პარალელოგრამის ფართობი. გამოთვალეთ კუთხეების ჯამი და პარალელოგრამის ფართობი: თვისებები და მახასიათებლები პარალელოგრამის ფართობი, თუ ცნობილია გვერდები და დიაგონალი.
პარალელოგრამის ფართობის ფორმულა
პარალელოგრამის ფართობი უდრის მისი გვერდის ნამრავლს და ამ მხარეს დაშვებულ სიმაღლეს.
მტკიცებულება
თუ პარალელოგრამი მართკუთხედია, მაშინ ტოლობა აკმაყოფილებს მართკუთხედის ფართობის თეორემას. გარდა ამისა, ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ პარალელოგრამის კუთხეები სწორი არ არის.
მოდით $\კუთხე BAD$ იყოს მახვილი კუთხე პარალელოგრამში $ABCD$ და $AD > AB$. წინააღმდეგ შემთხვევაში, ჩვენ გადავარქმევთ წვეროებს. შემდეგ $BH$ სიმაღლე $B$ წვეროდან $AD$ წრფემდე მოდის $AD$ მხარეს, ვინაიდან ფეხი $AH$ უფრო მოკლეა ვიდრე $AB$ ჰიპოტენუზა და $AB.< AD$. Основание $K$ высоты $CK$ из точки $C$ на прямую $AB$ лежит на продолжении отрезка $AD$ за точку $D$, так как угол $\angle BAD$ острый, а значит $\angle CDA$ тупой. Вследствие параллельности прямых $BA$ и $CD$ $\angle BAH = \angle CDK$. В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно, по стороне и двум углам, треугольники $\triangle ABH = \triangle DCK$ равны.
მოდით შევადაროთ $ABCD$ პარალელოგრამის ფართობი და $HBCK$ ოთხკუთხედის ფართობი. პარალელოგრამის ფართობი მეტია $\სამკუთხედის ABH$ ფართობით, მაგრამ ნაკლებია $\სამკუთხედის DCK$ ფართობით. ვინაიდან ეს სამკუთხედები თანმიმდევრულია, მათი ფართობებიც ტოლია. ეს ნიშნავს, რომ პარალელოგრამის ფართობი უდრის მართკუთხედის ფართობს, რომლის გვერდები გრძელია და პარალელოგრამის სიმაღლე.
პარალელოგრამის ფართობის ფორმულა გვერდებისა და სინუსების მიხედვით
პარალელოგრამის ფართობი უდრის მიმდებარე გვერდების ნამრავლს და მათ შორის კუთხის სინუსს.
მტკიცებულება
პარალელოგრამის $ABCD$ ჩამოშვებული $AB$ გვერდის სიმაღლე უდრის $BC$ სეგმენტის ნამრავლს და $\კუთხის ABC$ კუთხის სინუსს. რჩება წინა მტკიცების გამოყენება.
პარალელოგრამის ფართობის ფორმულა დიაგონალების მიხედვით
პარალელოგრამის ფართობი უდრის დიაგონალების ნამრავლის ნახევარს და მათ შორის კუთხის სინუსს.
მტკიცებულება
მოდით $ABCD$ პარალელოგრამის დიაგონალები გადაიკვეთოს $O$ წერტილში $\alpha$ კუთხით. შემდეგ $AO=OC$ და $BO=OD$ პარალელოგრამის თვისებით. კუთხეების სინუსები, რომლებიც ემატება $180^\circ$ არის $\კუთხე AOB = \კუთხე COD = 180^\circ - \კუთხე BOC = 180^\circ - \კუთხე AOD$. აქედან გამომდინარე, დიაგონალების გადაკვეთაზე მდებარე კუთხეების სინუსები $\sin \alpha$-ის ტოლია.
$S_(ABCD)=S_(\სამკუთხედი AOB) + S_(\სამკუთხედი BOC) + S_(\სამკუთხედი COD) + S_(\სამკუთხედი AOD)$
ფართობის გაზომვის აქსიომის მიხედვით. გამოიყენეთ სამკუთხედის ფართობის ფორმულა $S_(ABC) = \dfrac(1)(2) \cdot AB \cdot BC \sin \angle ABC$ ამ სამკუთხედებისთვის და კუთხეებისთვის, როდესაც დიაგონალები იკვეთება. თითოეულის გვერდები უდრის დიაგონალების ნახევარს, სინუსებიც ტოლია. აქედან გამომდინარე, ოთხივე სამკუთხედის ფართობია $S = \dfrac(1)(2) \cdot \dfrac(AC)(2) \cdot \dfrac(BD)(2) \cdot \sin \alpha = \dfrac( AC \ cdot BD)(8) \sin \alpha$. ყოველივე ზემოთქმულის შეჯამებით, ჩვენ ვიღებთ
$S_(ABCD) = 4S = 4 \cdot \dfrac(AC \cdot BD)(8) \sin \alpha = \dfrac(AC \cdot BD \cdot \sin \alpha)(2)$
როგორც ევკლიდეს გეომეტრიაში, წერტილი და სწორი ხაზი სიბრტყეების თეორიის ძირითადი ელემენტებია, პარალელოგრამი არის ამოზნექილი ოთხკუთხედების ერთ-ერთი მთავარი ფიგურა. მისგან, ბურთის ძაფების მსგავსად, მიედინება "მართკუთხედის", "კვადრატის", "რომბის" და სხვა გეომეტრიული სიდიდის ცნებები.
კონტაქტში
პარალელოგრამის განმარტება
ამოზნექილი ოთხკუთხედი,სეგმენტებისგან შემდგარი, რომელთა თითოეული წყვილი პარალელურია, გეომეტრიაში ცნობილია როგორც პარალელოგრამი.
როგორ გამოიყურება კლასიკური პარალელოგრამი არის ოთხკუთხედი ABCD. გვერდებს უწოდებენ ფუძეებს (AB, BC, CD და AD), ნებისმიერი წვეროდან ამ წვერის მოპირდაპირე მხარეს გამოყვანილ პერპენდიკულარს სიმაღლე (BE და BF), ხაზები AC და BD არის დიაგონალები.
ყურადღება!კვადრატი, რომბი და მართკუთხედი პარალელოგრამის განსაკუთრებული შემთხვევებია.
მხარეები და კუთხეები: თანაფარდობის მახასიათებლები
ძირითადი თვისებები, ზოგადად, წინასწარ განსაზღვრული თავად აღნიშვნით, ისინი დასტურდება თეორემით. ეს მახასიათებლები შემდეგია:
- საპირისპირო მხარეები იდენტურია წყვილებში.
- კუთხეები, რომლებიც ერთმანეთის საპირისპიროა, წყვილებში ტოლია.
დადასტურება: განვიხილოთ ∆ABC და ∆ADC, რომლებიც მიიღება ოთხკუთხედი ABCD AC წრფეზე გაყოფით. ∠BCA=∠CAD და ∠BAC=∠ACD, ვინაიდან AC მათთვის საერთოა (შესაბამისად, BC||AD და AB||CD ვერტიკალური კუთხეები). აქედან გამომდინარეობს: ∆ABC = ∆ADC (სამკუთხედების ტოლობის მეორე კრიტერიუმი).
სეგმენტები AB და BC ∆ABC-ში წყვილებში შეესაბამება CD და AD ხაზებს ∆ADC-ში, რაც ნიშნავს, რომ ისინი იდენტურია: AB = CD, BC = AD. ამრიგად, ∠B შეესაბამება ∠D-ს და ისინი ტოლია. ვინაიდან ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, რომლებიც ასევე იდენტურია წყვილებში, მაშინ ∠A = ∠C. ქონება დადასტურებულია.
ფიგურის დიაგონალების მახასიათებლები
მთავარი თვისებაეს პარალელოგრამის წრფეები: გადაკვეთის წერტილი მათ ორად ყოფს.
დადასტურება: მოდით, m E იყოს ABCD ფიგურის AC და BD დიაგონალების გადაკვეთის წერტილი. ისინი ქმნიან ორ თანაზომიერ სამკუთხედს - ∆ABE და ∆CDE.
AB=CD რადგან ისინი საპირისპიროა. სტრიქონებისა და სეკანტების მიხედვით ∠ABE = ∠CDE და ∠BAE = ∠DCE.
თანასწორობის მეორე ნიშნის მიხედვით, ∆ABE = ∆CDE. ეს ნიშნავს, რომ ΔABE და ∆CDE ელემენტებია: AE = CE, BE = DE და უფრო მეტიც, ისინი არიან AC და BD-ის თანაზომიერი ნაწილები. ქონება დადასტურებულია.
მიმდებარე კუთხეების მახასიათებლები
მიმდებარე გვერდებზე კუთხეების ჯამი არის 180°, ვინაიდან ისინი პარალელური წრფეებისა და სეკანტის ერთ მხარეს დევს. ოთხკუთხედი ABCD-სთვის:
∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º
ბისექტორის თვისებები:
- ერთ მხარეს ჩამოშვებული, პერპენდიკულარულია;
- მოპირდაპირე წვეროებს აქვთ პარალელური ბისექტრები;
- ბისექტრის დახაზვით მიღებული სამკუთხედი ტოლფერდა იქნება.
პარალელოგრამის დამახასიათებელი ნიშნების განსაზღვრა თეორემით
ამ ფიგურის მახასიათებლები გამომდინარეობს მისი მთავარი თეორემიდან, რომელიც შემდეგნაირად იკითხება: ოთხკუთხედი ითვლება პარალელოგრამადიმ შემთხვევაში, თუ მისი დიაგონალები იკვეთება და ეს წერტილი ყოფს მათ თანაბარ სეგმენტებად.
დადასტურება: ABCD ოთხკუთხედის AC და BD წრფეები იკვეთება t. E-ში. ვინაიდან ∠AED = ∠BEC და AE+CE=AC BE+DE=BD, მაშინ ∆AED = ∆BEC (სამკუთხედების ტოლობის პირველი ნიშნით). ანუ ∠EAD = ∠ECB. ისინი ასევე წარმოადგენენ AC სექციური გადაკვეთის შიდა კუთხეებს AD და BC ხაზებისთვის. ამრიგად, პარალელიზმის განმარტებით - AD || ძვ.წ. ასევე მიღებულია BC და CD ხაზების მსგავსი თვისება. თეორემა დადასტურდა.
ფიგურის ფართობის გამოთვლა
ამ ფიგურის ფართობი ნაპოვნია რამდენიმე გზითერთ-ერთი უმარტივესი: სიმაღლისა და ფუძის გამრავლება, რომელზეც ის არის დახატული.
დადასტურება: დახაზეთ BE და CF პერპენდიკულარები B და C წვეროებიდან. ∆ABE და ∆DCF ტოლია, რადგან AB = CD და BE = CF. ABCD უდრის EBCF მართკუთხედს, რადგან ისინი ასევე შედგება პროპორციული ფიგურებისგან: S ABE და S EBCD, ასევე S DCF და S EBCD. აქედან გამომდინარეობს, რომ ამ გეომეტრიული ფიგურის ფართობი იგივეა, რაც მართკუთხედის ფართობი:
S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.
პარალელოგრამის ფართობის ზოგადი ფორმულის დასადგენად, ჩვენ აღვნიშნავთ სიმაღლეს, როგორც hb, და მხარე ბ. შესაბამისად:
ტერიტორიის პოვნის სხვა გზები
ფართობის გამოთვლები პარალელოგრამის გვერდებისა და კუთხის მეშვეობით, რომელსაც ისინი ქმნიან, მეორე ცნობილი მეთოდია.
,
სპრ-მა - ფართობი;
a და b არის მისი მხარეები
α - კუთხე a და b სეგმენტებს შორის.
ეს მეთოდი პრაქტიკულად ეფუძნება პირველს, მაგრამ იმ შემთხვევაში, თუ ის უცნობია. ყოველთვის წყვეტს მართკუთხა სამკუთხედს, რომლის პარამეტრებიც გვხვდება ტრიგონომეტრიული იდენტობებით, ე.ი. თანაფარდობის გარდაქმნით, ვიღებთ. პირველი მეთოდის განტოლებაში ჩვენ ვცვლით სიმაღლეს ამ ნამრავლით და ვიღებთ ამ ფორმულის მართებულობის დადასტურებას.
პარალელოგრამისა და კუთხის დიაგონალების მეშვეობით,რომელსაც ისინი ქმნიან გადაკვეთისას, თქვენ ასევე შეგიძლიათ იპოვოთ ტერიტორია.
დადასტურება: AC და BD, რომლებიც კვეთენ ოთხ სამკუთხედს: ABE, BEC, CDE და AED. მათი ჯამი უდრის ამ ოთხკუთხედის ფართობს.
თითოეული ამ Δ-ის ფართობი შეგიძლიათ იხილოთ გამოხატულებიდან, სადაც a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. ვინაიდან , მაშინ გამოთვლებში გამოიყენება სინუსის ერთი მნიშვნელობა. ანუ . ვინაიდან AE+CE=AC= d 1 და BE+DE=BD= d 2 , ფართობის ფორმულა მცირდება:
.
გამოყენება ვექტორულ ალგებრაში
ამ ოთხკუთხედის შემადგენელი ნაწილების მახასიათებლებმა იპოვეს გამოყენება ვექტორულ ალგებრაში, კერძოდ: ორი ვექტორის დამატება. პარალელოგრამის წესი ამბობს, რომ თუ მოცემულია ვექტორებიდაარაარიან კოლინარული, მაშინ მათი ჯამი ტოლი იქნება ამ ფიგურის დიაგონალის, რომლის ფუძეები შეესაბამება ამ ვექტორებს.
მტკიცებულება: თვითნებურად არჩეული დასაწყისიდან – ე.ი. - ვაშენებთ ვექტორებს და . შემდეგი, ჩვენ ვაშენებთ პარალელოგრამს OASV, სადაც OA და OB სეგმენტები გვერდებია. ამრიგად, OS დევს ვექტორზე ან ჯამზე.
პარალელოგრამის პარამეტრების გამოთვლის ფორმულები
პირადობა მოცემულია შემდეგ პირობებში:
- a და b, α - გვერდები და მათ შორის კუთხე;
- d 1 და d 2 , γ - დიაგონალები და მათი გადაკვეთის ადგილზე;
- h a და h b - სიმაღლეები დაშვებულია a და b გვერდებზე;
| Პარამეტრი | ფორმულა |
| მხარეების პოვნა | |
| დიაგონალების და მათ შორის კუთხის კოსინუსის გასწვრივ | 
|
| დიაგონალზე და გვერდით | 
|
| სიმაღლისა და საპირისპირო წვეროს მეშვეობით | |
| დიაგონალების სიგრძის პოვნა | |
| გვერდებზე და მათ შორის ზედა ზომა | |
| გვერდებზე და ერთ-ერთ დიაგონალზე | 
დასკვნაპარალელოგრამი, როგორც გეომეტრიის ერთ-ერთი მთავარი ფიგურა, გამოიყენება ცხოვრებაში, მაგალითად, მშენებლობაში, ადგილის ფართობის გაანგარიშებისას ან სხვა გაზომვების დროს. აქედან გამომდინარე, ცოდნა მისი სხვადასხვა პარამეტრების გამოთვლის განმასხვავებელი მახასიათებლებისა და მეთოდების შესახებ შეიძლება სასარგებლო იყოს ცხოვრების ნებისმიერ დროს. |
რა არის პარალელოგრამი? პარალელოგრამი არის ოთხკუთხედი, რომლის მოპირდაპირე გვერდები წყვილი პარალელურია.
1. პარალელოგრამის ფართობი გამოითვლება ფორმულით:
\[ \LARGE S = a \cdot h_(a)\]
სად:
a არის პარალელოგრამის გვერდი,
h a არის ამ მხარეს დახატული სიმაღლე.
2. თუ ცნობილია პარალელოგრამის ორი მიმდებარე გვერდის სიგრძე და მათ შორის კუთხე, მაშინ პარალელოგრამის ფართობი გამოითვლება ფორმულით:
\[ \LARGE S = a \cdot b \cdot sin(\alpha) \]
3. თუ მოცემულია პარალელოგრამის დიაგონალები და ცნობილია მათ შორის კუთხე, მაშინ პარალელოგრამის ფართობი გამოითვლება ფორმულით:
\[ \LARGE S = \frac(1)(2) \cdot d_(1) \cdot d_(2) \cdot sin(\alpha) \]
პარალელოგრამის თვისებები
პარალელოგრამში მოპირდაპირე გვერდები ტოლია: \(AB = CD \) , \(BC = AD \)
პარალელოგრამში საპირისპირო კუთხეებია: \(\კუთხე A = \კუთხე C \) , \(\კუთხე B = \კუთხე D \)
პარალელოგრამის დიაგონალები გადაკვეთის წერტილში ორად იკვეთება \(AO = OC \) , \(BO = OD \)
პარალელოგრამის დიაგონალი მას ორ ტოლ სამკუთხედად ყოფს.
ერთი მხარის მიმდებარე პარალელოგრამის კუთხეების ჯამი არის 180 o:
\(\კუთხე A + \კუთხე B = 180^(o) \), \(\კუთხე B + \კუთხე C = 180^(o)\)
\(\კუთხე C + \კუთხე D = 180^(o) \), \(\კუთხე D + \კუთხე A = 180^(o)\)
პარალელოგრამის დიაგონალები და გვერდები დაკავშირებულია შემდეგი მიმართებით:
\(d_(1)^(2) + d_(2)^2 = 2a^(2) + 2b^(2) \)
პარალელოგრამში სიმაღლეებს შორის კუთხე უდრის მის მახვილ კუთხეს: \(\კუთხე K B H =\კუთხე A \) .
პარალელოგრამის ერთი მხარის მიმდებარე კუთხეების ბისექტრები ერთმანეთის პერპენდიკულურია.
პარალელოგრამის ორი მოპირდაპირე კუთხის ბისექტრები პარალელურია.
პარალელოგრამის მახასიათებლები
ოთხკუთხედი არის პარალელოგრამი, თუ:
\(AB = CD \) და \(AB || CD \)
\(AB = CD \) და \(BC = AD \)
\(AO = OC \) და \(BO = OD \)
\(\კუთხე A = \კუთხე C \) და \(\კუთხე B = \კუთხე D \)
Javascript გამორთულია თქვენს ბრაუზერში.გამოთვლების განსახორციელებლად ActiveX კონტროლი უნდა იყოს ჩართული!
ამ თემაზე პრობლემების გადაჭრისას, გარდა ამისა ძირითადი თვისებები პარალელოგრამიდა შესაბამისი ფორმულები, შეგიძლიათ გახსოვდეთ და გამოიყენოთ შემდეგი:
- პარალელოგრამის შიდა კუთხის ბისექტრი წყვეტს მისგან ტოლფერდა სამკუთხედს
- პარალელოგრამის ერთ-ერთი გვერდის მიმდებარე შიდა კუთხეების ბისექტრები ერთმანეთის პერპენდიკულურია.
- ბისექტრები, რომლებიც მოდის პარალელოგრამის საპირისპირო შიდა კუთხიდან, ერთმანეთის პარალელურად ან ერთ სწორ ხაზზე.
- პარალელოგრამის დიაგონალების კვადრატების ჯამი უდრის მისი გვერდების კვადრატების ჯამს
- პარალელოგრამის ფართობი არის დიაგონალების ნამრავლის ნახევარი მათ შორის კუთხის სინუსზე.
განვიხილოთ ამოცანები, რომელთა გადაწყვეტაშიც გამოიყენება ეს თვისებები.
დავალება 1.
ABCD პარალელოგრამის C კუთხის ბისექტრი კვეთს AD მხარეს M წერტილში და AB გვერდის გაგრძელებას A წერტილის მიღმა E წერტილში. იპოვეთ პარალელოგრამის პერიმეტრი, თუ AE \u003d 4, DM \u003d 3.
გამოსავალი.
1. სამკუთხედი CMD ტოლფერდა. (საკუთრება 1). ამიტომ, CD = MD = 3 სმ.
2. სამკუთხედი EAM არის ტოლფერდა.
ამიტომ, AE = AM = 4 სმ.
3. AD = AM + MD = 7 სმ.
4. პერიმეტრი ABCD = 20 სმ.
უპასუხე. 20 სმ
დავალება 2.
დიაგონალები შედგენილია ამოზნექილ ოთხკუთხედ ABCD-ში. ცნობილია, რომ ABD, ACD, BCD სამკუთხედების ფართობები ტოლია. დაამტკიცეთ, რომ მოცემული ოთხკუთხედი პარალელოგრამია.
გამოსავალი.
1. მოდით იყოს BE სამკუთხედის ABD სიმაღლე, CF იყოს ACD სამკუთხედის სიმაღლე. ვინაიდან, პრობლემის მდგომარეობის მიხედვით, სამკუთხედების ფართობები ტოლია და მათ აქვთ საერთო ფუძე AD, მაშინ ამ სამკუთხედების სიმაღლეები ტოლია. BE = CF.
2. BE, CF არიან AD-ის პერპენდიკულარული. B და C წერტილები განლაგებულია AD ხაზის ერთ მხარეს. BE = CF. აქედან გამომდინარე, ხაზი BC || ახ.წ. (*)
3. AL იყოს ACD სამკუთხედის სიმაღლე, BK სამკუთხედის BCD სიმაღლე. ვინაიდან, პრობლემის მდგომარეობის მიხედვით, სამკუთხედების ფართობი ტოლია და მათ აქვთ საერთო ფუძე CD, მაშინ ამ სამკუთხედების სიმაღლეები ტოლია. AL = BK.
4. AL და BK CD-ზე პერპენდიკულარულია. B და A წერტილები განლაგებულია სწორი ხაზის CD-ს ერთ მხარეს. AL = BK. აქედან გამომდინარე, ხაზი AB || CD (**)
5. პირობები (*), (**) გულისხმობს, რომ ABCD არის პარალელოგრამი.
უპასუხე. დადასტურებული. ABCD არის პარალელოგრამი.
დავალება 3.
ABCD პარალელოგრამის BC და CD გვერდებზე მონიშნულია M და H წერტილები, შესაბამისად, ისე, რომ BM და HD სეგმენტები იკვეთება O წერტილში;<ВМD = 95 о,
გამოსავალი.
1. სამკუთხედში DOM<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.
2. მართკუთხა სამკუთხედში DHC მერე<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1 მაგრამ CD = AB. შემდეგ AB: HD = 2: 1. 3. <С = 30 о, 4. <А = <С = 30 о, <В = პასუხი: AB: HD = 2: 1,<А = <С = 30 о, <В = დავალება 4. 4√6 სიგრძის პარალელოგრამის ერთ-ერთი დიაგონალი ფუძესთან ქმნის 60°-იან კუთხეს, ხოლო მეორე დიაგონალი იმავე ფუძით 45°-იან კუთხეს. იპოვეთ მეორე დიაგონალი. გამოსავალი.
1. AO = 2√6. 2. გამოიყენე სინუსების თეორემა სამკუთხედს AOD. AO/sin D = OD/sin A. 2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o. OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6. პასუხი: 12.
დავალება 5. პარალელოგრამისთვის 5√2 და 7√2 გვერდებით, დიაგონალებს შორის პატარა კუთხე უდრის პარალელოგრამის პატარა კუთხს. იპოვეთ დიაგონალების სიგრძის ჯამი. გამოსავალი.
მოდით d 1, d 2 იყოს პარალელოგრამის დიაგონალები, ხოლო დიაგონალებსა და პარალელოგრამის პატარა კუთხეს შორის არის φ. 1. დავთვალოთ ორი განსხვავებული S ABCD \u003d AB AD sin A \u003d 5√2 7√2 sin f, S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin f. ვიღებთ ტოლობას 5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f ან 2 5√2 7√2 = d 1 d 2 ; 2. პარალელოგრამის გვერდებსა და დიაგონალებს შორის შეფარდების გამოყენებით ვწერთ ტოლობას. (AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2. ((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2 . d 1 2 + d 2 2 = 296. 3. მოდით შევქმნათ სისტემა: (d 1 2 + d 2 2 = 296, გაამრავლეთ სისტემის მეორე განტოლება 2-ზე და დაამატეთ იგი პირველს. ვიღებთ (d 1 + d 2) 2 = 576. აქედან გამომდინარე, Id 1 + d 2 I = 24. ვინაიდან d 1, d 2 არის პარალელოგრამის დიაგონალების სიგრძე, მაშინ d 1 + d 2 = 24. პასუხი: 24.
დავალება 6. პარალელოგრამის გვერდებია 4 და 6. დიაგონალებს შორის მახვილი კუთხე არის 45 o. იპოვეთ პარალელოგრამის ფართობი. გამოსავალი.
1. AOB სამკუთხედიდან კოსინუსების თეორემის გამოყენებით ვწერთ მიმართებას პარალელოგრამის გვერდსა და დიაგონალებს შორის. AB 2 \u003d AO 2 + VO 2 2 AO VO cos AOB. 4 2 \u003d (d 1 / 2) 2 + (d 2 / 2) 2 - 2 (d 1 / 2) (d 2 / 2) cos 45 o; d 1 2/4 + d 2 2/4 - 2 (d 1/2) (d 2/2)√2/2 = 16. d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64. 2. ანალოგიურად ვწერთ AOD სამკუთხედის მიმართებას. ჩვენ ამას გავითვალისწინებთ<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2. ვიღებთ განტოლებას d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144. 3. ჩვენ გვაქვს სისტემა პირველს გამოვაკლებთ მეორე განტოლებას, მივიღებთ 2d 1 d 2 √2 = 80 ან d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2 4. S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin α \u003d 1/2 20√2 √2/2 \u003d 10. Შენიშვნა:ამ და წინა ამოცანაში არ არის საჭირო სისტემის სრულად ამოხსნა, იმის გათვალისწინებით, რომ ამ ამოცანში ფართობის გამოსათვლელად გვჭირდება დიაგონალების ნამრავლი. პასუხი: 10. დავალება 7. პარალელოგრამის ფართობი არის 96, ხოლო გვერდები 8 და 15. იპოვეთ უფრო პატარა დიაგონალის კვადრატი. გამოსავალი.
1. S ABCD \u003d AB AD sin VAD. მოდით გავაკეთოთ ჩანაცვლება ფორმულაში. ჩვენ ვიღებთ 96 = 8 15 sin VAD. აქედან გამომდინარე, ცოდვა VAD = 4/5. 2. იპოვე cos BAD. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1. (4/5) 2 + cos 2 BAD = 1. cos 2 BAD = 9/25. პრობლემის მდგომარეობის მიხედვით ვპოულობთ უფრო მცირე დიაგონალის სიგრძეს. დიაგონალი BD უფრო მცირე იქნება, თუ კუთხე BAD მწვავეა. მაშინ cos BAD = 3/5. 3. ABD სამკუთხედიდან კოსინუსების თეორემის გამოყენებით ვპოულობთ BD დიაგონალის კვადრატს. BD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2 AB BD cos BAD. ВD 2 \u003d 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3 / 5 \u003d 145. პასუხი: 145.
გაქვთ რაიმე შეკითხვები? არ იცით როგორ გადაჭრათ გეომეტრიის პრობლემა? საიტი, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული. სანამ ვისწავლით როგორ ვიპოვოთ პარალელოგრამის ფართობი, უნდა გვახსოვდეს რა არის პარალელოგრამი და რას ჰქვია მისი სიმაღლე. პარალელოგრამი არის ოთხკუთხედი, რომლის მოპირდაპირე გვერდები წყვილად პარალელურია (იწოლა პარალელურ წრფეებზე). ამ მხარის შემცველი წრფის მოპირდაპირე მხარის თვითნებური წერტილიდან გამოყვანილ პერპენდიკულარს პარალელოგრამის სიმაღლე ეწოდება. კვადრატი, მართკუთხედი და რომბი პარალელოგრამის განსაკუთრებული შემთხვევებია. პარალელოგრამის ფართობი აღინიშნება როგორც (S). S=a*h, სადაც a არის ფუძე, h არის სიმაღლე, რომელიც დახატულია ფუძესთან. S=a*b*sinα, სადაც a და b არის ფუძეები, ხოლო α არის კუთხე a და b ფუძეებს შორის. S \u003d p * r, სადაც p არის ნახევარპერიმეტრი, r არის წრის რადიუსი, რომელიც ჩაწერილია პარალელოგრამაში. a და b ვექტორებით წარმოქმნილი პარალელოგრამის ფართობი უდრის მოცემული ვექტორების ნამრავლის მოდულს, კერძოდ: განვიხილოთ მაგალითი No1: მოცემულია პარალელოგრამი, რომლის გვერდი არის 7 სმ, ხოლო სიმაღლე 3 სმ. როგორ ვიპოვოთ პარალელოგრამის ფართობი, გვჭირდება ამოხსნის ფორმულა. ასე რომ, S= 7x3. S=21. პასუხი: 21 სმ 2. განვიხილოთ მაგალითი No2: ფუძეები არის 6 და 7 სმ, ხოლო ფუძეებს შორის კუთხე 60 გრადუსია. როგორ მოვძებნოთ პარალელოგრამის ფართობი? ფორმულა გამოიყენება გადასაჭრელად: ამრიგად, ჯერ ვიპოვით კუთხის სინუსს. Sine 60 \u003d 0.5, შესაბამისად S \u003d 6 * 7 * 0.5 \u003d 21 პასუხი: 21 სმ 2. იმედი მაქვს, რომ ეს მაგალითები დაგეხმარებათ პრობლემების გადაჭრაში. და გახსოვდეთ, მთავარია ფორმულების ცოდნა და ყურადღება
(
(რადგან მართკუთხა სამკუთხედში, ფეხი, რომელიც მდებარეობს 30 o კუთხის საპირისპიროდ, უდრის ჰიპოტენუზის ნახევარს).
მისი ტერიტორიის გზები.
(d 1 + d 2 = 140.
(d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.
დამრიგებლის დახმარების მისაღებად - დარეგისტრირდით.
პირველი გაკვეთილი უფასოა!
პარალელოგრამის ფართობის პოვნის ფორმულები
