Koks yra viso kvadrato pasirinkimo būdas. Faktoringo daugianariai. Viso kvadrato pasirinkimo metodas. Metodų derinys. Dirbtinio skaitiklio konvertavimo metodas

Kaip jau pastebėjau, integraliniame skaičiavime nėra patogios trupmenos integravimo formulės. Ir todėl pastebima liūdna tendencija: kuo „įmantresnė“ trupmena, tuo sunkiau iš jos rasti integralą. Šiuo atžvilgiu jūs turite griebtis įvairių gudrybių, apie kurias dabar papasakosiu. Išmokyti skaitytojai gali iš karto pasinaudoti turinys:

• Paprasčiausių trupmenų diferencialo ženklo sumavimo metodas

Dirbtinio skaitiklio konvertavimo metodas

1 pavyzdys

Beje, nagrinėjamą integralą galima išspręsti pakeitus kintamąjį metodą, žymint, tačiau sprendimas bus rašomas daug ilgiau.

2 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą. Pasižiūrėk.

Tai yra „pasidaryk pats“ sprendimo pavyzdys. Reikėtų pažymėti, kad kintamojo keitimo metodas čia nebeveiks.

Dėmesio, svarbu! 1,2 pavyzdžiai yra tipiški ir įprasti.... Visų pirma, tokie integralai dažnai atsiranda sprendžiant kitus integralus, ypač integruojant neracionalias funkcijas (šaknis).

Nagrinėjama technika veikia ir byloje jeigu didžiausias skaitiklio laipsnis yra didesnis už aukščiausią vardiklio laipsnį.

3 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą. Pasižiūrėk.

Pradedame rinkti skaitiklį.

Skaitiklio pasirinkimo algoritmas yra maždaug toks:

1) Skaitiklyje man reikia sutvarkyti, bet ten. Ką daryti? Dedu jį į skliaustus ir padauginu iš:.

2) Dabar bandau atidaryti šiuos skliaustus, kas atsitiks? ... Hmm... jau geriau, bet skaitiklyje iš pradžių nėra dviejų. Ką daryti? Reikia padauginti iš:

3) Dar kartą išskleiskite skliaustus:. Ir štai pirmoji sėkmė! Teisingas pasirodė! Tačiau problema ta, kad atsirado papildomas terminas. Ką daryti? Kad išraiška nepasikeistų, turiu tą patį pridėti prie savo konstrukcijos:
... Gyvenimas tapo lengvesnis. Ar negalima vėl tvarkyti skaitiklyje?

4) Jūs galite. Bandoma: ... Išplėskite antrojo termino skliaustus:
... Atsiprašome, bet aš iš tikrųjų atlikau ankstesnį žingsnį, bet ne. Ką daryti? Antrąjį terminą reikia padauginti iš:

5) Vėlgi, patikrinimui, išplečiu skliaustus antroje dalyje:
... Dabar viskas gerai: gauta iš galutinės 3 punkto konstrukcijos! Bet vėl yra mažas „bet“, atsirado papildomas terminas, reiškiantis, kad turiu papildyti savo posakį:

Jei viskas padaryta teisingai, tada išplėtę visus skliaustus turėtume gauti pradinį integrando skaitiklį. Mes tikriname:
Gerai.

Taigi:

Paruošta. Paskutinį kartą taikiau funkcijos pervedimo po diferencialu metodą.

Jei rasime atsakymo išvestinę ir pritrauksime išraišką į bendrą vardiklį, gausime būtent pirminį integrandą. Nagrinėjamas skaidymo į sumą metodas yra ne kas kita, kaip atvirkštinis veiksmas, siekiant suvesti išraišką į bendrą vardiklį.

Tokiuose pavyzdžiuose skaitiklio pasirinkimo algoritmą geriausia atlikti juodraštyje. Turint tam tikrų įgūdžių, tai pavyks protiškai. Prisimenu rekordinį laiką, kai atlikau 11-ojo laipsnio fitą, o skaitiklio išplėtimas užtruko beveik dvi Verdo eilutes.

4 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą. Pasižiūrėk.

Tai yra „pasidaryk pats“ sprendimo pavyzdys.

Paprasčiausių trupmenų diferencialo ženklo sumavimo metodas

Mes pereiname prie kito tipo trupmenų svarstymo.
,,, (koeficientai ir nėra lygūs nuliui).

Tiesą sakant, pamokoje jau paslydo pora atvejų su arcsinusu ir arctangentu Kintamojo keitimo metodas neapibrėžtame integrelyje... Tokie pavyzdžiai sprendžiami naudojant funkciją perkeliant diferencialo ženklu ir toliau integruojant naudojant lentelę. Štai keletas tipiškesnių pavyzdžių su ilgais ir dideliais logaritmais:

5 pavyzdys

6 pavyzdys

Čia patartina pasiimti integralų lentelę ir atsekti kokiomis formulėmis ir kaip atliekama transformacija. Pastaba kaip ir kodėlšiuose pavyzdžiuose paryškinti kvadratai. Visų pirma, 6 pavyzdyje pirmiausia turite nurodyti formoje esantį vardiklį , tada pažymėkite jį po diferencialiniu ženklu. Ir visa tai reikia padaryti norint naudoti standartinę lentelės formulę .

Ką žiūrėti, pabandykite patys išspręsti ## 7,8 pavyzdžius, juolab kad jie gana trumpi:

7 pavyzdys

8 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą:

Jei taip pat galite patikrinti šiuos pavyzdžius, tada didelė pagarba – jūsų diferenciacijos įgūdžiai yra geriausi.

Viso kvadrato pasirinkimo metodas

Formos integralai, (koeficientai ir nėra lygūs nuliui) išsprendžiami viso kvadrato parinkimo būdu, kuris jau buvo pristatytas pamokoje Geometrinės grafų transformacijos.

Tiesą sakant, tokie integralai redukuojasi iki vieno iš keturių lentelių integralų, kuriuos ką tik svarstėme. Ir tai pasiekiama naudojant pažįstamas sutrumpinto dauginimo formules:

Formulės taikomos šia kryptimi, tai yra, metodo idėja yra dirbtinai organizuoti išraiškas vardiklyje, o tada jas atitinkamai transformuoti į bet kurį.

9 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą

Tai paprasčiausias pavyzdys, kur su terminu – vieneto koeficientas(ne koks nors skaičius ar minusas).

Mes žiūrime į vardiklį, čia viskas, aišku, susiveda į atvejį. Pradėkime vardiklio konvertavimą:

Akivaizdu, kad reikia pridėti 4. O kad išraiška nepasikeistų - tie patys keturi ir atimti:

Dabar galite taikyti formulę:

Baigus konvertuoti VISADA patartina atlikti atvirkštinį judesį: viskas gerai, klaidų nėra.

Galutinis nagrinėjamo pavyzdžio dizainas turėtų atrodyti maždaug taip:

Paruošta. Apibendrinant „nemokamą“ sudėtingą funkciją po diferencialo ženklu: iš esmės jos galima nepaisyti

10 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą:

Tai yra „pasidaryk pats“ sprendimo pavyzdys, atsakymas pateiktas mokymo programos pabaigoje.

11 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą:

Ką daryti, kai priešais yra minusas? Tokiu atveju reikia įdėti minusą už skliaustų ir išdėstyti terminus tokia tvarka, kokia mums reikia:. Pastovus(šiuo atveju „du“) nelieskite!

Dabar pridėkite vieną skliausteliuose. Analizuodami posakį, darome išvadą, kad reikia būti vienam už skliaustų - pridėkite:

Čia gavome formulę, taikome:

VISADA mes patikriname projektą:
, kurią reikėjo patikrinti.

Galutinis pavyzdžio išdėstymas atrodo maždaug taip:

Užduotį apsunkina

12 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą:

Čia su terminu jau ne vieneto koeficientas, o „penkiukas“.

(1) Jei randama konstanta, iš karto ją išimame iš skliaustų.

(2) Apskritai visada geriau šią konstantą paimti už integralo ribų, kad ji netrukdytų jums po kojomis.

(3) Akivaizdu, kad viskas bus sumažinta iki formulės. Būtina suprasti terminą, būtent, gauti „du“

(4) Taip,. Taigi, mes pridedame prie išraiškos ir atimame tą pačią trupmeną.

(5) Dabar pasirinkite visą kvadratą. Bendru atveju taip pat reikia skaičiuoti, bet čia yra ilgojo logaritmo formulė , o veiksmo atlikti nėra prasmės, kodėl – paaiškės šiek tiek žemiau.

(6) Tiesą sakant, galite taikyti formulę , tik vietoj „x“ turime, o tai nepaneigia lentelės integralo galiojimo. Griežtai kalbant, vienas žingsnis buvo praleistas – prieš integruojant funkcija turėjo būti padėta po diferencialo ženklu: bet, kaip jau daug kartų pastebėjau, tai dažnai nepaisoma.

(7) Atsakyme po šaknimi pageidautina išplėsti visus skliaustus atgal:

Sunku? Tai dar nėra pati sunkiausia integralinio skaičiavimo dalis. Nors nagrinėjami pavyzdžiai nėra tiek sudėtingi, kiek reikalauja geros skaičiavimo technikos.

13 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą:

Tai yra „pasidaryk pats“ sprendimo pavyzdys. Atsakymas yra pamokos pabaigoje.

Vardiklyje yra integralai su šaknimis, kurie naudojant pakeitimą redukuojami į nagrinėjamo tipo integralus, apie juos galite perskaityti straipsnyje Sudėtingi integralai, bet jis skirtas aukštos kvalifikacijos studentams.

Skaitiklio pridėjimas po diferencialo ženklu

Tai yra paskutinė pamokos dalis, tačiau tokio tipo integralai yra gana dažni! Jei susikaupė nuovargis, gal geriau paskaityti rytoj? ;)

Integralai, kuriuos svarstysime, yra panašūs į ankstesnio skyriaus integralus, jie turi formą: arba (koeficientai ir nėra lygūs nuliui).

Tai yra, skaitiklyje turime tiesinę funkciją. Kaip išspręsti tokius integralus?

Šioje pamokoje priminsime visus anksčiau išnagrinėtus daugianario faktorinavimo į veiksnius metodus ir apsvarstysime jų taikymo pavyzdžius, be to, išnagrinėsime naują metodą - pilno kvadrato paskirstymo metodą ir išmoksime jį pritaikyti sprendžiant. įvairių problemų.

Tema:Faktoringo daugianariai

Pamoka:Faktoringo daugianariai. Viso kvadrato pasirinkimo metodas. Metodų derinys

Prisiminkime pagrindinius daugianario į faktorius, kurie buvo tyrinėti anksčiau, metodus:

Bendrojo koeficiento išėmimo iš skliaustų metodas, tai yra toks veiksnys, kuris yra visuose daugianario terminuose. Panagrinėkime pavyzdį:

Prisiminkite, kad monomialas yra laipsnių ir skaičių sandauga. Mūsų pavyzdyje abu nariai turi keletą bendrų identiškų elementų.

Taigi, išimkime bendrą veiksnį iš skliaustų:

;

Prisiminkite, kad padauginę daugiklį iš skliaustų, galite patikrinti atimties teisingumą.

Grupavimo metodas. Ne visada įmanoma išskirti bendrą daugianario veiksnį. Šiuo atveju reikia suskirstyti jos narius į grupes, kad kiekvienoje grupėje būtų galima išskirti bendrą veiksnį ir pabandyti jį suskaidyti taip, kad išėmus veiksnius grupėse atsirastų bendras veiksnys visai išraiškai, ir plėtra gali būti tęsiama. Panagrinėkime pavyzdį:

Sugrupuokime pirmąjį terminą su ketvirtuoju, antrąjį su penktuoju ir trečiąjį atitinkamai su šeštuoju:

Paimkime bendrus veiksnius grupėse:

Išraiška turi bendrą veiksnį. Išimkime:

Sutrumpintų daugybos formulių taikymas. Panagrinėkime pavyzdį:

;

Išsamiai užrašykite išraišką:

Akivaizdu, kad prieš mus yra skirtumo kvadrato formulė, nes yra dviejų išraiškų kvadratų suma ir iš jos atimama jų padvigubinta sandauga. Sugriukime pagal formulę:

Šiandien mes išmoksime kitą metodą - viso kvadrato parinkimo metodą. Jis pagrįstas sumos kvadrato ir skirtumo kvadrato formulėmis. Prisiminkime juos:

Sumos (skirtumo) kvadrato formulė;

Šių formulių ypatumas yra tas, kad jose yra dviejų išraiškų kvadratai ir jų padvigubintas sandauga. Panagrinėkime pavyzdį:

Išrašykime išraišką:

Taigi pirmoji išraiška yra tokia, o antroji yra.

Norint sudaryti sumos arba skirtumo kvadrato formulę, neužtenka dvigubos išraiškų sandaugos. Jį reikia pridėti ir atimti:

Sutraukime visą sumos kvadratą:

Transformuokime gautą išraišką:

Taikome kvadratų skirtumo formulę, primename, kad skirtumas tarp dviejų išraiškų kvadratų yra sandauga ir suma pagal jų skirtumą:

Taigi, šis metodas visų pirma susideda iš to, kad reikia identifikuoti kvadrate esančias išraiškas a ir b, tai yra, nustatyti, kurie išraiškų kvadratai yra šiame pavyzdyje. Po to reikia patikrinti, ar yra padvigubintas produktas, o jei jo nėra, pridėkite ir atimkite, pavyzdžio reikšmė nuo to nepasikeis, tačiau daugianarį galima koeficientuoti naudojant kvadrato formules. sumos arba kvadratų skirtumo ir skirtumo, jei yra tokia galimybė.

Pereikime prie pavyzdžių sprendimo.

1 pavyzdys – koeficientas:

Raskime išraiškas, kurios yra kvadratinės:

Parašykime, koks turėtų būti jų dvigubas produktas:

Pridėkite ir atimkite du kartus sandaugą:

Sutraukime visą sumos kvadratą ir pateikiame panašius:

Užrašykime kvadratų skirtumo formulę:

2 pavyzdys – išspręskite lygtį:

;

Kairėje lygties pusėje yra trinaris. Turime tai įvertinti. Naudojame skirtumo kvadrato formulę:

Turime pirmosios išraiškos kvadratą ir padvigubintą sandaugą, antrosios išraiškos kvadrato trūksta, pridėkite ir atimkite:

Sulenkime visą kvadratą ir suteikime panašius terminus:

Taikykime kvadratų skirtumo formulę:

Taigi, turime lygtį

Žinome, kad sandauga lygi nuliui tik tuo atveju, jei bent vienas iš veiksnių yra lygus nuliui. Remdamiesi tuo, sudarome lygtis:

Išspręskime pirmąją lygtį:

Išspręskime antrąją lygtį:

Atsakymas: arba

;

Tęsiame panašiai kaip ankstesniame pavyzdyje – pasirinkite skirtumo kvadratą.

Apibrėžimas

2 x 2 + 3 x + 5 formos išraiškos vadinamos kvadratiniu trinamiu. Bendruoju atveju kvadratinis trinaris yra a x 2 + b x + c formos išraiška, kur a, b, c a, b, c yra savavališki skaičiai, o a ≠ 0.

Apsvarstykite kvadratinį trinarį x 2 - 4 x + 5. Parašykime tokia forma: x 2 - 2 · 2 · x + 5. Prie šios išraiškos pridėkite 2 2 ir atimkite 2 2, gausime: x 2 - 2 2 x + 2 2 - 2 2 + 5. Atkreipkite dėmesį, kad x 2 - 2 2 x + 2 2 = (x - 2) 2, taigi x 2 - 4 x + 5 = (x - 2) 2 - 4 + 5 = (x - 2) 2 + 1 ... Mūsų atlikta transformacija vadinama „Viso kvadrato pasirinkimas iš kvadratinio trinario“.

Užbaikite kvadratą iš kvadratinio trinalio 9 x 2 + 3 x + 1.

Atminkite, kad 9 x 2 = (3 x) 2, "3x = 2 * 1/2 * 3x". Tada „9x ^ 2 + 3x + 1 = (3x) ^ 2 + 2 * 1/2 * 3x + 1". Pridėkite ir atimkite gautą išraišką „(1/2) ^ 2“, gauname

"((3x) ^ 2 + 2 * 1/2 * 3x + (1/2) ^ 2) + 1 - (1/2) ^ 2 = (3x + 1/2) ^ 2 + 3 / 4".

Parodykime, kaip viso kvadrato atskyrimo nuo kvadratinio trinalio metodas taikomas kvadratiniam trinariui koeficientuoti.

Kvadratinio trinalio koeficientas 4 x 2 – 12 x + 5.

Iš kvadratinio trinalio paskirkite visą kvadratą: 2 x 2 - 2 2 x 3 + 3 2 - 3 2 + 5 = 2 x - 3 2 - 4 = (2 x - 3) 2 - 2 2. Dabar pritaikome formulę a 2 - b 2 = (a - b) (a + b), gauname: (2 x - 3 - 2) (2 x - 3 + 2) = (2 x - 5) (2 x - 1).

Trigubo termino kvadrato koeficientas – 9 x 2 + 12 x + 5.

9 x 2 + 12 x + 5 = - 9 x 2 - 12 x + 5. Dabar atkreipkite dėmesį, kad 9 x 2 = 3 x 2, - 12 x = - 2 · 3 x · 2.

Pridėkite terminą 2 2 prie išraiškos 9 x 2 - 12 x, gausime:

3 x 2 - 2 3 x 2 + 2 2 - 2 2 + 5 = - 3 x - 2 2 - 4 + 5 = 3 x - 2 2 + 4 + 5 = - 3 x - 2 2 + 9 = 3 2 - 3x-22.

Taikome kvadratų skirtumo formulę, turime:

9 x 2 + 12 x + 5 = 3 - 3 x - 2 3 + (3 x - 2) = (5 - 3 x) (3 x + 1).

Trigubo termino kvadrato koeficientas 3 x 2 – 14 x – 5.

Negalime pateikti išraiškos 3 x 2 kaip kokios nors išraiškos kvadrato, nes to dar nesimokėme mokykloje. Tai atliksite vėliau, o jau 4 užduotyje tyrinėsime kvadratines šaknis. Leiskite mums parodyti, kaip galite koeficientuoti nurodytą kvadratinį trinarį:

`3x ^ 2-14x-5 = 3 (x ^ 2-14 / 3 x-5/3) = 3 (x ^ 2-2 * 7/3 x + (7/3) ^ 2- (7/3) ) ^ 2-5 / 3) = `

`= 3 ((x-7/3) ^ 2-49 / 9-5 / 3) = 3 ((x-7/3) ^ 2-64 / 9) = 3 ((x-7/3) ^ 2-8 / 3) ^ 2) = `

`= 3 (x-7 / 3-8 / 3) (x-7/3 + 8/3) = 3 (x-5) (x + 1/3) = (x-5) (3x + 1) `.

Parodykime, kaip viso kvadrato parinkimo metodas naudojamas norint rasti didžiausias arba mažiausias kvadratinio trinalio reikšmes.
Apsvarstykite kvadratinį trinarį x 2 - x + 3. Pasirinkite visą kvadratą:

"(x) ^ 2-2 * x * 1/2 + (1/2) ^ 2 - (1/2) ^ 2 + 3 = (x-1/2) ^ 2 + 11 / 4". Atminkite, kad „x = 1/2“ kvadratinio trinalio vertė yra „11/4“, o jei „x! = 1/2“, teigiamas skaičius pridedamas prie „11/4“ vertės, taigi mes gauname skaičių, didesnį nei „11/4“. Taigi, mažiausia kvadratinio trinalio reikšmė yra `11/4` ir ji gaunama, kai` x = 1/2`.

Raskite didžiausią kvadratinį trinarį – 16 2 + 8 x + 6.

Užbaikite kvadratą iš kvadratinio trinalio: - 16 x 2 + 8 x + 6 = - 4 x 2 - 2 4 x 1 + 1 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 + 7.

Kai `x = 1/4`, kvadratinio trinalio reikšmė yra 7, o kai x! = 1/4` teigiamas skaičius atimamas iš skaičiaus 7, tai yra, gauname skaičių, mažesnį nei 7. Taigi skaičius 7 yra didžiausia kvadratinio trinalio reikšmė ir ji gaunama, kai `x = 1/4`.

Padalinkite trupmenos skaitiklį ir vardiklį „(x ^ 2 + 2x-15) / (x ^ 2-6x + 9)“ ir atšaukite tą trupmeną.

Atkreipkite dėmesį, kad trupmenos vardiklis x 2 - 6 x + 9 = x - 3 2. Išskirkime trupmenos skaitiklį, naudodami metodą, kuriuo iš kvadratinio trinalio išimame visą kvadratą. x 2 + 2 x - 15 = x 2 + 2 x 1 + 1 - 1 - 15 = x + 1 2 - 16 = x + 1 2 - 4 2 = = (x + 1 + 4) (x + 1 - 4 ) = (x + 5) (x - 3).

Ši trupmena buvo sudaryta į formą „((x + 5) (x-3)) / (x-3) ^ 2“, sumažinus (x - 3), gauname" (x + 5) / (x-3) ) `.

Padalinkite daugianario koeficientą x 4 – 13 x 2 + 36.

Taikykime šiam daugianariui pilno kvadrato pasirinkimo metodą. `x ^ 4-13x ^ 2 + 36 = (x ^ 2) ^ 2-2 * x ^ 2 * 13/2 + (13/2) ^ 2- (13/2) ^ 2 + 36 = (x ^ 2-13 / 2) ^ 2-169 / 4 + 36 = (x ^ 2-13 / 2) ^ 2-25 / 4 = "

Gebėjimas atlikti šią procedūrą yra nepaprastai reikalingas daugelyje matematikos temų, susijusių su kvadratinis trinariskirvis 2 + bx + c ... Dažniausiai:

1) Parabolių piešimas y= kirvis 2 + bx+ c;

2) Daugelio kvadratinio trinalio uždavinių sprendimas (kvadratinės lygtys ir nelygybės, parametrų uždaviniai ir kt.);

3) Darbas su kai kuriomis funkcijomis, turinčiomis kvadratinį trinarį, taip pat darbas su antros eilės kreivėmis (studentams).

Naudingas dalykas, trumpai tariant! Ar pretenduojate į penketuką? Tada įvaldyk!)

Ką reiškia kvadratiniame trinalyje pasirinkti visą dvinario kvadratą?

Ši užduotis reiškia, kad pradinis kvadratinis trinalis turi būti transformuotas naudojant šią formą:

Skaičius a kas kairėje, kas dešinėje - tas pats... X kvadrato koeficientas. Todėl nurodoma viena raidė... Dešinė padauginta iš kvadratinių skliaustų. Pačiuose skliaustuose yra pats dvejetainis, apie kurį kalbama šioje temoje. Grynojo x ir skaičiaus suma m... Taip, atkreipkite dėmesį, tiksliai grynas x! Svarbu.

Bet raidės m ir n dešinėje – kai kurie naujas numeriai. Ką mes gausime dėl savo transformacijų. Jie gali pasirodyti teigiami, neigiami, vientisi, trupmeniniai – visokie! Pamatysite patys toliau pateiktuose pavyzdžiuose. Šie skaičiai priklauso nuo koeficientųa, birc... Jie turi savo specialias bendrąsias formules. Gana gremėzdiškas, su trupmenomis. Todėl čia ir dabar jų neduosiu. Kodėl jūsų šviesiems protams reikia papildomų šiukšlių? Taip, ir neįdomu. Dirbkime kūrybiškai.)

Ką reikia žinoti ir suprasti?

Visų pirma, reikia žinoti mintinai. Bent du iš jų - sumos kvadratas ir kvadratinis skirtumas.

Šie:

Be šios formulių poros – niekur. Ne tik šioje pamokoje, bet ir apskritai beveik visoje kitoje matematikoje. Ar užuomina aiški?)

Tačiau vien mechaniškai įsimintų formulių čia neužtenka. Vis tiek reikia kompetentingai mokėti taikyti šias formules... Ir ne tiek tiesiogiai, iš kairės į dešinę, kiek atvirkščiai, iš dešinės į kairę... Tie. mokėti iššifruoti sumos / skirtumo kvadratą pagal pradinį kvadratinį trinarį... Tai reiškia, kad jūs turėtumėte lengvai, automatiškai atpažinti tokio tipo lygybes:

x 2 +4 x+4 = (x+2) 2

x 2 -10 x+25 = (x-5) 2

x 2 + x+0,25 = (x+0,5) 2

Jūs taip pat neapsieisite be šio naudingo įgūdžio... Taigi, jei turite problemų dėl šių paprastų dalykų, uždarykite šį puslapį. Čia jums dar per anksti.) Pirmiausia naudokite aukščiau esančią nuorodą. Ji skirta tau!

O, ar seniai domėjaisi šia tema? gerai! Tada skaitykite toliau.)

Taigi:

Kaip pasirinkti visą dvinario kvadratą kvadratiniame trinalyje?

Žinoma, pradėkime nuo paprasto.

1 lygis. Koeficientas ties x2 lygu 1

Tai pati paprasčiausia situacija, reikalaujanti minimalių papildomų transformacijų.

Pavyzdžiui, duotas kvadratinis trinalis:

NS 2 + 4x + 6

Išoriškai išraiška labai panaši į sumos kvadratą. Žinome, kad sumos kvadrate yra grynieji pirmosios ir antrosios išraiškos kvadratai ( a 2 ir b 2 ), taip pat padvigubintas produktas 2 abšios pačios išraiškos.

Na, mes jau turime pirmosios išraiškos kvadratą gryna forma. tai NS 2 ... Tiesą sakant, būtent čia slypi tokio lygio pavyzdžių paprastumas. Turite gauti antrosios išraiškos kvadratą b 2 ... Tie. rasti b... Ir pasitarnaus kaip užuomina išraiška su x pirmajame laipsnyje, t.y. 4x... Po visko 4x gali būti pavaizduotas kaip dvigubas produktas x už dvikovą. Kaip šitas:

4 x = 2 ́ X 2

Taigi, jei 2 ab= 2x· 2 ir a= x, tada b=2 ... Tu gali rašyti:

NS 2 + 4x + 6 = x 2 +2 ́ X2 + 2 2 ….

Taigi JAV Aš noriu. Bet! Matematika Noriu, kad iš mūsų veiksmų atsirastų pirminės išraiškos esmė nepasikeitė... Štai kaip tai veikia. Pridėjome prie padvigubinto produkto 2 2 taip pakeičiant pirminę išraišką. Taigi, kad neįžeistumėte matematikos, tai yra 2 2 čia pat ir Atimti... Kaip šitas:

… = X 2 +2 ́ X 2 + 2 2 -2 2 ….

Beveik visi. Belieka tik pridėti 6 pagal pradinį trijų terminų skaičių. Šešiukas niekur nedingo! Mes rašome:

= NS 2 +2 ́ X2 + 2 2 - 2 2 +6 = …

Dabar pirmieji trys terminai suteikia gryną (arba - pilnas) kvadratinis dvinaris x+2 ... Arba (x+2) 2 ... To mes ir siekiame.) Net nepatingėsiu ir dėsiu skliaustus:

… = (X 2 +2 ́ X2 + 2 2 ) - 2 2 +6 =…

Skliaustai nekeičia posakio esmės, tačiau aiškiai nurodo, kas, kaip ir kodėl. Belieka šiuos tris terminus sulankstyti į visą kvadratą naudojant formulę, likusią uodegą suskaičiuoti skaičiais -2 2 +6 (bus 2) ir parašykite:

NS 2 + 4x + 6 = (x+2) 2 +2

Viskas. Mes išskirtas kvadratiniai skliaustai (x+2) 2 nuo pradinio kvadratinio trinario NS 2 + 4x + 6... Pavertė tai suma pilnas kvadratinis dvinaris (x+2) 2 ir kažkoks pastovus skaičius (du). O dabar kompaktiškai surašysiu visą mūsų transformacijų grandinę. Dėl aiškumo.

Ir tai viskas.) Tai yra viso kvadrato pasirinkimo procedūros esmė.

Beje, kokie čia skaičiai m ir n? Taip. Kiekvienas iš jų yra lygus dviem: m=2, n=2 ... Taip atsitiko per atranką.

Kitas pavyzdys:

Pasirinkite visą dvinario kvadratą:

NS 2 -6x + 8

Ir vėl pirmas žvilgsnis – į terminą su x. 6x paverčiame dviguba x ir trijų sandauga. Prieš padvigubėjo – minusas. Todėl mes pasirenkame kvadratinis skirtumas... Sudedame (kad gautume pilną kvadratą) ir iš karto atimame (kompensuodami) kvadrate esančius tris, t.y. 9. Na, nepamirškime aštuntuko. Mes gauname:

čia m=-3 ir n=-1 ... Abu yra neigiami.

Ar suvokiate principą? Tada atėjo eilė meistrui ir bendrasis algoritmas... Viskas tas pats, bet per laiškus... Taigi, prieš mus yra kvadratinis trinaris x 2 + bx+ c (a=1) ... Ką mes darome:

bx b /2 :

b su.

Ar aišku? Pirmieji du pavyzdžiai buvo labai paprasti, su sveikaisiais skaičiais. Dėl pažinties. Blogiau, kai transformacijos procese išeina trupmenos. Svarbiausia čia nebijoti! O kad nebijotų, reikia žinoti veiksmus su trupmenomis, taip...) Bet čia jau penktas lygis, ar ne? Mes apsunkiname užduotį.

Tarkime, kad pateikiami šie trys terminai:

NS 2 + x + 1

Kaip organizuoti sumos kvadratą šiame trigubyje? Jokiu problemu! Panašus... Dirbame taškas po taško.

1. Mes žiūrime į terminą su x pirmuoju laipsniu ( bx) ir paverskite jį dviguba x sandaugab /2 .

Mūsų X terminas yra tiesiog X. Tai kas? Kaip mes galime paversti vienišą X dvigubas produktas? Tai labai paprasta! Tiesiogiai pagal instrukcijas. Kaip šitas:

Skaičius b pradiniu terminu - 1. Tai yra, b/2 pasirodo, kad tai trupmeninė dalis. Pusė. 1/2. Na, gerai. Jau nemaža.)

2. Pridėkite prie padvigubinto sandaugos ir iš karto atimkite skaičiaus kvadratą b/ 2. Pridedame - papildyti visą kvadratą. Išvežame – už kompensaciją. Pačioje pabaigoje pridėkite laisvą terminą su.

Tęsiame:

3. Pirmieji trys nariai sulankstomi į sumos / skirtumo kvadratą pagal atitinkamą formulę. Išorėje likusi išraiška kruopščiai apskaičiuojama skaičiais.

Pirmus tris terminus atskirkite skliaustais. Žinoma, jums nereikia jo atskirti. Tai daroma tik dėl mūsų transformacijų patogumo ir aiškumo. Dabar aiškiai matote, kad visas sumos kvadratas yra skliausteliuose (x+1/2) 2 ... Ir viskas, kas liko už sumos kvadrato ribų (jei skaičiuoti) duoda +3/4. Baigti tiesiai:

Atsakymas:

čia m=1/2 , a n=3/4 ... Trupmeniniai skaičiai. Taip atsitinka. Turiu tokius tris narius...

Tokia ta technologija. Supratau? Ar galiu pereiti į kitą lygį?)

2 lygis. Koeficientas ties x 2 nėra lygus 1 – ką daryti?

Tai yra bendresnis atvejis nei a = 1... Skaičiavimo kiekis, žinoma, didėja. Tai liūdina, taip... Bet bendra sprendimo eiga apskritai išlieka toks pat. Prie jo pridedamas tik vienas naujas žingsnis. Tai mane džiugina.)

Kol kas apsvarstykite nekenksmingą atvejį, kuriame nėra jokių frakcijų ir kitų spąstų. Pavyzdžiui:

2 x 2 -4 x+6

Viduryje yra minusas. Taigi skirtumą pritaikysime prie kvadrato. Bet koeficientas x kvadrate yra du. Ir su vienu dirbti lengviau. Su grynu x. Ką daryti? Ir išimkime šiuos du iš skliaustų! Kad netrukdytų. Mes turime teisę! Mes gauname:

2(x 2 -2 x+3)

Kaip šitas. Dabar trijų terminų skliausteliuose – jau su švarus x kvadratas! Kaip reikalauja 1 lygio algoritmas.O dabar jau galima dirbti su šiuo naujuoju trikampiu pagal seną patikrintą schemą. Taigi elgiamės. Užrašykime jį atskirai ir pakeiskime:

x 2 -2 x+3 = x 2 -2 ·x1 + 1 2 -1 2 +3 = (x 2 -2 ·x1 + 1 2 ) -1 2 +3 = (x-1) 2 +2

Pusė mūšio baigta. Belieka įterpti gautą išraišką skliausteliuose ir išplėsti juos atgal. Tai paaiškės:

2(x 2 -2 x+3) = 2((x-1) 2 +2) = 2(x-1) 2 +4

Pasiruošę!

Atsakymas:

2 x 2 -4 x+6 = 2( x -1) 2 +4

Mes nustatome galvoje:

Jei koeficientas x kvadrate nėra lygus vienetui, tai šį koeficientą išimame iš skliaustų. Kai skliausteliuose liko trys terminai, dirbame pagal įprastą algoritmą a= 1. Jame pasirinkę visą kvadratą, įklijuojame rezultatą į vietą ir atidarome išorinius skliaustus atgal.

O jei koeficientai b ir c nėra visiškai dalijami iš a? Tai yra labiausiai paplitęs ir kartu blogiausias atvejis. Tada tik trupmenos, taip... Nėra ką veikti. Pavyzdžiui:

3 x 2 +2 x-5

Viskas tas pats, trigubą siunčiame už skliaustų, gauname:

Deja, nei du, nei penki nėra visiškai padalinti iš trijų, todėl naujojo (sumažinto) tritakio koeficientai yra - trupmeninis... Na, viskas gerai. Dirbame tiesiogiai su trupmenomis: du paverskite x trečdalius į padvigubėjo x sandauga vienas trečia, pridėkite trečdalio kvadratą (ty 1/9), atimkite, atimkite 5/3 ...

Apskritai, jūs suprantate idėją!

Priimk sprendimą, kas jau yra. Turėtumėte baigti:

Ir dar vienas grėblys. Daugelis studentų veržliai susiduria su teigiamais visumos ir net trupmeniniais koeficientais, tačiau laikosi neigiamų. Pavyzdžiui:

- x 2 +2 x-3

Ką daryti su prieš tai buvusiu minusux 2 ? Sumos / skirtumo kvadrato formulėje reikia kiekvieno pliuso... Jokių klausimų! Visi vienodi... Šį patį minusą išimame iš skliaustų. Tie. minus vienas... Kaip šitas:

- x 2 +2 x-3 = -(x 2 -2 x+3) = (-1) (x 2 -2 x+3)

Ir viskas. Ir su trijų terminu skliausteliuose - vėl raižytas takelis.

x 2 -2 x+3 = (x 2 -2 x+1) -1+3 = (x-1) 2 +2

Iš viso, atsižvelgiant į minusą:

- x 2 +2 x-3 = -((x-1) 2 +2) = -(x-1) 2 -2

Tai viskas. Ką? Nežinote kaip skliausteliuose įrašyti minusą? Na, tai klausimas septintos klasės elementariai algebrai, o ne kvadratiniams trinariams ...

Atsiminkite: dirbkite su neigiamu koeficientu a iš esmės yra tas pats, kas dirbti su pozityvumu. Išimame neigiamą a skliausteliuose, o tada – pagal visas taisykles.

Kodėl reikia turėti galimybę pasirinkti visą kvadratą?

Pirmas naudingas dalykas – greitai ir be klaidų nupiešti paraboles!

Pavyzdžiui, tokia užduotis:

Nubraižykite funkcijos grafiką:y=- x 2 +2 x+3

Ką mes ketiname daryti? Statyti pagal taškus? Žinoma, kad įmanoma. Mažais žingsneliais ilgame kelyje. Visai kvaila ir neįdomu...

Pirmiausia priminsiu tai statant bet koks paraboles, mes visada pateikiame jai standartinį klausimų rinkinį. Jų yra dvi. Būtent:

1) Kur nukreiptos parabolės šakos?

2) Kuriame taške yra viršus?

Su šakų kryptimi viskas aišku tiesiai iš pirminės išraiškos. Filialai bus nukreipti žemyn, nes koeficientas priešx 2 - neigiamas. Minus vienas. Minusas prieš x kvadratą visada apverčia parabolę.

Tačiau su viršūnės vieta ne viskas taip akivaizdu. Žinoma, yra bendra formulė jo abscisei apskaičiuoti pagal koeficientus a ir b.

Šitas:

Bet ne visi prisimena šią formulę, oi, ne visi... Ir 50% tų, kurie prisimena, suklumpa ant lygios žemės ir murma banalia aritmetika (dažniausiai skaičiuodami žaidimą). Gaila, tiesa?)

Dabar sužinosite, kaip rasti bet kurios parabolės viršūnės koordinates. mintyse per vieną minutę! Ir x, ir y. Vienu ypu ir be jokių formulių. Kaip? Pasirinkę visą kvadratą!

Taigi, savo išraiškoje pasirinkite visą kvadratą. Mes gauname:

y = -x 2 +2 x+3 = -(x-1) 2 +4

Kas gerai išmano bendrą informaciją apie funkcijas ir gerai įvaldo temą “ funkcijų grafiko transformacijos “, jis lengvai supras, kad mūsų norima parabolė gaunama iš paprastos parabolės y= x 2 naudojant tris transformacijas. Tai:

1) Šakų krypties keitimas.

Tai rodo minuso ženklas prieš skliaustus ( a = -1). Tai buvo y= x 2 , tai tapo y=- x 2 .

Konversija: f ( x ) -> - f ( x ) .

2) Lygiagretusis parabolės vertimas y = - x 2 x 1 vienetu DEŠINĖJE.

Taip susidaro tarpinis grafikas y = - (x-1 ) 2 .

Konversija: - f ( x ) -> - f ( x + m ) (m = -1).

Kodėl poslinkis į dešinę, o ne į kairę, nors skliausteliuose yra minusas? Tai yra grafų transformacijų teorija. Tai atskira tema.

Ir, galiausiai,

3) Lygiagretus perdavimas parabolės y = - ( x -1) 2 žaidimu 4 vienetais UP.

Tai paskutinė parabolė y = - (x-1) 2 +4 .

Konversija: - f ( x + m ) -> - f ( x + m )+ n (n = + 4)

Dabar žiūrime į savo transformacijos grandinę ir galvojame apie tai: kur juda parabolės viršūnėy= x 2 ? Buvo taške (0; 0), po pirmos transformacijos viršūnė niekur nepajudėjo (parabolė tiesiog apsivertė), po antrosios - nusileido x žemyn +1, o po trečiosios - žaidimu per +4. Bendra viršūnė pataikė į tašką (1; 4) ... Tai visa paslaptis!

Nuotrauka bus tokia:

Tiesą sakant, būtent dėl ​​šios priežasties taip atkakliai atkreipiau jūsų dėmesį į skaičius. m ir n gautas renkantis visą kvadratą. Neatspėjote kodėl? Taip. Esmė ta, kad taškas su koordinatėmis (- m ; n ) Yra visada parabolės viršūnė y = a ( x + m ) 2 + n ... Tiesiog žiūrime į skaičius transformuotame trinalyje ir mintyse mes pateikiame teisingą atsakymą, kur yra viršus. Patogu, tiesa?)

Pirmas dalykas, kurį reikia padaryti, yra piešti paraboles. Pereikime prie antrojo.

Antras naudingas dalykas yra kvadratinių lygčių ir nelygybių sprendimas.

Taip taip! Viso kvadrato pasirinkimas daugeliu atvejų pasirodo daug greičiau ir efektyviau tradiciniai tokių uždavinių sprendimo būdai. Abejoti? Prašau! Štai jums užduotis:

Išspręskite nelygybę:

x 2 +4 x+5 > 0

Išmoko? Taip! Tai klasika kvadratinė nelygybė ... Visos tokios nelygybės išsprendžiamos naudojant standartinį algoritmą. Tam mums reikia:

1) Iš nelygybės sudarykite standartinės formos lygtį ir ją išspręskite, suraskite šaknis.

2) Nubrėžkite X ašį ir taškais pažymėkite lygties šaknis.

3) Nubraižykite parabolę pagal pradinę išraišką.

4) Nubrėžkite sritis +/- paveikslėlyje. Pagal pradinę nelygybę pasirinkite reikiamas sritis ir užrašykite atsakymą.

Tiesą sakant, visas šis procesas erzina, taip...) Ir, be to, jis ne visada išgelbės jus nuo klaidų nestandartinėse situacijose, tokiose kaip šis pavyzdys. Pirmiausia išbandykime šabloną?

Taigi, mes atliekame pirmąjį punktą. Iš nelygybės sudarome lygtį:

x 2 +4 x+5 = 0

Standartinė kvadratinė lygtis, jokių gudrybių. Mes nusprendžiame! Mes laikome diskriminantu:

D = b 2 -4 ak = 4 2 - 4∙1∙5 = -4

Tik tie laikai! Ir diskriminantas yra neigiamas! Lygtis neturi šaknų! Ir ant ašies nėra ką piešti... Ką daryti?

Čia kai kurie gali daryti išvadą, kad pradinė nelygybė taip pat neturi sprendimų... Tai lemtingas kliedesys, taip... Bet pasirinkus visą kvadratą, teisingą atsakymą į šią nelygybę galima duoti per pusę minutės! Abejoti? Na, jūs galite sekti laiką.

Taigi, savo išraiškoje pasirenkame visą kvadratą. Mes gauname:

x 2 +4 x+5 = (x+2) 2 +1

Pradinė nelygybė dabar atrodo taip:

(x+2) 2 +1 > 0

O dabar nieko toliau neapsispręsdami ir nekeisdami tiesiog įjungiame elementarią logiką ir išsiaiškiname: jei kokios nors išraiškos kvadratas (reikšmė akivaizdžiai neneigiamas!) Pridėkite dar vieną, tada kokį skaičių gausime? Taip! Griežtai teigiamas!

Dabar pažvelkime į nelygybę:

(x+2) 2 +1 > 0

Įrašą verčiame iš matematikos kalbos į rusų kalbą: pagal kurią x yra griežtai teigiamas išraiška bus griežta daugiau subraižyti? Neatspėjote? Taip! Su bet kokiu!

Štai atsakymas: x – bet koks skaičius.

Dabar grįžkime prie algoritmo. Vis dėlto esmės supratimas ir paprastas įsiminimas yra skirtingi dalykai.)

Algoritmo esmė ta, kad iš kairės standartinės nelygybės pusės padarome parabolę ir žiūrime, kur ji yra virš X ašies, o kur žemiau. Tie. kur teigiamos reikšmės yra kairėje, kur neigiamos.

Jei iš kairės pusės padarysime parabolę:

y =x 2 +4 x+5

Ir mes nubraižysime jo grafiką, tada tai pamatysime visi visa parabolė eina virš X ašies. Nuotrauka atrodys taip:

Parabolė kreiva, taip... Štai kodėl ji schematiška. Bet tuo pačiu nuotraukoje matosi viskas, ko mums reikia. Parabolė neturi susikirtimo taškų su X ašimi, nėra žaidimo nulinių verčių. Ir, žinoma, neigiamų vertybių taip pat nėra. Kuris parodomas nuspalvinus visą X ašį kaip visumą. Beje, ne veltui čia pavaizdavau Y ašį ir viršūnės koordinates. Palyginkite parabolės (-2; 1) viršūnės ir mūsų transformuotos išraiškos koordinates!

y =x 2 +4 x+5 = ( x +2) 2 +1

Ar jums patinka? Taip! Mūsų atveju m=2 ir n=1 ... Todėl parabolės viršūnė turi koordinates: (- m; n) = (-2; 1) ... Viskas logiška.)

Kita užduotis:

Išspręskite lygtį:

x 2 +4 x+3 = 0

Paprasta kvadratinė lygtis. Galite išspręsti senamadišku būdu. Galite pereiti. Kaip nori. Matematika neprieštarauja.)

Gauname šaknis: x 1 =-3 x 2 =-1

O jei nei viena, nei kitaip...neprisimeni? Na, tau šviečia dviese, draugiškai, bet... Tebūnie, aš tave išgelbėsiu! Leiskite man parodyti, kaip galite išspręsti kai kurias kvadratines lygtis tik septintos klasės metodais. Vėlgi pasirinkite visą kvadratą!)

x 2 +4 x+3 = (x+2) 2 -1

Ir dabar mes apibūdiname gautą išraišką kaip ... kvadratų skirtumas! Taip, taip, septintoje klasėje yra vienas:

a 2 -b 2 = (a-b) (a + b)

Vaidmenyje a skliausteliuose išsikiša(x+2) , ir vaidmenyje b- vienas. Mes gauname:

(x+2) 2 -1 = (x+2) 2 -1 2 = ((x+2)-1)((x+2)+1) = (x+1)(x+3)

Vietoj kvadratinio trinalio įterpiame šį išplėtimą į lygtį:

(x+1)(x+3)=0

Belieka išsiaiškinti, kad veiksnių sandauga yra lygi nuliui tada ir tik tada, kai kuris nors iš jų yra lygus nuliui. Taigi kiekvieną skliaustą prilyginame (proto!) nuliui.

Mes gauname: x 1 =-3 x 2 =-1

Tai viskas. Tos pačios dvi šaknys. Toks yra protingas triukas. Be diskriminanto.)

Beje, apie diskriminantą ir bendrą kvadratinės lygties šaknų formulę:

Mano pamokoje šios sudėtingos formulės išvedimas buvo praleistas. Kaip nereikalingas. Bet čia jis priklauso.) Ar norėtumėte sužinoti kaip ši formulė pasirodo? Iš kur atsiranda diskriminanto išraiška ir kodėl būtentb 2 -4ac, o ne kitaip? Vis dėlto visiškas to, kas vyksta, esmės supratimas yra daug naudingesnis nei neapgalvotas bet kokių raidžių ir simbolių rašymas, tiesa?)

Trečias naudingas dalykas yra kvadratinės lygties šaknų formulės išvedimas.

Štai mes! Imame kvadratinį trinarį bendra forma kirvis 2 + bx+ c ir… pradedame rinktis visą kvadratą! Taip tiesiai per laiškus! Buvo aritmetika, dabar - algebra.) Pirmiausia, kaip įprasta, atliekame raidę a skliausteliuose, o visi kiti koeficientai dalijami iš a:

Kaip šitas. Tai visiškai legalus konvertavimas: a nelygu nuliui, ir jūs galite iš jo padalinti. Ir vėl dirbame su skliaustais pagal įprastą algoritmą: iš termino su x sudarome dvigubą sandaugą, pridedame / atimame antrojo skaičiaus kvadratą ...

Viskas taip pat, bet su raidėmis.) Pabandyk pabaigti pats! Sveikas!)

Po visų transformacijų turėtumėte gauti štai ką:

Ir kodėl turėtume statyti tokias krūvas iš nekenksmingo trinario – klausiate? Nieko, dabar bus įdomu! Ir dabar, žinoma, šį dalyką sulyginame iki nulio:

Mes sprendžiame kaip įprastą lygtį, dirbame pagal visas taisykles, tik su raidėmis... Atliekame elementarius:

1) Perkelkite didžiąją dalį į dešinę. Perkeldami pliusą keičiame į minusą. Kad prieš pačią trupmeną nebūtų nupieštas minusas, aš tiesiog pakeisiu visus skaitiklio ženklus. Kairėje pusėje buvo skaitiklis4ac-b 2 , o po perdavimo taps -( 4ac-b 2 ) , t.y. b 2 -4 ak. Kažkas pažįstamo, ar nemanai? Taip! Diskriminantas, jis yra labiausiai ...) Bus taip:

2) Iš koeficiento išvalome skliaustų kvadratą. Mes padalijame abi dalis į " a“. Kairėje, prieš skliaustus, raidė a dingsta, o dešinėje eina į didelės trupmenos vardiklį, paversdamas ją į 4 a 2 .

Pasirodo, ši lygybė:

Ar tau pasidarė blogai? Tada tema „“ skirta jums. Skubiai eik ten!

Kitas žingsnis ištraukti šaknį... Mus domina X, tiesa? O X sėdi po aikšte... Išgauname jį pagal šaknų ištraukimo taisykles, žinoma. Ištraukę gausite tai:

Kairėje yra sumos kvadratas dingsta ir ši suma pati lieka. Kuris būtinas.) Bet dešinėje pasirodo pliusas / minusas... Mūsų didžiulis ritinys, nepaisant jo bauginančios išvaizdos, yra tik kažkoks skaičius... Trupmeninis skaičius. Koeficientas Priklausomas a, b, c... Tuo pačiu metu šios trupmenos skaitiklio šaknis nėra gražiai išskirta, yra skirtumas tarp dviejų išraiškų. Ir čia yra vardiklio šaknis 4 a 2 gana savaime išsitraukiantis! Tai pasirodys paprasta 2 a.

„Sudėtingas“ klausimas, kurį reikia užpildyti: ar turėjau teisę, ištraukdamas iš posakio šaknį 4 a2, pateikite atsakymą tik 2a? Juk ištraukimo taisyklė kvadratinė šaknis įpareigoja dėti modulio ženklą, t.y.2 | a | !

Pagalvokite, kodėl praleidau modulio ženklą. Labai naudingas. Užuomina: atsakymas slypi ženkle pliusas / minusas prieš trupmeną.)

Liko tik smulkmenos. Pateikiame švarų X kairėje. Norėdami tai padaryti, perkelkite mažą dalį į dešinę. Pakeitus ženklą, pipirai yra skaidrūs. Priminsiu, kad ženklą trupmenoje galima keisti bet kur ir bet kokiu būdu. Mes norime pakeisti prieš trupmeną, norime, kad jis būtų vardiklyje, norime, kad jis būtų skaitiklyje. Pakeisiu ženklą skaitiklyje... Tai buvo + b, tai tapo – b... Tikiuosi, nėra prieštaravimų?) Po perkėlimo viskas bus taip:

Pridėkite dvi trupmenas su tais pačiais vardikliais ir gaukite (pagaliau!):

Na? Ką aš galiu pasakyti? Oho!)

Naudingas ketvirtas dalykas – pastaba studentams!

O dabar iš mokyklos sklandžiai pereisime į universitetą. Tikėkite ar ne, aukštojoje matematikoje taip pat būtina parinkti pilną kvadratą!

Pavyzdžiui, tokia užduotis:

Raskite neapibrėžtą integralą:

Nuo ko pradėti? Tiesioginis pritaikymas nevynioja. Išgelbsti tik viso kvadrato pasirinkimas, taip...)

Kiekvienas, kuris nežino, kaip pasirinkti visą kvadratą, amžinai laikysis šio paprasto pavyzdžio. O kas žino kaip, skiria ir gauna:

x 2 +4 x+8 = (x+2) 2 +4

O dabar integralas (žinantiems) paimamas su vienu!

Puiku, ar ne? Ir tai ne tik integralai! Jau tyliu apie analitinę geometriją, su ja antros eilės kreivės – elipsė, hiperbolė, parabolė ir apskritimas.

Pavyzdžiui:

Nustatykite kreivės tipą, pateiktą pagal lygtį:

x 2 + y 2 -6 x-8 y+16 = 0

Be galimybės pasirinkti visą kvadratą, užduotis negali būti išspręsta, taip ... Bet pavyzdys niekur nėra lengvesnis! Žinoma, tiems, kurie yra šioje temoje.

Sugrupuokite narius su X ir žaidimu į krūvas ir kiekvienam kintamajam pasirinkite pilnus kvadratus. Tai paaiškės:

(x 2 -6x) + (y 2 -8 y) = -16

(x 2 -6x + 9) -9 + (y 2 -8 y+16)-16 = -16

(x-3) 2 + (y-4) 2 = 9

(x-3) 2 + (y-4) 2 = 3 2

Tai kaip? Ar sužinojote, koks gyvūnas?) Na, žinoma! Spindulio apskritimas yra trejetas, kurio centras yra taške (3; 4).

Ir tai viskas.) Naudingas dalykas yra visos aikštės pasirinkimas!)