Извод на функција назначена имплицитно.
Извод на параметарски дефинирана функција

Во оваа статија ќе разгледаме уште две типични задачи кои често се наоѓаат во тестовите по виша математика. За успешно да го совладате материјалот, мора да бидете во можност да најдете деривати барем на средно ниво. Можете да научите да наоѓате деривати практично од нула во две основни лекции и Извод на сложена функција. Ако вашите вештини за диференцијација се во ред, тогаш ајде да одиме.

Извод на функција назначена имплицитно

Или, накратко, изводот на имплицитна функција. Што е имплицитна функција? Ајде прво да се потсетиме на самата дефиниција на функција од една променлива:

Единечна променлива функцијае правило според кое секоја вредност на независната променлива одговара на една и само една вредност на функцијата.

Променливата се нарекува независната променливаили аргумент.
Променливата се нарекува зависна променливаили функција .

Досега ги разгледавме функциите дефинирани во експлицитнаформа. Што значи тоа? Ајде да спроведеме дебрифинг користејќи конкретни примери.

Размислете за функцијата

Гледаме дека лево имаме осамен „играч“, а десно - само „Х“. Односно функцијата експлицитноизразена преку независната променлива.

Ајде да погледнеме друга функција:

Тука се мешаат променливите. Згора на тоа невозможно со какви било средстваизразете „Y“ само преку „X“. Кои се овие методи? Пренесување поими од дел на дел со промена на знакот, нивно поместување надвор од загради, фрлање фактори според правилото на пропорција итн. Препишете ја еднаквоста и обидете се експлицитно да го изразите „y“: . Можете да ја извртувате равенката со часови, но нема да успеете.

Да ве запознаам: – пример имплицитна функција.

Во текот на математичката анализа се докажа дека имплицитната функција постои(сепак, не секогаш), има график (исто како „нормална“ функција). Имплицитната функција е сосема иста постоипрв дериват, втор извод итн. Како што велат, се почитуваат сите права на сексуалните малцинства.

И во оваа лекција ќе научиме како да го најдеме изводот на функцијата назначена имплицитно. Не е толку тешко! Сите правила за диференцијација и табелата со деривати на елементарните функции остануваат во сила. Разликата е во еден необичен момент, кој ќе го погледнеме токму сега.

Да, и ќе ви ја кажам добрата вест - задачите дискутирани подолу се изведуваат според прилично строг и јасен алгоритам без камен пред три патеки.

Пример 1

1) Во првата фаза, прицврстуваме потези на двата дела:

2) Ги користиме правилата за линеарност на изводот (првите две правила од лекцијата Како да се најде дериватот? Примери на решенија):

3) Директна диференцијација.
Како да се разликува е сосема јасно. Што да се прави каде што има „игри“ под ударите?

- само до степен на срам, изводот на функцијата е еднаков на неговиот извод: .

Како да се разликува
Еве ние имаме комплексна функција. Зошто? Се чини дека под синусот има само една буква „Y“. Но, факт е дека има само една буква „y“ - САМО Е ФУНКЦИЈА(види дефиниција на почетокот на лекцијата). Така, синусот е надворешна функција и е внатрешна функција. Го користиме правилото за диференцирање на сложена функција :

Производот го разликуваме според вообичаеното правило :

Ве молиме имајте предвид дека - е исто така сложена функција, секоја „игра со ѕвона и свирки“ е сложена функција:

Самото решение треба да изгледа вака:

Ако има загради, тогаш проширете ги:

4) На левата страна ги собираме поимите што содржат „Y“ со прост. Преместете сè друго на десната страна:

5) На левата страна го вадиме дериватот од загради:

6) И според правилото за пропорција, ги спуштаме овие загради во именителот на десната страна:

Дериватот е пронајден. Подготвени.

Интересно е да се забележи дека секоја функција може да се препише имплицитно. На пример, функцијата може да се препише вака: . И диференцирајте го користејќи го штотуку дискутираниот алгоритам. Всушност, фразите „имплицитна функција“ и „имплицитна функција“ се разликуваат во една семантичка нијанса. Фразата „имплицитно одредена функција“ е поопшта и поточна, – оваа функција е имплицитно наведена, но тука можете да ја изразите „играта“ и експлицитно да ја претставите функцијата. Зборовите „имплицитна функција“ почесто значат „класична“ имплицитна функција, кога „играта“ не може да се изрази.

Исто така, треба да се забележи дека „имплицитна равенка“ може имплицитно да определи две или дури повеќе функции одеднаш, на пример, равенката на круг имплицитно ги дефинира функциите , , кои дефинираат полукругови. Но, во рамките на овој член, ние нема да прави посебна разлика меѓу поимите и нијансите, тоа беше само информација за општ развој.

Второ решение

Внимание!Можете да се запознаете со вториот метод само ако знаете како самоуверено да пронајдете парцијални деривати. Калкулус почетници и кукли, ве молам не читајте и прескокнете ја оваа точка, инаку главата ќе ви биде целосен хаос.

Ајде да го најдеме изводот на имплицитната функција користејќи го вториот метод.

Ги преместуваме сите термини на левата страна:

И разгледајте ја функцијата од две променливи:

Тогаш нашиот дериват може да се најде со помош на формулата
Ајде да ги најдеме парцијалните деривати:

Така:

Второто решение ви овозможува да извршите проверка. Но, не е препорачливо да ја напишат конечната верзија на задачата, бидејќи парцијалните изводи се совладуваат подоцна, а студентот што ја проучува темата „Дериват на функција од една променлива“ сè уште не треба да знае делумни изводи.

Ајде да погледнеме уште неколку примери.

Пример 2

Најдете го изводот на функцијата дадена имплицитно

Додадете потези на двата дела:

Ние користиме правила за линеарност:

Наоѓање деривати:

Отворање на сите загради:

Ги преместуваме сите термини со на левата страна, а остатокот на десната страна:

Конечниот одговор:

Пример 3

Најдете го изводот на функцијата дадена имплицитно

Целосно решение и дизајн на примерок на крајот од лекцијата.

Не е невообичаено дропките да се појават по диференцијацијата. Во такви случаи, треба да се ослободите од фракции. Ајде да погледнеме уште два примери.

Пример 4

Најдете го изводот на функцијата дадена имплицитно

Ги затвораме двата дела под потези и го користиме правилото за линеарност:

Диференцирајте користејќи го правилото за диференцирање сложена функција и правилото за диференцијација на количниците :

Проширување на заградите:

Сега треба да се ослободиме од фракцијата. Ова може да се направи подоцна, но порационално е да се направи веднаш. Именителот на дропката содржи . Множете се на . Во детали, тоа ќе изгледа вака:

Понекогаш по диференцијацијата се појавуваат 2-3 фракции. Ако имавме друга дропка, на пример, тогаш операцијата ќе треба да се повтори - множете се секој член од секој делна

На левата страна го ставаме надвор од загради:

Конечниот одговор:

Пример 5

Најдете го изводот на функцијата дадена имплицитно

Ова е пример за да го решите сами. Единственото нешто е што пред да се ослободите од дропот, прво ќе треба да се ослободите од трикатната структура на самата дропка. Целосно решение и одговор на крајот од лекцијата.

Извод на параметарски дефинирана функција

Да не се стресуваме, сè во овој пасус е исто така прилично едноставно. Можете да ја запишете општата формула за параметарски дефинирана функција, но за да биде јасно, веднаш ќе напишам конкретен пример. Во параметарска форма функцијата е дадена со две равенки: . Често равенките се пишуваат не под загради, туку последователно: , .

Променливата се нарекува параметари може да земе вредности од „минус бесконечност“ до „плус бесконечност“. Размислете, на пример, вредноста и заменете ја во двете равенки: . Или во човечка смисла: „ако x е еднакво на четири, тогаш y е еднакво на еден“. Можете да означите точка на координатната рамнина и оваа точка ќе одговара на вредноста на параметарот. Слично на тоа, можете да најдете точка за која било вредност на параметарот „te“. Што се однесува до „редовната“ функција, за американските Индијанци со параметарски дефинирана функција, се почитуваат и сите права: можете да изградите график, да најдете деривати итн. Патем, ако треба да нацртате график на параметарски дефинирана функција, можете да ја користите мојата програма.

Во наједноставните случаи, можно е експлицитно да се претстави функцијата. Да го изразиме параметарот од првата равенка: – и заменете го во втората равенка: . Резултатот е обична кубна функција.

Во потешки случаи, овој трик не функционира. Но, тоа не е важно, бидејќи постои формула за наоѓање на изводот на параметарска функција:

Го наоѓаме изводот на „играта во однос на променливата te“:

Сите правила за диференцијација и табелата на деривати се валидни, природно, за буквата , така што, нема новина во процесот на пронаоѓање на деривати. Само ментално заменете ги сите „Х“ во табелата со буквата „Те“.

Го наоѓаме изводот на „x во однос на променливата te“:

Сега останува само да ги замениме пронајдените деривати во нашата формула:

Подготвени. Дериватот, како и самата функција, исто така зависи од параметарот.

Што се однесува до ознаката, наместо да се напише во формулата, може едноставно да се напише без подлога, бидејќи ова е „обичен“ дериват „во однос на X“. Но, во литературата секогаш постои опција, така што нема да отстапам од стандардот.

Пример 6

Ја користиме формулата

Во овој случај:

Така:

Посебна карактеристика на наоѓање на изводот на параметарска функција е фактот што на секој чекор е корисно да се поедностави резултатот колку што е можно повеќе. Така, во разгледуваниот пример, кога го најдов, ги отворив заградите под коренот (иако можеби не го направив ова). Има добри шанси при замена во формулата, многу работи добро да се намалат. Иако, се разбира, има примери со несмасни одговори.

Пример 7

Најдете го изводот на функцијата одредена параметарски

Ова е пример за да го решите сами.

Во статијата Наједноставните типични проблеми со дериватиразгледавме примери во кои требаше да го најдеме вториот извод на функцијата. За параметарски дефинирана функција, можете да го најдете и вториот извод, а тој се наоѓа со помош на следнава формула: . Сосема е очигледно дека за да го пронајдете вториот извод, прво треба да го најдете првиот извод.

Пример 8

Најдете ги првиот и вториот извод на функција дадена параметарски

Прво, да го најдеме првиот дериват.
Ја користиме формулата

Во овој случај:

Многу често, при решавање на практични проблеми (на пример, во повисока геодезија или аналитичка фотограметрија), се појавуваат сложени функции на неколку променливи, т.е. аргументи x, y, z една функција f(x,y,z) ) се самите функции на нови променливи У, В, В ).

Ова, на пример, се случува кога се движите од фиксен координатен систем Оксиз во мобилниот систем О 0 UVW и назад. Во исто време, важно е да се знаат сите парцијални деривати во однос на променливите „фиксни“ - „стари“ и „подвижни“ - „нови“, бидејќи овие парцијални деривати обично ја карактеризираат положбата на објектот во овие координатни системи. , и, особено, влијае на кореспонденцијата на воздушните фотографии со вистински објект. Во такви случаи, се применуваат следниве формули:

Односно, дадена е сложена функција Т три „нови“ променливи У, В, В преку три „стари“ променливи x, y, z, Потоа:

Коментар. Може да има варијации во бројот на променливи. На пример: ако

Конкретно, ако z = f(xy), y = y(x) , тогаш ја добиваме таканаречената формула „вкупен дериват“:

Истата формула за „вкупниот дериват“ во случај на:

ќе има форма:

Можни се и други варијации на формулите (1.27) - (1.32).

Забелешка: формулата „вкупен дериват“ се користи во курсот по физика, дел „Хидродинамика“ при изведување на основниот систем на равенки за движење на течности.

Пример 1.10. Со оглед на:

Според (1.31):

§7 Парцијални изводи на имплицитно дадена функција на неколку променливи

Како што е познато, имплицитно одредената функција на една променлива е дефинирана на следниов начин: функцијата на независната променлива x се нарекува имплицитна ако е дадена со равенка која не е решена во однос на y :

Пример 1.11.

Равенката

имплицитно специфицира две функции:

И равенката

не специфицира никаква функција.

Теорема 1.2 (постоење на имплицитна функција).

Нека функцијата z =f(x,y) и неговите парцијални деривати ѓ" x И ѓ" y дефинирана и континуирана во некое маало У М0 поени М 0 (х 0 y 0 ) . Освен тоа, f(x 0 , y 0 )=0 И f" (x 0 , y 0 )≠0 , тогаш равенката (1.33) дефинира во соседството У М0 имплицитна функција y=y(x) , континуирано и диференцијабилно во одреден интервал Д центриран во точка x 0 , и y(x 0 )=y 0 .

Нема доказ.

Од теорема 1.2 произлегува дека на овој интервал Д :

односно има идентитет во

каде што дериватот „вкупен“ се наоѓа според (1.31)

Односно, (1.35) дава формула за наоѓање на изводот на имплицитно дадена функција на една променлива x .

Слично е дефинирана имплицитна функција од две или повеќе променливи.

На пример, ако во некоја област В простор Оксиз важи следнава равенка:

тогаш под некои услови на функцијата Ф имплицитно дефинира функција

Покрај тоа, по аналогија со (1.35), неговите парцијални деривати се наоѓаат на следниов начин:

Пример 1.12. Под претпоставка дека равенката

имплицитно дефинира функција

најдете z" x , z" y .

затоа, според (1.37) го добиваме одговорот.

§8 Делумни деривати од втор и повисок ред

Дефиниција 1.9 Делумни изводи од втор ред на функција z=z(x,y) се дефинираат на следниов начин:

Беа четири од нив. Покрај тоа, под одредени услови на функциите z(x,y) еднаквоста важи:

Коментар. Делумните деривати од втор ред може да се означат и на следниов начин:

Дефиниција 1.10 Делумните изводи од трет ред се осум (2 3).

Ќе научиме да наоѓаме деривати на функции наведени имплицитно, односно специфицирани со одредени равенки што ги поврзуваат променливите xИ y. Примери на функции наведени имплицитно:

Изводите на функциите наведени имплицитно, или изводите на имплицитните функции, се наоѓаат многу едноставно. Сега да го погледнеме соодветното правило и пример, а потоа да дознаеме зошто е тоа потребно воопшто.

За да го пронајдете изводот на функцијата назначена имплицитно, треба да ги разликувате двете страни на равенката во однос на x. Оние термини во кои е присутен само X ќе се претворат во вообичаен извод на функцијата од X. И термините со играта мора да се разликуваат користејќи го правилото за диференцијација на сложена функција, бидејќи играта е функција на X. Едноставно кажано, добиениот извод на членот со x треба да резултира со: изводот на функцијата од y помножен со изводот од y. На пример, изводот на член ќе биде напишан како , изводот на член ќе биде напишан како . Следно, од сето ова треба да го изразите овој „потез на играта“ и ќе се добие саканиот дериват на функцијата наведена имплицитно. Да го погледнеме ова со пример.

Пример 1.

Решение. Ги разликуваме двете страни на равенката во однос на x, под претпоставка дека i е функција од x:

Оттука го добиваме изводот што е потребен во задачата:

Сега нешто за двосмисленото својство на функциите наведени имплицитно, и зошто се потребни посебни правила за нивна диференцијација. Во некои случаи, можете да бидете сигурни дека замената на изразот во однос на x во дадена равенка (види примери погоре) наместо игра, води до фактот дека оваа равенка се претвора во идентитет. Значи. Горенаведената равенка имплицитно ги дефинира следните функции:

Откако ќе го замениме изразот за квадрат игра преку x во оригиналната равенка, го добиваме идентитетот:

Изразите што ги заменивме се добиени со решавање на равенката за играта.

Кога би ја разграничиле соодветната експлицитна функција

тогаш ќе го добиеме одговорот како во примерот 1 - од функцијата наведена имплицитно:

Но, не секоја функција наведена имплицитно може да биде претставена во формата y = ѓ(x) . Така, на пример, имплицитно наведените функции

не се изразуваат преку елементарни функции, односно овие равенки не можат да се решат во однос на играта. Затоа, постои правило за диференцирање на функцијата наведена имплицитно, кое веќе го проучувавме и понатаму доследно ќе го применуваме во други примери.

Пример 2.Најдете го изводот на функцијата дадена имплицитно:

Го изразуваме простиот и - на излезот - изводот на функцијата назначена имплицитно:

Пример 3.Најдете го изводот на функцијата дадена имплицитно:

Решение. Ги разликуваме двете страни на равенката во однос на x:

Пример 4.Најдете го изводот на функцијата дадена имплицитно:

Решение. Ги разликуваме двете страни на равенката во однос на x:

Го изразуваме и добиваме изводот:

Пример 5.Најдете го изводот на функцијата дадена имплицитно:

Решение. Ги поместуваме членовите од десната страна на равенката на левата страна и оставаме нула на десната страна. Ги разликуваме двете страни на равенката во однос на x.

Како што е познато, имплицитно дадената функција на една променлива е дефинирана на следниов начин: функцијата y од независната променлива x се нарекува имплицитна ако е дадена со равенка што не е решена во однос на y:

Пример 1.11.

Равенката

имплицитно специфицира две функции:

И равенката

не специфицира никаква функција.

Теорема 1.2 (постоење на имплицитна функција).

Нека функцијата z =f(x,y) и нејзините парцијални изводи f"x и f"y се дефинирани и непрекинати во некое соседство UM0 на точката M0(x0y0). Дополнително, f(x0,y0)=0 и f"(x0,y0)≠0, тогаш равенката (1.33) дефинира во соседството на UM0 имплицитна функција y= y(x), континуирана и диференцијабилна во некој интервал D со центар во точката x0, и y(x0)=y0.

Нема доказ.

Од теорема 1.2 следува дека на овој интервал D:

односно има идентитет во

каде што дериватот „вкупен“ се наоѓа според (1.31)

Односно, (1.35) дава формула за наоѓање на изводот на имплицитно дадена функција на една променлива x.

Слично е дефинирана имплицитна функција од две или повеќе променливи.

На пример, ако во некој регион V од просторот Оксиз важи равенката:

тогаш под одредени услови на функцијата F имплицитно ја дефинира функцијата

Покрај тоа, по аналогија со (1.35), неговите парцијални деривати се наоѓаат на следниов начин:

Пример 1.12. Под претпоставка дека равенката

имплицитно дефинира функција

најдете z"x, z"y.

затоа, според (1.37) го добиваме одговорот.

11.Употреба на парцијални деривати во геометријата.

12.Екстреми на функција од две променливи.

Концептите за максимум, минимум и екстрем на функција од две променливи се слични на соодветните концепти на функција од една независна променлива (види дел 25.4).

Нека функцијата z = ƒ(x;y) е дефинирана во некој домен D, точка N(x0;y0) О D.

Точката (x0;y0) се нарекува максимална точка на функцијата z=ƒ(x;y) ако постои d-соседство на точката (x0;y0) така што за секоја точка (x;y) различна од (xo;yo), од ова соседство важи неравенката ƒ(x;y).<ƒ(хо;уо).

А Минималната точка на функцијата се одредува на сличен начин: за сите точки (x; y) освен (x0; y0), од d-соседството на точката (xo; yo) важи следнава неравенка: ƒ(x ; y)>ƒ(x0; y0).

На слика 210: N1 е максималната точка, а N2 е минималната точка на функцијата z=ƒ(x;y).

Вредноста на функцијата во точката на максимум (минимум) се нарекува максимум (минимум) на функцијата. Максимумот и минимумот на функцијата се нарекуваат нејзини екстреми.

Забележете дека, по дефиниција, екстремната точка на функцијата лежи во доменот на дефиниција на функцијата; максимумот и минимумот имаат локален (локален) карактер: вредноста на функцијата во точката (x0; y0) се споредува со нејзините вредности во точки доволно блиску до (x0; y0). Во регионот D, функцијата може да има неколку екстреми или ниедна.

46.2. Неопходни и доволни услови за екстрем

Да ги разгледаме условите за постоење на екстрем на функција.

Теорема 46.1 (неопходни услови за екстрем). Ако во точката N(x0;y0) диференцијабилната функција z=ƒ(x;y) има екстрем, тогаш нејзините парцијални изводи во оваа точка се еднакви на нула: ƒ"x(x0;y0)=0, ƒ" y(x0;y0)=0.

Ајде да поправиме една од променливите. Да ставиме, на пример, y=y0. Потоа добиваме функција ƒ(x;y0)=φ(x) од една променлива, која има екстрем на x = x0. Според тоа, според потребниот услов за екстрем на функција од една променлива (види дел 25.4), φ"(x0) = 0, т.е. ƒ"x(x0;y0)=0.

Слично, може да се покаже дека ƒ"y(x0;y0) = 0.

Геометриски, равенствата ƒ"x(x0;y0)=0 и ƒ"y(x0;y0)=0 значат дека во екстремната точка на функцијата z=ƒ(x;y) тангентната рамнина на површината што ја претставува функцијата ƒ(x;y) ), е паралелна со рамнината Oxy, бидејќи равенката на тангентата рамнина е z=z0 (види формула (45.2)).

З Забелешка. Функцијата може да има екстрем во точките каде што барем еден од парцијалните изводи не постои. На пример, функцијата има максимум во точката O(0;0) (види Сл. 211), но нема парцијални деривати во оваа точка.

Точката во која парцијалните изводи од прв ред на функцијата z ≈ ƒ(x; y) се еднакви на нула, т.е. f"x=0, f"y=0, се нарекува стационарна точка на функцијата z.

Стационарни точки и точки во кои не постои барем еден парцијален извод се нарекуваат критични точки.

Во критичните точки, функцијата може или не мора да има екстрем. Еднаквоста на парцијалните деривати на нула е неопходен, но не доволен услов за постоење на екстрем. Размислете, на пример, функцијата z = xy. За него, точката O(0; 0) е критична (на неа z"x=y и z"y - x исчезнуваат). Но, функцијата z=xy нема екстрем во неа, бидејќи во доволно мало соседство на точката O(0; 0) има точки за кои z>0 (точки од првата и третата четвртина) и z< 0 (точки II и IV четвертей).

Така, за да се најдат екстремите на функцијата во дадена област, неопходно е секоја критична точка на функцијата да се подложи на дополнително истражување.

Теорема 46.2 (доволен услов за екстремум). Нека функцијата ƒ(x;y) во стационарна точка (xo; y) и некое нејзино соседство имаат непрекинати парцијални изводи до втор ред вклучувајќи. Да ги пресметаме во точката (x0;y0) вредностите A=f""xx(x0;y0), B=ƒ""xy(x0;y0), C=ƒ""yy(x0;y0) . Да означиме

1. ако Δ > 0, тогаш функцијата ƒ(x;y) во точката (x0;y0) има екстрем: максимум ако A< 0; минимум, если А > 0;

2. ако Δ< 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) экстремума не имеет.

Во случај на Δ = 0, може или не може да има екстрем во точката (x0;y0). Потребни се повеќе истражувања.

ЗАДАЧИ

Пример.Најдете ги интервалите на функциите за зголемување и намалување. Решение.Првиот чекор е наоѓање на доменот на дефинирање на функцијата. Во нашиот пример, изразот во именителот не треба да оди на нула, затоа, . Да преминеме на дериватната функција: За да ги одредиме интервалите на зголемување и намалување на функцијата врз основа на доволен критериум, решаваме неравенки на доменот на дефиниција. Ајде да користиме генерализација на методот на интервал. Единствениот вистински корен на броителот е x = 2, а именителот оди на нула во x = 0. Овие точки го делат доменот на дефиниција на интервали во кои изводот на функцијата го задржува својот знак. Да ги означиме овие точки на бројната права. Конвенционално ги означуваме со плус и минуси интервалите во кои изводот е позитивен или негативен. Стрелките подолу шематски го прикажуваат зголемувањето или намалувањето на функцијата на соодветниот интервал. Така, И . Во точката x = 2функцијата е дефинирана и континуирана, па затоа треба да се додаде и во интервалите за зголемување и за намалување. Во точката x = 0функцијата не е дефинирана, така што оваа точка не ја вклучуваме во потребните интервали. Претставуваме график на функцијата за да ги споредиме добиените резултати со неа. Одговор:функцијата се зголемува со , се намалува на интервалот (0; 2] .

Примери.

Поставете ги интервалите на конвексност и конкавност на кривата y = 2 – x 2 .

Ќе најдеме y„“ и определи каде вториот извод е позитивен, а каде негативен. y" = –2x, y"" = –2 < 0 на (–∞; +∞), следовательно, функция всюду выпукла.

y = д x. Бидејќи y"" = д x > 0 за било кој x, тогаш кривата е насекаде конкавна.

y = x 3 . Бидејќи y"" = 6x, Тоа y"" < 0 при x < 0 и y"" > 0 во x> 0. Затоа, кога x < 0 кривая выпукла, а при x> 0 е конкавна.

4. Дадена е функцијата z=x^2-y^2+5x+4y, вектор l=3i-4j и точка A(3,2). Најдете dz/dl (како што јас разбирам, изводот на функцијата во насока на векторот), gradz(A), |gradz(A)|. Да ги најдеме парцијалните изводи: z(во однос на x)=2x+5 z(во однос на y)=-2y+4 Да ги најдеме вредностите на дериватите во точката A(3,2): z(со во однос на x)(3,2)=2*3+ 5=11 z(by y)(3,2)=-2*2+4=0 Од каде, gradz(A)=(11,0)= 11i |gradz(A)|=sqrt(11^2+0 ^2)=11 Извод на функцијата z во насока на векторот l: dz/dl=z(in x)*cosa+z(in y) *cosb, a, b-агли на векторот l со координатните оски. cosa=lx/|l|, cosb=ly/|l|, |l|=sqrt(lx^2+ly^2) lx=3, ly=-4, |l|=5. cosa=3/5, cosb=(-4)/5. dz/dl=11*3/5+0*(-4)/5=6,6.

Функцијата Z= f(x; y) се нарекува имплицитна ако е дадена со равенката F(x,y,z)=0 нерешена во однос на Z. Да ги најдеме парцијалните изводи на функцијата Z дадени имплицитно. За да го направите ова, заменувајќи ја функцијата f(x;y) во равенката наместо Z, го добиваме идентитетот F(x,y, f(x,y))=0. Парцијалните изводи на функцијата идентично еднакви на нула во однос на x и y се исто така еднакви на нула.

F(x,y, f (x, y)) =
=0 (се смета за константна)

F(x,y, f (x, y)) =
=0 (x се смета за константа)

Каде
И

Пример: Најдете ги парцијалните изводи на функцијата Z дадени со равенката
.

Тука F(x,y,z)=
;
;
;
. Според формулите дадени погоре имаме:

Насочен дериват

Нека е дадена функција од две променливи Z= f(x; y) во одредено соседство на точката M (x,y). Размислете за некоја насока дефинирана од единечниот вектор
, Каде
(види слика).

На права линија што минува во оваа насока низ точката М, ја земаме точката М 1 (
) така што должината
сегментотMM 1 е еднаков на
. Зголемувањето на функцијата f(M) се определува со релацијата, каде
поврзани со врски. Ограничување на односот на
ќе се нарече извод на функцијата
во точката
кон и да бидат назначени .

Ако функцијата Z е диференцијабилна во точката
, тогаш неговото зголемување во овој момент земајќи ги предвид односите за
може да се напише во следната форма.

делејќи ги двата дела со

и минување на границата во
добиваме формула за изводот на функцијата Z= f(x; y) во насока:

Градиент

Размислете за функција од три променливи
диференцирани во одреден момент
.

Градиентот на оваа функција
во точката М е вектор чии координати се соодветно еднакви на парцијалните изводи
во оваа точка. За да покажете градиент, користете го симболот
.
=
.

.Градиентот ја означува насоката на најбрзиот раст на функцијата во дадена точка.

Бидејќи единечниот вектор има координати (
), тогаш насочениот извод за случај на функција од три променливи се запишува во форма, т.е. ја има формулата за скаларен производ на вектори И
. Ајде да ја преработиме последната формула на следниов начин:

, Каде - агол помеѓу векторот И
. Затоа што
, тогаш следува дека изводот на функцијата во насока ја зема максималната вредност на =0, т.е. кога насоката на векторите И
поклопуваат. При што
Тоа е, всушност, градиентот на функцијата ја карактеризира насоката и големината на максималната стапка на зголемување на оваа функција во точка.

Екстрем на функција од две променливи

Концептите макс, мин, екстрем на функција од две променливи се слични на соодветните концепти на функција од една променлива. Нека функцијата Z= f(x; y) е дефинирана во некој домен D итн. М
припаѓа на оваа област. Точка М
се нарекува макс точка на функцијата Z= f(x; y) ако постои такво δ-соседство на точката
, дека за секоја точка од ова соседство нееднаквоста
. Точката min се одредува на сличен начин, само знакот за нееднаквост ќе се промени
. Вредноста на функцијата во точката max(min) се нарекува максимална (минимум). Максимумот и минимумот на функцијата се нарекуваат екстремни.

Неопходни и доволни услови за екстрем

Теорема:(Неопходни услови за екстрем). Ако во точката М
диференцијабилната функција Z= f(x; y) има екстрем, тогаш нејзините парцијални изводи во оваа точка се еднакви на нула:
,
.

Доказ:Имајќи фиксирано една од променливите x или y, го трансформираме Z = f(x; y) во функција на една променлива, за чиј екстрем мора да се исполнат горенаведените услови. Геометриски еднаквости
И
значи дека во екстремната точка на функцијата Z= f(x; y), тангентата рамнина на површината што ја претставува функцијата f(x,y)=Z е паралелна со рамнината OXY, бидејќи равенката на тангентата рамнина е Z = Z 0. Точката во која парцијалните изводи од прв ред на функцијата Z = f (x; y) се еднакви на нула, т.е.
,
, се нарекуваат стационарна точка на функцијата. Функцијата може да има екстрем во точките каде што барем еден од парцијалните изводи не постои. На примерZ=|-
| има max во точката O(0,0), но нема деривати во оваа точка.

Се повикуваат стационарни точки и точки во кои не постои барем еден парцијален извод критични точки.Во критичните точки, функцијата може или не мора да има екстрем. Еднаквоста на парцијалните деривати на нула е неопходен, но не доволен услов за постоење на екстрем. На пример, кога Z=xy, точката O(0,0) е критична. Меѓутоа, функцијата Z=xy нема екстрем во неа. (Бидејќи во I и III четвртини Z>0, а во четвртини II и IV – Z<0). Таким образом для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо подвергнуть каждую критическую точку функции дополнительному исследованию.

Теорема: (Доволен услов за екстреми). Нека во неподвижна точка
а во одредено соседство функцијата f(x; y) има непрекинати парцијални изводи до 2-ри ред заклучно. Ајде да пресметаме во точката
вредности
,
И
. Да означиме