Kaip išspręsti sudėtingus pavyzdžius su šaknimis. Kaip išspręsti pavyzdžius su šaknimis. Kodėl radikalios išraiškos turi būti neneigiamos

1 faktas.
\(\bullet\) Paimkime neneigiamą skaičių \(a\) (ty \(a\geqslant 0\) ). Tada (aritmetika) kvadratinė šaknis iš skaičiaus \(a\) vadinamas toks neneigiamas skaičius \(b\) , sudėjus kvadratą gauname skaičių \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(tas pats kaip )\quad a=b^2\] Iš apibrėžimo išplaukia, kad \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Šie apribojimai yra svarbi kvadratinės šaknies egzistavimo sąlyga ir juos reikia atsiminti!
Atminkite, kad bet koks skaičius kvadratu duoda neneigiamą rezultatą. Tai yra, \(100^2=10000\geqslant 0\) ir \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Kam lygus \(\sqrt(25)\)? Žinome, kad \(5^2=25\) ir \((-5)^2=25\) . Kadangi pagal apibrėžimą turime rasti neneigiamą skaičių, \(-5\) netinka, todėl \(\sqrt(25)=5\) (nes \(25=5^2\) ).
\(\sqrt a\) reikšmės radimas vadinamas kvadratinės šaknies iš skaičiaus \(a\) ėmimu, o skaičius \(a\) vadinamas radikalia išraiška.
\(\bullet\) Remiantis apibrėžimu, išraiška \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\) ir kt. neturi prasmės.

2 faktas.
Norint greitai atlikti skaičiavimus, bus naudinga išmokti natūraliųjų skaičių kvadratų lentelę nuo \(1\) iki \(20\) : \[\begin(masyvas)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(masyvas)\]

3 faktas.
Kokias operacijas galima atlikti su kvadratinėmis šaknimis?
\(\bullet\) Kvadratinių šaknų suma arba skirtumas NĖRA LYGI sumos arba skirtumo kvadratinei šakniai, tai yra \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Taigi, jei reikia apskaičiuoti, pavyzdžiui, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , iš pradžių turite rasti \(\sqrt(25)\) ir \(\ sqrt(49)\) ir sulenkite juos. Vadinasi, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Jei reikšmių \(\sqrt a\) arba \(\sqrt b\) nepavyksta rasti pridedant \(\sqrt a+\sqrt b\), tada tokia išraiška toliau netransformuojama ir lieka tokia, kokia yra. Pavyzdžiui, sumoje \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) galime rasti, kad \(\sqrt(49)\) yra \(7\) , bet \(\sqrt 2\) negali būti transformuotas į bet kokiu atveju, štai kodėl \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Deja, šios išraiškos negalima supaprastinti\(\bullet\) Kvadratinių šaknų sandauga / dalinys yra lygus sandaugos / dalinio kvadratinei šaknims, tai yra \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (su sąlyga, kad abi lygybės pusės turi prasmę)
Pavyzdys: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Naudojant šias ypatybes, patogu rasti didelių skaičių kvadratines šaknis, jas koeficientuojant.
Pažiūrėkime į pavyzdį. Raskime \(\sqrt(44100)\) . Nuo \(44100:100=441\) , tada \(44100=100\cdot 441\) . Pagal dalijimosi kriterijų skaičius \(441\) dalijasi iš \(9\) (nes jo skaitmenų suma yra 9 ir dalijasi iš 9), todėl \(441:9=49\), tai yra \(441=9\ cdot 49\) .
Taip gavome: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Pažvelkime į kitą pavyzdį: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
' Kadangi \(5=\sqrt(25)\) , tada \ Taip pat atkreipkite dėmesį, kad pvz.
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Kodėl taip? Paaiškinkime naudodami 1 pavyzdį). Kaip jau supratote, negalime kažkaip pakeisti skaičiaus \(\sqrt2\). Įsivaizduokime, kad \(\sqrt2\) yra koks nors skaičius \(a\) . Atitinkamai, išraiška \(\sqrt2+3\sqrt2\) yra ne kas kita, kaip \(a+3a\) (vienas skaičius \(a\) ir dar trys tokie patys skaičiai \(a\)). Ir mes žinome, kad tai lygu keturiems tokiems skaičiams \(a\) , tai yra \(4\sqrt2\) .

4 faktas.
' . Pavyzdžiui, galite paimti skaičiaus \(16\) šaknį, nes \(16=4^2\) , todėl \(\sqrt(16)=4\) . Tačiau neįmanoma išgauti skaičiaus \(3\) šaknies, tai yra, rasti \(\sqrt3\), nes nėra skaičiaus, kuris kvadratu suteiktų \(3\) .
Tokie skaičiai (arba išraiškos su tokiais skaičiais) yra neracionalūs. Pavyzdžiui, skaičiai \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) ir taip toliau. yra neracionalūs.
Taip pat neracionalūs yra skaičiai \(\pi\) (skaičius „pi“, maždaug lygus \(3,14\)), \(e\) (šis skaičius vadinamas Eilerio skaičiumi, jis yra maždaug lygus \(2,7) \)) ir kt.
\(\bullet\) Atminkite, kad bet kuris skaičius bus racionalus arba neracionalus. Ir kartu visi racionalieji ir neracionalūs skaičiai sudaro aibę, vadinamą realiųjų skaičių rinkinys.Šis rinkinys žymimas raide \(\mathbb(R)\) .
Tai reiškia, kad visi skaičiai, kuriuos šiuo metu žinome, vadinami tikraisiais skaičiais.

5 faktas.
\(\bullet\) Realiojo skaičiaus \(a\) modulis yra neneigiamas skaičius \(|a|\), lygus atstumui nuo taško \(a\) iki \(0\) tikra linija. Pavyzdžiui, \(|3|\) ir \(|-3|\) yra lygūs 3, nes atstumai nuo taškų \(3\) ir \(-3\) iki \(0\) yra tas pats ir lygus \(3 \) .
\(\bullet\) Jei \(a\) yra neneigiamas skaičius, tada \(|a|=a\) .
Pavyzdys: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Jei \(a\) yra neigiamas skaičius, tada \(|a|=-a\) .
Pavyzdys: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Jie sako, kad neigiamiems skaičiams modulis „suvalgo“ minusą, o teigiamus skaičius, taip pat skaičių \(0\), modulis nepakeičia.
BETŠi taisyklė taikoma tik skaičiams. Jei po jūsų modulio ženklu yra nežinomas \(x\) (arba kitas nežinomasis), pavyzdžiui, \(|x|\) , apie kurį mes nežinome, ar jis teigiamas, nulis ar neigiamas, tada atsikratykite modulio negalime. Šiuo atveju ši išraiška išlieka ta pati: \(|x|\) . \(\bullet\) Galioja šios formulės: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( pateikta ) a\geqslant 0\] Labai dažnai daroma tokia klaida: sakoma, kad \(\sqrt(a^2)\) ir \((\sqrt a)^2\) yra vienas ir tas pats. Tai tiesa, tik jei \(a\) yra teigiamas skaičius arba nulis. Bet jei \(a\) yra neigiamas skaičius, tai klaidinga. Pakanka apsvarstyti šį pavyzdį. Vietoj \(a\) imkime skaičių \(-1\) . Tada \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , bet išraiška \((\sqrt (-1))^2\) iš viso neegzistuoja (juk negalima naudoti šaknies ženklo įdėti neigiamus skaičius!).
Todėl atkreipiame jūsų dėmesį į tai, kad \(\sqrt(a^2)\) nėra lygus \((\sqrt a)^2\) ! Pavyzdys: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), nes \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Kadangi \(\sqrt(a^2)=|a|\) , tada \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (išraiška \(2n\) reiškia lyginį skaičių)
Tai yra, paimant skaičiaus, kuris yra tam tikru laipsniu, šaknį, šis laipsnis sumažinamas perpus.
Pavyzdys:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (atkreipkite dėmesį, kad jei modulis nepateikiamas, paaiškėja, kad skaičiaus šaknis yra lygi \(-25\) ) ); bet mes prisimename , kad pagal šaknies apibrėžimą to negali atsitikti: ištraukdami šaknį visada turime gauti teigiamą skaičių arba nulį)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (kadangi bet koks skaičius iki lyginio laipsnio yra neneigiamas)

6 faktas.
Kaip palyginti dvi kvadratines šaknis?
\(\bullet\) Kvadratinių šaknų atveju tai tiesa: jei \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aPavyzdys:
1) palyginkite \(\sqrt(50)\) ir \(6\sqrt2\) . Pirma, paverskime antrąją išraišką į \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Taigi, nuo \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Tarp kokių sveikųjų skaičių yra \(\sqrt(50)\)?
Nuo \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) ir \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Palyginkime \(\sqrt 2-1\) ir \(0,5\) . Tarkime, kad \(\sqrt2-1>0,5\) : \[\begin(sulygiuotas) &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text((pridėkite po vieną prie abiejų pusių))\\ &\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((iš abiejų pusių kvadratu))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end (sulygiuotas)\] Matome, kad gavome neteisingą nelygybę. Todėl mūsų prielaida buvo neteisinga ir \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Atkreipkite dėmesį, kad tam tikro skaičiaus pridėjimas prie abiejų nelygybės pusių neturi įtakos jos ženklui. Abiejų nelygybės pusių dauginimas/dalinimas iš teigiamo skaičiaus taip pat neturi įtakos jos ženklui, tačiau padauginus/dalijus iš neigiamo skaičiaus nelygybės ženklas apverčiamas!
Abi lygties/nelygybės puses galite kvadratuoti TIK JEI abi pusės yra neneigiamos. Pavyzdžiui, nelygybėje iš ankstesnio pavyzdžio galite kvadratuoti abi puses, nelygybėje \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Reikia atsiminti, kad ' Apytikslės šių skaičių reikšmės žinojimas padės lyginant skaičius! \(\bullet\) Norėdami išgauti šaknį (jei ją galima išgauti) iš kokio nors didelio skaičiaus, kurio nėra kvadratų lentelėje, pirmiausia turite nustatyti tarp kurių „šimtų“ jis yra, tada – tarp kurių „ dešimtys“, tada nustatykite paskutinį šio skaičiaus skaitmenį. Parodykime, kaip tai veikia pavyzdžiu.
Paimkime \(\sqrt(28224)\) . Žinome, kad \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\) ir kt. Atminkite, kad \(28224\) yra tarp \(10\,000\) ir \(40\,000\) . Todėl \(\sqrt(28224)\) yra tarp \(100\) ir \(200\) .
Dabar nustatykime, tarp kurių „dešimties“ yra mūsų skaičius (ty, pavyzdžiui, tarp \(120\) ir \(130\)). Taip pat iš kvadratų lentelės žinome, kad \(11^2=121\) , \(12^2=144\) ir tt, tada \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900\) ). Taigi matome, kad \(28224\) yra tarp \(160^2\) ir \(170^2\) . Todėl skaičius \(\sqrt(28224)\) yra tarp \(160\) ir \(170\) .
Pabandykime nustatyti paskutinį skaitmenį. Prisiminkime, kokie vienaženkliai skaičiai, surašyti kvadratu, pateikia \(4\) pabaigoje? Tai yra \(2^2\) ir \(8^2\) . Todėl \(\sqrt(28224)\) baigsis 2 arba 8. Patikrinkime tai. Raskime \(162^2\) ir \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Todėl \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

Norint tinkamai išspręsti vieningą valstybinį matematikos egzaminą, pirmiausia reikia išstudijuoti teorinę medžiagą, kuri supažindina su daugybe teoremų, formulių, algoritmų ir kt. Iš pirmo žvilgsnio gali atrodyti, kad tai gana paprasta. Tačiau rasti šaltinį, kuriame vieningo valstybinio matematikos egzamino teorija būtų lengvai ir suprantamai pateikta bet kokio lygio mokiniams, iš tikrųjų yra gana sudėtinga užduotis. Mokykliniai vadovėliai ne visada gali būti po ranka. Ir net internete gali būti sunku rasti pagrindines vieningo valstybinio matematikos egzamino formules.

Kodėl matematikos teoriją taip svarbu mokytis ne tik laikantiesiems vieningą valstybinį egzaminą?

1. Nes tai praplečia akiratį. Matematikos teorinės medžiagos studijavimas naudingas kiekvienam, norinčiam gauti atsakymus į įvairiausius klausimus, susijusius su juos supančio pasaulio pažinimu. Gamtoje viskas sutvarkyta ir turi aiškią logiką. Būtent tai atsispindi moksle, per kurį galima suprasti pasaulį.
2. Nes ugdo intelektą. Studijuodamas vieningo valstybinio matematikos egzamino informacinę medžiagą, taip pat spręsdamas įvairias problemas, žmogus išmoksta logiškai mąstyti ir mąstyti, kompetentingai ir aiškiai formuluoti mintis. Jis ugdo gebėjimą analizuoti, apibendrinti ir daryti išvadas.

Kviečiame asmeniškai įvertinti visus mūsų požiūrio į mokomosios medžiagos sisteminimą ir pateikimą privalumus.

Operacijos su galiomis ir šaknimis. Laipsnis su neigiamu ,

nulis ir trupmena indikatorius. Apie posakius, kurie neturi prasmės.

Operacijos su laipsniais.

1. Dauginant laipsnius su ta pačia baze, jų laipsniai sumuojami:

esu · a n = a m + n .

2. Dalijant laipsnius su tuo pačiu pagrindu, jų laipsniai yra atimami .

3. Dviejų ar daugiau veiksnių sandaugos laipsnis yra lygus šių veiksnių laipsnių sandaugai.

(abc… ) n = a n· b n · c n…

4. Santykio laipsnis (trupmena) lygus dividendo (skaitiklio) ir daliklio (vardiklio) laipsnių santykiui:

(a/b ) n = a n / b n .

5. Didinant laipsnį į laipsnį, jų rodikliai dauginami:

(esu ) n = a m n .

Visos aukščiau pateiktos formulės skaitomos ir vykdomos abiem kryptimis iš kairės į dešinę ir atvirkščiai.

PAVYZDYS (2 · 3 · 5/15)² = 2² 3² 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .

Operacijos su šaknimis. Visose toliau pateiktose formulėse simbolis reiškia aritmetinė šaknis(radikalioji išraiška yra teigiama).

1. Kelių veiksnių sandaugos šaknis yra lygi sandaugai šių veiksnių šaknys:

2. Santykio šaknis yra lygi dividendo ir daliklio šaknų santykiui:

3. Keliant šaknį į galią, pakanka pakelti iki šios galios radikalus skaičius:

4. Jei padidinsime šaknies laipsnį m pakelti į m laipsnis yra radikalus skaičius, tada šaknies reikšmė nepasikeis:

5. Jei sumažinsime šaknies laipsnį m ištraukite šaknį vieną kartą ir tuo pačiu metu m radikaliojo skaičiaus laipsnis, tada šaknies reikšmė nėra pasikeis:

Laipsnio sampratos išplėtimas. Iki šiol laipsnius nagrinėjome tik su natūraliaisiais rodikliais; bet veiksmai su laipsniai ir šaknys taip pat gali sukelti neigiamas, nulis Ir trupmeninis rodikliai. Visi šie rodikliai reikalauja papildomo apibrėžimo.

Laipsnis su neigiamu rodikliu. Kai kurių skaičių galia c neigiamas (sveikasis) eksponentas apibrėžiamas kaip vienas padalintas to paties skaičiaus laipsniu, kurio rodiklis lygus absoliučiajai reikšmeineigiamas rodiklis:

T dabar formulė esu: a n= esu - n gali būti naudojamas ne tikm, daugiau nei n, bet ir su m, mažiau nei n .

PAVYZDYS a 4 :a 7 =a 4 - 7 =a - 3 .

Jei norime formulėsesu : a n= esu - nbuvo sąžininga, kaim = n, mums reikia nulinio laipsnio apibrėžimo.

Laipsnis su nuliniu indeksu. Bet kurio nulinio skaičiaus, kurio rodiklis nulis, laipsnis yra 1.

PAVYZDŽIAI. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Laipsnis su trupmeniniu rodikliu. Norėdami padidinti tikrąjį skaičių ir iki galios m/n , reikia išgauti šaknį n-oji laipsnio m -šio skaičiaus laipsnis A:

Apie posakius, kurie neturi prasmės. Yra keletas tokių posakių. bet koks skaičius.

Tiesą sakant, jei manome, kad ši išraiška yra lygi tam tikram skaičiui x, tada pagal padalijimo operacijos apibrėžimą turime: 0 = 0 · x. Tačiau ši lygybė atsiranda tada, kai bet koks skaičius x, ką ir reikėjo įrodyti.

3 atvejis.

0 0 - bet koks skaičius.

tikrai,

Sprendimas. Panagrinėkime tris pagrindinius atvejus:

1) x = 0 – ši reikšmė šios lygties netenkina

(Kodėl?).

2) kada x> 0 gauname: x/x = 1, t.y. 1 = 1, tai reiškia

Ką x– bet koks skaičius; bet atsižvelgiant į tai, kad

Mūsų atveju x> 0, atsakymas yrax > 0 ;

3) kada x < 0 получаем: – x/x= 1, t.y. e . –1 = 1, todėl

Šiuo atveju sprendimo nėra.

Taigi, x > 0.

Pamokos pradžioje apžvelgsime pagrindines kvadratinių šaknų savybes, o tada pažvelgsime į kelis sudėtingus kvadratinių šaknų turinčių išraiškų supaprastinimo pavyzdžius.

Tema:Funkcija. Kvadratinės šaknies savybės

Pamoka:Sudėtingesnių išraiškų su šaknimis konvertavimas ir supaprastinimas

1. Kvadratinių šaknų savybių apžvalga

Trumpai pakartokime teoriją ir prisiminkime pagrindines kvadratinių šaknų savybes.

Kvadratinių šaknų savybės:

1. todėl, ;

3. ;

4. .

2. Posakių su šaknimis supaprastinimo pavyzdžiai

Pereikime prie šių savybių naudojimo pavyzdžių.

1 pavyzdys: supaprastinkite išraišką .

Sprendimas. Kad būtų paprasčiau, skaičius 120 turi būti padalytas į pirminius veiksnius:

Sumos kvadratą atskleisime naudodami atitinkamą formulę:

2 pavyzdys: supaprastinkite išraišką .

Sprendimas. Atsižvelkime į tai, kad ši išraiška neturi prasmės visoms galimoms kintamojo reikšmėms, nes šioje išraiškoje yra kvadratinių šaknų ir trupmenų, o tai lemia leistinų verčių diapazono „susiaurėjimą“. ODZ: ().

Skliausteliuose esančią išraišką perkelkime į bendrą vardiklį ir paskutinės trupmenos skaitiklį parašykime kaip kvadratų skirtumą:

At.

Atsakymas. adresu.

3 pavyzdys: supaprastinkite išraišką .

Sprendimas. Matyti, kad antrasis skaitiklio skliaustas atrodo nepatogiai ir jį reikia supaprastinti; pabandykime jį suskirstyti grupavimo metodu.

Kad galėtume išvesti bendrą veiksnį, supaprastinome šaknis, jas įvertindami. Pakeiskime gautą išraišką pradine trupmena:

Sumažinus trupmeną taikome kvadratų skirtumo formulę.

3. Iracionalumo atsikratymo pavyzdys

4 pavyzdys. Išsilaisvinkite nuo neracionalumo (šaknų) vardiklyje: a) ; b) .

Sprendimas. a) Siekiant atsikratyti neracionalumo vardiklyje, naudojamas standartinis trupmenos skaitiklio ir vardiklio dauginimo iš konjuguoto koeficiento su vardikliu metodas (ta pati išraiška, bet su priešingu ženklu). Tai daroma siekiant papildyti trupmenos vardiklį prie kvadratų skirtumo, o tai leidžia atsikratyti vardiklio šaknų. Padarykime tai mūsų atveju:

b) atlikti panašius veiksmus:

Atsakymas.; .

4. Pavyzdys, kaip įrodyti ir identifikuoti pilną kvadratą kompleksiniame radikale

5 pavyzdys. Įrodykite lygybę .

Įrodymas. Naudokime kvadratinės šaknies apibrėžimą, iš kurio išplaukia, kad dešiniosios išraiškos kvadratas turi būti lygus radikaliajai išraiškai:

. Atidarykime skliaustus naudodami sumos kvadrato formulę:

, gavome teisingą lygybę.

Įrodyta.

6 pavyzdys. Supaprastinkite išraišką.

Sprendimas. Ši išraiška paprastai vadinama kompleksiniu radikalu (šaknis po šaknimi). Šiame pavyzdyje turite išsiaiškinti, kaip atskirti visą kvadratą nuo radikalios išraiškos. Norėdami tai padaryti, atkreipkite dėmesį, kad iš dviejų terminų jis yra kandidatas į dvigubo produkto vaidmenį skirtumo kvadrato formulėje (skirtumas, nes yra minusas). Parašykime jį tokio sandauga: , tada 1 pretenduoja į vieną iš pilno kvadrato sąlygų, o 1 teigia esantis antrasis.

Pakeiskime šią išraišką šaknimi.

Šis straipsnis yra išsamios informacijos, susijusios su šaknų savybių tema, rinkinys. Atsižvelgdami į temą, pradėsime nuo savybių, išnagrinėsime visas formuluotes ir pateiksime įrodymus. Norėdami konsoliduoti temą, apsvarstysime n-ojo laipsnio savybes.

Šaknų savybės

Mes kalbėsime apie savybes.

1. Nuosavybė padauginti skaičiai a Ir b, kuri vaizduojama kaip lygybė a · b = a · b. Jis gali būti pavaizduotas faktorių forma, teigiamas arba lygus nuliui a 1 , a 2 , … , a k kaip a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k ;
2. iš koeficiento a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0, jis gali būti parašytas ir tokia forma a b = a b;
3. Savybė iš skaičiaus galios a su lyginiu rodikliu a 2 m = a m bet kuriam skaičiui a, pavyzdžiui, ypatybė iš skaičiaus kvadrato a 2 = a.

Bet kurioje pateiktoje lygtyje galite sukeisti dalis prieš ir po brūkšnelio, pavyzdžiui, lygybė a · b = a · b paverčiama kaip a · b = a · b. Lygybės savybės dažnai naudojamos sudėtingoms lygtims supaprastinti.

Pirmųjų savybių įrodymas pagrįstas kvadratinės šaknies apibrėžimu ir laipsnių su natūraliuoju rodikliu savybėmis. Norint pagrįsti trečiąją savybę, būtina remtis skaičiaus modulio apibrėžimu.

Pirmiausia reikia įrodyti kvadratinės šaknies a · b = a · b savybes. Pagal apibrėžimą būtina atsižvelgti į tai, kad a b yra skaičius, teigiamas arba lygus nuliui, kuris bus lygus a b statybos metu į aikštę. Išraiškos a · b reikšmė yra teigiama arba lygi nuliui kaip neneigiamų skaičių sandauga. Padaugintų skaičių laipsnių savybė leidžia lygybę pavaizduoti forma (a · b) 2 = a 2 · b 2 . Pagal kvadratinės šaknies apibrėžimą a 2 = a ir b 2 = b, tada a · b 2 = a 2 · b 2 = a · b.

Panašiu būdu tai galima įrodyti iš produkto k daugikliai a 1 , a 2 , … , a k bus lygus šių faktorių kvadratinių šaknų sandaugai. Iš tiesų, a 1 · a 2 · … · a k 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · a k 2 = a 1 · a 2 · … · a k .

Iš šios lygybės išplaukia, kad a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k.

Pažvelkime į keletą pavyzdžių, kad sustiprintume temą.

1 pavyzdys

3 5 2 5 = 3 5 2 5, 4, 2 13 1 2 = 4, 2 13 1 2 ir 2, 7 4 12 17 0, 2 (1) = 2, 7 4 12 17 · 0, 2 (1) .

Būtina įrodyti dalinio aritmetinės kvadratinės šaknies savybę: a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0. Savybė leidžia parašyti lygybę a: b 2 = a 2: b 2 ir a 2: b 2 = a: b, o a: b yra teigiamas skaičius arba lygus nuliui. Ši išraiška taps įrodymu.

Pavyzdžiui, 0:16 = 0:16, 80:5 = 80:5 ir 30,121 = 30,121.

Panagrinėkime skaičiaus kvadrato kvadratinės šaknies savybę. Jis gali būti parašytas kaip lygybė kaip a 2 = a Norint įrodyti šią savybę, reikia išsamiai apsvarstyti keletą lygybių a ≥ 0 ir pas a< 0 .

Akivaizdu, kad a ≥ 0 lygybė a 2 = a yra teisinga. At a< 0 lygybė a 2 = - a bus teisinga. Tiesą sakant, šiuo atveju − a > 0 ir (− a) 2 = a 2 . Galime daryti išvadą, kad a 2 = a, a ≥ 0 - a, a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

Pažvelkime į kelis pavyzdžius.

2 pavyzdys

5 2 = 5 = 5 ir - 0,36 2 = - 0,36 = 0,36.

Įrodyta savybė padės pagrįsti 2 m = a m, kur a– tikras ir m- natūralus skaičius. Iš tiesų, galios didinimo savybė leidžia mums ją pakeisti a 2 m išraiška (a m) 2, tada a 2 m = (a m) 2 = a m.

3 pavyzdys

3 8 = 3 4 = 3 4 ir (- 8 , 3) ​​14 = - 8, 3 7 = (8 , 3) ​​7 .

N-osios šaknies savybės

Pirmiausia turime atsižvelgti į pagrindines n-osios šaknų savybes:

1. Savybė iš skaičių sandaugos a Ir b, kurie yra teigiami arba lygūs nuliui, gali būti išreikšti lygybe a · b n = a n · b n , ši savybė galioja sandaugai k numeriai a 1 , a 2 , … , a k kaip a 1 · a 2 · … · a k n = a 1 n · a 2 n · … · a k n ;
2. iš trupmeninio skaičiaus turi savybę a b n = a n b n , kur a yra bet koks tikrasis skaičius, kuris yra teigiamas arba lygus nuliui, ir b– teigiamas realusis skaičius;
3. Bet kuriam a ir net rodikliai n = 2 m a 2 · m 2 · m = a yra teisinga, o nelyginė n = 2 m − 1 galioja lygybė a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a.
4. Išgavimo iš a m n = a n m savybė, kur a– bet koks skaičius, teigiamas arba lygus nuliui, n Ir m yra natūralūs skaičiai, ši savybė taip pat gali būti pavaizduota formoje. . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 . . . · n k ;
5. Bet kokiam neneigiamam a ir savavališkam n Ir m, kurios yra natūralios, taip pat galime apibrėžti teisingąją lygybę a m n · m = a n ;
6. Laipsnio savybė n iš skaičiaus galios a, kuris yra teigiamas arba lygus nuliui, natūraliajai galiai m, apibrėžiamas lygybe a m n = a n m ;
7. Palyginimo savybė, kurios rodikliai yra tokie patys: bet kokiems teigiamiems skaičiams a Ir b toks kad a< b , nelygybė a n< b n ;
8. Palyginimo ypatybė, kurios šaknyje yra tie patys skaičiai: jei m Ir n – natūraliuosius skaičius, kad m > n, tada val 0 < a < 1 nelygybė a m > a n yra teisinga, o kada a > 1įvykdė m< a n .

Aukščiau pateiktos lygybės galioja, jei dalys prieš ir po lygybės ženklo yra sukeistos. Jie taip pat gali būti naudojami šioje formoje. Tai dažnai naudojama supaprastinant arba transformuojant išraiškas.

Minėtų šaknies savybių įrodymas grindžiamas apibrėžimu, laipsnio savybėmis ir skaičiaus modulio apibrėžimu. Šios savybės turi būti įrodytos. Bet viskas tvarkoje.

1. Pirmiausia įrodykime sandaugos a · b n = a n · b n n-osios šaknies savybes. Dėl a Ir b , kuris yra teigiamas arba lygus nuliui , reikšmė a n · b n taip pat yra teigiama arba lygi nuliui, nes tai yra neneigiamų skaičių padauginimo pasekmė. Produkto savybė natūraliajai galiai leidžia užrašyti lygybę a n · b n n = a n n · b n n . Pagal šaknies apibrėžimą n-tasis laipsnis a n n = a ir b n n = b , todėl a n · b n n = a · b . Gauta lygybė yra būtent tai, ką reikėjo įrodyti.

Šią savybę panašiai galima įrodyti ir gaminiui k daugikliai: neneigiamiems skaičiams a 1, a 2, …, a n, a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0.

Čia yra šakninės nuosavybės naudojimo pavyzdžiai n gaminio galia: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 ir 8, 3 4 17, (21) 4 3 4 5 7 4 = 8, 3 17, (21) 3 · 5 7 4 .

1. Įrodykime dalinio a b n = a n b n šaknies savybę. At a ≥ 0 Ir b > 0 sąlyga a n b n ≥ 0 tenkinama, o a n b n n = a n n b n n = a b .

Parodykime pavyzdžius:

4 pavyzdys

8 27 3 = 8 3 27 3 ir 2, 3 10: 2 3 10 = 2, 3: 2 3 10.

1. Kitam žingsniui reikia įrodyti n-ojo laipsnio savybes nuo skaičiaus iki laipsnio n. Įsivaizduokime tai kaip lygybę a 2 m 2 m = a ir a 2 m - 1 2 m - 1 = a bet kuriai realiai a ir natūralus m. At a ≥ 0 gauname a = a ir a 2 m = a 2 m, kas įrodo lygybę a 2 m 2 m = a, o lygybė a 2 m - 1 2 m - 1 = a yra akivaizdi. At a< 0 gauname atitinkamai a = - a ir a 2 m = (- a) 2 m = a 2 m. Paskutinė skaičiaus transformacija galioja pagal galios savybę. Būtent tai įrodo lygybę a 2 m 2 m = a ir 2 m - 1 2 m - 1 = a bus teisinga, nes nelyginis laipsnis laikomas - c 2 m - 1 = - c 2 m - 1 bet kuriam skaičiui c , teigiamas arba lygus nuliui.

Norėdami konsoliduoti gautą informaciją, apsvarstykite keletą nuosavybės naudojimo pavyzdžių:

5 pavyzdys

7 4 4 = 7 = 7, (- 5) 12 12 = - 5 = 5, 0 8 8 = 0 = 0, 6 3 3 = 6 ir (- 3, 39) 5 5 = - 3, 39.

1. Įrodykime tokią lygybę a m n = a n m . Norėdami tai padaryti, turite sukeisti skaičius prieš ir po lygybės ženklo a n · m = a m n . Tai reiškia, kad įrašas yra teisingas. Dėl a, kuri yra teigiama arba lygus nuliui , a m n formos skaičius yra teigiamas arba lygus nuliui. Panagrinėkime savybę pakelti galią į galią ir jos apibrėžimą. Jų pagalba galite paversti lygybes forma a m n n · m = a m n n m = a m m = a. Tai įrodo nagrinėjamos šaknies šaknies savybę.

Panašiai įrodytos ir kitos savybės. Tikrai,. . . a n k n 2 n 1 n 1 · n 2 · . . . · n k = . . . a n k n 3 n 2 n 2 · n 3 · . . . · n k = . . . a n k n 4 n 3 n 3 · n 4 · . . . · n k = . . . = a n k n k = a .

Pavyzdžiui, 7 3 5 = 7 5 3 ir 0,0009 6 = 0,0009 2 2 6 = 0,0009 24.

1. Įrodykime tokią savybę a m n · m = a n . Norėdami tai padaryti, reikia parodyti, kad n yra skaičius, teigiamas arba lygus nuliui. Pakėlus iki laipsnio n m lygus esu. Jei numeris a yra teigiamas arba lygus nuliui, tada n– laipsnis iš tarpo a yra teigiamas skaičius arba lygus nuliui. Šiuo atveju a n · m n = a n n m , ką ir reikėjo įrodyti.

Siekdami įtvirtinti įgytas žinias, pažvelkime į kelis pavyzdžius.

1. Įrodykime tokią savybę – a m n = a n m formos laipsnio šaknies savybę. Akivaizdu, kad kada a ≥ 0 laipsnis a n m yra neneigiamas skaičius. Be to, ji n toji galia lygi esu, iš tiesų, a n m n = a n m · n = a n n m = a m . Tai įrodo nagrinėjamo laipsnio savybę.

Pavyzdžiui, 2 3 5 3 = 2 3 3 5.

1. Būtina įrodyti, kad bet kokiems teigiamiems skaičiams a ir b sąlyga tenkinama a< b . Apsvarstykite nelygybę a n< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию a< b . Todėl n< b n при a< b .

Pavyzdžiui, duokime 12 4< 15 2 3 4 .

1. Apsvarstykite šaknies savybę n-tas laipsnis. Pirmiausia reikia atsižvelgti į pirmąją nelygybės dalį. At m > n Ir 0 < a < 1 tiesa a m > a n . Tarkime, kad a m ≤ a n. Savybės leis supaprastinti išraišką iki a n m · n ≤ a m m · n . Tada, atsižvelgiant į laipsnio su natūraliuoju rodikliu savybes, galioja nelygybė a n m · n m · n ≤ a m m · n m · n, tai yra, a n ≤ a m. Gauta vertė m > n Ir 0 < a < 1 neatitinka aukščiau nurodytų savybių.

Lygiai taip pat galima įrodyti, kad kada m > n Ir a > 1 sąlyga a m yra teisinga< a n .

Siekdami įtvirtinti aukščiau pateiktas savybes, panagrinėkime keletą konkrečių pavyzdžių. Pažvelkime į nelygybes naudodami konkrečius skaičius.

6 pavyzdys

0, 7 3 > 0, 7 5 ir 12 > 12 7.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Gana dažnai spręsdami problemas susiduriame su dideliais skaičiais, iš kurių reikia išgauti Kvadratinė šaknis. Daugelis studentų nusprendžia, kad tai klaida, ir pradeda iš naujo spręsti visą pavyzdį. Jokiu būdu neturėtumėte to daryti! Tam yra dvi priežastys:

1. Problemose atsiranda didelių skaičių šaknys. Ypač tekstiniuose;
2. Yra algoritmas, pagal kurį šios šaknys apskaičiuojamos beveik žodžiu.

Šiandien mes apsvarstysime šį algoritmą. Galbūt kai kurie dalykai jums atrodys nesuprantami. Bet jei atkreipsite dėmesį į šią pamoką, gausite galingą ginklą prieš kvadratinės šaknys.

Taigi, algoritmas:

1. Apribokite reikiamą šaknį aukščiau ir žemiau iki skaičių, kurie yra 10 kartotiniai. Taigi paieškos diapazoną sumažinsime iki 10 skaičių;
2. Iš šių 10 skaičių išrinkite tuos, kurie tikrai negali būti šaknys. Dėl to išliks 1-2 skaičiai;
3. Padėkite šiuos 1–2 skaičius kvadratu. Tas, kurio kvadratas lygus pradiniam skaičiui, bus šaknis.

Prieš taikydami šį algoritmą praktiškai, pažvelkime į kiekvieną atskirą žingsnį.

Šaknies apribojimas

Visų pirma, turime išsiaiškinti, tarp kurių skaičių yra mūsų šaknis. Labai pageidautina, kad skaičiai būtų dešimties kartotiniai:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Gauname skaičių seką:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Ką mums sako šie skaičiai? Tai paprasta: mes nustatome ribas. Paimkime, pavyzdžiui, skaičių 1296. Jis yra tarp 900 ir 1600. Todėl jo šaknis negali būti mažesnė nei 30 ir didesnė nei 40:

[Paveikslo antraštė]

Tas pats pasakytina apie bet kurį kitą skaičių, iš kurio galite rasti kvadratinę šaknį. Pavyzdžiui, 3364:

[Paveikslo antraštė]

Taigi vietoj nesuprantamo skaičiaus gauname labai konkretų diapazoną, kuriame yra pradinė šaknis. Norėdami dar labiau susiaurinti paieškos sritį, pereikite prie antrojo veiksmo.

Akivaizdžiai nereikalingų skaičių pašalinimas

Taigi, turime 10 skaičių – kandidatų į šaknį. Mes juos gavome labai greitai, be kompleksinio mąstymo ir dauginimo stulpelyje. Laikas judėti į priekį.

Tikėkite ar ne, dabar kandidatų skaičių sumažinsime iki dviejų – vėlgi be jokių sudėtingų skaičiavimų! Pakanka žinoti specialią taisyklę. Štai jis:

Paskutinis kvadrato skaitmuo priklauso tik nuo paskutinio skaitmens originalus numeris.

Kitaip tariant, tiesiog pažiūrėkite į paskutinį kvadrato skaitmenį ir mes iš karto suprasime, kur baigiasi pradinis skaičius.

Yra tik 10 skaitmenų, kurie gali būti paskutinėje vietoje. Pabandykime išsiaiškinti, kuo jie virsta kvadratu. Pažvelkite į lentelę:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

Ši lentelė yra dar vienas žingsnis apskaičiuojant šaknį. Kaip matote, antroje eilutėje esantys skaičiai pasirodė simetriški penkių atžvilgiu. Pavyzdžiui:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Kaip matote, paskutinis skaitmuo abiem atvejais yra vienodas. Tai reiškia, kad, pavyzdžiui, 3364 šaknis turi baigtis 2 arba 8. Kita vertus, prisimename ankstesnės pastraipos apribojimą. Mes gauname:

[Paveikslo antraštė]

Raudoni kvadratai rodo, kad mes dar nežinome šio skaičiaus. Tačiau šaknis yra diapazone nuo 50 iki 60, kuriame yra tik du skaičiai, kurie baigiasi 2 ir 8:

[Paveikslo antraštė]

Tai viskas! Iš visų galimų šaknų palikome tik dvi galimybes! Ir tai yra sunkiausiu atveju, nes paskutinis skaitmuo gali būti 5 arba 0. Ir tada bus tik vienas kandidatas į šaknis!

Galutiniai skaičiavimai

Taigi, mums liko 2 kandidatų numeriai. Kaip žinoti, kuris iš jų yra šaknis? Atsakymas akivaizdus: abu skaičius kvadratu. Tas, kuris kvadratu pateikia pradinį skaičių, bus šaknis.

Pavyzdžiui, skaičiui 3364 radome du kandidatų skaičius: 52 ir 58. Padėkime juos kvadratu:

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 60 2 + 4 = 3364.

Tai viskas! Paaiškėjo, kad šaknis yra 58! Tuo pačiu, kad supaprastinčiau skaičiavimus, panaudojau sumos ir skirtumo kvadratų formulę. Dėl to man net nereikėjo dauginti skaičių į stulpelį! Tai dar vienas skaičiavimo optimizavimo lygis, bet, žinoma, visiškai neprivalomas :)

Šaknų skaičiavimo pavyzdžiai

Teorija, žinoma, gera. Bet patikrinkime tai praktiškai.

[Paveikslo antraštė]

Pirmiausia išsiaiškinkime, tarp kurių skaičių yra skaičius 576:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Dabar pažiūrėkime į paskutinį skaičių. Jis lygus 6. Kada tai atsitinka? Tik jei šaknis baigiasi 4 arba 6. Gauname du skaičius:

Belieka kiekvieną skaičių pakelti kvadratu ir palyginti su originalu:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Puiku! Pirmasis kvadratas pasirodė lygus pradiniam skaičiui. Taigi tai yra šaknis.

Užduotis. Apskaičiuokite kvadratinę šaknį:

[Paveikslo antraštė]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Pažiūrėkime į paskutinį skaitmenį:

1369 → 9;
33; 37.

Kvadratu:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 40 3 + 9 = 1369.

Štai atsakymas: 37.

Užduotis. Apskaičiuokite kvadratinę šaknį:

[Paveikslo antraštė]

Apribojame skaičių:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Pažiūrėkime į paskutinį skaitmenį:

2704 → 4;
52; 58.

Kvadratu:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Gavome atsakymą: 52. Antro skaičiaus kvadratuoti nebereikės.

Užduotis. Apskaičiuokite kvadratinę šaknį:

[Paveikslo antraštė]

Apribojame skaičių:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Pažiūrėkime į paskutinį skaitmenį:

4225 → 5;
65.

Kaip matote, po antro žingsnio lieka tik viena parinktis: 65. Tai norima šaknis. Bet vis tiek išlyginkime ir patikrinkime:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Viskas teisinga. Užrašome atsakymą.

Išvada

Deja, ne geriau. Pažvelkime į priežastis. Yra du iš jų:

• Per bet kokį įprastą matematikos egzaminą, nesvarbu, ar tai būtų valstybinis, ar vieningas valstybinis egzaminas, skaičiuotuvus naudoti draudžiama. O jei į pamoką atsinešite skaičiuotuvą, galite būti lengvai išmesti iš egzamino.
• Nebūk kaip kvaili amerikiečiai. Kurie nėra kaip šaknys – negali pridėti dviejų pirminių skaičių. Ir kai jie mato trupmenas, jie paprastai tampa isteriški.