Интеграција - MT1205: Математичка анализа за економисти - бизнис информатика. Методи за интегрирање на ирационални функции (корени) Интеграли на ирационални функции примери

Овој онлајн калкулатор се користи за пресметување интеграли на ирационални дропки од формата , , .

Нека – рационална функција на Оваа функција, а со тоа и нејзиниот интеграл, се рационализира со замена на x=t r, каде што r е најмалиот заеднички множител на броевите r 1, r 2,…, r n. Тогаш dx=rt r -1 и под интегралот има рационална функција т. Слично, ако интеграндот е рационална функција на , тогаш функцијата интегранд се рационализира со замена каде t е најмалиот заеднички множител на броевите r 1 , r 2 ,…, r n . Потоа заменувајќи го оригиналниот израз, добиваме рационална функција од т.

Пример. Пресметај. Најмалиот заеднички множител на 2 и 3 е 6. Затоа, правиме замена x = t 6. Тогаш dx = 6t 5 dt и

Интеграција на ирационални функции

Пример бр. 1. Пресметај го дефинитивниот интеграл на ирационална функција:

Решение. Интеграл од формата R(x α1, x α2,..., x αk)dx, каде што R е рационална функција од x αi, α i =p i /q i - рационални дропки (i = 1,2,... , k) , се сведува на интеграл на рационална функција со помош на замената x = t q, каде што q е најмалиот заеднички множител (LCM) на именителот на дропките a 1, a 2,..., a k. Во нашиот случај, a 1 = 2, a 2 = 3, a 3 = 6, така што најмалиот заеднички множител од нивните именители е q = LCM(2,3,6) = 6. Заменувањето на променливата x = t 6 води кон интегралот на фракционата рационална функција, која се пресметува како што е опишано во примерот:

Дадени се основните методи за интегрирање на ирационални функции (корени). Тие вклучуваат: интеграција на линеарна фракциона ирационалност, диференцијален бином, интеграли со квадратен корен на квадратен трином. Дадени се тригонометриски замени и Ојлерови замени. Се разгледуваат некои елиптични интеграли изразени преку елементарни функции.

содржина

Интеграли од диференцијални биноми

Интегралите од диференцијални биноми имаат форма:
,
каде m, n, p се рационални броеви, а, b се реални броеви.
Ваквите интеграли се сведуваат на интеграли на рационални функции во три случаи.

1) Ако p е цел број. Замена x = t N, каде што N е заеднички именител на дропките m и n.
2) Ако - цел број. Замена a x n + b = t M, каде што M е именителот на бројот p.
3) Ако - цел број. Замена a + b x - n = t M, каде што M е именителот на бројот p.

Во други случаи, таквите интеграли не се изразуваат преку елементарни функции.

Понекогаш таквите интеграли може да се поедностават со помош на формули за намалување:
;
.

Интеграли што го содржат квадратниот корен на квадратен трином

Таквите интеграли имаат форма:
,
каде што R е рационална функција. За секој таков интеграл има неколку методи за негово решавање.
1) Користењето на трансформации доведува до поедноставни интеграли.
2) Примени тригонометриски или хиперболични замени.
3) Примени Ојлер замени.

Ајде да ги разгледаме овие методи подетално.

1) Трансформација на функцијата интегранд

Применувајќи ја формулата и изведувајќи алгебарски трансформации, ја намалуваме функцијата интегранд на формата:
,
каде φ(x), ω(x) се рационални функции.

Тип I

Интеграл на формата:
,
каде што P n (x) е полином со степен n.

Ваквите интеграли се наоѓаат со методот на неопределени коефициенти користејќи го идентитетот:

.
Диференцирање на оваа равенка и изедначување на левата и десната страна, ги наоѓаме коефициентите A i.

Тип II

Интеграл на формата:
,
каде што P m (x) е полином со степен m.

Замена t = (x - α) -1овој интеграл се сведува на претходниот тип. Ако m ≥ n, тогаш дропката треба да има цел број.

III тип

Еве ја правиме замената:
.
После тоа интегралот ќе добие форма:
.
Следно, константите α, β мора да бидат избрани така што коефициентите на t во именителот стануваат нула:
B = 0, B 1 = 0.
Тогаш интегралот се распаѓа на збир на интеграли од два вида:
,
,
кои се интегрирани со замени:
u 2 = A 1 t 2 + C 1,
v 2 = A 1 + C 1 t -2.

2) Тригонометриски и хиперболични замени

За интеграли на формата, a > 0 ,
имаме три главни замени:
;
;
;

За интеграли, а > 0 ,
ги имаме следните замени:
;
;
;

И конечно, за интегралите, а > 0 ,
замените се како што следува:
;
;
;

3) Ојлер замени

Исто така, интегралите може да се сведат на интеграли на рационални функции на една од трите замени на Ојлер:
, за > 0;
, за c > 0 ;
, каде што x 1 е коренот на равенката a x 2 + b x + c = 0. Ако оваа равенка има вистински корени.

Елиптични интеграли

Како заклучок, разгледајте ги интегралите на формата:
,
каде што R е рационална функција, . Таквите интеграли се нарекуваат елиптични. Генерално, тие не се изразуваат преку елементарни функции. Но, има случаи кога постојат врски меѓу коефициентите A, B, C, D, E, во кои таквите интеграли се изразуваат преку елементарни функции.

Подолу е пример поврзан со рефлексивни полиноми. Пресметката на таквите интеграли се врши со помош на замени:
.

Пример

Пресметајте го интегралот:
.

Ајде да направиме замена.

.
Тука на x > 0 (u> 0 ) земете го горниот знак „+“. На x< 0 (у< 0 ) - пониско '- '.

.

Референци:
Н.М. Гинтер, Р.О. Кузмин, Збирка задачи по виша математика, „Лан“, 2003 г.

Исто така види:

Не постои универзален начин за решавање на ирационални равенки, бидејќи нивната класа се разликува по количина. Написот ќе ги нагласи карактеристичните типови на равенки со замена со користење на методот на интеграција.

За да се користи методот на директна интеграција, потребно е да се пресметаат неопределени интеграли од типот ∫ k x + b p d x, каде што p е рационална дропка, k и b се реални коефициенти.

Пример 1

Најдете и пресметајте ги антидериватите на функцијата y = 1 3 x - 1 3 .

Решение

Според правилото за интеграција, неопходно е да се примени формулата ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C, а табелата на антидеривати покажува дека постои готово решение за оваа функција . Го добиваме тоа

∫ d x 3 x - 1 3 = ∫ (3 x - 1) - 1 3 d x = 1 3 1 - 1 3 + 1 (3 x - 1) - 1 3 + 1 + C = = 1 2 (3 x - 1 ) 2 3 + С

Одговор:∫ d x 3 x - 1 3 = 1 2 (3 x - 1) 2 3 + C .

Има случаи кога е можно да се користи методот на поддавање на диференцијален знак. Тоа се решава со принципот на наоѓање неопределени интеграли од формата ∫ f " (x) · (f (x)) p d x , кога вредноста на p се смета за рационална дропка.

Пример 2

Најдете го неопределениот интеграл ∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x.

Решение

Забележете дека d x 3 + 5 x - 7 = x 3 + 5 x - 7 "d x = (3 x 2 + 5) d x. Тогаш е неопходно да се подведе диференцијалниот знак користејќи табели на антидеривати. Добиваме дека

∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x = ∫ (x 3 + 5 x - 7) - 7 6 (3 x 2 + 5) d x = = ∫ (x 3 + 5 x - 7 ) - 7 6 d (x 3 + 5 x - 7) = x 3 + 5 x - 7 = z = = ∫ z - 7 6 d z = 1 - 7 6 + 1 z - 7 6 + 1 + C = - 6 z - 1 6 + C = z = x 3 + 5 x - 7 = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C

Одговор:∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C .

Решавањето на неопределени интеграли вклучува формула од формата ∫ d x x 2 + p x + q, каде што p и q се реални коефициенти. Потоа треба да изберете целосен квадрат од под коренот. Го добиваме тоа

x 2 + p x + q = x 2 + p x + p 2 2 - p 2 2 + q = x + p 2 2 + 4 q - p 2 4

Применувајќи ја формулата лоцирана во табелата со неопределени интеграли, добиваме:

∫ d x x 2 ± α = ln x + x 2 ± α + C

Потоа се пресметува интегралот:

∫ d x x 2 + p x + q = ∫ d x x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 = = ln x + p 2 + x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 + C = = ln x + p 2 + x 2 + p x + q + C

Пример 3

Најдете го неопределен интеграл на формата ∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1 .

Решение

За да пресметате, треба да го извадите бројот 2 и да го поставите пред радикалот:

∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1 = ∫ d x 2 x 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ d x x 2 + 3 2 x - 1 2

Изберете целосен квадрат во радикалниот израз. Го добиваме тоа

x 2 + 3 2 x - 1 2 = x 2 + 3 2 x + 3 4 2 - 3 4 2 - 1 2 = x + 3 4 2 - 17 16

Потоа добиваме неопределен интеграл од формата 1 2 ∫ d x x 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ d x x + 3 4 2 - 17 16 = = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 1 2 + C

Одговор: d x x 2 + 3 x - 1 = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 1 2 + C

Интеграцијата на ирационалните функции се врши на сличен начин. Применливо за функции од формата y = 1 - x 2 + p x + q.

Пример 4

Најдете го неопределениот интеграл ∫ d x - x 2 + 4 x + 5 .

Решение

Прво треба да го изведете квадратот на именителот на изразот од под коренот.

∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = ∫ d x - x 2 - 4 x - 5 = = ∫ d x - x 2 - 4 x + 4 - 4 - 5 = ∫ d x - x - 2 2 - 9 = ∫ d x - (x - 2) 2 + 9

Интегралот на табелата има форма ∫ d x a 2 - x 2 = a r c sin x a + C, тогаш добиваме дека ∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = ∫ d x - (x - 2) 2 + 9 = a r c sin x - 2 3 +C

Одговор:∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = a r c sin x - 2 3 + C .

Процесот на наоѓање антидеривативни ирационални функции од формата y = M x + N x 2 + p x + q, каде што постоечките M, N, p, q се реални коефициенти и се слични на интеграцијата на едноставни дропки од трет тип . Оваа трансформација има неколку фази:

собирање на диференцијалот под коренот, изолирање на целосниот квадрат на изразот под коренот, користејќи табеларни формули.

Пример 5

Најдете ги антидериватите на функцијата y = x + 2 x 2 - 3 x + 1.

Решение

Од условот имаме дека d (x 2 - 3 x + 1) = (2 x - 3) d x и x + 2 = 1 2 (2 x - 3) + 7 2, тогаш (x + 2) d x = 1 2 (2 x - 3) + 7 2 d x = 1 2 d (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 d x.

Да го пресметаме интегралот: ∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x = 1 2 ∫ d (x 2 - 3 x + 1) x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ∫ d x x 2 - 3 x + 1 = = 1 2 ∫ (x 2 - 3 x + 1) - 1 2 d (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 ∫ d x x - 3 2 2 - 5 4 = = 1 2 1 - 1 2 + 1 x 2 - 3 x + 1 - 1 2 + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x - 3 2 - 5 4 + C = = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + C

Одговор:∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + C.

Пребарувањето на неопределени интеграли на функцијата ∫ x m (a + b x n) p d x се врши со методот на замена.

За да се реши, неопходно е да се воведат нови променливи:

1. Кога p е цел број, тогаш се смета x = z N, а N е заедничкиот именител за m, n.
2. Кога m + 1 n е цел број, тогаш a + b x n = z N, а N е именителот на p.
3. Кога m + 1 n + p е цел број, тогаш потребна е променливата a x - n + b = z N, а N е именителот на бројот p.

Пример 6

Најдете го определениот интеграл ∫ 1 x 2 x - 9 d x.

Решение

Добиваме дека ∫ 1 x 2 x - 9 d x = ∫ x - 1 · (- 9 + 2 x 1) - 1 2 d x . Следи дека m = - 1, n = 1, p = - 1 2, тогаш m + 1 n = - 1 + 1 1 = 0 е цел број. Можете да воведете нова променлива од формата - 9 + 2 x = z 2. Неопходно е да се изрази x во однос на z. Како резултат го добиваме тоа

9 + 2 x = z 2 ⇒ x = z 2 + 9 2 ⇒ d x = z 2 + 9 2 "d z = z d z - 9 + 2 x = z

Потребно е да се направи замена во дадениот интеграл. Ние го имаме тоа

∫ d x x 2 x - 9 = ∫ z d z z 2 + 9 2 z = 2 ∫ d z z 2 + 9 = = 2 3 a r c t g z 3 + C = 2 3 a r c c t g 2 x - 9 3 + C

Одговор:∫ d x x 2 x - 9 = 2 3 a r c c t g 2 x - 9 3 + C.

За да се поедностави решението на ирационални равенки, се користат основни методи на интеграција.

Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter

Под ирационаленразбере израз во кој независната променлива %%x%% или полиномот %%P_n(x)%% од степенот %%n \in \mathbb(N)%% е вклучена под знакот радикални(од латински радикс- корен), т.е. подигнат до фракциона моќ. Со замена на променлива, некои класи на интегради кои се ирационални во однос на %%x%% може да се сведат на рационални изрази во однос на нова променлива.

Концептот на рационална функција на една променлива може да се прошири на повеќе аргументи. Ако за секој аргумент %%u, v, \dotsc, w%% при пресметување на вредноста на функцијата се дадени само аритметички операции и подигање до цел број, тогаш зборуваме за рационална функција на овие аргументи, која обично е означува %%R(u, v, \ dotsc, w)%%. Аргументите на таквата функција самите можат да бидат функции на независната променлива %%x%%, вклучувајќи радикали од формата %%\sqrt[n](x), n \in \mathbb(N)%%. На пример, рационалната функција $$ R(u,v,w) = \frac(u + v^2)(w) $$ со %%u = x, v = \sqrt(x)%% и %% w = \sqrt(x^2 + 1)%% е рационална функција од $$ R\left(x, \sqrt(x), \sqrt(x^2+1)\right) = \frac(x + \sqrt(x ^2))(\sqrt(x^2 + 1)) = f(x) $$ од %%x%% и радикали %%\sqrt(x)%% и %%\sqrt(x ^2 + 1 )%%, додека функцијата %%f(x)%% ќе биде ирационална (алгебарска) функција на една независна променлива %%x%%.

Да разгледаме интеграли од формата %%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%%. Ваквите интеграли се рационализираат со замена на променливата %%t = \sqrt[n](x)%%, потоа %%x = t^n, \mathrm(d)x = nt^(n-1)%%.

Пример 1

Најдете %%\displaystyle\int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x))%%.

Интеграндот на саканиот аргумент е запишан како функција на радикали со степен %%2%% и %%3%%. Бидејќи најмалиот заеднички множител на %%2%% и %%3%% е %%6%%, овој интеграл е интеграл од типот %%\int R(x, \sqrt(x)) \mathrm(d) x %% и може да се рационализира со замена на %%\sqrt(x) = t%%. Тогаш %%x = t^6, \mathrm(d)x = 6t \mathrm(d)t, \sqrt(x) = t^3, \sqrt(x) =t^2%%. Затоа, $$ \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) = \int \frac(6t^5 \mathrm(d)t)(t^3 + t^2) = 6\int\frac(t^3)(t+1)\mathrm(d)t. $$ Да земеме %%t + 1 = z, \mathrm(d)t = \mathrm(d)z, z = t + 1 = \sqrt(x) + 1%% и $$ \begin(низа)( ll ) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) &= 6\int\frac((z-1)^3)(z) \mathrm(d ) t = \\ &= 6\int z^2 dz -18 \int z \mathrm(d)z + 18\int \mathrm(d)z -6\int\frac(\mathrm(d)z)( z ) = \\ &= 2z^3 - 9 z^2 + 18z -6\ln|z| + C = \\ &= 2 \лево(\sqrt(x) + 1\десно)^3 - 9 \лево(\sqrt(x) + 1\десно)^2 + \\ &+~ 18 \лево( \sqrt(x) + 1\десно) - 6 \ln\лево|\sqrt(x) + 1\десно| + C \end (низа) $$

Интегралите од формата %%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%% се посебен случај на дробни линеарни ирационалности, т.е. интеграли од формата %%\displaystyle\int R\left(x, \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))\right) \mathrm(d)x%%, каде %% ad - bc \neq 0%%, што може да се рационализира со замена на променливата %%t = \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))%%, потоа %%x = \dfrac (dt^n - b)(a - ct^n)%%. Тогаш $$ \mathrm(d)x = \frac(n t^(n-1)(ad - bc))(\left(a - ct^n\десно)^2)\mathrm(d)t. $$

Пример 2

Најдете %%\displaystyle\int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\dfrac(\mathrm(d)x)(x + 1)%%.

Да земеме %%t = \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))%%, потоа %%x = \dfrac(1 - t^2)(1 + t^2)%%, $ $ \почеток(низа)(l) \mathrm(d)x = -\frac(4t\mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\десно)^2), \\ 1 + x = \ frac (2) (1 + t^2), \\ \frac (1) (x + 1) = \frac (1 + t^2) (2). \end(низа) $$ Затоа, $$ \begin(низа)(l) \int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\frac(\mathrm(d)x)(x + 1) = \\ = \frac(t(1 + t^2))(2)\left(-\frac(4t \mathrm(d)t)(\лево(1 + t^2\десно)^2 )\десно) = \\ = -2\int \frac(t^2\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2\int \mathrm(d)t + 2\int \frac(\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2t + \text(arctg)~t + C = \\ = -2\sqrt(\dfrac(1 -x)( 1 + x)) + \text(arctg)~\sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x)) + C. \end (низа) $$

Да разгледаме интеграли од формата %%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) \mathrm(d)x%%. Во наједноставните случаи, таквите интеграли се сведуваат на табеларни, ако по изолирањето на целосниот квадрат се изврши промена на променливите.

Пример 3

Најдете го интегралот %%\displaystyle\int \dfrac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5))%%.

Имајќи предвид дека %%x^2 + 4x + 5 = (x+2)^2 + 1%%, земаме %%t = x + 2, \mathrm(d)x = \mathrm(d)t%%, потоа $$ \begin(низа)(ll) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5)) &= \int \frac(\mathrm(d)t) (\sqrt(t^2 + 1)) = \\ &= \ln\лево|t + \sqrt(t^2 + 1)\десно| + C = \\ &= \ln\лево|x + 2 + \sqrt(x^2 + 4x + 5)\десно| + C. \end(низа) $$

Во посложени случаи, се користат интеграли од формата %%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) \mathrm(d)x%%

Интеграли на формата (m 1, n 1, m 2, n 2, ... - цели броеви). Во овие интеграли, интеграндот е рационален во однос на интеграциската променлива и радикалите на x. Тие се пресметуваат со замена на x=t s, каде што s е заеднички именител на дропките, ... Со таква замена на променливата, сите релации = r 1, = r 2, ... се цели броеви, односно интегралот е сведена на рационална функција на променливата t:

Интеграли на формата (m 1, n 1, m 2, n 2, ... - цели броеви). Овие интеграли се со замена:

каде што s е заеднички именител на дропките, ..., се сведуваат на рационална функција на променливата t.

Интеграли на формата За да го пресметате интегралот I 1, изберете целосен квадрат под радикалниот знак:

и се применува замената:

Како резултат на тоа, овој интеграл се сведува на табеларен:

Во броителот на интегралот I 2 се разликува диференцијалот на изразот под радикалниот знак и овој интеграл е претставен како збир од два интеграли:

каде што I 1 е интегралот пресметан погоре.

Пресметката на интегралот I 3 се сведува на пресметката на интегралот I 1 со замена:

Интеграл од образецот Посебни случаи на пресметување интеграли од овој тип се разгледани во претходниот став. Постојат неколку различни методи за нивно пресметување. Да разгледаме една од овие техники, базирана на употреба на тригонометриски замени.

Квадратниот трином ax 2 +bx+c со изолирање на целосниот квадрат и менување на променливата може да се претстави во форма Така, доволно е да се ограничиме на разгледување на три типа интеграли:

Интегрален со замена

u=ksint (или u=kcost)

се сведува на интеграл на рационална функција во однос на синтетот и цената.

Интеграли на формата (m, n, p є Q, a, b є R). Разгледаните интеграли, наречени интеграли на диференцијален бином, се изразуваат преку елементарни функции само во следните три случаи:

1) ако p є Z, тогаш се применува замената:

каде што s е заеднички именител на дропките m и n;

2) ако Z, тогаш се користи замената:

каде што s е именителот на дропката

3) ако Z, тогаш се применува замената:

каде што s е именителот на дропката