Išmatuokite rutulį. Daugiamatė sferų muzika perelman. Kai kurios naudingos programos iš kitų šaltinių
Prieš kurį laiką išankstinio spausdinimo svetainėje arXiv.org iš karto pasirodė du straipsniai, skirti kuo arčiausiai rutuliukų pakavimo 8 ir 24 matmenų erdvėse problemai. Iki šiol panašūs rezultatai buvo žinomi tik 1, 2 matmenims, ir 3 (ir ne viskas čia taip paprasta, bet apie tai toliau). Proveržis – ir mes kalbame apie tikrą revoliucinį proveržį – buvo įmanomas dėka Ukrainoje gimusios matematikės Marinos Vyazovskajos, dabar dirbančios Vokietijoje, darbo. Apie šį pasiekimą papasakosime dešimtyje apsakymų.
1.
XVI amžiuje Anglijoje gyveno garsus teismo veikėjas ir poetas seras Walteris Rolis. Jis išgarsėjo pirmiausia tuo, kad kartą savo brangų apsiaustą įmetė prieš karalienę į balą, kad Jos Didenybė nesusiteptų kojų. Bet ne dėl to mus tai domina.
Seras Walteris Rolis turėjo aistrą – jis labai mėgo plėšti ispanų laivus ir ieškoti El Dorado. Ir tada vieną dieną Rolis laive pamatė krūvą sukrautų patrankų sviedinių. Ir aš pagalvojau (taip nutiko britų dvariškiams), jie sako, būtų gerai, jei neskaičiuojant sužinotumėte, kiek branduolių yra krūvoje. Tokių žinių nauda, ypač jei mėgstate grobti Ispanijos laivyną, akivaizdi.
Walteris Rolis
Pats Rolis nelabai mokėjo matematiką, todėl šią užduotį perdavė savo asistentui Thomasui Harriotui. Jis, savo ruožtu, buvo stiprus matematikoje (beje, Hariotas yra ženklų „>“ ir „<» для сравнения численных величин), поэтому довольно быстро решил эту задачу. Но Хэрриот был хорошим математиком, поэтому он задался вопросом: а как лучше всего укладывать ядра? Сам он немного подумал, но решить задачу не смог.
Dėl pastabų jis kreipėsi į žinomą savo laikų matematiką Johannesą Keplerį – tuo metu Tycho Brahe padėjėją. Kepleris neatsakė, bet prisiminė problemą. 1611 m. jis išleido nedidelę brošiūrą, kurioje aptarė keturis klausimus: kodėl bitės turi šešiakampius korius, kodėl gėlių žiedlapiai dažniausiai grupuojami po penkis ( Kepleris tikriausiai turėjo omenyje tikrožinis - apytiksl. N+1), kodėl granatų grūdeliai yra kaip dodekaedrai (nors ir netaisyklingi) ir kodėl galiausiai snaigės yra šešiakampių formos.
Johanesas Kepleris
Lankstinukas buvo skirtas dovanai, todėl tai buvo daugiau filosofinis ir pramoginis skaitymas nei tikras mokslinis veikalas. Kepleris atsakymą į pirmąjį klausimą siejo su dviem sąlygomis – tarp ląstelių neturi būti tarpų, o ląstelių plotų suma turi būti minimali. Antrąjį klausimą autorius susiejo su Fibonačio skaičiais, o pokalbis apie snaiges paskatino Keplerį samprotauti apie atomines simetrijas.
Trečiasis klausimas sukėlė hipotezę, kad šešiakampė sandari pakuotė(jis yra paveikslėlyje žemiau) yra tankiausias (tai reiškia, kad jis taip pat yra žemesnis matematine prasme). Žinoma, Kepleris nemanė, kad reikia remtis Harriotu. Todėl šis teiginys vadinamas Keplerio hipoteze. Stiglerio dėsnis – dar žinomas kaip Arnoldo principas – veikia.
Taip, praėjus 7 metams po šios brošiūros išleidimo, serui Walteriui Roliui buvo nukirsta galva. Tačiau tai neturėjo nieko bendra su tankaus pakavimo problema.
2.
Pagal šiuolaikinius standartus Harrioto išspręsta užduotis nebuvo sunki. Todėl mes jį išanalizuosime išsamiau. Ir tuo pačiu geriau suprasime, kaip veikia šešiakampis sandarus sandariklis.
Taigi, pagrindinė sąlyga yra, kad šerdies krūva nenuriedėtų pikio metu. Taigi, ant denio išdėliokite šerdis iš eilės. Kitoje eilėje dedame šerdis taip, kad rutuliukai būtų dedami į plyšius tarp pirmosios eilės rutuliukų. Jei pirmoje eilėje yra n kamuoliukų, tai antroje yra n - 1 (nes tarp kamuoliukų yra vienu mažiau tarpų nei pačių kamuoliukų). Kitoje eilutėje bus vienu branduoliu mažiau. Ir taip toliau, kol gausime tokį trikampį (jei pažvelgsite į išdėstymą iš viršaus):
Tie, kurie prisimena, kas yra aritmetinė progresija, nesunkiai paskaičiuos, kad jei pirmoje eilėje buvo n rutuliukų, tai tokiame trikampyje yra n (n + 1)/2 rutuliukų. Žiūrint iš viršaus, tarp kamuoliukų yra patogios įdubos. Ten pridėsime antrą rutuliukų sluoksnį. Taip bus suformuotas trikampis, kaip ir pirmasis, tik su vienu kamuoliuku mažiau šone. Taigi į krūvą dedame dar n(n - 1)/2 kamuoliukus.
Mes ir toliau dėliojame sluoksnius, kol gauname vieno rutulio sluoksnį. Gavome trikampę branduolių piramidę. Norėdami sužinoti, kiek jame yra branduolių, turite pridėti kiekvieno sluoksnio branduolių skaičių. Jei pirmas sluoksnis buvo su kraštine n, tai gauname n sluoksnių, kurie iš viso duos n(n + 1)(n + 2)/6. Smalsus skaitytojas pastebės, kad būtent tai yra dvinario koeficientas C 3 n + 2. Šis kombinacinis sutapimas ne be reikalo, bet į jį nesigilinsime.
Beje, be šios užduoties, Harriotas sugebėjo apytiksliai nustatyti, kokią dalį branduoliai užima pakankamai dideliame inde, jei pastarojo formą paimtume kubui. Paaiškėjo, kad proporcija yra π/(3√2) ≈ 0,74048.
3.
Ką reiškia žodis tankiausias problemos pareiškime? Raleighas, Harriotas ir net pats Kepleris į tai nepateikė tikslaus atsakymo. Tam tikra prasme buvo numanoma tankiausia. Tačiau ši formuluotė netinka matematikai. Reikia išsiaiškinti.
Pirmiausia nusileiskime žemiau esančią dimensiją ir pažiūrėkime, kaip viskas veikia lėktuve. Dviejų dimensijų atveju problema virsta taip: tegul yra begalinis apskritimų, kurie nesikerta vidinėje dalyje (bet, galbūt, liečiančių - tai yra, turinčių bendrą tašką ant ribos) apskritimų, rinkinys. lėktuvas. Nubrėžkime kvadratą. Apskaičiuojame kvadrato viduje įkritusių apskritimų gabalėlių plotų sumą. Paimkime šios sumos santykį su kvadrato plotu ir padidinsime kvadrato kraštinę, žiūrėdami į santykio pokytį.
Gauname funkciją f(a), kur a- kvadrato pusė. Jei mums pasiseks, tada ši funkcija su augimu argumentas asimptotiškai priartės prie kurio nors skaičiaus. Šis skaičius vadinamas nurodytos pakuotės tankiu. Svarbu, kad pati funkcija tam tikru momentu galėtų suteikti reikšmę, didesnę už tankį. Iš tiesų, jei kvadratas yra mažas, tada jis visiškai telpa apskritime, o apibrėžtas santykis yra 1. Tačiau mus domina vidutinis tankis, tai yra, neoficialiai kalbant, "kvadratui su pakankamai didele kraštine".
Tarp visų tokių tankių galima rasti didžiausią. Būtent ji, kaip ir ją įgyvendinanti pakuotė, bus vadinama tankiausia.
„Tanškiausia pakuotė nebūtinai yra unikali (asimptotine prasme). Trimatėje erdvėje yra be galo daug tankiausių pakuočių, ir net Kepleris tai žinojo“, – sako Olegas Musinas iš Teksaso universiteto Braunsvilyje.
Apibrėžus tankiausio įpakavimo sąvoką, nesunku suprasti, kad tokį apibrėžimą galima nesunkiai išplėsti iki savavališko n dydžio erdvės. Iš tiesų, pakeiskime apskritimus atitinkamo matmens rutuliais, tai yra taškų rinkiniais, nuo kurių atstumas iki fiksuoto (vadinamo centru) neviršija tam tikros reikšmės, vadinamos rutulio spinduliu. Vėlgi, sudėliokime juos taip, kad geriausiu atveju bet kurie du liestųsi, o blogiausiu – apskritai neturėtų bendrų taškų. Tą pačią funkciją kaip ir ankstesniu atveju apibrėžiame imdami n-mačio kubo tūrį ir atitinkamų n-matmenų rutuliukų tūrių sumą.
4.
Taigi, mes supratome, kad Keplerio spėjimas yra artimiausio trimačių rutulių supakavimo trimatėje erdvėje problema. O kaip su lėktuvu (kadangi mes nuo jo pradėjome)? Ar net tiesiai? Su tiesia linija viskas paprasta: rutulys tiesioje linijoje yra atkarpa. Tiesią liniją gali visiškai uždengti vienodi segmentai, susikertantys galuose. Naudojant šią aprėptį, funkcija f(a) yra pastovus ir lygus 1.
Lėktuve viskas pasirodė kiek sudėtingiau. Taigi, pradėkime nuo taškų rinkinio plokštumoje. Sakome, kad ši taškų rinkinys sudaro gardelę, jei galime rasti vektorių v ir w porą, kad visi taškai būtų gauti kaip N*v + M*w, kur N ir M yra sveikieji skaičiai. Panašiai gardelę galima apibrėžti savavališkai didelių matmenų erdvėje – tiesiog reikia daugiau vektorių.
Grotelės svarbios dėl daugelio priežasčių (pavyzdžiui, būtent gardelės vietose atomai mieliau išsidėsto, kai kalbama apie kietąsias medžiagas), tačiau matematikams jos yra geros, nes su jomis labai patogu dirbti. Todėl iš visų įpakavimų atskirai išskiriama klasė, kurioje rutuliukų centrai yra gardelės mazguose. Jei apsiribosime šiuo atveju, tada plokštumoje yra tik penkių tipų gardelės. Tankiausias jų įpakavimas gaunamas taip, kad taškai išsidėstę taisyklingų šešiakampių viršūnėse – kaip bitėse koriai ar atomai grafene. Šį faktą Lagranžas įrodė 1773 m. Tiksliau: Lagrange'ą domino ne tankūs įpakavimai, o kvadratinės formos. Jau XX amžiuje tapo aišku, kad dvimačių grotelių sandarumo tankio rezultatas išplaukia iš jo pavyzdinių rezultatų.
„1831 m. Ludwigas Sieberis parašė knygą apie trinarės kvadratines formas. Šioje knygoje buvo pateiktas spėjimas, kuris yra lygiavertis Keplerio spėlionėms apie grotelių sandariklius. Pats Sieberis sugebėjo įrodyti tik silpną savo hipotezės formą ir patikrinti ją daugeliu pavyzdžių. Šią knygą recenzavo didysis Carlas Friedrichas Gaussas. Šioje apžvalgoje Gaussas pateikia tikrai nuostabų įrodymą, kuris telpa 40 eilučių. Tai, kaip dabar sakome, yra gimnazistui suprantamas „olimpiados“ įrodymas. Daugelis matematikų bandė rasti paslėptą prasmę Gauso įrodyme, tačiau iki šiol niekam nepavyko“, – sako Olegas Musinas.
Tačiau kas atsitiks, jei tinklelio sąlygos bus atsisakyta? Čia viskas tampa šiek tiek sudėtingesnė. Pirmąjį visavertį bandymą susidoroti su šia byla padarė norvegų matematikas Axelis Thue. Jei pažvelgsite į antradieniui skirtą puslapį Vikipedijoje, ten nieko nerasime apie sandarią pakuotę. Tai suprantama – Thue paskelbė du darbus, labiau primenančius esė, o ne įprastus matematinius darbus, kuriuose, kaip jam atrodė, jis visiškai išsprendė tankaus pakavimo problemą. Vienintelė problema buvo ta, kad niekas kitas, išskyrus patį Thue, neįtikino jo samprotavimai.
Laszlo Fejes Toth
Danzer, Ludwig / Wikimedia Commons
Uždavinį galutinai išsprendė vengrų matematikas Laszlo Fejesas Tothas 1940 m. Beje, paaiškėjo, kad apskritimų išdėstymas plokštumoje, įgyvendinant tankiausią įpakavimą, yra unikalus.
5.
Su glaudaus pakavimo problema glaudžiai susijusi kontaktinio numerio problema. Dar kartą apsvarstykime apskritimą plokštumoje. Kiek to paties spindulio apskritimų galima išdėstyti aplink jį taip, kad jie visi liestųsi su centriniu? Atsakymas yra šeši. Iš tiesų, pažiūrėkime į du gretimus apskritimus, kurie liečiasi su mūsų centriniu. Pažiūrėkime į atstumą nuo centrinio apskritimo centro iki šių dviejų centrų. Tai lygu 2R, kur R yra apskritimo spindulys. Atstumas tarp gretimų apskritimų centrų neviršija 2R. Apskaičiavę kampą centrinio apskritimo centre pagal kosinuso teoremą, gauname, kad jis yra ne mažesnis kaip 60 laipsnių. Visų centrinių kampų suma turėtų sudaryti 360 laipsnių, vadinasi, tokių kampų gali būti ne daugiau kaip 6. O apskritimų su šešiais kampais vietą mes žinome.
Gautas numeris vadinamas kontaktiniu lėktuvo numeriu. Panašų klausimą galima užduoti bet kokio dydžio erdvėms. Tegul sprendimo paprastumas lėktuve neklaidina skaitytojo – kontaktinių numerių problema, jei paprastesnė nei tankaus pakavimo problema, nėra daug. Tačiau šia kryptimi buvo gauta daugiau rezultatų.
Dėl trimatės erdvės kontaktinis numeris tapo viešo ginčo tarp paties Isaac Newton ir Jameso Gregory objektu 1694 m. Pirmasis manė, kad kontaktinis numeris turi būti 12, o antrasis - kad 13. Reikalas tas, kad aplink centrinį nesudėtinga išdėstyti 12 rutuliukų - tokių kamuoliukų centrai yra taisyklingo ikosaedro viršūnėse ( jų yra tik 12). Bet šie rutuliai neliečia! Iš pirmo žvilgsnio atrodo, kad juos galima pajudinti taip, kad dar vienas, 13-as kamuoliukas, prasiropštų. Tai beveik tiesa: jei rutuliai šiek tiek pasislenka vienas nuo kito, atstumas tarp jų centrų ir centrinio rutulių centro 2R, bet tik 2.06R, tada jau tilps 13 kamuoliukų. Tačiau dėl kamuoliukų lietimo Gregory klydo – šį faktą 1953 metais įrodė van der Waardenas ir Schütte.
4 dimensijai šią problemą 2003 m. išsprendė Olegas Musinas. Ten paaiškėjo, kad kontaktinis numeris yra 24.
6.
Be šių 1, 2, 3 ir 4 matmenų, 8 ir 24 matmenyse taip pat žinomi kontaktiniai numeriai. Kodėl šie matmenys? Faktas yra tas, kad jiems yra labai įdomių grotelių, vadinamų E8 ir „Leech“ grotelėmis.
Taigi, mes jau išsiaiškinome, kas yra grotelės. Svarbi gardelės charakteristika matematikai yra jos simetrija. Simetrija, žinoma, turime omenyje ne subjektyvius pojūčius (o kas, pavyzdžiui, pateiks šią gardelę keturių matmenų?), o skirtingų erdvės judesių tipų, kurie paverčia šią gardelę į save, skaičių. Paaiškinkime pavyzdžiu.
Paimkime tą pačią šešiakampę gardelę, kuri realizuoja tankiausią sandarumą plokštumoje. Nesunku suprasti, kad gardelė transformuojasi į save, jei ją perkelia vektoriai v ir w, kurie buvo apibrėžime. Bet, be to, grotelės gali būti pasuktos aplink šešiakampio centrą. Ir yra 6 tokie apsisukimai: 0, 60, 120, 180, 240, 300 laipsnių. Be to, gardelė gali būti rodoma simetriškai apie bet kurią junginio šešiakampio simetrijos ašį. Nedidelis pratimas rodo, kad neskaičiuojant pamainų gauname 12 transformacijų. Kitose gardelėse tokių transformacijų yra mažiau, todėl sakome, kad jos yra mažiau simetriškos.
Dabar E8 ir Leach grotelės yra neįtikėtinai simetriškos grotelės. E8 yra 8 matmenų erdvėje. Šią gardelę išrado rusų matematikai Korkinas ir Zolotarevas 1877 m. Jį sudaro vektoriai, kurių visos koordinatės yra sveikieji skaičiai, o jų suma lygi. Tokia gardelė, atėmus poslinkius, turi 696 729 600 transformacijų. Išplovimo tinklelis egzistuoja dvidešimt keturių matmenų. Jį sudaro vektoriai su sveikosiomis koordinatėmis ir sąlyga – koordinačių suma atėmus bet kurią koordinates, padauginta iš 4, dalijasi iš 8. Jame yra tiesiog didžiulis simetrijų skaičius – 8 315 553 613 086 720 000 vienetų.
Taigi 8 ir 24 dimensijų erdvėje rutuliai, esantys tų pačių gardelių viršūnėse, liečia atitinkamai 240 ir 19650 rutulių. Keista, bet būtent tai yra kontaktiniai numeriai (žr. 5 punktą) atitinkamo matmens tarpams.
7.
Dabar grįžkime prie trimačio atvejo ir Keplerio hipotezės (tos, apie kurią kalbėjome pačioje pradžioje). Ši užduotis pasirodė daug kartų sunkesnė nei jos pirmtakai.
Pradėkime nuo to, kad yra be galo daug tankų, kurių tankis yra toks pat kaip ir šešiakampės tankios. Pradėjome dėlioti, pradedant nuo kamuoliukų, išdėstytų šešiakampės gardelės mazguose. Bet jūs galite tai padaryti kitaip: pavyzdžiui, pirmame lygyje sulenkite rutulius į kvadratą, tai yra, kad rutulių viršūnės būtų jau kvadratinės grotelės mazguose. Šiuo atveju kiekvienas kamuolys paliečia keturis kaimynus. Antrasis sluoksnis, kaip ir šešiakampio atveju, bus dedamas iš viršaus į tarpus tarp pirmojo sluoksnio rutuliukų. Toks paketas vadinamas į veidą orientuota kubinė pakuotė. Beje, tai vienintelis tankiausias grotelių paketas erdvėje.
Iš pirmo žvilgsnio atrodo, kad šis įpakavimas turėtų būti prastesnis, nes pirmame sluoksnyje tarpai tarp keturių rutuliukų yra daug didesni (pagal pojūčius) nei šešiakampės tankios pakuotės tarpai. Bet, kai dedame antrą eilę, kamuoliukai – būtent dėl to, kad tarpai didesni – grimzta giliau. Dėl to, kaip paaiškėjo, tankis yra toks pat kaip ir anksčiau. Iš tikrųjų, žinoma, gudrybė ta, kad toks įpakavimas gaunamas, jei į šešiakampį žiūrima kitu kampu.
Pasirodo, trimatėje erdvėje nėra tokių gražių unikalių grotelių, kaip, pavyzdžiui, šešiakampės plokštumoje arba E8 8-matėje erdvėje. Iš pirmo žvilgsnio visiškai nesuprantama, kaip trimatėje erdvėje ieškoti tankiausio įpakavimo.
8.
Keplerio hipotezės sprendimas gimė keliais etapais.
Pirma, Feieszas Tothas, tas pats vengras, išsprendęs tankaus pakavimo plokštumoje problemą, išsakė tokį spėjimą: norint suprasti, ar pakuotė yra tanki, ar ne, pakanka atsižvelgti į baigtines kamuoliukų sankaupas. Kaip išsiaiškinome, skirtingai nei lėktuvas, jei centrinis rutulys paliečia 12 kaimynų, tada tarp jų yra tarpai. Todėl Feyeshas Tothas pasiūlė ištirti grupes, susidedančias iš centrinio rutulio, jo kaimynų ir kaimynų kaimynų.
Reikalas tas, kad ši prielaida buvo padaryta praėjusio amžiaus 60-aisiais. O tokio klasterio tūrio sumažinimo problema iš tikrųjų yra netiesinė optimizavimo problema maždaug 150 kintamųjų funkcijai (kiekvienas rutulys turi centrą, jis nurodomas trimis koordinatėmis). Grubiai tariant, tokiai funkcijai esant tam tikroms papildomoms sąlygoms reikia rasti minimumą. Viena vertus, užduotis tapo baigtinė, bet iš kitos pusės skaičiavimo požiūriu žmogui ji visiškai nepakeliama. Tačiau Feyesh Tot nenusiminė ir pasakė, kad labai greitai kompiuteriai turės reikiamą skaičiavimo galią. Jie padės.
Matematikams labai patiko Fejeso Toto hipotezė ir jie pradėjo aktyviai dirbti šia kryptimi. Dešimtojo dešimtmečio pradžioje didžiausio rutulių tankio trimatėje erdvėje įverčiai palaipsniui mažėjo. Idėja buvo tokia, kad tam tikru momentu įvertinimas bus lygus į veidą orientuoto kubinio paketo tankiui, todėl Keplerio spėjimas bus įrodytas. Per tą laiką matematikas Thomas Halesas paskelbė savo pirmuosius darbus apie pakavimą. Darbui jis pasirinko objektą, pavadintą Delaunay žvaigždėmis (sovietinio matematiko Boriso Delaunay garbei). Tai buvo drąsus žingsnis – tuo metu tokių objektų veiksmingumas tiriant pakavimo problemą buvo abejotinas.
Tik po 8 metų sunkaus darbo, 1998 m., Halesas užbaigė Keplerio spėlionių įrodymą. Jis sumažino įrodymą iki baigtinio kombinatorinio skirtingų struktūrų, tokių kaip Delaunay žvaigždės, išvardijimo. Kiekvienai tokiai kombinatorinei struktūrai reikėjo maksimaliai padidinti tankį. Kadangi kompiuteris normaliai veikia tik su sveikaisiais skaičiais (tiesiog todėl, kad matematikoje skaičiai dažniausiai yra begalinės trupmenos), Delaunay kiekvienam atvejui automatiškai sukūrė aproksimaciją iš viršaus, naudodamas simbolinius racionalius skaičiavimus (juk racionalius skaičius, jei neverčiate jų į dešimtainę dalį). trupmenos, tik pora sveikųjų skaičių). Remdamasis šiuo aproksimavimu, jis gavo didžiausią tankio maksimumo įvertį. Dėl to visi įverčiai buvo mažesni nei tie, kurie buvo pateikti į veidą orientuota kubinė pakuotė.
Tačiau daugelis matematikų buvo sumišę dėl situacijos, kai buvo sukurtas kompiuteris aproksimacijai sukurti. Norėdamas įrodyti, kad jis neturėjo klaidų kompiuterinėje įrodinėjimo dalyje, Halesas ėmėsi formalizavimo ir patikrinimo, nors ir kompiuterio pagalba. Šis darbas, prie kurio dirbo gana didelė tarptautinė komanda, buvo baigtas 2014 metų rugpjūtį. Įrodyme klaidų nerasta.
9.
8 ir 24 matmenų įrodymams nereikia kompiuterio ir yra šiek tiek paprastesni. Prieš kurį laiką buvo gauti labai geri įverčiai norint įvertinti maksimalų pakavimo tankį šiais matmenimis. Tai padarė matematikai Kohnas ir Elkiesas 2003 m. Beje, šią sąmatą (ji dar vadinama Kohn-Elkies riba) likus porai metų iki pačių Kohno ir Elkieso surado rusų matematikas Dmitrijus Gorbačiovas iš Tulos. Tačiau jis paskelbė šį darbą rusų kalba ir Tūlos žurnale. Cohnas ir Elkiesas nežinojo apie šį darbą, o kai jiems buvo pranešta, jie, beje, nurodė jį.
„Kohn-Elkies riba atsirado remiantis Jeano Frederiko Delsarte ir mūsų nuostabių matematikų Grigorijaus Kabatjanskio ir Vladimiro Levenshteino darbais. Kabatyansky ir Levenshtein gautas asimptotinis (pagal erdvės matmenis) rutuliukų pakuočių tankio įvertis n-matėje erdvėje buvo „laikomas“ nuo 1978 m. Beje, tai yra Levenshteinas ir nepriklausomai amerikiečiai Odlyzhko ir Sloanas išsprendė 8 ir 24 matmenų kontaktinių numerių problemą 1979 m. Jie tiesiogiai naudojo Delsarte-Kabatyansky-Levenshtein metodą“, – sako Olegas Musinas.
Kohn ir Elkies įverčiai iš tikrųjų yra teisingi visoms pakuotėms, tačiau 8 ir 24 matmenyse jie pateikia labai gerą apytikslį vaizdą. Pavyzdžiui, matematiko įvertis yra tik maždaug 0,0001 procento didesnis nei E8 tankis aštuoniuose matmenyse. Todėl ir iškilo užduotis šią sąmatą patobulinti – juk sprendimas, atrodytų, jau šalia. Be to, 2012 m. tas pats Dmitrijus Gorbačiovas kreipėsi (ir laimėjo) dėl dotacijos iš „Dinastijos fondo“. Paraiškoje jis aiškiai nurodė, kad planuoja įrodyti E8 pakavimo tankį aštuonių matmenų erdvėje.
Jie sako, kad kitas matematikas Andrejus Bondarenko paskatino Gorbačiovą padaryti tokį drąsų pareiškimą, tiesą sakant, mentorius, vienas iš Marinos Vyazovskajos mokslinių vadovų, kuris išsprendė 8-matės erdvės problemą (ir bendraautoris 24 matmenų erdvė). Tai Bondarenko, kuriai ji dėkoja savo proveržio darbo pabaigoje. Taigi, Bondarenko ir Gorbačiovas nepavyko, bet Vyazovskajai pavyko. Kodėl?
Marina Vyazovskaya
Berlyno Humboldto universitetas
Kohn-Elkies įvertis sieja pakavimo tankį su tam tikros funkcijos savybe iš tinkamo rinkinio. Grubiai tariant, kiekvienai tokiai funkcijai sudaromas įvertinimas. Tai yra, pagrindinė užduotis yra rasti tinkamą funkciją, kad gautas įvertinimas būtų toks, kokio mums reikia. Taigi, pagrindinis Vyazovskaya statybos ingredientas yra modulinės formos. Jau minėjome juos, kalbant apie paskutinės Ferma teoremos įrodymą, kuriai . Tai gana simetriškas objektas, nuolat atsirandantis įvairiose matematikos šakose. Būtent šis įrankių rinkinys leido rasti norimą funkciją.
24 matmenų erdvėje įvertis gautas taip pat. Šis kūrinys turi daugiau autorių, bet paremtas tuo pačiu Vyazovskajos pasiekimu (nors, žinoma, šiek tiek adaptuotu). Beje, darbe įrodytas dar vienas nuostabus faktas: Leach grotelės įgyvendina unikalų periodinį tankiausią įpakavimą. Tai reiškia, kad visų kitų periodinių pakuočių tankis yra mažesnis už šį. Pasak Olego Musino, panašus rezultatas gali būti ir 4 ir 8 matmenų periodinėms pakuotėms.
10.
Taikymų požiūriu tankaus pakavimo didelių matmenų erdvėse problema visų pirma yra optimalaus kodavimo su klaidų taisymu problema.
Įsivaizduokite, kad Alisa ir Bobas bando bendrauti radijo signalais. Alisa sako, kad ji išsiųs Bobui signalą, sudarytą iš 24 skirtingų dažnių. Bobas išmatuos kiekvieno dažnio amplitudę. Dėl to jis gaus 24 amplitudių rinkinį. Jie, žinoma, nustato tašką 24 dimensijų erdvėje – juk jų yra 24. Bobas ir Alisa paima, tarkime, Dahl žodyną ir kiekvienam žodžiui priskiria savo 24 amplitudių rinkinį. Pasirodo, kad žodžius iš Dahlio žodyno užkodavome 24 matmenų erdvės taškais.
Idealiame pasaulyje nieko daugiau nereikia. Tačiau tikri duomenų perdavimo kanalai prideda triukšmo, o tai reiškia, kad dekoduodamas Bobas gali gauti amplitudių rinkinį, kuris neatitinka nė vieno žodžio. Bet tada jis gali pažvelgti į žodį, kuris yra artimiausias iššifruotai versijai. Jei toks yra, greičiausiai taip ir yra. Kad visada būtų galima tai padaryti, būtina, kad erdvės taškai būtų kuo toliau vienas nuo kito. Tai yra, pavyzdžiui, jei triukšmo lygis yra toks, kad atsiranda iškraipymas, kuris perkelia rezultatą ne ilgesniu kaip vieno ilgio vektoriumi, tada du kodo taškai turi būti tiksliai bent du vienas nuo kito. Tada net ir su iškraipymais Bobo rezultatas visada bus artimas vienam žodžiui – tam, kurio reikia.
Tuo pačiu metu aš tikrai nenoriu išpūsti daug žodžių - mes turime gana ribotą diapazoną, kuriame galime perduoti informaciją. Tarkime, būtų keista (ir nelabai efektyvu), jei Alisa ir Bobas pradėtų bendrauti rentgeno spinduliuose. Todėl idealiu atveju atstumas tarp gretimų kodo žodžių turėtų būti lygiai du. O tai reiškia, kad žodžiai yra 1 spindulio rutuliukų viršūnėse, tankiai supakuotų 24 matmenų erdvėje.
Neseniai sukūriau paprastą spindulių sekiklį 3D scenoms. Jis buvo parašytas JavaScript ir nebuvo labai greitas. Kad būtų smagu, aš parašiau spindulių sekiklį C kalba ir suteikiau jam 4D atvaizdavimo režimą – šiuo režimu jis gali projektuoti 4D sceną plokščiame ekrane. Po pjūviu rasite vaizdo įrašų, nuotraukų ir spindulių sekimo kodą.
Kam rašyti atskirą programą 4D scenai piešti? Galite paimti įprastą spindulių sekiklį, įdėti į jį 4D siužetą ir gauti įdomų vaizdą, tačiau ši nuotrauka visiškai nebus visos scenos projekcija ekrane. Problema ta, kad scena turi 4 matmenis, o ekranas yra tik 2, o kai spindulių sekiklis skleidžia spindulius per ekraną, jis apima tik 3 dimensijų poerdvę ir tik 3 dimensijos 4 dimensijos scenos pjūvis. būti matomas ekrane. Paprasta analogija: pabandykite projektuoti 3D sceną į 1D segmentą.
Pasirodo, 3 dimensijos stebėtojas, turintis 2 dimensijos regėjimą, negali matyti visos 4 dimensijos scenos – geriausiu atveju jis matys tik nedidelę dalį. Logiška manyti, kad patogiau žiūrėti į 4 dimensijos sceną su 3 dimensijos regėjimu: tam tikras 4 dimensijos stebėtojas žiūri į kokį nors objektą ir ant jo 3 dimensijos analogo susidaro 3 dimensijos projekcija. tinklainė. Mano programa spinduliuos šią 3D projekciją. Kitaip tariant, mano spindulių sekiklis vaizduoja tai, ką 4D stebėtojas mato savo 3D regėjimu.
3D matymo ypatybės
Įsivaizduokite, kad žiūrite į popieriaus ratą, kuris yra tiesiai prieš jūsų akis – tokiu atveju pamatysite apskritimą. Jei pastatysite šį apskritimą ant stalo, pamatysite elipsę. Jei pažvelgsite į šį apskritimą iš tolo, jis atrodys mažesnis. Panašiai ir trimačiam matymui: keturmatis rutulys stebėtojui atrodys kaip trimatis elipsoidas. Žemiau yra pora pavyzdžių. Pirmajame sukasi 4 identiški vienas kitam statmeni cilindrai. Antrajame sukasi 4 matmenų kubo rėmas.
Pereikime prie apmąstymų. Žiūrint į rutulį su atspindinčiu paviršiumi (pavyzdžiui, kalėdinę dekoraciją), atspindys tarsi nupieštas sferos paviršiuje. Taip pat ir 3D matymui: žiūrite į 4D rutulį, o atspindžiai nupiešti tarsi ant jo paviršiaus. Tik dabar 4 dimensijų rutulio paviršius yra trimatis, todėl žiūrėdami į 3 dimensiją rutulio projekciją, atspindžiai bus viduje, o ne paviršiuje. Jei priversime spindulių sekiklį skleisti spindulį ir rasime artimiausią sankirtą su 3D rutulio projekcija, tada pamatysime juodą apskritimą – 3D projekcijos paviršius bus juodas (tai išplaukia iš Frenelio formulių). Tai atrodo taip:
3D matymui tai nėra problema, nes jam matomas visas 3D rutulys ir matomi vidiniai taškai, kaip ir paviršiuje, bet reikia kažkaip perteikti šį efektą plokščiame ekrane, todėl padariau papildomą spindulių sekimo įrenginio režimas, kai atsižvelgiama į tai, kad trimačiai objektai yra tarsi dūminiai: spindulys praeina pro juos ir palaipsniui praranda energiją. Pasirodo taip:
Tas pats pasakytina ir apie šešėlius: jie krenta ne ant paviršiaus, o į 3D projekcijų vidų. Pasirodo, kad 3 dimensijos rutulio viduje - 4 dimensijos rutulio projekcija - gali būti patamsinta sritis 4 dimensijos kubo projekcijos pavidalu, jei šis kubas meta ant kamuoliuko šešėlį. Nesugalvojau, kaip perteikti šį efektą plokščiame ekrane.
Optimizavimas
Stebėti 4D sceną yra sunkiau nei 3D: 4D atveju reikia rasti 3D, o ne plokščios srities spalvas. Jei ray tracer užrašysite „ant kaktos“, jo greitis bus itin mažas. Yra keletas paprastų optimizavimo būdų, kurie gali sutrumpinti 1000x1000 vaizdo pateikimo laiką iki kelių sekundžių.
Pirmas dalykas, kuris krenta į akis žiūrint į tokias nuotraukas – tai krūva juodų pikselių. Jei pavaizduosite sritį, kurioje spindulių sekimo spindulys patenka į bent vieną objektą, ji atrodys taip:
Matyti, kad maždaug 70% yra juodi pikseliai, o balta sritis yra sujungta (ji prijungta, nes prijungta 4D scena). Galite apskaičiuoti pikselių spalvas netvarkingai, bet atspėkite vieną baltą pikselį ir užpildykite jį. Taip spinduliuos tik balti pikseliai + keli juodi pikseliai, kurie yra baltos srities 1 pikselio kraštinė.
Antrasis optimizavimas gaunamas iš to, kad figūros – rutuliukai ir cilindrai – yra išgaubti. Tai reiškia, kad bet kuriems dviem tokios figūros taškams juos jungianti atkarpa taip pat yra visiškai figūros viduje. Jei spindulys kerta išgaubtą objektą, o taškas A yra objekto viduje, o taškas B yra išorėje, likusi spindulio dalis iš B pusės nesukirs objekto.
Dar keli pavyzdžiai
Čia kubas sukasi aplink centrą. Rutulys neliečia kubo, bet 3D projekcijoje jie gali susikirsti.
Šiame vaizdo įraše kubas yra nejudantis, o per kubą skrenda 4 dimensijos stebėtojas. Tas 3 dimensijos kubas, kuris atrodo didesnis, yra arčiau stebėtojo, o mažesnis yra toliau.
Žemiau pateikiamas klasikinis sukimasis ašių 1-2 ir 3-4 plokštumose. Tokį sukimąsi duoda dviejų Givenso matricų sandauga.
Kaip veikia mano spindulių sekiklis
Kodas parašytas ANSI C 99. Galite atsisiųsti. Išbandžiau ICC+Windows ir GCC+Ubuntu.
Programa kaip įvestį priima tekstinį failą su scenos aprašymu.
Scena = ( objektai = -- objektų sąrašas scenoje ( grupė -- objektų grupei gali būti priskirta afininė transformacija ( axiscyl1, axiscyl2, axiscyl3, axiscyl4 ) ) ), šviesos = -- šviesų sąrašas ( šviesa((0,2, 0,1, 0,4, 0,7), 1), šviesa((7, 8, 9, 10), 1), ) ) axiscylr = 0,1 -- cilindro spindulys axiscyl1 = cilindras ( (-2, 0, 0, 0), ( 2, 0, 0, 0), ašies cilindras, medžiaga = (spalva = (1, 0, 0)))) ašies cilindras2 = cilindras ( (0, -2, 0, 0), (0, 2, 0, 0), ašies cilindras, medžiaga = (spalva = (0, 1, 0)) ) axiscyl3 = cilindras ( (0, 0, -2, 0), (0, 0, 2, 0), ašies cilindras, medžiaga = (spalva = (0) , 0, 1)) ) axiscyl4 = cilindras ( (0, 0, 0, -2), (0, 0, 0, 2), ašies cilindras, medžiaga = (spalva = (1, 1, 0)) )
Po to jis išanalizuoja šį aprašymą ir sukuria vidinį vaizdą. Priklausomai nuo erdvės matmenų, jis atvaizduoja sceną ir gauna arba keturmatį vaizdą, kaip nurodyta pavyzdžiuose, arba įprastą trimatį vaizdą. Norint paversti 4D spindulių sekiklį į 3D spindulių sekiklį, vector.h faile reikia pakeisti parametrą vec_dim iš 4 į 3. Taip pat galite jį nustatyti kompiliatoriaus komandų eilutės parametruose. Kompiliavimas į GCC:
cd /namai/ Vartotojo vardas/rt/
gcc -lm -O3 *.c -o rt
Bandomasis paleidimas:
/namai/ Vartotojo vardas/rt/rt cube4d.scene cube4d.bmp
Jei kompiliuosite raytracer su vec_dim = 3, tada jis sukurs įprastą scenos kubą cube3d.scene .
Kaip buvo sukurtas vaizdo įrašas
Norėdami tai padaryti, parašiau Lua scenarijų, kuris apskaičiavo kiekvieno kadro sukimosi matricą ir pridėjau ją prie atskaitos scenos.
Ašys = ( (0,933, 0,358, 0, 0), -- 1 ašis (-0,358, 0,933, 0, 0), -- 2 ašis (0, 0, 0,933, 0,358), -- 3 ašis (0, 0 , -0,358, 0,933) -- 4 ašis ) scena = ( objektai = ( grupė ( ašys = ašys, axiscyl1, axiscyl2, axiscyl3, axiscyl4 ) ), )
Grupės objektas, be objektų sąrašo, turi du afininius transformacijos parametrus: ašis ir pradžią. Keisdami ašis galite pasukti visus grupės objektus.
Tada scenarijus pavadino sudarytą spindulių sekiklį. Kai buvo pateikti visi kadrai, scenarijus pavadino mencoder ir surinko vaizdo įrašą iš atskirų nuotraukų. Vaizdo įrašas padarytas taip, kad jį būtų galima uždėti ant automatinio kartojimo – t.y. Vaizdo įrašo pabaiga yra tokia pati kaip pradžia. Scenarijus veikia taip:
Luajit animate.lua
Galiausiai šiame archyve yra 4 avi failai, kurių dydis yra 1000 × 1000. Visi jie yra cikliški - galite įdėti jį į automatinį kartojimą ir gausite įprastą animaciją.
Žymos:
- spindulių sekiklis
- keturmatė erdvė
Dar būdamas pirmo kurso studentas karštai susiginčijau su vienu savo klasės draugu. Jis pasakė, kad keturmatis kubas negali būti pavaizduotas jokia forma, o aš patikinau, kad jis gali būti pavaizduotas gana aiškiai. Tada net iš sąvaržėlių padariau hiperkubo projekciją mūsų trimatėje erdvėje... Bet pakalbėkime apie viską iš eilės.
Kas yra hiperkubas ir keturių matmenų erdvė
Mūsų įprastoje erdvėje yra trys dimensijos. Geometriniu požiūriu tai reiškia, kad jame gali būti nurodytos trys viena kitai statmenos linijos. Tai reiškia, kad bet kuriai linijai galite rasti antrą eilutę, statmeną pirmajai, o porai galite rasti trečią eilutę, statmeną pirmoms dviem. Nebebus galima rasti ketvirtos tiesės, statmenos trims esamoms.
4D erdvė nuo mūsų skiriasi tik tuo, kad turi dar vieną papildomą kryptį. Jei jau turite tris viena kitai statmenas linijas, galite rasti ketvirtąją, kuri bus statmena visoms trims.
hiperkubas tai tik keturių matmenų kubas.
Ar įmanoma įsivaizduoti keturmatę erdvę ir hiperkubą?
Šis klausimas yra panašus į klausimą: „ar įmanoma įsivaizduoti Paskutinę vakarienę žiūrint į Leonardo da Vinci (1452–1519) to paties pavadinimo (1495–1498) paveikslą?
Viena vertus, žinoma, neįsivaizduosite, ką matė Jėzus (jis sėdi veidu į žiūrovą), juolab kad neužuosite sodo už lango ir maisto skonio ant stalo, negirdėsite paukščių. dainavimas... Negausite pilno vaizdo apie tai, kas įvyko tą vakarą, bet negalima sakyti, kad nieko naujo nesužinosite ir kad vaizdas neįdomus.
Panaši situacija ir su hiperkubo klausimu. Neįmanoma iki galo to įsivaizduoti, bet galite priartėti prie supratimo, kas tai yra.
Hiperkubo kūrimas
0 matmenų kubas
Pradėkime nuo pradžių – nuo 0 matmenų kubo. Šiame kube yra 0 viena kitai statmenų veidų, tai yra, tai tik taškas.
1 matmens kubas
Vienmatėje erdvėje turime tik vieną kryptį. Perkeliame tašką šia kryptimi ir gauname atkarpą.
Tai vienmatis kubas.
2 matmenų kubas
Turime antrą matmenį, savo vienmatį kubą (segmentą) perkeliame antrojo matmens kryptimi ir gauname kvadratą.
Tai dviejų matmenų kubas.
3 matmenų kubas
Atsiradus trečiajam matmeniui, darome tą patį: perkeliame kvadratą ir gauname įprastą trimatį kubą.
4 matmenų kubas (hiperkubas)
Dabar turime ketvirtą dimensiją. Tai yra, mes turime kryptį, statmeną visoms trims ankstesnėms. Panaudokime taip pat. 4D kubas atrodys taip.
Natūralu, kad trimačiai ir keturmačiai kubeliai negali būti vaizduojami dvimačio ekrano plokštumoje. Tai, ką nupiešiau, yra projekcijos. Apie prognozes pakalbėsime šiek tiek vėliau, bet kol kas keli pliki faktai ir skaičiai.
Viršūnių, briaunų, paviršių skaičius
Atminkite, kad hiperkubo veidas yra mūsų įprastas 3D kubas. Jei atidžiai pažvelgsite į hiperkubo piešinį, iš tikrųjų galite rasti aštuonis kubus.
Keturmatės erdvės gyventojo projekcijos ir vizija
Keletas žodžių apie regėjimą
Mes gyvename trimačiame pasaulyje, bet matome jį kaip dvimatį. Taip yra dėl to, kad mūsų akių tinklainė yra plokštumoje, kuri turi tik du matmenis. Štai kodėl mes galime suvokti dvimačius paveikslus ir rasti juos panašius į tikrovę.
(Žinoma, akomodacijos dėka akis gali įvertinti atstumą iki objekto, tačiau tai jau yra šalutinis poveikis, susijęs su mūsų akyje įmontuota optika.)
Keturmatės erdvės gyventojo akys turi turėti trimatę tinklainę. Toks padaras gali iš karto visiškai pamatyti trimatę figūrą: visus jos veidus ir vidų. (Taip pat galime pamatyti dvimatę figūrą, visus jos veidus ir vidų.)
Taigi, pasitelkę regėjimo organus, keturmačio kubo nesugebame suvokti taip, kaip jį suvoktų keturmatės erdvės gyventojas. Deja. Belieka pasikliauti proto akimis ir fantazija, kuri, laimei, neturi fizinių apribojimų.
Tačiau vaizduodamas hiperkubą plokštumoje, aš tiesiog turiu jį projektuoti į dvimatę erdvę. Turėkite tai omenyje studijuodami piešinius.
Kraštinės sankryžos
Natūralu, kad hiperkubo kraštai nesikerta. Sankryžos rodomos tik skaičiais. Tačiau tai neturėtų stebinti, nes įprasto kubo briaunos figūrose taip pat susikerta.
Šonkaulių ilgiai
Verta paminėti, kad visi keturių matmenų kubo veidai ir kraštai yra lygūs. Paveiksle jie nėra lygūs tik todėl, kad yra išdėstyti skirtingais kampais žiūrėjimo kryptimi. Tačiau hiperkubą galima išskleisti taip, kad visos iškyšos būtų vienodo ilgio.
Beje, šioje figūroje aiškiai matomi aštuoni kubeliai, kurie yra hiperkubo veidai.
Hiperkubas viduje tuščias
Sunku patikėti, bet tarp kubų, kurie ribojo hiperkubą, yra tam tikra erdvė (keturmatės erdvės fragmentas).
Norėdami tai geriau suprasti, panagrinėkime įprasto 3D kubo 2D projekciją (tyčia padariau ją šiek tiek eskiziškai).
Ar iš jo galima spėti, kad kubo viduje yra šiek tiek vietos? Taip, bet tik su vaizduote. Akis šios erdvės nemato.
Taip yra todėl, kad kraštai, esantys trečiajame matmenyje (kuris negali būti pavaizduotas plokščiame brėžinyje), dabar pavirto į segmentus, esančius brėžinio plokštumoje. Jie nebeteikia apimties.
Kvadratai, ribojantys kubo erdvę, persidengė vienas kitą. Bet galite įsivaizduoti, kad pradinėje figūroje (trimatis kubas) šie kvadratai buvo išdėstyti skirtingose plokštumose, o ne vienas ant kito toje pačioje plokštumoje, kaip paaiškėjo paveikslėlyje.
Tas pats pasakytina ir apie hiperkubą. Hiperkubo kubo veidai iš tikrųjų nesutampa, kaip mums atrodo projekcijoje, o yra keturmatėje erdvėje.
Reamers
Taigi, keturmatės erdvės gyventojas gali matyti trimatį objektą vienu metu iš visų pusių. Ar galime matyti trimatį kubą iš visų pusių vienu metu? Su akimi, ne. Tačiau žmonės sugalvojo, kaip ant plokščio piešinio vienu metu pavaizduoti visus trimačio kubo veidus. Toks vaizdas vadinamas šlavimu.
3D kubo išskleidimas
Turbūt visi žino, kaip formuojasi trimačio kubo išsiskleidimas. Šis procesas parodytas animacijoje.
Aiškumo dėlei kubo paviršių kraštai yra permatomi.
Reikia pažymėti, kad šį dvimatį paveikslą galime suvokti tik vaizduotės dėka. Jei atsiskleisime iš dviejų dimensijų, procesas atrodys keistas ir visai nevaizdus.
Panašu, kad iš pradžių laipsniškai atsiranda iškraipytų kvadratų kontūrai, o po to jie išsiskleidžia į vietą, kartu priimant reikiamą formą.
Jei žiūrite į išsiskleidžiantį kubą vieno iš jo veidų kryptimi (šiuo požiūriu kubas atrodo kaip kvadratas), tada raidos formavimosi procesas yra dar mažiau aiškus. Viskas atrodo taip, lyg išlįstumėte iš kvadratų iš pradinio kvadrato (ne išskleisto kubo).
Bet ne vizualiaišluoti tik už akis.
Kaip suprasti 4-matę erdvę?
Vien fantazijos dėka iš jo galima išsemti daug informacijos.
4D kubo išskleidimas
Animacinio hiperkubo išsiskleidimo proceso tiesiog neįmanoma paversti bent kiek vizualiai. Tačiau šį procesą galima įsivaizduoti. (Norėdami tai padaryti, turite pažvelgti į tai keturių matmenų būtybės akimis.)
Sklaida atrodo taip.
Čia matomi visi aštuoni kubai, ribojantys hiperkubą.
Veidai dažomi tomis pačiomis spalvomis, kurios turėtų būti išlygintos sulenkiant. Veidai, kuriems nesimato suporuotų, paliekami pilki. Sulenkus viršutinio kubo viršutinis paviršius turi sutapti su apatinio kubo paviršiumi. (Panašiai sutrinka trimačio kubo kūrimas.)
Atkreipkite dėmesį, kad po lankstymo visi aštuonių kubelių paviršiai susilies ir uždarys hiperkubą. Ir galiausiai, įsivaizduodami lankstymo procesą, nepamirškite, kad lankstymo metu kubeliai yra ne dedami, o apvyniojami aplink tam tikrą (hiperkubinį) keturių matmenų plotą.
Salvadoras Dali (1904–1989) daug kartų vaizdavo nukryžiavimą, o kryžiai matomi daugelyje jo paveikslų. Paveiksle „Nukryžiavimas“ (1954) naudojamas hiperkubo šlavimas.
Erdvė-laikas ir Euklido keturmatė erdvė
Tikiuosi, jums pavyko įsivaizduoti hiperkubą. Bet ar jums pavyko priartėti prie supratimo, kaip veikia keturių dimensijų erdvėlaikis, kuriame gyvename? Deja, tikrai ne.
Čia mes kalbėjome apie Euklido keturių dimensijų erdvę, tačiau erdvės laikas turi labai skirtingas savybes. Visų pirma, esant bet kokiam sukimui, segmentai visada lieka pasvirę į laiko ašį arba mažesniu nei 45 laipsnių kampu, arba didesniu nei 45 laipsniais.
Aš skyriau keletą pastabų erdvės ir laiko savybėms.
3D vaizdas
Pasaulis yra trimatis. Jo vaizdas yra dvimatis. Svarbus tapybos, o dabar ir fotografijos uždavinys – perteikti erdvės trimatį. Kai kurias technikas jau įvaldė romėnai, vėliau jos buvo pamirštos ir su Renesansu ėmė grįžti prie klasikinės tapybos.
Pagrindinė tapybos trimatės erdvės kūrimo technika yra perspektyva. Geležinkelio bėgiai, tolstantys nuo žiūrovo, vizualiai siauri. Dažant bėgius galima fiziškai susiaurinti. Fotografuojant perspektyva atsiranda automatiškai: kamera fotografuos bėgius taip siaurai, kaip mato akis. Tačiau neleiskite beveik užsidaryti: atrodys nebe kaip perspektyva, o kaip keista figūra; tarp bėgių, gatvės kraštų, upės krantų, reikėtų išlaikyti pastebimą tarpą.
Svarbu suprasti, kad linijinė perspektyva yra primityviausias, tikroviškiausias būdas perteikti pasaulį.
Įrašo navigacija
Neatsitiktinai jos išvaizda asocijuojasi su teatro dekoracijomis (Florenskis, Atvirkštinė perspektyva). Tradiciškumas, nedidelio gylio teatro scenos perkėlimo paprastumas labai tinka fotografijai, neturintis įvairių tapybos technikų.
Yra perspektyvų, kurios yra daug įdomesnės nei linijinės. Kinų meistrų darbuose yra plūduriuojanti perspektyva, kai objektai vaizduojami vienu metu iš apačios, viršaus ir priekio. Tai nebuvo techninė nekompetentingų menininkų klaida: legendinis šios technikos autorius Guo Xi rašė, kad toks eksponavimas leidžia suvokti pasaulį jo visumą. Panaši ir rusų ikonų tapybos technika, kai žiūrovas vienu metu gali matyti veikėjo veidą ir nugarą. Įdomus ikonų tapybos būdas, sutinkamas ir tarp Vakarų Europos menininkų, buvo atvirkštinė perspektyva, kai toli esantys objektai, priešingai, yra didesni už artimus, pabrėžiant jų svarbą. Tik mūsų dienomis nustatyta, kad tokia perspektyva yra teisinga: priešingai nei tolimi objektai, pirmas planas tikrai suvokiamas atvirkštine perspektyva (Rauschenbach). Naudodami Photoshop galite pasiekti atvirkštinę perspektyvą padidindami fono objektus. Prie fotografijos dėsnių pripratusiam žiūrovui toks vaizdas atrodys keistai.
Pastato kampo įvedimas į karkasą, nuo kurio sienos skiriasi į abi puses, sukuria izometrinės perspektyvos įspūdį. Smegenys supranta, kad sienos yra stačiu kampu, ir atitinkamai išdėsto likusį vaizdą. Tokia perspektyva yra dinamiškesnė nei priekinė ir natūralesnė pirmame plane. Tiesiog įveskite galinius objektų ir glaudžiai išdėstytų pastatų kampus į rėmą.
Dėl išsiplėtimo izometrinė perspektyva yra pagrindinė, kuri retai tinka klasikiniam portretui. Linijinė perspektyva dėl susiaurėjimo geriau perteikia nedideles emocijas.
Fotografavimo etape fotografas turi daugybę įrankių, skirtų pabrėžti perspektyvą. Į tolį išeinantys vienodo pločio objektai (takelis, gatvė, kolonos, vagos), siaurėdami ir net tiesiog toldami, parodo žiūrovui erdvės trimatį. Efektas stipresnis fotografuojant žemu kampu, kad padidėtų perspektyvos iškraipymas. To pakanka kraštovaizdžiui fotografuoti, tačiau esant nedideliam vaizdo gyliui fotografuojant viduje, efektas sunkiai pastebimas. Jį galima šiek tiek patobulinti atliekant papildomą apdorojimą susiaurinus vaizdo viršų (Transform Perspective). Tačiau net ir kraštovaizdyje hipertrofuota perspektyva gali atrodyti įdomi.
Gylis gali būti aiškiai išreikštas vaizdo prasme: pastatus skiria gatvė arba upė. Įstrižainė pabrėžia trimatį; kaip tiltas per upę.
Žiūrovui žinomo dydžio objektai fone nustato mastelį ir atitinkamai formuoja perspektyvą. Kraštovaizdžio fotografijoje toks objektas gali būti ir automobilis, tačiau portretinėje fotografijoje pabandykite sulenkti ir pakišti koją po kėde (atokiau nuo fotoaparato), kad ji, nors ir liktų matoma, atrodytų mažesnė. Galite net šiek tiek sumažinti šią koją tolesnio apdorojimo metu.
Ornamentas perteikia perspektyvą, vizualiai sumažindamas elementus. Pavyzdys galėtų būti didelės plytelės ant grindų, žyminčios linijas kelyje.
Yra hipertrofuoto priekinio plano technika. Neproporcingai didelis, sukuria vaizdo gylį. Lyginant priekinio plano ir modelio mastelį, akis daro išvadą, kad modelis yra daug toliau, nei atrodo. Hipertrofija turi išlikti subtili, kad vaizdas nebūtų suvokiamas kaip klaida. Ši technika tinka ne tik po apdorojimo, bet ir fotografuojant: iškraipykite proporcijas fotografuodami su 35 arba 50 mm objektyvu. Fotografuojant plačiakampiu objektyvu, erdvė išplečiama, dėl proporcijų pažeidimo padidėja jos trimatiškumas. Efektas stipresnis, jei modelį fotografuosite iš arti, tačiau saugokitės groteskiškų proporcijų: tik religinių vaizdų autoriai gali pavaizduoti didesnį už pastatą žmogų.
Crossover veikia puikiai. Jei obuolys iš dalies dengia kriaušę, tada smegenys neklys: obuolys yra priešais kriaušę. Modelis, kuris iš dalies dengia baldus, taip sukuria interjero gilumą.
Šviesių ir tamsių dėmių kaitaliojimas taip pat suteikia vaizdui gilumo. Smegenys iš patirties žino, kad šalia esantys objektai yra apšviesti maždaug vienodai, todėl skirtingai apšviestus objektus interpretuoja kaip esančius skirtingu atstumu. Dėl šio efekto dėmės pakaitomis keičiasi perspektyvos ašies kryptimi – giliai į vaizdą, o ne skersai jį. Pavyzdžiui, kai fotografuojate modelį, gulintį atokiai nuo fotoaparato tamsiame kadre, paryškinkite šviesą šalia sėdmenų ir prie kojų. Po apdorojimo galite pašviesinti / patamsinti vietas.
Manoma, kad vis tamsesnių objektų seka mažėja. Palaipsniui užtemdydami objektus išilgai aktyvios linijos, galite įgauti subtilų perspektyvos pojūtį. Panašiai gylis perteikiamas silpninant šviesą: per baldus arba ant grindų paleiskite šviesos ruožą.
Erdvinį vaizdą galima gauti dėl ne tik šviesos, bet ir spalvų kontrasto. Šią techniką žinojo flamandų tapytojai, kurie savo natiurmortus dėdavo ryškiaspalves dėmes. Raudonas granatas ir geltona citrina greta atrodys trimačiai net esant plokščiam priekiniam apšvietimui. Jos ypač gerai išsiskirs violetinių vynuogių fone: šilta spalva šaltame fone. Ryškių spalvų paviršiai puikiai išsiveržia iš tamsos net esant silpnai natiurmortui būdingai šviesai. Spalvų kontrastas geriau veikia su pagrindinėmis spalvomis raudona, geltona, mėlyna, o ne atspalviais.
Juodame fone geltona išeina į priekį, mėlyna pasislepia atgal. Baltame fone – atvirkščiai. Spalvų sodrumas sustiprina šį efektą. Kodėl tai vyksta? Geltona spalva niekada nėra tamsi, todėl smegenys atsisako patikėti, kad geltonas objektas gali būti panardintas į tamsų foną, o ne apšviestas. Kita vertus, mėlyna yra tamsi.
Perspektyvos tobulinimas atliekant po apdorojimą yra susijęs su atmosferos suvokimo modeliavimu: toli esantys objektai mums atrodo šviesesni, neryškūs, su mažesniu ryškumo, sodrumo ir tonų kontrastu.
Be didelių atstumų, atmosferos efektai natūraliai atrodo ryte, rūke, dūmuose. Atsižvelkite į orą: debesuotą dieną arba prieblandoje negali būti didelio skirtumo tarp priekinio plano ir fono.
Stipriausias iš veiksnių yra ryškumo kontrastas. Nustatymuose tai yra įprastas kontrastas. Sumažinkite tolimų objektų kontrastą, padidinkite priekinio plano kontrastą – ir vaizdas išsipūtęs. Kalbama ne apie kontrastą tarp priekinio plano ir fono, o apie fono kontrastą, kuris turėtų būti mažesnis nei priekinio plano kontrastas. Šis metodas tinka ne tik peizažams ir žanriniam fotografavimui, bet ir studijos portretams: padidinkite priekinės veido dalies kontrastą, sumažinkite plaukų ir skruostikaulių, drabužių kontrastą. Portreto filtrai daro kažką panašaus – sulieja objekto odą, o akys ir lūpos tampa ryškios.
Kontrasto reguliavimas yra lengviausias būdas atlikti 3D vaizdo apdorojimą. Skirtingai nuo kitų procesų, žiūrovas beveik nepastebės pokyčių, kurie išsaugos maksimalų natūralumą.
Suliejimas panašus į kontrasto mažinimą, tačiau tai skirtingi procesai. Vaizdas gali būti mažo kontrasto, tačiau išlieka ryškus. Dėl riboto lauko gylio nutolusių objektų suliejimas išlieka populiariausias būdas perteikti trimatį fotografijoje, o jį nesunku sustiprinti suliejant foną po apdorojimo. Todėl mažiau detalių reikėtų dėti į antrą planą – smegenys nesitiki, kad tolumoje bus išskiriami objektai. Tuo tarpu kontrasto mažinimas geriau atitinka natūralų suvokimą: tolimi kalnai matomi su mažu kontrastu, neryškūs, nes skenuojant peizažą akis nuolat persifokusuoja, jam svetima ryškumo gylio problema. Sulieję foną, tuo pačiu galite paryškinti priekinį planą. Be to, priekiniame plane galite patobulinti vaizdo linijas (aukšto dažnio filtras arba skaidrumas). Būtent didelis priekinio plano ryškumas paaiškina būdingą aukštos kokybės objektyvų vaizdo išsipūtimą. Atsargiai: norėdami šiek tiek padidinti trimatį vaizdą, galite padaryti vaizdą per kietą.
Šviesesni objektai atrodo labiau nutolę. Taip yra dėl to, kad gamtoje mes matome tolimus objektus per šviesą sklaidančio oro storį; tolimi kalnai atrodo šviesūs. Todėl kraštovaizdžio fotografijoje reikia būti atsargiems dėl šviesių objektų padėties pirmame plane.
Apšvieskite tolimus objektus. Kuo toliau, tuo labiau jie susilieja su dangaus šviesumu ir tonu. Atkreipkite dėmesį, kad horizontalūs objektai (žemė, jūra) yra geriau apšviesti nei vertikalūs (sienos, medžiai), todėl nepersistenkite su pastarųjų apšvietimu. Bet kokiu atveju objektai turėtų išlikti pastebimai mažiau šviesūs nei dangus.
Na, jei pastebėsite, kad pašviesinimas yra dar vienas būdas sumažinti fono ryškumo kontrastą. Šiek tiek patamsinkite priekinį planą, kad padidintumėte iškilumo efektą.
Atrodytų, kad interjere yra atvirkščiai. Jei gatvėje akis įpratusi, kad atstumas šviesus, tai kambaryje šviesa dažnai būna nukreipta į žmogų, o interjeras paskęstas tamsoje; smegenys įpratusios šviesti pirmame plane, o ne fone.
Interjero vaizduose su nedideliu scenos gyliu, priešingai nei peizažuose, apšviestas modelis išsikiša iš tamsaus fono. Tačiau yra ir priešingas veiksnys: 99% savo evoliucijos žmogus stebėjo perspektyvą atviroje vietoje, o atsiradus kambariams, smegenys dar nespėjo persitvarkyti. Vermeer pirmenybę teikė šviesiam portretų fonui, o jie tikrai išgaubti. Fotografijoje rekomenduojamas vertikalaus fono apšvietimas ne tik atskiria modelį nuo jo, bet ir pašviesindamas foną suteikia vaizdui nežymaus trimačio. Čia susiduriame su tuo, kad smegenys analizuoja objektų vietą pagal kelis veiksnius ir jie gali konfliktuoti.
Įdomiai atrodo studijinis apšvietimas, kuriame šviesos dėmės yra nutolusiose nuo fotoaparato modelio vietose. Pavyzdžiui, paryškinama krūtinė, kuri yra toliau nuo fotoaparato.
Sumažinkite tolimų objektų spalvų sodrumą: dėl mus skiriančio oro storio tolimi kalnai yra beveik iki vienspalvio lygio ir padengti mėlyna migla. Galima padidinti priekinio plano sodrumą.
Kadangi geltona yra šviesi, o mėlyna ir raudona yra tamsi, spalvų kontrastas taip pat yra ryškumo kontrastas.
Išblukina tolimą foną, neleiskite jam išnykti. Dažnai, priešingai, reikia padidinti fono sodrumą, kad jį išryškintumėte. Tai svarbiau nei trimatis.
Daugelis 3D fotografijos patarimų yra susiję su temperatūros kontrastu. Tiesą sakant, šis efektas yra labai silpnas, lengvai pertraukiamas dėl ryškumo kontrasto. Be to, temperatūros kontrastas erzina, pribloškia.
Labai nutolę objektai atrodo vėsesni, nes šiltą oranžinę šviesą sugeria oras. Fotografuodami paplūdimyje modelį su horizonte esančiais laivais fone, tolesnio apdorojimo metu sumažinkite tolimosios jūros ir laivų spalvų temperatūrą. Iš mėlynos jūros išnyra modelis raudonu maudymosi kostiumėliu, o iš melsvos prieblandos išnyra modelis geltonoje gatvės lempos šviesoje.
Tai yra atskiras tonizavimas: modelį padarome šiltesnį, foną šaltesnį. Smegenys supranta, kad toje pačioje plokštumoje nėra skirtingų spalvų temperatūrų, ir tokį vaizdą suvokia kaip trimatį, kuriame modelis išsikiša iš fono. Atskiras tonizavimas suteikia kraštovaizdžiui gilumo: padarykite priekinį planą šiltesnį, o foną šaltesnį.
Svarbi išskirtinio tonavimo išimtis: saulėtekio ir saulėlydžio metu tolimas fonas visai ne šaltas, o šiltas, su geltonais ir raudonai oranžiniais tonais. Akivaizdus sprendimas – baltą modelį naudoti su violetiniu maudymosi kostiumėliu – neveikia, nes saulėlydžio šviesa suteikia šilto atspalvio ir modelio kūnui.
Apibendrinant, norint suteikti nuotraukai trimatį atmosferos efektų pagrindu, būtina kontrastuoti priekinį planą ir foną. Pagrindinė priešprieša – įprastas kontrastas: pirmas planas kontrastingas, fonas – mažo kontrasto. Antroji opozicija yra aštrumo: pirmas planas yra ryškus, fonas yra neryškus. Trečioji opozicija – pagal šviesumą: pirmas planas tamsus, fonas šviesus. Ketvirtoji opozicija yra prisotinta: priekinio plano spalvos yra prisotintos, o fono spalvos yra prisotintos. Penktoji opozicija yra temperatūros: pirmas planas šiltas, fonas šaltas.
Šie veiksniai dažnai yra daugiakrypčiai. Geltona spalva yra ryškesnė už mėlyną, o šviesūs objektai atrodo toliau nei tamsūs. Būtų natūralu tikėtis, kad geltona spalva atsitrauks, o mėlyna priartės prie žiūrovo. Tiesą sakant, yra priešingai: šaltame fone atsiranda šilta spalva. Tai reiškia, kad spalva yra stipresnis veiksnys nei ryškumas. Kas, pagalvojus, nenuostabu: geltona ir raudona aiškiai išsiskiria tik iš arti, o žiūrovas nesitiki sutikti jas per didelį atstumą.
Apatinė eilutė: fonas turi būti mažo kontrasto, išplautas, šviesus, neprisotintas, melsvas. Ir būkite pasiruošę, kad žiūrovas, pripratęs prie hipertrofuotų 3D filmų, pastebės, kad jūsų sukurtas trimatis vos pastebimas arba jo visai nėra.
Fotografuojant geriausia pasikliauti pasiteisinusiu chiaroscuro efektu, šviesos ir šešėlių žaismu objekto veide, todėl vaizdas atrodys gana ryškus. Žanrinėje fotografijoje perspektyva suteikia ryškiausią trimatį efektą. Natiurmorte pagrindinis veiksnys bus objektų susikirtimas (perdanga).
Nesidrovėkite perspektyvos; tai tik fonas priekinei plokštumai, ant kurios dreba tavo vaizdas. Šiuolaikinėje tapyboje, toli nuo realizmo, perspektyva nėra labai vertinama.
Atsisiųskite visą knygą: pdfepubazw3mobifb2litTurinys
|
|||||||||||||||||||||
|
1904 m. Henri Poincare pasiūlė, kad bet koks trimatis objektas, turintis tam tikras trimatės sferos savybes, gali būti paverstas 3 sfera. Šiai hipotezei įrodyti prireikė 99 metų. (Dėmesio! Trimatė sfera nėra tai, ką manote.) Rusų matematikas Grigorijus Perelmanas įrodė Puankarės spėjimą prieš šimtą metų ir baigė kurti trimačių erdvių formų katalogą.
Poincaré teigė, kad 3 sfera yra unikali ir joks kitas kompaktiškas 3 kolektorius (Nekompaktiški kolektoriai yra begaliniai arba turi briaunas. Toliau nagrinėjami tik kompaktiški kolektoriai) neturi savybių, dėl kurių jis toks paprastas. Sudėtingesni 3 kolektoriai turi sienas, kurios stovi kaip plytų siena, arba kelios jungtys tarp kai kurių sričių, pavyzdžiui, miško takas, kuris išsišakoja ir vėl susijungia. Bet koks trimatis objektas, turintis 3 sferų savybes, gali būti paverstas pačia 3 sfera, todėl topologams tai yra tiesiog jos kopija. Perelmano įrodymas taip pat leidžia atsakyti į trečiąjį klausimą ir suskirstyti visus esamus 3 kolektorius.
Norint įsivaizduoti 3 sferas, reikia pakankamai vaizduotės. Laimei, jis turi daug bendro su 2 sfera, kurios tipiškas pavyzdys yra apvalaus baliono guma: jis yra dvimatis, nes bet kurį jo tašką nurodo tik dvi koordinatės - platuma ir ilguma. Jei apsvarstysime pakankamai mažą jo dalį po galingu padidinamuoju stiklu, tai atrodys kaip plokščio lakšto gabalas. Mažam vabzdžiui, ropojančiam ant baliono, jis atrodys lygus paviršius. Bet jei booger pakankamai ilgai juda tiesia linija, galiausiai jis grįš į pradinį tašką. Lygiai taip pat 3 mūsų Visatos dydžio sferą suvoktume kaip „įprastą“ trimatę erdvę. Skrisdami pakankamai toli bet kuria kryptimi, galiausiai juo „apsuktume aplink pasaulį“ ir grįžtume į pradinį tašką.
Kaip jau galėjote atspėti, n matmenų sfera vadinama n sfera. Pavyzdžiui, 1 sfera yra žinoma visiems: tai tik ratas.
Matematikai, įrodantys teoremas apie aukštesnių matmenų erdves, neprivalo įsivaizduoti tyrimo objekto: jie nagrinėja abstrakčias savybes, vadovaudamiesi intuicija, paremta analogijomis, turinčiomis mažiau matmenų (tokios analogijos turėtų būti vertinamos atsargiai, o ne pažodžiui). Mes taip pat apsvarstysime 3 sferą, pagrįstą mažesnio matmenų skaičiaus objektų savybėmis.
1. Pradėkime nuo apskritimo ir jį ribojančio apskritimo. Matematikams apskritimas yra dvimatis rutulys, o apskritimas – vienmatė sfera. Be to, bet kokio dydžio rutulys yra užpildytas objektas, panašus į arbūzą, o sfera yra jo paviršius, labiau panašus į balioną. Apskritimas yra vienmatis, nes taško vietą jame galima nurodyti vienu skaičiumi.
2. Iš dviejų apskritimų galime pastatyti dvimatę sferą, vieną iš jų paversdami Šiaurės pusrutuliu, o kitą – Pietų. Belieka juos klijuoti, ir 2 sferos yra paruoštos.
3. Įsivaizduokite skruzdėlę, ropščiančią iš Šiaurės ašigalio dideliu apskritimu, sudarytu iš nulio ir 180-ojo dienovidinio (kairėje). Jei nubrėžtume jo kelią į du pradinius apskritimus (dešinėje), pamatytume, kad vabzdys juda tiesia linija (1) iki šiaurinio apskritimo krašto (a), tada kerta sieną ir atsitrenkia į atitinkamą tašką pietinis apskritimas ir toliau eina tiesia linija (2 ir 3). Tada skruzdėlė vėl pasiekia kraštą (b), kerta jį ir vėl atsiduria šiauriniame apskritime, veržiasi į pradinį tašką - Šiaurės ašigalį (4). Atkreipkite dėmesį, kad keliaujant aplink pasaulį 2 sferomis judėjimo kryptis pasikeičia, kai juda iš vieno rato į kitą.
4. Dabar apsvarstykite mūsų 2 rutulį ir joje esantį tūrį (3D rutulį) ir padarykite su jais tą patį, ką padarėme su apskritimu ir apskritimu: paimkite dvi rutulio kopijas ir suklijuokite jų ribas. Neįmanoma ir nebūtina aiškiai parodyti, kaip kamuoliukai iškreipiami keturiais matmenimis ir virsta pusrutulių analogu. Užtenka žinoti, kad paviršiuose atitinkami taškai, t.y. 2 sferos yra tarpusavyje sujungtos taip pat, kaip ir apskritimų atveju. Dviejų rutuliukų sujungimo rezultatas yra 3 rutulys – keturmačio rutulio paviršius. (Keturiose dimensijose, kur egzistuoja 3 rutulys ir 4 rutuliukai, objekto paviršius yra trimatis.) Pavadinkime vieną rutulį šiaurės pusrutuliu, o kitą – pietų pusrutuliu. Pagal analogiją su apskritimais, poliai dabar yra rutuliukų centruose.
5. Įsivaizduokite, kad nagrinėjami rutuliai yra didelės tuščios erdvės. Tarkime, astronautas raketa palieka Šiaurės ašigalį. Laikui bėgant jis pasiekia pusiaują (1), kuris dabar yra rutulys, supantis šiaurinį Žemės rutulį. Jį kirsdama raketa patenka į pietinį pusrutulį ir tiesia linija per jo centrą – Pietų ašigalį – juda į priešingą pusiaujo pusę (2 ir 3). Ten vėl įvyksta perėjimas į šiaurinį pusrutulį, o keliautojas grįžta į Šiaurės ašigalį, t.y. iki pradinio taško (4). Tai yra kelionės aplink pasaulį 4-mačio rutulio paviršiaus scenarijus! Nagrinėjama trimatė sfera yra erdvė, nurodyta Poincare'o spėjime. Galbūt mūsų Visata yra tik trijų sferų.
Samprotavimą galima išplėsti iki penkių matmenų ir sukurti 4 sferą, tačiau tai labai sunku įsivaizduoti. Jei suklijuosime du n rutulius išilgai juos supančių (n-1) rutulių, gausime n rutulį, ribojantį (n+1) rutulį.
Praėjo pusė amžiaus, kol Poincare'o spėjimas pasirodė esąs. 60-aisiais. 20 amžiaus matematikai įrodė panašius į jį teiginius penkių ar daugiau dimensijų sferoms. Kiekvienu atveju n-sfera iš tiesų yra vienintelis ir paprasčiausias n-daugelis. Kaip bebūtų keista, rezultatą gauti daugiamatėms sferoms buvo lengviau nei 3 ir 4 sferoms. Keturių matmenų įrodymas pasirodė 1982 m. Ir liko nepatvirtintas tik originalus Puankarės spėjimas apie 3 sferą.
Lemiamas žingsnis buvo žengtas 2002 metų lapkritį, kai Matematikos instituto Sankt Peterburgo katedros matematikas Grigorijus Perelmanas. Steklov, atsiuntė straipsnį į svetainę www.arxiv.org, kur fizikai ir matematikai iš viso pasaulio aptaria savo mokslinės veiklos rezultatus. Topologai iš karto užčiuopė ryšį tarp rusų mokslininko darbų ir Puankarės hipotezės, nors autorius to tiesiogiai neužsiminė.
Tiesą sakant, Perelmano įrodymas, kurio teisingumu dar niekam nepavyko suabejoti, išsprendžia daug platesnį klausimų spektrą nei tikrasis Puankaro spėjimas. William P. Thurston iš Kornelio universiteto pasiūlyta geometrizavimo procedūra leidžia visiškai suskirstyti 3 kolektorius, remiantis 3 sfera, kuri yra unikali savo didingu paprastumu. Jei Puankaro spėjimas būtų klaidingas, t.y. jei būtų daug erdvių, tokių paprastų kaip sfera, tada 3-jų kolektorių klasifikacija taptų be galo sudėtingesnė. Perelmano ir Thurstono dėka turime pilną katalogą, kuriame pateikiamos visos matematikos leidžiamos trimatės erdvės formos, kurias gali užimti mūsų Visata (jei svarstytume tik erdvę be laiko).
Norint geriau suprasti Poincaré spėjimą ir Perelmano įrodymą, reikėtų atidžiau pažvelgti į topologiją. Šioje matematikos šakoje daikto forma neturi reikšmės, tarsi jis būtų iš tešlos, kurią galima bet kokiu būdu tempti, suspausti, lenkti. Kodėl turėtume galvoti apie daiktus ar erdves iš įsivaizduojamo testo? Faktas yra tas, kad tiksli objekto forma - atstumas tarp visų jo taškų - nurodo konstrukcijos lygį, kuris vadinamas geometrija. Ištyrę objektą iš testo, topologai atskleidžia pagrindines jo savybes, kurios nepriklauso nuo geometrinės struktūros. Topologijos tyrimas yra tarsi ieškojimas dažniausiai pasitaikančių bruožų, kuriuos turi žmonės, žiūrėdami į „plastilinį žmogų“, kurį galima paversti bet kokiu konkrečiu individu.
Populiariojoje literatūroje dažnai pasigirsta klaidingas tvirtinimas, kad topologijos požiūriu puodelis niekuo nesiskiria nuo spurgos. Faktas yra tas, kad tešlos puodelį galima paversti spurga tiesiog susmulkinus medžiagą, t.y. nieko nelimpa ir nedaro skylių. Kita vertus, norint iš rutulio padaryti spurgą, būtinai reikia padaryti joje skylutę arba susukti į cilindrą ir aklini galus, taigi rutulys visai ne spurgos.
Topologus labiausiai domina rutulio ir spurgos paviršiai. Todėl vietoj tvirtų kūnų reikėtų įsivaizduoti balionus. Jų topologija vis dar skiriasi, nes sferinis balionas negali būti paverstas žiediniu balionu, kuris vadinamas toru. Pirmiausia mokslininkai nusprendė išsiaiškinti, kiek objektų su skirtingomis topologijomis egzistuoja ir kaip juos galima apibūdinti. Dėl 2-jų kolektorių, kuriuos esame įpratę vadinti paviršiais, atsakymas yra elegantiškas ir paprastas: viską lemia „skylių“ arba, lygiavertiškai, rankenėlių skaičius. Iki XIX amžiaus pabaigos. matematikai išsiaiškino, kaip klasifikuoti paviršius ir išsiaiškino, kad paprasčiausias iš jų yra sfera. Natūralu, kad topologai pradėjo galvoti apie 3-ias kolektorius: ar 3-sfera yra unikali savo paprastumu? Amžina atsakymo paieškos istorija kupina klaidų ir klaidingų įrodymų.
Henri Poincaré rimtai ėmėsi šio klausimo. Jis buvo vienas iš dviejų galingiausių XX amžiaus pradžios matematikų. (kitas buvo Davidas Hilbertas). Jis buvo vadinamas paskutiniuoju generalistu – sėkmingai dirbo visose tiek grynosios, tiek taikomosios matematikos skyriuose. Be to, Puankarė įnešė didžiulį indėlį plėtojant dangaus mechaniką, elektromagnetizmo teoriją, taip pat į mokslo filosofiją, apie kurią parašė keletą populiarių knygų.
Poincaré tapo algebrinės topologijos įkūrėju ir, naudodamas jos metodus, 1900 m. suformulavo topologinę objekto charakteristiką, vadinamą homotopija. Norint nustatyti kolektoriaus homotopiją, reikia mintyse panardinti į jį uždarą kilpą. Tada turėtume išsiaiškinti, ar visada įmanoma sutraukti kilpą iki taško, perkeliant ją kolektoriaus viduje. Dėl toro atsakymas bus neigiamas: jei aplink toro perimetrą uždėsite kilpą, nebus įmanoma jo sutraukti iki taško, nes trukdys spurgos „skylė“. Homotopija yra skirtingų kelių, kurie gali užkirsti kelią kilpai susitraukti, skaičius.
n sferoje bet kurią, net ir sudėtingai susuktą kilpą visada galima išnarplioti ir nutempti iki taško. (Kilpai leidžiama pereiti per save.) Puankarė manė, kad 3 sfera yra vienintelis 3 kolektorius, kuriame bet kokia kilpa gali būti sutraukta iki taško. Deja, jis niekada negalėjo įrodyti savo spėjimo, kuris vėliau tapo žinomas kaip Puankarės spėjimas.
Perelmano 3-jų kolektorių analizė yra glaudžiai susijusi su geometrizavimo procedūra. Geometrija nagrinėja tikrąją objektų ir kolektorių, pagamintų nebe iš tešlos, o iš keramikos, formą. Pavyzdžiui, puodelis ir beigelis geometriškai skiriasi, nes jų paviršiai skirtingai išlenkti. Teigiama, kad puodelis ir spurgos yra du skirtingų geometrinių formų topologinio toro pavyzdžiai.
Norėdami suprasti, kodėl Perelmanas naudojo geometrizaciją, apsvarstykite 2 kolektorių klasifikaciją. Kiekvienam topologiniam paviršiui priskiriama unikali geometrija, kurios kreivumas yra tolygiai paskirstytas visame kolektoriuje. Pavyzdžiui, sferai tai yra tobulai sferinis paviršius. Kita galima topologinės sferos geometrija yra kiaušinis, tačiau jo kreivumas nėra visur tolygiai pasiskirstęs: aštrusis galas yra labiau išlenktas nei bukas.
2 kolektoriai sudaro tris geometrinius tipus. Sferai būdingas teigiamas kreivumas. Geometrizuotas toras yra plokščias ir jo kreivumas yra nulinis. Visi kiti 2 kolektoriai su dviem ar daugiau "skylių" turi neigiamą kreivumą. Jie atitinka paviršių, panašų į balną, kuris lenkiasi aukštyn priekyje ir užpakalyje, o žemyn – į kairę ir dešinę. Šią geometrinę 2 kolektorių klasifikaciją (geometrizaciją) sukūrė Poincare kartu su Paulu Koebe ir Felixu Kleinu, kurių vardu Kleino butelis pavadintas.
Kyla natūralus noras panašų metodą taikyti ir 3 kolektoriams. Ar įmanoma kiekvienam iš jų rasti tokią unikalią konfigūraciją, kurioje kreivumas pasiskirstytų tolygiai per visą kolektorių?
Paaiškėjo, kad 3 kolektoriai yra daug sudėtingesni nei jų dvimačiai kolegos, ir dauguma jų negali būti siejami su vienalyte geometrija. Jie turėtų būti suskirstyti į dalis, kurios atitinka vieną iš aštuonių kanoninių geometrijų. Ši procedūra primena skaičiaus skaidymą į pirminius veiksnius.
Kaip galima geometrizuoti kolektorių ir suteikti jam vienodą kreivumą visur? Turite paimti savavališką geometriją su įvairiais iškyšomis ir įdubimais, o tada išlyginti visus nelygumus. 90-ųjų pradžioje. 20 amžiaus Hamiltonas pradėjo analizuoti 3 kolektorių, naudodamas Ricci srauto lygtį, pavadintą matematiko Gregorio Ricci-Curbastro vardu. Tai šiek tiek panaši į šilumos lygtį, kuri apibūdina šilumos srautus, tekančius netolygiai įkaitusiame kūne, kol jo temperatūra visur tampa vienoda. Lygiai taip pat Ricci srauto lygtis apibrėžia kolektoriaus kreivumo pokytį, dėl kurio visos briaunos ir įdubimai yra išlyginti. Pavyzdžiui, jei pradėsite nuo kiaušinio, jis palaipsniui taps sferinis.
Perelmanas į Ricci srauto lygtį įtraukė naują terminą. Šis pakeitimas nepašalino singuliarumo problemos, bet leido atlikti daug gilesnę analizę. Rusų mokslininkas parodė, kad ant hantelio formos kolektoriaus galima atlikti „chirurginę“ operaciją: nupjaukite ploną vamzdelį abiejose kylančio žiupsnelio pusėse, o iš rutuliukų kyšančius atvirus vamzdelius uždarykite sferiniais dangteliais. Tada reikėtų toliau keisti „veikiantį“ kolektorių pagal Ricci srauto lygtį ir taikyti pirmiau aprašytą procedūrą visiems susidariusiems suspaudimams. Perelmanas taip pat parodė, kad cigaro formos bruožai negali pasirodyti. Taigi, bet kuris 3 kolektorius gali būti sumažintas iki vienodos geometrijos dalių rinkinio.
Kai Ricci srautas ir „chirurgija“ taikomi visiems galimiems 3 kolektoriams, bet kuris iš jų, jei jis toks paprastas kaip 3 sfera (kitaip tariant, turi tą pačią homotopiją), būtinai redukuojasi iki tos pačios homogeninės geometrijos. , kuri ir 3-sfera. Vadinasi, topologiniu požiūriu nagrinėjamas kolektorius yra 3 sferos. Taigi 3 sfera yra unikali.
Perelmano straipsnių vertė slypi ne tik Puankaro spėjimo įrodyme, bet ir naujuose analizės metoduose. Rusijos matematiko gautus rezultatus viso pasaulio mokslininkai jau naudoja savo darbe ir jo sukurtus metodus taiko kitose srityse. Paaiškėjo, kad Ricci srautas siejamas su vadinamąja renormalizavimo grupe, kuri lemia, kaip kinta sąveikų stiprumas priklausomai nuo dalelių susidūrimo energijos. Pavyzdžiui, esant mažoms energijoms, elektromagnetinės sąveikos stiprumas apibūdinamas skaičiumi 0,0073 (maždaug 1/137). Tačiau kai du elektronai kaktomuša susiduria beveik šviesos greičiu, ši jėga artėja prie 0,0078. Matematika, apibūdinanti fizinių jėgų kitimą, yra labai panaši į matematiką, apibūdinančią kolektoriaus geometrizaciją.
Didėjanti susidūrimo energija prilygsta mokymosi jėgai trumpesniais atstumais. Todėl renormalizavimo grupė yra tarsi mikroskopas su kintamu didinimo koeficientu, kuris leidžia tyrinėti procesą įvairiais detalumo lygiais. Panašiai Ricci srautas yra mikroskopas, skirtas žiūrėti į kolektorius. Vienu padidinimu matomi išsikišimai ir įdubimai dingsta kitu. Tikėtina, kad pagal Planko ilgio skalę (apie 10–35 m) erdvė, kurioje gyvename, atrodo kaip sudėtingos topologinės struktūros putplastis. Be to, bendrosios reliatyvumo teorijos lygtys, apibūdinančios gravitacijos ypatybes ir plataus masto visatos struktūrą, yra glaudžiai susijusios su Ricci srauto lygtimi. Paradoksalu, bet terminas Perelmanas, pridėtas prie Hamiltono vartojamos išraiškos, atsiranda stygų teorijoje, kuri teigia esanti kvantinė gravitacijos teorija. Gali būti, kad rusų matematiko straipsniuose mokslininkai ras kur kas daugiau naudingos informacijos ne tik apie abstrakčius 3-ias koletus, bet ir apie erdvę, kurioje gyvename.
