IŠSKYDIMO CHARAKTERISTIKOS

Nuo padėties charakteristikų – matematinės lūkesčių, medianos, režimo – pereikime prie atsitiktinio dydžio sklaidos charakteristikų. x. dispersija D(X)= a 2 , standartinis nuokrypis a ir variacijos koeficientas v. Diskrečiųjų atsitiktinių dydžių dispersijos apibrėžimas ir savybės buvo nagrinėjami ankstesniame skyriuje. Nepertraukiamiems atsitiktiniams dydžiams

Standartinis nuokrypis yra neneigiama dispersijos kvadratinės šaknies reikšmė:

Variacijos koeficientas yra standartinio nuokrypio ir matematinio lūkesčio santykis:

Variacijos koeficientas – taikomas kai M(X)> O – matuoja skirtumą santykiniais vienetais, o standartinis nuokrypis – absoliučiais.

6 pavyzdys. Tolygiai paskirstytam atsitiktiniam dydžiui X rasti dispersiją, standartinį nuokrypį ir variacijos koeficientą. Sklaida yra tokia:

Kintamasis pakeitimas leidžia rašyti:

kur iš = f - aU2.

Todėl standartinis nuokrypis yra o variacijos koeficientas yra:

ATSITIKTINIŲ VERTYBIŲ TRANSFORMACIJOS

Kiekvienam atsitiktiniam dydžiui X apibrėžkite dar tris dydžius – centruotus Y, normalizuotas V ir duota U. Centruotas atsitiktinis kintamasis Y yra skirtumas tarp nurodyto atsitiktinio dydžio X ir jo matematinis lūkestis M(X), tie. Y=X - M(X). Centrinio atsitiktinio dydžio matematinė lūkestis Y yra lygi 0, o dispersija yra nurodyto atsitiktinio dydžio dispersija:

paskirstymo funkcija Fy (x) centruotas atsitiktinis kintamasis Y susiję su paskirstymo funkcija F(x) pradinio atsitiktinio dydžio X santykis:

Šių atsitiktinių dydžių tankiams lygybė

Normalizuotas atsitiktinis dydis V yra duoto atsitiktinio dydžio santykis X iki jo standartinio nuokrypio a, t.y. V = XIo. Normalizuoto atsitiktinio dydžio matematinis lūkestis ir dispersija V išreikštas per charakteristikas X Taigi:

čia v yra pirminio atsitiktinio dydžio variacijos koeficientas x. Dėl paskirstymo funkcijos Fv(x) ir tankis fv(x) normalizuotas atsitiktinis dydis V mes turime:

kur F(x)- pradinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija x; pataisyti) yra jo tikimybės tankis.

Sumažintas atsitiktinis dydis U yra centruotas ir normalizuotas atsitiktinis kintamasis:

Dėl sumažinto atsitiktinio dydžio

Normalizuoti, centruoti ir redukuoti atsitiktiniai dydžiai nuolat naudojami tiek teoriniuose tyrimuose, tiek algoritmuose, programiniuose produktuose, norminėje ir techninėje bei mokomojoje ir metodinėje dokumentacijoje. Visų pirma, nes lygybės M(U) = 0, D(lf) = 1 leidžia supaprastinti metodų pagrindimą, teoremų formuluotes ir skaičiavimo formules.

Naudojamos atsitiktinių dydžių transformacijos ir bendresnis planas. Taigi, jei U = aX + b, kur bet Ir b tada yra keletas skaičių

7 pavyzdys. Jeigu bet= 1/G, b = -M(X)/G, tada Y yra redukuotas atsitiktinis dydis, o formulės (8) paverčiamos formulėmis (7).

Su kiekvienu atsitiktiniu dydžiu X galima sujungti atsitiktinių dydžių aibę Y, pateiktą formule Y = Oi + bįvairiuose a > 0 ir b.Šis rinkinys vadinamas žvynų kirpimo šeima, sugeneruotas atsitiktinio dydžio x. Paskirstymo funkcijos Fy(x) sudaro mastelio poslinkio skirstinių šeimą, kurią sukuria skirstymo funkcija F(x). Vietoj Y= aX + b dažnai naudojamas žymėjimas

Skaičius iš vadinamas poslinkio parametru ir skaičiumi d- mastelio parametras. Formulė (9) tai rodo X- tam tikros vertės matavimo rezultatas - pereina į K - tos pačios vertės matavimo rezultatas, jei matavimo pradžia perkeliama į tašką iš, ir tada naudokite naują matavimo vienetą, in d kartų didesnis nei senasis.

Skalės poslinkių šeimai (9) pasiskirstymas X vadinamas standartiniu. Tikimybiniuose-statistiniuose sprendimų priėmimo metoduose ir kituose taikomuosiuose tyrimuose naudojamas standartinis normaliasis skirstinys, standartinis Veibulo-Gnedenko skirstinys, standartinis gama skirstinys.

platinimas ir pan. (žr. toliau).

Taip pat naudojamos ir kitos atsitiktinių dydžių transformacijos. Pavyzdžiui, teigiamam atsitiktiniam dydžiui X apsvarstyti Y = IgX, kur IgX- skaičiaus dešimtainis logaritmas x. Lygybių grandinė

susieja paskirstymo funkcijas X Ir Y.

Aukščiau susipažinome su atsitiktinių dydžių pasiskirstymo dėsniais. Kiekvienas pasiskirstymo dėsnis išsamiai apibūdina atsitiktinio dydžio tikimybių savybes ir leidžia apskaičiuoti bet kokių įvykių, susijusių su atsitiktiniu dydžiu, tikimybes. Tačiau daugeliu praktikos klausimų tokio išsamaus aprašymo nereikia ir dažnai pakanka nurodyti tik atskirus skaitinius parametrus, apibūdinančius esminius skirstinio požymius. Pavyzdžiui, vidurkis, aplink kurį išsibarsčiusios atsitiktinio dydžio reikšmės, yra koks nors skaičius, apibūdinantis šio sklaidos dydį. Šie skaičiai skirti glaustai išreikšti reikšmingiausius skirstinio požymius ir yra vadinami atsitiktinio dydžio skaitinės charakteristikos.

Prie atsitiktinių dydžių skaitinių charakteristikų pirmiausia laikomos charakteristikos, kurios fiksuoja atsitiktinio dydžio padėtį skaičių ašyje, t.y. tam tikra vidutinė atsitiktinio dydžio reikšmė, aplink kurią sugrupuojamos jo galimos reikšmės. Iš padėties savybių tikimybių teorijoje didžiausią vaidmenį atlieka tikėtina vertė, kuri kartais tiesiog vadinama atsitiktinio dydžio vidutine verte.

Tarkime, kad diskrečioji SW?, paima reikšmes x ( , x 2 ,..., x p su tikimybėmis R j, p 2 ,...y Ptv tie. pateikta paskirstymo serija

Gali būti, kad šiuose eksperimentuose vertė x x Pastebėjus N( laikai, vertė x 2 - N 2 kartų,..., vertė x n - N n kartą. Tuo pačiu + N 2 +... + N n =N.

Stebėjimo rezultatų aritmetinis vidurkis

Jeigu N didelis, t.y. N- "O tada

aprašant paskirstymo centrą. Tokiu būdu gauta vidutinė atsitiktinio dydžio reikšmė bus vadinama matematiniu lūkesčiu. Pateiksime žodinę apibrėžimo formuluotę.

Apibrėžimas 3.8. matematinis lūkestis (MO) diskrečioji SV% yra skaičius, lygus visų jo galimų reikšmių sandaugų ir šių verčių tikimybių sumai (žymėjimas M;):

Dabar apsvarstykite atvejį, kai galimų diskretinio CV reikšmių skaičius yra skaičiuojamas, t.y. mes turime RR

Matematinio lūkesčio formulė išlieka ta pati, tik viršutinėje sumos riboje P pakeičiamas oo, t.y.

Šiuo atveju jau gauname seriją, kuri gali išsiskirti, t.y. atitinkamas CV ^ gali neturėti matematinių lūkesčių.

3.8 pavyzdys. CB?, pateikta paskirstymo serijomis

Raskime šio SW MO.

Sprendimas. Pagal apibrėžimą. tie. Mt, neegzistuoja.

Taigi, suskaičiuojamo SW reikšmių skaičiaus atveju gauname tokį apibrėžimą.

Apibrėžimas 3.9. matematinis lūkestis arba vidutinė vertė, diskretiškas SW, turintis skaičiuojamą reikšmių skaičių, vadinamas skaičiumi, lygiu visų galimų jo verčių ir atitinkamų tikimybių sandaugų serijos sumai, su sąlyga, kad ši eilutė absoliučiai konverguoja, t.y.

Jei ši serija sąlyginai skiriasi arba susilieja, tada sakome, kad CV ^ neturi matematinių lūkesčių.

Pereikime iš diskretinio į ištisinį SW su tankiu p(x).

Apibrėžimas 3.10. matematinis lūkestis arba vidutinė vertė, nuolatinis SW vadinamas skaičiumi, lygiu

su sąlyga, kad šis integralas absoliučiai suartėja.

Jei šis integralas sąlyginai skiriasi arba konverguoja, tada jie sako, kad tęstinis CB? neturi matematinių lūkesčių.

Pastaba 3.8. Jei visos galimos atsitiktinio dydžio J reikšmės;

priklauso tik intervalui ( bet; b) tada

Matematinis lūkestis nėra vienintelė padėties charakteristika, naudojama tikimybių teorijoje. Kartais naudojami tokie kaip režimas ir mediana.

Apibrėžimas 3.11. Mada CB ^ (pavadinimas Mot,) vadinama labiausiai tikėtina jo reikšmė, t.y. tokia, kuriai tikimybė pi arba tikimybės tankis p(x) pasiekia didžiausią vertę.

Apibrėžimas 3.12. Mediana SV?, (pavadinimas susitiko) vadinama tokia verte, kuriai P(t> Met) = P(? > susitiko) = 1/2.

Geometriškai ištisinio SW mediana yra to ašies taško abscisė Oi, kurių plotai į kairę ir į dešinę nuo jo yra vienodi ir lygūs 1/2.

3.9 pavyzdys. SWt,turi paskirstymo numerį

Raskime SW matematinį lūkestį, režimą ir medianą

Sprendimas. Mb,= 0-0,1 + 1 0,3 + 2 0,5 + 3 0,1 = 1,6. L/o? = 2. Aš(?) neegzistuoja.

3.10 pavyzdys. Nepertraukiamas CB % turi tankį

Raskime matematinį lūkestį, medianą ir režimą.

Sprendimas.

p(x) pasiekia maksimumą, tada Akivaizdu, kad mediana taip pat yra lygi, nes plotai tiesės, einančios per tašką, dešinėje ir kairėje pusėse yra lygūs.

Be padėties charakteristikų tikimybių teorijoje, taip pat naudojama daugybė įvairiems tikslams skirtų skaitinių charakteristikų. Tarp jų momentai – pradiniai ir centriniai – yra ypač svarbūs.

Apibrėžimas 3.13. Pradinis k-osios eilės momentas SW?, vadinamas matematiniu lūkesčiu k-ojišios vertės laipsnis: =M(t > k).

Iš diskrečiųjų ir nuolatinių atsitiktinių dydžių matematinių lūkesčių apibrėžimų išplaukia, kad

Pastaba 3.9. Akivaizdu, kad pradinis 1-osios eilės momentas yra matematinis lūkestis.

Prieš apibrėždami centrinį momentą, pristatome naują centruoto atsitiktinio dydžio sampratą.

Apibrėžimas 3.14. Centruota CV yra atsitiktinio dydžio nuokrypis nuo jo matematinio lūkesčio, t.y.

Tai lengva patikrinti

Atsitiktinio kintamojo centravimas, be abejo, prilygsta pradžios perkėlimui į tašką M;. Centruoto atsitiktinio dydžio momentai vadinami centriniai taškai.

Apibrėžimas 3.15. Centrinis k-osios eilės momentas SW % vadinamas matematiniu lūkesčiu k-oji centruoto atsitiktinio dydžio laipsniai:

Iš matematinio lūkesčio apibrėžimo išplaukia, kad

Akivaizdu, kad bet kuriam atsitiktiniam dydžiui ^ centrinis pirmosios eilės momentas yra lygus nuliui: su x= M(? 0) = 0.

Ypač svarbus praktikai yra antrasis pagrindinis punktas nuo 2. Tai vadinama dispersija.

Apibrėžimas 3.16. dispersija CB? vadinamas atitinkamos centre esančios reikšmės kvadrato matematiniu lūkesčiu (žymėjimas D?)

Norėdami apskaičiuoti dispersiją, tiesiogiai iš apibrėžimo galima gauti šias formules:

Transformuodami formulę (3.4), galime gauti tokią skaičiavimo formulę D.L.

SW sklaida yra charakteristika išsibarstymas, atsitiktinio dydžio reikšmių sklaida aplink jo matematinius lūkesčius.

Dispersija turi atsitiktinio dydžio kvadrato matmenį, o tai ne visada patogu. Todėl aiškumo dėlei, kaip dispersijos charakteristiką, patogu naudoti skaičių, kurio matmuo sutampa su atsitiktinio dydžio matmeniu. Norėdami tai padaryti, paimkite kvadratinę dispersijos šaknį. Gauta reikšmė vadinama standartinis nuokrypis atsitiktinis kintamasis. Pažymėsime kaip a: a = l / w.

Neneigiamam CB? kartais naudojama kaip charakteristika variacijos koeficientas, lygus standartinio nuokrypio ir matematinio lūkesčio santykiui:

Žinant atsitiktinio dydžio matematinį lūkestį ir standartinį nuokrypį, galima susidaryti apytikslį vaizdą apie jo galimų reikšmių diapazoną. Daugeliu atvejų galime daryti prielaidą, kad atsitiktinio dydžio % reikšmės tik retkarčiais peržengia intervalą M; ± Už. Ši normaliojo skirstinio taisyklė, kurią pagrįsime vėliau, vadinama trijų sigmų taisyklė.

Matematiniai lūkesčiai ir dispersija yra dažniausiai naudojamos atsitiktinio dydžio skaitinės charakteristikos. Iš matematinių lūkesčių ir dispersijos apibrėžimo išplaukia keletas paprastų ir gana akivaizdžių šių skaitinių charakteristikų savybių.

Pirmuonysmatematinių lūkesčių ir sklaidos savybės.

1. Neatsitiktinio kintamojo matematinis lūkestis iš lygi c reikšmei: M(s) = s.

Iš tiesų, nuo vertės iš ima tik vieną reikšmę su tikimybe 1, tada М(с) = iš 1 = s.

2. Neatsitiktinio kintamojo c dispersija lygi nuliui, t.y. D(c) = 0.

tikrai, Dc \u003d M (s - Ms) 2 \u003d M (s- c) 2 = M( 0) = 0.

3. Neatsitiktinis daugiklis gali būti paimtas iš lūkesčio ženklo: M(c^) = c M (?,).

Parodykime šios savybės galiojimą diskrečiojo RV pavyzdžiu.

Tegu RV pateikiama pagal pasiskirstymo eilutę

Tada

Vadinasi,

Savybė panašiai įrodoma ir nuolatiniam atsitiktiniam dydžiui.

4. Iš kvadratinės dispersijos ženklo galima paimti neatsitiktinį daugiklį:

Kuo daugiau atsitiktinio dydžio momentų žinoma, tuo išsamesnę paskirstymo dėsnio idėją turime.

Tikimybių teorijoje ir jos taikymuose naudojamos dar dvi atsitiktinio dydžio skaitinės charakteristikos, pagrįstos 3 ir 4 eilės centriniais momentais, asimetrijos koeficientu arba m x .

Diskretiesiems atsitiktiniams dydžiams tikėtina vertė :

Atitinkamos reikšmės reikšmių suma pagal atsitiktinių dydžių tikimybę.

Mada Atsitiktinio dydžio X (Mod) vadinamas labiausiai tikėtinu jo dydžiu.

Diskrečiajam atsitiktiniam dydžiui. Dėl nuolatinio atsitiktinio dydžio.

Unimodalinis pasiskirstymas

Multimodalinis platinimas

Apskritai, Mod ir tikėtina vertė ne

rungtynės.

Mediana Atsitiktinio dydžio X (Med) yra tokia reikšmė, kuriai esant tikimybė, kad P(X Med). Bet koks Med platinimas gali turėti tik vieną.

Med plotą po kreive padalija į 2 lygias dalis. Esant unimodaliniam ir simetriniam pasiskirstymui

Akimirkos.

Dažniausiai praktikoje naudojami dviejų tipų momentai: pradinis ir centrinis.

Pradžios momentas. Diskretaus atsitiktinio dydžio X eilė yra formos suma:

Ištisinio atsitiktinio dydžio X pradinis eilės momentas yra integralas , akivaizdu, kad matematinis atsitiktinio dydžio lūkestis yra pirmasis pradinis momentas.

Naudojant ženklą (operatorių) M, pradinis -osios eilės momentas gali būti pavaizduotas kaip mat. kokio nors atsitiktinio dydžio laipsnio laukimas.

Centruota atitinkamo atsitiktinio dydžio X atsitiktinis dydis yra atsitiktinio dydžio X nuokrypis nuo jo matematinio lūkesčio:

Centrinio atsitiktinio dydžio matematinė lūkestis yra 0.

Diskretiesiems atsitiktiniams dydžiams turime:

Centruoto atsitiktinio dydžio momentai vadinami Centrinės akimirkos

Centrinis tvarkos momentas atsitiktinis dydis X vadinamas atitinkamo centruoto atsitiktinio dydžio matematiniu laipsniu.

Diskretiesiems atsitiktiniams dydžiams:

Ištisiniams atsitiktiniams dydžiams:

Įvairių užsakymų centrinių ir pradinių momentų santykis

Iš visų momentų pirmasis momentas (matema. lūkestis) ir antrasis centrinis momentas dažniausiai naudojami kaip atsitiktinio dydžio charakteristika.

Antrasis centrinis momentas vadinamas dispersija atsitiktinis kintamasis. Jis turi pavadinimą:

Pagal apibrėžimą

Diskrečiajam atsitiktiniam dydžiui:

Ištisiniam atsitiktiniam dydžiui:

Atsitiktinių dydžių sklaida yra atsitiktinių dydžių X sklaidos (išsklaidymo) aplink jo matematinį lūkestį charakteristika.

Sklaida reiškia išsibarstymą. Dispersijos dydis yra atsitiktinio dydžio kvadratas.

Norint vizualiai apibūdinti dispersiją, patogiau naudoti reikšmę m y, tokią pat kaip ir atsitiktinio dydžio matmenis. Šiuo tikslu iš dispersijos paimama šaknis ir gaunama vertė, vadinama - standartinis nuokrypis (RMS) atsitiktinis kintamasis X, kartu įvesdamas pavadinimą:

Standartinis nuokrypis kartais vadinamas atsitiktinio dydžio X „standartu“.