воздуха на выходе из калориметра оставалась одинаковой. Эта часть работы требует терпения, плавности регулировки. Результаты измерений расхода воздуха, силы тока и напряжения записать в таблицу. Опыт провести не менее пяти раз во всем диапазоне расхода воздуха.

Повышение температуры D Т , К
Расход воздуха m , г/с
Сила тока I , А
Напряжение U , В
Мощность N = IU , Вт

Выключить питание мультиметров. Выключить установку.

4. Произвести расчеты. Определить мощность, потребляемую электронагревателем, N = I U . Записать в таблицу.

5. Построить график зависимости потребляемой мощности от расхода воздуха N (m ). Размер графика не менее половины страницы. На осях координат нанести равномерный масштаб. Около точек провести прямую линию так, чтобы сумма отклонений точек была минимальной.

6. Построить на экспериментальной линии как на гипотенузе прямоугольный треугольник (рис. 2). Определить координаты вершин А и В треугольника. По формуле (4) рассчитать среднее значение молярной теплоемкости <C P >. Принять значение массы моля воздуха равным 28,9 10 -3 кг/моль.

7. Оценить графическим методом случайную погрешность измерения молярной теплоемкости. Для этого провести на графике параллельно экспериментальной прямой две близкие линии так, чтобы все точки кроме промахов были между ними. Определить расстояние между линиями σ N . Произвести расчет по формуле

. (5)

8. Записать результат в виде С Р = < C P > ± d C P , P = 90%. Сравнить с теоретическим значением, рассчитанным по формуле (3), при R = 8,31 Дж/моль К, i = 5.

Сделать выводы.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Дайте определение молярной теплоемкости вещества.

2. Сформулируйте первое начало термодинамики. Запишите формулы для теплоты, работы, внутренней энергии идеального газа.

3. Выведите формулы для молярной теплоемкости идеального газа при изохорическом и изобарическом нагревании.

4. Запишите уравнение теплового баланса для калориметра.

5. Объясните, почему тепловые потери через стенки калориметра не влияют на измерение теплоемкости.

6. Объясните, почему в установке воздух должен непрерывной струей проходить через калориметр.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЯ АДИАБАТЫ

Цель работы : познакомиться с адиабатическим процессом, определить показатель адиабаты для воздуха.

Оборудование : баллон с клапанома, компрессор, манометр.

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ

Адиабатический процесс – это процесс, протекающий в термодинамической системе без теплообмена с окружающей средой. Термодинамической системой является система, содержащая огромное количество частиц. Например газ, число молекул которого сравнимо с числом Авагадро 6,02∙10 23 1/моль. Хотя движение каждой частицы подчиняется законам Ньютона, но их так много, что состояние системы характеризуют макроскопическими параметрами, такими как давление P , объем V , температура T .

Согласно первому началу термодинамики, являющемуся законом сохранения энергии в термодинамических процессах, теплота Q , подводимая к системе, расходуется на совершение работы А и на изменение внутренней энергии Δ U

Q = A +  U . (1)

В применении к идеальному газу теплота, подводимая к газу приводит к изменению температуры:
, где  = m / M – количество газа, равное отношению массы к массе одного моля, С − молярная теплоемкость, зависящая от вида процесса. Внутренняя энергия идеального газа − это кинетическая энергия всех молекул, она равна
, где C v – молярная теплоемкость при изохорическом нагревании. Работа элементарного изменения объема силами давления равна произведению давления на изменение объема: dA = PdV .

Для адиабатического процесса, происходящего без теплообмена (Q = 0), работа совершается за счет изменения внутренней энергии, A = −  U . При адиабатическом расширении работа газа положительна, поэтому внутренняя энергия и температура понижаются. При сжатии – наоборот. Все быстро протекающие процессы можно достаточно точно считать адиабатическими.

Выведем уравнение адиабатического процесса идеального газа. Для этого применим уравнение первого начала термодинамики для элементарного адиабатического процесса dA = − dU , которое принимает вид Р dV =−  С v dT . Применим еще одно уравнение, полученное дифференцированием уравнения Менделеева – Клапейрона (PV =ν RT ) : PdV + VdP =  R dT . Исключая один из параметров, например, температуру, получим соотношение для двух других параметров
. Интегрируя и потенцируя, получим уравнение адиабаты через давление и объем: P V  = const . Аналогично для других пар параметров:

T V  -1 = const, P  -1 T --  = const . (2)

Здесь
– показатель адиабаты, равный отношению теплоемкостей газа при изобарическом и изохорическом нагревании. Получим формулу для показателя адиабаты в молекулярно-кинетической теории. Молярная теплоемкость по определению это количество теплоты, необходимое для нагревания одного моль вещества на один Кельвин
. При изохорическом нагревании теплота расходуется на повышение внутренней энергии
. Подставив теплоту, получим
. Тогда показатель адиабаты может быть определен теоретически по формуле

. (3)

Здесь i – число степеней свободы молекул газа. Это число координат, достаточное для определения положения молекулы в пространстве или число составляющих компонентов энергии молекулы. Например, для одноатомной молекулы кинетическая энергия может быть представлена как сумма трех компонентов энергии, соответствующих движению вдоль трех осей координат, i = 3. Для жесткой двухатомной молекулы следует добавить еще два компонента энергии вращательного движения, так как энергия вращения относительно третьей оси, проходящей через атомы, отсутствует. Итак, для двухатомных молекул i = 5. Для воздуха как для двухатомного газа теоретическое значение показателя адиабаты будет равно  = 1,4.

Показатель адиабаты можно определить экспериментально методом Клемана – Дезорма. В баллон нагнетают воздух, сжимая до некоторого давления Р 1 , немного больше атмосферного. При сжатии воздух несколько нагревается. После установления теплового равновесия баллон на короткое время открывают. В этом процессе расширения 1–2 давление падает до атмосферного Р 2 =Р атм , а исследуемая масса газа, которая до этого занимала часть объема баллона V 1 , расширяется, занимая весь баллон V 2 (рис.1). Процесс расширения воздуха (1−2) происходит достаточно быстро, его можно считать адиабатическим, происходящим по уравнению (2)

. (4)

В адиабатическом процессе расширения воздух охлаждается. После закрытия клапана охлажденный воздух в баллоне через стенки баллона нагревается до температуры лаборатории Т 3 = Т 1 . Это изохорический процесс 2–3

. (5)

Решая совместно уравнения (4) и (5), исключая температуры, получим уравнение, связывающее давления:
, из которого следует определить показатель адиабаты γ . Датчик давления измеряет не абсолютное давление, которое записано в уравнениях процессов, а избыточное над атмосферным давлением. То есть Р 1 = ΔР 1 + Р 2 , и Р 3 = ΔР 3 +Р 2 . Переходя к избыточным давлениям, получим
. Избыточные давления невелики по сравнению с атмосферным давлением Р 2 . Разложим члены уравнения в ряд по соотношению
. После сокращения на Р 2 получим для показателя адиабаты расчетную формулу

. (6)

Лабораторная установка (рис.2) состоит из стеклянного баллона, который сообщается с атмосферой через клапан «Атмосфера». Воздух накачивается в баллон компрессором при открытом кране «К». После накачивания, во избежание утечки воздуха, кран закрывают.

ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ

1. Включить установку в сеть 220 В.

Открыть кран баллона. Включить компрессор, накачать воздух до избыточного давления в диапазоне 4 –11 кПа. Закрыть кран баллона. Выждать 1,5 –2 мин, записать величину давления ΔР 1 в таблицу.

ΔР 1 , кПа
ΔР 3 , кПа

2. Повернуть клапан «Атмосфера» до щелчка, клапан откроется и захлопнется. Произойдет адиабатический сброс воздуха с понижением температуры. Следить за повышением давления в баллоне по мере нагрева. Измерить наивысшее давление ΔР 3 после установления теплового равновесия. Записать в таблицу.

Повторить опыт не менее пяти раз, изменяя исходное давление в диапазоне 3–11 кПа.

Выключить установку.

3. Произвести расчеты. Определить показатель адиабаты в каждом опыте по формуле (6). Записать в таблицу. Определить среднее значение показателя адиабаты <γ >

4. Оценить случайную погрешность измерения по формуле для прямых измерений

. (7)

5. Записать результат в виде:  =     . Р = 0,9. Сравнить результат с теоретическим значением показателя адиабаты двухатомного газа  теор = 1,4.

Сделать выводы.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Дайте определение адиабатического процесса. Запишите первое начало термодинамики для адиабатического процесса. Объясните изменение температуры газа при адиабатических процессах сжатия и расширения.

2. Выведите уравнение адиабатического процесса для параметров давление – объем.

3. Выведите уравнение адиабатического процесса для параметров давление – температура.

4. Дайте определение числа степеней свободы молекул. Как зависит внутренняя энергия идеального газа от вида молекул?

5. Как осуществляются процессы с воздухом в цикле Клемана – Дезорма, как изменяются давления и температуры в процессах?

6. Выведите расчетную формулу для экспериментального определения показателя адиабаты.

Вводное занятие 3

Работа 1. Изучение удара тел 13

Работа 2. Определение скорости пули баллистическим методом 18

Работа 3. Исследование движения тел в поле тяжести 22

Работа 4. Изучение динамики вращательного движения 27

Работа 5. Определение скорости пули крутильным маятником 32

Работа 6. Определение момента инерции тел 37

Работа 7. Изучение прецессии гироскопа 42

Работа 8. Изучение плоского движения при качении тел 47

Работа 9. Изучение плоского движения маятника Максвелла 52

Работа 10. Изучение затухающих колебаний 57

Работа 11. Изучение вынужденных колебаний 62

Работа 12. Изучение сложения колебаний 67

Работа 13. Определение момента инерции физического маятника 71

Работа 14. Определение скорости звука в воздухе 76

Работа 15. Определение теплоемкости воздуха 81

Работа 16. Определение показателя адиабаты 86

Механика

Учебно-методическое пособие

к лабораторным занятиям

Составитель Шушарин Анатолий Васильевич

Редактор Л. Л. Шигорина

Работам предназначено...

Сведения о научной и учебно-методической литературе опубликованной сотрудниками игу в 2008 году

Документ

... 2008 И.А. Коваленко (шт.) Учебно -методическое пособие для подготовки к семинарским занятиям ... Известия РАН. Механика жидкости и газа. - 2008 . - № ... Челябинского гос. пед. ун-та. Сер. Педагогика и психология. – 2008 ... Е.А. // Лабораторна діагностика. – 2008 . – ...

Учебно-методический комплекс по дисциплине конфликтология

Рабочая программа

... пособий , методических указаний по проведению конкретных видов учебных занятий , а также методических материалов к используемым в учебном ... человек. М., 2008 ; Чумиков А.Н. ... механиков ... Челябинской ... учебном процессе по дисциплине основного учебно -лабораторного ...