როგორ ამოხსნათ რთული მაგალითები ფესვებით. როგორ ამოხსნათ მაგალითები ფესვებით. რატომ უნდა იყოს რადიკალური გამონათქვამები არანეგატიური

ფაქტი 1.
\(\bullet\) ავიღოთ რამდენიმე არაუარყოფითი რიცხვი \(a\) (ანუ \(a\geqslant 0\) ). შემდეგ (არითმეტიკა) კვადრატული ფესვი\(a\) რიცხვიდან ეწოდება ისეთ არაუარყოფითი რიცხვი \(b\) , როდესაც კვადრატში ვიღებთ რიცხვს \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(იგივე )\quad a=b^2\]განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). ეს შეზღუდვები მნიშვნელოვანი პირობაა კვადრატული ფესვის არსებობისთვის და უნდა გვახსოვდეს!
შეგახსენებთ, რომ ნებისმიერი რიცხვი კვადრატში იძლევა არაუარყოფით შედეგს. ანუ \(100^2=10000\geqslant 0\) და \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) რის ტოლია \(\sqrt(25)\)? ჩვენ ვიცით, რომ \(5^2=25\) და \((-5)^2=25\) . ვინაიდან განსაზღვრებით უნდა ვიპოვოთ არაუარყოფითი რიცხვი, მაშინ \(-5\) არ არის შესაფერისი, შესაბამისად, \(\sqrt(25)=5\) (რადგან \(25=5^2\) ).
\(\sqrt a\) მნიშვნელობის პოვნას ეწოდება \(a\) რიცხვის კვადრატული ფესვის აღება, ხოლო რიცხვს \(a\) - რადიკალური გამოხატულება.
\(\bullet\) განმარტებიდან გამომდინარე, გამოთქმა \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\) და ა.შ. აზრი არ აქვს.

ფაქტი 2.
სწრაფი გამოთვლებისთვის სასარგებლო იქნება ნატურალური რიცხვების კვადრატების ცხრილის სწავლა \(1\)-დან \(20\)-მდე: \[\begin(მასივი)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400 \\ \hline \end(მასივი)\]

ფაქტი 3.
რა ოპერაციების გაკეთება შეგიძლიათ კვადრატული ფესვებით?
\(\bullet\) კვადრატული ფესვების ჯამი ან სხვაობა არ არის ტოლი ჯამის ან სხვაობის კვადრატული ფესვის, ანუ \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\]ამრიგად, თუ თქვენ გჭირდებათ გამოთვლა, მაგალითად, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , მაშინ თავდაპირველად უნდა იპოვოთ \(\sqrt(25)\) და \(\) მნიშვნელობები. sqrt(49)\ ) და შემდეგ დაკეცეთ ისინი. აქედან გამომდინარე, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] თუ \(\sqrt a\) ან \(\sqrt b\) მნიშვნელობები ვერ მოიძებნა \(\sqrt a+\sqrt b\) დამატებისას, მაშინ ასეთი გამოხატულება შემდგომში არ გარდაიქმნება და რჩება როგორც არის. მაგალითად, ჯამში \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) შეგვიძლია ვიპოვოთ \(\sqrt(49)\) არის \(7\) , მაგრამ \(\sqrt 2\) არ შეიძლება გარდაიქმნას ყოველ შემთხვევაში, ამიტომ \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). სამწუხაროდ, ამ გამოთქმის შემდგომი გამარტივება შეუძლებელია\(\bullet\) კვადრატული ფესვების ნამრავლი/წელი უდრის ნამრავლის/რაოდენობის კვადრატულ ფესვს, ანუ \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (იმ პირობით, რომ თანასწორობის ორივე მხარეს აზრი აქვს)
მაგალითი: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) ამ თვისებების გამოყენებით, მოსახერხებელია დიდი რიცხვების კვადრატული ფესვების პოვნა მათი ფაქტორინგით.
მოდით შევხედოთ მაგალითს. მოდი ვიპოვოთ \(\sqrt(44100)\) . ვინაიდან \(44100:100=441\) , მაშინ \(44100=100\cdot 441\) . გაყოფის კრიტერიუმის მიხედვით რიცხვი \(441\) იყოფა \(9\)-ზე (რადგან მისი ციფრების ჯამი არის 9 და იყოფა 9-ზე), შესაბამისად, \(441:9=49\), ანუ \(441=9\ cdot 49\) .
ასე მივიღეთ: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\]მოდით შევხედოთ სხვა მაგალითს: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) მოდით ვაჩვენოთ, თუ როგორ უნდა შეიყვანოთ რიცხვები კვადრატული ფესვის ნიშნის ქვეშ გამონათქვამის მაგალითის გამოყენებით \(5\sqrt2\) (მოკლე აღნიშვნა გამოხატვისთვის \(5\cdot \sqrt2\)). ვინაიდან \(5=\sqrt(25)\) , მაშინ \ ასევე გაითვალისწინეთ, რომ, მაგალითად,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Რატომ არის, რომ? ავხსნათ მაგალითი 1-ის გამოყენებით). როგორც უკვე გესმით, ჩვენ ვერ შევცვლით რიცხვს \(\sqrt2\). წარმოვიდგინოთ, რომ \(\sqrt2\) არის რაღაც რიცხვი \(a\) . შესაბამისად, გამოთქმა \(\sqrt2+3\sqrt2\) სხვა არაფერია თუ არა \(a+3a\) (ერთი რიცხვი \(a\) პლუს სამი იგივე რიცხვი \(a\)). ჩვენ ვიცით, რომ ეს უდრის ოთხ ასეთ რიცხვს \(a\) , ანუ \(4\sqrt2\) .

ფაქტი 4.
\(\bullet\) რიცხვის მნიშვნელობის პოვნისას ხშირად ამბობენ "ძირის ამოღება არ შეიძლება", როცა ვერ აშორებ ფესვის ნიშანს \(\sqrt () \\) . მაგალითად, შეგიძლიათ აიღოთ \(16\) რიცხვის ფესვი, რადგან \(16=4^2\) , შესაბამისად \(\sqrt(16)=4\) . მაგრამ შეუძლებელია \(3\" რიცხვის ფესვის ამოღება, ანუ \(\sqrt3\) პოვნა, რადგან არ არსებობს რიცხვი, რომელიც კვადრატში მისცემს \(3\) .
ასეთი რიცხვები (ან გამონათქვამები ასეთი რიცხვებით) ირაციონალურია. მაგალითად, ნომრები \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\)და ასე შემდეგ. არიან ირაციონალური.
ასევე ირაციონალურია რიცხვები \(\pi\) (რიცხვი "pi", დაახლოებით ტოლია \(3.14\)), \(e\) (ამ რიცხვს ეილერის რიცხვი ჰქვია, ის დაახლოებით უდრის \(2.7-ს. \)) და ა.შ.
\(\bullet\) გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ნებისმიერი რიცხვი იქნება რაციონალური ან ირაციონალური. და ყველა რაციონალური და ყველა ირაციონალური რიცხვი ერთად ქმნიან სიმრავლეს, რომელსაც ეწოდება რეალური რიცხვების ნაკრები.ეს ნაკრები აღინიშნება ასო \(\mathbb(R)\) .
ეს ნიშნავს, რომ ყველა რიცხვს, რომელიც ჩვენ ამჟამად ვიცით, რეალური რიცხვები ეწოდება.

ფაქტი 5.
\(\bullet\) რეალური რიცხვის \(a\) მოდული არის არაუარყოფითი რიცხვი \(|a|\) ტოლი მანძილის \(a\) წერტილიდან \(0\)-მდე რეალური ხაზი. მაგალითად, \(|3|\) და \(|-3|\) უდრის 3-ს, ვინაიდან \(3\) და \(-3\) წერტილებიდან \(0\)-მდე მანძილი არის იგივე და ტოლია \(3 \) .
\(\bullet\) თუ \(a\) არაუარყოფითი რიცხვია, მაშინ \(|a|=a\) .
მაგალითი: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) თუ \(a\) უარყოფითი რიცხვია, მაშინ \(|a|=-a\) .
მაგალითი: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
ისინი ამბობენ, რომ უარყოფითი რიცხვებისთვის მოდული "ჭამს" მინუსს, ხოლო დადებითი რიცხვები, ისევე როგორც რიცხვი \(0\), უცვლელი რჩება მოდულით.
მაგრამეს წესი ვრცელდება მხოლოდ ციფრებზე. თუ თქვენი მოდულის ნიშნის ქვეშ არის უცნობი \(x\) (ან სხვა უცნობი), მაგალითად, \(|x|\) , რომლის შესახებაც არ ვიცით დადებითია, ნული თუ უარყოფითი, მაშინ მოიშორეთ მოდულის ჩვენ არ შეგვიძლია. ამ შემთხვევაში ეს გამოთქმა იგივე რჩება: \(|x|\) . \(\bullet\) მოქმედებს შემდეგი ფორმულები: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text(მოწოდებულია) a\geqslant 0\]ძალიან ხშირად უშვებენ შემდეგ შეცდომას: ამბობენ, რომ \(\sqrt(a^2)\) და \((\sqrt a)^2\) ერთი და იგივეა. ეს მართალია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ \(a\) არის დადებითი რიცხვი ან ნული. მაგრამ თუ \(a\) უარყოფითი რიცხვია, მაშინ ეს მცდარია. საკმარისია ამ მაგალითის გათვალისწინება. \(a\)-ის ნაცვლად ავიღოთ რიცხვი \(-1\) . მაშინ \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , მაგრამ გამონათქვამი \((\sqrt (-1))^2\) საერთოდ არ არსებობს (ბოლოს და ბოლოს, შეუძლებელია ძირეული ნიშნის გამოყენება უარყოფით რიცხვებში!).
ამიტომ თქვენს ყურადღებას ვაქცევთ იმ ფაქტს, რომ \(\sqrt(a^2)\) არ უდრის \((\sqrt a)^2\) !მაგალითი: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\მარჯვნივ)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), იმიტომ \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) ვინაიდან \(\sqrt(a^2)=|a|\) , მაშინ \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (გამოთქმა \(2n\) აღნიშნავს ლუწი რიცხვს)
ანუ რიცხვის ფესვის აღებისას, რომელიც გარკვეულწილად არის, ეს ხარისხი განახევრდება.
მაგალითი:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (გაითვალისწინეთ, რომ თუ მოდული არ არის მოწოდებული, გამოდის, რომ რიცხვის ფესვი უდრის \(-25\ მაგრამ ჩვენ გვახსოვს, რომ ფესვის განმარტებით ეს არ შეიძლება მოხდეს: ფესვის ამოღებისას ყოველთვის უნდა მივიღოთ დადებითი რიცხვი ან ნული)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (რადგან ლუწი ხარისხზე ნებისმიერი რიცხვი არაუარყოფითია)

ფაქტი 6.
როგორ შევადაროთ ორი კვადრატული ფესვი?
\(\bullet\) კვადრატული ფესვებისთვის მართალია: თუ \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aმაგალითი:
1) შეადარეთ \(\sqrt(50)\) და \(6\sqrt2\) . პირველი, მოდით გადავიტანოთ მეორე გამონათქვამი \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). ამრიგად, მას შემდეგ, რაც \ (50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) რომელ მთელ რიცხვებს შორის მდებარეობს \(\sqrt(50)\)?
ვინაიდან \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) და \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) შევადაროთ \(\sqrt 2-1\) და \(0.5\) . დავუშვათ, რომ \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((დაამატე ერთი ორივე მხარეს))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((ორივე მხარის კვადრატში)\\ &2>1.5^2\\ &2>2.25 \end (გასწორებული)\]ჩვენ ვხედავთ, რომ მივიღეთ არასწორი უტოლობა. ამიტომ, ჩვენი ვარაუდი არასწორი იყო და \(\sqrt 2-1<0,5\) .
გაითვალისწინეთ, რომ უტოლობის ორივე მხარეს გარკვეული რიცხვის მიმატება არ მოქმედებს მის ნიშანზე. უტოლობის ორივე მხარის დადებით რიცხვზე გამრავლება/გაყოფა ასევე არ მოქმედებს მის ნიშანზე, მაგრამ უარყოფით რიცხვზე გამრავლება/გაყოფა უტოლდება უტოლობის ნიშანს!
განტოლების/უტოლობის ორივე გვერდის კვადრატი შეგიძლიათ მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ორივე მხარე არაუარყოფითია. მაგალითად, წინა მაგალითის უტოლობაში შეგიძლიათ კვადრატში ორივე მხარე, უტოლობაში \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) უნდა გვახსოვდეს, რომ \[\ დასაწყისი (გასწორებული) &\sqrt 2\დაახლოებით 1.4\\ &\sqrt 3\დაახლოებით 1.7 \ბოლო (გასწორებული)\]ამ რიცხვების სავარაუდო მნიშვნელობის ცოდნა დაგეხმარება რიცხვების შედარებისას! \(\bullet\) იმისთვის, რომ ამოიღოთ ფესვი (თუ შეიძლება მისი ამოღება) რაიმე დიდი რიცხვიდან, რომელიც არ არის კვადრატების ცხრილში, ჯერ უნდა დაადგინოთ რომელ "ასეულს" შორის მდებარეობს, შემდეგ - რომელ " ათეულები”, და შემდეგ განსაზღვრეთ ამ რიცხვის ბოლო ციფრი. მოდით აჩვენოთ, თუ როგორ მუშაობს ეს მაგალითით.
ავიღოთ \(\sqrt(28224)\) . ჩვენ ვიცით, რომ \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\) და ა.შ. გაითვალისწინეთ, რომ \(28224\) არის \(10\,000\) და \(40\,000\) შორის. ამიტომ, \(\sqrt(28224)\) არის \(100\) და \(200\) შორის.
ახლა განვსაზღვროთ რომელ „ათეულებს“ შორის მდებარეობს ჩვენი რიცხვი (ანუ, მაგალითად, \(120\) და \(130\) შორის). ასევე კვადრატების ცხრილიდან ვიცით, რომ \(11^2=121\) , \(12^2=144\) და ა.შ., შემდეგ \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ) . ჩვენ ვხედავთ, რომ \(28224\) არის \(160^2\) და \(170^2\) შორის. აქედან გამომდინარე, რიცხვი \(\sqrt(28224)\) არის \(160\) და \(170\) შორის.
შევეცადოთ განვსაზღვროთ ბოლო ციფრი. გავიხსენოთ რა ერთნიშნა რიცხვები კვადრატში აძლევენ \(4\) ბოლოს? ეს არის \(2^2\) და \(8^2\) . ამიტომ, \(\sqrt(28224)\) დასრულდება 2-ით ან 8-ით. მოდით შევამოწმოთ ეს. ვიპოვოთ \(162^2\) და \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
ამიტომ, \(\sqrt(28224)=168\) . ვოილა!

მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ადეკვატურად გადასაჭრელად, ჯერ უნდა შეისწავლოთ თეორიული მასალა, რომელიც გაგაცნობთ უამრავ თეორემას, ფორმულას, ალგორითმს და ა.შ. ერთი შეხედვით შეიძლება ჩანდეს, რომ ეს საკმაოდ მარტივია. თუმცა, წყაროს პოვნა, რომელშიც მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის თეორია წარმოდგენილია ნებისმიერი დონის მომზადების სტუდენტებისთვის მარტივად და გასაგებად, სინამდვილეში საკმაოდ რთული ამოცანაა. სასკოლო სახელმძღვანელოები ყოველთვის ხელთ არ შეიძლება იყოს. და მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ძირითადი ფორმულების პოვნა შეიძლება რთული იყოს ინტერნეტშიც კი.

რატომ არის ასე მნიშვნელოვანი მათემატიკაში თეორიის შესწავლა არა მხოლოდ ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ჩაბარებისთვის?

1. რადგან ის აფართოებს თქვენს ჰორიზონტს. მათემატიკაში თეორიული მასალის შესწავლა სასარგებლოა მათთვის, ვისაც სურს მიიღოს პასუხები კითხვებზე, რომლებიც დაკავშირებულია მათ გარშემო არსებული სამყაროს ცოდნასთან. ბუნებაში ყველაფერი მოწესრიგებულია და აქვს მკაფიო ლოგიკა. ეს არის ზუსტად ის, რაც აისახება მეცნიერებაში, რომლის მეშვეობითაც შესაძლებელია სამყაროს გაგება.
2. რადგან ის ავითარებს ინტელექტს. მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის საცნობარო მასალების შესწავლით, ასევე სხვადასხვა ამოცანების გადაჭრით, ადამიანი სწავლობს ლოგიკურად აზროვნებას და მსჯელობას, აზრების კომპეტენტურად და ნათლად ჩამოყალიბებას. მას უვითარდება ანალიზის, განზოგადების, დასკვნების გამოტანის უნარი.

გეპატიჟებით პირადად შეაფასოთ ჩვენი მიდგომის ყველა უპირატესობა საგანმანათლებლო მასალების სისტემატიზაციისა და პრეზენტაციისთვის.

ოპერაციები ძალებითა და ფესვებით. ხარისხი უარყოფითით ,

ნულოვანი და წილადი მაჩვენებელი. უაზრო გამონათქვამების შესახებ.

ოპერაციები ხარისხით.

1. ძალაუფლების ერთსა და იმავე ფუძეზე გამრავლებისას მათი მაჩვენებლები იკრიბება:

ვარ · a n = a m + n.

2. გრადუსების ერთიდაიგივე ფუძით გაყოფისას მათი მაჩვენებლები გამოიქვითება .

3. ორი ან მეტი ფაქტორის ნამრავლის ხარისხი ტოლია ამ ფაქტორების ხარისხების ნამრავლის.

(abc… ) n = a n· b n · c n…

4. თანაფარდობის (წილადის) ხარისხი უდრის დივიდენდის (მრიცხველის) და გამყოფის (მნიშვნელის) ხარისხების შეფარდებას:

(ა/ბ ) n = a n / b n.

5. სიმძლავრის ხარისხზე აყვანისას მათი მაჩვენებლები მრავლდება:

(ვარ ) n = a m n.

ყველა ზემოთ ჩამოთვლილი ფორმულა იკითხება და სრულდება ორივე მიმართულებით მარცხნიდან მარჯვნივ და პირიქით.

მაგალითი (2 · 3 · 5/15)² = 2² 3² 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .

ოპერაციები ფესვებით. ქვემოთ მოცემულ ყველა ფორმულაში სიმბოლო ნიშნავს არითმეტიკული ფესვი(რადიკალური გამოხატულება დადებითია).

1. რამდენიმე ფაქტორის პროდუქტის ფესვი ტოლია პროდუქტის ამ ფაქტორების ფესვები:

2. თანაფარდობის ფესვი უდრის დივიდენდის და გამყოფის ფესვების შეფარდებას:

3. ფესვის ძლიერებამდე ამაღლებისას საკმარისია ამ ძალამდე აყვანა რადიკალური რიცხვი:

4. თუ ფესვის ხარისხს გავზრდითმ ამაღლებამ მერვე ძალა არის რადიკალური რიცხვი, მაშინ ფესვის მნიშვნელობა არ შეიცვლება:

5. თუ ფესვის ხარისხს შევამცირებთმ ამოიღეთ ფესვი ერთხელ და ერთდროულადმ რადიკალური რიცხვის ე ხარისხი, მაშინ ფესვის მნიშვნელობა არ არისშეიცვლება:

ხარისხის ცნების გაფართოება. ჯერჯერობით ჩვენ განვიხილავდით ხარისხებს მხოლოდ ბუნებრივი მაჩვენებლებით;მაგრამ მოქმედებები გრადუსი და ფესვები ასევე შეიძლება გამოიწვიოს უარყოფითი, ნულიდა წილადიინდიკატორები. ყველა ეს მაჩვენებელი მოითხოვს დამატებით განმარტებას.

ხარისხი უარყოფითი მაჩვენებლით. ზოგიერთი რიცხვის სიმძლავრე c უარყოფითი (მთლიანი) მაჩვენებელი განისაზღვრება, როგორც ერთი გაყოფილი აბსოლუტური სიდიდის ტოლი ერთი და იგივე რიცხვის სიმძლავრითუარყოფითი მაჩვენებელი:

თახლა ფორმულა ვარ: a n= ვარ - ნ შეიძლება გამოყენებულ იქნას არა მხოლოდმ, მეტი ვიდრე ნ, არამედ თან მ, ნაკლები ვიდრე ნ .

მაგალითი ა 4 :ა 7 = ა 4 - 7 = ა - 3 .

თუ ფორმულა გვინდავარ : a n= ვარ - ნსამართლიანი იყო როცაm = n, ჩვენ გვჭირდება ნულოვანი ხარისხის განმარტება.

ხარისხი ნულოვანი ინდექსით. ნებისმიერი არანულოვანი რიცხვის სიმძლავრე ნულის მაჩვენებლით არის 1.

მაგალითები. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

ხარისხი წილადის მაჩვენებლით. რეალური რიცხვის ასამაღლებლადდა სიმძლავრის m/n , თქვენ უნდა ამოიღოთ ფესვიმ-ის n-ე ძალა - ამ რიცხვის მერვე ძალაა :

უაზრო გამონათქვამების შესახებ. რამდენიმე ასეთი გამოთქმა არსებობს.ნებისმიერი ნომერი.

ფაქტობრივად, თუ დავუშვებთ, რომ ეს გამონათქვამი უდრის რაღაც რიცხვს x, მაშინ გაყოფის ოპერაციის განსაზღვრის მიხედვით გვაქვს: 0 = 0 · x. მაგრამ ეს თანასწორობა ხდება მაშინ, როდესაც ნებისმიერი რიცხვი xრისი დამტკიცება იყო საჭირო.

შემთხვევა 3.

0 0 - ნებისმიერი ნომერი.

მართლაც,

გამოსავალი. განვიხილოთ სამი ძირითადი შემთხვევა:

1) x = 0 – ეს მნიშვნელობა არ აკმაყოფილებს ამ განტოლებას

(რატომ?).

2) როდის x> 0 ვიღებთ: x/x = 1, ე.ი. 1 = 1, რაც ნიშნავს

Რა x- ნებისმიერი ნომერი; მაგრამ იმის გათვალისწინებით, რომ ში

ჩვენს შემთხვევაში x> 0, პასუხი არისx > 0 ;

3) როდის x < 0 получаем: – x/x= 1, ანუ ე . –1 = 1, შესაბამისად,

ამ შემთხვევაში გამოსავალი არ არის.

ამრიგად, x > 0.

გაკვეთილის დასაწყისში განვიხილავთ კვადრატული ფესვების ძირითად თვისებებს, შემდეგ კი გადავხედავთ კვადრატული ფესვების შემცველი გამონათქვამების გამარტივების რამდენიმე რთულ მაგალითს.

თემა:ფუნქცია. კვადრატული ფესვის თვისებები

გაკვეთილი:უფრო რთული გამონათქვამების კონვერტაცია და გამარტივება ფესვებით

1. კვადრატული ფესვების თვისებების მიმოხილვა

მოკლედ გავიმეოროთ თეორია და გავიხსენოთ კვადრატული ფესვების ძირითადი თვისებები.

კვადრატული ფესვების თვისებები:

1. ამიტომ, ;

3. ;

4. .

2. ძირებით გამოთქმების გამარტივების მაგალითები

მოდით გადავიდეთ ამ თვისებების გამოყენების მაგალითებზე.

მაგალითი 1: გამოხატვის გამარტივება .

გამოსავალი. გამარტივების მიზნით, რიცხვი 120 უნდა გამრავლდეს პირველ ფაქტორებად:

ჩვენ გამოვავლენთ ჯამის კვადრატს შესაბამისი ფორმულის გამოყენებით:

მაგალითი 2: გამოხატვის გამარტივება .

გამოსავალი. გავითვალისწინოთ, რომ ამ გამოთქმას აზრი არ აქვს ცვლადის ყველა შესაძლო მნიშვნელობისთვის, რადგან ეს გამოთქმა შეიცავს კვადრატულ ფესვებს და წილადებს, რაც იწვევს დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონის „შევიწროებას“. ODZ: ().

ფრჩხილებში გამოსახული მივიყვანოთ საერთო მნიშვნელთან და ბოლო წილადის მრიცხველი დავწეროთ კვადრატების სხვაობის სახით:

ზე.

უპასუხე. ზე.

მაგალითი 3: გამოხატვის გამარტივება .

გამოსავალი. ჩანს, რომ მეორე მრიცხველის ფრჩხილს აქვს არასასიამოვნო გარეგნობა და საჭიროებს გამარტივებას; შევეცადოთ მისი ფაქტორირება დაჯგუფების მეთოდის გამოყენებით.

იმისათვის, რომ შეგვეძლოს საერთო ფაქტორის გამოყვანა, ჩვენ გავამარტივეთ ფესვები მათი ფაქტორებით. მოდით ჩავანაცვლოთ მიღებული გამოხატულება თავდაპირველ წილადში:

წილადის შემცირების შემდეგ ვიყენებთ კვადრატების სხვაობის ფორმულას.

3. ირაციონალურობისგან თავის დაღწევის მაგალითი

მაგალითი 4. განთავისუფლდით ირაციონალურობისგან (ფესვები) მნიშვნელში: ა) ; ბ) .

გამოსავალი. ა) მნიშვნელში ირაციონალურობის თავიდან აცილების მიზნით გამოიყენება წილადის როგორც მრიცხველის, ასევე მნიშვნელის გამრავლების სტანდარტული მეთოდი მნიშვნელზე კონიუგატირებულ ფაქტორზე (იგივე გამოთქმა, მაგრამ საპირისპირო ნიშნით). ეს კეთდება იმისთვის, რომ შეავსოს წილადის მნიშვნელი კვადრატების სხვაობასთან, რაც საშუალებას გაძლევთ მოიცილოთ ფესვები მნიშვნელში. მოდით გავაკეთოთ ეს ჩვენს შემთხვევაში:

ბ) შეასრულეთ მსგავსი ქმედებები:

პასუხი.; .

4. მაგალითი კომპლექსურ რადიკალში სრული კვადრატის დასამტკიცებლად და ამოსაცნობად

მაგალითი 5. დაამტკიცეთ თანასწორობა .

მტკიცებულება. გამოვიყენოთ კვადრატული ფესვის განმარტება, საიდანაც გამომდინარეობს, რომ მარჯვენა გამოსახულების კვადრატი უნდა იყოს რადიკალური გამოხატვის ტოლი:

. მოდით გავხსნათ ფრჩხილები ჯამის კვადრატის ფორმულის გამოყენებით:

, მივიღეთ სწორი თანასწორობა.

დადასტურებული.

მაგალითი 6. გამოთქმის გამარტივება.

გამოსავალი. ამ გამოთქმას ჩვეულებრივ უწოდებენ რთულ რადიკალს (ფესვი ფესვის ქვეშ). ამ მაგალითში, თქვენ უნდა გაარკვიოთ, როგორ გამოვყოთ სრული კვადრატი რადიკალური გამონათქვამისგან. ამისათვის გაითვალისწინეთ, რომ ორი ტერმინიდან ის არის ორმაგი პროდუქტის როლის კანდიდატი კვადრატული სხვაობის ფორმულაში (განსხვავება, რადგან არის მინუსი). მოდით დავწეროთ იგი შემდეგი ნამრავლის სახით: , მაშინ 1 აცხადებს, რომ არის სრული კვადრატის ერთ-ერთი პირობა, ხოლო 1 აცხადებს, რომ არის მეორე.

მოდით ჩავანაცვლოთ ეს გამოთქმა ფესვის ქვეშ.

ეს სტატია არის დეტალური ინფორმაციის კრებული, რომელიც ეხება ფესვების თვისებების თემას. თემის გათვალისწინებით დავიწყებთ თვისებებს, შევისწავლით ყველა ფორმულირებას და მოვიყვანთ მტკიცებულებებს. თემის გასამყარებლად განვიხილავთ n ხარისხის თვისებებს.

ფესვების თვისებები

ჩვენ ვისაუბრებთ თვისებებზე.

1. საკუთრება გამრავლებული რიცხვები ადა ბ, რომელიც წარმოდგენილია a · b = a · b ტოლობის სახით. ის შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ფაქტორების სახით, დადებითი ან ნულის ტოლი a 1, a 2,…, a kროგორც 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k;
2. a კოეფიციენტიდან: b = a: b, a ≥ 0, b > 0, ის ასევე შეიძლება ჩაიწეროს ამ ფორმით a b = a b;
3. თვისება რიცხვის ხარისხებიდან ალუწი მაჩვენებლით a 2 m = a m ნებისმიერი რიცხვისთვის ამაგალითად, თვისება a 2 = a რიცხვის კვადრატიდან.

ნებისმიერ წარმოდგენილ განტოლებაში შეგიძლიათ შეცვალოთ ნაწილები ტირემდე და მის შემდეგ, მაგალითად, ტოლობა a · b = a · b გარდაიქმნება a · b = a · b. ტოლობის თვისებები ხშირად გამოიყენება რთული განტოლებების გასამარტივებლად.

პირველი თვისებების დადასტურება ემყარება კვადრატული ფესვის განსაზღვრას და ბუნებრივი მაჩვენებლის მქონე ძალების თვისებებს. მესამე თვისების გასამართლებლად საჭიროა მივმართოთ რიცხვის მოდულის განსაზღვრას.

უპირველეს ყოვლისა, აუცილებელია კვადრატული ფესვის თვისებების დადასტურება a · b = a · b. განმარტების მიხედვით, აუცილებელია ჩაითვალოს, რომ a b არის რიცხვი, დადებითი ან ნულის ტოლი, რომელიც ტოლი იქნება ბმშენებლობის დროს მოედანზე. a · b გამოხატვის მნიშვნელობა არის დადებითი ან ნულის ტოლი, როგორც არაუარყოფითი რიცხვების ნამრავლი. გამრავლებული რიცხვების ხარისხების თვისება საშუალებას გვაძლევს წარმოვადგინოთ ტოლობა (a · b) 2 = a 2 · b 2 სახით. კვადრატული ფესვის განმარტებით, a 2 = a და b 2 = b, შემდეგ a · b 2 = a 2 · b 2 = a · b.

ანალოგიურად, ამის დამტკიცება შეიძლება პროდუქტიდან კმამრავლები a 1, a 2,…, a kტოლი იქნება ამ ფაქტორების კვადრატული ფესვების ნამრავლის. მართლაც, a 1 · a 2 · … · a k 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · a k 2 = a 1 · a 2 · … · a k.

ამ ტოლობიდან გამომდინარეობს, რომ a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k.

მოდი განვიხილოთ რამდენიმე მაგალითი თემის გასამყარებლად.

მაგალითი 1

3 5 2 5 = 3 5 2 5, 4, 2 13 1 2 = 4, 2 13 1 2 და 2, 7 4 12 17 0, 2 (1) = 2, 7 4 12 17 · 0 , 2 (1) .

აუცილებელია დავამტკიცოთ რაოდენობრივი კვადრატული ფესვის არითმეტიკული ფესვის თვისება: a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0. თვისება გვაძლევს საშუალებას დავწეროთ ტოლობა a: b 2 = a 2: b 2, და a 2: b 2 = a: b, ხოლო a: b არის დადებითი რიცხვი ან ნულის ტოლი. ეს გამოთქმა გახდება მტკიცებულება.

მაგალითად, 0:16 = 0:16, 80:5 = 80:5 და 30.121 = 30.121.

განვიხილოთ რიცხვის კვადრატის კვადრატული ფესვის თვისება. ის შეიძლება დაიწეროს როგორც ტოლობა, როგორც 2 = a ამ თვისების დასამტკიცებლად საჭიროა დეტალურად განვიხილოთ რამდენიმე ტოლობა a ≥ 0და ზე ა< 0 .

ცხადია, a ≥ 0-სთვის ტოლობა a 2 = a მართალია. ზე ა< 0 ტოლობა a 2 = - a იქნება ჭეშმარიტი. ფაქტობრივად, ამ შემთხვევაში - a > 0და (− a) 2 = a 2 . შეგვიძლია დავასკვნათ, a 2 = a, a ≥ 0 - a, a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს.

მაგალითი 2

5 2 = 5 = 5 და - 0,36 2 = - 0,36 = 0,36.

დადასტურებული თვისება დაეხმარება გაამართლოს 2 m = a m, სადაც ა- რეალური და მ- ბუნებრივი ნომერი. მართლაც, ძალაუფლების ამაღლების თვისება საშუალებას გვაძლევს შევცვალოთ ძალა 2 მგამოხატულება (ა მ) 2, შემდეგ a 2 m = (a m) 2 = a m.

მაგალითი 3

3 8 = 3 4 = 3 4 და (- 8, 3) 14 = - 8, 3 7 = (8, 3) 7.

n-ე ფესვის თვისებები

პირველ რიგში, ჩვენ უნდა გავითვალისწინოთ n-ე ფესვების ძირითადი თვისებები:

1. თვისება რიცხვების ნამრავლიდან ადა ბ, რომლებიც დადებითია ან ნულის ტოლია, შეიძლება გამოისახოს ტოლობით a · b n = a n · b n , ეს თვისება მოქმედებს ნამრავლისთვის კნომრები a 1, a 2,…, a kროგორც 1 · a 2 · … · a k n = a 1 n · a 2 n · … · a k n;
2. წილადი რიცხვიდან აქვს თვისება a b n = a n b n, სადაც აარის ნებისმიერი რეალური რიცხვი, რომელიც არის დადებითი ან ნულის ტოლი და ბ- დადებითი რეალური რიცხვი;
3. ნებისმიერისთვის ადა კიდევ ინდიკატორები n = 2 მ a 2 · m 2 · m = a არის ჭეშმარიტი და კენტისთვის n = 2 მ − 1მოქმედებს ტოლობა a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a.
4. ამოღების თვისება m n = a n m-დან, სადაც ა- ნებისმიერი რიცხვი, დადებითი ან ნულის ტოლი, ნდა მნატურალური რიცხვებია, ეს თვისება ასევე შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ფორმით. . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 . . . · n k ;
5. ნებისმიერი არაუარყოფითი ა და თვითნებურისთვის ნდა მ, რომლებიც ბუნებრივია, ასევე შეგვიძლია განვსაზღვროთ სამართლიანი ტოლობა a m n · m = a n ;
6. ხარისხის საკუთრება ნრიცხვის ძალიდან ა, რომელიც დადებითია ან ნულის ტოლია, ბუნებრივი სიმძლავრის მ, განისაზღვრება ტოლობით a m n = a n m ;
7. შეადარეთ თვისება, რომელსაც აქვს იგივე მაჩვენებლები: ნებისმიერი დადებითი რიცხვისთვის ადა ბისეთივე როგორც ა< b , უტოლობა a n< b n ;
8. შეადარეთ თვისება, რომელსაც ფესვის ქვეშ ერთი და იგივე რიცხვები აქვს: თუ მდა n –ნატურალური რიცხვები რომ m > n, შემდეგ ზე 0 < a < 1 უტოლობა a m > a n მართალია და როდის a > 1შეასრულა მ< a n .

ზემოთ მოცემული ტოლობები ძალაშია, თუ ტოლობის ნიშანამდე და შემდეგ ნაწილები შეიცვლება. ისინი ასევე შეიძლება გამოყენებულ იქნას ამ ფორმით. ეს ხშირად გამოიყენება გამონათქვამების გამარტივების ან ტრანსფორმაციის დროს.

ფესვის ზემოაღნიშნული თვისებების დადასტურება ეფუძნება განსაზღვრებას, ხარისხის თვისებებს და რიცხვის მოდულის განსაზღვრას. ეს თვისებები უნდა დადასტურდეს. მაგრამ ყველაფერი რიგზეა.

1. პირველ რიგში დავამტკიცოთ a · b n = a n · b n ნამრავლის n ძირის თვისებები. ამისთვის ადა ბ , რომელიცარიან დადებითი ან ნულის ტოლი , მნიშვნელობა a n · b n ასევე დადებითია ან ნულის ტოლია, რადგან ეს არაუარყოფითი რიცხვების გამრავლების შედეგია. პროდუქტის თვისება ბუნებრივი სიმძლავრის მიმართ გვაძლევს საშუალებას დავწეროთ ტოლობა a n · b n n = a n n · b n n . ფესვის განმარტებით ნ-th ხარისხი a n n = a და b n n = b, შესაბამისად, a n · b n n = a · b. შედეგად მიღებული თანასწორობა არის ზუსტად ის, რაც უნდა დადასტურდეს.

ეს თვისება ასევე შეიძლება დადასტურდეს პროდუქტისთვის კმამრავლები: არაუარყოფითი რიცხვებისთვის a 1, a 2, …, a n, a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0.

აქ მოცემულია root თვისების გამოყენების მაგალითები ნ-ე ძალა ნაწარმოებიდან: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 და 8, 3 4 17, (21) 4 3 4 5 7 4 = 8, 3 17, (21) 3 · 5 7 4 .

1. დავამტკიცოთ a b n = a n b n კოეფიციენტის ფესვის თვისება. ზე a ≥ 0და ბ > 0პირობა a n b n ≥ 0 დაკმაყოფილებულია და a n b n n = a n n b n n = a b.

მოდით ვაჩვენოთ მაგალითები:

მაგალითი 4

8 27 3 = 8 3 27 3 და 2, 3 10: 2 3 10 = 2, 3: 2 3 10.

1. შემდეგი საფეხურისთვის აუცილებელია n-ე ხარისხის თვისებების დადასტურება რიცხვიდან ხარისხამდე ნ. წარმოვიდგინოთ ეს, როგორც ტოლობა a 2 m 2 m = a და 2 m - 1 2 m - 1 = a ნებისმიერი რეალურისთვის ადა ბუნებრივი მ. ზე a ≥ 0ვიღებთ a = a და a 2 m = a 2 m, რაც ადასტურებს ტოლობას a 2 m 2 m = a და ტოლობა a 2 m - 1 2 m - 1 = აშკარაა. ზე ა< 0 ვიღებთ, შესაბამისად, a = - a და a 2 m = (- a) 2 m = a 2 m. რიცხვის ბოლო ტრანსფორმაცია ძალაშია ძალაუფლების თვისების მიხედვით. ეს არის ზუსტად ის, რაც ადასტურებს თანასწორობას a 2 m 2 m = a, და 2 m - 1 2 m - 1 = a იქნება ჭეშმარიტი, რადგან კენტი ხარისხი ითვლება - c 2 m - 1 = - c 2 m - 1 ნებისმიერი ნომრისთვის გ ,დადებითი ან ნულის ტოლი.

მიღებული ინფორმაციის კონსოლიდაციის მიზნით, განვიხილოთ რამდენიმე მაგალითი ქონების გამოყენებით:

მაგალითი 5

7 4 4 = 7 = 7, (- 5) 12 12 = - 5 = 5, 0 8 8 = 0 = 0, 6 3 3 = 6 და (- 3, 39) 5 5 = - 3, 39.

1. დავამტკიცოთ შემდეგი ტოლობა a m n = a n m. ამისათვის თქვენ უნდა შეცვალოთ რიცხვები ტოლობის ნიშნის წინ და შემდეგ a n · m = a m n . ეს ნიშნავს, რომ ჩანაწერი სწორია. ამისთვის ა,რაც დადებითია ან ნულის ტოლია , a m n ფორმის დადებითი რიცხვი ან ნულის ტოლია. მოდით მივმართოთ ძალაუფლების ძალაუფლებაზე ამაღლების თვისებას და მის განმარტებას. მათი დახმარებით თქვენ შეგიძლიათ გარდაქმნათ ტოლობები a m n n · m = a m n n m = a m m = a. ეს ადასტურებს განსახილველი ფესვის ფესვის თვისებას.

სხვა თვისებები დადასტურებულია ანალოგიურად. ნამდვილად,. . . a n k n 2 n 1 n 1 · n 2 ·. . . · n k = . . . a n k n 3 n 2 n 2 · n 3 ·. . . · n k = . . . a n k n 4 n 3 n 3 · n 4 ·. . . · n k = . . . = a n k n k = a .

მაგალითად, 7 3 5 = 7 5 3 და 0.0009 6 = 0.0009 2 2 6 = 0.0009 24.

1. დავამტკიცოთ შემდეგი თვისება a m n · m = a n. ამისათვის აუცილებელია ვაჩვენოთ, რომ a n არის რიცხვი, დადებითი ან ნულის ტოლი. სიმძლავრემდე ასვლისას n m უდრის ვარ. თუ ნომერი ადადებითი ან ნულის ტოლია, მაშინ ნ-მეორე ხარისხი მათგან აარის დადებითი რიცხვი ან ნულის ტოლი, ამ შემთხვევაში a n · m n = a n n m , რაც საჭირო იყო დასამტკიცებლად.

მიღებული ცოდნის კონსოლიდაციის მიზნით, გადავხედოთ რამდენიმე მაგალითს.

1. დავამტკიცოთ შემდეგი თვისება – a m n = a n m ფორმის ძალის ფესვის თვისება. აშკარაა, რომ როცა a ≥ 0 a n m ხარისხი არაუარყოფითი რიცხვია. უფრო მეტიც, მისი ნე ძალა უდრის ვარ, მართლაც, a n m n = a n m · n = a n n m = a m. ეს ადასტურებს განხილული ხარისხის თვისებას.

მაგალითად, 2 3 5 3 = 2 3 3 5.

1. ამის დამტკიცება აუცილებელია ნებისმიერი დადებითი რიცხვისთვის ადა b პირობა დაკმაყოფილებულია ა< b . განვიხილოთ უტოლობა a n< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию ა< b . ამიტომ, ნ< b n при ა< b .

მაგალითად, მივცეთ 12 4< 15 2 3 4 .

1. განვიხილოთ ფესვის თვისება ნ-მე ხარისხი. პირველ რიგში აუცილებელია უთანასწორობის პირველი ნაწილის გათვალისწინება. ზე m > nდა 0 < a < 1 მართალია ა მ > ა ნ . დავუშვათ, რომ a m ≤ a n. თვისებები საშუალებას მოგცემთ გაამარტივოთ გამოხატულება n m · n ≤ a m m · n . შემდეგ, ბუნებრივი მაჩვენებლის მქონე ხარისხის თვისებების მიხედვით, მოქმედებს უტოლობა a n m · n m · n ≤ a m m · n m · n, ანუ, a n ≤ a m. მიღებული მნიშვნელობა ზე m > nდა 0 < a < 1 არ შეესაბამება ზემოთ მოცემულ თვისებებს.

ანალოგიურად შეიძლება დადასტურდეს, რომ როცა m > nდა a > 1პირობა a m მართალია< a n .

ზემოაღნიშნული თვისებების კონსოლიდაციის მიზნით, განვიხილოთ რამდენიმე კონკრეტული მაგალითი. მოდით შევხედოთ უტოლობებს კონკრეტული რიცხვების გამოყენებით.

მაგალითი 6

0, 7 3 > 0, 7 5 და 12 > 12 7.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

ხშირად, პრობლემების გადაჭრისას, ვხვდებით დიდი რიცხვების წინაშე, საიდანაც უნდა ამოვიღოთ Კვადრატული ფესვი. ბევრი სტუდენტი წყვეტს, რომ ეს შეცდომაა და იწყებს მთელი მაგალითის ხელახლა გადაჭრას. არავითარ შემთხვევაში არ უნდა გააკეთოთ ეს! ამის ორი მიზეზი არსებობს:

1. პრობლემების დროს ჩნდება დიდი რაოდენობით ფესვები. განსაკუთრებით ტექსტურებში;
2. არსებობს ალგორითმი, რომლითაც ეს ფესვები გამოითვლება თითქმის ზეპირად.

ამ ალგორითმს დღეს განვიხილავთ. შესაძლოა, რაღაცები გაუგებარი მოგეჩვენოთ. მაგრამ თუ ყურადღებას მიაქცევთ ამ გაკვეთილს, თქვენ მიიღებთ ძლიერ იარაღს კვადრატული ფესვები.

ასე რომ, ალგორითმი:

1. შეზღუდეთ საჭირო ფესვი ზემოთ და ქვემოთ რიცხვებით, რომლებიც 10-ის ჯერადია. ამგვარად, ჩვენ შევამცირებთ ძიების დიაპაზონს 10 რიცხვამდე;
2. ამ 10 რიცხვიდან ამოიღეთ ის, რაც ნამდვილად არ შეიძლება იყოს ფესვები. შედეგად დარჩება 1-2 ნომერი;
3. კვადრატში ეს 1-2 რიცხვი. ის, რომლის კვადრატი უდრის თავდაპირველ რიცხვს, იქნება ფესვი.

ამ ალგორითმის პრაქტიკაში გამოყენებამდე მოდით შევხედოთ თითოეულ ცალკეულ ნაბიჯს.

ფესვის შეზღუდვა

უპირველეს ყოვლისა, ჩვენ უნდა გავარკვიოთ რომელ რიცხვებს შორის მდებარეობს ჩვენი ფესვი. ძალიან სასურველია, რომ რიცხვები იყოს ათი ჯერადი:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

ჩვენ ვიღებთ რიცხვების სერიას:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

რას გვეუბნება ეს რიცხვები? ეს მარტივია: ჩვენ ვიღებთ საზღვრებს. ავიღოთ, მაგალითად, რიცხვი 1296. ის 900-დან 1600-მდეა. ამიტომ მისი ფესვი არ შეიძლება იყოს 30-ზე ნაკლები და 40-ზე მეტი:

[წარწერა სურათზე]

იგივე ეხება ნებისმიერ სხვა რიცხვს, საიდანაც შეგიძლიათ იპოვოთ კვადრატული ფესვი. მაგალითად, 3364:

[წარწერა სურათზე]

ამრიგად, გაუგებარი რიცხვის ნაცვლად, ჩვენ ვიღებთ ძალიან სპეციფიკურ დიაპაზონს, რომელშიც დევს ორიგინალური ფესვი. ძიების არეალის კიდევ უფრო შევიწროებისთვის გადადით მეორე საფეხურზე.

აშკარად არასაჭირო რიცხვების აღმოფხვრა

ასე რომ, ჩვენ გვაქვს 10 რიცხვი - კანდიდატები ფესვისთვის. ჩვენ მივიღეთ ისინი ძალიან სწრაფად, რთული აზროვნების და სვეტში გამრავლების გარეშე. დროა გადავიდეთ.

გინდ დაიჯერეთ თუ არა, ახლა კანდიდატთა რიცხვს ორამდე ვამცირებთ - ისევ ყოველგვარი რთული გათვლების გარეშე! საკმარისია ვიცოდეთ სპეციალური წესი. Აქ არის:

კვადრატის ბოლო ციფრი დამოკიდებულია მხოლოდ ბოლო ციფრზე ორიგინალური ნომერი.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, უბრალოდ შეხედეთ კვადრატის ბოლო ციფრს და მაშინვე გავიგებთ, სად მთავრდება ორიგინალური რიცხვი.

ბოლო ადგილზე მხოლოდ 10 ციფრია. შევეცადოთ გავარკვიოთ, რაში გადაიქცევიან ისინი კვადრატში. გადახედეთ ცხრილს:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

ეს ცხრილი კიდევ ერთი ნაბიჯია ფესვის გამოთვლისკენ. როგორც ხედავთ, მეორე ხაზის რიცხვები ხუთთან შედარებით სიმეტრიული აღმოჩნდა. Მაგალითად:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

როგორც ხედავთ, ბოლო ციფრი ორივე შემთხვევაში ერთნაირია. ეს ნიშნავს, რომ, მაგალითად, 3364-ის ფესვი უნდა დასრულდეს 2-ით ან 8-ით. მეორეს მხრივ, ჩვენ გვახსოვს წინა აბზაცის შეზღუდვა. ჩვენ ვიღებთ:

[წარწერა სურათზე]

წითელი კვადრატები მიუთითებს იმაზე, რომ ჩვენ ჯერ არ ვიცით ეს მაჩვენებელი. მაგრამ ფესვი მდგომარეობს 50-დან 60-მდე დიაპაზონში, რომელზედაც არის მხოლოდ ორი რიცხვი, რომელიც მთავრდება 2-ით და 8-ით:

[წარწერა სურათზე]

Სულ ეს არის! ყველა შესაძლო ფესვიდან, ჩვენ დავტოვეთ მხოლოდ ორი ვარიანტი! და ეს არის ყველაზე რთულ შემთხვევაში, რადგან ბოლო ციფრი შეიძლება იყოს 5 ან 0. და მაშინ იქნება მხოლოდ ერთი კანდიდატი ფესვებისთვის!

საბოლოო გამოთვლები

ასე რომ, ჩვენ გვაქვს 2 კანდიდატის ნომერი. როგორ იცით რომელია ძირი? პასუხი აშკარაა: კვადრატში ორივე რიცხვი. ის, რომელიც კვადრატში იძლევა თავდაპირველ რიცხვს, იქნება ფესვი.

მაგალითად, 3364 რიცხვისთვის აღმოვაჩინეთ ორი კანდიდატი რიცხვი: 52 და 58. მოდით გავამრავლოთ ისინი კვადრატში:

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 60 2 + 4 = 3364.

Სულ ეს არის! აღმოჩნდა, რომ ფესვი 58-ია! ამავდროულად, გამოთვლების გასამარტივებლად გამოვიყენე ჯამისა და სხვაობის კვადრატების ფორმულა. ამის წყალობით, მე არც კი მომიწია რიცხვების სვეტად გამრავლება! ეს გაანგარიშების ოპტიმიზაციის კიდევ ერთი დონეა, მაგრამ, რა თქმა უნდა, სრულიად სურვილისამებრ :)

ფესვების გამოთვლის მაგალითები

თეორია, რა თქმა უნდა, კარგია. მაგრამ მოდით შევამოწმოთ პრაქტიკაში.

[წარწერა სურათზე]

ჯერ გავარკვიოთ რომელ რიცხვებს შორის დევს რიცხვი 576:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

ახლა გადავხედოთ ბოლო რიცხვს. უდრის 6. როდის ხდება ეს? მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ფესვი მთავრდება 4-ით ან 6-ით. ვიღებთ ორ რიცხვს:

რჩება მხოლოდ თითოეული რიცხვის კვადრატში მოყვანა და ორიგინალთან შედარება:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

დიდი! პირველი კვადრატი ორიგინალური რიცხვის ტოლი აღმოჩნდა. ასე რომ, ეს არის ფესვი.

დავალება. გამოთვალეთ კვადრატული ფესვი:

[წარწერა სურათზე]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

მოდით შევხედოთ ბოლო ციფრს:

1369 → 9;
33; 37.

მოედანზე:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 40 3 + 9 = 1369 წ.

აი პასუხი: 37.

დავალება. გამოთვალეთ კვადრატული ფესვი:

[წარწერა სურათზე]

ჩვენ ვზღუდავთ რაოდენობას:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

მოდით შევხედოთ ბოლო ციფრს:

2704 → 4;
52; 58.

მოედანზე:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

მივიღეთ პასუხი: 52. მეორე რიცხვის კვადრატი აღარ დასჭირდება.

დავალება. გამოთვალეთ კვადრატული ფესვი:

[წარწერა სურათზე]

ჩვენ ვზღუდავთ რაოდენობას:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

მოდით შევხედოთ ბოლო ციფრს:

4225 → 5;
65.

როგორც ხედავთ მეორე ნაბიჯის შემდეგ რჩება მხოლოდ ერთი ვარიანტი: 65. ეს არის სასურველი root. მაგრამ მაინც გავასწოროთ და შევამოწმოთ:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

ყველაფერი სწორია. ჩვენ ვწერთ პასუხს.

დასკვნა

ვაი, უკეთესი არ არის. მოდით გადავხედოთ მიზეზებს. არსებობს ორი მათგანი:

• მათემატიკის ნებისმიერ ნორმალურ გამოცდაში, იქნება ეს სახელმწიფო გამოცდა თუ ერთიანი სახელმწიფო გამოცდა, კალკულატორების გამოყენება აკრძალულია. და თუ კლასში კალკულატორს შემოიტან, გამოცდიდან ადვილად გაგაგდებენ.
• ნუ დაემსგავსებით სულელ ამერიკელებს. რომლებიც არ ჰგავს ფესვებს - მათ არ შეუძლიათ ორი მარტივი რიცხვის დამატება. და როდესაც ისინი ხედავენ წილადებს, ისინი ძირითადად ისტერიულები არიან.