რიცხვის კვადრატული ფესვი ხარისხამდე. ფესვების გამრავლება: მეთოდები და აპლიკაციები. გამრავლების ძირითადი წესი

ხარისხის ფორმულებიგამოიყენება რთული გამონათქვამების შემცირებისა და გამარტივების პროცესში, განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნისას.

ნომერი გარის ნ- რიცხვის ხარისხში აᲠოდესაც:

ოპერაციები ხარისხით.

1. გრადუსების გამრავლებით იმავე ფუძეზე ემატება მათი მაჩვენებლები:

ვარ·a n = a m + n.

2. გრადუსების ერთიდაიგივე ფუძით გაყოფისას მათ მაჩვენებლებს აკლებენ:

3. 2 ან მეტი ფაქტორის ნამრავლის ხარისხი უდრის ამ ფაქტორების ხარისხების ნამრავლს:

(abc…) n = a n · b n · c n…

4. წილადის ხარისხი დივიდენდისა და გამყოფის ხარისხების თანაფარდობის ტოლია:

(a/b) n = a n /b n .

5. სიმძლავრის ხარისხზე აწევით, მაჩვენებლები მრავლდება:

(a m) n = a m n .

თითოეული ზემოთ მოყვანილი ფორმულა მართალია მარცხნიდან მარჯვნივ და პირიქით.

Მაგალითად. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

ოპერაციები ფესვებით.

1. რამდენიმე ფაქტორის ნამრავლის ფესვი უდრის ამ ფაქტორების ფესვების ნამრავლს:

2. თანაფარდობის ფესვი უდრის დივიდენდის და ფესვების გამყოფის შეფარდებას:

3. ფესვის ძლიერებამდე აყვანისას საკმარისია რადიკალური რიცხვის ამ ხარისხამდე აყვანა:

4. თუ გაზრდის ფესვის ხარისხს ნერთხელ და ამავდროულად ჩაშენებული ნსიძლიერე არის რადიკალური რიცხვი, მაშინ ფესვის მნიშვნელობა არ შეიცვლება:

5. თუ შეამცირებთ ფესვის ხარისხს ნამოიღეთ ფესვი ამავე დროს ნ-რადიკალური რიცხვის მერვე ხარისხი, მაშინ ფესვის მნიშვნელობა არ შეიცვლება:

ხარისხი უარყოფითი მაჩვენებლით.გარკვეული რიცხვის სიმძლავრე არაპოზიტიური (მთლიანი) მაჩვენებლით განისაზღვრება, როგორც ერთი გაყოფილი იმავე რიცხვის ხარისხზე, რომელსაც ტოლია არაპოზიტიური მაჩვენებლის აბსოლუტური მნიშვნელობა:

ფორმულა ვარ:a n =a m - nშეიძლება გამოყენებულ იქნას არა მხოლოდ მ> ნ, არამედ თან მ< ნ.

Მაგალითად. ა4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

ფორმულამდე ვარ:a n =a m - nსამართლიანი გახდა, როცა m=n, საჭიროა ნულოვანი ხარისხის არსებობა.

ხარისხი ნულოვანი ინდექსით.ნებისმიერი რიცხვის სიმძლავრე, რომელიც არ არის ნულის ტოლი ნულოვანი მაჩვენებლით, უდრის ერთს.

Მაგალითად. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

ხარისხი წილადის მაჩვენებლით.რეალური რიცხვის ასამაღლებლად ახარისხით მ/ნ, თქვენ უნდა ამოიღოთ ფესვი ნე ხარისხი მ- ამ რიცხვის მერვე ძალა ა.

ფესვის ამოღების ოპერაციის პრაქტიკაში წარმატებით გამოსაყენებლად, თქვენ უნდა გაეცნოთ ამ ოპერაციის თვისებებს.
ყველა თვისება ჩამოყალიბებულია და დადასტურებულია მხოლოდ ფესვების ნიშნების ქვეშ მყოფი ცვლადების არაუარყოფითი მნიშვნელობებისთვის.

თეორემა 1. ორი არაუარყოფითი ჩიპის ნამრავლის n-ე ფესვი (n=2, 3, 4,...) უდრის ამ რიცხვების n-ე ფესვების ნამრავლს:

კომენტარი:

1. თეორემა 1 მოქმედებს იმ შემთხვევისთვის, როდესაც რადიკალური გამოხატულება არის ორზე მეტი არაუარყოფითი რიცხვის ნამრავლი.

თეორემა 2.თუ, და n არის 1-ზე მეტი ნატურალური რიცხვი, მაშინ ტოლობა მართალია

მოკლე(თუმცა არაზუსტი) ფორმულირება, რომელიც უფრო მოსახერხებელია პრაქტიკაში გამოსაყენებლად: წილადის ფესვი უდრის ფესვების წილადს.

თეორემა 1 საშუალებას გვაძლევს გავამრავლოთ t მხოლოდ იმავე ხარისხის ფესვები , ე.ი. მხოლოდ ფესვები იგივე ინდექსით.

თეორემა 3.თუ ,k არის ნატურალური რიცხვი და n არის 1-ზე მეტი ნატურალური რიცხვი, მაშინ ტოლობა მართალია

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ბუნებრივ ძალაზე ფესვის ასამაღლებლად საკმარისია რადიკალური გამოხატულება ამ ძალაზე აიყვანოთ.
ეს არის თეორემა 1-ის შედეგი. ფაქტობრივად, მაგალითად, k = 3-ისთვის ვიღებთ: ზუსტად იგივენაირად შეგვიძლია მსჯელობა k მაჩვენებლის ნებისმიერი სხვა ბუნებრივი სიდიდის შემთხვევაში.

თეორემა 4.თუ ,k, n არის 1-ზე მეტი ნატურალური რიცხვები, მაშინ ტოლობა მართალია

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ფესვიდან ფესვის ამოსაღებად საკმარისია ფესვების მაჩვენებლების გამრავლება.
Მაგალითად,

Ფრთხილად იყავი!გავიგეთ, რომ ფესვებზე შეიძლება შესრულდეს ოთხი ოპერაცია: გამრავლება, გაყოფა, გაძლიერება და ფესვის ამოღება (ფესვიდან). მაგრამ რა შეიძლება ითქვას ფესვების დამატებასა და გამოკლებაში? Არ არსებობს გზა.
მაგალითად, იმის ნაცვლად, რომ დავწერო Really, მაგრამ ეს აშკარაა

თეორემა 5.თუ ფესვის და რადიკალური გამოხატვის მაჩვენებლები მრავლდება ან იყოფა იმავე ნატურალურ რიცხვზე, მაშინ ფესვის მნიშვნელობა არ შეიცვლება, ე.ი.

პრობლემის გადაჭრის მაგალითები

მაგალითი 1.გამოთვალეთ

გამოსავალი.ფესვების პირველი თვისების გამოყენებით (თეორემა 1), ვიღებთ:

მაგალითი 2.გამოთვალეთ
გამოსავალი.შერეული რიცხვის გადაქცევა არასწორ წილადად.
ჩვენ გვაქვს ფესვების მეორე თვისების გამოყენება ( თეორემა 2 ), ვიღებთ:

მაგალითი 3.გამოთვალეთ:

გამოსავალი.ალგებრაში ნებისმიერი ფორმულა, როგორც მოგეხსენებათ, გამოიყენება არა მხოლოდ "მარცხნიდან მარჯვნივ", არამედ "მარჯვნიდან მარცხნივ". ამრიგად, ფესვების პირველი თვისება ნიშნავს, რომ ისინი შეიძლება იყოს წარმოდგენილი ფორმით და, პირიქით, შეიძლება შეიცვალოს გამოხატულებით. იგივე ეხება ფესვების მეორე თვისებას. ამის გათვალისწინებით, მოდით გავაკეთოთ გამოთვლები.

ირაციონალური გამონათქვამები და მათი გარდაქმნები

ბოლო დროს გავიხსენეთ (ან ვისწავლეთ, იმის მიხედვით თუ ვინ) რა არის , ისწავლა ასეთი ფესვების ამოღება, ნაწილ-ნაწილ დაალაგა ფესვების ძირითადი თვისებები და ამოხსნა ფესვებით მარტივი მაგალითები.

ეს გაკვეთილი იქნება წინა გაკვეთილის გაგრძელება და მიეძღვნება ყველა სახის ფესვის შემცველი გამონათქვამების მრავალფეროვნების გარდაქმნას. ასეთ გამონათქვამებს ე.წ ირაციონალური. აქ გამოჩნდება გამონათქვამები ასოებით, დამატებითი პირობები, წილადებში ირაციონალურობისგან თავის დაღწევა და ფესვებთან მუშაობის მოწინავე ტექნიკა. ტექნიკა, რომელიც განხილული იქნება ამ გაკვეთილზე, გახდება კარგი საფუძველი USE პრობლემების გადაჭრისთვის (და არა მხოლოდ) თითქმის ნებისმიერი დონის სირთულის. მოდით დავიწყოთ.

პირველ რიგში, აქ გავიმეორებ ფესვების ძირითად ფორმულებსა და თვისებებს. ისე რომ თემიდან თემაზე არ გადავხტე. აი ისინი:

ზე

თქვენ უნდა იცოდეთ ეს ფორმულები და შეძლოთ მათი გამოყენება. და ორივე მიმართულებით - როგორც მარცხნიდან მარჯვნივ, ასევე მარჯვნიდან მარცხნივ. სწორედ მათზეა დაფუძნებული ამოცანების უმეტესობის გადაწყვეტა ნებისმიერი სირთულის ფესვებით. დავიწყოთ ახლა უმარტივესი საქმით - ფორმულების პირდაპირი გამოყენებით ან მათი კომბინაციებით.

ფორმულების მარტივი გამოყენება

ამ ნაწილში განიხილება მარტივი და უვნებელი მაგალითები - ასოების, დამატებითი პირობების და სხვა ხრიკების გარეშე. თუმცა, მათშიც კი, როგორც წესი, არის ვარიანტები. და რაც უფრო დახვეწილია მაგალითი, მით მეტია ასეთი ვარიანტები. გამოუცდელი სტუდენტი კი მთავარ პრობლემას აწყდება - საიდან დაიწყოს? პასუხი აქ მარტივია - თუ არ იცი რა გჭირდება, გააკეთე რაც შეგიძლია. რამდენადაც თქვენი მოქმედებები მათემატიკის წესებთან მშვიდად და ჰარმონიაშია და არ ეწინააღმდეგება მათ.) მაგალითად, ეს დავალება:

გამოთვალეთ:

ასეთ მარტივ მაგალითშიც კი, პასუხის რამდენიმე შესაძლო გზა არსებობს.

პირველი არის უბრალოდ გავამრავლოთ ფესვები პირველ თვისებაზე და ამოიღოთ ფესვი შედეგიდან:

მეორე ვარიანტი ასეთია: ჩვენ არ ვეხებით მას, ჩვენ ვმუშაობთ. მულტიპლიკატორს ამოვიღებთ ძირის ნიშნის ქვეშ და შემდეგ - პირველი თვისების მიხედვით. Ამგვარად:

თქვენ შეგიძლიათ გადაწყვიტოთ რამდენიც გსურთ. ნებისმიერ ვარიანტში პასუხი არის ერთი - რვა. მაგალითად, ჩემთვის უფრო ადვილია გავამრავლო 4 და 128 და მივიღო 512 და ამ რიცხვიდან კუბის ფესვის ამოღება მარტივად შეიძლება. თუ ვინმეს არ ახსოვს, რომ 512 არის 8 კუბური, მაშინ არ აქვს მნიშვნელობა: შეგიძლიათ დაწეროთ 512, როგორც 2 9 (ორის პირველი 10 ხარისხები, იმედია გახსოვთ?) და გამოიყენოთ სიმძლავრის ფესვის ფორმულა. :

Სხვა მაგალითი.

გამოთვალეთ: .

თუ თქვენ იმუშავებთ პირველი თვისების მიხედვით (ყველაფერს ერთ ფესვის ქვეშ მოათავსებთ), მიიღებთ სოლიდურ რიცხვს, საიდანაც შეიძლება ფესვის ამოღება - ასევე არა შაქარი. და ეს არ არის ფაქტი, რომ ის ზუსტად იქნება ამოღებული.) ამიტომ, აქ სასარგებლოა რიცხვში ფესვის ქვეშ მყოფი ფაქტორების ამოღება. და ისარგებლეთ მაქსიმალურად:

ახლა კი ყველაფერი კარგადაა:

რჩება მხოლოდ რვის და ორის ერთ ფესვზე (პირველი თვისების მიხედვით) ჩაწერა და საქმე დასრულებულია. :)

ახლა დავამატოთ რამდენიმე წილადი.

გამოთვალეთ:

მაგალითი საკმაოდ პრიმიტიულია, მაგრამ მას ასევე აქვს ვარიანტები. თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ მამრავლი მრიცხველის გადასაქცევად და მნიშვნელით შესამცირებლად:

ან შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ გამოიყენოთ ფესვების გაყოფის ფორმულა:

როგორც ვხედავთ, ასე და ისე – ყველაფერი სწორია.) თუ ნახევარ გზას არ წააწყდებით და შეცდებით. თუმცა სად შეიძლება შევცდე აქ...

მოდით ახლა გადავხედოთ ბოლო მაგალითს ბოლო გაკვეთილის საშინაო დავალებისგან:

გამარტივება:

ფესვების სრულიად წარმოუდგენელი ნაკრები და თანაც ბუდებული. Რა უნდა გავაკეთო? მთავარია არ გეშინოდეს! აქ პირველ რიგში ფესვების ქვეშ ვამჩნევთ რიცხვებს 2, 4 და 32 - ორის ხარისხები. პირველი, რაც უნდა გააკეთოთ, არის ყველა რიცხვის ორამდე შემცირება: ბოლოს და ბოლოს, რაც უფრო მეტი იდენტურია მაგალითში და რაც უფრო ნაკლებია განსხვავებული, მით უფრო ადვილია.) დავიწყოთ ცალკე პირველი ფაქტორით:

რიცხვის გამარტივება შესაძლებელია ფესვის ქვეშ არსებული ორის შემცირებით ძირის მაჩვენებელში ოთხით:

ახლა, ნაწარმოების ძირის მიხედვით:

.

რიცხვში ჩვენ ამოვიღებთ ორს, როგორც ძირის ნიშანს:

ჩვენ საქმე გვაქვს გამონათქვამთან ძირეული ფორმულის ფესვის გამოყენებით:

ასე რომ, პირველი ფაქტორი ასე დაიწერება:

მობუდული ფესვები გაქრა, რიცხვები შემცირდა, რაც უკვე სასიამოვნოა. უბრალოდ ფესვები განსხვავებულია, მაგრამ ახლა ასე დავტოვებთ. საჭიროების შემთხვევაში გადავიყვანთ მათ იგივეებზე. ავიღოთ მეორე ფაქტორი.)

მეორე ფაქტორის გარდაქმნას ანალოგიურად, პროდუქტის ფესვისა და ფესვის ფორმულის გამოყენებით. საჭიროების შემთხვევაში, ჩვენ ვამცირებთ ინდიკატორებს მეხუთე ფორმულის გამოყენებით:

ჩვენ ყველაფერს ვამაგრებთ თავდაპირველ მაგალითში და ვიღებთ:

მივიღეთ სრულიად განსხვავებული ფესვების მთელი თაიგულის პროდუქტი. კარგი იქნება, რომ ყველა ერთ ინდიკატორამდე მივიყვანოთ და მერე ვნახოთ. ისე, სავსებით შესაძლებელია. ძირის მაჩვენებლებიდან ყველაზე დიდი არის 12, ხოლო ყველა დანარჩენი - 2, 3, 4, 6 - არის 12 რიცხვის გამყოფი. ამიტომ, მეხუთე თვისების მიხედვით ყველა ფესვს ვამცირებთ ერთ მაჩვენებელზე - 12:

ჩვენ ვითვლით და ვიღებთ:

ჩვენ არ მივიღეთ კარგი ნომერი, მაგრამ ეს კარგია. გვკითხეს გაამარტივებსგამოხატვა, არა ითვლიან. გამარტივებული? Რა თქმა უნდა! და პასუხის ტიპი (მთლიანი თუ არა) აქ არანაირ როლს აღარ თამაშობს.

ზოგიერთი შეკრება/გამოკლება და შემოკლებული გამრავლების ფორმულები

სამწუხაროდ, ზოგადი ფორმულები ფესვების დამატება და გამოკლებაარა მათემატიკაში. თუმცა, ამოცანებში ეს მოქმედებები ფესვებით ხშირად გვხვდება. აქ აუცილებელია იმის გაგება, რომ ნებისმიერი ფესვი ზუსტად იგივე მათემატიკური სიმბოლოა, როგორც ასოები ალგებრაში.) და ფესვებზეც იგივე ტექნიკა და წესები ვრცელდება, როგორც ასოებზე - ფრჩხილების გახსნა, მსგავსის მოტანა, შემოკლებული გამრავლების ფორმულები და ა.შ.

მაგალითად, ყველასთვის ნათელია, რომ. Მსგავსი იგივეფესვები შეიძლება დაემატოს/გამოაკლდეს ერთმანეთს საკმაოდ მარტივად:

თუ ფესვები განსხვავებულია, მაშინ ვეძებთ გზას, რომ ისინი ერთნაირი გავხადოთ - მამრავლის მიმატებით/გამოკლებით ან მეხუთე თვისებით. თუ ეს არანაირად არ არის გამარტივებული, მაშინ შესაძლოა ტრანსფორმაციები უფრო მზაკვრული იყოს.

მოდით შევხედოთ პირველ მაგალითს.

იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: .

სამივე ფესვი, თუმცა კუბური, არის განსხვავებულინომრები. ისინი არ არის წმინდად მოპოვებული და ემატება/აკლდება ერთმანეთს. აქედან გამომდინარე, ზოგადი ფორმულების გამოყენება აქ არ მუშაობს. Რა უნდა გავაკეთო? მოდით ავიღოთ ფაქტორები თითოეულ ფესვში. ნებისმიერ შემთხვევაში, ეს არ იქნება უარესი.) უფრო მეტიც, სხვა ვარიანტები, ფაქტობრივად, არ არსებობს:

ანუ, .

ეგაა გამოსავალი. აქ სხვადასხვა ფესვებიდან ერთსა და იმავეზე გადავედით დახმარებით მულტიპლიკატორის ამოღება ფესვის ქვეშ. შემდეგ კი უბრალოდ მოიტანეს მსგავსი.) ჩვენ შემდგომ ვწყვეტთ.

იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა:

ჩვიდმეტის ფესვთან დაკავშირებით ნამდვილად ვერაფერს გააკეთებთ. ჩვენ ვმუშაობთ პირველი თვისების მიხედვით - ვაკეთებთ ერთ ფესვს ორი ფესვის პროდუქტისგან:

ახლა მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ. რა არის ჩვენი დიდი კუბის ფესვის ქვეშ? განსხვავება არის qua... კარგი, რა თქმა უნდა! კვადრატების განსხვავება:

ახლა რჩება მხოლოდ ფესვის ამოღება: .

გამოთვალეთ:

აქ მოგიწევთ მათემატიკური ჭკუის გამოვლენა.) დაახლოებით ასე ვფიქრობთ: ”ასე რომ, მაგალითში, ფესვების პროდუქტი. ერთი ფესვის ქვეშ არის განსხვავება, ხოლო მეორეს ქვეშ არის ჯამი. ძალიან ჰგავს კვადრატების სხვაობის ფორმულას. მაგრამ... ფესვები სხვაა! პირველი არის კვადრატი, მეორე კი მეოთხე ხარისხის... კარგი იქნებოდა, რომ ისინიც იგივე იყოს. მეხუთე თვისების მიხედვით, კვადრატული ფესვიდან მარტივად შეგიძლიათ გააკეთოთ მეოთხე ფესვი. ამისათვის საკმარისია რადიკალური გამოთქმის კვადრატი“.

თუ თქვენც იგივეზე ფიქრობდით, მაშინ წარმატების ნახევარი ხართ. Აბსოლუტურად სწორი! პირველი ფაქტორი გადავაქციოთ მეოთხე ფესვად. Ამგვარად:

ახლა გასაკეთებელი არაფერია, მაგრამ თქვენ უნდა გახსოვდეთ სხვაობის კვადრატის ფორმულა. მხოლოდ ფესვებზე გამოყენებისას. Მერე რა? რატომ არის ფესვები სხვა რიცხვებსა თუ გამოთქმებზე უარესი?! ჩვენ ვაშენებთ:

„ჰმ, კარგად, ააგეს, მერე რა? ხახვი არ არის უფრო ტკბილი ვიდრე ბოლოკი. გაჩერდი! და თუ ამოიღებ ოთხს ფესვის ქვეშ? მაშინ გაჩნდება იგივე გამოთქმა, როგორც მეორე ძირის ქვეშ, მხოლოდ მინუსით და სწორედ ამის მიღწევას ვცდილობთ!“

უფლება! ავიღოთ ოთხი:

.

ახლა კი - ტექნოლოგიის საკითხი:

ასე იხსნება რთული მაგალითები.) ახლა დროა ვივარჯიშოთ წილადებით.

გამოთვალეთ:

გასაგებია, რომ მრიცხველი უნდა გადაკეთდეს. Როგორ? რა თქმა უნდა ჯამის კვადრატის ფორმულის გამოყენებით. სხვა ვარიანტები გვაქვს? :) ვასწორებთ, ვიღებთ ფაქტორებს, ვამცირებთ მაჩვენებლებს (სადაც საჭიროა):

Ვაუ! ჩვენ მივიღეთ ზუსტად ჩვენი წილადის მნიშვნელი.) ეს ნიშნავს, რომ მთელი წილადი აშკარად ერთის ტოლია:

Სხვა მაგალითი. მხოლოდ ახლა მოკლედ გამრავლების სხვა ფორმულაზე.)

გამოთვალეთ:

გასაგებია, რომ განსხვავების კვადრატი პრაქტიკაში უნდა იქნას გამოყენებული. მნიშვნელს ცალკე ვწერთ და - წავიდეთ!

ფაქტორებს ფესვების ქვეშ ვიღებთ:

აქედან გამომდინარე,

ახლა ყველაფერი ცუდი შესანიშნავად შემცირდა და გამოდის:

კარგი, მოდით გადავიდეთ შემდეგ დონეზე. :)

წერილები და დამატებითი პირობები

სიტყვასიტყვითი გამოთქმები ფესვებით უფრო რთულია ვიდრე რიცხვითი გამონათქვამები და არის შემაშფოთებელი და ძალიან სერიოზული შეცდომების ამოუწურავი წყარო. დავხუროთ ეს წყარო.) შეცდომები წარმოიქმნება იმის გამო, რომ ასეთი ამოცანები ხშირად შეიცავს უარყოფით რიცხვებს და გამოთქმებს. ისინი ან პირდაპირ დავალებაში გვეძლევა, ან იმალება წერილები და დამატებითი პირობები. ფესვებთან მუშაობის პროცესში კი მუდმივად უნდა გვახსოვდეს ეს ფესვებში ხარისხიც კიროგორც თავად ფესვის ქვეშ, ასევე ფესვის ამოღების შედეგად უნდა იყოს არაუარყოფითი გამოხატულება. ამ პუნქტის ამოცანების ძირითადი ფორმულა იქნება მეოთხე ფორმულა:

არ არსებობს კითხვები კენტი გრადუსების ფესვებით - ყველაფერი ყოველთვის ამოღებულია, როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი. და მინუსი, თუ რამეა, წინ არის წამოწეული. მოდით პირდაპირ ფესვებზე გადავიდეთ თუნდაცგრადუსი.) მაგალითად, ასეთი მოკლე დავალება.

გამარტივება: , თუ .

როგორც ჩანს, ყველაფერი მარტივია. უბრალოდ X აღმოჩნდება.) მაგრამ რატომ მაშინ დამატებითი პირობა? ასეთ შემთხვევებში სასარგებლოა რიცხვებით შეფასება. მხოლოდ საკუთარი თავისთვის.) თუ, მაშინ x აშკარად უარყოფითი რიცხვია. მინუს სამი, მაგალითად. ან მინუს ორმოცი. დაე . შეგიძლიათ მინუს სამი ასწიოთ მეოთხე ხარისხზე? Რა თქმა უნდა! შედეგი არის 81. შესაძლებელია თუ არა 81-ის მეოთხე ფესვის ამოღება? Რატომაც არა? შეიძლება! თქვენ მიიღებთ სამს. ახლა გავაანალიზოთ მთელი ჩვენი ჯაჭვი:

რას ვხედავთ? შეყვანილი იყო უარყოფითი რიცხვი და გამომავალი უკვე დადებითი. ეს იყო მინუს სამი, ახლა არის პლუს სამი.) დავუბრუნდეთ ასოებს. ეჭვგარეშეა, მოდული იქნება ზუსტად X, მაგრამ მხოლოდ X არის მინუს (პირობით!), ხოლო ამოღების შედეგი (არითმეტიკული ფესვის გამო!) უნდა იყოს პლუსი. როგორ მივიღოთ პლუსი? Ძალიან მარტივი! ამისათვის უბრალოდ დადეთ მინუსი აშკარად უარყოფითი რიცხვის წინ.) და სწორი გამოსავალი ასე გამოიყურება:

სხვათა შორის, თუ გამოვიყენებდით ფორმულას, მაშინ, როდესაც გავიხსენებდით მოდულის განმარტებას, მაშინვე მივიღებდით სწორ პასუხს. Იმიტომ რომ

|x| = -x x-ზე<0.

ამოიღეთ ფაქტორი ძირეული ნიშნიდან: , სად .

პირველი შეხედვით არის რადიკალური გამოხატულება. აქ ყველაფერი რიგზეა. ნებისმიერ შემთხვევაში, ეს იქნება არაუარყოფითი. დავიწყოთ მოპოვება. პროდუქტის ფესვის ფორმულის გამოყენებით, ჩვენ გამოვყოფთ თითოეული ფაქტორის ფესვს:

არა მგონია საჭირო იყოს ახსნა, თუ საიდან მოვიდა მოდული.) ახლა გავაანალიზოთ თითოეული მოდული.

მულტიპლიკატორი | ა | ჩვენ მას უცვლელად ვტოვებთ: წერილის პირობა არ გვაქვსა. ჩვენ არ ვიცით დადებითია თუ უარყოფითი. შემდეგი მოდული |ბ 2 | შეიძლება უსაფრთხოდ გამოტოვოთ: ნებისმიერ შემთხვევაში, გამოხატულებაბ 2 არაუარყოფითი. მაგრამ შესახებ |გ 3 | - აქ უკვე პრობლემაა.) თუ, მაშინ გ 3 <0. Стало быть, модуль надо раскрыть მინუსით: | გ 3 | = - გ 3 . საერთო ჯამში, სწორი გამოსავალი იქნება:

ახლა კი - საპირისპირო პრობლემა. არც ისე მარტივი, მაშინვე გაფრთხილებ!

შეიყვანეთ მულტიპლიკატორი ფესვის ნიშნის ქვეშ: .

თუ დაუყოვნებლივ ჩაწერეთ გამოსავალი ასე

შემდეგ შენ ხაფანგში ჩავარდა. ეს არასწორი გადაწყვეტილება! Რა მოხდა?

მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ გამოთქმას ფესვის ქვეშ. მეოთხე ხარისხის ფესვის ქვეშ, როგორც ვიცით, უნდა იყოს არაუარყოფითიგამოხატულება. თორემ ძირს აზრი არა აქვს.) ამიტომ და ეს, თავის მხრივ, იმას ნიშნავს, რომ და, მაშასადამე, თავადაც არაპოზიტიურია: .

და შეცდომა აქ არის ის, რომ ჩვენ ვაცნობთ ძირში არაპოზიტიურინომერი: მეოთხე ხარისხი აქცევს მას არაუარყოფითიდა მიიღება არასწორი შედეგი - მარცხნივ არის მიზანმიმართული მინუსი, ხოლო მარჯვნივ არის უკვე პლუსი. და წაისვით ფესვზე თუნდაცხარისხი გვაქვს მხოლოდ უფლება არაუარყოფითირიცხვები ან გამონათქვამები. და მინუსი, თუ არის, დატოვეთ ფესვის წინ.) როგორ გამოვავლინოთ რიცხვში არაუარყოფითი ფაქტორი., იცის, რომ ის თავისთავად სრულიად უარყოფითია? დიახ, ზუსტად იგივე! დადეთ მინუსი.) და ისე, რომ არაფერი შეიცვალოს, აკომპენსირეთ სხვა მინუსით. Ამგვარად:

და ახლა უკვე არაუარყოფითიჩვენ მშვიდად ვწერთ რიცხვს (-b) ფესვის ქვეშ ყველა წესის მიხედვით:

ეს მაგალითი ნათლად აჩვენებს, რომ მათემატიკის სხვა დარგებისგან განსხვავებით, ფესვებში სწორი პასუხი ყოველთვის ავტომატურად არ გამომდინარეობს ფორმულებიდან. თქვენ უნდა დაფიქრდეთ და პირადად მიიღოთ სწორი გადაწყვეტილება.) განსაკუთრებით ფრთხილად უნდა იყოთ ნიშნების მიმართ ირაციონალური განტოლებები და უტოლობები.

მოდით გადავხედოთ შემდეგ მნიშვნელოვან ტექნიკას ფესვებთან მუშაობისას - ირაციონალურობისგან თავის დაღწევა.

წილადებში ირაციონალურობის აღმოფხვრა

თუ გამოთქმა შეიცავს ფესვებს, მაშინ, შეგახსენებთ, ასეთ გამოთქმას ჰქვია გამოხატვა ირაციონალურობით. ზოგიერთ შემთხვევაში, შეიძლება სასარგებლო იყოს სწორედ ამ ირაციონალურობის (ანუ ფესვების) მოშორება. როგორ შეიძლება ფესვის აღმოფხვრა? ჩვენი ფესვი ქრება, როცა... ძალამდე ამაღლდება. ინდიკატორით ან ძირის ინდიკატორის ტოლი ან მისი მრავალჯერადი. მაგრამ, თუ ფესვს ავაყენებთ ხარისხზე (ანუ გავამრავლებთ ფესვს თავისთავად საჭირო რაოდენობის ჯერ), მაშინ გამოთქმა შეიცვლება. არა კარგი.) თუმცა მათემატიკაში არის თემები, სადაც გამრავლება საკმაოდ უმტკივნეულოა. წილადებში, მაგალითად. წილადის ძირითადი თვისების მიხედვით, თუ მრიცხველი და მნიშვნელი გამრავლდება (გაიყოფა) ერთ რიცხვზე, წილადის მნიშვნელობა არ შეიცვლება.

ვთქვათ, მოცემულია ეს წილადი:

შესაძლებელია თუ არა მნიშვნელში ფესვის მოშორება? შეიძლება! ამისათვის ფესვი კუბიკებად უნდა გაიჭრას. რა გვაკლია მნიშვნელში სრული კუბისთვის? გვაკლია მულტიპლიკატორი, ე.ი.. ასე რომ, ჩვენ ვამრავლებთ წილადის მრიცხველს და მნიშვნელს

მნიშვნელში ფესვი გაქრა. მაგრამ... მრიცხველში გამოჩნდა. არაფრის გაკეთება არ შეიძლება, ასეთია ბედი.) ჩვენთვის ეს უკვე აღარ არის მნიშვნელოვანი: გვთხოვეს მნიშვნელის გათავისუფლება ფესვებისგან. გაათავისუფლეს? ეჭვგარეშეა.)

სხვათა შორის, მათ, ვინც უკვე კმაყოფილია ტრიგონომეტრიით, შესაძლოა ყურადღება მიაქციონ იმ ფაქტს, რომ ზოგიერთ სახელმძღვანელოსა და ცხრილში, მაგალითად, ისინი განსხვავებულად აღნიშნავენ: სადღაც და სადღაც. საკითხავია - რა არის სწორი? პასუხი: ყველაფერი სწორია!) თუ გამოიცნობთ– ეს უბრალოდ წილადის მნიშვნელში ირაციონალურობისგან განთავისუფლების შედეგია. :)

რატომ უნდა გავთავისუფლდეთ წილადებით ირაციონალურობისგან? რა განსხვავებაა - ფესვი მრიცხველშია თუ მნიშვნელში? კალკულატორი ყველაფერს მაინც გამოთვლის.) ისე, ვინც კალკულატორს არ შორდება, პრაქტიკულად სხვაობა არ არის... მაგრამ კალკულატორზე დათვლაც კი შეგიძლიათ მიაქციოთ ყურადღება, რომ გაყოფა on მთლიანინომერი ყოველთვის უფრო მოსახერხებელი და სწრაფია ვიდრე ჩართული ირაციონალური. და მე გავჩუმდები სვეტად დაყოფის შესახებ.)

შემდეგი მაგალითი მხოლოდ ჩემს სიტყვებს დაადასტურებს.

როგორ შეიძლება აქ მნიშვნელის კვადრატული ფესვის აღმოფხვრა? თუ მრიცხველი და მნიშვნელი გამრავლებულია გამოსახულებით, მაშინ მნიშვნელი იქნება ჯამის კვადრატი. პირველი და მეორე რიცხვების კვადრატების ჯამი მოგვცემს მხოლოდ რიცხვებს ყოველგვარი ფესვების გარეშე, რაც ძალიან სასიამოვნოა. თუმცა... გამოვა ორმაგი პროდუქტიპირველი რიცხვი მეორეზე, სადაც სამის ფესვი მაინც დარჩება. ეს არხებს. Რა უნდა გავაკეთო? გაიხსენეთ შემოკლებული გამრავლების კიდევ ერთი შესანიშნავი ფორმულა! სადაც არ არის ორმაგი პროდუქტები, მაგრამ მხოლოდ კვადრატები:

გამოთქმა, რომელიც გარკვეულ ჯამზე (ან სხვაობაზე) გამრავლებისას წარმოშობს კვადრატების განსხვავება, ასევე ე.წ კონიუგირებული გამოხატულება. ჩვენს მაგალითში, კონიუგატური გამოხატულება იქნება განსხვავება. ასე რომ, ჩვენ ვამრავლებთ მრიცხველს და მნიშვნელს ამ განსხვავებაზე:

Რა შემიძლია ვთქვა? ჩვენი მანიპულაციების შედეგად არა მარტო მნიშვნელის ძირი გაქრა, არამედ წილადი საერთოდ გაქრა! :) კალკულატორითაც კი, სამის ფესვის გამოკლება სამიდან უფრო ადვილია, ვიდრე წილადის გამოთვლა ფესვით მნიშვნელში. Სხვა მაგალითი.

განთავისუფლდით წილადის მნიშვნელში ირაციონალურობისგან:

როგორ გამოვიდეთ აქედან? კვადრატებით შემოკლებული გამრავლების ფორმულები მაშინვე არ მუშაობს - ფესვების მთლიანად აღმოფხვრა შეუძლებელი იქნება იმის გამო, რომ ამჯერად ჩვენი ფესვი არ არის კვადრატი, მაგრამ კუბური. აუცილებელია, რომ ფესვი როგორმე კუბიკში იყოს ამოსული. ამიტომ, კუბურებით ერთ-ერთი ფორმულა უნდა იქნას გამოყენებული. Რომელი? მოდი ვიფიქროთ. მნიშვნელი არის ჯამი. როგორ მივაღწიოთ ფესვის კუბს? გავამრავლოთ ნაწილობრივი კვადრატული განსხვავება! ასე რომ, ჩვენ გამოვიყენებთ ფორმულას კუბურების ჯამი. ეს ერთი:

როგორც აგვაქვს სამი და როგორც ხარისხი ბ- კუბური ფესვი ხუთიდან:

და ისევ გაქრა წილადი.) ასეთი სიტუაციები, როცა წილადის მნიშვნელში ირაციონალურობისგან თავისუფლდება, თავად წილადიც მთლიანად ქრება ფესვებთან ერთად, ძალიან ხშირად ხდება. როგორ მოგწონთ ეს მაგალითი!

გამოთვალეთ:

უბრალოდ სცადეთ ამ სამი წილადის დამატება! შეცდომების გარეშე! :) ერთი საერთო მნიშვნელი ღირს. რა მოხდება, თუ ჩვენ ვცდილობთ განვთავისუფლებულიყავით თითოეული წილადის მნიშვნელში არსებული ირაციონალურობისგან? აბა, ვცადოთ:

ვაა, რა საინტერესოა! ყველა წილადი წავიდა! სრულიად. და ახლა მაგალითი შეიძლება გადაწყდეს ორი გზით:

მარტივი და ელეგანტური. და გრძელი და დამღლელი გათვლების გარეშე. :)

ამიტომაც უნდა შეეძლოს ფრაქციებში ირაციონალურობისგან განთავისუფლების ოპერაცია. ასეთ დახვეწილ მაგალითებში, ეს ერთადერთია, რაც ზოგავს, დიახ.) რა თქმა უნდა, ყურადღება არავინ გააუქმა. არის დავალებები, რომლებშიც გთხოვენ ირაციონალურობისგან თავის დაღწევას მრიცხველი. ეს ამოცანები არაფრით განსხვავდება განხილულისგან, მხოლოდ მრიცხველია გასუფთავებული ფესვებიდან.)

უფრო რთული მაგალითები

რჩება ფესვებთან მუშაობის რამდენიმე სპეციალური ტექნიკის გათვალისწინება და გათიშვის პრაქტიკა და არა უმარტივესი მაგალითები. შემდეგ მიღებული ინფორმაცია საკმარისი იქნება ამოცანების გადასაჭრელად ნებისმიერი დონის სირთულის ფესვებით. ასე რომ - განაგრძეთ.) ჯერ გავარკვიოთ, რა ვუყოთ ბუდებულ ფესვებს, როდესაც ფესვიდან ფესვის ფორმულა არ მუშაობს. მაგალითად, აქ არის მაგალითი.

გამოთვალეთ:

ფესვი ფესვის ქვეშაა... უფრო მეტიც, ფესვების ქვეშ არის ჯამი ან განსხვავება. აქედან გამომდინარე, ფესვის ფესვის ფორმულა (მაჩვენებლების გამრავლებით) აქ არის Ეს არ მუშაობს. ასე რომ, რაღაც უნდა გაკეთდეს რადიკალური გამონათქვამები: ჩვენ უბრალოდ სხვა არჩევანი არ გვაქვს. ასეთ მაგალითებში ყველაზე ხშირად დიდი ფესვი დაშიფრულია იდეალური მოედანიგარკვეული თანხა. ან განსხვავებები. და კვადრატის ფესვი უკვე მშვენივრად არის ამოღებული! ახლა კი ჩვენი ამოცანაა მისი გაშიფვრა.) ასეთი გაშიფვრა მშვენივრად ხდება განტოლებათა სისტემა. ახლა თქვენ თავად ნახავთ ყველაფერს.)

ასე რომ, პირველი ფესვის ქვეშ გვაქვს ეს გამოთქმა:

რა მოხდება, თუ სწორად ვერ გამოიცანით? მოდით შევამოწმოთ! ჩვენ კვადრატში ვაქცევთ ჯამის კვადრატის ფორმულის გამოყენებით:

ასეა.) მაგრამ... საიდან მომივიდა ეს გამოთქმა? ციდან?

არა.) პატიოსნად მივიღებთ ცოტა დაბლა. უბრალოდ ამ გამოთქმის გამოყენებით, მე ზუსტად ვაჩვენებ, თუ როგორ შიფრავს ამოცანების დამწერები ასეთ კვადრატებს. :) რა არის 54? ეს პირველი და მეორე რიცხვების კვადრატების ჯამი. და, ყურადღება მიაქციეთ, უკვე ფესვების გარეშე! და ფესვი რჩება ორმაგი პროდუქტი, რაც ჩვენს შემთხვევაში უდრის . ამიტომ, ასეთი მაგალითების ამოხსნა იწყება ორმაგი პროდუქტის ძიებით. თუ ჩვეული შერჩევით ამოხსნით. და, სხვათა შორის, ნიშნების შესახებ. აქ ყველაფერი მარტივია. თუ ორმაგამდე არის პლუსი, მაშინ ჯამის კვადრატი. თუ მინუსია, მაშინ განსხვავებები.) გვაქვს პლუსი - ეს ნიშნავს ჯამის კვადრატს.) ახლა კი - დაპირებული ანალიტიკური გაშიფვრის მეთოდი. სისტემის მეშვეობით.)

ასე რომ, ჩვენი ფესვის ქვეშ აშკარად ჩამოკიდებულია გამოთქმა (ა+ბ) 2, და ჩვენი ამოცანაა ვიპოვოთ ადა ბ. ჩვენს შემთხვევაში, კვადრატების ჯამი იძლევა 54. ასე რომ, ჩვენ ვწერთ:

ახლა გააორმაგეთ პროდუქტი. ჩვენ გვაქვს. ასე რომ, ჩვენ ვწერთ მას:

ჩვენ მივიღეთ ეს სისტემა:

ჩვენ ვხსნით ჩვეულებრივი ჩანაცვლების მეთოდით. ჩვენ გამოვხატავთ, მაგალითად, მეორე განტოლებიდან და ვცვლით მას პირველში:

მოდით ამოხსნათ პირველი განტოლება:

მივიღე ბიკვადრატულიგანტოლება ნათესავია . ჩვენ ვიანგარიშებთ დისკრიმინანტს:

ნიშნავს,

ჩვენ მივიღეთ ოთხი შესაძლო მნიშვნელობაა. ჩვენ არ გვეშინია. ახლა ჩვენ გავასუფთავებთ ყველა არასაჭირო ნივთს.) თუ ახლა გამოვთვლით შესაბამის მნიშვნელობებს ოთხივე ნაპოვნი მნიშვნელობისთვის, მივიღებთ ჩვენი სისტემის ოთხ გადაწყვეტას. აი ისინი:

და აქ ჩნდება კითხვა - რომელი გამოსავალია ჩვენთვის სწორი? მოდი ვიფიქროთ. ნეგატიური გადაწყვეტილებები შეიძლება დაუყოვნებლივ განადგურდეს: კვადრატის დაყენებისას მინუსები "დაიწვება" და მთლიანი რადიკალური გამოხატულება არ შეიცვლება.) პირველი ორი ვარიანტი რჩება. თქვენ შეგიძლიათ აირჩიოთ ისინი სრულიად თვითნებურად: ტერმინების გადალაგება მაინც არ ცვლის ჯამს.) მოდით, მაგალითად, , .

ჯამში მივიღეთ შემდეგი ჯამის კვადრატი ფესვის ქვეშ:

Ყველაფერი ნათელია.)

ტყუილად არ აღვწერ გადაწყვეტილების პროცესს ასე დეტალურად. იმის გასაგებად, თუ როგორ ხდება გაშიფვრა.) მაგრამ არის ერთი პრობლემა. დეკოდირების ანალიტიკური მეთოდი, თუმცა საიმედოა, მაგრამ ძალიან გრძელი და შრომატევადი: თქვენ უნდა ამოხსნათ ბიკვადრატული განტოლება, მიიღოთ სისტემის ოთხი ამონახსნები და შემდეგ მაინც დაფიქრდეთ რომელი აირჩიოთ... გაწუხებთ? ვეთანხმები, პრობლემურია. ეს მეთოდი უნაკლოდ მუშაობს ამ მაგალითების უმეტესობაში. თუმცა, ძალიან ხშირად შეგიძლიათ დაზოგოთ ბევრი სამუშაო და ორივე ნომერი შემოქმედებითად იპოვოთ. შერჩევით.) დიახ, დიახ! ახლა, მეორე ტერმინის (მეორე ფესვის) მაგალითის გამოყენებით, მე გაჩვენებ უფრო მარტივ და სწრაფ გზას ფესვის ქვეშ სრული კვადრატის იზოლირებისთვის.

ახლა ჩვენ გვაქვს ეს ფესვი: .

მოდით ვიფიქროთ ასე: „ძირის ქვეშ, სავარაუდოდ, არის დაშიფრული სრული კვადრატი. თუ ორმაგამდე მინუსი იქნება, ეს ნიშნავს სხვაობის კვადრატს. პირველი და მეორე რიცხვების კვადრატების ჯამი გვაძლევს რიცხვს 54. მაგრამ რა სახის კვადრატებია ეს? 1 და 53? 49 და 5 ? ძალიან ბევრი ვარიანტია... არა, ჯობია გათიშვა დაიწყოთ ორმაგი პროდუქტით. ჩვენიშეიძლება დაიწეროს როგორც. ერთხელ პროდუქტი გაორმაგდა, მაშინ ჩვენ დაუყოვნებლივ გავაუქმებთ ორს. შემდეგ როლის კანდიდატები a და b რჩება 7 და . თუ 14 იქნება და/2 ? Შესაძლებელია. მაგრამ ჩვენ ყოველთვის ვიწყებთ რაღაც მარტივით!”ასე რომ, მოდით, ა. მოდით შევამოწმოთ ისინი კვადრატების ჯამისთვის:

მოხდა! ეს ნიშნავს, რომ ჩვენი რადიკალური გამოხატულება რეალურად არის განსხვავების კვადრატი:

აქ არის მსუბუქი გზა, რათა თავიდან აიცილოთ სისტემაში არეულობის თავიდან აცილება. ეს ყოველთვის არ მუშაობს, მაგრამ ბევრ მაგალითში ეს საკმაოდ საკმარისია. ასე რომ, ფესვების ქვეშ არის სრული კვადრატები. რჩება მხოლოდ ფესვების სწორად ამოღება და მაგალითის გამოთვლა:

ახლა მოდით შევხედოთ კიდევ უფრო არასტანდარტულ ამოცანას ფესვებზე.)

დაამტკიცეთ, რომ რიცხვი A- მთელი რიცხვი, თუ .

პირდაპირ არაფერია ამოღებული, ფესვები ჩადგმულია და თუნდაც სხვადასხვა ხარისხის... კოშმარი! თუმცა ამოცანას აზრი აქვს.) ამიტომ არის მისი ამოხსნის გასაღები.) და მთავარი აქ არის ეს. განვიხილოთ ჩვენი თანასწორობა

Როგორ განტოლება ნათესავი ა. Დიახ დიახ! კარგი იქნებოდა ფესვების მოშორება. ჩვენი ფესვები კუბურია, ასე რომ, მოდით კუბურები გავხადოთ განტოლების ორივე მხარე. ფორმულის მიხედვით ჯამის კუბი:

კუბურები და კუბური ფესვები ანადგურებენ ერთმანეთს და ყოველი დიდი ფესვის ქვეშ ვიღებთ კვადრატს თითო ფრჩხილს და ვანაწილებთ სხვაობისა და ჯამის ნამრავლს კვადრატების განსხვავებაში:

ცალკე, ჩვენ ვიანგარიშებთ კვადრატების განსხვავებას ფესვების ქვეშ:

გაკვეთილის დასაწყისში განვიხილავთ კვადრატული ფესვების ძირითად თვისებებს, შემდეგ კი გადავხედავთ კვადრატული ფესვების შემცველი გამონათქვამების გამარტივების რამდენიმე რთულ მაგალითს.

თემა:ფუნქცია. კვადრატული ფესვის თვისებები

გაკვეთილი:უფრო რთული გამონათქვამების კონვერტაცია და გამარტივება ფესვებით

1. კვადრატული ფესვების თვისებების მიმოხილვა

მოკლედ გავიმეოროთ თეორია და გავიხსენოთ კვადრატული ფესვების ძირითადი თვისებები.

კვადრატული ფესვების თვისებები:

1. ამიტომ, ;

3. ;

4. .

2. ძირებით გამოთქმების გამარტივების მაგალითები

მოდით გადავიდეთ ამ თვისებების გამოყენების მაგალითებზე.

მაგალითი 1: გამოხატვის გამარტივება .

გამოსავალი. გამარტივების მიზნით, რიცხვი 120 უნდა გამრავლდეს პირველ ფაქტორებად:

ჩვენ გამოვავლენთ ჯამის კვადრატს შესაბამისი ფორმულის გამოყენებით:

მაგალითი 2: გამოხატვის გამარტივება .

გამოსავალი. გავითვალისწინოთ, რომ ამ გამოთქმას აზრი არ აქვს ცვლადის ყველა შესაძლო მნიშვნელობისთვის, რადგან ეს გამოთქმა შეიცავს კვადრატულ ფესვებს და წილადებს, რაც იწვევს დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონის „შევიწროებას“. ODZ: ().

ფრჩხილებში გამოსახული მივიყვანოთ საერთო მნიშვნელთან და ბოლო წილადის მრიცხველი დავწეროთ კვადრატების სხვაობის სახით:

ზე.

უპასუხე. ზე.

მაგალითი 3: გამოხატვის გამარტივება .

გამოსავალი. ჩანს, რომ მეორე მრიცხველის ფრჩხილს აქვს არასასიამოვნო გარეგნობა და საჭიროებს გამარტივებას; შევეცადოთ მისი ფაქტორირება დაჯგუფების მეთოდის გამოყენებით.

იმისათვის, რომ შეგვეძლოს საერთო ფაქტორის გამოყვანა, ჩვენ გავამარტივეთ ფესვები მათი ფაქტორებით. მოდით ჩავანაცვლოთ მიღებული გამოხატულება თავდაპირველ წილადში:

წილადის შემცირების შემდეგ ვიყენებთ კვადრატების სხვაობის ფორმულას.

3. ირაციონალურობისგან თავის დაღწევის მაგალითი

მაგალითი 4. განთავისუფლდით ირაციონალურობისგან (ფესვები) მნიშვნელში: ა) ; ბ) .

გამოსავალი. ა) მნიშვნელში ირაციონალურობის თავიდან აცილების მიზნით გამოიყენება წილადის როგორც მრიცხველის, ასევე მნიშვნელის გამრავლების სტანდარტული მეთოდი მნიშვნელზე კონიუგატირებულ ფაქტორზე (იგივე გამოთქმა, მაგრამ საპირისპირო ნიშნით). ეს კეთდება იმისთვის, რომ შეავსოს წილადის მნიშვნელი კვადრატების სხვაობასთან, რაც საშუალებას გაძლევთ მოიცილოთ ფესვები მნიშვნელში. მოდით გავაკეთოთ ეს ჩვენს შემთხვევაში:

ბ) შეასრულეთ მსგავსი ქმედებები:

პასუხი.; .

4. მაგალითი კომპლექსურ რადიკალში სრული კვადრატის დასამტკიცებლად და ამოსაცნობად

მაგალითი 5. დაამტკიცეთ თანასწორობა .

მტკიცებულება. გამოვიყენოთ კვადრატული ფესვის განმარტება, საიდანაც გამომდინარეობს, რომ მარჯვენა გამოსახულების კვადრატი უნდა იყოს რადიკალური გამოხატვის ტოლი:

. მოდით გავხსნათ ფრჩხილები ჯამის კვადრატის ფორმულის გამოყენებით:

, მივიღეთ სწორი თანასწორობა.

დადასტურებული.

მაგალითი 6. გამოთქმის გამარტივება.

გამოსავალი. ამ გამოთქმას ჩვეულებრივ უწოდებენ რთულ რადიკალს (ფესვი ფესვის ქვეშ). ამ მაგალითში, თქვენ უნდა გაარკვიოთ, როგორ გამოვყოთ სრული კვადრატი რადიკალური გამონათქვამისგან. ამისათვის გაითვალისწინეთ, რომ ორი ტერმინიდან ის არის ორმაგი პროდუქტის როლის კანდიდატი კვადრატული სხვაობის ფორმულაში (განსხვავება, რადგან არის მინუსი). მოდით დავწეროთ იგი შემდეგი ნამრავლის სახით: , მაშინ 1 აცხადებს, რომ არის სრული კვადრატის ერთ-ერთი პირობა, ხოლო 1 აცხადებს, რომ არის მეორე.

მოდით ჩავანაცვლოთ ეს გამოთქმა ფესვის ქვეშ.

კალკულატორების წინ მოსწავლეებმა და მასწავლებლებმა ხელით გამოთვალეს კვადრატული ფესვები. რიცხვის კვადრატული ფესვის ხელით გამოსათვლელად რამდენიმე გზა არსებობს. ზოგი მათგანი მხოლოდ სავარაუდო გადაწყვეტას გვთავაზობს, ზოგი კი ზუსტ პასუხს იძლევა.

ნაბიჯები

ძირითადი ფაქტორიზაცია

რადიკალური რიცხვის ფაქტორებად აქცევენ კვადრატულ რიცხვებს.რადიკალური რიცხვიდან გამომდინარე მიიღებთ სავარაუდო ან ზუსტ პასუხს. კვადრატული რიცხვები არის რიცხვები, საიდანაც შეიძლება აიღოთ მთელი კვადრატული ფესვი. ფაქტორები არის რიცხვები, რომლებიც გამრავლებისას იძლევა თავდაპირველ რიცხვს. მაგალითად, 8 რიცხვის ფაქტორები არის 2 და 4, ვინაიდან 2 x 4 = 8, რიცხვები 25, 36, 49 არის კვადრატული რიცხვები, ვინაიდან √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. კვადრატული ფაქტორები არის ფაქტორები, რომლებიც კვადრატული რიცხვებია. პირველ რიგში, შეეცადეთ რადიკალური რიცხვი კვადრატულ ფაქტორებად გადაანაწილოთ.

• მაგალითად, გამოთვალეთ 400-ის კვადრატული ფესვი (ხელით). ჯერ სცადეთ 400-ის ფაქტორინგი კვადრატულ ფაქტორებად. 400 არის 100-ის ჯერადი, ანუ იყოფა 25-ზე - ეს არის კვადრატული რიცხვი. 400-ის 25-ზე გაყოფა მოგცემთ 16. რიცხვი 16 ასევე კვადრატული რიცხვია. ამრიგად, 400 შეიძლება დარეგულირდეს 25 და 16 კვადრატულ ფაქტორებში, ანუ 25 x 16 = 400.
• ეს შეიძლება ჩაიწეროს შემდეგნაირად: √400 = √(25 x 16).

1. ზოგიერთი წევრის ნამრავლის კვადრატული ფესვი უდრის თითოეული წევრის კვადრატული ფესვების ნამრავლს, ანუ √(a x b) = √a x √b. გამოიყენეთ ეს წესი, რომ აიღოთ თითოეული კვადრატული ფაქტორის კვადრატული ფესვი და გაამრავლოთ შედეგები პასუხის საპოვნელად.

   • ჩვენს მაგალითში აიღეთ 25-ისა და 16-ის ფესვი.
     • √(25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. თუ რადიკალური რიცხვი არ გაერთიანდება ორ კვადრატულ ფაქტორად (და ეს ხდება უმეტეს შემთხვევაში), თქვენ ვერ იპოვით ზუსტ პასუხს მთელი რიცხვის სახით. მაგრამ თქვენ შეგიძლიათ გაამარტივოთ პრობლემა რადიკალური რიცხვის კვადრატულ ფაქტორად და ჩვეულებრივ კოეფიციენტად დაშლით (რიცხვი, საიდანაც მთელი კვადრატული ფესვის აღება შეუძლებელია). შემდეგ თქვენ აიღებთ კვადრატული ფაქტორის კვადრატულ ფესვს და აიღებთ საერთო ფაქტორის ფესვს.

   • მაგალითად, გამოთვალეთ რიცხვის კვადრატული ფესვი 147. რიცხვი 147 არ შეიძლება გამრავლდეს ორ კვადრატულ ფაქტორად, მაგრამ შეიძლება გამრავლდეს შემდეგ ფაქტორებად: 49 და 3. ამოხსენით ამოცანა შემდეგნაირად:
     • = √(49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. საჭიროების შემთხვევაში შეაფასეთ ფესვის ღირებულება.ახლა თქვენ შეგიძლიათ შეაფასოთ ფესვის მნიშვნელობა (იპოვეთ სავარაუდო მნიშვნელობა) მისი შედარებით კვადრატული რიცხვების ფესვების მნიშვნელობებთან, რომლებიც ყველაზე ახლოს არიან (რიცხვის ხაზის ორივე მხარეს) რადიკალურ რიცხვთან. თქვენ მიიღებთ ძირის მნიშვნელობას ათწილადის სახით, რომელიც უნდა გამრავლდეს ძირის ნიშნის უკან არსებულ რიცხვზე.

   • დავუბრუნდეთ ჩვენს მაგალითს. რადიკალური რიცხვია 3. მასთან ყველაზე ახლოს კვადრატული რიცხვები იქნება რიცხვები 1 (√1 = 1) და 4 (√4 = 2). ამრიგად, √3-ის მნიშვნელობა მდებარეობს 1-სა და 2-ს შორის. ვინაიდან √3-ის მნიშვნელობა ალბათ უფრო ახლოს არის 2-თან, ვიდრე 1-თან, ჩვენი შეფასებაა: √3 = 1.7. ჩვენ ვამრავლებთ ამ მნიშვნელობას ძირის ნიშნის რიცხვზე: 7 x 1.7 = 11.9. თუ მათემატიკას გააკეთებთ კალკულატორზე, მიიღებთ 12.13, რაც საკმაოდ ახლოსაა ჩვენს პასუხთან.
     • ეს მეთოდი ასევე მუშაობს დიდი რაოდენობით. მაგალითად, განიხილეთ √35. რადიკალური რიცხვია 35. მასთან უახლოესი კვადრატული რიცხვები იქნება რიცხვები 25 (√25 = 5) და 36 (√36 = 6). ამრიგად, √35-ის მნიშვნელობა მდებარეობს 5-სა და 6-ს შორის. ვინაიდან √35-ის მნიშვნელობა ბევრად უფრო ახლოს არის 6-თან, ვიდრე 5-თან (რადგან 35 არის მხოლოდ 1-ით ნაკლები 36-ზე), შეგვიძლია ვთქვათ, რომ √35 ოდნავ ნაკლებია 6-ზე. კალკულატორის შემოწმება გვაძლევს პასუხს 5.92 - ჩვენ მართალი ვიყავით.

4. სხვა გზა - რადიკალური რიცხვის გაანგარიშება მარტივ ფაქტორებად . მარტივი ფაქტორები არის რიცხვები, რომლებიც იყოფა მხოლოდ 1-ზე და საკუთარ თავზე. ჩაწერეთ პირველი ფაქტორები სერიებში და იპოვეთ იდენტური ფაქტორების წყვილი. ასეთი ფაქტორების ამოღება შესაძლებელია ძირეული ნიშნიდან.

   • მაგალითად, გამოვთვალოთ 45-ის კვადრატული ფესვი. რადიკალურ რიცხვს ვანაწილებთ მარტივ ფაქტორებად: 45 = 9 x 5 და 9 = 3 x 3. ამრიგად, √45 = √(3 x 3 x 5). 3 შეიძლება ამოღებულ იქნას ძირის ნიშნად: √45 = 3√5. ახლა შეგვიძლია შევაფასოთ √5.
   • ვნახოთ კიდევ ერთი მაგალითი: √88.
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). თქვენ მიიღეთ 2-ის სამი მამრავლი; აიღეთ რამდენიმე მათგანი და გადაიტანეთ ისინი ძირეული ნიშნის მიღმა.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. ახლა შეგიძლიათ შეაფასოთ √2 და √11 და იპოვოთ სავარაუდო პასუხი.

   კვადრატული ფესვის ხელით გამოთვლა

   გრძელი გაყოფის გამოყენება

   1. ეს მეთოდი მოიცავს ხანგრძლივი დაყოფის მსგავს პროცესს და იძლევა ზუსტ პასუხს.ჯერ დახაზეთ ვერტიკალური ხაზი, რომელიც ყოფს ფურცელს ორ ნაწილად, შემდეგ კი მარჯვნივ და ოდნავ ქვემოთ ფურცლის ზედა კიდეზე, დახაზეთ ჰორიზონტალური ხაზი ვერტიკალურ ხაზამდე. ახლა დაყავით რადიკალური რიცხვი რიცხვების წყვილებად, დაწყებული წილადი ნაწილით ათობითი წერტილის შემდეგ. ასე რომ, ნომერი 79520789182.47897 იწერება როგორც "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".

      • მაგალითად, გამოვთვალოთ 780.14 რიცხვის კვადრატული ფესვი. დახაზეთ ორი ხაზი (როგორც სურათზეა ნაჩვენები) და ჩაწერეთ მოცემული რიცხვი ფორმაში „7 80, 14“ ზედა მარცხენა მხარეს. ნორმალურია, რომ მარცხნიდან პირველი ციფრი დაუწყვილებელი ციფრია. თქვენ დაწერთ პასუხს (ამ რიცხვის ფესვს) ზედა მარჯვნივ.

   2. რიცხვების პირველი წყვილისთვის (ან ერთი რიცხვი) მარცხნიდან, იპოვეთ უდიდესი მთელი რიცხვი n, რომლის კვადრატი ნაკლებია ან ტოლია მოცემული რიცხვების (ან ერთი რიცხვის) წყვილზე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, იპოვეთ კვადრატული რიცხვი, რომელიც ყველაზე ახლოსაა, მაგრამ უფრო მცირეა, ვიდრე მარცხნიდან რიცხვების პირველ წყვილთან (ან ერთ რიცხვთან) და აიღეთ ამ კვადრატული რიცხვის კვადრატული ფესვი; თქვენ მიიღებთ რიცხვს n. დაწერეთ n, რომელიც იპოვეთ ზედა მარჯვნივ, და ჩაწერეთ n-ის კვადრატი ქვედა მარჯვენა კუთხეში.

      • ჩვენს შემთხვევაში, მარცხნივ პირველი რიცხვი იქნება 7. შემდეგი, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. გამოაკლეთ n რიცხვის კვადრატი, რომელიც ახლახან იპოვნეთ მარცხნივ მდებარე რიცხვების პირველ წყვილს (ან ერთ რიცხვს).ჩაწერეთ გამოთვლის შედეგი ქვეტრასენდის ქვეშ (n რიცხვის კვადრატი).

      • ჩვენს მაგალითში გამოვაკლოთ 4 7-ს და მივიღოთ 3.

   4. ამოიღეთ რიცხვების მეორე წყვილი და ჩაწერეთ წინა საფეხურზე მიღებული მნიშვნელობის გვერდით.შემდეგ გააორმაგეთ რიცხვი ზედა მარჯვენა კუთხეში და ჩაწერეთ შედეგი ქვედა მარჯვნივ „_×_="-ის დამატებით.

      • ჩვენს მაგალითში რიცხვების მეორე წყვილი არის "80". ჩაწერეთ "80" 3-ის შემდეგ. შემდეგ, გაორმაგებული რიცხვი ზედა მარჯვნივ იძლევა 4-ს. ჩაწერეთ "4_×_=" ქვედა მარჯვენა მხარეს.

   5. შეავსეთ ცარიელი ადგილები მარჯვნივ.

      • ჩვენს შემთხვევაში, თუ ტირეების ნაცვლად დავსვამთ რიცხვს 8, მაშინ 48 x 8 = 384, რაც მეტია 380-ზე. ამიტომ, 8 არის ძალიან დიდი რიცხვი, მაგრამ 7 იქნება. ტირეების ნაცვლად დაწერეთ 7 და მიიღეთ: 47 x 7 = 329. ჩაწერეთ 7 ზედა მარჯვნივ - ეს არის მეორე ციფრი 780.14 რიცხვის სასურველ კვადრატულ ფესვში.

   6. გამოვაკლოთ მიღებული რიცხვი მარცხნივ მიმდინარე რიცხვს.ჩაწერეთ წინა საფეხურის შედეგი მარცხნივ მიმდინარე რიცხვის ქვეშ, იპოვეთ განსხვავება და ჩაწერეთ ქვეტრაჰენდის ქვეშ.

      • ჩვენს მაგალითში გამოვაკლოთ 329 380-ს, რაც უდრის 51-ს.

   7. გაიმეორეთ ნაბიჯი 4.თუ გადატანილი რიცხვების წყვილი არის თავდაპირველი რიცხვის წილადი ნაწილი, მაშინ ჩადეთ გამყოფი (მძიმით) მთელ და წილად ნაწილებს შორის საჭირო კვადრატულ ფესვში ზედა მარჯვენა კუთხეში. მარცხნივ ჩამოწიეთ რიცხვების შემდეგი წყვილი. გააორმაგეთ რიცხვი ზედა მარჯვენა კუთხეში და ჩაწერეთ შედეგი ქვედა მარჯვნივ "_×_="-ის დამატებით.

      • ჩვენს მაგალითში, რიცხვების შემდეგი წყვილი, რომელიც უნდა მოიხსნას, იქნება 780.14 რიცხვის წილადი ნაწილი, ამიტომ მოათავსეთ მთელი და წილადი ნაწილების გამყოფი სასურველ კვადრატულ ფესვში ზედა მარჯვნივ. ამოიღეთ 14 და ჩაწერეთ ქვედა მარცხენა ნაწილში. ორმაგი რიცხვი ზედა მარჯვნივ (27) არის 54, ასე რომ ჩაწერეთ "54_×_=" ქვედა მარჯვენა მხარეს.

   8. გაიმეორეთ ნაბიჯები 5 და 6.იპოვეთ ყველაზე დიდი რიცხვი ტირეების ადგილას მარჯვნივ (ტირეების ნაცვლად თქვენ უნდა შეცვალოთ იგივე რიცხვი) ისე, რომ გამრავლების შედეგი იყოს მარცხნივ მიმდინარე რიცხვზე ნაკლები ან ტოლი.

      • ჩვენს მაგალითში, 549 x 9 = 4941, რაც ნაკლებია მარცხნივ არსებულ რიცხვზე (5114). ჩაწერეთ 9 ზევით მარჯვნივ და გამოაკელით გამრავლების შედეგი მარცხნივ მიმდინარე რიცხვს: 5114 - 4941 = 173.

   9. თუ კვადრატული ფესვისთვის მეტი ათობითი ადგილების პოვნა გჭირდებათ, ჩაწერეთ რამდენიმე ნული მიმდინარე რიცხვის მარცხნივ და გაიმეორეთ ნაბიჯები 4, 5 და 6. გაიმეორეთ ნაბიჯები, სანამ არ მიიღებთ პასუხის სიზუსტეს (ათწილადების რაოდენობას) საჭიროება.

   პროცესის გაგება

   ამ მეთოდის დასაუფლებლად, წარმოიდგინეთ რიცხვი, რომლის კვადრატული ფესვი უნდა იპოვოთ, როგორც კვადრატის S ფართობი. ამ შემთხვევაში, თქვენ მოძებნით ასეთი კვადრატის L გვერდის სიგრძეს. ჩვენ ვიანგარიშებთ L-ის მნიშვნელობას ისე, რომ L² = S.

   პასუხის თითოეულ რიცხვზე მიეცით ასო. A-ით ავღნიშნოთ L მნიშვნელობის პირველი ციფრი (სასურველი კვადრატული ფესვი). B იქნება მეორე ციფრი, C მესამე და ასე შემდეგ.

   მიუთითეთ ასო პირველი ციფრის თითოეული წყვილისთვის. S-ით ავღნიშნოთ S-ის მნიშვნელობის პირველი წყვილი ციფრები, S b-ით მეორე წყვილი და ა.შ.

   გაიგეთ კავშირი ამ მეთოდსა და ხანგრძლივ დაყოფას შორის.ისევე, როგორც გაყოფისას, სადაც ჩვენ გვაინტერესებს მხოლოდ იმ რიცხვის შემდეგი ციფრი, რომელსაც ყოველ ჯერზე ვყოფთ, კვადრატული ფესვის გამოთვლისას, ჩვენ ვმუშაობთ წყვილი ციფრების მიხედვით (იმისათვის, რომ მივიღოთ შემდეგი ციფრი კვადრატული ფესვის მნიშვნელობაში. ).

   1. განვიხილოთ S რიცხვის Sa-ს პირველი წყვილი (ჩვენს მაგალითში Sa = 7) და იპოვეთ მისი კვადრატული ფესვი.ამ შემთხვევაში, სასურველი კვადრატული ფესვის მნიშვნელობის პირველი ციფრი A იქნება ციფრი, რომლის კვადრატი ნაკლებია ან ტოლია S a-ზე (ანუ ჩვენ ვეძებთ A-ს ისე, რომ უტოლობა A² ≤ Sa.< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • ვთქვათ, უნდა გავყოთ 88962 7-ზე; აქ პირველი ნაბიჯი მსგავსი იქნება: განვიხილავთ გამყოფი რიცხვის 88962 (8) პირველ ციფრს და ვირჩევთ უდიდეს რიცხვს, რომელიც 7-ზე გამრავლებისას იძლევა 8-ზე ნაკლები ან ტოლი მნიშვნელობას. ანუ, ჩვენ ვეძებთ. რიცხვი d, რომლისთვისაც უტოლობა მართალია: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.