Tikimybės ėmimas. Tikimybių teorija. Įvykio tikimybė, atsitiktiniai įvykiai (tikimybių teorija). Nepriklausomi ir nesuderinami įvykiai tikimybių teorijoje. Klasikinės tikimybės uždavinių sprendimų pavyzdžiai

tada sakome, kad atsitiktinis kintamasis ξ Tai turi tikimybių pasiskirstymo tankis f(x).

Apibrėžimas. Leisti . Nepertraukiamai paskirstymo funkcijai F teorinis α-kvantilis vadinamas lygties sprendiniu.

Šis sprendimas gali būti ne vienintelis.

Lygio kvantilis ½ vadinamas teoriniu mediana , lygio kvantiliai ¼ ir ¾ -apatiniai ir viršutiniai kvartiliai atitinkamai.

Aktuarinėse programose svarbų vaidmenį atlieka Čebyševo nelygybė:

bet kuriam

Matematinio lūkesčio simbolis.

Jis skamba taip: tikimybė, kad modulis yra didesnis nei mažesnis arba lygus modulio lūkesčiui, padalintam iš .

Gyvenimo trukmė kaip atsitiktinis kintamasis

Mirties momento neapibrėžtumas yra pagrindinis rizikos veiksnys gyvybės draudime.

Nieko aiškaus negalima pasakyti apie asmens mirties momentą. Tačiau jei turime reikalą su didele vienalyte žmonių grupe ir nesidomime atskirų šios grupės žmonių likimais, tai mes esame tikimybių teorijos, kaip mokslo apie masinius atsitiktinius reiškinius, turinčius dažnio stabilumo savybę, rėmuose.

Atitinkamai, apie gyvenimo trukmę galime kalbėti kaip apie atsitiktinį kintamąjį T.

išgyvenimo funkcija

Tikimybių teorijoje jie apibūdina bet kurio atsitiktinio dydžio stochastinį pobūdį T paskirstymo funkcija F(x), kuri apibrėžiama kaip tikimybė, kad atsitiktinis kintamasis T mažesnis už skaičių x:

.

Aktuarinėje matematikoje malonu dirbti ne su skirstymo funkcija, o su papildoma paskirstymo funkcija . Kalbant apie ilgaamžiškumą, tai yra tikimybė, kad žmogus išgyvens iki amžiaus x metų.

paskambino išgyvenimo funkcija(išgyvenimo funkcija):

Išgyvenimo funkcija turi šias savybes:

Gyvenimo lentelėse paprastai daroma prielaida, kad jų yra amžiaus riba (ribojant amžių) (paprastai metai) ir atitinkamai pas x>.

Apibūdinant mirtingumą analitiniais dėsniais, dažniausiai daroma prielaida, kad gyvenimo trukmė yra neribota, tačiau dėsnių tipas ir parametrai parenkami taip, kad gyvenimo tikimybė per tam tikrą amžių būtų nereikšminga.

Išgyvenimo funkcija turi paprastą statistinę reikšmę.

Tarkime, kad stebime grupę naujagimių (dažniausiai ), kuriuos stebime ir galime užfiksuoti jų mirties akimirkas.

Pažymime gyvų šios grupės atstovų skaičių pagal amžių per . Tada:

.

Simbolis Ečia ir toliau vartojami matematiniams lūkesčiams žymėti.

Taigi išgyvenamumo funkcija yra lygi vidutinei tų, kurie išgyveno iki amžiaus iš tam tikros fiksuotos naujagimių grupės, proporcijai.

Aktuarinėje matematikoje dažnai dirbama ne su išlikimo funkcija, o su ką tik įvesta reikšme (nustačius pradinį grupės dydį).

Išgyvenimo funkciją galima atkurti pagal tankį:

Gyvenimo trukmės ypatybės

Praktiniu požiūriu svarbios šios savybės:

1 . Vidutinis gyvenimas

,
2 . Sklaida gyvenimas

,
kur
,

Iki šiol pateikta atvirame matematikos USE problemų banke (mathege.ru), kurios sprendimas pagrįstas tik viena formule, kuri yra klasikinis tikimybės apibrėžimas.

Lengviausias būdas suprasti formulę yra pavyzdžiai.
1 pavyzdys Krepšelyje yra 9 raudoni ir 3 mėlyni kamuoliukai. Kamuoliukai skiriasi tik spalva. Atsitiktinai (nežiūrėdami) gauname vieną iš jų. Kokia tikimybė, kad tokiu būdu pasirinktas rutulys bus mėlynas?

komentuoti. Tikimybių teorijos uždaviniuose atsitinka kažkas (šiuo atveju mūsų veiksmas traukiant kamuolį), kas gali turėti kitokį rezultatą – rezultatą. Reikėtų pažymėti, kad rezultatas gali būti vertinamas įvairiais būdais. „Ištraukėme kamuolį“ – taip pat rezultatas. „Mes ištraukėme mėlyną kamuolį“ – toks rezultatas. „Iš visų įmanomų kamuoliukų ištraukėme būtent šį rutulį“ – toks mažiausiai apibendrintas rezultato vaizdas vadinamas elementariu rezultatu. Tikimybės apskaičiavimo formulėje reiškiami pagrindiniai rezultatai.

Sprendimas. Dabar apskaičiuojame tikimybę pasirinkti mėlyną rutulį.
Įvykis A: „pasirinktas rutulys pasirodė mėlynas“
Bendras visų galimų rezultatų skaičius: 9+3=12 (visų kamuoliukų, kuriuos galėtume ištraukti, skaičius)
A įvykiui palankių baigčių skaičius: 3 (tokių baigčių, kurių metu įvyko A įvykis, skaičius, tai yra mėlynų kamuoliukų skaičius)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Atsakymas: 0,25

Apskaičiuokime tai pačiai problemai raudono rutulio pasirinkimo tikimybę.
Bendras galimų baigčių skaičius išliks toks pat – 12. Palankių baigčių skaičius: 9. Norima tikimybė: 9/12=3/4=0,75

Bet kurio įvykio tikimybė visada yra nuo 0 iki 1.
Kartais kasdieninėje kalboje (bet ne tikimybių teorijoje!) įvykių tikimybė įvertinama procentais. Perėjimas tarp matematinio ir pokalbio vertinimo atliekamas padauginus (arba padalijus) iš 100%.
Taigi,
Šiuo atveju įvykiams, kurie negali įvykti, tikimybė lygi nuliui – mažai tikėtina. Pavyzdžiui, mūsų pavyzdyje tai būtų tikimybė ištraukti žalią kamuolį iš krepšio. (palankių rezultatų skaičius yra 0, P(A)=0/12=0, jei skaičiuojama pagal formulę)
1 tikimybė turi įvykių, kurie tikrai įvyks be pasirinkimų. Pavyzdžiui, tikimybė, kad „pasirinktas rutulys bus raudonas arba mėlynas“, yra mūsų problema. (palankių rezultatų skaičius: 12, P(A) = 12/12 = 1)

Mes pažvelgėme į klasikinį pavyzdį, iliustruojantį tikimybės apibrėžimą. Visos panašios USE problemos tikimybių teorijoje sprendžiamos naudojant šią formulę.
Vietoj raudonų ir mėlynų rutuliukų gali būti obuolių ir kriaušių, berniukų ir mergaičių, išmoktų ir neišmoktų bilietų, bilietų su klausimu ir be jo (prototipai , ), sugedę ir kokybiški krepšiai ar sodo siurbliai (prototipai, ) – principas išlieka tas pats.

Jie šiek tiek skiriasi USE tikimybių teorijos problemos formulavimu, kai reikia apskaičiuoti įvykio tikimybę tam tikrą dieną. ( , ) Kaip ir ankstesnėse užduotyse, turite nustatyti, kas yra elementarus rezultatas, ir tada taikyti tą pačią formulę.

2 pavyzdys Konferencija trunka tris dienas. Pirmą ir antrą dieną po 15 pranešėjų, trečią - 20. Kokia tikimybė, kad profesoriaus M. pranešimas iškris trečią dieną, jei pranešimų eilė bus nustatyta burtų keliu?

Koks čia elementarus rezultatas? - Profesoriaus pranešimo priskyrimas vienam iš visų galimų kalbos eilės numerių. Burtuose dalyvauja 15+15+20=50 žmonių. Taigi, profesoriaus M. ataskaita gali gauti vieną iš 50 numerių. Tai reiškia, kad yra tik 50 pagrindinių rezultatų.
Kokie yra palankūs rezultatai? – Tos, kuriose paaiškėja, kad profesorius kalbės trečią dieną. Tai yra, paskutiniai 20 skaičių.
Pagal formulę tikimybė P(A)= 20/50=2/5=4/10=0,4
Atsakymas: 0,4

Burtų traukimas čia yra atsitiktinio susirašinėjimo tarp žmonių ir užsakytų vietų nustatymas. 2 pavyzdyje atitikimas buvo svarstomas atsižvelgiant į tai, kurią vietą konkretus asmuo gali užimti. Tą pačią situaciją galite pažvelgti iš kitos pusės: kuris iš žmonių su kokia tikimybe galėtų patekti į tam tikrą vietą (prototipai , , , ):

3 pavyzdys Burtuose dalyvauja 5 vokiečiai, 8 prancūzai ir 3 estai. Kokia tikimybė, kad pirmasis (/antras/septintas/paskutinis – nesvarbu) bus prancūzas.

Elementarių rezultatų skaičius yra visų galimų žmonių, kurie burtų keliu galėtų patekti į tam tikrą vietą, skaičius. 5+8+3=16 žmonių.
Palankūs rezultatai – prancūzai. 8 žmonės.
Norima tikimybė: 8/16=1/2=0,5
Atsakymas: 0,5

Prototipas šiek tiek skiriasi. Yra užduočių apie monetas () ir kauliukus (), kurios yra šiek tiek kūrybiškesnės. Šių problemų sprendimus galima rasti prototipų puslapiuose.

Štai keletas monetų arba kauliukų mėtymo pavyzdžių.

4 pavyzdys Kai mes metame monetą, kokia tikimybė gauti uodegą?
2 rezultatai – galvos arba uodegos. (manoma, kad moneta niekada nenukrenta ant krašto) Palankus rezultatas - uodegos, 1.
Tikimybė 1/2=0,5
Atsakymas: 0,5.

5 pavyzdys O kas, jei monetą išverstume du kartus? Kokia tikimybė, kad jis iškils į galvą abu kartus?
Svarbiausia yra nustatyti, į kokius elementarius rezultatus atsižvelgsime mesdami dvi monetas. Išmetus dvi monetas gali atsirasti vienas iš šių rezultatų:
1) PP – abu kartus jis iškilo
2) PO - pirmą kartą uodegos, antrą kartą galvos
3) OP - pirmą kartą galvos, antrą kartą - uodegos
4) OO – abu kartus galva aukštyn
Kitų variantų nėra. Tai reiškia, kad yra 4 elementarūs rezultatai. Tik pirmasis yra palankus, 1.
Tikimybė: 1/4=0,25
Atsakymas: 0,25

Kokia tikimybė, kad du monetos metimai nukris ant uodegos?
Elementarių baigčių skaičius yra toks pat, 4. Palankios baigtys yra antra ir trečia, 2.
Tikimybė gauti vieną uodegą: 2/4=0,5

Esant tokioms problemoms, gali praversti kita formulė.
Jei vienu monetos metimu turime 2 galimus rezultatus, tai dviejų metimų rezultatai bus 2 2=2 2 =4 (kaip 5 pavyzdyje), trimis metimais 2 2 2=2 3 =8, keturiems : 2·2·2·2=2 4 =16, … N galimų baigčių metimams bus 2·2·...·2=2 N .

Taigi, galite rasti tikimybę gauti 5 uodegas iš 5 monetų išmetimo.
Bendras elementarių rezultatų skaičius: 2 5 =32.
Palankūs rezultatai: 1. (RRRRRR – visi 5 kartus uodegos)
Tikimybė: 1/32=0,03125

Tas pats pasakytina ir apie kauliukus. Vienu metimu galimi rezultatai 6. Taigi dviem metimams: 6 6=36, trims 6 6 6=216 ir t.t.

6 pavyzdys Metame kauliuką. Kokia tikimybė gauti lyginį skaičių?

Iš viso rezultatų: 6, atsižvelgiant į veidų skaičių.
Palankus: 3 rezultatai. (2, 4, 6)
Tikimybė: 3/6=0,5

7 pavyzdys Mesti du kauliukus. Kokia tikimybė, kad bendra suma iškris 10? (apvalinti iki šimtųjų)

Yra 6 galimi vieno mirties padariniai. Vadinasi, dviems pagal aukščiau pateiktą taisyklę 6·6=36.
Kokie rezultatai bus palankūs, kad iš viso iškristų 10?
10 reikia išskaidyti į dviejų skaičių nuo 1 iki 6 sumą. Tai galima padaryti dviem būdais: 10=6+4 ir 10=5+5. Taigi, kubeliams galimi variantai:
(6 pirmoje ir 4 antroje)
(4 pirmoje ir 6 antroje)
(5 pirmoje ir 5 antroje)
Iš viso 3 variantai. Norima tikimybė: 3/36=1/12=0,08
Atsakymas: 0,08

Kiti B6 problemų tipai bus aptariami viename iš šių „Kaip išspręsti“ straipsnių.

tikimybė yra skaičius nuo 0 iki 1, atspindintis tikimybę, kad įvyks atsitiktinis įvykis, kur 0 yra visiškas įvykio tikimybės nebuvimas, o 1 reiškia, kad aptariamas įvykis tikrai įvyks.

Įvykio E tikimybė yra skaičius tarp ir 1.
Viena kitą paneigiančių įvykių tikimybių suma yra 1.

empirinė tikimybė- tikimybė, kuri apskaičiuojama kaip santykinis praeities įvykio dažnis, gautas iš istorinių duomenų analizės.

Labai retų įvykių tikimybė negali būti empiriškai apskaičiuota.

subjektyvi tikimybė- tikimybė, pagrįsta asmeniniu subjektyviu įvykio vertinimu, neatsižvelgiant į istorinius duomenis. Investuotojai, kurie priima sprendimus pirkti ir parduoti akcijas, dažnai veikia remdamiesi subjektyvia tikimybe.

išankstinė tikimybė -

Tikimybė 1 iš… (šansai), kad įvykis įvyks pagal tikimybės sąvoką. Tikimybė, kad įvyks įvykis, išreiškiama tikimybe taip: P/(1-P).

Pavyzdžiui, jei įvykio tikimybė yra 0,5, tada įvykio tikimybė yra 1 iš 2, nes 0,5/(1-0,5).

Tikimybė, kad įvykis neįvyks, apskaičiuojama pagal formulę (1-P)/P

Nenuosekli tikimybė- pavyzdžiui, įmonės A akcijų kainoje į galimą įvykį E atsižvelgiama 85 proc., o įmonės B akcijų kainoje tik 50 proc. Tai vadinama nesutapimo tikimybe. Pagal olandų lažybų teoremą, nesutampanti tikimybė sukuria pelno galimybes.

Besąlyginė tikimybė yra atsakymas į klausimą "Kokia tikimybė, kad įvykis įvyks?"

Sąlyginė tikimybė yra atsakymas į klausimą: „Kokia yra įvykio A tikimybė, jei įvyks B“. Sąlyginė tikimybė žymima P(A|B).

Bendra tikimybė yra tikimybė, kad įvykiai A ir B įvyks tuo pačiu metu. Pažymima kaip P(AB).

P(A|B) = P(AB)/P(B) (1)

P(AB) = P(A|B)*P(B)

Tikimybių sumavimo taisyklė:

Tikimybė, kad įvyks įvykis A arba įvykis B, yra

P(A arba B) = P(A) + P(B) – P(AB) (2)

Jei įvykiai A ir B yra vienas kitą paneigiantys, tada

P(A arba B) = P(A) + P(B)

Nepriklausomi renginiai- įvykiai A ir B yra nepriklausomi, jei

P(A|B) = P(A), P(B|A) = P(B)

Tai yra, tai yra rezultatų seka, kai tikimybės reikšmė yra pastovi nuo vieno įvykio iki kito.
Monetos metimas yra tokio įvykio pavyzdys – kiekvieno kito metimo rezultatas nepriklauso nuo ankstesnio rezultato.

Priklausomi įvykiai Tai įvykiai, kurių metu vieno įvykimo tikimybė priklauso nuo kito tikimybės.

Nepriklausomų įvykių tikimybių dauginimo taisyklė:
Jei įvykiai A ir B yra nepriklausomi, tai

P(AB) = P(A) * P(B) (3)

Bendrosios tikimybės taisyklė:

P(A) = P(AS) + P(AS") = P(A|S")P(S) + P(A|S")P(S") (4)

S ir S“ yra vienas kitą paneigiantys įvykiai

tikėtina vertė Atsitiktinis dydis yra galimų atsitiktinio dydžio rezultatų vidurkis. Įvykio X laukimas žymimas kaip E(X).

Tarkime, kad turime 5 vienas kitą paneigiančių įvykių reikšmes su tam tikra tikimybe (pavyzdžiui, įmonės pajamos su tokia tikimybe siekė tokią ir tokią sumą). Tikėtis yra visų rezultatų suma, padauginta iš jų tikimybės:

Atsitiktinio dydžio dispersija yra tikėtina atsitiktinio dydžio kvadratinių nuokrypių nuo jo numatomos vertės reikšmė:

s 2 = E( 2 ) (6)

Sąlyginė laukiama reikšmė – atsitiktinio dydžio X lūkestis, su sąlyga, kad įvykis S jau įvyko.

Praktiniu požiūriu, įvykio tikimybė yra tų stebėjimų, kurių metu įvyko atitinkamas įvykis, skaičiaus ir bendro stebėjimų skaičiaus santykis. Toks aiškinimas yra leistinas, jei atlikta pakankamai daug stebėjimų ar eksperimentų. Pavyzdžiui, jei maždaug pusė gatvėje sutinkamų žmonių yra moterys, tuomet galima sakyti, kad tikimybė, kad gatvėje sutiktas žmogus yra moteris, yra 1/2. Kitaip tariant, jo atsiradimo dažnis ilgoje nepriklausomų atsitiktinio eksperimento pakartojimų serijoje gali būti įvykio tikimybės įvertinimas.

Tikimybė matematikoje

Šiuolaikiniame matematiniame požiūryje klasikinę (ty ne kvantinę) tikimybę suteikia Kolmogorovo aksiomatika. Tikimybė yra matas P, kuris nustatytas rinkinyje X, vadinama tikimybių erdve. Ši priemonė turi turėti šias savybes:

Iš šių sąlygų išplaukia, kad tikimybės matas P taip pat turi turtą adityvumas: jei nustatyta A 1 ir A 2 nesikerta, tada . Norėdami tai įrodyti, turite įdėti viską A 3 , A 4 , … lygus tuščiai aibei ir pritaikyti skaičiuojamo adityvumo savybę.

Tikimybės matas gali būti apibrėžtas ne visiems aibės pogrupiams X. Pakanka jį apibrėžti sigma-algebroje, susidedančioje iš kai kurių aibės poaibių X. Šiuo atveju atsitiktiniai įvykiai apibrėžiami kaip išmatuojami erdvės pogrupiai X, tai yra, kaip sigmos algebros elementai.

Tikimybių jausmas

Kai nustatome, kad priežastys, dėl kurių gali įvykti koks nors faktas, nusveria priešingas priežastis, mes atsižvelgiame į šį faktą tikėtina, kitaip - neįtikėtinas. Šis teigiamų bazių vyravimas prieš neigiamas ir atvirkščiai, gali reikšti neapibrėžtą laipsnių rinkinį, dėl kurio tikimybė(ir netikimybė) atsitinka daugiau arba mažiau .

Sudėtingi pavieniai faktai neleidžia tiksliai apskaičiuoti jų tikimybės laipsnių, tačiau net ir čia svarbu nustatyti keletą didelių poskyrių. Taigi, pavyzdžiui, teisės srityje, kai liudytojų parodymų pagrindu nustatomas nagrinėtinas asmeninis faktas, jis visada lieka, griežtai tariant, tik tikėtinas, ir būtina žinoti, kiek ši tikimybė reikšminga; romėnų teisėje čia buvo priimtas keturgubas skirstymas: probatio plena(kur tikimybė praktiškai virsta autentiškumas), toliau - probatio minus plena, tada - probatio semiplena major ir, galiausiai probatio semiplena minor .

Be klausimo dėl bylos tikimybės, tiek teisės, tiek moralės srityje (turint tam tikrą etinį požiūrį) gali kilti klausimas, kiek tikėtina, kad konkretus faktas yra bendrojo įstatymo pažeidimas. Šis klausimas, kuris yra pagrindinis Talmudo religinės jurisprudencijos motyvas, Romos katalikų moralės teologijoje (ypač nuo XVI a. pabaigos) sukėlė labai sudėtingas sistemines konstrukcijas ir milžinišką dogmatinę ir poleminę literatūrą (žr. ).

Tikimybės sąvoka leidžia apibrėžti skaitinę išraišką ją taikant tik tiems faktams, kurie yra tam tikrų vienarūšių eilučių dalis. Taigi (paprasčiausiu pavyzdžiu), kai kas nors meta monetą šimtą kartų iš eilės, čia randame vieną bendrą arba didelę seriją (visų monetos kritimų sumą), kurią sudaro dvi privačios arba mažesnės. atvejis skaitiniu požiūriu lygus, serija (krenta "erelis" ir krenta "uodegos"); Tikimybė, kad šį kartą moneta nukris, tai yra, kad šis naujas bendrosios serijos narys priklausys tai iš dviejų mažesnių serijų, yra lygi trupmenai, išreiškiančiai skaitinį santykį tarp šios mažos ir didelės serijos, būtent 1/2, tai yra ta pati tikimybė priklauso vienai ar kitai iš dviejų privačių serijų. Ne tokie paprastuose pavyzdžiuose išvados negalima daryti tiesiogiai iš pačios problemos duomenų, bet reikia iš anksto indukcijos. Taigi, pavyzdžiui, klausiama: kokia tikimybė naujagimiui gyventi iki 80 metų? Čia turi būti bendra arba didelė žinomo skaičiaus žmonių, gimusių panašiomis sąlygomis ir mirusių skirtingu amžiumi, serija (šis skaičius turi būti pakankamai didelis, kad pašalintų atsitiktinius nuokrypius, ir pakankamai mažas, kad išsaugotų serijos homogeniškumą, nes žmogus, gimęs, pavyzdžiui, Sankt Peterburge, pasiturinčioje kultūrinėje šeimoje, visa milijoninė miesto gyventojų dalis, kurios nemažą dalį sudaro žmonės iš įvairių grupių, galinčių mirti anksčiau laiko – kariai, žurnalistai. , pavojingų profesijų darbuotojai – atstovauja grupei, kuri yra pernelyg nevienalytė, kad būtų galima tiksliai apibrėžti tikimybę) ; tegul ši bendroji serija susideda iš dešimties tūkstančių žmonių gyvybių; jame yra mažesnės eilutės, nurodančios tų, kurie gyvena iki to ar kito amžiaus, skaičių; vienoje iš šių mažesnių eilučių nurodomas gyvenančių iki 80 metų skaičius. Tačiau šios mažesnės serijos (kaip ir visų kitų) dydžio nustatyti neįmanoma. a priori; tai daroma grynai indukciniu būdu, naudojant statistiką. Tarkime, kad statistiniais tyrimais nustatyta, kad iš 10 000 Peterburgiečių viduriniosios klasės tik 45 išgyvena iki 80 metų amžiaus; taigi ši mažesnė eilutė yra susijusi su didesne nuo 45 iki 10 000, o tikimybė, kad tam tikras asmuo priklausys šiai mažesnei eilutei, tai yra, nugyvens iki 80 metų, išreiškiama trupmena 0,0045. Tikimybių tyrimas matematiniu požiūriu yra ypatinga disciplina – tikimybių teorija.

taip pat žr

Pastabos

Literatūra

Wikimedia fondas. 2010 m.

Antonimai:

Pažiūrėkite, kas yra „tikimybė“ kituose žodynuose:

Bendroji mokslinė ir filosofinė. kategorija, nurodanti masinių atsitiktinių įvykių atsiradimo fiksuotomis stebėjimo sąlygomis galimybės kiekybinį laipsnį, apibūdinanti jų santykinių dažnių stabilumą. Pagal logiką semantinis laipsnis ...... Filosofinė enciklopedija

TIKIMYBĖ, skaičius nuo nulio iki vieneto imtinai, nurodantis šio įvykio galimybę. Įvykio tikimybė apibrėžiama kaip tikimybės, kad įvykis gali įvykti, skaičiaus santykis su visu galimų ... ... Mokslinis ir techninis enciklopedinis žodynas

Greičiausiai .. Rusų kalbos sinonimų ir panašių posakių žodynas. pagal. red. N. Abramova, M.: Rusų kalbos žodynai, 1999. tikimybė, galimybė, tikimybė, atsitiktinumas, objektyvi galimybė, maza, priimtinumas, rizika. Ant. negalimybe...... Sinonimų žodynas

tikimybė- Priemonė, kad įvykis gali įvykti. Pastaba Matematinis tikimybės apibrėžimas yra „realusis skaičius nuo 0 iki 1, susijęs su atsitiktiniu įvykiu“. Skaičius gali atspindėti santykinį dažnį stebėjimų serijoje ... ... Techninis vertėjo vadovas

Tikimybė– „matematinė, skaitinė bet kokio įvykio, galinčio kartotis neribotą skaičių kartų, atsiradimo tam tikromis sąlygomis laipsnio charakteristika“. Remiantis šia klasika…… Ekonomikos ir matematikos žodynas

- (tikimybė) Įvykio ar tam tikro rezultato atsiradimo galimybė. Jį galima pavaizduoti kaip skalę su padalomis nuo 0 iki 1. Jei įvykio tikimybė lygi nuliui, jo įvykimas neįmanomas. Su tikimybe, lygia 1, prasideda ... Verslo terminų žodynėlis

Matematikos USE užduotyse yra ir sudėtingesnių tikimybių užduočių (nei nagrinėjome 1 dalyje), kur reikia taikyti sudėjimo, tikimybių daugybos taisyklę ir atskirti bendrus ir nesuderinamus įvykius.

Taigi, teorija.

Bendri ir nebendri renginiai

Teigiama, kad įvykiai yra nesuderinami, jei įvykęs vienas iš jų neleidžia įvykti kitiems. Tai yra, gali įvykti tik vienas konkretus įvykis arba kitas.

Pavyzdžiui, mesdami kauliuką galite atskirti tokius įvykius kaip lyginis taškų skaičius ir nelyginis taškų skaičius. Šie įvykiai yra nesuderinami.

Įvykiai vadinami jungtiniais, jei vieno iš jų įvykis neatmeta kito.

Pavyzdžiui, mesdami kauliuką, galite atskirti tokius įvykius kaip nelyginio taškų skaičiaus atsiradimas ir taškų skaičiaus, kuris yra trijų kartotinis, praradimas. Kai išmeta tris, abu įvykiai realizuojami.

Įvykių suma

Kelių įvykių suma (arba sąjunga) yra įvykis, susidedantis iš bent vieno iš šių įvykių.

Kuriame dviejų nesusijusių įvykių suma yra šių įvykių tikimybių suma:

Pavyzdžiui, tikimybė gauti 5 ar 6 taškus ant kauliuko per vieną metimą bus todėl, kad abu įvykiai (5 kritimas, 6 kritimas) yra nesuderinami ir vieno ar antrojo įvykio tikimybė apskaičiuojama taip:

Tikimybė dviejų bendrų renginių suma yra lygi šių įvykių tikimybių sumai, neatsižvelgiant į jų bendrą atsiradimą:

Pavyzdžiui, prekybos centre du vienodi automatai parduoda kavą. Tikimybė, kad iki dienos pabaigos aparate baigsis kava, yra 0,3. Tikimybė, kad abiejuose aparatuose pritrūks kavos, yra 0,12. Raskime tikimybę, kad iki dienos pabaigos kava baigsis bent viename iš aparatų (tai yra arba viename, arba kitame, arba abiejuose iš karto).

Pirmojo įvykio „kava baigsis pirmame aparate“ tikimybė, taip pat antrojo įvykio „kava baigsis antrame aparate“ tikimybė pagal sąlygą lygi 0,3. Renginiai vyksta bendradarbiaujant.

Pirmųjų dviejų įvykių bendro realizavimo tikimybė yra lygi 0,12 pagal sąlygą.

Tai reiškia, kad tikimybė, kad iki dienos pabaigos kava baigsis bent viename iš aparatų, yra

Priklausomi ir nepriklausomi renginiai

Du atsitiktiniai įvykiai A ir B vadinami nepriklausomais, jei vieno iš jų įvykis nekeičia kito įvykimo tikimybės. Kitu atveju įvykiai A ir B vadinami priklausomais.

Pavyzdžiui, kai metami du kauliukai vienu metu, vienas iš jų, tarkime, 1, o kitas 5, yra nepriklausomi įvykiai.

Tikimybių sandauga

Kelių įvykių sandauga (arba sankirta) yra įvykis, susidedantis iš visų šių įvykių kartu.

Jei yra du nepriklausomi renginiai A ir B su tikimybėmis P(A) ir P(B) atitinkamai, tada įvykių A ir B realizavimosi tikimybė vienu metu yra lygi tikimybių sandaugai:

Pavyzdžiui, mus domina šešetuko praradimas ant kauliuko du kartus iš eilės. Abu įvykiai yra nepriklausomi ir tikimybė, kad kiekvienas iš jų įvyks atskirai, yra . Tikimybė, kad įvyks abu šie įvykiai, bus apskaičiuojama naudojant aukščiau pateiktą formulę: .

Žr. užduočių, skirtų temai parengti, pasirinkimą.