Ықтималдықтар теориясы мен статистикалық тест. Ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистика курсына арналған тест

Қазіргі кезде математикадан USE есептерінің ашық банкінде (mathege.ru) берілген, оның шешімі ықтималдықтың классикалық анықтамасы болып табылатын бір ғана формулаға негізделген.

Формуланы түсінудің ең оңай жолы - мысалдар.
Мысал 1.Себетте 9 қызыл шар мен 3 көк доп бар. Шарлар тек түсімен ғана ерекшеленеді. Кездейсоқ (қарамай) біз олардың біреуін аламыз. Осылай таңдалған доп көк түске айналу ықтималдығы қандай?

Пікір.Ықтималдықтар теориясы бойынша мәселелерде бірдеңе болады (бұл жағдайда біздің допты жұлып алу әрекеті), оның нәтижесі басқа болуы мүмкін - нәтиже. Айта кету керек, нәтижені әртүрлі тәсілдермен қарауға болады. «Біз қандай да бір допты шығардық» - нәтиже. «Біз көк допты шығардық» - нәтиже. «Біз бұл шарды барлық мүмкін шарлардан шығардық» - бұл нәтиженің ең аз жалпыланған көрінісі қарапайым нәтиже деп аталады. Бұл ықтималдылықты есептеу формуласында айтылатын қарапайым нәтижелер.

Шешім.Енді көк шарды таңдау ықтималдығын есептейік.
А оқиғасы: «таңдалған доп көк болып шықты»
Барлық ықтимал нәтижелердің жалпы саны: 9 + 3 = 12 (біз шығара алатын шарлардың саны)
А оқиғасы үшін қолайлы нәтижелер саны: 3 (А оқиғасы болған осындай нәтижелердің саны - яғни көк шарлар саны)
P (A) = 3/12 = 1/4 = 0,25
Жауабы: 0,25

Сол есептің қызыл шарын таңдау ықтималдығын есептейік.
Ықтимал нәтижелердің жалпы саны өзгеріссіз қалады, 12. Қолайлы нәтижелер саны: 9. Ізделетін ықтималдықтар: 9/12 = 3/4 = 0,75

Кез келген оқиғаның ықтималдығы әрқашан 0 -ден 1 -ге дейін болады.
Кейде күнделікті сөйлеуде (бірақ ықтималдылық теориясында емес!) Оқиғалардың ықтималдығы пайызбен бағаланады. Математикалық және әңгімелесуші бағалау арасындағы ауысу 100%көбейту (немесе бөлу) арқылы жүзеге асады.
Сонымен,
Сонымен қатар, мүмкін емес оқиғалардың ықтималдығы нөлге тең - олар керемет. Мысалы, біздің мысалда бұл жасыл шарды себеттен шығару ықтималдығы болар еді. (Қолайлы нәтижелер саны 0, P (A) = 0/12 = 0, формуламен есептелген жағдайда)
1 -ықтималдықта міндетті түрде болатын оқиғалар бар, оларда опциялар жоқ. Мысалы, «таңдалған доп қызыл немесе көк болып шығуы» ықтималдығы біздің проблемамызға қатысты. (Қолайлы нәтижелер саны: 12, P (A) = 12/12 = 1)

Біз ықтималдықтың анықтамасын көрсету үшін классикалық мысалды қарастырдық. Ықтималдықтар теориясындағы емтиханның барлық осындай мәселелері осы формуланы қолдану арқылы шешіледі.
Қызыл және көк шарлардың орнына алма мен алмұрт, ұлдар мен қыздар, үйренілген және оқылмаған билеттер, тақырып бойынша сұрақ бар және жоқ билеттер (прототиптер), ақаулы және сапалы қаптар немесе бақша сорғылары (прототиптер) болуы мүмкін. ,) - принцип өзгеріссіз қалады.

Олар емтиханның ықтималдықтар теориясының мәселесін тұжырымдауда аздап ерекшеленеді, мұнда белгілі бір күні болатын оқиғаның ықтималдығын есептеу қажет. (,) Алдыңғы тапсырмалардағыдай қарапайым нәтиже қандай екенін анықтау керек, содан кейін сол формуланы қолдану керек.

Мысал 2.Конференция үш күнге созылады. Бірінші және екінші күні 15 спикер сөз сөйлейді, үшінші күні - 20. Профессор М. -ның баяндамасы үшінші күнде түсу ықтималдығы қандай, егер есептерді шығару тәртібі жеребе арқылы анықталса?

Бұл жерде қарапайым нәтиже қандай? - Профессордың баяндамасын сөйлеуге арналған барлық ықтимал сериялық нөмірлердің біріне тағайындау. Ұтыс ойынына 15 + 15 + 20 = 50 адам қатысады. Осылайша, профессор М. -ның баяндамасына 50 мәселенің бірін алуға болады. Бұл тек 50 қарапайым нәтиже бар екенін білдіреді.
Қолайлы нәтижелер қандай? - Профессор үшінші күні сөйлейтіні белгілі болды. Яғни, соңғы 20 сан.
Формула бойынша ықтималдығы P (A) = 20/50 = 2/5 = 4/10 = 0,4
Жауабы: 0,4

Бұл жерде жеребе тарту - адамдар мен тапсырыс берілген орындар арасында кездейсоқ хат алмасу. 2 -мысалда корреспонденцияны құру орындардың қайсысы белгілі бір адамға тиесілі болуы мүмкін екендігі тұрғысынан қарастырылды. Сіз дәл сол жағдайға екінші жағынан қарай аласыз: адамдардың қайсысы белгілі бір жерге ықтималдығы бар (прототиптері ,,,):

Мысал 3.Ұтысқа 5 неміс, 8 француз және 3 эстон қатысады. Бірінші ( / екінші / жетінші / соңғы - маңызды емес) француз болу ықтималдығы қандай?

Қарапайым нәтижелер саны - бұл жерге жеребе бойынша баратын барлық мүмкін адамдар саны. 5 + 8 + 3 = 16 адам.
Қолайлы нәтиже - француз. 8 адам.
Іздеу ықтималдығы: 8/16 = 1/2 = 0,5
Жауабы: 0,5

Прототип сәл өзгеше. Монеталар () мен сүйектер () туралы әлі де шығармашылық мәселелер бар. Бұл мәселелердің шешімін прототип беттерінен көруге болады.

Монета немесе сүйек лақтырудың бірнеше мысалдары келтірілген.

Мысал 4.Біз монетаны айналдырған кезде, бас алу ықтималдығы қандай?
Нәтижелер 2 - бас немесе құйрық. (монета ешқашан шетінен түспейді деп есептеледі) Қолайлы нәтиже - құйрықтар, 1.
Ықтималдық 1/2 = 0.5
Жауабы: 0,5.

Мысал 5.Егер біз монетаны екі рет аударсақ ше? Бастарды екі рет ұру ықтималдығы қандай?
Ең бастысы - екі монетаны аударғанда қандай қарапайым нәтижелерді қарастыратынымызды анықтау. Екі монетаны аударғаннан кейін келесі нәтижелердің бірін алуға болады:
1) PP - екі рет те құйрықтар келді
2) ПО - бірінші рет құйрықтар, екінші рет бастар
3) ОП - бірінші рет бас, екінші рет құйрық
4) ОО - екі рет те басшылыққа алады
Басқа нұсқалар жоқ. Бұл 4 қарапайым нәтиже бар дегенді білдіреді, олардың ішінде тек бірінші, 1.
Ықтималдық: 1/4 = 0,25
Жауабы: 0,25

Екі тиын лақтырудың бір рет құйрыққа шығу ықтималдығы қандай?
Қарапайым нәтижелердің саны бірдей, 4. Қолайлы нәтижелер - екінші және үшінші, 2.
Бір құйрықты ұру ықтималдығы: 2/4 = 0,5

Мұндай тапсырмаларда тағы бір формула ыңғайлы болуы мүмкін.
Егер бір лақтыру үшін бізде 2 мүмкін нәтиже болса, онда екі лақтырғанда нәтиже 2 2 = 2 2 = 4 болады (5 мысалдағыдай), үш рет лақтырғанда 2 2 2 = 2 3 = 8, төртеуінде: 2 · 2 · 2 · 2 = 2 4 = 16, ... N лақтыру үшін мүмкін болатын нәтиже 2 · 2 · ... · 2 = 2 Н болады.

Осылайша, сіз 5 тиын лақтырудан 5 бас алу ықтималдығын таба аласыз.
Қарапайым нәтижелердің жалпы саны: 2 5 = 32.
Қолайлы нәтижелер: 1. (RRRRR - барлығы 5 құйрық)
Ықтималдық: 1/32 = 0.03125

Бұл сүйектерге де қатысты. Бір лақтырумен мұнда 6 мүмкін нәтиже бар.Сонымен, екі лақтыру үшін: 6 6 = 36, үш лақтыру үшін 6 6 6 = 216 және т.б.

Мысал 6.Біз сүйектерді лақтырамыз. Жұп санның шығу ықтималдығы қандай?

Жалпы нәтиже: 6, бет санына сәйкес.
Қолайлы: 3 нәтиже. (2, 4, 6)
Ықтималдық: 3/6 = 0,5

Мысал 7.Біз екі сүйек лақтырамыз. Барлығы 10 -ды айналдыру мүмкіндігі қандай? (жүздікке дейін)

Бір өлімнің 6 ықтимал нәтижесі бар. Демек, екеуі үшін жоғарыда айтылған ережеге сәйкес 6 6 = 36.
Жалпы 10 үшін қандай нәтиже қолайлы болады?
10 1 -ден 6 -ға дейінгі екі санның қосындысына ыдырауы керек. Бұл екі жолмен жасалуы мүмкін: 10 = 6 + 4 және 10 = 5 + 5. Бұл текшелер үшін келесі опциялар мүмкін екенін білдіреді:
(Біріншісінде 6, екіншісінде 4)
(Біріншісінде 4, екіншісінде 6)
(Біріншісінде 5, екіншісінде 5)
Барлығы, 3 нұсқа. Іздеу ықтималдығы: 3/36 = 1/12 = 0,08
Жауабы: 0,08

В6 есептерінің басқа түрлері келесі мақалалардың бірінде қарастырылады.

БІРАҚ)!

G) P (A) =

Қолдану кезінде тапсырыс маңызды емес

А) орналастыру

В) ауыстырулар

В) комбинациялар

D) ауыстырулар мен орналастырулар

А) 12 131415=32760

В) 13 1415=2730

12 -де 1314=2184

D) 14 15=210

Комбинациясы nбойынша элементтер м-Бұл

А) құрамында ішкі жиындар санымэлементтер

B) берілген жиынның элементі бойынша орын ауыстыруларының саны

C) таңдау тәсілдерінің санымзаттар nc)тәртібін ескере отырып

D) таңдау тәсілдерінің санымзаттар nтапсырысты қоспағанда

И.А.Крыловтың аттас ертегісінен квартетті ұйымдастырудың неше әдісі бар?

А) 24

В) 4

8 -де

D) 6

30 адамнан тұратын топтан бір басшы мен бір дәрігерді қанша жолмен таңдауға болады?

А) 30

В) 870

В) 435

D) 30!

БІРАҚ)

IN)

БІРАҚ)

B) ( м-2) (м-1) м

B) (м-1) м

G) ( м-2) (м-1)

30 адамнан тұратын топта 5 адамды колледж жүгіруге қатысуға қанша жолмен жіберуге болады?

А) 17100720 ж

В) 142506 ж

В) 120

D) 30!

Сегіз оқушы қол алысты. Қанша қол алысу болды?

A) 40320 ж

В) 28

В) 16

D) 64

Ұсынылған 9 кітаптан 3 кітапты қанша жолмен таңдай аласыз?

БІРАҚ)

B) 9

D) 3P 9

Вазада 5 қызыл және 3 ақ раушан бар. 4 гүлді қанша жолмен алуға болады?

БІРАҚ)

IN)

Вазада 8 қызыл және 3 ақ раушан гүлі бар. 2 қызыл және 1 ақ раушан гүлін қанша жолмен алуға болады?

БІРАҚ)

IN)

А) 110

В) 108

12 -де

D) 9

Пошта жәшігінде 38 филиал бар. Әр жәшікте бір ғана ашықхат болмайтындай етіп, 35 бірдей ашық хаттарды жәшікке қанша тәсілмен қоюға болады?

БІРАҚ)

В) 35!

IN)

D) 38!

«Піл» сөзінен неше түрлі ауыстыру жасауға болады?

А) 6

В) 4

В) 24

D) 8

10 бөліктен тұратын қораптан екі бөлікті неше жолмен таңдауға болады?

А) 10!

В) 90

В) 45

D) 100

1,2,3,4 цифрларынан неше түрлі екі таңбалы сан құрастыруға болады?

А) 16

В) 24

12 -де

D) 6

5 қызметкерге 3 жолдама бөлінген. Егер барлық пакеттер әртүрлі болса, оларды неше жолмен таратуға болады?

А) 10

В) 60

В) 125

D) 243

A) (6; + )

B) (- ;6)

B) (0; + )

D) (0; 6)

БІРАҚ)

IN)

А) 4

В) 3

D) 5

Формуланы жазыңыз: «комбинациялар саныn3 элемент комбинациялар санынан 5 есе азn+2 элементтері 4 дюйм

БІРАҚ)

IN)

28 студентті дәрісханада неше жолмен орналастыруға болады?

А) 2880 ж

В) 5600

С) 28!

D) 7200

25 жұмысшыдан 5 адамнан тұратын командалар құрудың неше әдісі бар?

А) 25!

IN)

D) 125

Топта 26 оқушы бар. 2 адамды кезекшілікке қанша жолмен таңдауға болады, осылайша олардың біреуі үлкені?

БІРАҚ)

С) 24!

D) 52

А) 6

В) 5

IN)

D) 15

1,2,3,4,5 цифрларынан қайталанбай қанша бес таңбалы сан жасауға болады?

А) 24

В) 6

В) 120

D) 115

3 және 4 қатар орналасқан етіп 1,2,3,4,5 цифрларынан қанша бес таңбалы сандарды құруға болады?

A) 120

В) 6

В) 117

D) 48

Ғылыми қоғам 25 адамнан тұрады. Қоғамның президентін, вице -президентін, академиялық хатшысы мен қазынашысын сайлау қажет. Егер қоғамдастықтың әрбір мүшесі бір ғана лауазымды атқаратын болса, бұл таңдауды қалай жасауға болады?

A) 303600

В) 25!

В) 506

D) 6375600

БІРАҚ) ( n-4) (n-5)

B) ( n-2) (n-1) n

IN)

A) -2

B) -3

D) 5

Шахмат тақтасына бір -бірін жеңе алмайтындай етіп, 8 жолды неше тәсілмен қоюға болады?

А) 70

В) 1680 ж

В) 64

D) 40320 ж

БІРАҚ)

B) (2 м-1)

IN) 2м

D) (2 м-2)!

БІРАҚ) ( n-5)!

IN)

G) n (n-1) (n-2)

А) 6

В) 4

D) 3

A) -1

В) 6

С) 27

D) -22

А) 1

В) 0

D) 4

А) 9

В) 0,5

B) 1.5

D) 0,3

Комбинация формула бойынша есептеледі

БІРАҚ)!

B) P (A) =

Орналастыру формула бойынша есептеледі

БІРАҚ) P (A) =

G)!

Пермутациялар nэлементтер болып табылады

А) жиыннан элементтерді таңдауn»

В) жиынтықтағы элементтер саны »n»

C) жиынының ішкі жиыныnэлементтер

D) жиынтықта белгіленген тәртіп »n»

Орналастыру проблемада қолданылады, егер

А) тапсырысты ескере отырып, жиынтықтан элементтерді таңдау бар

B) ретті ескерусіз жиынтықтан элементтерді таңдау бар

C) жиынтықта ауыстыруды жүзеге асыру қажет

D) егер барлық таңдалған элементтер бірдей болса

Қоқыста 6 ақ және 5 қара шар бар. Одан 2 ақ және 3 қара шарды қанша жолмен алып тастауға болады?

БІРАҚ)

IN)

100 лотереялық билеттің ішінде 45 ұтысты. Сатып алынған үш билеттің біреуінде қанша жолмен жеңіске жетуге болады?

А) 45

IN)

№1 тест жауаптары

№2 тест жауаптары

№2 тест

«Ықтималдықтар теориясының негіздері»

Кездейсоқ оқиға деп аталады

А) күтілетін нәтиже болуы мүмкін немесе болмауы мүмкін эксперименттің осындай нәтижесі

В) эксперименттің мұндай нәтижесі, ол бұрыннан белгілі

C) эксперимент нәтижесін алдын ала анықтау мүмкін емес

D) эксперимент жағдайын сақтай отырып, үнемі қайталанатын эксперименттің осындай нәтижесі

Одақ «және» дегенді білдіреді

А) оқиғалардың ықтималдығын қосу

В) оқиғалардың ықтималдығын көбейту

D) оқиғалардың ықтималдығын бөлу

«Немесе» жалғауы білдіреді

А) оқиғалардың ықтималдығын бөлу

B) оқиғалардың ықтималдығын қосу

C) оқиғалар ықтималдығының айырмашылығы

D) оқиғалардың ықтималдығын көбейту

Біреуінің басталуы екіншісінің басталуын жоққа шығаратын оқиғалар деп аталады

А) үйлесімсіз

В) тәуелсіз

C) тәуелді

D) буын

Оқиғалардың толық тобын құрайды

А) дербес оқиғалар жиынтығы, егер бірыңғай тестілеу нәтижесінде осы оқиғалардың бірі міндетті түрде орын алатын болса

В) тәуелсіз оқиғалардың жиынтығы, егер бірыңғай тестілеу нәтижесінде бұл оқиғалардың барлығы міндетті түрде орын алатын болса

C) үйлеспейтін оқиғалар жиынтығы, егер бірыңғай тестілеу нәтижесінде осы оқиғалардың бірі міндетті түрде орын алатын болса

D) сәйкес келмейтін оқиғалар жиынтығы, егер бірыңғай тестілеу нәтижесінде бұл оқиғалардың барлығы міндетті түрде орын алатын болса

Қарама -қарсы деп аталады

А) екі тәуелсіз, толық топты құрайтын, оқиғалар

В) екі тәуелсіз оқиға

C) бір -біріне сәйкес келмейтін екі оқиға

D) бір -біріне сәйкес келмейтін, толық топты құрайтын оқиғалар

Екі оқиға тәуелсіз деп аталады

А) ол тест нәтижесінде міндетті түрде болады

B) сынақ нәтижесінде ешқашан бірге болмайды

C) онда олардың біреуінің нәтижесі басқа оқиғаның нәтижесіне байланысты емес

D) онда олардың бірінің нәтижесі басқа оқиғаның нәтижесіне толық тәуелді

Сынақ нәтижесінде міндетті түрде болатын оқиға

А) мүмкін емес

В) нақты

C) сенімді

D) кездейсоқ

Сынақ нәтижесінде ешқашан болмайтын оқиға

А) мүмкін емес

В) нақты

C) сенімді

D) кездейсоқ

Ең жоғары ықтималдық мәні

А) 100%

В) 1

C) шексіздік

D) 0

Қарама -қарсы оқиғалардың ықтималдығының қосындысы

А) 0

В) 100%

IN 1

D) 1

«Кем дегенде бір» сөзі білдіреді

А) тек бір элемент

В) бір элемент емес

D) бір, екі және артық емес элементтер

Ықтималдықтың классикалық анықтамасы

А) оқиғаның ықтималдығы - оқиғаның басталуына қолайлы нәтижелер санының барлық сәйкес келмейтін, тек мүмкін болатын және мүмкін болатын нәтижелердің толық тобын құрайтын санына қатынасы.

B) Ықтималдық - белгілі бір сынақта болатын оқиғаның мүмкін болуының өлшемі

C) Ықтималдық - оқиға болған сынақтар санының оқиға болуы мүмкін немесе болмауы мүмкін барлық сынақтар санына қатынасы.

D) Оқиғалар өрісінен әрбір кездейсоқ А оқиғасы ықтималдық деп аталатын теріс емес P (A) санымен байланысты.

Ықтималдық - белгілі бір сынақта болатын оқиғаның мүмкін болуының өлшемі

Бұл ықтималдылықтың анықтамасы

А) классикалық

В) геометриялық

В) аксиоматикалық

D) статистикалық

Ықтималдық - оқиға болған сынақтар санының оқиға болуы мүмкін немесе болмауы мүмкін барлық сынақтар санына қатынасы. Бұл ықтималдылықтың анықтамасы

А) классикалық

В) геометриялық

В) аксиоматикалық

D) статистикалық

Шартты ықтималдық формула бойынша есептеледі

A) P (A / B) =

B) P (A + B) = P (A) + P (B) -P (AB)

B) P (AB) = P (A) P (B)

D) P (A + B) = P (A) + P (B)

Бұл формула P (A + B) = P (A) + P (B) -P (AB) екіге қолданылады

А) сәйкес келмейтін оқиғалар

В) бірлескен іс -шаралар

C) тәуелді оқиғалар

D) тәуелсіз оқиғалар

Шартты ықтималдық ұғымы қандай екі оқиғаға қатысты?

А) мүмкін емес

В) сенімді

В) буын

D) тәуелді

Жалпы ықтималдық формуласы

A) P ( H Мен / A) =

B) P (A) = P (A / H 1 ) П(H 1) + P (A / H 2 ) П(H 2) + ... + P (A / H n ) П(H n )

IN) П n (м)=

D) P (A) =

В) Байес теоремасы

C) Бернулли схемасы

А) жиынтық ықтималдық формуласы

В) Байес теоремасы

C) Бернулли схемасы

D) ықтималдықтың классикалық анықтамасы

Екі сүйек лақтырылады. Құлаған нүктелердің қосындысы 6 болу ықтималдығын табыңыз

A) P (A) =

B) P (A) =

D) P (A) =

Екі сүйек лақтырылады. Қалған нүктелердің қосындысы 11 -ге, ал айырмасы 5 -ке тең болу ықтималдығын табыңыз

A) P (A) = 0

B) P (A) = 2/36

B) P (A) = 1

D) P (A) = 1/6

Күндіз жұмыс істейтін құрылғы үш түйіннен тұрады, олардың әрқайсысы басқаларына тәуелсіз осы уақыт ішінде істен шығуы мүмкін. Кез келген түйіннің істен шығуы бүкіл құрылғыны өшіреді. Бірінші түйіннің күн ішінде дұрыс жұмыс істеу ықтималдығы 0,9, екіншісі 0,85, үшіншісі 0,95. Құрылғының күндізгі уақытта сенімді жұмыс істеу ықтималдығы қандай?

A) P (A) = 0.1 0.15 0.05 = 0.00075

B) P (A) = 0,9 0,85 0,95 = 0,727

B) P (A) = 0,1 + 0,85 0,95 = 0,91

D) P (A) = 0,1 0,15 0,95 = 0,014

Цифрлары әр түрлі екі таңбалы сан ойлап табылған. Кездейсоқ атау берілген екі таңбалы сан белгіленген санға тең болу ықтималдығын табыңыз?

A) P (A) = 0.1

B) P (A) = 2/90

B) P (A) = 1/100

D) P (A) = 0,9

Екі адам нысанаға бірдей ату ықтималдығы 0,8 тең. Нысананың соғылу ықтималдығы қандай?

A) P (A) = 0,8 0,8 = 0,64

B) P (A) = 1-0,2 0,2 = 0,96

B) P (A) = 0,8 0,2 + 0,2 0,2 = 0,2

D) P (A) = 1-0,8 = 0,2

Екі оқушы өздеріне қажет кітапты іздейді. Бірінші оқушының кітапты табу ықтималдығы - 0,6, ал екіншісі - 0,7. Оқушылардың біреуі ғана қалаған кітабын табуы ықтималдығы қандай?

A) P (A) = 1-0,6 0,7 = 0,58

B) P (A) = 1-0.4 0.3 = 0.88

B) P (A) = 0,6 0,3 + 0,7 0,4 = 0,46

D) P (A) = 0,6 0,7 + 0,3 0,4 = 0,54

32 картадан тұратын палубадан екі карта кездейсоқ алынады. Екі патшаның тұтқынға түсу ықтималдығын табыңыз?

A) P (A) = 0,012

B) P (A) = 0.125

B) P (A) = 0,0625

D) P (A) = 0,031

Үш жебе нысанаға бір -біріне тәуелсіз атылады. Бірінші атқыштың нысанаға тигізу ықтималдығы - 0,75, екіншісінде - 0,8, үшіншіде - 0,9. Кем дегенде бір мерген нысанаға тиетін ықтималдығын табыңыз?

A) P (A) = 0,25 0,2 0,1 = 0,005

B) P (A) = 0,75 0,8 0,9 = 0,54

B) P (A) = 1-0,25 0,2 0,1 = 0,995

D) P (A) = 1-0,75 0,8 0,9 = 0,46

Қорапта №1 -ден 10 -ға дейінгі сандармен белгіленген 10 бірдей бөлік бар. Кездейсоқ 6 бөлікті алыңыз. №5 бөлік қалпына келтірілген бөліктердің қатарына кіру ықтималдығын табыңыз?

A) P (A) = 5/10 = 0,2

B) P (A) =

B) P (A) = 1/10 = 0.1

D) P (A) =

Кездейсоқ алынған 4 заттың ішінде 3 ақаулы болу ықтималдығын табыңыз, егер 100 элементтен тұратын партияда 10 ақаулы элемент болса.

A) P (A) =

B) P (A) =

D) P (A) =

Вазада 10 ақ және 8 қызыл раушан гүлдері бар. Кездейсоқ екі гүл алыңыз. Ықтималдығы қандай. Олар неше түрлі түсті?

A) P (A) =

B) P (A) =

D) P (A) = 2/18

Бір оқпен нысанаға тигізу ықтималдығы 1/8. 12 соққының жіберілмеу ықтималдығы қандай?

A) Б 12 (12)=

В) 12 (1)=

B) P (A) =

D) P (A) =

Қақпашы орташа есеппен барлық айып соққыларының 30% -ын орындайды. Оның 4 шардың 2 -ін алу ықтималдығы қандай?

А) Б 4 (2)=

В) 4 (2)=

В) Б 4 (2)=

D) 4 (2)=

Питомникте вакцинацияланған 40 қоян мен 10 бақылау қоян бар. 14 қоян қатарынан тексеріледі, нәтиже жазылады және қояндар кері жіберіледі. Бақылау қоянының пайда болуының ықтимал санын анықтаңыз.

А) 10

В) 14

B) 14

D) 14

Аяқ киім фабрикасындағы жоғары сапалы өнімдер барлық өндірістің 10% құрайды. Осы фабрикадан дүкенге жіберілген 75 жұптан қанша жұп премиум етік табуға болады деп үміттенуге болады?

А) 75

В) 75

D) 75

A) Лапластың жергілікті формуласы

B) Лаплас интегралды формуласы

C) Мойвр-Лаплас формуласы

D) Бернулли схемасы

Есепті шешкен кезде «Бөлшектер сериясындағы ақаудың ықтималдығы 2%құрайды. 600 бөліктен тұратын партияда 20 ақаулы бөлшек болу ықтималдығы қандай? » неғұрлым қолайлы

А) Бернулли схемасы

В) Мойвр - Лаплас формуласы

C) жергілікті Лаплас формуласы

Мәселені шешкенде «Ақауларға арналған 700 тәуелсіз сынақтардың әрқайсысында стандартты шамның пайда болуы 0,65 тұрақты ықтималдығымен жүреді. Мұндай жағдайларда ақаулы шамның пайда болуы 230 сынаққа қарағанда жиі, бірақ 270 жағдайға қарағанда жиі пайда болу ықтималдығын табыңыз.

А) Бернулли схемасы

В) Мойвр - Лаплас формуласы

C) жергілікті Лаплас формуласы

D) Лаплас интегралды формуласы

Телефон нөмірін теру кезінде абонент нөмірді ұмытып, кездейсоқ терді. Дұрыс санды енгізу ықтималдығын табыңыз?

A) P (A) = 1/9

B) P (A) = 1/10

B) P (A) = 1/99

D) P (A) = 1/100

Сүйек лақтырылады. Жұп санның түсіп қалу ықтималдығын табыңыз?

A) P (A) = 5/6

B) P (A) = 1/6

B) P (A) = 3/6

D) P (A) = 1

Қорапта 50 бірдей бөлшектер бар, олардың 5 -і боялған. Бір бөлік кездейсоқ түрде алынады. Алынған бөліктің боялу ықтималдығын табыңыз?

A) P (A) = 0.1

B) P (A) =

D) P (A) = 0,3

Қорапта 3 ақ және 9 қара шар бар. Қораптан бір мезгілде 2 шар шығарылады. Екі шардың да ақ болу ықтималдығы қандай?

A) P (A) =

B) P (A) =

B) P (A) = 2/12

D) P (A) =

Бір сөреде кездейсоқ 10 түрлі кітап орналастырылған. Нақты 3 кітап қатар орналасу ықтималдығын табыңыз?

A) P (A) =

B) P (A) =

D) P (A) =

Ұтыс ойынына қатысушылар қораптан 1 -ден 100 -ге дейінгі сандар жазылған жетондар салады. Кездейсоқ салынған бірінші таңбалауыш санында 5 саны жоқ болу ықтималдығын табыңыз?

A) P (A) = 5/100

B) P (A) = 1/100

B) P (A) =

D) P (A) =

Тест нөмірі 3

«Дискретті кездейсоқ шамалар»

Эксперимент нәтижесіне байланысты әр түрлі сандық мәндерді қабылдай алатын шама деп аталады

А) кездейсоқ

В) дискретті

В) үздіксіз

D) ықтималдық

Дискретті кездейсоқ шамасы деп аталады

А) эксперимент нәтижесіне байланысты әр түрлі сандық мәндерді қабылдай алатын шама

В) бір ықтималдықпен бір сынақтан екіншісіне ауысатын шама

B) бірнеше сынақ кезінде өзгермейтін мән

D) эксперимент нәтижесіне қарамастан әр түрлі сандық мәндерді қабылдай алатын шама

Сән деп аталады

А) дискретті кездейсоқ шаманың орташа мәні

B) ықтималдығы бойынша кездейсоқ шаманың мәндерінің көбейтіндісі

C) мәннің математикалық күтуден ауытқу квадратының математикалық күтуі

D) ықтималдығы ең үлкен дискретті кездейсоқ шаманың мәні

Дискретті кездейсоқ шаманың орташа мәні деп аталады

А) сән

В) математикалық үміт

В) орташа

Ықтималдық бойынша кездейсоқ шаманың мәндерінің көбейтіндісі деп аталады

А) дисперсия

В) математикалық үміт

С) сән

D) стандартты ауытқу

Шаманың математикалық күтуден ауытқу квадратының математикалық күтуі

А) сән

В) орташа

В) стандартты ауытқу

D) дисперсия

Дисперсияны есептеу үшін қолданылатын формула

БІРАҚ)

B) M (x 2) -M (x)

B) M (x 2) - (M (x)) 2

D) (M (x)) 2 -M (x 2)

Күтілетін мән есептелетін формула

БІРАҚ)

B) M (x 2) - (M (x)) 2

IN)

Дискретті кездейсоқ шаманың берілген таралу сериясы үшін математикалық күтуді табыңыз

А) 1

В) 1.3

В) 0,5

D) 0,8

Дискретті кездейсоқ шаманың берілген таралу сериясы үшін M (x 2 )

А) 1,5

В) 2.25

В) 2.9

D) 0,99

Белгісіз ықтималдықты табыңыз

A) 0,65

В) 0,75

В) 0

D) 1

Сәнді табыңыз

A) 0,03

B) 1.7

В) 0,28

D) 1.2

Медиананы табыңыз

А) 0,08

В) 1.2

D) 0,28

Медиананы табыңыз

A) 1.2

B) 3.5

В) 0,25

D) 1.1

Егер M (x) = 1.1 болса, х белгісіз мәнін табыңыз

А) 3

В) 1.1

В) 1.2

D) 0

Тұрақты мәннің математикалық күтуі - бұл

№1 нұсқа

800 кірпіштен тұратын партияда 14 ақаулы кірпіш бар. Бала бұл партиядан кездейсоқ бір кірпіш таңдайды және оны құрылыс алаңының сегізінші қабатынан лақтырады. Тасталған кірпіштің ақаулы болу ықтималдығы қандай?
11 сынып физика емтихан кітабы 75 билеттен тұрады. Олардың 12 -де лазерлер туралы сұрақ бар. Кездейсоқ билетті таңдаған Стёптің студенті лазерлер туралы сұраққа сүрініп қалу ықтималдығы қандай?
100 метрге өтетін чемпионатқа Италиядан 3, Германиядан 5, Ресейден 4 спортшы қатысуда. Әр спортшыға арналған жолақ нөмірі жеребе бойынша шығарылады. Италия спортшысының екінші жолаққа шығу ықтималдығы қандай?
Дүкенге 1500 бөтелке арақ әкелінді. Олардың 9 -ы мерзімі өтіп кеткені белгілі. Кездейсоқ бір бөтелкені таңдаған маскүнемнің мерзімі өткен бөтелкені сатып алу ықтималдығын табыңыз.
Қалада әр түрлі банктердің 120 кеңсесі бар. Әже осы банктердің бірін кездейсоқ таңдайды және оған 100 000 рубльге депозит ашады. Дағдарыс кезінде 36 банк банкротқа ұшырағаны белгілі, бұл банктердің салымшылары барлық ақшасынан айырылды. Әженің өз үлесін жоғалтпау ықтималдығы қандай?
12 сағаттық бір ауысымда жұмысшы сандық басқарылатын станокта 600 деталь шығарады. Кескіш құралдың ақауына байланысты станокқа 9 ақаулы бөлшек алынды. Жұмыс күні аяқталғаннан кейін шеберхана шебері бір бөлікті кездейсоқ алып, тексереді. Оның ақаулы бөлікті кездестіру ықтималдығы қандай?

«Емтихан есептеріндегі ықтималдықтар теориясы» тақырыбындағы тест

№1 нұсқа

Мәскеудегі Киевский вокзалында 28 билет терезесі бар, олардың жанында теміржол билеттерін сатып алғысы келетін 4000 жолаушы көп. Статистикалық мәліметтер бойынша, бұл жолаушылардың 1680 -і жеткіліксіз. 17 -ші терезенің сыртында отырған кассир сәйкес келмейтін жолаушыны табу ықтималдығын табыңыз (жолаушылар кассаны кездейсоқ таңдағанын ескерсек).
Russian Standard Bank өз клиенттеріне - Visa Classic және Visa Gold карталарын ұстаушыларға лотерея өткізеді. 6 Opel Astra автокөлігі, 1 Porsche Cayenne автокөлігі мен 473 iPhone 4 телефондары ойнатылады.Басқарушы Вася Visa Classic картасын шығарып, лотерея жеңімпазы атанғаны белгілі. Егер жүлде кездейсоқ таңдалса, оның Opel Astra ұтып алу ықтималдығы қандай?
Владивостокта мектеп жөнделді және 1200 жаңа пластикалық терезелер орнатылды. 11 -сынып оқушысы математикадан USE алғысы келмеді, көгалдан 45 тасты тауып, оларды кездейсоқ терезеге лақтыра бастады. Нәтижесінде ол 45 терезені сындырды. Режиссер кабинетінің терезесі сынбау ықтималдығын табыңыз.
АҚШ әскери зауыты Қытайда жасалған 9000 жалған микросұлбаның партиясын алды. Бұл микросұлбалар М-16 винтовкасының электронды көріністеріне орнатылған. Белгілі болғандай, көрсетілген партиядағы 8766 микросұлба ақаулы, және мұндай микросұлбалары бар көріністер дұрыс жұмыс істемейді. Кездейсоқ таңдалған электронды көздің дұрыс жұмыс істеу ықтималдығын табыңыз.
Әже өз үйінің шатырында 2400 қияр банкасын сақтайды. Олардың 870 -і бұрыннан шірігені белгілі. Немерелері әжесін көруге келгенде, ол кездейсоқ таңдаған коллекциясындағы бір құмыраны сыйға тартты. Немересі шіріген қияр құмырасын алу ықтималдығы қандай?
Құрылысшы 7 мигранттардан тұратын топ пәтер жөндеу бойынша қызметтер ұсынады. Жазғы маусымда олар 360 тапсырысты орындады, ал 234 жағдайда кіре берістен құрылыс қалдықтарын шығармаған. Коммуналдық қызметтер бір пәтерді кездейсоқ таңдайды және жөндеу жұмыстарының сапасын тексереді. Коммуналдық қызметкерлер қоқысты тексеруден сүрінбей қалу ықтималдығын табыңыз.

Жауаптар:

№1 нұсқа
жауап	0,0175	0,16	0,25	0,006		0,015
№2 нұсқа
жауап	0,42	0,0125	0,9625	0,026	0,3625	0,35

Пән бойынша тесттер«Ықтималдық теориясы және математикалық статистика»

1 нұсқа

Х кездейсоқ шаманың математикалық күтімі қандай?
а) 1; б) 2; 4 -те; г) 2,5; д) 3.5.

NS мен
R мен

ж Дж

q Дж

Кездейсоқ шаманың математикалық күтімі қандай?
?
а) 0,5; б) 0; в) 0,3; г) 2.2; д) 3.

Өлшеу нөмірі
x мен

Бейтарап дисперсиялық бағаны анықтаңыз.
а) 48,5; б) 341,7; в) 12,9; г) 63,42; д) 221.1.

2 -нұсқа

а) Бернулли формуласы; б) жергілікті Лаплас теоремасы; в) Лаплас интегралды теоремасы; г) Пуассон формуласы.

Биномдық заң бойынша бөлінген Х кездейсоқ шамасының математикалық күтуі мынаған тең:
а) npq; б) np; в) nq; г) pq.

Лаплас функциясының келесі қасиеті бар: Ф (0) = 0.
а) шын; б) қате.

Корреляция коэффициенті кездейсоқ шамалар арасындағы сызықтық байланыстың жақындық дәрежесін сипаттайды
а) шын; б) қате.

Екі дискретті кездейсоқ шамалар (X, Y) жүйесінің таралу матрицасы кестеде берілген

ж мен x мен

Y кездейсоқ шамасының дисперсиясы қандай?
а) 2; б) 5; в) 3,5; г) 2,56; д) 2.2.

NS мен
R мен

ж Дж

q Дж

Кездейсоқ шаманың дисперсиясы қандай?
?

а) 0,9; б) 0,3; в) 1,15; г) 5,6; д) 0,21.

Тақырып бойынша негізгі түсініктер:

1. Сынақ, қарапайым нәтиже, сынақ нәтижесі, оқиға.

2. Сенімді оқиға, мүмкін емес оқиға, кездейсоқ оқиға.

3. Бірлескен оқиғалар, үйлеспейтін оқиғалар, тең оқиғалар, бірдей мүмкін оқиғалар, мүмкін болатын жалғыз оқиғалар.

4. Оқиғалардың толық тобы, қарама -қарсы оқиғалар.

5. Элементарлық оқиға, күрделі оқиға.

6. Бірнеше оқиғалардың қосындысы, бірнеше оқиғалардың туындысы. Олардың геометриялық интерпретациясы

1. Тапсырмада «Нысанаға екі рет оқ атылады. Нысанға бір рет түсу ықтималдығын табыңыз », тест:

1) * нысанаға екі рет оқ атылады;

2) нысанаға бір рет тиеді;

3) нысанаға екі рет тиеді.

2. Монета лақтырыңыз. Оқиға: А - «елтаңба түсіріледі». «Нөмір тасталады» оқиғасы:

1) кездейсоқ;

2) сенімді;

3) мүмкін емес;

4) * қарама -қарсы.

3. Сүйек лақтырылады. Оқиғаларды белгілейік: А - «6 ұпай қалды», В - «4 ұпай қалды», D - «2 ұпай қалды», С - «ұпай саны жұп». Сонда С оқиғасы тең болады

1)
;

2)
;

3)*
;

4)
.

4. Студент екі емтихан тапсыруы керек. А оқиғасы - «студент бірінші емтиханнан өтті», В оқиғасы - «студент екінші емтиханнан өтті», С оқиғасы - «студент екі емтиханнан да өтті». Сонда С оқиғасы тең болады

1)*
;

2)
;

3)
;

4)
.

5. «ПРОБЛЕМА» сөзінің әріптерінен кездейсоқ бір әріп таңдалады. Оқиға - «таңдалған K әрпі»

1) кездейсоқ;

2) сенімді;

3) * мүмкін емес;

4) керісінше.

6. «ӘЛЕМ» сөзінің әріптерінен бір әріп кездейсоқ таңдалады. Оқиға - «таңдалған М әрпі»

1) * кездейсоқ;

2) сенімді;

3) мүмкін емес.

7. Оқиға - «ақ шарлар бар урнадан ақ доп алынады»

1) кездейсоқ;

2) * сенімді;

3) мүмкін емес.

8. Екі студент емтихан тапсырады. Оқиғалар: А - «бірінші студент емтихан тапсырады», В - «екінші студент емтихан тапсырады»

1) сәйкес келмейтін;

2) сенімді;

3) мүмкін емес;

4) * буын.

9. Оқиғалар сәйкессіз деп аталады, егер

4) * біреудің шабуылы екіншісінің пайда болу мүмкіндігін жоққа шығарады.

10. Оқиғалар мүмкін болатын жалғыз деп аталады

1) біреуінің басталуы екіншісінің пайда болу мүмкіндігін жоққа шығармайды;

2) шарттар жиынтығын жүзеге асыру кезінде олардың әрқайсысының пайда болуына тең мүмкіндіктері бар;

3) * тест кезінде олардың кем дегенде біреуі міндетті түрде келеді;

Тақырып 2. Ықтималдықтың классикалық анықтамасы

Тақырып бойынша негізгі түсініктер:

1. Оқиғаның ықтималдығы, кездейсоқ оқиға ықтималдығының классикалық анықтамасы.

2. Іс -шараға қолайлы нәтиже.

3. Ықтималдықтың геометриялық анықтамасы.

4. Оқиғаның салыстырмалы жиілігі.

5. Ықтималдықты статистикалық анықтау.

6. Ықтималдық қасиеттері.

7. Қарапайым нәтижелер санын есептеу әдістері: ауыстырулар, комбинациялар, орналастыру.

Бұл ұғымдардың барлығын практикалық мысалдар арқылы қолдану.

Бұл тақырыпта ұсынылған тест тапсырмаларының үлгісі:

1. Оқиғалар бірдей мүмкін деп аталады, егер

1) олар сәйкес келмейді;

2) * шарттар жиынтығын жүзеге асыру кезінде олардың әрқайсысының пайда болуына тең мүмкіндіктері бар;

3) тест кезінде олардың кем дегенде біреуі міндетті түрде болады;

4) біреудің шабуыл жасауы екіншісінің пайда болу мүмкіндігін жоққа шығарады.

2. Тест - «екі тиын лақтыру». Оқиға - «тиындардың кем дегенде бірінде герб болады». Бұл оқиға үшін қолайлы нәтижелердің саны келесіге тең:

4) төрт.

3. Тест - «екі тиын лақтыру». Оқиға - «монеталардың бірінде герб болады». Барлық қарапайым, мүмкін болатын, мүмкін болатын, сәйкес келмейтін барлық нәтижелердің саны тең:

4) * төрт.

4. Қоқыс жәшігінде 12 шар бар, олар түстерден басқа ештеңеден ерекшеленбейді. Бұл шарлардың ішінде 5 қара және 7 ақ. Оқиға - «кездейсоқ ақ шарды салу». Бұл оқиға үшін қолайлы нәтижелер саны тең:

5. Урнада 12 шар бар, олар түстерден басқа ештеңеден ерекшеленбейді. Бұл шарлардың ішінде 5 қара және 7 ақ. Оқиға - «кездейсоқ ақ шарды салу». Бұл оқиға үшін барлық нәтижелердің саны:

6. Оқиғаның ықтималдығы аралықтан кез келген мәнді қабылдайды:

3)
;