Trikampio medianų suma. Mediana. Išsami teorija su pavyzdžiais. Pagrindiniai trikampio abc elementai

Kurioje yra šis segmentas. Vidutinės sankirtos taškas su trikampio kraštine vadinamas medianos pagrindas.

• Taip pat galite pristatyti koncepciją išorinė mediana trikampis.

Enciklopedinis „YouTube“.

1 / 3

✪ Trikampio pusiausvyros ir AUKŠTINĖS MEDIANS – 7 klasė

✪ Trikampio mediana. Statyba. Savybės.

✪ pusiausvyra, mediana, trikampio aukštis. Geometrija 7 klasė

Subtitrai

Savybės

Pagrindinė nuosavybė

Visos trys trikampio medianos susikerta viename taške, kuris vadinamas trikampio centroidu arba svorio centru, ir šiuo tašku yra padalintas į dvi dalis santykiu 2:1, skaičiuojant nuo viršūnės.

Lygiašonio trikampio medianų savybės

• Lygiašoniame trikampyje dvi medianos, nubrėžtos į lygias trikampio kraštines, yra lygios, o trečioji mediana yra ir pusiausvyra, ir aukštis.
• Taip pat yra priešingai: jei dvi trikampio medianos yra lygios, tai trikampis yra lygiašonis, o trečioji mediana yra ir bisektorius, ir kampo aukštis jo viršūnėje.
• Lygiakraščio trikampio visos trys medianos yra lygios.

Medianinių bazių savybės

• Eulerio teorema devynių taškų apskritimui: savavališko trikampio trijų aukščių pagrindai, jo trijų kraštinių vidurio taškai ( jos medianų pagrindus) ir trijų atkarpų, jungiančių jos viršūnes su ortocentru, vidurio taškai yra tame pačiame apskritime (vadinamajame. devynių taškų apskritimas).
• Perbrėžtas segmentas pagrindu bet kurios dvi trikampio medianos yra jos vidurio linija. Vidurinė trikampio linija visada lygiagreti tai trikampio kraštinei, su kuria ji neturi bendrų taškų.
  • Išvada (Thaleso teorema apie lygiagrečiai segmentai). Trikampio vidurio linija lygi pusei trikampio kraštinės, kuriai ji lygiagreti, ilgio.

Kitos savybės

• Jei trikampis universalus (skalenas), tada iš bet kurios viršūnės nubrėžtas jo bisektorinis yra tarp medianos ir aukščio, nubrėžto iš tos pačios viršūnės.
• Mediana padalija trikampį į du vienodus (ploto) trikampius.
• Trikampis padalintas iš trijų medianų į šešis vienodus trikampius.
• Iš segmentų, sudarančių medianas, galite padaryti trikampį, kurio plotas bus lygus 3/4 viso trikampio. Vidutiniai ilgiai tenkina trikampio nelygybę.
• Stačiakampiame trikampyje mediana, nubrėžta iš viršūnės stačiu kampu, yra lygi pusei hipotenuzės.
• Didesnė trikampio kraštinė atitinka mažesnę medianą.
• Tiesus segmentas, simetriškas arba izogoniškai konjuguotas vidinė mediana vidinės pusiausvyros atžvilgiu vadinama trikampio simmediana. Trys simedianai pereiti per vieną tašką - Lemoine'o mintis.
• Trikampio kampo mediana izotomiškai konjuguotas sau.

Pagrindiniai santykiai

Visų pirma, savavališko trikampio medianų kvadratų suma yra 3/4 jo kraštinių kvadratų sumos: m a 2 + m b 2 + m c 2 = 3 4 (a 2 + b 2 + c 2) (\displaystyle m_(a)^(2)+m_(b)^(2)+m_(c)^(2) =(\frac (3)(4))(a^(2)+b^(2)+c^(2))).

• Ir atvirkščiai, savavališkos trikampio kraštinės ilgį galite išreikšti mediana:

a = 2 3 2 (m b 2 + m c 2) − m a 2 (\displaystyle a=(\frac (2)(3))(\sqrt (2(m_(b)^(2)+m_(c)^ (2))-m_(a)^(2)))), Kur m a , m b , m c (\displaystyle m_(a), m_(b), m_(c)) medianos iki atitinkamų trikampio kraštinių, a , b , c (\displaystyle a,b,c)- trikampio kraštinės.

Akordų savybės

1. Skersmuo (spindulys), statmenas stygai, padalija šią stygą ir abu jos sulenktus lankus per pusę. Taip pat teisinga ir atvirkštinė teorema: jei skersmuo (spindulys) dalija stygą per pusę, tai ji yra statmena šiai stygai.

2. Lankai, esantys tarp lygiagrečių stygų, yra lygūs.

3. Jei dvi apskritimo stygos, AB Ir CD susikerta taške M, tada vienos stygos atkarpų sandauga yra lygi kitos stygos atkarpų sandaugai: AM MB = CM MD.

Apskritimo savybės

1. Tiesė negali turėti bendrų taškų su apskritimu; turi vieną bendrą tašką su apskritimu ( liestinė); turi du bendrus dalykus su ja ( sekantas).

2. Per tris taškus, kurie nėra toje pačioje linijoje, galite nubrėžti apskritimą ir tik vieną.

3. Dviejų apskritimų sąlyčio taškas yra tiesėje, jungiančioje jų centrus.

Tangento ir sekanto teorema

Jei liestinė ir atkarpa nubrėžtos iš taško, esančio už apskritimo ribų, tai liestinės ilgio kvadratas yra lygus sekanto ir jo išorinės dalies sandaugai: MC 2 = MA MB.

Sekanto teorema

Jei iš taško, esančio už apskritimo ribų, nubrėžiamos dvi sekantos, tai vieno sekanto ir jo išorinės dalies sandauga yra lygi kito sekanto ir jo išorinės dalies sandaugai. MA MB = MC MD.

Kampai apskritime

Centrinis Kampas apskritime yra plokštumos kampas, kurio centre yra viršūnė.

Kampas, kurio viršūnė yra apskritime ir kurio kraštinės kerta šį apskritimą, vadinamas įrašytas kampas.

Bet kurie du apskritimo taškai padalykite jį į dvi dalis. Kiekviena iš šių dalių vadinama lankas apskritimai. Lanko matas gali būti jį atitinkančio centrinio kampo matas.

Lankas vadinamas puslankiu, jei jo galus jungiantis segmentas yra skersmens.

Kampų, susijusių su apskritimu, savybės

1. Įbrėžtasis kampas yra lygus pusei jį atitinkančio centrinio kampo arba papildo pusę šio kampo iki 180°.

2. Kampai, įrašyti į vieną apskritimą ir besiremiantys į tą patį lanką, yra lygūs.

3. Skersmens įbrėžtas kampas yra 90°.

5. Kampas, sudarytas iš apskritimo liestinės ir per sąlyčio tašką nubrėžtos sekanto, yra lygus pusei lanko, esančio tarp jo kraštinių.

Ilgiai ir plotai

1. Apimtis C spindulys R apskaičiuojamas pagal formulę: C= 2 R.

2. Plotas S apskritimo spindulys R apskaičiuojamas pagal formulę: S = R2.

3. Apskritimo lanko ilgis L spindulys R centrinis kampas išmatuotas radianais, apskaičiuojamas pagal formulę: L = R .

4. Plotas S spindulio sektoriai R su centriniu kampu radianais apskaičiuojamas pagal formulę: S = R2 .

Įrašyti ir apibrėžti apskritimai

Apskritimas ir trikampis

· įbrėžto apskritimo centras yra trikampio pusiaukampių susikirtimo taškas, jo spindulys r apskaičiuojamas pagal formulę:

r =, Kur S yra trikampio plotas ir - pusperimetras;

· Apibrėžto apskritimo centras yra pusiaukampio statmenų susikirtimo taškas, jo spindulys R apskaičiuojamas pagal formulę:

R= , R = ;

· apie statųjį trikampį apibrėžto apskritimo centras yra hipotenuzės viduryje;

· trikampio apibrėžtųjų ir įbrėžtųjų apskritimų centrai sutampa tik tada, kai šis trikampis yra taisyklingas.

Apskritimas ir keturkampiai

· Apskritimas aplink išgaubtą keturkampį gali būti aprašytas tada ir tik tada, kai jo vidinių priešingų kampų suma lygi 180°:

180°;

apskritimas gali būti įrašytas į keturkampį tada ir tik tada, kai jo priešingų kraštinių sumos yra lygios a + c = b + d;

lygiagretainis gali būti apibūdinamas kaip apskritimas tada ir tik tada, kai jis yra stačiakampis;

· apskritimą aplink trapeciją galima aprašyti tada ir tik tada, kai ši trapecija yra lygiašonė; apskritimo centras yra trapecijos simetrijos ašies sankirtoje su statmenu į šoną pusę;

· į lygiagretainį apskritimą galima įrašyti tada ir tik tada, kai jis yra rombas.

Trikampiai

Trikampio medianų savybės

1. Mediana padalija trikampį į du vienodo ploto trikampius.

2. Trikampio medianos susikerta viename taške, kuris kiekvieną iš jų dalija santykiu 2:1, skaičiuojant nuo viršūnės. Šis taškas vadinamas gravitacijos centras trikampis.

3. Visas trikampis pagal jo medianas padalintas į šešis vienodus trikampius.

Trikampių bisektorių savybės

1. Kampo pusiausvyra yra taškų, esančių vienodu atstumu nuo šio kampo kraštinių, vieta.

2. Trikampio vidinio kampo bisektorius dalija priešingą kraštinę į atkarpas, proporcingas gretimoms kraštinėms: .

3. Trikampio bisektorių susikirtimo taškas yra įbrėžto į šį trikampį apskritimo centras.

Trikampio aukščių savybės

1. Stačiakampį trikampį aukštinė, nubrėžta iš stačiojo kampo viršūnės, padalija jį į du trikampius, panašius į pradinį.

2. Smailiame trikampyje jo du aukščiai atskiria panašius trikampius.

Mediana yra atkarpa, nubrėžta nuo trikampio viršūnės iki priešingos kraštinės vidurio, tai yra, susikirtimo taške dalija ją pusiau. Taškas, kuriame mediana kerta šoną, priešingą viršūnei, iš kurios ji išeina, vadinamas pagrindu. Kiekviena trikampio mediana eina per vieną tašką, vadinamą susikirtimo tašku. Jo ilgio formulė gali būti išreikšta keliais būdais.

Medianos ilgio išreiškimo formulės

• Dažnai geometrijos uždaviniuose studentai turi susidoroti su segmentu, pavyzdžiui, trikampio mediana. Jo ilgio formulė išreiškiama kraštinėmis:

kur a, b ir c yra kraštinės. Be to, c yra ta pusė, į kurią patenka mediana. Taip atrodo pati paprasčiausia formulė. Pagalbiniams skaičiavimams kartais reikalingos trikampio medianos. Yra ir kitų formulių.

• Jei skaičiuojant žinomos dvi trikampio kraštinės ir tam tikras kampas α, esantis tarp jų, tai trikampio medianos ilgis, nuleistas į trečiąją kraštinę, bus išreikštas taip.

Pagrindinės savybės

• Visos medianos turi vieną bendrą susikirtimo tašką O ir yra padalytos iš jo santykiu du su vienu, jei skaičiuojant nuo viršūnės. Šis taškas vadinamas trikampio svorio centru.
• Mediana padalija trikampį į du kitus, kurių plotai yra lygūs. Tokie trikampiai vadinami lygaus ploto.
• Jei nubraižysite visas medianas, trikampis bus padalintas į 6 lygias figūras, kurios taip pat bus trikampiai.
• Jei visos trys trikampio kraštinės yra lygios, tada kiekviena mediana taip pat bus aukštinė ir pusiaukampinė, tai yra, statmena kraštinei, į kurią jis nubrėžtas, ir padalija kampą, iš kurio jis iškyla, pusiau.
• Lygiašoniame trikampyje mediana, nubrėžta iš viršūnės, esančios priešingoje pusėje, kuri nėra lygi jokiai kitai, taip pat bus aukštis ir pusiausvyra. Iš kitų viršūnių nukritusios medianos yra lygios. Tai taip pat būtina ir pakankama sąlyga lygiašoniams.
• Jei trikampis yra taisyklingos piramidės pagrindas, tai aukštis, nukritęs iki šio pagrindo, projektuojamas iki visų medianų susikirtimo taško.

• Stačiakampio trikampio mediana, nubrėžta į ilgiausią kraštinę, yra lygi pusei jo ilgio.
• Tegu O yra trikampio medianų susikirtimo taškas. Žemiau pateikta formulė bus teisinga bet kuriam taškui M.

• Trikampio mediana turi kitą savybę. Jo ilgio kvadrato per kraštinių kvadratus formulė pateikta žemiau.

Kraštinių, į kuriuos brėžiama mediana, savybės

• Jei bet kuriuos du medianų susikirtimo taškus sujungsite su kraštinėmis, kuriose jie nukrito, tada gauta atkarpa bus trikampio vidurio linija ir bus pusė trikampio kraštinės, su kuria jis neturi bendrų taškų.
• Trikampio aukščių ir medianų pagrindai, taip pat atkarpų, jungiančių trikampio viršūnes su aukščių susikirtimo tašku, vidurio taškai yra tame pačiame apskritime.

Apibendrinant, logiška teigti, kad vienas iš svarbiausių segmentų yra trikampio mediana. Pagal jo formulę galima rasti kitų kraštinių ilgius.

Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

• Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, el. pašto adresą ir kt.

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

• Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia mums susisiekti su jumis dėl unikalių pasiūlymų, akcijų ir kitų renginių bei būsimų renginių.
• Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
• Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, pavyzdžiui, atlikti auditą, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
• Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

• Prireikus – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, teisminio proceso metu ir (arba) remiantis viešais prašymais ar valdžios institucijų prašymais Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleisti savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
• Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.

Mediana yra viena iš unikalių trikampio atkarpų. Mediana turi nemažai savybių, naudingų sprendžiant problemas, o medianų susikirtimo taškas dar labiau išplečia šių savybių sąrašą. Šiandien bus aptartas medianų susikirtimo taškas ir jo savybės.

Mediana

Mediana yra atkarpa, jungianti trikampio viršūnę su atkarpos vidurio tašku priešingoje pusėje. Trys trikampio medianos susikerta viename taške, kuris vadinamas medianos susikirtimo tašku.

Medianos, skirtingai nei aukščiai, visada yra trikampio viduje. Tai logiška, nes vidurinė atkarpa jungia viršūnę ir kraštinės vidurį. Ir kraštinės vidurio taškas visada yra trikampio viduje.

Ryžiai. 1. Vidutinės bukajame trikampyje.

Jei bet kurias dvi medianų pagrindus sujungsite su segmentu, gausite vidurinę trikampio liniją. Trys vidurinės trikampio linijos sudaro trikampį, panašų į pradinį, kurio panašumo santykis yra 1:2

Yra dar viena įdomi medianų savybė, kuri padės išvengti painiavos konstruojant trikampio auksinį santykį. Trikampio mediana visada yra tarp aukščio ir pusiausvyros.

Ryžiai. 2. Savavališko trikampio auksinis santykis.

Taip pat pateikiame formulę, kaip apskaičiuoti medianos ilgį iš trijų pusių. Ši formulė dažnai naudojama sprendžiant problemas, todėl patartina ją atsiminti.

$$m_c=((\sqrt(2a^2+2b^2-c^2))\over(2))$$

Mokiniams dažnai lengviau atsiminti žodinę formuluotę, o ne įsiminti formulę. Norėdami rasti medianą išilgai trijų kraštinių, turite paimti šaknį iš dvigubų kraštinių kvadratų, atėmus kraštinės, į kurią brėžiama mediana, kvadratą. Gautą šaknį reikia padalyti per pusę.

Vidutinis susikirtimo taškas

Medianų susikirtimo taškas yra vienas iš 3 puikių trikampio taškų, kurie sudaro auksinį trikampio pjūvį.

Trikampio medianų susikirtimo taškas turi keletą savybių, kurios naudingos sprendžiant uždavinius:

• Mediana susikirtimo taško padalijama į atkarpas, kurių proporcingumo koeficientas yra 1:2, skaičiuojant nuo viršūnės.
• Trys medianos, nubrėžtos į trikampį, padalija jį į 6 vienodus trikampius. Vienodo ploto trikampiai vadinami vienodo ploto. Šios figūros turi mažai bendro, tačiau jų skaitinės ploto charakteristikos sutampa.
• Taškas, kuriame medianos susikerta trikampyje, vadinamas centroidu ir yra trikampio svorio centras.

Medianų susikirtimo taškas yra vienintelis iš auksinės trikampio pjūvio, turintis realią fizinę reikšmę. Jei iš kartono iškirpsite trikampį ir plonu pieštuku nupiešite jame medianas, tada jų susikirtimo taškas bus plokščios figūros svorio centras.

Ryžiai. 3. Trikampio svorio centras.

Tai reiškia, kad jei įdėsite adatą šioje vietoje, figūra išliks ant jos be pradurimo, vien dėl pusiausvyros.

Ko mes išmokome?

Pateikėme trikampio 3 kraštinių medianos apskaičiavimo formulę. Pateiktos kelios trikampio medianų susikirtimo taško savybės. Mes kalbėjome apie tikrąją fizinę trikampio centroido reikšmę.

Testas tema

Straipsnio įvertinimas

Vidutinis reitingas: 4.1. Iš viso gautų įvertinimų: 255.