Пифагор теоремасы бойынша теңдеулер. Пифагор теоремасын дәлелдеу әдістері. Үш жағынан ұқсас геометриялық фигуралар

Сізге берілген үшбұрыштың тік бұрышты екендігіне көз жеткізіңіз, өйткені Пифагор теоремасы тек тік бұрышты үшбұрыштарға қатысты. Тік бұрышты үшбұрыштарда үш бұрыштың бірі әрқашан 90 градус болады.

• Тік бұрышты үшбұрыштағы тік бұрыш қисықпен емес, квадрат белгішесімен белгіленеді, бұл қиғаш бұрыш.

Үшбұрыштың қабырғаларына нұсқаулар қосыңыз. Аяқтарды «а» және «б» деп жазыңыз (аяқтар - жақтары тік бұрышпен қиылысады), ал гипотенузаны «с» деп жазыңыз (гипотенуза - ең үлкен жағы тік бұрышты үшбұрышқарама-қарсы жатқан тікбұрыш).

Үшбұрыштың қай жағын тапқыңыз келетінін анықтаңыз. Пифагор теоремасы тік бұрышты үшбұрыштың кез келген қабырғасын табуға мүмкіндік береді (егер қалған екі жағы белгілі болса). (A, b, c) қай жағын табу керек екенін анықтаңыз.

• Мысалы, 5-ке тең гипотенуза, ал 3-ке тең аяғы берілген. Бұл жағдайда екінші аяқты табыңыз. Біз бұл мысалға кейінірек ораламыз.
• Егер қалған екі жағы белгісіз болса, Пифагор теоремасын қолдана алу үшін белгісіз жақтардың біреуінің ұзындығын табу керек. Мұны істеу үшін негізгі қолданыңыз тригонометриялық функциялар (егер сізге қиғаш бұрыштардың біреуінің мәні берілсе).

A 2 + b 2 \u003d c 2 формуласында сіз берген мәндерді (немесе сіз тапқан мәндерді) ауыстырыңыз. A және b - аяқтар, с - гипотенуза екенін ұмытпаңыз.

• Біздің мысалда: 3² + b² \u003d 5².

Сіз білетін екі жақты төртбұрышқа салыңыз Немесе градус қалдырыңыз - сандарды кейінірек квадраттауға болады.

• Біздің мысалда жазыңыз: 9 + b² \u003d 25.

Теңдеудің бір жағында белгісіз жағын оқшаулаңыз. Ол үшін белгілі мәндерді теңдеудің екінші жағына ауыстырыңыз. Егер сіз гипотенузаны тапсаңыз, онда Пифагор теоремасында ол теңдеудің бір жағында оқшауланған (сондықтан ештеңе істеу керек емес).

• Біздің мысалда белгісіз b² оқшаулау үшін 9 теңдеудің оң жағына қарай жылжытыңыз. Сіз b² \u003d 16 аласыз.

Сығынды квадрат тамыр теңдеудің екі жағынан да. Бұл кезеңде теңдеудің бір жағында белгісіз (квадрат), ал екінші жағында бос мүше (сан) болады.

• Біздің мысалда b² \u003d 16. теңдеудің екі жағының квадрат түбірін алып, b \u003d 4-ті аламыз. Сонымен екінші катет 4 .

Пифагор теоремасын күнделікті өмірде қолданыңыз, өйткені оны әртүрлі практикалық жағдайларда қолдануға болады. Мұны істеу үшін күнделікті өмірде тікбұрышты үшбұрыштарды - екі объект (немесе сызықтар) тік бұрышпен қиылысатын кез келген жағдайда және үшінші объект (немесе сызық) алғашқы екі заттың (немесе сызықтардың) шыңдарын (диагональмен) байланыстыратын кез-келген жағдайда білуге \u200b\u200bүйреніңіз, сіз жасай аласыз белгісіз жағын табу үшін Пифагор теоремасын қолданыңыз (егер қалған екі жағы белгілі болса).

• Мысалы: ғимаратқа тірелген баспалдақ. Баспалдақтың төменгі жағы қабырға негізінен 5 метр қашықтықта орналасқан. Баспалдақтың жоғарғы жағы жерден (қабырғаға дейін) 20 метр қашықтықта орналасқан. Баспалдақтар қанша уақытты құрайды?
  • «Қабырға табанынан 5 метр» дегеніміз a \u003d 5; «Жерден 20 метр қашықтықта» дегеніміз b \u003d 20 (яғни сізге тікбұрышты үшбұрыштың екі аяғы беріледі, өйткені ғимараттың қабырғасы мен Жер беті тік бұрышпен қиылысады). Баспалдақтың ұзындығы - белгісіз гипотенузаның ұзындығы.
    • a² + b² \u003d c²
    • (5) ² + (20) ² \u003d c²
    • 25 + 400 \u003d c²
    • 425 \u003d c²
    • c \u003d -425
    • c \u003d 20.6. Сонымен, баспалдақтың шамамен ұзындығы 20,6 метр.

Пифагор теоремасында:

Тік бұрышты үшбұрышта катеттер квадраттарының қосындысы гипотенузаның квадратына тең:

a 2 + b 2 \u003d c 2,

• а және б - тік бұрыш жасайтын аяқтар.
• бастап - үшбұрыштың гипотенузасы.

Пифагор теоремасының формулалары

• a \u003d \\ sqrt (c ^ (2) - b ^ (2))
• b \u003d \\ sqrt (c ^ (2) - a ^ (2))
• c \u003d \\ sqrt (a ^ (2) + b ^ (2))

Пифагор теоремасының дәлелі

Тік бұрышты үшбұрыштың ауданы мына формула бойынша есептеледі:

S \u003d \\ frac (1) (2) ab

Еркін үшбұрыштың ауданын есептеу үшін аудан формуласы:

• б - жартылай периметр. p \u003d \\ frac (1) (2) (a + b + c),
• р Ішкі сызықтың шеңбері. Тік төртбұрыш үшін r \u003d \\ frac (1) (2) (a + b-c).

Содан кейін үшбұрыштың ауданы үшін екі формуланың оң жақтарын теңестіреміз:

\\ frac (1) (2) ab \u003d \\ frac (1) (2) (a + b + c) \\ frac (1) (2) (a + b-c)

2 ab \u003d (a + b + c) (a + b-c)

2 ab \u003d \\ сол жақ ((a + b) ^ (2) -c ^ (2) \\ оң)

2 ab \u003d a ^ (2) + 2ab + b ^ (2) -c ^ (2)

0 \u003d a ^ (2) + b ^ (2) -c ^ (2)

c ^ (2) \u003d a ^ (2) + b ^ (2)

Кері Пифагор теоремасы:

Егер үшбұрыштың бір қабырғасының квадраты қалған екі қабырғасының квадраттарының қосындысына тең болса, онда үшбұрыш тік бұрышты болады. Яғни кез-келген үштік оң сандар үшін а, б және восындай

a 2 + b 2 \u003d c 2,

аяқтары бар тік бұрышты үшбұрыш бар а және б және гипотенуза в.

Пифагор теоремасы - тік бұрышты үшбұрыштың қабырғалары арасындағы байланысты орнататын эвклидтік геометрияның негізгі теоремаларының бірі. Мұны ғалым математик және философ Пифагор дәлелдеді.

Теореманың мәні оның көмегімен басқа теоремаларды дәлелдеуге және есептер шығаруға болады.

Қосымша материал:

Пифагор теоремасы: Аяқтарға тірелетін квадраттар аудандарының қосындысы ( а және б), гипотенузаға салынған квадраттың ауданына тең ( в).

Геометриялық тұжырымдау:

Бастапқыда теорема келесідей тұжырымдалды:

Алгебралық тұжырымдау:

Яғни, үшбұрыштың гипотенузасының ұзындығын -мен белгілеу в , және аяқтың ұзындығы а және б :

а 2 + б 2 = в 2

Теореманың екі тұжырымы да эквивалентті, бірақ екінші тұжырымы анағұрлым қарапайым, ол үшін аймақ ұғымы қажет емес. Яғни, екінші операторды аудан туралы ештеңе білмей және тік бұрышты үшбұрыштың қабырғаларының ұзындығын ғана өлшемей тексеруге болады.

Кері Пифагор теоремасы:

Дәлелдемелер

Қазіргі уақытта ғылыми теореманың 367 дәлелі жазылған. Пифагор теоремасы дәл осындай әсерлі дәлелдермен жалғыз теорема болса керек. Бұл әртүрлілікті тек геометрияға арналған теореманың негізгі мағынасымен түсіндіруге болады.

Әрине, олардың барлығын концептуалды түрде аз ғана сыныптарға бөлуге болады. Олардың ішіндегі ең атақтысы: аймақтық әдіспен дәлелдеу, аксиоматикалық және экзотикалық дәлелдеу (мысалы, дифференциалдық теңдеулерді қолдану арқылы).

Ұқсас үшбұрыштар арқылы

Алгебралық тұжырымдаудың келесі дәлелі тікелей аксиомалардан жасалған дәлелдеулердің ең қарапайымы болып табылады. Атап айтқанда, онда фигураның ауданы түсінігі қолданылмайды.

Болсын ABC тік бұрышты үшбұрыш бар C... Биіктігін бастап салайық C және оның негізін арқылы белгілеңіз H... Үшбұрыш ACH үшбұрыш тәрізді ABC екі бұрышта. Сол сияқты, үшбұрыш CBH ұқсас ABC... Белгілеуді енгізу

біз алып жатырмыз

Эквивалентті дегеніміз не?

Қосамыз, аламыз

Дәлелді бағыттар

Төменде келтірілген дәлелдер, олардың қарапайымдылығына қарамастан, қарапайым емес. Олардың барлығы ауданның қасиеттерін пайдаланады, оның дәлелі Пифагор теоремасының дәлелі қарағанда қиынырақ.

Бір-бірін толықтыратын дәлелі

1. 1-суретте көрсетілгендей төрт тең тік бұрышты үшбұрыштарды орналастырыңыз.
2. Қабырғалары бар төртбұрыш в квадрат, өйткені екі сүйір бұрыштың қосындысы 90 °, ал ашылмаған бұрышы 180 °.
3. Бүкіл фигураның ауданы, бір жағынан, қабырғалары бар квадраттың ауданы (а + b), ал екінші жағынан төрт үшбұрыш пен екі ішкі квадрат аудандарының қосындысы.

Q.E.D.

Масштабтау арқылы дәлелдемелер

Ауыстыру арқылы талғампаз дәлел

Осындай дәлелдеулердің бірінің мысалы гипотенузаға салынған квадрат пермутация арқылы аяққа салынған екі квадратқа айналдырылған оң жақтағы суретте көрсетілген.

Евклидтің дәлелі

Евклидтің дәлелі үшін сурет салу

Евклидтің дәлелі үшін иллюстрация

Евклидтің дәлелі негізінде тұрған идея келесідей: гипотенузада салынған квадрат ауданының жартысы квадраттардың аяқтарына салынған квадраттар аудандарының жартысының қосындысына, содан кейін үлкен және екі кіші квадраттардың аудандары тең болатындығын дәлелдеуге тырысайық.

Сол жақтағы суретті қарастырыңыз. Онда біз тікбұрышты үшбұрыштың қабырғаларына квадраттар салып, С тік бұрышы шыңынан АВ гипотенузасына перпендикуляр s сәулесін түсірдік, ол гипотенузада салынған АВИК квадратын сәйкесінше BHJI және HAKJ екі тіктөртбұрышқа кесіп тастады. Бұл тіктөртбұрыштардың аудандары сәйкес катеттерге салынған квадраттардың аудандарына дәл тең болады екен.

DECA квадратының ауданы AHJK тіктөртбұрышының ауданына тең екендігін дәлелдеуге тырысайық, бұл үшін көмекші бақылау қолданайық: биіктігі мен табаны осы тік төртбұрышпен бірдей болатын үшбұрыштың ауданы берілген тіктөртбұрыштың ауданының жартысына тең. Бұл үшбұрыштың ауданын табан мен биіктіктің көбейтіндісі ретінде анықтаудың салдары. Осы бақылаудан ACK үшбұрышының ауданы AHK үшбұрышының ауданына тең екендігі шығады (суретте көрсетілмеген), ол өз кезегінде AHJK тіктөртбұрышының жартысына тең болады.

Енді ACK үшбұрышының ауданы DECA квадратының жартысына тең екенін дәлелдеейік. Ол үшін тек ACK және BDA үшбұрыштарының тең екендігін дәлелдеу керек (өйткені BDA үшбұрышының ауданы жоғарыдағы қасиетке сәйкес квадрат ауданының жартысына тең). Теңдік айқын, үшбұрыштар екі жағынан тең және олардың арасындағы бұрыш. Атап айтқанда - AB \u003d AK, AD \u003d AC - қозғалыс әдісімен CAK және BAD бұрыштарының теңдігін дәлелдеу оңай: біз CAK үшбұрышын сағат тіліне қарсы 90 ° айналдырамыз, сонда қарастырылып отырған екі үшбұрыштың сәйкес қабырғалары сәйкес келетіні анық (квадрат шыңындағы бұрыш болғандықтан 90 °).

BCFG квадратының және BHJI тіктөртбұрышының аудандарының теңдігі туралы пайымдау толығымен ұқсас.

Осылайша, біз гипотенузаға салынған квадраттың ауданы - аяқтарға салынған квадраттар аудандарының қосындысы екенін дәлелдедік. Бұл дәлелдің астындағы идея жоғарыдағы анимациямен қосымша көрінеді.

Леонардо да Винчидің дәлелі

Леонардо да Винчидің дәлелі

Дәлелдеудің негізгі элементтері - симметрия және қозғалыс.

Симметриядан, кесіндіден көрініп тұрғандай, суретті қарастырайық CМен квадратты кесіп тастайды ABHДж екі бірдей бөлікке (үшбұрыштардан бастап) ABC және ДжHМен құрылысы бойынша тең). Сағат тіліне қарсы 90 градусқа айналу арқылы біз көлеңкеленген пішіндердің тең екендігін көреміз CAДжМен және GД.AB ... Енді көлеңкеленген фигураның ауданы аяқтарға салынған квадраттар аудандары мен бастапқы үшбұрыштың аудандарының жартысының қосындысына тең екендігі түсінікті. Екінші жағынан, бұл гипотенузада салынған квадраттың жартысына, бастапқы үшбұрыштың ауданына тең. Дәлелдеудің соңғы қадамы оқырманға қалдырылады.

Шексіз аз әдісімен дәлелдеу

Дифференциалдық теңдеулерді қолданудың келесі дәлелі көбінесе 20 ғасырдың бірінші жартысында өмір сүрген атақты ағылшын математигі Харди туралы айтылады.

Суретте көрсетілген сызбаға қарап, жағының өзгеруін байқау а, біз бүйірлердің шексіз кіші өсулеріне келесі қатынасты жаза аламыз бастап және а (үшбұрышқа ұқсастықты қолдану):

Шексіз аз әдісімен дәлелдеу

Айнымалыларды бөлу әдісін қолдана отырып табамыз

Екі аяғының өсуі жағдайында гипотенузаны өзгертудің жалпы көрінісі

Осы теңдеуді интегралдау және қолдану арқылы бастапқы шарттар, Біз алып жатырмыз

в 2 = а 2 + б 2 + тұрақты.

Осылайша, біз қалаған жауапқа жетеміз

в 2 = а 2 + б 2 .

Көріну оңай болғандықтан, соңғы формуладағы квадраттық тәуелділік үшбұрыштың қабырғалары мен өсінділер арасындағы сызықтық пропорционалдылыққа байланысты пайда болады, ал қосынды әр түрлі катушкалар өсінділерінен тәуелсіз үлестермен байланысты.

Неғұрлым қарапайым дәлелдеуді егер аяқтың бірінде өсу байқалмаса (бұл жағдайда аяғы) б ). Сонда біз интеграцияның тұрақтылығы үшін аламыз

Вариация және жалпылау

• Егер квадраттардың орнына аяқтарға басқа ұқсас фигуралар тұрғызатын болсақ, онда Пифагор теоремасының келесі жалпыламасы дұрыс: Тік бұрышты үшбұрышта катеттерге салынған ұқсас фигуралардың аудандарының қосындысы гипотенузада салынған фигураның ауданына тең болады. Соның ішінде:
  • Аяқтарына салынған тұрақты үшбұрыштардың аудандарының қосындысы гипотенузаға салынған тұрақты үшбұрыштың ауданына тең.
  • Аяқтарға салынған жартылай шеңберлердің аудандарының қосындысы (диаметрі сияқты) гипотенузада салынған жартылай шеңбердің ауданына тең. Бұл мысал екі шеңбердің доғаларымен шектелген және гиппократтық лун атауы бар фигуралардың қасиеттерін дәлелдеу үшін қолданылады.

Тарих

Чу-пей біздің эрамызға дейінгі 500-200 ж. Сол жақтағы жазу: биіктік пен табан ұзындықтарының квадраттарының қосындысы - гипотенуза ұзындығының квадраты.

Ежелгі қытайлық Чу-Пэй кітабында қабырғалары 3, 4 және 5 болатын Пифагор үшбұрышы туралы айтылады: Сол кітапта Башараның индус геометриясының суреттерінің біріне сәйкес келетін сурет ұсынылған.

Кантор (ең ірі неміс математик тарихшысы) 3 ² + 4 ² \u003d 5 ² теңдігі египеттіктерге б.з.д. 2300 жылдары белгілі болған деп санайды. Е., патша Әменемхат I кезінде (Берлин мұражайының 6619 папирусы бойынша). Кантордың айтуы бойынша, гарпедонапттар немесе «арқан тарту» қабырғалары 3, 4 және 5 болатын тік бұрышты үшбұрыштарды қолданып, тік бұрыш жасады.

Олардың құрылыс тәсілін көбейту өте оңай. Ұзындығы 12 м арқанды алып, оған 3 м қашықтықта түсті жолақ бойымен байлап қойыңыз. бір шетінен және екінші шетінен 4 метр. Тік бұрышы ұзындығы 3 және 4 метрлік бүйір жақтардың арасына қойылады. Егер сіз, мысалы, барлық ағаш шеберлері қолданатын ағаш квадратты қолдансаңыз, Гарпедонапттар олардың құрылыс тәсілі артық болады деп дау айтуы мүмкін. Шынында да, мысырлық суреттер мұндай құралдың қайсысында кездесетіні белгілі, мысалы, ағаш шеберханасын бейнелейтін суреттер.

Вавилондық Пифагор теоремасы туралы тағы біршама белгілі. Бір мәтінде Хаммурапи заманынан, яғни б.з.д. BC, тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасының жуықталған есебі берілген. Бұдан Месопотамияда олар, ең болмағанда, кейбір жағдайда тік бұрышты үшбұрыштармен есептеулерді қалай жүргізуге болатындығын білген деген қорытынды жасауға болады. Бір жағынан Египет пен Вавилон математикасы туралы білім деңгейіне, ал екінші жағынан, грек дереккөздерін сыни тұрғыдан зерттеуге сүйене отырып, Ван дер Ваерден (голланд математигі) келесі тұжырым жасады:

Әдебиет

Орыс тілінде

• Скопетс З.А. Геометриялық миниатюралар. М., 1990
• Еленский Ш. Пифагордың ізімен. М., 1961
• Van der Waerden B.L. Ғылымды ояту. Ежелгі Египеттің, Вавилонның және Грецияның математикасы. М., 1959
• Глазер Г.И. Мектептегі математика тарихы. М., 1982
• В.Лицман, «Пифагор теоремасы» М., 1960 ж.
  • Пифагор теоремасы туралы көптеген дәлелдермен сайт, материал В.Лицманның кітабынан алынған, көптеген сызбалар жеке графикалық файл түрінде ұсынылған.
• Пифагор теоремасы және Пифагор үштіктері Д.В.Аносовтың «Математикаға көзқарас және одан бір нәрсе» кітабынан бір тарау
• Пифагор теоремасы және оны дәлелдеу әдістері туралы Глазер, Ресей білім академиясының академигі, Мәскеу

Ағылшынша

• WolframMathWorld-тағы Пифагор теоремасы (ағыл.)
• Түйін кесу, Пифагор теоремасы бойынша бөлім, 70-ке жуық дәлелдер мен көптеген қосымша мәліметтер

Викимедиа қоры. 2010 жыл.

Пифагор теоремасы Бұл қатынасты орнататын эвклидтік геометрияның негізгі теоремаларының бірі

тік бұрышты үшбұрыштың қабырғалары арасында.

Оны грек математигі Пифагор дәлелдеді, оның есімімен аталған деп санайды.

Пифагор теоремасының геометриялық тұжырымы.

Бастапқыда теорема келесідей тұжырымдалды:

Тік бұрышты үшбұрышта гипотенузаға салынған квадраттың ауданы квадраттар аудандарының қосындысына тең,

аяққа салынған.

Пифагор теоремасының алгебралық тұжырымы.

Тік бұрышты үшбұрышта гипотенуза ұзындығының квадраты аяқтар ұзындығының квадраттарының қосындысына тең.

Яғни, үшбұрыштың гипотенузасының ұзындығын -мен белгілеу в, және аяқтың ұзындығы а және б:

Екі тұжырымдама пифагор теоремаларыэквивалентті, бірақ екінші тұжырымдау анағұрлым қарапайым, олай емес

аудан түсінігін қажет етеді. Яғни, екінші мәлімдемені аймақ туралы ештеңе білмей-ақ тексеруге болады

тік бұрышты үшбұрыштың қабырғаларының ұзындығын ғана өлшеу арқылы.

Пифагордың кері теоремасы.

Егер үшбұрыштың бір қабырғасының квадраты қалған екі қабырғасының квадраттарының қосындысына тең болса, онда

тікбұрышты үшбұрыш.

Немесе, басқаша айтқанда:

Оң сандардың кез-келген үштігі үшін а, б және восындай

аяқтары бар тік бұрышты үшбұрыш бар а және бжәне гипотенуза в.

Қабырғалы үшбұрышқа арналған Пифагор теоремасы.

Тең бүйірлі үшбұрышқа арналған Пифагор теоремасы.

Пифагор теоремасының дәлелдері.

Қазіргі уақытта ғылыми теореманың 367 дәлелі жазылған. Мүмкін теорема

Пифагор - дәлелі осындай әсерлі жалғыз теорема. Мұндай әртүрлілік

геометрия үшін теореманың негізгі мағынасымен ғана түсіндіруге болады.

Әрине, олардың барлығын концептуалды түрде аз ғана сыныптарға бөлуге болады. Олардың ішіндегі ең танымал:

дәлелдемелер аймақтық әдіс, аксиоматикалық және экзотикалық дәлелдер (мысалы,

көмегімен дифференциалдық теңдеулер).

1. Пифагор теоремасын ұқсас үшбұрыштар арқылы дәлелдеу.

Алгебралық тұжырымдаудың келесі дәлелі - салынып жатқан дәлелдеулердің ең қарапайымы

тікелей аксиомалардан. Атап айтқанда, онда фигураның ауданы түсінігі қолданылмайды.

Болсын ABC тік бұрышты үшбұрыш бар C... Биіктігін бастап салайық C және белгілеу

оның негізі H.

Үшбұрыш ACH үшбұрыш тәрізді ABC екі бұрышта. Сол сияқты, үшбұрыш CBH ұқсас ABC.

Белгімен таныстыру:

біз алып жатырмыз:

,

сәйкес келетін -

Қосу арқылы а 2 және б 2, аламыз:

немесе дәлелдеу үшін қажет болған жағдайда.

2. Пифагор теоремасын аудан әдісі бойынша дәлелдеу.

Төменде келтірілген дәлелдер, олардың қарапайымдылығына қарамастан, қарапайым емес. Олардың барлығы

пифагор теоремасының өзінен гөрі дәлелдеу қиынырақ болатын ауданның қасиеттерін қолданыңыз.

• Бір-бірін толықтыру арқылы дәлелдеу.

Төрт бірдей төртбұрышты орналастырыңыз

суретте көрсетілгендей үшбұрыш

оң жақта

Қабырғалары бар төртбұрыш в - шаршы,

өйткені екі сүйір бұрыштың қосындысы 90 °, және

кеңейтілген бұрыш - 180 °.

Бүкіл фигураның ауданы, бір жағынан,

шаршының қабырғасы бар ауданы ( a + b), ал екінші жағынан төрт үшбұрыштың аудандарының қосындысы және

Q.E.D.

3. Пифагор теоремасын шексіз аз әдісімен дәлелдеу.

​

Суретте көрсетілген сызбаны ескере отырып, және

жағының өзгеруін қарауа, Біздің қолымыздан келеді

келесі қатынасты шексіз етіп жазыңыз

кішкентай бүйірлік өсімбастап және а (ұқсастықты қолдана отырып)

үшбұрыштар):

Айнымалыларды бөлу әдісін қолдана отырып:

Екі аяғының өсуі жағдайында гипотенузаны өзгертудің жалпы көрінісі:

Осы теңдеуді интегралдап, бастапқы шарттарды қолдана отырып, біз мынаны аламыз:

Осылайша, біз қалаған жауапқа жетеміз:

Көріну оңай болғандықтан, соңғы формуладағы квадрат тәуелділік сызықтыққа байланысты пайда болады

үшбұрыштың қабырғалары мен өсінділері арасындағы пропорционалдылық, ал қосынды тәуелсізге байланысты

әр түрлі аяқтардың өсуінен үлес.

Неғұрлым қарапайым дәлелдеуге болады, егер аяқтың бірінде өсу байқалмайды деп есептесек

(бұл жағдайда, аяғы б). Сонда біз интеграцияның тұрақты мәніне ие боламыз:

Басқа теоремалар мен есептердің тағдыры ерекше ... Мысалы, математиктер мен математика әуесқойларының Пифагор теоремасына деген ерекше назарын қалай түсіндіруге болады? Неліктен олардың көпшілігі бұрыннан белгілі дәлелдемелермен қанағаттанбай, салыстырмалы түрде жиырма бес ғасырда дәлелдемелер санын бірнеше жүзге жеткізіп, өздерін тапты?
Пифагор теоремасына келетін болсақ, ерекше нәрсе оның атауынан басталады. Пифагор оны тұжырымдаған бірінші емес деп санайды. Оның дәлелдеме бергені де күмәнді болып саналады. Егер Пифагор нақты адам болса (кейбіреулер бұған тіпті күмәнданады!), Демек, ол VI-V ғасырларда өмір сүрген. Б.з.д. e. Ол өзі ештеңе жазбаған, өзін философ деп атаған, бұл оның түсінігінде «даналыққа ұмтылу», Пифагор одағын құрды, оның мүшелері музыка, гимнастика, математика, физика және астрономиямен айналысты. Шамасы, ол сондай-ақ тамаша шешен болған, оған Кротон қаласында болуымен байланысты келесі аңыз дәлел бола алады: «Пифагордың Кротондағы адамдар алдында алғашқы көрінісі жас жігіттер алдында сөйлеген сөзінен басталды, онда ол өте қатал, бірақ сонымен бірге өте қызықты болды. жастардың міндеттерін, қаладағы ақсақалдардың оларды нұсқаусыз қалдырмауын өтінгендерін атап өтті. Осы екінші сөзінде ол заңдылық пен мораль тазалығын отбасының негізі ретінде көрсетті; келесі екеуінде ол балалар мен әйелдерге жүгінді. Мұның салдары соңғы сөз, ол сән-салтанатты ерекше айыптаған, мыңдаған бағалы көйлектер Гера ғибадатханасына жеткізілді, өйткені бұдан былай бірде-бір әйел көшеде өзін көрсетуге батылы бармады ... »Осыған қарамастан, біздің заманымыздың екінші ғасырында да, яғни 700 жылдан кейін Пифагор одағының ықпалында болған және аңызға сәйкес Пифагор жасаған нәрсеге үлкен құрметпен қарайтын көрнекті ғалымдар өмір сүрді және жұмыс істеді.
Теоремаға деген қызығушылық оның математикадағы орталық орындардың бірін иемденуінен және біздің дәуірімізге дейін өмір сүрген Рим ақыны Квинт Гораций Флаккус жақсы айтқан: «Белгілі фактілерді айту қиын», - деген қиындықтарды жеңген дәлелдер авторларының қанағаттануынан да туындағаны сөзсіз. ...
Бастапқыда теорема тікбұрышты үшбұрыштың гипотенузасы мен катеттеріне салынған квадраттар аудандары арасындағы байланысты орнатты:
.
Алгебралық тұжырымдау:
Тік бұрышты үшбұрышта гипотенуза ұзындығының квадраты аяқтар ұзындығының квадраттарының қосындысына тең.
Яғни, үшбұрыштың гипотенузасының ұзындығын с, ал катет ұзындығын а және b арқылы белгілеу: a 2 + b 2 \u003d c 2. Теореманың екі тұжырымы да эквивалентті, бірақ екінші тұжырым анағұрлым қарапайым, оған аймақ ұғымы қажет емес. Яғни, екінші операторды аудан туралы ештеңе білмей және тік бұрышты үшбұрыштың қабырғаларының ұзындығын ғана өлшемей тексеруге болады.
Пифагордың кері теоремасы. Кез-келген үштік а, b және с оң сандары үшін осындай
a 2 + b 2 \u003d c 2, а және b катеттері және с гипотенузасы бар тік бұрышты үшбұрыш бар.

Дәлелдемелер

Қазіргі уақытта ғылыми теореманың 367 дәлелі жазылған. Пифагор теоремасы, бәлкім, осындай әсерлі дәлелдер саны бар жалғыз теорема. Бұл әртүрлілікті тек геометрия үшін теореманың негізгі мағынасымен түсіндіруге болады.
Әрине, олардың барлығын концептуалды түрде аз ғана сыныптарға бөлуге болады. Олардың ішіндегі ең атақтысы: аймақтық әдіспен дәлелдеу, аксиоматикалық және экзотикалық дәлелдеу (мысалы, дифференциалдық теңдеулерді қолдану).

Ұқсас үшбұрыштар арқылы

Алгебралық тұжырымдаудың келесі дәлелі тікелей аксиомалардан жасалған дәлелдеулердің ең қарапайымы болып табылады. Атап айтқанда, онда фигураның ауданы түсінігі қолданылмайды.
АВС тік бұрышы С тік бұрышты үшбұрыш болсын, оның биіктігін С-ден алып, оның табанын H. деп белгілейік. ACH үшбұрышы екі бұрыштағы ABC үшбұрышына ұқсас.
Сол сияқты, CBH үшбұрышы ABC-ге ұқсас. Белгілеуді енгізу

Біз алып жатырмыз

Эквивалентті дегеніміз не?

Қосамыз, аламыз

немесе

Дәлелді бағыттар

Төменде келтірілген дәлелдер, олардың қарапайымдылығына қарамастан, қарапайым емес. Олардың барлығы ауданның қасиеттерін пайдаланады, оны дәлелдеу Пифагор теоремасының өзіне қарағанда қиынырақ.

Бір-бірін толықтыратын дәлелі

1. Суретте көрсетілгендей төрт төрт бұрышты үшбұрышты салыңыз.
2. Екі сүйір бұрыштың қосындысы 90 °, ал кеңейтілген бұрышы 180 ° болатындықтан, қабырғалары с төртбұрыш квадрат болады.
3. Бүкіл фигураның ауданы, бір жағынан, қабырғалары бар квадраттың ауданы (а + b), ал екінші жағынан төртбұрыш пен ішкі квадрат аудандарының қосындысы.



Q.E.D.

Масштабтау арқылы дәлелдемелер

Осындай дәлелдеулердің бірінің мысалы гипотенузаға салынған квадрат пермутация арқылы аяққа салынған екі квадратқа айналдырылған оң жақтағы суретте көрсетілген.

Евклидтің дәлелі

Евклидтің дәлелі негізінде тұрған идея келесідей: гипотенузада салынған квадрат ауданының жартысы квадраттардың аяқтарына салынған аудандарының жартысының қосындысына тең, содан кейін үлкен және екі кіші квадраттардың аудандары тең болатындығын дәлелдеуге тырысайық. Сол жақтағы суретті қарастырыңыз. Онда біз тік бұрышты үшбұрыштың қабырғаларына квадраттар салып, С тік бұрышының шыңынан АВ гипотенузасына перпендикуляр s сәулесін түсірдік, ол гипотенузаға салынған АВИК квадратын сәйкесінше BHJI және HAKJ екі тіктөртбұрышқа кесіп тастады. Бұл тіктөртбұрыштардың аудандары сәйкес катеттерге салынған квадраттардың аудандарына дәл тең болады екен. DECA квадратының ауданы AHJK тіктөртбұрышының ауданына тең екендігін дәлелдеуге тырысайық. Бұл үшін біз көмекші бақылау қолданамыз: Биіктігі мен табаны осы тіктөртбұрышпен бірдей болатын үшбұрыштың ауданы берілген тіктөртбұрыштың ауданының жартысына тең. Бұл үшбұрыштың ауданын табан мен биіктіктің көбейтіндісі ретінде анықтаудың салдары. Осы бақылаудан ACK үшбұрышының ауданы AHK үшбұрышының ауданына тең екендігі шығады (суретте көрсетілмеген), ол өз кезегінде AHJK тіктөртбұрышының жартысына тең болады. Енді ACK үшбұрышының ауданы DECA квадратының жартысына тең екенін дәлелдеейік. Ол үшін тек ACK және BDA үшбұрыштарының тең екендігін дәлелдеу керек (өйткені BDA үшбұрышының ауданы жоғарыдағы қасиетке сәйкес квадрат ауданының жартысына тең). Теңдік айқын, үшбұрыштар екі жағынан тең және олардың арасындағы бұрыш. Атап айтқанда - AB \u003d AK, AD \u003d AC - қозғалыс әдісімен CAK және BAD бұрыштарының теңдігін дәлелдеу оңай: біз CAK үшбұрышын сағат тіліне қарсы 90 ° айналдырамыз, сонда қарастырылып отырған екі үшбұрыштың сәйкес қабырғалары сәйкес келетіні анық (квадрат шыңындағы бұрыш болғандықтан 90 °). BCFG квадратының және BHJI тіктөртбұрышының аудандарының теңдігі туралы пайымдау толығымен ұқсас. Осылайша, біз гипотенузаға салынған квадраттың ауданы - аяқтарға салынған квадраттар аудандарының қосындысы екенін дәлелдедік.

Леонардо да Винчидің дәлелі

Дәлелдеудің негізгі элементтері - симметрия және қозғалыс.

Сызбаны қарастырыңыз, симметриядан көріп отырғаныңыздай, CI кесіндісі ABHJ квадратын екі бірдей бөлікке кеседі (өйткені ABC және JHI үшбұрыштары құрылыста тең). Сағат тіліне қарсы 90 градусқа айналу арқылы біз CAJI және GDAB көлеңкелі фигураларының теңдігін көреміз. Енді көлеңкеленген фигураның ауданы аяқтарға салынған квадраттар аудандары мен бастапқы үшбұрыштың аудандарының жартысының қосындысына тең екендігі анық. Екінші жағынан, бұл гипотенузаға салынған квадраттың жартысына, бастапқы үшбұрыштың ауданына тең. Дәлелдеудің соңғы қадамы оқырманға қалдырылады.