Suformuluokite kvadratinės lygties šaknies apibrėžimą. Kvadratinės šaknys. Nepilniųjų kvadratinių lygčių sprendimas

Tiesiog. Pagal formules ir aiškias, paprastas taisykles. Pirmajame etape

reikia duotą lygtį redukuoti iki standartinės formos, t.y. Žiūrėti:

Jei lygtis jums jau pateikta tokia forma, jums nereikia atlikti pirmojo etapo. Svarbiausia yra teisinga

nustatyti visus koeficientus, a, b ir c.

Kvadratinės lygties šaknų radimo formulė.

Išraiška po šaknies ženklu vadinama diskriminuojantis ... Kaip matote, norėdami rasti x, mes

naudoti tik a, b ir c. Tie. koeficientai nuo kvadratinė lygtis... Tiesiog atsargiai pakeiskite

prasmė a, b ir cį šią formulę ir suskaičiuokite. Pakeiskite su pagal jųženklai!

Pavyzdžiui, lygtyje:

a =1; b = 3; c = -4.

Pakeiskite reikšmes ir parašykite:

Pavyzdys praktiškai išspręstas:

Tai yra atsakymas.

Dažniausios klaidos yra supainiojimas su reikšmės ženklais. a, b ir su... Atvirkščiai, su pakeitimu

neigiamos reikšmės šaknų skaičiavimo formulėje. Čia išsaugomas išsamus formulės žymėjimas

su konkrečiais skaičiais. Jei turite skaičiavimo problemų, padarykite tai!

Tarkime, kad turime išspręsti šį pavyzdį:

čia a = -6; b = -5; c = -1

Viską dažome detaliai, kruopščiai, nieko nepraleisdami su visais ženklais ir skliausteliais:

Kvadratinės lygtys dažnai atrodo šiek tiek kitaip. Pavyzdžiui, taip:

Kol kas atkreipkite dėmesį į geriausią praktiką, kuri drastiškai sumažins klaidų skaičių.

Pirmas priėmimas... Prieš tai netingėkite kvadratinės lygties sprendimas suteikite jį į standartinę formą.

Ką tai reiškia?

Tarkime, po kai kurių transformacijų gavote tokią lygtį:

Neskubėkite rašyti šaknies formulės! Beveik neabejotinai sumaišysite šansus. a, b ir c.

Teisingai sukurkite pavyzdį. Pirma, X yra kvadratas, tada be kvadrato, tada laisvas terminas. Kaip šitas:

Atsikratykite minuso. Kaip? Turite padauginti visą lygtį iš -1. Mes gauname:

Bet dabar galite drąsiai užsirašyti šaknų formulę, apskaičiuoti diskriminantą ir užbaigti pavyzdį.

Pasidaryk pats. Turėtumėte turėti šaknis 2 ir -1.

Priėmimas antras. Patikrinkite šaknis! Autorius Vietos teorema.

Išspręsti pateiktas kvadratines lygtis, t.y. jei koeficientas

x 2 + bx + c = 0,

tadax 1 x 2 = c

x 1 + x 2 = -b

Pilnai kvadratinei lygčiai, kurioje a ≠ 1:

x 2+bx +c=0,

padalykite visą lygtį iš a:

→ →

kur x 1 ir x 2 – lygties šaknys.

Trečias priėmimas... Jei jūsų lygtyje yra trupmeninių koeficientų, atsikratykite trupmenų! Padauginti

bendro vardiklio lygtis.

Išvestis. Praktinis patarimas:

1. Prieš spręsdami kvadratinę lygtį perkeliame į standartinę formą, pastatome teisingai.

2. Jei kvadrate prieš x yra neigiamas koeficientas, jį pašaliname padaugindami bendrą

lygtys -1.

3. Jei koeficientai yra trupmeniniai, pašaliname trupmenas, padauginę visą lygtį iš atitinkamos

veiksnys.

4. Jei x kvadratas yra grynas, koeficientas prie jo lygus vienetui, sprendimą galima nesunkiai patikrinti pagal

2 vaizdo pamoka: Kvadratinių lygčių sprendimas

Paskaita: Kvadratinės lygtys

Lygtis

Lygtis- tai tam tikra lygybė, kurios išraiškose yra kintamasis.

Išspręskite lygtį- reiškia rasti tokį skaičių, o ne kintamąjį, kuris jį atves į teisingą lygybę.

Lygtyje gali būti vienas sprendinys, keli sprendiniai arba sprendinių visai nėra.

Norėdami išspręsti bet kurią lygtį, ją reikia kiek įmanoma supaprastinti iki formos:

Linijinis: a * x = b;

Kvadratas: a * x 2 + b * x + c = 0.

Tai yra, prieš sprendžiant bet kurią lygtį reikia konvertuoti į standartinę formą.

Bet kurią lygtį galima išspręsti dviem būdais: analitiniu ir grafiniu.

Grafike lygties sprendiniu laikomi taškai, kuriuose grafikas kerta OX ašį.

Kvadratinės lygtys

Lygtį galima pavadinti kvadratu, jei supaprastinta ji turi tokią formą:

a * x 2 + b * x + c = 0.

Kuriame a, b, c yra lygties koeficientai, kurie skiriasi nuo nulio. A "NS"- lygties šaknis. Manoma, kad kvadratinė lygtis turi dvi šaknis arba gali neturėti sprendinio. Gautos šaknys gali būti vienodos.

"a"- koeficientas, esantis prieš kvadratinę šaknį.

"b"- stovi prieš nežinomybę pirmame laipsnyje.

"su" yra lygties laisvasis narys.

Jei, pavyzdžiui, turime formos lygtį:

2x 2 -5x + 3 = 0

Jame "2" yra koeficientas, esantis aukščiausiame lygties naryje, "-5" yra antrasis koeficientas, o "3" yra laisvasis narys.

Kvadratinės lygties sprendimas

Yra daug būdų, kaip išspręsti kvadratinę lygtį. Tačiau mokykliniame matematikos kurse sprendimas nagrinėjamas pagal Vietos teoremą, taip pat naudojant diskriminantą.

Diskriminuojantis sprendimas:

Sprendžiant šiuo metodu, būtina apskaičiuoti diskriminantą pagal formulę:

Jei atlikdami skaičiavimus gaunate, kad diskriminantas yra mažesnis už nulį, tai reiškia, kad ši lygtis neturi sprendinių.

Jei diskriminantas lygus nuliui, tai lygtis turi du vienodus sprendinius. Šiuo atveju daugianarį galima sutraukti sutrumpinta daugybos formule iki sumos arba skirtumo kvadrato. Tada išspręskite ją kaip tiesinę lygtį. Arba naudokite formulę:

Jei diskriminantas yra didesnis nei nulis, turite naudoti šį metodą:

Vietos teorema

Jei lygtis sumažinama, tai yra, koeficientas prie pagrindinio termino yra lygus vienetui, galite naudoti Vietos teorema.

Taigi, tarkime, kad lygtis yra tokia:

Lygties šaknys randamos taip:

Nebaigta kvadratinė lygtis

Yra keletas variantų, kaip gauti neišsamią kvadratinę lygtį, kurios forma priklauso nuo koeficientų prieinamumo.

1. Jei antrasis ir trečiasis koeficientai lygūs nuliui (b = 0, c = 0), tada kvadratinė lygtis bus tokia:

Ši lygtis turės unikalų sprendimą. Lygybė bus teisinga tik tuo atveju, jei lygties sprendimas yra nulis.

Primename, kad visa kvadratinė lygtis yra tokios formos lygtis:

Išspręsti visas kvadratines lygtis yra šiek tiek sunkiau (tik šiek tiek) nei pateiktas.

Prisiminti, bet kurią kvadratinę lygtį galima išspręsti naudojant diskriminantą!

Net nepilnas.

Likę metodai padės tai padaryti greičiau, tačiau jei kyla problemų dėl kvadratinių lygčių, pirmiausia išmokite sprendimą naudodami diskriminantą.

1. Kvadratinių lygčių sprendimas naudojant diskriminantą.

Spręsti kvadratines lygtis tokiu būdu yra labai paprasta, svarbiausia atsiminti veiksmų seką ir porą formulių.

Jei, tada lygtis turi 2 šaknis. Ypatingą dėmesį reikia skirti 2 veiksmui.

Diskriminantas D nurodo šaknų skaičių lygtyje.

• Jei, tada žingsnio formulė bus sumažinta iki. Taigi, lygtis turės visą šaknį.
• Jei, tada žingsnyje negalėsime išskirti šaknies iš diskriminanto. Tai rodo, kad lygtis neturi šaknų.

Pereikime prie kvadratinės lygties geometrinės reikšmės.

Funkcijos grafikas yra parabolė:

Grįžkime prie savo lygčių ir pažvelkime į keletą pavyzdžių.

9 pavyzdys

Išspręskite lygtį

1 žingsnis praleisti.

2 žingsnis.

Mes randame diskriminantą:

Taigi lygtis turi dvi šaknis.

3 veiksmas.

Atsakymas:

10 pavyzdys

Išspręskite lygtį

Todėl lygtis pateikiama standartine forma 1 žingsnis praleisti.

2 žingsnis.

Mes randame diskriminantą:

Taigi lygtis turi vieną šaknį.

Atsakymas:

11 pavyzdys

Išspręskite lygtį

Todėl lygtis pateikiama standartine forma 1 žingsnis praleisti.

2 žingsnis.

Mes randame diskriminantą:

Todėl mes negalėsime išgauti šaknies iš diskriminanto. Lygties šaknų nėra.

Dabar mes žinome, kaip teisingai užrašyti tokius atsakymus.

Atsakymas: Jokių šaknų

2. Kvadratinių lygčių sprendimas naudojant Vietos teoremą

Jei prisimenate, yra lygčių, kurios vadinamos redukuotomis (kai koeficientas a yra lygus), tipas:

Tokias lygtis labai lengva išspręsti naudojant Vietos teoremą:

Šaknų suma duota kvadratinė lygtis yra, o šaknų sandauga yra.

Jums tereikia pasirinkti skaičių porą, kurios sandauga yra lygi laisvajam lygties nariui, o suma yra antrasis koeficientas, paimtas su priešingu ženklu.

12 pavyzdys

Išspręskite lygtį

Ši lygtis tinkama spręsti naudojant Vietos teoremą, nes ...

Lygties šaknų suma lygi, t.y. gauname pirmąją lygtį:

Ir produktas yra lygus:

Sudarykime ir išspręskime sistemą:

• ir. Suma yra lygi;
• ir. Suma yra lygi;
• ir. Suma yra lygi.

ir yra sistemos sprendimas:

Atsakymas: ; .

13 pavyzdys

Išspręskite lygtį

Atsakymas:

14 pavyzdys

Išspręskite lygtį

Lygtis sumažinama, o tai reiškia:

Atsakymas:

Kvadratinės LYGTYBĖS. VIDUTINIS LYGIS

Kas yra kvadratinė lygtis?

Kitaip tariant, kvadratinė lygtis yra formos lygtis, kur yra nežinomasis, yra keletas skaičių ir.

Numeris vadinamas vyriausiu arba pirmieji šansai kvadratinė lygtis, - antrasis koeficientas, a - nemokamas narys.

Nes jei, lygtis iš karto taps tiesinė, nes išnykti.

Be to, ir gali būti lygus nuliui. Šioje kėdėje lygtis vadinama Nebaigtas.

Jei visi terminai yra vietoje, tai yra lygtis - užbaigti.

Nepilniųjų kvadratinių lygčių sprendimo būdai

Pirmiausia panagrinėkime nepilnų kvadratinių lygčių sprendimo būdus – jie paprastesni.

Galima išskirti šiuos lygčių tipus:

I., šioje lygtyje koeficientas ir pertrauka yra lygūs.

II. , šioje lygtyje koeficientas yra.

III. , šioje lygtyje laisvasis terminas yra.

Dabar pažvelkime į kiekvieno iš šių potipių sprendimą.

Akivaizdu, kad ši lygtis visada turi tik vieną šaknį:

Skaičius kvadratu negali būti neigiamas, nes padauginus du neigiamus arba du teigiamus skaičius, rezultatas visada bus teigiamas. Štai kodėl:

jei, tai lygtis neturi sprendinių;

jei, mes turime dvi šaknis

Šių formulių nereikia įsiminti. Svarbiausia atsiminti, kad jo negali būti mažiau.

Kvadratinių lygčių sprendimo pavyzdžiai

15 pavyzdys

Atsakymas:

Niekada nepamirškite neigiamų šaknų!

16 pavyzdys

Skaičiaus kvadratas negali būti neigiamas, o tai reiškia, kad lygtis

jokių šaknų.

Norėdami trumpai užfiksuoti, kad problema neturi sprendimų, naudojame tuščio rinkinio piktogramą.

Atsakymas:

17 pavyzdys

Taigi, ši lygtis turi dvi šaknis: ir.

Atsakymas:

Iš skliaustų ištraukite bendrą veiksnį:

Produktas yra lygus nuliui, jei bent vienas iš veiksnių yra lygus nuliui. Tai reiškia, kad lygtis turi sprendimą, kai:

Taigi, ši kvadratinė lygtis turi dvi šaknis: ir.

Pavyzdys:

Išspręskite lygtį.

Sprendimas:

Padalinkite kairę lygties pusę ir raskite šaknis:

Atsakymas:

Piltinių kvadratinių lygčių sprendimo būdai

1. Diskriminantas

Tokiu būdu kvadratines lygtis išspręsti nesunku, svarbiausia atsiminti veiksmų seką ir porą formulių. Atminkite, kad bet kurią kvadratinę lygtį galima išspręsti naudojant diskriminantą! Net nepilnas.

Ar pastebėjote diskriminanto šaknį šaknies formulėje?

Tačiau diskriminantas gali būti neigiamas.

Ką daryti?

Būtina atkreipti ypatingą dėmesį į 2 veiksmą. Diskriminantas mums nurodo lygties šaknų skaičių.

• Jei, tada lygtis turi šaknį:
• Jei, tada lygtis turi tą pačią šaknį, bet iš tikrųjų vieną šaknį:

  Tokios šaknys vadinamos dvigubomis šaknimis.

• Jei, tada diskriminanto šaknis nėra išgaunama. Tai rodo, kad lygtis neturi šaknų.

Kodėl yra skirtingas šaknų skaičius?

Pereikime prie kvadratinės lygties geometrinės reikšmės. Funkcijos grafikas yra parabolė:

Ypatingu atveju, kuris yra kvadratinė lygtis,.

O tai reiškia, kad kvadratinės lygties šaknys yra susikirtimo su abscisių ašimi (ašiu) taškai.

Parabolė gali išvis nesikirsti su ašimi arba gali susikirsti viename (kai parabolės viršūnė yra ant ašies) arba dviejuose taškuose.

Be to, koeficientas yra atsakingas už parabolės šakų kryptį. Jei, tada parabolės šakos nukreiptos aukštyn, o jei - tada žemyn.

4 kvadratinių lygčių sprendimo pavyzdžiai

18 pavyzdys

Atsakymas:

19 pavyzdys

Atsakymas:.

20 pavyzdys

Atsakymas:

21 pavyzdys

Taigi sprendimų nėra.

Atsakymas:.

2. Vietos teorema

Naudoti Vietos teoremą labai paprasta.

Tau tik reikia paimti tokia skaičių pora, kurios sandauga lygi laisvajam lygties nariui, o suma yra antrasis koeficientas, paimtas su priešingu ženklu.

Svarbu atsiminti, kad Vietos teorema gali būti taikoma tik sumažintos kvadratinės lygtys ().

Pažvelkime į kelis pavyzdžius:

22 pavyzdys

Išspręskite lygtį.

Sprendimas:

Ši lygtis tinkama spręsti naudojant Vietos teoremą, nes ... Kiti koeficientai:; ...

Lygties šaknų suma yra tokia:

Ir produktas yra lygus:

Išsirinkime tokias skaičių poras, kurių sandauga lygi, ir patikrinkime, ar jų suma lygi:

• ir. Suma yra lygi;
• ir. Suma yra lygi;
• ir. Suma yra lygi.

ir yra sistemos sprendimas:

Taigi ir yra mūsų lygties šaknys.

Atsakymas: ; ...

23 pavyzdys

Sprendimas:

Išsirinkime tokias skaičių poras, kurios pateikia sandaugą, ir patikrinkime, ar jų suma lygi:

ir: pridėti.

ir: pridėti. Norint gauti, tereikia pakeisti tariamų šaknų požymius: ir, galų gale, produktą.

Atsakymas:

24 pavyzdys

Sprendimas:

Laisvasis lygties narys yra neigiamas, o tai reiškia, kad šaknų sandauga yra neigiamas skaičius. Tai įmanoma tik tuo atveju, jei viena iš šaknų yra neigiama, o kita - teigiama. Todėl šaknų suma yra jų modulių skirtumai.

Parinkime tokias skaičių poras, kurios pateikia sandaugą ir kurių skirtumas lygus:

ir: jų skirtumas lygus – netinka;

ir: - netinka;

ir: - netinka;

ir: - tinka. Belieka tik prisiminti, kad viena iš šaknų yra neigiama. Kadangi jų suma turi būti lygi, tada mažiausios absoliučios vertės šaknis turi būti neigiama:. Mes tikriname:

Atsakymas:

25 pavyzdys

Išspręskite lygtį.

Sprendimas:

Lygtis sumažinama, o tai reiškia:

Laisvasis terminas yra neigiamas, o tai reiškia, kad šaknų sandauga yra neigiama. Ir tai įmanoma tik tada, kai viena lygties šaknis yra neigiama, o kita – teigiama.

Pažymime tokias skaičių poras, kurių sandauga yra lygi, ir tada nustatykime, kurios šaknys turi turėti neigiamą ženklą:

Akivaizdu, kad tik šaknys tinka pirmajai sąlygai:

Atsakymas:

26 pavyzdys

Išspręskite lygtį.

Sprendimas:

Lygtis sumažinama, o tai reiškia:

Šaknų suma yra neigiama, o tai reiškia, kad bent viena iš šaknų yra neigiama. Bet kadangi jų produktas yra teigiamas, tada abi šaknys yra su minuso ženklu.

Parinkime tokias skaičių poras, kurių sandauga lygi:

Akivaizdu, kad šaknys yra skaičiai ir.

Atsakymas:

Sutikite, labai patogu sugalvoti šaknis žodžiu, o ne skaičiuoti šį bjaurų diskriminantą.

Stenkitės kuo dažniau naudoti Vietos teoremą!

Tačiau Vietos teorema reikalinga norint palengvinti ir pagreitinti šaknų radimą.

Kad jį naudoti būtų pelninga, turite automatizuoti veiksmus. Ir tam nuspręskite dar penkis pavyzdžius.

Tačiau neapgaudinėkite: jūs negalite naudoti diskriminanto! Tik Vietos teorema!

5 Vietos teoremos pavyzdžiai savarankiškam darbui

27 pavyzdys

1 užduotis. ((x) ^ (2)) - 8x + 12 = 0

Pagal Vietos teoremą:

Kaip įprasta, atranką pradedame nuo kūrinio:

Netinka, nes kiekis;

: suma yra tokia, kokios jums reikia.

Atsakymas: ; ...

28 pavyzdys

2 užduotis.

Ir vėl mūsų mėgstamiausia Vietos teorema: suma turėtų pasirodyti, bet sandauga lygi.

Bet kadangi turėtų būti ne, o, keičiame šaknų ženklus: ir (sumoje).

Atsakymas: ; ...

29 pavyzdys

3 užduotis.

Hmm... Kur tai yra?

Būtina visas sąlygas perkelti į vieną dalį:

Šaknų suma lygi sandaugai.

Taigi sustok! Lygtis nepateikta.

Tačiau Vietos teorema taikoma tik aukščiau pateiktose lygtyse.

Taigi pirmiausia turite pateikti lygtį.

Jei negalite to iškelti, atsisakykite šios įmonės ir išspręskite ją kitu būdu (pavyzdžiui, per diskriminantą).

Leiskite jums priminti, kad pateikti kvadratinę lygtį reiškia pirminį koeficientą padaryti lygų:

Tada šaknų suma lygi, o sandauga.

Čia lengva pasiimti: juk – pirminis skaičius (atsiprašau už tautologiją).

Atsakymas: ; ...

30 pavyzdys

4 užduotis.

Laisvas terminas yra neigiamas.

Kuo jis ypatingas?

Ir tai, kad šaknys bus skirtingų ženklų.

O dabar atrankos metu tikriname ne šaknų sumą, o jų modulių skirtumą: šis skirtumas lygus, bet sandauga.

Taigi, šaknys yra lygios ir, bet viena iš jų yra su minusu.

Vietos teorema sako, kad šaknų suma yra lygi antrajam koeficientui su priešingu ženklu, ty.

Tai reiškia, kad mažesnė šaknis turės minusą: ir, kadangi.

Atsakymas: ; ...

31 pavyzdys

5 užduotis.

Ką pirmiausia reikia padaryti?

Teisingai, pateikite lygtį:

Vėlgi: pasirenkame skaičiaus veiksnius, o jų skirtumas turi būti lygus:

Šaknys yra lygios ir, bet viena iš jų yra su minusu. Kuris? Jų suma turi būti lygi, o tai reiškia, kad su minusu bus didesnė šaknis.

Atsakymas: ; ...

Apibendrinti

1. Vietos teorema naudojama tik duotose kvadratinėse lygtyse.
2. Naudojant Vietos teoremą, galima rasti šaknis pagal atranką, žodžiu.
3. Jei lygtis nepateikta arba nėra nė vienos tinkamos laisvųjų terminų daugiklių poros, tai sveikų šaknų nėra, reikia spręsti kitu būdu (pavyzdžiui, per diskriminantą).

3. Viso kvadrato parinkimo būdas

Jei visi terminai, turintys nežinomąjį, yra pavaizduoti terminų forma iš sutrumpintų daugybos formulių - sumos arba skirtumo kvadratu, tada, pakeitus kintamuosius, lygtis gali būti pavaizduota kaip nepilna kvadratinė tokio tipo lygtis.

Pavyzdžiui:

32 pavyzdys

Išspręskite lygtį:.

Sprendimas:

Atsakymas:

33 pavyzdys

Išspręskite lygtį:.

Sprendimas:

Atsakymas:

Apskritai transformacija atrodys taip:

Tai reiškia:.

Ar tai nieko neatrodo?

Tai yra diskriminantas! Teisingai, mes gavome diskriminuojančios formulę.

Kvadratinės LYGTYBĖS. TRUMPAI APIE PAGRINDINĮ

Kvadratinė lygtis yra formos lygtis, kur yra nežinomasis, yra kvadratinės lygties koeficientai, yra laisvasis narys.

Pilna kvadratinė lygtis- lygtis, kurioje koeficientai nėra lygūs nuliui.

Sumažinta kvadratinė lygtis- lygtis, kurioje koeficientas, tai yra:.

Nebaigta kvadratinė lygtis- lygtis, kurioje koeficientas ir (arba) laisvasis narys c yra lygūs nuliui:

• jei koeficientas, lygtis turi tokią formą:
• jei laisvasis terminas, lygtis turi tokią formą:
• jei ir, lygtis turi tokią formą:.

1. Nepilniųjų kvadratinių lygčių sprendimo algoritmas

1.1. Nebaigta kvadratinė formos lygtis, kur:

1) Išreikškime nežinomybę:,

2) Patikrinkite išraiškos ženklą:

• jei, tada lygtis neturi sprendinių,
• jei, tai lygtis turi dvi šaknis.

1.2. Nebaigta kvadratinė formos lygtis, kur:

1) Iš skliausteliuose ištraukite bendrą koeficientą:,

2) sandauga lygi nuliui, jei bent vienas iš veiksnių yra lygus nuliui. Todėl lygtis turi dvi šaknis:

1.3. Nebaigta kvadratinė formos lygtis, kur:

Ši lygtis visada turi tik vieną šaknį:.

2. Algoritmas sprendžiant pilnąsias kvadratines lygtis formos kur

2.1. Sprendimas naudojant diskriminantą

1) Sumažinkime lygtį į standartinę formą:,

2) Diskriminantą apskaičiuojame pagal formulę:, kuri nurodo lygties šaknų skaičių:

3) Raskite lygties šaknis:

• jei, tada lygtis turi šaknis, kurios randamos pagal formulę:
• jei, tada lygtis turi šaknį, kuri randama pagal formulę:
• jei, tai lygtis neturi šaknų.

2.2. Sprendimas naudojant Vietos teoremą

Sumažintos kvadratinės lygties (formos lygčių, kur) šaknų suma lygi, o šaknų sandauga lygi, t.y. , a.

2.3. Pilno kvadrato sprendimas

Kvadratinės lygties šaknų formulės. Nagrinėjami realių, daugialypių ir sudėtingų šaknų atvejai. Kvadratinės trinario koeficientas. Geometrinė interpretacija. Šaknų nustatymo ir faktoringo pavyzdžiai.

Turinys

Taip pat žiūrėkite: Kvadratinių lygčių sprendimas internete

Pagrindinės formulės

Apsvarstykite kvadratinę lygtį:
(1) .
Kvadratinės šaknys(1) nustatomi pagal formules:
; .
Šios formulės gali būti derinamos taip:
.
Kai žinomos kvadratinės lygties šaknys, antrojo laipsnio daugianomas gali būti pavaizduotas kaip faktorių sandauga (faktorizuota):
.

Be to, darome prielaidą, kad tai yra tikrieji skaičiai.
Apsvarstykite kvadratinis diskriminantas:
.
Jei diskriminantas yra teigiamas, kvadratinė lygtis (1) turi dvi skirtingas realias šaknis:
; .
Tada kvadratinio trinalio faktorius yra toks:
.
Jei diskriminantas lygus nuliui, tai kvadratinė lygtis (1) turi dvi daugkartines (lygias) realiąsias šaknis:
.
faktorizavimas:
.
Jei diskriminantas yra neigiamas, kvadratinė lygtis (1) turi dvi sudėtingas konjuguotas šaknis:
;
.
Čia yra įsivaizduojamas vienetas;
ir – tikrosios ir įsivaizduojamos šaknų dalys:
; .
Tada

.

Grafinis interpretavimas

Jei nubraižysite funkciją
,
kuri yra parabolė, tada grafiko susikirtimo su ašimi taškai bus lygties šaknys
.
Kai grafikas kerta abscisių ašį (ašį) dviejuose taškuose ().
Kai grafikas paliečia abscisių ašį viename taške ().
Kai grafikas nekerta abscisių ašies ().

Naudingos kvadratinės lygtys

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Kvadratinės lygties šaknų formulės išvedimas

Atliekame transformacijas ir taikome formules (f.1) ir (f.3):




,
kur
; .

Taigi, mes gavome antrojo laipsnio daugianario formulę formoje:
.
Taigi matyti, kad lygtis

atliktas
ir .
Tai yra, jie yra kvadratinės lygties šaknys
.

Kvadratinės lygties šaknų nustatymo pavyzdžiai

1 pavyzdys

(1.1) .

.
Palyginus su mūsų lygtimi (1.1), randame koeficientų reikšmes:
.
Mes randame diskriminantą:
.
Kadangi diskriminantas yra teigiamas, lygtis turi dvi realias šaknis:
;
;
.

Iš to gauname kvadratinio trinario faktorius:

.

Funkcijų grafikas y = 2 x 2 + 7 x + 3 kerta abscisių ašį dviejuose taškuose.

Nubraižykime funkciją
.
Šios funkcijos grafikas yra parabolė. Jis kerta abscisių ašį (ašį) dviejuose taškuose:
ir .
Šie taškai yra pradinės lygties (1.1) šaknys.

;
;
.

2 pavyzdys

Raskite kvadratinės lygties šaknis:
(2.1) .

Parašykime kvadratinę lygtį bendra forma:
.
Palyginus su pradine lygtimi (2.1), randame koeficientų reikšmes:
.
Mes randame diskriminantą:
.
Kadangi diskriminantas yra nulis, lygtis turi dvi daugkartines (lygias) šaknis:
;
.

Tada trinario faktorizacija yra tokia:
.

Funkcijų grafikas y = x 2–4 x + 4 paliečia abscisių ašį viename taške.

Nubraižykime funkciją
.
Šios funkcijos grafikas yra parabolė. Jis paliečia abscisių ašį (ašį) viename taške:
.
Šis taškas yra pradinės lygties (2.1) šaknis. Kadangi ši šaknis į faktorizaciją patenka du kartus:
,
tada tokia šaknis paprastai vadinama daugkartine. Tai yra, jie tiki, kad yra dvi vienodos šaknys:
.

;
.

3 pavyzdys

Raskite kvadratinės lygties šaknis:
(3.1) .

Parašykime kvadratinę lygtį bendra forma:
(1) .
Perrašykime pradinę lygtį (3.1):
.
Palyginus su (1), randame koeficientų reikšmes:
.
Mes randame diskriminantą:
.
Diskriminantas yra neigiamas,. Todėl nėra galiojančių šaknų.

Galima rasti sudėtingų šaknų:
;
;
.

Tada


.

Funkcijos grafikas nekerta abscisių ašies. Nėra galiojančių šaknų.

Nubraižykime funkciją
.
Šios funkcijos grafikas yra parabolė. Jis nekerta abscisės (ašies). Todėl nėra galiojančių šaknų.

Nėra galiojančių šaknų. Sudėtingos šaknys:
;
;
.

Taip pat žiūrėkite:

“, Tai yra, pirmojo laipsnio lygtys. Šioje pamokoje analizuosime kas vadinama kvadratine lygtimi ir kaip tai išspręsti.

Tai, kas vadinama kvadratine lygtimi

Svarbu!

Lygties laipsnis nustatomas pagal didžiausią laipsnį, kuriame yra nežinomasis.

Jei didžiausia galia, kurioje yra nežinomasis, yra "2", tada turite kvadratinę lygtį.

Kvadratinių lygčių pavyzdžiai

• 5x 2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0,25x = 0
• x 2 - 8 = 0

Svarbu! Bendras kvadratinės lygties vaizdas atrodo taip:

A x 2 + b x + c = 0

„A“, „b“ ir „c“ yra pateikti skaičiai.

• „A“ – pirmasis arba reikšmingiausias koeficientas;
• „B“ yra antrasis koeficientas;
• "C" yra nemokama narys.

Norėdami rasti "a", "b" ir "c", turite palyginti savo lygtį su bendrąja kvadratinės lygties "ax 2 + bx + c = 0" forma.

Pabandykime apibrėžti koeficientus „a“, „b“ ir „c“ kvadratinėse lygtyse.

5x 2 - 14x + 17 = 0 −7x 2 - 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Lygtis	Šansai
a = 5 b = –14 c = 17
a = –7 b = −13 c = 8

1

3

= 0

• a = −1
• b = 1
• c =

  1

  3

x 2 + 0,25x = 0

• a = 1
• b = 0,25
• c = 0

x 2 - 8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = –8

Kaip išspręsti kvadratines lygtis

Skirtingai nuo tiesinių lygčių, kvadratinėms lygtims išspręsti specialus šaknų paieškos formulė.

Prisiminti!

Norėdami išspręsti kvadratinę lygtį, jums reikia:

• perkelkite kvadratinę lygtį į bendrą formą "ax 2 + bx + c = 0". Tai yra, tik „0“ turėtų likti dešinėje pusėje;
• naudokite formulę šaknims:

Paimkime pavyzdį, kaip naudoti formulę kvadratinės lygties šaknims rasti. Išspręskime kvadratinę lygtį.

X 2 - 3x - 4 = 0

Lygtis „x 2 – 3x – 4 = 0“ jau redukuota iki bendros formos „ax 2 + bx + c = 0“ ir nereikalauja papildomų supaprastinimų. Norėdami tai išspręsti, tereikia kreiptis kvadratinės lygties šaknų radimo formulė.

Apibrėžkime šios lygties koeficientus „a“, „b“ ir „c“.

x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =

Su jo pagalba išsprendžiama bet kokia kvadratinė lygtis.

Formulėje "x 1; 2 =" radikali išraiška dažnai pakeičiama
„B 2 – 4ac“ su raide „D“ ir vadinamas diskriminantu. Diskriminanto sąvoka plačiau aptariama pamokoje „Kas yra diskriminantas“.

Apsvarstykite kitą kvadratinės lygties pavyzdį.

x 2 + 9 + x = 7x

Šioje formoje gana sunku nustatyti koeficientus „a“, „b“ ir „c“. Pirmiausia perkelkime lygtį į bendrą formą „ax 2 + bx + c = 0“.

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x - 7x = 0
x 2 + 9 - 6x = 0
x 2 - 6x + 9 = 0

Dabar galite naudoti šaknies formulę.

X 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x =

6

2

x = 3
Atsakymas: x = 3

Būna atvejų, kai kvadratinėse lygtyse nėra šaknų. Ši situacija atsiranda, kai formulėje po šaknimi randamas neigiamas skaičius.