Тетраэдрдің көлемі формуланың туындысы болып табылады. Тетраэдрдің көлемі. Тетраэдрдің төбелерінің координаталары белгілі болса, оның көлемін есептеу

Тетраэдр көлемінің негізгі формуласынан

қайда Скез келген бет аймағы болып табылады, және Х- ондағы түсірілген биіктіктен тетраэдрдің әртүрлі элементтері арқылы көлемді өрнектейтін бірқатар формулаларды шығаруға болады. Бұл формулаларды тетраэдр үшін береміз А Б С Д.

(2) ,

мұнда ∠ ( AD,ABC) жиегі арасындағы бұрыш ADжәне бет ұшағы ABC;

(3) ,

мұнда ∠ ( ABC,АҚШ) - беттер арасындағы бұрыш ABCЖәне АҚШ;

қайда | AB,CD| - қарама-қарсы қабырғалар арасындағы қашықтық ABЖәне CD, ∠ (AB,CD) осы жиектер арасындағы бұрыш.

(2)–(4) формулаларын түзулер мен жазықтықтар арасындағы бұрыштарды табуға болады; (4) формуласы әсіресе пайдалы, оның көмегімен қиғаш сызықтар арасындағы қашықтықты табуға болады ABЖәне CD.

(2) және (3) формулалары формулаға ұқсас С = (1/2)абкүнә Cүшбұрыштың ауданы үшін. Формула С = rpұқсас формула

қайда r- тетраэдрдің іштей сызылған сферасының радиусы, Σ - оның толық беті (барлық беттердің аудандарының қосындысы). Сондай-ақ тетраэдрдің көлемін радиуспен байланыстыратын әдемі формула бар Роның сипатталған ауқымы ( Крелл формуласы):

Мұндағы Δ - қабырғалары қарама-қарсы шеттерінің көбейтінділеріне сан жағынан тең үшбұрыштың ауданы ( AB× CD, AC× BD,AD× BC). (2) формуладан және үшбұрыштар үшін косинус теоремасынан (Сфералық тригонометрияны қараңыз) үшбұрыштар үшін Герон формуласына ұқсас формуланы шығаруға болады.

Ерікті ABC үшбұрышын және осы үшбұрыштың жазықтығында жатпайтын D нүктесін қарастырайық. Осы нүктені АВС үшбұрышының төбелеріне кесінділерімен қосыңыз. Нәтижесінде ADC , CDB , ABD үшбұрыштарын аламыз. Төрт ABC, ADC, CDB және ABD үшбұрыштарымен шектелген бет тетраэдр деп аталады және DABC деп белгіленеді.
Тетраэдрді құрайтын үшбұрыштар оның беттері деп аталады.
Бұл үшбұрыштардың қабырғалары тетраэдрдің шеттері деп аталады. Ал олардың төбелері тетраэдрдің төбелері

Тетраэдр бар 4 бет, 6 қабырғаЖәне 4 шың.
Ортақ төбесі жоқ екі жиектер қарама-қарсы деп аталады.
Көбінесе ыңғайлы болу үшін тетраэдрдің беттерінің бірі деп аталады негізі, ал қалған үш бет жағы бүйірлік беттер.

Осылайша, тетраэдр - ең қарапайым көпбұрыш, оның беттері төрт үшбұрыш.

Бірақ кез келген ерікті үшбұрышты пирамиданың тетраэдр екені де шындық. Сонда тетраэдр деп аталатыны да рас табанында үшбұрышы бар пирамида.

Тетраэдрдің биіктігітөбесін қарама-қарсы бетінде орналасқан және оған перпендикуляр нүктеге қосатын кесінді деп аталады.
Тетраэдрдің медианасытөбесін қарама-қарсы беттің медианаларының қиылысу нүктесімен қосатын кесінді деп аталады.
Бимедиандық тетраэдртетраэдрдің қиылысу жиектерінің ортаңғы нүктелерін қосатын кесінді деп аталады.

Тетраэдр негізі үшбұрышты пирамида болғандықтан, кез келген тетраэдрдің көлемін формула арқылы есептеуге болады.

• Скез келген бет аймағы болып табылады,
• Х- бұл бетке түсірілген биіктік

Тұрақты тетраэдр – тетраэдрдің ерекше түрі

Барлық беттері тең қабырғалы үшбұрыштар болатын тетраэдр деп аталады дұрыс.
Дұрыс тетраэдрдің қасиеттері:

• Барлық жиектер бірдей.
• Дұрыс тетраэдрдің барлық жазық бұрыштары 60°
• Оның әрбір төбесі үш дұрыс үшбұрыштың төбесі болғандықтан, әр төбедегі жазық бұрыштардың қосындысы 180°-қа тең.
• Дұрыс тетраэдрдің кез келген шыңы қарама-қарсы беттің ортоцентріне (үшбұрыштың биіктіктерінің қиылысу нүктесіне) проекцияланады.

Шеттері а-ға тең ABCD тұрақты тетраэдрін алайық. DH - оның биіктігі.
Қосымша конструкциялар жасайық BM - ABC үшбұрышының биіктігі және DM - ACD үшбұрышының биіктігі .
BM биіктігі BM-ге тең және тең
BDM үшбұрышын қарастырайық, мұнда тетраэдрдің биіктігі болып табылатын DH де осы үшбұрыштың биіктігі болып табылады.
МБ қабырғасына түсірілген үшбұрыштың биіктігін формула арқылы табуға болады

, қайда
BM=, DM=, BD=a,
p=1/2 (BM+BD+DM)=
Бұл мәндерді биіктік формуласына ауыстырыңыз. Алу


1/2а шығарайық. Алу

Квадраттардың айырымы формуласын қолданыңыз

Кейбір кішігірім өзгерістерден кейін біз аламыз


Кез келген тетраэдрдің көлемін формула арқылы есептеуге болады
,
қайда ,

Осы мәндерді ауыстырсақ, біз аламыз

Осылайша дұрыс тетраэдр үшін көлем формуласы болады

қайда а– тетраэдр шеті

Тетраэдрдің төбелерінің координаталары белгілі болса, оның көлемін есептеу

Тетраэдр төбелерінің координаталары берілсін

, , төбесінен векторларды салыңыз.
Осы векторлардың әрқайсысының координаталарын табу үшін соңғы координатадан сәйкес бастапқы координатаны алып тастаңыз. Алу

Ескерту. Бұл геометрия есептерімен сабақтың бір бөлігі (тұтас геометрия бөлімі, пирамида туралы есептер). Егер сізге геометрияда жоқ мәселені шешу қажет болса, бұл туралы форумда жазыңыз. Тапсырмаларда «квадрат түбір» белгісінің орнына sqrt () функциясы пайдаланылады, онда sqrt - квадрат түбір белгісі, ал радикалды өрнек жақшада көрсетілген..Қарапайым радикалды өрнектер үшін «√» белгісін қолдануға болады. дұрыс тетраэдрбарлық беттері тең қабырғалы үшбұрыштар болатын тұрақты үшбұрышты пирамида.

Дұрыс тетраэдр үшін шеттеріндегі барлық екібұрышты бұрыштар және төбелеріндегі барлық үшбұрыштар тең.

Тетраэдрдің 4 беті, 4 төбесі және 6 қыры бар.

Дұрыс тетраэдрдің негізгі формулалары кестеде келтірілген.

Қайда:
S - дұрыс тетраэдрдің бетінің ауданы
V - көлем
h - негізге дейін төмендетілген биіктік
r – тетраэдрге іштей сызылған шеңбердің радиусы
R – шектелген шеңбердің радиусы
a - қабырғаның ұзындығы

Практикалық мысалдар

Тапсырма.
Әр шеті √3-ке тең үшбұрышты пирамиданың бетінің ауданын табыңыз

Шешім.
Үшбұрышты пирамиданың барлық шеттері тең болғандықтан, ол дұрыс. Дұрыс үшбұрышты пирамиданың бетінің ауданы S = a 2 √3.
Содан кейін
S = 3√3

Жауап: 3√3

Тапсырма.
Дұрыс үшбұрышты пирамиданың барлық шеттері 4 см.Пирамиданың көлемін табыңыз

Шешім.
Тұрақты үшбұрышты пирамидада пирамиданың биіктігі табанның центріне проекцияланатындықтан, ол сонымен қатар шеңбердің центрі болып табылады, онда

AO = R = √3 / 3a
AO = 4√3 / 3

Осылайша OM пирамидасының биіктігін AOM тікбұрышты үшбұрышынан табуға болады

AO 2 + OM 2 = AM 2
OM 2 = AM 2 - AO 2
OM 2 = 4 2 - (4√3 / 3) 2
OM 2 = 16 - 16/3
OM = √(32/3)
OM = 4√2 / √3

Пирамиданың көлемі V = 1/3 Sh формуласы бойынша табылады
Бұл жағдайда негіздің ауданын S \u003d √3/4 a 2 формуласы бойынша табамыз.

V = 1/3 (√3 / 4 * 16) (4√2 / √3)
V=16√2/3

Жауап: 16√2/3см

Тетраэдрдің анықтамасы

Тетраэдр- ең қарапайым көп қырлы дене, оның беттері мен табаны үшбұрыштар.

Онлайн калькулятор

Тетраэдрдің төрт беті бар, олардың әрқайсысы үш жақтан тұрады. Тетраэдрдің әрқайсысының үш қыры бар төрт төбесі бар.

Бұл дене бірнеше түрге бөлінеді. Төменде олардың классификациясы берілген.

1. Изоэдрлік тетраэдр- оның барлық беттері бірдей үшбұрыштар;
2. Ортоцентрлік тетраэдр- әр шыңнан қарама-қарсы бетке түсірілген барлық биіктіктердің ұзындығы бірдей;
3. Тік бұрышты тетраэдр- бір шыңнан шығатын қырлар бір-бірімен 90 градус бұрыш жасайды;
4. жақтау;
5. Пропорционалды;
6. орталықтандырылған.

Тетраэдр көлемінің формулалары

Берілген дененің көлемін бірнеше жолмен табуға болады. Оларды толығырақ талдап көрейік.

Векторлардың аралас көбейтіндісі арқылы

Егер тетраэдр координаталары бар үш векторға тұрғызылса:

A ⃗ = (a x , a y , a z) \vec(a)=(a_x, a_y, a_z)а= (а x​ , а ж​ , а z​ )
b ⃗ = (b x , b y , b z) \vec(b)=(b_x, b_y, b_z)б= (б x​ , б ж​ , б z​ )
c ⃗ = (c x , c y , c z) \vec(c)=(c_x, c_y, c_z)в= (в x​ , в ж​ , в z​ ) ,

онда бұл тетраэдрдің көлемі осы векторлардың аралас көбейтіндісі, яғни мұндай анықтауыш болады:

Детерминант арқылы тетраэдр көлемі

V = 1 6 ⋅ ∣ axayazbxbybzcxcycz ∣ V=\frac(1)(6)\cdot\begin(vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\x \end )V =6 1 ​ ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ а x​ б x​ в x​ ​ а ж​ б ж​ в ж​ ​ а z​ б z​ в z​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​

1-тапсырма

Октаэдрдің төрт төбесінің координаталары белгілі. A (1 , 4 , 9) A(1,4,9) A (1 , 4 , 9 ), B(8 , 7 , 3) ​​B(8,7,3) B(8, 7, 3), C (1 , 2 , 3) ​​C(1,2,3) C (1 , 2 , 3 ), D(7, 12, 1) D(7,12,1) D (7 , 1 2 , 1 ). Оның көлемін табыңыз.

Шешім

A (1 , 4 , 9) A(1,4,9) A (1 , 4 , 9 )
B(8 , 7 , 3) ​​B(8,7,3) B(8, 7, 3)
C (1 , 2 , 3) ​​C(1,2,3) C (1 , 2 , 3 )
D(7, 12, 1) D(7,12,1) D (7 , 1 2 , 1 )

Бірінші қадам - ​​берілген дене тұрғызылған векторлардың координаталарын анықтау.
Ол үшін екі нүктенің сәйкес координаталарын шегеру арқылы вектордың әрбір координатасын табу керек. Мысалы, векторлық координаталар A B → \overrightarrow(AB) А Б, яғни нүктеден бағытталған вектор А А АНүктеге B B Б, бұл нүктелердің сәйкес координаталарының айырмашылықтары B B БЖәне А А А:

AB → = (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9) = (7 , 3 , − 6) \overrightarrow(AB)=(8-1, 7-4, 3-9)=(7, 3, -6)А Б= (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9 ) = (7 , 3 , − 6 )

AC → = (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9) = (0 , − 2 , − 6) \overrightarrow(AC)=(1-1, 2-4, 3-9)=(0, - 2, -6)А С= (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9 ) = (0 , − 2 , − 6 )
AD → = (7 − 1 , 12 − 4 , 1 − 9) = (6 , 8 , − 8) \overrightarrow(AD)=(7-1, 12-4, 1-9)=(6, 8, -8)А Д= (7 − 1 , 1 2 − 4 , 1 − 9 ) = (6 , 8 , − 8 )

Енді біз осы векторлардың аралас көбейтіндісін табамыз, ол үшін үшінші ретті анықтауыш құраймыз. A B → = a ⃗ \overrighterrow(AB)=\vec(a)А Б= а, A C → = b ⃗ \overrightarrow(AC)=\vec(b)А С= б, A D → = c ⃗ \overrightarrow(AD)=\vec(c)А Д= в.

∣ axayazbxbybzcxcycz ∣ = ∣ 7 3 − 6 0 − 2 − 6 6 8 − 8 ∣ = 7 ⋅ (− 2) ⋅ (− 8) + 3 ⋅ (− 6) ⋅ 6 − ⅋ ⋅ 6 (− 6) ⋅ (− 2) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8) = 112 − 108 − 0 − 72 + 336 + 0 = 268 \begin(vmat) &xri a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end(vmatrix)= \begin(vmatrix) 7 & 3 & -6 \\ 0 & -2 & -6 \\ 6 & 8 & -8 \\ \end(vmatrix)=7\cdot(-2)\cdot(-8) + 3\cdot(-6)\cdot6 + (-6)\cdot0\cdot8 - (-6)\cdot (-2)\cdot6 - 7\cdot(-6)\cdot8 - 3\cdot0\cdot(-8) = 112 - 108 - 0 - 72 + 336 + 0 = 268∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ а x​ б x​ вx​ ​ аж​ бж​ вж​ ​ аz​ бz​ вz​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ 7 0 6 ​ 3 − 2 8 ​ − 6 − 6 − 8 ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = 7 ⋅ (− 2 ) ⋅ (− 8 ) + 3 ⋅ (− 6 ) ⋅ 6 + (− 6 ) ⋅ 0 ⋅ 8 − (− 6 ) ⋅ (− 2 ) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6 ) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8 ) = 1 1 2 − 1 0 8 − 0 − 7 2 + 3 3 6 + 0 = 2 6 8

Яғни, тетраэдрдің көлемі:

$В=61\cdot |$

Жауап

$44.8\text{см3 .}$

Бүйіріндегі изоэдрлік тетраэдр көлемінің формуласы

Бұл формула изоэдрлік тетраэдрдің, яғни барлық беттері бірдей дұрыс үшбұрыштар болатын тетраэдрдің көлемін есептеу үшін ғана жарамды.

Изоэдрлік тетраэдрдің көлемі

$В=12\sqrt{2\cdot {а}^3}$

а аа- тетраэдр жиегінің ұзындығы.

2-тапсырма

Тетраэдрдің көлемін табыңыз, егер оның қабырғасы тең болса $11\text{см.}$

Шешім

$а=11$

Ауыстыру а аатетраэдр көлемінің формуласына:

$В=12\sqrt{2\cdot {а}^{3=12\sqrt{2\cdot 11^{3\approx 156.8\text{см3}}}}}$

Жауап

$156.8\text{см3 .}$