პარალელოგრამი ამოცანებში. როგორ მოვძებნოთ პარალელოგრამის, სამკუთხედის, ტრაპეციის ფართობი როგორ გამოვთვალოთ პარალელოგრამის ფართობი

გეომეტრიული ფიგურის ფართობი- გეომეტრიული ფიგურის რიცხვითი მახასიათებელი, რომელიც აჩვენებს ამ ფიგურის ზომას (ზედაპირის ნაწილი, რომელიც შემოიფარგლება ამ ფიგურის დახურული კონტურით). ფართობის ზომა გამოიხატება მასში შემავალი კვადრატული ერთეულების რაოდენობით.

სამკუთხედის ფართობის ფორმულები

1. ფორმულა სამკუთხედის ფართობის გვერდით და სიმაღლისთვის
   სამკუთხედის ფართობიტოლია სამკუთხედის გვერდის სიგრძისა და ამ მხარის სიმაღლის ნამრავლის ნახევარს
   
2. სამკუთხედის ფართობის ფორმულა, რომელიც დაფუძნებულია სამ მხარეს და წრეწირის რადიუსზე
   
3. სამკუთხედის ფართობის ფორმულა, რომელიც დაფუძნებულია სამ მხარეს და ჩაწერილი წრის რადიუსზე
   სამკუთხედის ფართობიუდრის სამკუთხედის ნახევრადპერიმეტრისა და ჩაწერილი წრის რადიუსის ნამრავლს.
   
სადაც S არის სამკუთხედის ფართობი,
- სამკუთხედის გვერდების სიგრძე,
- სამკუთხედის სიმაღლე,
- კუთხე გვერდებს შორის და,
- ჩაწერილი წრის რადიუსი,
R - შემოხაზული წრის რადიუსი,

კვადრატული ფართობის ფორმულები

1. ფორმულა კვადრატის ფართობის გვერდითი სიგრძისთვის
   კვადრატული ფართობიმისი გვერდის სიგრძის კვადრატის ტოლი.
2. ფორმულა კვადრატის ფართობის დიაგონალის სიგრძის გასწვრივ
   კვადრატული ფართობიუდრის მისი დიაგონალის სიგრძის კვადრატის ნახევარს.
   

   S=	1	2
   	2

სადაც S არის კვადრატის ფართობი,
- კვადრატის გვერდის სიგრძე,
- კვადრატის დიაგონალის სიგრძე.

მართკუთხედის ფართობის ფორმულა

მართკუთხედის ფართობიმისი ორი მიმდებარე გვერდის სიგრძის ნამრავლის ტოლია

სადაც S არის მართკუთხედის ფართობი,
- მართკუთხედის გვერდების სიგრძე.

პარალელოგრამის ფართობის ფორმულები

1. პარალელოგრამის ფართობის ფორმულა, რომელიც დაფუძნებულია გვერდის სიგრძეზე და სიმაღლეზე
   პარალელოგრამის ფართობი
2. პარალელოგრამის ფართობის ფორმულა, რომელიც დაფუძნებულია ორ მხარეს და მათ შორის კუთხეს
   პარალელოგრამის ფართობიუდრის მისი გვერდების სიგრძის ნამრავლს გამრავლებული მათ შორის კუთხის სინუსზე.
   

   a b sin α

სადაც S არის პარალელოგრამის ფართობი,
- პარალელოგრამის გვერდების სიგრძეები,
- პარალელოგრამის სიმაღლის სიგრძე,
- კუთხე პარალელოგრამის გვერდებს შორის.

რომბის ფართობის ფორმულები

1. რომბის ფართობის ფორმულა გვერდის სიგრძისა და სიმაღლის მიხედვით
   რომბის ფართობიმისი გვერდის სიგრძისა და ამ მხარეს დაშვებული სიმაღლის ნამრავლის ტოლი.
2. რომბის ფართობის ფორმულა გვერდის სიგრძისა და კუთხის მიხედვით
   რომბის ფართობიუდრის მისი გვერდის სიგრძის კვადრატისა და რომბის გვერდებს შორის კუთხის სინუსის ნამრავლს.
3. რომბის ფართობის ფორმულა მისი დიაგონალების სიგრძეზე დაყრდნობით
   რომბის ფართობიუდრის მისი დიაგონალების სიგრძის ნამრავლის ნახევარს.
სადაც S არის რომბის ფართობი,
- რომბის მხარის სიგრძე,
- რომბის სიმაღლის სიგრძე,
- კუთხე რომბის გვერდებს შორის,
1, 2 - დიაგონალების სიგრძე.

ტრაპეციის არეალის ფორმულები

1. ჰერონის ფორმულა ტრაპეციისთვის

   სადაც S არის ტრაპეციის ფართობი,
   - ტრაპეციის ფუძეების სიგრძე,
   - ტრაპეციის გვერდების სიგრძე,
   

პარალელოგრამიარის ოთხკუთხედი, რომლის გვერდები პარალელურია წყვილებში.

ამ ფიგურაში მოპირდაპირე მხარეები და კუთხეები ერთმანეთის ტოლია. პარალელოგრამის დიაგონალები იკვეთება ერთ წერტილში და ყოფს მას. პარალელოგრამის ფართობის ფორმულები საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ მნიშვნელობა გვერდების, სიმაღლისა და დიაგონალების გამოყენებით. პარალელოგრამი ასევე შეიძლება წარმოდგენილი იყოს განსაკუთრებულ შემთხვევებში. ისინი განიხილება მართკუთხედი, კვადრატი და რომბი.
პირველ რიგში, მოდით შევხედოთ პარალელოგრამის ფართობის გაანგარიშების მაგალითს სიმაღლისა და იმ მხარის მიხედვით, რომლითაც ის დაბლაა.

ეს შემთხვევა კლასიკურად ითვლება და არ საჭიროებს დამატებით გამოძიებას. უმჯობესია განიხილოს ფართობის გამოთვლის ფორმულა ორი გვერდით და მათ შორის კუთხე. იგივე მეთოდი გამოიყენება გამოთვლებში. თუ მოცემულია გვერდები და მათ შორის კუთხე, მაშინ ფართობი გამოითვლება შემდეგნაირად:

ვთქვათ, მოცემულია პარალელოგრამი გვერდებით a = 4 სმ, b = 6 სმ. მათ შორის კუთხე არის α = 30°. მოდი ვიპოვოთ ტერიტორია:

პარალელოგრამის ფართობი დიაგონალების გავლით

პარალელოგრამის ფართობის ფორმულა დიაგონალების გამოყენებით საშუალებას გაძლევთ სწრაფად იპოვოთ მნიშვნელობა.
გამოთვლებისთვის დაგჭირდებათ დიაგონალებს შორის მდებარე კუთხის ზომა.

განვიხილოთ პარალელოგრამის ფართობის გამოთვლის მაგალითი დიაგონალების გამოყენებით. მიეცეს პარალელოგრამი დიაგონალებით D = 7 სმ, d = 5 სმ. მათ შორის კუთხე არის α = 30°. მოდით ჩავანაცვლოთ მონაცემები ფორმულაში:

დიაგონალის მეშვეობით პარალელოგრამის ფართობის გამოთვლის მაგალითმა შესანიშნავი შედეგი მოგვცა - 8.75.

იცოდეთ პარალელოგრამის ფართობის ფორმულა დიაგონალზე, შეგიძლიათ მრავალი საინტერესო პრობლემის გადაჭრა. მოდით შევხედოთ ერთ-ერთ მათგანს.

ამოცანა:მოცემულია პარალელოგრამი 92 კვადრატული მეტრი ფართობით. იხილეთ წერტილი F მდებარეობს მისი მხარის შუა ძვ.წ. მოდით ვიპოვოთ ტრაპეციის ADFB ფართობი, რომელიც ჩვენს პარალელოგრამაში იქნება. ჯერ დავხატოთ ყველაფერი რაც მივიღეთ პირობების მიხედვით.
გადავიდეთ გამოსავალზე:

ჩვენი პირობების მიხედვით ah =92 და შესაბამისად ჩვენი ტრაპეციის ფართობი ტოლი იქნება

სანამ ვისწავლით როგორ ვიპოვოთ პარალელოგრამის ფართობი, უნდა გვახსოვდეს რა არის პარალელოგრამი და რას ჰქვია მისი სიმაღლე. პარალელოგრამი არის ოთხკუთხედი, რომლის მოპირდაპირე გვერდები წყვილად პარალელურია (იწოლა პარალელურ წრფეებზე). მოპირდაპირე მხარის თვითნებური წერტილიდან ამ გვერდის შემცველ წრფემდე გამოყვანილ პერპენდიკულარს პარალელოგრამის სიმაღლე ეწოდება.

კვადრატი, მართკუთხედი და რომბი პარალელოგრამის განსაკუთრებული შემთხვევებია.

პარალელოგრამის ფართობი აღინიშნება როგორც (S).

პარალელოგრამის ფართობის პოვნის ფორმულები

S=a*h, სადაც a არის ფუძე, h არის სიმაღლე, რომელიც დახატულია ფუძესთან.

S=a*b*sinα, სადაც a და b არის ფუძეები, ხოლო α არის კუთხე a და b ფუძეებს შორის.

S =p*r, სადაც p არის ნახევარპერიმეტრი, r არის წრის რადიუსი, რომელიც ჩაწერილია პარალელოგრამაში.

პარალელოგრამის ფართობი, რომელიც წარმოიქმნება a და b ვექტორებით, უდრის მოცემული ვექტორების ნამრავლის მოდულს, კერძოდ:

განვიხილოთ მაგალითი No1: მოცემულია პარალელოგრამი, რომლის გვერდი არის 7 სმ და სიმაღლე 3 სმ. როგორ ვიპოვოთ პარალელოგრამის ფართობი, გვჭირდება ამოხსნის ფორმულა.

ამრიგად S= 7x3. S=21. პასუხი: 21 სმ 2.

განვიხილოთ მაგალითი No2: მოცემული ფუძეები არის 6 და 7 სმ, ასევე მოცემულია 60 გრადუსიანი ფუძეებს შორის კუთხე. როგორ მოვძებნოთ პარალელოგრამის ფართობი? ფორმულა გამოიყენება გადასაჭრელად:

ამრიგად, ჯერ ვიპოვით კუთხის სინუსს. სინუსი 60 = 0,5, შესაბამისად S = 6*7*0,5=21 პასუხი: 21 სმ 2.

იმედი მაქვს, რომ ეს მაგალითები დაგეხმარებათ პრობლემების გადაჭრაში. და გახსოვდეთ, მთავარია ფორმულების ცოდნა და ყურადღება

რა არის პარალელოგრამი? პარალელოგრამი არის ოთხკუთხედი, რომლის მოპირდაპირე გვერდები პარალელურია წყვილებში.

1. პარალელოგრამის ფართობი გამოითვლება ფორმულით:

\[ \LARGE S = a \cdot h_(a)\]

სად:
a არის პარალელოგრამის გვერდი,
h a – ამ მხარეს დახატული სიმაღლე.

2. თუ ცნობილია პარალელოგრამის ორი მიმდებარე გვერდის სიგრძე და მათ შორის კუთხე, მაშინ პარალელოგრამის ფართობი გამოითვლება ფორმულით:

\[ \LARGE S = a \cdot b \cdot sin(\alpha) \]

3. თუ მოცემულია პარალელოგრამის დიაგონალები და ცნობილია მათ შორის კუთხე, მაშინ პარალელოგრამის ფართობი გამოითვლება ფორმულით:

\[ \LARGE S = \frac(1)(2) \cdot d_(1) \cdot d_(2) \cdot sin(\alpha) \]

პარალელოგრამის თვისებები

პარალელოგრამში მოპირდაპირე გვერდები ტოლია: \(AB = CD\), \(BC = AD\)

პარალელოგრამში საპირისპირო კუთხეები ტოლია: \(\კუთხე A = \კუთხე C\), \(\კუთხე B = \კუთხე D\)

პარალელოგრამის დიაგონალები გადაკვეთის წერტილში იყოფა ნახევრად \(AO = OC\) , \(BO = OD\)

პარალელოგრამის დიაგონალი მას ორ ტოლ სამკუთხედად ყოფს.

ერთი მხარის მიმდებარე პარალელოგრამის კუთხეების ჯამი არის 180 o:

\(\კუთხე A + \კუთხე B = 180^(o)\), \(\კუთხე B + \კუთხე C = 180^(o)\)

\(\კუთხე C + \კუთხე D = 180^(o)\), \(\კუთხე D + \კუთხე A = 180^(o)\)

პარალელოგრამის დიაგონალები და გვერდები დაკავშირებულია შემდეგი მიმართებით:

\(d_(1)^(2) + d_(2)^2 = 2a^(2) + 2b^(2) \)

პარალელოგრამში სიმაღლეებს შორის კუთხე უდრის მის მახვილ კუთხეს: \(\კუთხე K B H =\კუთხე A\) .

პარალელოგრამის ერთი მხარის მიმდებარე კუთხეების ბისექტრები ერთმანეთის პერპენდიკულურია.

პარალელოგრამის ორი მოპირდაპირე კუთხის ბისექტრები პარალელურია.

პარალელოგრამის ნიშნები

ოთხკუთხედი პარალელოგრამი იქნება, თუ:

\(AB = CD\) და \(AB || CD\)

\(AB = CD\) და \(BC = AD\)

\(AO = OC\) და \(BO = OD\)

\(\კუთხე A = \კუთხე C\) და \(\კუთხე B = \კუთხე D\)

Javascript გამორთულია თქვენს ბრაუზერში.
გამოთვლების შესასრულებლად, თქვენ უნდა ჩართოთ ActiveX კონტროლი!

ისევე, როგორც ევკლიდეს გეომეტრიაში, წერტილი და სწორი ხაზი სიბრტყეების თეორიის ძირითადი ელემენტებია, პარალელოგრამი არის ამოზნექილი ოთხკუთხედების ერთ-ერთი მთავარი ფიგურა. მისგან, ბურთის ძაფების მსგავსად, მიედინება "მართკუთხედის", "კვადრატის", "რომბის" და სხვა გეომეტრიული სიდიდის ცნებები.

კონტაქტში

პარალელოგრამის განმარტება

ამოზნექილი ოთხკუთხედი,სეგმენტებისგან შემდგარი, რომელთა თითოეული წყვილი პარალელურია, გეომეტრიაში ცნობილია როგორც პარალელოგრამი.

როგორ გამოიყურება კლასიკური პარალელოგრამი, გამოსახულია ოთხკუთხედი ABCD. გვერდებს უწოდებენ ფუძეებს (AB, BC, CD და AD), ნებისმიერი წვეროდან ამ წვეროს მოპირდაპირე მხარეს გამოყვანილ პერპენდიკულარს სიმაღლე (BE და BF), AC და BD წრფეებს - დიაგონალები.

ყურადღება!კვადრატი, რომბი და მართკუთხედი პარალელოგრამის განსაკუთრებული შემთხვევებია.

მხარეები და კუთხეები: ურთიერთობის მახასიათებლები

ძირითადი თვისებები, ზოგადად, წინასწარ განსაზღვრული თავად აღნიშვნით, ისინი დასტურდება თეორემით. ეს მახასიათებლები შემდეგია:

1. საპირისპირო მხარეები იდენტურია წყვილებში.
2. ერთმანეთის მოპირდაპირე კუთხეები წყვილებში ტოლია.

დადასტურება: განვიხილოთ ∆ABC და ∆ADC, რომლებიც მიიღება ABCD ოთხკუთხედის AC სწორ ხაზთან გაყოფით. ∠BCA=∠CAD და ∠BAC=∠ACD, ვინაიდან AC მათთვის საერთოა (ვერტიკალური კუთხეები BC||AD და AB||CD, შესაბამისად). აქედან გამომდინარეობს: ∆ABC = ∆ADC (სამკუთხედების ტოლობის მეორე ნიშანი).

AB და BC სეგმენტები ∆ABC-ში წყვილებში შეესაბამება CD და AD წრფეებს ∆ADC-ში, რაც ნიშნავს, რომ ისინი იდენტურია: AB = CD, BC = AD. ამრიგად, ∠B შეესაბამება ∠D-ს და ისინი ტოლია. ვინაიდან ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, რომლებიც ასევე წყვილში იდენტურია, მაშინ ∠A = ∠C. ქონება დადასტურებულია.

ფიგურის დიაგონალების მახასიათებლები

მთავარი თვისებაპარალელოგრამის ამ წრფეებიდან: გადაკვეთის წერტილი მათ შუაზე ყოფს.

დადასტურება: ე.ი. იყოს ABCD ფიგურის AC და BD დიაგონალების გადაკვეთის წერტილი. ისინი ქმნიან ორ თანაზომიერ სამკუთხედს - ∆ABE და ∆CDE.

AB=CD რადგან ისინი საპირისპიროა. სტრიქონებისა და სეკანტების მიხედვით ∠ABE = ∠CDE და ∠BAE = ∠DCE.

თანასწორობის მეორე კრიტერიუმით, ∆ABE = ∆CDE. ეს ნიშნავს, რომ ელემენტები ∆ABE და ∆CDE: AE = CE, BE = DE და ამავე დროს ისინი არიან AC და BD პროპორციული ნაწილები. ქონება დადასტურებულია.

მიმდებარე კუთხეების მახასიათებლები

მიმდებარე გვერდებს აქვთ 180°-ის ტოლი კუთხეების ჯამი, ვინაიდან ისინი დევს პარალელური ხაზებისა და განივი ხაზების ერთ მხარეს. ოთხკუთხედი ABCD-სთვის:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

ბისექტრის თვისებები:

1. ერთ მხარეს დაშვებული, პერპენდიკულარულია;
2. მოპირდაპირე წვეროებს აქვთ პარალელური ბისექტრები;
3. ბისექტრის დახაზვით მიღებული სამკუთხედი ტოლფერდა იქნება.

პარალელოგრამის დამახასიათებელი ნიშნების განსაზღვრა თეორემის გამოყენებით

ამ ფიგურის მახასიათებლები გამომდინარეობს მისი მთავარი თეორემიდან, რომელიც ამტკიცებს შემდეგს: ოთხკუთხედი ითვლება პარალელოგრამადიმ შემთხვევაში, თუ მისი დიაგონალები იკვეთება და ეს წერტილი ყოფს მათ თანაბარ სეგმენტებად.

დადასტურება: ABCD ოთხკუთხედის AC და BD წრფეები იკვეთება ე.ი. ვინაიდან ∠AED = ∠BEC და AE+CE=AC BE+DE=BD, მაშინ ∆AED = ∆BEC (სამკუთხედების ტოლობის პირველი კრიტერიუმით). ანუ ∠EAD = ∠ECB. ისინი ასევე არის AC სექციური ჯვრის შიდა კუთხეები AD და BC ხაზებისთვის. ამრიგად, პარალელიზმის განმარტებით - AD || ძვ.წ. ასევე მიღებულია BC და CD ხაზების მსგავსი თვისება. თეორემა დადასტურდა.

ფიგურის ფართობის გამოთვლა

ამ ფიგურის ფართობი ნაპოვნია რამდენიმე მეთოდითერთ-ერთი უმარტივესი: სიმაღლისა და ფუძის გამრავლება, რომელზეც ის არის დახატული.

დადასტურება: დახაზეთ BE და CF პერპენდიკულარები B და C წვეროებიდან. ∆ABE და ∆DCF ტოლია, რადგან AB = CD და BE = CF. ABCD ზომით უდრის EBCF მართკუთხედს, რადგან ისინი შედგება თანაბარი ფიგურებისგან: S ABE და S EBCD, ასევე S DCF და S EBCD. აქედან გამომდინარეობს, რომ ამ გეომეტრიული ფიგურის ფართობი იგივეა, რაც მართკუთხედის ფართობი:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

პარალელოგრამის ფართობის ზოგადი ფორმულის დასადგენად, მოდით აღვნიშნოთ სიმაღლე როგორც hbდა მხარე - ბ. შესაბამისად:

ტერიტორიის პოვნის სხვა გზები

ფართობის გამოთვლები პარალელოგრამის გვერდებისა და კუთხის მეშვეობით, რომელსაც ისინი ქმნიან, მეორე ცნობილი მეთოდია.

,

სპრ-მა - ფართობი;

a და b არის მისი მხარეები

α არის კუთხე a და b სეგმენტებს შორის.

ეს მეთოდი პრაქტიკულად ეფუძნება პირველს, მაგრამ იმ შემთხვევაში, თუ ის უცნობია. ყოველთვის წყვეტს მართკუთხა სამკუთხედს, რომლის პარამეტრებიც გვხვდება ტრიგონომეტრიული იდენტობებით, ანუ. ურთიერთობის გარდაქმნით, ვიღებთ. პირველი მეთოდის განტოლებაში ჩვენ ვცვლით სიმაღლეს ამ ნამრავლით და ვიღებთ ამ ფორმულის მართებულობის დადასტურებას.

პარალელოგრამისა და კუთხის დიაგონალების მეშვეობით,რომელსაც ისინი ქმნიან გადაკვეთისას, თქვენ ასევე შეგიძლიათ იპოვოთ ტერიტორია.

დადასტურება: AC და BD იკვეთება ოთხი სამკუთხედის შესაქმნელად: ABE, BEC, CDE და AED. მათი ჯამი უდრის ამ ოთხკუთხედის ფართობს.

თითოეული ამ Δ-ის ფართობი შეიძლება მოიძებნოს გამოსახულებით, სადაც a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. ვინაიდან , გამოთვლები იყენებს ერთ სინუს მნიშვნელობას. ანუ . ვინაიდან AE+CE=AC= d 1 და BE+DE=BD= d 2, ფართობის ფორმულა მცირდება:

.

გამოყენება ვექტორულ ალგებრაში

ამ ოთხკუთხედის შემადგენელი ნაწილების მახასიათებლებმა იპოვეს გამოყენება ვექტორულ ალგებრაში, კერძოდ, ორი ვექტორის დამატებაში. პარალელოგრამის წესი ამბობს, რომ თუ მოცემულია ვექტორებიდაარაარიან კოლინარული, მაშინ მათი ჯამი ტოლი იქნება ამ ფიგურის დიაგონალის, რომლის ფუძეები შეესაბამება ამ ვექტორებს.

დადასტურება: თვითნებურად არჩეული დასაწყისიდან - ე.ი. - ვექტორების აგება და . შემდეგი, ჩვენ ვაშენებთ პარალელოგრამს OASV, სადაც OA და OB სეგმენტები გვერდებია. ამრიგად, OS დევს ვექტორზე ან ჯამზე.

პარალელოგრამის პარამეტრების გამოთვლის ფორმულები

პირადობა მოცემულია შემდეგ პირობებში:

1. a და b, α - გვერდები და მათ შორის კუთხე;
2. d 1 და d 2, γ - დიაგონალები და მათი გადაკვეთის წერტილში;
3. h a და h b - სიმაღლეები დაშვებულია a და b გვერდებზე;

Პარამეტრი	ფორმულა
მხარეების პოვნა
დიაგონალების და მათ შორის კუთხის კოსინუსის გასწვრივ
დიაგონალების და გვერდების გასწვრივ
სიმაღლისა და საპირისპირო წვეროს მეშვეობით
დიაგონალების სიგრძის პოვნა
გვერდებზე და მათ შორის მწვერვალის ზომას
გვერდებზე და ერთ-ერთ დიაგონალზე	 დასკვნა პარალელოგრამი, როგორც გეომეტრიის ერთ-ერთი მთავარი ფიგურა, გამოიყენება ცხოვრებაში, მაგალითად, მშენებლობაში, საიტის ფართობის გაანგარიშებისას ან სხვა გაზომვების დროს. აქედან გამომდინარე, ცოდნა მისი სხვადასხვა პარამეტრების გამოთვლის გამორჩეული მახასიათებლებისა და მეთოდების შესახებ შეიძლება სასარგებლო იყოს ცხოვრების ნებისმიერ დროს.